to~kata - УКИМktmjm.gf.ukim.edu.mk/images/stories/0_statika/literatura/...mehanika statika -...

Mehanika Statika - Glava 6

45

6. SISTEM OD PROIZVOLNI SILI VO RAMNINA

6.1. Stati~ki moment ili moment na silata vo odnos na to~kata

Slobodnite materijalni tela vo prirodata pod dejstvo na sila moàt da se dviàt translatorno, t.e. da se pomestuvaat vo prostorot. Me|utoa, ako materijalnoto telo e vrzano vo edna to~ka, odnosno fiksirano za nepodvi`na oska, upravna na ramninata na teloto, toga{ e onevozmoèna bilo kakva translacija i teloto pod dejstvo na dadena sila moè samo da rotira okolu to~kata na fiksirawe, odnosno da vr{i rotaciono dvièwe.

Ako se pretpostavi deka teloto {to e fiksirano vo to~kata O go napa|a sila

rF koja deluva vo to~kata A definirana so radiusot na polo`ba

rr vo odnos

na nepodvi`nata to~ka, toga{ istoto pod dejstvo na silata }e se vrti okolu oskata {to minuva niz to~kata O i stoi normalno na ramninata obrazuvana od silata

rF i vektorot na polo`ba

rr . Rotacionoto dejstvo {to go vr{i silata na teloto okolu nepodvi`nata to~ka O se nare~uva stati~ki moment na silata ili kratko samo moment na sila. Za da se opredeli efektot od vakvoto dvièwe treba da se poznati tri podatoci: intenzitetot, oskata okolu koja se vrti i nasokata na vrtewe.

Spored toa, stati~kiot moment e vektorska golemina i pretstavuva vektor vrzan za to~kata na rotacija O koj e definiran kako vektorski produkt na silata

rF i vektorot na polo`bata

rr na napadnata to~ka A na silata vo odnos na momentnata to~ka O.

[ ] [ ]r r r r r

M F r r F= ⋅ = − ⋅ (1)

Sl. 6.1 Rotacija na telo okolu fiksirana oska

Sl. 6.2 Vektorsko pretstavuvawe na stati~ki moment


46

Intenzitetot na stati~kiot moment e ednakov na proizvodot od intenzitetot na silata

rF i normalnoto, odnosno najkratkoto rastojanie od silata

do momentnata to~ka, ili intenzitetot e ednakov na dvojnata povr{ina na triagolnikot {to go obrazuvaat vektorite

rF i

rr

M F h F roF = ± ⋅ = ± ⋅ ⋅ sinα (2)

M

F hF ho

F = ±⋅

= ± ⋅22

(2')

Pravecot e normalen na ramninata obrazuvana od vektorot na silata rF i

vektorot na polo`bata na napadnata to~ka na silata.

Nasokata e na onaa strana od prostorot od kade posmatranata sila go zavrtuva teloto vo nasoka na ~asovata strelka. Toga{ takviot moment se nare~uva pozitiven stati~ki moment, i obratno, ako silata vrti obratno od ~asovata strelka stati~kiot moment e negativen.

Eden stati~ki moment e pozitiven vo matemati~ka smisla koga vrti obratno od nasokata na ~asovata strelka, i toga{ vektorski se pretstavuva kako:

[ ]r r r

M r F= ⋅ (3)

Ako se pretpostavi deka silata rF i momentnata to~ka le`at vo hOu

ramninata i ako pri toa koordinatniot po~etok se poklopuva so momentnata to~ka, toga{ proekciite na vektorot na polo`ba se definirani so koordinatite na napadnata to~ka na silata A(x,y), odnosno

jyixr +=

a proekciite na silata rF so Fx i Fy, odnosno

r r rF F i F jx y= +

taka {to za stati~kiot moment se dobiva (Sl.6.3):

Sl. 6.3 Stati~ki moment na sila vo ramnina vo odnos na to~ka


47

[ ] ( ) kMjMiMkxFyFjiyx

FFkji

rFM zyxyxyx

rrrrrr

rrr

rr⋅+⋅+⋅=⋅−⋅+⋅+⋅==⋅= 00

00

kMMMM zyx

rr⋅=⇒== 0 (4)

Ova pokaùva deka intenzitetot na stati~kiot moment e ednakov na

xFyFM yx ⋅−⋅= (5)

bidej}i Mx=0 i My=0, toga{ M=Mz, so pravec koj se poklopuva so z-oskata,

odnosno normalen na xOy ramninata i e pozitiven ako vrti vo nasoka na ~asovata strelka.

Stati~kiot moment e ednakov na nula ako:

(1) Silata e ednakva na nula, rF =0

(2) Normalnoto rastojanie od silata do momentnata to~ka e nula, rr =0

So promena na mestopolo`bata na momentnata to~ka, se menuva i rastojanieto od silata do taa to~ka, a so toa }e se promeni i stati~kiot moment. Toa zna~i deka stati~kiot moment e vektor vrzan za to~ka, za razlika od silata koja pretstavuva vektor vrzan za prava.

Osnovna merna edinica na stati~kiot moment, koj pretstavuva proizvod na sila i rastojanie e [Nm]. Ima i pomali i pogolemi merni edinici.

Primerno: F=...[kN]; h=...[m]; M=Fh=...[kNm]

6.2. Variwonova teorema - momentno pravilo

Poznato e deka dejstvoto na dve ili pove}e sili vo ramnina koi napa|aat edna to~ka, moè da se zameni so dejstvoto na edna sila, odnosno so nivnata rezultanta. Me|utoa, ako tie sili napa|aat edna to~ka od kruto telo vrzano fiksno vo edna nepodvi`na to~ka, toga{ tie }e predizvikaat zavrtuvawe na teloto okolu nepodvi`nata to~ka.

