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Étude théorique et expérimentale d’un paliermagnétohydrodynamique à champ tournant

J. Barral, Raymonde Bonnefille, D. Schoenhenz

To cite this version:J. Barral, Raymonde Bonnefille, D. Schoenhenz. Étude théorique et expérimentale d’un palier mag-nétohydrodynamique à champ tournant. Revue de Physique Appliquée, Société française de physique/ EDP, 1978, 13 (10), pp.513-531. �10.1051/rphysap:019780013010051300�. �jpa-00244482�

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ÉTUDE THÉORIQUE ET EXPÉRIMENTALED’UN PALIER MAGNÉTOHYDRODYNAMIQUE A CHAMP TOURNANT

J. BARRAL, R. BONNEFILLE et D. SCHOENHENZ

Laboratoire de la Chaire d’Electricité Industrielle du C.N.A.M. etLaboratoire de Génie Electrique (*) des Universités de Paris-VI et Paris-XI

92260 Fontenay aux Roses, France

(Reçu le 21 mars 1978, accepté le 20 juin 1978)

Résumé. 2014 On étudie le comportement d’un palier lisse à film porteur complet dont le lubrifiant,électroconducteur, est soumis à un champ magnétique tournant bipolaire. L’étude, limitée à defaibles valeurs du nombre de Reynolds modifié et des fluctuations de la vitesse, permet de mettreen évidence les caractéristiques principales du système. On montre notamment que la force por-tante croît avec le nombre de Hartmann. Une étude expérimentale permet de confirmer la validitéde la théorie proposée, du moins tant que le régime d’écoulement est laminaire non tourbillonnaire.

Abstract. 2014 The behaviour of a journal bearing having a complete supporting film has beenstudied. The electroconducting lubricant is subjected to a rotating dipolar magnetic field. Theinvestigation, confined to low values of the modified Reynolds number and to small velocity fluc-tuations, allows one to point out the principal characteristics of the system. In particular, it is shownthat the supporting force increases with the Hartmann number. The experiments carried out confirmethe validity of the proposed theory, at least as long as the flow is purely laminar.

REVUE DE PHYSIQUE APPLIQUÉE TOME 13, OCTOBRE 1978, PAGE

Classification

Physics Abstracts47.65 + a

1. Introduction. - Les lubrifiants classiques (huiles,graisses) présentent aux hautes températures(> 200 OC) les trois inconvénients suivants :

2022 Instabilité thermique.2022 Tension de vapeur élevée.2022 Faible conductibilité thermique.Comme, dans les turbines et les pompes mécaniques,

la température moyenne des paliers peut atteindre200 à 300 OC (dans le domaine de l’aéronautique,on annonce des paliers devant fonctionner à plus de500 OC), il est nécessaire d’employer des circuitsde refroidissement très importants et parfois mêmed’alimenter le film sous pression, afin que celle-ci

soit, dans une bonne partie du film, supérieure à lapression de vapeur saturante du lubrifiant; fautede ces précautions, le lubrifiant est en moyenne partievaporisé ou décomposé et la lubrification mauvaise.Aussi a-t-on accordé, dans les deux dernières

décennies, une grande attention à la lubrification

par conducteurs liquides (Na, K, Hg, Ga, NaK,HgIn ...) en raison de leur plus grande facilité àtravailler dans des conditions spécifiques difficiles.

Leur avantage essentiel est incontestablement leurhaute conductivité thermique (plusieurs centaines

(*) Associé au C.N.R.S.

REVUE DE PHYSIQUE APPLIQUÉE. - T. 13, No 10, OCTOBRE 1978

de fois celle d’une huile), ce qui assure l’absenced’échauffements locaux excessifs des pièces lubrifiées,ainsi que de grippages dus à ces échauffements ;il en résulte une usure notablement moindre dessurfaces portantes. Ces liquides se distinguent deplus par une tension de vapeur faible (à l’exceptiondu mercure) et une grande stabilité thermique.Néanmoins, un métal liquide a, en tant que lubri-

fiant, deux défauts :- une viscosité cinématique faible, de l’ordre

de 10-’ à 10-6 m2/s (par exemple, on trouve 0,5 à0,6 x 10-6 m2/s pour le sodium à 100 OC et20 x 10-6 m2/s pour une huile). Le régime de tran-sition est donc atteint pour des vitesses modérées

(quelques centaines de tr/min.) et le couple de frotte-ment sur l’arbre devient important- une viscosité dynamique faible (10-3 à

2 x 10-3 Pl), ce qui correspond à une charge admis-sible faible.

