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Traitement des incertitudes en simulation numérique
Cours 2 : Planification et analyse d’expériences numériques
Bertrand Iooss – Amandine Marrel
Module INSA Toulouse/GMM 5Planification, risque et incertitudes
29 novembre 2013
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Module Traitement des incertitudes en simulation nu mérique
Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codesde calcul parfois très lourds pour modéliser des phénomènes complexes !La plupart des ingénieurs sont amenés à manipuler ces codes & processus
1) Il est nécessaire d’optimiser leur utilisation pour prendre des décisions !=> Analyse de sensibilité, planification d'expérience, développement de modèles réduits
2) La validation de leurs résultats est un problème crucial lorsqu’ils sont utilisésdans des cycles industriels (conception, sûreté, prévision, etc.)=> Gestion des incertitudes, calculs fiabilistes
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 2
3 cours de 3h15 pour INSA GMM 5 & Master Pro 2 UPS1.Cours 1 : Introduction, modélisation et propagation d’incertitudes2.Cours 2 : Planification et analyse d’expériences numériques3.Cours 3 : Modélisation d’expériences numériques, krigeage
3 séances de TP pour INSA GMM 51.TP 1 :Exercices en R2.TP 2 : Exercices en R3.TP 3 : Exercices en R
Une note sera délivrée via un compte-rendu réalisés à l’issue du dernier TP
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Une problématique multi-sectorielle
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 3
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1. Introduction
2. Planification d’expériences numériques
3. Méthodes d’analyse de sensibilité
Plan du cours 2
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 4
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Incertitudes en simulation numérique : les enjeux
Validation :
Modélisation :Explorer au mieux différentes combinaisons des entrées
Identifier les données influentes pour prioriser la R&D
Améliorer le modèle
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 5
Réduire l’incertitude de prédiction
Calibrer les paramètres du modèle
Utilisation :Études de sûreté : calculer un risque de défaillance (Fiabilité des structures - événements
rares), calculer des marges (par rapport à une réglementation)
Conception : optimiser les performances d’un système
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Étape B:Quantification des sources
ModèleModèle(ou processus de (ou processus de
mesure)mesure)G(x,d)
Variables Variables d’entréed’entrée
Incertaines : x
Variables Variables d’intérêtd’intérêtZ = G(x,d)
ÉtapeÉtape A : Spécification du problèmeA : Spécification du problème
Quantité Quantité d’intérêtd’intérêt
Ex: variance, probabilité ..
Étape C : Propagation des sources d’incertitude
Approches quantitatives : schéma générique introduc tif
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 6
des sources d’incertitudes
Modélisation par des distributions
G(x,d)Incertaines : xFixées : d
Z = G(x,d)
Critère de décisionEx: Probabilité < 10-b
Rebouclage(feedback)
probabilité ..
Étape C’ : Analyse de sensibilité, Hiérarchisation
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Enjeu : Arbitrer entre précision de l’estimateur et coût des calculs
Si possible, Monte Carlo est à privilégier : indépendant de la dimension des entrées, estimation non biaisée, fournit un intervalle de confiance sur l’estimationMais : coût important en nombre d’évaluations du modèle
Si le code de calcul est trop coûteux en CPU, il existe des méthodes alternatives :Méthodes quasi-Monte Carlo (cf. cours 2) - Mais : fléau de la dimension
Rappels sur la propagation d’incertitudes
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 7
Méthodes approchées : Cumul quadratique (développement de Taylor) - Mais : hypothèse linéairesMéthodes FORM/SORM : estimation rapide de pf . Cette première estimation peut être utilisée pour construire un tirage d’importance
Utilisation d’un modèle de substitution du code de calcul (cf. cours 3) ayant un coût pratiquement nul (métamodèle)
Attention : un nouveau terme d’erreur apparaîtLe calage du métamodèle demande aussi un certain nombre d’appels au vrai modèle G
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1. Introduction
2. Planification d’expériences numériques
3. Méthodes d’analyse de sensibilité
Plan du cours 2
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Explorer le comportement des réponses d’un code à l’aide d’un nombre limité de calculs
Propager les incertitudes (calcul des moments des réponses)
Objectifs des plans exploratoires
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 9
Fournir des plans plus efficaces que les plans aléatoires purs pour estimer des indices de sensibilité
Fournir un plan initial pour construire un métamodèle
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Mauvais plan exploratoire : le plan « One-At-a-Time » (OAT)
Part de l’idée très répandue que pour analyser les causes d’un phénomène, il faut faire des expériences en ne bougeant qu’un seul facteur à la fois
X2P2P3
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 10
On voit aisément que : OAT apporte des informations, potentiellement fausses
L’exploration est pauvre :
• ne détecte pas les non monotonies, discontinuités, interactions
• laisse de grandes zones inexplorées dans l’espace des paramètres d’entrée (fléau de la dimension)
Remarque : OAT est un plan de résolution III mais aliases très mal définis
X1P1 P2
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Illustration du fléau de la dimension
7 points dans un espace 3D
p=2p=3 0
Faible recouvrement de l’espace
log(
rapp
ort)
pp
pr
+Γ==
2
1
12
)5.0( sphere vol.2/π
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 11
Surf. cercle/ Surf. carré ~ 3/4
Vol. sphere / Vol. cube ~ 1/2
p=10 Rapport ~ 0.00250 5 10 15 20
-15
-10
-5
k
log(
ratio
(k))
p
log(
rapp
ort)
volume de l’hypercube >> volume de l’hypersphère (incluse et tangente)
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Exploration « optimale » d’un domaine hypercubiquePlacer des points dans le domaine des entrées X є Rp dans le but de
« maximiser » la quantité d’information sur la sortie du modèle Y = G (X)
La précision (et donc le coût) de l’exploration dépend de p(contrairement à la prop. d’incert.)
