TS. Nguy¹n V«n Lñi

LOISCENTER

S�T: 096 568 5459

LOISCENTER

�æi líi chia s´

Ch¿ 10− 20 n«m núa khi l n sâng cæng ngh» 4.0 s³ �ành h¼nh l¤i c§u tróc cuëc sèng v  x¢ hëi.C¡i �âi ngh±o �¢ �÷ñc tr£ v· cho qu¡ khù, lóc �â lao �ëng khæng cán l  �º tçn t¤i m  chõ y¸unh¬m möc �½ch s¡ng t¤o v  ti¸n bë.

C¡c cæng vi»c s³ tªp trung v o 4 nhâm:

− Ngh» thuªt

− Khoa håc kÿ thuªt

− Dàch vö

− Sùc khäe v  Thº thao

Tòy thuëc kh£ n«ng, con ng÷íi câ thº lüa chån c¡c thº lo¤i cæng vi»c phò hñp. Nh÷ng b§t k¼cæng vi»c g¼ y¸u tè s¡ng t¤o v  thi �ua s³ �÷ñc �÷a l¶n h ng �¦u.

Chóng tæi chån cæng vi»c chu©n bà h nh trang tri thùc khoa håc kÿ thuªt cho lîp cæng d¥n thíi�¤i 4.0 l m nhi»m vö ch½nh cõa m¼nh.

1 S�T: 096 568 5459

MÖC LÖC LOISCENTER

Möc löc

1 Ba b i to¡n cì sð 3

2 Giîi thi»u c¡c mæ h¼nh 6

2.1 Mæ h¼nh I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Mæ h¼nh II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Mæ h¼nh III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 C¡c k¸t qu£ trüc ti¸p 9

3.1 C¡c chùng minh ch¿ c¦n sû döng Mæ h¼nh I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 C¡c chùng minh sû döng Mæ h¼nh II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3 Sû döng Mæ h¼nh III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 S�T: 096 568 5459

LOISCENTER

1 Ba b i to¡n cì sð

�ành lþ Menelaus

Lemma 1. Cho tam gi¡c ABC v  ba �iºmM, N, P l¦n l÷ñt thuëc c¡c �÷íng th¯ng BC, CA, AB.Khi �â M, N, P th¯ng h ng khi v  ch¿ khi:

MB

MC· NC

NA· PA

PB= 1

Chùng minh.

Ta câPA

PB=

AQ

BM,NC

NA=

MC

AQ. Suy ra

MB

MC· NC

NA· PA

PB=

MB

MC· MC

AQ· AQBM

= 1.

C¡c bi¸n �êi ho n to n t÷ìng �÷ìng. N¶n ph¦n �£o công �óng.

Lemma 2.M»nh �· thuªn: Hai �÷íng trán (O) v  (U) c­t nhau t¤i hai �iºm A v  B. C¡t tuy¸n x quaA c­t (O) t¤i P , c­t (U) t¤i Q, c¡t tuy¸n y qua B c­t (O) t¤i R, c­t (U) t¤i S. khi �â PR//QS.M»nh �· �£o:Hai �÷íng trán (O) v  (U) c­t nhau t¤i hai �iºm A v  B. C¡t tuy¸n x qua A c­t (O) t¤i P ,c­t (U) t¤i Q, qua P k´ PR (R thuëc (O)), qua Q k´ QS (S thuëc (U)) sao cho PR//QS khi�â R, B, S th¯ng h ng.

Chùng minh. Ph¦n thuªn:

Ta câ PRQ + PAB = 1800 v  PAB = BSQ (t½nh ch§t nëi ti¸p cõa tù gi¡c). Do �â PRQ +

QSB = 1800, m  hai gâc n y ð và tr½ c¡c gâc trong còng ph½a. Vªy PR//QS.Ph¦n �£o:�÷íng th¯ng qua S v  B c­t (O) t¤i R′. Theo m»nh �· ph¦n thuªn ta câ PR′//QS. Nh÷ngPR//QS do �â �÷íng th¯ng PR v  PR′ tròng nhau. C£ R v  R′ còng n¬m tr¶n �÷íng trán(O) n¶n R ≡ R′.

3 S�T: 096 568 5459

LOISCENTER

Mæ h¼nh:�÷íng trán t¥m O b¡n k½nh r. C¡t tuy¸n MAB �i qua O, ti¸p tuy¸n MK v  ML, MCD l c¡t tuy¸n b§t k¼.

Lemma 3. Gåi giao �iºm cõa BD v  AC l  P . Gåi l l  �÷íng cao h¤ tø P xuèng c¤nh ABcâ ch¥n l  H, T l  trüc t¥m cõa tam gi¡c ABP . Khi �â

a) O, H, C, D n¬m tr¶n �÷íng trán Euler cõa tam gi¡c ABP , kþ hi»u (OCD).

b) L, K, H, T, P th¯ng h ng. �iºm H cè �ành khi MCD quay quanh M .

c) Ti¸p tuy¸n t¤i C v  D cõa (O), �÷íng trán Euler (OCD) v  �÷íng th¯ng l �çng quy, kþhi»u �iºm n y l  Q.

d) Qua M k´ c¡t tuy¸n c­t �÷íng trán (O) t¤i U v  V , khi �â c¡c �÷íng th¯ng qua DU v CV c­t nhau tr¶n �÷íng th¯ng l.

