etude expérimentale et théorique de la répartition des tensions dans
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Research Collection
Doctoral Thesis
Etude expérimentale et théorique de la répartition des tensionsdans les poutres encastrées
Author(s): Robert, Marcel
Publication Date: 1943
Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-000092426
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Etude expérimentale et théorique
de la répartition des tensions dans
les poutres encastrées
THÈSE
PRÉSENTÉE
A L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE, ZURICH
POUR
L'OBTENTION DU GRADE DE DOCTEUR
ES SCIENCES TECHNIQUES
PAR
MARCEL ROBERT
Ingénieur diplômé E. P. F.
de Neuchâtel et Fribourg
Rapporteur: M. le prof. Dr. H. Favre
Corapporteur: M. le prof. Dr. M. Ritter
ZURICH 1943
S.A. Leemann frères & Co., Stockerstr. 64
Paraît comme No. 1 des
« Publications du Laboratoire de photoélasticité de la Chaire de
Mécanique en langue française de l'Ecole polytechnique fédérale »
M. le Prof. Dr. H. Favre
Edition S. A. Leemann frères & Co., Zurich
A MES PARENTS
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Table des matières
Page
Introduction 7
CHAPITRE I
Méthode de mesure et appareils
1. Rappel des principes de la méthode purement optique de détermi¬
nation des tensions intérieures 8
2. Description des appareils 12
CHAPITRE II
Etude de trois modèles en verre de poutres encastrées sollicitées
à la flexion
1. Description des modèles 19
2. Etats de charge — Application des forces — Appui des massifs —
Diaphragmes et choix des points de détermination des tensions. 20
3. Mesures, calculs, épures 24
4. Discussion des résultats 25
CHAPITRE III
La poutre parfaitement encastrée à goussets rectilignes symétriques.Calcul de la poussée horizontale
1. Introduction 33
2. Théorie classique 34
3. Calcul de la poussée horizontale pour des charges isolées symétriques 42
4. Equations de la ligne d'influence de la poussée horizontale...
53
5. Calcul de la poussée horizontale pour une charge uniformément répartie 59
6. Diagrammes donnant l'ordonnée maximum mM de la ligne d'influence
de la poussée horizontale 64
7. Extension de la théorie au cas d'un encastrement élastique ... 67
CHAPITRE IV
Mesures complémentaires avec poutres de plexiglas
1. Nécessité des mesures complémentaires 72
2. Caractéristiques du plexiglas 73
3. Description des modèles 75
— 6 —
Page
4. Etats de charge — Application des forces — Réalisation de l'encastre¬
ment — Diaphragmes 76
5. Mesures, calculs, épures 79
6. Discussion des résultats relatifs aux poutres encastrées à axe rectiligneou brisé 80
7. Discussion des résultats relatifs aux poutres encastrées à axe curviligne 91
8. Influence du coefficient de Poisson sur la poussée horizontale. . 97
CHAPITRE V
Conclusions 98
Bibliographie 100
ANNEXE
Tableaux et planches 103
Introduction
Les poutres encastrées à goussets *) constituent un élément
de construction particulièrement répandu dans le domaine du bé¬
ton armé. Les goussets sont le plus souvent nécessaires pour ab¬
sorber les moments de flexion à l'encastrement; ils ont d'autre
part une influence très favorable sur le moment de flexion au mi¬
lieu, qu'ils réduisent souvent de 30 <y0 et plus.Par l'adjonction des goussets, la poutre n'a plus un axe rec-
tiligne et se rapproche d'une voûte encastrée. Une poussée hori¬
zontale se développera chaque fois que les massifs d'encastre¬
ment seront assez rigides pour l'absorber.
La présente étude, due à l'initiative de M. le .Prof. Favre,
a pour but de calculer et de mesurer la valeur de cette pousséehorizontale et d'apprécier son influence sur la répartition généraledes tensions. Les mesures ont été effectuées au Laboratoire de
photo-élasticité annexé à la Chaire de Mécanique en langue fran¬
çaise de l'Ecole polytechnique fédérale2).
Après un rappel des principes de la Méthode purement op¬
tique de détermination des tensions intérieures et des appareilsutilisés (chap. I), nous donnons le résultat de notre étude sur trois
profils de poutres encastrées (chap. II). Nous développons ensuite
les formules permettant de calculer la poussée horizontale dans
le cas de goussets rectilignes symétriques (chap. III), indiquonscomment l'expérience les vérifie (chap. IV) et concluons (chap. V).
Nous sommes profondément reconnaissants à M. le Prof.
Favre du bienveillant intérêt qu'il a constamment témoigné à cette
étude et des nombreux conseils qu'il nous a donnés. Nous remer¬
cions également M. le Prof. Ritter, dont les avis nous ont été très
précieux.
x) Nous désignons par gousset le renforcement de la poutre au voisi¬
nage de l'encastrement. Le mot de voûte, utilisé parfois dans ce sens, prêteà confusion.
2) Fondé en 1927, ce Laboratoire a été dirigé, jusqu'au 30 septembre
1940, par M. le Prof. Dr. F. Tank.
CHAPITRE I
Méthode de mesure et appareils
1. Rappel des principes de la méthode purement optiquede détermination des tensions intérieures
Créée et mise au point en 1927 par H. Favre [l]1), la Mé¬
thode purement optique de détermination des tensions intérieures
est exposée dans sa thèse soutenue en 1928 à l'Ecole polytech¬
nique fédéraJe de Zurich [2]. Elle a été appliquée depuis à la
résolution de divers problèmes d'élasticité plane ([3], [4], [5],[7], [8] et [9]). C'est cette méthode que nous avons utilisée pour
notre étude.
Nous en rappellerons brièvement les principes.
En élasticité à deux dimensions, l'état de sollicitation inté¬
rieur est caractérisé en chaque point par trois grandeurs: 1° la
direction des tensions principales, c'est-à-dire l'angle a que fait
l'une d'elles, o1 par exemple, avec une direction fixe choisie ar¬
bitrairement (a2 étant perpendiculaire à ax) ; 2° la valeur de ces
tensions.
La Méthode purement optique permet de déterminer, en un
point quelconque d'un modèle transparent isotrope à faces pa¬
rallèles, les trois inconnues a, a1 et a., sans qu'il soit nécessaire
pour cela d'entrer en contact avec le modèle.
On effectue en ce point, à l'aide d'un faisceau de lumière
monochromatique2) polarisé rectilignement, les quatre mesures
optiques suivantes:
!) Les chiffres placés entre crochets dans le texte se rapportent à la
bibliographie reportée à la fin de cette étude.
2) On utilise la raie verte du spectre du mercure (2=5461 A). Au
moment où il traverse le modèle, le faisceau a un diamètre de 0,5 mm.
— 9 —
1° Détermination, entre deux niçois croisés, de Vazimut d'ex¬
tinction a. fixant les directions 1 et 2 des tensions principales
a1 et a2.
2° Le modèle, soumis à l'action des forces extérieures, est
placé entre niçois croisés, les directions 1 et 2 des tensions princi¬
pales au point considéré faisant des angles de ^ 45 ° avec les
sections principales des niçois. Au moyen d'un compensateur de
Bravais (appelé aussi de Soleil-Babinet) placé entre le modèle
et le second nicol et dont les axes sont respectivement parallèlesà 1 et 2, on éteint le rayon émergeant du second nicol. La lec¬
ture du compensateur donne la grandeur que nous appellerons <53et qui représente la différence de marche relative, créée par la
mise en charge du modèle, des deux composantes vibrant paral¬lèlement aux directions 1 et 2. Cette grandeur ô3 est liée aux ten¬
sions principales a± et a2 par la loi de Wertheim [11] :
âs = ce{ax— ff2), (1)
où e représente l'épaisseur du modèle et c une constante qui dé¬
pend de la matière du modèle et de la longueur d'onde utilisée.
3° et 4° Supposons que le rayon polarisé vibre parallèlementà la direction 1 de la tension principale a1. Avant la mise en
charge du modèle, ce rayon a une marche bien déterminée. Si
l'on charge le modèle, il subit une variation de marche absolue àx.On définit de façon analogue la variation de marche absolue <52d'un rayon polarisé vibrant parallèlement à la direction 2.
Les grandeurs ôt et ô2 se mesurent à l'aide d'un interféra-
mètre. Elles sont liées aux tension principales a± et o2 par les
relations :
dt = aeoy + bea2, I
ô2 = bea1 -f- aea2, |
où e représente l'épaisseur du modèle, a et b des constantes quine dépendent que de la matière du modèle et de la longueurd'onde utilisée.
Considérons le système formé par (1) et (2): on disposede trois équations pour déterminer les deux inconnues ax et cr2-
— 10 —
Il est donc possible, à l'aide de la théorie des erreurs de Gauss, de
calculer les valeurs de ax et a2 qui s'adaptent le mieux aux gran¬
deurs mesurées ôlt ô2 et ô3. On obtient:
(jj = Rllâ1 + R2lô2 + R31ô3, |a2 — ^12 ^l + ^?2 2 ^2 + Rb2 ^3 • J
Les erreurs moyennes des tensions principales sont données
par:
1% = #i (^i — à*— d3), ï<4.
,"«r2 = ^ (<*i — ^2 " <*3) • J
Dans les formules (3) et (4), Rn, R21,..., 01} 02 sont des
coefficients qui dépendent des constantes a, b, c et de l'épais¬seur e du modèle. Ces coefficients se calculent une fois pour
toutes pour un modèle donné (voir [2], formules (15), p. 28).
La condition
d3 = <?i — <?2 (5)
permet de contrôler immédiatement les mesures; elle entraîne,
pour les coefficients a, b, c, la condition:
a — b — c = 0. (6)
Ces coefficients se déterminent au moyen d'une éprouvette
parallélipipédique taillée dans la même matière que le modèle.
Il suffit de mesurer ôu ô2, ô3 en un point où les tensions prin¬
cipales sont connues 3).
Grâce à la simplicité des équations (3), le calcul des tensions
s'effectue rapidement au moyen de la règle à calcul.
Indiquons en terminant l'erreur moyenne des différentes gran¬
deurs mesurées:
a: ± 15',
ô3 : ± 0,002 — 0,003 l, (l = 5461 À)ô1 et ô2 : ± 0,02 — 0,031.
3) Pour avoir un état de sollicitation très simple, nous soumettons
les éprouvettes à une compression pure (02=O).
Fig
1
Installationp
o
u
r
la
déterminationd
exU
de
(53
— 12 —
Cela correspond, pour des tensions observées de l'ordre de
1 à 2 kg:mm2, à une exactitude de 1 à 2 o/0 *).
2. Description des appareils
Une description détaillée des appareils ayant été donnée par
N.Favre [2], nous nous bornerons à les énumérer et à indiquer
quelques modifications apportées aux installations.
1° Un premier banc optique sert à la mesure de et et de ôs. II
est visible sur la figure 1 et comporte, de gauche à droite:
Une lampe à vapeur de mercure sous pression H.
Un monochromateur à prisme Mo, qui disperse la lumière de
l'arc du mercure et donne un faisceau de lumière monochromatiquede 5461 À de longueur d'onde5).
Deux diaphragmes Dt et D2, qui délimitent la portion du
faisceau envoyée au polariseur Nv
Deux niçois croisés N1 et N2, placés dans des montures mé¬
talliques graduées qui permettent de repérer la position des plansde polarisation. Ces montures sont reliées par un cadre rigide.Les niçois peuvent tourner ensemble autour d'un axe de rotation
commun, mais ils sont maintenus constamment croisés par le cadre
qui les relie. A la suite du polariseur A^, et fixé sur sa monture,
se trouve un diaphragme percé d'un trou de 1 mm de diamètre6).Le faisceau polarisé sortant du nicol A^1 est ainsi réduit à un cy¬
lindre à base circulaire de 1 mm de diamètre et dont l'axe a une
position invariable quelle que soit l'orientation des niçois.
Le modèle M, placé dans le cadre-dynamomètre CD. Ce mo¬
dèle est recouvert, sur l'une de ses faces, d'un diaphragme consti¬
tué par une feuille d'aluminium de 0,3 mm d'épaisseur et percéede trous circulaires de 0,5 mm de diamètre dont les centres cor¬
respondent aux points où l'on veut déterminer les tensions. Les
faces du modèle sont perpendiculaires à la direction du faisceau
lumineux provenant du nicol Nt.
i) Chaque mesure est répétée.
5) 1 A = 1 unité angstrôm = 10"8 cm.
6) Le centre de ce trou se trouve sur l'axe de rotation des niçois.
— 13 —
Fig 2 Cadre-dynamomètre avec modèle (diaphragme enlevé).
— 14 —
Le cadre-dynamomètre est un appareil qui permet d'appliquerau modèle des forces verticales ou horizontales de grandeurdonnée. Il est constitué (fig. 2) par un cadre rigide en acier, dé¬
montable, qui est destiné d'une part à réaliser les conditions d'ap¬
pui du modèle, d'autre part à recevoir les appuis des leviers quitransmettent au modèle, en les amplifiant 10 fois7), les réactions
des contrepoids. On peut à volonté, grâce à une came agissant
sur les leviers, charger ou décharger le modèle. Le déplacementdu modèle dans son plan s'effectue au moyen des vis micromé¬
triques du cadre-dynamomètre.
Un compensateur de Bravais C, formé de trois lames de quartzet monté sur un cercle divisé fixe qui permet d'orienter ses axes
(fig. 1).
Une lunette L, coudée à 90° et mise au point sur le modèle.
Elle est destinée à l'observation du faisceau lumineux à sa sortie
de l'analyseur N2.
Les appareils qui constituent ce premier banc optique n'ont
pas subi de modification. On s'est contenté de fixer définitivement
tout le banc après avoir procédé à son alignement et d'installer
un système d'éclairage à basse tension qui permette d'effectuer
les lectures et de les noter rapidement et sans fatigue. Grâce à
un interrupteur à pédale, on dispose à chaque instant des deux
mains. L'intensité lumineuse fournie par les ampoules peut être
réglée de façon à permettre des lectures précises et à éviter tout
éblouissement.
2° Un second banc optique sert à la détermination de ô± et â2.Il est visible sur les figures 3 et 4 et comprend:
Une lampe à vapeur de mercure sous pression atmosphé¬
rique fi'.
Un monochromateur à prisme de Pellin-Broca PB monté en
spectroscope. Celui-ci disperse la lumière de l'arc du mercure et
donne un faisceau de lumière monochromatique de 5461 À de
longueur d'onde.
Un diaphragme D, percé d'un trou S de 0,45 mm de diamètre,
7) Un second jeu de leviers permet une amplification de 20 fois.
— 15 —
sur lequel on concentre le faisceau de lumière monochromatique
provenant de la lampe et du prisme de Pellin-Broca. Ce petittrou fonctionne comme source lumineuse ponctuelle.
Un filtre F, de forme circulaire, destiné à donner aux rayons
qui le traversent une direction de vibration verticale. Ce filtre8)est constitué par une feuille très mince d'hérapathite9) placéeentre deux lames de verre.
Une lentille O, de 40 mm de diamètre et d'une distance focale
de 35 cm. Cette lentille, qui doit être exempte de toute aberra¬
tion, donne dans le plan du modèle une image 5' de la source 5.
TOcinM
70cm
Fig. 3. Schéma de l'installation pour la détermination de ày et <32.
(Vue en plan.)
Les parties qui suivent, montées sur un socle de fonte, cons¬
tituent un interféromètre du type Mach-Zehnder10).
Quatre lames de verre platinées Lv L2, L3, I4, d'une épaisseurde 10 mm, disposées suivant un carré de 410 mm de côté. Leurs
faces, verticales, font un angle de 45 ° avec les côtés du carré. Les
lames Z.1 et Li sont recouvertes, par pulvérisation cathodique,d'une légère couche de platine sur une de leurs faces n) et lais¬
sent passer, sous une incidence de 45°, le tiers de l'intensité d'un
rayon polarisé dans le plan d'incidence, tandis qu'elles en réflé-
8) Le filtre que nous utilisons est un „Herotar" (Zeiss, Iéna).9) L'hérapathite (iodosulfate de quinine) possède la propriété d'être
très fortement dichroïque, c'est-à-dire d'être biréfringente et d'absorber
presque entièrement une des composantes du rayon lumineux qui la traverse.
«) Voir [12], [13] et [14].
1]) Sur la figure 3, les faces platinées sont indiquées en traits épais.
— 16 -
chissent le tiers, le tiers restant étant absorbé12). Les lames L2et Ls ont une de leurs faces recouverte d'une forte couche de pla¬tine et réfléchissent, sous une incidence de 45 °, le 72 o/0 de la
lumière incidente.
Un compensateur L, formé d'une lame de verre à faces paral¬lèles de 10 mm d'épaisseur. Cette lame peut pivoter autour d'un
axe vertical. Elle fait un angle d'environ 60 ° avec la direction du
rayon qui la traverse.
Une lame de verre L', de 10 mm d'épaisseur, destinée à com¬
penser la lame L.
Deux lames demi-onde L0 et L0', en mica, placées de part
et d'autre du modèle et accouplées mécaniquement par des tringleset des pignons. Ces lames permettent de faire tourner d'un angle
quelconque le plan de vibration du rayon polarisé arrivant sur le
modèle et de le rétablir ensuite dans son orientation primitive.
Une lame de verre LM, destinée à compenser l'épaisseur du
modèle.
Une lunette Lu, servant à l'observation des franges produites
par l'interférence des rayons L1LaLi et L1L2Li (fig. 3). On peut
agir sur la direction et l'écartement de ces franges au moyen des
vis qui règlent la position des lames platinées.
Une série d'ampoules électriques à basse tension, qui éclai¬
rent le modèle et les tambours gradués du compensateur et des
lames demi-onde. Elles sont commandées par un interrupteur à
pédale.Le modèle et le cadre-dynamomètre viennent se placer en M,
dans l'échancrure en forme de U visible sur la figure 4.
Pendant les mesures, toutes les pièces de l'interféromètre
sont enfermées dans une caisse de bois qui le protège des radia¬
tions extérieures (dues aux rayons solaires frappant les fenêtres
du local, au rayonnement des radiateurs en hiver, à l'observateur,
etc.). Cette caisse, en forme de U, est percée de trous pour le
passage des rayons lumineux et des commandes mécaniques.
12) Les valeurs exactes fournies par les mesures photométriques de
contrôle sont respectivement 32o/0, 34°/o et 34o/0 (ces chiffres valent pour
la longueur d'onde utilisée X = 5461 À).
pig-
4.
Installation
p
o
u
r
la
déterm•nation
de
dl
et
<52.
- 18 —
Disons pour terminer quelques mots des modifications ap¬
portées à l'installation pour la détermination de ô± et ô2. Nous
eûmes au début des difficultés à obtenir des franges convenables.
La cause principale en était l'altération subie par la couche de
platine déposée à la surface des lames Lly L2, L3, Z.4. Ces lames,
âgées de 14 ans, ont dû être platinées à nouveau 13). D'autre part,le réglage se révéla plus délicat, l'interféromètre ayant été mo¬
difié et la distance des lames portée de 33 à 41 cm pour laisser
plus de place au modèle.
Pour obtenir des franges aussi nettes que possible, nous avons
utilisé une lampe à vapeur de mercure sous pression atmosphé¬
rique, amélioré le dispositif de refroidissement par air et réduit
légèrement l'intensité du courant continu alimentant cette lampe.Cette amélioration de la qualité des franges se faisant au détri¬
ment de l'intensité lumineuse, nous avons compensé partiellementcet inconvénient en augmentant le diamètre de la source ponc¬
tuelle 5 et en plaçant la lentille O à égale distance entre S et
l'image S' qui se forme sur le modèle14). L'ouverture du cône
lumineux a été choisie assez petite pour que tout le faisceau puisseêtre recueilli par la lunette Lu.
Pour supprimer toute vibration, l'appareil a été placé sur une
solide table de bois posée sur un socle de béton de 1 m de hau¬
teur, reposant directement sur le sol de fondation et isolé du
plancher.Dans ces conditions, nous avons pu effectuer de très bonnes
mesures. On les trouvera exposées en détail au chapitre II.
13) Cette opération délicate a été effectuée par la „Physikalisch-technische Reichsanstalt" de Berlin.
u) La lentille ayant une distance focale de 35 cm, OS et US' me¬
surent chacun 70 cm (fig. 3).
CHAPITRE II
Etude de trois modèles en verre de poutres encastrées
sollicitées à la flexion ')
1. Description des modèles
Les figures 5, 6 et 7 montrent les profils choisis. Les trois
massifs d'encastrement ayant les mêmes dimensions, nous n'en
avons représenté qu'un seul en entier (fig. 5). Les poutres peuventêtre considérées comme encastrées dans des massifs ayant mêmes
coefficients élastiques (module de Young E, coefficient de Pois¬
son >') que la matière dont elles sont constituées. Le raccorde¬
ment des poutres aux massifs s'effectue au moyen de congés de
3 mm de rayon.
On a choisi comme système de référence les axes rectangu¬laires Ox, Oz.
Ces modèles sont en verre „Jenaer Leichtflint LF 6" des Eta¬
blissements Schott à Jena et proviennent tous de la même coulée.
Ils ont été polis et découpés par les Etablissements Wild à Heer-
brugg2). Leurs faces sont parallèles à l'près et leurs contours exé¬
cutés, en général, avec une précision de 0,2 mm. L'usinage n'a pas
augmenté les tensions latentes observées dans les plaques brutes3).A chaque modèle correspondent deux éprouvettes parallélipipé-
diques de 6x10x30 mm, découpées au voisinage de la poutreet destinées à la détermination des coefficients a, b, c.
Nous indiquons ci-dessous les valeurs de ces divers coeffi¬
cients et les moyennes admises pour les modèles4).
1) Un quatrième modèle s'est cassé au début des mesures, probablement
par suite d'un défaut local du verre.
2) Nous remercions vivement ces derniers du soin qu'ils ont apportéà l'exécution de ce travail.
3) Elles étaient de l'ordre de 0,03 kg: mm2. La méthode utilisée tient
compte de ces tensions latentes.
*) On constate une certaine divergence entre les coefficients a et b
des éprouvettes relatives aux poutres encastrées II et IV. On peut se de¬
mander s'il vaut la peine d'appliquer une méthode de mesure précise à
— 20 —
Tableau 1.
Valeurs mesurées des coefficients a, b, c.
Poutre
encastréee lre éprouvette 2e éprouvette
Moyenne =valeur admise
pour le modèle
I
(mm)
9,86
(A : kg : mm)
a' = + 0,07129b' = + 0,12586c' = — 0,05457
(2: kg: mm)
a" = + 0,07148b" = + 0,12619c" = — 0,05471
(A : kg : mm)
a = + 0,07138»b = + 0,12602»£ = - 0,05464
II 10,08
a' = + 0,07726b'= + 0,13187c' = — 0,05461
a" = + 0,07165b" = + 0,12639c" = — 0,05474
a = + 0,07445»b = + 0,12913c = — 0,05467»
IV 10,03
a' = + 0,071836' = + 0,12626c' = — 0,05443
a" = + 0,07693b" = + 0,13176c" = — 0,05483
a = + 0,074386 = + 0,12901c = — 0,05463
2. Etats de charge — Application des forces
Appui des massifs — Diaphragmes et choix des pointsde détermination des tensions
Etats de charge. Nous avons étudié, pour chacun des trois
profils de poutres encastrées, la répartition des tensions inté¬
rieures créées par l'application de deux forces P verticales et sy¬
métriques agissant sur le contour supérieur des poutres (fig. 5,
6 et 7).
