Travaux diriges de mecanique quantique

Ecole de Chimie, Polymeres et Materiaux de Strasbourg

Annee scolaire 2014-2015Premier semestre

Travaux diriges de mecanique quantique

- Sujets -

Emmanuel Fromager et Etienne Gindensperger

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Travaux diriges de mecanique quantique

Particule confinee sur un segment de droite

E.C.P.M. 1ère Année TD de Mécanique Quantique 2009-2010

Travaux Dirigés N°1

Particule confinée sur un segment de droite

Soit une particule de masse m confinée sur un segment de droite de longueur L : ce modèle est utilisé pour décrire les électrons libres dans un métal ou les électrons ! dans les polyènes conjugués. 1. La particule est supposée libre sur le segment. Qu’est que cela signifie pour son énergie ? 2. Ecrire l’équation de Schrödinger pour la particule. 3. Résoudre l’équation différentielle et exprimer les solutions à l’aide des fonctions cosinus et

sinus. 4. En utilisant la condition aux limites en x=0, simplifier l’expression des solutions !. 5. En utilisant la seconde condition aux limites sur !(x) en x=L, montrer que l’énergie est

quantifiée, c.-à-d. qu’elle dépend d’un nombre quantique n. 6. Montrer que l'on peut se limiter aux valeurs positives du nombre quantique n. Le cas n=0

correspond-il à une solution physique ? 7. Calculer le coefficient de normalisation de la fonction d’onde associée au nombre quantique n. 8. Que représente !*(x) !(x) dx ? Que représente !*(x) !(x) ? 9. Tracer les fonctions d’onde et les densités de probabilité associées aux niveaux d’énergie n=1, 2, 3. Commenter. 10. Montrer que dans le cas d'un système macroscopique (L tend vers l’infini), l'énergie n'est plus

quantifiée. Montrer que, pour des nombres quantiques élevés, la densité de probabilité devient uniforme sur le segment [OL]. Expliquer pourquoi on parle dans ce cas de limite classique.

11. Calculer la valeur moyenne de la position de la particule associée à n et commenter. 12. Calculer la valeur moyenne de la quantité de mouvement associée à n et commenter. 13. Le comportement des électrons ! des liaisons doubles dans les polyènes conjugués peut être interprété à l'aide du modèle de la particule confinée sur un segment de droite. On les considère libres de se déplacer le long de la molécule que l'on supposera linéaire. Une transition électronique (spectres d'absorption) a lieu entre le dernier niveau occupé (principe de Pauli) et le premier niveau vide. La fréquence de cette transition obéit à la relation de Bohr "E = h#. On prendra 2 exemples : l'hexa-2,4-diène (6C) et le butadiène (4C). Pour ces deux cas, établir la relation entre $, longueur d'onde associée à cette transition, et D, longueur de la molécule.

Calculer $ dans les deux cas (m=9,11 10-31

kg; c=3 108 ms

-1; h=6,63 10

-34 Js, C-C = 154 pm, C=C =

135 pm). Sachant que $exp6 =227 nm et $exp4 =217 nm, commenter.

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Particule dans une boıte cubique

E.C.P.M. 1ère Année TD de Mécanique Quantique 2009-2010

Généralisation : Particule libre dans une boite cubique

Nous considérons une particule « libre » de masse m qui est piégée dans une boite de volume L x L x L.

Objectif : Nous souhaitons connaître les énergies possibles de la particule piégée. Cette question se pose en physique statistique lorsque l’on considère le modèle de gaz parfait.

1. Ecrire l'équation de Schrödinger pour la particule et donner les six conditions aux limites. 2. Nous cherchons une solution de la forme !(x,y,z)= "x(x) "y(y) "z(z). Insérer cette

expression dans l'équation de Schrödinger et diviser ensuite par !(x,y,z).

3. Montrer alors que l'équation de Schrödinger obtenue à la question 2 conduit à trois

équations indépendantes qui peuvent être considérées formellement comme des équations de Schrödinger décrivant une particule confinée sur un segment de droite, le long de l’axe des x, y ou z. On note les énergies correspondantes Ex, Ey et Ez. Exprimer l’énergie totale de la particule en fonction de Ex, Ey et Ez.

4. D’après le TD «Particule confinée sur un segment de droite » et les conditions aux limites,

quelles sont les valeurs possibles de Ex, Ey et Ez ? 5. Quelles sont alors les énergies E possibles pour la particule dans la boîte ?

6. Donner l’expression de la fonction d'onde !(x,y,z) associée. 7. Qu'arrive-t-il aux niveaux d’énergie lorsque le volume de la boite devient infini ?

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Atome d’hydrogene

TD: Atome d’hydrogène

1) On considère l’atome d’hydrogène, composé d’un noyau de charge Z=1 et d’un électron

de masse me. On suppose que le noyau est fixe.

Écrire, à l’aide de l’Annexe I, l’équation de Schrödinger pour l’atome d’hydrogène en

coordonnées sphériques en faisant apparaître l’opérateur

.

2) Vérifier que la fonction d’onde définie dans l’Annexe II est bien solution de

cette équation. Quelle est l’énergie associée? On rappelle que pour tout entier naturel ,

, avec .

3) En utilisant les notes de cours, dessiner les quatre premiers niveaux d'énergie de l'atome

d'hydrogène en indiquant leur nom ( ) ainsi que leur degré de dégénérescence (on

ne prendra pas en compte la dégénérescence due au spin).

4) Montrez que les orbitales ns (c’est-à-dire ) sont de symétrie sphérique.

