*spanishcaptions [unicode, charset=utf8, fontenc=EU1 EU2]spanishstringprocess BibliographyBibliografaChapterCaptuloAppendixApndiceList

of Figuresndice de figurasList of Tablesndice de cuadrosIndexndicealfabticopginavasevase tambinDemostracinContentsndicegeneral

*spanishcaptionsspanishstringprocess PrefacioReferenciasAbstractResumenBibliographyBib-

liografaChapterCaptuloAppendixApndiceList of Figuresndice de figurasListof Tablesndice de cuadrosIndexndice alfabticoFigureFiguraTableCuadroPart-ParteAdjuntoCopia aApginavasevase tambinDemostracinGlosarioCon-tentsndice general *spanishdate

month1nameenero,febrero,marzo,abril,mayo,junio,julio,agosto,septiembre,octubre,noviembre,diciembreucmonth1nameEnero,Febrero,Marzo,Abril,Mayo,Junio,Julio,Agosto,Septiembre,Octubre,Noviembre,DiciembreApril 28, 2015

1

ClculoVectorial

Ing. Edison Javier Guamn

Contents

1. Definiciones Bsicas 21.1. Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Funcin de REA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Clculo de reas en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . 4

1.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2. Hallar el rea de la regin acotada por las siguientes

parbolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Integrales Impropias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5. Clculo de reas de curvas dadas paramtricamente . . . . . . 15

1.5.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6. Clculo de areas en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . 25

1.6.1. Discucion de una ecuacion en Coordenadas polares . . 261.6.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.7. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1

Chapter 1

Definiciones Bsicas

1.1. Integral Definida

Dada una funcin f(x) de variable real y un intervalo [a, b] R, la integraldefinida es igual al rea limitada entre la grfica de f(x), el eje de abscisas, yrectas x = a y x = b

Se representa por baf (x) dx

1.2. Funcin de REA

2

Sea f(t) una funcin continua en el intervalo [a, b]. A partir de estafuncin se define la funcin de rea:

F (x) = xaf (t) dt

que depende del lmite superior de integracin.

Geomtricamente la funcin integral, F(x), representa el rea del recintolimitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.

A la funcin integral, F(x), tambin se le llama funcin de reas de f enel intervalo [a, b].

1.2.1. Ejemplos1. 12

dx(x1)3

=[ 1

2(x1)2]12

= 12[

1(2)2 1(3)2

]= 572

2. 3

2xx21dx

= 12 3

2 2x (x2 1) 12 dx

3

=[x2 1

]32

=

83

3. pi

0 sen2x dx

= pi

0

(1cos2x

2

)dx

=[x2 14sen2x

]pi0

= pi2

4. 4

0 xx2 + 9dx

= 12 4

0 2x (x2 + 9)

12 dx

=[

13 (x

2 + 9)32

]40

= 13[(25)

32 9 32

]= 983

1.3. Clculo de reas en coordenadas carte-sianas

4

dA = f(x1)dx

A = limx+

ni=1

f(xi)dx

A = baf(x)dx A = b

af(x) 0)dx

Si f(x) es positiva, el rea es positivaSi f(x) es negativa, el rea es negativa

A = ba

0 f(x)dx

A = ab

f(x)dx

1.3.1. Ejercicios

Calular el rea del tringulo

5

m1 = 15y 3 = 15(x+ 2)

y 3 = x5 25

L1 = x5 +135

m2 = 53y 3 = 53(x+ 2)

y 3 = 53x103

L2 = 53x13

m3 = 2y 2 = 2(x 3)

y = 2x 6 + 2L3 = 2x 4

A = 12

[(x5 +

135

)(53x

13

)]dx+

31

[(x

5 +135

)(53x 2x 4

)]dx

A = 12

(3x+ 25x+ 39 + 515

)dx+

31

(x+ 10x+ 13 + 205

)dx

A = 115

12

(22x+ 44) dx+ 15

31

(9x+ 33) dx

A = 115(11x2 + 44x)

]12

+ 15

(92x

2 + 33x) ]3

1

A = 115(11 + 44 44 + 88) +15(

812 + 99

92 33)

