trabajo de vibraciones un grado de libertad

7/31/2019 Trabajo de Vibraciones Un Grado de Libertad

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REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD POLITECNICAJOS ANTONIO ANZOTEGUI

EL TIGRE ESTADO ANZOTEGUI

PNF TRAYECTO III

Profesor:Ing. Eugenio, Salas Integrantes:

Alfonzo, Dimas C.I: 10.941.019

Blanco, Gregory C.I: 15.375.065

Cermeo, Mayra C.I: 16.078.675

Gonzlez, Sandra C.I: 14.468.696

Pino, Gustavo C.I: 16.529.026

EL TIGRE, 12 de Julio del 2010

INTRODUCCION


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Los sistemas de ingeniera que poseen masa y elasticidad estn capacitados para tener

movimiento relativo. Si el movimiento de estos sistemas se repite despus de un determinado

intervalo de tiempo, el movimiento se conoce como vibracin, en general, una forma de

energa disipada y en muchos casos inconveniente. Esto es particularmente cierto en

maquinara; debido a la vibraciones, se producen ruidos, se arruinan las diferentes partes y se

transmiten fuerzas y movimientos indeseables a los objetos muy cercanos.

La vibracin de un objeto es causada por una fuerza de excitacin. Esta fuerza se

puede aplicar externamente al objeto o puede tener su origen a dentro del objeto. La

proporcin, frecuencia y la magnitud de la vibracin de un objeto dado, estn completamente

determinados por la fuerza de excitacin, su direccin y frecuencia. Esa es la razn porque un

anlisis de vibracin puede determinar las fuerzas de excitacin actuando en una mquina.

Esas fuerzas dependen del estado de la mquina, el conocimiento de sus caractersticas e

interacciones.

ECUACION DE MOVIMIENTO


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Para eliminar los efectos perjudiciales de la mayor parte de las vibraciones, uno de los

medios consiste en hacer un completo estudio de la ecuacin de movimiento del sistema en

cuestin. Este sistema es primero idealizado y simplificado en trminos de masa, resorte y

amortiguamiento, que representan la masa, la elasticidad y la friccin del sistema,

respectivamente. Entonces, la ecuacin de movimiento expresa el desplazamiento como una

funcin del tiempo o tambin, la distancia entre cualquier posicin instantnea de la masa

durante su movimiento y la posicin de equilibrio. La propiedad ms importante de un

sistema vibrante, la frecuencia natural, se obtiene de la ecuacin de movimiento.

DESCRIPCIN DEL MOVIMIENTO:

Para describir el movimiento de una pieza o estructura, es necesario referirse a sus grados de

libertad. Por cada grado de libertad existente, hace falta una coordenada. Una estructura tiene

tantos grados de libertad, como coordenadas sean necesarias para determinar o definir su

configuracin. Cuando est quieta, una cantidad finita de coordenadas es suficiente para

determinar exactamente su configuracin; mientras que cuando se mueve, cada punto de la

pieza o estructura requiere 3 (tres) coordenadas,por lo que en dicha situacin, los grados de

libertad son infinitos.

FRECUENCIA Y PERIODO

En los tipos de anlisis de vibraciones rectilneo y torsional, el periodo es el tiempo necesario

para que un movimiento peridico se repita; la frecuencia es el nmero de ciclos por unidad

de tiempo. Debido a las similitudes entre los tipos d vibracin rectilnea y torsional, la

discusin y el anlisis de un tipo se aplican por igual al otro.

Frecuencia natural es la frecuencia de un sistema que tiene vibracin libre sin friccin,

mientras que frecuencia natural amortiguada es la frecuencia de un sistema que tiene

vibracin libre con friccin.

1.- VIBRACION


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1.1.- VIBRACION MECANICA

Es el movimiento de una partcula del material o de un solido rgido que oscila alrededor de

su posicin en equilibrio.

LINEALES

Son aquellos en los que las masas que vibran son constantes a lo largo del tiempo y las

caractersticas elsticas de sus suspensiones son lineales frente a las causas que las solicitan.

NO LINEALES

Son aquellos en los que la masa que vibra no es constante en el tiempo. Por ejemplo,puentes

por los cuales circulan vehculos; el estudio de estos casos requiere la consideracin de las

masas de los vehculos amen de la del puente.

