transm inform fibre optice

8/6/2019 Transm Inform Fibre Optice

1/117

TRANSMITEREA INFORMATIILOR PRIN

FIBRE OPTICE

Notite de curs

Catalin Agheorghiesei

Iasi2004


2/117


3/117

Cuprins

Prefata iii

1 Propagarea luminii n ghiduri de unda 1

1.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Ghiduri de unda cu oglinzi plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Ghiduri de unda cu dielectrici plani . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4 Ghiduri de unda bidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5 Cuplajul radiatiei optice n ghidurile de unda . . . . . . . . . . . . . 34

2 Fibre optice 43

2.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2 Fibre optice cu salt de indice de refractie . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3 Fibre optice cu gradient de indice de refractie . . . . . . . . . . . . . 61

2.4 Atenuarea si dispersia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3 Utilizarea fibrelor optice n comunicatii 89

3.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.2 Componentele liniilor de transmisie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.3 Modularea, multiplexarea si cuplajul semnalelor . . . . . . . . . . . 97

Bibliografie 109

i


4/117


5/117

Prefata

Astazi nu se poate imagina comunicatii de telefonie, transmisii de date, etc.

fara implicarea fibrelor optice sau a satelitilor artificiali. Se poate spune ca pe

Pamant fibrele optice sunt suverane n timp ce n spatiu domnesc satelitii asupra

comunicatiilor. Intre cele doua regate exista o relatie de buna vecinatate si

ntelegere reciproca prin schimburi bilaterale de biti n folosul ambelor parti.

Cursul este structurat pe mai multe teme:

1. Propagarea undelor electromagnetice

2. Fibre optice, generalitati

3. Transmisia informatiei prin cablurile optice

4. Fibre optice dopate cu Erbium (amplificarea optica)

5. Sisteme de transmisie WDM1 multiplexare prin mpartirea lungimii de

unda.

6. Efecte de limitare a performantelor sistemelor de transmisie

Primul subiect abordat este o recapitulare a notiunilor legate de ecuatiile de

propagare a undelor luminoase n spatiul liber si ntr-un ghid de unda.

Capitolul intitulat fibrele optice prezinta fibrele optice monomod sau multi-mod prin prisma caracteristicilor de propagare ale undelor luminoase, moduri

de propagare, atenuarea n fibrele optice, exemple de aplicatii, etc.

Transmisia prin cablurile optice trateaza modul n care se realizeaza o linie

de comunicatie ce utilizeaza fibrele optice: surse de lumina, fotodetectorilor. In

1en. Wavelength Division Multiplexing.

iii


6/117

iv PREFATA

literatura de specialitate dispozitivele care realizeaza transferul ntre fibra optica

si liniile clasice de transmisie se numesc dispozitive optoelectronice.Noile tehnologii dezvoltate n ultimul timp cuprind fibre cu amplificare optica

si liniile de transmisie WDM.

Performantele sistemelor de transmisie cu fibre optice au fost mbunatatite n

principal prin eliminarea pe cat posibil a unor efecte de pierdere n materialul

fibrei, prin pierderi la cuplajul optoelectronic, etc. Toate aceste efecte de limitare

a performantelor liniilor de transmisie sunt descrise ntr-un capitol separat.

Scurt istoric

Transmiterea de informatii cu ajutorul luminii nu este o idee noua. Inca din

antichitate se transmiteau semnale simple cu ajutorul focului la distante foarte

mari. Astazi s-a ajuns la o retea mondiala de cabluri optice care transmit un

volum de informatii enorm:

800 .e.n. In Grecia erau transmise semnale folosind focul;

400 .e.n. Apar statiile releu

150 .e.n. se transmit coduri alfabetice

1960 inventarea laserului permite utilizarea unor fascicule de lumina diri-

jate si coerente;

1966 se realizeaza fibre optice cu pierderi de aproximativ 1000dB/km dato-

rate n special impuritatilor;

1970 primele fibre optice competitive cu retelele de Cu (Corning) avand

pierderi doar de 20dB/km

din 1990 fibre optice cu rata de pierdere de 0, 16dB/km care permit transmi-

terea informatiilor sute de km fara utilizarea repetoarelor.

Astazi se poate transmite n mod curent cu viteza de 1Gb/s adica 30000pag/s2

sau 7500 convorbiri telefonice3.

21 pagina de text contine n medie 16Kbit.31 voce digitizata necesita o viteza de transmisie de aproximativ 64Kbit/s.


7/117

V

Maine rata de transmisie va creste la 10Gb/s pe cablurile transoceanice, rea-

lizarea de parti optoelectronice integrate si a calculatoarelor optice (cuan-tice).

Avantajele transmisiei de informatii prin fibre optice

1. potential enorm privind banda de transmisie;

2. unda purtatoare de frecventa foarte mare ( 1014Hz);3. pierderi mici de informatii ( 0, 2dB/km chiar pentru sticla);

4. repetoarele pot fi eliminate;5. securitate crescuta pentru transmiterea de informatii: nu pot fi aflate datele

transmise fara a afecta semnalul;

6. fibrele optice sunt neutre din punct de vedere electric ceea ce nu mai presu-

pune utilizarea de antene sau legaturi pentru potentialul de referinta. Dea-

semenea neutralitatea electrica conduc la utilizarea cu succes a fibrelor op-

tice n mediu ostil.


8/117


9/117

CAPITOLUL 1

Propagarea luminii n ghiduri de unda

Cuprins1.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Reflexia totala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Ghiduri de unda cu oglinzi plane . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Constanta de propagare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Distributia intensitatii campului electric n interiorul ghiduluide unda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Frecventa de taiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Relatia de dispersie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Modurile transversal magnetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Propagarea campurilor multimod . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Ghiduri de unda cu dielectrici plani . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Distributia intensitatii campului electric n interiorul ghiduluide unda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Constantele de propagare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Numarul maxim de moduri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Distributiile campului electromagnetic . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4 Ghiduri de unda bidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Ghiduri de unda rectangulare cu oglinzi . . . . . . . . . . . . . 30

Ghid de unda rectangular dielectric . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Tipuri de ghiduri de unda dielectrici . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1


10/117

2 CAPITOLUL 1. PROPAGAREA LUMINII IN GHIDURI DE UNDA

1.5 Cuplajul radiatiei optice n ghidurile de unda . . . . . . . . . . 34

Cuplaj de intrare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Cuplaj ntre ghiduri de unda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Comutarea prin cuplajul fazei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.1 Introducere

Fibrele optice utilizate n transmiterea de informatii sunt un caz particular al

ghidurilor de unda pentru radiatiile luminoase. Aceste fibre optice sunt de faptghiduri de unda de forma cilindrica sau eliptica. In acest capitol vom discuta

teoria propagarii radiatiilor luminoase prin ghiduri de unda de diferite forme.

Ghidul de unda este un dispozitiv prin care unda luminoasa (dar nu numai)

este transmisa dintr-un punct n alt punct cu o pierdere cat mai mica a caracteris-

ticilor undei (frecventa, energie, polarizare, etc.).

In vid, dar si n medii cu omogene si izotrope din punct de vedere al caracte-

risticilor optice (indice de refractie n, permitivitate electrica relativa r), lumina se

propaga rectiliniu. Schimbarea directiei de propagare a luminii se realizeaza prin

reflexie si refractie la nivelul unei suprafete de separatie ntre doua medii transpa-

rente cu indici de refractie diferiti. Astfel, prin plasarea unei oglinzi sau a unui

mediu transparent n fasciculul luminos se poate schimba directia de propagare

a acestui fascicul conform legii Snell a reflexiei si refractiei (Figura 1.1):

(1.1) n1 sin i1 = n2 sin i2

unde:

n1 este indicele de refractie al mediului de unde provine radiatia luminoasa;

n2 este indicele de refractie al mediului n care patrunde lumina (aici se va

considera n2 = n1 daca are loc fenomenul de reflexie);Directiile de propagare a undei reflectate si, respectiv a undei refractate sunt de-

terminate de unghiurile i1, respectiv, i2 cu normala n punctul de incidenta. Fas-


11/117

1.1. INTRODUCERE 3

Figura 1.1

Reflexia si refractia luminii la nivelulul unei suprafete de separatie ntre doua medii

omogene cu indici de refractie n1 si n2.

ciculele luminoase reflectate sau refractate pot fi mprastiate, difractate sau foca-

lizate prin utilizarea diverselor instrumente optice: fante colimatoare, retele de

difractie, lentile, prisme, etc. Acest tip de transmisie n spatiu liber este de baza

n realizarea instrumentelor optice clasice.

Una din conditiile realizarii unui ghid de unda (schimbarea directiei de pro-

pagare a luminii) este relativ usor de ndeplinit prin folosirea unor oglinzi sau

a unei lame transparente. Totusi, din cauza ca cele doua fenomene (reflexia si

refractia) apar simultan iar energia undei reflectate sau refractate este, n general,

mai mica decat a undei incidente ghidul de unda astfel realizat nu are caracteris-

tici foarte bune. La aceasta concluzie contribuie si faptul ca geometria sistemului

de transmisie a informatiei cere utilizarea unui numar mare de oglinzi. Din feri-

cire, exista posibilitatea ca unda reflectata sa preia toata energia undei incidente

atunci cand are loc reflexia totala interna la nivelul suprafetei de separatie .


12/117


Reflexia totala

Reflexia totala1 se produce doar daca sunt ndeplinite urmatoarele conditii

(Figura 1.2):

reflexia are loc la suprafata de separatie dintre doua medii transparente

atunci cand unda incidenta se provine din mediul cu indice de refractie

n1 astfel ncat:

(1.2) n1 > n2

unghiul de incidenta a undei incidente i trebuie sa fie mai mare decat un

unghi limita:

(1.3) i l = arcsin n2n1

Optica geometrica explica reflexia totala prin faptul ca, n conditiile date, raza

incidenta nu mai sufera si o refractie n punctul de incidenta deoarece nu mai

poate fi satisfacuta legea refractiei (1.1) pentru i l:

(1.4) sin i n1n2

1

ceea ce este imposibil pentru ca sin i 1.In optica electromagnetica se demonstreaza ca atunci cand sunt ndeplinite

conditiile reflexiei totale unda refractata devine o unda evanescenta care se ate-

nueaza foarte repede pe o distanta x fata de suprafata de separatie .