L’utilisation de systèmes lubrifiés par métal liquideest donc limitée.Pour remédier à ces inconvénients, on peut créer,

dans le film, des forces volumiques, en l’occurrence,puisque le métal liquide est conducteur, des forcesélectromagnétiques qui aident les forces de viscosité ;on obtient ainsi des paliers lubrifiés par voie magnéto-hydrodynamique.

34

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/rphysap:019780013010051300

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Les premiers travaux consacrés à l’analyse de cessystèmes ont été publiés en 1962. Depuis, on comptede très nombreux articles consacrés à ce thème, laplupart présentant un caractère strictement théorique.Au vu de ces études, il apparaît que, par rapport àla lubrification hydrodynamique, on peut obtenirtoute une série d’avantages dont, en premier lieu,une force portante supérieure. C’est ainsi que, sousl’action des forces électromagnétiques, on peut assurerla circulation du métal liquide à travers le systèmeafin d’améliorer les conditions de refroidissementdes pièces et de prévenir les échaufi’ements locaux

excessifs ; la nécessité de réaliser un système spéciald’alimentation disparaît alors. De même, un fonc-tionnement hydrostatique est possible, sous l’actiondes seules forces électromagnétiques. Les insuffisancesprincipales de la lubrification M.H.D., s’opposant àson utilisation pratique, sont liées à la structure del’inducteur, responsable du champ magnétique; eneffets, il convient de créer des champs magnétiquesimportants garantissant dans la veine des nombresde Hartmann élevés, avec de faibles dimensions dudispositif engendrant le champ.Le palier M.H.D. à champ tournant, objet de l’ar-

ticle, est un palier lubrifié par un métal liquide soumisà un champ magnétique tournant extérieur. Le

champ électromoteur, responsable des courants

induits, a donc pour origine aussi bien le mouvementdu liquide par rapport au champ que la variationlocale de ce dernier dans le temps. On proposed’abord une formulation théorique du phénomèned’écoulement en supposant notamment négligeablesl’action des forces d’inertie et les fluctuations de lavitesse dues aux forces électromagnétiques pulsantes.Après avoir étudié les variations de la résultante desforces de pression et du couple de frottement surl’arbre pour diverses valeurs de l’induction tournante,on décrit enfin une étude expérimentale sur maquette,permettant ainsi de tester la théorie proposée.

2. Etude théorique. - 2.1 HYPOTHÈSES SIMPLIFI-CATRICES. - On considère, tout au long de cette

étude, un palier cylindrique (Fig. 1) dont l’arbre estanimé d’une vitesse angulaire constante Q et dontla veine liquide, de géométrie définie par a (épaisseur. moyenne, palier centré), r (rayon de l’arbre ; alr « 1),1 (largeur de la veine ; a/l 1) et e (excentricité),est soumise, de la part du milieu extérieur, à un champmagnétique radial, bipolaire, à topographie sinu-soïdale et tournant à la vitesse angulaire Q de l’arbre.On suppose de plus que :- le coussinet et l’arbre sont indéformables (a, r, 1

sont constants) ;- le palier est aligné ;- les parois de la veine sont lisses et non électro-

conductrices ;- le lubrifiant est un métal liquide, qui sera

considéré comme un fluide bon conducteur de la

chaleur, newtonien, incompressible et mouillant. De

FIG. 1. - Schéma général du palier.[Schematic representation of the bearing.]

nombreuses mesures physiques du profil de la vitesse,au voisinage de la paroi (jusqu’à 5 x 10-5 m) ontpermis d’établir la confirmation indirecte de cette

dernière hypothèse. Celle-ci est admise actuellement,même pour le mercure, d’après C. Fediaevski, I. Voit-kounski, Y. Faddeev [17]. On désignera respective-ment par p et 17 la masse volumique et la viscositédynamique du lubrifiant, supposé non polarisable,électroconducteur et où l’efi’et Hall est négligeable.Sa perméabilité magnétique p et sa permittivitédiélectrique 8 sont donc celles du vide (03BC = 03BC0,8 = 80) et sa conductivité électrique Q est un scalaire ;p, 17 et 6 sont supposés constants ;- il n’y a pas de fuite latérale du lubrifiant (pré-

sence de joints d’étanchéité), et on néglige les phéno-mènes de cavitation ;- le champ magnétique extérieur, créé par un

inducteur, est indépendant de la coordonnée caractéri-sant la largeur du palier (les effets d’extrémités sontnégligés) et le nombre de Reynolds magnétiqueRm = po (JarD est de valeur très faible devant l’unité :en tous points de la veine, l’induction magnétique seconfond avec celle, Bex, due à l’inducteur seul ;- le fonctionnement du palier est supposé stable :

l’axe Z’Z de l’arbre conserve une position fixe dansle temps par rapport au coussinet. L’étude sera

limitée aux faibles valeurs du nombre de Reynolds

modifié Ré de l’écoulement Ré = 03C1 ~ 03A9a2) - cequi, dans le cas de la lubrification hydrodynamique(B ex = 0) correspond à un régime d’écoulementlaminaire non tourbillonnaire [18] - ainsi qu’auxfaibles fluctuations de vitesse dues aux forces électro-

magnétiques.

