trabajo primera unidad

1

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA ADMINISTRATIVA

Datos no agrupados

Media.

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20

X=210/20=10.5

Mediana

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10= 5+6=11/2=5.5 mediana

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 =4 mediana impar

Moda:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 2, 3, 5, 2, 8, 9, 2 = 2

1.- ejercicio: Obtener la media, mediana, moda, rango, varianza de los siguientes ejercicios

Un jugador de boliche obtuvo los siguientes puntajes en sus últimos seis juegos

212,201,236,145,258,178,169,125,136,147,158,158,125,124,136,125,147,158,258,245,124,136,

125, 125, 145, 189, 101,100.

X=4386/28=156.6

X=124+136=260/2=130

X=125,

100,101,124,124,125,125,125,125,125,136,136,136,145,145,147,147,158,158,158,169,178,189,

201, 212, 236, 245, 258,258.

Rango 258-100=158

S2 (100-156.6)2+ (101-156.6)2+ (124-156.6)2+ (124-156.6)2+ (125-156.6)2+ (125-156.6)2+(125-156.6)2+ (125-156.6)2+ (125-156.6)2+ (136-156.6)2(136-156)2+ (136-156)2+(145-156.6)2+ (145-156.6)2+ (147-156.6)2+ (147-156)2+(158-156)2+(158-156.6)2+(158-156.6)2+(169-156.6)2+ (178-156.6)2+ (189-156.6)2+ (201-156.6)2+(212-156.6)2+(236-156.6)2+(245-256)2+ (258-156.6)2+ (258-156.6)2=3203.56+3091.36+1062.76+1062.76+998.56+998.56+998.56+998.56+998.56+424.36+424.36+424.36+134.56+134.56+92.16+92.16+1.96+1.96+1.96+153.76+457.96+1049.76+1971.36+3069.16+6304.36+7814.56+10281.96+10281.96

s2=56530.48/28=2355.4

Rango: 48.53

2


TABLA DE FRECUANCIAS

Nº DE CLASES

INTERVALOS DE CLASE

FECUENCIA

FRECUENCIA

ACUMULADA

FRECUENCIA

RELATIVA1 5,10 6 6 0.0752 11,16 13 19 0.16253 17,22 12 31 0.154 23,28 10 41 0.1255 29,34 10 51 0.1256 35,40 7 58 0.08757 41,46 12 70 0.158 47,52 6 76 0.0759 53,58 3 79 0.0375

10 59,64 1 80 0.0125TOTAL 80 TOTAL 1

5,10 11,16 17,22 23,28 29,34 35,40 41,46 47,52 53,58 59,6402468

101214

COMPRAS EN UNA TIENDA

INTERVALOS DE CLASE

FREC

UEN

CIA

5,1011,16

17,2223,28

29,3435,40

41,4647,52

53,5859,64

0

5

10

15 COMPRAS EN UNA TIENDA

fecuencia

FREC

UEN

CIA

3


0 2 4 6 8 10 120

5

10

15

COMPRAS EN UNA TIENDA

fecuencia

INTERVALOS DE CLASE

FREU

ENCI

A

2.-ejercicio: Respuestas de 50 preguntas de un examen de l vista de la opción si

38, 39, 33, 37, 34, 31, 38, 36, 35, 25.

X=346/10=34.6

X=35+31=66/2=33

X=38

25, 31, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 38, 39

Rango 39-25=14

S2 (25-34.6)2+ (31-34.6)2+ (33-34.6)2+ (34.34.6)2+ (35-34.6)2+ (36-34.6)2+ (37-34.6)2+ (38-34.6)2+ (38-34.6)2+ (3934.6)2=92.16+12.96+2.56+0.36+0.16+

