Karakteristi ne kontinualne funkcijeLaplasova transformacija

Signali

Fizikalne karakteristike signala emo opisati matemati kim modelima koji e s dovoljno tanosti prikazati osnovna svojstva realnih signala .

Signali imaju prostornu i vremensku raspodelu. Informacija je sadrana u onom parametru signala koji poprima promenljivu vrednost. Ta promena zavisi od karaktera i koliine informacije. Signali kod kojih su nosioci informacija samo koordinate mesta nazivamo konfiguracijama. Ako je informacija opisana samo vremenskom koordinatom ili vremensko prostornim koordinatama onda se signali kojima se prenose takve informacije nazivaju zbivanja. Pomou tih koordinata opisujemo i fizikalna svojstva signala odnosno tako razlikujemo signale po njihovim fizikalnim svojstvima (pritisak zvuka, elektrini napon, temperatura itd.).

Signali

Elementarne podprocese spajaju energetski, materijalni i informacionitokovi tj. procesni signali . Procesne signale karakteriu pokazatelji stanja, kao to su: masa, protok, napon, struja, pritisak, temperatura itd. Pokazatelji stanja procesnih signala su merljive veliine.

Signali su vremenske, prostorne funkcije koje pored svog fizikog iznosa i konkretnog efekta na okruenje uvek nose sa sobom i informacije. Analizom informacionog sadraja signala utvruje se stanje i ispunjenost tehnolokih zahteva u tehnolokom procesu.

U tehnikim sistemima signal je uvek fizika veliina koja je usmerena tj. ima svoj izvor i odredite. Sa stanovita upravljanja procesima znaaj uvek ima informacioni , a ne materijalno-energetski karakter signala .

Informacija je deo saznanja kojim se smanjuje ili u potpunosti odstranjuje neka neizvesnost. Npr. neizvesnost u oceni stanja nekog tehnolokog procesa moe se otkloniti samo ako se poseduje odreena koliina informacija o procesu. Informacije koje nosi signal kvantitativno se mogu iskazati preko parametara signala. Informacije iz signala dobijaju se odabirom i obradom podataka o parametrima signala.

Podaci o signalima tj. stanjima tehnolokog procesa prikupljaju se posmatranjem, logikim zakljuivanjem i merenjem parametara signala.

Poveavanje informati kog sadraja signala moe se postii matematikim preslikavanjem funkcionalnih zavisnosti signala iz vremenskog domena u neki drugi esto imaginarni domen kao to je npr. kompleksna ravan.

Karakteristike rada sistema u vremenskom domenu su jako bitne, poto se i ponaanje sistema automatskog upravljanja prati u toku vremena. Iz tog razloga odziv sistema u vremenskom domenu je od primarnog znaaja, a sa njim i odreene karakteristike.

Pre svega, potrebno je utvrditi da li je sistem stabilan. Ako jeste, pobuuje se odreenim pobudnim signalom, meri se (registruje) odziv i na taj nain se dolazi do podataka o odreenim merama performansi.

Poto je stvarni pobudni signal nekog sistema unapred nepoznat, to se za odreivanje mera performansi koriste standardni pobudni test signali .

Postoji nekoliko razloga koji opravdavaju ovakav postupak:

postoji korelacija izmeu odziva na test signal i ponaanja sistema u realnim uslovima;

koristei iste ulazne signale mogue je uporediti razli ita reenja nekog problema i izabrati najbolje;

realni ulazni signali su veoma slini standardnim test signalima.

Signal jedini nog skoka

Ovo je signal koji je najlake generisati i grafiki predstaviti. Mnogi ulazni signali objekta upravljanja se mogu priblino aproksimirati ovom funkcijom (ukljuivanje napona u elektrinom kolu, skokovita promena sile u mehanikom sistemu, zakret kormila broda u cilju promene pravca ). Pretpostavka je da ovaj signal ima vrednost jedan od trenutka posmatranja (t=0) to je dato na sledeoj slici. Ovaj signal se obino opisuje sa:

1: 0( )

0 : 0

tf t

t

=

f

p

Funkcija jedininog skoka

...