515

2.2 FORMULATION DU PROBLÈME. - On raisonnedans un référentiel galiléen lié au coussinet.

Le champ de vitesse v, le champ électrique E,la densité de courant j et la pression motrice p, définiepar

grad p = grad p + pg,

où p est la pression et g le champ de gravitation,vérifient, dans le cadre des approximations issuesdes hypothèses précédemment énoncées, les

équations :

Les coordonnées les mieux adaptées sont les coor-données cylindriques : un point M de la veine liquideest repéré par le triplet (r + y, 0, z) ou, puisqueest constant, par (y, 0, z).

1

Les surfaces (0 = Cte) et (z = Cte) sont des plansrespectivement contenant et perpendiculaires àl’axe Z’Z de l’arbre. On choisit pour plan (03B8 = 0)et (z = 0) les plans (0 = Cte) coupant la veine enson épaisseur minimale, et (z = Cte) coupant le

palier en son milieu ; la surface (y = 0) est la surfacede l’arbre.On note respectivement (Fig. 2) X’X l’intersection

du plan (0 = 0) avec le plan (z = 0) et Y’Y un axetel que le trièdre (X’X, Y’Y, Z’Z) soit orthonormédirect.

FIG. 2. - Vue en coupe du palier.[Cross-section of the bearing.]

Compte tenu de la faible valeur du rapport a , onpeut admettre que l’induction Bex ne varie pas, dansla veine, suivant y et poser

Bexy = Bo 2 cos (Qt - 0) ; Bex03B8 = Bexz = 0

où la valeur de Bo est liée au courant électriquecirculant dans l’inducteur.

Enfin, les effets d’extrémités, tant hydrauliquesqu’électriques, étant négligés, on peut écrire qu’enrégime établi

2. 2.1 Equations de l’écoulement. - Les composantes de la force électromagnétique j x B s’exerçant surchaque particule fluide sont .

soit, en tenant compte des expressions de j03B8 et jz données par la loi d’Ohm (3)

L’équation de Navier-Stokes (2) conduit alors au système

516

Soient V: et Ye des variations caractéristiques des composantes vy et Vo de la vitesse suivant les directionsrespectives de y et de 0. Choisissant a comme longueur caractéristique suivant l’épaisseur de la veine et définis-sant la variable réduite

l’équation de continuité (1) s’écrit

La composante radiale (j x ex)y de la force électromagnétique étant nulle, on remarque alors que l’existenced’une composante radiale vy de la vitesse tout comme le fait que 0 est argument de vo, sont dus à la seule excentri-cité du palier. De l’expression précédente et de la petitesse du rapport air on déduit

Aux fortes excentricités, seul cas étudié ici, on peut choisir (cf. les théories de la lubrification hydrodynamique)

et par suite

Désignons alors par 9* une grandeur caractéristique des fluctuations de la vitesse et par t* un temps caracté-ristique de la période de ces fluctuations. Définissons les grandeurs réduites.

Les équations (6) à (8) s’écrivent sous forme réduite

517

soit, à 0(alr) près

où

sont respectivement le nombre de Reynolds modifié et le nombre de Hartmann de l’écoulement. On peut évaluer t*à 1/03A9 au voisinage du coussinet ; par contre t* ~ + ao près de la paroi de l’arbre où le liquide tourne au syn-chronisme avec le champ. En tout état de cause, 1/03A9t* est, au plus de l’ordre de l’unité. Comme par hypothèse

les équations permettant la détermination du champ de vitesse et de pression prennent les formes simplifiées

oû p ne dépend que des variables 0, z et i. L’écoulement est donc caractérisé par le seul nombre de Hartmann.De l’équation de Maxwell-Faraday (5), on déduit les équations aux dérivées partielles

puisque E ne dépend pas de z ; par suite, à 0(alr) près

où

puisque

Le courant iz traversant une section droite (section perpendiculaire à Z’Z) de la veine a pour expression

Par hypothèse, i2 ne dépend pas de z (et le choix de cette section droite est arbitraire), et sa valeur est nulle.Par suite et tenant compte de la loi d’Ohm

518

Le palier étant sans fuite, le débit-volume q,

ne dépend que du temps et la deuxième intégrale de l’expression (12) est nulle. On a donc

soit, compte tenu de (11)

et, par suite

On obtient finalement

ou, sous forme réduite

L’équation (9) devient alors

2.2.2 Conditions aux limites. - Le coussinetet le tourillon étant indéformables et de surfaceà génératrices parallèles, la géométrie de la veineest parfaitement déterminée par la seule donnéede l’épaisseur h( 0).