Nous avons déterminé en outre, pour la poutre encastrée II
dont le profil est le plus intéressant pour l'étude que nous nous
sommes proposé, l'allure des trajectoires des tensions principales
produites par l'application d'une seule force verticale P agissant
également sur le contour supérieur de la poutre.
des modèles accusant des fluctuations de cet ordre dans leurs coefficients.
Un calcul, basé sur la théorie des erreurs de Gauss, nous a cependant montré
que les tensions principales ox et a2 s'obtiendront avec une erreur moyenne
de -j- 0,026 kg : mm2 seulement. Cela est dû tout d'abord au fait que les
valeurs obtenues pour c divergent très peu; ensuite, à l'application de la
méthode de Oauss, qui attribue à c un poids beaucoup plus élevé qu'auxcoefficients a et b.
— 21 —
Ces différents états de charge sont définis dans le tableau
suivant:
Tableau 2.
Poutre
encastrée
Etat de chargeForces P Poussée
horizontale
H mesurée
Grandeur de
chaque forcePosition
I 1
(deux forces symétr.)
(kg)
10,65
(mm)
f = + 20
(kg)
3,1
II
1
(deux forces symétr.)2
(une seule force)3
(une seule force)4
(une seule force)
32,78
35,52
45,54
53,94
= ±20
= 20
= ± o
= 40
25,0
pas mesurée
7)
IV 1
(deux forces symétr.)32,78 = +20 17,9
Application des forces. Les forces sont transmises par un
pointeau vertical réglable articulé à ses deux extrémités et muni
d'un niveau sphérique à bulle destiné à contrôler sa direction.
Pour les états de charge symétriques 1, les forces sont réparties
par un étrier d'acier d'une portée de 40 mm et deux cylindresd'aluminium portant sur toute l'épaisseur du modèle (fig. 2). Ces
cylindres ont un diamètre de 3 mm et une longueur de 10 mm.
L'un d'eux est fixé à l'étrier, l'autre est complètement libre. On
est ainsi certain, si la force transmise par le pointeau est verti¬
cale, que les forces P le sont aussi.
Ces différentes pièces doivent être soigneusement rectifiées
afin que les forces P soient égales et réparties aussi uniformé¬
ment que possible dans le sens de l'épaisseur du modèle et que les
deux génératrices de contact entre les cylindres et la poutre soient
bien parallèles, le contraire pouvant entraîner une légère torsion
des poutres.
Appui des massifs. Cet appui est réalisé par une tôle d'acier
de 10 mm d'épaisseur dans l'échancrure de laquelle on place le
— 22 —
modèle. Des bandes de papier sont soigneusement réparties entre
le verre et l'acier pour éviter qu'un jeu quelconque puisse se pro¬
duire. Il est évident que les tensions dans le massif d'encastre¬
ment vont dépendre de la répartition des forces le long du contour
d'appui. Mais dans la poutre elle-même, les tensions ne seront
presque pas influencées par cette répartition.
K,-Joih Mhl—UasiT ? U-J asti"
u
Fig. 5. Poutre encastrée I (e = 9,86 mm).
Diaphragmes et choix des points de détermination des ten¬
sions. Chaque modèle possède un diaphragme, limité par le con¬
tour indiqué en pointillé à la figure 5. On fixe le diaphragmeau modèle en le collant légèrement sur celui-ci par les coins in¬
férieurs, afin d'éviter qu'il ne travaille avec le modèle lorsquece dernier est sous tension.
Le diaphragme I (appartenant au modèle I) a été percé de
174 trous de 0,5 mm de diamètre, le diaphragme II de 183 trous
et le diaphragme IV de 186 trous. La position des centres de ces
trous est visible sur les planches 2, 4, 10 et leurs coordonnées
— 23 —
Fig. 6. Poutre encastrée II (e = 10,08 mm).
Fig. 7. Poutre encastrée IV (e = 10,03 mm).
— 24 —
sont indiquées dans les tableaux I, II et III4a). Ces points ont
été choisis sur des verticales afin de permettre le tracé des dia¬
grammes des tensions. On s'est efforcé d'autre part de les grou¬
per sur des horizontales, afin d'avoir à déplacer le modèle le
moins possible. Ces points sont particulièrement denses au voi¬
sinage des points d'application des forces et vers l'encastrement5),beaucoup moins nombreux dans le massif.
3. Mesures, calculs, épures
Chaque mesure de a, ô3, ôt, <52 6) a été répétée. Nous avons
recommencé les mesures de ô1, ô2 et <53 chaque fois que l'ex¬
pression ô-^-ôa-ô^ était, en valeur absolue, supérieure à 0,03 lon¬
gueur d'onde. Cette tolérance donne, d'après les formules (4),une erreur moyenne
i"0l = fo, = ± 0,008 kg : mm2,
soit une erreur maximum:
faaax = ± 0,008 x3 = ± 0,024 kg : mm2.
Les calculs ont été effectués au moyen de la règle logarith¬mique. Les valeurs de a, ox et a2 sont indiquées dans les ta¬
bleaux I, II et III.
Les trajectoires des tensions principales (planches 1, 3, 6,7, 8 et 9) ont été construites à l'aide des épures des directions
des tensions principales7). Une famille de trajectoires a été re¬
présentée par des traits continus (ce sont en général des trajec¬toires de compression), l'autre par des traits interrompus (engénéral des trajectoires de traction).
Les diagrammes des tensions principales (planches 2, 4 et 10)donnent: 1° les diagrammes relatifs aux différentes verticales sur
lesquelles se trouvent groupés les points choisis. Nous n'avons
*") Les tableaux désignés par des chiffres romains et les planchesse trouvent à la fin de la publication.
5) Ce sont des zones où les tensions varient rapidement d'un pointà l'autre.
6) Cet ordre correspond à celui des mesures.
7) Nous n'avons pas publié ces dernières.
— 25 —
indiqué que la plus grande des deux tensions principales. Une
compression est figurée par un vecteur ayant son extrémité au
point considéré, une traction par un vecteur ayant son origine en
ce point8); 2° les diagrammes des tensions principales au bord
des poutres. La valeur de ces tensions a été portée perpendicu¬lairement au contour, vers l'intérieur dans le cas d'une compres¬
sion, vers l'extérieur dans celui d'une traction.
Nous avons calculé en un certain nombre de profils verticaux,à partir des valeurs mesurées pour oc, ax et a2, les tensions nor¬
males ax et tangentielles % agissant sur un élément de surface ver¬
tical. La planche 5 montre quelques-uns des diagrammes corres¬
pondants pour l'état de charge 1 de la poutre encastrée II.
4. Discussion des résultats
a) Poutres encastrées I, II et IV, états de charge 1. L'examen
des planches 1, 2, 3, 4, 9 et 10 nous a conduit, pour la discussion
des résultats relatifs aux états de charge 1, à diviser chaque poutreen zones I, II, III et IV. Ces différentes zones sont définies par
les figures 5, 6 et 7.
Zone I.
Cette zone comprend la partie médiane des poutres située
entre les deux forces P, à l'exclusion de deux bandes verticales
d'une largeur égale à 0,5 hM (hM étant la hauteur de la poutreau milieu).
La zone I est soumise aux lois de la flexion sans effort tran¬
chant. L'état de tension étant à un axe, les trajectoires des ten¬
sions principales sont des droites dont une famille est parallèleaux bords, l'autre étant perpendiculaire à ceux-ci (planches 1,
3, 9). L'axe neutre ne coïncide pas avec l'axe géométrique de la
poutre, ce qui montre l'existence d'une poussée horizontale. Nous
reviendrons sur ce point à la fin du paragraphe.
Dans la zone I, chaque point de l'axe neutre est un point
8) Nous n'avons pas dessiné ces vecteurs là où la valeur des tensions
est trop faible.
- 26 —
singulier de tension nulle9). On peut dire que l'axe neutre cons¬
titue lui-même une „ligne singulière".
Les diagrammes des tensions principales (planches 2, 4, 10)ont l'allure prévue par la théorie: ils sont rectilignes. L'hypo¬thèse de Bernoultl-Navier est en effet rigoureusement valable dans
les cas de sollicitation à la flexion sans effort tranchant. Les ten¬
sions principales o1 sont nulles, aux erreurs de mesure près (ta¬bleaux I, II et III). Les diagrammes des tensions principales a2
parallèles aux bords sont identiques pour tous les profils verti¬
caux de la zone I.
Nous avons calculé, à partir des valeurs mesurées de oc, a1
et a2, les valeurs des tensions normales et tangentielles agissantsur les éléments de surface appartenant à cinq profils verticaux
des zones I de chacune des poutres I, II et IV10). Nous n'avons
représenté qu'un seul des diagrammes correspondants: celui se
rapportant au profil vertical x = + 60,0 passant par le milieu de la
poutre II (planche 5). En planimétrant ces diagrammes, nous
avons obtenu un premier contrôle de l'exactitude des mesures (ta¬bleaux IV, V, VI). En effet, pour un état de charge donné, la
surface des diagrammes des tensions normales ax doit avoir la
même valeur pour tous les profils verticaux de la poutre (puis¬
qu'elle est égale à la poussée horizontale fi), et la surface des
diagrammes des tensions tangentielles r doit être égale, en un pro-• fil donné, à la valeur de l'effort tranchant Q en ce profil. Dans
la zone I, on doit donc avoir:
f oxdF = H = constante, J xdF = Q = 0,(h (n
(F) désignant l'aire de la section verticale.
Les valeurs indiquées aux tableaux IV, V, VI montrent que le
résultat de ce contrôle est satisfaisant pour les différents profils
9) On appelle point singulier un point où a1 = a2 (t=0). Le cercle
de Mohr s'y réduit à un point, et toutes les directions passant par ce pointsont principales.
10) Ces calculs sont nécessaires, car les valeurs mesurées de a. et de
0! ne sont pas rigoureusement égales à zéro en chaque point (tableaux
i, n, ni).
— 27 —
considérés (profils x= f- 50,1, + 55,1, +60,1, -r 65,1 et +70,1de la poutre encastrée I; profils x = + 50,0, +55,0, -p- 60,0,+ 65,0, H-70,0 des poutres encastrées II et IV).
Zones II.
Ces zones, d'une largeur égale à la hauteur hM au milieu de
la poutre (fig. 5, 6, 7), sont sous l'influence directe des forces
appliquées. Dans le voisinage immédiat des points d'applicationde ces dernières, on a l'état de sollicitation de Boussinesq relatif
au demi-plan indéfini. Les trajectoires de compression convergentvers ces points.
A une certaine distance de ces derniers, nous rencontrons dans
chaque zone II un point singulier 5 „répulsif" ou de seconde es¬
pèce11). Les trajectoires des tensions principales tournent leur
convexité vers le point singulier et sont asymptotes à six demi-
droites (trois pour chaque famille). Il est évident que cette dispo¬sition géométrique idéale ne se rencontre que dans un domaine
très petit entourant le point singulier; elle est rapidement per¬turbée à quelque distance de celui-ci (présence d'un contour libre,etc.).
Si l'on considère les trajectoires et diagrammes des tensions
principales au voisinage du point d'application de la force P
(planches 1, 2, 3, 4, 9 et 10), on constate que la perturbationcausée par cette dernière ne s'étend pas au-delà d'un cercle ayantson centre au point considéré et un rayon égal à la demi-hau¬
teur de la poutre.
La tension la plus forte dans la zone II a lieu immédiate¬
ment sous la très petite surface d'application de la force P. C'est
une compression dont la valeur moyenne est égale au quotientde la force par l'aire de la surface de contact12).
n) Nous avons adopté ici la classification la plus ancienne et la plussimple, celle de Mesnager (voir [15], p. 269). Pour une discussion plusapprofondie des points singuliers, basée par exemple sur l'étude de la
fonction des tensions d'Airy au voisinage de ces points, on se reportera à
des travaux plus récents ([16], [17], [18], [19]).
12) Il est difficile d'évaluer exactement cette- dernière.
— 28 —.
Zones 111.
Ces zones (fig. 5, 6, 7) comprennent les parties des poutressituées entre les forces P et l'encastrement13). Elles sont sou¬
mises aux lois de la flexion avec effort tranchant.
Les trajectoires des tensions principales (planches 1, 3, 9)
coupent l'axe neutre sous des angles de 45 ° et ont l'allure prévue
par la théorie. Chacune de ces zones possède deux points singu¬liers 5 de seconde espèce — répulsifs — placés respectivementsur les contours supérieur et inférieur de la poutre. Dans le voi¬
sinage immédiat du point S, les trajectoires ont l'allure idéale
représentée à la figure 8; le point singulier étant situé sur le
contour, la moitié du réseau disparaît. Ces points singuliers S
Contour
Fig. 8.
étant placés de part et d'autre du profil vertical de moment nul,l'étude optique permet donc de fixer la position de ce dernier
et, par conséquent, de dessiner l'épure des moments de flexion
pour l'état de charge donné. On entrevoit immédiatement l'inté¬
rêt d'une telle étude dans le cas d'une construction hypersta-
tique dont le degré d'indétermination est élevé11).
On peut montrer15) que la disposition géométrique des tra¬
jectoires des tensions principales autour du point de moment nul
ne dépend, pour une poutre de section rectangulaire, que du rap-
13) On peut les rapprocher des zones I définies par H. Favre et
/. Muller ([5], planche 21) pour différents profils de murs encastrés.
u) La poutre Vierendeel, par exemple, a été l'objet de plusieurs études
de ce genre ([20], [21], [39]). On utilise dans ce but des matières
transparentes possédant une constante c élevée (celluloïd, bakélite, trolon,
etc.) et un dispositif permettant d'examiner simultanément toute la surface
du modèle.
") Voir [17], p. 178.
— 29 —
port z~ de la poussée horizontale à l'effort tranchant. ConnaiS-
sant ce rapport16), nous avons pu vérifier la position des points
singuliers situés sur les contours libres de la zone III et obtenir
des indications utiles pour le tracé des trajectoires des tensions
principales au voisinage du profil de moment nul.
Nous avons calculé, en partant des valeurs mesurées de a,
o1 et a2, pour les profils d'abscisse x = + 20,0 mm, les tensions
normales ax et tangentielles t agissant sur des éléments de sur¬
face verticaux. Nous n'avons représenté qu'un seul des diagram¬
mes correspondants: celui relatif à l'état de charge 1 de la poutre
encastrée II (planche 5). On voit que la répartition des tensions
tangentielles est conforme aux lois de la résistance des matériaux,
tandis que celle des tensions normales subit une perturbation.Les valeurs obtenues en planimétrant les diagrammes des
tensions normales relatifs au profil x = -f- 20,0 concordent de façon
satisfaisante avec les valeurs correspondantes trouvées pour la
zone I (tableaux IV, V, VI). Dans les zones III, l'effort tranchant
Q est égal à la force P. Le contrôle effectué en planimétrant les
diagrammes des tensions tangentielles est satisfaisant (profils
x = ^20,0 des tableaux IV, V, VI).
Zones IV.
Ces zones comprennent l'encastrement et le massif17). Elles
sont définies plus exactement par les figures 5, 6 et 7. La ré¬
partition des tensions dans les régions du massif éloignées de
l'encastrement nous intéresse peu; les tensions y sont très faibles
et influencées, d'ailleurs, par la répartition des réactions le long
du contour d'appui.L'allure des trajectoires des tensions principales (planches 1,
3 et 9) est régie, dans la région de l'encastrement, par la pré¬
sence d'un point singulier 5 „attractif" ou de première espèce18).
16) Nous avons pris pour H la moyenne arithmétique des valeurs
données par les cinq profils de la zone I (tableaux IV, V, VI).17) On peut les rapprocher des zones III définies par H.Favre et
J. Millier pour différents profils de murs encastrés ([5], planche 21).
18) L'apparition de ce point singulier confirme la règle énoncée par
Millier ([5], p. 32): dans les cas de sollicitation à la flexion avec effort
— 30 —
L'abscisse x de ce point ne varie presque pas lorsqu'on modifie
la forme de la poutre19). Les trajectoires des tensions princi¬pales tournent leur concavité vers le point. Une des familles
(trait interrompu) pourrait figurer les ancrages de la poutre dans
le massif, s'il s'agit d'une construction de béton armé.
Les diagrammes des tensions principales (planches 2, 4 et
10) ne sont pas des droites. Les tensions augmentent considé¬
rablement au voisinage des congés de raccord et dépassent de
beaucoup les valeurs théoriques données par les formules de la
résistance des matériaux20).En partant des valeurs mesurées de oc, al et a2, nous avons
calculé les tensions normales et tangentielles agissant sur des
éléments de surface verticaux du profil jk = -j-1,0 mm (tableauxIV, V, VI). Les diagrammes des tensions normales ne sont paslinéaires (planche 5). Ils sont semblables à ceux qu'obtintWeibel [25] en utilisant l'analogie du film de savon [41] 21).L'axe neutre est déplacé vers le haut par suite de la présence d'une
poussée horizontale. Les diagrammes des tensions tangentiellesont une allure particulière et accusent des pointes très marquéesau voisinage des bords.
tranchant, à toute variation brusque de la section correspond un pointsingulier de tension nulle.
i9) Sa position est très sensible, par contre, au genre de sollicitation
(voir [5], planche 21, et les planches 7 et 8 de notre étude).-") Les angles rentrants se recontrent dans de nombreux éléments
de construction et la connaissance des surélévations de tension qu'ils engen¬drent localement est d'une grande importance pour l'ingénieur. Cependant,ce problème ayant été l'objet de plusieurs travaux (voir par exemple [22],[23], [24]) et notre étude poursuivant un autre but, nous nous dispen¬serons d'une discussion plus approfondie.
n) Considérons une membrane dont le contour a la forme de la piècedonnée. Si les cotes du bord de la membrane sont proportionnelles aux
valeurs périphériques de ax A- a2 (ces valeurs se déduisant de la mesure
optique de ox — o2 au bord du modèle où l'une des tensions principalesest connue), la cote h d'un point intérieur de la membrane sera alors pro¬portionnelle à la valeur de o, -f- a2 au point correspondant de la pièceconsidérée. En effet, les grandeurs h et ax -(- o2 satisfont à la même équa¬tion différentielle:
(£) + (£)-•• (&) + (£)<•. +•.>-<>.
— 31 —
Les valeurs obtenues pour H et Q en planimétrant les sur¬
faces des diagrammes des tensions ax et t concordent de façonsatisfaisante avec les valeurs trouvées en d'autres profils des zones
I et III (tableaux IV, V, VI).
b) Poutre encastrée 11, états de charge 2, 3 et 4. Afin de
compléter cette étude nous avons en outre déterminé, pour la
poutre encastrée II, les trajectoires des tensions principales pour
trois autres états de charge 2, 3 et 4 (tableau 2, § 2). Les plan¬ches 6, 7 et 8 représentent ces trajectoires. Leur connaissance
peut être utile pour la disposition des armatures dans une poutrede béton armé.
Nous ne ferons pas une discussion approfondie de l'allure de
ces trajectoires. Constatons simplement la disparition du point
singulier répulsif qui apparaissait, dans l'état de charge symé¬
trique 1, sous le point d'application de la force (planche 3) et
notons avant de terminer que, de la connaissance des points sin¬
gulier 5 situés sur le contour de la poutre, on peut déduire la
position du profil vertical de moment nul et tracer immédiate¬
ment l'épure des moments de flexion.
c) Conclusions. En résumé, l'étude optique des trois profilsde poutres encastrées I, II et IV a permis de déterminer, pour les
états de charge 1 envisagés, la répartition complète des tensions
intérieures. La connaissance du réseau des trajectoires de traction
(trait interrompu, planches 1, 3, 6, 7, 8 et 9) est utile également;elle permet, dans le cas d'une poutre de béton armé, de placerles armatures de la façon la plus rationnelle. On voit que cette
disposition est assez voisine de celle réalisée dans la pratique
(exception faite du massif d'encastrement).On constate, dans les trois poutres, la présence d'une poussée
horizontale (voir tableau 2). Pour les poutres I et IV dont l'axe
est rectiligne, on peut expliquer l'apparition de cette poussée par
la déformation des deux massifs latéraux. Ceux-ci, sous l'action
des forces verticales et des couples d'encastrement transmis par
la poutre, sont soumis à la flexion composée. Ils tendent à se
rapprocher l'un de l'autre et compriment la poutre placée entre
eux. Dans le cas de la poutre encastrée II, la poussée horizon-
— 32 —
taie mesurée est même considérable (25 kg). Elle est due en
partie à la déformation des massifs latéraux, en partie à la pré¬sence des goussets.
Les mesures effectuées révèlent donc une poussée horizon¬
tale dont l'importance mérite un examen théorique approfondi.Cet examen fait l'objet du chapitre suivant.
CHAPITRE III
La poutre parfaitement encastrée à goussets rectilignessymétriques. Calcul de la poussée horizontale H
1. Introduction
Une poutre à axe rectiligne encastrée à ses deux extrémités
constitue un système hyperstatique. On choisit en général, comme
système isostatique de référence, la poutre simple. Les grandeurssurabondantes sont alors: les deux moments d'encastrement et
l'effort longitudinal. On néglige presque toujours ce dernier, dont
la valeur théorique est très petite1). Le degré d'indétermination
du système est ainsi ramené de 3 à 2.
Si l'axe de la poutre n'est plus rectiligne, mais brisé ou cur¬
viligne, nous aurons une voûte à axe surbaissé, et la poussée hori¬
zontale H pourra devenir considérable (chap. II, § 4).De nombreux travaux ont montré le grand intérêt qu'il y a,
du point de vue économique, à tenir compte de la présence des
goussets dans le calcul des moments de flexion 2). Si l'on négligede faire intervenir la variation du moment d'inertie, on obtient
couramment des moments en travée supérieurs de 50 °/o aux mo¬
ments effectifs 3).M. Ritter a mentionné également, dans la conclusion d'une
étude parue en 1909 [26], l'influence favorable de la pousséehorizontale sur les moments en travée. Il est rare cependant qu'onen tienne compte, car les calculs sont assez longs.
x) Dans le cas d'un encastrement parfait et d'une poutre d'acier I NP 10
de 4 m de longueur (F = 10,6 cm2, / = 170 cm4, E = 2,1 X 10e kgcm'"2)sollicitée en son milieu par une charge concentrée de 100 kg, la valeur de
l'effort longitudinal atteint 2,9 kg. C'est une traction (voir [29], p. 41).
2) Voir par exemple [26], [27], [28], [40].
>) Voir [27], p. 190.
— 34 —
Les mesures décrites au chapitre précédent (chap. II, § 4)ont montré, dans le cas de la poutre encastrée II (planche 5), que
la poussée horizontale pouvait être considérable et influencer très
favorablement la répartition des tensions au milieu d'une poutreen diminuant fortement les tractions qui s'y produisent.
Le but de ce chapitre est de développer les formules qui per¬
mettront de calculer la poussée horizontale H. Nous ne consi¬
dérerons que des goussets rectilignes et symétriques4).
2. Théorie classique 5)
a) Généralités. Considérons une poutre parfaitement encas¬
trée 6) à goussets rectilignes symétriques, dont l'axe est repré¬senté à la figure 9. Choisissons comme système isostatique de
« Axe de symétrie
——î \Tj»B
Fig. 9.
référence la poutre simple librement appuyée (fig. 10). Les trois
grandeurs surabondantes sont les moments d'encastrement Mx et
M2 et la poussée horizontale H.