Treba primetiti da funkcija nije definisana za t=0, jer je pretpostavka da se u tom trenutku vrednost skokovito promeni sa nula na jedan. To predstavlja matematiku idealizaciju jer je za takvu promenu neophodno neko, ma koliko kratko, vreme. Funkcija se esto oznaava i sa 1(t).

Napomena: Od interesa je navesti i zakanjenu jedininu funkciju za vrednost , gde je konstanta. Ova funkcija se zapisuje u obliku 1(t-), a predstavljena je grafiki na slici.

Impulsna funkcija - impulsni signal

Ova funkcija se jednostavno dobije diferenciranjem funkcije jedininog skoka.

Za lake razumevanje oblika ove funkcije pogodno je poi od njene aproksimacije date na sledeoj slici.

Aproksimacija impulsne funkcije

...

Ova aproksimacija odgovara razlici dve odsko ne funkcije sa skokom 1/ pri emu je druga zakanjena za u odnosu na prvu.

U graninom sluaju kada tei vrednosti nula dobija se impulsna funkcija.

Ona se obino oznaava sa i pie u obliku:

( )0

0; 0lim *

; 0

( ) 1.

tt

t

t dt

= = =

=

...

Iz zadnjeg se vidi da funkcija ima beskonanu vrednost za t=0 ali je istovremeno povrina ispod funkcije konana i jednaka 1. Ona se grafiki obino predstavlja kao na slici.

Bez obzira na neuobiajenu matematiku definiciju ova funkcija je pogodna za aproksimaciju nekih signala. Signali intenzivnih smetnji koji su vrlo kratkog trajanja (snani ali kratki udari vetra na letelicu , kratkotrajan kratak spoj u elektri noj mrei i slino) mogu se dosta uspeno aproksimirati ovom funkcijom .

Linearna (rampa) funkcija

Ako se uzme integral jedini ne odsko ne funkcije dobije se funkcija ija vrednost raste linearno u vremenu od vrednosti nula, koju ima u trenutku t=0. Ova funkcije se predstavlja izrazom:

Oigledno se takoe moe predstaviti sa: f(t)=t*1(t).

Grafiki je ova funkcija predstavljena na sledeoj slici.

; 0( )

0; 0

t tf t

t

=

f

p

...

Sa dijagrama je oigledno zato se ova funkcija naziva i brzinskom funkcijom . Ona je pogodna za predstavljanje signala koji se karakteriu konstantnom promenom (ugao zakreta osovine motora koja se obre konstantnom brzinom). Specifinost ove funkcije je to to sa vremenom njena vrednost tei prema beskonanosti.

Eksponencijalna funkcija

Polazi se od eksponencijalne funkcije

Tangenta na krivu u t=0 ima nagib odreen prema:

( ) ; 0; 2.718atf t e a e= f

0 0

( ).

at

t t

df d ea

dt dt

= == =

...

Kako je eksponent neimenovan broj zgodno je usvojiti T=1/ , jer se dobije konstanta koja ima dimenziju vremena. Tada je:

Oigledno za vee vrednosti T funkcija f(t) ima sporiju promenu (opadanje prema stacionarnoj vrednosti). Vai i obrnuto za poznat oblik f(t) moe se odrediti vrednost T.

Funkcija je grafiki predstavljena na sledeoj slici.

a

0

1.t

df

dt T==

...

Funkcija je oigledno razliita od nule za t

...

Tangenta na krivu u t=0 ima nagib odreen prema:

/

0 0

(1 ) 1.

t T

t t

df d e

dt dt T

= == =

...

Oigledno za vee vrednosti T funkcija f(t) ima sporiji porast prema stacionarnoj vrednosti .