Pour obtenir son expression, il suffit de considérer

(Fig. 2) le triangle 00’A pour lequel une relationclassique donne

soit à 0 a 2 près

en définissant l’excentricité relative 8 = - .a

En posant

les conditions d’adhérence s’écrivent alors :

2.2.3 Grandeurs globales. - Les grandeurs glo-bales, caractéristiques d’un palier, sont, pour l’essen-tiel, sa force portante F, égale et opposée à la chargeexercée par l’extérieur sur l’arbre, et le couple defrottement C exercé par le lubrifiant sur l’arbre.

Les composantes de F suivant les trois axes X’X,YY’ et ZZ’ ont pour expressions

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soit, en tenant compte de l’expression proposéepour Bexy

Après une intégration par parties et en utilisantla pression motrice réduite p, ces expressions devien-nent, puisque p,e ne dépend pas de z, sous formeréduite

en posant

On définit le couple de frottement par

soit, sous forme réduite

2.3 DÉTERMINATION DES GRANDEURS GLOBALES. -

Toutes ces grandeurs se calculent à partir du couple(v03B8, 03B8), dont la détermination exige l’intégration,compte tenu des conditions aux limites énoncées

précédemment, de l’équation aux dérivées par-tielles (14). Cette intégration s’avère particulièrementdifficile du fait que, a priori, ve et P dépendent nonseulement de 0, de 00FF (pour v03B8) et de z (pour p), maisaussi du temps.Le problème se simplifie si l’on remarque que le

fonctionnement du palier est stable, pour une chargedonnée, tant que F reste, au cours du temps, à peuprès constant, autrement dit, tant que Fx et Fy prennentdes valeurs voisines de leurs moyennes temporelles FX > et Fy) effectuées sur une période 2 03C0/03A9.

Utilisant l’expression de ,03B8 fournie par l’équa-tion (14), on constate, conformément à nos hypo-thèses, qu’il faut pour cela que le champ des vitessessubisse de la part de la force électromagnétiquepulsante, des fluctuations d’amplitude faible devant vo >, le degré d’approximation étant le même dansl’assimilation de ix (ou Fy) à ( FX > (ou Fx >) quedans celle de ve à v03B8 >.En désignant par

la fluctuation de la vitesse vo, cette dernière s’écrit

et l’équation (14) devient, après avoir pris la moyenne temporelle de chaque terme

soit à O(*/r03A9) près

Comme ( > ne dépend pas de 00FF, l’intégration, par rapport à cette variable, compte tenu des conditionsd’adhérence énoncées en 2.2.2 conduit pour ( Fo ) à l’expression

Une deuxième intégration par rapport à y permet de calculer le débit réduit q,

520

On en déduit

en posant

Intégrons (19) par rapport à 0 sur l’intervalle [0, 2 03C0] ; il vient

avec

On en tire

On obtient ainsi les expressions

après avoir noté

Fi(0) et F2(0) sont des fonctions paires et périodiques (période 2 03C0) de 0. On en déduit que les intégrales X’1et X2, et, par suite, la composante Fx, sont nulles ; la force de pression F est donc orientée suivant Y’ Y (Fig. 3).

FIG. 3. - Répartition des forces de pression : dF force élémentaire ;F force résultante.

[Distribution of the pressure forces : dF, elementary force; Fresulting force.]

521

Dérivant par rapport à y l’expression ( 18) de v03B8 >, on obtient

soit, compte tenu de la relation (18)

Le couple réduit C devient alors, d’après (17)

où

en posant

Les figures 4, 5a et Sb représentent respectivementles évolutions (d’après traitement numérique sur

ordinateur) de l’accroissement

en fonction de 0, pour diverses valeurs de M02 et

pour une excentricité relative de 0,8 et des rapports

pour différentes valeurs de M20 et de e.Nous constatons que l’effet M.H.D. améliore la

répartition de la pression dans la veine liquide.

FIG. 4. - Accroissement des pressions moyennes en fonction del’angle polaire.

[Increase of the mean pressures as a function of the polar angle.]

Fie. 5. - Variations du rapport (a), du rapport (b)

et du coefficient de transfert ~t (c), en fonction du carré du nombrede Hartmann et pour plusieurs valeurs de l’excentricité e.

Variations of the ratio FY [FX]Mo=0 a , of the ratio C [C]Mo=0 (b),

and of the transfert coefficient - (c) as a function of the Hartmannnumber squared, for various excentricity s values.]