A = 115(99) +15(102) = 27u

2

1.3.2. Hallar el rea de la regin acotada por las si-guientes parbolas

C =y2 = xx = 2y2 + 3

6

x h = 4p(y k)2x 3 = 2y

(1) = (2)y2 = 2y2 3

3y2 + 3 = 0y2 + 1 = 0

y = 1

Ay = 11

(f(y) g(x)) dy

Ay = 11

(2y2 + 3 y2

)dy

Ay = 11

(3y2 + 3

)dy

Ay = y3 + 3y]11

Ay = 1 + 3 (1 3)Ay = 4u2

7

Calular el rea de la regin comprendida entre las cur-vas, en el intervalo de [ 0 , ]

C =f(x) = sen(x)g(x) = cos(x)

A =

40

[cos(x) sen(x)] dx+ pi

4

[sen(x) cos(x)] dx

Ay = sen(x) + cos(x) ]40 + (cos(x) sen(x)) ]4

A =

22 +

2

2 0 + 1 + 1 0(22

2

2

)A =

2 1 + 1 +2 = 22u2

Calular el rea de la regin comprendida entre las cur-vas, entre las rectas x=-1 y x=1

C =f(x) = exg(x) = ex

8

A = 01

(ex ex

)dx+

10

(ex ex

)dx

A = ex ex]01 + e

x + ex]1

0

A = (e 1

e

)+ e+ 1

e

A = 2e+ 2e

A = 2e2 + 2e

= 6, 17u2

Hallar el rea comprendida entre las siguientes curvas:

C =

x2 + y2 = a2x2

b+ y

2

a= 1

9

A = b

0

a

1 x2

b2

dx+ a0

(a2 x2

)dx

A = ab

b0

(b2 x2

)dx+

a0

(a2 x2

)dx

cambio1 : x = bsen(u) dx1 = bcos(u)ducambio2 : x = asen(m) dx2 = acos(m)dm

A = ab

2

0

1 + cos2(u)2 du+ a

2

0

1 + cos2(m)2 dm

A = ab(

1u2 +

sen(2u)4

) ]2

0+ a

(1m2 +

sen(2m)4

) ]2

0

A = ab(

4

)+ a

(4

)

A = ab4 (1 + a)u2

Encontrar el rea de la regin determinada por las si-guientes curvas:

C =

y =x

2y =| 1 x |

10

A = 1

12

(x

21 + x)dx+

21

(x

21 + x)dx

A = 12

112

(x)dx

112

(1 x) dx+ 12

21

(x)dx+

21

(1 + x) dx

A = 23

2(x

32) ]1

12(x x

2

2

) ]112

+ 23

2(x

32) ]2

1+(x+ x

2

2

) ]21

A = 0.305(

1 12 12 +

18

)+ 0.86 +

(2 + 2 + 1 12

)A = 0.305 18 + 0.86 +

12 = 1.54u

2

1.4. Integrales Impropias.1.4.1. Ejercicios

1.1 Calcular el rea de la regin determinada por lasiguiente curva y el eje x

y = a3x2+a2

======> el eje x es una asintota horizontal.x2y + (a2y a3) = 0

11

x =

a3a2yy

a2(ay)y o

() 0(+) a()Por ser Funcion par = Puede ser 2 veces la integral.A = 0 f(x)dx+

+$0 f(x)dx = 2

+$0 f(x)dx

2 +$

0a3

x2+a2dx=2a3limb$

b0

dxx2+a2[

limb$2a3( 1a)arcTang(xa)]|b0=

[limb+$2a2arctang(xa)

]|$0

=2pia2

1.2

y = ln(x)y = 00 x eA = 0

1 ln(x)dx+ e

1 ln(x)dxA = lim0

01 ln(x)dx+

e1 ln(x)dx

A = lim0 [xln(x) x] |1 + [xln(x) x] |e1A = [1] + [1] = 2u2

12

1.3

1. 1. 2. 3. 4. 5. 6.1.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

0

y = xln(x)[(1+x2)2]0 = xln(x)x = 0x = e0x = 1limx$

xln(x)(1x2)2 = 0

A = 01 xln(x)(1+x2)2dx+ $

1xln(x)

(1+x2)2dx

u = lnx du = 1xdx

dv = xdx(1+x2)2 v =1

2(1+x2)

A1 = ln(x)2(1+x2) 12

dxx(1+x2)

x = 1tan(z)dx = Sec2(z)dz

dxx(1+x2) =

Sec2(z)dz

tan(z)(1+tan2(z)) =

Sec2(z)dztan(z)(Sec2(z))

A1 = ln(x)2(1+x2) 12

dztan(z)