Se clasifican tambin en AMORTIGUADOS y NO AMORTIGUADOS, siendo esta ltima

posibilidad una ficcin matemtica, pues todas las piezas y estructuras contienen,

intrnsecamente en mayor o menor grado, alguna amortiguacin.

Con relacin al modo de actuar de las causas perturbadoras del equilibrio de los sistemas,

tambin se los clasifica en sistemas vibratorios LIBRES.

FORZADOS O AUTOEXCITADOS

LIBRES

Son aquellos que se manifiestan a partir del momento en que cesa la accin de la causa

perturbadora.

FORZADOS

Son aquellos que se producen por efecto de una perturbacin que perdura en el tiempo .

AUTOEXCITADOS


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La fuerza perturbadora, que en el caso de las vibraciones forzadas es alternativa o pulsante o

aparece y desaparece, en este caso es continua. Son ejemplos tpicos, la vibracin de la

cuerda de un violn, donde el arco pasa de manera continua; la de las patas de un mueble que

es arrastrado sobre el piso (rozamiento seco) y la vibracin de una tiza que se desplaza sobre

una pizarra.

1.2.- VIBRACION LIBRE

Es el movimiento peridico que se observa cuando el sistema se desplaza de suposicin de

equilibrio esttico. Las fuerzas que actan son: la fuerza del resorte, la fuerza de friccin y el

peso de la masa. Debido a la presencia de la friccin, la vibracin disminuir con el tiempo.

Esta es la vibracin libre llamada a veces transitoria.

Donde: xc = Amplitud de la vibracin libre

= Factor de Amortiguamiento

Wn = Frecuencia Natural Circular

W = Frecuencia Natural Amortiguamiento Circular

A, B = Constantes Arbitrarias

SISTEMAS DE UN SOLO GRADO DE LIBERTAD:

Muchos sistemas pueden vibrar en ms de una manera y direccin. Si un sistema est

restringido de modo solo puede vibrar de una manera, o si se necesita nicamente unacoordenada independiente para determinar por completo la localizacin geomtrica de las

masas del sistema en el espacio, este es un sistema de un solo grado de libertad.

Los siguientes sistemas son de un solo grado de libertad:


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El sistema masa resorte mostrado en la siguiente Fig., si la mas (m) est restringida a

moverse verticalmente, se necesita una sola coordenada, x(t), para definir la localizacin de

la masa en instante cualquiera a partir de la posicin de equilibrio esttico. Se dice entonces

posee un grado de libertad.

Similarmente, si el pndulo torsional mostrando en la figura siguiente, esta estrgido a oscilar

alrededor el eje longitudinal del rbol, la configuracin del sistema puede determinar por una

sola coordenada, (t) pueden determinarse por una sola coordenada, (t). Este tambin es un

sistema de un solo grado de libertad.

El sistema masa-resorte-polea de la siguiente Fig. es de un solo grado de libertad puesto que,

tanto x(t) como (t) pueden usarse para determinar las posiciones relativas de las masas,

pero x(t) y (t) no son mutuamente independientes.

K

m

c

xF0=Sen Wt

J

K


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Ligando la base al cuerpo cuyo movimiento se va a medir, como se muestra en la siguite

figura, la vibracin recogida ser til para medir el movimiento oscilatorio del cuerpo. Esto

es posible encontrado el movimiento relativo de la base y la masa. En consecuencia,

nicamente se necesita una coordenada para determinar la configuracin del sistema.

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

Si una partcula tiene movimiento rectilneo, su aceleracin es siempre proporcional a la

distancia a punto fijo de la trayectoria y est dirigida hacia este punto fijo, entonces se dice

ckk

m

X2

X1

K

mx


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que la partcula tiene movimiento armnico simple o sencillamente (MAS). Es el movimiento

peridico ms sencillo. El movimiento peridico de vibracin, sea simple o complejo, puede

considerarse formado por un (MAS) o un numero de (MAS) de diferentes amplitud y

frecuencias por medio de una serie de Fourier. En forma de ecuacin diferencial, el (MAS) se

representa como:

LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON

La ecuacin de movimiento es simplemente otra forma de l Ley del movimiento de Newton,

F=m.a (total de fuerzas en la misma direccin del movimiento). Las ecuaciones de

movimiento de muchos sistemas se determinan convenientemente por la Ley del movimiento

de Newton. Sin embargo, algunas de ellas se encuentran ms fcilmente por otros mtodos,

tales como el mtodo de la energa, la ecuacin de Lagrange, etc.

