Universite Paris Sud Licence de Mecanique-PhysiqueAnnee 2014-2015 Phys 303

Travaux Pratiques experimentaux”Mecanique des Milieux Continus”:

1. TP1: Deformations d’un bloc solide (un TP de 3 heures et un TP d’une heure)

Concu par Prodidac, Castres (France)

2. TP2: Ecoulement d’un fluide.

3. Manip de demonstration d’un ecoulement fluide.

Concu par L. Auffray et R. Pidoux (FAST, UMR 7608, Orsay)

Enonces par V. LazarusEncadre par J.-F. Bryche

Notation:

1. Les TP sont obligatoires, toute absence injustifiee entraine une note nulle.

2. Les TP comptent pour 25 % de la note finale du module, 5 % de participation et 20% pour le compte-rendudu TP de solides de 3h. Le TP de solides de 1h et le TP de fluides sont tres utiles pour la comprehension ducours et peuvent rapportes jusqu’a 5% de points de bonus.

3. L’examen peut contenir des questions de TPs.

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TP1: Deformations d’un bloc solide

Competences visees:

1. Mesure des deplacements.

2. Mesure des deformations: allongements et changement d’angle.

3. Lien entre chargement et deformation, notion d’elasticite.

1 Presentation du banc

Figure 1: Vue d’ensemble du dispositif experimental

Securite Attention!!!! Ne pas monter sur les tabourets, ni les tables pour prendre des mesures.

Precautions Chaque banc (fig. 1) coute 5300 euros. A manipuler avec precaution... En particulier, les moussessont susceptibles de s’endommager: prendre garde de ne pas depasser les chargements prescrits dans le texte. Uneregle graduee est egalement fournie. Elle ne doit pas disparaıtre, d’autres en auront besoin apres vous. Un etat deslieux sera fait en debut et fin de TP. Toute degradation/negligeance sera sanctionnee.

Poutre Les poutres sont realisees en mousse de polyruethane. La poutre cylindrique a un diametre de D = 100mm, la poutre rectangulaire une largeur de L = 90 mm.

Chargement Le chargement permettant de contraindre la poutre s’effectue en placant sur les tiges de chargementles disques en acier. On notera m la masse totale des disques deposee sur la poulie. 4 petits disques et 5 grands sontfournis par banc. Il y a 4 tiges de chargement correspondants a des sollicitations simples: une pour la traction, deuxpour la flexion et une pour la torsion (fig. 1). La tige de chargement doit etre liberee en retirant l’epingle. Une vislimite la course de la tige pour eviter de surcontraindre la poutre. Malgre le dispositif de limitation, il est importantde ne pas generer de chocs et de ne pas depasser le chargement limite donnee dans l’enonce. De plus, il est importantde verifier que les filins soient correctement installes sur les differentes poulies.

2

(a) Vernier (b) Vis de blocage de la torsion

Figure 2: Divers photos du montage

Visualisation des deformations La surface des poutres est quadrillee de facon a pouvoir visualiser le mouvementdes particules et la deformation du milieu. On appelera Si, i = 1, 5 les 5 sections les plus centrales de la poutre.Pour obtenir les positions des particules, on se servira des verniers (fig. 2(a)) fixes sur le banc. On prendra garde atoujours prendre les mesures de la meme facon, par exemple en la prenant systematiquement en-dessous, au-dessus(cas correspondant a la fig. 2(a)) ou au milieu des traits. On prendra garde aussi a ce que la reglette soit paralleleaux marquages horizontaux (comme sur fig. 2(a)).

2 Deroulement du TP

1. Preparer les TPs a la maison. Les questions en italique peuvent deja etre realisees au prealable. Il est aussiconseille pour bien comprendre le cours et preparer le TP, de faire les parties I.2 et II.2 a la maison en se servantdes photos des figures 4 et 6 respectivement. Ces figures sont telechargeables sur Dokeos pour un traitementeventuel sur imageJ.

2. Arriver a l’heure, les TP sont longs! Enlever la housse. Allumer l’ordinateur.

3. Il y a deux TPs correspondant a chacun des deux bancs d’essais: l’un avec une poutre cylindrique, l’autre avecune poutre rectangulaire. Chaque groupe passe 3 heures sur l’un des TPs et 1 heure sur l’autre.