Se razgleduva eden ramninski sistem od sili koi ja napa|aat to~kata A, i nivnata rezultanta

rR (Sl.6.4). Ako se

izbere proizvolna momentna to~ka O koja leì na h-oskata, toga{ normalnite rastojanija na silite do momentnata to~ka se obeleèni so h1,h2,...hn, a na

rR so

hR. Sl. 6.4 Variwonova teorema


48

Intenzitetite na stati~kite momenti za sekoja sila pooddelno spored definicija se:

M F h F OA

M F h F OA

M F h F OAn n n n n

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

= ⋅ = ⋅ ⋅

= ⋅ = ⋅ ⋅

= ⋅ = ⋅ ⋅

sin

sin

sin

α

α

α

M

(6)

M R h R OAR R R= ⋅ = ⋅ ⋅ sinα

Ako se pojde obratno, od vektorskata ravenka na rezultantata

r r r rR F F Fn= + + +1 2 ... (7)

koja se proektira na y-oskata

R F F FR n n⋅ = + + +sin sin sin ... sinα α α α1 1 2 2 (8)

a potoa se mnoì so dolìnata OA, se dobiva ravenkata:

R OA F OA F OA F OAR n n⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅sin sin sin ... sinα α α α1 1 2 2 (9)

koja sporedena so ravenkite (6) go dava izrazot

M M M M MR n= + + + +1 2 3 ... (10)

Ova e izraz za poznatata teorema na Variwon koja glasi:

Stati~kiot moment na rezultantata na zadaden sistem od sili vo ramnina koi napa|aat edna to~ka, vo odnos na proizvolno izbrana to~ka vo istata ramnina, ednakov e na algebarskiot zbir na stati~kite momenti na pooddelnite sili za istata momentna to~ka.

Variwonovata teorema vaì i za sili koi leàt vo ramnina, a deluvaat vo razli~ni to~ki A1, A2, ... An. Momentnata to~ka O se bira proizvolno, no treba da bide zadovolen uslovot za komplanarnost, odnosno istata da leì vo ista ramninata na silite.

Bidej}i silite rF1 i

rF2 se vektori vrzani za prava, se pomestuvaat po napadnite linii do nivnata prese~na to~ka V i se

Sl. 6.5 Variwonova teorema za proizvolen sistem na sili vo ramnina


49

sloùvaat vo rezultanta rR1 2, . Silite

rF1 i

rF2 sega imaat zaedni~ka napadna to~ka

i za niv vaì Variwonovata teorema:

R1,2⋅h1,2 = F1⋅h1 + F2⋅h2 (11)

So pomestuvawe na silite rR1 2, i

rF3 po napadnite linii do nivnata prese~na

to~ka S i so sloùvawe vo rezultanta rR se dobiva nov sistem od sili koj

dejstvuva vo edna to~ka i za koj, isto taka, vaì Variwonovata teorema:

R⋅hR = F1,2⋅h1,2 + F3⋅h3 (12)

ili ako se zeme vo predvid ravenkata (11) se dobiva:

R⋅hR = F1⋅h1 + F2⋅h2 + F3⋅h3 (13)

odnosno

MR = M1 + M2 + M3 (14)

i za proizvolen broj na sili rF n koi deluvaat vo An-to~ki se dobiva

∑=

=++++=n

iinR MMMMMM

1321 ... (15)

Na ovoj na~in se dobiva deka: stati~kiot moment od eden proizvolen ramninski sistem od sili, vo odnos na momentna to~ka vo istata ramnina, e ednakov na algebarskiot zbir na stati~kite momenti na pooddelnite sili vo odnos na istata momentna to~ka.

Ako pak silite se paralelni i leàt vo edna ista ramnina se dobiva specijalen slu~aj na ramninski sistem od sili koi se se~at vo edna to~ka vo beskone~nost, pa logi~no e deka i za niv vaì Variwonovata teorema.

6.3. Paralelni i antiparalelni sili

Edno materijalno telo vo to~kite A i V go napa|aat dve paralelni sili so ista nasoka, a so razli~ni golemini 12 FF > (Sl.6.6). Bidej}i nivnite napadni

linii ne se se~at vo edna to~ka, ne moè neposredno da se primeni praviloto na paralelogram na sili. Za toa se koristi principot na ekvivalencija taka da na zadadeniot sistem se dodava eden nov sistem od sili koi se vo ramnoteà.

Po napadnata linija AV se dodavaat dve sili F so ednakvi golemini i so sprotivni nasoki. Ovie dve sili se vo ramnoteà, me|usebno se poni{tuvaat i poradi toa dejstvoto na silite F1 i F2 ostanuva nepromeneto.

Potoa, silite F1 i F2, kako i silite F2 i F, se sloùvaat vo rezultanta R1 i

R2, soodvetni, ~ii napadni linii se se~at vo to~kata D.


50

Vo ovaa to~ka, translatorno po svojata napadna linija se prenesuvaat rezultantite 1R

r i 2R

r koi povtorno se razlo`uvaat na svoite komponenti 1F

r i F

r,

odnosno 2Fr

i Fr

. Dvete sili Fr

koi dejstvuvaat vo to~kata D, se eliminiraat

bidej}i se poni{tuvaat. Preostanatite sili 1Fr

i 2Fr

dejstvuvaat vo ist pravec DC.

Rezultantata na ovie dve sili, koja istovremeno e rezultanta na zadadenite paralelni sili, ednakva e na nivniot algebarski zbir:

21 FFR += (16)

Napadnata linija na rezultantata go se~e rastojanieto me|u silite AV vo to~kata C. Polo`bata na ovaa to~ka se opredeluva od sli~nosta na triagolnici ACD i EFD, odnosno BCD i HGD, pri {to se dobivaat slednite odnosi:

EFDACD Δ≅Δ ⇒ 1:: FFCDAC = ⇒ FFACCD 1= (17)

HGDBCD Δ≅Δ ⇒ 2:: FFCDBC = ⇒ FFBCCD 2= (18)

Bidej}i levite strani na ravenkite (17) i (18) se ednakvi, se dobiva relacijata:

Sl. 6.6 Rezultanta na dve razli~ni paralelni sili


51

FFFBC

FFAC ⋅= 21 ⇒

1

2

2

1

dd

ACBC

FF

== (19)

Od ravenkata (4) proizleguva deka rastojanijata na rezultantata R do zadadenite sili F1 i F2 se obratno proporcionalni na intenzitetite na samite sili.