METODO DE LA ENERGIA

Para un sistema conservativo, la energa total del sistema es invariable con el tiempo. Si la

energa total del sistema se expresa como energa potencial y cinemtica, entonces la

siguiente igualdad es cierta:

Donde EC = Energa Cintica

EP = Energa Potencial

La ecuacin resultante es la ecuacin de movimiento del sistema en consideracin. Este es,

entonces, el mtodo de la energa.

METODO DE RAYLEIGH


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De nuevo, si el sistema es conservativo, la energa cintica total del sistema es cero en el

desplazamiento mximo y es mxima en el punto de equilibrio esttico. Para la energa

potencial del sistema ocurre lo contrario. Por lo tanto:

(EC) mx. = (EP) mx. = Energa total del sistema

Este se conoce como el mtodo de Rayleigh. La ecuacin resultante dar fcilmente la

frecuencia natural del sistema.

METODO DE LA IMPEDANCIA MECANICA

En la determinacin de la vibracin del estado estacionario de un sistema, el mtodo de la

impedancia mecnica es sencillo y directo comparado con otros mtodos. Este mtodo se

basa en la representacin vectorial de las funciones armnicas. Sea el vector fuerza

Puesto que la respuesta del estado estacionario debe estar retrasada respecto a la fuerza de

excitacin, el vector desplazamiento es

El vector velocidad es, entonces,

Similarmente el vector aceleracin es Por tanto, las impedancias mecnicas de los

tres elementos son:

F

Eje Imaginario

Eje Real

mwx

-kx -icwx


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Como se muestra en la Fig.

DESBALANCEAMIENTO

Existe desbalanceamiento rotacional en una maquina si el centro de gravedad de la parte

rotatoria no coincide con el eje de rotacin. Generalmente la cantidad de desplazamiento

rotacional se expresa por (me), donde (m) es una masa excntrica equivalente y (e) es la

excentricidad. La fuerza centrifuga (me.w), como resultado de este desbalanceamiento (me),

producir una excitacin indeseable. Para es desbalanceamiento alternativo se aplicara el

mismo razonamiento.

VELOCIDADES CRTICAS DE UN EJE

Cuando las velocidades de rotacin de un eje coinciden con una de las frecuencias naturales

del sistema de rotores o discos montados sobre el eje elstico, tendr lugar violentas

vibraciones. Esto se conoce comnmente como velocidades criticas del eje y deben

evitarse.

TRANSMISIBILIDAD

Con el fin de reducir tanto como sea posible la cantidad de fuerza trasmitida a los cimientos

debida la vibracin de la maquinaria, las maquinarias estn generalmente aisladas de los

cimientos, montndolas sobre resortes y amortiguadores. Como resultado, la fuerza trasmitida

a los cimientos es la suma de las fuerzas del resorte y el amortiguador, es decir,


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La transmisibilidad s define como la razn de la fuerza trasmitida a la fuerza impresa.

Donde r = razn de frecuencias

= Factor de Amortiguamiento

Por la misma razn, frecuentemente se desea aislar un instrumento delicado de los

movimientos producidos a su alrededor. La eficacia del aislador ser la razn de la amplitud

de vibracin del cuerpo a la parte soportante. Esta relacin es la misma lograda por el

aislador de fuerzas. En consecuencia, el mismo aislador puede usarse como aislante de

fuerzas y como aislante de movimiento.

VIBRACIN LIBRE DE UN SISTEMA DE UN GRADO DE LIBERTAD

Sea un cuerpo de peso W suspendido de un resorte (suspensin elstica por excelencia) de

masa despreciable frente a la del peso W en estudio, como indica la siguiente Fig.

Analcese su comportamiento frente a una perturbacin consistente en apartarlo de su

posicin de reposo una distancia X0 para luego liberarlo.