1.96+5.76+11.56+11.56+19.36

s2=158.4/10=15.84

Rango: 3.98

TABLA DE FRECUANCIAS

N° DE CLASEINTERVALOS

DE CLASEFRECUENCI

AFRECUENCIA ACUMULADA

FRECUENCIA RELATIVA

1 172.5 -173.5 6 6 0.1732 174.5-175.5 12 18 0.343 177.5-178.5 9 27 0.254 180.5-181.5 7 34 0.21

4


5 183.5-184.5 1 35 0.02TOTAL 35 TOTAL 0.993

172.5 -173.5 174.5-175.5 177.5-178.5 180.5-181.5 183.5-184.502468

101214

ESTATURAS DE UNA POBLACION

INTERVALOS DE FRECUENCIA

FREC

UEN

CIA

172.5 -173.5

174.5-175.5 177.5-178.5 180.5-181.5 183.5-184.50

2

4

6

8

10

12

14

ESTATURA DE UNA POBLACION

frecuencia

FREC

UEN

CIA

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.502468

101214

ESTATURA EN UNA POBLACION

frecuencia

INREVALOS DE CLASE

FREC

UEN

CIA

5


3.- ejercicio numero e clientes que visitan una tienda en un periodo de 22 días:

28,28,29,31,32,33,33,34,34,37,38,41,42,43,45,46,48,49,49,49,50,52

X=871/22=39.6

X=38+41/2=39.5

X=49

S2 (28-39.6)2+ (28-39.6)2+ (29-39.6)2+ (31-39.5)2+ (32-39.6)2+ (33-39.6)2+ (33-39.6)2+ (34-39.6)2+(34-39.6)2+ (37-39.6)2+ (38-39.6)2+ (41-39.6)2+ (42-39.6)2+ (43-39.6)2+ (45-39.6)2+ (46-39.6)2+(48-39.6)2+ (49-39.6)2+ (49-39.6)2+ (49-39.6)2+ (50-39.6)2+ (52-39.6)2=134.56+134.56+112.36+73.96+57.76+43.56+43.56+31.36+31.36+6.76+2.56+1.96+5.76+11.56

+29.16+40.96+70.56+88.36+88.36+88.36+108.16+153.76

s2=1359.32/22=61.79

rango:7.86

TABLA DFRECUANCIAS

N°CLASEINTERVALOS DE CLASE

FRECUENCIA

ADSOLUTA

FRECUENCIA

RELATIVA

FRECUENCIA

ACUMULADA

1 8,11 2 0.1 102 11,14 5 0.25 253 14,17 6 0.3 304 17,20 2 0.1 105 20,23 2 0.1 106 23,26 1 0.05 57 26,29 1 0.05 58 29,32 1 0.05 5

TOTAL 20 1 100

6


8,11 11,14 14,17 17,20 20,23 23,26 26,29 29,320

1

2

3

4

5

6

7

Series1

8,11 11,14 14,17 17,20 20,23 23,26 26,29 29,3201234567

F.ADSOLUTA

F.ADSOLUTA

0 1 2 3 4 5 6 7 8 901234567

F.ADSOLUTA

F.ADSOLUTA

7


RANGO O AMPLITUD DE VARIACIÓN

Ejemplos:

1- Una compañía de seguros ha registrado los tiempos necesarios para procesar ocho demandas por seguro contra robo. Los tiempos en días son:

4 ,8 ,6 ,22 ,28 ,16 ,14 ,36

a) Calcular el rango b) ¿En qué unidades esta expresado el rango?

Formula: Sustitución de Valores R=H−L R=36−4=32

2- Hallar la amplitud de la edad de los 1000 ancianos que varían entre 60 y 74 años.

