totinestabilitat.pdf

Inestabilitat elsticaintroducci tema01

[email protected]

concepte intuitiu

ESTABLE INESTABLE INDIFERENT

Comportament estructuralnormal

Altius,fortius

Pescrtic >estructureslleugeres Materials amb alt lmit elstic

PROBLEMADINESTABILITAT ELSTICAVINCLAMENT PANDEO BUCKLING

vinclament

http://www.youtube.com/watch?v=TUE7DKNBIrU

http://www.youtube.com/watch?v=Y3dOaWLUnNw

http://www.youtube.com/watch?v=exvyt_YOe5g

Time 1:00;4:00

http://www.youtube.com/watch?v=nUjpVBktTAI

Time 1:18;2:42,3:23

inflatoplane

simulacions

introducci als criteris destabilitat

exemple 01

criteris destabilitat

Enforces Posici dequilibri com aequilibri deforces. Segons forces inestabilitzadores siguin >=estable Derivadasegona negativa>inestable

introducci alcanvi deconfiguraci

exemple 02

Inestabilitat elsticatema02.Crrega dEuler

[email protected]

Bigues treballant aflexi

fluxdetensions quetransportenlacrregaals suports >fenmen deflexi

Eixos Z

X

Y

Teoria dEulerBernoulli

dxxdwzzzyxu x ,,

0,, zyxv xwzyxw ,,

campdedesplaaments

Bigues primesh/L

Campdedeformacions (strains)

2

2

dxxwdz

dxxdu

xx

0yv

yy 0zw

zz

0

xv

yu

xy0

xw

xw

xw

zu

xz0

yw

zv

yzxx

campdetensions (stress)

2

2

dxxwdEzE xxxx

llei elstica delmaterial(isotrpic) Eqs HookeLam

xx

0 yzxzxyzzyy

Equacions dequilibri 1 Alasecci

2

22

dxxwddAzEdAzM

A Axx

2

2

dxxwdEIM

+

X

Z

Equacions dequilibri 2M

S

M+dM

S+dS

q

0zF qdxdS 0M 0 S

dxdM

qdxdM

dxd

q

dxwdEI

dxd

2

2

2

2

Condicions decontorn

00

00

dxdww

00

LSLM

q

vinclament despecmens reals

Comentarpropietats fsiques

ProblemadEulerw

2

2

dxxwdEIxM xwPxM

2

2

dxxwdEIxwP 02

2

xwEIP

dxxwd

Llei demoments Eq dequilibri

w

Soluci delproblemadEuler

02

2

xwEIP

dxxwd

x

EIPBx

EIPAxw cossin

condicions decontorn


00 xv 0 lxv

0B

0A

0sin

LEIP nLEI

P ,2,1n

FerhoFerho

Crrega crticadEuler

nLEIP

22

LEIPcr

224LEIP

1n

2n

,2,1n

Anlisi entensions

Enlloc depensarenesfor axial tensi detreball

AP

22

LEIPcr 2

2

2

2

rLE

ALEI

CR

AIr Radi degirdelasecci

Concepte desveltesa (slenderness)

rL

Inestabilitat elsticatema03.Flexi ienergia

[email protected]

Membranasotatensi axialflexi

xwPdxxwxxwPFz sinsin

xw

dxxw

x

P

PX

Z

sin

dx

xw

xPFz

2

2

xwPq

Crrega distribuda fictcia

Aplicaci alproblemadEuler

qdxwdEI

dxd

2

2

2

2 2

2

xwPq

02

2

2

2

2

2

xwP

dxwdEI

dxd

Equaci deflexi

02

2

xwPdx

xwdEI

00 Lww 00 Lww 00 LMM

problemadEuler Energia potencialelstica

Treball extern

PxUe

P

L

f dxdxxwdEIU

0

2

2

2

2

1

dxxwdydzzEdVU

L

AVxxxxf

2

2

2

0

2

2

1

2

1

Desplaament

dxdxdw

dxdwdxds

22

2

111

dsdw

dx

L

L

22 dwdxds

'