Dicha masa, si el sistema es de amortiguacin nula (no amortiguado), oscilar

indefinidamente entre + X0 y -X0 (pndulo).

WX0

Sin peso W

W

W

-Xo

X

W

W

W+k*x

x

est


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Supuesta entonces nula la amortiguacin, para una posicin cualquiera X del peso W

(posicin en anlisis en la figura), la ecuacin correspondiente de equilibrio establece:

= =

donde : = Masa del peso W

= Aceleracin instantnea de la masa M y del extremo correspondiente del

resorte o suspensin elstica

= Constante elstica de la suspensin de la masa M

= Fuerza con que acta la suspensin sobre la masa M

Dicha expresin se constituye as en la ecuacin diferencial del movimiento de la masa M,

soportada la misma por una suspensin elstica de constante k.

Esta ltima expresin corresponde tambin a la ecuacin diferencial del movimiento

armnico simple, obtenido como proyeccin en una nica direccin del movimiento del

extremo de un radio vector, animado el mismo de un movimiento circular con velocidadangular constante, conforme se muestra en la siguiente Fig.

Wn0

-X

X

X0


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Rotando el vector X0 con velocidad angular n CONSTANTE, su proyeccin sobre el eje

coordenado X, considerando 0 (posicin angular inicial) = 0, resulta en:

;

Volviendo al esquema del peso W y de su suspensin elstica y siendo que el sistema no es

excitado peridicamente desde el exterior, se tiene:

Pulsacin natural de vibracin del sistema, propia de:

a) La masa M del cuerpo que vibra

b) La constante elstica k de su suspensin


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La frecuencia natural de vibracin se define con:

Siendo g = aceleracin gravitatoria

Siendo con est = deformacin (dentro del lmite elstico) que produce la aplicacin

esttica de W resulta:

VIBRACIN LIBRE DE UN GRADO DE LIBERTAD CON AMORTIGUACIN

VISCOSA

Teniendo presente que todos los sistemas reales son siempre amortiguados, aunque no posean

dispositivos especficos para ello, la siguiente Fig., representa un cuerpo soportado por un

elemento elstico de constante elstica k y un amortiguador VISCOSO de constante de

amortiguacin C.

cK

W


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En la amortiguacin viscosa, la fuerza que opone el dispositivo amortiguador es proporcional

a la velocidad (lineal) del peso W y los amortiguadores de los automviles, al ser del tipo

viscoso, trabajan bsicamente bajo esta propiedad.

Fam. representa entonces la fuerza que hay que ejercer para mantener una cierta velocidad

del peso W en la direccin del eje X y se dice que un amortiguador es duro (blando) cuando

su constante C es grande (baja).

Planteada ahora la ecuacin de equilibrio para un sistema soportado elsticamente y con

amortiguacin viscosa, la misma resulta en:

Siendo esta ltima expresin una ecuacin diferencial de segundo grado en X, para

resolverla, supngase que la masa M del cuerpo de peso W es CONSTANTE en el tiempo,

que la masa de la suspensin y de los elementos afectados por el movimiento y concernientes

al amortiguador se pueden despreciar, que la constante de amortiguacin C tampoco vara y

que la suspensin no excede el lmite proporcional de deformacin del material con que est

construida.Planteando una solucin particular exponencial como: resulta:

;

La ecuacin de equilibrio dinmico, resulta entonces en:


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Esta expresin resulta ser una expresin de segundo grado en S, con las siguientes

soluciones:

de donde entonces, conocidos M, C y k, resultan conocidos S1 y S2.

Planteando una solucin general, como una combinacin algebraica de ambas soluciones

particulares, resulta:

Si S1 y S2 resultan nmeros reales, la ecuacin anterior representa un movimiento aperidico

exponencial. En cambio si resultan nmeros complejos conjugados, se pueden expresar los

mismos como una suma de senos y cosenos y el movimiento resulta peridico. Esto ocurre

cuando el radical de la expresin S1, 2 resulta negativo.

Se entiende entonces que en un sistema amortiguado, el movimiento puede ser peridico o

aperidico, conforme sea la relacin existente entre los valores de la constante de

amortiguacin (nicamente viscosa para este anlisis) C y la constante elstica k, ambas de la

sustentacin.

