trabajo int mult calculo 2 2007b
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NOLAN JARA J.
1
PROBLEMA 1:
Sea el sólido definido en R³ por:||;1;4/),,( 222223 yzyxzyxRzyxS
Calcular el volumen del solidó S
Solución:
2 2
( ) .................(*)
( , , ) / | | 4 ;( , )
E
V E dV
E x y z R y z x y x y D
NOLAN JARA J.
2
2 2 2 22 2
2 2
2
2 2 2
3 2 2 2 2
4 ( ) 4 ( )1 1 1 1
1 | | 11 1
4 (
( , ) / 1 1 ; 1 1
( , , ) / | | 4 ; 1 1 ; 1 1
(*) :
( ) ( ( ) ) 2 ( ( ) )
4 ( ( ) )
x y x yx x
x z y x z yy x y x
x
z y
D x y R x y x x
E x y z R y z x y x y x x
en
V E dz dy dx dz dy dx
dz dy dx
22 2
2
)1 1 1 12 2
0 0 0 0
12 2 2 2 2 1
0
0
4 ( ( 4 ( )) )
4 [(1/ 2)[ (4 ) (4 ) ( / ( 4 ))] / 2] |
yx x
x y x y
xy
x
x y y dydx
y x y x arcsen y x y
Como la integración es muy complicada utilizaremos otro métodoOtra forma: en coordenadas cilíndricas
2
3 2
2 1 4
( ) 0 0 | |
2 1 22 2 3/2 2 1
0
0 0 0
( ) ( , , ) / | | 4 ;0 1;0 2
( ) | ( , , ) | ( ( ) )
( ( [ 4 | |] ) (1/ 2)[(2 / 3)(4 ) | | ( )] |
(1/ 2) [2 3 |
r
T E r z r sen
r
r
T E r z R r sen z x r
V E J r z dv rdz dr d
r r r sen dr d r sen r d
se
2 /2
0 0
/20
| 16 / 3] 2 ((16 / 3) 2 3 )
2[(16 (6 / 3)) / 3 cos ] | 2(((8 3 3 ) / 3) 1)
n d sen d
PROBLEMA 2Dado el cambio de variables definido por las ecuaciones x = u + v ; y = v – u2
.Calcular el determinante jacobino de dicho cambio de variables. Sea T el triangulo delplano UV cuyos vértices son los puntos (0,0) ;(2,0) y (0,2). sea R la imagen en el planoXY del triangulo T . Mediante el cambio de variables dado:Hacer un dibujo de la región R Calcular el área de la región R .
Calcular la integral doble de R yx
dA
12
SOLUCIÓNx = u + v ; y = v – u2
uu
v
y
u
yv
x
u
x
vuJ 2112
11.
Grafica en UV
NOLAN JARA J.
3
Las líneas que que encierran la superficie T enel plano UV al ser proyectados sobre en elplano XY también encierran otra superficieentonces:u+v=2: u=0: v=0
Grafica en XY
XYXXRyxR
xyyxx
sonsproyectadacurvaslasEntonces
yxvcomo
uvvuvvuyx
yxucomo
uvvuyx
xvux
uu
23
2
2
2222
22
:20/,
::0:2
:
00
2
00
:
22
22
0
22
0 3
142 udxxxdx
xdydxdyS
x
R
R
))3/32arctan()32(arctan(3/)32(2
|)3/)1(2arctan()2/3)(3/4(|)1)3/)1(2(
1)3/4(.1
)1)3/)1(2(3
41
)1)1(3/4(4/31
14/3)1(
11
11
11
1
11
20
20
2
0 2
2
0
2
0 2
2
0 2
2
0 2
2
0 2
2
0
2
0 222
2
xxdxx
x
dxx
dxx
dxx
dxxx
dxx
yxdx
xy yx
dy
YX
dAx
xR
x
x
PROBLEMA 3Sea R la porción acotada del primer cuadrante situada entre las curvas de ecuaciones: Rxy = 1 ; xy = 2 ; y = x ; y =4 x
Dibujarla y calcular la integral: dAyR
22
xSOLUCIÓN:Graficando la región R que es limitada por las líneas: xy = 1 ; xy = 2 ; y = x ; y =4 x
NOLAN JARA J.