0

2'

'

0

2

2

1

2

11

LL

dxdxdwLdx

dxdwL

LL

dxdxdwdx

dxdwLL

0

2'

0

2

2

1

2

1'

Energia potencialtotal

LL

ef dxdxxdwPdx

dxxdwEIUU

0

2

0

2

2

2

2

1

2

1

Suposem unasoluci deltipus

Lxvxw sin0 0v

xwLassajem (ferho)

LL

ef dxLx

LvPdx

Lx

LvEIUU

0

22

20

2

0

24

20

4

cos2

1sin

2

1

2022034

00 4

1

4

1 PvL

EIvL

vUvU ef

Condici dequilibri

Minimitzaci delenergia potencialtotal

Anlisi delestabilitat

0000

vUvUv ef crPL

EIP 2

2

0020

2

vUvUv ef

Ferho

Ferho

PPLv

Ecr

t

2

2

20

2

inestPPindPPestPP

vE

cr

cr

crt 0

20

2

Transformacidenergies

Treball extern energia demembrana

L

e dxdxxdwPPxU

0

2

2

1

L

m

L

dxdxdxds

00

1

LL xx dxdxdudxu 00 u

Inestabilitat elsticatema04

Altres condicions [email protected]

Bigaencastadaw

xwPMxM r 22

dxxwdEIM


rMxwPdxxwdEI

2

2

Soluci delproblema

PMrx

EIPBx

EIPAxwxwxw pH

cossin


rMxwPdxxwdEI

2

2

02

2

xwPdx

xwdEI HH rpp MxwPdxxwd

EI 2

2

Condicions decontorn (I)

00 xwPMB r

0A0A

01

EIPA

Ferho

Ferho

w

00

xdx

dw 0P0P

x

EIP

PMxw r cos1

Condicions decontorn (II)

x

EIP

PMxw r cos1

w

0Lxdx

dw 0 Lxw

Ferho

?

1cos

LEIP

6,4,2nn

Ferho

Crrega crticadEuler

nLEIP

224LEIPcr

2216LEIP

2n

4n

6,4,2n

Bigaenvoladsw

w

P

xwPxM 22

dxxwdEIM


02

2

PxwPdx

xwdEI

Soluci delproblema

x

EIPBx

EIPAxwxwxw pH cossin


02

2

xwPdx

xwdEI HH PxwP

dxxwd

EI pp 2

2

02

2

PxwPdx

xwdEI

Condicions decontorn (I)w

w

P

00 xw0

0

xdx

dw

B

01

EIPA

Ferho

Ferho

0A0A

0P0P

x

EIPxw cos1

Condicions decontorn (II)

x

EIPxw cos1

w

w

P

LxwFerho

0cos

LEIP

5,3,12

nn

?

2

22

4 LEInP

2

2

4 LEIPcr

Comparaci

22

24LEIPcr 2

1

2

LEIPcr 2

0

2

4 LEIPcr

Longitudefectiva

22

ecr L

EIP

kLLe Condicions de contorn ValordekSimplesimple 1Encastencast 0.5Encastlliure 2Encastsimple 0.7

22

rLE

eCR

Altres condicions complexes

xwKM

wKF x

Mtode alternatiu

Apartirdelequaci deflexi complerta

02

2

2

2

2

2

xwP

dxwdEI

dxd

DxCxEIPBx

EIPAxw

cossin)(

4condicionsdecontorn

0

DCBA

H 0det H

Inestabilitat elsticatema05defectes

[email protected]