Grille régulière à n niveaux N =n p simulations
fléau de la dimension
Ex: p =2, n =3N =9
p = 10, n=3
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 12
fléau de la dimension
Pour minimiser N, on a besoin d’échantillons assurant une bonne couverture de l’espace des entrées
Un échantillon purement aléatoire (Monte Carlo) ne le permet pas
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
V1
V2
0.2 0.4 0.6 0.8
0.2
0.4
0.6
0.8
V1
V2
Monte CarloPlan optimisé
Ex: p = 2N = 10
N = 59049
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Plan factoriel complet 23
Plan factoriel fractionnaire 23-1
Experimental Design can be defined as the strategy for setting up experiments [ performing simulations ] in such a manner that the information required is
obtained as efficiently and precisely as possible (Lewis & Phan-Tan-Luu, 2000)
Plans d’expériences
Plans classiques (facteurs discrétiséssuivant des niveaux)
Exemples :
Plans classiques (facteurs continus)Plans optimaux consistant à minimiser unevariance ou le déterminant d’une matrice decovariance par rapport à un modèle spécifié(linéaire, polynôme d’ordre deux, …)
Plans pour simulations numériques
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 13
paramètre 1
paramètre 2
paramètre 3
Spécificités
• expériences déterministes (erreur=0),
• grand nombre de facteurs,
• larges domaines de variation,
• variables d’intérêt multiples,
• modèles fortement non linéaires, …
space filling designs
Biblio : Fisher (1917), Box et Wilson (1954), Taguschi ( 1960), Mitchell (1958), …
Biblio : Kleijnen (1970), McKay (1979), Morris(1995), Sacks ( 1989), …
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..
.
..
COMPOSITE FCCFACTORIEL 2p FACTORIEL 3p COMPOSITE CCD
.
Recueil de plans standard (tabulés)
Quelques plans d’expériences « classiques »
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 14
BOX-BEHNKEN HYBRID RECHTSHAFFNERHOKE D6
Recueil de plans standard (tabulés)
[ Corre, 2005 ]
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Exploration du domaine : propriétés attendues
Répartir « régulièrement » un certain nombre de points N dans l’espacep-dimensionnel des entrées (χ), pour construire le plan
N ~ 50 à 1000 et p ~ 5 à 50
S’assurer de la robustesse de cette répartition vis-à-vis de la réduction dedimension
( )pjNi
ijN x
...1,...1
)(
===Ξ
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 15
dimensionRègle d’or à connaître : la plupart du temps, ce sont les effets d’ordre faible
qui sont influents
On va donc chercher des plans d’expériences qui répondent à ces objectifs
Question préliminaire :
Comment définit-on les « bonnes » répartitions ?=> différents critères possibles
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Comment échantillonner un espace de grande dimensio n ?Warning: un échantillon aléatoire pur remplit mal l’espace (surtout si p est élevé)
1. Plans « space filling » sont de bons candidats pour bien remplir l’espace
Ces plans sont basés :• soit sur un critère de distances entre les points du plan : minimax, maximin, …
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
V1
V2
0.2 0.4 0.6 0.8
0.2
0.4
0.6
0.8
V1
V2
Echant.Echant.MonteMonteCarloCarlo
SpaceSpaceFillingFillingDesignDesign
Ex: p = 2, N = 10
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 16
• soit sur un critère de distances entre les points du plan : minimax, maximin, …• soit sur un critère de répartition uniforme des points (discrépance)
2. Propriété de projections uniformes sur les margesobtenue via un plan Hypercube Latin (LHS)chaque entrée est bien échantillonnée.
Ex : p = 2, N = 4
3. Plans LHS optimisés pour avoir les propriétés 1 et 2
good bad
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Minimax design DMI : Minimise la distance maximale entre un point du domaine et un point du plan
Aucun point du domaine [0,1]p n’est trop loin d’un point du plan DMI
),(min),( re whe
),(max),(maxmin
)0(
)0(xxdDxd
DxdDxd
Dx
MIxxD
∈=
= [ Johnson et al. 1990 ][ Koehler & Owen 1996 ]
Critères géométriques de remplissage (1/2)
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 17
=> L’un des meilleurs plans mais trop coûteux à construire pour p > 3
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p = 1 ; Xi = (2i-1)/(2N) ; φmM = 1 / 2N
p > 1 : recouvrement de sphères
Plans minimax
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[ www.spacefillingdesigns.nl ]
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Critères géométriques de remplissage (2/2)
- Distance mindist : (norme L2 usuellement)
Maximin design ΞNMm : maximise la distance minimale entre les points du plan
),(min)( )2()1(
, )2()1(xxd
Nxx
N
Ξ∈=Ξφ
),(min),(minmax )2()1(
,
)2()1(
,Mm
)2()1()2()1(xxdxxd
NNN xxxx Ξ∈Ξ∈Ξ=
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 19
- Moyenne des distances de chaque point à son plus proche voisin,
- Mesure de recouvrement = coefficient de variation de ces distances,
- …
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p = 1 ; Xi = (i-1)/(N-1) ; φmM = 1 / (N-1)
p > 1 : empilage de sphères
Plans maximin
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[ www.spacefillingdesigns.nl ] [ www.packomania.com ]
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Un critère statistique : la discrépance
Mesure la déviation maximale entre la répartition des poin ts de l’échantillon et une répartition uniforme (~ statistique de Kolmogorov-Smirnov)
Interprétation géométrique :Comparaison entre le volume des intervalles du domaine et le nombre de points contenus dans ces intervalles
×××==⊂ pp tttQQ 21 [,0[[,0[[,0[)(,[1,0[)( tt Kχ
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 21
Plus faible est la discrépance, plus la répartition uniforme
des points dans l’espace est bonne
La discrépance intervient dans la majoration de l’erreur d’intégration d’une fonction
∏=∈
−=
×××==⊂p
ii
