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Tema 4Dpt. Teoría de la Señal, Telemática y Comunicaciones
PLANIFICACIÓN DE TRAYECTORIAS
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Secciones
1. Introducción.2. Trayectorias Interpoladas.
1. Trayectorias Interpoladas con Funciones polinómicas.
2. Trayectoria 4-3-4.
3. Trayectorias Interpoladas con Funciones Lineales
3. Trayectorias Cartesianas.
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1. Introducción.
• La realización de cualquier movimiento implica dos tareas: Planificación de la Trayectoria. Control del Movimiento.
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1. Introducción.
• ¿En que consiste? Obtención de las funciones temporales 0TN(t) que nos
llevan desde una localización inicial (Tini) hasta otra final (Tfin).
O, alternativamente: q(t)=(q1(t), q2(t), …, qN(t)).
• Tipos de trayectorias: Trayectorias punto a punto: Evolución independiente de
cada articulación. Sólo útiles en tareas a manipulador parado.
Trayectorias continuas: 0TN(t) es conocida. Trayectorias suaves. Útiles en tareas con el brazo en movimiento.
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1. Introducción.
• Tipos de Trayectorias Continuas:
Trayectorias interpoladas Trayectorias Cartesianas
•Algoritmos más sencillos.
•Fácil control.
•Riesgo de choques con obstáculos.
•Control directo del movimiento en el espacio cartesiano.
•Ortogonalidad (separación rotación/translación)
•Mayor dificultad de implementación y control.
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2. Trayectorias Interpoladas.
• Trayectorias interpoladas con funciones polinómicas. Trayectoria polinómica desde una posición inicial a otra final.
Condiciones para trayectoriasuave:
• Continuidad en la velocidad.
• Grado del polinomio (t) menor posible.
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2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones polinómicas.
Condiciones a satisfacer: 4 ! polinomio de grado 3.
Aplicando las (4) condiciones de contorno:
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2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones polinómicas.
Ejemplo: 0 = 15º, f = 75º, tf = 3 seg.
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Es conveniente dar puntos intermedios (¿Por qué?).
Podemos emplear un polinómio cúbico para cada segmento y replicar el método.
Discusión del caso anterior: 0 = 15º, 1 = 75º, f = 135º, t01 = 3 seg, t1f = 3 seg.
2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones polinómicas.
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2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones polinómicas.
Trayectorias con varios segmentos: • Recorrido por secuencia varias posiciones intermedias.• Cada segmento emplea un polinómio cúbico.• Se garantiza continuidad en la posición y velocidad.
Ventajas e inconvenientes.
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2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones polinómicas.
Inconvenientes:• No se asegura la continuidad en la aceleración.• Problema mayor: fijar las velocidades intermedias.
Solución: intercambio de las restricciones anteriores.
• No se indica velocidad en los puntos intermedios.• A cambio se asegura la continuidad en la
aceleración.
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2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones polinómicas.
Caso sencillo con dos segmentos [0, v, g]:
Nótese los intervalos de tiempo.
Condiciones impuestas:1. Recorrer los puntos inicial, final e intermedio:
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2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones polinómicas.
2. Velocidades (nulas en este caso) en los extremos:
3. Continuidad en la posición, velocidad y aceleración en el punto intermedio:
Nótese que no exigimos un valor concreto en la velocidad, pero sí continuidad en la aceleración.
!?!?
Segmento 1 Segmento 2
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2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones polinómicas.
Solución (tf1 = tf2 = tf):
Avances:• Ajuste de tiempo favorable para resolver ecuaciones.• Introducir continuidad en aceleración para no definir
velocidades intermedias.
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2. Trayectorias Interpoladas.
• Trayectoria 4-3-4 Operación frecuente: Traslado de objetos desde una superficie a otra. Solución sencilla: una trayectoria con cuatro puntos como la de la
figura.
Objetivo: evitar colisiones (¿por qué?). Cómo: introducción de dos puntos intermedios.
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2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4.
Se escogen puntos intermedios en unas posiciones de despegue y asentamiento normales a las superficies de origen y destino, respectivamente.
Relación tiempos ! velocidad.
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2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4.
Condiciones de contorno para un movimiento suave:1. Inicio: posición, velocidad (nula) y aceleración (nula) determinadas.
2. Fin: posición, velocidad (nula) y aceleración (nula) determinadas.
3. Intermedios: paso por posiciones de despegue y asentamiento con continuidad en posición, velocidad y aceleración.
¿Grado del polinomio?
8 condiciones ) 8 parámetros ) orden 7:
¿Bondad del polinómio?
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2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4.
Es preferible dividir el movimiento en 3 segmentos con polinomios de grado inferior. Soluciones: trayectorias 4-3-4 y trayectorias 3-5-3.
Variables:• : tiempo real en segundos.
• i: tiempo real al final de la trayectoria i-ésima.
• ti =(i-i-1): tiempo real requerido para el segmento i-ésimo.
• t: tiempo normalizado en el intervalo [0,1]:
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2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4.
Polinomios empleados:
Ventajas/Inconvenientes del tiempo normalizado:
4
3
4
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2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4.
Condiciones de contorno:• Punto inicial:
• Punto despegue:
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2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4.
• Punto asentamiento:
• Punto final:
14 ligaduras (ecuaciones) para 14 parámetros
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2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4.
Primer segmento de la trayectoria:
1. = 0, t = 0 (inicio primer segmento).
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2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4.
2. =1, t =1 (final primer segmento).