Corbatura inicial

2

12

dxxvdEIxM

xwPxM

LxPvxPv

dxxvdEI sin0121

2

Lleidemoments

Eqdequilibri

Lxvxv sin00 xv1

xw

xvxvPxM 10

Soluci delequaci

LxPvxPv

dxxvdEI sin0121

2

Lxv

PLEIx

EIPBx

EIPAxv sin1

1cossin 0221


001 xv 01 Lxv

0BFerho

0A0sin

LEIP nLEI

P ,2,1n

Ferho

Singularitat

Lxv

PPx

EIPAxv

cr

sin

1

1sin 01

Lxvxv sin00

Lxv

Lxv

PPx

EIPAxvxvxw

cr

sinsin

1

1sin 0010

Quan P>Pcr

Excentricitats inicials

xwaPxM 22

dxxwdEIM Llei demoments Eq dequilibri

02

2

PaxwPdx

xwdEI

w

a

axEIPBx

EIPAxw

cossin

xwxwxw pH

Condicions decontorn (I)

00 xw aB Ferho

Ferho

L

EIPtgaA

2

1 0 Lxw

axEIPax

EIPL

EIPtgaxw

cossin2

1

Comprovar quan2

2

LEIPP cr

2

tg

Inestabilitat elsticatema06.Biguescolumna

[email protected]

Flexi primria isecundriaw

22

2

1

xqxqLxM

Llei demoments de1rordre

w

x

2

qL

xwPxM 2Llei demoments de2nordre

xwPxqxqLxMxMxM 22

2

21

Equaci dequilibri

2

2

dxxwdEIxM

022

22

2

xqLxqxwPdx

xwdEI

xwPxqxqLxM 22

2

siguiEIPk 2

Condicions decontorn 0

222

22

2

2

xqLxqPkxwk

dxxwd

2

2 2

2cossin

kLxx

PqxkBxkAxw

00 xw 2PkqB

0 Lxw kLkLPkqA cos1sin2

Soluci alcentrellum (i)

282

2 LxwPLqLxM

1rordre 2nordre

22

2

2

2

2cos

sincos1sin

kLxx

Pqxk

Pkq

xkkLkLPk

qxw

Soluci alcentrellum (ii)

2

22

Lk 22 L

EIPP cr SI

2

2

2

2

2

422cos

2sincos1

sin2

kL

PqLk

Pkq

LkkLkLPk

qLw

2

Lw Lacontribuci desegon ordre esfasingular

SiP>Pcr

M

P

8

2Lq

q creix

2nordre

crP

Carrega crticadEuler

nLEIP

22

LEIPcr

224LEIP

1n

2n

,2,1n

Equilibri enlaconfiguraci deformada

M

S

N

dxdxdNN

dxdxdSS

dxdxdMM

xqzq

dxdxdw

dxd

dxdw

dxdw

0

xx qxwSdxddxdNF

0

zz qxwNdxddxdSF

0 SdxdMM

2

2

dxxvdEIxM 0

2

2

xqdx

wdEIxw

dxd

dxdN

02

2

2

2

zqdx

dwNdxd

dxwdEI

dxd

Soluci general

qdxwdP

dxwdEI

2

2

4

4

00

00

LMM

Lww

0dxdN

Amb condicions decontorn PN 0

Amb condicions decontorn

Introduccial clcul matricial

destructures de [email protected]

Sistema de barres

[ ][ ] [ ]nodesnodesestructura fK =Palau Sant Jordi. Imatge dMC2 Grup Typsa

Construcci de la matriu de rigidesa Importncia de les coordenades

Transformaci de coordenades 1

Punt

[ ]

=

=

''''

''''

yYxYyXxX

YyYxXyXx

T Jacobi

Transformaci de coordenades 2 Vectors

Esforos

=

'

'

cossinsincos

y

x

Y

X

PP

PP

X

Y

xy

PX

PYPYPX

=

'

'

'

1000cossin0sincos

z

y

x

Z

Y

X

MPP

MPP

[ ] [ ][ ]'PTP =

[ ] [ ] [ ]PTP t='

Transformaci de coordenades 3

Matrius de rigidesa

=

j

i

jjji

ijii

j

i

KKKK

PP

=

''

''''

''

j

i

jjji

ijii

j

i

KKKK

PP

[ ] [ ][ ]'iii PTP = [ ] [ ] [ ]itii PTP ='[ ] [ ][ ]'iii T = [ ] [ ] [ ]itii T ='

[ ] [ ][ ]'ijiij KTK =

Ensamblatge Justificaci i metodologia (1-D)

=

2

1

2221

1211

2

1

KKKK

PP

=

3

1

3331

1311

3

1

KKKK

PP

=

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

KKKKKKKKK

PPP 1

2

3

321

Vector de forces externes

Crregues als nusos. En global!

