(toán cao c§p 2 - gi£i tích) lê phươngdocgate.com/phuongle/teaching/gt/handout/c4.pdf ·...
TRANSCRIPT
4. Tích phân của hàm số 1 biến số(Toán cao cấp 2 - Giải tích)
Lê Phương
Bộ môn Toán kinh tếĐại học Ngân hàng TP. Hồ Chí Minh
Homepage: http://docgate.com/phuongle
Nội dung
1 Tích phân bất địnhĐịnh nghĩa và tính chấtPhương pháp tính
Các tích phân thường gặpPhương pháp đổi biếnPhương pháp tích phân từng phầnTích phân của hàm hữu tỷ
2 Tích phân xác địnhĐịnh nghĩa và tính chấtPhương pháp tính
3 Tích phân suy rộngĐịnh nghĩa và tính chấtPhương pháp tính
Tích phân bất định
Nguyên hàmHàm số F được gọi là nguyên hàm của hàm số f trong (a,b) nếu Fliên tục, có đạo hàm tại mọi x ∈ (a,b) và F ′(x) = f (x).
Định lýHai nguyên hàm của cùng một hàm số f sai khác nhau một hằng số.
Tích phân bất địnhTập hợp tất cả các nguyên hàm của f được gọi là tích phân bất địnhcủa f , ký hiệu
∫f (x) dx .∫
f (x) dx = F (x) + C.
Tích phân bất định
Tính chất của tích phân bất định
1 Tuyến tính:∫(αf (x) + βg(x)) dx = α
∫f (x) dx + β
∫g(x) dx
với α, β ∈ R.2 Đạo hàm của tích phân:(∫
f (x) dx)′
= f (x).
3 Tích phân của đạo hàm:∫f ′(x) dx = f (x) + C
nếu f là hàm số khả vi.
Tích phân bất định
Các tích phân thường gặp
1
∫xα dx =
{xα+1/(α + 1) + C, nếu α 6= −1ln |x |+ C, nếu α = −1
2
∫ax dx =
ax
ln a + C.
3
∫sin x dx = − cos x + C.
4
∫cos x dx = sin x + C.
5
∫ dxcos2 x = tan x + C.
6
∫ dxsin2 x
= − cot x + C.
7
∫ dxx2 + a2 =
1a arctan
xa + C với a 6= 0.
Tích phân bất định
Phương pháp đổi biếnNếu ϕ là một hàm số khả vi thì∫
f (ϕ(x))ϕ′(x) dx =
∫f (t) dt
∣∣∣∣t=ϕ(x)
Áp dụng khi hàm cần tính tích phân có chứa hàm hợp.
Ví dụ 1. Tính∫
xex2dx .
Giải. Đặt t = x2, ta có dt = 2x dx .∫xex2
dx =
∫ et
2dt =
et
2+ C =
ex2
2+ C.
Ví dụ 2. Tính∫
tan x dx .
Giải. Đặt t = cos x , ta có dt = − sin x dx .∫tan x dx =
∫sin xcos x dx = −
∫ dtt = − ln |t |+ C = − ln | cos x |+ C.
Tích phân bất địnhPhương pháp tích phân từng phầnNếu u, v là các hàm số khả vi thì∫
u dv = uv −∫
v du
Ví dụ 1. Tính∫
xex dx .
Giải. Đặt{
u = xdv = exdx ⇒
{du = dxv = ex∫
xex dx = xex −∫
exdx = ex (x − 1) + C.
Ví dụ 2. Tính∫
ln x dx .
Giải. Đặt{
u = ln xdv = dx ⇒
{du =
dxx
v = x∫ln x dx = x ln x −
∫dx = x(ln x − 1) + C.
Tích phân của hàm hữu tỷ
Bài toánCho P,Q là các đa thức với hệ số thực. Tính tích phân∫ P(x)
Q(x)dx .
Bước 1. Chia tử cho mẫu, đưa về tích phân phân thức đúng
P(x)
Q(x)= M(x) +
R(x)
Q(x).
