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Conocimientoo Relacioneso Funcioneso Resolucin tringulos y rectngulos y oblicunguloso Identidades Fundamentales o Demostracin de Identi-dades

Habilidadeso Desarrolla innovaciones y propone soluciones a pro-blemas a partir de mtodos establecidos.

o Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexi-va, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

o Argumenta la solucin obtenida de un problema con mtodos numricos, grficos, analticos o variacionales, mediante lenguaje verbal, matemtico y el uso de las tec-nologas de de la informacin y la comunicacin.

Razones Trigonomtricas

Las razones trigonomtricas son relaciones que se establecen entre los lados de un tringulo rectngulo.

Estas razones varan al variar el ngulo de que se trate, es decir, que las razones son funciones del ngulo. A estas razones se les llama funciones trigonomtricas.

Debido a que un tringulo tiene tres lados, se pueden establecer seis razones, dos entre cada pareja de estos lados. Las razones trigonomtricas de un ngulo agudo en un tringulo rectngulo son las siguientes:

Seno: razn entre el cateto opuesto al ngulo y la hipotenusa.Coseno: razn entre el cateto adyacente al ngulo y la hipotenusa.Tangente: razn entre el cateto opuesto al ngulo y el cateto adyacente.Cotangente: razn entre el cateto adyacente al ngulo y el cateto opuesto.Secante: razn entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ngulo.Cosecante: razn entre la hipotenusa y el Cateto opuesto al ngulo.

En el tringulo rectngulo BAC, las funciones trigonomtricas del ngulo agudo B son:

Funciones Trigonomtricas RecprocasDos cantidades son reciprocas cuando su producto es igual a la unidad.Para un mismo ngulo agudo son funciones recprocas el seno y la cosecante, el coseno y la secante, la tangente y la cotangente. Para el ngulo agudo B de la figura anterior se tiene que:

(sen B)( csc B) = 1 (cos B)( sec B) = 1 (tan B)(cot B) = 1

de donde:

En las cuatro primeras de estas funciones trigonomtricas, se puede obtener su valor en tablas en forma directa, mientras que las dos ltimas se obtienen a partir de los valores de sus recprocas.

Relaciones trigonomtricas de ngulos complementarios

En un tringulo rectngulo los ngulos son complementarios. En el tringulo rectngulo BAC las relaciones trigonom-tricas de los ngulos agudos B y C son:

1

Como se puede observar, los valores del seno, la tangente y la secante son respectivamente iguales al coseno, cotan-gente y cosecante de su ngulo complementario, mientras que el coseno, cotangente y cosecante de un ngulo agudo son respectivamente iguales al seno, tangente y secante de su ngulo complementario.

Este hecho, de manera general, se puede expresar as:

sen 58 tiene el mismo valor que cos 32cos 58 tiene el mismo valor que sen 32tan 4030 tiene el mismo valor que cot 4930 cot 4030 tiene el mismo valor que tan 4930 sec 1530 tiene el mismo valor que csc 7430 csc 1530 tiene el mismo valor que sec 7430

ACTIVIDADResuelve los siguientes ejercicios donde expreses las funcioneS trigonomtricas SEN, COS, TAN, SEC, CSC y COT., corres-pondientes a los ngulos sealados con las letras maysculas.

A continuacin seguiremos conociendo ms de Funciones trigonomtrica y como se relacionan los valores de ngulos agudos de 30, 45 y 60.Funciones trigonomtricas con los ngulos de 30 y 60Si en un tringulo equiltero de lado igual a dos unidades, se traza la bisectriz de uno de sus ngulos al lado opuesto entonces, el tringulo equiltero queda dividido en dos tringulos rectngulos congruentes, pues la bisectriz coin-cide con la mediana yla altura.

Funciones del ngulo de 45Si en un cuadrado de lado igual a 1 se traza una diagonal, se obtienen dos tringulos rectngulos congruentes, pues la diagonal es bisectriz de los ngulos cuyos vrtices une.

