108 b i tªp v  v§n �· v· b§t �¯ng thùc

Sigma-mathsSigmathsgroup@gmail.com

Sigma - MATHS

LÍI GIÎI THI�U

Cuèn s¡ch nhä n y �÷ñc nhâm c¡c th nh vi¶n SIGMA-MATHS s÷u t¦m v  bi¶n so¤nphöc vö cho cæng ngh» gi¡o döc cõa nhâm.Xu§t ph¡t tø c¡c v§n �· r§t �ìn gi£n ng÷íi håc câ thº nhanh châng l m quen v  th¥nthi»n vîi chuy¶n ng nh B§t �¯ng Thùc(B�T), câ c¡i nh¼n tü tin, têng thº tr÷îc c¡c v§n�· v· B�T. Ngay c£ khi ph£i r±n luy»n c¡c kÿ n«ng �º �i thi chóng ta v¨n câ �õ b£nl¾nh �º �¡nh gi¡ vi»c m¼nh �ang ph£i thüc hi»n. V¨n câ thº th§y m¼nh �ang l m to¡n hay�ang l m quen vîi nhúng k¾ n«ng thi cû.Hi vång c¡c gi£ng vi¶n hay c¡c b¤n l¦n �¦u l m quen vîi B�T �·u t¼m th§y nhúng �i·ubê ½ch.S¡ch gçm 4 ph¦n:1. L m quen: Tø c¡c b i tªp �ìn gi£n n¥ng cao d¦n, c¡c gi¡o vi¶n câ th¶m t i li»u gi£ngd¤y t½ch hñp v· �· t i. C¡c b¤n håc sinh câ thº tü thüc hi»n c¡c b i tªp. Cuèi ch÷ìngchóng ta �÷ñc l m quen vîi c¡c B�T nêi ti¸ng ð d¤ng �ìn gi£n nh§t.2. T¼m hiºu B�T (Cho nhúng ng÷íi tá má). Trong möc n y chóng tæi giîi thi»u hai �·t i thó và. �â l  �ành lþ s­p x¸p v  �ành lþ Shapiro. �ành lþ s­p x¸p còng chùng minh ch¿v i dáng n y �¢ g¥y b§t ngí. H ng lo¤t c¡c b§t �¯ng thùc danh ti¸ng �÷ñc chùng minhl¤i nh÷ nhúng v½ dö ¡p döng cõa �ành lþ n y. �¥y công ch½nh l  �ëng lüc mð �÷íng choc¡c tr o l÷u mîi. �· t i thù hai l  �ành lþ Shapiro. Tø khi ra �íi nh÷ mët gi£ thuy¸t,ph£i sau 45 n«m mîi câ c¥u tr£ líi �¦y �õ cho cho c¥u häi �°t ra. Tr¤ng th¡i �óng saicõa gi£ thuy¸t l¤i g¥y sü chó þ lîn trong t¥m �iºm cõa nhi·u cuëc luªn b n.3. Ph¦n luy»n tªp: K¸t thóc b¬ng nhúng b i to¡n hay v  lþ thó, cuèn s¡ch cung c§pcho c¡c b¤n nhúng k¸t qu£ nêi ti¸ng düa tr¶n c¡c ki¸n thùc vøa l m quen.4. Appendix: Ghi nhanh mët b i gi£ng lþ thó cõa GS.TSKH Nguy¹n V«n Mªu v· B�Tbªc 2 v  ùng döng.- Mong b¤n �åc �âng gâp nhúng þ ki¸n quþ gi¡ �º cæng vi»c cõa chóng tæi ng y c ngho n thi»n v  phöc vö c¡c b¤n �÷ñc nhi·u hìn.C£m ìn c¡c b¤n!

H  Nëi. 09/03/2017

Þ ki¸n xin chuyºn v·:sigmathsgroup@gmail.comloiscenter@gmail.com

1

MÖC LÖC Sigma - MATHS

Möc löc

1 L m quen vîi b§t �¯ng thùc. 31.1 B§t ph÷ìng tr¼nh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 C¡c trung b¼nh th÷íng g°p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Trung b¼nh cëng, nh¥n, b¼nh ph÷ìng, �i·u háa cõa hai sè. . . . . . . . . . 41.4 B§t �¯ng thùc trong b§t �¯ng thùc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Trung b¼nh cëng v  trung b¼nh nh¥n cõa nhi·u sè. . . . . . . . . . . . . . . 71.6 �ành lþ v· c¡c s­p x¸p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.7 B§t �¯ng thùc tam gi¡c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.8 B§t �¯ng thùc CBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.9 B§t �¯ng thùc Jensen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.10 C¡c b i tªp têng hñp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Tr¦m ng¥m trong l¥u � i B§t �¯ng Thùc. 142.1 B§t �¯ng thùc s­p x¸p - hay cán gåi l  B�T ho¡n và. . . . . . . . . . . . . 142.2 B§t �¯ng thùc Shapiro : gi£i xong m  ch÷a thº h¸t. . . . . . . . . . . . . . 18

3 Luy»n tªp 20

3.1 �p döng c¡c B�T nêi ti¸ng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 B§t �¯ng thùc trong h¼nh håc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Appendix. 234.1 Nhúng b§t �¯ng thùc bªc 2 �kiºu th¦y Mªu� . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2 Trong c«n h¦m b½ mªt cõa c¡c phò thõy ra �·. . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3 Còng b i thi n y c¡c anh t i B�T s³ h nh �ëng th¸ n o? . . . . . . . . . . 25

2

Sigma - MATHS

1 L m quen vîi b§t �¯ng thùc.

1.1 B§t ph÷ìng tr¼nh.

1. Gi£i c¡c b§t ph÷ìng tr¼nh sau:

a,3x+ 5

7− 3x< 4;

b,x2 − 1

x2 + 1<x3 − 1

x3 + 1;

c,√x+ 1−

√x <

1

100.

2. C¡c ph¥n sèa1

b1

,a2

b2

, ...,anbn

câ m¨u sè bi > 0(i=1,2,. . . ,n). CMR gi¡ trà cõa ph¥n sèa1 + a2 + . . .+ anb1 + b2 + . . .+ bn

n¬m giúa gi¡ trà nhä nh§t v  lîn nh§t cõa c¡c ph¥n sèaibi

�¢ cho .

3. D¢y sè sau d¢y n o bà ch°n tr¶n, (tùc l  tçn t¤i mët sè K sao cho b§t k¼ ph¦n tûn o cõa d¢y �·u câ gi¡ trà khæng v÷ñt qu¡ K). H¢y x¡c �ành câ tçn t¤i sè K nh÷vªy khæng v  hay t¼m sè K nhä nh§t n¸u câ thº trong méi tr÷íng hñp:

a, an = 1 +1

2+

1

4+ ...+

1

2n;

b, bn = 1 +1

3+

1

9+ ...+

1

3n;

c, cn = 1 +1

2+

1

3+ ...+

1

n;

d, dn = 1 +1

1.2+

1

2.3+ ...+

1

n(n+ 1).

4. D¢y fn = 1 +1

22+

1

32+ ...+

1

n2câ bà ch°n hay khæng?

1.2 C¡c trung b¼nh th÷íng g°p.

5. �¡y cõa mët h¼nh thang l  a v  c. H¢y biºu thà qua a v  c c¡c �¤i l÷ñng sau:a, �÷íng trung b¼nh cõa h¼nh thang.b, �o¤n th¯ng �i qua giao �iºm cõa hai �÷íng ch²o, song song vîi hai �¡y v  giîih¤n bði hai c¤nh b¶n cõa h¼nh thang.c, �o¤n th¯ng n o lîn hìn trong c¡c �o¤n th¯ng x¡c �ành trong a v  b ? H¢y chochùng minh b¬ng �¤i sè v  h¼nh håc.