522

Nous remarquons également la faible influencedes expressions hyperboliques en M0 sur la force

portante F et sur le couple C. Il est possible d’ad-mettre, en première approximation, que les varia-tions de Fy et C sont proportionnelles au carré dunombre de Hartmann. La figure 5b montre qu’ilexiste une valeur frontière de l’excentricité relative e,

comprise entre 0,8 et 0,9 pour laquelle le coupleréduit C diminue lorsque Mo croît.

2.4 COEFFICIENT DE TRANSFERT. - L’introductionde la notion de rendement du palier M.H.D. étudiépose un problème délicat, car la puissance électriquequi lui est fournie est, finalement, entièrement conver-tie en pertes. Ces dernières n’ont d’ailleurs qu’uneimportance relative devant la puissance absorbée

par la machine qui utilise de tels paliers.On a été ainsi amené à introduire [20] un coefficient

de transfert qJt homogène à l’inverse d’une vitesse,et défini par

ou, compte tenu des résultats du paragraphe précédent

L’effet M.H.D. est d’autant plus efficace que qJtest plus grand. Nous avons représenté, sur la figure 5c,les variations, en fonction de M5 et de e, du rapport.

On constate que - croît avec Mo mais décroît,pour une valeur de Mo donnée, lorsque 8 croît,c’est-à-dire quand la charge des paliers augmente.

2.5 DOMAINE DE VALIDITÉ. - L’intégration de

l’équation (14), non moyennée dans le temps, comptetenu des conditions d’adhérence, conduit à l’ex- , pression suivante de la vitesse

avec

Il faut remarquer que les intégrales h et 12 n’ad-mettent pas une solution analytique ; aussi avons-nous procédé à une intégration numérique sur

ordinateur.Les figures 6a à 6d donnent un exemple de la varia-

tion de v. en fonction de l’angle polaire Qt pour 0 = 0_ h(O)

et y = 2.On constate, d’après l’allure des courbes, que

pour des valeurs du nombre de Hartmann n’excédant

pas 3 2, l’amplitude de la fluctuation de la vitessene dépasse pas 10 % de la valeur moyenne io ).De plus, des calculs numériques sur ordinateuront montré que, pour

les fonctions

sont des fonctions paires de 0, périodiques (depériode 2 03C0) et à valeurs pratiquement indépendantesde Qt, avec une précision supérieure à 6 % pourF’1(03B8) et 0,04 % pour F2’(03B8). On en déduit alors, enreprenant un raisonnement fait auparavant, que lesintégrales

523

FIG. 6. - Vitesse vo, en fonction de Qt, pour différentes valeurs del’excentricité e : a) Mo = 1,41, y = 0,5 )Î, 0 = 0 ; b) Mo = 2,83,y = 0,5 h, 0 = 0; c) M0= 4,24, y = 0,5 h, 0 = 0; d) Mo = 5,66,

y = 0,5 h, 03B8 = 0.

[Velocity ve, versus Qt, for different values of the excentricity e :a) ’Mo = 1.41, y = 0.5 h, 6 = 0 ; b) Mo = 2.83, y = 0.5 h,03B8 = 0 ; c) M0 = 4.24, y = 0.5 h, 03B8 = 0 ; d) Mo = 5.66, y = 0.5 h,

03B8 = 0.]

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FIG. 7. - Vitesse ve, en fonction de y, pour différentes valeurs de 0 :a) M0 = 0,00, 03A9t = 0, 03B5 = 0,8 ; b) M0 = 1,41, 03A9t = 0, 03B5 = 0,8;c) Mo = 4,24, Qt = 0, e = 0,8 ; d) Mo = 5,66, Qt = 0, e = 0,8.

[Velocity v03B8, versuft y, for different values of : a) Mo = 0.00, Qt = 0,e = 0.8; b) Mo = 1.41, Qt = 0, G = 0.8 ; c) Mo = 4.24, Qt = 0,

03B5 = 0.8; d) Mo = 5.66, 03A9t = 0, 03B5 = 0.8.]

525

et par suite

(q’v : débit réduit, fonction de t seul)considérées maintenant comme fonctions du temps,ont des valeurs nulles et que, pour une charge exté-rieure de direction donnée Y’Y, le palier aura uneposition stable définie par l’axe perpendiculaire X’X.On a représenté, à titre indicatif, les profils de

vitesse (Figs. 7 à 7d) aux instants 2 k03C0/03A9 (k entier)dans différentes sections de la veine, pour différentesvaleurs de Mo et pour une excentricité relative de 0,8.Sur la figure 8, on a tracé l’enveloppe des variationsde pression [(03B8, z, t) - p(0, z, t)] en fonction de 0pour M20 = 2 et e = 0,8.

