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Arturo Quirantes Sierra - Apuntes de Física 1

Arturo Quirantes Sierra - Apuntes de Física

TEORÍA DE ERRORES

Cuando se mide una cantidad, ya directa, ya indirectamente, la medida que se obtiene noes necesariamente el valor exacto de tal medida, ya que el resultado obtenido estará afectado porerrores debidos a multitud de factores. Algo en apariencia tan sencillo como cronometrar elperíodo del péndulo en el apartado anterior sufrirá errores debidos a la precisión del cronómetro,los reflejos del cronometrador, las corrientes de aire, el número de medidas efectuadas ... erroresque se propagarán a cualquier cantidad derivada de ésta que queramos determinar, como porejemplo velocidad o aceleración.

En estos casos es necesario estimar el error cometido al efectuar una medida o serie demedidas. El conjunto de reglas matemáticas dedicado a su estudio se conoce como teoría deerrores, y resulta imprescindible tanto para sacar todo el partido posible a un conjunto de datosexperimentales como para evaluar la fiabilidad de éstos. El estudio de la teoría de errores es unarama aparte de la matemática por derecho propio, y por su extensión no se desarrollará aquí. Ellector queda avisado de que lo que sigue es tan sólo un conjunto rápido y necesariamente brevede las reglas fundamentales más usadas en el ámbito de la teoría de errores.

1 - Nociones previas.

Si se efectúa una medida directa de una cantidad física, el valor medido x por lo generaldiferirá del valor exacto xo. Se denomina error absoluto de la medida a la diferencia g = x-xo yerror relativo al cociente g/xo. El error relativo resulta especialmente relevante porque nosrelaciona el error cometido con el valor de lo medido. Un error de 1 mm resulta magnífico si semide la longitud de una carretera de 100 km (representa una desviación de una parte por cada100.000.000), adecuado si se mide una mesa de 2 m e inaceptable si se mide una hormiga de 2mm. En los tres casos el error absoluto es el mismo, pero su cercanía relativa al valor exacto sondistintas.

Por lo general, el valor de una medida se da estimando su valor más probable x y su error,)x. Escribir x±)x significa que cabe esperar razonablemente que el valor exacto de la cantidadvalga cualquier cantidad entre x-)x y x+)x, con x como valor más probable. La traducción de"cabe esperar razonablemente" al lenguaje matemático queda fuera del presente desarrollo.

Existen dos tipos de errores: sistemáticos y accidentales. Los primeros actúan siemprede la misma forma para influir en la medida (por ejemplo, una balanza desajustada que tiendea marcar una masa 10 gr. superior a la real). Estas medidas, si se producen, producen un errorconstante. Por contra, los errores accidentales son de carácter aleatorio, lo que presupone queactúan con la misma frecuencia tanto con un signo como con el opuesto (esto es, se tiene igualprobabilidad de obtener una medida 5 gr. superior al valor real como de obtenerla 5 gr. pordebajo).

Teoría de errores 2

No se puede conocer el valor exacto de una cantidad, puesto que siempre existen errores;tampoco se puede conocer el valor exacto de un error, puesto que dependen de procesosaleatorios y generalmente incontrolables (aparte de ser una contradicción en sus propiostérminos). Sin embargo, es preciso dar un valor de la medida con su error. La Teoría de Erroresdeduce ciertas reglas para ello.

2 - Errores asociados a una medida.

a) Medidas directas. Redondeo.

Supóngase que se efectúa una evaluación directa de una cantidad, x. Se suele en este casotomar el propio valor de x como medición de dicha cantidad. Como error se supone lasensibilidad del aparato utilizado en la medición, esto es, el valor mínimo que el aparato es capazde medir. Esto presupone implícitamente que los errores accidentales están fuera de nuestramanipulación, ya sea porque los hayamos eliminados, ya porque seamos ignorantes de suexistencia, de manera que los únicos errores que aparecen son los de tipo aleatorio.