Q
Q
p
tN
N
tttQQ
p1
)(
[1,0[)(
21
sup)plan(ediscrépanc
[,0[[,0[[,0[)(,[1,0[)(
t
t
tt Kχ
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Lien avec le problème de l’intégration d’une foncti on
( )
( ) ( )
=⇒==Ε
=
=
=
=∑
∫
NO
N
GIII
x
xGN
I
dxxGI
NN
pNi
i
N
i
iN
p
1)(VarVar;
[1,0[ dans points de aléatoire séquence une avec
)(1
: Carlo Monte
)(
MCMC
...1)(
1
)(MC
[1,0[
ε
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 22
( ) ( ) NNNN
Propriété générale (Koksma-Hlawka inequality) :
Avec une suite à faible discrépance D (séquence quasi-Monte Carlo) :
Une suite est uniformément répartie sur [0,1[p si limn->∝ Disc(Dn) = 0Choix bien connus : suite de Sobol’, Halton, Faure, …
( )
=
N
NO
plnε
)(disc)( DGV ×≤ε
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( )
( )2/12
[1,0[ 1)(
*2
1)(
[1,0[
*
))(Volume(11
))(Volume(11
sup
)(
)(
−=Ξ
−=Ξ
∫ ∑
∑
=∈
=∈
∈
tt
t
tx
txt
dQN
D
QN
D
p
i
ip
N
iQ
N
N
iQ
N
Discrépances L 2
Plusieurs définitions, dépendant de la norme et des intervalles considérés
Choix permettant de faciliter les calculs : discrépance L2
Discrépance L2 à l’origine :
[ Hickernell 1998 ]
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 23
Une propriété manquante : prise en compte de l’uniformité des projections des points sur des sous-espaces de [0,1[p
=> Discrépance L 2 modifiée
( ){ }
) dans scoordonnée de unité (cube sur )( de projection la )(et
,...,1 avec
))(Volume(11
Ø
2
1)(2 )(
uCQQ
pu
dQN
D
uu
u C
u
N
iQ
N
uu
iu
tt
tttx
⊂
−=Ξ ∑ ∫ ∑≠ =
∈
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Calculs de la discrépance en pratique
• Discrépance L2 centrée (intervalles ancrés en un sommet de l’hypercube)
Formule analytique :
∑∏
∑∏
= =
= =
−−−+−++
−−−+−
=Ξ
N
ji
p
k
jk
ik
jk
ik
N
i
p
k
ik
ik
pN
xxxxN
xxN
C
1, 1
)()()()(2
1 1
2)()(2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
11
1
2
1
2
1
2
1
2
11
2
12
13)(
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 24
• Discrépance L2 wrap-around (supprime les effets de bord en enveloppant le cube unité)
..
. .
.
.
.
. .
..
. ...( )∑∏
= =
−−−−+
=ΞN
ji
p
k
jk
ik
jk
ik
pN xxxx
NW
1, 1
)()()()(2
2 12
31
3
4)(
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Construction d’une suite à discrépance faible
Séquence 1D de Van der Corput
Ecriture d’un nombre i en base b :
Pour obtenir un nombre à l’intérieur de l’intervalle unité :
∑=
−≤≤=
=m
jj
jj
b
babai
aaaaaib
0
01234
10 , : décimal Système
)( : Base K
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 25
Suite de Halton (dimension p) : pour chaque dimension, prendre une base (nombre premier) différente
∑=
−−=
=m
j
jj
b
babih
aaaay
0
1
3210
),( : décimal Système
).0( K
{ }),(,),3,(),2,( pbihihih K
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Exemples en 2D : Suite de Sobol vs. échantillon alé atoire vs. grille régulière
[ Kucherenko, 2010 ]
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 26
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Exemple - N = 150 - Dimension = 8
Sobol Sobol scrambling Owen
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 27
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Exemple - N = 150 - Dimension = 8 Halton
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 28
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Pathologies sur les projections 2DHalton
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 29
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Propriété importante : robustesse en sous-projectio ns
Le code de calcul G (X) a souvent de faibles dimensions effectives :- au sens de la troncature (nombre de variables influentes << p )- au sens de la superposition (+ gd ordre d’interaction influente << p )
Il est donc nécessaire que le SFD conserve les propriétés space-filling sur les sous-espace de faibles dimensions (par importance : en dimension p ’=1, puis p ’=2, ...)
• p ’ = 1 – Le plan LHS nous assure de bonnes projections 1D
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 30
good bad
• p ’ ≥ 2 - Les discrépances L2 modifiées (centrée, wrap-around, …) prennent en compte les sous-projections dans leurs définitions
Par contre, les critères de distances vus précédemment n’assurent pas de robustesse en sous-projections
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Les Hypercubes Latins (LHS)
Propriété : Projections uniforme sur les marginales
Principe : p variables, N points ⇒ LHS(p,N)- On divise chaque dimension en N intervalles
- Tirage aléatoire d’un point dans chaque strate : Exemple : p =2, N =4
Souvent, seules quelques variables sont influentes
[ McKay et al. 1979 ]
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 31
Chacun des niveaux est pris une fois et une seule par chaque facteur⇒⇒⇒⇒ chacune des colonnes du plan est donc une permutation de { 1,2,..,N }
Exemple : p =2, N =4
Choix du LHS par optimisation de différents critères� Remplissage� Indépendance� Uniformité
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Algorithme LHS( p,N) – Méthode de Steinran = matrix(runif(N*p),nrow=N,ncol=p) #tirage de N x p valeurs selon loi U[0,1]
x = matrix(0,nrow=N,ncol=p) # constructi on de la matrice x
for (i in 1:p) {
idx = sample(1:N) #vecteur de permutations des entie rs {1,2,…,N}
P = (idx-ran[,i]) / N # vecteur de probabilités
x[,i] <- quantile_selon_la_loi (P) }
Exemple : p =2, N =10, X1 ~ U[0,1], X2 ~ N(0,1)
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 32
Exemple : p =2, N =10, X1 ~ U[0,1], X2 ~ N(0,1)
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Méthode simple : générer un grand nombre (par ex. 1000) de LHS différents. Puis, choisir le meilleur au sens d’un critère φ (.) (« space filling »)
MAIS : le nombre de LHSpossibles est énorme :
Méthode par algos d’optimisation (ex : minimisation de φ(.) par recuit simulé) :
Optimisation de LHS => Space-filling LHS
Exemple : LHS(2,16)
critère maximin ( )pN!