3

1.3 Trung b¼nh cëng, nh¥n, b¼nh ph÷ìng, �i·u háa cõa hai sè. Sigma - MATHS

6. (Vªn tèc trung b¼nh, thíi gian v  qu¢ng �÷íng)a, Mët æ tæ �i vîi vªn tèc v1 trong mët thíi gian nh§t �ành, v  sau �â �i vîi vªntèc v2 công trong thíi gian nh÷ vªy. Häi tr¶n c£ qu¢ng �÷íng xe æ tæ �i vîi vªn tèctrung b¼nh l  bao nhi¶u?b, Mët æ tæ �i tø A �¸n B vîi vªn tèc v1, sau �â khi quay l¤i tø B v· A vîi vªn tècv2. H¢y x¡c �ành vªn tèc trung b¼nh cõa æ tæ trong c£ h nh tr¼nh.

7. Tam gi¡c vuæng ABC. �÷íng cao CT chia c¤nh huy·n AB thanh c¡c �o¤n AT=p,BT=q. H¢y biºu thà qua p v  q c¡c �¤i l÷ñng sau:a, �ë d i �÷íng cao CT;b, �ë d i �÷íng trung tuy¸n CF;c, �ë d i h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa CT l¶n CF.

1.3 Trung b¼nh cëng, nh¥n, b¼nh ph÷ìng, �i·u háa cõa hai sè.

8. a, Chu vi cõa mët h¼nh chú nhªt l  P. Di»n t½ch (S) cõa h¼nh chú nhªt �â n¬m trongkho£ng n o?b, Di»n t½ch cõa mët h¼nh chú nhªt l  S. Chu vi (P) cõa h¼nh chú nhªt �â n¬mtrong kho£ng n o?

9. Cho a v  b ∈ R+. H¢y ch¿ ra r¬ng:

a,√a2 + b2

2≥ a+ b

2;

b,√a+ b

2≥√a.b;

c,√a.b ≥ 2ab

a+ b;

d§u b¯ng x£y ra khi v  ch¿ khi n¸u a=b.

10. a, N¸u x ∈ R+. H¢y ch¿ ra r¬ng:

x+1

x≥ 2

b, N¸u x ∈ R. H¢y ch¿ ra r¬ng ∣∣∣x+1

x

∣∣∣ ≥ 2

4

1.3 Trung b¼nh cëng, nh¥n, b¼nh ph÷ìng, �i·u háa cõa hai sè. Sigma - MATHS

11. a,b l  c¡c sè d÷ìng. CMRa

b+b

a≥ 2.

12. �iºm n o câ tåa �ë (x,y) l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh hiperbol x.y = 1 câ và tr½ ðg¦n t¥m cõa h» tåa �ë nh§t ?

13. H m sè g(x) tr¶n mi·n sè thüc Gi¡ trà cüc tiºu (minimum) cõa h m sè l  bao nhi¶u?

g(x) =x2 + 2√x2 + 1

14. Chia �o¤n th¯ng AB th nh hai ph¦n sao cho c¡c h¼nh vuæng �÷ñc düng tr¶n c¡c�o¤n th¯ng �â ( xem h¼nh v³) câ têng c¡c di»n t½cha) Nhä nh§t;b) Lîn nh§t.

15. N¸u têng cõa hai sè d÷ìng khæng �êi, th¼ t½ch cõa chóng c ng lîn khi hi»u cõachóng c ng nhä. Têng b¼nh ph÷ìng c ng lîn khi hi»u cõa chóng c ng lîn.

16. C¡c �÷íng th¯ng a, b,c v  d t¤o th nh mët h¼nh tù gi¡c. Tø giao �iºm cõa a v  bng÷íi ta muèn �i �¸n giao �iºm cõa hai �÷íng kia vîi còng mët �ùa tr´. V¼ vªyng÷íi ta ph£i chån �÷íng �i ng­n nh§t. �ùng tø �iºm xu§t ph¡t nh¼n v· hai ph½ang÷íi ta �·u th§y ngay r¬ng tr÷îc khi �i �÷ñc nûa cõa méi �÷íng �·u ph£i r³ vuænggâc t¤i gâc phè g¦n nh§t. Th¶m núa �o¤n �÷íng a (câ v´) d i hìn �o¤n �÷íng b.Ng÷íi ta ph£i chån �i �÷íng n o?

17. N¸u 0< b ≤ a, h¢y ch¿ ra r¬ng

1

8.(a− b)2

a≤ a+ b

2−√a.b ≤ 1

8.(a− b)2

b.

5

1.4 B§t �¯ng thùc trong b§t �¯ng thùc. Sigma - MATHS

1.4 B§t �¯ng thùc trong b§t �¯ng thùc.

18. Cho a, b, c l  c¡c sè d÷ìng, CMR:

(a+ b)(b+ c)(c+ a) ≥ 8abc.

19. Cho a, b, c l  c¡c sè d÷ìng, CMR:

2ab

a+ b+

2bc

b+ c+

2ca

c+ a≤ a+ b+ c.

20. Cho a1, a2, . . . , an l  c¡c sè d÷ìng sao cho a1.a2. . . . .an = 1. CMR:

(1 + a1)(1 + a2)...(1 + an) ≥ 2n

21. N¸u x, y, z ∈ R. CMR:

x2 + y2 + z2 ≥ x√y2 + z2 + y

√x2 + z2.

D§u b¬ng x£y ra khi n o?

22. Cho a1, a2, a3 l  c¡c sè d÷ìng sao cho a1 + a2 + a3 = 1. CMR:√

4a1 + 1 +√

4a2 + 1 +√

4a3 + 1 < 5

23. H m sè hai ©n x, y ∈ R:

f(x, y) = x2 + y2 − xy − x− y + 1

H¢y x¡c �ành gi¡ trà cüc trà (cüc �¤i, cüc tiºu) cõa h m sè.

24. Ch¿ ra r¬ng√x2 + xy + y2

3n¬m giúa trung b¼nh cëng A(x,y) v  trung b¼nh b¼nh

ph÷ìng N(x,y). C¡c gi¡ trà trung b¼nh n y so vîi gi¡ trà√A(x, y).N(x, y) câ luæn

nhä hìn hay lîn hìn khæng?

6

1.5 Trung b¼nh cëng v  trung b¼nh nh¥n cõa nhi·u sè. Sigma - MATHS

1.5 Trung b¼nh cëng v  trung b¼nh nh¥n cõa nhi·u sè.

25. Cho x, y, z ∈ R+ . CMR:

x+ y + z

3≥ 3√xyz

Khi n o x£y ra d§u b¬ng?

26. Chùng minh b§t �¯ng thùc giúa trung b¼nh cëng v  trung b¼nh nh¥n. Ngh¾a l  n¸ua1, a2, ..., an l  c¡c sè d÷ìng, th¼

a1 + a2 + ...+ ann

≥ n√a1.a2....an

khi n o x£y ra d§u b¬ng?

27. Cho x, y l  c¡c sè d÷ìng. CMR x3 + y3 + 1 ≥ 3xy.

28. Sè thüc λ nhä nh§t n o sao cho b§t �¯ng thùc x4 + y4 + λ ≥ 8xy luæn luæn �óngvîi måi sè thüc x, y.

29. H¢y ch¿ ra r¬ng vîi c¡c sè d÷ìng a, b b§t k¼ b§t �¯ng thùc sau luæn �óng:

n+1√a.bn ≤ a+ nb

n+ 1

30. Tø c¡c gâc cõa h¼nh vuæng c¤nh 30 cm, ng÷íi ta c­t c¡c h¼nh vuæng nhä rçi g§pvuæng gâc c¡c ph¦n cán l¤i th nh mët c¡i hëp mð n­p. Häi ph£i c­t nhúng h¼nhvuæng con câ c¤nh bao nhi¶u cm �º h¼nh hëp �÷ñc t¤o th nh câ thº t½ch lîn nh§t ?

7

1.6 �ành lþ v· c¡c s­p x¸p. Sigma - MATHS

31. (�· t i tranh luªn.)T¼m gi¡ trà cüc �¤i cõa h m sè bªc ba p(x) = 3x3 − 7x2 + 4 tr¶n kho£ng [-1,1] .