Ví dụ. ∫2x3
x2 − 1dx =
∫ (2x +
2xx2 − 1
)dx .
Tích phân của hàm hữu tỷ
Bước 2. Phân tích mẫu thức thành nhân tử
Q(x) = (x − a1)s1 · · · (x − am)sm · (x2 + p1x + q1)t1 · · · (x2 + pnx + qn)tn
trong đó các phương trình x2 + pix + qi = 0 (i = 1,2, . . . ,n) đều vônghiệm (do đó p2
i − 4qi < 0).
Ví dụ 1. ∫2x
x2 − 1dx =
∫2x
(x − 1)(x + 1)dx .
Ví dụ 2. ∫ xx4 − 1
dx =
∫ x(x − 1)(x + 1)(x2 + 1)
dx .
Ví dụ 3. ∫ x + 2x3 − 2x2 + x dx =
∫ x + 2x(x − 1)2 dx .
Tích phân của hàm hữu tỷBước 3. Phân tích phân thức thành tổng của các phân thức đơn giảnhơn có mẫu thức là lũy thừa của một thừa số bậc nhất hoặc bậc hai
R(x)
Q(x)=
m∑i=1
si∑j=1
Aij
(x − ai )j +n∑
i=1
ti∑j=1
Bijx + Cij
(x2 + pix + qi )j .
Các hệ số Aij ,Bij ,Cij tìm được bằng cách quy đồng, đồng nhất hệ sốở 2 vế.
Ví dụ 1. ∫2x
(x − 1)(x + 1)dx =
∫ ( Ax − 1
+B
x + 1
)dx .
Cần tìm A,B thỏa2x
(x − 1)(x + 1)=
Ax − 1
+B
x + 1⇔ 2x =
(A + B)x + (A− B)⇔{
A + B = 2A− B = 0 ⇔ A = B = 1. Vậy∫
2x(x − 1)(x + 1)
dx =
∫ (1
x − 1+
1x + 1
)dx = ln |x2 − 1|+ C.
Tích phân của hàm hữu tỷ
Ví dụ 2. Để tính∫
2x + 1(x − 1)2(x2 + 1)
dx ta phân tích
2x + 1(x − 1)2(x2 + 1)
=A
x − 1+
B(x − 1)2 +
Cx + Dx2 + 1
.
Ví dụ 3. Để tính∫ x2 − 5
x(x − 1)(x2 + 4)2 dx ta phân tích
x2 − 5x(x − 1)(x2 + 4)2 =
Ax +
Bx − 1
+Cx + Dx2 + 4
+Ex + F
(x2 + 4)2 .
Tích phân của hàm hữu tỷBước 4. Các tích phân của 2 loại phân thức trong bước 3 được xácđịnh như sau
1
∫ A(x − a)k dx =
∫A(x − a)−k dx = A ln |x − a|+ C, nếu k = 1
A(1− k)(x − a)k−1 + C, nếu k > 1
2
∫ mx + n(x2 + px + q)k dx
=m2
∫2x + p
(x2 + px + q)k dx +(
n − mp2
)∫ dx(x2 + px + q)k
=m2
∫ d(x2 + px + q)
(x2 + px + q)k +(
n − mp2
)∫ d(x + p
2
)((x + p
2
)2+ (q − p2
4 ))k
=m2
∫ d(x2 + px + q)
(x2 + px + q)k +(
n − mp2
)∫ dy(y2 + a2)
k
với y = x +p2
và a =
√q − p2
4.
Tích phân của hàm hữu tỷ
Hai dạng tích phân cuối được tính tiếp như sau
1
∫ d(x2 + px + q)
(x2 + px + q)k = ln |x2 + px + q|+ C, nếu k = 11
(1− k)(x2 + px + q)k−1 + C, nếu k > 1
2
∫ dx(x2 + a2)k = Ik với
I1 =1a arctan
xa + C
và Ik được xác định theo công thức truy hồi
Ik+1 =1
2ka2
(x
(x2 + a2)k + (2k − 1)Ik)
với mọi k ≥ 1.
