tugas 1 penurunan persamaan bohr dan scrhodinger
TRANSCRIPT
PENURUNAN PERSAMAAN
BOHR
BERAWAL DARI TIGA POSTULAT
1. Energi sebuah electron dalam orbit adalah penjumlahan energi kinetik dan energi potensialnya
(1)
2. Momentum sudut electron hanya boleh memiliki diskrit tertentu
(2)
3. Elektron yang berada dalam orbit di atur oleh gaya coulomb
(3)
PENURUNAN PERSAMAAN BOHR
Energi
𝑘𝑞𝑒2
𝑟 2=𝑚𝑒𝑣
2
𝑟
𝑘𝑞𝑒2
𝑟=𝑚𝑒𝑣
2
Dari persamaan (3)
Dari persamaan (3) Mensubstitusikan persamaan (4) ke persamaan (1) maka persamaan (1) menjadi;
𝐸=12𝑚𝑒𝑣
2−𝑘𝑞𝑒2
𝑟
𝐸=12𝑚𝑒𝑣
2−𝑚𝑒𝑣2=−𝑚𝑒𝑣
2
(4)
(5)
PENURUNAN PERSAMAAN BOHR
𝑘𝑞𝑒2
h𝑛2𝜋𝑚𝑒𝑣
=𝑚𝑒𝑣2
𝑟=h𝑛
2𝜋𝑚𝑒𝑣
𝑚𝑒𝑣𝑟=𝑛h2𝜋
Dengan menurunkan persamaan (2) untuk r maka harga jari-jari
𝑘𝑞𝑒22𝜋𝑚𝑒𝑣
h𝑛=𝑚𝑒𝑣
2
𝑘𝑞𝑒22𝜋h𝑛
=𝑣
(6)Dengan mensubstitusikan persamaan (6) ke persamaan
(4)
(7)
PENURUNAN PERSAMAAN BOHR
Substitusikan persamaan (7) ke persamaan (5)
(5)
(8)
Dengan maka
PENURUNAN PERSAMAAN BOHR
(9) Dengan n=1,2,3,4,…. Maka Saat n = 1
(10)
Maka untuk energi ke n
(11)
PENURUNAN PERSAMAAN BOHR
ENERGI AWAL – ENERGI AKHIR = ENERGI SPECTRUM
PENURUNAN PERSAMAAN BOHR
dengan dan maka
PENURUNAN PERSAMAAN
SCHRODINGER
PENURUNAN PERSAMAAN SCHRODINGER
1 2 3
𝑉= 𝑉=0
𝐻 ѱ=𝐸ѱ
{ −h28𝜋2𝑚 ( 𝜕2
𝜕𝑥2+ 𝜕2
𝜕 𝑦2+ 𝜕2
𝜕 𝑧2 )+𝑉 }ѱ=𝐸ѱ
{ −h28𝜋2𝑚 ( 𝜕2
𝜕𝑥2 )}ѱ=𝐸ѱ
Persamaan Schrodinger untuk 1 dimensi, dengan
………(1)
………(2)
PENURUNAN PERSAMAAN SCHRODINGER{ −h28𝜋2𝑚 ( 𝜕2
𝜕𝑥2 )}ѱ=𝐸ѱ
𝜕2
𝜕𝑥2ѱ=−8𝜋
2𝑚h2
𝐸ѱ
𝜕2
𝜕𝑥2ѱ=𝑘2ѱ
Dengan memisalkan maka:
Dengan PDB orde 2 diperoleh solusi untuk persamaan (3)
………(3)
ѱ=𝐴𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥+𝐵𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥
PENURUNAN PERSAMAAN SCHRODINGERѱ=𝐴𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥+𝐵𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥
Syarat batas 1𝑥=0 ѱ=𝐴𝑠𝑖𝑛𝑘 (0 )+𝐵𝑐𝑜𝑠𝑘(0)
0=0+𝐵0=𝐵
Syarat batas 2𝑥=𝑎 ѱ=𝐴𝑠𝑖𝑛𝑘 (𝑎 )=0
𝐴𝑠𝑖𝑛𝑘 (𝑎 )=0𝑠𝑖𝑛𝑘 (𝑎)=0 dengan
PENURUNAN PERSAMAAN SCHRODINGER
𝑘𝑎=𝑛𝜋
Substitusikan pemisalan
√ 8𝜋 2𝑚𝐸h2
𝑎=𝑛𝜋 Dengan mengkuadratkan kedua ruas maka:
8𝜋 2𝑚𝐸h2
𝑎2=𝑛2 𝜋2
8𝑚𝐸h2
𝑎2=𝑛2
𝐸= h2𝑛2
8𝑚𝑎2
PENURUNAN PERSAMAAN SCHRODINGER
Dengan dan batas dari maka:
Untuk menentukan ѱ ∫ѱ ѱ∗𝑑𝑥=1
∫0
𝑎
(𝐴𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥 ) ( 𝐴𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥 ) 𝑑𝑥=1
∫0
𝑎
𝐴2𝑠𝑖𝑛2𝑘𝑥𝑑𝑥=1 2𝑠𝑖𝑛2𝑘𝑥=1− cos2𝑘𝑥
𝑠𝑖𝑛2𝑘𝑥=1− cos2𝑘𝑥
2𝐴2∫
0
𝑎1−cos 2𝑘𝑥
2𝑑𝑥=1
𝐴2∫0
𝑎12−cos2𝑘𝑥
2𝑑𝑥=1
𝐴2[ 12 𝑥− sin 2𝑘𝑥 4 ]0
𝑎
=1
PENURUNAN PERSAMAAN SCHRODINGER
𝐴2[ 12 𝑥− sin 2𝑘𝑥 4 ]0
𝑎
=1Lanjutan…
𝐴2
2[𝑥− sin 2𝑘𝑥 2 ]0
𝑎
=1
𝐴2
2[(𝑎− sin 2𝑘(𝑎) 2 )−(0− sin 2𝑘(0)
2 )]=1𝐴2
2[(𝑎− sin 2𝑘(𝑎) 2 )−0]=1
𝐴2
2[(𝑎− sin 2𝑘(𝑎) 2 ) ]=1
PENURUNAN PERSAMAAN SCHRODINGER
𝐴2
2[(𝑎− sin 2 𝜋𝑛𝑎 𝑎
2 )]=1
pemisalan
√ 8𝜋 2𝑚𝐸h2
=𝑘
Substitusikan maka persamaan menjadi
√ 8𝜋 2𝑚h2𝑛2
h28𝑚𝑎2=𝑘
√ 𝜋 2𝑛2
𝑎2=𝑘
𝜋𝑛𝑎
=𝑘 𝐴2
2[(𝑎− sin 2𝜋𝑛 2 )]=1
PENURUNAN PERSAMAAN SCHRODINGER𝐴
2
2
(𝑎− sin 2𝜋𝑛 2 )=1Dengan Misal substitusikan maka
𝐴2
2
(𝑎− sin 2𝜋(1) 2 )=1
𝐴2
2
(𝑎− sin 360 ° 2 )=1𝐴2
2
(𝑎−0 )=1
𝐴2
2
𝑎=1
𝐴2=2𝑎
𝐴=√ 2𝑎
𝐴=√ 2𝑎