matemáticas 2 trigonometria

MATEMÁTICAS 2 -TRIGONOMETRÍA-

Francisco Summell

A Paco y Ángel: Estelas de luz.

Introducción Una de las llaves maestras para acceder a todo el conocimiento humano es la matemática. Con ella, desde tiempos inmemorables, se describe el mundo y el universo, pues stá en todas partes, en la construcción de un puente o un palacio; en las notas musicales, en la pintura y en los pétalos de una flor; en los espacios y sus distancias, en las armas, en la velocidad de la luz y el átomo; en todo aquello que se puede medir, contar o trazar. El presente libro intenta mostrar al alumno que la trigonometría no es difícil o complicada, pues para conocerla es necesario acercarse a sus conceptos y principios básicos; para ello el curso está dividido en cinco unidades fundamentales: La ecuación de segundo grado; los conceptos básicos de la trigonometría; las funciones trigonométricas; la resolución de triángulos rectángulos y las identidades trigonométricas. En la primera unidad se continúa con el estudio del álgebra; en ella se exponen los métodos para resolver una ecuación de segundo grado. La segunda unidad se dedica al estudio de los conceptos y definiciones básicas de la trigonometría; mientras que en la tercera, se definen y determinan las funciones trigonométricas, además de graficar las funciones seno y coseno. En la unidad cuatro se aplican la ley de los senos y la ley de los cosenos en la resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos. La unidad cinco se dedica al estudio de las identidades trigonométricas. La obra conserva en todo momento el rigor matemático, aunque no se realizan en ella demostraciones matemáticas o se plantean problemas de aplicación específica, pues la intención en todo momento es permitir al alumno familiarizarse con la materia y ser autodidacta, ya que explica detalladamente los procesos matemáticos que debe realizar para resolver un problema o aplicar un método matemático. Al asesor de la materia le marca el ritmo que éste debe seguir en la asesoría al dosificarle ésta. Se recomienda a los asesores proponer a los alumnos resolver todos los ejercicios, pues ello les permitirá dominar los contenidos. También se les hace hincapié en no exagerar en la ejemplificación de problemas o ejercicios, pues quien tiene que “trabajar” es el alumno.

Finalmente, diremos que el libro se apega al programa de Bachillerato General No Escolarizado (Abierto y a Distancia) en su totalidad.

El autor

DIAGRAMA DE OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL CONOCER LOS CONCEPTOS Y PRINCIPIOS

BÁSICOS QUE FUNDAMENTAN A LA TRIGONOMETRÍA

CAPÍTULO 1 LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

OBJETIVO: SOLUCIONAR ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO APLICANDO CUALQUIERA DE LOS MÉTODOS: FACTORIZACIÓN, COMPLETAR CUADRADOS O FÓRMULA GENERAL

CAPÍTULO 2 CONCEPTOS BASICOS DE LA TRIGONOMETRÍA OBJETIVO: APLICAR LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TRIGONOMETRÍA PARA TRAZAR ÁNGULOS Y CONVERTIR GRADOS A RADIANES Y VICEVERSA

CAPÍTULO 3 FUNCIONES

TRIGONOMETRICAS OBJETIVO: DETERMINAR LA FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y GRAFICAR LAS FUNCIONES SENO Y COSENO

CAPÍTULO 4 RESOLUCIÓN DE

TRIÁNGULOS OBJETIVO: APLICAR LAS LEYES DE LOS SENOS Y COSENOS EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS RELACIONADOS CON TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y OBLICUÁNGULOS

UNIDAD 5

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

OBJETIVO: APLICAR Y MANEJAR LAS DIFERENTES IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS EN LA VERIFICACIÓN DE IDENTIDADES O EN LA REDUCCIÓN DE EXPRESIONES TRIGONOMÉTRICAS

DIAGRAMA DE CONTENIDO

UNIDAD 1 LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

MÉTODO DE

FACTORIZACIÓN

MÉTODO DE

COMPLETAR CUADRADOS

FORMULA GENERAL

UNIDAD 2 CONCEPTOS

BASICOS DE LA TRIGONOMETRÍA

FUNCIÓN

ANGULOS Y

GRADOS

RADIANES

UNIDAD 3 FUNCIONES

TRIGONOMETRICAS

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

DETERMINACION DE FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS


INVERSAS

GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES SENO

Y COSENO

UNIDAD 4 RESOLUCIÓN DE

TRIÁNGULOS

LEY DE LOS SENOS

LEY DE LOS COSENOS

UNIDAD 5 IDENTIDADES

TRIGONOMÉTRICAS

CONTENIDO Introducción UNIDAD 1. LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO 1. Ecuación de segundo grado: Método de factorización 2. Ecuación de segundo grado: Método de completar cuadrados 3. Ecuación de segundo grado: Fórmula general 4. Aplicaciones de la ecuación de segundo grado UNIDAD 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TRIGONOMETRÍA 5. Ángulos y grados 6. Radianes 7. Función UNIDAD 3. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 8. Las funciones trigonométricas 9. Determinación de las funciones trigonométricas 10. Gráfica de la función seno 11. Gráfica de la función coseno 12. Funciones trigonométricas inversas UNIDAD 4. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 13. Resolución de un triángulo rectángulo 14. Ley de los senos 15. Ley de los cosenos UNIDAD 5. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 16. Las identidades trigonométricas 17. Reducción de expresiones trigonométricas

18. Funciones trigonométricas de dos ángulos: Fórmulas para la suma 19. funciones trigonométricas de dos ángulos: Fórmulas para la diferencia

UNIDAD 1 LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

UNIDAD 1. LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Objetivos del capítulo Al terminar la presente unidad, el alumno:

Resolverá ecuaciones de segundo por factorización, por el método de completar cuadrados y por fórmula general.

Aplicará las ecuaciones de segundo grado en la solución de problemas

1. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO: MÉTODO DE FACTORIZACIÓN

Una ecuación del tipo ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son constantes, se denomina ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado en la variable x

Existen tres métodos para resolver una ecuación de este tipo: factorizando, completando el cuadrado y usando la fórmula general. Pasos para resolver una ecuación de segundo grado por factorización

1. Extraer la raíz cuadrada del término cuadrático del trinomio. 2. El primer elemento del primero y segundo factores será dicha raíz

cuadrada, después de la cual se escribe el signo del segundo término en el primer factor y en el segundo factor el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término por el signo del tercer término.

3. a) Si los factores binomios tienen en el medio los signos iguales se buscan dos números cuyo producto sea el coeficiente del tercer término y cuya suma sea el coeficiente del segundo término. b) Si los factores binomios tienen en el medio signo diferente se buscan dos números cuyo producto sea el coeficiente del tercer término y cuya diferencia sea el coeficiente del segundo término. Los números obtenidos en cualquiera de los dos casos son los segundos elementos de los factores binomios. El número mayor corresponde al primer factor binomio y el número menor al segundo factor binomio. El producto obtenido se iguala a cero.

4. Se igualan a cero los factores binomios obtenidos y se despeja x. Ejemplos

1. Resolver la ecuación x2 + 5x + 6 = 0 por factorización

Solución 1. Extraer la raíz cuadrada del término cuadrático del trinomio

xx 2

2. El primer elemento del primero y segundo factores será dicha raíz cuadrada, después de la cual se escribe el signo del segundo término en el primer factor y en el segundo factor el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término por el signo del tercer término. (x + )*(x + )

3. Si los factores binomios tienen en el medio los signos iguales se buscan dos números cuyo producto sea el coeficiente del tercer término y cuya suma sea el coeficiente del segundo término. Los números obtenidos son los segundos elementos de los factores binomios. El número mayor corresponde al primer factor binomio y el número menor al segundo factor binomio. El producto obtenido se iguala a cero. 3*2 = 6 3 + 2 = 5 (x + 3 )*(x + 2 ) = 0 4. Se igualan a cero los factores binomios y se despeja x. x + 3 = 0 ó x + 2 = 0 x = -3 ó x = -2

2. Resolver la ecuación x2 + 7x - 18 = 0 por factorización

Solución 1. Extraer la raíz cuadrada del término cuadrático del trinomio

xx 2

2. El primer elemento del primero y segundo factores será dicha raíz cuadrada, después de la cual se escribe el signo del segundo término en el primer factor y en el segundo factor el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término por el signo del tercer término. (x + )*(x - ) 3. Si los factores binomios tienen en el medio signo diferente se buscan dos números cuyo producto sea el coeficiente del tercer término y cuya diferencia sea el coeficiente del segundo término. Los números obtenidos son los segundos elementos de los factores binomios. El número mayor corresponde al primer factor binomio y el número menor al segundo factor binomio. El producto obtenido se iguala a cero 9*2 = 18 9 – 2 = 7 (x + 9 )*(x - 2 ) = 0 4. Se igualan a cero los factores binomios y se despeja x.

x + 9 = 0 ó x – 2 = 0 x = -9 ó x = 2 Caso especial (Cuando el término cuadrático tiene coeficiente distinto de 1) 1. Multiplicar el coeficiente del término cuadrático por toda la ecuación, cuidando que la multiplicación de dicho coeficiente por el coeficiente del término lineal quede indicada, pues la suma o la diferencia de los dos números que se buscan es precisamente el coeficiente del término lineal de la ecuación original. 2. Se aplican todos los pasos estudiados anteriormente Ejemplos

3. Resolver la ecuación 2x2 + 7x - 4 = 0 por factorización

Solución 2x2 + 7x - 4 = 0 2(2x2 + 7x - 4 = 0) 4x2 + 2(7x) – 8 = 0 (2x + 8)(2x - 1) = 0 2x + 8 = 0 ó 2x – 1 = 0 2x = -8 ó 2x = 1

x = 42

8

ó x =

2

1

4. Resolver la ecuación 3x2 - 7x - 6 = 0 por factorización

Solución 3x2 - 7x - 6 = 0 3(3x2 - 7x - 6 = 0) 9x2 -3(7x) – 18 = 0 (3x – 9)(3x + 2) = 0