Intervalo deClase N ° deancianos Frecuencia60−62 563−65 1866−68 4269−71 2772−74 8

100Existen dos maneras de describir la amplitud o rango para distribuciones de frecuencia

Caso 1:

Amplitud=Marcadeclasede laClase superior – Marcade clasede laClase Inferior

Amplitud=73– 61=12añ os

Caso 2:

Amplitud=Limite realsuperior de laClase má salta – Limite real inferior de laClase má sbaja

Amplitud=74.5– 59.5=15añ os

3- Durante cierto mes de verano los ocho vendedores de una empresa de calefacción y aire acondicionado vendieron los siguientes números de unidades de aire acondicionado:

8


8 ,11 ,5 ,14 ,8 ,11 ,16 ,11

Formula: Sustitución de Valores R=H−L R=16−5=11

DESVIACIÓN MEDIA O PROMEDIO DE DESVIACIÓN

1- En un taller mecánico se tomaron 7 observaciones sobre una sección en 400 tornos, para determinar el número de tornos funcionando en un instante dado. Los resultados fueron:

368 ,353 ,376 ,361 ,366 ,351,359

- ¿Cuál es la desviación media? -

Formula:DM=MD=∑|x−X|

N

X=25347

=362D. M .=487

=6.86

1- Obtener la desviación media de los cinco primeros números naturales

D .M .=65=1.2

Recuérdese que la suma de las desviaciones alrededor de la media debe de ser cero.

x Xx−X

|x−X|368 362 6 6353 362 -9 9376 362 14 14361 362 -1 1366 362 4 4351 362 -11 11359 362 -3 3

2534 0 48

x Xx−X

|x−X|1 3 -2 22 3 -1 13 3 0 04 3 2 15 3 2 2

0 6

9


COEFICIENTE DE VARIACION

E s una medida relativa de la variabilidad; mide la desviación estándar en relación con media.

En algunas ocasiones se requiere un estadístico descriptivo que indique cuan grande es la desviación estándar en relación con la media. Esta medida es el coeficiente de variación y se representa en porcentaje. La formula es:

coeficiente de variacion=desviacion estandarmedia

x100

EJEMPLOS:

1.- Determine el coeficiente de variación de los datos de salarios, ya que la media es de $270.50 y la desviación estándar de $33.99

coeficiente de variacion= 33.99270.50

x100=12%

2.- Determine el coeficiente de variación de los datos de precios de vestidos, ya que la media es de $150 y la desviación estándar de $50.25

coeficiente de variacion=50.25150

x 100=33.5 %

3.- Determine el coeficiente de variación de el salario semanal de una muestra de empleados de supervisión si la media es de $730.75 y la desviación estándar de $45.52

coeficiente de variacion= 45.52730.75

x 100=6.2%

EL COEFICIENTE DE ASMINETRIA DE PEARSON

10


Mide el desvió de la simetría expresando la diferencia entre la media y la mediana en relación con la desviación estándar del grupo de mediciones. Las formulas son:

asimetria de poblacion=3(μ−Med)

σ

asimetria de la muestra=3 (x−Med)

s

En una distribución simétrica, el valor de coeficiente de simetría siempre será cero, ya que la media y la mediana son de igual valor.

En una distribución con sesgo negativo, la media siempre es mayor que la mediana, por tanto el valor de coeficiente es positivo.

En una distribución con sesgo negativo, la media siempre es menor que la mediana, por tanto el valor del coeficiente es negativo.

EJEMPLOS:

1.-En un grupo de datos sobre las ventas de equipos de aire acondicionado, la media es 10.5 unidades, la mediana es 11.0 unidades y la desviación estándar es 3.3 unidades. Cual es el coeficiente de simetría

asimetria de poblacion=3(10.5−11.0)

3.3=0.45

2.- En un grupo de datos sobre los celulares vendidos, la media es de 12.3, la mediana es de10.0 y la desviación estándar de 2.8.Cual es el coeficiente de simetría


2.8=2.46

3.- En un grupo de datos sobra los números de boletos vendidos para un concierto, la medio es de 11.23, la mediana es de 11.23, y la desviación estándar de 3.5. Cual es el coeficiente de simetría


3.5=0

11


PROBABILIDAD.