A1 = ln(x)2(1+x2) 12 ln | sen(z) |A1 = [ ln(x)2(1+x2) 12 ln | x1+x2 |] |01

13

1.4Sea f(x)=x+ 12(x1)2

y = f(x) ===>su Asintotax = 2x = 2Calcular el limite del area cuando $2x(x1)2+12(x22x+1) =

2x34x2+2x+12x24x+2

2x24x+2x

= 1===>AsintotaA = $

2dx

2(x1)2

A = 12 $

2dx

(x1)2

A = 12 limb$ b

2dx

(x1)2

A = 12 limb$[1

(x1) ] |b2A = 12 limb$[ 1(b1) 11 ]A = 12 [0 11 ]A = 12u

2

1.5

15.jpg

y2 = x32ax====>Simetrica al eje xy =

x3

2axx3

2ax 0A = 2

2a0 x

x

2axdx

14

x = z2

dx = 2zdzA = 2

z2z2zdz

2az2 = 4

z4dz2az2

z =

2a sin()dz =

2a cos()

A = 4 4a2sin4()2acos()d

2a2asin2()

A = 16a2sin4()d = 16a2

(1cos(2)2 )

2d

A = 4a2

(1 2cos(2) + cos2(2))dA = 4a2

[ 2sin(2)2 +

1+4cos()2 d

]A = 4a2

[ sin(2) + 12( + sin(4)4 )

]A = 4a2

[ sin(2) + 12 + sin(4)8 )

]A = 4a2

[32 sin(2) + sin(4)4 )

]A = 4a2 limb$

[32 sin(2) + sin(4)4 )

]|b0

A = 4a2[

32 sin(2) + sin(4)4 )

]|pi20

A = 4a2[

3pi4

]= 3a2pi

1.5. Clculo de reas de curvas dadas para-mtricamente

Una curva plana C se determina mediante un par de ecuaciones param-tricas

C =x = g(t)y = h(t) , t1 t t2

donde g(t) y h(t) son continuas y no negativas para t [t1; t2]. Si A unidadescuadradas es el rea de la regin limitada por C, el eje X y las rectas x =a = g(t1), X = b = g(t2), entonces

A = t2t1

h(t)g(t)dt

Al utilizar el concepto y la interpretacin geomtrica de integral definida,vamos a exponer el mtodo general de clculo de las reas de figuras planas.

15

Supngase que f(x) es continua y f(x) 0 en el intervalo cerrado [a, b].Entonces la regin R bajo la curva y = f(x), entre x = a y x = b, tiene unrea definida de la siguiente manera

Ax = ba

f(x) dx

Usando la definicin de funcin compuesta tenemos

se sabe x = g(t)y = h(t) , t1 t t2, dx = g(t)dt

16

Entonces utilizando la definicin de integral indefinida se tienef(x) dx = F (x) + C

f(g(t))g(t)dt =

f(g(t))d(g(t))dt = F (g(t)) + C

Ax = ba

f(x)dx = F (b) F (a)

= t2t1

f(g(t)) g(t)dt, conX = a = g(t1), X = b = g(t2)= F (g(t2)) F (g(t1))

Ax = t2t1

h(t)g(t)dt

Ay = t2t1

g(t)h(t)dt

Considerando los diferenciales dx y dy respectivamente

Probar que el rea expresada como una integral de lneaesta dada por

A(R) =

R

dxdy = 12

C

ydx+ xdy

SolucinConsideremos como una aplicacin del Teorema de Green, para lo cual se

define:

17

DefinicinUna curva de Jordan es una curva C cerrada simple plana, tal que si se larecorre en sentido contrario al de las agujas del reloj, la regin R interior aC siempre se encuentra a la izquierda.

TEOREMA Sean P y Q campos escalares derivables con continuidaden un conjunto abierto S del plano xy. Sea C una curva de Jordan regular atrozos, y representemos por R la reunin de C y de su interior. Supongamosque R est contenida en S, entonces se tiene:

R

(Q

x Py

)dxdy =

C

Pdx+Qdy

en que la integral de lnea se toma alrededor de C en sentido contrario alde las agujas del reloj.

Para expresar el rea como una integral de lnea. Sea R una regin planaen el plano xy, entonces el rea de R puede expresarce en la forma:

a(R) =

R

dxdy =

R

(Q

x Py

)dxdy donde

(Q

x Py

)= 1

Se puede tomar P (x, y) = y2 , Q(x, y) =x

2 . Si R es la regin encerradaen una curva de Jordan C, entonces por el teorema de Green se tiene:

a(R) =C

Pdx+Qdy = 12

C

ydx+ xdyTambin se pueden dar otras expresiones para el rea de R. Sin embargo

se acostumbra a utilizar esta expresin para calcular el rea de la regininterior de un lazo en curvas dadas paramtricamente con su generacin enforma antihoraria.