Do istite odnosi moè da se dojde na poednostaven na~in so pomo{ na Variwonovata teorema pri {to za momentni to~ki se biraat to~kite A, V i S. Vodej}i smetka deka stati~kiot moment na rezultantata e ednakov na zbirot na stati~kite momenti na dadenite sili vo odnos na istite to~ki, se dobivaat slednite odnosi:

21 MMM R += (20)

momentna to~ka A: AF

AF

AR MMM

21+= ; ABFACR ⋅+=⋅ 20 ⇒

12 dd

ACAB

FR

== (20.1)

momentna to~ka S: CF

CF

CR MMM

21+= ; BCFACF ⋅+⋅−= 210 ⇒

1

2

2

1

dd

ACBC

FF

== (20.2)

momentna to~ka V: BF

BF

BR MMM

21+= ; 01 +⋅=⋅ ABFBCR ⇒

21 dd

BCAB

FR

== (20.3)

Vrz osnova na vakvoto objasnuvawe moè da se izvedat dva zaklu~oci:

(1) Rezultantata na dve paralelni sili so ista nasoka ednakva e po golemina na algebarskiot zbir na nivnite intenziteti, paralelna e so niv i ima ista nasoka.

(2) Napadnata linija na rezultantata R leì me|u dadenite sili, poblisku e do pogolemata sila, a rastojanieto me|u napadnite to~ki na dvete sili go deli obratno proporcionalno na goleminata na silite, odnosno:

;21

ACF

BCF

ABR

== 1

2

2

1

dF

dF

dR

== (21)

Antiparalelni sili: Za sloùvawe na dve antiparalelni sili so razli~ni golemini, F1>F2, se primenuva isto taka principot na ekvivalencija, dodavaj}i eden sistem od dve sili so ist intenzitet i pravec, a sprotivna nasoka (Sl.6.7). Potoa postapkata na sloùvawe na silite 1F

r i F

r, odnosno 2F

r i F

r vo

rezultanti R1 i R2 soodvetno, i pomestuvaweto na istite do zaedni~kata prese~na po~ka D e potpolno ista kako i pri paralelnite sili.


52

Od sli~nosta na triagolnicite ACD i GED se dobivaat odnosite:

1:: FFCDAC = ⇒ ACFFCD 1= (22)

Od sli~nosta na triagolnicite PCD i IHD se dobivaat odnosite:

2:: FFCDBC = ⇒ BCFFCD 2= (23)

BCFFAC

FF 21 = ⇒

1

2

2

1

dd

ACBC

FF

== (24)

Se dobiva, kako i vo prethodniot slu~aj, deka rastojanijata na rezultantata R od dadenite antiparalelni sili F1 i F2 se obratno proporcionalni na intenzitetite na samite sili.

Bidej}i silite Fr

{to deluvaat vo prese~nata to~ka D se so ist intenzitet, a sprotivni nasoki se poni{tuvaat, taka da vo prese~nata to~ka D deluva samo

rezlutantata 21 FFR += , odnosno:

Sl. 6.7 Slo`uvawe na antiparalelni sili


53

12 FFR −= (25)

So primena na Variwonovata teorema za sistemot sili F1, F2 i R vo odnos na momentnite to~ki A, V i S, pooddelno se dobiva:

21 MMM R += (26)

momentna to~ka S: BCFACF ⋅+⋅−= 210 ⇒ 1

2

2

1

dd

ACBC

FF

== (27.1)

momentna to~ka A: ABFACR ⋅+=⋅ 20 ⇒ 12 d

dACAB

FR

== (27.2)

momentna to~ka V: 01 +⋅=⋅ ABFBCR ⇒ 21 d

dBCAB

FR

== (27.3)

Zna~i, i pri antiparalelni sili se konstatira deka:

(1) Rezultantata na dve antiparalelni sili ima intenzitet ednakov na nivnata razlika, paralelna e so niv i ima nasoka kako i pogolemata sila, i

(2) Napadnata linija na rezultantata leì nadvor od napadnite linii na silite, od stranata na pogolemata sila i rastojanijata na dvete sili do rezultantata se obratno proporcionalni na nivnite golemini.

So primena na Variwonovata teorema se utvrduva deka:

Stati~kite momenti na dve paralelni ili dve antiparalelni sili vo odnos na momentni to~ki po napadnite linii na nivnite rezultanti, se ednakvi po svojata golemina, a so sprotivni nasoki.

Bidej}i dve paralelni ili dve antiparalelni sili se sveduvaat na edna rezultanta, toga{ edno kruto telo pod dejstvo na takvi sili }e vr{i translatorno dvièwe.

6.4. Spreg i transformacija na spregovi

Spreg na sili se vika sistem od dve paralelni sili {to imaat ista golemina, sprotivna nasoka i se odvoeni me|usebe so normalno rastojanie a (Sl.6.8).

Bidej}i rezultantata na dvete sprotivni sili na spregot e nula, edinstveno vlijanie {to moè da predizvika spregot e zavrtuvawe, odnosno rotacija vo odreden pravec.

0=−= FFR (28)

Momentot {to go predizvikuva spregot, nare~en moment na spregot, e ednakov na sumata na momentite na dvete sili vo odnos na proizvolno izbrana momentna to~ka.

Sl. 6.8 Spreg na sili

a


54

Za da se potvrdi ova, najprvo se definiraat vektorite na polo`ba Arr i Brr

na

to~kite A i V {to leàt na napadnite linii na silite Fr

i - Fr

, vo odnos na momentnata to~ka O (Sl.6.9a). Momentot na spregot presmetan za to~kata O e:

( )[ ] [ ] ( )[ ]ABBA rrFrFrFM −⋅=⋅+⋅−=rr

0

Spored zakonot na triagolnik za sobirawe

BA rrr =+ ⇒ rrr AB =−

taka {to

[ ]rFM rr⋅= (29)

Ova pokaùva deka spregot e sloboden vektor, t.e. toj moè da deluva vo bilo koja to~ka, bidej}i M zavisi samo od vektorot na polo`ba pome|u silite, a ne zavisi od vektorite na polo`ba na napadnite to~ki na silite vo odnos na momentnata to~ka.

Ramninata vo koja leì spregot se nare~uva ramnina na spregot, a najkratkoto rastojanie pome|u dvete sili e krak na spregot.