El error en sí es algo aproximado. Dar un valor de 24.5±0.3 mm. significa esperar queel valor verdadero sea alguna cantidad entre 24.2 y 24.8 mm. Pero dar 24.500±0.302 mm. es lomismo que decir que el valor exacto ha de estar entre 24.198 y 25.802 mm; no resulta razonable,ya que "ha de estar entre" no tiene una seguridad absoluta, sino tan sólo una cierta probabilidad.Por ello, tanto el error como el valor más probable vienen redondeados convenientemente.

Para el error, se supone que basta con dar una, a veces dos, cifras significativas (es decir,cifras que dan información relevante). Los criterios habituales son los siguientes:

- Si las dos primeras cifras significativas son inferiores a 25, se toman dichas cifras parael error. De no ser así, se toma solamente una cifra. Según eso, el error 0.113 quedaconvertido en 0.11, y el 6488.24 se transforma en 6000- Si la primera cifra que se descarta es un cinco o más, la última cifra que se guarda seaumenta en una unidad. Esto es, el valor 0.362 se convierte en 0.4 y no en 0.3- Una vez redondeado convenientemente el error, el valor de la medida se redondea hastala misma cifra decimal.

Véanse unos cuantos ejemplos:

Medida Error Resultado final

464.2413 0.061 464.24±0.06

6.03 0.0005 6.0300±0.0005

46288 1553 46300±1600

3.218 0.124 3.2±0.1

0.018366 0.00783 0.018±0.008


b) Medidas indirectas. Propagación de errores.

A veces no se mide una cantidad directamente, sino por relación con otras cantidades.Para medir, por ejemplo, el área de un rectángulo se miden sus lados a,b y se hace uso de larelación S=ab. Si tanto a como b tienen sus cotas de error, evidentemente también la superficievendrá afectada de error. Cómo depende el error de una cantidad derivada de las medidas yerrores fundamentales viene dado mediante la teoría de la propagación de errores.

Para ello se utiliza el cálculo diferencial. Sea y una función que depende de las variablesindependientes x1, x2...xn. Se puede obtener el valor del diferencial de la función y a partir de losdiferenciales de las variables xi por medio de derivadas parciales:

dy' MyMx1

dx1%MyMx2

dx2%...% MyMxn

dxn

En nuestro caso, y la función que nos da la cantidad medida indirectamente a partir de lasmedidas directas de las cantidades x1...xn (en rigor, xi es cualquier parámetro, variable o no, quevenga dado con un margen de error; el número pi, por ejemplo, sería uno de ellos, ya que nuncase conoce con una exactitud infinita, si bien en estos casos se supone que se conoce con unnúmero de cifras decimales tal que el redondeo debido a despreciar las demás cifras esdespreciable). Si los errores son lo suficientemente pequeños, podemos considerarlos comodiferenciales, ya que estos pueden interpretarse como variaciones infinitesimales. La ecuaciónque nos da el error de y, )y, es entonces:

)y' MyMx1

)x1%MyMx2

)x2%...% MyMxn

)xn

Es posible que algunos de los términos que acompañan a los errores )xi sean positivoso otros sean negativos, en cuyo caso podría resultar que algunos errores cancelen a otros (porejemplo, que la base del rectángulo sea mayor y la altura menor que sus respectivos valoresreales). Sin embargo, los errores pueden ser tanto por exceso como por defecto, por lo que hayque considerar la posibilidad de que en el peor de los casos los errores se sumen de manera queno sólo no se anulen, sino que se refuerzen. Para evitarlo, se considera que las derivadasparciales aparecen en valor absoluto:

Veamos un ejemplo. Supongamos que se mide el radio r y la altura h de un cilindro,obteniendo un volumen V=Br2h. En tal caso, y=V, x1=r, x2=h y se tendría:

)V' MVMr

)r% MVMh

)h'2Brh)r%Br 2)h

Si r = 12.6±0.3 mm, h = 35.12±0.06 mm obtendremos:

)V'[email protected]@[email protected]@0.3mm%3.1516@(12.6mm)[email protected]'834.1155mm 3%29.9256mm 3'864.04102mm 3

Vemos que la parte de error correspondiente a )r es mucho mayor que la de )h, lo quesignifica que para reducir el error del volumen es mucho más eficaz reducir el error en la


determinación del radio que en la de la altura. Finalmente, el volumen es V=17516.425 mm3,lo que tras los redondeos oportunos queda como:

V'(17500±900)mm 3

3 - Errores asociados a un conjunto de medidas.

a) Valor de la medida y error asociado.