Chùng minh.

a) BC v  AD l  �÷íng cao cõa tam gi¡c ABP . Do �â O, H, C, D n¬m tr¶n �÷íng trán Eulercõa tam gi¡c ABP .b) Ta ph£i chùng minh L, K, H, T, P th¯ng h ng.V¼ M n¬m tr¶n tröc �¯ng ph÷ìng cõa (O) v  (OCD) do �â MH ·MO = MC ·MD = MK2.M°t kh¡c, k´ �÷íng vuæng gâc tø K xuèng AB c­t AB t¤i H ′. V¼ MKO l  gâc vuæng n¶nMH ′ ·MO = MK2 = MH ·MO. Suy ra MH = MH ′. Vªy H ≡ H ′. V¼ �÷íng th¯ng KH l �÷íng cao dâ �â L, H, T, K, P th¯ng h ng, MH ·MO = r2. V¼ OM cè �ành, r khæng �êin¶n OH khæng thay �êi. Do �â H cè �ành.

4 S�T: 096 568 5459

LOISCENTER

c) Gåi giao �iºm cõa �÷íng trán Euler (CDO) v  HA l  Q. Ta s³ chùng minh QC v  QD l c¡c ti¸p tuy¸n cõa (O). Thªt vªy, v¼ gâc OHQ = 900 n¶n OQ l  �÷íng k½nh. Do �â OC⊥CQv  OD⊥DQ. Suy ra QD v  QC l  c¡c ti¸p tuy¸n cõa (O).

d) T÷ìng tü nh÷ ph¦n b) v  c) ta chùng minh �÷ñc X n¬m tr¶n KL.(M»nh �· n y ch½nh l  k¸t qu£ cõa �ành lþ Pascal).

Mët chùng minh �ëc lªp hay kh¡c cho ph¦n d) ch¿ sû döng t½nh to¡n gâc thu¦n tuþ.

M»nh �· 1.1. Cho MK, ML l  c¡c ti¸p tuy¸n cõa �÷íng trán (O). AB v  CD l  c¡c c¡ttuy¸n cõa (O) �i qua M . Gåi P v  Q l¦n l÷ñt l  giao �iºm cõa AC, BD v  AD, BC. Khi �âP, Q, K, L th¯ng h ng.

Chùng minh. Gåi H l  giao cõa KL v  MO. Ta s³ chùng minh gâc MHP l  gâc vuæng. V¼KL⊥MO, do �â P n¬m tr¶n KL. Thªt vªy:

5 S�T: 096 568 5459

LOISCENTER

MK2 = MH ·MO = MA ·MB = MD ·MC = ML2, suy ra c¡c tù gi¡c AHOB v  DHOCnëi ti¸p.

AHD = ABO + DCO = ABD + DBO + DCO (1)

= ABD + BDO + ODC = APD (2)

Do �â tù gi¡c AHPD nëi ti¸p.

MHP = AHP − AHM = AHD + DAP − ABO

=1

2

_DCB −DBO = 900.

Vªy P n¬m tr¶n KL (cè �ành) khi AB v  CD thay �êi.

Ghi chó: trong ph¦n (1) v  (2) vi»c thay vai trá c¡c gâc r§t tinh t¸.

2 Giîi thi»u c¡c mæ h¼nh

Ba b i to¡n tr¶n �¢ ch¿ ra l¾nh vüc chóng ta s³ quan t¥m l  c¡c mæ h¼nh câ sü tham gia cõa 4th nh ph¦n l  c¡c �÷íng trán, �÷íng th¯ng. Trong �â và tr½ t÷ìng hé cõa c¡c �÷íng tham giacông câ mët sè �i·u ki»n d ng buëc.

− Mæ h¼nh 4 �÷íng th¯ng (têng qu¡t).

− Mæ h¼nh 2 �÷íng th¯ng v  2 �÷íng trán (hai �÷íng trán giao nhau v  2 c¡t tuy¸n).

− Mæ h¼nh 3 �÷íng th¯ng v  mët �÷íng trán (ti¸p tuy¸n, c¡t tuy¸n v  �÷íng th¯ng quat¥m).

6 S�T: 096 568 5459

2.1 Mæ h¼nh I LOISCENTER

2.1 Mæ h¼nh I

�¥y l  mæ h¼nh 4 �÷íng th¯ng �æi mët c­t nhau. Tø �¥y chóng ta nhªn bi¸t �÷ñc ngay c§uh¼nh tù gi¡c to n ph¦n quen thuëc.

Trong mæ h¼nh I ( bèn �÷íng th¯ng c­t nhau) câ chùa− 4 h¼nh tam gi¡c

− 3 h¼nh bèn c¤nh (lçi , lãm v  tü c­t)

2.2 Mæ h¼nh II

�¥y l  h¼nh câ 2 �÷íng trán giao nhau v  qua hai �iºm giao nhau méi �iºm câ mët c¡t tuy¸n�i qua.

C¡c d¤ng suy bi¸n khi hai c¡t tuy¸n ð nhúng và tr½ �°c bi»t.− C¡c �iºm P, Q, R, S n¬m còng mët ph½a cõa �÷íng th¯ng AB: RP//SQ.

− Khi hai �iºm P v  R tròng nhau, th¼ ti¸p tuy¸n vîi �÷íng trán (O2) t¤i P song song vîi SQ.