Spregot kako sloboden vektor e opredelen so slednite podatoci:

(1) Intenzitetot na spregot e ednakov na stati~kiot moment na spregot vo odnos na proizvolna momentna to~ka (Sl.6.8b).

( ) aFarFrFM ⋅=+⋅+⋅−=0 (30)

( ) aFarFrFM ⋅=+⋅+⋅−= 1101

ili toj e ednakov na proizvodot od intenzitetot na ednata sila i najkusoto rastojanie me|u dvete sili.

Sl. 6.9 Spreg na sili


55

(2) Pravecot se poklopuva so pravecot na normalata na ramninata na spregot (Sl.6.10).

(3) Nasokata na spregot zavisi od nasokata vo koja vrtat silite. Voobi~aeno e da se zeme deka pozitivnata nasoka odgovara na nasokata na dvièwe na strelkite od ~asovnikot, a negativnata obratno od ~asovite strelki.

Treba posebno da se istakne razlikata me|u momentot na spregot i stati~kiot moment. Momentot na spregot e sloboden vektor i ne zavisi od izborot na momentnata to~ka, za razlika od stati~kiot moment koj pretstavuva vektor vrzan za to~ka.

Zaradi ovaa karakteristika, spregot na sili ovozmoùva da se vr{at izvesni transformacii:

(1) Translacija, pomestuvawe na spregot vo ramnina

Dejstvoto na spregot ne se menuva ako istiot proizvolno se pomestuva vo negovata ramnina. Pomestuvaweto moè da se izvr{i na pove}e na~ini:

(a) Pomestuvawe na spreg po napadnite linii na silite

Daden e spreg na silite Fr

i - Fr

, so napadni to~ki A i V. Na napadnite linii na silite, vo to~kite A1 i V1 se dodavaat po dve ednakvi sili F

r so sprotivni

nasoki. So ova dodavawe dejstvoto na spregot ne se menuva, bidej}i dodadenite sili me|usebno se poni{tuvaat.

Sl. 6.11 Translacija na spreg po napadnite linii na silite

Sl. 6.12 Translacija upravno na pravecot na silite

Sl. 6.10 Pravec na spregot


56

Me|utoa, ako se zeme vo predvid deka vlijanieto na silata Fr

vo napadnata to~ka A i silata - F

r vo to~kata A1 se anulira, odnosno tie se poni{tuvaat, toga{

vo napadnata to~ka A1 ostanuva da dejstvuva samo silata Fr

. Analogno, vo napadnata to~ka V1 deluva samo silata - F

r.

Na ovoj na~in novodobieniot spreg ima ist intenzitet M=F.a, kako i originalno zadadeniot. Zatoa se konstatira deka:

Dejstvoto na spregot ne se menuva ako spregot na sili translatorno se pomestuva po napadnite linii na silite.

(b) Pomestuvawe upravno na pravecot na silite

Vo prodolènie na krakot AV=a na zadadeniot spreg Fr

i - Fr

se izbiraat dve to~ki A1 i V1 na me|usebno rastojanie a. Vo ovie to~ki se dodava po eden sistem od dve sili so ista golemina, a sprotivna nasoka, paralelen so silite na spregot, koi me|usebe se poni{tuvaat i ne go menuvaat dejstvoto na istiot (Sl.6.12). Ponatamu, silata F

r od spregot so napadna to~ka vo A se sloùva so

silata Fr

, so ista nasoka, {to deluva vo to~kata B1. Intenzitetot na rezultantata od silite e R=2F, istata dejstvuva vo to~kata O na polovina od me|usebnoto rastojanie AV1, i e paralelna, odnosno ima ista nasoka so silite. Na sosema ist na~in se dobiva i rezultantata R=-2F na silite - F

r vo to~kite V i A1.

Taka dobienite rezultanti me|usebe se poni{tuvaat. Preostanatite sili Fr

so napadni to~ki A1 i V1 pretstavuvaat spreg so ist moment kako i zadadeniot.

Zaklu~ok: Dejstvoto na spregot ne se menuva ako toj se pomesti vo pravecot na svojot krak, odnosno upravno na pravecot na silite.

(v) Zavrtuvawe - rotacija na spregovite

Zadaden e spreg Fr

i- Fr

so napadni to~ki A i V, so krak a (Sl.6.13). Krakot na spregot se zavrtuva okolu to~kata A za nekoj agol α i vo to~kite A i V1 se dodava sistem od vramnoteèni sili F

r i - F

r

upravni na pravecot na krakot AV1.

Dejstvoto na spregot nema da se promeni ako krakot zaedno so silite se zavrti za izvesen agol okolu bilo koja to~ka vo negovata ramnina.

(g) Transformacija na spregovi

Dejstvoto na spregot ne se menuva ako se promeni goleminata na silata i goleminata na negoviot krak, no pod uslov nivniot proizvod, odnosno intenzitet na momentot na spregot od sili da ostane ist.

Sl. 6.14 Transformacija na spreg

Sl. 6.13 Rotacija na spreg


57

Daden e spregot Fr

i- Fr

so napadni to~ki vo A i V. Silata - Fr

vo to~kata V se razloùva na dve sili - 1F

r i - 2F

r na odnapred fiksirano rastojanie AV1=a1.

Ako to~kata A i V1 se zemat za momenti to~ki se opredeluvaat komponentite na silite F1 i F2, se dobiva:

AF

AF

AF MMM

21 −−− +=

momentna to~ka vo A: 0211 ⋅+⋅=⋅ FaFaF ⇒ 1

1 aaFF ⋅

= (31)

12

11

1 BF

BF

BF MMM −−− +=

momentna to~ka vo V1: ( ) 121 aFaaF ⋅−=−⋅− ⇒ 1

12

)(a

aaFF −⋅= (32)

( ) Fa

aFa

aFa

aFa

aaFa

aFFF =⋅

−⋅

+⋅

≡−⋅

+⋅

=+11

1

11

1

121 ⇒ 21 FFF −=

Ako kompopnentata F2 se odzeme od silata F vo napadnata to~ka A, toga{ se dobiva silata F1 so nasoka nagore. Silata F1 vo A i silata -F1 vo V1 formiraat spreg F1F1 so krak a1. Momentot na noviot spreg F1a1 e ednakov na momentot na dadeniot spreg Fa.