GS. �¦u To: p(x) = (2− x)(1− x)(3x+ 2). Nh÷ vªy ngo i kho£ng[− 1;

−3

2

]th¼

P < 0 v  trong kho£ng[−3

2; 1]th¼ P ≥ 0. Nh÷ vªy ch¿ c¦n kh£o s¡t tr¶n kho£ng[−3

2; 1]l  �õ. Tr¶n kho£ng n y, (2−x); (1−x) v  (3x+ 2) �·u khæng ¥m. Sû döng

AM - GM:

3√

2p(x) = 3√

(4− 2x)(1− x)(3x+ 2) ≤ (4− 2x) + (1− x) + (3x+ 2)

3=

7

3

Nh÷ vªy gi¡ trà cüc �¤i cõa p(x) l 73

33.2≈ 6, 35

GS Tai Lîn: p(x) = 4− x2(7− 3x). Trong mi·n c¦n kh£o s¡t, (7− 3x) < 0. Do �âp(x) ≤ 4. Vªy k¸t qu£ cõa GS.�¦u To khæng �óng.Häi lªp luªn ai �óng? Gi¡ trà cüc �¤i cõa p(x) b¬ng bao nhi¶u?

32. Trong b i tªp n y chóng ta kh£o s¡t h m sè g(x) = x3 − 3x2 + 3 :a, Lªp b£ng mët sè gi¡ trà cõa h m sè;

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5g(x)

b, Thû v³ h¼nh d¤ng cõa h m sè;c, Cho c¡c gi¡ trà cüc trà �àa ph÷ìng, cüc trà to n thº.d, H m sè l§y gi¡ trà y n o, bao nhi¶u l¦n ? Gi£i �¡p c¥u häi n y vîi måi gi¡ tràthüc cõa y.

33. T¼m gi¡ trà cüc �¤i cõa h m sè h(x) = x.(4000− x3) khi x ∈ [0; 100].

34. Cho n l  mët sè nguy¶n d÷ìng v  ∆ l  mët sè thüc (∆ ≥ −n). Kþ hi»u en,∆ l  gi¡trà cüc �¤i cõa t½ch n thøa sè khæng ¥m v  câ têng b¬ng (n+ ∆).a, T½nh v  lªp b£ng c¡c gi¡ trà cõa en,∆ n¸u 100 ≤ n ≤ 105 v  −3≤ ∆ ≤3.b, Kh£o s¡t b£ng gi¡ trà. H¢y tü �÷a c¡c gi£ thuy¸t cõa b£n th¥n v· gi¡ trà cõa en,∆v  c¡c mèi li¶n h» �¤i sè cõa gi¡ trà n y.c, Thû chùng minh hay phõ �ành c¡c gi£ thuy¸t.

1.6 �ành lþ v· c¡c s­p x¸p.

35. N¸u a1 < a2 v  b1 < b2 th¼ a1.b1 + a2.b2 v  a1b2 + a2b1 �¤i l÷ñng n o lîn hìn v  lînhìn bao nhi¶u ?

8

1.7 B§t �¯ng thùc tam gi¡c Sigma - MATHS

36. N¸u a1 < a2 < a3 v  b1 < b2 < b3. C¡c �¤i l÷ñng

(a1b1 + a2b2 + a3b3), (a1b1 + a2b3 + a3b2), (a1b2 + a2b1 + a3b3)(a1b2 + a2b3 + a3b1), (a1b3 + a2b1 + a3b2), (a1b3 + a2b2 + a3b1)

�¤i l÷ñng n oa) Nhä nh§t? b) lîn nh§t?

37. (�ành lþ c¡c s­p x¸p hay cán gåi l  b§t �¯ng thùc Szucs Adolf )N¸u a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ an v  b1 ≤ b2 ≤ . . . ≤ bn. (ai, bi ∈ R) v  π l  mët giao ho¡ncõa (1, 2, 3, . . . , n) , khi �â

a1b1+a2b2+. . . .+anbn ≥ a1bπ(1)+a2bπ(2)+. . . .+anbπ(n) ≥ a1bn+a2bn−1+. . . .+anb1.

Khi n o x£y ra d§u b¬ng ?

38. Trong hai biºu thùc d÷îi �¥y a1, a2, a3, a4 l  c¡c sè thüc b§t ký. Câ thº kh¯ng �ànhbiºu thùc b¶n n y luæn lîn hìn b¶n kia hay khæng? N¸u �óng h¢y chùng minh, n¸usai �÷a ra ph£n v½ dö !

a, a12 + a2

2 + a32 + a4

2 v  2(a1a4 + a2a3)

b,a1

a4

+a2

a3

+a3

a2

+a4

a1

v a1

a2

+a2

a3

+a3

a4

+a4

a1

.

39. N¸u a1, a2, a3, a4, a5 l  c¡c sè d÷ìng b§t ký. CMR

a1

a2

+a2

a3

+a3

a4

+a4

a5

+a5

a1

≥ 5

1.7 B§t �¯ng thùc tam gi¡c

40. Cho tr÷îc c¤nh v  �÷íng cao t÷ìng ùng thuëc c¤nh �â cõa tam gi¡c. Khi n o chuvi cõa nâ l  nhä nh§t?

1.8 B§t �¯ng thùc CBS

41. Gi¡ trà cõa a1b1 +a2b2 thay �êi trong kho£ng n o n¸u a12 +a2

2 = 1 v  b12 +b2

2 = 1?

9

1.8 B§t �¯ng thùc CBS Sigma - MATHS

42. (B§t �¯ng thùc Cauchy-Bunhyakovski-Schwarz )Cho a1, a2, a3, . . . , an v  b1, b2, b3, ..., bn l  c¡c sè thüc b§t ký. CMR:

|a1b1 + a2b2 + ...+ anbn| ≤√

(a12 + a2

2 + ...+ an2).(b12 + b2

2 + ...+ bn2)

Trong tr÷íng hñpa, n=3; b, n > 3 ∈ NKhi n o x£y ra d§u b¬ng ?

43. N¸u x1, x2, x3 l  c¡c sè thüc, CMR:(1

2x1 +

1

3x2 +

1

6x3

)2

≤ 1

2x1

2 +1

3x2

2 +1

6x3

2 (1)

44. N¸u a1, a2, a3, a4 l  c¡c sè thüc d÷ìng câ têng b¬ng 1. CMR:√

4a1 + 1 +√

4a2 + 1 +√

4a3 + 1 ≤√

21

.

45. CMR vîi x,y > 0 th¼(a+ b)2

x+ y≤ a2

x+b2

y. Khi n o d§u b¬ng x£y ra?

46. CMR n¸u x1, x2, . . . , xn > 0 th¼

(a1 + a2 + a3 + ...+ an)2

x1 + x2 + ...+ xn≤ a1

2

x1

+ ...+an

2

xn

Khi n o x£y ra d§u b¬ng?

47. CMR B�T trong b i 46 t÷ìng �÷ìng vîi b§t �¯ng thùc Cauchy - Bunhyakovski -Schwarz.

48. Cho a, b, x, y >0. H¢y l¡t m°t ph¯ng b¬ng nhúng mi¸ng v¡n s n k½ch th÷îc (a×b)v  (x × y ) (h¼nh v³) sao cho c¡c �¿nh cõa ba h¼nh chú nhªt bao quanh t¥m tåa �ë,gi£ sû y ≤ b

{(0; 0), (a; b)}, {(−x; b− y), (0; b)}, {(0;−y), (x; 0)}

(b>y l m t÷ìng tü). H¢y t¼m tr¶n b£n v³ mët h¼nh b¼nh h nh, �º câ thº chùngminh b¬ng ph÷ìng ph¡p h¼nh håc B�T CBS trong tr÷ìng hñp c¡c c°p sè d÷ìng.