Con los valores de las funciones de 30, 45 y 60 se forma la siguiente tabla:

Ejercicios.1.- Hallar el valor numrico de:a) sen 30 Cos 30 cot 60b) sen 60 cot 30 tan 45c) cot 60 tan 30 + sec2 45d) 2cot30 + sec60e) 3tan45 - 4sen30

ACTIVIDAD

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ngulo de elevacin y ngulo de depresinSe llama lnea de visin a la recta imaginaria que une el ojo de un observador con el lugar observado. Llamamos ngulo de eleva-cin al que forman la horizontal del observador y el lugar observado cuando ste est situado arriba del observador. Cuando el observador est ms alto lo llamaremos ngulo de depresin.

Sugerencia para resolver problemas.En la resolucin de problemas en que intervienen tringulos rectngulos y oblicungulos, siempre se debe trazar una figura que aunque no est a escala seale la posicin y las relaciones que haya entre los segmentos y ngulos conocidos y los que se piden como solucin. Adems, se pueden dibujar lneas auxiliares que ayuden a establecer las relaciones

Ejemplo 1:Se quiere construir una autopista de manera que cada 300 m se eleve 85 m, calcular el ngulo de elevacin y la longitud de la carretera en ese tramo.

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ACTIVIDAD1. Resolver el tringulo rectngulo ABC si a = 32.45 mts y

Resolucin de tringulos oblicungulos.Ley de senos.En todo tringulo los lados son proporcionales a los senos de los ngulos opuestos, es decir

Ley de cosenos.En todo tringulo, el cuadrado de un lado cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de estos lados por el coseno del ngulo comprendido, es decir

a2 = b2 + c2 - 2bc cos A b2=a2 + c2 - 2ac cos B c2=a2 + b2 - 2ab cos C

Aplicando la Ley de Senos y la Ley de Coseno en la resolucin de tringulosPrimer caso: Cuando se conocen un lado y dos ngulosEjemplo:Resolver el tringulo oblicungulo ABC sia = 22 m < A = 35 < B = 65

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Segundo caso: Cuando se conocen dos lados y el ngulo opuesto a uno de ellos.

Ejemplo: Resolver el tringulo oblicungulo ABC, siA = 48, a = 21, b = 26

Tercer caso: Cuando se conocen dos lados y el ngulo comprendido entre ellos

Ejemplo: Resolver el tringulo oblicungulo ABC si a = 125 m. b = 230 m , < C = 3510

Cuarto caso: cuando se conocen los tres lados.Ejemplo:Resolver el tringulo oblicungulo ABC , si a = 36 m , b = 48 m y c = 30 m.

Ejemplo para resolver un problema.

En una feria dos alumnos deciden determinar la altura a que se encuentra un globo sujeto al piso por una cuerda, y para el efecto uno se separa 1.5 km y el otro 2 km de la cuerda y miden los ngulos de elevacin de 55 y de 48, respectivamente. Cul es la altura en que se encuentra el globo?

1.- Analiza las siguientes figuras, anota los datos conocidos y las incgnitas de cada una de ellas, resuelve con la ley de seno o coseno segn sea el caso.

ProblemaUna empresa dedicada a la publicidad ha iniciado una campaa para la introduccin de una marca de refresco embotellado. Para ello, emprende un viaje de promocin en un globo aerosttico entre un pueblo y una playa muy concurrida, situada a 18 Km. de distancia. A los 25 minutos de iniciado el vuelo en globo, el conductor determina los ngulos de depresin. Hacia la playa un ngulo de 56 y hacia el pueblo un ngulo de 82. Calcular a que distancia se encuentra de la playa.Se plantean soluciones posibles, hasta que, despus de reflexionar sobre la situacin, hay que hacer una ilustracin del problema.

ACTIVIDAD

Como calcular la altura de la torre que est contaminando el ambiente, si nos situamos a 21 m de la base de la imagen. Observado la torre con un ngulo de elevacin de 75.

21 m 75

Lee cuidadosamente cada uno de los siguientes ejercicios- problemas y resulvelos aplicando las funciones trigonomtricas, el teorema de Pitgoras, Ley de Senos y Ley de Cosenos para la resolucin de tringulos rectngulos, de acuerdo a los datos que te indiquen en cada planteamiento.