EJEMPLO 1 En un juego de naipes bies barajadas que contiene 4 ases y otras 48 canas, la probabilidad de sacar un as (A) en una sola extracción es:

P ( A )= N ( A)N (S )

= 452

= 113

EJEMPLO 2 Antes de incluir la cobertura de cierto tipo de problemas dentales en las pólizas de seguro para atención médica a empleados adultos, una empresa de seguros desea determinar la probabilidad de ocurrencia de este problema, de modo que pueda establecerte el Costo del seguro. Por tanto, el especialista en estadística recolecta datos de 10 000 adultos en las categorías de edad apropiadas y encuentra que el año pasado 100 personas han sufrido de ese problema dental. Entonces, la probabilidad de su ocurrencia es:

P ( A )= N ( A)n

=100n

= 0.0110000

=1%

EXPRESAR LA PROBABILIDAD

El símbolo P se usa para denotar la probabilidad de un evento. Así P(A) denota la probabilidad de que ocurra el evento A en una sola observación o experimento.

Ejemplo1 El valor menor en una aseveración de probabilidad es O (que indica que el evento es imposible) y el valor mayor es 1 (que indica el evento ocurrirá con seguridad). Entonces, en general:

0≤ P( A)≤1

Ejemplo2 En una observación o experimento dados, un evento ocurre o no. Por tanto, la suma de la probabilidad de que ocurra más la probabilidad de que no ocurra es siempre igual a 1 Entonces, si A' indica que el evento A no ocurre, se tiene

P(A)+P( A ')=l

12


Ejemplo3 La oportunidad relativa de 5:2 (Idase "5 a 2") indica que por cada cinco eventos elementales que constituyen éxito existen dos eventos elementales que constituyen fracaso. Observe que con el método clásico de probabilidad que se estudió en la sección 5.1 el valor de la probabilidad equivalente a una oportunidad relativa de 5:2 es:

P ( A )= N ( A)N (S )

= aa+b

= 55+2

=57

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y NO EXCLUYENTES

Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos si no pueden ocurrir de manera conjunta. Es decir, la ocurrencia de un evento excluye en forma automática la ocurrencia del otro evento (o eventos). Por ejemplo, suponga que se consideran los dos eventos “as" y "rey" en relación con la extracción de una carta de un juego de naipes. Estos dos eventos son mutuamente excluyentes, ya que ninguna carta puede ser as y rey al mismo tiempo.

Dos o más eventos son no excluyentes cuando es posible que ocurran juntos. Observe que esta definición no indica que estos eventos deban necesariamente ocurrir siempre juntos. Por ejemplo, suponga que se consideran los dos eventos "as" y "espada". Estos eventos no son mutuamente excluyentes, ya que una carta dada puede ser tanto as como espada; sin embargo, no se concluye que todo as sea una espada o que toda espada sea un as.

LAS REGLAS DE LA ADICIÓN

Las reglas de la adición se usan cuando se desea determinar la probabilidad de que un evento u otro (o ambos) ocurran en una sola observación. En forma simbólica, a la probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B se le representa por P(A o B). En el lenguaje de la teoría de conjuntos a esto se le llama la unión de A y B. y esta probabilidad se denota como P(A U B) (léase "probabilidad de A unión B").

Existen dos variaciones de la regla de la adición, dependiendo de si los eventos son o no mutuamente excluyentes. La regla de la adición para eventos mutuamente excluyentes es

P(A o B)=P(A U B)=P(A)+P(B)

En el caso de eventos que no son mutuamente excluyentes, la probabilidad de la ocurrencia conjunta de los dos eventos se resta de la suma de las probabilidades Simples de estos dos eventos. A la probabilidad de la ocurrencia conjunta se le representa con P(A y B). En el lenguaje de la teoría de conjuntos a esto se le llama la intersección de A y B. y esta probabilidad se designa P(A B) (léase "probabilidad de A intersección B"). Véase la figura 5.2b en la siguiente página. Así, la regla de la adición para eventos que no son mutuamente excluyentes es