10

1.9 B§t �¯ng thùc Jensen. Sigma - MATHS

49. Bi¸t r¬ng a1b1 ≥ 1, a2b2 ≥ 1, . . . .., anbn ≥ 1 trong �â ai, bi l  c¡c sè d÷ìng v  c¡c h»sè p1, p2, . . . ., pn ≥ 0 sao cho p1 + p2 + . . . .+ pn = 1. CMR

(a1p1 + a2p2 + ...+ anpn)(b1p1 + b2p2 + ...+ bnpn) ≥ 1

50. H¢y chùng minh b§t �¯ng thùc CBS cho nhi·u sè:(∑aibici

)2

≤(∑

ai2)(∑

bi2)(∑

ci2)

1.9 B§t �¯ng thùc Jensen.

51. a, CMR h m sè f(x) = x2 l  h m lçi.b, Chùng minh B�T li¶n h» giúa trung b¼nh cëng v  trung b¼nh b¼nh ph÷ìng cõanhi·u sè h¤ng! Tùc l  n¸u a1, a2, a3, . . . , an l  c¡c sè khæng ¥m, th¼

a1 + a2 + ...+ ann

≤√a1

2 + a22 + ...+ an

2

n

11

1.10 C¡c b i tªp têng hñp. Sigma - MATHS

52. a, CMR h m sè f(x) =1

xl  h m lçi khi x ∈ R+.

b, Chùng minh B�T li¶n h» giúa trung b¼nh cëng v  trung b¼nh �i·u háa cõa nhi·usè h¤ng! Tùc l  n¸u a1, a2, a3, . . . , an l  c¡c sè d÷ìng, th¼

a1 + a2 + ...+ ann

≥ n1

a1

+1

a2

+ ...+1

an

53. H m lçi n o chùng minh cho mèi li¶n h» B�T giúa AM v  GM?

1.10 C¡c b i tªp têng hñp.

54. CMR b§t �¯ng thùc sau luæn thäa m¢n vîi måi x1, x2, x3:

x12 + x2

2 + x32 − x1x2 − x2x3 − x3x1 ≥ 0

55. N¸u a1, a2, a3, . . . , an l  c¡c sè d÷ìng, CMR:

(a1 + a2 + ...+ an) ·( 1

a1

+1

a2

+ ...+1

an

)≥ n2.

56. Kþ hi»u p(a, b, c) = a3 + b3 + c3 v  q(a, b, c) = a2b + b2c + c2a. Trong c¡c m·nh �·sau, m»nh �· n o �óng ?I. N¸u a,b,c d÷ìng th¼ p(a, b, c) ≤ q(a, b, c)II. N¸u a,b,c d÷ìng th¼ p(a, b, c) ≥ q(a, b, c).H¢y chùng minh ho°c phõ �ành.

57. (B§t �¯ng thùc Nesbitt)N¸u a, b, c l  c¡c sè d÷ìng CMR:

a

b+ c+

b

c+ a+

c

a+ b≥ 3

2.

58. N¸u a, b, c l  c¡c sè d÷ìng. CMR:

a,ab

c+bc

a+ca

b≥ a+ b+ c

b,a2

b2+b2

c2+c2

a2≥ b

a+c

b+a

c

12

1.10 C¡c b i tªp têng hñp. Sigma - MATHS

59. N¸u a, b, c l  c¡c sè d÷ìng câ têng b¬ng 1. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc√

1 + a2 +√

1 + b2 +√

1 + c2

60. N¸u a, b, c l  c¡c sè d÷ìng.a, H¢y ch¿ ra r¬ng (

1

a− 1) · (1

b− 1) · (1

c− 1) ≥ 8;

b, T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa (1

a+ 1) · (1

b+ 1) · (1

c+ 1)

61. N¸u n ∈ N+. CMR: (n+ 1

2

)n2 ≤ n! ≤

(n+ 1

2

)n

62. N¸u a, b, c, d l  c¡c sè d÷ìng. CMR:

a

b+c

d≥ 2 · a+ c

b+ d

Thäa m¢n khi v  ch¿ khi n¸u m¨u sè cõa c¡c ph¥n sè ho°c tròng nhau, ho°c gi¡trà cõa ph¥n sè câ m¨u sè lîn hìn công khæng lîn hìn. D§u b¬ng x£y ra khi v ch¿ khi ho°c m¨u sè cõa hai ph¥n sè b¬ng nhau, ho°c gi¡ trà cõa ph¥n sè b¬ng nhau.

63. X¡c �ành gi¡ trà cüc tiºu cõa biºu thùc sau, n¸u c¡c tham sè ai (i=1,. . . ,2008) l c¡c sè d÷ìng.

S =a1

a2008 + a2

+a2

a1 + a3

+a3

a2 + a4

+ ...+a2008

a2007 + a1

64. CMR vîi n l  sè nguy¶n �õ lîn th¼ n2 < 2n.

65. CMR vîi måi k nguy¶n d÷ìng b§t ký n¸u n l  sè nguy¶n �õ lîn th¼ nk < 2n.

66. CMR vîi måi �a thùc p(n) b§t k¼ l  sè nguy¶n �õ lîn thi p(n) < 2n .

13

Sigma - MATHS

2 Tr¦m ng¥m trong l¥u � i B§t �¯ng Thùc.

Muèn th§y To¡n h¢y nh¼n b¬ng m­t cõa ri¶ng m¼nh!

Trong cuëc du làch nhä v o l¥u � i B�T n y, chóng ta s³ còng th÷ðng thùc hai tuy»tph©m:- B§t �¯ng thùc s­p x¸p Szucs Adolf hay cán gåi B�T ho¡n và.- B§t �¯ng thùc xoay váng Shapio.Sü xu§t hi»n cõa B§t �¯ng thùc s­p x¸p, ngo i k¸t qu£ to¡n håc, cán chùa �üng nëi dunglþ thuy¸t mð �÷íng. Ch¿ vîi hai d¢y �÷ñc s­p x¸p ho n to n n¸u nh¥n c¡c sè tøng �æimët rçi t½nh têng th¼ gi¡ trà cüc �¤i s³ nhªn �÷ñc khi ta t÷ìng t¡c c¡c d¢y còng chi·uv  gi¡ trà nhä nh§t nhªn �÷ñc khi chóng tr¡i chi·u. �ành lþ kh¯ng �ành mët quy luªt tünhi¶n khæng �ìn gi£n, trong cuëc sèng ng÷íi ta th÷íng cæng nhªn ½t khi kiºm nghi»m.Vi»c chùng minh �ành lþ n y công ho n to n düa tr¶n sü s­p x¸p tü nhi¶n: N¸u câ haiph¦n tû g¥y n¶n �lçi lãm� th¼ ta ch¿ c¦n chuyºn ché hai vªt �â - l m màn m°t b¬ng. Hiºnnhi¶n gi¡ trà lîn nh§t v  nhä nh§t thº hi»n ð sü cëng h÷ðng hay t½nh tri»t ti¶u trongt÷ìng t¡c cõa hai d¢y sè. �ành lþ �÷ñc chùng minh n«m 1942, bði mët nh  b¡c håc ng÷íiHungary Szucs Adolf (1880 � 1945) - t¡c gi£ l  n¤n nh¥n cõa th£m håa ph¡t x½t (1945).�ành lþ r§t trong s¡ng còng chùng minh ch¿ v i dáng n y �¢ g¥y b§t ngí. H ng lo¤t c¡cb§t �¯ng thùc danh ti¸ng �÷ñc chùng minh l¤i nh÷ nhúng v½ dö ¡p döng cõa �ành lþ n y.V  �¥y ch½nh l  sùc m¤nh mð �÷íng cho c¡c trao l÷u mîi cõa cæng cuëc nghi¶n cùu�LÞ THUY�T KHÆNG C�N B�NG� m  h¼nh nh÷ ng÷íi ta �ang ph¡t huy trong thüct¸ nhi·u hìn khi ch÷a th nh chu©n müc.�· t i thù hai l  �inh lþ Shapiro. Ng÷íi ta câ thº coi B�T xoay váng n y l  mët t¡cph©m �Picasso� cõa Cëng �çng B�T. Tø khi ra �íi nh÷ mët gi£ thuy¸t, ph£i sau 45 n«mmîi câ c¥u tr£ líi �¦y �õ cho c¥u häi �°t ra. Tr¤ng th¡i �óng sai cõa gi£ thuy¸t g¥y süchó þ lîn trong t¥m �iºm cõa nhi·u cuëc luªn b n.V· hai �· t i nâi ri¶ng n y v  v· B�T nâi chung, n¸u x¸p h¤ng c¡c §n ph©m trong n÷îccòng c¡c §n ph©m n÷îc ngo i tæi m¤nh d¤n �· xu§t và tr½ top 10 t¡c ph©m cõa PGS.TSKH Nguy¹n Minh Tu§n (NXB �¤i håc quæc gia H  Nëi): �Lþ thuy¸t Cì sð cõa h mlçi v  c¡c B§t �¯ng Thùc cê �iºn�.�¥y l  mët t¡c ph©m to¡n håc khi �åc câ sùc cuèn hót thó và. Nhúng nh  nghi¶n cùu,c¡c b¤n quan t¥m,v  c¡c em håc sinh �·u câ thº t¼m th§y �i·u m¼nh c¦n, câ thº sû dönghúu ½ch cho cæng vi»c v  tr¡nh �÷ñc cho b£n th¥n khäi rìi v o váng xo¡y cõa B�T và B�T.