1.- Resuelve los siguientes ejercicios donde expreses las funciones trigonomtricas SEN, COS, TAN, SEC, CSC y COT., correspondientes a los ngu-los sealados con las letras maysculas

2.- Hallar el valor numrico de:a) sen 60 cos 45 cot 60 = b) cos 60 csc 30 + sec2 45 =c) 2cot30 + sen60 = d) tan45 + cot45 = ________________________________________________________

csc603.- Una escalera alcanza el borde de una ventana que est a 7.8 m del suelo y forma con la pared un ngulo de 28. Hallar la medida de la escalera.

4.- Desde un avin que est a 180 m sobre el centro de una ciudad, el ngulo de depresin a otra poblacin es de 22. Hallar la distancia entre las dos poblaciones.

5.- Calcular la altura de un torre si desde un punto situado a un kilmetro de la base se ve la cspide con un ngulo de elevacin de 1642.

6.- Desde lo alto de un acantilado de 50 m sobre el nivel del agua, el ngulo de depresin en que se localiza un barco es de 35, a qu distancia del acantilado se encuentra el barco?.

7.- Una persona cuya altura es de 1.78 m proyecta una sombra de 3.5 m. Calcula el ngulo de elevacin del sol.

8.- Al pie de una montaa en un lugar accesible, se observa su cima. A la izquierda forma un ngulo de elevacin de 72. Se traza Una lnea ho-rizontal de 2560 metros hacia la derecha donde se forma otro ngulo de elevacin de 70. Calcular la altura de la montaa.

9.- Dos aviones parten al mismo tiempo desde un aerdromo siguiendo direcciones que forman entre s un ngulo de 35. Uno de los aviones se desplaza a una velocidad de 650 km/h y el otro a 450 km/h. A qu distancia se encuentran los aviones transcurridos 90 minutos.

10.- El lado mayor de un terreno triangular mide 1700 m, los otros dos lados forman ngulos de 56 y 7110, respectivamente, con ese lado. Clcula el rea del terreno.

11.- Para calcular la altura de una montaa se han realizado una serie de mediciones de tal manera que:a) El ngulo ACB mide 60o; b) El ngulo ACD mide 65o; c) El ngulo ADC mide 80o; d) El lado cd mide 250m.Calcular la altura de la montaa.

12.- Los tres lados que limitan un terreno miden 315m, 480m, y 500m. Calcular los ngulos que forman dichos lados.

13.- El dueo del rancho, quiere instalar la energa elctrica en su casa y el granero. De su casa al granero hay una distancia de 50 metros. Del transformador de energa al granero se forma un ngulo de 30 y de la casa al granero se forma un ngulo de 72. Para comprar el cable, necesita saber cul es la distancia del transformador de energa a la casa y al granero. Aydalo a encontrar la distancia.

14.- Dos personas de frente y a 2500m una de otra en el mismo nivel horizontal, observan un avin con ngulos de elevacin de 5010 y 6540. Hallar la altura del avin.

15.- Marta y Rafael caminan por la avenida separados 100 m. Marta ve la esquina izquierda de la azotea de un edificio con un ngulo de eleva-cin de 30, y Rafael lo hace con un ngulo de 60o. Halla su altura.

RAZONES TRIGONOMETRICAS (II)

Calcular a, ,

Dado el siguiente Tringulo, encontrar todas las Funciones Trigonomtricas en cada caso que se requiera, o las que hacen falta.

ACTIVIDADFunciones Trigonometricas

c) Tan A = 2

CIRCULO UNITARIORazones Trigonimetricas II

Leyes de los senos y de los cosenos

Utilizaremos letras maysculas como A, B y C, para representar a los ngulos de un tringulo, y letras minsculas a, b y c, para representar los lados opuestos correspondientes.