1.2 Ghiduri de unda cu oglinzi plane

Vom considera un ghid de unda format din doua oglinzi plane ideale (coe-

ficient de reflexie 1) paralele infinite asezate la distanta d (Figura 1.3) Un astfel

1John Tyndall (1820-1893) a fost primul fizician care a realizat un studiu am anuntit asupra

reflexiei totale interne.


13/117

1.2. GHIDURI DE UNDA CU OGLINZI PLANE 5

Figura 1.2

Reflexia totala a undei unde incidente la suprafata de separatie dintre doua medii cu

indici de refractie n1 > n2.

de ghid optic este greu de realizat mai ales din cauza costurilor ridicate pentruconfectionarea oglinzilor. Totusi, vom analiza acest caz pentru definirea unor

notiuni care vor interveni atunci cand se vor analiza fibrele optice. Astfel, vom

considera ca ntr-un astfel de sistem patrunde o raza de lumina care formeaza cu

planul oglinzii O1 un unghi:

=

2 i

In punctul de incidenta A are loc reflexia pe oglinda O1 astfel ncat raza reflec-

tata parcurge spatiul dintre oglinzi si ajunge la oglinda O2 n punctul C unde

re loc o noua reflexie. Aceste reflexii se repeta de-a lungul axei Oz paralela cu

suprafata oglinzilor ghidului de unda. In acest mod n tot spatiul dintre oglinzi

campul electromagnetic este datorat interactiunii campurilor electromagnetice

corespunzatoare razelor reflectate pe oglinda O1 si a razelor reflectate pe oglinda

O2. Acest camp electromagnetic va trebui anumite conditii pentru a realiza o


14/117


Figura 1.3

Un ghid de unda format din doua oglinzi plane ideale (O1 si O2) paralele.

transmisie cat mai buna a semnalului de la un capat la celalalt al ghidului de

unda.

Se definesc modurile (proprii) ghidului de unda ca fiind campurile electromagne-

tice care au aceeasi distributie transversala si de polarizare la orice distanta de-a

lungul axei ghidului de unda. Pentru studiul acestor moduri proprii vom con-

sidera ca raza optica ca fiind o unda transversal electromagnetica (TEM) plana

caracterizata de: lungimea de unda = 0/n, numarul de unda k = nk0 cu n

indicele de refractie al mediului dintre oglinzi. Unda plana este considerata a fi

polarizata pe directia x si vectorul de unda k n planul yz ncat unghiul dintre

vectorul de unda si directia Oz este dupa cum se analizeaza unda reflectatape oglinda O1 sau O2. In punctele de incidenta n care are loc reflexia se produce

si un salt de faza egal cu ntre unda incidenta si cea reflectata. Pentru a gasi mo-

durile ghidului de unda se impune conditia ca dupa 2 reflexii succesive pe cele


15/117


doua oglinzi sa se reproduca situatia initiala ncat unda sa nu-si modifice am-

plitudinea, polarizarea (directia de oscilatie) si faza

2

.In timpul cat unda plana

reflectata (n punctul A) parcurge spatiul dintre oglinzi AC, unda incidenta ar

parcurge spatiul AB. Dupa reflexia n punctul C conditia de mai sus se realizeaza

doar daca diferenta de faza ntre unda reflectata n C si faza undei incidente n A

este un numar ntreg de 2:

(1.5)2|AC|

2 2|AB|

= 2q q = 0 , 1 , 2 , . . .

In relatia de mai sus se pot nlocui expresiile pentru AC si AB functie de caracte-

risticile ghidului de unda (indicele de refractie n si distanta dintre oglinzi d) si de

caracteristicile fasciculului incident (lungimea de unda si unghiul ). Astfel:

(1.6) |AC| = dsin

din ADC(D /2). Pentru calculul |AB| din ABC(B /2) rezulta AB =AC cos2 ncat:

(1.7) |AC| |AB| = |AC| (1 cos2) = 2d sin

Conditia (1.5) devine conform relatiei (1.7):

(1.8) sin m = m

2d

unde: m = q + 1, m = 1 , 2 , . . .

Relatia (1.8) exprima conditia ca unda sa fie ghidata de cele doua oglinzi plane

cu pastrarea tuturor caracteristicilor undei plane incidente. Aceasta conditie poate

fi exprimata functie de unghiul dintre directia de deplasare a undei incidente si

planul oglinzii . Astfel, fiecarui numar ntreg m i corespunde un anume mod

de propagare a undei de lungime de unda prin ghidul caracterizat de distanta

dintre oglinzi d. Pentru m = 1 se obtine unghiul cel mai mic 1 = sin1

2d , cele-

lalte moduri cu m > 1 sunt denumite, de obicei, moduri mai oblice datorita faptu-

lui ca m > 1. In plus, atunci cand relatia (1.8) este satisfacuta fazele undelor re-

flectate difera fata de fazele undelor incidente cu qunde q = (m 1) = 0 , 1 , . . .2Aceasta conditie este cunoscuta si sub denumirea de conditia de self-consistenta.


16/117


astfel ncat intensitatea campului electric rezultant va fi egala cu suma algebrica

dintre unda incidenta si unda reflectata: pentru m = 2k + 1 (mod impar) intensitatile celor doua unde se aduna;

pentru m = 2k (mod par) intensitatile celor doua unde se scad.

Componenta vectorului de unda pe directia y este ky = nk0 sin si conform

(1.8) rezulta:

kym = nk0 sin m =2

sin m =

= m

d(1.9)

Trebuie remarcat faptul ca pe directia y vectorul de unda kmy este cuantificat si

depinde doar de proprietatile geometrice ale ghidului de unda (prin distanta d).

Este de asteptat, de aici, ca pe directia y modurile proprii de propagare a undei

sa fie asimilate unei unde stationare.

Constanta de propagare

Unda ghidata este compusa din doua unde plane distincte care fac unghiul

cu axa de propagare z si au vectorii de unda cu urmatoarele componente: k1(0, ky, kz);

k2(0, ky, kz)Componentele vectorilor de unda pe axa y sunt date de relatia (1.9). Deoarece pe

directia axiala z componentele vectorilor de unda a celor doua unde sunt identice

kz se defineste astfel constanta de propagare: = kz = k cos si conform (1.8)rezulta:

(1.10) 2m = k2(1 sin2 m) = k2 m

22

d2

Se observa ca modurile superioare (mai oblice) au constante de propagare mai

mici (Figura 1.4).


17/117


s

n

. . . .

k

y

=

n

k

0

s

n

c o s

Figura 1.4

Unghiurile m corespunzatoare modurilor de propagare prin ghidul de unda si constantele

de propagare m corespunzatoare.

Distributia intensitatii campului electric n interiorul ghidului de unda

Pentru a calcula distributia intensitatii campului electric n interiorul ghidului

de unda se tine cont de faptul ca intensitatea rezultanta a campului electric este

suma vectoriala dintre intensitatea campului pentru unda care se deplaseaza spre


18/117


oglinda de sus:

E

Am exp(jkymy jmz)si pentru unda care se deplaseaza spre oglinda de jos:

E exp[j(m 1)]Am exp(+jkmy jmz)

(la y = 0 cele doua unde difera printr-o diferenta de faza (m 1))3Datorita faptului ca modurile de propagare depind de m care introduce diferenta

de faza vor exista moduri simetrice atunci cand intensitatile campurilor se aduna si

moduri antisimetrice cand intensitatile campurilor se scad. intensitatea campului

electric total va fi:

(1.11) Ex(y, z) = amum(y) exp(jmz)

unde:

(1.12) um(y) =

2d cos

myd , m = 2k 1

2d sin

myd , m = 2k

si:

(1.13) am =

2dAm, m = 2k 1j

2dAm, m = 2k

In relatia (1.11) am este amplitudinea modului m iar um(y) sunt functii ortogonale

pe intervalul [d/2, d/2]:

(1.14)d/2d/2

um(y)ul(y)dy = ml

unde ml este simbolul lui Kroneker:

(1.15) ml =

1, m = l0, m = l3In relatiile de mai sus s-a neglijat variatia n timp a campului electric deoarece este aceeasi

pentru cele doua unde exp(jt) si se calculeaza doar distributia spatiala a campului n interiorul

ghidului de unda.


19/117


Functiile um(y) reprezinta de fapt functii de distributie pentru intensitatea campului

electric a unei unde TE n interiorul ghidului de unda pe directia transversala y.Remarcam faptul ca aceste functii sunt ortogonale (1.15). Fiecare mod poate fi

privit pe directia transversala ca o unda stationara care se deplaseaza pe directia

z (Figura 1.5). Modurile de ordin superior (cu o valoare mare pentru m) au o

o g l i n d

- d / 2

. . .

o g l i n d

Figura 1.5

Distributia intensitatii campului electric n ghidul de unda cu oglinzi plane paralele.

valoare mai mare pentru vectorul de unda ky si se deplaseaza cu o constanta de

propagare mai mica. Intensitatea campului electric la suprafata oglinzilor este

nula ncat sunt satisfacute conditiile de marginire ntotdeauna.

Frecventa de taiere

In relatia (1.8) numarul modului m nu poate lua orice valoare deoarece sin m 1 astfel ncat numarul de moduri care ndeplinesc conditia de self-consistenta

este:

(1.16) M =

2d


20/117


In concluzie, lumina poate fi transmisa printr-un astfel de ghid de unda n

mai multe moduri. Totusi, numarul real de moduri care propaga puterea op-tica depinde de sursa de excitare si este limitat la o valoare maxima M. Numarul

modurilor suportate de ghidul de unda este direct proportional cu raportul d

(Figura 1.6). Daca 2d rezulta M = 0 si ghidul de unda nu poate suporta nici un

N

u

m

r

d

e

m

o

d

u

r

M

c / 2 d

Figura 1.6

Numarul de moduri care se pot propaga prin ghidul de unda este limitat si exista o

valoare minima pentru frecventa unei unde care se mai poate propaga prin ghid.

mod self-consistent. Exista, asadar, o limitare n propagarea undelor prin ghi-

durile de unda. Astfel, pentru un ghid de unda dat (d fixat) lungimea de unda

maxima pentru care mai exista propagare este:

(1.17) max = 2d

si este denumita de multe ori lungime de unda de taiere. Acestei lungimi de unda

limita i corespunde o frecventa de taiere:

(1.18) min =c

2d


21/117


Daca

(1.19) 1 < 2d

2 [d, 2d]

prin ghid se poate propaga doar modul m = 1. In acest caz un astfel de ghid se

numeste ghid monomod4.