El valor de C que hace que el radical referenciado sea nulo, es llamado constante crtica de

amortiguacin Ccr y separa los movimientos peridicos de los aperidicos.

Haciendo entonces C = Ccr, se tiene:


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Siendo: pulsacin natural del sistema,

resulta:

Si una amortiguacin (viscosa) posee una constante C de amortiguacin mayor a Ccr, los

movimientos sern no peridicos, mientras que si es menor, sern peridicos:

C > Ccr : Movimiento no peridico

C < Ccr : Movimiento peridico

siendo:

resulta: S1,2 =

Siendo:


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Llamando FACTOR DE AMORTIGUACIN J al cociente (C / Ccr), el mismo resulta ser:

resulta:

J = 0 ; C = 0

Movimientos peridicos no amortiguados.0 < J < 1 ; 0 < C < Ccr Movimientos peridicos amortiguados.

J = 1 ; C = Ccr Situacin divisoria entre movimientosperidicos y aperidicos.

J > 1 ; C > Ccr Movimientos aperidicos.

Conforme las expresiones exponenciales de las funciones trigonomtricas seno y coseno, la

expresin correspondiente a la ecuacin general del movimiento puede escribirse como:

en donde X1 y 1 son constantes y parmetros iniciales del movimiento.


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Los Grficos 01 y 02 adjuntos muestran en ordenadas, el valor de X conforme sea el tiempo t

y para valores particulares de X1, n, 1 y J y para ambas soluciones de la raz

Se han manteniendo constantes1, X1 yn, muestra la funcin

X = X (t) para distintos valores de J y las mismas verifican que cuando:

J = 0 Movimientos peridicos no amortiguados.

0 < J < 1 Movimientos peridicos amortiguados.

J = 1 Situacin divisoria entre movimientos peridicos amortiguados y aperidicos.

VIBRACIONES MECNICAS.

PROBLEMAS

1.- Un objeto de 10 kg est suspendido por dos muelles idnticos de constante elstica

K=500 N/m asociados en serie, y un amortiguador de tipo viscoso de constante c=90 Ns/m.


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Calcular:

a) Coeficiente de amortiguamiento crtico

b) Factor de frecuencias ()

c) Valor del pseudoperiodo justificando su existencia

d) Si, inicialmente, se separa de su posicin de equilibrio estable

5cm, calcular la energa total en ese instante

e) Indicar el principio de conservacin de la energa que cumple

RESOLUCIN

a) Constante equivalente (serie)

b) Factor de frecuencias

k

m

c

k


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Comprobacin:

c) Pseudoperiodo, existe por ser un amortiguamiento subcrtico

d) Cumple el principio de conservacin de la energa total, el principio de conservacin de la

energa mecnica no lo cumple por existir fuerza amortiguadora disipadora de energa.

2.- a) Escribir la ecuacin diferencial general de las vibraciones indicando qu tipo de fuerza

representa cada trmino.

b) Clasificacin de las vibraciones estableciendo, para cada caso, su ecuacin diferencial

c) Indicar cundo se producen los denominados efectos resonantes y citar un ejemplo

d) Un sistema est formado por una masa m suspendida de dos muelles cuyas constantes

elsticas son K1=1 kN/m y K2=0,5 kN/m y vibra libremente con amplitud A. Indicar en cul

de los casos (asociacin en serie o en paralelo) el sistema vibra con mayor frecuencia y posee

mayor energa total, justificando su respuesta.

RESOLUCINa) La suma de la fuerza de inercia, fuerza amortiguadora y fuerza recuperadora elstica es

igual a la resultante de las fuerzas exteriores: , siendo

b) Clasificacin de la vibraciones

Vibracin libre sin amortiguamiento

Vibracin libre con amortiguamiento

Vibracin forzada sin amortiguamiento

Vibracin forzada con amortiguamiento

c) Los efectos resonantes se producen cuando la frecuencia natural (wn) se iguala a la

frecuencia de la fuerza exterior w. Ejemplos: rotura de cristales por el paso de un avin,

rotura de una copa por una determinada voz; pas acompasado de soldados en un puente; un

viento armnico puede producir el derrumbamiento de un puente colgante.


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d) Valor de la constante en serie:

Valor de la constante en paralelo:

Asociacin en paralelo: a mayor constante, mayor frecuencia y mayor energa.