2.1 B§t �¯ng thùc s­p x¸p - hay cán gåi l  B�T ho¡n và.

Ph¦n n y tæi dòng nguy¶n mët v«n b£n ti¸ng Anh. �¥y l  mët b i gi£ng hay �÷ñc giîisinh vi¶n v  håc sinh chuy·n tay nhau kh¡ rëng r¢i. B£n th¥n tæi �¢ b­t g°p khi langthang t¼m t i li»u v  �åc c¡c b i vi¸t tr¶n m¤ng.

Rearrangement Inequality

The rearrangement inequality (also known as permutation inequality) is easy to under-stand and yet a powerful tool to handle inequality problems.

14

2.1 B§t �¯ng thùc s­p x¸p - hay cán gåi l  B�T ho¡n và. Sigma - MATHS

Definition: Let a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an and b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn be any real numbers.a, S = a1b1 + a2b2 + ...+ anbn is called the Sorted sum of the numbers.b, R = a1bn + a2bn−1 + ...+ anb1 is called the Reversed sum of the numbers.c, Let c1, c2, ..., cn be any permutation of the numbers b1, b2, ..., bn.P = a1c1 + a2c2 + ...+ ancn is called the Permutated sum of the numbers.

67. Rearrangement inequality S ≥ P ≥ R

Proof:(a) Let P(n) be the proposition: S ≥ P .P(1) is obviously true.Assume P(k) is true for some k ∈ N.For P(k+1), Since the c's are the permutations of the b's, suppose bk+1 = ci andck+1 = bj(ak+1 − ai)(bk+1 − bj) ≥ 0⇒ aibj + ak+ibk+1 ≥ aibk+1 + ak+1bj⇒ aibj + ak+1bk+1 ≥ aici + ak+1ck+1

So in P, we may switch ci and ck+1 to get a possibly larger sum.After switching of these terms, we come up with the inductive hypothesis P(k).P(k + 1) is also true.By the principle of mathematical induction, P(n) is true ∀n ∈ N.

(b) The inequality P ≥ R follows easily from S ≥ P by replacing b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bnby −bn ≥ −bn−1 ≥ ... ≥ −b1.

Note:(a) If a′is are strictly increasing, then equality holds (S = P = R) if and only if theb′is are all equal.(b) Unlike most inequalities, we do not require the numbers involved to be positive.

68. Corollary 1: Let a1, a2, ..., an be real numbers and c1, c2, ..., cn be its permuation.Then

a12 + a2

2 + ...+ an2 ≥ a1c1 + a2c2 + ...+ ancn

69. Corollary 2: Let a1, a2, ..., an be positive real numbers and c1, c2, ..., cn be its per-muation. Then

c1

a1

+c2

a2

+ ...+cnan≥ n

The rearrangement inequality can be used to prove many famous inequalities. Here

15

2.1 B§t �¯ng thùc s­p x¸p - hay cán gåi l  B�T ho¡n và. Sigma - MATHS

are some of the highlights.

70. Arithmetic Mean - Geometric Mean Inequality (A.M ≥ G.M)

Let x1, x2, ..., xn be positive numbers. Thenx1 + x2 + ...+ xn

n≥ n√x1x2...xn.

Equality holds if and only if x1 = x2 = ... = xn.

Proof: Let G = n√x1x2...xn, a1 =

x1

G, a2 =

x1x2

G2, ..., an =

x1x2...xnGn

= 1.

By corollary 2,

n ≤ a1

an+a2

a1

+ ...+anan−1

=x1

G+x2

G+ ...+

xnG

<=>x1 + x2 + ...+ xn

n≥ n√x1x2...xn

Equality holds ⇔ a1 = a2 = ... = an ⇔ x1 = x2 = ... = xn.

71. Geometric Mean - Harmonic Inequality (G.M ≥ H.M.)

Let x1, x2, ..., xn be positive numbers. Then n√x1x2...xn ≥

n1

x1

+1

x2

+ ...+1

xn

Proof: Define G anf a1, a2, ..., an similarly as in the proof of A.M - G.M.

By Corollary 2, n ≤ a1

a2

+a2

a3

+...+ana1

=G

x1

+G

x2

+...+G

xnwhich then gives the result.

72. Root Mean Square - Arithmetric Mean Inequality (R.M.S ≥ A.M)

Let x1, x2, ..., xn be numbers. Then√x1

2 + x22 + ...+ xn

2

n≥ x1 + x2 + ...+ xn

n

Proof : By Corollary 1, we cyclically rotate xi,x1

2 + x22 + ...+ xn

2 = x1x1 + x2x2 + ...+ xnxnx1

2 + x22 + ...+ xn

2 ≥ x1x2 + x2x3 + ...+ xnx1

x12 + x2

2 + ...+ xn2 ≥ x1x3 + x2x4 + ...+ xnx2

..... ≥ .....x1

2 + x22 + ...+ xn

2 ≥ x1xn + x2x1 + ...+ xnxn−1

Adding all inequalities together, we have

n(x12 + x2

2 + ...+ xn2) ≥ (x1 + x2 + ...+ xn)2

Result follows. Equality holds ⇔ x1 = x2 = ... = xn

16

2.1 B§t �¯ng thùc s­p x¸p - hay cán gåi l  B�T ho¡n và. Sigma - MATHS

73. Cauchy - Bunyakovskii - Schwarz inequality (CBS inequality)Let a1, a2, ..., an; b1, b2, ..., bn be real numbers.Then (a1b1 + a2b2 + ...+ anbn)2 ≤ (a1

2 + a22 + ...+ an

2).(b12 + b2

2 + ...+ bn2)

Proof: The result is trivial if a1 = a2 = ... = an = 0 or b1 = b2 = ... = bn = 0.Otherwise, define

A =√a1

2 + a22 + ...+ an2, B =

√b1

2 + b22 + ...+ bn

2

Since both A and B are non-zero, we may let xi =aiA, xn+i =

biB∀1 ≤ i ≤ n.

By Corollary 1,

2 =a1

2 + a22 + ...+ an

2

A2+b1

2 + b22 + ...+ bn

2

B2= x1

2 + x22 + ...+ x2n

2

≥ x1xn+1 + x2xn+2 + ...+ xn + x2n + xn+1x1 + xn+2x2 + ...+ x2nxn

=2(a1b1 + a2b2 + ...+ anbn)

AB

⇔ (a1b1 + a2b2 + ...+ anbn)2 ≤ (a12 + a2

2 + ...+ an2).(b1

2 + b22 + ...+ bn

2)

Equality holds ⇔ xi = xn+i ⇔ aiB = biA ∀1 ≤ i ≤ n.