Ahora no ofrecen soluciones, más adelante recurriremos a ellas.
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2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4.
Segundo segmento de la trayectoria:
1. = 1, t = 0 (inicio segundo segmento).
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2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4.
Condiciones de continuidad con el tramo anterior:
2. =2, t =1 (final segundo segmento).
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2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4.
Tercer (último) segmento de la trayectoria:1. Nuevo cambio de variable para facilitar la resolución.
• Las derivadas no quedan afectadas (suma de constante).
• Nótese que el polinomio esta basado en la nueva variable y no en t (aunque podemos obtener fácilmente el correspondiente en t).
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2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4.
2. =f, t =1, (final tercer segmento).
3. =2, t =0, (inicio tercer segmento).
0t
1t
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2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4.
Condiciones de continuidad con el tramo anterior:
Gracias a los cambios de variable hemos obtenido de forma directa 7 de los 14 parámetros. Para el resto …
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2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4.
Se calculan los cambios de las variables de articulación entre segmentos contiguos:
Las condiciones (1) a (7) se pueden expresar en forma matricial:
y C x= .
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2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4.
Solución:
x = C-1y
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2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4.
Los coeficientes (a10,a11,a12,a20,an0,an1,an2) se obtienen de forma directa.
Importante: recordar el último cambio de variable.• Si utilizamos:
Deberemos recorrer el tiempo de -1 a 0.
• Si queremos homogeneizar el tiempo (siempre de 0 a 1) hay que deshacer el cambio de variable:
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2. Trayectorias Interpoladas.
• Trayectorias interpoladas con funciones lineales. Opción alternativa al uso de polinomios. Fundamento sencillo:
conectar los puntos mediante rectas y solucionar los problemas derivados.
• Problema: discontinuidad en los extremos.
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2.3. Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones Lineales.
Solución: suavizado parabólico con una determinada aceleración.
Secuencia de movimientos:• Uniforme acelerado.• Uniforme.• Uniforme decelerado.
¿Durante cuanto tiempoaceleramos/deceleramos?
tb
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2.3. Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones Lineales.
Suponemos una cierta aceleración (Ã ventajas prácticas).
Implicaciones del discriminante positivo.
&&
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Generalización a varios segmentos:• Definición de secuencia de puntos (1, 2, …, f).
• Definición de los instantes de tiempo (t1, t2, …, tf).
• En los puntos intermedios se realiza una aceleración de suavizado .
2.3. Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones Lineales.
i&&
• i: ángulo punto i-ésimo.
• ti: tiempo punto i-ésimo.
• tsi: duración del suavizado.
• tli-1,i: duración zona lineal.
• tdi-1,i: duración segmento.
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Parámetros que definen el movimiento (Ã síntesis posterior):
• Segmentos intermedios:
2.3. Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones Lineales.
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• Segmento inicial:
2.3. Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones Lineales.
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• Segmento final:
2.3. Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones Lineales.
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3. Trayectorias Cartesianas.
• Descripción de las posiciones del manipulador.
T
G
C(t)
P
Z
M
W(t)
0TN ! T: Trans. Hom. brazo robot.
NGherr ! G: coordenadas herramienta (desde el EF).
absZbase ! Z: coordenadas base del robot (desde el SdR global).
absW(t)obj ! W(t) : coordenadas del objeto (desde el SdR global). Caso General: Consideramos que puede estar en movimiento (depende de t).
objPherr ! P: coordenadas de la herramienta (desde el SdR del objeto).
Para simplificar el cálculo posterior:
C(t)=Z-1W(t)
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3. Trayectorias Cartesianas.
T1
G1
C1(t)
P1
La posición del manipulador se puede expresar como:
TG=C(t)P
Aplicando PCI podremos resolver:
T=C(t)PG-1
Para realizar una tarea habrá que desplazar la herramienta entre varios puntos consecutivos (1,2,3,…,f):
T1G1=C1(t)P1
T2G2=C2(t)P2
…
TfGf=Cf(t)Pf
T2
G2
P2
C2(t)
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3. Trayectorias Cartesianas.
• Entre dos puntos consecutivos cualquiera:
• Entonces podríamos obtener:
• Vamos a suponer un par de transformaciones, Pi,i y Pi,i+1, tal que fuera posible:
• Es decir, el movimiento entre los dos puntos (i,i+1) consistiría simplemente en la transformación de Pi,i+1 en Pi+1,i+1.
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3. Trayectorias Cartesianas.
G1
C1(t)
P1
Obviamente Pi,i=Pi, pero ¿Pi,i+1?
Despejamos Pi,i+1 de la segunda ecuación:
Despejando T de la primera ecuación y sustituyendo en la anterior:
Así, Pi,i+1 puede ser precalculado.
T2
G2
P2
T1
C2(t)
G2
P1,2
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3. Trayectorias Cartesianas.
• Podemos definir una transformación D(t) (transformación de impulsión) que convierte la matriz Pi,i+1 en la matriz Pi+1,i+1 conforme avanza el tiempo. Se realiza en tiempo normalizado t (0 · t · 1).
Verifica las siguientes condiciones de contorno:
De donde podemos despejar D(1):
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3. Trayectorias Cartesianas.
• La transformación D(t) consiste en un movimiento translacional (para alcanzar la posición final) y dos rotacionales (orientación).
La translación lleva el vector pi hasta pi+1.
La primera rotación lleva ai hasta ai+1 (!).
La segunda rotación (sobre a) lleva oi hasta oi+1 (y por tanto ni a ni+1).