4
R = R1 R2 R3
*En R1 *En R2 *En R3
2
2
2
1 X 1
2
2 X 21 x
XYX
41
X
YX
21
xyx
2
dAy22
x=
dAy22
x+
dAy22
x+
dAy22
x
dxdyyxx
x
22
21
4
1
22
dxdyyxx
x
1
2
2
2
1
22
dxdyyxx
x
2
1
2
22
x
x
x
x
x
x
yxyxyx2
2
1
322
1
1
2
2
324
1
22
21
32
333
dxx
dxxx
dxx
xx
2
1
51
22
22
21
5
338
31
38
31
3
64
2
1
61
22
2
2
21
6
183ln8
3ln7
3ln
9
32
xx xxx
32ln7
181
94
32ln8
32ln7
32ln7
32ln
94
181
uydAxR
22
32ln7
PROBLEMA 4
Calcular el volumen del cuerpo del espacio definido por las ecuaciones
322
222 1,0,1,1
yxzzyxyx
SOLUCIÓN
R3R2R1R
NOLAN JARA J.
5
32 2
3 2
2
1
, / 0 1;1 1
:
cos ;
1, / 1;0
cos 2
D
V s dAx y
D x y R x x y x
usando transformacion de cordenadas de
cartesianas a polares donde
x r y rsen
T D r R rsen
PROBLEMA 5
Calcular R
dAyx 33 , siendo R la región contenida en el cuadrante positivo y limitado por
las curvas 2,1,4,2 22222222 yxyxyxyx
SOLUCIÓN
GRAFICO DE R
12
13 30cos
1
2 2
0 01
cos
2 20 0
3
1 1,
1(1 cos )
cos 1 12 2
22
senT
sen
V s J r dA rdr dr r
d sen dr
sen
V s u
422
:
8
1
8
1
,
21,42/,
8
1,
822
22,
1,,
:
21,
42,
var
21,42/,
222222
2233
3333
2
22
22
22222
vuyx
vuy
vux
pero
dudvyxdudvxy
yx
dudvvuJyxdAyx
vuRvuT
xyvuJ
xyyx
yx
y
v
x
vy
u
x
u
yxJ
vuJyxJ
queSabemos
vyxv
uyxu
iablecambiodeHagamos
yxyxRyxRregionLa
RTRT
R T
R
R
NOLAN JARA J.
6
GRFICA DE T(R)
2
1
4
2
24
2
32
1
4
2
2222
4128
1
48
1
48
1vv u
RT
uvu
dvduvu
dudvyu
PROBLEMA 6:
Calcular2 2 2
................(*)x y z
S
e dv donde S es el conjunto de los puntos 3),,( Rzyx
tales que 0,1222 zzyx
Solución:Graficamos 0,1222 zzyx
10;11;11/),,( 22223 yxzxyxxRzyxS Proyeccion de la region S
R
v
dAyx
vvdv
v
16
7
16
7
612
56
8
1
212
56
8
1
22
2
1
32
1
2
1
2
NOLAN JARA J.
7
Transformando a coordenadas esféricasx=ρcosθsenφy=ρsenθsenφz=ρcosφ|J(ρ,θ,φ)| = ρ²senφDonde la variación de ρ,θ,φ es:
10
2/0
20
En la integral (*)2
2
2 /2 12
0 0 0
2 /2 1 2 /22
0 0 0 0 0 0
. | ( , , ) | . . . . .
( . . ) ( 2) ( 2)
. | ( , , ) | . 2 ( 2)
S
S
e J dv e sen d d d
sen e d d d sen e d d e
e J dv e
PROBLEMA 7
Calcular la integral triple 2
s
y dvDonde S es el sólido
41
);/(10/),,/(),,(41,0/),,(22
22332223
yx
yxzRzyxRzyxzyxzRzyxS
Entonces tenemos que S=D1 U D2 pues D1 y D2 son regiones disjuntas2 2 2
1 2S D D
y dv y dv y dv ...........................(*)
22;)4()1(
)1()4(,)1()4(/),,(
22
2222223
xxyx
xyxyxzyxRzyxS
2
1D
y dv : en coordenadas esféricas
NOLAN JARA J.