Numarul maxim de moduri creste direct proportional cu frecventa undei:

(1.20) M = 2d

c

Relatia de dispersie

Viteza de propagare a informatiei nu este viteza de faza a undei ci viteza de

grup:

(1.21) vg =d

d

Pentru a afla viteza de grup pentru un anumit mod de propagare n relatia (1.10)

se tine cont de faptul ca k = c si se obtine astfel relatia de dispersie:

(1.22) 2m =

c

2 m22d2

Daca mediul dintre oglinzi este nedispersiv, c = c() atunci prin derivarearelatiei (1.22):

2mdmd

=2

c2 d

dm= m c

2

=

m=k cos m

kc2

cos m

astfel ncat viteza de grup pentru modul m este data de relatia:

(1.23) vm = c cos m

La aceeasi concluzie se poate ajunge si din considerente geometrice atunci cand

se examineaza propagarea undei plane (Figura 1.3) n zig-zag.

4en. single-mode.


22/117


Modurile transversal magnetic

In sectiunile anterioare a fost studiat modul de propagare transversal elec-

tric (TE) atunci cand vectorul intensitate camp electric E al undei este paralel cu

directia x. Similar se poate considera modul transversal magnetic atunci cand

vectorul inductie magnetica B este paralel cu axa x.

Analiza modurilor de propagare pentru ghidul de unda TM se realizeaza n

acelasi mod ca si pentru modurile TE rezultand acelasi numar maxim de moduri:

M = 2d astfel ncat numarul total de moduri suportate de ghidul de unda se du-

bleaza: Mt = 2M (M moduri TE si alte M moduri TM).In acest caz componentele

Ez ale intensitatii campului electric sunt date de relatia:

(1.24) Ez(y, z) =

am

2d cos

myd exp(jmz) m = 2k 1

am

2d sin

myd exp(jmz) m = 2k

unde:

(1.25) am =

2dAm m = 2k 1

j

2dAm m = 2k

In modul TM vectorul intensitate camp electric E este perpendicular pe directia

de propagare si face un unghi /2 + m cu axa z atunci cand unda se propaga

catre oglinda de sus si /2 m atunci cand unda se propaga catre oglinda de jos.In acest fel se pot obtine componentele campului electric pe directia y. Deoarece

Ey = Ez cot se obtine:

(1.26) Ez(y, z) = am

2d cot m cos

myd exp(jmz) m = 2k 1

am2d cot m sin myd exp(jmz) m = 2kEste de remarcat faptul ca:

limyd/2

Ez(y, z) 0

oricare ar fi valoarea lui z astfel ncat conditiile de marginire se realizeaza n orice

punct de pe suprafata oglinzilor si n cazul modului TM.


23/117


Daca se tine cont de faptul ca ntre valoarea intensitatii campului electric E si

valoarea intensitatii campului magnetic Heste satisfacuta relatia:E

H=

unde este impedanta mediului dintre oglinzi:

(1.27) =0n

=

00

n

atunci se poate afla si intensitatea campului magnetic

(1.28) Hx(y, z) =Ex

Propagarea campurilor multimod

Modurile de propagare nu sunt singurele forme n care o unda electromag-

netica poate fi transmisa prin ghidul de unda. De fapt, orice camp electromag-

netic care satisface conditia de marginire (este nul la nivelul oglinzilor) dar cu odistributie de camp arbitrara n planul transversal (x y) se poate propaga pringhidul de unda. Totusi, puterea optica se mparte pe mai multe moduri de pro-

pagare. Deoarece la moduri diferite le corespund constante de propagare diferite

si diferite viteze de grup distributia campurilor n interiorul ghidului de unda se

schimba pe masura ce se propaga prin acesta.

Atunci cand intensitatea campului electric este polarizata pe directia x, sa-

tisface conditia de marginire se poate face o dezvoltare a valorilor intensitatii

campului dupa diferite moduri de propagare:

(1.29) Ex(y, z) =M

m=0

amum(y) exp(jmz)

unde am sunt amplitudinile modurilor. Un exemplu de propagare a unei unde

multimod este prezentat n Figura 1.7.


24/117


Figura 1.7Variatia intensitatii unei unde cu: (a) m = 1; (b) m = 2 si (c) o suma celor doua

moduri.


25/117

1.3. GHIDURI DE UNDA CU DIELECTRICI PLANI 17

1.3 Ghiduri de unda cu dielectrici plani

Un ghid de unda plan dielectric este format dintr-un strat de material die-

lectric asezat ntre doua medii cu indici de refractie mai mici decat a stratului

central. Lumina este ghidata n interiorul stratului dielectric prin reflexie interna

totala. In dispozitivele n care stratul ghid are caracteristicile unui strat subtire se

foloseste notiunea de film mediul de sub film se numeste substrat iar mediul care

acopera filmul se numeste patura sau nvelis.

Vom considera un strat dielectric cu fete plan-paralele de grosime d si indice

de refractie n1 nconjurat de un mediu cu n2 < n1 (Figura 1.8). Toate materialele

Figura 1.8

Ghid de unda dielectric plan format dintr-un strat dielectric de grosime d cu indice de

refractie n1 cu un substrat si un nvelis cu indicele de refractie n2 < n1

dielectrice sunt considerate a fi fara pierderi de camp. Razele de lumina care fac

un unghi cu axa z sunt reflectate total la marginile stratului daca:

(1.30) c = 2

sin1

n2n1

= cos1

n2n1


26/117


unde cu c s-a notat unghiul complementar unghiului limita l pentru care se mai

poate produce reflexia totala (1.3). Razele cu >

c se refracta si pierd o partedin energie.

Formalismul matematic pentru determinarea modurilor de propagare a ghi-

dului de unda presupune rezolvarea ecuatiilor lui Maxwell n cele doua medii

dielectrice tinand cont de conditiile de marginire. Acest formalism matematic

este dificil prin complexitatea calculelor pe care le implica. Pentru a simplifica

studiul modurilor de propagare vom scrie solutiile ecuatiilor lui Maxwell sub

forma unei unde armonice plane TEM care se propaga ntre cele 2 suprafete de

separatie.

Distributia intensitatii campului electric n interiorul ghidului de unda

Consideram ca n stratul de dielectric se propaga o unda plana monocroma-

tica TEM cu lungimea de unda = 0n1 care se propaga sub unghiul < c cu axa

z, are viteza de faza c1 =c0n1

si vectorul de unda k(0, n1k0 sin , n1k0 cos ). Pen-

tru determinarea modurilor de propagare se impune conditia ca unda rezultantadupa 2 reflexii succesive sa nu fie afectata (planul de polarizare sa se reproduca

si diferenta de faza sa fie un numar ntreg de 2). Diferenta de drum geometric

dupa 2 reflexii succesive este:

|AC| |AB| = 2d sin

Prin reflexia totala se introduce deasemenea o diferenta de faza r. In aceste

conditii conditia de self-consistenta se poate scrie:

(1.31)2

2d sin 2r = 2m m = 0 , 1 , 2 , . . .

sau

(1.32) 2kyd 2r = 2m


27/117


Conditia (1.32) este analoaga conditiei impuse n cazul ghidului de unda cu oglinzi

(1.5) n care r = . Tinand cont de faptul ca prin reflexia unei unde plane TEpolarizate pe directia x, diferenta de faza r este data de relatia:

(1.33) tanr2

=

sin2 c

sin2 1

rezulta ca r scade de la pana la 0 atunci cand [0, c]. Din relatia (1.31) seobtine

tan

d sin

m

2

= tan

r2

si conform (1.33) rezulta:(1.34) tan

d

sin m

2

=

sin2 c

sin2 1

Ecuatia (1.34) este o ecuatie transcendenta cu variabila sin . Solutiile acestei

ecuatii determina modurile de propagare caracterizate de m. O metoda pen-

tru a afla solutiile aproximative ale acestei ecuatii este metoda grafica. Membrul

stang al ecuatiei de mai sus are graficul format din 2 familii de curbe:

tan d sin daca m = 2k; cot

d sin

daca m = 2k 1;

iar membrul drept al ecuatiei reprezinta tanr2 functie monoton descrescatoare

care atinge valoarea minima 0 pentru sin = sin c. Solutiile ecuatiei (1.34) sunt

date de punctele de intersectie dintre graficele functiilor corespunzatoare celor

2 membri ai ecuatiei (Figura 1.9). In aceeasi figura cu cercuri sunt reprezentate

si solutiile corespunzatoare modurilor ghidului de unda cu oglinzi ideale cand

r = . Pentru ghidul de unda plan dielectric unghiurile de propagare caredetermina modurile ghidului sunt cuprinse n intervalul m [0, c].

Constantele de propagare

Pentru modurile TE caracterizate de unghiurile de propagare m se obtine un

vector de unda k(0, n1k0 sin m, n1k0 cos m). Proiectiile vectorilor de unda km pe


28/117


s i n

m e m b r u l s t n g

m e m b r u l d r e p t

s o l u i a e c u a i e i

Figura 1.9

Solutiile pentru modurile de propagare pentru un ghid de unda dielectric plan.

directia de transmisie a ghidului de unda z determina constantele de propagare

ale fiecarui mod:

(1.35) m = n1k0 cos m

Deoarece cos m are valori cuprinse ntre 1 si cos c = n2/n1 rezulta constante de

propagare cu valori cuprinse n intervalul n2k0 si n1k0 (Figura 1.10).

Numarul maxim de moduri

Atunci cand s-au obtinut grafic valorile pentru fiecare mod de propagare (Fi-

gura 1.9) abscisa este mpartita n intervale egale cu /2d si cum sin sin cnumarul maxim de moduri TE permise este 5:

(1.36) M =

sin c/2d

+ 1

5Aici cu paranteze patrate [] s-a notat functia parte ntreaga.


29/117


s i n

Figura 1.10

Constantele de propagare corespunzatoare diferitelor moduri ale ghidului de unda plan

paralel cu dielectric.

Acest numar maxim de moduri se mai poate scrie substituind n relatia de maisus cos c = n2/n1:

(1.37) M =

1 + 2

d

0N A

unde:

(1.38) N A =

n21 n22

este apertura numerica a ghidului de unda (este sinusul unghiului de incidenta

care este permis razelor de lumina la patrunderea din aer n stratul ghid de unda

ncat sa aiba loc reflexia totala interna).

Spre deosebire de ghidul de unda cu oglinzi ideale, ghidul de unda dielectric

nu are frecventa sau lungime de unda de taiere deoarece n dielectric modul TE

cu m = 0 este permis ntotdeauna (Figura 1.11). Totusi, fiecare mod m = 1 , 2 , . . .