Désignons par / la portée de la poutre, par a et /? les rota¬
tions des appuis A et B. Dans le cas d'un encastrement parfait,les conditions d'élasticité
a = 0 (8) /¥ = 0 (9) Al=0 (10)
conduisent, si l'on applique le principe de superposition, aux équa¬tions d'élasticité:
4) Voir au chapitre IV, § 7, les résultats des mesures effectuées sur
deux modèles de poutres symétriques à goussets curvilignes.s) Voir [36] et [37].6) Nous développerons plus loin (chapitre III, § 7) les formules re¬
latives à un encastrement élastique.
— 35 —
a = a0 + Mt «! + M% «2 + //a, = 0, (8')/? = §0 + M, ft + M, ft + Hfia = 0, (9')A l — A l0 + M, zl /x + Ms A 4 + HA /8 = 0. (10')
D'après le théorème de Maxwell sur la réciprocité des dé¬
formations élastiques, on a:
«, = &, J/, = «», àk = P*. (H)
De plus, dans le cas d'une poutre symétrique:
«1 = & , «3 = P» (12)
• Fig. 10.
Il est clair que la résolution du système constitué par les
équations (8') (9') (10') conduirait à des expressions très com¬
pliquées pour Mv M2 et H.
Ces équations peuvent heureusement se ramener à une forme
plus simple grâce à un artifice proposé par Màller-Breslau (voir[30], p. 300). Nous imaginons les appuis A et B reliés à des
leviers rigides, indéformables, aux extrémités 01 et 02 desquelsagit la poussée horizontale H (fig. 11). On choisit la hauteur t
de ces leviers de façon que:
«3 = ^3 = 0, (13)
et, par suite de (11) :
Al1 = Al2 = 0. (14)
Désignons par ô la variation de la distance Ox02 des extré¬
mités des leviers. Les conditions a. = 0, /? = 0, Al = 0 exigent,puisque les leviers sont rigides:
(5 = 0,
et les équations d'élasticité (8') (9') (10') se réduisent à:
— 36 —
or0 + Mi «j + M2 a2 = 0, (8")
& + **!& +Ma02 = O, (9")
Ô0+HÔ3 =0. (10")
Les équations (8") et (9") ne sont pas autre chose que les
équations d'élasticité d'une poutre parfaitement encastrée à axe
rectiligne 7). L'équation (10") est propre à la voûte8).
izn
Fig. 11.
En un profil d'abscisse x (fig 12 et 13), le moment de fle¬
xion M*, l'effort normal N* et l'effort tranchant Q* sont donnés
par les expressions suivantes:
M* = M0 + M, -+ M2 T-Hy,
N*= N0 +M2 -M,
l
Q*= Qo + --2- Mi
sin<p + Hcos<p,
coscp — //sin<
(15)
où M0, N0 et Q0 se rapportent au système isostatique de réfé¬
rence, Mv M2 et H étant les grandeurs surabondantes.
Nous ne voulons nous occuper que du calcul de H. De
(10"), on tire:
H 1°â3
(16)
7) On les désigne en allemand sous le nom de „Balkengleichungen".
e) „Bogengleichung". Cette équation ne contient pas de terme en
Mi et Mit car ces couples ne produisent aucun déplacement horizontal
de Oj et 02 puisque a3 = /?3 = 0 et en vertu du théorème de Maxwell.
— 37 —
où ô0 représente la variation ô sous l'action des charges données,
et (53 cette même variation sous l'action d'une force H = 1 agis¬
sant aux extrémités Ot et 02 des leviers rigides.
b) Le centre élastique. Nous avons choisi la hauteur t des
leviers rigides de façon que la condition
«3 = h = 0 (13)soit remplie.
Fig. 12.
Fig. 13.
Dans le but de déterminer t, calculons la rotation <x3 de l'ap¬
pui A du système isostatique de référence sous l'action. d'une
force H = 1. Appliquons le principe des travaux virtuels 9). On a:
i
'Nids.
f N'Nds.
(/.Q'Qds3 J £7
+ J ^êT~ + J ^7"(17)
Les grandeurs M, N, Q désignent ici les moments de flexion,
efforts normaux et efforts tranchants produits par un état de
!l) Voir [31], p. 129.
— 38 —
charge réel H = 1 (fig. 12) 10), M', N', Q' ceux produits par un
état de charge virtuel M± = \ (fig. 13) n).E représente le module d'élasticité, G le module de glisse¬
ment, / et F le moment d'inertie et l'aire d'une section perpen¬
diculaire à l'axe de la poutre, x est un facteur > 1 dont la valeur
dépend de la forme de la section 12).
oc3 désignant une rotation, la contribution à la déformation
des efforts normaux et tranchants est nulle13), et (17) se réduit à
«,==Ji!^*. (17')
0
En se reportant aux figures 12 et 13, on trouve immédiate¬
ment:
M = — \-y, M' =*'
Introduisons ces expressions dans (17') et supposons que le
module d'élasticité soit constant. 11 vient:
(18)1 f x' y ds
a' = -JË)-i—
En remplaçant dans (13), on a:
l
Çx'yds_ Q
0
Introduisons un système d'axes rectal
leur origine en 5 (fig 12):
*' = i + . x = -2--v,
0
(19)
et (19) devient:
10) Cet état de charge est désigné en allemand sous le nom de „Ver-schiebungszustand".
u) „Belastungszustand".
12) Voir [32], p. 146.
13) On s'en rendrait facilement compte par le calcul.
— 39 —
l [ ds f ds
dsLe terme J" yy — est nécessairement nul, puisque l'axe y est
o '
un axe de symétrie et que l'axe v lui est perpendiculaire. On
a donc:t
(20)
•eS^ '^"parallèle au contour supérieurtë
#
Fig. 14. Gousset rectiligne quelconque.
Pour ^«£ la condition (13) soit remplie, il faut et il suffit
que la poussée horizontale H passe par le centre S des masses
ds
élastiques dw = —j-u).
La hauteur t de 5 sera donnée par:
(21)
Cette formule contient le facteur Les formules donnant
1les déformations ô contiendront en outre le facteur -_
u) Dans le cas d'un module d'élasticité variable, il faudrait intro-
dsduire les masses élastiques dw =
=j .
— 40 —
Considérons une poutre symétrique à goussets rectilignes quel¬conques (fig. 14). Nous ne faisons qu'une restriction: l'angle <pest assez petit pour que l'on puisse remplacer les sections nor¬
males à l'axe par des sections verticales. On peut admettre quel'erreur ainsi commise est acceptable tant que cp est inférieur à
15°. C'est le cas des poutres encastrées envisagées habituelle¬
ment dans la pratique.
La position de l'axe est fixée par les grandeurs a, b, f. La
hauteur de gousset h0 est donné par:
h0 = hE— hM.15)
En un profil d'abscisse x, on a (fig. 14):
h hM + — {a — x).a
Posons
Il vient:
= c
im(22)
h = hM ( 1 + c
\ a
x >
d'où:
(23)
Le long du gousset, la variation du moment d'inertie est
donnée par:
(24)
et celle de l'aire par:
Fm
F~
= (t) = 1
('+«-;*)(25)
16) L'indice M se rapporte au milieu de la poutre, l'indice E à l'en¬
castrement.
— 41 —
Au lieu de c (22), les traités introduisent en général le
rapport :
Im
Ie
Pour x = 0, (24) devient:
Im
hn
(î + cf
d'où:
(26)
Fig. 15.
Calculons maintenant, en partant de (21), la position du
centre élastique 5. On a, pour le gousset (fig. 15) :
dx .,,_/„dsCOSÇ9
et
L'*=_L_ [y'dx= f f_
J / cosg? J / a/juCOScp I /i
xdx afC \3 2(1 + c)IMcos(p
Pour la partie médiane à hauteur constante:
I = Im, <f = 0, ds = dx, / = f et
f ,ds_
bf
'M
ls) Nous nous dispensons de donner le calcul des intégrales rencon¬
trées au cours de ce chapitre. Le tableau VII indique leur valeur.
— 42 —
Pour la poutre entière, le numérateur de (21) s'écrira:
IV-=
^ +
)y 1(1+c)IMcos<p
bl.(1+c)/AfCOSQ9
'
IM(27)
Calculons maintenant le dénominateur de (21). Pour le
gousset:
a
rds_
1 f dx_
J t -
iMcos<p J TT+TITTf~~
a(2 + c)
2(1 + c)2/yMCOS^
Pour la partie médiane à hauteur constante:
!et pour la poutre entière:
JS =
ds b
~T~Tm
a(2 + c)+
b
(1 + c)2/^COSQ3 IM(28)
En introduisant (27) et (28) dans (21), on obtient, après
quelques simplifications :
(1 + g) [a + b (1 4- ç) cos y]a (2 + c) 4- 6(1"+ c)2cosçi
' (29)
cos q> étant égal à ,
—
ya2 + /!quatre grandeurs a, b, c, f:
,on voit que t est fonction des
t = t {a, b, c, f).
3. Calcul de la poussée horizontale pour des chargesisolées symétriques
Il n'est pas indiqué d'envisager dès l'abord un état de charge
asymétrique. Cela conduirait à des calculs très fastidieux.
Nous ne considérerons donc dans ce paragraphe que des états
de charge symétriques constitués par des charges isolées. Nous
— 43 —
verrons ensuite (chap. III, § 4) comment il est possible, par de
simples considérations de symétrie, d'en déduire les formules va¬
lables dans le cas d'un état de charge quelconque.
Fig. 16.
La poussée horizontale H est donné par la formule (16).Pour calculer les déformations ô0 et ô5, nous appliquerons de nou¬
veau le principe des travaux virtuels:
ô =M'Mds
+
N'Nds [/.Q'Qds(30)
El'
i EF'
J GF0 0 0
La tangente à l'axe de la poutre étant discontinue aux points
— 44 —
d'abscisses x = a et x = l—a, il faudra envisager, dans le calcul
de ô0, deux cas distincts:
a) les deux charges P se trouvent placées sur la partie mé¬
diane à hauteur constante (fig. 16);
b) les deux charges P sont placées sur les goussets (fig. 18).
Quant au dénominateur ôs de (16), il est indépendant de
l'état de charge considéré et ne dépend que des dimensions de la
poutre.Nous donnons au tableau VII la valeur des intégrales définies
que nous avons utilisées.
a) Calcul de ô0, les deux charges P se trouvant sur la partie
médiane de la poutre, {a^d^-y )Les états de charge réel (charges P) et virtuel (//= 1) sont
représentés respectivement par les figures 16 et 17. On a, pour le
premier (fig. 16) :
Q = 4- P cos cp ,
Q = + P,
pour 0 ^5 X *S d : M = + Px,
„d J$ X « 2-: M
= + Pd,
„o « X <ç a : N = — P sin cp
x 7),
„a ^: X < d : N = 0,
„d iÇ X ^ : JV = Q = 0;
et pour le second (fig. 17) :
pour 0 iÇ X ^r2
: M' = - 1 • y,
„o ;Ç X ^S a : N' = — 1 cos <p,
„a jÇ X «4: *'=-!,
Q' = — 1 sin <p,
Q'= 0.
Portons ces expressions dans (30) ; on voit qu'il suffira de
calculer les intégrales pour une moitié de la poutre, par suite
de la symétrie, et de multiplier par 2 le résultat obtenu.
17) q) désigne l'angle fixe formé par l'axe du gousset et l'horizontale
(fig. 15).
45
Exprimons encore le module de glissement G en fonction du
module d'élasticité E:
G =2(1 + v)
v désignant le coefficient de Poisson.
COSf
(31)
Fig. 17.
Nous ne ferons pour l'instant aucune hypothèse sur la valeur
de v, ni sur celle du facteur x caractérisant la répartition dans
une section des tensions de cisaillement. Les formules établies
seront ainsi tout à fait générales.Considérons la première intégrale de (30). Pour le gousset,
on a:
46 —
dx 11 1as = 1 - =
cosy / /Mh+C_±x\ a
et:
aa
Ç M'M ds _[ — y • Pxdx_
P C xy dx
J El~
J ElCOSq)—
EImCOS<P /] ic
£a 7
Si l'on remarque (fig. 12 et 15) que:
y = y' —1= x — t, on obtient:
"[M'Mds Pa* I / .
2_
,. ,.
, m* 1
o
Pour la partie médiane à hauteur constante on a, en se repor¬
tant aux figures 16 et 17:
CJ^Mds^ r-yM_dx Pit-t)J El J EIM EIm
K + '
Calculons maintenant ensemble les deux dernières intégralesde (30). Pour le gousset:
a a
ÇN'Nds (/.Q'Qds_
("Psin^cos^akc {y.P(-s'mq>)cos(pdxJ EF
+ J OF~~
J ~EFcosy~ + J GFcosw
—
o n
a a
_Ps\r\(p C dx Ps'mcp C /.dx
Dans le cas d'une section de forme quelconque et de hauteur
variable, le facteur x peut varier entre certaines limites. On in¬
troduit alors une valeur moyenne constante /. et l'on a, en rem¬
plaçant G par (31):
[N'Nds,UQQds Psincp ., „_ ., ,
..f dx
0
\
«
[1-2* (! + ")]
o
\a
I
Pa In (1 + c)sinç>cff.
— 47 —
Pour la partie médiane (figures 16 et 17):
(• N'Nds (• x Q' Q ds_
J EF J OF~—'
L'expression complète de <50 est donc, pour l'état de charge (a) :
t
EIM cos cp
+_2_/>aln(l+^sjn^ -
et r~M
Nous la laissons pour l'instant sous cette forme et passons à:
b) Calcul de ô0, les deux charges P se trouvant sur les gous¬
sets. (0<d<a)L'état de charge réel (charges P) est représenté à la figure 18,
l'état de charge virtuel (H=\) à la figure 17. On a, pour le
premier (fig. 18) :
pour Q^x^s d ;M = + Px, N = — Psintp, Q = + Pcos<p,
et pour rf^^^^ : M + Pd, N=0, <3 = 0.
Pour calculer la première intégrale de (30) le long du gous¬
set, il faut intégrer d'abord entre 0 et d, puis entre d et a. On
obtient successivement:
d
f M'Mds_
f Px
J ~~Ë7 ~
J~
eTi,ydx PdydxCOS cp .1 ElcOSq)
îlf x-t\xdx Pd
E/Mcoscp)(Uc_^x EIM cos «
a x~t\dx
1c \s
1 +C X]a
Pa*
c2E/Mcos<p
\+ccd
In\ + c
a (l+c-32/-
Pd(a-d)
c(\ + c-—]EImCOS<pf+\f(\+c)-a\
et
T+c
d
2(\+c)
211+c-
cd
a
~cJ
a
(32)
et \
Uc~)
1-2
2 \ + ccd
48
Pour la partie médiane:
l-a l-a
(M'Mds_
C—(f — 1)Pddx_
_
Pd{f — t) f_
Pbd(f — t)J El ~] ET
~
EIM ) *~
EIMa a
Calculons maintenant les deux dernières intégrales de (30) ;
les efforts normaux et tranchants ne contribuent à la déforma¬
tion ô0 qu'entre les limites x = 0 et x = d (fig. 18):
P P
Pcosf
(N'Nds C/.Q'Qds_ j*J EF
+J G F J
Pcosf
Fig. 18.
d û
P sin <p cos (p dxt
( x P (-s'm q>) cos <p dx
Psinç?
M kdx P ît sin cp
EFcoscp
d
+ i'- G Fcos <p
\ + C Xa
G FM kdx
i + C Xa
— 49 —
Psincp
EFm[1-2M.«)]f-
dx Pa sin<p
+ C Xa
cEF,
M
[1 - 2z (1 + v)] In
\+c-cd
1+e
Pour la poutre entière, l'expression complète de ô0 est donc,
pour l'état de charge (b) :
2Pa2
c^E/mCos^
1 ,C(t
f l+c
-Mn—r
c \+cA \AI 1 ,,. / rd\ \l~
a(Uc-c{)1+c
2(l + c~cdl+c,
2P d(a-d)f + \f(\+c)-d]
a('+<-ï).Pbd(f-t)EIm
[l-2x(l + v)] In
l+ccd
c(\+c-c—\eIM COSÇ9
2Pasmcp
Il reste à trouver l'expression du dénominateur de (16).
ô3 n'est pas autre chose que la déformation ô sous l'action de
H = 1. L'état de charge réel (H = 1) étant identique à l'état de
charge virtuel (fig. 17), le principe des travaux virtuels s'écrit:
d> = \~iËJ- + )-Ë-r + yTV'2 ds
.r*<2'2 ds
G F(30')
pour 0
On a (fig. 17)
: M' — i -y;
„0 < * < a : AT = — 1 COS cp ,
'.„ = 1
Q' = — 1 sin 99 ;
Q'= 0,
et la première intégrale de (30') devient, pour le gousset:
•M'*ds
El
EIM cos 99
r /2 ds
El ElMCOS<pUl+c_e_x
(-Çx-tYdx
\&«--* + w + *>-&+fâ®
— 50 —
Pour la partie médiane:
/- a
b{j-tr[M'I^ -
(LrJfl [,,r-J El ~'EI» J^-
Calculons maintenant les deux dernières intégrales de (30').Pour le gousset:
N'2 ds f x Q' 2ds
_
r
cos2
tp
dx
Çxsin2<p dxÇ N'*ds CxQ'2 ds
_
f cos2 <p dx C
J EF J GF J EFcos<p J GFcos<p0 0 0 0
û_
a
cos2 <p ç dx x sin2 99 r dx
EFMcoscp j (1+c_0 +G7^cos<p J /1+c_^x\0 \ a/ 0 \ a /
a
1_ Ç dx
:
^^[cos2 ç> - 25 (1 + ,) sin2 d j ^-—^
0 \ a
aln(l + c)r ro-/i \ 11
•9 1v '
[l + {2x(l + v)-l}sin2g9].cEFjuCOScp
Pour la partie médiane, N'= — 1, Q' = 0, et:
CN'*ds Cy.Q'*ds _Jdx 1 7"J f/7 +J GF
~ )e~F~ EFm) X~
EFm
L'expression complète de ô3 est finalement:
d,=^B-|£(,.-2,+ ln<l +
c).)-f+ ^>£1+]EIMcos<p 12c3 l v 'J 1 + c 2(l + c)2J L
.
b{f-tf 2flln(l+c)M,__„ ,
v tl•
, ,*
+ é, +c-c- /[l+{2x(l+j')-l}sin2qr)] + -=r^.
EIM cEFMcoscpl'
EFM )
Pour une voûte donnée, ô3 ne dépend pas des conditions de
charge.
Remplaçons maintenant, dans (16), ô0 et ô3 par les expres¬
sions (32), (33) et (34). On obtient après quelques simplifica¬
tions, pour chacun des deux états de charge considérés:
— 51 —
a) Les deux charges P agissent symétriquement sur la partiel
médiane (a^d^ ~-):
Formule (35) f)
b) Les deux charges P sont placées symétriquement sur les
goussets (O^d^a):
Formule (36) f)
Afin de vérifier l'exactitude de ces formules, nous avons effec¬
tué divers contrôles:
1. Les formules (35) et (36) sont correctes au point de vue
des dimensions: \fi \ = \P\.2. Nous avons calculé à nouveau les déformations ô0 et ô3
en appliquant le théorème de Castigliano. Nous avons retrouvé
les formules (32), (33) et (34).3. Pour d = 0, la formule (36) donne bien H = 0.
4. Les formules (35) et (36) doivent être identiques si l'on
y fait d = a. C'est bien le cas.
Remarques.
1. On sait, depuis les travaux de Maurice Lévy [42] et de
Micliell [43], que les tensions sont en général indépendantes, en
élasticité bidimensionnelle, des coefficients élastiques E et v de
la matière sollicitée. Cette indépendance existe lorsque les forces
agissent sur le contour extérieur de la plaque et peuvent être
considérées comme données; dans le cas où la plaque a des vides
intérieurs, il faut en outre que les forces agissant sur le contour
de chaque vide soient en équilibre ou se réduisent à un couple.Ces conditions n'étant pas toutes réalisées pour les états de
charge que nous avons envisagés, il ne faut pas s'étonner que le
coefficient de Poisson intervienne dans les formules (35) et (36).On sait cependant qu'une variation de v n'a que peu d'influence
sur la valeur des tensions18), et qu'il n'est pas indiqué en gé-
t) L'impossibilité de placer ici ces formules par suite de leur extension
nous oblige à les faire figurer dans un tableau formant dépliant (voirTableau 3, p. 52/53).
") Voir [16], p. 88.
— 52 —
néral de faire usage des facteurs de correction19). Nous verrons
plus loin (chap. IV, § 8) qu'une variation de vde-f- 75 o/o n'en¬
traîne qu'une variation de la poussée horizontale de -j-l,5<>/o au
maximum.
2. La grandeur t est à remplacer par l'expression (29).3. Dans le cas particulier où c --= 0 (voûte à hauteur cons¬
tante), (29) devient:
a -\- b cos q. i mn*\t — / (29*)2 a + b cos >p
La formule (35) reste applicable si l'on a soin de remplacerau numérateur:
[fB{c*-2c + \n(l+cy}]c= o
au dénominateur:
f2[ 2cs c2 — 2c+ln(l +c)*}«-o
par ^ ,et
par '3 2").
Elle devient, dans ces conditions:
H-/m cos 99 \ 3 I Im Fm
2a If
//rtCOSçA3
-02 2a[l+{2Z(l+v)-l}sin2ç)] 6
/^ cos <p /*;M
(35*)
Dans le cas où c = 0, la formule (36) est à remplacer par la
suivante :
d
H-ImCOS<p
f(^^\+ t(d-2a)\ + bd(f-^ <
2d[2~^+v)-\]sm<p-laa
cP
Im+
Fm
J^ (fl u+A +*W
+2a[l+{2x(l + y)-l}sin»y]
+_ô_
/m cos 99 \ 3 ' //w /vif cos 99 F/n
(36*)
19) Ces facteurs de correction s'obtiennent par des essais de disloca¬
tion. Cette méthode a été indiquée par tilon (voir [34], p. 75).
20) Ces vraies valeurs se calculent facilement en développant In (1 + c)en série.
Tableau 3
Formules (35), (36), (35'), (36'), (35"), (36"), (37"), (44), (44').
(Chap. III, § 3, 4 et 5)A la page 51 :
a) Les deux charges P agissent symétriquement sur la partie médiane [a d
H =
aL \f/AfCOSr^Lc1
[ci 2c + ln(l + c^1 + c I Im
cF,
M
la
lucoscp— (c2 -2c + ln(l + c)2} ? +
(2 + ')'M,M/-0\2aln(l + c)[l + {2*(l + *)-l}sin>] b
l + c 2{l + c) :] Im c Fm cos rp Fm
(35)
b) Les deux charges P sont placées symétriquement sur les goussets (0 % d a):
_2o*__c ImCOS<p
11=
-,cd
t l YC-
' In -- ht- — 2^'% et 2d(a-d)
c(\+c-r Wcosç-f+\f(l+c)-ct]
2K"?)bdjf-t) 2a[2x(l+y)-l]siny
Uc'<
Im cFm l+c
cd
2a
Im cos <p)l2ry l + c 2(l + c)2J 7^ c/^cosgp Z7^
(36)
A la page 54:
a) Pour a x l — a •
1
''=2 2a
/«cos
a2
Aw cos
l/293 L2c3
{c2-2c +
2c + ln
In (l+c)
(l+c)2}
2X f(' l+c
/ \ + f~(U a^l + cl IM
(2 + c)t>] bit-t)-+
2(l + c)2l IM
x))|2aln(l+c)[2/(l+,)-c Fm
1]
"Il
sin 9
b
Fm
2a In (l+c) [l+{2 7(l + y)-c Fm cos 9
sin >](35')
b) Pour 0 x a
2a1
C2IM COS q
1 l+c- X
f\n1
a-
c l+c a{l+c-^x)V
1
et 2(l+c)-^+c 2(l+c cx
/-et
l+c
2x(a x)
dl+c- — x\lc[l+C
x)lMCOSq
c--l 2
f+[f(l+c)-ct] f2(l+c Lax
+bx{f-t) _2a[24l+i)-l]smq]nHc- a*
Im cFm l+c
2« I /2 r.*
/m COS 93 l2/i(,-2ctl„o+£R-/tV^l+«%ft (2 + c)^] b(f-t)2 2flln(l+c)[l+{2Â(l+v)-l}sinV] b
c Fm cos 95 ^"m
(36')
A la page 55 :
a) Pour a x ^l — a.