3x – 9 = 0 ó 3x + 2 = 0 3x = 9 ó 3x = -2 x = 3 ó x = -2/3 Ejercicios 1. 12x2 – 25x + 12 = 0 2. x2 + x – 12 = 0 3. 5x2 + 13x – 6 = 0 4. x2 – 7x +10 = 0 5. 2x2 + 12x + 16 = 0 6. x2 + 7x + 6 = 0 7. 9x2 – 3x – 2 = 0 8. x2 – x -12 = 0 9. 6x2 – 2x – 4 = 0 10. x2 + 10x + 16 = 0 11. 3x2 + 27x + 8 = 0 12. x2 + 7x +12 = 0 13. 16x2 – 34x – 15 = 0 14. x2 + 13x + 40 = 0 15. 8x2 + 26x – 24 = 0 16. x2 – 11x + 24 = 0 17. 4x2 – 4x – 15 = 0 18. x2 + 15x + 44 = 0 19. 6x2 – 4x – 10 = 0

2. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO: MÉTODO DE COMPLETAR CUADRADOS Para resolver una ecuación de segundo grado por el método de completar cuadrados se deben seguir los siguientes pasos: 1. Pase el término numérico del lado derecho de la ecuación 2. Obtenga la mitad del coeficiente del término lineal y el resultado elévelo al cuadrado 3. Sume dicho cuadrado a ambos lados de la ecuación obtenida en el paso 1 4. Factorice el trinomio perfecto que se obtuvo del lado izquierdo de la ecuación 5. Despeje x Ejemplos

1. Resuelva la ecuación 0322 xx por el método de completar

cuadrados

Solución

0322 xx 1. Pase el término numérico del lado derecho de la ecuación

322 xx 2. Obtenga la mitad del coeficiente del término lineal y el resultado elévelo al cuadrado

1112

22*

2

1 2

3. Sume dicho cuadrado a ambos lados de la ecuación obtenida en el paso 1

222 1312 xx

412 22 xx 4. Factorice el trinomio perfecto que se obtuvo del lado izquierdo de la ecuación

4)1( 2 x

5. Despeje x

4)1( 2 x

241 x

21x x = 1 ó -3

2. Resuelva la ecuación 02832 xx por el método de completar

cuadrados

Solución

02832 xx 1. Pase el término numérico del lado derecho de la ecuación

2832 xx 2. Obtenga la mitad del coeficiente del término lineal y el resultado elévelo al cuadrado

4

9

2

3

2

33*

2

12


4

928

2

33

2

2

xx

4

121

2

33

2

2

xx

4. Factorice el trinomio perfecto que se obtuvo del lado izquierdo de la ecuación

4

121

2

32

x

5. Despeje x

4

121

2

32

x

2

11

4

121

2

3x

2

11

2

3x

x = 7 ó -4

3. Resuelva la ecuación 3x2 – 8x + 4 = 0 por el método de completar cuadrados

Solución

0483 2 xx

1. Divida toda la ecuación por el coeficiente del término cuadrático

3

0483 2 xx

03

4

3

82 xx

2. Pase el término numérico del lado derecho de la ecuación

3

4

3

82 xx

3. Obtenga la mitad del coeficiente del término lineal y el resultado elévelo al cuadrado

9

16

3

4

3

4

6

8

2

3

82


9

16

3

4

3

4

3

82

2

xx

9

4

3

4

3

82

2

xx


9

4

3

42

x

6. Despeje x

3

2

9

4

3

4x

3

2

3

4x

x = 2 ó x = 3

2

4. Resuelva la ecuación 4x2 +x - 3 = 0 por el método de completar cuadrados

Solución

034 2 xx 1. Divida toda la ecuación por el coeficiente del término cuadrático

4

034 2 xx

04

3

4

12 xx

2. Pase el término numérico del lado derecho de la ecuación

4

3

4

12 xx

3. Obtenga la mitad del coeficiente del término lineal y el resultado elévelo al cuadrado

64

1

8

1

8

1

2

4

12


64

1

4

3

8

1

4

12

2

xx

64

49

8

1

4

12

2

xx


64

49

8

12

x

6. Despeje x

8

7

64

49

8

1x

8

7

8

1x

x = -1 ó x = 4

3

8

6

Ejercicios 1. x2 -4x – 5 = 0 2. x2 + 4x – 32 = 0 3. x2 +6x + 9 = 0 4. x2 -2x -15 = 0 5. 3x2 – 9x + 4 = 0

6. 4x2 +28x – 32 = 0 7. 5x2 – 10x - 15 = 0 8. 2x2 –14x + 12 = 0 9. 3x2 + 6x – 6 = 0 10. 7x2 – 30x + 2 = 0 11. 3x2 + 27x + 8 = 0 12. 2x2 + 17x +12 = 0 13. 16x2 – 34x – 15 = 0 14.3 x2 + 33x + 40 = 0 15. 8x2 + 26x – 24 = 0 16. 4x2 – 21x + 24 = 0 17. 4x2 – 4x – 15 = 0 18.2x2 + 25x + 44 = 0 19. 6x2 – 4x – 10 = 0

3. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO: FÓRMULA GENERAL Considere la ecuación general de segundo grado ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son diferentes de cero; entonces aplicando a dicha ecuación el método de completar cuadrados, se tiene:

02 cbxax

a

cbxax 02

02 a

cx

a

bx

a

cx

a

bx 2

2

22

4222 a

b

a

b

a

ba

b

2

22

2

42 a

b

a

c

a

bx

a

bx

2

22

4

4

2 a

acb

a

bx

2

2

4

4

2 a

acb

a

bx

a

acb

a

bx

2

4

2

2

a

acb

a

bx

2

4

2

2

a

acbbx

2

42

El resultado obtenido se conoce como fórmula general de la ecuación de segundo grado.

Ejemplos

1. Resuelva la ecuación x2 -2x - 15 = 0 por la fórmula general

Solución Para solucionar la ecuación se deben determinar los coeficientes a, b y c, los cuales son a = 1 (coeficiente del término cuadrático); b = -2 (coeficiente del término lineal) y c = -15 (término numérico). Sustituyendo los valores obtenidos en la fórmula general, se tiene:

2

82

2

642

2

6042

)1(2

)15)(1(4)2()2(

2

422

a

acbbx

x = 5 ó x = -3

2. Resuelva la ecuación 3x2 -5x + 2 = 0 por la fórmula general

Solución Para solucionar la ecuación se deben determinar los coeficientes a, b y c, los cuales son a = 3 (coeficiente del término cuadrático); b = -5 (coeficiente del término lineal) y c = 2 (término numérico). Sustituyendo los valores obtenidos en la fórmula general, se tiene

6

15

6

24255

)3(2

)2)(3(4)5()5(

2

422

a

acbbx

x = 1 ó x = 4/6 = 2/3

2. Resuelva la ecuación 5x2 + 7x - 90 = 0 por la fórmula general

Solución Para solucionar la ecuación se deben determinar los coeficientes a, b y c, los cuales son a = 5 (coeficiente del término cuadrático); b = 7 (coeficiente del término lineal) y c = -90 (término numérico). Sustituyendo los valores obtenidos en la fórmula general, se tiene

10

437

10

18497

10

1800497

)5(2

)90)(5(4)7(7

2

422

a

acbbx

x = 36/10 =18/5 ó x = -5 Ejercicios 1. 7x2 – 30x + 4 = 0 2. 3x2 + 27x + 7 = 0 3. 2x2 + 17x +15 = 0 4. 16x2 – 44x – 15 = 0 5.3 x2 + 33x + 30 = 0 6. 8x2 + 26x – 12 = 0 7. 4x2 – 21x + 24 = 0 8. 4x2 – 4x – 10 = 0 9.2x2 + 25x + 24 = 0 10. 6x2 – 4x – 8 = 0

4. APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

1. Represente las cantidades desconocidas en términos de “x”. 2. Traduzca el lenguaje verbal aritmético en algebraico. El resultado debe ser una ecuación de segundo grado. 3. Resuelva la ecuación de segundo grado por cualquiera de los métodos estudiados. 4. Se acepta como solución del problema el valor que satisfaga las condiciones del problema y se rechaza el que no las cumpla Ejemplo

1. La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados 53. Hallar los números

Solución

1. Las variables se encuentran a partir de la oración “halle los números”. En este caso, las variables son los números; los cuales se deben sustituir por expresiones algebraicas en términos de “x”, es decir Primer número = x Se obtuvo de la condición: Segundo número = 9 –x La suma de dos números es 9

2. Traduzca el lenguaje verbal aritmético en algebraico. El resultado debe ser una ecuación de segundo grado. “La suma de sus cuadrados es 53”

x2 + (9 - x)2 = 53 Simplificando X2 + 81 – 18x + x2 = 53 2x2 -18x + 81 – 53 = 0 2x2 -18x + 28 = 0 x2 – 9x + 14 = 0

3. Resuelva la ecuación de segundo grado por cualquiera de los métodos estudiados. En este caso se aplicará la fórmula general. Así a = 1, b = -9 y c = 14

2

59

2

259

2

56819

)1(2

)14)(1(4)9()9(

2

422

a

acbbx

x = 7 ó x = 2

2. La diferencia de dos números es 7 y su suma multiplicada por el número menor equivale a 184. Hallar los números

Solución 1. Las variables se encuentran a partir de la oración “hallar los números”. En este caso, las variables son los números; los cuales se deben sustituir por expresiones algebraicas en términos de “x”, es decir Número mayor = x Se obtuvo de la condición Número menor = x – 7 La diferencia de dos números es 7 2. Traduzca el lenguaje verbal aritmético en algebraico. El resultado debe ser una ecuación de segundo grado. “Su suma multiplicada por el número menor equivale a 184”

Aquí la expresión “su suma” se refiere a la suma del número mayor y número menor, es decir x + x – 7; así, la ecuación es (x + x – 7)(x – 7) = 184 (2x – 7)(x – 7) = 184 2x2 – 14x – 7x + 49 = 184 2x2 – 21x + 49 = 184 2x2 – 21x – 135 = 0 3. Resuelva la ecuación de segundo grado por cualquiera de los métodos estudiados. En este caso por factorización. Multiplicando por el coeficiente del término cuadrático toda la ecuación, se tiene que: 2(2x2 – 21x – 135 = 0) 4x2 – 2(21x) – 270 = 0 (2x – 30)(2x + 9) = 0

2x – 30 = 0 ó 2x + 9 = 0 2x = 30 ó 2x = -9 x = 30/2 ó x = -9/2 x = 15 ó x = -9/2 y seleccionando como solución al número 15 por satisfacer las condiciones del problema; por lo tanto: El número mayor es 15 y el número menor es 8.