Resulta práctica habitual realizar varias medidas de una cantidad. Ello permite preveniren la medida de lo posible los errores accidentales. La idea consiste en suponer (más bien confiaren) que dos errores del mismo valor absoluto, pero de signo contrario, tienen la mismafrecuencia. Esto, es, si la medida exacta de la longitud de un objeto es 12.52 m, se tiene igualprobabilidad de medir 12.55 m que de medir 12.49 m. Si se cumplen esta y otras condicionesdeterminadas, se puede aplicar la llamada estadística de Gauss, algunos de cuyos resultados semuestran a continuación.

Supongamos un conjunto de N medidas x1, x2,... xn obtenidas para una cantidad cuyo valorexacto es x. Para dar un valor representativo del conjunto, se toma el valor medio de dichasmedidas, xo:

xo'x1%x2%...xN

N/ 1

NjN

i'1xi

A cualquier medida xi se le adjudica un error gi igual a la diferencia entre dicha mediday el valor medio (que ahora se toma como exacto): gi = xi - xo. ¿Cuál es, entonces, el errorasociado al conjunto de medidas? Puede hacerse un primer intento y definir el error medio comoel valor medio de los errores (su suma dividida por N); sin embargo, se demuestra fácilmente quedicha cantidad es nula sea cuales sean los valores xi:

go'1Nj

N

i'1gi'

1Nj

N

i'1(xi&xo)'

1Nj

N

i'1xi&

1N

Nxo'xo&xo'0

Este resultado, paradójico en apariencia, no es más que un reflejo del significado deltérmino valor medio. Pare evitarlo, y puesto que los errores pueden serlo por defecto o pordefecto, a veces se define el error medio Fm como la media aritmética de los valores absolutosde los errores:

Fm'

jN

i'1*gi*

N

En la práctica se usa más que el error medio el llamado error probable, que es un errortal que la probabilidad de cometer un error superior a él, en valor absoluto, valga 1/2. Esto es,la mitad de las veces que se efectúe una medida se obtendrá un error inferior en valor absolutoal error probable. Esto se debe a motivos estadísticos, pero aquí se hará una deducción intuitiva.


Dicha deducción se base en el siguiente razonamiento: puesto que el valor medio de loserrores sale cero porque dichos errores tienen signo (los valores medidos están por encima o pordebajo del valor medio), eliminemos el signo. Ya se hizo en la ecuación anterior por medio deun valor absoluto. Sin embargo, la función valor absoluto es engorrosa desde el punto de vistaanalítico. Existe otra manera de convertir cualquier número real en un valor positivo: elevándoloal cuadrado. Así que podríamos usar como error del conjunto de medidas el valor medio de loscuadrados de los errores:

FN'

jN

i'1g2

i

N

Sin embargo, en el proceso hemos reducido artificialmente el error, ya que cada error gi,ya pequeño de por sí, ha sido elevado al cuadrado. El arreglo es inmediato: si hemos elevado alcuadrado, saquemos la raíz cuadrada para compensar:

FN'1Nj

N

i'1g2

i'1Nj

N

i'1(xi&xo)

2

Esta cantidad, que se puede obtener mediante la estadística de Gauss por procedimientosmás rigurosos, es el llamado error cuadrático medio, y es el que habitualmente da como errorde un conjunto de medidas siempre que éste no sea inferior al error instrumental, esto es, al errormínimo imputable a la sensibilidad del aparato (mínima marca en una regla, menor intensidadmensurable en un amperímetro, etc). De lo contrario, un conjunto de medidas tales como: 10.0,10.0, 10.1, 10.0, 10.0 mm medidos con una regla milimetrada hasta 0.1 mm arrojaría un valorde 10.02 ± 0.04 mm, lo cual no es lógico estadísticamente hablando: con el aumento del númerode medidas aumenta la verosimilitud, pero no el número de cifras decimales del resultado. Elerror cuadrático medio asociado a N medidas se designa como FN, y así suele venir indicado enlas calculadoras científicas.