Si on remarque que, pour un métal liquide, le

rapport 03C3/~ est de l’ordre de 109 S.I., et que, dansun palier, a vaut au plus quelque 0,1 mm, le nombrede Hartmann correspondant vaut Mo = 1003BC0 Ho.

Excepté dans le cas d’un inducteur supraconducteur,il est difficile d’obtenir dans la veine des inductions

po Ho supérieures à 1 T ; aussi les valeurs pratiquesdu nombre de Hartmann sont-elles comprises dansl’intervalle [0, 3 J2 = 4,2] défini précédemment,justifiant encore le bien fondé de l’hypothèse sur lesfaibles fluctuations de la vitesse.

3. Etude expérimentale. - Nous avons conçu,au Laboratoire une maquette permettant de testerla théorie proposée. Plusieurs possibilités s’offrenta priori pour cette vérification :

a) Mesure du coefficient de frottement.b) Mesure de l’excentricité relative.

c) Mesure de la résultante des forces de pression.d) Détermination de la répartition des pressions.Des mesures des types a, b, c, classiques en hydro-

dynamique, sont rendues impossibles ici à cause

de la présence des joints d’étanchéité ; ceux-ci exercenten effet sur l’arbre une force dont nous ne connais-sons ni la direction, ni le module. Le couple de frotte-

FIG. 8. - Courbes, enveloppes, en fonction de 0, des variations depressions instantanées.

[Enveloppe curves, versus 9, of the instantaneous pressurevariations.]

ment exercé est également inconnu. Signalons simple-ment que cette force et ce couple sont notammentfonctions de la température et de la vitesse de rotationde l’arbre. On a donc mesuré les pressions et comparéla répartition correspondante avec celle, théorique,obtenue en traçant la courbe

en fonction de 0.

3.1 RÉALISATION DE LA MAQUETTE ET DISPOSITIF

DE MESURE (Figs. 9 à 12). - Le système inducteur (A),composé d’une carcasse bipolaire en acier doux estdu type inducteur tournant de machine synchrone ;il est solidaire de l’arbre, qui est maintenu par deuxflasques à roulements à billes (B) et a les caractéris-tiques suivantes :- diamètre extérieur = 101,72 ± 0,002 5 mm- longueur totale = 270,7 ± 0,025 mm- longueur utile = 138,2 + 0,025 mm.

Les bobinages, responsables de la force magnéto-motrice, sont réalisés sur les pôles et reliés aux deuxbagues collectrices montées sur l’une des extrémitéade l’arbre et immobilisées en rotation et en trans-

lation.L’ensemble est noyé dans la résine époxyde et

gainé par un fourreau d’aluminium anodisé dur,dont l’épaisseur est 1,86 ± 0,1 mm. Cette gaine,en métal amagnétique anodisé, présente ainsi les

caractéristiques nécessaires :- d’isolation électrique entre l’arbre et la veine

liquide- de dureté superficielle pour le frottement des

joints d’étanchéité (F) des flasques latéraux.L’arbre est entraîné par une machine à courant

continu dont la vitesse est réglable de 0 à 2 000 tr/min.Le coussinet (G) est constitué par un tube en acier

doux dont l’alésage est recouvert de résine époxydeassurant son isolation électrique par rapport à la

veine de métal liquide. Il a les caractéristiques sui-vantes :

- diamètre extérieur =151,9 ± 0,025 mm- diamètre intérieur

(résine comprise) = 102,29 ± 0,002 5 mm- longueur = 138,2 ± 0,025 mm- épaisseur de la

résine époxyde = 0,5 ± 0,05 mm

Le dispositif manométrique (J) est composé dequatorze tubes de verre dont deux servent à purgerl’air de la veine liquide. Ces tubes sont reliés par undispositif élastique aux douze prises de pression (H)

526

FIG. 9. - Organes du palier M.H.D.[Components of the M.H.D. bearing.]

FIG. 10. - Dispositif de mesure des pressions.[Device for pressure measurements.]

équidistantes, en acier inoxydable (Figs. 9 et 10) ;elles sont réparties sur la périphérie de la zone centraledu coussinet pour éviter les perturbations dues auxeffets de bords. -

La dimension et la forme des trous de communi-cation des prises de pression avec la veine liquidea été choisie de manière à éviter le plus possible les

FIG. 1 l. - Vue en coupe de la maquette.[Cross-section of the model.]

erreurs de mesure dues à leur influence sur l’écoulementdu liquide.En prenant pour base les différentes études et

essais traitant de ce sujet [21], il a été retenu un dia-

mètre de 1 mm pour les orifices de communication.Il apparaît que cette dimension n’introduit pasd’erreur supérieure à 3 % sur la valeur de la pression.La dénivellation du métal liquide dans chaque tubedétermine la répartition de la pression en fonction

527

FIG. 12. - Vue d’ensemble du dispositif expérimental.[General view of the experimental device.]

de l’angle géométrique, comme il est indiqué sur lafigure 10.