3. Una caja sin tapa se fabricará a partir de una hoja rectangular de hoja de lata cortando cuadrados de 4 cm de cada esquina y doblando los lados hacia arriba. Si el ancho de la caja es de 3 cm menos que el largo y la caja contiene 280 cm3, encuentre las dimensiones de la hoja de lata.

Solución 1. Las variables del problema son: Ancho de la caja = x

Largo de la caja = x + 3 Altura = 4

2. Traduzca el lenguaje verbal aritmético en algebraico. El resultado debe ser una ecuación de segundo grado. Como se trata de la “construcción” de una caja, ésta tiene volumen, por lo tanto 4(x + 3)(x) = 280 4x(x + 3) = 280 4x2 + 12x – 280 = 0 x2 + 3x – 70 = 0 3. Resuelva la ecuación de segundo grado por cualquiera de los métodos estudiados. En este caso por factorización. (x + 10)(x – 7) = 0 x + 10 = 0 ó x – 7 = 0

x = -10 ó x = 7 Como la longitud del cuerpo no puede ser negativa, se acepta como solución a x = 7. Por lo tanto, las dimensiones de la lata antes de que se les corten las esquinas son: x + 8 y (x + 3) + 8. Por lo tanto, las dimensiones son: 15 y 18 cm. Ejercicios

1. La longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es 13 centímetros. Determine los otros dos lados del triángulo si su suma es de 17 centímetros.

2. El perímetro de un rectángulo es de 24 cm y su área de 32 cm2. Encuentre las longitudes de sus lados.

3. La suma de las edades de dos personas es de 23 años y su producto es 102. Hallar ambas edades.

4. Una compañía de 180 hombres está dispuesta en filas. El número de soldados de cada fila es de 8 más que el número de filas que hay. ¿Cuántas filas hay y cuántos soldados en cada una?

5. La suma de los cuadrados de dos números es igual a 157. El menor de ellos es igual a 6. ¿Cuál es el mayor?

6. Encuentra el número que sumado a 5 veces su raíz cuadrada es igual a 14. 7. La suma de dos números es 21 y la suma de sus cuadrados es 221.

Encuentre dichos números. 8. Si al cuádruplo del cuadrado de un número se le suman dos unidades el

resultado es igual a nueve veces el número. Calcular ese número. 9. Calcular la base y la altura de un triángulo de 864m2 sabiendo que la base

es el triple de la altura. 10. Si al cuadrado de un número se agrega el quíntuplo de dicho número, se

obtiene 36. Halle el número. 11. El área de un campo rectangular es 216 m2, y su perímetro es de 60m.

Calcúlense sus dimensiones. 12. Hallar dos números que den 320 por producto, tales que el producto del

mayor por la diferencia entre los dos sea 704.

UNIDAD 2 CONCEPTOS BÁSICOS

DE LA TRIGONOMETRÍA

UNIDAD 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TRIGONOMETRÍA


Trazará ángulos positivos, negativos, coterminales y en posición normal

Convertirá la medida de un ángulo de grados a radianes y viceversa

Hallará las funciones trigonométricas dado un punto cualquiera en el plano

5 ÁNGULOS Y GRADOS

Un ángulo1 es la figura engendrada por la rotación de una semirrecta2 alrededor de su

extremo, desde una posición inicial (lado inicial) hasta una posición final (lado terminal).

La amplitud de la rotación es la medida del ángulo y vértice es el extremo de la

semirrecta. Generalmente, se simboliza con una letra griega (α, β, γ, etc.)

Un ángulo es positivo si la rotación del lado terminal es en sentido contrario a las manecillas del reloj3; si la rotación del lado terminal es en sentido de las manecillas del reloj4 el ángulo es negativo. Un ángulo es dirigido si se le ha asignado un sentido5.

1 En general, siempre que se habla de ángulo se habla de la medida del ángulo; por ejemplo ángulo de 90°. 2 3 Levógiro 4 Dextrógiro 5 Se refiere a ser positivo o negativo

Lado terminal

Vértice α

Lado inicial

Ángulo positivo Ángulo negativo

Se llaman ángulos coterminales los que tienen el mismo lado inicial y terminal.

Un ángulo está en posición normal si su vértice está en el origen y su lado inicial coincide con el lado positivo del eje x. E lado terminal del ángulo se llama radio vector y de representa con la letra r. Este siempre es mayor que cero (r>0).

α

β

α y β son ángulos coterminales

y

α

β

x

El ángulo α y β son ángulos en posición normal,

positivo y negativo respectivamente

La medida de un ángulo puede hacerse en grados o radianes. Un grado es la

360

1 parte de una circunferencia. Un grado puede ser dividido en 60 partes

iguales llamadas minutos y un minuto puede ser dividido en 60 partes iguales llamadas segundos. La simbología para los grados, minutos y segundos es °, ' y '' respectivamente.

Dibuje un ángulo de -60°, 90° y 330° en posición normal.

Solución

y y

β = - 60 ° x α = 90°

y

δ = 330°

x

Ejercicios 1. Dibuje tres parejas de ángulos coterminales en posición normal. 2. Dibuje en posición normal y sentido negativo los siguientes ángulos 45°, 210°, 450°, 720°, 130° y 340° 3. Dibuje en posición normal y en sentido positivo los ángulos propuestos en el ejercicio 2. 4. Trace en posición normal, los ángulos cuyos lados terminales pasan por los puntos:

a) (4, -3) b) (5,8) c) (-3, -4) d) (-1, 7)

6. RADIANES

Un radián es la medida de un ángulo con vértice en el centro de un círculo y cuyos lados interceptan un arco de la circunferencia de longitud igual al radio

B

C A

α = 1 radián

Por geometría se sabe que AB

ABC

AOB

AOC

; donde

rryABABCradiánAOBAOC ,1,180 . Así:

r

r

radián

1

180

π radianes = 180°. Si se considera que π = 3.14 entonces

1 radián =

180 = 57.3° y 1° =

180

= 0.0175rad

Ejemplos

1. Exprese en radianes los siguientes ángulos a) 40° y b) 75°

Solución

a) 40° = 40 (1°) = 40 (0.0175rad) = 0.7rad b) 75° = 75 (1° ) = 75 (0.0i75rad) = 1.3125rad

r r

α

o

2. Exprese en grados los siguientes ángulos

a) 5

4 y b) 3.6 rad6

Solución

a) 5

4 = 180

5

4 =

5

720 = 144°

b) 3.6 rad = 3.6 (1 rad) = 3.6 (57.3°) = 206.28° Ejercicios

1. Convierta las medidas dadas en grados a radianes a) 270° b) 625° c) 340° d) 234° e) 23° f) 1540° g) 451°

2. Convierta las medidas dadas en radianes a grados

a) 8

7

b) 5

3

c) 3

2

d) 7.45rad e) 847 rad

6 Generalmente se omite la expresión rad; es decir, 40 rad = 40

7. FUNCIÓN Una función consta de tres partes:

a) Dominio, que es el conjunto7 donde se define la función (los valores u objetos se representan con la letra x)

b) Recorrido8, donde cada elemento de este conjunto es la imagen de

cuando menos un elemento del dominio (no pueden existir dos imágenes para un elemento del dominio. Los valores u objetos se representan con la letra y o f(x)).

c) Una regla de correspondencia, la cual asigna a cada elemento del

dominio uno y sólo un elemento del recorrido (La regla en realidad es una “fórmula”).

Si en una función el dominio se llama conjunto A y el recorrido conjunto B, entonces la función se simboliza f: A B y se lee “función de A en B”

Representación gráfica de una función

7 Colección de objetos bien definida 8 Rango

●

●

●

●

●

●

●

Ejemplos 1. f: R R f(x) = x Dominio: Los números reales Recorrido: Los números reales Regla de correspondencia: f(x) = x (función identidad) 2. f: R R+ U {0} f(x) = x2

Dominio: Los números reales Recorrido: Los números reales positivos Regla de correspondencia: f(x) = x2 En general, una función se expresa comúnmente por su regla de correspondencia de la forma y = f(x); donde x se denomina variable independiente (o argumento de f) y y se conoce como la variable dependiente Las funciones se expresan estableciendo el valor de la función por medio de una fórmula algebraica en términos de la variable independiente. Por ejemplo, f(x) = x2; f(x) = 5x – 1 ó f(x) = x3 – x. Ejemplos

1. Dada f(x) = 2x2 + 4, calcule el valor de x cuando x = -3, 0 y 3

Solución f(-3) = 2(-3)2 + 4 = 2(9) + 4 = 18 + 4 = 22 f(0) = 2(0)2 + 4 = 2(0) + 4 = 0 + 4 = 4 f(3) = 2(3)2 + 4 = 2(9) + 4 = 18 + 4 = 22

2. Dada f(x) = 3x – 2, evalúe f(a) y f(h + 1)

Solución f(a) = 3(a) – 2 = 3a – 2 f(h + 1) = 3(h + 1) – 2 = 3h + 3 – 2 = 3h + 1

3. Determine el dominio de f(x) = 5

2

x

x

Solución Para determinar el dominio de f(x), iguale el denominador a cero, es decir, X + 5 = 0 x = - 5; luego el dominio de f(x) es R – {-5}

4. Determine el dominio de f(x) = 10x

Solución Para determinar el dominio de f(x), iguale la expresión algebraica que está dentro del radical a cero, es decir, x – 10 = 0 x = 10: luego el dominio de f(x) es

R+ ≥ 10 Ejercicios

1. Dada la función f(x) = x2, evaluar f(x) cuando x = 0, 3 y 1000. 2. Dada la función f(x) = 4x – 3, evaluar f(x) cuando x = a, h + 2 y c – 3

3. Dada f(x) = x3 +x + 2, calcular el valor de x cuando x = -10, x + 3 y 7

4. ¿Cuál es el dominio, el recorrido y la regla de correspondencia de la función

f(x) = 2x?