30/117


N

u

m

r

u

m

a

x

m

d

e

m

o

d

u

r

M

/ ( N A 2 d )

Figura 1.11

Numarul de moduri TE functie de frecventa pentru un ghid de unda plan cu dielectric.

are frecventa de taiere. Daca /2d > sin c sau2d0

N A < 1 este permis doar un

singur mod. Acest lucru se poate ntampla daca stratul de dielectric este suficient

de subtire sau cand lungimea de unda este suficient de mare. Numarul maxim

de moduri permise de acest ghid de unda poate fi scris si functie de frecventa

undei:

(1.39) M =

1 + N Ac02d

Exemplu: Intr-un ghid de unda alcatuit dintr-un start de AlxGa1xAs aflatntre doua straturi AlyGa1yAs prin modificarea concentratiilor x,y de Al rezulta

indici de refractie diferiti. Se pot alege concentratii astfel ncat pentru 0 = 0.9m,

n1 = 3, 5 si n1 n2 = 0, 05. Intr-un astfel de ghid de unda pentru un strat degrosime d = 10m numarul maxim de moduri este M = 14 si pentru d < 0,76m

ghidul de unda este monomod.


31/117


Distributiile campului electromagnetic

Spre deosebire de ghidul de unda cu oglinzi plane studiat n sectiunea ante-

rioara, n cazul ghidului de unda dielectric va trebui sa se afle distributiadecamp

atat n interiorul ghidului cat si n substrat si n nvelis (numit aici camp extern).

Campul intern

Campul intern este compus din cele doua unde TE care se propaga sub un-

ghiurile

m fatadeaxa z cu vectorii de unda k(0,

n1k0 sin m, n1k0 cos m). Cele

doua unde au aceeasi valoare a amplitudinii si o diferenta de faza m n centrul

ghidului. Din acest motiv componenta Ex(y, z) este:

Ex(y, z) = amum(y) exp(jmz)

unde:

m = n1k0 cos m

este constanta de propagare, am este o constanta si functiile de distributie pentru

camp sunt:

um(y)

cos

2sin m

, m = 2k;

sin

2sin m

, m = 2k + 1

d2

y d2

si =0n1

(1.40)

Se observa ca desi intensitatea campului electric are o variatie armonica nu se

anuleaza la marginea stratului.

Campul extern

Valoarea campului n exteriorul ghidului trebuie sa identic cu valoarea campului

intern n toate punctele de marginirey = d/2. Din acest motiv variatiacampului


32/117


extern n directia de propagare z trebuie sa fie de tip exp(jmz). Se stie ca in-

tensitatea campului electric al undei trebuie sa satisfaca si ecuatia Helmholtz:2 + n22k20

Ex(y, z) = 0(1.41)

si substituind n aceasta ecuatie Ex(y, z) = amum(y) exp(jmz) rezulta:d2umdy2

2mum = 0(1.42)

cu notatia:

2m = 2m

n22k

20(1.43)

Cum pentru modurile ghidate (corespunzatoare reflexiei totale) m > n2k0 ncat

2m > 0 si solutiile ecuatiei diferentiale (1.42) sunt functii exponentiale de tipul

exp(my) si exp(my). Deoarece intensitatea campului electric trebuie sa des-creasca atunci cand y se alege:

(1.44) um(y)

exp(my), y > d/2exp(my), y n2 situata la distanta dp de ghid

(Figura 1.24).

O unda incidenta este reflectata n prisma sub unghiul p. Atat unda inci-

denta cat si unda reflectata total au o constanta de propagare p = npk0 cos p.

Distributia campului transversal se extinde peste suprafata de separatie ntre

prisma-aer-ghid de unda si scade exponential.. Daca distanta dp este suficient

de mica, unda este cuplata pe un mod cu o constanta de propagare m p.


45/117

1.5. CUPLAJUL RADIATIEI OPTICE IN GHIDURILE DE UNDA 37

Figura 1.24

Cuplajul cu prisma.

Cuplaj ntre ghiduri de unda

Daca doua ghiduri de unda sunt suficient de apropiate atunci campurile elec-

tromagnetice din ghiduri se pot suprapune. Puterea optica poate fi transferata

ntre ghiduri si fenomenul poate fi utilizat pentru realizarea cuplorilor si comu-

tatoarelor optice.

Se considera 2 ghiduri de unda planari format din doua straturi de grosime d

separate la distanta 2a si indici de refractie n1 si n2 marginiti de un mediu cu indi-

cele de refractie n (Figura 1.25). Studiul modurilor de propagare n aceasta struc-

tura se realizeaza prin rezolvarea ecuatiilor lui Maxwell tinand cont de conditiile

de marginire. Totusi, o teorie aproximativa, denumita teoria modurilor cuplate are

rezultate satisfacatoare si se poate utiliza n locul teoriei electromagnetice.

Teoria modurilor cuplate presupune ca modurile de propagare caracteristic

fiecarui ghid de unda n parte n absenta celuilalt ghid raman cu aceleasi con-

stante de propagare 1 si 2 dar si aceleasi distributii transversale de camp u1(y)

si u2(y). Totusi, amplitudinile acestor unde sunt afectate atunci cand se realizeaza

cuplajul se modifica si vor depinde de z: a1(z) si a2(z).


46/117


Figura 1.25

Cuplajul dintre ghiduri de unda dielectrici planari.

Cuplajul ntre ghidurile de unda poate fi considerat ca un efect de mprastiere

a campului electromagnetic dintr-un ghid n celalalt.

Se poate arata ca amplitudinile a1(z) si a2(z) sunt solutii ale unor ecuatii

diferentiale cuplate (numite ecuatiile modurilor cuplate):

da1dz

= jC21 exp(jz)a2(z)(1.65)da2dz

= jC12 exp(jz)a1(z)(1.66)

unde = 1 2 este diferenta dintre valorile constantelor de propagare pen-tru cele doua ghiduri de unda (altfel spus, eroarea de faza pe unitatea de lungime)

si

C21 = n22 n2

2

k2021

a+da

u1(y)u2(y)dy(1.67)

C12 = n21 n2

2

k2022

aad

u2(y)u1(y)dy(1.68)

sunt coeficientii de cuplaj. Sa presupunem ca n ghidul 2 nu exista initial nici o

unda electromagnetica, adica a2(0) = 0 si a1(0) = 0 si solutiile de tip armonic


47/117


pentru ecuatiile modurilor cuplate sunt:

a1(z) = a1(0) expjz2 (cosz j2 sin z)(1.69)a2(z) = a1(0)

C12j

exp

jz

2

sinz(1.70)

unde:

2 =

2

2+ C2 si(1.71)

C =

C12C21(1.72)

cum puterea undei electromagnetice transmise prin fibra optica este proportionala

cu patratul modulului amplitudinii undei rezulta:

P1(z) = P1(0)

cos2 z +

2

sin2 z

(1.73)

P2(z) = P1(0)|C12|22

sin2 z(1.74)

Relatiile de mai sus descriu modul n care puterea undelor se propaga prin ghi-

durile de unda cuplate. Mai mult, se observa ca puterea este schimbata ntre

ghidurile de unda cu perioada 2/ (Figura 1.26). Cazul particular cand ghidu-

rile de unda sunt identice n1 = n2, 1 = 2 implica si conservarea puterii cand

C12 = C21 = C iar relatiile pentru puteri sunt:

P1(z) = P1(0) cos2 Cz(1.75)

P2(z) = P1(0) sin2 Cz(1.76)

Intr-un astfel de dispozitiv se poate realiza cuplarea unei parti din puterea optica

dintr-un ghid n altul (Figura 1.27) Astfel, la distanta z = L0 = /2C, numitadistanta de transfer, puterea este transferata n ntregime din ghidul 1 n ghidul

2 (Figura 1.28). Daca lungimea de transfer se njumatateste la L0/2, atunci pe

cuplor puterea se mparte egal 50/50 (dispozitiv care actioneaza ca un cuplor

3 dB, de tip beamsplitter - mparte semnalul n doua jumatati).


48/117


Figura 1.26

Puterea este schimbata periodic ntre ghidurile de unda cuplate

Figura 1.27

Puterile optice n doua ghiduri identice.


49/117


Figura 1.28

Doua configuratii de cuplori optici cu ghiduri de unda.

Comutarea prin cuplajul fazei

Un ghid de unda cuplor cu lungimea fixa L0 = /2C, de exemplu, are o ratade transfer a puterii atunci cand se introduce o variatie mica a constantelor de

propagare (diferenta de faza pe unitatea de lungime). Se defineste transferul

de putere ca fiind raportul dintre puterea la iesire pe ghidul de unda 2 si puterea

la intrare n ghidul de unda 1: T = P2(0)/P1(0). Conform cu relatiile (1.74) si

Figura 1.29

Functia de transfer de putere.


50/117


(1.71) rezulta:

(1.77) T = 2

2sinc2

12

1 +

L0

2unde functia sinc(x) = sin(x)/(x) Transferul de putere T = 1 atunci candL0 = 0 si scade pana la 0 cand L0 =

3 (Figura 1.29) Dependenta pute-

rii transferate de poate fi utilizata n constructia cuplorilor comandati electric.

Daca L0 are o valoare stabilita ntre 0 si

3unda electromagnetica este comu-

tata de pe un ghid pe altul cu diverse rapoarte de puteri. In plus, daca materialul

celor ghidurilor de unda sunt active electro-optic (indicele de refractie variaza

prin aplicarea unui camp electric extern), atunci se poate modifica diferenta

dupa dorinta si implicit se poate realiza un cuplaj controlat de la distanta.


51/117

CAPITOLUL 2

Fibre optice

Cuprins2.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2 Fibre optice cu salt de indice de refractie . . . . . . . . . . . . . 44

Raze ghidate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Apertura numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Undele ghidate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Fibre monomod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.3 Fibre optice cu gradient de indice de refractie . . . . . . . . . . 61

Unde ghidate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Constantele si vitezele de propagare . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.4 Atenuarea si dispersia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Atenuarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Dispersia radiatiilor optice prin fibrele optice . . . . . . . . . . . 76

Propagarea pulsului de energie luminoasa . . . . . . . . . . . . 85

2.1 Introducere

O fibra optica este un ghid de unda dielectric cilindric realizat din materiale cu

pierderi mici cum este sticla de siliciu SiO2. Fibra optica are un miez central (de

43


52/117

44 CAPITOLUL 2. FIBRE OPTICE

raza a) n care se propaga lumina (Figura 2.1). Miezul este nconjurat de un strat

cu indice de refractie mai mic decat al miezului (de raza b).Intr-o astfel de fibra

optica lumina poate fi ghidata cu pierderi foarte mici de doar 0, 16dB( 3,6%).