7 S�T: 096 568 5459

2.3 Mæ h¼nh III LOISCENTER

Ph¦n �£o cõa tr÷íng hñp n y c¦n �÷ñc ph¡t biºu rã r ng hìn:C¡t tuy¸n qua A c­t (O) t¤i P v  c­t (U) t¤i Q. Qua P k´ ti¸p tuy¸n Px cõa �÷íng trán (O).Qua Q k´ QS (S ∈ (U) ) song song vîi Px. Khi �â B, P, S th¯ng h ng.

Ta x²t tr÷íng hñp �°c bi»t khi A tròng vîi B tùc l  hai �÷íng trán ti¸p xóc vîi nhau trongho°c ngo i. Trong c£ hai tr÷íng hñp PR//QS.

2.3 Mæ h¼nh III

Trong c§u h¼nh n y câ ba �÷íng th¯ng v  mët �÷íng trán. Câ và tr½ t÷ìng hé.C§u h¼nh n y cán câ thº �ìn gi£n hâa hìn núa. Ch¿ c¦n x²t mët �÷íng trán t¥m O v  mët�iºm M ngo i �÷íng trán. Nh÷ vªy hai ti¸p tuy¸n MA v  MB vîi �÷íng trán x¡c �ành. �÷íngth¯ng l qua AB �÷ñc x¡c �ành. Vªy �iºm H công x¡c �ành.

Mët c¡ch ti¸p cªn kh¡c:�÷íng trán t¥m O. Hai gi¥y cung AB v  CD. �÷íng trán (ABO) v  �÷íng trán (CDO) c­tnhau ð �iºm thù 2 (kh¡c O) ch½nh l  �iºm H. Ba �÷íng th¯ng AB, CD v  OH �çng quy. �¥ych½nh l  M .

8 S�T: 096 568 5459

LOISCENTER

T÷ìng tü nh÷ vªy n¸u l§y H trong váng trán ta câ thº düng l¤i �iºm �èi cüc cõa H. Ho°c n¸ucâ �÷íng th¯ng l c­t �÷íng trán t¤i A v  B th¼ coi A v  B l  ti¸p �iºm ta düng c¡c ti¸p tuy¸nvîi (O), hai ti¸p tuy¸n s³ c­t nhau t¤i M .

3 C¡c k¸t qu£ trüc ti¸p

Tr÷îc khi �i v o li»t k¶ nhúng k¸t qu£ cõa Lemma 1 ta c¦n ph£i nh­c �¸n b i to¡n − khængthº t¡ch ri¶ng vîi �ành lþ Menelaus − �â l  �ành lþ Ceva.

�ành lþ Ceva.

�ành lþ 1. Cho tam gi¡c ABC v  ba �iºmM, N, P l¦n l÷ñt thuëc c¡c �÷íng th¯ng BC, CA, AB.

Khi �â AM, BN, CP �çng quy khi v  ch¿ khiMB

MC· NC

NA· PA

PB= −1.

�ành lþ n y câ thº chùng minh trüc ti¸p tø �ành lþ Menelaus.

3.1 C¡c chùng minh ch¿ c¦n sû döng Mæ h¼nh I

�ành lþ Menelaus cho tù gi¡c.

�ành lþ 2. Cho tù gi¡c ABCD v  bèn �iºm M, N, P, Q l¦n l÷ñt thuëc c¡c �÷íng th¯ng

AB, BC, CD, DA. Khi �â M, N, P, Q th¯ng h ng khi v  ch¿ khiMA

MB· NB

NC· PC

PD· PD

PA= 1.

9 S�T: 096 568 5459

3.1 C¡c chùng minh ch¿ c¦n sû döng Mæ h¼nh I LOISCENTER

H» qu£ 1. �iºm M n¬m trong h¼nh b¼nh h nh ABCD. Qua M k´ c¡c �÷íng th¯ng song songvîi c¡c c¤nh v  c­t chóng ð c¡c �iºm t÷ìng ùng P, R v  Q, S (h¼nh v³). Khi �â AC, SR, PQ�çng quy.

Chùng minh.

Gåi giao �iºm cõa AC v  PQ l  K. Ta s³ chùng minh K, R, S th¯ng h ng.

Theo �ành lþ MenelausKC

KA· PA

PB· QB

QC= 1. (*). M°t kh¡c

PA

PB=

RD

RC,QB

QC=

SA

SD. Thay v o

(*) ta nhªn �÷ñcKC

KA· RD

RC· SASD

= 1.

�ành lþ Desargues.

�ành lþ 3. Cho tam gi¡c ABC v  tam gi¡c A′B′C ′. Khi �â AA′, BB′, CC ′ �çng quy khi v ch¿ khi c¡c giao �iºm X, Y, Z l¦n l÷ñt cõa BC v  B′C ′, CA v  C ′A′ , AB v  A′B′ th¯ng h ng.

Chùng minh.

10 S�T: 096 568 5459

3.1 C¡c chùng minh ch¿ c¦n sû döng Mæ h¼nh I LOISCENTER

Ph¦n thuªn. X²t tam gi¡c SAB v  c¡t tuy¸n ZB′A′. Ta câZA

ZB· B

′B

B′S· A

′S

A′A= 1.