P(AOB)=P(A )+P (B)−P (A y B)

13


EJEMPLO 8 Cuando se extrae una carta de una baraja de naipes, los eventos `as' y "espada' no son mutuamente excluyentes. La probabilidad de sacar un as (A) o una espada (E) (o ambos) en una sola extracción es

P ( A oS )=P ( A )+P ( S )−P ( A Y S )=4+13−152

=1652

= 413

Los diagramas de Ven se usan para ilustrar el razonamiento detrás de las reglas de la adición. En la figura 5.2a, observe que la probabilidad de la ocurrencia de A o B es conceptualmente equivalente a la suma de la proporción de las áreas comprendidas en A y en B. En la figura 5.2b, para eventos que no son mutuamente excluyentes, algunos eventos elementales están comprendidos tanto en A como en B; así, existe un traslape entre estos conjuntos de eventos. Cuando las áreas comprendidas en A y en B se suman en eventos que no son mutuamente excluyentes, el área del traslape se suma dos veces. Así, el razonamiento al restar P(A y B) en la regla de la adición para eventos no excluyentes es corregir la suma respecto de la adición duplicada del área de intersección.

EVENTOS INDEPENDIENTES, EVENTOS DEPENDIENTES Y PROBABILIDAD CONDICIONAL

Dos eventos son independientes si la ocurrencia o no ocurrencia de uno no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro. Dos eventos son dependientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno sí afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.

EJEMPLO 9 Los resultados al lanzar dos veces seguidas una moneda sin cargar se consideran como eventos independientes ya que el resaltado del primer lanzamiento no tiene efecto sobre las respectivas probabilidades de ocurrencia de cara o cruz en el segundo lanzamientos. La extracción de dos cartas sin reemplazo de una baraja de naipes son eventos dependientes, ya que las probabilidades correspondientes con la segunda extracción dependen del resultado de la primera extracción. Concretamente, ti apareció un "as" en la primera extracción, entonces la probabilidad de que salga un "as" en la segunda extracción es el cociente del número de ases que quedan en la baraja entre el número total de cartas que quedan en la baraja, es decir 3/51.

Cuando dos eventos son dependientes, se emplea el concepto de probabilidad condicional para denotar la probabilidad de ocurrencia del evento relacionado. La expresión P (B/A) indica la probabilidad de ocurrencia del evento B dado que el evento A ya ha ocurrido.

14


Observe que B~4 no es una fracción.

Las expresiones de probabilidad condicional no se requieren para los eventos independientes porque por definición no existe relación entre la ocurrencia de tales eventos. Por tanto, si los eventos A y B son independientes, la probabilidad condicional P(Bk) siempre es igual a la probabilidad simple (no condicional) P(B). Por tanto, un método para comprobar la independencia de dos eventos A y B es comparando

P(B/ A)=P(B)

P(A /B)=P( A)

Si se conocen la probabilidad simple (no condicional) de un primer evento A y la probabilidad conjunta de dos eventos A y B, entonces la probabilidad condicional P (B/A) se determina por

P (BIA )= P( A Y B)P (A )

Con frecuencia hay alguna confusión respecto de la diferencia entre eventos mutuamente excluyentes y no excluyentes por un lado, y los conceptos de independencia y dependencia por el otro. En especial, observe la diferencia entre eventos que son mutuamente excluyentes y eventos que son independientes. La exclusión mutua indica que los dos eventos no pueden ocurrir al mismo tiempo, mientras que la independencia indica que la probabilidad de ocurrencia de un evento no se ve afectada por la ocurrencia del otro. Por tanto, se concluye que si dos eventos son mutuamente excluyentes, date es un ejemplo específico de eventos altamente dependientes, ya que la probabilidad de un evento dado que el otro ya ha ocurrido siempre será igual acero.