Si se desea afinar más la estadística del sistema, se define el error de manera diferente.Esto se debe a que la expresión anterior es válida solamente si xo fuese el valor exacto de lamedida; como no lo conocemos, hemos de sustituirlo por el valor medio. Ello puede dardiscrepancias no despreciables cuando el número de medidas N es pequeño. Para el caso límiteN=1, suponer que la única medida tomada coincide con el valor exacto nos induciría a llegar ala absurda conclusión de que el error cuadrático de dicha observación es nulo. Si se admite queel conjunto de N medidas sigue la llamada ley de Gauss, puede demostrarse que al usar el valormedio en lugar del valor exacto, la ley correcta tiene la expresión:

FN&1'

jN

i'1g2

i

N(N&1)'

jN

i'1(xi&xo)

2

N(N&1)

Puede verse fácilmente que el cociente entre las dos cantidades es igual a la raíz cuadradade (N-1)/N, cantidad que tiende a la unidad para valores de N crecientes. En la práctica, dichadiferencia resulta poco relevante, ya que la operación de redondeo borra las diferencias entreambos errores. Para el conjunto de datos (51.00, 51.00, 51.50, 52.5, 52.0, 50.50, 53.50), se


obtiene xo=51.71428..., FN=0.95831... y FN-1=1.035099... Sea cual sea el error que se considere,los datos arrojarían un valor final de 52 ± 1 (nunca hay que olvidar que cualquier valor de errorque se de será simplemente una estimación del error probable, nunca un valor exacto de tal error).

En la práctica, habida cuenta de la escasa diferencia entre ambos errores, se suele darcomo resultado de un conjunto de medidas el valor medio xo y el error cuadrático medio FN (ano ser que FN sea menor que el error instrumental del aparato de medida, en cuyo caso se tomaráéste último). Únicamente tiene interés para nosotros emplear FN-1 cuando el número de medidasno es muy grande y estamos interesados en obtener información estadística más completa delsistema.

b) Número de medidas

Si se hacen pocas determinaciones, el valor obtenido para la cantidad medida podrá estarafectado por importantes errores; si se efectúan demasiadas medidas, se está derrochandoesfuerzo sin obtener mejoras sustanciales en precisión. En general, el valor del error asociadoa un conjunto de medidas decrece de manera proporcional a la raíz cuadrada del número total demedidas. Es decir, el error asociado a 500 medidas es del orden de diez veces menor que eldebido a solamente cinco medidas. Es evidente, no obstante, que no se puede esperar unareducción del error a valores arbitrariamente pequeños aumentando el número de medidas, ya quetoparemos en última instancia con errores sistemáticos, límites en la sensibilidad del instrumento,etc; de manera que con una regla dividida en milímetros no se puede apreciar más allá delmilímetro, independientemente del número de medidas efectuado.

¿Cuál es el número de medidas adecuado para una observación estadísticamentesignificativa? Descartados los casos en que, por las características del experimento, solamentese pueda obtener una medición, el mínimo número de medidas admisible es de tres, ya que sihacemos una sola medida cabe la duda de saber si éste resultado es el verdadero, y si hacemosdos resulta arbitrario seleccionar entre ellas (¿está el valor exacto en un término medio, o hay unamedida afectada de error accidental y otra no?). El procedimiento recomendado aquí (no el úniconi, necesariamente, el mejor) es el siguiente:

a) Se calcula la dispersión D, que es la diferencia entre los valores extremos (mayor ymenor) de las medidas realizadas.