Crregues a les barres

2qLR =

12

2qLM =

1 2

q Fx

Petits detalls Quant val el desplaament?

Coneixem R? Coneixem u1?

=

FR

uu

LEALEALEALEA

2

1

1 2

F

Condicions de contorn

Reducci de lordre del sistema Recolzament tipus rodet Recolzament simple Encastament

Altres condicions: suports elstics, descensos, etc.

Tot s conegut

Resoluci del sistema -> desplaaments Sistema complet -> reaccions Desplaaments en locals -> esforos barra a barra No oblidar els estats encastats !!

=

j

yj

xj

i

yi

xi

j

yj

xj

i

yi

xi

vu

vu

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

MPP

MPP

'''

'''

460

6120

00

260

6120

00

260

6120

00

460

6120

00

'''

'''

2

23

2

23

2

23

2

23

Tema07Mtodes aproximats

[email protected]

Mtode deRayleighRitzGalerkin

Aproximem ladeformadaperunasoluciparametritzada

Avaluem lenergia potencialtotal Exigim unmnim ideterminem lacondici , xwxw

dxxwqdxdxxwdPdx

dxxwdEIVUUVU

LLL

qmff

00

2

0

2

2

2

,,

2

1,

2

1

0 qmf VUU

Qu passa quan tenim moltes barres?

Barragenrica

T1

N1

M1

T2

N2

M2

v1

u1

1

v2

u2

2

v(x)

Campdemoviments

xccxuxu 21 00 1 xuuxu LxuuLxu 2 211 uLxu

Lxxu

342321 xcxcxccxvxv 00 1 xvvxv LxvvLxv 2

LxdxvdLx

dxdv 2 00 1 xdx

vdxdxdv

2223

23

3

2

2

12

32

13

3

2

2 232231

Lx

Lxv

Lx

Lx

Lx

Lxxv

Lx

Lxxv

v1

u11

v2u2

2

Expressions matricials

uxAvu

vu

Lx

Lxxu t

2

2

2

1

1

1

00001

uxCvu

vu

Lx

Lx

Lx

Lx

Lx

Lx

Lx

Lx

dxxvd t

2

2

2

1

1

1

2

2

3

2

22

2

3

2

2

23660

341

660

uxDvu

vu

LLx

Lx

LLLx

Lx

Ldxxvd t

2

2

2

1

1

1

2322322

2 261260

461260

uxBvu

vu

Lx

Lx

Lx

Lx

Lx

Lxx

Lx

Lxxv t

2

2

2

1

1

1

2

2

3

3

3

2

2

2

32

3

3

2

2 230

22310

LLL

mfN dxdxxvdNdx

dxxvdEIdx

dxxudEAUUU

0

2

0

2

2

2

0

2

2

1

2

1

2

1

uxAvu

vu

Lx

Lx

dxxud t

2

2

2

1

1

1

00001

Sistemamatricial

VUUUE mfNtot

L ttL tN dxuxAxAuEAdxuxAEAU00

2

22

L ttL tf dxuxDxDuEIdxuxDEIU00

2

22

L ttL tm dxuxCxCuNdxuxCNU00

2

22

ufV t

uuEu

E tottot 0

0000

fudxxCxCNdxxDxDEIdxxAxAEA L tL tL t

fuKNKge

Matrius peraunabarra

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEA

Ke

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

22

2323

22

2323

152

10103010

1010

15

60101

560

0000003010

10152

1010

101

56010

15

60

000000

LLLL

LLLL

Kg

Condici decrrega crtica

fuKNKge

exemple simplebarra

Siexisteix !soluci tenim unsistemaenequilibri

Lainestabilitat prov delasingularitat enlequilibri 0det ge

KNKcrNN

Anlisi linealdebifurcacihiptesi:lacrrega crticas linealrespectedelescrregues enequilibri