5. ¿Cuál es el dominio, el recorrido y la regla de correspondencia de la función f(x) = -2x + 8?

6. ¿Cuál es el dominio, el recorrido y la regla de correspondencia de la función

f(x) = 2x2?

7. Determine el dominio de f(x) = 2

3

x

x



x


UNIDAD 3 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

UNIDAD 3. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Objetivos del capítulo

Al terminar la presente unidad, el alumno:

Enunciará las definiciones de las funciones trigonométricas

Identificará los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante en el que se encuentre el ángulo θ

Hallará las funciones trigonométricas de un ángulo θ en posición normal cuyo lado terminal pase por un punto p (x, y)

Hallará las funciones trigonométricas a partir de una función trigonométrica dada previamente

Hallará las funciones trigonométricas inversas a partir de ciertas condiciones

Graficará las funciones trigonométricas seno y coseno 8. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Suponga que θ es un ángulo en posición normal y sea p(x, y) distinto del origen, de tal manera que se encuentra en el lado terminal del ángulo. Las funciones trigonométricas se definen de la siguiente manera:

FUNCIÓN REGLA DE CORRESPONDENCIA

DOMINIO RECORRIDO

Sen θ

rradiovecto

ordenada =

r

y

Todos los ángulos

-1≤ Todos los números reales

≤ 1

Cos θ

rradiovecto

abscisa =

r

x

Todos los ángulos

-1≤ Todos los números reales

≤ 1

Tan θ

abscisa

ordenada =

x

y

Todos los ángulos para los

cuales x 0

Todos los números reales

Cot θ

ordenada

abscisa =

y

x

Todos loa ángulos para los

cuales y ≠ 0


Sec θ

abscisa

rradiovecto =

x

r


cuales x ≠ 0


≤ -1 y ≥ 1

Csc θ

ordenada

rradiovecto =

y

r


cuales y ≠ 0


≤ -1 ó ≥ 1

Es importante aclarar que el valor de las funciones trigonométricas no depende del punto p(x, y) sino de la magnitud de θ. Los signos de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo, dependen de los signos de la ordenada y la abscisa de un punto arbitrario del lado terminal.

CUADRANTE DEL ÁNGULO


POSITIVAS


NEGATIVAS

I Todas Ninguna

II Sen θ Csc θ

Cos θ, sec θ, Tan θ, cot θ

III Tan θ Cot θ

Sen θ, Csc θ, Cos θ, Sec θ

IV Cos θ Sec θ

Sen θ, Cos θ, Tan θ, Cot θ

Ejemplos

1. Halle las funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal cuyo lado terminal pasa por el punto (-4, 6)

Solución

a) Localice el punto (-4, 6) en el plano cartesiano y dibuje el ángulo θ en posición normal

b) Determine los valores de x, y y r.

De la coordenada (-4, 6) se tiene que x = -4 y y = 6. Aplicando el teorema de Pitágoras r2 = x2 + y2:

r = 22 yx = 5236166)4( 22

c) Aplique las funciones trigonométricas

Sen θ = 52

6 Csc θ =

6

52

Cos θ = 52

4 Sec θ =

4

52

Tan θ = 2

3

4

6

Cot θ =

3

2

6

4

2. Halle las funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal cuyo lado

y

r

y = 6

θ

x = -4 x

terminal pasa por el punto (-5, -6)

Solución

a) Localice el punto (-5, -6) en el plano cartesiano y dibuje el ángulo θ en posición normal

b) Determine los valores de x, y y r.

De la coordenada (-5, -6) se tiene que x = -5 y y = -6. Aplicando el teorema de Pitágoras r2 = x2 + y2:

r = 22 yx = 613625)6()5( 22

c) Aplique las funciones trigonométricas

Sen θ = 61

6 Csc θ =

6

61

Cos θ = 61

5 Sec θ =

5

61

θ

x = -5

y = -6 r = 61

Tan θ = 5

6

5

6

Cot θ =

6

5

6

5

Ejercicios Halle las funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal cuyo lado

terminal pasa por el punto (x, y) dado.

1. (-3, 5) 2. (4, 3) 3. (-2, 7) 4. (-6, -3) 5. (8, 2) 6. (9, -3) 7. (-1, -3) 8. (3, 2) 9. (-5, -4) 10. (8, -8)

9. DETERMINACIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Si se conoce el cuadrante y el valor de una de las funciones trigonométricas de un ángulo, se pueden obtener los valores de las demás funciones trigonométricas de la siguiente manera:

1. Determinar la coordenada (x, y) 2. Dibujar el ángulo θ en Posición normal cuyo lado terminal está determinado

por (x, y)

3. Sustituir los valores de x, y y r>0 en las definiciones de las funciones trigonométricas

Ejemplos

1. Halle las funciones trigonométricas del ángulo que satisface las condiciones

,5

3cos θ en el cuadrante CIV

Solución

1. Por definición 5

3cos =

r

x, de donde, x = 3 y r = 5. Aplicando el Teorema de

Pitágoras (r2 = x2 + y2) se tiene que 22 xry = 22 35 =

416925 . Se escoge -4 porque el ángulo θ está en el CIV. La

coordenada (x, y) = (3, -4). 2. El ángulo en posición normal es

3. Las funciones trigonométricas del ángulo θ son:

Sen θ = 5

4

r

y Csc θ =

4

5

y

r

Cos θ = 5

3

r

x Sec θ =

3

5

x

r

y

θ

x = 3 x

y = -4

r = 5

Tan θ = 3

4

x

y Cot θ =

4

3

y

x

2. Halle las funciones trigonométricas del ángulo que satisface las condiciones

Tanθ = 4

5

Solución

1. Por definición Tan θ = 4

5

4

5

x

y, de donde, x = 4 ó -4 y y = 5 ó -5. Aplicando

el Teorema de Pitágoras (r2 = x2 + y2) se tiene que r = 22 yx =

412516)5()4( 22 (no tiene dos valores porque r siempre es mayor que

cero). Al no marcarse un cuadrante específico para dibujar el ángulo θ se deben considerar dos coordenadas (4, 5) y (-4, -5). 2. El ángulo en posición normal es

3. Las funciones trigonométricas del ángulo θ son:

Sen θ = 41

5

r

y Csc θ =

5

41

y

r

y

r = 41

y = 5

θ θ

x = -4 x = 4 x

y = -5 r = 41

Cos θ = 41

4

r

x Sec θ =

4

41

x

r

Tan θ = 4

5

x

y Cot θ =

5

4

y

x

Ejercicios Halle las funciones trigonométricas del ángulo que satisface las condiciones dadas:

1. senθ = 4

3, θ en CI

2. tanθ = 5

3, θ en CIV

3. secθ = 5

4, θ en CIV

4. cscθ = 12

13 , θ en CIII

5. cotθ = 15

8 , θ en CIII

6. cosθ = 12

13, θ en CI

7. secθ = 8

17

8. tanθ = -1

9. senθ = 5

3

10. cscθ = -π

10. GRÀFICA DE LA FUNCIÒN SENO La gráfica de y = asenbx proporciona una representación de la función senx; donde a es la amplitud; bx es el argumento y x es un número real.

Para trazar rápidamente gráficas de la función trigonométrica seno basta dibujar sólo puntos “críticos” y unirlos con una curva suave. Tabla de puntos críticos Radianes

x 0

4

1

2

1

4

3

4

5

2

3

4

7

2

4

9

2

5

4

11

3

4

13

2

7

4

15

4

Grados x 0 45 90 135 180 225 270 315 360 405 450 495 540 585 630 675 720

Ejemplos

1. Grafique la función y = sen x, 0≤x≤2π

Solución Construya una tabla x, y utilizando los puntos críticos. Cuando el argumento es x, basta considerar los puntos para x =0, ½π, π, 3/2π, 2π.

x y

0 0

½π 1

π 0

3/2π -1

2π 0

2. Grafique la función y = 2senx, 0≤ x ≤ 4π

Si x = 0, y = sen0 = sen0° = 0

Si x =½π, y = sen (½π) = sen90° = 1

Si x = π, y = sen π = sen180° = 0

Si x = 3/2π, y = sen (3/2π) = sen 270° = -1

Si x = 2π, y = sen 2π = sen 360° = 0

0 ½π π 3/2π 2π

Solución Construya una tabla x, y utilizando los puntos críticos. Cuando el argumento es x, basta considerar los puntos para x =0, ½π, π, 3/2π, 2π, hasta 4π.

x y

0 0

1/2π 2

π 0

3/2π -2

2π 0

5/2π 2

3π 0

7/2 -2

4π 0

3. Grafique la función y = 3sen(½ x), -π ≤ x ≤ π

Solución

Si x = 0, y = 2sen0 = 0

Si x = 1/2π, y = 2sen(1/2π) = 2sen90˚ = 2

Si x = π, y = 2senπ = 2sen180˚ = 0

Si x = 3/2π, y = 2sen(3/2π) = 2sen270˚ = -2

Si x = 2π, y = 2sen2π = 2sen360˚ = 0

Si x = 5/2π, y = 2sen5/2π = 2sen450˚ = 2

Si x = 3π, y = 2sen3π = 2sen540˚ = 0

Si x = 7/2π, y = 2sen7/2π = 2sen630˚ = -2

Si x = 4π, y = 2sen4π = 2sen720 = 0

0 1/2π π 3/2π 2π 5/2π 3π 7/2π 4π

Construya una tabla x, y utilizando los puntos críticos. Cuando el argumento es ½x, basta considerar los puntos para x = -π, 0 y π.