Vai i obrnuto; za poznat oblik f(t) moe se odrediti vrednost T. Takoe iz izraza:

se vidi da funkcija za t=T ima vrednost 63.24% od vrednosti ( stacionarnog stanja).

( ) lim ( )t

f f t

=

1( ) 1 1 0.368 0.632f T e= = =

Sinusna funkcija

Ova funkcija u sluaju jedinine amplitude se moe napisati u obliku:

Funkcija je osnova za kompletnu frekvencijsku analizu.

Fenomeni oscilovanja promenljive bilo da se radi o ulaznom delovanju, smetnji ili signalu koji generie sam sistem od posebnog su interesa.

Veliine bitne za kompletno predstavljanje ovih funkcija su : amplituda , frekvencija i fazni pomak .

sin ; 0( )

0; 0

t tf t

t

=

f

p

...

U odnosu na osnovnu funkciju (sa jedininom amplitudom, jedininom frekvencijom i nultim faznim pomakom) na sledeim slikama su dati prikazi iste za: amplitudu 1.5, dvostruko veu frekvenciju i fazno kanjenje za jedan radijan, respektivno.

Napomena : Reim oscilacija sa konstantnom amplitudom je samo specijalan sluaj reima oscilovanja sa promenljivom amplitudom (rastuom ili opadajuom).

Transformacija - definicija

Transformacija -- matematika konverzija iz jednog naina razmiljanja u drugi kako bi se olakalo reavanje problema

transformacija

reenje u transformisanom

nainurazmiljanja

inverznatransformacija

reenje u originalnom

nainu razmiljanja

problem u originalnom

nainu razmiljanja

Laplasovatransformacija

reenjeu

s domenu

inverzna Laplasova

transformacija

Reenje u vremenskom

domenu

problem u vremenskom

domenu

Druge transformacije Fourijeova z-transformacija wavelets (talasi i)

Laplasova transformacija

Korisno je a vrlo esto i jako vano analizirati performanse i stabilnostnovoprojektovanog sistema pre nego to se on napravi i implementira.

Veina tehnika za analizu oslanja se na korienje transformisanih promenljivih kako bi se olakao matematiki pristup problemu.

U analizi vremenski kontinualnih dinami kih sistema dominira kori enje Laplasove transformacije.

Primena Laplasove transformacije je analogna korienju logaritma da se uproste neki tipovi matematikih manipulacija i reenja. Primenom logaritma brojevi se transformiu u stepene broja 10 ili neke druge osnove, npr. prirodni logaritam. Kao rezultat te transformacije, matematiko mnoenje i deljenje se zamenjuju sabiranjem i oduzimanjem respektivno.

Slino tome, primenom Laplasove transformacije u analizi sistema koji mogu da se opiu linearnim diferencijalnim jednainama prevazilaze se neki od problema kompleksnosti reenja takvih jednaina u vremenskom domenu.

Laplasova transformacija se koristi za pretvaranje relacija iz vremenskog domena u skup jednaina koje se izraavaju preko lanova Laplasovog operatora 's'. Stoga, reavanje originalnog problema se Laplasovom transformacijom prevodi u jednostavne algebarske manipulacije po 's' u Laplasovom domenu.

Diferencijalna jednaina sistema

Prenosna funkcija sistema

u(t) y(t)

U(s) Y(s)

Definicija -- prenosna funkcija je izraz koji povezuje izlaz sa ulazom u s-domenu

linearnadiferencijalna

jednaina

reenje u vremenskom

domenu

Laplasovatransformisana

jednaina

Laplasovoreenje

Vremenski domen

algebra

Laplasova transformacija

inverzna Laplasovatransformacija

Laplasov domen ili domen kompleksne frekvencije

Problemi analize i sinteze svakog dinamikog elementa/sistema redovno su vezani za reavanje diferencijalnih jednaina.

Jedan od najjednostavnijih postupaka reavanja tih jednaina je vezan za primenu Laplasove transformacije. Iz tog razloga bie ukratko date teoretske osnove ove transformacije i neke jednostavnije primene.