Calcular y comprobar que las coordenadas del centro degravedad de la regin acotada por las curvas son iguales

x2 = 1 + 2yy2 = 1 + 2x18

SolucinProcedemos a realizar el grfico de las curvas

2. 1. 1. 2. 3.

2.

1.

1.

2.

3.

0

x2 = 1 + 2y

y2 = 1 + 2x

y = x

a

Parametrizando las curvas, se tiene:

x2 = 1 + 2y x = t

y = t2 1

2

y2 = 1 + 2xy =

x = 2 1

2

Para calcular el rea se necesita los puntos de corte.Resolviendo el sistema ecuaciones se tiene:

(x1; y1) = (0.414214;0.414214)(x2; y2) = (2.414214; 2.414214)

Una curva plana C se determina mediante un par de ecuaciones paramtricas

C =x = g(t)y = h(t) , t1 t t2

19

donde g(t) y h(t) son continuas y no negativas para t [t1; t2]. Si A unidadescuadradas es el rea de la regin limitada por C, el eje X y las rectas x =a = g(t1), X = b = g(t2), entonces

A = t2t1

h(t)g(t)dt

Aplicando la definicin para el clculo de reas de curvas dadas parametri-camente, se tiene:

A = 2.4140.414

2d 2.4140.414

t2 12 dt

A = 3.771294u2

Aplicando la definicin para el clculo de momentos de curvas dadasparametricamente, se tiene:

Mx =12

ba

y2dx

Mx =12

2.4140.414

3d 12 2.4140.414

(t2 1)2dtMx = 3.01699u3

My =12

ba

xydx

My =12

2.4140.414

(2 1)2d 12 2.4140.414

t(t2 1)dtMy = 3.01699u3

X = MyA

= 3.016993.77124 = 0.79999

Y = X = 0.79999

1.5.1. Ejercicios

Utilizando las identidades trigonomtricas pitagricas

cos2(t) + sen2(t) = 1

f(x, y) =x = acos(t)y = asen(t)

20

Ax = 0

2

asen(t)(asen(t))dt

Ax = 0

2

a2sen2(t)dt

Ax = a2 0

2

1 cos2(t)2 dt

Ax = a2(

1t2

1sen(2t)4

) ]02

Ax = a24 u

2

Ay =

2

0acos(t)(acos(t))dt

Ay =

2

0a2cos2(t)dt

Ay = a2

2

0

1 + cos(2t)2 dt

Ay = a2(

1t2 +

1sen(2t)4

) ]02

Ay =a2

4 u2

f(x, y) =x = asen(t)y = acos(t)

21

Ax = 0

2

acos(t)acos(t)dt

Ax = a2 0

2

1 + cos(2t2 )dt

Ax = a2(

1t2 +

sen(2t)4

) ]02

Ax =a2

4 u2

Ay =

2

0asen(t)(asen(t))dt

Ay = a2

2

0

1 cos2(t)2 dt

Ay = a2(

1t2

cos(2t)4

) ]2

0

Ay =a2

4 u2

22

Ax = a2 3

2

0cos2(t)dt

Ax = a2 3

2

0

1 + cos(2t)2 dt

Ax = a2(

1t2 +

sen(2t)4

) ] 32

0

A = a2 34u2

Ay = a2 0

32

sen2(t)dt

Ay = a2 0

32

1 cos(2t)2 dt

Ay = a2(

1t2

sen(2t)4

) ]032

A = a2 34u2

f(x, y) =x = asen(t) + hy = bcos(t) + k

23

Ax = 0

ydx

2

ydx

Ax = [

0ydx+

2

ydx

]

Ax = 2

0ydx

Ax = 2

0[k + bsen(t)] [asen(t)] dt

Ax = 2

0

[kasen(t) absen2(t)

]dt

Ax = 2

0

[kasen(t) + ab1 cos(2t)2

]dt

Ax =(kacos(t) + abt2

sen(2t)4

) ]20

A = ka+ 2ab2 kaA = abu2

Cicloide

f(x, y) =x = a(t sen(t))y = a(1 cos(t))