[ Park 1993; Morris & Mitchell 1995 ]
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 33
1. Initialisation d’un plan Ξ (LHS initial) et d’une température T
2. Tant que T > 0 : 1. générer un voisin Ξ new de Ξ (voisin = permutation de 2 composantes dans une colonne)
2. remplacer Ξ par Ξ new avec la probabilité
3. faire décroître T
3. Critère d’arrêt => Ξ contient la solution optimale générée par le recuit simulé
Ξ−Ξ− 1 , )()(
expmin new
T
φφ
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Exemples
Exemple : LHS(2,16)
Maximin LHS LHS à faible discrépance
Sur des tests numériques (N =100), on voit qu’à partir de la dimension 10, le LHS
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 34
Sur des tests numériques (N =100), on voit qu’à partir de la dimension 10, le LHS maximin se comporte comme un LHS standard (dimension 40 pour un LHS à discrépance centrée faible)
Cela confirme la pertinence de la discrépance L² centrée en terme de sous-projection
En pratique, par exemple, on peut lancer plusieurs (~10) optimisations suivant un critère de discrépance, et on compare les résultats suivant un critère de distance afin de choisir le meilleur plan
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Récapitulatif sur la planification d’expériences nu mériquesEnjeu : Echantillonner un espace de grande dimension de manière « optimale »
(obtenir le plus d’informations possible sur le comportement de la sortie Z / X є Rp)
Problème : un échantillon aléatoire pur (Monte Carlo) remplit mal l’espace
1. Plans « space filling » sont de bons candidats pour bien remplir l’espace :
- Basés sur un critère de distances entre les points du plan (minimax, maximin, …), justification théorique pour la construction du métamodèle de krigeage
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 35
justification théorique pour la construction du métamodèle de krigeage
- Basés sur un critère de répartition uniforme des points (discrépance) ; justification théorique lorsque l’on calcule la moyenne de la fonction f (X)
2.Propriété de projections uniformes sur les marges peut être obtenue via les plans hypercubes latins (LHS)
3.Il est possible de coupler les 2 propriétés en construisant des LHS optimisés
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Synthèse : propriétés des Space Filling Designs
Orthogonalité des colonnes
Motifs, alignement
Plan séquentiel
Réduction dimension
Monte Carlo Non Non Oui Oui
Faure, Halton, Sobol
Oui Oui, en dim. élevée
Oui Oui, mais pathologies
LHS à discrép Non ? Non Oui
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 36
LHS à discrépcentrée faible
Non ? Non Oui
LHS maximin Non Oui Non Non
• A part le Monte Carlo, tous ces plans sont dits « à bon remplissage de l’espace »• les suites à faible discrépance remplissent le cube unité de manière extrêmement régulière (et parfois trop => techniques de scrambling)
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1. Introduction
2. Planification d’expériences numériques
3. Méthodes d’analyse de sensibilité
Plan du cours 2
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 37
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Étape B:Quantification des sources
ModèleModèle(ou processus de (ou processus de
mesure)mesure)G(x,d)
Variables Variables d’entréed’entrée
Incertaines : x
Variables Variables d’intérêtd’intérêtY = G(x,d)
ÉtapeÉtape A : Spécification du problèmeA : Spécification du problème
Quantité Quantité d’intérêtd’intérêt
Ex: variance, probabilité ..
Étape C : Propagation des sources d’incertitude
Approches quantitatives : schéma générique introduc tif
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 38
des sources d’incertitudes
Modélisation par des distributions
G(x,d)Incertaines : xFixées : d
Y = G(x,d)
Critère de décisionEx: Probabilité < 10-b
Rebouclage(feedback)
probabilité ..
Étape C’ : Analyse de sensibilité, Hiérarchisation
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Deux notions pour l’analyse de sensibilité
sensibilité, par exemple
Donne une idée de la manière dont peut répondre la réponse en fonction de variations potentielles des facteurs
« contribution » = sensibilité x importance, par exemple
Permet de déterminer le poids d’une variable d’entrée (ou groupe de variables) sur l’incertitude de la variable d’intérêt (la sortie)
iXY ∂∂
)( ii
XX
Y σ∂∂
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 39
C’est l’impact vis-à-vis de la quantité d’intérêt qui est étudié :• variabilité globale (variance, entropie, …)• quantile, probabilité de dépassement, …
DDXX DDYY
f
XXYY
Distinction local vs. global
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Analyse de sensibilité locale
• Cumul quadratique
Contribution de Xi sur la sortie Y :( )
( )∑=
∂∂
∂∂= p
ii
ii
XY
XYXC
1
2X
2
2X
2
i
i)(σ
σ
( ) ( ) ∑=
−
∂∂+=
p
iii
Xi
XXX
YYY
1
00 )(0
XX
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 40
Calcul des dérivées par différences finies, dérivées exactes, différentiation automatique de codes (fortran, C)
• Autres indices de sensibilité locaux
Indices issus des méthodes FORM/SORM mesurent les sensibilitéspar rapport au dépassement d’un seuil (autour du point de conception)
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Analyse de sensibilité globale : objectifs
Réduction de l’incertitude de la sortie d’un modèle par hiérarch. des sources
Variables à fixer pour obtenir la plus forte réduction (ou une réduction donnée) de l’incertitude de la sortie
Variables les plus influentes dans un domaine de valeurs de la sortie
si réductibles, priorité de R&D
Simplifier un modèle
détermination des variables non influentes, que l’on pourra fixer
construire un modèle simplifié, un métamodèle
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 41
construire un modèle simplifié, un métamodèle
Approche statistique (échantillonnage Monte Carlo) Propagation Sensibilités globales
coût élevé pour probas faibles coût α p
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Enjeu : décomposer la variabilité globale de la sortie Z = G (X) (due aux incertitudes sur les entrées X) en part de variabilité due à chaque entrée Xi , i=1,…,p
Problème : comme pour la planification, le coût en nombre N d’évaluations de G (.) dépend de p