74. Chebyshev's inequalityLet x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn and y1 ≤ y2 ≤ ... ≤ yn be any real numbers.Then

x1y1+x2y2+...+xnyn ≥(x1 + x2 + ...+ xn)(y1 + y2 + ...+ yn)

n≥ x1yn+x2yn−1+...+xny1

Proof: By Rearrangement inequality, we cyclically rotate xi and yi,x1y1 + x2y2 + ...+ xnyn = x1y1 + x2y2 + ...+ xnyn ≥ x1yn + x2yn−1 + ...+ xny1

x1y1 + x2y2 + ...+ xnyn ≥ x1y2 + x2y3 + ...+ xny1 ≥ x1yn + x2yn−1 + ...+ xny1

... ≥ ... ≥ ....x1y1 + x2y2 + ...+ xnyn ≥ x1yn + x2yn−1 + ...+ xny1 = x1yn + x2yn−1 + ...+ xny1

Adding up the inequalities and divide by n, we get our result.

17

2.2 B§t �¯ng thùc Shapiro : gi£i xong m  ch÷a thº h¸t. Sigma - MATHS

Exercise Hint

75. Find the minimum ofsin3x

cosx+cos3x

sinx, Consider (sin3x, cos3x),

( 1

sinx,

1

cosx

)0 < x <

π

2

76. Proof: For (ii) and questions below,(i) a2 + b2 + c2 ≥ ab+ bc+ ca Witout lost of generality, let a ≤ b ≤ c(ii) an + bn + cn ≥ abn−1 + bcn−1 + can−1 Consider (a, b, c), (an−1, bn−1, cn−1)

77. Proof:1

a2+

1

b2+

1

c2≥ a+ b+ c

abcConsider

(1

a,1

b,1

c

),(1

a,1

b,1

c

)

78. Proof:a2

b2+b2

c2+c2

a2≥ b

a+c

b+a

cConsider

(ab,b

c,c

a

),(ab,b

c,c

a

)

79. Proof:a2

b+b2

c+c2

a≥ a+ b+ c Consider (a2, b2, c2),

(1

a,1

b,1

c

)

80. Proof: If a, b, c > 0 and n ∈ N then : Consider (an, bn, cn),( 1

b+ c,

1

c+ a,

1

a+ b

)an

b+ c+

bn

c+ a+

cn

a+ b≥ an−1 + bn−1 + cn−1

2

81. Proof: If a, b, c > 0, then: Consider (a, b, c), (log a, log b, log c)aabbcc ≥ (abc)

a+b+c3 and use Chebyshev's inequality

2.2 B§t �¯ng thùc Shapiro : gi£i xong m  ch÷a thº h¸t.

N«m 1954, Harold S. Shapiro �· xu§t mët gi£ thuy¸t v· mët b§t �¯ng thùc têng xoayváng cho n, nh÷ sau:Cho xi ≥ 0, xi + xi+1 > 0 vîi i ∈ N. Khi �â:

P (n) =x1

x2 + x3

+x2

x3 + x4

+ . . .+xn−1

xn + x1

≥ n

2.

�¸n 1989 - sau 45 n«m b i to¡n �÷ñc gi£i quy¸t ho n to n vîi nhúng kh½a c¤nh k¸tqu£ v  mæi tr÷íng k¸t qu£ g¥y r§t nhi·u bï ngï . B¤n �åc câ thº tham kh£o t÷ìng �èi�¦y �õ v  chi ti¸t qu¡ tr¼nh h¼nh th nh v  ph¡t triºn cõa v§n �· n y trong cuèn s¡ch cõa

18

2.2 B§t �¯ng thùc Shapiro : gi£i xong m  ch÷a thº h¸t. Sigma - MATHS

PGS TS Nguy¹n Minh Tu§n (Lþ Thuy¶t cì sð cõa h m lçi v  c¡c b§t �¯ng thùc cê �iºntrang 313-318). H¢y l÷ñc qua c¡c thíi �iºm quan trång trong làch sû cõa �ành lþ n y.

- N«m 1956, Lighthill cho ph£n v½ dö B�T khæng �óng trong tr÷íng hñp n=20.

- N«m 1958, Lighthill ch¿ ra r¬ng P(n) sai vîi nhúng n ch®n lîn hìn ho°c b¬ng 14 (n≥ 14); �çng thíi Rankin công chùng minh �÷ñc sai vîi n l´ �õ lîn. �óng mët n«m sau(1959), Zulauf chùng minh �÷ñc r¬ng P(53) l  sai.

- C¡c tr÷íng hñp P(6) - Diananda (1959) , P(8) � Djokovic (1963) �¢ chùng minh l �óng. Sau �â n«m 1963, Diananda �¢ cho v½ dö chùng minh P(27) sai.

- Công còng n«m n y (1963) , Diananda chùng minh �÷ñc �i·u tuy»t víi sau:a, N¸u k0 l  sè tü nhi¶n ch®n v  n¸u P(k0) �óng th¼ P(n) �óng vîi måi n ch®n khæng v÷ñtqu¡ k0.b, N¸u k0 l  sè tü nhi¶n l´ v  n¸u P(k0) sai th¼ P(n) s³ sai vîi måi n l´ lîn hìn k0.

K¸t qu£ cõa Diananda h¤n ch¸ húu h¤n c¡c tr÷íng hñp �óng câ thº cõa gi£ thuy¸t.P(n) sai vîi n ch®n lîn hìn ho°c b¬ng 14, v  P(n) sai vîi måi gi¡ trà n l´ khæng nhä hìn27.N«m 1968, Nowosad �¢ kh¯ng �ành �÷ñc P(8) l  �óng b¬ng mët b£n chùng minh d i 64trang. L÷ñng sè li»u v  sè tr÷íng hñp khêng lç công �¢ k¸t thóc qu¡ tr¼nh chùng minh�ành lþ n y b¬ng �bót ch¼ v  gi§y�.

Cuèi còng n«m 1989, Troesch düa tr¶n nhúng t½nh to¡n cõa m¡y t½nh �°c bi»t �¢tr¼nh b y b¬ng chùng thuy¸t phöc r¬ng P(n) �óng vîi n ch®n khæng v÷ñt qu¡ 12 v  P(n)�óng vîi n khæng v÷ñt qu¡ 23 v  sai vîi c¡c tr÷íng hñp cán l¤i.

V· m°t To¡n håc, cæng tr¼nh cõa Troesch kh²p l¤i 45 n«m nghi¶n cùu v  kiºm nghi»msü �óng sai cõa gi£ thuy¸t Shapiro. Cho �¸n n«m 1992, Bushell chùng minh khæng c¦nm¡y t½nh cho tr÷íng hñp n=10. V  �¸n n«m 2002, Bushell v  McLeod cæng bè ph²p chùngminh cho n=12.

M°c dò v§n �· Shapiro �¢ câ c¥u tr£ líi ho n to n, nh÷ng ch½nh c¡c k¸t qu£ n y v¨ngñi l¶n nhúng c¥u häi cán l m m§t ngõ nhi·u ng÷íi quan t¥m.

Mët b i to¡n ph¡t biºu ho n to n sì c§p m  t¤i sao xu§t hi»n líi gi£i phö thuëct½nh ch®n l´ cõa c¡c thæng sè tham gia? Mèi li¶n h» v  kho£ng c¡ch r§t �b½ hiºm� cõac°p sè (12, 23) công ch÷a câ líi gi£i th½ch thäa �¡ng.

Tr÷îc mët b i to¡n ng÷íi ta v¨n c£m th§y bà �ëng v¼ khæng tr£ líi �÷ñc cho b£n th¥ntr÷îc c¥u häi:" T¤i sao l¤i ph£i nh÷ vªy?". Kho£ng c¡ch ng­n minh ho¤ cho �ë xo­n cõad¢y sè th¼ sü kh¡c bi»t cõa líi gi£i khi xu§t hi»n t½nh ch®n l´ h¼nh nh÷ cán t¤o sü nghingí cõa c¡c tr÷íng hñp lîn hìn con sè 12.