I
-I)soo L
/
Im cos q le<c2-2c + ln(l+c)2}
l + c
2_c/^ cos 93
/-*., , ,,94 a In (l+c) sin 9
Im 25c Fm
47.
L2c3' v /J l+c 2(l+ c)2l /a, cFMcosq Fm
(35")
b) Poar 0 jc a:
2 a2
C2/ywCOS9J
;l+c *
'in ,-^-c l + c a[l+c-
'
xjV-
ct pn+c)-;l+c ï(l-K-S)
'-£ 2x(a-x)
cil+C- XjlMCOSqf+[f(l+c)-ct)
!(l+c^*)*jc(/-/)_94a_sin^. l+c~axIM 25 cFm l + c
2
IM cos 9osX3^ 2c + ln(U^-l + ch2-(î+7pl + -
y-ty2a ln (1+c)(1+isi"2 y) b
Im c Fm cos q FA
(36")
IjM-
a" \f<c> -c\\n(U^
Ml'-f 2\ Q4aln(l + 0sinv
1 iMCOSylc'V2c + ln(1 + f),
i + c| + /AfU aj+ 25 cFM
2
,
*«- 1 '> 2c+ ,n(l+c)2} /< ^^l^-O^^'-O^K^) *
/AfCOS^l2c3 ! + c 2(l+c)2l IM cFMcosq Fm
(37")
A la page 62:
a~ ri'J l/IV- °r 1 ln H 1 ri21 ^{c3-3c2-6c+3(l+c)ln(l+c)n-^] + /2/^(/3-6fl2/+4cJ^)--^^[l-27.(l+.)][a + ln(l+^ ->*}\2IM cos 99 Le3 Va ' l
— -
r'{c9-
Im cos 95 l_2c3„.„„„,.»,
/',(2 + c)/n Z.(/-02,2aln(l + c)[l + {2^(l + ,)-l}s.n293] 6
P
~2c + ln(l + c)}1 + c
+
2(1+c)2]+ Im+ -
CjpmCosç"
+FM
(44)
et, si (section rectangulaire) et i — 0,200
7i^lV[ï•(i'+;){e, 2«l"0M')-:fl«* 3^-6«3(l«)ln<l«>-)-1^] + ^(l'-6-»f+4-1+°^-*^''[- + ln(l+«j{^-^(l + £)}]2^Mcosj^_
47
L2c3 ' v /J l + c 2 l+c)2] IM cFmCosw F,1M cos 9"
M
(44')
— 53 —
4. Equations de la ligne d'influence de la poussée horizontale
a) Solution exacte.
Nous obtiendrons immédiatement l'équation exacte de la ligned'influence de H, à partir des formules (35) et (36), en faisant
les remarques suivantes:
Nous n'avons considéré que des poutres symétriques par rap¬
port à un axe vertical passant par le milieu de leur portée. Dans
ces conditions, la ligne d'influence de H sera symétrique, elle
Paussi, par rapport à cet axe, et deux forces
~ à la distance d
des appuis produiront la même poussée horizontale qu'une seule
force P agissant à la même distance d d'un des appuis.
Fig. 19.
En d'autres termes, pour avoir l'équation de la ligne d'in¬
fluence cherchée, il suffit de faire P = J et d = x dans les formules
(35) et (36) (fig. 19).Nous désignerons par rj les ordonnées de la ligne d'influence
de H. Comme la poussée horizontale est donnée par deux for¬
mules distinctes suivant que les charges P se trouvent sur les
goussets ou sur la partie médiane, nous aurons pour rj deux équa¬tions dont l'une sera valable pour O^x^a, l'autre pour
a =C x ^ / — a.
Pour obtenir ces équations, faisons comme nous l'avons dit
P = i et d = x dans (35) et (36). On a:
— 54 —
a) Pour a <^ x <J / — a :
Formule (35') f )
b) Aw 0<x<a:
Formule (36') f)
Si nous considérons (35'), nous voyons que cette formule
peut se mettre sous la forme:
' = 2D(35 }
où A, B, C, D sont des constantes qui ne dépendent que de la
forme de la poutre, et non de x. C'est l'équation d'une parabole
ayant l'axe vertical de symétrie comme axe transverse. Pour
x = ^y >on a bien:
ce qui correspond à un maximum de la fonction r\ (x). Dési¬
gnons par rjM la valeur de ce maximum. On a, en faisant x = —
dans (35') :
1_ /Afcosylc3__
; J1 + d 7m \ 4 J c/^
'"2 _2fl_ /! {c!_~c+ln(H<)»_ ff (24^)^1"^=^| 2flln(1+c)[l+{2^(1+yH}slnV] _ô_/^cos(pL2c3''
''1+c 2(1+c):l IM cFMco%(p Fm
Nous allons faire maintenant certaines hypothèses concernant
le facteur * et le coefficient de Poisson v. Nous supposons tout
d'abord que la poutre a une section rectangulaire. Dans ce cas:
6 21)
|) L'impossibilité de placer ici ces formules par suite de leur extension
nous oblige à les faire figurer dans un tableau formant dépliant (voir'
Tableau 3, p. 52/53).
21) Voir [32], p. 148.
— 55 —
Quant au coefficient de Poisson, nous l'admettrons égal à
(/«= —=5). En effet, cette valeur est aussi bien celle du bé-5 v
ton22) que celle des verres utilisés en photo-élasticité23).
Avec y = 0,200 {m = 5),
0 = 12E (31)'
6et les formules (35'), (36') et (37') deviennent, si ' =
e:
a) Pour u^j:^/ — a :
Formule (35") f)
b) Pour a ^ x ^ a :
Formule (36") f)et Formule (37") f)
b) Solutions approchées.
Il est évident que les formules que nous venons d'établir
(35"), et plus particulièrement (36"), sont d'un emploi peu com¬
mode. C'est pourquoi nous allons chercher à les remplacer par
une seule formule approchée mais plus simple. Dans ce but, nous
avons tout d'abord calculé au moyen de (35") et de (36"), pour 22
points de la poutre encastrée II, les valeurs des ordonnées r\. La
courbe correspondante est représentée à la figure 20 par un trait
continu24).Nous allons maintenant choisir successivement différentes
fonctions en vue de trouver pour i] (x) une équation simple dont
la courbe représentative s'approche le plus possible de la ligne
d'influence exacte donnée par (35") et (36").
f) L'impossibilité de placer ici ces formules par suite de leur extension
nous oblige à les faire figurer dans un tableau formant dépliant (voirTableau 3, p. 52/53).
a2) Voir [33], figure 7, p. 10.
23) Rajnfeld [ 7] donne, pour le verre qu'il a utilisé, la valeur v = 0,214
(p. 20); Meyer[9], v= 0,202 (p. 291).
24) La ligne d'influence ayant un axe de symétrie, nous ne l'avons
tracée que pour une moitié de la portée.
— 56 —
Pour simplifier l'expression des fonctions choisies, introdui¬
sons un nouveau système de coordonnées cartésiennes rectangu¬
laires (X, r() d'origine O' (fig. 21).
-f-
^^gr---.
Fig. 20. Poutre encastrée II.
Lignes d'influence de la poussée horizontale:
d'après les équation exactes (35") et (36") ;
d'après l'équation approchée (38);
d'après l'équation proposée (42).
Choisissons tout d'abord pour ?; (X) la fonction trigonomé-
trique simple:
(38),<*> = fil+«»£*]Pour X = 0, rj = rtM ; pour X — ± -=, jy = 0
.
— 57 —
Nous avons calculé, en un certain nombre de points de la
poutre encastrée II, les valeurs r\ données par (38). La courbe
correspondante est représentée à la figure 20 par des traits et des
points. On voit qu'elle passe constamment au-dessus de la ligned'influence exacte (trait continu). Les erreurs relatives (rappor¬tées à l'ordonnée maximum j;m) atteignent jusqu'à 6 o/o.
Comme second essai, on pourrait songer à adopter pour rj(X)une expression de la forme:
l](X) = a0+ S^cos ,-*, (39)
en prenant n égal à 2 ou 3. Le calcul des coefficients prendrait
cependant plus de temps que le calcul des ordonnées exactes par
les formules (35") et (36") ! Nous ne nous arrêtons donc pas à
cette solution.
Fig. 21.
Choisissons maintenant pour r\ (X) un trinôme bicarré, sug¬
géré par l'allure de la ligne d'influence:
tj(X) = «, X4 + a, X2 + a-, , (40)
et imposons-lui les conditions suivantes:
pour X = 0 : >i—
i,m',
„X = ± l2 : /; = 0
.
/Le polynôme rj (X) ayant une racine double pour X = £- ^
(fig. 21) peut se mettre sous la forme:
rj(X) = C0 (X* - J)2 (41)
— 58 —
où C0 est une constante. Pour X = 0, on doit avoir r\ = r\M, d'où
16»?AfQ,
et *(*) = ^l*
ou encore:
216 1m(„ i2
i(x) = (*a x*-i)\M (42)
Nous avons calculé, en un certain nombre de points de la
poutre encastrée II, les ordonnées r\ au moyen de la formule (42) ;
la courbe correspondante v\ (X) est représentée à la figure 20 par
un trait interrompu. On voit qu'elle s'approche beaucoup plusde la ligne d'influence exacte que la cosinusoïde définie par (38),et qu'elle coupe la courbe exacte aux environs du point d'abscisse
X = =30 mm ; les écarts ont lieu tantôt dans un sens, tantôt4
dans l'autre, ce qui est favorable dans le cas d'une charge unifor¬
mément répartie.Pour la poutre encastrée II, l'erreur relative maximum (rap¬
portée à rjM) est de 2,7 »o. Ce résultat est satisfaisant si l'on,
songe que fi représente un effet secondaire.
Il n'est pas indiqué de choisir des polynômes de degré plusélevé (6e degré,...). Ils ne donnent pas des résultats qui soient
de nature à justifier les calculs supplémentaires qu'ils nécessitent.
Nous proposons donc de calculer l'ordonnée maximum t)M
au moyen de la formule (37") 25) et de tracer ensuite la ligne
d'influence en utilisant l'équation (42).
On pourrait objecter avec raison que rien ne prouve que la
formule proposée (42) donne d'aussi bons résultats pour des
25) Ce calcul s'effectue assez rapidement, car certains facteurs du
numérateur se retrouvent au dénominateur. La règle à calcul introduit
cependant des erreurs appréciables, car les différents termes sont du
même ordre de grandeur. Il est donc recommandé d'utiliser soit les lo¬
garithmes, soit une machine à calculer.
— 59 —
poutres dont la forme s'écarte sensiblement de celle de la poutreencastrée II.
On verra plus loin (chap. IV, § 5), en étudiant des goussetsde différentes hauteurs, que l'équation proposée (42) donne une
approximation suffisante pour les poutres que l'on rencontre or¬
dinairement dans la pratique (figures 31 à 34).
5. Calcul de la poussée horizontale pour une chargeuniformément répartie
La poussée horizontale est donnée de nouveau par la for¬
mule (16). Il suffit de calculer le numérateur ô0, car le dénomi¬
nateur <53 ne dépend pas de l'état de charge considéré, et nous
avons déjà calculé son expression (équation (34)).Pour obtenir <50, appliquons de nouveau le principe des tra¬
vaux virtuels (30) :
/ i i
M'Mds [N'Nds,[y.Q'Qds
o o n
L'état de charge réel {M, N, Q) est représenté à la figure 22.
p désigne ici la charge par unité de longueur. L'état de chargevirtuel {M', N', Q) est représenté à la figure 17. On a (fig. 22) :
pour 0 < x < : M=p*-(l-x);
„0<x < a : N = —p sin cp (
Q = p cos cp ( -2~X)'
„a ^ x <
l
2:; N=0, Q=p(i -x) '
et, (fig. 17):
pour 0 < x < : M'=-\-y;
„0 < x < a : N' = - - 1 cos cp, Q'=-
„a =C x <
l: N' = - 1
, Q'=0
1 sin 99 ;
— 60 —
Portons ces expressions dans (30) ; il suffit de calculer les
intégrales pour une moitié de la poutre, par suite de la symétrie,el de doubler les résultats obtenus.
Fig. 22.
Rappelons que, pour le gousset, le moment d'inertie / et
l'aire F d'une section sont donnés par:
1_
1 1
+c
--
1_
1 1
F~
Fm t~~ <•
et
1 'm (\ +c
c — Xa
(24)
(25)
— 61 —
Considérons la première intégrale de (30). Pour le gousset:
jdx
ias =
,et
cosç?
M'Mds
f (-y)^x{l-x)dx(M'Mds
_ f
oElM cos <p [ 1 + c - — x\
alfCi— x-nx (l- x)dx
i U+c-ElMCOStp) (]4.r_±x
a
Pour la partie médiane à hauteur constante:
[MMds_ Ç-(f-t)jx(l-x)dx_ p{f_t)C
(/3-6a2/+4a3).\2EIM
Calculons maintenant ensemble les deux dernières intégralesde (30). Les efforts normaux et tranchants ne contribuent à la
déformation ô0 que dans les goussets seulement (fig. 17 et 22).Or a, pour un gousset:
N'Nds [xQ'Qds_afPsinq,cosq){j-x)dx
?--*psm<pcos<p(j-x)dxÏN'Nds
[xQ'Qds
_
j-^sinycosy^-xjtfx ,
J ef +J gf~)~^~^~frrrz^+i
o EFMCOSqo{l+c--''-x\ f( GFmcos(p(\+c-^x
Mais:. G = T(^y <31>
et l'expression ci-dessus devient:
psmcpf \2~x)dx 2%(\ + v)psmq>\ \2~x^dxEFM J (\_Lr__^v\ EFM
(nc-<ax)n j(1+c_£x
'') Voir au tableau VII les intégrales utilisées.
— 62 —
psmcp
Ul-x)dx
EFM
pasm<p
f \2~xax
[i-2-;(i+,)] A—^—=
[l-2z(l+v)][a + ln(l+c)j^-|(l+c)}],cEFm
L'expression complète de ô0 est donc, pour la poutre entière:
io =-^—\-.(-^-2e+ in(l+c)')-0
2EImCOS(plcs \a r
(43){ -^{c»-3^-6C+3(l+C)ln(l+C)*}-ï^]-^^(/8-6a*/+4a»)-2pasino?r. „_.,
.F".
,, , [/ a... X\
L'expression de ô3 est donnée par la formule (34). Introdui¬
sons maintenant ces expressions dans (16); nous obtenons, après
quelques simplifications:
Formule (44) f )
Formule (44') f)
Afin de vérifier les formules (44) et (44'), nous avons effec¬
tué les contrôles suivants:
1. Ces formules sont correctes au point de vue des dimen¬
sions; si [p] = kg par unité de longueur, [H] = kg.2. Nous avons déjà calculé et tracé (figure 20) la ligne d'in¬
fluence exacte de la poussée horizontale pour la poutre encas¬
trée II. Nous aurons un contrôle de (44') en planimétrant l'aire
comprise entre l'axe des X et la courbe r\ (X) définie pas les équa¬
tions (35") et (36").Si une charge uniformément répartie p agit sur la poutre,
elle engendre une poussée horizontale égale à
+ //2 //2
H = p\f](X)dX=2p\rl(X)dX. (45)
-V/2 fl
|) L'impossibilité de placer ici ces formules par suite de leur extension
nous oblige à les faire figurer dans un tableau formant dépliant (voirTableau 3, p. 52/53).
— 63 —
Mais la figure 20 montre que l'aire comprise entre l'axe des
X et la ligne d'influence exacte (trait continu) a une valeur ex¬
trêmement voisine de l'aire comprise entre ce même axe et la ligned'influence approchée donnée par l'équation (42) (trait inter¬
rompu). Nous aurons donc une très bonne valeur approchée de
fi en remplaçant dans (45) r\ (X) par l'expression (42). On
obtient:
m
//=2„J(4 V
j2X*-\) rlMdX
112
2prjM8/
30'
ltX*-%.X* + \)dX/4 P
H ~ Î5riMpl (46)
Pour la poutre encastrée II, on a:
ï]M = 0,4875, / = 120 mm, et (46) donne:
M= 31,20p 37).
Si nous calculons maintenant H pour la même poutre au
moyen de la formule (44'), nous obtenons:
H = 31,133/;.
Ces deux valeurs de H coïncident à 2,1 °/00 près! On peuten conclure que les formules (44) et (44') sont exactes.
Nous proposons également d'utiliser la formule approchée
(46) au lieu de la formule exacte (44) pour le calcul de la pous¬
sée horizontale produite par une charge uniformément répartie p.
L'erreur ainsi commise ne dépasse pas quelques °/o (voir fi¬
gures 31 à 34), ce qui est admissible pour un effet secondaire.
27) Le planimétrage de la surface comprise entre la ligne d'influence
exacte et l'axe des X a donné la valeur H = 31,38 p.
— 64 —
6. Diagrammes donnant l'ordonnée maximum tjm de la ligne
d'influence de la poussée horizontale
Nous avons indiqué, aux paragraphes 4 et 5 de ce chapitre,
une méthode approchée permettant de calculer les poussées hori¬
zontales produites dans des poutres encastrées symétriques à gous¬
sets rectilignes par des charges isolées ou uniformément réparties.
Fig. 23. Gousset rectiligne.
Cette méthode est basée sur le calcul exact de l'ordonnée
maximum rçM de la ligne d'influence de H. Cette grandeur est
donnée, dans le cas d'une poutre à section rectangulaire, par la
formule (37"). Cette dernière étant trop compliquée pour nous
permettre d'apprécier immédiatement l'influence des divers para¬
mètres sur la valeur de tjm, nous allons calculer ces valeurs en
faisant varier les paramètres.Nous admettons le coefficient de Poisson v égal à 0,200 et ne
considérons ici que des poutres dont le contour libre supérieur
est rectiligne (fig. 23).Avant d'aborder ces calculs, nous allons modifier la formule
(37"). Outre le rapport
(22)
(48)
c =h^~flM
»
sons les rappe rts:
1 -a
(47) et i" =
flM~~
~l
65 —
Nous avons, en désignant par e l'épaisseur de la poutre:
Im =ehM
12'
sin
Fm = e fiju ,
a = 11, b = {\ — 2l)l, f=-o-hM;
C f.1
2
21
La formule (29) devient:
(l + c)[a + b(l + c)cos<p] c(l + c)[X + (\-2l)(\ + c)cos<p]~
a(2 + c) + b(\ + c)Zcosqj' _
2[Â(2+c) + (l-2X)(l + c)2cos<?>]M
et, si l'on pose:
28\
c(l + c) [À + (1 — 2À)(1 + c)cosy]2[l(2 + c) + (1 — 2/.)(1 + c)2 cos<p]
on a:
En outre:
t = m hM
(49)
(50)
/ t = -~-tlM — « h-M to hM ,
et, en posant
on obtient:
y=-2 ~co
f — t= ytiM
(51)
(52)
Dans ces conditions, (37") s'écrit, après quelques simplifi¬cations :
6P f 1
f)M'-(JC0S(p
[^{^-2c+ln(1+c)2}-,—1 + 1^(1-4^) + -12c21 v ' ' 1+cJ 2n
'
lsm<p\n(\+c)25 c
12* M
cos 93
toc (2+c)t
[^8-2c+ln(1+c)î}-i^+^i-|+(1-2^)(12yï+1)+:2A(1+^sinV)ln(1+c)
ccosç?
28) Nous n'avons pas remplacé sin <p et cos ç? en fonction de c, X
et fi pour ne pas alourdir les formules.
— 66 —
m, y, sin cp et cos cp ne dépendant que de c, X et ju, on voit
qu'il est possible d'exprimer r\M uniquement en fonction des rap¬
ports c, X et ju.
Ce résultat est intéressant. Deux poutres dont les contours
sont géométriquement semblables subissent donc, si elles sont
soumises à des charges égales appliquées en des points homo¬
logues, la même poussée horizontale-9). L'épaisseur des poutres
n'intervient pas non plus.Partant de la formule (53) nous avons calculé, pour diffé¬
rentes valeurs de c, X et /j-, les valeurs correspondantes de ^M-
Les résultats de ces calculs sont donnés par les tableaux VIII à
XI et les diagrammes correspondants.Ces tableaux et ces courbes sont destinés avant tout à donner
une vue d'ensemble du phénomène et à permettre d'apprécier l'in¬
fluence de chacun des paramètres c, X et /u sur la valeur de la
poussée horizontale.
Nous avons tracé également les courbes u> (c, X, /u) ; co dé¬
finit la position du centre élastique S de la poutre (voir chap.
III, § 2, b)). On voit que u> ne dépend presque pas de /u, mais
surtout de c et de X.
Quant à la valeur de la poussée horizontale elle-même (i]m),
elle est relativement plus élevée pour des voûtes où 0,25<c<0,50
que pour des voûtes où 0,75<c<l,00.
i;m étant en première approximation proportionnel à X, il y
a intérêt à faire des goussets assez longs et, pour une portée
donnée /, à réduire la hauteur hm de la poutre en son milieu (^m
augmentant lorsque /u diminue).
29) On rapprochera cette conclusion, qui peut sembler étonnante à
première vue, de celle à laquelle on est conduit si l'on examine la valeur
de la flèche d'une poutre simple soumise en son milieu à l'action d'une
PP
charge concentrée P. Cette flèche est donnée par /= .«-,-.,' Pour une
poutre d'épaisseur égale à l'unité, on a
,h"
tP ( lY P
/ x ,
/=12'd
t=4Ë\-h)=
AE<")-'
La valeur de la flèche est la même pour des poutres géométriquement
semblables constituées de la même matière et chargées identiquement.
— 67 —
7. Extension de la théorie au cas d'un encastrement élastique
La théorie de la voûte encastrée a déjà été développée pour
un encastrement élastique30). Nous allons l'appliquer au cas quinous intéresse.
Un encastrement élastique est défini par les relations sui¬
vantes (fig. 24) :
a=~e1M1, ,
p= — esMt.\
où e1 et e2 désignent les „degrés d'encastrement" des appuis,c'est-à-dire les angles dont tournent ces derniers si on les sou¬
met à un couple de flexion unitaire et négatif.
(a) (Ji)
Fig. 24.
Les relations (54) ne sont pas autre chose que les conditions
d'élasticité de la poutre à axe rectiligne et à encastrement élas¬
tique. Nous admettons dans ce qui suit que les deux appuis ont
même degré d'encastrement et posons:
«1 = «2 = « 31)-
Les moments d'encastrement de la voûte ne sont pas égauxà Mi et à M2, mais (fig. 25) à:
Mi = M2 + Ht. J
La troisième condition d'élasticité est propre à la voûte. Elle
s'écrit (fig. 25) :
à = (a + (i)t. (55)
Supposons en outre que les appuis puissent subir une défor¬
mation élastique dans le sens horizontal sans s'affaisser verti-
30) Voir le cours „Massivbau" professé par M. Ritter à l'Ecole poly¬technique fédérale, ainsi que [36].