1. Le criblage (screening) :
- plans d’expériences classiques, - plans d’expériences numériques
N ~ p/2 à 10 p
Analyse de sensibilité globale
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 42
N ~ p/2 à 10 p
2. Les mesures d’influence globale : - corrélation/régression sur les valeurs/rangs, - décomposition de la variance fonctionnelle (Sobol),
N ~ 2p à 1e4 p
3. Exploration fine des sensibilités - N ~ 10p à 100 p- Méthodes de lissage (param./non param.)- Métamodèles
X1
X3
X2
Y
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Criblage avec N < p (plans supersaturés)
Beaucoup d’entrées (p >> 10) et code coûteuxContrainte : réaliser moins de calculs qu’il n’y a d’entréesHypothèses :
Nombre d’entrées influentes << pMonotonie du modèle, pas d’interaction entre entréesConnaissance du sens de variation de la sortie / chaque entréePossibilité de planification séquentielle
Exemple: méthode des bifurcations séquentielles
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 43
Exemple: méthode des bifurcations séquentielles
Y+X1
X2
X3
X4 X… Xp
2 calculs
Y-
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Criblage avec N < p (plans supersaturés)
Beaucoup d’entrées (p >> 10) et code coûteuxContrainte : réaliser moins de calculs qu’il n’y a d’entréesHypothèses :
Nombre d’entrées influentes << pMonotonie du modèle, pas d’interaction entre entréesConnaissance du sens de variation de la sortie / chaque entréePossibilité de planification séquentielle
Exemple: méthode des bifurcations séquentielles
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 44
Exemple: méthode des bifurcations séquentielles
Y+X1
X2
X3
X4 X… Xp
X1X2
X3
X4
X…
Xp
X…
-
+
2 calculs 1 calcul
Y-
Y1si Y+≠Y-
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Criblage avec N < p (plans supersaturés)
Beaucoup d’entrées (p >> 10) et code coûteuxContrainte : réaliser moins de calculs qu’il n’y a d’entréesHypothèses :
Nombre d’entrées influentes << pMonotonie du modèle, pas d’interaction entre entréesConnaissance du sens de variation de la sortie / chaque entréePossibilité de planification séquentielle
Exemple: méthode des bifurcations séquentielles
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 45
Exemple: méthode des bifurcations séquentielles
Y+X1
X2
X3
X4 X… Xp
X1X2
X3
X4
X…
Xp
X…
-
+
2 calculs 1 calcul
Y-
Y1si Y+≠Y- si Y1 ~ Y+
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Criblage avec N < p (plans supersaturés)
Beaucoup d’entrées (p >> 10) et code coûteuxContrainte : réaliser moins de calculs qu’il n’y a d’entréesHypothèses :
Nombre d’entrées influentes << pMonotonie du modèle, pas d’interaction entre entréesConnaissance du sens de variation de la sortie / chaque entréePossibilité de planification séquentielle
Exemple: méthode des bifurcations séquentielles
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 46
Exemple: méthode des bifurcations séquentielles
Y+X1
X2
X3
X4 X… Xp
X1X2
X3
X4
X…
Xp
X…
-
+
2 calculs 1 calcul
Y-
Y1
X1X2
X3
X…
si Y+≠Y- si Y1 ~ Y+ ……
N ~ p / 2
Quelques Xiinfluents
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Un criblage plus informatif : la méthode de Morris
• Méthode de « screening » (criblage)
� un modèle comportant beaucoup de variables d’entrée est difficile à explorer …… mais souvent, seulement quelques entrées sont influentes
� objectif qualitatif : identifier rapidement ces entrées
• La méthode de [Morris 91] permet de classer les entrées en trois
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 47
• La méthode de [Morris 91] permet de classer les entrées en trois groupes selon leurs effets :
1. effets négligeables2. effets linéaires et sans interaction3. effets non linéaires et/ou avec interactions
• Pas d’hypothèses sur le modèle… … mais mieux vaut une certaine régularité…
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∆X2
Criblage : Méthode de Morris
• Discrétisation de l’espace
P1
• Nécessite p+1 expériences
• OAT (One-at-A-Time)
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 48
X1
• Permet de calculer un effet élémentaire pour chaque entrée
P2P3
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X2
4
3
2
• Le plan d’expériences est répété R fois (au total : N = R*(p+1) expériences)
• Ceci donne R-échantillons pour chaque effet élémentaire
Criblage : Méthode de Morris
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 49
X1
1
5
• Mesures de sensibilité
Moyenne des effets
Dispersion des effets
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Criblage : Méthode de Morris
• est une mesure de la sensibilité :
valeur importante � effets importants (en moyenne)� modèle sensible aux variations de l’entrée
• est une mesure des interactions
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 50
• est une mesure des interactionset des effets non linéaires :
valeur importante � effets différents les uns des autres� effets qui dépendent de la valeur :
• soit de l’entrée elle-même : effet non linéaire• soit des autres entrées : interaction(la méthode ne permet pas de distinguer les 2 cas)
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Criblage : Méthode de Morris => Exemple
20 facteurs210 simulations� Graphe (mu*, sigma)
On distingue les 3 groupes:3
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 51
*µ
σ
Cas test : fontion non monotone de Morris (source Saltelli)
On distingue les 3 groupes:
1. Effets négligeables2. Effets linéaires3. Effets non linéaires
et/ou avec interactions
1 2
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Exemple : code combustible HTRCode de calcul ATLAS (CEA) : simulation du comportementdu combustible à particules sous irradiation
Noyau de matière fissileCarbone pyrolytique poreuxCarbone pyrolytique denseCarbure de Silicium
Sources de contamination : rupture de particulesNombre de particules dans un
réacteur : de 109 à 1010 !
< 1mm φ
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 52
Sources de contamination : rupture de particulesEtudes de fiabilité [Cannamela 07]
La rupture d’une particule peut être provoquée par la rupture des couches denses externes (IPyC, SiC, OPyC)
Les réponses sont choisies pour être représentatives du phénomène de rupture : contraintes orthoradiales maximales dans les couches externes
réacteur : de 109 à 1010 !