24

Ax = 2

0ydx

Ax = 2

0a(1 cos(t)a(1 cos(t))dt

Ax = a2 2

0(1 2cos(t) + cos2(t))dt

Ax = a2 2

0

((1 2cos(t) + 1 + cos(2t)2

)dt

Ax = a2(t 2sen(t) + 12t+

14ssen(2t)

) ]20

Ax = a2(2 + ) = 3a2u2

f(x, y) =x = 4t2 4ty = 1 4t2

1.6. Clculo de areas en coordenadas polares

25

1.6.1. Discucion de una ecuacion en Coordenadas po-lares

1. cambio de variablesr2 = x2 + y2

x = rcos()y = rsen()

2. Intersecciones

Polar

= 0 + npi;nZE. normal

= pi2 + npi;nZ

3. Simetria

Eje polar

r() = r()r(pi ) = r()

Eje normal

r(pi ) = r() r() = r()Polo

r() = r() r(pi + ) = r()4. Tabulacion En general el punto (r; ) puede expresarse como: (r; ) =

(r; + 2npi) o (r; ) = (r; + (2n+ 1)pi)5. Graficos

26

6. formulas

Sea r = r() la ecuacin en coordenadas polares de una curva ysupongamos que r() es continua en el intervalo cerrado [, ]. Sedefine el area de la region limitada por las curvas y las semirrectasde ecuaciones = y = como la integral:

12 r()2d

El area de la region limitada por las curvas de ecuaciones polaresr = r1()yr = r2() y los rayos de ecuaciones = y = sedefine como la integral:

12

(r2()2 r1()2)d

1.6.2. Ejerciciosr1 = 6cos() y r2 = 2 2cos()

27

A2 =

12

(6cos())2d + 12

(2 2cos())2ddonde = pi2 ; = 2pi3 ; = pi; = 2pi3

6cos() = 2 2cos()6cos() + 2cos() = 2

4cos() = 1cos() = 12 = 23pi

A2 =

12

(6cos())2d + 12

(2 2cos())2d como = = 12

(4 8cos() + 4(cos())2)d= 12

(6 8cos() + 3cos2())d= ([6() 8sen() + sen2()] con = pi)([6() 8sen() + sen2()] con = pi2 )

=3pi + 1

r1 = 3cos(3) y r2 = 2

28

A6 =

12

22d + 12

(3cos(3))2d

y =23 = cos(3)arcos(23) = 3 = 0, 28

A6 =

12

4d + 12

9cos(3)2dA6 =

12

4d + 12

9(1+cos6()2 )d

= 12

4d + 12

9(1+cos6()2 )d

= 12 [4] con =0,28 +94 [ +

sen66 ](con =

pi6 ) - (y con = 0, 28)

= 0,7368

r = asec2( 2) y y = x

= acos2(

2 )= 2a1+cos()

29

r + rcos() = 2ar = 2axx2 + y2 = 2ax

y2 = 4a(x a)

A=12

(asec2( 2)2)d

a22

(1 + tg2( 2))sec2( 2d

a22 sec2( 2) + tg

2( 2)sec2( 2)d

a2

2 [2tg2( 2 +

23tg

3( 2 ] (con =pi2 ) -

(con = pi4 )= 1,79

1.7. Ejercicios Propuestos1. Hallar el rea comprendida entre la parbola y = x2 + 4x 3 y las

rectas tangentes a esta en los puntos (0,3) y (3, 0).2. Clcular el rea de la regin comprendida entre las curvas y = x2 1

y y = 3x2+1 .

3. Clcular el rea de la regin delimitada por la astroide x 23 + y 23 = a 23 .

4. Clcular el rea del tercer cuadrante comprendida entre las curvas:r1 = sec(3) y r2 = 2.

5. Clcular el rea de la regin interior a la curva r1 = 2[1 + sen()] yexterior a la curva r2 = sec(3).

6. Clcular el rea de la regin comprendida entre r1 = 1 , r2 =1

sen() ,(0 < pi2 ).

7. Clcular el rea del circulo x2 + y2 = a2 en paramtricas

8. Clcular el rea de la regin interior a la curva definida por:

x = 2acos(t) + acos(2t)

y = 2asen(t) asen(2t)9. Clcular el rea de la regin delimitada por la curva dada por: x =

2t t2 , y = 2t2 t3

30

10. Clcular el rea de la regin comprendida en el folium de Descartes,cuyas ecuaciones paramtricas son:

x = 3at1+t3

y = 3at21+t3

31