LAS REGLAS DE LA MULTIPLICACIÓN

Las reglas de la multiplicación tienen que ver con la determinación de la probabilidad de ocurrencia conjunta de A y B. Como se explicó en la sección 5.4, esto tiene que ver con la intersección de A y B: P(A Π B). Existen dos variaciones de la regla de la multiplicación, dependiendo de si los dos eventos son independientes o dependientes. La regla de la multiplicación para eventos independientes es

P(A y B)=P (A Π B)=P(A) P(B)

Los diagramas de árbol son especialmente útiles como método para representar los eventos relacionados con observaciones sucesivas o experimentos sucesivos. La figura 5.3 es un ejemplo de un diagrama de este tipo para los eventos relacionados con el lanzamiento de

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una moneda dos veces, y muestra los resultados posibles así como la probabilidad en cada punto de la sucesión.

Resultado del primer lanzamiento

Resultado del segundo lanzamiento

Evento conjunto Probabilidad del evento conjunto

½ C C y C ¼ C ½ ½ E C y E ¼

E y C ¼ ½ ½ C E ½

E E y E ¼ = 1.0 En el caso de eventos dependientes, la probabilidad de la ocurrencia de manera conjunta de A y B es la probabilidad de A multiplicada por la probabilidad condicional de B dado A. Si se invierte la posición de los dos eventos se obtiene un valor equivalente. Por tanto, la regla de la multiplicación para eventos dependientes es

P(A y B)=P (A )P(B /A)

P(A y B)=P (B y A)=P(B)P (A /B)

Si la probabilidad de la ocurrencia conjunta de dos eventos se obtiene directamente sin usar explícitamente las reglas de la multiplicación, entonces como alternativa a las fórmulas (5.8) y (5.9) se puede verificar la independencia de dos eventos A y B mediante

P(A y B)=P (A )P(B)

PERMUTACIONES

Ejemplo 1: 3 miembros de una organización social se han ofrecido como voluntarios para ocupar el siguiente año los puestos de presidente, tesorero, y secretario; el número de maneras (permutaciones) en que los 3 pueden asumir estos puestos es:

n !=3 != (3 ) (2 ) (1 )=6maneras

Comúnmente lo que interesa es el número de permutaciones de permutaciones de algún subgrupo de los “n” objetos, y no de la totalidad de los “n” objetos. Es decir,

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interesa el número de permutaciones de “n” objetos tomados de “r” en “r”, donde “r” es menor que “n”.

n Pr= n!

( n−r )!

Ejemplo 2: En esa misma organización hay 10 miembros en una organización social, y todavía no se presentan nominaciones para los puestos de presidente, tesorero y secretario. El número de maneras diferentes en que se pueden asignar estos puestos a 3 de los 10 miembros del club es:

n Pr=10P3=10 !

(10−3)=10 !7 !

=(10 ) (9 ) (8 )(7 !)

7 !=(10 ) (9 ) (8 )=720

COMBINACIONES

Ejemplo 1: Suponga que una pequeña organización social formada por 10 miembros hay que escoger a 3 de ellos para formar un comité. El número de ternas que puede obtenerse, sin considerar el orden en que se eligen los miembros de cada grupo es:

nC r=10c3=10 !3 !(7 !)

=(10 ) (9 ) (8 )(7 !)

(3∗2)=7206

=120

Ejemplo 2: Continuando con el ejercicio anterior, si el grupo contiene 6 mujeres y 4 hombres. ¿Cuánto vale la probabilidad de que una elección al azar de los miembros del comité conduzca a la elección de 2 mujeres y 1 hombre? El modelo básico consiste en determinar el número de combinaciones que contienen exactamente 2 mujeres (de las 6) y un hombre (de los 4) y luego calcular el cociente entre este número y el número total de combinaciones posibles:

Numero de comités con 2M (mujer) y 1H (hombre)=6C2∗4C1 (véase la nota aclaratoria abajo).