19

Sigma - MATHS

Kº tø n«m 1989 trð l¤i �¥y, tø khi gi£ thuy¸t Shapiro �÷ñc gi£i �¡p th¼ sùc cuèn hótcõa nâ l¤i sæi �ëng hìn trong cëng �çng To¡n håc. Tø mët �· t i �B�T và B�T�, ng÷íita �¢ mð rëng sang kh½a c¤nh t¼m kh£ n«ng ùng döng ngo i thüc t¸ cho k¸t qu£ "trîtr¶u" n y. Vi»c giîi thi»u k¸t qu£ Shapiro khæng thº trån vµn n¸u khæng nh­c �¸n B�TNesbitt �÷ñc chùng minh tø n«m 1903. �ành lþ n y sau trð th nh mët tr÷íng hñp �°cbi»t cõa �ành lþ Shapiro vîi n=3: Vîi a,b, c d÷ìng:

a

b+ c+

b

c+ a+

c

a+ b≥ 3

2

Câ r§t nhi·u chùng minh hay v  thó và cho �ành lþ n y. Nh÷ng h¼nh nh÷ v¨n thi¸uc¡ch chùng minh b¬ng sû döng �ành lþ s­p x¸p. �¥y công câ thº t¤o n¶n mët h÷îng nh¼nkh¡c v· �· t i n y. Trong �ành lþ Shapiro, c¡c sè h¤ng c§u th nh têng v· h¼nh thùc r§tchîi vîi, câ l³ n¸u �÷ñc thay b¬ng c¡c sè h¤ng câ d¤ng:

aiai + ai+1 + ai+2

c¡c d¤ng �xo­n� s³ bît "xæ bç" hìn v  câ l³ s³ cho chóng ta mët c¡ch ti¸p cªn n o �âkh¡c cho �· t i �xo­n�.Gi£ thuy¸t �xo­n� mîi cõa chóng ta:Cho xi ≥ 0, xi + xi+1 + xi+2 > 0 vîi i ∈ N. Khi �â:

P (n) =x1

x1 + x2 + x3

+x2

x2 + x3 + x4

+ ...+xn−1

xn−1 + xn + x1

≥ n

3

hi vång s³ l  mët v§n �· khæng ph£i �ñi l¥u líi gi£i!

3 Luy»n tªp

3.1 �p döng c¡c B�T nêi ti¸ng.

84. CMR vîi a,b,c d÷ìng:

1

a+

1

b+

1

c≥ 1√

ab+

1√bc

+1√ca

85. Cho a, b,c d֓ng. CMR:

1

a3+

1

b3+

1

c3≤ 1

a3.

√b

a+

1

b3.

√c

b+

1

c3.

√a

b

20

3.1 �p döng c¡c B�T nêi ti¸ng. Sigma - MATHS

86. Gi£i ph÷ìng tr¼nh tr¶n mi·n sè thüc: 2x3 = x4 +27

16

87. Di»n t½ch cõa mët tù gi¡c lçi l  32cm2, têng cõa mët �÷íng ch²o v  hai c¤nh �èidi»n l  16 cm. T½nh �ë d i cõa �÷íng ch²o kia?

88. Cho m,n nguy¶n d÷ìng, x d÷ìng. CMR:

m.xn + nx−m ≥ m+ n

(k¸t qu£ v¨n �óng khi n l  sè thüc d÷ìng).

89. Cho a,b,c l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng ( thüc d÷ìng công �óng). CMR:

aa.bb.cc ≥(a+ b+ c

3

)a+b+c

90. a,b,c l  nhúng sè thüc kh¡c 0. CMR:

a2

b2+b2

c2+c2

a2≥ a

b+b

c+c

a

91. Cho ai vîi i=1,2,. . . ,n l  c¡c sè d÷ìng. CMR:(a1 + a2 + ...+ ann

)a1+a2+...+an≤ a1

a1 .a2a2 ...an

an ≤(a1

2 + a22 + ....+ an

2

a1 + a2 + ...+ an

)a1+a2+...+an

92. B�T BernulliCho a > −1 v  a 6= 0, q>0, q 6= 0. CMR:{

(1 + a)q > 1 + qa n¸u q > 1

(1 + a)q < 1 + qa n¸u q < 1(1)

93. CMR: N¸u n>1 v  n tü nhi¶n: nn > (n+ 1)n−1

94. N¸u x, y l  c¡c sè d÷ìng, n l  sè tü nhi¶n lîn hìn 2. CMR:

xn ≥ yn−1(nx− (n− 1).y)

21

3.2 B§t �¯ng thùc trong h¼nh håc. Sigma - MATHS

95. T¼m gi¡ trà cüc tiºu cõa h m sè f(x) =4√x5 − 3x.

96. N¸u ai > 0(i = 1, 2, . . . , n) CMR:

(a1a1 .a2

a2 . . . ..anan)n ≥ (a1.a2 . . . an)a1+a2+...+an

97. N¸u p, q l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng lîn hìn 1, CMR:

(n− 1)2.pq + (n− 1).(p+ q) + 1

n≤ (n− 1).pq + 1

98. CMR vîi n tü nhi¶n lîn hìn 1:√n2 − 1 +

√n2 − 4 + ...+

√n2 − (n− 1)2

n2<

√3

2

99. Cho ai v  bi vîi i=1,2,. . . ,n l  c¡c sè thüc d÷ìng. CMR:

n∑1

ai2

bi≤

n∑1

bi th¼n∑1

ai ≤n∑1

bi

100. Vîi a, b, c, d l  c¡c sè d÷ìng. CMR:

a

b+ c+

b

c+ d+

c

d+ a+

d

a+ b≥ 2

3.2 B§t �¯ng thùc trong h¼nh håc.

101. Tam gi¡c ABC chùa tam gi¡c MNL . Chùng minh r¬ng:a, Chu vi cõa tam gi¡c ABC lîn hìn ho°c b¬ng chu vi tam gi¡c MNL.b, Di»n t½ch tam gi¡c ABC lìn hìn di»n t½ch tam gi¡c MNL.Trong c£ hai tr÷íng hñp khi n o d§u b¬ng x£y ra?

102. (�iºm Fermat-Toricelli )X¡c �ành �iºm P trong tam gi¡c ABC sao cho têng kho£ng c¡ch tø P �¸n c¡c �¿nhcõa tam gi¡c l  nhä nh§t.

22

Sigma - MATHS

103. (B i to¡n Fagnano � ch¥n ba �÷íng cao).Mët tam gi¡c �÷ñc gåi l  nëi ti¸p trong mët tam gi¡c kh¡c n¸u méi �¿nh cõatam gi¡c n y n¬m tr¶n mët c¤nh kh¡c nhau t÷ìng ùng cõa tam gi¡c kia.Cho tr÷îc tam gi¡c nhån ABC. Trong t§t c£ c¡c tam gi¡c nëi ti¸p trong tam gi¡cABC, tam gi¡c nëi ti¸p câ c¡c �¿nh l  ch¥n cõa ba �÷íng cao cõa tam gi¡c ABC l tam gi¡c câ chu vi nhä nh§t.

104. �ÀNH LÞ ( Cæng thùc EULER � B�T v· b¡n k½nh).Cho tam gi¡c nhån ABC. B¡n k½nh váng trán t¥m O ngo¤i ti¸p ABC v  b¡n k½nhváng trán t¥m I nëi ti¸p tam gi¡c ABC l¦n l÷ñt l  R, r. Kho£ng c¡ch OI=d. CMR:a, d2 = R2 − 2Rr (cæng thùc EULER).b, R ≥ 2r (B�T b¡n k½nh ).

105. (B§t �¯ng thùc POTOLEME).C¡c c¤nh cõa mët tù gi¡c lçi theo thù tü l¦n l÷ñt l  a,b,c,d. Hai �÷íng ch²o l  e v f. CMR ac+ bd ≥ ef , d§u b¬ng x£y ra khi v  ch¿ khi tø gi¡c l  h¼nh nëi ti¸p trongváng trán.

