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Fattorizzazione QR

Teorema

Sia A una matrice non singolare.

Allora esiste ununica matrice

ortogonale Q ed ununica matrice

triangolare superiore R con elementi

diagonali positivi tali che

Dimostrazione

simmetrica definita positiva

Esiste ununica matrice triangolare superiore R con elementi

diagonali positivi tale che T. di Cholesky con

Poniamo e verifichiamo che ortogonale

Calcolo della fattorizzazione

La dimostrazione definisce in modo

univoco le matrici Q ed R

Tuttavia lalgoritmo che se ne ricava

computazionalmente costoso:

Calcolo di

Fatt. di Cholesky di

Inversa di

Calcolo di

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Come si ottiene la

fattorizzazione QR Calcolare Q ed R tramite le formule

computazionalmente costoso.

Algoritmi alternativi tramite

Trasformazioni elementari (rotazioni) di

Givens

Trasformazioni di Householder

Trasformazione elementari di Givens

dove

Esempio

Se n=8, =/4, i=3, j=6, la

trasformazione di Givens la

matrice

Prodotto matrice vettore

Moltiplicare un vettore per una

matrice di Givens equivale ad una

rotazione di ampiezza .

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Caso n=2 Osservazione

Rotazione nel senso positivo degli archi

In generale

Il prodotto matrice vettore

equivale ad una rotazione nelliperpiano individuato da

dove indicano l-iesimo e il j-esimo vettore della base canonica

(colonne della matrice identit)

Propriet

La matrice ortogonale.

Lo si vede dallesempio in 2

dimensioni, poich la trasposta

esprime una rotazione in senso

inverso.

In generale si ha che

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Per le altre componenti si comporta come la matrice

identit

Dimostrazione Osservazioni

Le matrici ortogonali hanno la

propriet di avere uninversa

facilmente calcolabile ( la

trasposta).

Lidea di usare le rotazioni di Givens

in modo analogo alle trasformazioni di

Gauss (matrici triangolari) per ottenere una fattorizzazione.

Osservazione

Se

sempre possibile trovare valori di c ed s (trovare un angolo ) tale che

Caso n=2

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In generale Il prodotto altera solo la i-

esima e la j-esima componente del

vettore y secondo le relazioni

Per annullare occorre trovare c ed s tali che

Data una matrice A, possibile

trovare tale che

abbia lelemento .

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Inoltre

Vengono alterate solo la riga i e la

riga j della matrice prodotto

Fattorizzazione QR

Usare le trasformazioni di Givens per

triangolarizzare una matrice (analogia

con le trasformazioni di Gauss).

Dopo n-1 passi

una matrice ortogonale perch prodotto di matrici

ortogonali

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Esempio Oppure

Unicit della fattorizzazione Ogni rotazione a meno di angoli esplementari

Si ha lunicit della fattorizzazione quando si

impone il segno positivo degli elementi diagonali di R

Complessit computazionale

Passo Prodotti Radici

1 n-1

2 n-2

n-1 1

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Osservazione

La complessit della fattorizzazione QR

maggiore rispetto allalgoritmo di Gauss.

Nel caso di matrici sparse pu essere

conveniente.

Es: Matrici tridiagonali

Osservazioni

Si dimostra che la fattorizzazione QR equivale al procedimento di Gram-Schmidt.

La fattorizzazione QR utilizzata anche per Algoritmi per il calcolo degli autovalori

di una matrice;

Metodi per la soluzione di problemi di fitting (approssimazione)

Soluzione di un sistema

Sostituzione allindietro

Algoritmi alternativi per il

calcolo della fattorizzazione

QR

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Metodo di pavimentazione

Procedimento di Gram-Schmidt

Trasformazioni di Householder

Trasformazioni di Householder

Dato un vettore con norma

euclidea unitaria

si definisce trasformazione

elementare di Householder la

matrice

Propriet delle trasformazioni

di Householder Simmetria

Ortogonalit

Trasformazioni di Householder

associate ad un vettore Dato un vettore si definisce

Trasformazione di Householder

associata a v

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Osservazione

Per moltiplicare una trasformazione

di Householder per un vettore y non

necessario calcolare

esplicitamente la diade

Usando la propriet associativa del

prodotto infatti si ha:

Costo computazionale

Dato , per calcolare il prodotto

Uy occorrono n moltiplicazioni per il

calcolo di e una divisione

Azzeramento delle componenti di

un vettore tramite trasformazioni di Househlder

Sia e la prima

colonna della matrice identit

Definiamo

Allora si ha che

Dimostrazione

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Fattorizzazione QR con

trasformazioni di Householder Indichiamo con le

colonne di A e poniamo

Passo 2

Passo k Dopo n-1 passi

Dove ortogonale perch

prodotto delle trasformazioni

triangolare superiore

Ponendo

si ottiene la fattorizzazione

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Esempio

Calcolo dellinversa

Calcolo dellinversa

Per definizione

Se consideriamo luguaglianza per

colonne otteniamo

dove la i-esima colonna dellinversa e la i-esima

colonna della matrice identit

Calcolo dellinversa

Se per esempio

Si risolvono n sistemi triangolari inferiori dove il termine noto rappresentato dalle colonne della matrice identit e poi n sistemi triangolari superiori.

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Metodo di Gauss-Jordan

Si risolvono contemporaneamente

gli n sistemi

La matrice A viene ridotta a forma diagonale mediante trasformazioni

di Gauss-Jordan.

Trasformazioni di Gauss-Jordan

Il prodotto equivale ad una combinazione lineare delle righe. La matrice risultante ha tutti elementi nulli sulla colonna i tranne lelemento diagonale.

Dopo n-1 passi

Si applicano n-1 trasformazioni alla

matrice composta

Si ottiene

per definizione

linversa di A

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Osservazioni

E una variante del metodo di Gauss. Si tratta di un procedimento di eliminazione.

Anche in questo caso si pu applicare la strategia di pivoting parziale.

Il metodo di Gauss-Jordan ha complessit computazionale

Esempio

Sommario dei metodi diretti

Complessit computazionale

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Due librerie di subroutine per la risoluzione dei sistemi lineari (LAPACK)

http://www.cs.colorado.edu/~jessup/lapack/applets/linear_equations_routines.html

(HSL) http://hsl.rl.ac.uk/contentshslarc.html#m

La scelta del metodo dipende Dalla struttura della matrice (sparsa o densa)

Dalla dimensione

Dal condizionamento del sistema

../../Ingspec/Lucidi/2009/Lapack2.htm../../Ingspec/Lucidi/2009/Lapack2.htm../../Ingspec/Lucidi/2009/CSE - HSL Archive packages.htm