8
2/,20,21/),,()1(
21,0cos/),,()1(
41,0cos/),,()1(
3
3
23
RDT
RDT
RDT
x=ρcosθsenφy=ρsenθsenφz=ρcosφ|J(ρ,θ,φ)| = ρ²senφ
2 22 2 4 2 3
1 /2 0 1
2 22 3 5 2 2 2
1
/2 0 0 /2
( ) . . . . . .
. . / 5 | . . (31/ 5) (1 cos ) cos .
(62 /15)
D
sen sen sen d d d sen sen d d d
sen sen d d sen d d
2
2D
y dv : en coordenadas cilíndricas
20,21,/10/),,()2(
41,/10/),,()2(23
223
rrzRzrDT
rrzRzrDT
x=rcosθy=rsenθz=zJ(r,θ,z)=r
2 2 22 2 1/ 2 2
0 1 0 0 1
22 2 2
1
0
( ) . . . . .
. / 2 | . (3 / 2)
r
rsen r dz dr d rsen dr d
sen r d
En (*) : )2/315/62(2 vy
s
NOLAN JARA J.
9
2
3 2 2 2 2
P ro b le m a n ro 8
C a lc u la r la in te g ra l d v . S ie n d o S e l r e c in to s o l id o
d e f in id o p o r :
( , , ) / 1, 0 4
:
:
s
z
S x y z x y y z x y
s o lu c io n
G r a f ic a m o s e l v o lu m e n S
Hallando la region D sobreel plano xy
NOLAN JARA J.
10
2 22
3 2 2 2
41 12 2
1 0
( , , ) /0 4 , 1 1,0 1
( ( ) )
Vemosquemediantecoordenadascartesianaselcalculodelaintegralse
complica,hacemosuncambiodevariblemediantecoordenada
x yx
s x y z y
S x y z y z x y x y x
z dv z dz dy dx
3 2
scilindricastenemos
T(s)= (r, ,z) / 4 ; 0 ;0 1rsen z r r
2
2
( )
2
1 42 2
0 0
( , , ) ( , ,
: ( , , ; ( , , ) ( , , )
( ( ) )
s T s
r
s r z r s e n
z d v F r z J r z d v
s i J r z r f x y z F r z z
z d v z d z r d r d
241 32
0 0
1 32 2 3 32
0 0
1 132 2 2 3 32
0 0
1 15 42 2 32
0 00
( ) )3
1( ( 4 ) )
3
1 1( 4 ) ( 4 ) )
3 2
1 1( 4 )
3 2 4
r
s r r s e n
s r
s r o r
s
zz d v r d r d
z d v r r s e n r d r d
z d v r d r s e n r d r d
rz d v r s e n d
2 5 5 3
0 0
32 5 5
0
1 1( 3 4 )
6 1 2
1 1( 3 4 ) ( c o s )
6 1 2 3
s
s
z d v d s e n d
c o sz d v
0
2 5 5 31 1( 3 4 )
6 9s
z dv u
NOLAN JARA J.
11
PROBLEMA 9:Sea Ω el recinto comprendido entre el interior de un paraboloide 223 yxz y el
interior de un elipsoide 94 222 zyx , calcular zdv
Resolución:Grafica del paraboloide:
Corte en los ejes coordenados
2/30:
30:
30:
yzxy
xzyx
zyxz
corte en los planos coordenadosPara el plano xy
elipseyx
z
.....34
022
Para el plano xz
parabolaxz
xz
y
....3
3
0
2
2
Para el plano YZ
parabolayz
yz
x
...34
43
0
2
2
Para : z=k(//planoXY)
elipsesdeconjuntokyx ......34 22 Grafica de una elipsoide
94 222 zyx
Corte en los ejes coordenados
2/30:
30:
30:
yzxy
xzyx
zyxz
Corte en los ejes coordenadosPara el plano XY
elipseyx
z
...94
022
Para el plano XZ
elipsezx
y
...9
022
22 43 yxz
NOLAN JARA J.