Pri transformacija na eden spreg vo drug odnapred se usvojuva goleminata na silata ili krakot na spregot.

Zaklu~ok: Daden spreg moè da se transformira vo drug ekvivalenten spreg, sostaven od sili so razli~ni golemini i razli~ni kraci, samo pod uslov nivnite momenti da bidat ednakvi.

(d) Sloùvawe na spregovi

Dadeni se spregovite M1=F1a1, M2=F2a2 i M3=-F3a3 (Sl.6.15a). Nivnoto sloùvawe moè da se izvr{i vo eden rezultanten spreg, ako tie se svedat na eden ist krak a so napadni to~ki vo A i V (Sl.6.15b). Krakot a odnapred se usvojuva i site spregovi, vrz osnova na toa, se transformiraat kako {to sleduva:

aFaFM ⋅′≡⋅= 1111 ⇒ a

MF 11 =′ (33)

soodvetno: ;22 a

MF =′ a

MF 3'

3 =

Taka transformiranite spregovi so translacija i rotacija se doveduvaat vo napadnite to~ki A i V (Sl.6.15b). Vo to~kite A i V, na toj na~in, se dobivaat dva sistema od kolinearni sili so Sl. 6.15. Sloùvawe na


58

sprotivni nasoki, koi se sloùvaat vo dve rezultantni sili so golemina:

'3'2'1 FFFF −+= (34)

Ovie dve sili sozdavaat rezultanten spreg (Sl.6.15v) so moment na spregot:

( ) 321'3'2'1 MMMaFFFaFM −+=⋅−+=⋅= (35)

Dejstvoto na eden spreg ne zavisi nitu od goleminata na samite sili, nitu od nivniot pravec i polo`ba, a zavisi samo od goleminata i nasokata na momentot na spregot i ramninata vo koja dejstvuva. Ako ima nekolku spregovi vo ista ramnina site pretstavuvaat vektori normalni na ramninata, {to zna~i deka tie se me|usebno paralelni, odnosno kolinearni, pa vektorskiot zbir:

nR MMMMM ++++= ...321

moè da se pretstavi samo so edna skalarna ravenka:

nR MMMMM ++++= ....321 (36)

Zaklu~ok: Sistem od pove}e

spregovi vo edna ramnina moè da se sloì vo eden rezultanten spreg, ~ij moment e ednakov na algebarskiot zbir na momentite od komponentalnite spregovi. Nasokata na rezultantniot spreg zavisi od znakot na toj zbir.

|) Ekvivalentni spregovi se onie spregovi {to deluvaat vo ista ramnina, a imaat ist stati~ki moment i ista nasoka.

6.5. Redukcija na sila vo ramnina

Osnovna pretpostavka e deka sekoja sila koja dejstvuva vo edna ramnina moè da se pomestuva po svojata napadna linija, a pri toa dejstvoto na silata da ne se menuva (Sl.6.17). Ova zna~i deka sekoja sila, kako {to be{e naglaseno, pretstavuva lizga~ki vektor ili vektor vrzan za prava.

Me|utoa, ako silata se pomeruva paralelno na samata sebe, toga{ nejzinoto dejstvo }e se promeni, bidej}i vrednosta na momentot za bilo koja to~ka vo ramninata na pomestuvawe, bi se menuvala. Ova pomeruvawe bi moèlo da se izvr{i samo pod uslov dejstvoto na silata da ne se promeni. Toa moè da se napravi na sleden na~in:

Zadadenata sila Fr

so napadna to~ka vo A, so to~no definiran intenzitet, pravec i nasoka, treba paralelno da se pomesti vo to~kata V (Sl.6.18). Vo to~kata V moàt da se dodadat dve sili F

r i - F

r, so ednakov intenzitet i pravec, a so

sprotivna nasoka.

Sl. 6.16 Ekvivalentni spregovi


59

Dodadenite sili se ednakvi po intenzitet na zadadenata sila i paralelni se na nea. Dejstvoto na silata F

r na krutoto telo ne se promenilo bidej}i

dodadeniot sistem od dvete sili vo V e vo ramnoteà. Ako sega se posmatra vlijanieto na silata F

r vo to~kata A i silata - F

r vo V, toga{ se konstatira deka

tie obrazuvaat spreg M=F⋅a, dodeka preostanatata sila vo to~kata V ne e ni{to drugo, tuku pomestenata zadadena sila.

Zna~i, vlijanieto na silata Fr

vo to~kata A, sega e zameneto so edna sila i spreg vo to~kata V. Na ovoj na~in e izvr{ena redukcija na silata F

r vo odnos na

to~kata V. Na osnova ova moè da se izvle~e sledniot:

Zaklu~ok: Silata Fr

moè da se reducira vo proizvolna to~ka vo ramnina, ako se pomesti paralelno vo taa to~ka i pritoa se dodade i eden spreg M

r, ~ij moment e ednakov na proizvodot od intenzitetot na silata F

r i

normalnoto rastojanie od silata do to~kata na redukcija, M=F⋅a .

Obratno od redukcija na sila e sloùvawe na sila i spreg. Primerno, vo to~kata A dejstvuva silata F

r i spreg M

v (sl.6.19). Spregot M

v moè da se

pretstavi kako dve antiparalelni sili (- Fr

vo A i Fr

vo V) na me|usebno normalno rastojanie a. Intenzitetot na spregot moè da se izrazi kako proizvodot pome|u intenzitetot na zadadenata sila F

r i rastojanieto a:

aFM ⋅= (37)

od kade se dobiva i goleminata na krakot a:

FMa = (38)

Silite Fr

i - Fr

koi deluvaat vo to~kata A me|usebe se vramnoteùvaat i ostanuva samo dejstvoto na silata F

r

vo to~kata V.

Od ova se konstatira deka: Spregot Mr

i silata Fr

so napadna to~ka A vo istata ramnina se sloùvaat vo edna sila koja e ednakva na zadadenata, samo pomestena paralelno za rastojanie a=M/F, i toa taka {to stati~kiot moment na novata sila vo odnos na napadnata to~ka na prvobitnata sila ima ista nasoka na rotacija kako i dadeniot spreg M

r.