00

fuKNKge

0det 0 ge KNK 0

fPcr

Problemadautovalors generalitzat

Exemple danlisilinealdebifurcaci

en2D

[email protected]@upc.edu

Plantejament delproblema

5m

3m

P

Soluci am

Model declcul

10f

1rMode defallada1=284KN01max

fP

01101fuKNK

ge KNPN cr 16701

1u

Modes superiors

=584KN =1141KN

=1723KN =2560KN

Tema08Seccions [email protected]

Secci mixta(bigaprima)Ei,Ai Agafem unmdul dereferncia 0E

0EEn ii

i

ii AnA*

Propietats mixtes homogenetzades

ii

ii AynAy ** 1

i

ii InI*

Resultats

**0* ,, IAEnii **0* ,, IAEuu

2

*0

2

LIEPcr

Bigues gruixudes aflexi fluxdetensions amb 2mecanismes

Teoria deTimoshenko

dxxdwzzzyxu x ,,

0,, zyxv xwzyxw ,,

campdedesplaaments

xdxdw

Campdedeformacions (strains)

dxdz

dxxdu x

xx

0 yzxyzzyy

dxdw

dxdw

dzdu

xxz

xx

xz

Campdetensions (stress)

dxdEzE xxxxx

llei elstica delmaterial

xxzxz dxdwGG

2

2

dxxwdEzxx

Equaci equilibri Alasecci

dxddAzEdAzM x

A Axx

2 2

2

dxxwdEIM

xA A

xz dxdwdAGdAS

*

Equaci equilibri

EnunallescaM

S

M+dM

S+dS

0S-dx

dM qdx

dS

0Gdx

d *2

2

xx dxdwAEI qG 2

2*

dxd

dxwdA x

q

ProblemadEulerw

dxdEIxM x xwPxM

012

2

*

xw

EIP

dxxwd

GAP

dxdwS

P

N

dxdwPS

xdxdwGAS *

Soluci dEuler 0

1

1

*

2

2

xw

GAPEI

Pdx

xwd 022

2

xwdx

xwd

xBxAxw cossin 2

22

L

*2

22

2

1GAL

EIL

EIPcr

Bigues sandvitx

f

f

c

22

2

2

1

222 bfccbfAdI f

f

Tema09altres inestabilitats

[email protected]

Axialitorsi (uniforme)

dxxdvMxvP

dxxvdEI tzz 2

2

dxxdwMxwP

dxxwdEI tyy 2

2

Mt

P

EIL

PCR 22

0 Suposantigualinrciaenelsdoseixos

EIL

M CRt20

, nodepndelainrciadeTorsi!!!

1

2

00

CR,t

t

CR MM

PP

Bigues desecci prima(axialitorsi)

2

20

2

2

4

4

dxxd

AIP

dxxdGJ

dxxdE

Mdul deguerxesa(alabeo,warping)

Mdul detorsi Inrcia polar

Torsi nouniforme

xvPdx

xvdEIzz 22

2

2

4

4

dxxvdP

dxxvdEIzz

2

2

4

4

dxxwdP

dxxwdEI yy

Bigues desecci prima.Axialitorsi

2

2

, LEIP zzzzCR

2

2

, LEI

P yyyyCR

2

2

0, L

EGJIAPCR

perasecci doblesimtrica

y

z

i

iiebJ3

3

1

biei

zzyy III 0buf

2

20,

LE

GJAIPCR

Vinclament lateral(flexotorsi)

Vinclament lateral(flexotorsi)

02

2

04

4

dx

xdMdx

xwdEI yy

0

2

2

02

2

4

4

dxvdM

dxxdGJ

dxxdE

0,00

0, APIM

MP

CR

yyCR

Singularitat delesequacions dequilibri quan

Moment alextremEp!Sinos uniforme!