12
Para el plano YZ
elipsezy
x
...94
022
Para : z=k(//planoXY)
elipsesdeconjuntokyx
yxk
.....94
94222
222
GRAFICA DE LA INTERSECCION DEL PARABOLOIDE Y EL ELIPSOIDE
Otra vista:
NOLAN JARA J.
13
Grafica de la ecuación (3)34 22 yx
2 22
2 22
2 2 2
3 2 2 2 2 2 2
9 4( 3 )/23
3 4 3( 3 )/2
( , ) / 3 / 2 3 / 2; 3 3
( , , ) / 4 3 9 4 ; 3 / 2 3 / 2; 3 3
( )x yx
x z x yy x
D x y R x y x x
x y z R x y z x y x y x x
V zdv zdzdydx
Notamos que la integración es muy operativa, por eso utilizaremos coordenadascilíndricas.
),(;)49(34/),,( 22223 DyxyxzyxRzyxz
En coordenadas cilíndricas:x=rcosθ2y=rsenθz=z
)9(3
))4(9(34
22
2222
rzr
yxzyx
De (3):
20;50
0;5
542
22
r
rr
yx
)3.......(..............................54
0)4(6)4(2
:)2.().1.(
)2.......(..........).........4(9
)1.....(..........34:21
22
22222
222
22
yx
yxyx
endoreemplazan
yxz
yxzSS
NOLAN JARA J.
14
Además: J(r,θ,z) = r/22
2
2 5 9
( ) 0 0 3
2 5 5 3
( ) 0 0
26 4 5
0
0
2
0
20
( ) ( , , ) ( / 2)
( 5 )( ) ( , , ) (1/ 4)
( ) (1/ 4) ( / 6 (5 / 4) | )
( ) (1/ 4) (125 /12)
( ) (1/ 4)(125 /12) |
r
T r z r
T r
r
V J r z zdv r zdzdrd
r r drdV J r z zdv
V r r d
V d
V
( ) (125 / 24)V PROBLEMA 10
Consideremos el recinto del primer octante de R3 baconyxzbxyabxyaRzyx 0,,,;,, 22223
Calcular el volumen de Ω y hallar
dvyxxy 33
SOLUCIÓNHallaremos el volumen:
D
zdADV
Definiremos la región D
b
au
b
av
b
au
b
av
DT
abdudvdudvyx
yxV
emplazando
dudvvuJyxV
IIbabvabuaRvuDT
yxvuJxy
yx
xy
y
v
x
vy
u
x
u
yxJ
donde
vuJyxJxyvxyu
iabledecambiounalizando
IbabxyabxyaRyxD
2
2222
22
2
2222
22
222
2
1
2
1
2
1
Re
,
0,,/,
2
1,22
22,
1,,,
varRe
0,,/,
NOLAN JARA J.
15
b
au
b
av
DTDT
DD
abuvdudv
dudvyx
uvyxdudvvuJuvyx
IIendefinidoestaDTyIendefinidoestaDComo
dAxyxyyxdAyxxyzdvyxxy
Hallando
222
222222
22223333
8
1
2
1
2
1,
)()()(
PROBLEMA 11:Calcular el volumen del sólido definido por las desigualdades x²+y²+z² 24a ,z aa, >0, mediante coordenadas esféricas y coordenadas cilíndricas.SOLUCIÓN:
En coordenadas esfericas:
T(s)= (ρ,θ,φ)є R³/ 0 2,2 24a , aa,cos >0
T(s)= (ρ,θ,φ)є R³/ 0 ,2 sec,22 aa
T(s)= (ρ,θ,φ)є R³/ 0 ,2 3/0,2sec aa x=ρcosθsenφy=ρsenθsenφz=ρcosφ|J(ρ,θ,φ)| = ρ²senφSe tiene :
2 /3 2 2
0 0 sec. . .
a
asen d d d
NOLAN JARA J.