Sl. 6.17 Pomestuvawe na sila po svojata napadna linija

Sl. 6.18 Redukcija na sila vo odnos na to~ka

Sl. 6.19 Sloùvawe na sila i spreg


60

6.6. Sloùvawe na proizvolen sistem od sili vo ramnina

Ako na edno kruto telo dejstvuva eden proizvolen sistem od sili koi leàt vo ista ramnina, toga{ sekoja od silite moè da se reducira vo odnos na edna proizvolna to~ka O vo istata ramnina (moè da se pretpostavi deka to~kata O pretstavuva koordinaten po~etok na Dekartoviot koordinaten sistem). Pri ova reducirawe silite iF

v se pomestuvaat paralelno vo to~kata O i se dodavaat

soodvetni spregovi so intenzitet iii hFM ⋅= (sl.6.20). Na ovoj na~in se dobiva

sistem od sili vo ramnina {to dejstvuvaat vo edna to~ka O i sistem od spregovi vo istata ramnina. Toa ni ovozmoùva da izvr{ime sloùvawe na sistemot sili, odnosno istiot da go zamenime so edna rezultantna sila R

r i eden rezultanten

spreg RMr

, a pritoa da ne ja naru{ime nadvore{nata sostojba na krutoto telo.

Rezultantnata sila Rr

e ednakva na vektorskiot zbir na silite iFr

:

∑=

=++++=n

in FiFFFFR

1321 ... (39)

Intenzitetot na rezultantniot spreg e ednakov na algebarskiot zbir na intenzi-tetite na sekoj spreg pooddelno:

∑=

=++++=n

iinR MMMMMM

1321 .... (40)

Ako se izvr{i sloùvawe na silata Rr

i spregot RM

r }e se dobie samo sila R

r

paralelno pomestena za rastojanie Rh :

R

Mh RR = (41)

Na toj na~in se dobiva i mestopolo`bata na napadnata linija na rezultantata R

r koja napolno go zamenuva dejstvoto na zadadeniot proizvolen

sistem od sili vo ramnina.

Neka edno kruto telo go napa|aat sistem od sili 1Fr

, 2Fr

, 3Fr

,..., nFr

so razli~ni pravci, nasoki i napadni to~ki. Polo`bata na silite vo xOy koordinatniot sistem opredelena e so koordinatite na napadnite to~ki na silite ),( iii yxA , nivnite intenziteti Fi i aglite {to pravcite na silite gi zafa}aat so pozitivnata nasoka na h-oskata, iα .

So redukcija na silite vo odnos na koordinatniot po~etok O (Sl. 6.21.) se dobiva sistem od sili vo ramnina {to dejstvuvaat vo edna to~ka i sistem od spregovi vo istata ramnina. Opredeluvaweto na intenzitetot, pravecot i nasokata na rezultantata po analiti~ki pat e potpolno isto kako i za sistem od sili vo ramnina koj napa|a edna to~ka.

Rezultantata e vektorski zbir na site sili:

Sl. 6.20 Redukcija na proizvolen sistem od sili vo ramnina


61

∑=

=++++=n

in FiFFFFR

1321 ... (42)

jRiRR yx += (43)

Istata se proektira po dvete koordinatni oski:

∑=

=+++=+++=n

iiinnnxxxx FFFFFFFR

1221121 coscos...coscos.... αααα

∑=

=+++=+++=n

iiinnnyyyy FFFFFFFR

1221121 sinsin...sinsin.... αααα (44)

Intenzitetot na rezultantata e: 22yx RRR += (45)

Pravecot i nasokata se opredeleni so agolot αR:

x

yR R

Rtg =α ;

RRx

R =αcos ; R

RyR =αsin (46)

Za da se opredeli mestopolo`bata na napadnata linija na rezultan-tata, definirana so normalnoto rastojanie hR od koordinatniot po~etok, potrebno e da se opredeli rezultantniot spreg. Negoviot intenzitet e ednakov na algebar-skiot zbir na intenzitetite na redukcionite spregovi ( iii hFM ⋅= ), odnosno zbir na intenzitetite na stati~kite momenti na silite iF

r vo

odnos na momentnata to~ka O. Rezultantniot stati~ki moment se dobiva so primena na Variwo-novata teorema:

003

02

01

0 .... nR MMMMM ++++=

∑=

=+++=⋅n

iiinnR hFhFhFhFhR

12211 ... (47)

R

hFh

n

iii

R

∑== 1 (48)

ili ako silite se razlo`at na svoite komponenti:

( ) ( ) ( ) ( )∑=

⋅−⋅=⋅−⋅++⋅−⋅+⋅−⋅=⋅n

iiiyiixnnynnxyxyxR xFyFxFyFxFyFxFyFhR

122221111 ...

Sl. 6.21. Slo`uvawe na proizvolen sistem od sili vo ramnina


62

( )R

xFyFh

n

iiiyiix

R

∑=

⋅−⋅= 1 (49)

Mestopolo`bata na Rr

vo x0y-sistemot mo`e da bide definirana i so otse~ocite {to napadnata linija gi otsekuva na sekoja od koordinatnite oski (Sl. 6.22).

Za taa cel, stati~kiot moment na rezultantata R

r vo odnos na

momentnata to~ka O se izrazuva vo funkcija od nejzinite proekcii xR i yR :

xRyRM yxR −= (50)

kade x i y se tekovni koordinati na to~kite po napadnata linija Rr

. Ako relacijata (50) se podeli so RM i se napravat opredeleni sreduvawa, se dobiva

slednata relacija:

1=− xMR

yMR yx ⇒ 1=+

−x

R

y

R

RM

y

RMx

(51)

kade koli~nicite vo imenitelite pretstavuvaat otse~oci na Rr

na soodvetnite koordinatni oski:

1) na oskata x: y

R

RMa −= 2) na oskata y:

x

RRMb = (52)

Specijalen slu~aj na proizvolen sistem od sili e onoj koga silite me|usebe se paralelni. Za poednostavno presmetuvawe se zema deka koordinatnata oska Oy se poklopuva so pravecot na silite, a koordinatniot po~etok se zema za momentna to~ka. Rezultantata e ednakva na geometriskiot zbir od silite:

nFFFR +++= ...21

Bidej}i yi OF sleduva deka:

0=xR

∑ +++== niy FFFFR ...21 (53)

Sl. 6.22. Mestopolo`bata na Rr

definirana so normalnoto rastojanie hR, ili so otse~ocite na

koordinatnite oski

Sl. 6.23. Slo`uvawe na paralelni sili


63

Intenzitetot na rezultantata e:

ny FFFRR +++== ...21 (54)

Napadnata linija se opredeluva so primena na Variwonovata teorema:

003

02

01

0 .... nR MMMMM ++++=

∑=

⋅=⋅++⋅+⋅=⋅n

iiinnR xFxFxFxFxR

12211 ....