DefinicijaZa posmatrani kontinualan signal (funkciju) f (t), 0 t , Laplasova transformacija je definisana sa

p

{ }0

( ) ( ) ( ) .stL f t F s e f t dt

= =

...

Nakon operacije integracije nestaje nezavisna promenl jiva t, pa ostaje samo zavisnost od promenljive s.

Kompleksna promenljiva

je takva da izraz u zadnjoj jednaini predstavlja priguenje .

Navedeni integral e konvergirati ako realna vrednost promenljive szadovoljava uslov , gde je realna pozitivna konstanta za koju vai

0

( ) .as te f t dt

p

s j = + ste

a f a

...

Za veinu signala u sistemima upravljanja ne mora se posebno voditi rauna o ovom problemu .

Uvedena transformacija prevodi funkciju f(t) (original ) definisanu u vremenu u kompleksno podruje F(s) (slika ). Napomenimo jo da je transformacija ograniena na funkcije koje zadovoljavaju uslov f(t)=0, t

...

Koristei definicioni izraz moe se odrediti Laplasova transformacija funkcija f(t) koje se pojavljuju u sistemima.

Za sloenije originale je raunanje definicionog integrala sloeno.

Iz tog razloga se odreivanje Laplasove transformacije sloenijih funkcija

svodi na izra unavanje preko transformacije elementarnih funkcija

uz korienje pravila koja vae za Laplasovu transformaciju.

Laplasova transformacija elementarnih funkcija

Funkcija jedini nog skoka

U skladu sa definicijom Laplasove transformacije vai:

Napomena : Na isti nain se moe pokazati da za Laplasovu transformaciju odskone funkcije nejedini nog skoka a vai

{ } 00 0

1 1 1( ) 1( ) 1( ) ( )

0st st stF s L t e t dt e dt e e e

s s s

= = = = = =

{ }1( ) ( ) .aL a t F ss

= =

...

Impulsna funkcija

Prema definiciji Laplasove transformacije i impulsne funkcije vai:

Na slian nain se mogu odrediti Laplasove transformacije sloenijih funkcija. U tim sluajevima mogue su raunske greke kod izraunavanja odgovarajuih integrala. Iz tog razloga se esto koriste tablice Laplasovih transformacija elementarnih funkcija.

{ }0 0

( ) ( ) ( ) ( ) 1stF s L t e t dt t dt

= = = =

...

Tablica Laplasove transformacije elementarnih funkcija

...

Osobine Laplasove transformacije

1. Linearnost

2. Vremensko (transportno) kanjenje

1 1

( ) ( )l l

i i i ii i

L a f t a F s= =

=

{ }( ) ( )sL f t e F s =

...

3. Pomeranje kompleksnog lika (priguenje originala)

4. Laplasova transformacija izvoda

{ }( ) ( )atL e f t F s a = +

1

11

( ) ( )( )

k ikk k i

k ii

d f t d f tL s F s s

dt dt

=

=

...

Specijalno u sluaju prvog izvoda je oigledno

5. Laplasova transformacija integrala

0

( )( ) ( ) t

df tL sF s f t

dt = =

0

1( ) ( )

t

L f d F ss

=

...

6. Izvod kompleksnog lika

Isto svojstvo se ee koristi u obliku tako da odgovara mnoenju originala linearnom funkcijom. Tada je prethodnu jednainu zgodno transformisati na

Specijalno za vai

{ }( ) ( 1) ( ) .k

k kk

d F sL t f t

ds=

{ } ( )( ) ( 1) .k

k kk

d F sL t f t

ds=

{ } ( )( ) ( 1) dF sL tf tds

= 1k =

...