16
/32 /3 23 3 3 3
sec0 00
/33 /3 3 30 0
/33 3 2
0
/33 3
0
. / 3 . . 2 [ (8 sec ) / 3. ]
2 [8 / 3 ( cos ) | / 3 .sec . ]
2 [(8 / 3) .( 1/ 2) / 3 tan .sec . ]
2 [(8 / 3) .( 1/ 2) / 3 tan . tan ]
2 [(4 / 3)]
|a
asen d d sen a a d
a a sen d
a a d
a a d
3 3 2 /30
3
( / 3) tan (1/ 2) |
(5 / 3)
a a
a
En coordenadas cilíndricas:
T(s)=(r,θ,z) є R³/ )4(,30,20 22 razaar x=rcosθy=rsenθz=zJ(r,θ,z)=r
3
30
230
2/322
3
0
3
0
22222223
0
2
0
223
0
2
0
)4(3
0
2
0
)3/5(
]||)4(3/2[
])4([))4(()2/1(
))4((...
22
a
arra
rarrarara
rararrzr
aa
a aa
ara
a
a
PROBLEMA 12:Sea S el sólido limitado, inferiormente por la parte superior del cono 222 44 zyx Y superiormente por la esfera zzyx 2222
Calcular la integral (1 )s
x dvSOLUCIÓN:Graficamos:
NOLAN JARA J.
17
2 2 21
2 2 22
3 2 2 2 2
1 2
2 2 2 2
2 22 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
sea:
4x +4y =z .......
x +y +z =2z.....S
: , , / 2 1 ( ) 1, ( , )
: S
Entonces interceptamos estas dos superficies:
2 1 ( ) 1
2 1 1 ( )
4 1 4 1 ( )
5 4
S
S x y z x y z x y x y D
D S
x y x y
x y x y
x y x y x y
x y x
2 2
2 2 16 4....
25 5
y
x y circunferencia de radio R
Graficando la región D:
NOLAN JARA J.
18
21
2
3
3 2
Transformando a coordenadas cilindricas:
cos
2 1 ........
De la region Dsededuce:
0 2 ..........
40 ............
5De
α,β,δ,tenemos:
4( ) : ( , , ) / 2 1 ;0 ;0 2
5( , , )
x r
y rsen
z z
r z r
r
T S r z r z r r
J r z r
2
2
s
42 15
s 0 0 2
42 5
1
20 0
42 5
2
0 0
42 5
2 2 2 2 3
0 0
(1+x)dv ( , ) ( , , )
(1+x)dv. (1 cos )
( (1 cos ) ) )
( (1 cos ) ( 1 2 ) )
( ( 1 2 cos 1 cos 2
s
r
r z r
r
rr
r
r
f x y J r z dv
r rdzdrd
r r z dr d
r r r r dr d
r r r r r r
3
2 2 32 3 42 2 32 5
0 0
2
0
s
) )
2(1 ) 1 4 coscos (1 ) 2
8 8 3 3
cos arctan(1/ 3) 47 2cos
4 16 250 25
4(1+x)dv.
25
r
dr d
r r r rarcsenr r r
d
PROBLEMA 13:Calcular el plano tangente P a la superficie de ecuación 033 yxzxxz en elpunto (1,3,1). Sean A,B,C los puntos en los que el plano P corta a los ejes coordenados.Calcular mediante una integral triple el volumen del tetraedro cuyos vértices son elorigen y los puntos A,B y C.
NOLAN JARA J.
19
Hallando el plano tangente P(t):Sea : 03),,( 3 yxzxxzzyxF
Punto de tangencia: )1,3,1(),,( 000 zyx
Ecuación del plano tangente
063:)(
)1().4.().3(),2.(
)4..(..............................).........,,(
)3.....(..............................).........,,(
)2........(..........).........6,1,3()1,3,1(
)33,1,13(),,(
),,(...
)1........(0),,()(:)(
0000
23000
000
0000
zyxtP
enydoreemplazan
zyxP
zyxP
F
xxzzzzyxF
zyxFgradienteelhallando
zyxFpptP
Hallando los puntos de corte del plano P(t) con los ejes coordenados:En x:Hacemos y=z=0A: x=2En y:x=z=0B:y=-6en Z:x=y=0C:z=6
3
( )
( , , ) / 0 3 6;( , )
S
V s dv
S x y z R z y x x y D
NOLAN JARA J.