T÷ìng tü vîi c¡c tam gi¡c SBC v  SAC ta câXB

XC· C

′C

C ′S· B

′S

B′B= 1 v 

Y C

Y A· A

′A

A′S· C

′S

C ′C= 1.

Nh¥n ba �¯ng thùc vîi nhau ta �÷ñcZA

ZB· XB

XC· Y C

Y A= 1. Suy ra X, Y, Z th¯ng h ng.

Ph¦n �£o. Gi£ sû X, Y, Z th¯ng h ng ta ph£i chùng minh AA′, BB′, CC ′ �çng quy.X²t tam gi¡c XCC ′ v  ZAA′ ta câ c¡c �÷íng th¯ng AC, XZ, A′C ′ �çng quy. Theo ph¦nthuªn cõa chùng minh n y B′, B, S th¯ng h ng. �i·u �â công câ ngh¾a l  AA′, BB′, CC ′

�çng quy.

Sau �ành lþ v· chòm bèn �÷íng th¯ng �çng quy chóng ta s³ quay trð l¤i �ành lþ n y.

�ành lþ Pappus.

�ành lþ 4. Cho ba �iºm A, B, C n¬m tr¶n �÷íng th¯ng a, ba �iºm X, Y, Z n¬m tr¶n �÷íngth¯ng b. GåiM, N, P l¦n l÷ñt l  giao �iºm cõa c°p �÷íng th¯ng (AY,BX), (AZ,CX), (CY,BZ).Khi �â M, N, P th¯ng h ng.

Chùng minh.

�ành lþ con b÷îm vîi c°p �÷íng th¯ng.

�ành lþ 5. Cho tam gi¡c ABC. L§y I l  trung �iºm cõa BC. Qua I k´ c¡c �÷íng th¯ng ∆ c­tAB, AC t¤i N , Q, �÷íng th¯ng ∆′ c­t AB, AC t¤i P, M . Gåi MN, PQ c­t BC t¤i F, E.Khi �â ta câ I l  trung �iºm EF .

Chùng minh.

11 S�T: 096 568 5459

3.1 C¡c chùng minh ch¿ c¦n sû döng Mæ h¼nh I LOISCENTER

Chòm 4 �÷íng th¯ng �çng quy − Ph²p bi¸n h¼nh b£o to n t¿ sè k²p.

Mæ h¼nh bèn �÷íng th¯ng �çng quy t¤i mët �iºm l  c§u h¼nh ch½nh cõa t¿ l» k²p, c§u th nhkhæng thº thi¸u cõa lþ thuy¸t h¼nh håc x¤ £nh.

Bèn �iºm A, B, C, D n¬m tr¶n mët �÷íng th¯ng. T¿ sè k²p cõa 4 �iºm n y �÷ñc k½ hi»u(ABCD) v  �÷ñc �ành ngh¾a b¬ng (c¡c �o¤n th¯ng l  câ h÷îng):

(ABCD) =CA

CB:DA

DB

�ành lþ 6. Cho a, b, c, d l  chòm �÷íng th¯ng t¥m O. �÷íng th¯ng ∆ khæng �i qua O theothù tü c­t a, b, c, d t¤i A, B, C, D. �÷íng th¯ng ∆′ khæng �i qua O theo thù tü c­t a, b, c

t¤i A′, B′, C ′. Khi �â ∆′//d⇐⇒ (ABCD) =C ′A′

C ′B′ .

Chùng minh.

�i·u ki»n c¦n. Khæng m§t têng qu¡t ta câ thº gi£ sû C ≡ C ′. Khi �â (ABCD) =CA

CB:DA

DB=

CA

CB· DB

DA=

CA

DA· DB

CB=

A′C ′

OD· OD

C ′B′ =A′C ′

B′C ′ .

�i·u ki»n �õ. Qua C kº �÷íng th¯ng ∆′′ song song vîi d. Khi �â theo chùng minh cõa ph¦n

�i·u ki»n c¦n (ABCD) =A′′C ′′

B′′C ′′ . Tø �âB′C ′

B′′C ′′ (ð �¥y C = C ′ = C). �i·u n y ch¿ x£y ra khi

∆//∆′. V¼ C ′ ≡ C n¶n ∆ ≡ ∆′.

�ành lþ 7. Cho a, b, c, d l  chòm �÷íng th¯ng t¥m O. �÷íng th¯ng ∆ khæng �i qua O theothù tü c­t a, b, c, d t¤i A, B, C, D. �÷íng th¯ng ∆′ khæng �i qua O theo thù tü c­t a, b, c, dt¤i A′, B′, C ′, D′. Khi �â (ABCD) = (A′B′C ′D′).

12 S�T: 096 568 5459

3.2 C¡c chùng minh sû döng Mæ h¼nh II LOISCENTER

Chùng minh.

Theo �ành lþ 1 ta câ (ABCD) = (ABC) v  (ABC) = (A′B′C ′D′). Tø �â suy ra (ABCD) =(A′B′C ′D′).

�ành lþ 8 (Ph²p chi¸u xuy¶n t¥m b£o to n t¿ sè k²p). Cho hai �÷ìng th¯ng ∆ v  ∆′ c­tnhau t¤i O. C¡c �iºm A, B, C thuëc �÷íng th¯ng ∆ v  c¡c �iºm A′, B′, C ′ thuëc �÷íngth¯ng ∆′. Khi �â AA′, BB′, CC ′ ho°c �çng quy, ho°c �æi mët song song khi v  ch¿ khi(OABC) = (OA′B′C ′).