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3 sources d’incertitudes en entrée• 10 paramètres de fabrication des particules (épaisseurs, …)
Spécifications de fabrication lois normales tronquées
• 5 paramètres d’irradiation (température, …)Intervalle [min,max] lois uniformes
• 28 lois de comportement (fonctions des température, flux, …)Avis d’expert constantes multiplicatives (de loi U[0.95,1.05])
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 53
Exemple : loi de densification
du PyC
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Résultats de Morris
Grande sensibilité àces entrées (épaisseurs, température d’irradiation)Interactions faibles
Les lois sur le fluage
p = 43 entrées, 20 répétitions, n = 860 calculs, coût unitaire ~ 1 mn 14h
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 54
Les lois sur le fluageet la densification du PyCsont les lois auxquelles lecode est le plus sensible
Conclusion : La méthode de Morris donne une idée de la manière dont peut répondre la sortie en fonction de variations potentielles des entrées…
Utile pour identifier les entrées potentiellement influentes
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Enjeu : décomposer la variabilité globale de la sortie Z = G (X) (due aux incertitudes sur les entrées X) en part de variabilité due à chaque entrée Xi , i=1,…,p
Problème : comme pour la planification, le coût en nombre N d’évaluations de G (.) dépend de p
1. Le criblage (screening) : - plans d’expériences classiques, - plans d’expériences numériques
N ~ p/2 à 10 p
Rappels sur l’analyse de sensibilité
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 55
N ~ p/2 à 10 p
2. Les mesures d’influence globale :
- corrélation/régression sur les valeurs/rangs, - décomposition de la variance fonctionnelle (Sobol),
N ~ 2p à 1e4 p
3. Exploration fine des sensibilités - N ~ 10p à 100 p- Méthodes de lissage (param./non param.)- Métamodèles
X1
X3
X2
Y
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Mesures d’influence globale
Échantillon ( X, Y (X ) ) de taille N > p , de préférence de taille N >> pÉtape préliminaire : visualisation graphique (par ex : scatterplots)
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 56
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Mesures d’influence globale=> Représentation graphique : scatterplots
YX
σσρ ),cov(=
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
02
46
810
i3
p23
N calculs
Graphe Sortie / chaque entrée
Exemple :N = 300
Mesure le caractère linéaire du nuage de points
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 57
YXσσ
yx
N
iii
ss
yyxxN ∑=
−−= 1
))((1
ρ̂
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Mesures d’influence globale=> Modèle de crues - Scatterplots – Sortie S
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 58
Echantillon Monte Carlo – N = 100
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Mesures d’influence globale=> Modèle de crues - Scatterplots – Sortie Cp
Monte Carlo – N = 100
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 59
Limite majeure : analyse seulement les relations du premier ordre et pas les effets des interactions entre les entrée s
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Mesures d’influence globale
Échantillon ( X, Y (X ) ) de taille N > p , de préférence de taille N >> p
? Relation linéaire ?
Oui
(R²)
Non ? Relation monotone ?
Étape préliminaire : visualisation graphique (par ex : scatterplots)
Méthodologie d’analyse de sensibilité quantitative[Saltelli et al. 00, Helton et al. 06 ]
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 60
Oui
Régression linéaire
entre Xi et Y
Coefficients de régression
IndicesDe
sensibilitéIndices de Sobol
Non
Oui Non
Régression sur les rangs
(R²*)
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Indices de sensibilité dans le cas d’une relation entrées/sortie linéaire
Variables d’entrées indépendantes
Echantillon : N réalisations de
L’indice SRC :
Le signe de β donne le sens de variation de Y / X
∑=
+=p
iii XY
10 ββ
( ))Var(
)Var(:SRC
Y
XX i
ii β=
( )Y,X
( )pX,X ...,1=X
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 61
Le signe de βi donne le sens de variation de Y / Xi
Similaire au coefficient de corrélation linéaire (Pearson)
Validité du modèle linéaire via les diagnostics de la régression et le R² :
On a , ce qui permet d’interpréter aisément les SRC
61
( )( )∑
∑
=
=
−
−−=
N
ii
N
iii
YY
YYR
1
2
1
2
2
ˆ
1
( )∑=
=p
iiXR
1
22 SRC
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Indices de sensibilité – relation entrées/sortie lin éaireFlood model - Output S
Monte Carlo sample – N = 100
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 62
28% 12% 15% 26% 3%Sensitivity indices (SRC2)
Le modèle linéaire est valide (R²=0.99)Les coefficients SRC sont suffisants
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Mesures d’influence globale
Échantillon ( X, Y (X ) ) de taille N > p , de préférence de taille N >> p
? Relation linéaire ?
Oui
(R²)
Non ? Relation monotone ?
Étape préliminaire : visualisation graphique (par ex : scatterplots)
Méthodologie d’analyse de sensibilité quantitative[Saltelli et al. 00, Helton et al. 06 ]
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 63
Oui
Régression linéaire
entre Xi et Y
Coefficients de régression
IndicesDe
sensibilitéIndices de Sobol
Non
Oui Non
Régression sur les rangs
(R²*)
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Transformation des rangs : à chaque individu X(j) (j=1,…,N), on associe son rang RX
(j) (le rang varie de 1 à N )
Indices de sensibilité dans le cas d’une relation entrées/sortie monotone
13
105
00
44
yx
22
44
11
33
yx rr
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 64
Le coefficient de corrélation des rangs (Spearman) = mesure le caractère monotone de la relation entre Xi et Y
Relation monotone = relation linéaire sur les rangsIndices de sensibilité : SRRC
Validation : diagnostics de la régression, R 2*
YX RR
YXS
RR
σσρ ),cov(=
22
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Mesures d’influence globale
Échantillon ( X, Y (X ) ) de taille N > p , de préférence de taille N >> p
? Relation linéaire ?
Oui
(R²)
Non ? Relation monotone ?