Figura 2.1

Reprezentarea schematica a unei fibre optice.

Daca diametrul miezului este mic atunci n fibra optica se poate propaga doar

un singur mod (fibra se va numi fibra optica monomod). Pe masura ce diametrul

fibrei se mareste se pot propaga din ce n ce mai multe moduri (fibra optica mul-

timod). Propagarea undelor n fibrele optice multimod presupune existenta unor

diferente ntre vitezele de grup ale diferitelor moduri. Acest lucru duce la largirea

pulsurilor pe masura ce unda traverseaza fibra (efect numit dispersie modala) ceeadispersia modala

ce limiteaza viteza de transmisie a comunicatiilor pe fibra optica.

Dispersia modala poate fi redusa prin utilizarea fibrelor optice cu gradient de

indice de refractie astfel ncat are o valoare maxima n centrul miezului si este

minim la margine (Figura 2.2).

2.2 Fibre optice cu salt de indice de refractie

A Astazi fibrele cu salt de indice de refractie se produc n geometrii standard

pentru care raportul dintre diametrul miezului si a stratului exterior 2a/2b poate

fi: 8/125, 50/125, 62.5/125, 85/125, 100/140 (valorile sunt trecute n m). Indicii

de refractie pentru miez n1 si pentru nvelis n2 au valori apropiate astfel ncat


53/117

2.2. FIBRE OPTICE CU SALT DE INDICE DE REFRACTIE 45

Figura 2.2

(a) Fibra optica multimod cu salt de indice de refractie; (b) fibra optica monomod; (c)

fibra optica cu gradient de indice de refractie

variatia relativa a acestor indici:

(2.1) =n1 n2

n1 1

Fibrele optice cu salt de indice de refractie sunt realizate din sticla de siliciu SiO2

de puritate mare si variatia indicelui de refractie se realizeaza prin doparea sticlei

cu Ti, Ge, boron cu diferite concentratii. Astfel: n1 = 1,44 1, 46 functie delungimea de unda folosita si = 0,001 0, 002.


54/117


Figura 2.3

Reflexia totala a unei raze din planul meridional.

Raze ghidate

Conditia de reflexie totala n fibra optica > l = sin1 n2n1 pentru unghiuri de

incidenta sau < c < cos1 n1

n2pentru unghiurile complementare. Razele care

se propaga ntr-un plan meridional (plan care contine axa fibrei) raman incluse n

acest plan fara schimbarea unghiului de incidenta (Figura 2.3) si cum n1 n2rezulta ca c are o valoare foarte mica ncat toate razele ghidate de catre fibra n

plan meridional sunt aproximativ paraxiale.

O raza nclinata este identificata poate fi descrisa prin planul de incidenta

(paralel cu axa fibrei) care contine raza si unghiul pe care l face raza cu axa.

Planul de incidenta intersecteaza marginile cilindrice dintre miez si nvelis sub

un unghi cu normala la suprafata de marginire, la o distanta R fata de axa

fibrei. Raza este identificata si de unghiului cu axa fibrei. Cand = 0 (R = 0)raza se numeste nclinata spre deosebire de raza meridionala pentru care = 0

si R = 0.

O raza nclinata se reflecta repetat n planele care fac unghiul cu suprafata

de separatie miez-nvelis si urmeaza o traiectorie tip elice restransa ntr-o patura

cilindricaderaza interna R si externa a (Figura 2.4). Proiectia traiectoriei n planul

(x y) este un poligon regulat, nu neaparat nchis. Se poate arata ca aceasta razase reflecta total daca (unghiul format de raza cu axa z este mai mic decat c.


55/117


Figura 2.4

Propagarea unei raze nclinate ntr-o fibra optica.

Apertura numerica

O raza incidenta patrunde din aer ntr-o fibra optica sub un unghi a fata de

normala la planul de incidenta. Se pune problema de a calcula cat de mare trebuie

sa fie unghiul a astfel ncat raza refractata sa fie reflectata total n interiorul fibrei.

Conform legii Snell la suprafata aer-miez:

1 sin a = n1 sin c = n1

1 cos2 c = n1

1

n2n1

2=

n21 n22 = N A

Am definit astfel apertura numerica a fibrei ca fiind sinusul unghiului de incidenta

maxim pe care l poate avea o raza cand patrunde din aer n miezul fibrei pentru

ca mai apoi sa fie reflectata total (altfel spus, sa fie o raza ghidata de fibra). Atunci

cand diferenta relativa a indicilor de refractie este mica se mai poate aproxima:

(2.2) N A =

n21 n22 n1

2

si unghiul a se mai numeste si unghi de acceptare a fibrei (Figura 2.5). Aper-


56/117


Figura 2.5

O unda este ghidata de catre fibra optica daca are un unghi de incidenta mai mic decata (unghiul de acceptare ce determina n spatiu un con de acceptare).

tura numerica descrie capacitatea fibrei de a ghida lumina. Trebuie mentionat si

faptul ca razele de lumina refractate la capatul fibrei sunt cuprinse ntr-un con cu

deschiderea a.

Undele ghidate

Vom analiza n continuare modurile de propagare pentru undele ghidate (un-

dele electromagnetice care satisfac conditiile de reflexie totala la interfata dintre

miez si nvelisul exterior al fibrei).


57/117


Distributiile spatiale ale campului electromagnetic

Ca si n cazul modurilor de propagare ntr-un ghid de unda dielectric rectan-

gular si n cazul propagarii printr-o fibra optica atat intensitatea campului electric

cat si intensitatea (sau inductia) campului magnetic satisfac ecuatia Helmholtz:

2U + n2k20U = 0

unde cu U s-a notat unul din cei doi vectori ai campului electromagnetic si k0 =

2/0. Ecuatia este satisfacuta de campul electromagnetic atat n miezul fibrei

(unde n = n1 pentru r < a) cat si n nvelis (n care n = n2 pentru r > a; sepresupune ca raza nvelisului b este suficient de mare). In coordonate cilindrice

ecuatia Helmholtz se scrie:

(2.3)2U

r2+

1

r

U

r+

1

r22U

z2+ n2k20U = 0

cu U = U(r, , z) (Figura 2.6) Vom cauta solutiile ecuatiei de mai sus cores-

Figura 2.6

Componentele vectorului intensitate camp electric n coordonate cilindrice.

punzatoare undelor care se propaga pe directia z cu o valoare a constantei de

propagare . Din acest motiv solutia U o presupunem a fi de tip armonic pe

directia z: U ejz; periodica dupa unghiul cu perioada 2: U ejl cu


58/117


l Z astfel ncat presupunem ca:

(2.4) U(r, , z) = u(r)ejlejz

si introducand aceasta functie n ecuatia (2.3) rezulta:

(2.5)d2u

dr2+

1

r

du

dr+

n2k20 2

l2

r2

u = 0

Undele sunt ghidate atunci cand n2k0 < < n1k0 si se definesc marimile:

k2T = n21k

20 2(2.6)

2 = 2 n22k20(2.7)cu alte cuvinte, undele sunt ghidate de fibra atunci cand k2T> 0 si

2> 0 (kT si

sunt marimi reale). In aceste conditii ecuatia (2.5) se rescrie n miezul fibrei:

(2.8)d2u

dr2+

1

r

du

dr+

k2T

l2

r2

u = 0 (r < a)

si n nvelisul miezului:

(2.9)

d2u

dr2 +

1

r

du

dr 2 + l2r2 u = 0 (r > a)Ecuatiile (2.8) si (2.9) au ca solutii nebanale si marginite functii de tip Bessel:

(2.10) u(r)

Jl(kTr) r < aKl(r) r > aunde Jl(x) sunt functiile Bessel de speta I de ordin l; Kl(x) sunt functii Bessel

modificate de ordin l (functii Bessel de speta II).

Functia Jl(x) oscileaza ca un sin sau cos atenuat pentru x 1:Jl(x)

2

xcos

x

l +

1

2

2

(2.11)

iar Kl(x) descreste exponential cu x pentru x 1:

Kl(x)

2x

1 +

4l2 18x

exp(x)(2.12)


59/117


Figura 2.7Functiile Bessel pentru doua moduri de propagare: (a) l = 0 si (b) l = 3.

Cele doua functii sunt reprezentate n Figura 2.7 Cei doi parametri kT si deter-

mina profilul radial al campului electromagnetic. Astfel, o valoare mare pentru

kT nseamna o variatie periodica mai rapida a distributiei campului n miez, n

timp ce o valoare mare pentru determina o scadere mai rapida a campului un-

dei n nvelis. Din definitiile celor doi parametri (2.6) si (2.7) se observa ca suma

patratelor celor doi parametri este o constanta pentru o lungime de unda data:

(2.13) k2T + 2 = (n21 n22)k20 = N A2k20

astfel ncat atunci cand kT creste scade si campul va patrunde mai adanc n

nvelis iar pentru kT> N A k0 si 2 < 0 si unda nceteaza sa se propage doar nlimitele miezului (dispare reflexia totala).

Parametrul fibreiV

Se pot defini doi parametri X si Y adimensionali conform relatiilor:

(2.14) X = kTa; Y = a

si ntre cei doi parametri este valabila relatia:

(2.15) X2 + Y2 = V2


60/117


unde V = N A k0a:

(2.16) V = 2 a0

N A

este un parametru important de care depinde numarul de moduri pentru fibra

optica si constantele lor de propagare. Acest parametru se numeste parametrul

fibrei sau, mai scurt, parametrul V. O unda electromagnetica este ghidata de catre

fibra optica daca X < V.

Moduri de propagare

Modurile de propagare sunt determinate de constantele de propagare con-

form relatiei de dispersie (sau ecuatie caracteristica) = (a/0, n1, n2). Pentru de-

terminarea modurilor de propagare se impun conditiile de continuitate pentru

fiecare unda n punctele n care r = a (la interfata miez-nvelis). Vor rezulta astfel

constantele de propagare ce vor depinde si de ordinul l al functiilor Bessel: lm .