�p döng �ành lþ cì b£n T¿ sè k²p ta câ thº chùng minh d¹ d ng �ành lþ Desargues.

�ành lþ 9. Cho tam gi¡c ABC v  tam gi¡c A′B′C ′. Khi �â AA′, BB′, CC ′ �çng quy khi v ch¿ khi c¡c giao �iºm X, Y, Z l¦n l÷ñt cõa BC v  B′C ′, CA v  C ′A′, AB v  A′B′ th¯ng h ng.

Chùng minh.

Ta câ (ACNY ) = (A′C ′MY ) (do chòm S(ACNY )) = B(ACNY ) = (XZKY ). M°t kh¡c n¸uX ′ l  giao �iºm cõa �÷íng th¯ng Y K vîi B′A′ th¼ (XZKY ) = (X ′ZKY ). �i·u nay ch¿ câ thºkhi X ≡ X ′.

3.2 C¡c chùng minh sû döng Mæ h¼nh II

a) �÷íng trán v  t¥m Euler (�÷íng trán 9 �iºm)

�ành lþ 10.

a) Trong mët tam gi¡c, trung �iºm c¡c c¤nh cõa tam gi¡c, ch¥n c¡c �÷íng cao v  trung �iºmc¡c �o¤n th¯ng nèi c¡c �¿nh vîi trüc t¥m còng n¬m tr¶n mët �÷íng trán gåi l  �÷íngtrán Euler cõa tam gi¡c §y.

13 S�T: 096 568 5459

3.2 C¡c chùng minh sû döng Mæ h¼nh II LOISCENTER

b) Trüc t¥m, trång t¥m, t¥m �÷íng trán ngo¤i ti¸p cõa tam gi¡c th¯ng h ng. (�÷íng th¯ngn y câ t¶n l  �÷íng th¯ng Euler).

Chùng minh.

X²t �÷íng trán qua 3 �iºm A1B1M . Ta s³ ch¿ ra N ∈ (A1B1M). V¼ ABA1B1 l  tù gi¡c nëiti¸p câ giao �iºm vîi (A1B1M) t¤i A1, B1. C¡c c¡t tuy¸n BA1 v  AB1 c­t (A1B1M) t¤i c¡c�iºm M v  N ′. Theo bê �· mæ h¼nh 4.2 ta câ AB//MN ′. Vªy N ′ n¬m tr¶n �÷íng trung b¼nhsong song vîi AB. Do �â N ′ ≡ N . T÷ìng tü ta chùng minh �÷ñc P,C1 ∈ (A1B1M).

Ghi chó: T¥m cõa �÷íng trán 9 �iºm n y ch½nh l  t¥m cõa tam gi¡c t¤o bði c¡c trung �iºmc¡c c¤nh, ho°c nâi c¡ch kh¡c l  tam gi¡c t¤o bði c¡c �÷íng trung b¼nh.

b) �÷íng th¯ng Simson.

�ành lþ 11. Cho tam gi¡c ABC nëi ti¸p trong �÷íng trán (O), �iºm M tr¶n (O). Gåi N, P, Ql¦n l÷ñt l  ch¥n c¡c h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa M tr¶n c¡c �÷íng th¯ng BC, CA, AB. Khi �âN, P, Q th¯ng h ng.

Chùng minh.

Kþ hi»u D l  giao �iºm thù 2 cõa �÷íng th¯ng MN vîi (O).Bèn �iºm MNPC l  tù gi¡c nëi ti¸p. Giao cõa (MNPC) v  (O) l  MC. Sû döng Mæ h¼nh4.2 cho hai c¡t tuy¸n MD v  CA ta câ AD//NP . T÷ìng tü vªy vîi 4 �iºm BNMQ v  hai c¡ttuy¸n QA, MD suy ra NQ//AD. Do �â P, N, Q th¯ng h ng.

c) �ành lþ con b÷îm v  �÷íng trán.

�ành lþ 12. Cho �÷íng trán (O) v  d¥y cung AB. I l  trung �iºm cõa AB. Qua I v³ hai d¥ycung tòy þ MN v  PQ. MQ v  NP l¦n l÷ñt c­t AB t¤i E v  F . Khi �â I l  trung �iºm cõaEF .

14 S�T: 096 568 5459

3.2 C¡c chùng minh sû döng Mæ h¼nh II LOISCENTER

Chùng minh. C¡ch 1:

∆QMI v ∆NPI suy ra ∆HMI v ∆KPI. Suy ra IOF = IKF = IHE = EOI vªy tam gi¡cEOF c¥n. Do �â IE = IF .C¡ch 2. (Dòng mæ h¼nh 4.2)

Gåi P ′Q′ v  M ′N ′ l¦n l÷ñt l  £nh �èi xùng cõa PQ v  MN qua tröc IO. Gåi giao cõa MQ v N ′P ′ l  F ′. Ta s³ chùng minh F ≡ F ′.Thªt vªy, v¼ AA′//MM ′//PP ′. M ′N ′P ′ = MNP (�èi xùng) = MQP (còng ch­n mët cung),do �â tù gi¡c IN ′QF ′ nëi ti¸p. X²t �÷íng trán (IN ′QF ′) v  (O), hai c¡t tuy¸n M ′N ′ v  MQtheo Bê �· 1 IF ′//MM ′. Tø �â suy ra F ′ n¬m tr¶n AB do �â F ≡ F ′.

d) �ành lþ MIQUEL.