Si ABC es un tringulo con lados a, b y c, entonces:

La ley de los senos tambin se puede escribir en su forma Recproca:

Aplicaciones:

Ejemplo 1(resolucin de tringulos). Para el tringulo de la figura, C=102.3, B=28.7 y b=27.4 metros. Encontrar los ngulos y lados restantes.

Solucin:

El tercer ngulo del tringulo es A = 180 - B - C = 49Por la ley de los senos tenemos que:

*Nota: No todos los problemas de resolucin de tringulos se pueden resolver con la ley de los senos. A veces, por los datos que te dan, slo la ley de los cosenos lo puede resolver.

Ley de los cosenos

En un tringulo de ngulos A, B, C y lados a, b, c, se cumplen las siguientes relaciones:

Observe que si A=90, entonces a es la hipotenusa de un tringulo rectngulo y de la primera relacin se obtiene que:

Entonces el Teorema de Pitgoras es un caso especial de la ley de los cosenos.

Ejemplo . Encontrar los tres ngulos de un tringulo cuyos lados son a= 8 mts., b = 19 mts., c=14 mts.

Solucin.:

Ejercicios

LEY DE SENOS

Encuentre las partes restantes de cada uno de los tringulos. No se te olvide parar y razonar para saber si hay un tringulo, ninguno o dos tringulos.

1) 20, 80 y c = 7

2) 40, 76 y a = 10

3) 49 40 , 6020 y c = 540

4) 60, a = 15 y b = 10

5) 112, a = 7 y b = 18

LEY DE COSENOS

Resolver el tringulo cuyos datos son:

a = 34, b = 40, c = 28.

Resolver el triangulo cuyos datos son:

A = 68 18; b = 6; c = 10.

1. Resolver el tringulo ABC tal que a=4.5 cm., B=30 y C= 78.

2. Resolver un tringulo sabiendo que a=4.5 cm. B=35 y b=10 cm.

3. Resolver el tringulo ABC con a=2.3 m., b=160 cm. y c= 4 m.

4. Resolver el tringulo a=3 m., b=5 m. y C= 80.

5. Las diagonales de un paralelogramo miden 5 y 6 cm., respectivamente y se cortan bajo un ngulo de 50. Hallar el permetro del paralelo-gramo.

6. Desde un punto se observan unos chopos con un ngulo de 36, si avanzamos hacia ellos en lnea recta y los volvemos a observar el ngulo es de 50. Qu altura tienen los chopos?

7. Tres puntos A, B y C estn unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB es de 6 Km., la BC es 9 Km. y el ngulo que forman AB y BC es de 120. Cunto distan A y C?.

8. Un carpintero debe hacer una mesa triangular de tal forma que un lado mida 2 m, otro 1.5 m y el ngulo opuesto al primer lado debe ser 40. Lo conseguir? ___ Explica

9. Dos personas caminan por un sendero, pero en un punto se bifurca formando un ngulo de 38 y cada uno va por su lado, uno camina a 3 km/h y el otro a 3.5 km/h, a qu distancia se encuentran al cabo de media hora?

10. Desde los puntos A y B de una misma orilla de un ro y separados entre si 12 m., se observan el pie P y la copa C de un pino, situado en la orilla opuesta. Calcular la altura del pino, sabiendo que los ngulos miden PAB=42, PBA=37 y PAC=50 11. Un aeroplano vuela a 170 km/s hacia el nordeste, en una direccin que forma un ngulo de 52 con la direccin este. El viento est soplando a 30 km/h en la direccin noroeste, formando un ngulo de 20 con la direccin norte. Cul es la velocidad con respecto a tierra real del aeroplano y cul es el ngulo A entre la ruta real del aeroplano y la direccin este?

12. El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ngulo que formarn las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.

13. Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ngulo que forman es de 48 15. Calcular los lados.

14. De un tringulo sabemos que: a = 6 m, B = 45 y C = 105. Determina los restantes elementos.

15. Los lados de un tringulo son proporcionales a los senos de los ngulos opuestos. Demuestra la relacin siguiente.

16. En base al teorema anterior, hallar el radio del crculo circunscrito en un tringulo, donde A = 45, B = 72 y a=20m.