21

2

2

0 1

LGJ

EGJEIL

M yy

Extrem amb uniflexible

Extrem amb unirgida

yyIELM 22

0

JIEGL

M yy0

Nooblidar:Vinclament clssic segons eix zz

Vinclament lateral(axialflexotorsi)

2

2

2

2

04

4

dxxvdP

dxxdM

dxxvdEI yy

2

20

2

2

02

2

4

4

dxxd

AIP

dxxvdM

dxxdGJ

dxxdE

0,00 0,

APPIMMPP

CR

yyCR

Singularitat delesequacions dequilibri quan

Nooblidar:Vinclament clssic segons eix zz

Bigues desecci variable

02

2

xPvdx

xvdxEI

ll

T dxdxxdvNdx

dxxvdxEIE

0

2

0

2

2

2

2

1

2

1

Snapthrough

Vinclament inelstic 1

Amb aplicaci progressiva decrrega latensipot augmentar persobredelmit elstic!

steel

Vinclament inelstic 2

Empricament amb perfileria dalumini (1940)

2

2

LIEP tCR

Inestabilitat local(secundria)crippling

Inestabilitatprimria

Inestabilitatsecundria

LongitudefectivaRadi degir

Flangeala

Web nima

Crippling 2

Depn delcontorn deltram

Tema10Teoria deplaquesdeKirchhoff

gruix/longitud

Plaquessotaflexi

X

Y

Z

Comportament intutiu (1)

Comportament intutiu 2

Mx

My

y

x

Campdedesplaaments

Hiptesi EulerBernoulli

xyxwzzzyxu x

,,,

yyxwzzzyxv y

,,, yxwzyxw ,,,

x

X

Z

Campdedeformacions

Dacord amb lesequacions delElasticitat

2

2

xwz

xu

xx

2

2

ywz

yv

yy

yxwz

xv

yu

xy

2

2

0 yzxz yy

xx

xy 0,

zyxw

zz

Campdetensions

Equacions constitutives HookeLam (isotrpic)

yyxxyy E 21

yyxxxx E 21

xyxyxyEG 12

yyxx

xy

Distribuci detensions

My

Mx

Mxy

yyxw

xyxwkzxx 2

002

200

2 ,,

Moments generalitzats 1 Moment deflexi pura

xxM

yyM

2

2

2

2

2

2

2

2

2

32/

2/ 112 yw

xwD

yw

xwEhzM

h

hxxxx

2

2

2

2

2

2

2

2

2

32/

2/ 112 xw

ywD

xw

ywEhzM

h

hyyyy

KNm/m

Moments generalitzats 2

Moments detorsi

yxM

xyM

yx

wDzMMh

hxyyxxy

22/

2/

1

KNm/m

Equaci dequilibri.Forces

0 zF yxq ,yySxxS

dxxSS xxxx

dyyS

S yyyy

0

qyS

xS yyxx

Equaci dequilibri.Rotaci 1

dyyS

S yyyy

dyy

MM yyyy

dxx

MM xyxy

yyM

La parte de imagen con el identificador de relacin rId12 no se encontr en el archivo.