�ành lþ 13. Cho tam gi¡c ABC v  ba �iºm M, N, P l¦n l÷ñt n¬m tr¶n BC, CA, AB. Khi�â c¡c �÷íng trán ngo¤i ti¸p c¡c tam gi¡c APN, BPM v  CMN �çng quy.

Chùng minh.

15 S�T: 096 568 5459

3.2 C¡c chùng minh sû döng Mæ h¼nh II LOISCENTER

Gåi S giao �iºm thù 2 cõa hai �÷íng trán (PAN) v  (MCN). �÷íng trán (PSM) c­t AB t¤iB′ v  c­t BC t¤i B′′. Ta s³ chùng minh B′ ≡ B′′ ≡ B. Gåi giao �iºm cõa MS vîi (ANP ) l 

D. �p döng Bê �· 1 suy ra MC//AB. T÷ìng tü nh÷ vªy ta chùng minh �÷ñc B′M//AD. Suyra B′ thuëc �÷íng th¯ng BC. Chùng minh ho n t§t.

e) �ành lþ Pascal.

�ành lþ 14. Cho 6 �iºm A, B, C, D, E, F khæng kº �¸n thù tü còng thuëc mët �÷íng trán.X²t �÷íng g§p khóc kh²p k½n AB, BC, CD, DE, EF, FA. Gåi H, I, K l¦n l÷ñt l  giao �iºmcõa c¡c c°p �÷íng th¯ng AB v  ED, BC v  EF , CD v  FA. Khi �â H, I, K th¯ng h ng.

Chùng minh.

X²t �÷íng trán (BEI) v  (O) còng c°p c¡t tuy¸nED, BA theo Bê �· 1 nhªn �÷ñcAD//JG.T÷ìngtü nh÷ th¸ vîi c°p c¡t tuy¸n BC v  ED ta nhªn �÷ñc CD//IG. Vîi c°p c¡t tuy¸n EF v BA ta �÷ñc IJ//AF . Suy ra ∆KDA v ∆IGJ vîi c¡c c°p c¤nh �æi mët song song. Tø �âIK, AJ, GD �çng quy t¤i H. Do �â K, H, I th¯ng h ng.

�ành lþ Pascal cho löc gi¡c suy bi¸n.

f) �÷íng th¯ng Steiner.

�ành lþ 15. Cho tam gi¡c ABC nëi ti¸p trong �÷íng trán (O), �iºm D tr¶n �÷íng trán (O).Gåi A2, B2, C2 l¦n l÷ñt l  �iºm �èi xùng vîi D qua c¡c �÷íng th¯ng BC, CA, AB th¼ chóngth¯ng h ng, �÷íng th¯ng chùa c¡c �iºm n y �i qua trüc t¥m cõa tam gi¡c ABC.

�÷íng th¯ng tr¶n �÷ñc gåi l  �÷íng th¯ng Steiner ùng vîi �iºm D. �iºm D �÷ñc gåi l  �iºmanti Steiner.

16 S�T: 096 568 5459

3.2 C¡c chùng minh sû döng Mæ h¼nh II LOISCENTER

Chùng minh.

Ta s³ chùng minh BB′//CC ′//B1C1. �i·u n y nhªn �÷ñc vîi c°p �÷íng trán (DA1B1C), (O)còng hai c¡t tuy¸n DB′ v  CB. Do �â A1B1//BB′. T÷ìng tü nh÷ th¸ A1B1//CC ′.B¥y gií ta chùng minh HB2//BB′. V¼ �÷íng trán (DHH2B2) v  �÷íng trán (O) giao nhauð D, H2. Hai c¡t tuy¸n chung DB′ v  H2B, do �â Mæ h¼nh 4,2 c¡c �÷íng th¯ng HB′//HB2.T÷ìng tü ta chùng minh �÷ñc r¬ng HC2//CC ′. Tø �â C2, H,B2, A2 th¯ng h ng.

g) �iºm Anti Steiner (�ành lþ Colling)

�ành lþ 16. Cho tam gi¡c ABC trüc t¥m H. �÷íng th¯ng d �i qua H. Gåi da, db, dc l¦n l÷ñtl  c¡c �÷íng th¯ng �èi xùng cõa d qua BC, CA, AB. Khi �â c¡c �÷íng th¯ng n y �çng quyt¤i mët �iºm tr¶n �÷íng trán ngo¤i ti¸p ABC.

Ghi chó. �iºm tr¶n (kþ hi»u G) gåi l  �iºm Anti Steiner v  �÷íng th¯ng d gåi l  �÷íng th¯ngSteiner cõa �iºm G.

h) Ph¦n �£o cõa �ành lþ Colling

�ành lþ 17. Cho p l  mët �iºm thuëc �÷íng th¯ng d. Pa, Pb, Pc l¦n l÷ñt l  c¡c �iºm �èi xùngcõa P qua c¡c c¤nh BC, CA, AC. Khi �â (A,Pc, Pb) (B,Pc, Pa) v  (C,Pa, Pb) còng �i quamët �iºm G.