Le groupe commencant avec le banc,

• rectangulaire repondra a toutes les questions de la partie I, et aux questions de la section II.1. La sectionII.2 sera realisee a la maison a partir de la figure 6.

• circulaire repondra a toutes les questions de la partie II, et aux questions de la section I.1. La section I.2sera realisee a la maison a partir de la figure 4.

4. Chaque groupe rend le compte-rendu du TP de 3 heures (rectangulaire ou circulaire) a la fin de la seance.

Celui du second TP (circulaire ou rectangulaire) est a remettre au secretariat au plus tard 6 jours apres le TP,pour pouvoir pretendre a des points bonus.

5. Les illustrations et tableaux de l’enonce qui se trouvent a la fin du document, peuvent etre completes, puiscolles dans le compte-rendu.

6. Avant de quitter la salle, rendre le compte-rendu, remettre la housse et les epingles en place, eteindre l’ordinateur,jeter d’eventuels dechets a la poubelle.

3 Questions preliminaires

1. Quelle est la taille de la microstructure de la mousse?

En deduire la taille typique d’une particule dans une modelisation milieu continu homogene.

2. Pesez les disques a l’aide de la balance fournie.

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I. Banc avec la poutre rectangulaire

1. Que vaut l’aire S d’une section?

Verifier la largeur de la poutre fournie dans l’enonce a l’aide d’une regle, les poutres etant susceptibles devieillir.

2. On considere la surface rectangulaire du bloc en mousse contenue dans les pointilles sur la figure 3(a). Onnotera Mij , i, j = 1, 5 les points du quadrillage a la facon d’une bataille navale. On se place dans la baseorthonormee directe ~ex, ~ey, ~ez definie selon les directions x, z representees sur la figure 3(a) et telle que lalongueur des vecteurs soient egales a 1 cm.

On considere 5 points M3i, i = 1, 5 situes sur la section S3 et 5 points Mi3, i = 1, 5 situes sur la ligne verticalemediane. Les placer sur la figure 3(a).

Relever les coordonnees x, z. Ecrire les resultats dans le tableau 1.

1 Traction sur une poutre rectangulaire

1. Enlever l’epingle de traction et verifier que les mouvements de torsion sont bloques par la vis de serrage (fig.2(b)).

Placer les 5 grands disques, puis les 4 petits sur la poulie de chargement.

(a) Exprimer la force F appliquee sur la poutre en fonction de la masse m.

(b) Calculer F .

(c) Decrire qualitativement ce que vous observez.

(d) Completer le tableau 1 en mesurant pour les 10 points M3i et Mi3 (i = 1, 5) leur nouvelle position. Endeduire leur deplacement ux et uz selon x et z.

(e) Tracer a l’aide d’un tableur, le graphe donnant uz en fonction de leur position initiale z. Que constate-t-on?

(f) En deduire l’allongement relatif longitudinal ∆`/` dans la direction z.

2. En conservant ce chargement,

(a) Mesurer sur la section S3 la contraction unitaire ∆d/d dans la direction x.

(b) Comment varient les angles entre les directions ~ex, ~ey et ~ez?

(c) Verifier que les deformations sont petites et determiner la matrice ε du tenseur des deformations linearise.

(d) Calculer le rapport ν (coefficient de Poisson) entre ∆d/d et ∆`/`.

(e) Estimer l’erreur sur ν.

(f) Le comportement dans la direction transversale y etant le meme, preciser s’il y a augmentation ou diminu-tion de volume lorsqu’on charge la poutre.

(g) Determiner ∆V/V dans la zone ou les deformations sont homogenes. Comparer avec trε.

3. Enlever progressivement chaque disque de la poulie. Pour chaque chargement (reporter les resultats dans letableau 2):

(a) Calculer la force F s’appliquant sur la poutre.

(b) Mesurer la cote z des sections S1 et S5.

(c) En deduire la nouvelle distance `′ et l’allongement relatif ∆`/` entre ces sections.

(d) Tracer a l’aide d’un tableur, le graphe donnant la contrainte normale σ ≡ F/S en fonction de l’allongementrelatif. Que constate-t-on ?

(e) Tracer une droite passant au mieux par l’origine et le nuage de points. Calculer le coefficient directeur decette droite (module de Young, note E). Quel est son unite?