Étape préliminaire : visualisation graphique (par ex : scatterplots)
Méthodologie d’analyse de sensibilité quantitative[Saltelli et al. 00, Helton et al. 06 ]
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 65
Oui
Régression linéaire
entre Xi et Y
Coefficients de régression
Indicesde
sensibilitéIndices de Sobol
Non
Oui Non
Régression sur les rangs
(R²*)
)Var(
)]Var[E(
Y
XYS i
i=
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Propriétés ( xi ~ U[O,1] pour i=1,…,p , les xi sont indépendants)
pLf ]1;0[)()( 2 ∈∈ xxx
( ) ( ) ( )ppi ij
jiij
p
iii xxxfxxfxfffy ,...,,...,)( 21,...,2,1
10 ++++== ∑∑∑
>=
x
avec
Mesures d’influence globale : décomposition fonctio nnelle
Il existe une infinité de décompositions possibles
MAIS, la décomposition est unique si : sjiiii iijdxxxfss
,...,0),...,( 1... 11=∀=∫
[ Hoeffding 1946 ]
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 66
Propriétés ( xi ~ U[O,1] pour i=1,…,p , les xi sont indépendants)
Exercice :
( ) )E(0 ydff == ∫ xx
( ) 00 )|E()( fxyfdxfxf iiii −=−= ∫ −x
( ) 0)|E()|E(),|E(, fxyxyxxyxxf jijijiij +−−=
?),(;?)(;?)(;?
]1;0[~;]1;0[~;),(
211222110
212121
====+=
xxfxfxff
UxUxxxxxf
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Propriétés ( xi ~ U[O,1] pour i=1,…,p , les xi sont indépendants)
pLf ]1;0[)()( 2 ∈∈ xxx
( ) ( ) ( )ppi ij
jiij
p
iii xxxfxxfxfffy ,...,,...,)( 21,...,2,1
10 ++++== ∑∑∑
>=
x
avec
Mesures d’influence globale : décomposition fonctio nnelle
Il existe une infinité de décompositions possibles
MAIS, la décomposition est unique si :sjiiii iijdxxxf
ss,...,0),...,( 1... 11
=∀=∫
[ Hoeffding 1946 ]
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 67
Propriétés ( xi ~ U[O,1] pour i=1,…,p , les xi sont indépendants)
Exercice :
( ) )E(0 ydff == ∫ xx
( ) 00 )|E()( fxyfdxfxf iiii −=−= ∫ −x
( ) 0)|E()|E(),|E(, fxyxyxxyxxf jijijiij +−−=
0),(;2
1)(;
2
1)(;1
;]1;0[~;]1;0[~;),(
21122221110
21212121
=−=−==
⊥+=
xxfxxfxxff
xxUxUxxxxxf
![Page 68: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020215/5b9a51d509d3f210688d8582/html5/thumbnails/68.jpg)
22121 34),( xxxxf +=
]21;21[, 21 −∈Uxx
3
1)34()(
2/1
2/1
2/1
2/1 212210 ∫ ∫− −
=+== dxdxxxyEf
3
14)34()|()( 2
1
2/1
2/1 22210111 −=+=−= ∫− xdxxxfxyExf
00 =f
2111 4)( xxf =
3)( xxf =
Un autre exemple
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 68
34)34()|()( 12/1 2210111 −=+=−= ∫− xdxxxfxyExf
222 3)( xxf =
0),( 2112 =xxf
[ JRC 2010 ]
20222 3)|()( xfxyExf =−=0),( 2112 =xxf
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Mesures d’influence globale : Indices de Sobol
Définition des indices de Sobol :
Indice de sensibilité d’ordre 1 : )Var(Y
VS i
i=
)()()()(Var 121
YVYVYVY p
p
jiij
p
ii L
L +++= ∑∑<=
ANOVA fonctionnelle [Efron & Stein 81] (hyp. de Xi indépendants) :
[ ] ... , )E(Var ; )]E([Var)(où jijiijii VVXXYVXYYV −−==
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 69
Indice de sensibilité d’ordre 1 :
Indice de sensibilité d’ordre 2 :
...
Exercice :
69
)Var(Yi
)Var(Y
VS ij
ij =
?;?
;]1,0[~;]1,0[~;),(
21
212122121
==⊥+=
SS
XXUXUXXXXXf
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Mesures d’influence globale : Indices de Sobol
Définition des indices de Sobol :
Indice de sensibilité d’ordre 1 : )Var(Y
VS i
i=
)()()()(Var 121
YVYVYVY p
p
jiij
p
ii L
L +++= ∑∑<=
ANOVA fonctionnelle [Efron & Stein 81] (hyp. de Xi indépendants) :
[ ] ... , )E(Var ; )]E([Var)(où jijiijii VVXXYVXYYV −−==
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 70
Indice de sensibilité d’ordre 1 :
Indice de sensibilité d’ordre 2 :
...
Exercice :
70
)Var(Yi
)Var(Y
VS ij
ij =
31
15;
31
16
;]1,0[~;]1,0[~;),(
21
212122121
==
⊥+=
SS
XXUXUXXXXXf
![Page 71: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020215/5b9a51d509d3f210688d8582/html5/thumbnails/71.jpg)
22121 34),( xxxxfy +== ]21,21[, 21 −∈Uxx
3
1)(0 == yEf ( )[ ]
106.0883.0
80.0111 ===
V
xfVarS
On a vu :
Mesures d’influence globale : Indices de Sobol
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 71
3
3
14)|()( 2
10111 −=−= xfxyExf
20222 3)|()( xfxyExf =−=
0),( 2112 =xxf
883.01 V
( )[ ]894.0
883.0
75.0222 ===
V
xfVarS
[ JRC 2010 ]
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Indices de Sobol : interprétation graphique
2 4 6 8 10 12 14
02
46
810
per1
p23
0 50 100 150
02
46
810
kd2
p23
Les indices de Sobol du premier ordre mesurent la variabilité des espérances conditionnelles (courbes de tendance dans les scatterplots)
Indice nul
Indicefaible
Indiceélevé
Indicemoyen
810
810
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 72
faibleIndicemoyen
La courbe rouge correspond à un lissage, c’est-à-dire à E (Y | Xi )
Le lissage est réalisé ici par polynômes locaux :
Autres méthodes envisageables : moyenne mobile, polynômes, splines, modèlesadditifs, …
)(ˆ)(ˆ)(ˆ xβxxx += αf
0 20 40 60 80
02
46
kd1
p23
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
02
46
i3
p23
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Question centrale de l’analyse de sensibilité : la sortie Y est-elle plus ou moins variable lorsque l’on fixe une des entrées Xi ?