106. (B§t �¯ng thùc ERDOS � MORDELL).Cho P l  mët �iºm thuëc tam gi¡c ABC ( P câ thº n¬m trong hay n¬m tr¶n chu vicõa tam gi¡c). Kho£ng c¡ch tø P �¸n A,B,C l¦n l÷ñt l  u, v, w: kho£ng c¡ch tø P�¸n c¡c �÷íng th¯ng BC, CA, AB l¦n l÷ñt l  x,y,z. Khi �â:

u+ v + w ≥ 2(x+ y + z)

d§u b¬ng x£y ra khi v  ch¿ khi P l  trång t¥m cõa tam gi¡c �·u ABC.

107. a, Trong c¡c tam gi¡c câ còng chu vi tam gi¡c �·u câ di»n t½ch lîn nh§t.b, Trong c¡c tam gi¡c còng di»n t½ch tam gi¡c �·u câ chu vi nhä nh§t.

108. Chùng minh r¬ng b§t ký mët tam gi¡c nhån n o câ di»n t½ch b¬ng 1 công câ thº�°t �÷ñc trong mæt tam gi¡c vuæng câ di»n t½ch khæng qu¡

√3 .

4 Appendix.

Khi �L m Quen Vîi Khæng C¥n B¬ng� k¸t thóc th¼ væ t¼nh tròng hñp vîi thíi �iºmGS.TSKH Nguy¹n V«n Mªu gi£ng mët b i �ng­n nh÷ng håc c£ th¡ng ch÷a ch­c h¸t�:

SO S�NH PH�N SÈ ��I SÈ

�÷ñc bªt m½ - B½ quy¸t x o n§u B�T - chóng tæi bi¶n so¤n l¤i thuy¸t tr¼nh �º phöc vöc¡c b¤n muèn t¼m hiºu k¾ b i gi£ng cõa S÷ Phö ( t¶n gåi th¦y k½nh trång v  th¥n mªt

23

4.1 Nhúng b§t �¯ng thùc bªc 2 �kiºu th¦y Mªu� Sigma - MATHS

giúa c¡c th nh vi¶n tr´ trong seminar cõa hëi To¡n Håc H  Nëi). T§t nhi¶n qu¡ tr¼nhbi¶n so¤n l¤i s³ thi¸u mët sè c¡c þ t÷ðng ch÷a n­m b­t �÷ñc cõa th¦y nh÷ng công s³thøa th¶m nhúng �tèi ki¸n� chõ quan khæng thº tr¡nh - theo c¡ch håc cõa méi ng÷íi m  câ.

4.1 Nhúng b§t �¯ng thùc bªc 2 �kiºu th¦y Mªu�

Xu§t ph¡t tø mët �i·u hiºn nhi¶n (⇔ (x− y)2 ≥ 0)

x2 ≥ y2 + 2y(x− y) (1)

V  th¶m mët sè d÷a h nh m­m muèi:

x = y + (x− y) (2)

1 = 1 + 0.(x− y) (3)

Nh¥n (1), (2) v  (3) vîi l¦n l÷ñt ba sè a, b, c trong �â a d÷ìng. Rçi cëng c£ 2 v¸ ta �÷ñc:

ax2 + bx+ c ≥ (ay2 + by + c) + 2ay(x− y) + b(x− y)

k½ hi»u f(x) l  h m bªc hai f(x) = ax2 + bx + c ta nhªn �÷ñc mët b§t �¯ng thùc thó vàvîi måi x,y:

f(x) ≥ f(y) + (2ay + b)(x− y) (4)

th¶m �i·u ki»n 2ay+b > 0 s³ câ B�T:

f(x)

2ay + b≥ f(y)

2ay + b+ (x− y) (5)

Mët B�T v¸ ph£i x ch¿ cán l  bªc nh§t v  (2ay+b) = f'(y) ( �¤o h m).

4.2 Trong c«n h¦m b½ mªt cõa c¡c phò thõy ra �·.

�¦u ti¶n ng÷íi ta dòng t½nh ch§t tuy¸n t½nh cõa x ð v¸ ph£i �º phò ph²p B�T (5) th nhnhúng th nh ph¦n khâ nhªn ra.

B i thi 1: Cho x1 + x2 + x3 = 10. T¼m gi¡ trà cüc tiºu cõa biºu thùc :

M =x1

2

4+x2

2

6+x3

2

10(6)

24

4.3 Còng b i thi n y c¡c anh t i B�T s³ h nh �ëng th¸ n o? Sigma - MATHS

C¡c phò thõy ra �· �¢ ch¸ bi¸n th¸ n o �º nhªn �÷ñc b i to¡n n y?Ma thuªt.�¦u ti¶n c¡c phò thõy cho h m bªc hai f(x) = x2. Nh÷ vªy trong f(x) c¡c h» sè a=1,b=0 , c=0.Chån y1 = 2, y2 = 3, y3 = 5. �º þ r¬ng y1 + y2 + y3 = 10(= x1 + x2 + x3). Thay c¡c c°p(x = xi; y = yi) l¦n l÷ñt v o B�T (5) ta nhªn �÷ñc h» B�T:( f(x)

2ay + b=) x1

2

4≥ 4

4+ (x1 − 2)

(=

f(y)

2ay + b+ (x− y)

)

x22

6≥ 9

6+ (x2 − 3)

x32

10≥ 25

10+ (x3 − 5)

Cëng hai v¸ v  �ìn gi£n hâa c¡c sè h¤ng ta thu �÷ñc k¸t qu£:

V¸ tr¡ix1

2

4+x2

2

6+x3

2

10≥ 5(v¸ ph£i = k¸t qu£)

Ph²p m u ch¸ �· thi �¢ vøa �÷ñc biºu di¹n.

4.3 Còng b i thi n y c¡c anh t i B�T s³ h nh �ëng th¸ n o?

Xin nh­c l¤i �· thi:B i thi : Cho x1 + x2 + x3 = 10. T¼m gi¡ trà cüc tiºu cõa biºu thùc :

M =x1

2

4+x2

2

6+x3

2

10(6)

Nhúng ng÷íi câ b£o bèi B�T bªc hai s³ nhanh châng �· ra nhúng ©n sè ph£i t¼m. �â l bë sè (y1; y2; y3) vîi y1 + y2 + y3 = 10(= x1 + x2 + x3), v  c¡c ch¿ sè a v  b sao cho thäam¢n h» ph÷ìng tr¼nh:

y1 + y2 + y3 = 102ay1 + b = 42ay2 + b = 62ay3 + b = 10

Th¶m c¡c �i·u ki»n : a > 0; 2ayi + b > 0(i = 1, 2, 3).V  cuèi còng l  khîp h m sè bªc hai f(x) �º t¼m c¡c gi¡ tri f(xi)(i = 1, 2, 3).

25

4.3 Còng b i thi n y c¡c anh t i B�T s³ h nh �ëng th¸ n o? Sigma - MATHS

Qua �¥y ta công th§y mët cuëc chi¸n khæng d¹ d ng �èi vîi ng÷íi gi£i m¢. ( Tæi ch¿ dòngmët v½ dö �ìn gi£n �º nâi l¶n �÷ñc nëi dung ch½nh cõa cæng vi»c b¶n ra �· v  b¶n gi£i �·).

Trong b i gi£ng cán mët ph¦n núa cho c¡c �a thùc bªc cao, hi vång s³ câ dàp �÷ñc ti¸p töc� m �¤o sau khi nghe ti¸p b i gi£ng cõa th¦y Mªu. �÷a tr¶n c¡c ch¿ d¨n ban �¦u chóngtæi công �· nghà b¤n �åc quan t¥m nhi·u hìn t½nh ùng döng cõa c¡c �ành lþ Bernoulli(b i sè 94) v  c¡c b i tªp trong möc 3.1.

Xin ch¥n th nh c¡m ìn sü quan t¥m v  nhúng þ ki¸n �âng gâp cõa b¤n �åc!

. . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗∗∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . H�T . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗∗∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26