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(f) Sachant que la gamme de rigidite E pour les materiaux actuellement connus varient de 10 kPa (mousses)a 1000 GPa (diamant) et que celle de l’acier vaut E ∼ 200 GPa, commenter la valeur que vous trouvezpour votre mousse de polyruethane.

(g) Calculer a partir des valeurs mesurees de E et ν, le module de cisaillement G defini par G = E2(1+ν) .

(h) Si vous avez realise au prealable la partie II, comparer avec la valeur obtenue en II.3g.

2 Flexion sur une poutre rectangulaire

Remettre l’epingle de traction en place, puis liberer les deux epingles de flexion.

1. Sur la poutre dechargee (cf. fig. 3(a)), on note−→da =

−−−−−→M24M25 et

−→dc =

−−−−−→M24M34 deux vecteurs particulaires issus

de M24 dans les directions x et z respectivement. On considere egalement un vecteur particulaire−→db issu de

M24 dirige selon y.

(a) Dessiner les vecteurs sur la figure 3(a).

(b) Mesurer les longueurs des vecteurs−→da et

−→dc, puis exprimer ces vecteurs dans la base ~ex, ~ez.

2. Placer sur chacune des deux poulies de flexion (fig. 1) deux grands disques. Puis repondre aux questionssuivantes:

(a) Decrire qualitativement la deformation. Est-elle homogene?

(b) Dessiner sur la figure 3(b), la nouvelle position M ′24, M

′25, M

′34 des points M24, M25, M34.

(c) Les lignes droites M24M25 et M24M34 demeurent-elles droites apres transformation?

(d) On note−→dx,−→dy et

−→dz les vecteurs transportes de

−→da,−→db et

−→dc.

Rappeler la definition du vecteur transporte et exprimer−→dx,−→dy et

−→dz en fonction de l’application lineaire

tangente⇒F et

−→da,−→db et

−→dc.

(e) Les vecteurs transportes−→dx et

−→dz correspondent-ils a la transformee des lignes M24M25 et M24M34

definissant les vecteurs−→da et

−→dc?

Si non, redefinir sur la fig. 4, les vecteurs−→da et

−→dc pour que ce soit le cas en vous servant des marquages

intermediaires. Exprimer ces vecteurs dans la base (~ex, ~ez).

(f) Mesure en M24, de la matrice F de l’application lineaire tangente dans la base ~ex, ~ey, ~ez:

i. Mesurer les longueurs des vecteurs−→dx,−→dy,−→dz, ainsi que l’angle entre les vecteurs.

ii. Mesurer la rotation φ de la section S2 contenant M24.

iii. En deduire l’expression de vecteurs−→dx et

−→dz dans la base ~ex, ~ez.

iv. En considerant la face avant du bloc, mesurer la transformee−→dy du vecteur particulaire

−→db.

v. En deduire la matrice F .

(g) Determination en M24, de la matrice C du tenseur des dilatations dans la base ~ex, ~ey, ~ez de deux manieres:

i. En utilisant les longueurs des vecteurs−→dx,−→dy,−→dz, ainsi que l’angle entre ces vecteurs.

ii. Exprimer C en fonction de F et la recalculer. Comparer.

(h) En procedant comme en 2(g)i, c’est-a-dire sans mesurer F , mesurer C aux points M23, M22.

(i) Peut-on considerer que les deformations sont petites? Si oui, determiner la matrice ε du tenseur desdeformations linearise au point M24.

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II. Essai de torsion sur une poutre cylindriqueVerifier que la vis de blocage de la torsion est ouverte (fig. 2(b)). Enlever l’epingle de torsion (fig. 1).

1 Mesure du module de cisaillement G

1. Quand la poutre est dechargee:

(a) Mesurer la cote z de chacune des sections Si (i = 1, 5). Reporter les valeurs dans le tableau 3.

(b) Calculer l’aire S d’une section.

2. Placer quatre petits disques sur la poulie de torsion (fig. 1).

(a) Quelle est la nouvelle forme des sections? Leur nouvelle cote z′ (tableau 3)?

(b) Quelle est la nouvelle forme des lignes verticales?

(c) Mesurer l’angle de rotation θ autour de l’axe vertical de la poutre pour chacune des 5 sections Si, i = 1, 5.

(d) Tracer a l’aide d’un tableur, θ en fonction de la cote initiale z de la section. Que constate-t-on?

(e) En deduire la valeur absolue |θ| du taux de rotation θ ≡ dθ

dz.