b) Si la dispersión es igual o menor que el error instrumental, es dicho error el quefigurará como error del conjunto de medidas.

c) Si la dispersión es mayor que el error instrumental, se calcula la tasa de dispersión Td,que no es sino la dispersión relativa (respecto al valor medio) en tantos por ciento:

Td'100@D

xo


Según sea el valor de Td se elige el número de medidas a realizar (la siguiente tabla esorientativa):

Td Nº medidas.

menor del 2% bastan con las tres medidasentre 2% y 8% se toman 6 medidasentre 8% y 15% se toman 15 medidasmayor del 15% se toman 50 medidas (mínimo)

Por lo general, si la tasa de desviación es superior al 15% se suele descartar el conjuntode medidas y repetir el experimento de manera más cuidadosa y procurando minimizar cualquiertipo de error (aparatos más sensibles, muestras aisladas de las vibraciones, etc). En caso de queel carácter del experimento haga que las medidas difieran de modo natural entre sí, se efectuaráun conjunto elevado de mediciones.

4 - Regresión lineal: mínimos cuadrados.

En un experimento típico, se cambia el valor de una variable independiente X paraobservar el comportamiento de otra variable Y dependiente de la anterior; por ejemplo, el cambiode la densidad del agua (Y) con la temperatura (X). Cuando hacemos una representación gráficaY(X) (Y en el eje vertical de ordenadas y X en el eje horizontal de abscisas), la curva obtenidatendrá una forma dada. En el laboratorio, al reproducir un experimento de este tipo,obtendríamos una gráfica idéntica a la arrojada por la teoría. sin embargo, la existencia demuchas fuentes de indeterminación (no sólo errores sino también las simplificaciones hechas enla propia teoría, influencias de otros factores, etc) hacen que los datos experimentales nocoincidan exactamente con la curva teórica, sino que tiendan a disponerse alrededor de ésta.Surge entonces la pregunta de qué curva "ajusta" mejor los datos experimentales. Con "ajusta"se quiere decir, no que la curva pase exactamente por todos los puntos experimentales, sino quetienda a estar lo más cerca posible de todos ellos en conjunto.

El ajuste de datos experimentales a curvas es extremadamente importante, no sólo parapoder comparar con la teoría, sino incluso para poder establecer la validez o no de la mismateoría. El caso general es complejo y laborioso, así que nos limitaremos a una curva en la quela dependencia entre X e Y es de tipo lineal (si se duplica X, se duplica Y).

Supongamos que para cada valor Xi de la variable independiente se obtiene un valor Yi

de la variable dependiente (aquí los subíndices i denotan distintos valores de X e Y, y no guardanrelación alguna con los valores de una misma cantidad utilizados en el apartado 6.3). Elproblema consiste en encontrar una curva del tipo Y = a + bX, (una recta, en este caso) que ajustemejor el conjunto de datos; en concreto, se buscan los valores de a y b tales que la suma dedistancias entre la recta y todos los puntos experimentales sea mínima.

Se puede demostrar, minimizando dicha suma de distancias, que los valores a y b que nosdan el mejor ajuste vienen dados por las siguientes expresiones:


a'j Yi@j (Xi)2 & j Xi@j (XiYi)

Nj (Xi)2 & (j Xi)

2

b'Nj (XiYi) & j Xi@j Yi

Nj (Xi)2&(j Xi)

2

Cuando se quiere conocer la validez o bondad del ajuste, o cuando se tienen dudas sobresi la relación X-Y es lineal, se acude al coeficiente de correlación lineal (C.C.L.), descrito con laletra r, definido como:

r' j (XiYi)

j (Yi)2@j (Xi)

2

El valor absoluto de r nos indica lo bien que los puntos experimentales ajustan a la curvateórica. Si *r*=1, el ajuste es perfecto; un valor *r*=0.95 nos indica un buen ajuste; unvalor de *r* inferior a 0.85 no resulta apenas aceptable.

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