31) e = 0 correspond au cas de l'encastrement parfait.
— 68 —
Fig. 25.
calement32). Désignons par A le déplacement horizontal de l'ap¬
pui (fig. 26). L'axe de la poutre étant fortement surbaissé
(0° <;<pssT 15 °) et A très petit, nous négligeons l'influence de A
sur les rotations a et /} des appuis et posons:
da = d[i — 0.
En admettant que la déformation A (comptée positivementcomme raccourcissement) ne dépend que de H, on a:
A = —kH, (55')
où k est un coefficient qui caractérise l'élasticité de l'appui dans
le sens horizontal (fig. 26) ; c'est le déplacement effectué par
l'appui si on le soumet à un effort horizontal unitaire33). Sous
Fig. 26.
l'action de la poussée effective H, chacun des appuis A et B ef¬
fectue une translation horizontale, et la distance (^Oj des extré¬
mités des leviers rigides augmente de
ô = -(k1 + k2)H,
k± et k2 désignant les valeurs du coefficient k relatives aux appuisA et B. En général:
S2) C'est le cas par exemple lorsque la poutre est encastrée dans des
poteaux verticaux d'une certaine hauteur.
33) k = 0 correspond au cas de l'appui rigide dans le sens horizontal.
— 69 —
/vi ^9 —
i
d'où ô = — 2kH. (55*)
Les conditions d'élasticité sont donc, en tenant compte de
(54), (54'), (55) et (55*):
a = — s(M1 + fit) , j(i = — £ (Mo + Ht) , (56)d = — eI{Mx + M2) — 2et-H— 2kfi
,j
et les équations d'élasticité s'écrivent:
a = a0 + M! £*! + yW2 a2 + H a.à = - e (Mt -f fit),
/? = (J0 + ^ /A + 7tf2 ,i2 + //& = - e(Afa + //*),tî = d0 + M1<)1 4- Af2()'2 + Hô3 =-et(M1 + M2) ~2efiH-2kti,
ou encore:
«o + Mt («! + e) + Af2 a2 + //(«s + ef) = 0, j
l«o + Ml ft + Mt (& + e) + //(& + e *) = 0, (57)
d0 + Mx (dl + et) + M2 (<)2 + Et) + H(ôs + 2et2 + 2k) = 0.}
Ces équations peuvent se réduire à une forme plus simple
grâce à l'artifice dont nous avons déjà parlé plus haut (chap. III,
§ 2a)). Nous choisissons ici la hauteur i des leviers rigides de
façon que:
«3+ El = Ôt + Et = 0, y
tis + Et=â2 + El= 0. |
oc3 est donné par la formule (18) :
1 j* x'y dsa-> = —
3l } Et
o
e< la première équation (58) devient, avec y = y'—t (fig. 12):i i
1 f x'y' ds t f x'ds,
„
o o
ds
et, en posant -^-=dw:
_
\x'y'dw\x'dw+El-
{ >
70 —
Introduisons un système d'axes rectangulaires (y, v) ayant leur
origine en S (fig. 25). On a:
/* = v +
-2-,
11 11
x'y'dw = \(v + —jy'dw = vy'dw + - \y'dw.o
En outre:
\ x'dw = M v + -I dw = \ vdw 4- -— \dw
Mais, par raison de symétrie:
i i
j vy'dw = 0 et ^ vdw — 00 0
et (59) s'écrit:
(60)
Si nous désignons par t0 la hauteur t correspondant au cas
de l'encastrement parfait (e= 0) :
j/dwt0 =
nous avons, d'après (60) :
\dw'
5/dw]dw
(21)
1 +_2_eJdw
et
(61)
— 71 —
L'élasticité de l'encastrement diminue donc la hauteur t du
centre élastique (fig. 25).Si maintenant nous faisons agir H à l'extrémité des leviers
rigides, les équations d'élasticité (57) se réduisent à:
«0 + Mx (a, + e) + M2 a2 = 0,
(62)
0o + Mx ft + M2 ((i2 + e) = 0, (63)
do + # (<*s + 2e fi + 2k) = 0.
(64)
(62) et (63) ne sont pas autre chose que les équations d'élas¬
ticité d'une poutre à axe rectiligne et à encastrement élastique
(„Balkengleichungen"). Quant à l'équation (64), elle est propre
à la voûte (,,Bogengleichung").La formule (61) donnant t devient, si l'on y remplace t0 par
l'expression (29) et en tenant compte de (28) :
(1 +c)[a + b(\ + c)cos<p]
a(2 + c) +(l + c)*[é + 2ef/^]cosç.' ' ^ ;
La poussée horizontale est donnée par (64). Elle est égale à:
li ^o_"
ô3 + 2et2 + 2k"
L'élasticité de l'encastrement a donc pour conséquence de di¬
minuer la valeur de la poussée horizontale.
Les formules (35), (36), (35*), (36*), (35'), (36'), (37'),
(35"), (36"), (37"), (44) et (44') restent valables dans le cas
d'un encastrement élastique si l'on a soin d'ajouter partout, au
dénominateur, le terme (2 s t2 -\- 2k)E.
La poussée horizontale dépend maintenant non seulement du
coefficient de Poisson v, mais encore du module d'élasticité E.
Cela provient du fait que l'on a introduit certaines conditions
de déformation aux limites.
CHAPITRE IV
Mesures complémentaires avec poutres de plexiglas
1. Nécessité des mesures complémentaires
Nous avons établi, au chapitre précédent, les formules per¬mettant de calculer la poussée horizontale produite par des char¬
ges quelconques dans des poutres encastrées symétriques à gous¬
sets rectilignes.Il reste à vérifier que ces poussées théoriques correspondent
bien aux poussées effectives qui se produisent dans les construc¬
tions de ce genre et qu'il est permis de négliger, comme nous
l'avons fait, l'influence des déformations sur la valeur des
efforts x).Les modèles de verre étudiés au chapitre II ne permettant
pas d'effectuer ce contrôle par suite de l'élasticité des massifs
d'encastrement, il était indispensable de faire une série de me¬
sures complémentaires dans le but, non pas de déterminer com¬
plètement la répartition des tensions, mais de vérifier les for¬
mules établies au chapitre précédent pour la poussée horizontale.
Afin de réaliser un encastrement aussi parfait que possible, nousavons utilisé pour le massif et les poutres deux matériaux ayantdes modules d'élasticité totalement différents l'un de l'autre. Le
massif d'encastrement est en acier (£' = 21500 kg:mm2), les
poutres sont en plexiglas (£ = 200 kg:mm2) environ. Nous don¬
nerons au paragraphe suivant quelques-unes des caractéristiquesde ce matériau. Nous n'avons pas utilisé le verre, dont le module
x) On sait en effet que l'influence des déformations se traduit tou¬
jours, dans une voûte, par une augmentation des contraintes. Des théories
ont été développées ces années dernières en vue d'étudier cette influence
(voir par exemple [38] et [44]). Celle-ci est considérable pour les voûtesà trois et à deux articulations, beaucoup moins pour les voûtes encastrées
ou possédant une seule articulation à la clef. Dans le cas qui nous intéresse,la voûte est encastrée et son axe très fortement surbaissé. Il ne semble
pas, dans ces conditions, que les déformations puissent modifier de façonsensible la répartition des tensions intérieures.
— 73 —
d'élasticité (£=5500 à 8000 kg:mm2) n'aurait pas été suf-
/ E 1 \fisamment petit par rapport à celui de l'acier \-~ =
„ j.
2. Caractéristiques du plexiglas
Le plexiglas est une résine artificielle qui s'obtient en plu¬sieurs stades de fabrication à partir des produits de base suivants :
bois, charbon et chaux2).
a) Propriétés mécaniques. Le plexiglas M 132 que nous
avons utilisé a un module d'élasticité égal à 200 kg:mm2 à la
température ordinaire, soit environ le centième de celui de l'acier.
Il est susceptible d'un poli parfait et se travaille aussi facilement
que le celluloïd. Sa résistance est de 10 kg:mm2 à la compres¬
sion, de 7 kg: mm2 à la traction et de 12 kg: mm2 à la flexion3).Le coefficient de Poisson v est égal à 0,35 i).
b) Propriétés optiques. Le plexiglas est une substance ab¬
solument incolore et transparente qui ne jaunit pas avec le temps
(comme c'est le cas du celluloïd ou de la bakélite). Il est stable
et nous n'avons pas constaté, en une année et demie, d'évolution
des propriétés optiques (comme c'est le cas de la plupart des
résines artificielles à haute sensibilité).Le coefficient c de la loi de Wertheim (1), qui traduit en
quelque sorte la sensibilité photo-élastique de la matière, est
faible. Sa valeur moyenne, pour les trente éprouvettes que nous
avons étalonnées, est égale à
c = + 0,03950 ^«!Ld'onde .
kg : mm
A l'intérieur d'une même plaque, nous avons constaté des
fluctuations du coefficient c d'environ + 1,5 <>/o de la valeur moy¬
enne. On voit que c est ici positif, tandis qu'il est négatif pour
les verres utilisés en photo-élasticité.
2) Il est fabriqué par les Etablissements Rohm & Haas à Darmstadt,
qui nous ont livré gracieusement des plaques de leurs produits. Nous les
en remercions vivement.
3) D'après les indications du fabricant.
4 Voir [35], p. 17.
— 74 —
Nous avons comprimé les éprouvettes jusqu'à o= — 1,95
kg:mm2 et vérifié que la loi de Wertheim (1) est valable pour
des tensions inférieures à 1 kg: mm2. Au-delà de cette valeur,la biréfringence accidentelle ne croît pas aussi vite que la tension
appliquée 5).Le plexiglas est presque totalement exempt de biréfringence
latente. Il est à ce point de vue aussi bon, sinon meilleur, que
les verres d'optique. Si l'on travaille les bords assez lentement
et en prenant certaines précautions, on peut réduire à 0,5—1 mm
la largeur de la zone perturbée par l'outil.
Le plexiglas ne présente, après suppression de la charge,
qu'une très faible biréfringence résiduelle6). Celle-ci disparaîtd'ailleurs au bout d'un certain temps, pour autant que l'on n'ait
pas dépassé la limite de proportionnalité (ap=\ kg:mm2).
On remarque une certaine hystérésis optique (augmentationde la biréfringence accidentelle avec la durée de charge) 7). Il
est indiqué par conséquent de maintenir un intervalle de temps
constant entre la mise en charge et la lecture du compensateur8).
5) Cela n'a pas eu d'importance pour nos essais à la flexion. Le
module d'élasticité étant peu élevé nous avons dû, pour éviter des déforma¬
tions qui auraient modifié la forme géométrique de la poutre, rester bien
au-dessous de cette valeur.
6) Celle-ci a atteint pour une éprouvette de 10 mm d'épaisseur, 1 mi¬
nute après la suppression d'une charge correspondant à une tension de
1 kg: mm2, une valeur de 0,04 X (A=5461À). 18 heures plus tard, la
biréfringence résiduelle était de 0,02 X.
7) Nous avons mesuré, 2 minutes après la première lecture suivant
immédiatement la mise en charge, une biréfringence accidentelle en aug¬
mentation de 3 o/o sur la biréfringence initiale.
8) Des mesures effectuées à l'interféromètre avec un prisme de plexi¬
glas nous ont montré que les relations (2) sont également vérifiées jus¬
qu'à la limite de proportionnalité (ap = 1 kg: mm2). Les franges étaient
suffisamment nettes pour une épaisseur de 10 mm. Une éprouvette d'une
autre qualité que celle citée au début du paragraphe a donné les résultats
suivants :
a = +1,8062, 6 = +1,7360, e = + 0,07018 '0"g,UeUr d'°nde
kg : mm
Les valeurs de a et de b sont très élevées si on les compare à celles du
verre (tableau 1).
— 75 —
3. Description des modèles
Les huit profils choisis sont représentés à la planche 11.
Nous les avons numérotés à l'aide de chiffres arabes pour
les distinguer des modèles de verre que nous avions désignés par
des chiffres romains (fig. 5, 6 et 7).Les poutres 1 et 4 ont un axe rectiligne. Elles sont destinées
à contrôler la qualité de l'encastrement (la poussée horizontale
doit y être nulle). Les goussets des poutres 2, 3, 5 et 6 sont rec-
tilignes ; ces modèles serviront à vérifier les formules établies au
chapitre III. Quant aux poutres 9 et 10 à axe curviligne, nous les
avons choisies à titre de comparaison. Nous les examinerons en
détail plus loin (§7).
/?
ip
/ )y 'r P. X
\%
/
/
/ <aAxe de symétrie
iz
Fig. 27.
Les prolongements des poutres, percés chacun de part en partde deux trous verticaux de 6 mm de diamètre (planche 11), sont
destinés à les encastrer dans un cadre d'acier (fig. 2).Comme système cartésien de référence, nous avons choisi les
axes rectangulaires OX, Oz (fig. 27).Tous ces modèles sont en plexiglas M 132, dont nous avons
indiqué les caractéristiques au paragraphe précédent. Ils ont été
découpés dans la même plaque9). Leurs contours sont exécutés,
en général, avec une précision de ^ 0,05 mm. Les tensions la¬
tentes sont partout inférieures à 0,02 kg: mm2, exception faite
d'une zone de 1 mm de largeur située au bord des pièces et où
l'usinage a introduit des tensions de l'ordre de 0,10 kg:mm2.Cette zone est impropre aux mesures.
9) Ce travail a été exécuté avec grand soin par M. Drotschtnann, in¬
génieur à Zurich.
— 76 —
Deux éprouvettes parallélipipédiques de 6 X 10x30 mm ont
été découpées entre chaque poutre. Le coefficient c d'un modèle
donné a été choisi égal à la moyenne arithmétique des coeffi¬
cients des quatre éprouvettes situées de part et d'autre de ce mo¬
dèle. Comme contrôle nous avons procédé à l'étalonnage direct
des modèles eux-mêmes, en les soumettant à la flexion pure.
Nous donnons ci-dessous, sous forme de tableau, les valeurs
obtenues pour les coefficients c des différents modèles10) :
Tableau 4. Modèles de plexiglas.
Poutre encastrée Epaisseur e Coefficient c
(mm) (l : kg : mm)
1 9,91 + 0,038922 9,99 + 0,039753 9.92 + 0,038854 10 06 + 0,039185 10,02 + 0,039826 10,02 + 0,039219 10,04 + 0,0394410 10,01 + 0,03924
4. Etats de charge — Application des forces
Réalisation de l'encastrement — Diaphragmes
Etais de charge. Nous n'avons étudié que des états de chargesymétriques constitués par deux forces verticales P de même in¬
tensité (fig. 27). La partie médiane de la poutre comprise entre
les forces P est ainsi soumise aux lois de la flexion pure. L'état
de tension y étant à un axe, une des tensions principales est nulle
(o1 = 0) et la loi de Werihei/n (1) se réduit à:
ô3 = —cea2 = —ce a. (V)
Il suffit donc, pour déterminer les tensions a, d'effectuer au
compensateur de Bravais la mesure de d3 (chap. I, § 2). On peutse dispenser des mesures à l'interféromètre et de la détermina¬
tion des coefficients a et b.
10) Nous verrons au paragraphe suivant la raison pour laquelle nous
n'avons pas déterminé les coefficients a et b.
— 77 —
Les différents états de charge sont définis au tableau sui¬
vant 1X) :
Tableau 5. Etats de charge.
(Deux forces verticales P de même grandeur et à égale distance du milieu.)
Poutre
encastrée
Etat de
charge
Forces PPoussée
horizontale H
mesuréeGrandeur de
chaque forcePosition
11
2
(kg)
4,737,78
(mm)
f = +20
±40
(kg)
0
0
21
2
6,238,31
+ 20
+ 40
- 4,454-2,107
3 1 4,73 ±20 -8,108
4 1 7,78 + 20 0
51
26,238,31
+ 20
±40
- 2,887-1,564
61
26,238,31
+ 20
±40-5,317- 2,356
91
26,238,31
+ 20
±40
- 3,275- 2,547
101
26,238,31
+ 20
±40-3,628-1,693
La grandeur des forces était dictée par des considérations
de déformation et non de résistance. On verra que les tensions
correspondantes sont très faibles (tableaux XII à XXV).Application des forces. Nous renvoyons à ce que nous avons
dit plus haut à ce sujet (chap. II, § 2). Pour les états de charge 2,nous avons utilisé un étrier d'acier analogue à celui de l'état de
charge 1, mais d'une portée double.
Réalisation de l'encastrement. Le cadre d'acier destiné à l'en¬
castrement des modèles est visible à la figure 2. Il se compose
de deux parties: 1° un support inférieur en forme de U, en tôle
d'acier de 10 mm d'épaisseur, qui se place à l'intérieur du cadre-
n) f représente la distance des forces au milieu de la poutre (fig. 27).
— 78 —
dynamomètre. Les deux bras de l'U portent chacun, à leur extré¬
mité supérieure, deux goujons filetés de 5 mm de diamètre quivont se loger dans les trous correspondants de 6 mm percés dans
les prolongements des poutres de plexiglas (voir planche 11).Les deux surfaces horizontales d'acier en contact avec le plexiglassont soigneusement rectifiées et se trouvent dans un même plan ;
2° une partie supérieure comprenant deux pièces d'acier de
54 x 20 X 10 mm, percées de trous verticaux de 5,5 mm de dia¬
mètre et destinées à serrer, par l'intermédiaire des goujons et
au moyen d'écrous, le modèle contre le support inférieur.
Ce serrage s'effectuait progressivement et uniformément en
contrôlant entre niçois croisés, au moyen du compensateur de
Bravais, les tensions créées dans le modèle. On l'interrompait
lorsque la tension verticale a entre les mâchoires avait une valeur
uniforme de —0,3 kg: mm2. En admettant entre l'acier et le
plexiglas un coefficient de frottement égal à 0,1 à l'état de repos,
on pouvait donc absorber horizontalement une tension de glisse¬ment égale à
t= 0,1 a =0,1 X 0,3= 0,03 kg:mm2.
La surface inférieure de contact étant seule capable d'absorber
une force horizontale 12) et ayant une aire égale à 480 mm2, on
pouvait développer des poussées horizontales allant jusqu'à
timax= 0,03 X 480= 14,4 kg.
Mais l'élasticité du plexiglas n'a pas permis d'atteindre des
valeurs aussi élevées, car les charges P correspondantes auraient
produit des flèches de plusieurs millimètres!
Dans la partie médiane de la poutre où l'on a effectué les
mesures définitives, le serrage n'introduisait que des tensions in¬
signifiantes; leur direction coïncidait d'ailleurs avec celle des ten¬
sions créées par les états de charge symétriques étudiés, ce quia permis de les éliminer13).
12) La mâchoire supérieure n'est pas maintenue dans le sens hori¬
zontal.
u) En faisant deux lectures du compensateur: une avant et l'autre
après la mise en charge du modèle.
— 79 —
L'acier et le plexiglas ayant des modules d'élasticité respec-
E'tivement égaux à 21000 et 200 kg: mm2 environ, le rapport p
de ces derniers est légèrement supérieur à 100. On peut admettre,dans ces conditions, que l'encastrement ainsi réalisé est aussi par¬
fait que possible.
Diaphragmes. Nous avons utilisé pour tous les modèles de
plexiglas le diaphragme d'aluminium appartenant à la poutre en¬
castrée Il de verre. Nous y avons percé quelques trous supplé¬mentaires à 1,6 mm des bords. Les coordonnées des points où
l'on a déterminé les tensions sont indiquées dans les tableaux XII
à XXV. Ces points sont groupés sur cinq verticales (trois seule¬
ment pour la poutre 10).Le diaphragme est fixé au support inférieur d'acier; on l'a¬
juste lorsque le modèle sous tension a atteint sa pleine défor¬
mation.
5. Mesures, calculs, épures
Chaque mesure de a, et de ô3 a été répétée. La mesure de
<)2 s'effectuant avec une précision de + 0,002 à 0,003 longueurd'onde, la moyenne arithmétique des deux mesures était affec¬
tée d'une erreur moyenne de ^0,0018 longueur d'onde environ.
Cela correspond, pour des biréfringences accidentelles de 0,05 à
0,10 /, à une erreur de quelques <'/o.
Les calculs ont été effectués au moyen de la règle logarith¬mique. Les valeurs de a sont indiquées dans les tableaux XII à
XXV").Nous n'avons pas tracé les trajectoires des tensions princi¬
pales. Elles auraient l'allure générale figurée sur les planches1, 3 et 9.
Quant aux diagrammes des tensions normales a, nous n'en
publions, pour chaque poutre, qu'un seul par état de charge: celui
relatif à la verticale passant par le milieu de la portée (voir les
diagrammes accompagnant les tableaux XII à XXV). Nous avons
u) Nous ne donnons pas les valeurs de ac, qui sont très voisines
de -- 0°.
— 80 —
tracé des droites moyennes 15) et relevé les valeurs des tensions
extrêmes agissant respectivement sur les faces supérieure et in¬
férieure.
6. Discussion des résultats relatifs aux poutres encastrées
à axe rectiligne ou brisé
La planche 11 représente les profils des poutres étudiées.
Nous discuterons au paragraphe suivant les résultats relatifs aux
poutres 9 et 10 à axe curviligne.Avant d'aborder la discussion, il est indispensable d'en pos¬
séder tous les éléments. Ceux-ci sont contenus dans les tableaux
XXVI et XXVII, dans les figures 31 à 34 et dans les diagrammes
qui accompagnent les tableaux XII à XXI.
Tableau XXVI.
Ce tableau permet de comparer, pour les différentes poutreset états de charge envisagés, les valeurs des tensions fournies par
l'expérience à celles calculées par les formules que nous avons
développées au chapitre III.
Les colonnes 1, 2 et 3 rappellent les différents états de
charge définis au tableau 5 (§ 4 de ce chapitre).Aux colonnes 4 et 5 sont indiquées les valeurs des aires et
des moments de résistance de la section médiane de la poutre.Les colonnes 6 et 7 donnent les valeurs de la poussée hori¬
zontale H et du moment de flexion 7WM* au milieu obtenues ex¬
périmentalement. Connaissant par extrapolation16) les valeurs
mesurées des tensions extrêmes a,* et o* agissant respectivementsur les faces supérieure et inférieure de la section considérée
(fig. 28), il est facile d'obtenir les valeurs correspondantes de
H et de /WM*. En effet:
H =^ 'M '
M% = °^^°~ WM .
15) Trait fin.
16) Voir les diagrammes accompagnant les tableaux XII à XXI (traitmince).
— 81 —
Dans ces formules, a* et a* sont à introduire avec leur signe
(+ dans le cas d'une traction, — dans celui d'une compression).
La colonne 8 contient les valeurs de la poussée horizontale
calculée à partir des formules que nous avons établies au chap.
III17).
Quant à la colonne 9, elle donne les valeurs du moment de
flexion au milieu calculé en tenant compte de la poussée horizon¬
tale. Si l'on se reporte à la figure 11, on a:
M*M = MM — H(f — t) = M0M + Ml~H{f — t), (68)
où M0M désigne le moment de flexion au milieu dans le système
isostatique de référence (poutre simple), Mt le moment d'encas¬
trement (fig. 29 et 30) et H la poussée horizontale18).
Fig. 28.