yyS

0

yy

yyxy Sy

Mx

M

00 xM

Equaci dequilibri.Rotaci 2

dxxSS xxyy dx

xMM xxxx

dyy

MM xyxy

xxM

xyMxxS

0

xx

xyxx Sy

Mx

M

00 yM

Equaci deLaplace

2

2

2

2

yw

xwDMxx

2

2

2

2

xw

ywDM yy

yxwDM xy

2

1

qyS

xS yyxx

yM

xMS xyxxxx

yM

xM

S yyxyyy

qyM

yxM

xM yyxyxx

2

22

2

2

2

Dq

yw

yxw

xw

4

4

22

4

4

4

2


Encastada

a

b

Y

X

0,0 yw

0

0,

yxw

0

,

xyaw

0

,

ybxw

0

,0

xyw

00, xw

0, yaw

0, bxw


Simple

a

b

Y

X

0,0 yw 0,0 yM xx

00, xw

0, yaw

0, bxw

0, yaM xx

00, xM yy 0, bxM yy


Vora lliure

0xxM0xyM0xxS

dyy

MM xyxy

xyM

dyy

MMMF xyxyxy

0y

MSR xyxxxx

yM

LF xy

y

Navier,solucions semianaltiques

m n mn byn

axmAyxwyxw sinsin,,


X

Y

b

a qyxq , m n mn b

ynaxmqyxqyxq sinsin,,

a b

a b

mn

dybyndx

axm

dxdybyn

axmyxq

q

0 0

22

0 0

sinsin

sinsin,

Dq

yw

yxw

xw

2

4

4

22

4

4

4

a b

mn dxdybyn

axmyxq

abq

0 0

sinsin,4

2

2

2

2

2

6

2

2

2

2

2

4

16

bn

am

mnDq

bn

am

DqA mnmn

mnqqmn 2

16

m,n=1,3,5..

Solucions deLevyNadai

Vores oposades amb suports simples

m m axmyYyxwyxw sin,,

X

Y

Condicions decontornsobrelafunci Ym

Plaquescirculars

Canvi delsistemadecoordenades

Simetria derevoluci

Dqw 22

2

2

2

2

22 11

zww

rrwr

rrw

Dq

drrdwr

drd

rdrdr

drd

r

11

Soluci analtica

Soluci generalperalproblemasimtric

42

3

2

21

4

1ln242

ln64

CrrCrCrCD

qrrw

Condicionsdecontorn

Principis energtics

Condici dEulerEquacions dequilibri

Energia potencial mnima

Condici dextremalPrincipi dels treballs virtuals

dAutdVuuuEVV

:2

1

dAutdVVV

:Dqw 22

0 uE

Energia

yxwz

ywz

yv

xwz

xu

xy

x

x

2

2

2

2

2

2

xyxyxy

xyy

yxx

)(EG

E

E

12

1

1

2

2

dxdyyxw

yw

xw

yw

xwDdU f

22

2

2

2

22

2

2

2

2

122

Per a flexi pura Mxy=0 dxdyyw

xw

yw

xwDdU f

2

2

2

22

2

22

2

2

22

v

f dxdydzU t

2

1

dxdyyxwqdV ),(

dVdUdE f

ProblemadeNavier segons lenergia m n mn b

ynaxmAyxwyxw sinsin,,

dxdyyxw

yw

xw

yw

xwDU

Af

22

2

2

2

22

2

2

2

2 12

2

dxdyyxwqVA ),(

5,3,1,2

2

5,3,1,2

2

2

242 4

42 nmmn

nmmnf mn

abAqbn

amabADVU

0

4

4 2

2

2

2

2

24

mnabq

bn

amabDA

AVU

mnmn

f

2

2

2

2

2

6

16

bn

am

mnDqAmn m,n=1,3,5..

Ms enll deleslimitacions

Geometria noregularicondicions decontorncomplexes

Solucions numriques:

Mtode delements finits

Diferncies finites

dAutdVVV

:

Dq

yw

yxw

xw

4

4

22

4

4

4

2

Tema 11Inestabilitat de plaques primes

[email protected]

Esforos de membrana

Crreges en el pla

yyN

xxNxyN

Membrana en equilibri

Equilibri OY

1cos

0

yN

xN yxx

0

dydxx

Ndxdy

yN

F xyyy

0

xN

yN xyy

Id. amb OX

Y

X

Z

dyyN

N yy

dxx

NN xyxy

xyN

yN

yN

dyyN

N yy

yw

dyyw

yyw

dyNdydxxN

NywdxN

dyyw

yywdxdy

yN

NF

xyxy

xyy

yyy

cos

cos

Membrana i flexi desacoblada

Per a esforos de membrana petits i amb petites deformacions i desplaamentsles configuracions original i deformada coincideixen