Ejercicios Trace las gráficas de las siguientes funciones, para los dominios indicados.

x y

-π -3

0 0

π 3

-π 0 π

Si x = -π, y = 3sen(-½π ) = 3sen(-90°) = -3

Si x = 0, y = 3sen(-½(0) ) = 3sen(0°) = 0

Si x = π, y = 3sen(½π ) = 3sen(90°) = 3

1. y = 2senө, 0 ≤ ө ≤ 3π 2. y = sen2x, 0 ≤ x ≤ 4π

3. y = -2senx, -π ≤ x ≤ 3π

4. y = ½ senx, 0 ≤ x ≤ 4π

5. y = 4sen½ө, 0 ≤ ө ≤ 4π

6. y = -5senө, -2π ≤ ө ≤ 2π

7. y = sen¼ө, 0 ≤ ө ≤ 3π

8. y = 10senx, -π ≤ x ≤ π

9. y = -10senx, -π ≤ x ≤ π

10. y = ¼ senө, π ≤ ө≤ 5π

11. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO La gráfica de y = acosbx proporciona una representación de la función cosx; donde a es la amplitud; bx es el argumento y x es un número real.

Para trazar rápidamente gráficas de la función trigonométrica coseno basta dibujar sólo puntos “críticos” y unirlos con una curva suave. Tabla de puntos críticos Radianes

x 0

4

1

2

1

4

3

4

5

2

3

4

7

2

4

9

2

5

4

11

3

4

13

2

7

4

15

4

Grados x 0 45 90 135 180 225 270 315 360 405 450 495 540 585 630 675 720

Ejemplos

1. Grafique la función y = cos x, 0≤x≤2π

x y

0 1

½π 0

π -1

3/2π 0

2π 1

0 π/2 π 3/2π 2π

Si x = 0, y = cos0 = cos0° = 1

Si x =½π, y = cos (½π) = cos90° = 0

Si x = π, y = cos π = cos180° = -1

Si x = 3/2π, y = cos (3/2π) = cos 270° = 0

Si x = 2π, y = cos 2π = cos 360° = 1

2. Grafique la función y = 2cosx, 0≤ x ≤ 4π

Solución Construya una tabla x, y utilizando los puntos críticos. Cuando el argumento es x, basta considerar los puntos para x =0, ½π, π, 3/2π, 2π, hasta 4π.

x y

0 2

1/2π 0

π -2

3/2π 0

2π 2

5/2π 0

3π -2

7/2 0

4π 2

Si x = 0, y = 2cos0 = 2cos 0° = 2

Si x = ½π, y = 2cos (½π) = 2cos 90° = 0

Si x = π , y = 2cosπ = 2cos 180° = -2

Si x = 3/2π, y = 2cos (3/2π) = 2cos 270° = 0

Si x = 2π, y = 2cos 2π = 2cos 360° = 2

Si x = 5/2π, y = 2cos (5/2π) = 2cos 450° = 0

Si x = 3π, y = 2cos 3π = 2cos 540° = -2

Si x = 7/2π, y = 2cos (7/2π) = 2cos 630° = 0

Si x = 4π, y = 2cos 4π = 2cos 720° = 2

0 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π 7π/2 4π

3. Grafique la función y = 3cos(x/2), -π ≤ x ≤ π

Solución Construya una tabla x, y utilizando los puntos críticos. Cuando el argumento es ½x, basta considerar los puntos para x = -π, 0 y π.

Ejercicios Trace las gráficas de las siguientes funciones, para los dominios indicados.

x y

-π 0

0 3

π 0

Si x = -π, y = 3cos (-½π ) = 3cos(-90°) = 0

Si x = 0, y = 3cos (-½(0) ) = 3cos (0°) = 3

Si x = π, y = 3cos (½π ) = 3cos (90°) = 0

-π 0 π

1. y = 2cosө, 0 ≤ ө ≤ 3π 2. y = cos2x, 0 ≤ x ≤ 4π

3. y = -2cosx, -π ≤ x ≤ 3π

4. y = ½ cosx, 0 ≤ x ≤ 4π

5. y = 4cos½ө, 0 ≤ ө ≤ 4π

6. y = -5cosө, -2π ≤ ө ≤ 2π

7. y = cos¼ө, 0 ≤ ө ≤ 3π

8. y = 10cosx, -π ≤ x ≤ π

9. y = -10cosx, -π ≤ x ≤ π

10. y = ¼ cosө, π ≤ ө≤ 5π

12. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Si f es una función, tal que )()( dfcf , en donde c y d son dos elementos

diferentes del dominio, y si baf )( , entonces la función inversa de f, algunas

veces representada por 1f 9, es la función que asigna a a como imagen de b. El

dominio de 1f es el recorrido de f.

Como las gráficas del seno y el coseno estudiadas en los capítulos anteriores nos muestran que a cada elemento x del dominio le corresponde una sola imagen, pero que estos elementos tienen, en muchos casos, la misma imagen, las funciones seno y coseno no establecen una correspondencia biunívoca entre las imágenes del recorrido y el dominio, es necesario pues, para que haya una correspondencia, restringir el dominio; así, se tiene que

Función Dominio restringido

Recorrido

Recorrido Dominio Función inversa

seny 22

x 11 y ysen 1

cosy x0 11 y y1cos

tany 22

x Todos los números reales

y1tan

coty x0 Todos los números reales

y1cot

secy 2

0 x

2 x

1y

1y y1sec

cscy 2

0 x

2 x

1y

1y

y1csc

La función ysen 1 en realidad se debe representar como arcseny (arco seno

de y) pero para fines prácticos de manejo de la calculadora se considerará

ysen 1 .

Ejemplos

9 Representa la función inversa y no debe confundirse con un exponente.

1. Halle el valor del arc sen (1/2) y represente gráficamente el ángulo θ

Solución

Sea θ = arc sen (1/2) = sen-1(1/2) = 30° = 6

; de donde el 2

130 sen =

r

y; luego

y = 1 y r = 2, aplicando el teorema de Pitágoras (r2 = x2 + y2) se tiene que

31412 2222 yrx , así x = 3 , y = 1 y r = 2 y la representación

gráfica del problema es θ

Y

r = 2

θ y = 1

x = 3 X

2. Halle el valor de cos (tan-1 (-3/4)) y represente gráficamente el ángulo θ

Solución

Sea )4/3(tan 1 x

y

4

3tan , θ se encuentra en el cuarto cuadrante;

luego r

x

5

4cos))4/3(cos(tan 1 . De lo anterior se tiene que x = 4, y = -3 y r =

5. La representación gráfica del problema es

Y

x = 4

θ X

r = 5 y = -3

3. Halle el valor de tan(arcsen(-3/4)) y represente gráficamente el ángulo θ

Solución

Sea θ = arcsen(-3/4) = sen-1(-3/4) = -48.59° r

ysen

4

3 . Luego θ es un

ángulo del cuarto cuadrante y x = 7916)3(4 2222 yr

tan(arcsen(-3/4)) = tanθ = tan (-48.59° ) = 7

3

Ejercicios Evalúe y represente gráficamente el ángulo θ.

1.

2

3arcsen

2.

3

1cotarc

3. ))1(tan(tan 1

4. ))2

3(arccos(sen

5. )2(tan 1sen

6. )2

1cos(

arcsen

Y

x = 7

θ y = -3 X

r = 4

7.

2

1costan 1

8. 1cotcos 1

9. 2arctan sen

10.