In acest fel modurile de propagare sunt sunt descrise de l si m: numere care vor

descrie distributia radiala si azimutala (de exemplu, l = 0 descrie propagarea

undelor meridionale). In plus, fiecarei perechi de numere l, m va fi caracterizata

si de 2 stari independente de polarizare pentru vectorii E si H.

Ecuatia caracteristica pentru o fibra cu ghidare slaba

Marea majoritate a fibrelor optice sunt fibre denumite cu ghidare slaba pen-

tru care 1 ceea ce determina ca doar razele paraxiale sa fie ghidate decatre aceste fibre. In acest caz componentele longitudinale pentru intensitatea

campului electric si magnetic au valori mult mai mici decat componentele trans-

versale si unda este practic de tip transversal electromagnetic TE M. Un mod de

propagare liniar polarizat pe o directie n planul (x,y) se noteaza LPlm . Daca se

impune conditia ca functia de distributie radiala a campului electromagnetic u(r)


61/117


sa fie continua si cu derivata continua n punctele r = a din (2.8) si (2.9) rezulta:

(2.17)(kTa)Jl (kTa)

Jl(kTa)=

(a)Kl (a)Kl(a)

unde Jl si Kl sunt derivatele functiilor Bessel care satisfac identitatile:

Jl (x) = Jl1(x) lJl(x)

x

Kl(x) = Kl1(x) lKl(x)

x

De aici se poate deduce ecuatia caracteristica:

(2.18) XJl1(X)Jl(X)

= Y Kl1(Y)Kl(Y)

si cum ntre X si Y sunt legate prin relatia X2 + Y2 = V2 fiind date valorile pentru

Vsi l rezulta ca ecuatia caracteristica (2.18) este o ecuatie de o singura variabila X.

Radacinile acestei ecuatii determina modurile de propagare. Sa mai observam ca

ecuatia de mai sus ramane neschimbata daca se schimba semnul pentru l deoa-

rece Jl(x) = (1)lJl(x) si Kl(x) = Kl(x). Ecuatia (2.18) are solutii care pot fiaflate grafic prin reprezentarea celor functie de X a membrului stang din relatie si

respectiv a membrului drept. Solutiile sunt reprezentate de intersectiile ntre gra-

ficele celor doua functii (Figura 2.8). Se afla astfel solutii Xlm cu m = 1 , 2 , . . . , Ml

si corespunzator se va gasi valori pentru kTlm, lm si constantele de propagare

lm corespunzatoare.

Fiecare mod are o distributie radiala distincta. De exemplu: LP01(l = 0, m =

1) pentru V = 5 si LP34(l = 3, m = 4) pentru V = 25 sunt moduri reprezentate n

Figura 2.7. Cum modurile (l, m) si (l, m) sunt moduri care au aceeasi constantade propagare este interesant sa se analizeze distributia spatiala a superpozitiei

acestor unde: amplitudinea complexa a sumei este proportionala cu ulm (r) cos(l) exp(jlm z)si intensitatea este proportionala cu u2lm cos

2 l (Figura 2.9).


62/117


Figura 2.8

Solutia grafica a ecuatiei caracteristice (2.18).

Figura 2.9

Distributiile radiale ale intensitatilor pentru modurile: (a) LP01 si (b) LP34.


63/117


Taierea modurilor si numarul de moduri

Este evident din Figura 2.8 ca pe masura ce parametrul V creste va creste si

numarul de moduri (date de intersectiile celor doua curbe) pentru ca n ecuatia

caracteristica (2.18) membrul stang nu depinde de V, iar membrul drept se ex-

tinde spre dreapta cand V creste. Considerand semnele minus n ecuatia carac-

teristica (2.18) rezulta o intersectie a membrul stang din ecuatie cu axa X pentru

Jl1(x) = 0. Aceste radacini vor fi notate cu Xlm cu m = 1,2, . . . . Numarul de

moduri pentru acelasi l este egal cu numarul de radacini pentru functia Jl1(x).

Din acest motiv numarul de moduri Ml < V. Modul (l, m) este permis dacaV = Xlm . Daca V descreste atunci modul (l, m 1) si poate atinge punctul detaiere s.a.m.d. Cea mai mica radacina pentru Jl1(x) este X01 = 0 pentru l = 0

si urmatoarea valoare X11 = 2, 405 pentru l = 1. Atunci cand V < 2, 405 toate

modurile cu exceptia modului fundamental LP01 sunt taiate (nu se pot propaga).

Fibra optic va functiona doar ca un ghid monomod. O reprezentare a numarului

de moduri Ml functie de V este de tip scara si creste cu o unitate atunci cand se

ajunge la fiecare radacina Xlm a functiei Bessel Jl

1(x) (vezi tabelul 2.1).

Tabela 2.1

Parametrii de taiere pentru modurile LP0m si LP1m.

l\ m: 1 2 30 0 3.832 7.016

1 2.405 5.520 8.654

Daca se numara toate modurile posibile M indiferent de valoarea l se obtine

o variatie functie de parametrul V ca n Figura 2.10. In acest grafic este de tip

scara cu salturi la fiecare radacina pentru Jl1(x). La fiecare radacina se adauga

cate doua moduri deoarece pentru fiecare l > 0 se gaseste si modul l identic cuexceptia faptului ca se schimba semnul unghiului (modul acesta corespunde

razelor cu traiectorie elicoidala dar de sens opus). In plus, fiecarui mod i se aso-


64/117


Figura 2.10

Numarul total de moduri functie de parametrul V a fibrei optice.

ciaza cate 2 stari de polarizare.

Numarul de moduri (Fibre cu V mare)

Pentru fibrele cu V mare, functia Jl1(X) are un numar mare de radacini n

intervalul 0 < X < V. Atunci cand X 1 functia Bessel poate fi aproximata deo functie sinusoidala si radacinile de taiere Xlm sunt aproximate de relatia:

(2.19) Xlm

l + 2m 12

1

2 (l + 2m)

2, l = 0 , 1 , . . . ; m 1

Pentru o valoare l fixata distanta dintre doua radacini consecutive este astfel

ncat numarul de radacini Ml satisface relatia (l + 2Ml)/2 = V de unde Ml V/ l/2. Deci Ml descreste liniar cu l (Figura 2.11) ncepand de la valoareaV/pentru l = 0 si terminand cu Ml = 0 cand l = lmax unde l = lmax = 2V/.

Numarul total de moduri este: M = lmaxl=0 Ml . Cum numarul de termeni este

foarte mare atunci numarul de moduri M se poate determina prin raportul dintre

aria triunghiului format de dreapta Ml cu axele. Astfel:


65/117


Figura 2.11

Numarul de moduri ntr-o fibra cu V mare este aproximat de aria triunghiului determinat

de legatura ntre l, m si parametrul fibrei optice V.

M 412

2V

V

=

4

2V2(2.20)

unde 4 este datorat starilor de polarizare si solutiilor simetrice. Expresia (2.20)este analoaga celei obtinute pentru un ghid de unda dielectric rectangular (1.60).

Reamintim ca aproximatia de mai sus este valabila doar n cazul cand V este un

parametru cu valoare mare. Diferenta fata de valorile corecte sunt reprezentate

prin comparatie n Figura 2.10.

Constantele de propagare (Fibre optice cu V mare)

Constantele de propagare se determina din ecuatia caracteristica (2.18) pentru

fiecare solutie Xlm de unde lm =

n21k20 X2lm /a2.

Pentru V 1, cea mai drastica aproximare pentru calculul constantelor depropagare presupune ca Xlm au valori egale cu valorile de taiere a modurilor xlm .

Aceasta este echivalent cu a presupune ca ramurile din Figura 2.8 sunt aproxi-

mate de drepte verticale ncat Xlm = xlm . Cum V 1, numarul de radacini este


66/117


mare si se pot folosi aproximatiile deduse pentru xlm si:

lm = n21k20 (l + 2m)2 24a2(2.21)cum:

M =4

2V2 =

4

2NA2a2k20 =

4

2(2n21)k

20a

2(2.22)

rezulta:

lm = n1k0

1 2 (l + 2m)

2

M(2.23)

Deoarece are o valoare mica se utilizeaza aproximarea (1 + )1/2 1 + /2pentru || 1 se obtine relatia aproximativa pentru constantele de propagare:

lm = n1k0

1 (l + 2m)

2

M

(2.24)

Cum l + 2m variaza ntre 2 si 2V/= M (v. Figura 2.11), lm variaza apro-ximativ ntre n1k0 si n1k0(1 ) (Figura 2.12).

Vitezele de grup (Fibre cu V mare)

Pentru a determina viteza de grup vlm = d/dlm se va exprima constan-

tele de propagare lm explicit functie de prin substitutia n1k0 = /c1 si M =

(8/2)a22/c21. De aici si din (2.24) rezulta (se mai tine cont si de faptul ca

1):

vlm c1

1 (l + 2m)2

M

(2.25)

Deoarece valorile minime si maxime pentru l + 2m sunt 2 si M viteza de grupva fi cuprinsa aproximativ ntre c1 si c1(1 ) = c1(n2/n1). Din acest motivvitezele de grup a modurilor de ordin mic sunt apropiate de viteza de faza din

miezul fibrei iar modurile de ordin mare au viteze de grup mai mici. Raportul

dintre viteza de grup cea mai mare si cea mai mica este egal cu raportul indicilor

de refractie ntre miezul fibrei si nvelis .


67/117


Figura 2.12

(a) Constantele aproximative pentru lm la o fibra optica cu V mare functie de l, m;

(b) Constanta de propagare exacta 01 pentru modurile fundamentale LP01 functie de

V, pentru V 1 se obtine aproximativ 01 n1k0.

Fibre monomod

Asa cum am mai amintit, o fibra cu raza miezului a si apertura numerica

N A functioneaza ca o fibra monomod n modul fundamental LP01 daca V =

2(a/0)NA < 2.405. Altfel spus, fibra este monomod daca are diametrul mie-

zului mic si are o apertura numerica mica (cu n2 apropiat de n1). sau prin ope-

rarea la lungimi de unda suficient de mari. Modul fundamental are o distributie

spatiala Gaussiana si este modul care confineaza cel mai mult puterea undei elec-

tromagnetice n miezul fibrei.

Se pot enumera o serie de avantaje pentru fibrele monomod atunci cand sunt

utilizate n comunicatii. Astfel, diferite moduri au viteze de grup diferite si

determina aparitia unei ntarzieri a semnalului ncat pulsurile de lumina au o

mprastiere n timp (se largesc). Pe de alta parte, n fibrele optice monomod

aceasta mprastiere n timp este mult mai mica decat n cazul fibrelor modale.