Mom et H sont connus, Mx ne l'est pas encore. Revenons à
l'équation d'élasticité
a„ + Mi «! + 7W2 a2 0 (8")
Pour une poutre et un état de charge symétriques, on a M1 = M2,et l'équation (8") donne pour M-^:
M,<*!+ «2
(69)
17) Formules (35') et (36'), avec * = -f et v = 0,35.5
18) On serait conduit à la même expression de MM* en faisant
Mr = M2, x = x'=- et y = f — t dans la première équation (15).
— 82 —
Les déformation angulaires a sont définies par les intégrales sui¬
vantes 19) :
[M0xdx
0
l l l
(x2dx,[xx'dx f xdx
JEÏ'
(70)
Fig. 29.
Nous avons calculé ces dernières pour des poutres symé¬
triques à goussets rectilignes dont le moment d'inertie varie sui¬
vant la loi
T=iû7Tsrr <24>+ c
et pour des états de charge symétriques. Nous supposons le mo¬
dule d'élasticité constant. Nous ne donnons ci-après que le ré¬
sultat de ces calculs, qui sont courants.
a) Les deux charges P sont appliquées sur la partie médiane
de la poutre (fig. 29). /< <
/
19) Application de la méthode géométrique de Bresse ou du principe
des travaux virtuels.
— 83 —
Un
On obtient dans ce cas, avec c = -.— :
M —
' ^ cp
et, si l'on pose
Afi = —Ç/V,
.._1 £re+(td-d*-a*)
Pour les états de charge 1 envisagés (d = -=-), on a:
— a2)Çi =
1 ï+~e +2P
9
(71)
(72)
(1+c)2+ {l Aa>
et le moment de flexion au milieu est donné par la formule:
(72')
M
JW* = ^o* + M, = P (d— ^ l) = \çj — L, PI. (73)
v////////////#//Mm7,.
Fig. 30.
b) Les deux charges P agissent sur les goussets (fig. 30).
(0 < d < a)
— 84 —
On obtient dans ce cas
a
(/-2a) +
d
1
(''-y)+
(1 + c) 1 + ccdV
(i + cy+ (i La)
(74)
et, pour les états de charge 2 considérés \d — -^
£,=l
(l-2a) + ~1 + c-
clV
ba
+
6 (1+c) 1+c'6 J
(74')a (2 + c)
Le moment de flexion au milieu est égal à:
MM = Mqm + M, = P (d — u21) = Q- — r2) PI. (75)
Nous avons ainsi tous les éléments intervenant dans la for¬
mule (68) et pouvons calculer, pour les différents états de charge
que nous avons étudiés, la valeur du moment de flexion MM*
agissant effectivement au milieu de la poutre. Ce sont ces valeurs
qui figurent à la colonne 9.
Enfin, nous avons indiqué à la colonne 10 les écarts en %
entre les valeurs de H et de MM* obtenues expérimentalementet celles calculées par les formules que nous avons établies au
chapitre III et dans ce paragraphe.On constate que la méthode de calcul que nous avons déve¬
loppée au chapitre III pour les poutres encastrées à goussets rec-
tilignes est vérifiée par l'expérience à quelques °/o près.Les divergences sont presque toujours systématiques: la
poussée horizontale mesurée est plus petite que celle calculée,tandis que le contraire a lieu pour les moments de flexion au mi¬
lieu. On peut en conclure que l'encastrement réalisé dans nos ex¬
périences n'était pas absolument parfait, mais gardait une certaine
élasticité par suite de la déformation de la matière au droit des
appuis.
— 85 —
La concordance est néanmoins très satisfaisante si l'on songeà la petitesse des tensions mesurées (0,3 kg:mm2 au maxi¬
mum) 20), aux fluctuations possibles de l'épaisseur et du coef¬
ficient photoélastique c à l'intérieur d'un même modèle et au
choix arbitraire de la section théorique d'encastrement, admise
au contour du massif.
-L-
Fig. 31. Poutre encastrée 2.
Lignes d'influence de la poussée horizontale :
d'après les équations exactes (35') et (36') ;
d'après l'équation proposée (42);o valeurs mesurées.
Figures 31 à 34.
Nous avons calculé, en un certain nombre de points des
poutres encastrées 2, 3, 5 et 6, les ordonnées exactes de la ligned'influence de la poussée horizontale en appliquant les équations
2») Tableaux XII à XXI.
— 86 —
(35') et (36')21). Nous donnons au tableau 6 les résultats relatifs
à la poutre encastrée 2. Les courbes correspondantes sont repré¬
sentées par un trait continu aux figures 31 à 34.
Fig. 32. Poutre encastrée 3.
Lignes d'influence de la poussée horizontale :
d'après les équations exactes (35') et (36');
d'après l'équation proposée (42);
o valeurs mesurées.
A titre de comparaison, nous avons également calculé ces or¬
données par la formule approchée (42) que nous proposons. Les
ai) Avec * = \ et v = 0,35.
— 87 —
J
Fig. 33. Poutre encastrée 5.
Lignes d'influence de la poussée horizontale:
d'après les équations exactes (35') et (36') ;
d'après l'équation proposée (42);
o valeurs mesurées.
courbes du quatrième degré correspondantes sont représentéesaux figures 31 à 34 par un trait interrompu.
On voit que l'approximation obtenue est pratiquement suffi¬sante puisque les écarts relatifs 22) atteignent tout au plus 5 <y0
pour un effet qui est secondaire.
La proposition de la fin du § 4 du chap. III est donc justifiée.
Enfin, dans le but de compléter ces figures, nous avons re¬
porté également les points correspondant aux valeurs mesurées
de la poussée horizontale. Ils sont figurés par un petit cercle
et sont extrêmement voisins des points donnés par les formules
que nous avons établies.
22) Rapportés à l'ordonnée maximum r\M.
Tableau 6. Poutre encastrée 2.
Lignes d'influence de la poussée horizontale.
AbscissesOrdonnées exactes
Equations (35') et (36')Ordonnées
approchées
Equation (42)v = 0,35
Valeurs
mesu¬
réesX X v = 0,20 v = 0,35
(mm)
+ 60,0+ 65,0+ 70,0+ 75,0+ 80,0+ 85,0+ 90,0+ 95,0+100,0+ 105,0+ 110,0+ 115,0+120,0
(mm)
+ 0,0+ 5,0+ 10,0+ 15,0+ 20,0+ 25,0+ 30,0+ 35,0+ 40,0+ 45,0+ 50,0+ 55,0+ 60,0
0,44750,44130,42300,39330,35360,30560,25170,19480,13810,08570,04170,01140,0000
0,45390,44860,43280,40610,36900,32120,25570,18980,13070,07840,03820,00970,0000
0,45390,44770,42910,39900,35860,31000,25540,19760,1401
0,08680,04240,01160,0000
0,358
0,127
Tableau XXVII.
Nous avons dressé ce tableau en vue de comparer, pour une
poutre à goussets parfaitement encastrée, les résultats donnés par
la méthode de calcul que nous avons développée à ceux que l'on
obtient en négligeant, comme on le fait habituellement, l'influence
de la poussée horizontale.
Les colonnes 1, 2 et 3 rappellent les différents états de
charge considérés.
La colonne 4 donne les valeurs du moment de flexion au
milieu calculées par les formules (73) et (75), sans tenir comptede la poussée horizontale. A la colonne 7 sont indiquées les va¬
leurs des tensions extrêmes a0 et au produites par ce moment de
flexion et agissant respectivement sur les faces supérieure et in¬
férieure de la section médiane:
- Mm_+
~Wm(76)
La colonne 5 contient les valeurs de la poussée horizontale
calculées par les formules établies au chap. III23). La colonne 8
6s) Formules (35') et (36'), avec x et v = 0,35.
89
Fig. 34. Poutre encastrée 6.
Lignes d'influence de la poussée horizontale:
d'après les équations exactes (35') et (36') :
d'après l'équation proposée (42);
o valeurs mesurées.
donne les valeurs de la compression due à cette poussée:
H M)(77)
A la colonne 6, nous avons indiqué les valeurs obtenues pour
le moment de flexion au milieu si l'on tient compte de la réduc¬
tion due à la poussée horizontale:
M*M = MM-H{}-t). (68)
24) L'astérisque (*) caractérise toutes les grandeurs calculées en tenant
compte de la poussée horizontale.
— 90 —
La colonne 9 donne les valeurs des tensions maxima pro¬
duites par le couple Mm*'
o*mo = + ~,y/- (78)a Wm
Les colonnes 10 et 11 contiennent les valeurs des tensions
résultantes extrêmes a0* et a„* (fig. 28) calculées en tenant comptede la double influence de la poussée horizontale25) :
H M*M= °H + 0*M„
Fm Wm
n* a* -
"4-Mm
(79)
Enfin, nous avons indiqué aux colonnes 12 et 13 les écarts
eu o/0 26) entre les valeurs des tensions a calculées en négligeantla poussée horizontale (colonne 7) et celles des tensions a* cal¬
culées en tenant compte de cette influence (colonnes 10 et 11).
On voit que ces écarts sont importants et qu'il n'est pas
permis de négliger la poussée horizontale lorsque les appuis sont
assez rigides pour l'absorber même partiellement.
Il est intéressant de constater que la diminution de la trac¬
tion dans la partie médiane de la poutre est relativement beau¬
coup plus importante que l'augmentation de la compression cor¬
respondante.
Les diagrammes des tableaux XII à XXI illustrent la discus¬
sion que nous venons de faire. Nous y avons représenté:
par un petit cercle les valeurs mesurées des tensions nor¬
males;
par un trait continu mince, la droite moyenne tracée à partirdes points correspondant aux mesures;
par un trait continu épais, la répartition des tensions donnée
par les formules établies au chap. III;
25) Compression longitudinale et réduction du moment fléchissant au
milieu de la poutre.
26) Rapportés à a.
— 91 —
enfin, par un trait interrompu, la répartition des tensions
calculée par la théorie de la résistance des matériaux en négli¬
geant la poussée horizontale.
7. Discussion des résultats relatifs aux poutres encastrées
à axe curviligne
Nous avons étudié également, à titre de comparaison, deux
profils de poutres encastrées dont les goussets ont un axe cur¬
viligne: ce sont les profils 9 et 10 (planche 11).La variation du moment d'inertie le long du gousset y est
donnée par la loi :
i=^[i-<,-">^r)- (8°»
où IM représente le moment d'inertie au milieu, a la longueur du
gousset, r un nombre entier dépendant de la forme de ce dernier28)
et«=^(fig. 35).
'£iK*atr&mt Mil/tu *> pevfrt J
Je
X
J J» 4j
z
* ¥2 |tt J
Fig. 35. Gousset curviligne.
Les profils des poutres 9 et 10 ont été construits avec r=2
et /z^0,21. Les goussets de la poutre 9 ont une longueur de
35 mm, ceux de la poutre 10 s'étendent sur toute la portée.
Les états de charge que nous avons étudiés sont définis au
tableau 5 (§ 4). Nous avons mesuré les tensions en un certain
nombre de points groupés sur des verticales. Les coordonnées de
2') Voir [26] et [27].
28) Généralement égal à 2 ou à 4.
— 92 —
ces points, ainsi que les valeurs de a obtenues expérimentalement,sont indiquées aux tableaux XX11 à XXV. Nous n'avons publié,
pour chaque état de charge, qu'un seul diagramme de ces ten¬
sions, celui relatif à la verticale passant par le milieu de la
portée2»).Les différents éléments de la discussion sont contenus dans
les tableaux XXVI et XXVII, dans les figures 36 et 37 et dans
les diagrammes des tableaux XXII à XXV.
Tableau XXVI.
Les valeurs de H et de MM* figurant aux colonnes 6 et 7 ont
été obtenues de la même façon que dans le cas des poutres 1 à
630), en extrapolant les diagrammes des tensions mesurées et en
appliquant les formules (67).Si l'on voulait établir, pour des voûtes de ce genre, les for¬
mules permettant de calculer la poussée horizontale, on serait
conduit à des intégrales de la forme
\xm(A + Bxr)i'dx,
où p est un nombre fractionnaire multiple de \. Les valeurs de
m, r et p sont telles qu'il est en général impossible de donner
pour H des expressions élémentaires.
Afin de calculer les poussées horizontales théoriques pro¬
duites dans les poutres 9 et 10 par les états de charge 1 et 2 en¬
visagés, nous avons divisé ces poutres en 14 lamelles verticales
inégales et remplacé les différentes intégrations par des somma¬
tions. Les valeurs de H ainsi obtenues figurent à la colonne 8
du tableau XXVI.
L'intégration directe est possible, par contre, lorsqu'il s'agitde calculer les moments d'encastrement Mv Nous ne donnons
ici que les résultats des calculs, qui sont basés sur les formules
(69), (70) et (80):
a) Les deux charges P sont appliquées sur la partie médiane
de la poutre. / / \
29) Voir les diagrammes accompagnant les tableaux XXII à XXV.
30) Voir le paragraphe précédent.
— 93 —
Avec n = —, et en posant a nouveau Mx = —£ PI, on ob-Ie
tient:
f- \- 3r + 2/zx
.-
_
1 (r + 1 ) (/ + 2)'
-~l 2(r + n) (81)
-{~fia + (l-2a)
Pour les états de charge 1 considérés \d = -~-l et avec r = 2:
5 + n (21*
tl = _ T (81 ')
t(2+b)c + (/-2«)
Si le gousset s'étend sur toute la portée (poutre 10) on a, en fai¬
sant a= dans la formule précédente:
F_
13 + 3«
24~(2~+^)"
'^ - ^r^v• (81')
Le moment de flexion au milieu est donné par la formule:
MM = (\ -ÙPI. (73)
b) Les deux charges P agissent sur Les goussets. (0 ^d^ a)
Dans ce cas:
'=' 2<'+»W<(-20)' <82)
/+1
Pour les états de charge 2 [d=-ër) on a, avec r = 2:
5
1 36^^tzkzM. m1
^-(2 + n)a + (l~2a)
— 94 —
Si le gousset est continu la =2
l> on obtient:
F _
5(41 + 13«) ,-„
Le moment de flexion au milieu est donné, pour les états de
charge 2, par la formule:
MM (i-C.). <**>
En partant des valeurs de MM calculées par les formules que
que nous venons d'établir et des valeurs de H contenues à la co¬
lonne 8 du tableau XXVI nous avons déterminé, au moyen de (68),les valeurs de MM* figurant à la colonne 9.
Enfin, à la colonne 10, nous avons indiqué les écarts en °/o
entre les valeurs de H et de MM* obtenues expérimentalement et
celles calculées par les formules de ce paragraphe.
On constate de nouveau que la méthode de calcul proposée
pour les poutres encastrées à goussets curvilignes est vérifiée
par l'expérience à quelques o/0 près.
Les divergences sont ici aussi systématiques, ce qui confirme
ce que nous avons dit, au paragraphe précédent, de la qualitéde l'encastrement réalisé dans les essais.
Figures 36 et 37.
11 est intéressant de tracer également la ligne d'influence
de la poussée horizontale pour les poutres 9 et 10. Nous avons
donc calculé, en un certain nombre de points, les ordonnées exac¬
tes de cette ligne d'influence en divisant les poutres en lamelles
verticales et en procédant par sommation. Les courbes ainsi ob¬
tenues sont représentées par un trait continu aux figures 36 et 37.
Connaissant la valeur exacte de l'ordonnée maximum r\M, nous
avons ensuite calculé, au moyen de la formule (42) proposée pour
les poutres encastrées à goussets rectilignes, les ordonnées de la
ligne d'influence approchée. Celle-ci est représentée par un trait
interrompu.
— 95 —
Enfin, nous nous indiqué par un petit cercle les points donnés
par l'expérience.
On constate, dans le cas de la poutre 10 (fig. 37), que la ligned'influence approchée donnée par l'équation (42) est très voisine
de la ligne d'influence exacte. Par contre, la divergence est mani¬
feste dans le cas de la poutre 9 (fig. 36) où la courbure varie
fortement au voisinage de la section d'encastrement.
I
+-
7^- 03315
0.20
130
Fig. 36. Poutre encastrée 9.
Lignes d'influence de la poussée horizontale:
ligne d'influence exacte (sommation) ;
d'après l'équation proposée (42);
o valeurs mesurées.
On peut en conclure que la formule approchée (42), proposée
pour les poutres encastrées à goussets rectilignes, donne une
approximation suffisante dans le cas de goussets curvilignes où
la courbure varie lentement.
— 96 —
Nous avons encore essayé de remplacer, pour le calcul de la
poussée horizontale, les goussets curvilignes par des goussets rec-
tilignes dont le profil s'approche le plus possible du profil donné.
Fig. 37. Poutre encastrée 10.
Lignes d'influence de la poussée horizontale:
ligne d'influence exacte (sommation) ;
d'après l'équation proposée (42);o valeurs mesurées.
Ces essais ont montré qu'on peut effectuer cette substitution
pour autant que les charges agissent en dehors des goussets31).
Cette substitution n'est pas permise, par contre, lorsque les
charges sont appliquées sur les goussets, car le rôle de la cour¬
bure est alors très prononcé32).
31) L'erreur commise dans le calcul de H est alors de l'ordre de 5 o/o.
32) Ecarts de 20 o/0 et plus.
— 97 —
Tableau XXVII.
Ce tableau permet d'apprécier l'influence de la poussée hori¬
zontale sur la répartition des tensions dans la section médiane des
poutres. Les éléments des différentes colonnes relatifs aux poutresencastrées 9 et 10 s'obtiennent de façon analogue aux éléments
correspondants relatifs aux poutres 1 à 633).On constate (colonnes 12 et 13) que la poussée horizontale
peut modifier de 10 à 40% les valeurs des tensions extrêmes.
L'influence de H est donc, ici aussi, considérable.
Les conclusions de cette brève étude des poutres encastréesà goussets curvilignes sont les mêmes que celles auxquelles nous
étions arrivé dans le cas des poutres à goussets rectilignes 34).Les diagrammes des tableaux XXII à XXV illustrent la dis¬
cussion que nous venons de faire.
8. Influence du coefficient de Poisson sur la poussée horizontale
Le coefficient de Poisson intervient, nous l'avons vu35), dans
les formules de la poussée horizontale. Afin d'apprécier son in¬
fluence nous avons calculé à nouveau, pour les poutres encastrées
2, 3, 5, 6, 9 et 10, les ordonnées ?] de la ligne d'influence de H
en prenant v = 0,20. Nous avons indiqué au tableau 6 (§ 6) les
résultats relatifs à la poutre encastrée 2.
Si l'on compare les valeurs de i] obtenues avec v = 0,35 et
celles calculées avec v =0,20, on constate que les écarts sont très
faibles. La poussée horizontale varie dans le même sens que le
coefficient de Poisson. Une variation de v de + 75 °/o n'entraîne,pour les ordonnées maxima r]M des lignes d'influence de H
(poutres encastrées 2, 3, 5, 6, 9 et 10), qu'une variation corres¬
pondante de -j- 1,5 o/o au plus.Comme le coefficient de Poisson varie pratiquement entre
0,15 et 0,35, on peut utiliser les tableaux et les diagrammes don¬
nant rjM (tableaux VIII à XI) sans que l'erreur commise dépasse2 o/0.
S3) Voir § 6, sous Tableau XXVII.
M) Voir la fin du paragraphe précédent.35) Remarque 1., chap. III, § 3.
CHAPITRE V
Conclusions
1. L'étude expérimentale de trois modèles de verre nous
a permis de déterminer, pour différents états de charge:
a) les trajectoires et les diagrammes des tensions principales;
b) les tensions maxima et les points où elles agissent;
c) les zones où les formules de la résistance des matériaux
sont applicables.
Des mesures précises, effectuées au moyen d'une méthode
purement optique, ont révélé une poussée horizontale importante.En même temps, elles nous ont rendu attentif à la difficulté de
réaliser un encastrement parfait.
2. A partir de la théorie classique de la voûte encastrée, nous
avons établi les formules donnant la valeur de la poussée hori¬
zontale produite dans une poutre symétrique à goussets rectilignes
par un état de charge quelconque. Une série de diagrammes per¬
mettent d'apprécier immédiatement la grandeur de cette poussée.
Nous avons proposé en outre une méthode approchée pour
tracer rapidement, avec une approximation suffisante pour les be¬
soins de la pratique, la ligne d'influence de la poussée horizontale.
Si la forme des goussets est quelconque, il est toujours pos¬
sible de déterminer la valeur de la poussée horizontale en procé¬dant par sommation. Dans certains cas où la courbure varie lente¬
ment, la formule approchée proposée pour des goussets rectilignesdonne de bons résultats.
3. Les expériences sur modèles de plexiglas ont permis de
vérifier, à quelques % près, les résultats de nos calculs.
On constate que la poussée horizontale mise en évidence peutdevenir considérable et modifier complètement la répartition des
tensions intérieures. Son influence est double:
— 99 —
a) elle introduit un effort de compression souvent important;
b) elle diminue la valeur du moment de flexion au milieu
et augmente celle du moment d'encastrement.
4. Si l'on voulait appliquer au béton armé les résultats de
cette étude et envisager une réduction des armatures au milieu de
la portée, il faudrait considérer également l'effet opposé produit
par le retrait du béton. Cela sortirait du cadre de ce travail.
Le praticien objectera, non sans raison, que l'encastrement
parfait est un cas idéal qu'il ne rencontre jamais. Cependant, lors¬
que les conditions qui régissent un phénomène peuvent varier dans
de grandes limites, il est parfois utile et toujours intéressant de
savoir déterminer l'allure du phénomène correspondant à chacune
de ces limites.
Celles-ci sont constituées, dans notre cas, par la poutre libre¬
ment appuyée (s = k = oo) et la poutre parfaitement encastrée
(8= A = 0).
Nous pensons qu'il n'était donc pas inutile d'examiner de
façon approfondie cette dernière éventualité.
Bibliographie
(Les chiffres ci-dessous sont placés entre [ ] dans le texte.)
1. Favre, H.: Méthode purement optique de détermination des tensions
intérieures se produisant dans les constructions. S. B. Z., Bd. 90
(1927), S. 291.
2. — Sur une nouvelle méthode optique de détermination des tensions
intérieures. Rev. Opt., Paris 1929.
3. Tank, F. u. Millier, J.: Spannungsoptische Untersuchung eines kur-
zen, auf Biegung beanspruchten Stabes. Denkschrift 50 Jahre Eidg.Mat. Prûf. Anst., Zurich 1930.
4. Tank, F., Favre, H. u. Jenny-Durst, H.: Aus dem Laboratorium fur
photoelastische Untersuchungen an der E. T. H. Zurich. Die Bau-
technik, Bd. 8 (1930), S. 719.
5. Millier, /.: Etude de trois profils de murs encastrés sollicités à la
compression et à la flexion. Rev. Opt., Paris 1930.
6. Favre, H.: La détermination optique des tensions intérieurs. Rev.
Opt., Paris 1932.
7. Rajnfeld, S.: Studio di alcuni problemi elastici a due dimensioni.
Energia elettrica, vol. 10 (1933), p. 724.
8. Baud, R. V.: Beitrâge zur Kenntnis der Spannungsverteilung in pris-matischen und keilfôrmigen Konstruktionselementen mit Querschnitt-
ûbergângen. Diss. E. T. H. Zurich, 1934.
9. Meyer, H.: Spannungsoptische Untersuchung ebener Schwingungsvor-
gânge. Ing. Arch., Bd. 7 (1936), S. 273.
10. Tank, F., Baud, R. V. u. Schiltknecht, E.: Die neuen Einrichtungendes photoelastischen Laboratoriums an der E. T. H. und an der
E.M. P. A. S. B.Z., Bd. 109 (1937), S. 249.