¿

6 !2 !4 !

∗4 !

1! 3!=15∗4=60

Número total de combinaciones posibles=10C3

¿10 !3!7 !

=(10 ) (9 )(8)(3 ) (2 )(1)

=7206

=120

P (2M y1H )=6C2∗4C1

10C3

= 60120

=0.50

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TEOREMA DE BAYES 2.9

Ejemplo1: Suponga que hay 2 urnas U 1y U 2. La urna 1 tiene 8 bolas rojas y 2 bolas verdes, mientras que la urna 2 tiene 4 bolas rojas y 6 bolas verdes. Si se elige de manera aleatoria 1 de las urnas, y después al azar se elige una bola de esa urna, el proceso secuencial y las probabilidades correspondientes se pueden representar en un diagrama de árbol, el diagrama de árbol nos indica que la probabilidad de escoger cualquiera de las 2 urnas es 0.50, y luego las probabilidades de extraer una bola roja (R) o una verde (V) se dan de acuerdo con la urna considerada. Ahora suponga que se observa una bola verde en el paso 2; sin saber que bola se eligió en el paso 1. ¿Cuál es la probabilidad de que la urna 1 haya sido elegida en el paso

1? En forma simbólica ¿Cuánto vale P(UV )? Al sustituir en la fórmula para el cálculo

del teorema de bayes “A” y “B” por U 1 y V 1, respectivamente, se tiene:

P(U 1

G )=P (U 1) P( G

U 1

)

P (U 1 ) P( GU 1

)+P (U 2 ) P ( GU 2

)=¿

(0.50 )(0.20)(0.50 ) (0.20 )+(0.50 )(0.60)

=0.100.40

=0.25

.80 R

U 1

.20

.50 V

R

.40

U 1 .60 V

ANALISIS COMBINATORIO

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Ejemplo 1: En una carretera en la que participan 6 corredores ¿de cuantas formas se pueden establecer los 3 primeros puestos?

V 63=6∗5∗4=120clasificaciones

Ejemplo 2: ¿Cuántos números de 4 cifras pueden formarse con los dígitos del 1 al 9?

VR94=94=6561numeros .

VALOR ESPERADO 2.10

Ejemplo 1: Un juego consiste en tirar 2 dados. Si la suma de sus caras es mayor o igual a 10 se ganan 300 puntos, si está comprendida entre 7 y 9 se ganan 100 puntos. Y para cualquier otro resultado no se gana nada. ¿Cuál debería ser el precio de la apuesta para que la ganancia esperada de la banca sea de 50 Puntos?

Solución: El espacio maestral para el problema es W = (1,1), (1,2), (1,3),..., (6,6) con 36 puntos muéstrales. Todos los sucesos elementales tiene la misma probabilidad 1/36. Se define la v.a. X: suma de las dos caras. Esta variable puede tomar los valores 2, 3, 4,....,12. La tabla con la “fdp” inducida es

X sucesos F(x)2 (1,1) 1/363 (1,2 ) ,(2,1) 2/364 (1,3 ) , (2,2 ) ,(3,1) 3/365 (1,4 ) , (2,3 ) , (3,2 ) ,(4,1) 4/366 (1,5 ) , (2,4 ) , (3,3 ) , (4,2 ) ,(5,1) 5/367 (1,6 ) , (2,5 ) , (3,4 ) , (4,3 ) , (5,2 ) ,

(6,1) 6/36

8 (2,6 ) , (3,5 ) , (4,4 ) , (5,3 ) , (6,2) 5/369 (3,6 ) , (4,5 ) , (5,4 ) ,(6,3) 4/36

10 (4,6 ) , (5,5 ) ,(6,4) 3/3611 (5,6 )(6,5) 2/3612 (6,6) 1/36

La tabla de la función premio es:

X H(x)2 0

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3 04 05 06 07 1008 1009 10010 30011 30012 300

Por lo tanto el valor esperado del premio es:

µn=∑x=12

12

h ( x ) f ( x )=100 X636

+100 X536

+100 X436

+300 X336

+300 X236

+300 X136

=97.1

En consecuencia, la apuesta debería costar 91,7 + 50 = 141,7 para que la ganancia esperada de la banca sea 50 puntos.