3.- Un bloque de 4 kg. de masa se mueve entre guas verticales suspendido por dos muelles

iguales de constante recuperadora elstica K1 = K2 = 50 N/m, como se indica en la figura.

Calcular:

a) Ecuacin de las pequeas oscilaciones del sistema.

b) Periodo y frecuencia del movimiento resultante.

c) Velocidad y aceleracin mxima del bloque si la amplitud del movimiento es a=60 mm.

d) Determinar la masa que debera tener el bloque para que su periodo de oscilacin sea 1 s.

RESOLUCIN

a) Los muelles estn asociados en paralelo y oscilan con vibracin libre sin

amortiguamiento de acuerdo a la ecuacin:

K2K1


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b) La frecuencia natural y el periodo son:

c) La velocidad mxima del bloque para una amplitud de a=60 mm es:

la aceleracin mxima

d) La masa que debera tener el bloque para que su periodo de oscilacin sea 1 s se

obtiene para una frecuencia natural igual a wn=2pi, por tanto:

4.- El sistema de la figura consta de una masa, dos muelles y un amortiguador de

caractersticas: m= 20kg; k1= 50N/m; k2= 70N/m; c= 80N s /m

Determinar:

a) Ecuacin diferencial del movimiento y su solucin general

b) Coeficiente de amortiguamiento crtico, indicando el tipo de amortiguamiento del sistema

c) Frecuencia de la vibracin libre y frecuencia de la vibracin libre amortiguada

d) Valor del pseudoperiodo justificando su existencia

e) Si inicialmente, la masa se desplaza de su posicin de equilibrio estable a = 5cm, calcular

la energa mecnica comunicada inicialmente al sistema indicando si se conserva en el

transcurso del movimiento o no.

m

K2K1

c


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RESOLUCIN

a) La ecuacin diferencial del movimiento de una vibracin libre amortiguada es:

La constante equivalente de los muelles en paralelo es , por lo que:

Simplificando queda cuya ecuacin

caracterstica es , donde

La solucin general es:

b) El coeficiente de amortiguamiento crtico se obtiene a partir de la expresin:

Como se cumple que c < Ccr el tipo de amortiguamiento es subcrtico.c) La frecuencia de la vibracin libre y la frecuencia de la vibracin libre amortiguada

son:

d) Por tratarse de amortiguamiento subcrtico se puede obtener el valor del

pseudoperiodo:

e) La energa mecnica comunicada inicialmente al sistema para a = 5cm es:

La energa total se conserva en el transcurso del movimiento pero la energa mecnica no,

parte se disipa en forma de calor debido al amortiguador.


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CONCLUSION

Una vibracin se puede considerar como la oscilacin o el movimiento repetitivo de

un objeto alrededor de una posicin de equilibrio. La posicin de equilibrio es la a la que

llegar cuando la fuerza que acta sobre l sea cero. Este tipo de vibracin se llama vibracin

de cuerpo entero, lo que quiere decir que todas las partes del cuerpo se mueven juntas en la

misma direccin en cualquier momento.


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El movimiento vibratorio de un cuerpo entero se puede describir completamente como una

combinacin de movimientos individuales de 6 tipos diferentes. Esos son traslaciones en las

tres direcciones ortogonales x, y, y z, y rotaciones alrededor de los ejes x, y, y z. Cualquier

movimiento complejo que el cuerpo pueda presentar se puede descomponer en una

combinacin de esos seis movimientos. De un tal cuerpo se dice que posee seis grados de

libertad.

Por ejemplo un barco se puede mover desde adelante hacia atrs (ondular) desde abajo hacia

arriba y de babor hacia tribor. Tambin puede rodar en el sentido de la longitud (rodar), girar

alrededor del eje vertical, (colear) y girar alrededor del eje babor-tribor.

Supongamos que a un objeto se le impide el movimiento en cualquiera direccin

excepto una.

Por ejemplo un pndulo de un reloj solamente se puede mover en un plano. Por eso, se le

dice que es un sistema con un grado nico de libertad. Otro ejemplo de un sistema con un

grado nico de libertad es un elevador que se mueve hacia arriba y hacia abajo en el cubo del

elevador.

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