11. Wertheim: Ann. Chim. et Phys., 1854, 3« série, T.' 40, p. 156.
12. Mach: Zeitschr. f. Instr., No. 12 (1892), S. 89.
13. — Wiener Berichte, No. 107 (1898), S. 851.
14. Zehnder: Zeitschr. f. Instr., No. 11 (1891), S. 275.
15. Le Boiteux et Boussard: Elasticité et photoelasticimétrie. Hermann,
Paris 1940.
16. Fôppl, L. u. Neuber, H.: Festigkeitslehre mittels Spannungsoptik.
Oldenbourg, Mùnchen u. Berlin 1935.
17. Mesmer, G.: Spannungsoptik. Springer, Berlin 1939.
— 101 —
18. Foppl, L.
Uber singulare Punkte 1. Ordnung des ebenen Spannungs-zustandes. Mitt. mech. techn. Labor. Munchen, Heft. 34 (1930),S. 1.
19. — Der singulare Punkt 2 Ordnung. Mitt. mech. techn. Labor. Mun¬
chen, Heft 35 (1931), S. 1.
20 Baes, L.- La poutre Vierendeel. Ossature met. 5 (1936), p. 447 et
6 (1937), p. 125.
21. Frocht, M. M and Leven, M. M. Photoelastic analysis of Vierendeel
trusses. Civ Engng. London, T 8 (1938), p. 686
22 Widdern, H. v : Polansationsoptische Spannungsmessungen an Stab-
ecken. Mitt. mech. techn. Labor. Munchen, Heft. 34 (1930), S. 4.
23 Kurzhals, H. Polansationsoptische Untersuchungen an rechtwinkligen,auf Biegung beanspruchten Stabecken. Mitt. mech. techn. Labor.
Munchen, Heft 35 (1931), S. 14.
24 Kettenacker, L. Polansationsoptische Untersuchungen an unsymme-
tnschen Stabecken sowie an Doppelhaken. Forsch. Ing. Wesen,Bd 3 (1932), S. 71
25 Weibel, E E Application of soap film studies to photoelastic stress
détermination — Int. Ver. Brucken- u Hochbau, Bd. 3 (1935),S. 421.
26 Ritter, M Uber die Berechnung elastisch eingespannter und konti-
nuierhcher Balken mit veranderlichem Tragheitsmoment S. B. Z.,Bd 53 (1909), S. 231.
27 Hliai, M Beitrage zur Théorie und Berechnung von Balkenbrucken
aus Eisenbeton. Mitt. Inst. f Baustatik an der E. T H, Mitt. 11,
Zurich 1940
28 Guldan, R Rahmentragwerke und Durchlauftrager Spnngei, Wien
1940.
29 Takabeya, F Zur Berechnung des beiderseits eingemauerten Tragersunter besonderer Berucksichtigung der Langskraft. Spnnger, Ber¬
lin 1924.
30 Mullei-Breslau, H. Die graphische Statik der Baukonstruktionen, Bd.
II, 1 Abt Baumgartner, Leipzig 1903
31 Kaufmann, W .Statik der Tragwerke Spnnger, Berlin 1930.
32. Foppl, A : Vorlesungen uber technische Mechanik, III. Band, Festig-keitslehre Oldenbourg, Munchen u. Berlin 1938.
33 Ros, M. Die Druckelastizitat des Mortels und des Bétons Diskus-
sionsbencht No 8 der Eidg. Mat Pruf Anst, Zurich 1925
34 Filon, L N G A manual of photo-elasticity for engineers. Lîniver-
sity Press, Cambridge 1936
Trad. franc par L de Dardel, Dunod, Paris 1942.
35 Baud, R. V. Entwicklung und heutiger Stand der Photoelastizitat und
der Photoplastizitat Bencht No 118 der Eidg Mat Pruf. Anst,Zurich 1938
— 102 —
36. Ritter, M.: Beitrâge zur Théorie und Berechnung der vollwandigenBogentrâger ohne Scheitelgelenk. Ernst, Berlin 1909.
37. — Analytische Berechnung gelenkloser Brùckengewôlbe. Denkschrift
E.T. H., Zurich 1937.
38. Freudenthal, A.: Deflection theory for arches. Int. Ver. Brucken- u.
Hochbau, Bd. 3 (1935), S. 100.
39. Inan, M.: Photoelastische und mechanische Untersuchung an Rahmen-
trâgern mit besonderer Beriicksichtigung der Knotenpunkte. Diss.
E.T. H., Zurich 1941.
40. Descans, L.: Le calcul des poutres à moment d'inertie variable. Ann.
Trav. publ. Belgique, t. XL1II (1942), p. 489.
41. Den Hartog, J. P.: Experimentelle Lôsung des ebenen Spannungspro-blems. Z. angew. Math. Mech., Bd. 11 (1931), S. 156.
42. Levy, M.: C. R. Acad. Sri., Paris 1898, t. 126, p. 1236.
43. Michell, J. H.: On the direct détermination of stress in an elastic
solid, with application to the theory of plates. London Math. Soc.
Proc, Vol. 31 (1899), p. 100.
44. Fritz, B.: Théorie und Berechnung vollwandiger Bogentrâger bei Be¬
riicksichtigung des Einflusses der Systemverformung. Springer,Berlin 1934.
ANNEXE
Tableaux et planches
— 104 —
Remarques générales concernant les tableaux 1 à 111.
oc représente toujours l'angle que fait la tension principale oxavec la verticale. Cet angle est compté de 0 à 360° dans le sens
des aiguilles d'une montre.
En quelques points (?) nous n'avons pas pu effectuer demesures convenables (tensions trop faibles, défaut local du verre).
Tableau 1.
Poutre encastrée 1. — Etat de charge 1.
Direction et grandeur des tensions principales.
z X a °i o2 z X a «1 "a
mm mm kg : mm2 kg : mm2 mm mm kg : mma kg : mm2
-30,0 -26,0 3°30' -0,00» +0,00» - 4,5» +42,6 1°15' +0,00 -0,74-30,0 -16,0 25»45' +0,00 +0,00 - 4,5» +45,1 359» 30' +0,01 -0,68»-30,0 - 6,0 ? +0,00 +0,00 - 4,5» +50,1 0°00' +0,01 -0,70-30,0 - 0,8 ? +0,00 +0,00 - 4,5» +55,1 0°00' +0,01 -0,70-20,0 -26,0 350» 15' -0,02 +0,02 - 4,5» +60,1 0°00' +0,01 -0,69»-20,0 -16,0 15°30' -0,01 +0,03 - 4,5» +65,1 0°00' +0,01 -0,69»-20,0 - 6,0 316°07' +0,01 »
-0,01 »- 4,5» +70,1 0»07' +0,01 -0,69»
-20,0 - 0,8 341»00' +0,00 +0,00 -4,1 + 1,0 5° 22' +0,19» +0,64 »
-15,0 - 6,0 311°00' +0,05 » -0,00» - 3,1 + 1,0 355° 07' +0,13 +0,44 »
-15,0 - 0,8 348» 22' +0,02» -0,00» -3,1 + 3,0 12°00' +0,11» +0,56-12,5 - 0,8 349° 00' +0,05 » -0,00» - 3,1 + 5,5 12°30' +0,04 +0,63 5
-12,5 0,1 359° 37' +0,00 +0,07 -3,1 +10,0 13°52' -0,01 +0,46»-10,0 -26,0 333°45' -0,02» +0,03 » -3,1 +20,0 35°00' -0,06»'+0,185-10,0 -16,0 352° 00' -0,02» +0,06» -3,1 +30,1 340° 37' +0,05 -0,23-10,0 - 6,0 24°22' -0,03 5 +0,15 - 3,1 +35,1 346°52' +0,05 -0,36-10,0 - 0,8 343°37' +0,16» +0,01 »
- 3,1 +37,6 344° 22' -0,00» -0,47-10,0 -0,1 359°52' +0,00 +0,20» - 3,1 +40,1 345°00' -0,23 -0,42- 7,5 - 0,8 316°00' +0,46 +0,02 -3,1 +42,6 4°07' -0,07» -0,52- 7,5 + 0,2 347°07' +0,00 +1,46 -3,1 +45,1 359°52' +0,00» ,-0,49»- 6,1 + 1,0 39° 15' +0,00 +2,45 - 3,1 +50,1 0°00' +0,00 -0,49 »- 5,2» + 3,0 0°30' +0,00 +2,40 - 3,1 +55,1 0»00' +0,00» -0,49»- 5,2» + 5,5 0°07' +0,00 +1,12 -3,1 +60,1 0»00' +0,01 ,-0,50- 5,2» +10,0 0»15' +0,00 +0,70» - 3,1 +65,1 0°00' +0,01 -0,50- 5,2» +20,0 0°15' +0,00 +0,33» -3,1 +70,1 0»07' +0,01 -0,49- 5,2» +60,1 0»00' +0,00 -0,83» -2,5 - 0,8 339°07' +0,34» -0,00»- 5,1 + 1,0 18°37' +0,20 +0,89» - 1,6 + 1,0 337°22' +0,03» +0,23»- 5,0 - 6,0 352°07' -0,07 +0,21 - 1,6 + 3,0 15°52' +0,06 j+0,25»- 5,0 - 0,8 7»37' -0,04 +0,53 - 1,6 + 5,5 25°45' +0,00 +0,34- 4,5» + 3,0 U°15' +0,13 +1,03 - 1,6 +10,0 30»22' -0,05 +0,29- 4,5» + 5,5 4° 00' +0,01 +0,91 »
- 1,6 +20,0 315°07' +0,18 -0,11- 4,5» +10,0 4°00' +0,00» +0,68» - 1,6 +30,1 321° 07' +0,11» -0,25- 4,5» +20,0 15°07' +0,01 +0,22» - 1,6 +35,1 336°07' +0,05 » -0,28»- 4,5» +30,1 352»00' +0,03 -0,26 - 1,6 +37,6 333° 15' +0,03 -0,30- 4,5» +35,1 356°22' +0,00» -0,49 - 1,6 +40,1 333037' -0,12 -0,27- 4,5» +37,6 355°52' -0,02 -0,64 - 1,6 +42,6 1°37' -0,06 -0,26- 4,5» +40,1 340° 15' -0,58» -0,66» - 1,6 +45,1 0°07' +0,01 -0,27
+++++++
+++
++++++++
++++
+++
+1+
1+
1+1+
1+
1+
1+
1+[+
1+
1+
1+
1+
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p
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— 108 —
Tableau III.
Poutre encastrée IV. — Etat de charge 1.
Direction et grandeur des tensions principales.
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-30,0 -26,0 4° 15' -0,02 +0,02 - 5,2 +65,0 0°00' +0,036 -1,40-30,0 -16,0 29° 45' -0,01 6 +0,035 - 5,2 +70,0 0°22' +0,04 -1,38-30,0 - 6,0 318°00' +0,03 +0,01 - 5,0 - 6,0 344°45' -0,18 +0,405-30,0 - 0,8 7 +0,00 +0,00 - 5,0 - 0,8 350°45' +0,065 +0,59-20,0 -26,0 350» 00' -0,04 +0,06 - 3,5 + 1,0 354° 00' +0,106 +0,435-20,0 -16,0 14°07' -0,03 +0,11 - 3,5 + 3,0 13°15' +0,10 +0,515-20,0 - 6,0 327° 15' +0,10 5 -0,036 - 3,5 + 5,5 19° 30' +0,015 +0,605-20,0 - 0,8 346° 30' +0,02 -0,02 - 3,5 +10,0 21°15' -0,045 +0,64-15,0 - 6,0 36°07' -0,045 +0,245 - 3,5 +20,0 31°07' -0,07 +0,51-15,0 - 0,8 348°30' +0,13 -0,02 - 3,5 +30,0 328° 30' +0,20 -0,345-15,0 -0,1 359° 15' +0,115 +0,00 - 3,5 +35,0 340° 15' +0.11 -0,676-12,5 - 0,8 341 °45' +0,445 -0,006 - 3,5 +37,5 337°30' +0,00 -0.99-12,5 - 0,1 359° 22' +0,84 +0,00 - 3,5 +40,0 310°15' -0,736 -0,975-10,0 -26,0 334°00' -0,07 +0,11 - 3,5 +42,5 6°30' -0,175 -1,085-10,0 -16,0 350°15' -0,12 +0,17 - 3,5 +45,0 0°37' -0,03 -1,04-10,0 - 6,0 12°15' -0,11 5 +0,42 - 3,5 +50,0 359° 45' +0,01 -0,93-10,0 - 0,8 309°30' +0,965 +0,045 - 3,5 +55,0 0°00' +0,01 -0,99-9,5 + 1,0 43° 22' +0,00 +2,80 - 3,5 +60,0 0°00' +0,015 -0,9S5- 8,6 + 1,0 27° 15' 1+0,23 +1,74 - 3,5 +65,0 0°00' +0,015 -0,98- 8,6 + 3,0 5° 15' +0,00 +2,57 - 3,5 +70,0 0°07' +0,01 -0,99- 8,4 + 5,5 5°07' +0,00 +1,656 - 2,5 - 0,8 337° 00' -0,07 +0,32" 8,1 +10,0 5° 15' +0,00 +1,416 - 1,8 + 1,0 343° 00' -0,03 +0,185- 8.0 + 3,0 14° 00' ? ? - 1,8 + 3,0 17°22' -0.005 +0,205- 7,6 + 5,5 7°22' -0,015 +1,49 - 1,8 + 5,5 30°45' 0,09 +0,30- 7,5 - 0,8 8°15' +0,12 +0,885 - 1,8 +10,0 35° 00' -0,14 +0,376- 7,3 +10,0 6°45' -0,02 + 1,296 - 1,8 +20,0 312°37' +0,35 -0,226- 7,3 +20,0 5°22' +0,00 +0,875 - 1,8 +30,0 325° 00' +0,305 -0,415- 6,9 + 1,0 12°45' +0,26 +1,025 - 1,8 +35,0 328° 52' +0,22 -0,63- 6,6 + 3,0 15°15' +0,14 +1,21
5- 1,8 +37,5 324°45' +0,085 -0,746
- 6,5 +20,0 8° 52' -0,015 +0,78 - 1.8 +40,0 317°45' -0,236 -0,59- 6,4 + 5,5 10°37' 0,016 +1,185 - 1,8 +42,5 4°15' -0,20 -0,555~ 5,9 +60,0 0°00' +0,00 -1,57 - 1,8 +45,0 0°Q7' -0,04 -0,61- 5,6 +30,0 342°37' +0,035 -0,125 - 1,8 +50,0 359° 45' +0,01B -0,566- 5,2 + 1.0 3°15' +0,19 +0,67 - 1,8 +55,0 0°00' +0,00 -0,59-5,2 + 3,0 14°37' +0,125 +0,82 - 1,8 +60,0 O°0O' +0,01 -0,565- 5,2 + 5,5 14° 00' +0,03 +0,955 - 1,8 +65,0 359° 52' +0,01 -0,565- 5,2 +10,0 13°07' -0,04 +0,91 - 1,8 +70,0 0°07' +0,005 -0,58"5,2 +20 0 17°45' -0,05 +0,615 + 0,0 -26,0 315°07' -0,136 +0,075- 5,2 +35,0 358°00' +0,015 -0,736 + 0,0 -16,0 317°37' -0,225 +0,10" 5,2 +37,5 355° 30' +0,03 -0,10 + 0,0 - 6,0 319°30' -0,33
6 +0,165- 5,2 +40,0 2»45' ? 7 + 0,0 - 0,8 320°15' -0,23 +0,06- 5,2 +42,5 1°30' -0,055 -1,46 + 0,0 + 1,0 322° 00' -0,145 -0,01" 5,2 +45,0 0°07' +0,055 -1,32 + 0,0 + 3,0 321°15' -0,005 -0,115- 5.2 +50,0 359°45' +0,04 -1,406 + 0,0 + 5,5 322°07' +0,116 -0,206- 5,2 +55,0 0°00' +0,03 -1,40 + 0,0 +10,0 323°15' +0,20 -0,285- 5,2 +60,0 0°00' +0,03 -1,395 + 0,0 +20,0 322°15' +0,25 -0,375
+++
+++++
+++
++++
++
+
+++4-++
+++
++
++
++
+++
+++
!+!+!+!+1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1+
3 3N
++
++
11+
++++++++
++
+++
++
1+
++
++
++++++++
+++++++
++++++
+
OU'W^oaou'OU'Otjiioo^U'OOOU'
w^-jD^oy
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o^njoO
j
-
j
ui
opp_t-nj-o—
o<-no^c
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issjoj-oy^^p
b'uib'b'cob
oooo
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ob>ooo
o"u*b>"ui
oooo
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^l\i^l^;WUiOOK)OtOO^Ui^UiUilO^Ui^OO^OU,CU'^^WO^^tON5tOO--JU'000-JOU'^U'l'Ja
+|[ll]i+lll!lllll+++llll!lll!llll+++++l!l+ll!l!l++++
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ci
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+++
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11
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++
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11
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PPPPPPPPP'PPPPPPPPPP^P
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©'î-»o^bNln"Vj'-j
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+
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1+
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++
11
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O
O
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OOO
O
O
O
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o
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b
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•—'OOOOOO^OWOO^mO^OOaOOWOtO—
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ai
ci
kg '
mm2
Cl
u*
mv
u<
wai
O'
vw
o\
mw
v01
to 3 3
?
— 110 —
Comparaison, en quelques profils verticaux, des valeurs de H et Q obtenues
expérimentalement avec celles calculées par les formules usuelles de la
résistance des matériaux.
Tableau IV Poutre encastrée I. Etat de charge 1. P = 10,65 kg.
ZoneProfil
x
Valeurs obtenues
expérimentalement
Valeurs calculées par la
résistance des matériaux
H Q H Q
IV
III
mm
+ 1,0+ 20,0+ 50,1+ 55,1+ 60,1+ 65,1+ 70,1
kg
3,23,33,13,13,13,13,1
kg
10,810,70,00,00,00,00,0
kg
0
0
0
0
0
0
0
kg
10,6510,650
0
0
0
0
Tableau V. Poutre encastrée II. Etat de charge 1. P = -32,78 kg.
ZoneProfil
X
Valeurs obtenues
expérimentalement
Valeurs calculées par la
résistance des matériaux
H Q H Q
IV
III
mm
+ 1,0+ 20,0+ 50,0+ 55,0+ 60,0+ 65,0+ 70,0
kg
24,924,224,924,925,225,024,9
kg
33,332,70,00,00,00,00,0
kg
0
0
0
0
0
0
0
kg
32,7832,780
0
0
0
0
Tableau VI. Poutre encastrée IV. Etat de charge 1. P = 32,78 kg.
ZoneProfil
X
Valeurs obtenues
expérimentalement
Valeurs calculées par la
résistance des matériaux
H Q H Q
IV
III
mm
+ 1,0+ 20,0+ 50,0+ 55,0+ 60,0+ 65,0+ 70,0
kg'
kg
17,3 34,918,0 32,818,2 1 0,118,0
'
0,017,8 0,0
17,8 0,0
17,5 j 0,1
kg
0
0
0
0
0
0
0
kg
32,7832,780
0
0
0
0
— 111 —
Tableau VII.
Intégrales définies rencontrées au chapitre III.
X.
dx
X.
I
X.
i
X,
1+c xa
= -±[m(i+c-^x)]l ,
xdx a2(l+c) [, /, c Yl*» a.
**
- = —9-^ //* 1+c x)\ [x]
l+cc \ c2 L V a ix1 c1 1x1
dx
1c y
1 +c x)a
a 1 *2
c (l+c- -h]Xi
xdx
1c \2
1 + C Xa
dx
= £|N1+HH)K+<1+<>1+C--X
a
H.c-±x)' 2c
a
1 +c xa
xdx a2 (1+c
1£ \s
1 +C Xa
x2dx
, ,C \3 ,.3
1+c Xa
c32
1
1 ,c x2
1+c- -xa
C+'-.£'
2(1 + ')1+c a;
"-[fa(1+C-|*)K
,2x'dx
_
a*(l_+c) [ (1 + c)*1
c
l+c
3(l+c)l+c~ -X
aHu<--M\-"c.-\
— 112 —
Tableau VIII.
Poutre symétrique parfaitement encastrée à goussets rectilignes.
Ordonnée maximum tjM de la ligne d'influence de la poussée horizontale
(v = 0,20).
c f XO)
Equation (49) Equation (53)
0,25 0,050 0,10 0,1165 0,22990,20 0,1070 0,39950,30 0,0962 0,50890,40 0,0838 0,5448
0,075 0,10 0,1165 0,16170,20 0,1070 0,27500 30 0,0962 0,34820,40 0,0838 0,3722
0,100 0,10 0,1165 0,13000,20 0,1070 0,2153
0,30 0,0961 0,27210,40 0,0838 0,2888
0,150 0,10 0,1164 0,10390,20 0,1069 0,16170,30 0,0961 0,19910,40 0,0838 0,2108
0,200 0,10 0,1163 0,09500,20 0,1069 0,1390
0,30 0,0961 0,16770,40 0,0837 0,1775
_ 113
Tableau VIII".
0.300
0700
0.600
0.S00
o.wo
0.300
0200
ono
_ 114 —
Tableau IX.
Poutre symétrique parfaitement encastrée à goussets rectilignes.
Ordonnée maximum r\M de la ligne d'influence de la poussée horizontale
(v = 0,20).
c fil
O)
Equation (49) Equation (53)
0,50 0,050 0,100,200,300,40
0,2377
0,22290,20450,1810
0,33330,59700,79140,8795
0,075 0,100,200,300,40
0,23760,22290,20450,1810
0,23780,41270,54310,6028
0,100 0,100,200,300,40
0,23750,22280,2045
0,1810
0,19360,32610,42330,4694
0,150 0,100,200,30
0,40
0,23710,22260,20440,1809
0,15670,24700,31280,3459
0,200 0,100,200,300,40
0,2366
0,22240,20420,1809
0,14270,21400,26660,2924
— 115 —
Tableau IXa.
-- 116 —
Tableau X.
Poutre symétrique parfaitement encastrée à goussets rectilignes.
Ordonnée maximum r\M de la ligne d'influence de la poussée horizontale
(v = 0,20).
c li /.
Equation (49)1m
Equation (53)
0,75 0,050 0,100,200,300,40
0,36100,34350,32010,2873
0,37760,68050,92071,0541
0,075 0,100,200,300,40
0,36080,34340,32000,2873
0,27160,47380,6347
0,7250
0,100 0,100,200,300,40
0,36040,34320,31990,2873
0,22480,37640,49770,5656
0,150 0,100,200,300,40
0,35940,34270,31960,2871
0,18340,28800,37140,4201
0,200 0,100,200,300,40
0,35820,34200,31910,2869
0,16440,25060,31760,3579
— 117 —
Tableau X".
C'0.75 -
0380
0370
0360
-
^***-*^^^-
0350
OJiO
0330
_ -»^<:'o
~
y/
0310
0300
9290
0280
^s.
.
Q0$/Ns
/ S^
/nfi5^:
_
^^—"-
-
^_____
=
i'A -
u
vyvXj;-
r i i i i i i i i i il i i i i l
an aw 030 0.40
2
— 118 —
Tableau XI.
Poutre symétrique parfaitement encastrée à goussets rectilignes.