On étudie et on prend sa moyenne sur les valeurs de Xi :
Plus est petit, plus X est influente
Indices de Sobol : autre interprétation
( )ii xXY =Var
( )[ ]ii xXY =Ε Var
( )[ ]xXY =Ε Var
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 73
Plus est petit, plus Xi est influente
Théorème de la variance totale :
On en déduit les indices de Sobol :
Au passage, si le modèle est linéaire :
( )[ ]ii xXY =Ε Var
( ) ( )[ ] ( )[ ]ii XYXYY Ε+Ε= VarVarVar
( )[ ])Var(
Var
Y
XYS i
i
Ε=
( )iXSi
2SRC=
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1≤∑i
iS
1=∑i
iS
Toujours
Le modèle est additif
∑− S1 Mesure le degré d’interactions entre variables
ki j k
ijki j
ij
p
ii SSSS ,...,2,1
1
...1 +++= ∑ ∑ ∑∑ ∑∑=
Propriétés des indices de Sobol
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 74
∑−i
iS1 Mesure le degré d’interactions entre variables
Exemples : p =4 donne 4 indices Si, 6 indices Sij , 4 indices Sijk, 1 indice Sijkl
Cas général : 2p-1 indices à estimer
Indice de sensibilité total :[ Homma & Saltelli 1996 ]
ij kj
ijkijiTi SSSSS ~,
1... −=+++= ∑ ∑
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Indices de Sobol : application sur le modèle de crue s
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 75
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Calcul des indices de Sobol
Formulations des indices pour Xi (1er ordre et total) :
Formulations des variances conditionnelles :
)Var(1et
)Var(~
Y
VS
Y
VS i
Ti
ii−==
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 76
Formulations des variances conditionnelles :
( ) ( )( ) [ ])(),(CovEE)]Var[E()( '~,~,
22iiiiiiiiii XXfXXfdXXYdXXYXYYV =−== ∫∫
[ ]),(),(Cov)]Var[E()( ~'
~,~~ iiiiii XXfXXfXYYV ==
XXX de teindépendan copie une 'et )(Soient ~, ii XX=
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Estimation des indices de Sobol par Monte CarloSoient 2 échantillons i.i.d :
Variance (estimateur classique) :
Estimations des variances conditionnelles :
Indices 1er ordre : coût = n ( p +1)
( ) ( )∑∑==
=−=n
k
kn
k
k fn
fffn
YV1
)(0
1
20
2)( 1ˆ avec ˆ1)(ˆ XX
( ) ( ) 20
)()(1
)()(1
)(1
)()(1
)()(1
)(1
1
',...,',,',...,',...,,,,...,1
)(ˆ fXXXXXfXXXXXfn
YV kp
ki
ki
ki
kkp
ki
ki
ki
kn
ki −= +−+−
=∑
( ) ( ) njpij
injpij
i XX ,..,1;,..,1)(
,..,1;,..,1)( 'et ====
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 77
Indices 1 ordre : coût = n ( p +1)
Indices 1er ordre + indices totaux : coût = n ( p +2)
Astuce : on intervertit
En pratique, n ~ 1e4 => problème du coût en nombre d’évaluations nécessaires
( ) ( ) 20
)()(1
)()(1
)(1
)()(1
)()(1
)(1
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Analyse de sensibilité globale
Échantillon ( X, Y (X ) ) de taille N > p , de préférence de taille N >> p
? Relation linéaire ?
Oui
(R²)
Non ? Relation monotone ?
Étape préliminaire : visualisation graphique (par ex : scatterplots)
Méthodologie d’analyse de sensibilité quantitative[Saltelli et al. 00, Helton et al. 06 ]
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 78
Oui
Régression linéaire
entre Xi et Y
Coefficients de régression
IndicesDe
sensibilité
Indices de Sobol
Non
Oui Non
Régression sur les rangs
(R²*)
? Temps de calcul?
ElevéNégligeable
MétamodèleN > 10 p
Monte CarloN > 1000 p
Faible
Quasi-MC, FAST, RBDN > 100 p
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Enjeu : décomposer la variabilité globale de la sortie Z = G (X) (due aux incertitudes sur les entrées X) en part de variabilité due à chaque entrée Xi , i=1,…,p
Problème : comme pour la planification, le coût en nombre N d’évaluations de G (.) dépend de p
1. Le criblage (screening) : - plans d’expériences classiques, - plans d’expériences numériques
N ~ p/2 à 10 p
Rappels sur l’analyse de sensibilité
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 79
N ~ p/2 à 10 p
2. Les mesures d’influence globale : - corrélation/régression sur les valeurs/rangs, - décomposition de la variance fonctionnelle (Sobol),
N ~ 2p à 1e4 p
3. Exploration fine des sensibilités - N ~ 10p à 100 p- Méthodes de lissage (param./non param.)- Métamodèles => cours 3
X1
X3
X2
Y
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Choisir sa méthode d’analyses de sensibilité
MétamodèleMorrisNon
monotone
Décomposition de la variance
Complexité/régularitédu modèle f
Calcul de tout type d’indices(Sobol, distribution, …)
+ effets principaux E(Y | Xi)
Criblage
Indicesde Sobol
Quantité d’intérêt = variabilité de la réponse
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 80
p 10p 1000p
Linéairedegré 1
Monotone +interactions
Monotonesans
interaction
2p
( p = nombre de variables d’entrée )
0 Nombred’évaluationsdu modèle f
Super criblage
Plan d’expériences
Régression sur les rangs
Régression linéaire
Echantillon Monte-Carlo
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Formation « Démarche Incertitudes », IMdR-LNE
Summer School SAMO, Fiesole, Italy, 2010
Fang et al., Design and modeling for computer experiments, Chapman & Hall, 2006
Kleijnen, The design and analysis of simulation experiments, Springer, 2008
Koehler & Owen, Computer experiments, 1996
Crédits & Bibliographie
B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 81
Faivre et al., Analyse de sensibilité et exploration de modèles – Applications aux sciences de la nature et de l’environnement, Editions Quaé, à paraître
Saltelli et al., Sensitivity analysis, Wiley, 2000
Ce cours est disponible sur : http://www.gdr-mascotnum.fr/doku.php?id=iooss1#academic