7. Teorema po etne vrednosti

8. Teorema kona ne vrednosti

0

lim ( ) lim ( )t s

f t F s

=

0

lim ( ) lim ( )t s

f t sF s

=

Odrediti Laplasovu transformaciju funkcija datih u nared nim primerima

Reenje:Prema osobini linearnosti i izvodu kompleksnog lika imamo

2( ) , , ,f t a bt ct a b c const= + + =

{ } { } { } { }

{ } { }

{ } { }

2

2

22

3

( ) 1( )

1( ) 1

1( )

1( ) 1

*

L f t L a t L bt L ct

dsL bt bL t t b b

ds s

dsL ct cL t t c c

ds s

= + +

= = =

= = =

2 3( ) .

a b cF s

s s s= + +

...

Reenje:

odatle sledi

Sada je oigledno da vai:

( ) cos( )f t at=

(sin )cos

d ata at

dt=

1 (sin )cos .

d atat

a dt=

{ } 2 2 2 21 (sin ) 1

cosd at a s

L at L sa dt a s a s a

= = = + +

Inverzna Laplasova transformacija

Ve je navedeno da je za poznatu funkciju F(s) korienjem inverzne Laplasove transformacije mogue odrediti original prema

Raunanje inverzije po ovom izrazu je veoma komplikovano pa se ista odreuje na drugi nain.

Kao osnova se koristi poznavanje inverzne Laplasove transformacije elementarnih funkcija , ve datih tabelom Laplasove transformacije.

( ){ } ( ) ( )1 12

jst

j

L F s f t e F s dsj

+

= =

...

Dalje emo posmatrati likove koji su oblika kolinika polinoma:

gde je jer se u teoriji sistema naj ee susre u ovakve funkcije .

Podsetimo da su nule polinoma P(s) i Q(s) nule i polovi funkcije F(s), respektivno .

n mf

( ) ( )( )1 0

11 1 0

...

...

mm

n nn

P s b s b s bF s

Q s s a s a s a

+ + += =+ + + +

...

Za nalaenje inverzne Laplasove transformacije su od posebnog interesa polovi funkcije koji predstavljaju reenja jednaine:

Zavisno od tih polova se razlikuje nekoliko sluajeva kod odreivanja inverzne Laplasove transformacije koji su dalje navedeni.

( ) 11 1 0... 0n nnQ s s a s a s a= + + + + =

...

Svi polovi su realni i prosti (jednostruki)

U ovom sluaju se F(s) moe napisati u obliku:

ili u obliku :

Koeficijenti se lako odreuju metodom neodreenih koeficijenata. Nakon toga se inverzna Laplasova transformacija direktno dobija iz tablice Laplasovih transformacija.

( ) ( )( )( ) ( )1 2 ... nP s

F ss s s s s s

=

( ) ( ) ( ) ( )1 2

1 2

... n

n

KK KF s

s s s s s s= + + +

iK

...

Postoje konjugovano kompleksni polovi

Pretpostavimo da pored realnih postoje i kompleksni polovi funkcije F(s). U tom sluaju F(s) se moe predstaviti u obliku:

Odreivanje inverzne Laplasove transformacije od F(s) je sada specifino samo za komponentu koja ima par konjugovano kompleksnih polova. Istu je potrebno svesti na oblik

( )1F s

( ) ( )3 31 2 121 1

... ...K KK s K

F s F ss as b s s s s

+= + + = + ++ +

( )( )

1 21 2 2

K s KF s

s +=

+ +

...

Vrednosti i je lako odrediti iz .Za poznate i se lako napie u obliku:

Obe komponente funkcije su sada u obliku da se direktno mogu odrediti njihovi originali.

2 22 ;a b = + =

( )1F s

( ) ( )( ) ( )

1 2 11 2 22 2

K s K KF s

s s

+ += ++ + + +

...

Postoje viestruki polovi

Uzmimo da F(s) ima trostruki realan pol u a da su ostali polovi jednostruki. Tada F(s) treba napisati u obliku:

gde R(s) odgovara komponentama koje su posledica svih preostalih polova. Oigledno se raunanje u ovom sluaju svodi na korektnu primenu osobine o diferenciranju kompleksnog lika jer je svaki lan koji odgovara trostrukom polu, oblika diferencijala prethodnog.