20
Graficando la ecuación D
2
06
230
6
2
0
6
3/)6(0
20
6
3/)6(
0
0
6
3/)6(
0
63
0
2
12)(
|)3663/)(6/1()3612()6/1()(
|)6)2/3(()63()(
06;3/)6(0/),(
uvsV
yyyyyysV
yxxyxyxxyyxzvsV
yyxRyxD
S
y
y
y
yx
y
y
xS y
y
x
xy
z
PROBLEMA 14:
Calcular usando coordenadas esféricas 2 2 2( / ( ))S
xyz x y z dv siendo S el recinto
limitado en el primer octante por la esfera 4222 zyxSolución:
40;40;20/),,( 2223 yxzxyxRzyxS
NOLAN JARA J.
21
Convirtiendo a coordenadas esféricas:x=ρcosθsenφy=ρsenθsenφz=ρcosφ
intervalos de variación:
2/0
20
2/0
Operando2
2 /2 /2 2 /2 /24 2 2 4
0 0 0 0 0 0
2
(( cos )( )( cos )( ) / )
1/ 4 ( 2 )( 2 ) 1/ 4 ( 1/ 2) 2 . . ( 2. 2 )
(( cos )( )( cos )( ) / )
1/
s
s
sen sen sen sen dv
sen sen sen d d d sen sen sen
sen sen sen sen dv
2 /2 2 /2 2
2 4 4 2 4
0 0 0 0 0
24
0
4 ( 1/ 2) 2 . . .( 2) 1/ 4 ( 2 . . ) 1/ 4 (1/ 2)
1/ 8( ) 32 / 40
sen sen d d sen sen d d
d
NOLAN JARA J.
22
PROBLEMA 15:
Calcular el volumen del sólido.
yxyxyxR zzyxS2222223
1;4
10/,,
Usando coordenadas esféricas y cilíndricas:SOLUCIÓN:
S
dV
Haciendo una transformación de coordenadas a coordenadas cilíndricas:X=rcos ; Y=rsen ; Z=Z
Donde el jacobiano J(r, )=r2 2 2 2 22 2 21 1
0 ( ( 0 : 14 2
) cos ) cosr zrsen r sen senr r r
3 21( , , ) / 0 2 : 0 : 1
2S r z r r zR r
21 1
31 32 2 22 22 32
0 0 0 0 0
1 21 0 . 7 53 3
1r
rd z r d r d r r d r d dr ur r
Por coordenadas esféricas:X=rcosΘsenф ; Y=rsenΘsenф ; Z=rcosфDonde el jacobiano J(r,Θ, ф)=r2senф:
senrsensenrsenrsensenrsenrsensenr r 222222
coscoscos 1cos:4
10
4
0.20:2
10/),,(
3 rrS R
NOLAN JARA J.
23
ur dddsen
dddrsendVS
32
0
2
0
4
0
2
0
4
0
2
1
0
276.0
2
21
122
21
6
1
2444
PROBLEMA 16:
Siendo 363694/,, 2223 zyxRzyxSCalcular usando un cambio de variable adecuado, la integral
S
dvzyx 2632
SOLUCIÓNUsando coordenadas esféricas
2
0 0
1
0
22
222
22
3
2
2
2
2
2
2
2222
coscos216
6coscos6632
coscos6632
0,20,10/,,
.2.3,,
cos2
cos3
123363694
dddrsenrsensensenr
ddrdsenrsensensenrdvzyx
sensensenrzyx
rRrST
donde
senrrJ
rz
senrseny
senrx
zyxzyx
r
S ST
45
216cos2
3
2
5
216
cos225
216
2
0
2
0 0
3
dsensen
ddsensensensensensen
S
zyx 5
864632 2
PROBLEMA 17:
Hallar el volumen del sólido situado en el exterior del paraboloide z=x2+y2 que lo limitael semiplano 0z y en el interior del cilindrox2+y2 =2xSOLUCIÓN
NOLAN JARA J.
24
El volumen del sólido encerrado es:
32
0
2
0
4
2
0
cos2
0
32
2
22
222
2
3322
4
4
4
cos222
22,cos20/,
22
cos;cos2
cos2cos
,:cos
11/,
usensen
dddrrdrdrrV
rRrDT
tenemos
positivoserdebecomor
rrsenr
rrJrsenyrx
polaresscoordenadapasandoa
yxRyxD
dondezdAV
rDT
D