Ordonnée maximum r\M de la ligne d'influence de la poussée horizontale
(y = 0,20).
c i" Xeu
Equation (49) Equation (53)
1,00 0,050 0,100,200,300,40
0,48530,46650,43990,3999
0,39430,71100,97421,1333
0,075 0,100,200,300,40
0,48480,46620,43970,3998
0,28870,49910,67530,7849
0,100 0,100,200,300,40
0,48420,46580,43950,3997
0,24260,39920,53120,6157
0,150 0,100,200,300,40
0,48250,46490,43880,3993
0,19510,30660,39920,4599
0,200 0,10
0,200,300,40
0,48050,46360,43800,3988
0,17220,26580,34050,3918
— 119
Tableau XI".
j i i i I o
aw
— 120 —
Tableau XII.
Poutre encastrée 1. — Etat de charge 1.
Valeurs des tensions normales mesurées agissant sur des éléments de
surface verticaux.
z
X
-10,0 -5,0 ±0,0 + 5,0 + 10,0
mm
+ 1,6+ 2,5+ 4,2+ 6,0+ 7,8+ 9,5+10,4
kg : mm2
-0,204-0,154*- 0,080+ 0,000+ 0,076+ 0,161+ 0,194
kg : mm2
-0,205-0,160*-0,077+ 0,000+ 0,082*+ 0,154*+ 0,192
kg : mm2
-0,197-0,154*-0,086*+ 0,000+ 0,082*+ 0,151*+ 0,200
kg: mm2
-0,198-0,152-0,080+ 0,000+ 0,078*+ 0,157+ 0,206*
kg: mm2
-0,193-0,153*- 0,084+ 0,000+ 0,085*+ 0,162*+ 0,196
Diagramme XII*.
Profil vertical X =-- -j- 0,0.
o Tensions mesurées.
Tensions calculées.
— 121 —
Tableau XIII.
Poutre encastrée 1. — Etat de charge 2.
Valeurs des tensions normales mesurées agissant sur des éléments de
surface verticaux.
z
X
-10,0 -5,0 ±0,0 + 5,0 + 10,0
mm kg : mm3 kg : mm2 kg : mm2 kg : mm2 kg : mm2
+ 1,6 -0,079 - 0,0826 -0,084 - 0,078 -0,081+ 2,5 - 0,0675 -0,070 - 0,0655 - 0,0656 -0,065°+ 4,2 -0,035 - 0,0365 - 0,0315 - 0,035 - 0,037+ 6,0 + 0,000 + 0,000 + 0,000 + 0,000 + 0,000+ 7,8 + 0,0365 + 0,0336 + 0,035 + 0,035 + 0,037+ 9,5 + 0,068 + 0,065 + 0,0645 + 0,0675 + 0,065+ 10,4 + 0,0825 + 0,0785 + 0,079 + 0,0846 + 0,086
Diagramme XIII*.
Profil vertical X = ± 0,0.
K x-*ao
+
MJK
Tensions mesurées.
Tensions calculées.
— 122 —
Tableau XIV.
Poutre encastrée 2. — Etat de charge 1.
Valeurs des tensions normales mesurées agissant sur des éléments de
surface verticaux.
z
X
-10,0 -5,0 + 0,0 + 5,0 | +10,0
mm
+ 1,6+ 2,5+ 4,2+ 6,0+ 7,8+ 9,5+ 10,4
kg : mm2
-0.1996-0,159
-0,1045- 0,036+ 0,031+ 0,088+ 0,1226
kg : mm2
-0,199-0,168-0,101- 0,0365+ 0,0245+ 0,0905+ 0,118
kg : mm2
- 0,200 5
-0,162-0,1045-0,036+ 0,024+ 0,086+ 0,1226
kg : mm2
-0,201-0,160
-0,1006-0,039+ 0,025+ 0,088+ 0,123
kg : mm2
-0,1905-0,158-0,102-0,038+ 0,0295+ 0,0925+ 0,119
Diagramme XIV*.
Profil vertical X = + 0,0.
o Tensions mesurées.
Tensions calculées en tenant compte de la poussée horizontale.
Tensions calculées en négligeant la poussée horizontale.
— 123
Tableau XV.
Poutre encastrée 2. — Etat de charge 2.
Valeurs des tensions normales mesurées agissant sur des éléments de
surface verticaux.
X
-10,0 -5,0 ±0,0 + 5,0 + 10,0
mm kg : mm2 kg : mm2 kg : mm2 kg : mma kg : mm2
+ 1,6 -0,058 - 0,0555 - 0,0585 -0,056 -0,057°+ 2,5 - 0,046 - 0,050 - 0,0495 - 0,050 - 0,047+ 4,2 - 0,033 - 0,032 -0,032° - 0,034 -0,034°+ 6,0 - 0,0195 -0,0175 -0,0195 -0,017» -0,018°+ 7,8 + 0,000 - 0,0035 - 0,002 - 0,0035 + 0,0(10+ 9,5 + 0,016 + 0,0135 + 0,015 + 0.0145 + 0,012°+ 10,4 + 0,0226 + 0,021° + 0,020 + 0,019° + 0,024
Diagramme XV*.
Profil vertical X = + 0,0.
o Tensions mesurées.
Tensions calculées en tenant compte de la poussée horizontale.
Tensions calculées en négligeant la poussée horizontale.
— 124 —
Tableau XVI.
Poutre encastrée 3. — Etat de charge 1.
Valeurs des tensions normales mesurées agissant sur des éléments de
surface verticaux.
z
mm
X
-10,0 -5,0 ±0,0 + 5,0 + 10,0
kg: mm2 kg : mm2 kg: mm2 kg: mm2 kg : mm2
+ 1,6 -0,227* - 0,219 - 0,220 -0,219 -0,217+ 2,5 -0,190 -0,184* -0,193* -0,192 -0,190+ 4,2 -0,129* -0,134 -0,134* -0,133 -0,132+ 6,0 -0,072* -0,066* -0,064* -0,069 -0,071+ 7,8 - 0,003 -0,008 -0,003* - 0,006 - 0,006+ 9,5 + 0,051 *
+ 0,058* + 0,051 + 0,057 + 0,054*+ 10,4 + 0,089* + 0,084 + 0,084 + 0,083 + 0,088*
Diagramme XVI*.
Profil vertical X = + 0,0.
tX-iO.0 %&§too cs^scs
*" J^^«"• J^^
+16 --- *^*"'*' J^
-.*•* J^'ZS ^*
*• ^^^— <*' y^
^ j^
** j^
ta -^ i-lT"* ^^
**» j^
«** /
j" *<^** /
+60 *" JT-
**«-»
*•*<r
*r
s* + 71**
•"* -^
rf» ^^^^* w^^ *95
-' ^^ s&^
2^
—•** s^^
^- sir +_^ /y^ *ftÛZ
Tensions mesurées.
Tensions calculées en tenant compte de la poussée horizontale.
Tensions calculées en négligeant la poussée horizontale.
— 125 —
Tableau XVII.
Poutre encastrée 4. — Etat de charge 1.
Valeurs des tensions normales mesurées agissant sur des éléments de
surface verticaux.
X
-10,0 -5,0 ±0,0 + 5,0 + 10,0
mm kg : mm2 kg : mm2 kg : mm2 kg : mm2 kg : mm2
+ 1,6 - 0,2085 -0,213 -0,214 -0,213 -0,211+ 2,5 -0,168 -0,168 -0,161 -0,166 - 0,1625+ 4,2 - 0,0915 - 0,082 - 0,0845 -0,091 - 0,090+ 6,0 + 0,000 + 0,000 + 0,000 + 0,000 + 0,000+ 7,8 + 0,078 + 0,086 + 0,0805 + 0,079 + 0,087+ 9,5 + 0,167 + 0,161 + 0.1645 + 0,1656 + 0,168+ 10,4 + 0,211 + 0,2055 + 0,212 + 0,211 + 0,204
Diagramme XVII*.
Profil vertical X = ± 0,0.
as
o Tensions mesurées.
Tensions calculées.
— 126 —
Tableau XVIII.
Poutre encastrée 5. — Etat de charge 1.
Valeurs des tensions normales mesurées agissant sur des éléments de
surface verticaux.
X
-10,0 -5,0 ±0,0 + 5,0 + 10,0
min kg : mm2 kg : mm2 kg: mm3 kg : mm2 kg: mm2
+ 1,6 - 0,232 - 0,2235 - 0,228 -0,222 - 0,230+ 2,5 -0.1866 -0,189 -0,181 - 0,1856 - 0,1825+ 4,2 -0,113 -0,109 -0,104 -0,1065 -0,110+ 6,0 -0,023 -0,022 - 0,028 - 0,0205 - 0,0205+ 7,8 + 0,059 + 0,058 + 0,057 + 0,059 + 0,0616+ 9,5 + 0.1386 + 0,134 + 0,1405 + 0,134 + 0,136+ 10,4 + 0,174 + 0,180 + 0,179 + 0,181 + 0.1835
Diagramme XVIII*.
Profil vertical X = -j- 0,0.
o Tensions mesurées.
Tensions calculées en tenant compte de la poussée horizontale.
Tensions calculées en négligeant la poussée horizontale.
— 127 —
Tableau XIX.
Poutre encastrée 5. - - Etat de charge 2.
Valeurs des tensions normales mesurées agissant sur des éléments de
surface verticaux.
z
X
-10,0 -5,0 ±0,0 + 5,0 + 10.0
kg : mm2mm kg : mm2 kg : mm2 kg: mm2 kg : mm2
+ 1,6 - 0,0735 -0,071 - 0,074 -0,068° - 0,075+ 2,5 - 0,0595 - 0,0566 - 0,060 - 0,0605 - 0,060+ 4,2 - 0,037 - 0,038 -0,035° -0,034° -0,040°+ 6,0 -0,014 -0,011 -0,011 -0,014 -0,013+ 7,8 + 0,010 + 0,010 + 0,009 + 0,010 + 0,009+ 9,5 + 0,036 + 0,034° + 0,033° + 0,0345 + 0,031°+ 10,4 + 0,045 + 0,048° + 0,048° + 0,048 + 0,046
Diagramme XIX*.
Profil vertical X = ± 0,0.
o Tensions mesurées.
Tensions calculées en tenant compte de la poussée horizontale.
Tensions calculées en négligeant la poussée horizontale.
— 128 —
Tableau XX.
Poutre encastrée 6. — Etat de charge 1.
Valeurs des tensions normales mesurées agissant sur des éléments de
surface verticaux.
z
X
-10,0 -5,0 ±0,0 + 5,0 + 10,0
mm kg : mm2 kg : mma kg : mm2 kg : mma kg : mm2
+ 1,6 - 0,1776 -0,177 -0,1686 -0,175 -0,176+ 2,5 -0,150 -0.1465 -0,1445 -0,1465 - 0,1436+ 4,2 -0,101 - 0,099 -0,100 - 0,0965 -0,095+ 6,0 - 0,0485 - 0,043 -0,042 -0,047 -0,044+ 7,8 + 0,0126 + 0,007 + 0,005 + 0,008 + 0,0126+ 9,5 + 0,0565 + 0,056 + 0,057 + 0,055 + 0,055+ 10,4 + 0,0865 + 0,0855 + 0,0856 + 0,0866 + 0,083
Diagramme XX*.
Profil vertical X = ±_ 0,0.
o Tensions mesurées.
Tensions calculées en tenant compte de la poussée horizontale.
Tensions calculées en négligeant la poussée horizontale.
— 129 —
Tableau XXI.
Poutre encastrée 6. — Etat de charge 2.
Valeurs des tensions normales mesurées agissant sur des éléments de
surface verticaux.
X
-10,0 -5,0 ±0,0 + 5,0 + 10,0
mm kg : mm2 kg: mm2 kg : mm2 kg : mm2 kg : mm2
+ 1,6 - 0,049** - 0,048 - 0,045 - 0,043 -0,046+ 2,5 - 0,043 -0,041** - 0,041 **
- 0,039 - 0,0436+ 4,2 - 0,031 -0,030** - 0,032 -0.029** - 0,0305+ 6,0 -0,021 - 0,021 ** -0,0195 -0,018** - 0,020+ 7,8 -0,010 -0,008** -0,010 - 0,006 -0,008**+ 9,5 + 0,003** + 0,000 + 0,000 + 0,005 + 0 000+ 10,4 + 0,010 + 0,005 + 0,007 + 0,009** + 0,008
Diagramme XXI*.
Profil vertical X = ± 0,0.
+00 -0056
+16
+ 15
//
/ </' 7
/ /
/ /— ' /
/ /
/ // /
/ // y
//
/
/ + ?S
/ /'Si
/ A '12 ÛS
Tensions mesurées.
Tensions calculées en tenant compte de la poussée horizontale.
Tensions calculées en négligeant la poussée horizontale.
— 130
Tableau XXII.
Poutre encastrée 9. — Etat de charge 1.
Valeurs des tensions normales mesurées agissant sur des éléments de
surface verticaux.
X
-10,0 -5,0 + 0,0 + 5,0 + 10,0
mm kg : mm2 kg : mm2 kg : mma kg : mm2 kg : mm2
+ 1,6 -0,214 - 0,222 - 0,223 - 0,222 -0,221
+ 2,5 -0,184° -0,180 -0,176 - 0,1785 -0,176
+ 4,2 -0,1055 -0,110 -0,107 -0,101° -0,110
+ 6,0 -0,024° -0,027 - 0,025 - 0,025 - 0,030+ 7,8 + 0,046 + 0,044 + 0,046 + 0,047 + 0,044
+ 9,5 + 0,120° + 0,123 + 0,127 + 0,124 + 0,123+ 10,4 + 0,166 h 0,163 + 0,156 + 0,158 + 0,163
Diagramme XXII*.
Profil vertical X == ± 0,0.
o Tensions mesurées.
Tensions calculées en tenant compte de la poussée horizontale.
Tensions calculées en négligeant la poussée horizontale.
131 —
Tableau XXIII.
Poutre encastrée 9. — Etat de charge 2.
Valeurs des tensions normales mesurées agissant sur des éléments de
surface verticaux.
X
mm
-10,0 -5,0 ±0,0 + 5,0 + 10,0
kg : mm3 kg : mm2 kg : mm2 kg : mm2 kg : mm2
+ 1,6 - 0,0685 - 0,062 - 0,063 - 0,066 -0,066+ 2,5 - 0,0605 - 0,0545 -0,055° -0,059" -0,055°+ 4,2 - 0,040 - 0,039 -0,041 - 0,0395 -0,041°+ 6,0 - 0,023 -0,020 - 0,0215 - 0,0215 -0,021°+ 7,8 - 0,0035 '-0,003° - 0,0045 -0,005 -0,004+ 9,5 + 0,014 + 0,017» + 0,012° + 0,016° + 0,015+ 10,4 + 0,020» + 0,025 + 0,026 + 0,022 + 0,021 '
Diagramme XXIII*.
Profil vertical X = -|- 0,0.
o Tensions mesurées.
Tensions calculées en tenant compte de la poussée horizontale.
Tensions calculées en négligeant la poussée horizontale.
— 132 —
Tableau XXIV.
Poutre encastrée 10. — Etat de charge 1.
Valeurs des tensions normales mesurées agissant sur des éléments de
surface verticaux.
X
-5,0 + 0,0 + 5,0
mm kg : mm2 kg : mm2 kg : mm2
+ 1,6 -0,204 - 0,201 -0,194+ 2,5 -0,163 -0,162 - 0,1635+ 4,2 -0,105 - 0,097 - 0,094+ 6,0 - 0,0295 - 0,035 - 0,0335+ 7,8 + 0,037 + 0,0326 + 0,040+ 9,5 + 0,0995 + 0,104 + 0,103+ 10,4 + 0,1415 + 0,134 + 0,1336
Diagramme XXIV*.
Profil vertical X = ±_ 0,0.
Tensions mesurées.
Tensions calculées en tenant compte de la poussée horizontale.
Tensions calculées en négligeant la poussée horizontale.
— 133 —
Tableau XXV.
Poutre encastrée 10. — Etat de charge 2.
Valeurs des tensions normales mesurées agissant sur des éléments de
surface verticaux.
z
X
-5,0 ±0,0 + 5,0
mm
+ 1,6+ 2,5+ 4,2+ 6,0+ 7,8+ 9,5+ 10,4
kg : mm2
- 0,054- 0,043-0,031-0,0135+ 0,005+ 0,0186+ 0,023
kg : mm2
- 0,051- 0,0445- 0,0295-0,0125+ 0,000+ 0,020+ 0,024
kg : mm2
- 0,0585- 0,046- 0,033-0,0126+ 0,000+ 0,018 e
+ 0,025
Diagramme XXV*.
Profil vertical X = ± 0,0.
o Tensions mesurées.
Tensions calculées en tenant compte de la poussée horizontale.
Tensions calculées en négligeant la poussée horizontale.
TableauXXVI.
Poutresencastrées1
à10—
Modèles
de
plexiglas
Comparaisond
es
valeurs
deH
etdeM^
obtenues
expérimentalement
a
v
e
c
cellescalculéesp
ar
les
formulesétablies
aux
Chapitres1
11
et
IV.
? o §" R
12
34
56
78
910
Poutre
encastrée
Etat
de
charge
PF 'M
wM
Valeurs obtenues expérimentale
mentValeurscalculées
Ecarts
en%
H kg
«'*
HM*M
HM'M
kg
mm2
mm3
k
g
m
m
kg
k
g
m
m
11 2
4,73
7,78
119,12
238.64
0 0+
64,433
+
26,728
0 0+
63,067
+
25,933
0 0+2,2
+3,1
21 2
6,23
8,31
120,38
241,76
-4,454
-2,107
+
52,703
+
12,934
-
4,598
-2,172
+
51,180
+
12,616
-3,1
-
3
,
0
+3,0
+2,5
31
4,73
119,24
238,88
-8,108
+
50,284
-
8,324
+
48,408
-
2
,
6
+3,9
41
7,78
121,02
242,64
0+
69,031
0+
67,032
0+3,0
51 2
6,23
8,31
120,31
240,76
-
2,887
-
1,564
+
66,691
+
19,381
-
2,957
-
1,542
+
64,876
+
18,731
-2,4
+1,4
+2,8
+3,5
61 2
6,23
8,31
120,84
242,89
-5,317
-
2,356
+42,992
+
8,865
-
5,430
-2383
+
41,488
+
8,760
-2,1
-
1
,
1
+3,6
+1,2
91 2
6,23
8,31
121,28
244,18
-
3,275
-
2,547
+
63,365
+
14,895
-
3,441
-2,571
+
61,767
+
14,587
-
4
,
8
-
0
,
9
+2,6
+2,1
10
1 2
6,23
8,31
120,92
243,45
-
3,628
-1,693
+
55,993
+
13,268
-
3,789
-1,777
+
54,762
+
12,857
-
4
,
2
-
4
,
7
+2,3
+3,2
TableauXXVII.
Poutresencastrées1
à10
Comparaisond
es
valeurs
des
tensions
o*
calculéese
n
faisantintervenirl
a
poussée horizontale
H
a
v
e
c
celles
des
tensions
o
calculéese
n
admettant
H=
0.
12
34
56
78
9
u
10 Tens
ions
c
tenant
cor
11
12
13
Poutre
encastrée
Etat
de
charge
PMM
HM*M
00 u
Tensionscalcu¬
lées
a
v
e
c
H=0
kg:mm2
"H
ïlculées
en
npte
deH
°o
kg
k
g
m
m
kg
k
g
m
m
kg:mm2
kg:mm2
kg:mm2
kg:mm2
0//o
%+
—
+T
—
T—
f+
—
11 2
4,73
7,78
63,067
25,933
0 0
63,067
25,933
0,264
0,109
0 0
0,264
0,109
0,264
0,109
0,264
0,109
0 00 0
21 2
6,23
8,31
53,603
13,761
4,598
2,172
51,180
12,616
0,222
0,057
0,038
0,018
0,212
0,052
0,250
0,070
0,174
0,034
12,6
22,8
21,6
40,3
31
4,73
63,067
8,324
48,408
0,264
0,070
0,203
0,273
0,133
3,4
49,6
41
7,78
67,032
0
67,032
0,276
00,276
0,276
0,276
00
51 2
6,23
8,31
65,864
19,246
2,957
1,542
64,876
18,731
0,274
0,080
0,025
0,013
0,269
0,078
0,294
0,091
0,244
0,065
7,3
13,8
10,9
18,7
61 2
6,23
8,31
44,931
10,271
5,430
2,383
41,4888,760
0,185
0,042
0,045
0,020
0,171
0,036
0,216
0,056
0,126
0,016
16,7
33,4
31,9
61,9
Q1 2
6,23
8,31
62,798
15,357
3,441
2,571
61,767
14,587
0,257
0,063
0,028
0,021
0,253
0,060
0,281
0,081
0,225
0,039
9,3
28,6
12,4
38,1
10
1 2
6,23
8,31
57,117
13,961
3,789
1,777
54,762
12,857
0,235
0,057
0,031
0,015
0,225
0,053
0,256
0,068
0,194
0,038
8,9
19,3
17,4
33,3
Axede
symétrie
2 ET
Planche
1.PoutreencastréeI
—
E
t
a
t
de
charge
1.
Trajectoiresd
es
tensionsprincipales.
QAxede
symétrie
Planche
2.
PoutreencastréeI
—
E
t
a
t
de
charge
1.
Diagrammesd
es
tensionsprincipales
(e=
9,86
m
m
)
.-a
Planche
3.
PoutreencastréeI
I—
E
t
a
t
de
charge
1.
Trajectoiresd
es
tensionsprincipales.
pAxede
symétrie
Planche
4.
PoutreencastréeII
-
E
t
a
t
de
charge
1.
Diagrammesd
es
tensionsprincipales
(e=
10,OSm
m
)
.
3"
fit
200
/TdF-3Z7kg
frdf-0
Planche
5.
PoutreencastréeI
I—
E
t
a
t
de
charge
1.
Diagrammesd
es
tensionsnormales
et
tangentiellesagis
sant
en
troisprofilsverticaux
(e=
10,08m
m
)
.
s*
Planche
6.
Poutreencastrée
II—
E
t
a
t
de
charge
3.
Trajectoiresd
es
tensionsprincipales.
rtAxede
syméfr/e
3 ET
4^
to
Planche
Q.
Poutreencastrée
IV—
E
t
a
t
de
charge
1.
Trajectoires
des
tensionsprincipales.
Planches 7 it 8.
Planche 7 Poutre eniastrée II Etat de charge 2 Trajectoires des tensions principales.
Planche 8. Poutre encastrée II — Etat de charge 4 Tiajectoires des tensions principales.
yAxede
svmiïr
0I
l3
t/y/mt1
Planche
10.
PoutreeniastréeIV
-
E
t
a
t
de
charge
1.
Diagrammesd
es
tensionsprincipales
{e=
10,03m
m
)
.
Planche H.
Axes des goujons
*
— 144 —
Vue en planAxes des goujonsgoujoi
fc n, -
T'
10
Profils'Y
_**
S
"s
81
Planche 11. Profils des modèles de plexiglas.
Curriculum vitae
Né le 1er octobre 1916 à Fribourg, j'ai fréquenté les écoles
primaires et le collège de cette ville. J'ai obtenu en juillet 1936
le baccalauréat latin-sciences.
En octobre 1936, je suis entré à l'Ecole polytechnique fét-
dérale de Zurich. J'en suis sorti en novembre 1940 avec le diplôme
d'ingénieur civil.
Du 1er novembre 1940 au 31 mars 1943, j'ai été assistant de
la Chaire de Mécanique en langue française. C'est durant cette
période que j'ai effectué, au Laboratoire de photo-élasticité de
l'Ecole polytechnique fédérale, les recherches dont ce travail est
le compte-rendu.
Depuis le 15 avril 1943, je suis employé au bureau d'études
de l'accumulation de Rossens des Entreprises électriques fribour-
geoises à Fribourg.