17 S�T: 096 568 5459

3.3 Sû döng Mæ h¼nh III LOISCENTER

C£ hai �ành lþ l  m»nh �· �£o v  h» qu£ cõa �ành lþ Steiner.

3.3 Sû döng Mæ h¼nh III

a) �ành Lþ Brianchon.

�ành lþ 18. Cho löc gi¡c ABCDEF ngo¤i ti¸p �÷íng trán (O). Khi �â ba �÷íng ch²o lînAD, BE, CF �çng quy.

Chùng minh.

K½ hi»u c¡c ti¸p �iºm nh÷ tr¶n h¼nh v³. Gåi XY ∩ V Z = {P}, XZ ∩ Y V = {Q}. �p döng�ành lþ Pascal cho 6 �iºm X, X, Y, Z, V, V suy ra P, A, Q th¯ng h ng. T÷ìng tü suy raP, Q, A, C th¯ng h ng. B¬ng ph÷ìng ph¡p t÷ìng tü ta thu �÷ñc XT, ZV, AD �çng quy t¤iA′; XT, Y U, BE �çng quy t¤i B′; Y U, ZV �çng quy t¤i C ′. X²t hai tam gi¡c ABC v  tamgi¡c A′B′C ′ câ AB ∩A′B′ = {X}, AC ∩A′C ′ = {P}, BC ∩B′C ′ = {Y } th¯ng h ng n¶n theo�ành lþ Desargues, AA′, BB′, CC ′ �çng quy hay AD, BE, CF �çng quy.

b) �ành lþ Brokard

�ành lþ 19. Cho tù gi¡c lçi ABCD nëi ti¸p �÷íng trán t¥m O. AD giao BC t¤i M , AB giaoCD t¤i N , AC giao BD t¤i I. Khi �â I l  trüc t¥m cõa tam gi¡c MON .

18 S�T: 096 568 5459

3.3 Sû döng Mæ h¼nh III LOISCENTER

Chùng minh.

Mæ h¼nh 4.1 �÷ñc ¡p döng rã n²t nh§t trong �ành lþ n y. Ta nhªn �÷ñc ngay �÷íng th¯ng MHl  �÷íng �èi cõa cüc N v  �÷íng MH l  �÷íng �èi cüc cõa N . Do �â MH⊥NO v  NI⊥MO.Suy ra OI vuæng gâc vîi MN .

J. Steiner - I. F. Sharygin: The Complete QuadrilateralSau �¥y l  11 �ành lþ �÷ñc �¡nh gi¡ l  c¡c k¸t qu£ t¤o ti·n �· cho h¼nh håc x¤ £nh.

H¼nh bèn c¤nh to n ph¦n.

�ành lþ 1 (�÷íng th¯ng Newton − Gauss). C¡c �iºm giúa cõa c¡c �÷íng ch²o cõa tù gi¡cto n ph¦n n¬m tr¶n mët �÷íng th¯ng.

H» qu£ 2. Cho tam gi¡c ABC. �iºm E v  F l¦n l÷ñt tr¶n AC v  AB. BE v  CF c­t nhaut¤i H. M, K, L l¦n l÷ñt l  trung �iºm cõa AM, EF, BC. Chùng minh r¬ng M, K, L th¯ngh ng.

Chùng minh.

19 S�T: 096 568 5459

3.3 Sû döng Mæ h¼nh III LOISCENTER

ABHC l  tù gi¡c to n ph¦n. K¸t qu£ �÷ñc chùng minh trüc ti¸p b¬ng ¡p döng �ành lþ �÷íngth¯ng Gauss − Newton.

�ành lþ 2 (�ành lþ Newton). N¸u �÷íng trán (O) ti¸p xóc vîi c¡c �÷íng th¯ng tù gi¡c to nph¦n th¼ t¥m O cõa �÷íng trán n y n¬m tr¶n �÷íng th¯ng Newton − Gauss.

Chùng minh.

M, N, I câ t¼nh ch§t di»n t½ch c¡c tam gi¡c �÷ñc t¤o bði �iºm �¢ cho v  2 �o¤n th¯ng cè �ànhcho tr÷îc câ têng khæng �êi. Th¼ quÿ t½ch cõa chóng l  mët �o¤n th¯ng.�p döng k¸t qu£ n y �ành lþ �÷ñc suy ra.

�ành lþ 3 (�iºm Miquel). C¡c �÷íng trán ngo¤i ti¸p bèn tam gi¡c nâi tr¶n �i qua mët �iºmchung.

Chùng minh.

20 S�T: 096 568 5459

3.3 Sû döng Mæ h¼nh III LOISCENTER

Gåi M l  giao �iºm kh¡c E cõa (AEF ) v  (CDE). �p döng �ành lþ Miquel cõa tam gi¡c DBFv  3 �iºm C, E, A ta câ (ABC) �i qua M . Vªy M n¬m tr¶n �÷íng trán ngo¤i ti¸p tam gi¡cABC. T÷ìng tü th¸ ta suy ra �pcm.

�ành lþ 4. �iºm Miguel v  t¥m cõa c¡c �÷íng trán ngo¤i ti¸p bèn tam gi¡c thuëc tù gi¡c to nph¦n nâi tr¶n n¬m tr¶n mët �÷íng trán.