13

12tan arcsen

UNIDAD 4. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

UNIDAD 4. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS


Resolverá triángulos rectángulos

Resolverá triángulos oblicuángulos

Aplicará la ley de los senos

Aplicará la ley de los cosenos 13. RESOLUCIÓN DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Sea el triángulo rectángulo ABC, con el ángulo agudo A en posición normal (ver figura) las funciones trigonométricas del ángulo A son:

Sen A = hipotenusa

stocatetoopue

c

a

r

y Csc A =

stocatetoopue

hipotenusa

a

c

y

r

Cos A = hipotenusa

centecatetoadya

c

b

r

x Sec A =

centecatetoadya

hipotenusa

b

c

x

r

Tan A = centecatetoadya

estocatetopopu

b

a

x

y Cot A =

stocatetoopue

centecatetoadya

a

b

y

x

B(a, b)

c = r

a = y

A b = x C

Para el ángulo B también se pueden definir las funciones trigonométricas, si este se dibuja en posición normal; sin embargo, bastará considerar las definiciones en términos de los catetos y la hipotenusa así:

Sen B = hipotenusa

stocatetoopue

c

b

r

x Csc B =

stocatetoopue

hipotenusa

b

c

x

r

Cos B = hipotenusa

centecatetoadya

c

a

r

y Sec B =

centecatetoadya

hipotenusa

a

c

y

r

Tan B = centecatetoadya

estocatetopopu

a

b

y

x Cot B =

stocatetoopue

centecatetoadya

b

a

x

y

Las anteriores fórmulas se pueden aplicar para resolver triángulos rectángulos de la siguiente manera: Ejemplos

1. En el triángulo rectángulo ACB halle c y b en términos del ángulo A y a.

Solución

C

a

b

B

c

A

Aplicando las definiciones de las funciones trigonométricas se tiene que:

El sen A = c

a c senA = a c =

senA

a

Por otro lado, tanA = b

a b tanA = a b =

A

a

tan

2. Resuelva el triángulo rectángulo ACB donde a = 6 y b = 4.

Solución Resolver un triángulo rectángulo significa hallar todos los valores desconocidos, tanto de ángulos como de los lados. Trace el triángulo rectángulo y marque las condiciones dadas. El lado c se determina fácilmente aplicando el teorema de Pitágoras que dice que

c2 = a2 + b2; luego despejando c se tiene que c = 22 ba y sustituyendo los

valores de a y b en la ecuación se tiene que:

c= 22 46 = 52

A

c

b = 4

C a = 6 B

Para determinar el ángulo A, es necesario calcular el valor de la tangente; así:

TanA = 5.14

6 A = tan-1(1.5) = 56.30° 10

El ángulo B se obtiene a partir de la siguiente aseveración A + B + C = 180°. Así, sustituyendo el valor de A y C tenemos: 56.30° + B + 90° = 180° B + 146.30° = 180° B = 180° - 146.30° = 33.70°

3. Resuelva el triángulo rectángulo ACB donde B = 29° 34', b = 2.7

Solución Trace el triángulo rectángulo y marque las condiciones dadas. El ángulo B tiene como medida 29° 34' = 29.56°. (Los 34' se convierten a grados considerando 1° = 60' 34' = 0. 56°).

Como A + B+ C = 180°. Sustituyendo los valores de A y B respectivamente; tenemos:

10 Se obtiene en la calculadora apretando las teclas shift (ó 2nd, según la marca de calculadora) tan 1.5 =

C

a b = 2.7

B

c A

29° 34'

90° + 29.56° + C = 180° C = 180° -119.56° C = 60.44°

Para conocer el valor de c, considere la TanB = c

b

CA

CO

c

bTanB . Despejando

c se tiene que:

cTanB = b c = TanB

b. Sustituyendo los valores de b y B en la anterior

ecuación:

c = 56.29

7.2

Tan = 4.76

Aplicando el teorema de Pitágoras para hallar a. a2 = b2 + c2 (note que la fórmula usual está alterada porque la hipotenusa es a y

no c como usualmente se indica). Luego: 22 cba . Sustituyendo los valores

de b y c.

47.59476.296576.2229.7)76.4()7.2( 22 a

Ejercicios Resuelva los siguientes triángulos rectángulos

Figura 1 Figura 2

A C b

A

b c a c Figura 3

A b

C B B C

a

c a

B

1. Para la figura 1 los valores conocidos son b = 5 , A = 34° 20' 2. Para la figura 2 los valores conocidos son a = 5 y b = 6 3. Para la figura 3 los valores conocidos son B = 35° y a =2

4. Hallar una fórmula para b en términos de c y B (Figura 4) 5. Hallar una fórmula para a en términos de B y b (Figura 5) 6. Hallar una fórmula para c en términos de A y b (Figura 6) 7. Hallar una fórmula para a en términos de b y C (Figura 6) 8. Considere que el triángulo de la figura 4 tiene los siguientes valores A = 68°

15' y b = 8cm. Determine los ángulos y los valores de los lados restantes. 9. Considere el triángulo rectángulo de la figura 5. Los valores conocidos son

B = 51° 55' y a = 2.37cm. Determine los ángulos y los valores de los lados restantes.

10. Considere el triángulo rectángulo de la figura 6 cuyos valores conocidos son a = 5 y b = 6. Determine los ángulos y los valores de los lados restantes.

Figura 4 Figura 5

A

C b A

b c a c

B

C B Figura 6

a

C a

b

B

A c

14 LEY DE LOS SENOS11

En cualquier triángulo ABC, la relación entre un lado y el seno del ángulo opuesto

es constante; esto es, c

senC

b

senB

a

senA

Considere el triángulo rectángulo ACB siguiente:

Aplicando la definición del seno al ángulo A y al ángulo B se tiene que:

Sen A = c

a (1) y Sen B =

c

b (2). Si se dividen entre a los dos miembros de la

ecuación (1) y entre b los dos miembros de la ecuación (2) se obtiene:

ca

senA 1 (3) y

cb

senB 1 (4); de donde

b

senB

a

senA

Por otro lado, como sen 90° = 1 y sustituyendo este valor en cualquiera de las dos

ecuaciones (3) ó (4) se concluye que c

sen

b

senB

a

senA

9012

Ejemplos de aplicación de la ley de los senos a) Para triángulos rectángulos

11 No se presenta la demostración formal de dicha ley porque no está dentro de los objetivos de este libro. 12 La ley de los senos es también válida para triángulos oblicuángulos y cuya demostración no se considera en

los alcances de este libro.

A

b c

C B

a

1. Resuelva el triángulo rectángulo ACB cuyos valores conocidos son a = 2, A = 30°

Solución Dibuje el triángulo rectángulo ACB Para determinar el ángulo B se parte del hecho de que la suma de los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo es de 90°. De donde, se tiene que A + B = 90°, como A =30° A + B = 30° + B = 90° B = 90° - 30° B = 60°

Para determinar el cateto b (o la hipotenusa) se utiliza la ley de los senos

c

sen

b

senB

a

senA

90. Para este caso, se escoge al cateto b. Luego, aplicando la

ley de los senos b

senB

a

senA , y sustituyendo los valores de a, A y B

respectivamente en la fórmula se tiene que b

sensen

60

2

30 y despejando b.

60230 senbsen

30

602

sen

senb = 3.46

b = 3.46

A

b c

C B

a = 2

30°

Aplicando el teorema de Pitágoras (c2 = a2 + b2), se tiene que

99.397.1546.32 2222 bac

La solución del problema es B = 60°; b = 3.46 y c = 3.99

2. Resuelva el triángulo rectángulo ACB cuyos valores conocidos son a = 3 y b = 4.

Solución Dibuje el triángulo rectángulo ACB. Para determinar la hipotenusa c, se aplica el teorema de Pitágoras (c2 = a2 + b2). Así:

52543 2222 bac .

El ángulo A (ó B) se determina aplicando la ley de los senos

c

sen

b

senB

a

senA

90. Como C = 90°, basta relacionar por la ley de los senos al

ángulo A ( ó B). Para este caso, se trabajará con el ángulo A, por lo tanto

A

b = 4 c

C a = 3 B

c

sen

a

senA

90, entonces sustituyendo los valores de a y c en la fórmula se tiene

que 5

90

3

sensenA y despejando senA:

9035 sensenA

6.05

903

sensenA

Entonces senA = 0.6, de donde A = sen-1(0.6) = 36.86°13 Para determinar el ángulo B se parte del hecho de que la suma de los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo es de 90°. De donde, se tiene que A + B = 90°, como A =36.86° A + B = A + 36.86 ° = 90° A = 90° - 36.86° B = 53.14°

b) Para triángulos oblicuángulos14

3. Resuelva el triángulo oblicuángulo ABC cuyos valores conocidos son A = 80° y b = 39 y a = 55

Solución Dibuje el triángulo oblicuángulo ABC

13 Se obtiene en la calculadora apretando las teclas shift (ó 2nd según la marca de la calculadora) sin2(0.6) = 14 Son triángulos que no tienen un ángulo recto.

B

a = 55

c

C

80°

b = 39 A

Para encontrar los valores desconocidos C, c y B, se debe aplicar la ley de los

senos c

senC

b

senB

a

senA ; para ello se deben localizar las cantidades conocidas,

que en este caso son el ángulo A, el lado a y el lado b, los cuales se sustituyen en

la fórmula, a saber: c

senCsenBsen

3955

80. Se observa que la expresión

c

senC

está formada por dos incógnitas C y c, razón por la cual se elimina y se trabaja

solamente con 3955

80 senBsen

. Despejando senB:

senBsen 558039

698.055

8039

sensenB

senB = 0.698 B = sen-1(0.689) = 43.55°

El valor del ángulo C se determina a partir del hecho de que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180° (A + B + C = 180°). Así: 80° + 43.55° + C = 180° 123.55° + C = 180° C = 180° - 123.55° C = 56.45° Como la única cantidad desconocida que falta por saber su valor es c, se puede

aplicar otra vez la ley de los senos relacionando el cociente c

senC con cualquiera

de los otros dos cocientes de la fórmula (pues ya se conoce el valor de C) ; es

decir, c

sensen

45.56

55

80. Despejando c:

45.565580 sencsen

54.4680

45.5655

sen

senc

Ejercicios 1. Resuelva el triángulo rectángulo ACB. a) a = 12 y b = 9 b) c = 6 y A = 11° c) b = 3 y A = 30°

d) A = 44° 15' y a = 8.4 e) b = 7.9 y B = 32° 2. Resuelva el triángulo oblicuángulo ABC. a) A = 20°, B = 40°, b = 11 b) A = 30°, C = 70°, a = 16 c) A = 32°, a = 12, c = 22 d) A = 22°, b = 6 y a = 12 e) c = 12.2, b = 26.7 y C = 21°

15 LEY DE LOS COSENOS15

En cualquier triángulo ABC, el cuadrado de cualquiera de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido entre ellos; esto es:

Abccba cos2222

Baccab cos2222

Cabbac cos2222

Ejemplos de la aplicación de ley de los cosenos

1. Utilizando la ley de los cosenos, calcule el elemento del triángulo ABC que se pide; a = 4, b = 5, C = 60°, encuentre c

Solución Dibuje el triángulo oblicuángulo Las cantidades conocidas son a, b y C, y la cantidad desconocida es c; por lo

tanto la fórmula que se debe emplear es Cabbac cos2222 ; despejando c, se tiene:

15 No se da la demostración formal de dicha ley porque no está dentro de los objetivos de este libro

B

c a = 4

60° C

b = 5

A

Cabbac cos222 y sustituyendo los valores dados:

58.42120251660cos)5)(4(254 22 c

2. Utilizando la ley de los cosenos, calcule el elemento del triángulo ABC que se pide; a = 3, b = 4 y c = 5, encuentre el ángulo A

Solución Dibuje el triángulo oblicuángulo Las cantidades conocidas son a, b y c, y la cantidad desconocida es A; por lo

tanto la fórmula que se debe emplear es Abccba cos2222 ; despejando el

cosA se tiene:

Abccba cos2222 222cos2 cbaAbc 222cos2 acbAbc

B

c = 5 a = 3

C

b = 4

A

bc

acbA

2cos

222 y sustituyendo los valores dados:

8.040

32

40

92516

)5)(4(2

354cos

222

A ; de donde

86.36)8.0(cos 1A 16

3. Utilizando la ley de los cosenos, calcule el elemento del triángulo ABC que se pide; a = 9, b = 12 y C = 51°. Halle c, A y B.