Les flasques latéraux assurant l’étanchéité de laveine liquide et le positionnement de l’arbre sont enalliage amagnétique, afin de ne pas introduire de

perturbation du champ magnétique aux extrémitésdu palier.

Ces deux flasques possèdent un dispositif de

réglage de l’excentricité de l’arbre par rapport aucoussinet et un dispositif de contrôle de ce réglage.Le réglage peut se faire selon l’axe horizontal

(axe Y) et selon l’axe vertical (axe X), ceci afin derattraper les défauts géométriques de fabrication etd’assemblage du palier magnétohydrodynamique. Lapartie de chaque flasque en contact avec la veineconductrice est recouverte d’une peinture époxydequi assure son isolation thermique. De plus, la veineest rendue étanche par l’insertion d’un joint toriquedynamique en caoutchouc entre l’arbre et le flasqueet d’un joint statique entre le coussinet et le flasque.Pour des raisons de facilité de mise en oeuvre,

le mercure très pur a été choisi comme métal liquidelubrifiant (mercure R.P. No 25 358 29 Prolabo).Les caractéristiques physiques du mercure, pour latempérature d’essai ta de 19,5 OC sont respectivement :- la masse volumique (formule de Chappuis)

- la viscosité dynamique (formule de Lacas)

~19,5 = 1,558 x 10-3 P1

- la conductivité (formule de Jaeger et Steinwehr)

3.1.1 Etalonnage en régime hydrodynamique. -Pour des raisons de facilité de mise en oeuvre, nousavons utilisé de l’eau additionnée de Teepol, afin degraisser les joints dynamiques d’étanchéité. Cet étalon-nage a permis de vérifier le bon fonctionnement denotre dispositif; en effet :

- il n’y a pas d’effet d’extrémité visible,- les variations de pression dues aux défauts

géométriques sont négligeables,- les essais confirment la validité de la théorie

proposée pour le palier en régime hydrodynamique.3.1.2 Vitesse critique de transition. - La théorie

proposée suppose que le nombre de Reynolds modifiéRé prend des valeurs négligeables devant l’unité,ce qui signifie, en régime hydrodynamique, quel’écoulement est laminaire, non tourbillonnaire.Des mesures ont été effectuées afin de déterminer

la vitesse critique caractérisant le début du régimetourbillonnaire en hydrodynamique.A différentes vitesses et pour une excentricité

relative de 0,8, les relevés des distributions de pressions

528

réduites se superposent (aux erreurs de mesure près)jusqu’à une vitesse évaluée à 52 tr/min., ce qui cor-respond à une vitesse linéaire de l’arbre de 0,28 ms-1et à un nombre de Taylor

La hauteur de dénivellation maximale dans les tubesde mesure est alors de 30 mm, ce qui correspond surl’écran à une hauteur de 42 cm. Au-delà de cette

vitesse, les pressions réduites croissent systématique-ment. On interprète ce fait en supposant l’apparitionde tourbillons de Taylor à partir d’une rotation de52 tr/min., ce qui est cohérent avec les travaux deJ. Frene [18] ; en effet, pour e = 0,8, la transitionest prévue pour T ~ 50.

3.2 RELEVÉS EXPÉRIMENTAUX. - Les différents

résultats d’essais, effectués avec le mercure, sont

portés sur les figures 13 à 17. Chaque point expéri-mental représente la moyenne des mesures faites

sur une dizaine d’essais avec l’excentricité relative echoisie et une vitesse de rotation de l’arbre imposée.Comme les mesures sont très délicates à exécuter,

on a, pour chaque expérimentation, relevé l’accroisse-ment de pression en régime hydrodynamique et enrégime magnétohydrodynamique, ce qui correspondtoujours à un effet différentiel significatif.

529

FIG. 17.

REVUE DE PHYSIQUE APPLIQUÉE. -- T. I3, N" 10, OCTOBRE 1978

A chaque essai M.H.D., la valeur de l’inductiondans la veine est relevée à l’aide d’une sonde à effet

Hall. La détermination de la valeur efficace du fonda-

mental permet ensuite le calcul du nombre de Hart-mann correspondant à l’essai ; rappelons que, les

calculs théoriques ont été effectués en supposant une

répartition sinusoïdale de l’induction dans la veine.