Chùng minh.

Cho tù gi¡c to n ph¦n ABCDEF , ta câ �iºm Miquel M v  t¥m ngo¤i ti¸p c¡c tam gi¡cAEF, CDE, ABC, BDF còng n¬m tr¶n mët �÷íng trán cõa tù gi¡c to n ph¦n.

Gåi O1, O2, O3, O4 l  t¥m ngo¤i ti¸p c¡c tam gi¡c AEF, CDE, ABC, BDF . Gåi X, Y, Zl  trung �iºm c¡c �o¤n th¯ng MD, MC, MB. Ta câ MD l  giao cõa (O4) v  (O2) n¶nO4O2⊥MD. T÷ìng tü, ta câ MY⊥O3O2, MZ⊥O3O4. M°t kh¡c X, Y, Z th¯ng h ng (theoThales). Do �â theo �ành lþ �£o v· �÷íng th¯ng S½mon ta câ M, O2, O3, O4 �çng vi¶n. T÷ìngtü, ta suy ra �pcm.

�ành lþ 5. N¸u 4 �¿nh n o �â cõa h¼nh tù gi¡c to n ph¦n n¬m tr¶n mët �÷íng trán th¼ �iºmMiquel n¬m tr¶n �÷íng nèi 2 �iºm cán l¤i.

Chùng minh.

21 S�T: 096 568 5459

3.3 Sû döng Mæ h¼nh III LOISCENTER

�ành lþ 6 (�÷íng th¯ng Van Oebel � �÷ìng th¯ng Steiner cõa tù gi¡c to n ph¦n). C¡c �÷íngth¯ng cõa tù gi¡c to n ph¦n, cù ba �÷íng t¤o th nh mët tam gi¡c, (câ têng cëng 4 tam gi¡cnh÷ vªy). CMR trüc t¥m cõa 4 tam gi¡c n y n¬m tr¶n mët �÷íng th¯ng vuæng gâc vîi �÷íngth¯ng Newton − Gauss (�÷íng th¯ng �i qua �iºm giúa c¡c �÷íng ch²o).

Chùng minh.

Tù gi¡c to n ph¦n ABCDEF . Khi �â trüc t¥m cõa c¡c tam gi¡c AEF, DCE, ABC, BDFcòng n¬m tr¶n �÷íng th¯ng Steiner cõa tù gi¡c to n ph¦n.

22 S�T: 096 568 5459

3.3 Sû döng Mæ h¼nh III LOISCENTER

Gåi H1, H2, H3, H4 l¦n l÷ñt l  trüc t¥m c¡c tam gi¡c AEF, DCE, ABC, BDF . Gåi X, Y l trung �iºm c¡c �÷íng ch²o BE, AD. Ta câ PH2/(X,XB) = H2P ·H2E = H2Q·H2D = PH2/(Z,ZD).Do �â H2 n¬m tr¶n tröc �¯ng ph÷ìng cõa hai �÷íng trán (X,XB) v  (Z,ZD). T÷ìng tü vîi3 �iºm cán l¤i ta câ �pcm.

�ành lþ 7. Gi£ sû 4 �¿nh n o �â cõa h¼nh bèn c¤nh to n ph¦n lªp th nh tù gi¡c nëi ti¸p. X²ttam gi¡c �÷ñc t¤o bði 2 �¿nh cán l¤i v  t¥m �÷íng trán ngo¤i ti¸p tù gi¡c, trüc t¥m cõa tamgi¡c n y s³ tròng vîi �giao �iºm� cõa hai �÷íng ch²o cõa tù gi¡c nëi ti¸p.

Chùng minh.

�¥y ch½nh l  �ành lþ Brokad �¢ �÷ñc chùng minh trong möc tr÷îc.

�ành lþ 8. V³ c¡c �÷íng trán câ �÷íng k½nh l  c¡c �÷íng ch²o cõa h¼nh bèn c¤nh to n ph¦n.C¡c �÷íng trán n y câ 2 �iºm chung v  2 �iºm chung n y n¬m tr¶n �÷íng th¯ng Van Oebel.

�ành lþ 9. C¡c �÷íng ch²o cõa h¼nh bèn c¤nh to n ph¦n lªp th nh mët tam gi¡c. Khi �â t¥mcõa �÷íng trán ngo¤i ti¸p tam gi¡c n y n¬m tr¶n �÷íng th¯ng Van Oebel.

23 S�T: 096 568 5459

3.3 Sû döng Mæ h¼nh III LOISCENTER

�ành lþ 10. N¸u mët �÷íng th¯ng n o �â cõa h¼nh bèn c¤nh to n ph¦n song song vîi �÷íngth¯ng Euler cõa tam gi¡c t¤o bði 3 �÷íng kia, th¼ c¡c �÷íng kh¡c công câ t½nh ch§t n y.

�ành lþ 11 (�iºm Harvey). C¡c �÷íng th¯ng cõa h¼nh bèn c¤nh to n ph¦n t¤o th nh 4 tamgi¡c. Méi tam gi¡c ta nèi trüc t¥m vîi t¥m �÷íng trán ngo¤i ti¸p, �÷ñc 4 �o¤n th¯ng. C¡c�÷íng trung trüc cõa c¡c �o¤n th¯ng n y g°p nhau t¤i mët �iºm.

24 S�T: 096 568 5459