Solución

16 Recuerde que en su calculadora debe teclear shift (ó 2nd) cos (0.8) =

C

51°

b = 12

a = 9 A

B

Las cantidades conocidas son a, b y C, y la primera cantidad desconocida es c; por lo tanto la fórmula que se debe emplear es

Cabbac cos2222 ; despejando c:

Cabbac cos222 y sustituyendo los valores conocidos:

43.907.8993.1351448151cos)12)(9(2129 22 c

Para hallar la segunda cantidad desconocida (A), utilice la fórmula

Abccba cos2222 . Despejando Acos se tiene. 222 cos2 cbAbca 222cos2 acbAbc

bc

acbA

2cos

222 y sustituyendo los valores conocidos:

671.032.226

92.151

)43.9)(12(2

9)43.9(12cos

222

A ; de donde

85.47)671.0(cos 1A

Ejercicios Aplique la ley de los cosenos para cada uno de los ejercicios siguientes: Para el triángulo ABC:

1. a = 7, b = 9 y c = 10. Halle A 2. a = 15, c = 10 y B = 126°. Calcule b 3. c = 7, a = 9 y B = 59°. Halle b 4. a = 4, b = 5 y C = 60°. Encuentre c 5. a = 5, b = 6 y c = 8. Encuentre C 6. a = 6, c = 14 y B = 120°. Calcule b 7. a = 42.40, c = 76.30 y B = 32° 20'

Resuelva el triángulo ABC 8. b = 5.32, c = 3.10 y C = 125°. 9. b = 43.80, c = 41. 60 y A = 62° 10. B = 38°, c = 21.70 y a = 11.48

UNIDAD 5. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

UNIDAD 5. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Objetivos del capítulo

Al terminar la presente unidad, el alumno:

Verificará identidades

Reducirá expresiones trigonométricas

Aplicará las funciones trigonométricas de ángulos dobles

16. LAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Una ecuación que utiliza funciones trigonométricas, que sea válida para todos los valores angulares en los cuales las funciones trigonométricas están definidas, se llama identidad trigonométrica.

Para las funciones trigonométricas existen ocho identidades fundamentales

a saber: Identidades de recíprocos17 senx cscx 1 cosx secx 1 tanx cotx 1 Identidades de cociente

tanx x

senx

cos

cotx senx

xcos

Identidades de cuadrados Sen2x + cos2x 1 1 + tan2x sec2x 1 + cot2x csc2x La combinación adecuada de las ocho identidades fundamentales permite realizar ejercicios de verificación de identidades. Para ayudar a dicha verificación es necesario tener presente lo siguiente: “cuando se realiza un ejercicio de verificación de identidades es necesario transformar (si es posible) las funciones trigonométricas que intervienen en términos de senos y cosenos, saber factorizar y usar procedimientos de sustitución y simplificación” Ejemplos

Verifique la siguiente identidad xsenx

xsec

tan

Solución

17 Dos números son recíprocos si su producto es igual a 1

Identidad Razones

senx

x

senx

senx

x costan tanx

x

senx

cos

1

cossenx

x

senx

1

senxsenx

xsenx

senx

cos En la fracción compleja resultante se aplicó la

propiedad de multiplicar extremos por extremos y medios por medios.

xcos

1 Se eliminaron los senos

xsec De cosx secx 1 se tiene que x

xcos

1sec

xsenx

xsec

tan

2. Verifique la siguiente identidad xxsenx coscot

Solución Identidad Razones

senx

xsenxxsenx

coscot

senx

xx

coscot

xcos Eliminación de los senos

3. Verifique la siguiente identidad xxxxsen

xxcscsec

cos

cot)1(sec 3

22

2

Solución Identidad Razones

xxsen

xx

xxsen

xx22

2

22

2

cos

cottan

cos

cot)1(sec De 1 + tan2x sec2x se tiene que

tan2x sec2x – 1

xxsen

xsenx

xxsen

22

2

2

cos

cos

cos

tanx x

senx

cos y cotx

senx

xcos

1

cos

cos

cos

22

2

2

xxsen

xsenx

xxsen

1

coscos

2222 xxsenxxsen

xxsen

xxsen34

2

cos

cos En la fracción compleja resultante se aplicó la

propiedad de multiplicar extremos por extremos y medios por medios

xsenx3cos

1 Eliminación de senos y cosenos

senxx

1*

cos

13

1*1 = 1 y asociatividad

xxcscsec3 De senx cscx 1 y cosx secx 1 se sabe que;

senx

x1

csc y x

xcos

1sec

xxxxsen

xxcscsec

cos

cot)1(sec 3

22

2

Verifique la siguiente identidad xsenx

xxcos

1cottan

Solución Identidades Razones

senx

x

x

senxxx

cos

coscottan tanx

x

senx

cos y cotx

senx

xcos

xsenx

xxsen

cos

cos22

bd

bcad

d

c

b

a

xsenxcos

1 Sen2x + cos2x 1

Ejercicios

1. xxxx 2222 cscseccscsec

2. x

x

x

x

cot

tan

cos

cos12

2

3. xx

x 2tancot

tan

4. xxxsenx

xxcotcsc

tan

cotcsc

5. senx

x

x

xx

1

cot

cos

coscot3

6. x

senx

senx

x

cos

1

1

cos

7. xxsenx

csccotcos1

8. xx

senxx cot

cos1csc

9. xxx

2csc2cos1

1

cos1

1

10. 2tan

sectan

x

xsenxx

11. xxxx 2222 seccscseccsc

12. xxxx

senx

xx

xseccos

cotcsccotcsc

tan

13. xsenxxx

xsenxxxcos1

seccsc

tancotcos

14. xsenxxx

xxxsenxcos1

cscsec

cotcostan

15.1cot

1cot

seccsc

seccsc

x

x

xx

xx

16. x

x

xsen

senxx

cos1

sectan3

17. senx

x

x

xx

1

csc

cos

coscot3

18. xxx

xcotcos2

sec

csc2

19. xsenxx

xtan2

csc

sec2

20. xsenxx

xcos

sec

tan1

17. REDUCCIÓN DE EXPRESIONES TRIGONOMÉTRICAS

Reducir una expresión trigonométrica significa escribirla a una sola función del argumento dado.

Para todos los problemas se recomienda usar las identidades trigonométricas y convertir las expresiones dadas en términos de senos y cosenos. Ejemplos

1. Reduzca la expresión siguiente a una sola función del argumento dado xsenxsec

Solución

xx

senx

xsenxxsenx tan

coscos

1sec

2. Reduzca la expresión siguiente a una sola función del argumento dado

x

xx2

2

cot1

seccot

Solución

xxxsenx

xsenx

senx

xsenx

x

x

xsenx

x

x

xxsec

cos

1

cos

cos

1cos

cos

csc

cos

1cos

cot1

seccot2

2

2

2

2

2

3. Reduzca la expresión siguiente a una sola función del argumento

dado

senx

x

1

cos1

2

Solución

senxsenxsenxsenx

senxsenx

senx

xsen

senx

x

11)1(1

1

)1)(1(1

1

11

1

cos1

22

Ejercicios

1.

x

x2

2

csc

tan1

2. )1(tancos 2 xx

3. )coscot(tan xxsenxx

4.

x

x

sec1

tan1

2

5. xcoxsenx cot

11

6. xx

x

cottan

sec

7. 1csc

tan2 x

xsenx

8.

xxsen

x2

2

sec

1sec

9. senx

x

xsenx

cos

cos

1

10. senx

x

x

senx cos1

cos1

11.

x

x3

2

csc

cot1

12.