Tích phân của hàm hữu tỷ
Ví dụ 1.∫ dx
(x − 2)3 =
∫(x − 2)−3 d(x − 2) =
−12(x − 2)2 + C.
Ví dụ 2.∫ dx
x2 + 2x + 5=
∫ dx(x + 1)2 + 22 =
∫ d(x + 1)
(x + 1)2 + 22 =
12
arctanx2
+ C.
Ví dụ 3.∫
(x + 4)dx(x − 2)(x + 1)
=
∫ (2
x − 2− 1
x + 1
)dx =
2 ln |x − 2| − ln |x + 1|+ C = ln(x − 2)2
|x + 1|+ C.
Tích phân của hàm hữu tỷ
Ví dụ 4.∫2x3 + x2 + 5x + 1
(x2 + 3)(x2 − x + 1)dx
=
∫ (1
x2 + 3+
2xx2 − x + 1
)dx
=
∫ (1
x2 + 3+
2x − 1x2 − x + 1
+1
x2 − x + 1
)dx
=
∫ (1
x2 + 3+
2x − 1x2 − x + 1
+1(
x − 12
)2+ 3
4
)dx
=1√3
arctanx√3
+ ln(x2 − x + 1) +2√3
arctan2x − 1√
3+ C.
Tích phân xác định
Định nghĩaCho hàm số f xác định trên [a,b]. Chia đoạn [a,b] thành n đoạn bởicác điểm chia a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b. Trên mỗi đoạnchọn x∗i ∈ [xi−1, xi ] và đặt ∆ = max
1≤i≤n|xi − xi−1|.Nếu giới hạn
I = lim∆→0
n∑i=1
f (x∗i )(xi − xi−1)
tồn tại và không phụ thuộc vào cách chia và cách chọn các điểm x∗ithì I được gọi là tích phân xác định của f trên đoạn [a,b], kí hiệu∫ b
a f (x) dx .
Khi đó f được gọi là khả tích trên [a,b].
Tích phân xác định
Tính chất1 Tuyến tính:∫ b
a(αf (x) + βg(x)) dx = α
∫ b
af (x) dx + β
∫ b
ag(x) dx .
2 Nối cận: ∫ b
af (x) dx =
∫ c
af (x) dx +
∫ b
cf (x) dx .
3 Đạo hàm tích phân theo cận trên:(∫ ϕ(x)
af (t) dt
)′= f (ϕ(x))ϕ′(x).
Tích phân xác địnhCông thức Newton - LeibnitzNếu f liên tục trên [a,b] thì với mọi nguyên hàm F của f ta có∫ b
af (x) dx = F (x)|ba = F (b)− F (a).
Phương pháp đổi biếnNếu ϕ là một hàm số khả vi thì∫ b
af (ϕ(x))ϕ′(x) dx =
∫ ϕ(b)
ϕ(a)
f (t) dt .
Phương pháp tích phân từng phầnNếu u, v là các hàm số khả vi thì∫ b
au dv = uv |ba −
∫ b
av du.
Tính phân xác định
Ví dụ 1. Tính I = limx→0
∫ x0 cos t2 dt
x .
Giải. Tích phân trên có dạng vô định00
, dùng qui tắc L’Hôpital
I = limx→0
(∫ x0 cos t2 dt
)′x ′ = lim
x→0
cos x2
1= 1.
Ví dụ 2. Tính I = limx→0+
∫ sin x0
√tan t dt∫ tan x
0
√sin t dt
.
Giải. Tích phân trên có dạng vô định00
, dùng qui tắc L’Hôpital
I = limx→0+
(∫ sin x0
√tan t dt
)′(∫ tan x
0
√sin t dt
)′ = limx→0+
√tan(sin x) cos x√
sin(tan x) · 1/ cos2 x= 1.