Problema desacoblat

0

0

xN

yN

yN

xN

xyy

xyx

Dq

yw

yxw

xw

4

4

22

4

4

4

2

membranaflexi

d

Crregues adicionals La corbatura deformada produeix esforos

addicionals Nx contribuci

A ms: Ny i Nxy=Nyx

dxdyxw

xdx

xN

xwdxdy

xNdxdy

xw

xN xxx

xwdyNdx

xw

xxwdydx

xNN xxx sinsin

dydxxw

yN

dydxyxwNdydx

yw

xN

dydxyw

yN

dxdyywNdydx

xw

xNdxdy

xwNF

yxxy

xy

yy

xxz

2

2

2

2

2

2

dxdyyxwN

ywN

xwNF xyyxz

22222 2

Equaci dequilibri de flexi

Petita corbatura inicial

yxwN

ywN

xwNq xyyxN

2

2

2

2

2

2

D

wqqw N 22

D

wqwqqyxw NN 022 , 0w

Navier, soluci semi-analtica

m n mn byn

axmAyxwyxw sinsin,,

Boundary conditions

...5,3,1 ...5,3,1

2sinsin

16,,

m n byn

axm

mnqyxqyxq

yyxwNyxq

Dyw

yxw

xw

y 2

2

4

4

22

4

4

4 ),(,

12

X

Y

b

a qyxq ,Ny

...5,3,1 ...5,3,1

22

22

2

2

2

26

sinsin116

,m n y

byn

axm

DbnN

bn

ammn

Dqyxw

Energia de deformaci de flexi

yxwz

ywz

yv

xwz

xu

xy

yy

xx

2

2

2

2

2

2

xyxyxy

xyyy

yxxx

EG

E

E

)1(2

1

1

2

2

dxdyyxw

yw

xw

yw

xwDdxdydU f

22

2

2

2

22

2

2

2

2

1222

1 t

Per a flexi pura, el torsor Mxy=0

dxdyyw

xw

yw

xwDdU f

2

2

2

22

2

22

2

2

22

Plantejament en energia

dxxw

xwdxds

22

2

111

22 dwdxds

'

0

2'

'

0

2

2

1

2

11

LL

dxxwLdx

xwL

LL

dxxwdx

xwLL

0

2'

0

2

2

1

2

1'

dyNdV x

dsdw

dx

L

L

dyNx dyNx

dydxxwNdV

L

ox

2

2

1

Energia potencial de membrana

dxdyxwNdV xx

2

2

1

dxdyywNdV yy

2

2

1

dxdyyw

xwNdV xyxy

dxdyyw

xwN

ywN

xwNV

Axyyx

2

2

122

Inestabilitat de plaques 1

a b xfT dVdUE0 0

1 1m nmn b

ynsinaxmsinAw

2222

2

2

2

22

4

88 mnxmnmnTAmN

ab

bn

amAabDAE

0

mn

T

AE

No depn de q

mNNxY

X

a

b2

2

2

2

2

2

22

bn

am

mDaNx

Inestabilitat de plaques 2per a n=1, menor valor

2

2

2

22

bDk

bD

mba

ambNCR

m

m bysin

axmsinAw 1

m=1m=2

Inestabilitat en plaquesEn tensions

2

22

22

112'

bhKE

bEhKCR

Inestabilitat per tallant

Inestabilitat inelstica

Factor plstic de correcci

2

bhKECR

Inestabilitat en cilindres

RhE.CR 6060

Degut a les imperfeccions s menor !

Inestabilitat en cilindres

Panells reforatsstiffened - thin skin stringer

Elements longitudinals de refor

Pell thin plate or shell

Elements transversals

Panell reforat 2

Skin buckling

Torsional instability

Flexural buckling

Panell reforat 3

Inter-rivet instability

Flexural-torsionalbuckling

Wrinkling instability

tema01tema02tema03tema04tema05tema0602MatricialIntroducci al clcul matricial destructures de barresSistema de barresConstrucci de la matriu de rigidesaTransformaci de coordenades 1Transformaci de coordenades 2Transformaci de coordenades 3EnsamblatgeVector de forces externesPetits detallsCondicions de contornTot s conegutNmero de diapositiva 12

tema07tema08tema09tema10tema11

totinestabilitat.pdf

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