R

xFx

n

iii

R

∑=

⋅= 1 (55)

Intenzitetot na rezultantata od eden paralelen sistem od sili ednakov e na algebarskiot zbir od intenzitetite na silite, pravecot i nasokata se poklopuvaat so pravecot i nasokata na dadenite sili, a mestopolo`bata na rezultantata e definirana so rastojanieto xR mereno od koordinatniot po~etok.

Pri sloùvawe na proizvolen sistem od sili vo ramnina moè da nastapat nekolku karakteristi~ni slu~ai:

(a) 0≠R 0≠RM

Zadadeniot sistem se sveduva na redukciona rezultanta i redukcionen spreg, odnosno silite se zamenuvaat so edna edinstvena sila R

r koja e paralelno

pomestena od to~kata na redukcija za rastojanie hR.

(b) 0≠R 0=RM

Sistemot na sili se sveduva samo na edna redukciona rezultanta toga{ koga redukcionata to~ka leì na napadnata linija na samata rezultanta {to uslovuva redukcioniot spreg da e nula.

(v) 0=R 0≠RM

Redukcionata rezultanta e nula, sistemot se sveduva na spreg so moment MR.

(g) 0=R 0=RM

Ako i redukcionata rezultanta, i redukcioniot spreg se ednakvi na nula, sistemot na sili e vo ramnoteà.

Od iznesenoto moè da se konstatira deka: redukcionata rezultanta ne zavisi od izborot na redukcionata to~ka, dodeka izborot na istata ima vlijanie na redukcioniot spreg.

Pod dejstvo na proizvolen sistem od sili teloto moè:

1) da se dviì translatorno, ako sistemot od sili se svede na edna rezultanta;

2) da rotira, ako sistemot od sili se svede na spreg;

3) da miruva ako sistemot od sili bide vo ramnoteà.


64

6.7. Ramnoteà na proizvolni sili vo ramnina i primena na sistem od neslobodni tela

Eden proizvolen sistem od sili vo ramnina {to dejstvuva na slobodno materijalno kruto telo, nema da vr{i nikakvo mehani~ko dejstvo na istoto ako istovremeno se ramni na nula rezultantnata sila i rezultantniot stati~ki moment vo odnos na koja i da bilo to~ka koja leì vo istata ramnina. Ako rezultantnata sila R

r e ednakva na nula toga{ nema translacija na krutoto telo,

a ako rezultantniot stati~ki moment e ednakov na nula toga{ krutoto telo ne rotira. Zna~i, materijalnoto telo se nao|a vo sostojba na miruvawe, a proizvolniot sistem od sili koj deluva na nego e vo ramnoteà. Od tuka proizleguva deka uslovite za ramnoteà na eden ramninski sistem od sili moàt da bidat pretstaveni vo vektorski oblik so slednite relacii:

∑=

==n

iiFR

10 ∑

===

n

iiR MM

10 (56)

Ako rezultantata Rr

na sistem od sili e nula, toga{ i nejzinite komponenti

xR i yR po dvete pravoagolni koordinatni oski se ramni na nula. Na toj na~in se

dobivaat slednite dve skalarni ravenki:

0=xR ; 0=yR (57)

kade {to xR i yR , soodvetno, pretstavuvaat algebarski sumi na komponentite vo

pravecot na h i u oskite od site sili {to dejstvuvaat na teloto, odnosno:

∑=

=n

iixx FR

1 ∑

==

n

iiyy FR

1 (58)

Isto taka, bidej}i site momenti kako vektori se normalni na ramninata vo koja dejstvuvaat silite, toga{ i algebarskiot zbir na momentite od komponentite na sekoja od silite e ramen na nula:

0000

1

021

=+++=∑= ni FFF

n

iF M...MMM (59)

Na ovoj na~in se dobivaat tri analiti~ki uslovi za ramnoteà na eden ramninski sistem od sili, bidej}i dvete vektorski ravenki se zamenuvaat so tri skalarni ravenki:

0cos11

=== ∑∑==

n

iii

n

iixx FFR α (59.1)

0sin11

=== ∑∑==

n

iii

n

iiyy FFR α (59.2)

( ) 011

=⋅−⋅== ∑∑==

n

iiiyiix

n

iiR xFyFMM (59.3)


65

Zna~i, za ramnoteà na proizvolen sistem na sili vo ramnina, potrebno i dovolno e algebarskiot zbir na proekciite na site sili po dvete koordinatni oski da bide ednakov na nula i algebarskiot zbir od stati~kite momenti na site sili vo odnos na bilo koja proizvolno izbrana to~ka vo ramninata na silite da bide ednakov na nula.

Vaka definiranite uslovi za ramnoteà pretstavuvaat osnoven oblik na analiti~kite uslovi za ramnoteà, koi koncizno se izrazuvaat so ravenkite:

∑=

=n

iiX

10 ∑

==

n

iiY

10 ∑

==

n

i iFM

1

0 0 (60)

êsto vo praksata se koristat i drugi oblici na uslovite za ramnoteà, koi se vikaat i alternativni.