1s s=

( ) ( ) ( ) ( )( )1311 12 2 3

1 1 1

KK KF s R s

s s s s s s= + + +

Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcija datih u narednim primerima

Reenje:

Funkcija ima dva realna i prosta pola pa se moe direktno napisati u obliku:

( ) 21

2

sF s

s s

+=+

1 20, 2s s= =

( ) 1 22

K KF s

s s= +

+

...

Postupkom neodre enih koeficijenata lako se dobije:

1 2

1 1;

2 2K K= =

( ) ( ) ( )1 21 1 1 11

2 2 2 2 2tf t L t e

s s = + = + +

( )

( )

1 2

1 1 2

1 2 1

1 1

1 2 2

( 1) 2

1 2

1 2

11 2

21

12

s K s K s

s K s K K s

s s K K K

K K

K K K

+ = + ++ = + ++ = + +

= =

= + =

1 2

2

1

2 2

K Ks

s s s s

+ = ++ +

...

Reenje:Polovi funkcije su:

Funkciju treba transformisati u oblik

( ) 25

2 10

sF s

s s

+=+ +

1 21 3, 1 3s j s j= + =

( )( )2 2

5sF s

s +=

+ +

...

Tada je

2 2

2 2 1;

10 3.

= =+ = =

( )( ) ( ) ( )2 2 22 2 2

5 1 4

1 3 1 3 1 3

s sF s

s s s

+ += = ++ + + + + +

( ) 4cos3 sin 33

t tf t e t e t = +

Operacije Laplasove transformacije - podsetnik

( )f t ( )F s

'( )f t ( ) (0)sF s f O-1

0( )

tf t dt

( )F s

s

O-2

( )te f t ( )F s + O-3 ( ) ( )f t T u t T ( )sTe F s O-4

(0)f lim ( )s

sF s

O-5

lim ( )t

f t

*0

lim ( )s

sF s

O-6

*Poles of ( )sF s must have negative real parts.

Operacije kod reavanja diferencijalnih jedna ina

[ '( )] ( ) (0)L f t sF s f= 2[ "( )] ( ) (0) '(0)L f t s F s sf f=

0

( )( )

t F sL f t dt

s =

Procedura reavanja diferencijalnih jedna ina

2

2 1 02( )

d y dyb b b y f t

dt dt+ + =

[ ]2

2 1 02( )

d y dyL b b b y L f t

dt dt

+ + =

[ ]

22

1 0

( ) (0) '(0)

( ) (0) ( ) ( )

b s Y s sy y

b sY s y b Y s F s

+ + =

2 2 12 2

2 1 0 2 1 0

(0) '(0) (0)( )( )

sb y b y b yF sY s

b s b s b b s b s b

+ += ++ + + +

Primer:

2 12dy

ydt

+ = (0) 10y =

[ ] [ ]2 12dyL L y Ldt

+ = 12

( ) 10 2 ( )sY s Y ss

+ =

( ) 122 ( ) 10s Y ss

+ = + 10 12( )2 ( 2)

Y ss s s

= ++ +

...

1 212

( 2) 2

A A

s s s s= +

+ +

100

12 126

( 2) 2 ssA s

s s s ==

= = = + +

222

12 12( 2) 6

( 2) ssA s

s s s ==

= + = = +

10 6 6 6 4( )

2 2 2Y s

s s s s s= + = +

+ + +2( ) 6 4 ty t e= +

t=0:.01:.5;y=6+4*2.71.^(-2*t);plot(t,y);grid

t=0:.01:5;y=6+4*2.71.^(-2*t);plot(t,y);grid

?

?

* Materijal pripremljen za kori enje u nekomercijalne obrazovne svrhe u skladu sa lanom 44. Zakona o autorskim i srodnim pravima - ("Sl. glasnik RS", br. 104/2009 i 99/2011)