Un alt dezavantaj al fibrelor multimod consta n interferenta aleatorie a modu-


68/117


rilor si se obtine un asa numit zgomot modal. Fenomenul este asemanator pierderii

n claritate a semnalului radio datorita cailor multiple de transmisie (interferentadistructiva ntre doi transmitatori). In fibra monomod unda se transmite pe o

singura cale fara zgomot modal.

Datorita marimilor mici si a aperturilor numerice mici fibrele optice mono-

mod sunt excelente pentru integrarea cu tehnologia optoelectronica. Totusi, acelasi

lucru face ca fibrele monomod sunt mai fragile mai ales la mbinarile cu partile

electronice ale retelelor de comunicatii.

Schimbarea polarizarii n fibrele optice monomod

Intr-o fibra optica cu sectiune transversala circulara, fiecare mod se poate pro-

paga cu doua stari de polarizare distincte cu aceeasi constanta de propagare. Din

acest motiv, modul fundamental LP01 ntr-o fibra optica monomod pot fi pola-

rizate pe doua directii x si y respectiv perpendiculare cu aceeasi constanta de

propagare si aceeasi viteza de grup. In principiu, nu exista un schimb de putere

Figura 2.13

(a) Fibra ideala (b) Cuplajul aleator ntre polarizarile undelor.

ntre cele doua componente polarizate liniar. In practica, datorita anumitor de-


69/117

2.3. FIBRE OPTICE CU GRADIENT DE INDICE DE REFRACTIE 61

fecte constructive a fibrei se poate ntampla ca puterile optice pe cele doua directii

de polarizare sa fie cuplate aleator ncat lumina si schimba aleator starea de pola-rizare dupa propagarea prin fibra (Figura 2.13). Daca ne intereseaza doar puterea

totala transmisa prin fibra acest fenomen de schimbare aleatorie a polarizarii nu

pune probleme datorita faptului ca este nregistrata doar puterea totala transmisa

prin fibra.

In alte domenii de utilizare a fibrelor optice, de exemplu n comunicatiile op-

tice coerente, dispozitive optice integrate, senzori optici bazati pe tehnici de inter-

ferometrie, trebuie mentinuta starea de polarizare a luminii si se va evita folosirea

fibrelor optice cu sectiune circulara. In aceste cazuri se utilizeaza de obicei fibre

cu sectiune transversala eliptica sau n care au fost induse anizotropii ai indicelui

de refractie pentru eliminarea degenerarii starii de polarizare.

2.3 Fibre optice cu gradient de indice de refractie

Obtinerea fibrelor optice cu gradient de indice de refractie a permis reducerea

mprastierii pulsului datorita faptului ca diferitelor moduri de propagare prin

fibra multimod le corespund viteze de grup diferite. Miezul unei astfel de fibre

optice are un indice de refractie care variaza radial fiind maxim n centrul fibrei si

descreste pana la o valoare corespunzatoare indicelui de refractie al nvelisului.

Viteza de faza pentru propagarea undelor luminoase n acest caz este minima

n centrul fibrei si creste gradual cu departarea de centru. Razele modului de

propagare ce se apropie cel mai mult de axa fibrei se vor propaga pe drumul cel

mai scurt cu viteza cea mai mica. Razele modului cel mai oblic se propaga pe

distante mai lungi n marea majoritate a timpului ntr-un mediu unde viteza de

faza este mai mare. Ca o consecinta imediata diferentele ntre timpii de propagare

si ntre vitezele de grup pentru diferite moduri se reduc.

Indicele de refractie al miezului fibrei optice n(r) are o valoare care depinde

de pozitia radiala r iar indicele de refractie al nvelisului este constant si egal cu


70/117


n2. Valoarea maxima pentru n(r) este n(0) = n1 si pentru r = a rezulta n(a) = n2

(v. Figura 2.14)

Figura 2.14

Geometria si profilul indicelui de refractie pentru fibra optica cu gradient de indice de

refractie.

O functie care ndeplineste conditiile de marginire de mai sus pentru profilul

indicelui de refractie n(r) este functia putere de forma:

n2(r) = n21

1 2

ra

p

, r a(2.26)

unde:

=n21 n22

2n21 n1 n2

n1(2.27)

si p o marime numita gradul profilului indicelui de refractie ce defineste forma aces-

tui profil. Astfel: pentru p = 1, n2(r) este o functie liniara de r; pentru p = 2

profilul este patratic etc. Daca p atunci n2(r) se apropie de functia treapta(v. Figura 2.15).

Propagarea razelor de lumina ntr-un mediu cu gradient de indice de refractie

a fost discutata n Sectiunea 1.3 Razele meridionale au traiectorii oscilatorii pla-

nare iar celelalte raze de lumina se propaga pe traiectorii elicoidale cu puncte de

ntoarcere ce determina doua suprafete cilindrice (v. Figura 2.16)


71/117


Figura 2.15

Profilul indicelui de refractie pentru o fibra optica pentru care n2(r) variaza ca o functie

putere pentru diferite grade p.

Unde ghidate

Modurile fibrei cu gradient de indice de refractie pot fi determinate prin re-

zolvarea ecuatiei Helmholtz (2.3) cu n = n(r) astfel ncat se obtin distributiile

spatiale ale componentelor campului ce vor trebui sa satisfaca ecuatiile lui Max-

well cu conditiile de marginire n centrul fibrei si la interfata miez-nvelis. Aceasta

abordare este dificila, desi nu imposibila. Din acest motiv, vom utiliza o teorie

aproximativa bazata pe reprezentarea distributiei de camp pentru o unda cuasi-

plana ce se propaga n miezul fibrei pe traiectoria unei raze optice ghidate. O

unda cuasi-plana este o unda caracterizata la un moment dat si ntr-un punct dat

de aceeasi ecuatie ca si unda plana dar si schimba directia de propagare si am-

plitudinea putin pe masura ce se propaga. Aceasta aproximatie ne permite sa

utilizam notiuni de optica geometrica pentru determinarea constantelor de pro-

pagare pentru modurile ghidate iar metoda de calcul este denumita metoda WKB

(Wentzel-Kramers-Brillouin) si se poate aplica doar fibrelor optice cu un numar

mare de moduri (cu parametru Vmare).


72/117


Figura 2.16

Raze ghidate n interiorul fibrei optice cu gradient de indice de refractie (a) raze meri-

dionale; (b) raze nsurubate.

Unde cuasi-plane

In modelul undelor cuasiplane vom considera solutia ecuatiei Helmholtz de

tipul:

U(r) = a(r) exp[jk0S(r)](2.28)

unde a(r) si S(r) sunt functii reale de pozitie ce variaza putin n comparatie cu

lungimea de unda 0 = 2/k0. In plus marimea S(r) satisface ecuatia eikonal n

mod aproximativ: |S|2 n2 si ca raza se se propaga n directia gradientuluilui S (S). Daca se alege k0S(r) = k0s(r) + l + z unde s(r) este o functie ce


73/117


variaza putin cu r atunci ecuatia eikonal devine:

k0 dsdr2 + 2 + l2

r2= n2(r)k20(2.29)

Frecventa spatiala locala a undei n directia radiala este data de derivata partiala

a fazei k0S(r) n raport cu r:

kr = k0ds

dr(2.30)

astfel ncat (2.28) devine:

U(r) = a(r) expj r

0krdr

exp(jll) exp(jz)(2.31)

si (2.29) permite calculul pentru frecventa spatiala locala:

k2r = n2(r)k20 2

l2

r2(2.32)

Pentru a gasi semnificatia fizica a notiunii de unda cuasiplana, n relatiile de mai

sus vom defini: k = l/r ncat exp(

jl) = exp(

jkr) si pentru kz = gasim

ca k2r + k2 + k

2z = n

2(r)k20. Astfel: o unda cuasiplana are un vector de unda local

k de marime n(r)k0 si componente n coordonate cilindrice (kr, k, kz). Cum n(r)

si k sunt functii de r, kr depinde si el de r. Directia lui k se se schimba ncet

cu r (v. Figura 2.17) urmand o traiectorie elice similara cu cea a razei nsurubate

prezentata anterior. Pentru a determina regiunea de propagare din miezul fibrei

cu gradient de indice de refractie trebuie impusa conditia ca frecventa spatiala

radiala kr sa aiba o valoare reala, altfel spus: k2r > 0. Pentru a afla k

2r = n

2(r)k20 l

2

r2 2 vom utiliza o metoda grafica (Figura 2.18): se reprezinta n2(r)k20 n functie de r (curba groasa din Figura 2.18a);

termenul l2/r2 este scazut rezultand curba cu linie ntrerupta;

valoarea lui 2 este reprezentata prin linia continua subtire verticala

k2r este reprezentat de diferenta dintre linia ntrerupta si linia subtire con-

tinua adica de regiunea hasurata;


74/117


Figura 2.17

(a) vectorul k = (kr, k, kz) n coordonate cilindrice; (b) unda cuasiplana.

se observa ca regiunea pentru care k2r este pozitiv este cuprinsa ntre rl si Rl

pentru care:

n2(r)k20 l2

r22 = 0 r = rl si r = Rl(2.33)

In concluzie: unda cuasiplana care se propaga ntr-o fibra optica cu gradient de

indice de refractie se propaga ntr-o regiune limitata n sectiune transversala de

razele rl si Rl ca si n cazul razei elicoidale.

Rezultatele de mai sus pot fi generalizate si n cazul fibrelor cu salt de indice

de refractie n care n(r) = n1 pentru r < a si n(r) = n2 pentru r > a. In acest

caz o unda cuasiplana este ghidata n miez prin reflexia la interfata nvelis-miez,r = a. Regiunea de confinare a razelor este rl < r < a (Figura 2.18b) unde:

n21k20

l2

r2l2 = 0(2.34)

In nvelis (r > a) si langa centrul miezului (r < rl), k2r are valoare negative si

unda se amortizeaza devenind unda evanescenta. Observam ca rl depinde de :


75/117


Figura 2.18

Determinarea regiunii de propagare a undei cuasiplane n fibrele optice cu gradient de

indice de refractie.

pentru valori mari ale lui (sau l mare), rl ia valori mari, unda fiind confinata

ntr-un strat cilindric subtire de la marginea miezului.