Ejemplo 2: Se desarrolla un compuesto para aliviar las migrañas. El fabricante afirma que es efectivo en un 90% de los casos. Se prueba sobre 4 pacientes. Sea X el número de pacientes que obtiene alivio.

a) Encontrar la fdp para X, suponiendo que la afirmación del fabricante sea correcta.

b) Encontrar p(X£1)c) i el compuesto no alivia a ninguno de los pacientes ¿es esa una razón para

poner en duda la eficacia afirmada por el fabricante? Razonar sobre la base de la probabilidad implicada.

d) Calcular la media. ¿Qué significa en este ejemplo?Representando por a que un paciente tenga alivio y por n que no lo tenga, el espacio muestral para el problema es Ωaaaa ,naaa ,anaa ,aana ,aaan ,... , nnnn , si esta es la afirmación del fabricante p(a)= 0,9 y p(n)= 0,1. La v.a. X: número de pacientes que tienen alivio pueden tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4. La tabla con la “fdp” inducida es:

X Sucesos F(x)0 nnnn 0 ,14

1 annn ,nann ,nnan ,nna 4 x0,9 x 0 ,13

2 aann ,anan ,anna ,naan ,nana ,nnaa 6 x 0 ,92 x 0 ,12

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3 aaan ,aana ,anaa ,naaa 4 x0 ,93 x0,14 aaaa 0 ,94

b) p ( X ≤1 )=f (0 )+ f (1 )=0 ,14+4 X 0,9 X 0 ,13=0,0037

c) la probabilidad de que no alivie a ningún paciente es f(0)=0,0001. Es una probabilidad tan baja que, efectivamente, si ese fuera el resultado hay suficientes razones para poner en duda la afirmación de que alivia al 90% de los pacientes.

µ=∑x

xf ( x )=¿0 X 0 ,14+1 X 4 X 0 ,13X 0,9+2 X 6 X 0 ,12 X 0 ,92+3 X 4 X 0,1 X 0 ,93+4 X 0 ,94=3,6¿

Si se repitiera un número suficientemente grande de veces la experiencia de administrar el fármaco a 4 pacientes. El número promedio de pacientes que experimentan alivio seria de 3,6.

TEOREMA DE BAYES

Ejemplo 2: El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

0.2 ingenieros 0.75 directivo

0.2 economistas 0.5 directivo

0.6

Otros 0.2 directivo

p( ingenierodirectivo )= 0.2∗0.75

0.2∗0.75+0.2∗0.5+0.6∗0.2=0.405

DIAGRAMA DE ARBOL

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Ejemplo 1: un medico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (normal, alta o baja). Mediante un diagrama de árbol diga ¿en cuántas clasificaciones pueden estar los pacientes de este médico?

Solución: N

A A

B

M B N

A

AB N B

A

B

O

A

F B N A

B

AB

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O

B

A

B

Ejemplo 2: 2 equipos denominados “A” y “B” se disputan la final de un partido de baloncesto, aquel equipo que gane 2 juegos seguidos o complete un total de 3 juegos ganados será el que gane el torneo. Mediante un diagrama de árbol diga ¿de cuantas maneras puede ser ganado este torneo?

Solución:

A=gana el equipo “A”

B= gana el equipo “B” A

A

A AA

B B

B B

A A

A A

B B

B B

B

En este diagrama se muestran que hay solo diez maneras de que se gane el torneo, que se obtienen contando las ramas terminales de este diagrama de árbol, las que es posible enumerar; AA, ABB, ABAA, ABABB, ABABB, etc.

trabajo primera unidad

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