5) Quelle est la probabilité pour qu'un électron qui se trouve dans l'orbitale 1s se trouve à une

distance r du noyau? Quelle est la distance r qui correspond au maximum de probabilité

de trouver l'électron lorsqu'il est dans un état 1s?

6) Donnez les expressions des orbitales , et .

7) Ces orbitales ont des expressions complexes. L'ensemble de ces 3 orbitales atomiques

constitue une base d'un espace vectoriel. Montrez que l'on peut trouver une base de cet

espace vectoriel constituée de vecteurs dont les expressions sont réelles et qui évoluent

comme . Ces trois orbitales sont appelées , et

respectivement.

8) On souhaite donner une représentation graphique en trois dimensions de la partie

angulaire de l’orbitale . Pour ce faire on peut tracer la surface

en indiquant le signe de . Montrer, en se plaçant dans le plan

, que l’orbitale est ainsi représentée par deux sphères tangentes en au plan

. Comment est-elle modifiée par les opérations de symétrie suivantes : inversion,

rotation autour de l’axe des , réflexions par rapport aux plans et ?

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9) Une autre représentation possible consiste à tracer la surface . Montrez

que, dans ce cas, l’orbitale est représentée par deux lobes partant de .

10) Démontrez que les orbitales , et sont orthogonales entre elles.

11) Écrire l'expression des orbitales , et .

12) Ces 5 orbitales atomiques 3d constituent une base d'un espace vectoriel. Montrez que l'on

peut trouver une autre base de cet espace vectoriel constituée de vecteurs dont les

expressions sont réelles et qui évoluent comme , xz, yz, xy et . Ces

fonctions sont généralement appelées respectivement . Une

représentation en trois dimensions de leur partie angulaire est donnée en Annexe III.

Annexe I : Laplacien en coordonnées sphériques

Annexe II : Solutions de l'équation de Schrödinger pour l'atome d'hydrogène

La résolution de l'équation de Schrödinger relative à l'atome d'hydrogène conduit à des

solutions caractérisées par 3 nombres quantiques n, l et m. Pour l=0 on dit que

l'on a une orbitale s, une orbitale p pour l=1, une orbitale d pour l=2…

L'expression des orbitales atomiques est la suivante:

où .

Les expressions des différentes fonctions sont les suivantes:

Pour (fonction de Legendre associées et normalisées):

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Pour les fonctions radiales:

Z représente la charge du noyau (1 pour l'atome d'hydrogène) et représente le rayon de

Bohr.

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Annexe III : Représentation en trois dimensions des orbitales d

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Etude d’un systeme a 2 etats : la molecule d’ammoniac

Etude d'un système à 2 états : la molécule d'ammoniac

On considère dans un premier temps, une molécule d’ammoniac en l’absence de perturbation

extérieure. L'atome d'azote peut être au dessus ou en dessous du plan P défini par les 3 atomes

d'hydrogène. Cela définit deux états de la molécule. On notera l'état dans lequel l'atome d'azote

pointe dans la direction +z par rapport au plan P et par l'état dans lequel l'atome d'azote pointe

dans la direction -z. La molécule d'ammoniac peut constamment passer de l'état à l'état .

1) Représentez la molécule dans les deux états et .

Par la suite on supposera que ces deux états forment une base orthonormée de l'ensemble des états

accessibles à la molécule.

Si

!

"(t) est l'état du système au temps t, l'évolution de

!

"(t) avec t est donnée par l'équation de

Schrödinger dépendante du temps :

.

où représente l'hamiltonien du système.

2) Les états et sont-ils des états propres du système ? (argumentez votre réponse).

3) Au temps t le système se trouve dans l'état où et sont

deux nombres complexes qui dépendent du temps. Quelle est leur signification physique?

4) La représentation matricielle de l’hamiltonien dans la base des états et peut s’écrire :

.

Montrez que

!

H++ et

!

H"" sont des nombres réels et que . Montrez que l’équation de

Schrödinger dépendante du temps est équivalente à :

.

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5) Si et ne sont pas les états propres du système, quelle conséquence cela a-t-il sur les

coefficients et ? Démontrez que si la molécule peut passer de l'état à l'état ,

l'inverse est automatiquement possible.

6) Pour des raisons de symétrie, . De plus, le terme de couplage est supposé

réel et égal à

!

"A(A > 0).

Quels sont les vecteurs propres normalisés et de l’hamiltonien ? Quels sont les énergies

correspondantes E1 et E2 ? L’état est choisi comme état fondamental de la molécule, c'est-à-dire

l’état de plus basse énergie E2.

7) Si, au temps t=0 la molécule se trouve dans l'état , quelle est la probabilité qu’elle se trouve

dans l'état au temps t ? Astuce : résoudre l’équation de Schrödinger dépendante du temps dans la

base des états et ( ).

8) On perturbe maintenant le système avec un champ électrique statique ( ). La

molécule possède un moment dipolaire permanent . L'énergie d'interaction entre ce dernier et le

champ électrique est égal en mécanique classique à :

.

Quand l’atome d’azote est sous le plan P, ( ).

Expliquez pourquoi, en mécanique quantique, et . Donnez la

représentation matricielle de l’hamiltonien en présence du champ électrique. Quelles sont les énergies

possibles pour la molécule ? On note l’énergie de l’état fondamental et le vecteur propre

associé.

9) On suppose que la géométrie de la molécule n’est pas affectée par le champ électrique, ce qui veut

dire que le terme de couplage peut être considéré comme constant. Montrez que, quand le champ

électrique est fort ( ) et la molécule dans son état fondamental , la probabilité de trouver

l’atome d’azote sous le plan P est beaucoup plus importante que la probabilité de le trouver au dessus

du plan. Que valent ces probabilités en l’absence de champ électrique ?

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