3.3 DISCUSSION DES RÉSULTATS. - On constate,

pour le fonctionnement du palier à des vitesses

correspondant, en hydrodynamique, au régime lami-naire non tourbillonnaire, une superposition des

distributions de pressions réduites et une différencepar défaut entre les courbes expérimentales et théo-riques.

Ces écarts peuvent s’expliquer par :

- les erreurs de mesures dues à la capillarité dumétal liquide- l’incertitude sur l’excentricité relative

- la forme simplifiée de la répartition du champmagnétique employé pour le calcul de M.- le fait d’avoir négligé l’accélération convective :

Ré est ici de l’ordre de quelques unités (Ri = 3,8pour r03A9 = 2,8 ms-1) et donc non négligeable devantl’unité.

Il est intéressant de noter que le défaut par rapportà la théorie se présente en régime hydrodynamiqueainsi qu’en régime magnétohydrodynamique, ce quiamène à penser que la dernière explication est pro-bablement la bonne. L’écart relatif, plus importanten M.H.D., s’interprète en remarquant qu’apparaît

alors en plus l’influence du terme av q ui est, parrapport au terme 1-v,,,,, de l’ordre de R * * r03A9, C est-à-

. dire de quelques dizaines.Les résultats concernant la mesure de la répartition

de l’induction dans la veine sont représentés sur lafigure 18. On constate la présence d’un certain nombred’harmoniques et d’une composante homopolaire,due à l’excentricité du palier. Négligeant cette compo-sante homopolaire, on a calculé le nombre de Hart-mann à partir de la valeur efficace de la composantepulsatoire du champ et on a recherché, à l’aide del’ordinateur, la nouvelle répartition de pression.

FIGS. 13, 14, 15, 16, 17. - Variations de pression, en fonction de’ 0, pour différentes vitesses de rotation, avec

Figures 13 et 14 Mo = 1,09Figures 15 et 16 Mo = 1,47Figure 17 Mo = 2,98

[Pressure variations, versus 0, for different speeds of rotation,with :

Figures 13 and 14 Mo = 1.09Figures 15 and 16 Mo = 1.47Figure 17 Mo = 2.98]

35

530

FIG. 18. - Répartition de l’induction magnétique dans la veine

liquide.[Distribution of the magnetic flux density in the liquid channel.]

Ces résultats permettent de conclure que l’influencedes harmoniques majore les calculs théoriques commeindiqué ci-dessous.

Influence des harmoniques de l’inductionmagnétique dans les zones d’écarts de :

Régime pression maximale pression minimale

M.H.D. 3 % 1 à 6 %

La prise en compte des harmoniques augmentedonc les écarts entre les courbes théoriques et expéri-mentales.

Toutefois, on peut déduire des relevés expérimen-taux que l’accroissement dû à l’effet M.H.D. est assezbien décrit par la théorie proposée. On constate

par ailleurs que, pour des vitesses correspondantau début du régime tourbillonnaire en hydrodyna-

mique, les résultats expérimentaux sont assez prochesdes courbes théoriques.

Indiquons pour conclure qu’il aurait été intéressantd’étudier expérimentalement les phénomènes lorsque,pour une excentricité donnée :- le nombre de Hartmann croît, la vitesse étant

maintenue constante- la vitesse croît, le nombre de Hartmann restant

constant.

La structure même de la maquette, limitant Mo à 4,interdit toute recherche dans la première voie. Onpeut toutefois constater, sur la figure 7, que l’écou-lement tend à s’effectuer alors en filets quasi-parallèles,les profils des vitesses ne traversant plus de zonenégative. Ce résultat suppose que l’on a toujours desfluctuations faibles de la vitesse, ce qui n’est pasnécessairement le cas. Une discussion plus complètedevrait faire intervenir le paramètre d’interactionN = M20/R*e [22].Une étude préliminaire dans la deuxième direction

a donné lieu à des observations curieuses. Tant quela vitesse reste inférieure à la vitesse critique Dede l’écoulement hydrodynamique d’apparition destourbillons de Taylor, on observe (Figs. 13a, 15aet 17a) qu’il y a superposition des répartitions depression respectives en H.D. et en M.H.D. Dès quela vitesse dépasse le seuil 03A9c, il y a alors décollementde ces répartitions vers le haut (Figs. 14, 16 et 17b)aussi bien en H.D. qu’en M.H.D. On interprète cefait en supposant que le champ, pulsant au pointde vue du métal liquide, ne lamine pas l’écoulementau sens strict, c’est-à-dire sans apparition de tour-billons. Il semblerait qu’il existe en M.H.D., dans cecas précis, un régime secondaire dont la vitesse detransition serait la même qu’en hydrodynamique.

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