3. Enlever un a un les disques. Pour chacun des chargements:

(a) Montrer que γ ∼ θR ou R est le rayon de la poutre et γ est defini sur la figure 5(b).

(b) Mesurer l’angle de rotation des sections S1 et S5 (tableau 4).

(c) En deduire le taux de rotation |θ| (en valeur absolue) et l’angle de distorsion γ (tableau 4).

(d) Calculer le moment de torsion C = Fa (ou a = 48.5 mm, rayon de la poulie) et la contrainte tangentielle

τ = 2F

S2(tableau 4).

(e) Tracer le graphe donnant le moment de torsion C en fonction de |θ|. Que constate-t-on ?

(f) Tracer le graphe donnant la contrainte tangentielle τ = 2F

S2en fonction de l’angle de distorsion γ exprime

en radian. Que constate-t-on ?

(g) Tracer une droite passant au mieux par l’origine et le nuage de points. Calculer le coefficient directeur decette droite (module d’elasticite transversal ou module de Coulomb note G), quel est son unite?

(h) Si vous avez realise au prealable la partie I, comparer avec la valeur obtenue en I.3g.

2 Mesure des deformations locales

1. Decharger si necessaire la poutre.

On note−→dτ =

−−→MP et

−→dZ =

−−→MQ deux vecteurs particulaires issus de M dans les directions ~eθ et ~ez respective-

ment. On considere egalement un vecteur particulaire−→dR issu de M dirige selon −~er.

(a) Dessiner les vecteurs−→dτ et

−→dZ sur la fig. 5(a).

(b) Exprimer ces vecteurs dans la base cylindrique ~er, ~eθ, ~ez liee au point M .

Exprimer ces vecteurs dans la base cylindrique ~er, ~eθ, ~ez liee au point M .

2. Placer deux grands disques sur la poulie de torsion.

On desire mesurer la deformation autour du point M (cf. Fig 5(b)).

(a) On note−→dr,−→dt et

−→dz les vecteurs transportes de

−→dR,−→dτ ,−→dZ.

Rappeler la definition du vecteur transporte et exprimer−→dr,−→dt et

−→dz en fonction de l’application lineaire

tangente⇒F en M et

−→dR,−→dτ ,−→dZ.

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(b) Les vecteurs transportes−→dt et

−→dz correspondent-ils a la transformee M ′P ′ et M ′Q′ (fig. 5(b)) des lignes

MP et MQ? Si non, redefinir les vecteurs−→dτ ,−→dZ pour que ce soit le cas.

(c) Exprimer dans la base cylindrique ~er, ~eθ, ~ez attachee au point M ′, les transportees−→dt,−→dz, des vecteurs

−→dτ ,

−→dZ.

(d) En faire de meme pour−→dr.

(e) En deduire au point M , la matrice F de l’application lineaire tangente dans la base cylindrique.

(f) Exprimer C du tenseur des dilatations en fonction de F . En deduire C.

(g) En deduire les dilatations dans les directions ~er, ~eθ, ~ez, ainsi que l’angle de distorsion γ (fig. 5(b)).

(h) Mesurer directement ces quantites. Comparer.

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A Partie I

(a) Configuration initiale (b) Deformation de flexion

Figure 3: Vue de profil de la poutre rectangulaire

Noeud x (mm) z (mm) x′ (mm) z′ (mm) ux (mm) uz (mm)

M31

M32

M33

M34

M35

M13

M23

M33

M43

M53

Table 1: (Traction) mesures des deplacements

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(a) Configuration initiale

(b) Chargement avec 2x2 grands disques

Figure 4: Poutre rectangulaire

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F (N) z5 (cm) z1 (cm) `′ (cm) ∆`/` σ ( Pa)

Table 2: (Traction) allongement versus contrainte

B Partie II

(a) Configuration initiale (b) Deformation de torsion

Figure 5: Poutre circulaire

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z (cm) z′ (cm) θ (degre)

S1S2S3S4S5

Table 3: (Torsion) variation de l’angle de rotation en fonction de z

F (N) θ5 (˚) θ1 (˚) |θ| (deg/cm) γ (rad) C (N.cm) τ ( )

0

5

10

15

20

Table 4: (Torsion) taux de rotation versus moment applique

(a) Configuration initiale (b) Chargee avec deux grands disques

Figure 6: Poutre circulaire

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