Tính phân xác định
Ví dụ 3. Tính các tích phân xác định sau
1
∫ √7
0
x3dx3√
1 + x2,
2
∫ ln 3
0
dx√ex + 1
,
3
∫ 1
−1|ex − 1|dx ,
4
∫ 1
0x15√
1 + 3x8 dx ,
5
∫ e
1
dxx√
1 + ln x.
Đáp số: 1)14120
, 2) ln
√2 + 1
3(√
2− 1), 3) e +
1e − 2, 4)
29270
, 5) 2√
2− 1.
Tích phân suy rộng
Định nghĩaCho hàm số khả tích f . Các tích phân suy rộng (loại một) được địnhnghĩa như sau∫ +∞
af (x) dx = lim
b→+∞
∫ b
af (x) dx ,∫ a
−∞f (x) dx = lim
b→−∞
∫ a
bf (x) dx ,∫ +∞
−∞f (x) dx =
∫ a
−∞f (x) dx +
∫ +∞
af (x) dx .
Nếu giới hạn tồn tại và hữu hạn thì tích phân gọi là hội tụ. Ngược lại,nếu giới hạn không tồn tại hoặc bằng vô cùng, thì tích phân gọi làphân kỳ.
Tích phân suy rộng
Công thức Newton - Leibnitz∫ +∞
af (x) dx = F (x)|+∞a = lim
b→+∞F (b)− F (a).
Công thức đổi biến∫ +∞
af (ϕ(x))ϕ′(x) dx =
∫ limb→+∞
ϕ(b)
ϕ(a)
f (t) dt .
Công thức tích phân từng phần∫ +∞
au dv = uv |+∞a −
∫ +∞
av du.
Ta cũng có các công thức tương tự cho các tích phân suy rộng còn lại.
Tích phân suy rộngVí dụ 1. Tính
∫ +∞
1
dxx2 .
Giải. ∫ +∞
1
dxx2 = −1
x
∣∣∣∣+∞1
= limx→+∞
(−1
x
)+ 1 = 1.
Ví dụ 2. Tính∫ +∞
1
dxx .
Giải. ∫ +∞
1
dxx = ln |x ||+∞1 = lim
x→+∞ln |x | = +∞.
Ví dụ 3. Tính∫ +∞
e
dxx ln2 x
.
Giải.∫ +∞
e
dxx ln2 x
=
∫ +∞
e
d(ln x)
ln2 x= − 1
ln x
∣∣∣∣+∞e
= limx→+∞
(− 1
ln x
)+
1ln e = 1.
Tích phân suy rộngVí dụ 4. Tính
∫ +∞
4
dxx2 − 5x + 6
.
Giải. ∫ +∞
4
dxx2 − 5x + 6
=
∫ +∞
4
dx(x − 2)(x − 3)
=
∫ +∞
4
(1
x − 3− 1
x − 2
)dx
= ln
∣∣∣∣x − 3x − 2
∣∣∣∣∣∣∣∣+∞4
= limx→+∞
ln
∣∣∣∣x − 3x − 2
∣∣∣∣− ln
∣∣∣∣4− 34− 2
∣∣∣∣= ln 2.
Chú ý: nếu phân tích∫ +∞
4
dxx2 − 5x + 6
=
∫ +∞
4
1x − 3
dx −∫ +∞
4
1x − 2
dx thì gặp dạng vô
định∞−∞ và không thể tính tiếp được.
Bài tập: Tính tích phân suy rộngTính các tích phân suy rộng sau:
1
∫ +∞
3
dx(x + 1)(x − 2)
2
∫ +∞
2
x2 + 1x(x − 1)3 dx
3
∫ +∞
1
x + 3x(x2 + x + 1)
dx
4
∫ +∞
0
x2
x6 + 1dx
5
∫ +∞
0
dxex + e−x
6
∫ +∞
1
dxx(ln2 x + 1)
7
∫ +∞
0xe−2x dx
8
∫ +∞
1
ln xx3 dx