Modurile de propagare

Modurile de propagare ale fibrei cu gradient de indice de refractie sunt de-

terminate prin impunerea conditiei de reproducere a undei dupa un pas al elicei

ntre rl, Rl si retur. Lungimea traiectoriei pe directia azimutala corespunde unui

unghi la centru de 2ce trebuie astfel ncat unda se va reproduce pe aceasta lun-

gime daca variatia fazei este un multiplu de 2: k2r = 2l; l = 0, 1, 2 , . . . .Aceasta conditie este evident satisfacuta daca k = l/r; n plus, lungimea radiala

pentru o propagare pe elicea completa trebuie sa corespunda unei variatii de faza


76/117


multiplu de 2:

2 Rrl

krdr = 2m; m = 1 , 2 , . . . , Ml(2.35)

Aceasta conditie, analoaga conditiei de reproducere a undei pentru ghidurile de

unda plane (1.5) corespunde unei ecuatii caracteristice din care se pot calcula con-

stantele de propagare lm pentru diferite moduri de propagare. In Figura 2.19 au

Figura 2.19

Constantele de propagare si regiunile de confinare a radiatiilor optice pentru diferite

moduri de propagare.

fost marcate schematic valorile pentru constantele de propagare si se observa ca

pentru modul m = 1 constanta de propagare are cea mai mare valoare (aproxi-mativ n1k0) si pentru m = Ml are cea mai mica valoare (aproximativ n2k0).

Numarul maxim de moduri de propagare

Numarul total de moduri poate fi determinat prin adunarea numarului de

moduri Ml pentru l = 0 , 1 , . . . , lmax. Notam cu q numarul de moduri cu o con-


77/117


stanta de propagare mai mare decat o anumita valoare data. Pentru fiecare

valoare l, numarul de moduri Ml() cu constante de propagare mai mare ca este un numar multiplu de 2din integrala (2.35), adica:

Ml() =1

Rlrl

krdr =1

Rlrl

n2(r)k20

l2

r22dr(2.36)

unde rl si Rl sunt razele de confinare corespunzatoare constantei de propagare

determinate din (2.33). In acest caz numarul total de moduri avand constanta de

propagare mai mare decat este:

q = 4lmax()

l=0

Ml()(2.37)

unde lmax() este valoarea maxima a lui l pentru care se obtine un mod marginit

cu constanta de propagare mai mare decat , adica pentru care valoarea maxima

a functiei n2(r)k20 l2/r2 este mai mare decat 2. Numarul total de moduri M esteq pentru = n2k0. Factorul 4 din (2.37) corespunde pentru 2 polarizari posibile

si 2 polaritati pentru unghiul , traiectorii elice pozitive si negative (dupa sensul

de nsurubare al traiectoriei) pentru fiecare (l, m). Daca numarul de moduri este

suficient de mare, putem nlocui suma din (2.37) cu o integrala ncat:

q 4lmax()

0Ml()dl(2.38)

Pentru fibrele cu un profil al indicelui de refractie de tip functie putere, nlocuim

(2.26) n (2.36) si rezultatul n (2.38) prin evaluarea integralei se obtine:

q = M1 n1k02

2

p+2

p

(2.39)

n care

M pp + 2

n22k20a

2 =p

p + 2 V

2

2(2.40)


78/117


Aici = n1n2n1 este variatia relativa a indicelui de refractie si V = 2a0

N A este

parametrul V al fibrei optice. Cum q = M la = n2k0, numarul de moduri estentradevar numarul total de moduri.

pentru fibrele cu salt de indice de refractie p rezulta:

q M

1

n1k0

22

= V22

(2.41)

Expresia de mai sus a fost obtinuta ntr-o forma asemanatoare atunci cand au fost

studiate fibrele optice cu salt de indice de refractie conform (2.20).

Constantele si vitezele de propagare

Constantele de propagare

Constanta de propagare q a modului q se poate calcula din (2.39) si prin

renotarea marimilor q cu q si cu q se obtine:

q = n1k01 q

Mp

p+2 q = 1 , 2 , . . . , M(2.42)

Deoarece diferenta relativa a indicilor de refractie are o valoare mica ncat 1 se poate folosi formula aproximativa pentru puterea unui binom (1 + )1/2 1 + /2 si din formula (2.42) se obtine o formula aproximativa pentru calculul

constantei de propagare:

q n1k0

1 q

M

pp+2

(2.43)

Se observa ca q scade de la o valoare de aproximativ n1k0 (pentru q = 1) pana la

n2k0 (pentru q = M) ca si n Figura 2.20. Pentru fibrele optice cu salt de indice de

refractie p constanta de propagare poate fi calculata dupa formula:

q n1k0

1 qM

(2.44)

Expresia relatiei de mai sus este identica cu (2.21)daca q este nlocuit cu (l + 2m)2

unde l = 0 , 1 , . . . ,

M si m = 1 , 2 , . . . ,

M/2 l/2.


79/117


Figura 2.20

Dependenta constantelor de propagare q de ordinul modului de propagare q =1 , 2 , . . . , M.

Vitezele de grup

Pentru a determina viteza de grup pentru un anumit mod de propagare vq =ddq

se exprima constanta de propagare q ca o functie de pulsatia prin nlocuirea

relatiei (2.40) n (2.42) si tinand cont de relatia n1k0 =c1

. In acest caz se obtine

(conform aceleiasi aproximatii (1 + )1

1 ) si pentru c1 si independentede pulsatia (se ignora dispersia materialului):

vq c1

1 p 2p + 2

qM

pp+2

(2.45)

pentru fibra optica cu salt de indice de refractie p si viteza de grup se poatecalcula astfel:

vq c1

1 qM

(2.46)

cand viteza de grup variaza de la c1 pana la c1(1 ), rezultat identic cu celobtinut n (2.25).

Profilul optim pentru indicele de refractie

Din relatia (2.45) se poate deduce ca pentru p = 2 viteza de grup a radiatiilor

ce se propaga prin fibra optica este constanta vq c1 oricare ar fi q, cu alte cuvinte


80/117


toate modurile se propaga cu aceeasi viteza de grup c1. O astfel de fibra optica

s-ar comporta ca o fibra de tip monomod cu o dispersie modala minima. Totusi,pentru determinarea relatiei (2.45) s-au folosit cateva aproximatii ncat pentru

determinarea vitezei de grup cu mai multa exactitate se mai considera un termen

n dezvoltarea Taylor al binomului (1 + )1/2 1 + /2 2/8 si pentru p = 2se obtine:

vq c1

1 qM

2

2

(2.47)

si viteza de grup variaza de la c1 pana la c1(1 2/2) la q = M. In comparatiecu fibra optica cu salt de indice de refractie, pentru care viteza de grup variaza n

intervalul c1 si c1(1 ), fibra cu gradient de indice de refractie de profil para-bolic are o variatie relativa a vitezei de grup proportionala cu 2/2 (Figura 2.21)

In conditii ideale fibra optica cu gradient de indice de refractie reduce diferentele

Figura 2.21

Vitezele de grup pentru o fibra cu salt de indice de refractie p si pentru o fibra cugradient optim de indice de refractie p = 2.

de viteze de grup cu un factor /2 astfel ncat dispersia modala fata de fibra cu

salt de indice de refractie se micsoreaza simtitor. Cum toata analiza de mai sus

s-a facut pe baza unor aproximatii factorul /2 nu este atins n practica. Mai

mult, pentru p = 2 numarul de moduri M de propagare prin fibra cu gradient de


81/117

2.4. ATENUAREA SI DISPERSIA 73

indice de refractie este:

M V2

4(2.48)

unde V = 2(a/0)N A. Acest numar este egal doar cu o jumatate din numarul

de moduri de propagare pentru o fibra cu salt de indice de refractie cu aceeasi

parametru n1, n2 si a.

2.4 Atenuarea si dispersia

Atenuarea si dispersia sunt cele doua fenomene fizice care limiteaza performantele

fibrelor optice si a canalelor de transmisie de date. Atenuarea limiteaza marimea

puterii optice transmise iar dispersia limiteaza rata de transmisie a datelor deoa-

rece determina mprastierea temporala a pulsurilor de date.

Atenuarea

Coeficientul de atenuare

Unda luminoasa care se propaga prin fibra optica are o valoare a puterii ce

scade exponential cu distanta de propagare datorita absorbtiei si a mprastierii.

Coeficientul de atenuare este de obicei definit n unitati dB/Km:

=1

L10lg

1

T(2.49)

unde T = P(L)P(0)

este raportul puterilor transmise pentru o fibra de lungime L

(exprimata n Km). Relatia ntre si T este reprezentata n Figura 2.22 pentruL = 1Km. O atenuare de 3dB, de exemplu, corespunde unei valori T = 0,5;pentru 10dB T = 0, 1 si pentru 20dB T = 0, 01. Pierderile n dB se aduna n timpce rapoartele de transmisie se nmultesc. Din aceasta cauza pentru o distanta z n

Km pierderea este z B si raportul puterilor:P(z)

P(0)= 10z/10 exp(0,23z)(2.50)


82/117


Figura 2.22

Relatia ntre T si coeficientul de transmisie masurat n dB.

cu masurat n dB/Km. Daca coeficientul de atenuare este exprimat n Km1

atunci:

P(z)P(0)

= exp z(2.51)

ce exprima legea clasica a atenuarii. Pentru ca n comunicatiile prin fibra optica

se exprima n dB/Km raportul puterilor este definit de relatia (2.50).

Absorbtia

Coeficientul de absorbtie al sticlei de Si (Si O2) depinde puternic de lungimea

de unda (v. Figura 2.23). Acest material are doua benzi de absorbtie puternica:

n IR mijlociu datorita tranzitiilor de vibratie si n UV datorita tranzitiilor elec-

tronice si moleculare. Intre cele doua benzi de absorbtie se formeaza fereastra de

transmisie ce ocupa regiunea corespunzatoare IR apropiat.


83/117

2.4. ATENUAREA SI DISPERSIA 75

Figura 2.23

Variatia coeficientului de absorbtie al sticlei de siliciu cu lungimea de unda 0.

Imprastierea

Imprastierea Rayleigh este un alt efect intrinsec ce contribuie la atenuarea pute-

rii luminoase transmise prin fibra optica. Acest fenomen se datoreaza centrelor

de mprastiere din fibra formate prin variatia aleatoare a pozitiei unor atomi n

cristalul de oxid de siliciu. Amplitudinea campului mprastiat este proportionala

cu 4 sau 1/40 astfel ncat undele cu 0 de valoare mica sunt mprastiate mai

transm inform fibre optice

Documents