senx

xx

1

costan

13. )cot(tancos xxxsenx

14. )cot1)(cos1( 22 xx

15. x

x2cot1

cot

18. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE DOS ÁNGULOS: FÓRMULAS PARA LA SUMA18

sen ( A + B) = sen A cos B + cos A sen B cos ( A + B) = cos A cos B – sen A sen B

tan ( A + B ) = BA

BA

tantan1

tantan

Ejemplos

1. Compruebe que sen (30˚ + B) + cos (60˚ + B) = cos B

Solución sen (30˚ + B) + cos (60˚ + B) = sen 30˚ cos B + cos 30˚ sen B + cos60˚ cos B –

sen60˚ sen B = senBBsenBB2

3cos

2

1

2

3cos

2

1 = BB cos

2

1cos

2

1 = cosB

2. Simplifique ABA

ABA

tan)tan(1

tan)tan(

Solución

ABA

ABA

tan)tan(1

tan)tan(

=

AC

AC

tantan1

tantan

= tan(C + A) = tan( A + B + A) = tan(2A + B);

donde C = A + B

3. SI Tan (A + B) = 33 y tanA = 3, demuestra que tan B = 0.3

Solución

tan ( A + B ) = BA

BA

tantan1

tantan

33 = B

B

tan31

tan3

33 – 99 tanB = 3 + tanB 33 – 3 = 99 tanB + tanB 30 = 100 tanB

18 No se escribe la demostración de las fórmulas porque no están dentro de los objetivos de este libro

Btan10

3

de donde tanB = 0.3

4. Si cos A = 5/8 y senB = 7/9 en el cuadrante I; halle cos(A + B)

Solución Del cos A = 5/8 = x/r y aplicando el teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2 se tiene

que y2 = r2 – x2 y = 39256422 xr

Por otro lado, del senB = 7/9 = y/r y aplicando el teorema de Pitágoras:

r2 = x2 + y2 se tiene que x2 = r2 – y2 x = 32498122 yr

y

8

39

A

5 x

y

9 7

B

32 x

cos(A + B) = cos A cosB – senA senB =

72

397325

72

397

72

325

9

7

8

39

9

32

8

5

Ejercicios 1. Demuestre que

BA

BA

BA

BAsen

tantan1

tantan

)cos(

)(

2. Demuestre que cos (A + B) + cos(A – B) = 2cosAcosB 3. Halle los valores de:

a) sen(A + B) b) COS(A + B) Si senA = 4/5 y cosB = 6/13, A y B en el cuadrante I

4.

30tan90tan1

30tan90tan

5. cot(A + B) = 6. cot(A – B) = 7. cot(A + B) – cot(A – B)

19. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE DOS ÁNGULOS: FÓRMULAS PARA LA DIFERENCIA19

sen (A – B) = sen A cosB – cosA senB cos(A – B) = cos A cosB + senA senB

tan (A – B) = BA

BA

tantan1

tantan

Ejemplos

1. Compruebe que sen(180˚ - B) = sen B

Solución sen(180˚ - B) = sen180˚ cosB – cos180˚ senB = 0.cosB – (-1)senB = 0 + senB = senB

2. Verifique que 2

cos

4

AsenAAsen

Solución

2

cos

2

1cos

2

1

4cos

4cos

4

AsenAAsenAAsensenAAsen

3. Si senA = 8/17, A en el CI y tanB = -24/7, b en el CIV; halle sen(A-B)

Solución Del senA = 8/17= y/r y aplicando el teorema de Pitágoras r2 = x2 + y2 se tiene que

x2 = r2 – y2 x = 152256428922 yr ; pero como A está en el

cuadrante I, x = 15; de dónde se sabe que cosA = a5/17 Para la tanB = -24/7 = y/x y aplicando el teorema de Pitágoras r2 = x2 + y2 se tiene

que 25625576490)24(7 2722 yxr ; luego el senb= -21/25 y

cosB = 7/25

sen(A-B) = senA cosB – cosAsenB = 425

371

425

315

425

56

25

21

17

15

25

7

17

8

19 No se escribe la demostración de las fórmulas porque no están dentro de los objetivos de este libro

Ejercicios 1. Si cos A = -5/13, A en el CIII y sen B = 4/5, B en el CI; halle:

a) sen(A – B) b) cos(A – B) c) tan(A – B)

2. Verifique que tan(A - 45˚) = A

A

tan1

tan1

3. Compruebe que tan(180˚ - B) = -tanB 4. Simplifique cos(A + B) – cos(A-B) 5. Determine una fórmula para

a) cot(A – B) b) sec(A – B)

c) csc(A – B)

6. compruebe que sen2A = 2senacosA 7. compruebe que cos 6a = 1 – 2sen2 3a

SOLUCIONES Capítulo 1 1. 4/3, 3/4 3. -3, 2/5 5. -4, -2 7. -1/3, 2/3 9. -2/3, 1 11. -8, -1/3 13. 5/2, 3/8 15. -4, ¾ 17. -3/2, 5/2 19. -1, 5/3 Capítulo 2 1. -1, 5 3. -3

5. 12

11

2

3

7. -1, 3

9. -1 ± 3

11. 32

211

2

9

13. -3/8, 5/2 15. -4, -3/4 17. -3/2, 5/2

19. -1, 5/3 Capítulo 3

1. 14

78830

3. 4

14917

5. -11, -1

7. 8

5721

9. 4

43325

Capítulo 4 1. 5 y 12 3. 6 y 17 5. 11 7. 10 y 11 9. 24 y 72 11. 12 y 18 Capítulo 5 1.

Y Y Y

α β α β α

X X X

β

Capítulo 6 1. a) 4.698 rad c) 59.16 rad e) 4.002 rad g) 78.474 rad Capítulo 7 1. f(0) = 0 f(3) = 9 f(1000) = 1,000,000 3. f(-10) = -1,008 f(x + 3) = x3 + 9x2 + 28x + 32 f(7) = 352 5. Dominio: R Contra dominio: R La regla de correspondencia es f(x) = -2x + 8 7. Dominio = R – {2} 9. Dominio = R – {-4} Capítulo 8

1.

3

5tan

34

3cos

34

5

x

x

senx

5

3cot

3

34sec

5

34csc

x

x

x

3.

2

7tan

53

2cos

53

7

x

x

senx

7

2cot

2

53sec

7

53csc

x

x

x

5.

4

1tan

68

8cos

68

2

x

x

senx

4cot

8

68sec

2

68csc

x

x

x

7.

3tan

10

1cos

10

3

x

x

senx

3

1cot

10sec

3

10csc

x

x

x

9.

5

4tan

41

5cos

41

4

x

x

senx

4

5cot

5

41sec

4

41csc

x

x

x

Capítulo 9

1.

7

3tan

4

7cos

4

3

x

x

senx

3

7cot

7

4sec

3

4csc

x

x

x

3.

4

3tan

5

4cos

5

3

x

x

senx

3

4cot

4

5sec

3

5csc

x

x

x

5.

8

15tan

17

8cos

17

15

x

x

senx

15

8cot

8

17sec

15

17csc

x

x

x

7.

8

15tan

17

8cos

17

15

x

x

senx

15

8cot

8

17sec

15

17csc

x

x

x

9.

4

3tan

5

4cos

5

3

x

x

senx

3

4cot

4

5sec

3

5csc

x

x

x

Capítulo 10

1.

3.

5.

7.

9.

Capítulo 11 1.

3.

5.

7.

9.

Capítulo 12

1.

134

2

3

120;60

2

3

x

r

ysenx

x

arcsenx

3.

1tan

)tan(tantan

45

1tan

1

1

x

x

x

x

5.

894.0)43.63()2(tan

2tan

)2tan(tantan

43.63

2tan

1

1

1

sensen

x

x

x

x

7.

73.12

1costan

314

2

1cos

1202

1cos

1

1

y

r

xx

x

9.

Y

2 2

3 3

x x

-1 1 X

Y

2

x 1

1 X

Y

2

3

x

-1 X

816.0)2arctan(

3

1

2

2tan

)2arctan(

sen

r

x

y

x

x

Capítulo 13 1. B = 55.67° a = 3.40 c = 6.05 3. A = 55° b = 1.39 c = 2.44 5. a = b/ tanB 7. a = bcosC 9. A = 38° 05' C = 90° c = 3.83 Capítulo 14 1. a) A = 53.13° B = 36.87° c = 15 c) B = 60° a = 1.72 c = 3.46

e) A = 58° a = 12.6 c = 14.87 Capítulo 15 1. A = 42.83° 3. b = 8.06 5. C = 92.86° 7. b = 46.39 9. a = 44.02 Capítulo 16

1. xxxxsenxxsen

xxsen

xsenxxx 22

222

22

22

22 cscseccos

1

cos

cos1

cos

1cscsec

3. xx

xsen

senx

xx

senx

x

x 2

2

2

tancoscos

cos

cot

tan

5.

xsenx

senx

xsenx

senxx

x

senx

xsenxx

x

xsenx

x

x

xx

cos

1

cos

)1(cos

1

cos

coscos

cos

coscos

cos

coscot2222

senx

x

senxsenx

x

senxxsenx

x

senxxsenx

xsen

1

cot

)1(

cos

)1(cos

cos

)1(cos

1 22

7.

xsenxsenxx

x

senxx

xxxsen

senx

x

x

senxx

x

senxcsc

1

)cos1(

cos1

)cos1(

coscoscos

cos1cot

cos1

22

9.

xxsenx

xx

x

x

x

x

xx

2

2222csc2

2

cos1

cos1cos1

cos1

cos1

cos1

cos1

cos1

1

cos1

1

Capítulo 17 1. tan2 x 3. sec x 5. cot x 7. senx tan3 x 9. tan x 11. sen x 13. 1

15. x

xsenx2cos21

cos

Capítulo 18

1. BA

BA

BA

senAsenBBABA

AsenBBsenA

senAsenBBA

AsenBBsenA

BA

BAsen

tantan1

tantan

coscos

coscoscoscos

coscos

coscos

coscos

)cos(

)(

3.

65

133418)cos(

65

133324)(

13

133

13

6cos

5

3cos

5

4

ABA

BAsen

senbB

AsenA

5. BA

BABA

tancot1

tancot)cot(

7. BAsenBAsen

BsenBBABA

2222 coscos

cos2)cot()cot(

Capítulo 19 1.

3. BB

B

B

BB tan

tan.01

tan0

tan180tan1

tan180tan)180tan(

5. a) BA

BABA

tancot1

tancot)cot(

c) BA

BABA

tancot1

seccsc)csc(

7.

asenasenasenaaasensenasacaaa 33133cos33303cos)33cos(6cos 2222

= 1 -2sen23a

matemáticas 2 trigonometria

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