(1) Prv alternativen oblik na uslovite za ramnoteà na proizvolen ramninski sistem od sili: Zbirot na momentite na site sili za bilo koi dve proizvolno izbrani to~ki A i V i zbirot na proekciite na silite na oskata a-a, koja ne e normalna na pravata AV, da bidat ednakvi na nula, odnosno:

∑=

=n

i

AiF

M1

0 ∑=

=n

i

BiF

M1

0 ∑=

=n

ia,iF

10 (61)

Za da se dokaè deka ovie uslovi se i dovolni se koristi dijagramot na slobodno materijalno telo na krutoto telo so proizvolen oblik prikaàno na Sl.6.24a.

So redukcija sistemot od sili moè da bide zamenet so edna rezultantna sila

iFRrr

Σ= koja deluva vo to~kata A i

rezultanten spreg ∑= AF

AR i

MM , (sl.6.24b).

Ako za dadeniot sistem od sili se ispolneti prvite dva uslovi ΣMA=0 i ΣMB=0

moè da se slu~i R≠0, odnosno nejzinata linija na dejstvo da se poklopuva so pravecot AV (sl.6.24b).

Me|utoa, za da bide zadovolen tretiot uslov ∑ = 0a,iF , rezultantata na

sistemot ne treba da ima komponenta vo pravecot a-a, a toa e mo`no samo ako taa e normalna na pravata a-a, {to ne e slu~aj, ili koga e ednakva na nula, odnosno R=0, {to zna~i deka navistina krutoto telo e vo ramnoteà.

Sl. 6.24. Alternativni uslovi za ramnoteà


66

(2) Vtor alternativen oblik na uslovite za ramnoteà na proizvolen sistem od sili vo ramnina e: Zbirot od momentite od site sili za tri proizvolno izbrani to~ki A, V i S, koi ne leàt na ista prava, da bide ednakov na nula.

0=∑ AM ; 0=∑ BM ; 0=∑ CM (62)

Za da bide zadovolen prviot uslov ΣMA=0, od sl.6.24b jasno proizleguva

deka rezultantniot spreg MR mora da bide ednakov na nula, odnosno:

0=∑ AM ⇔ 0=A

RM (63.1)

Ravenkata ΣMB=0 e zadovolena ako napadnata linija na rezultantata minuva niz to~kata V, kako {to e prikaàno, i kone~no za da bide zadovolen i tretiot uslov ΣMC=0, koga to~kata S ne leì na napadnata linija na rezultantata AV, potrebno e rezultantata na sistemot sili da e ednakva na nula:

0=∑ BM ⇔ BARR −= (63.2)

0=∑ CM ⇔ 0=R (63.3)

Pri re{avaweto na prakti~nite zada~i od ramnoteà na ramninski sistem na sili, izvedenite analiti~ki uslovi za ramnoteà za slobodno materijalno telo se primenuvaat i za neslobodnite tela, odnosno na sistem so vrzani tela.

Glavno procedurata na re{avawe se sostoi od dva glavni ~ekori vo koi {to se definira:

(1) Dijagram na slobodno telo; {to se dobiva so otstranuvawe na vrskite, spored ve}e objasnetite principi vo glava 5, pri {to dejstvoto na sekoja od niv se zamenuva so soodvetni sili. Teloto se pretvora vo slobodno, na koe dejstvuvaat nadvore{ni sili so to~no nazna~eni intenziteti i nasoki na dejstvo, kako i reakciite na vrskite ~ii {to pravci na dejstvo se poznati, zavisno od tipot na vrskata. Nasokata na reakciite na vrskite, se pretpostavuva, a nivnite intenziteti, kako nepoznati golemini, se opredeluvaat pri re{avaweto na problemot. Vo dijagramot na slobodnoto telo se nazna~uvaat i site rastojanija koi se potrebni za presmetuvawe na momentite na pooddelnite sili.

(2) Uslovite za ramnoteà, pri {to se vodi smetka da se izbere onaa grupa na uslovi koi }e uslovat i najednostavno re{avawe na postavenata zada~a. Primerno osnovniot oblik na uslovite za ramnoteà:

0=∑ ixF ; 0=∑ iyF ; 00 =∑ iFM

ili nekoj od alternativnite oblici definirani so ravenstvata (61) i (62).

Prakti~nata primena na pogore nazna~enite ~ekori i nivnite osobenosti ilustrirana e na sledniot ednostaven primer.


67

Primer 1:

Da se opredelat horizontalnite i vertikalnite komponenti na reakciite na gredata tovarena spored skicata na Sl.6.25. Pri presmetuvaweto da se zanemari teìnata na gredata.

Re{enie:

(1) Dijagramot na slobodnoto telo e prikaàn na sl.6.25b.

(2) Uslovi za ramnoteà:

0=Σ+ xFx ; 045cos600 =−° xB

kNBx 3.424=

Intenzitetot na reakcijata vo podvi`niot oslonec A se dobiva direktno od momentnata ravenka

0=Σ BM za to~kata V.

0=Σ BM ; 00.21000.545sin6000.7 =⋅−⋅°−⋅A

[ ] kNA 60.3310.21000.545sin6000.7

1=⋅+⋅°=

Vertikalnata komponenta na reakcijata vo nepodvi`niot oslonec B se dobiva od momentnata ravenka 0=Σ AM vo to~kata A:

0=Σ AM ; 00.70.51000.245sin600 =⋅−⋅+⋅° yB

[ ] kNBy 60.1920.51000.245sin6000.7

1=⋅+⋅°=

Kontrola: 0=Σ↑+ yF ; 010045sin600 =+−°− yBA ⇒ 00 =

6.8. Verièn poligon

Grafi~ki odreduvaweto na rezultantata na eden op{t slu~aj na dejstvo na sili vo ramnina se vr{i na sosema ist na~in kako i za sistem od sili koj napa|a edna to~ka, odnosno so planot ili t.n. poligon na sili. Edinstvenata razlika e vo toa {to, osven intenzitetot, pravecot i nasokata na rezultantata, treba da se opredeli i polo`bata na napadnata linija, odnosno napadnata to~ka na rezultantata.

Grafi~koto sloùvawe na eden proizvolen sistem od sili vo ramnina moè da se izvr{i na dva na~ina, so primena na paralelogramot na sili (sl.6.5) i so primena na metodot na verièn poligon i poligonot na sili.

Sl. 6.25


68

Primenata na vtorata metoda najednostavno moè da se prikaè na eden ednostaven sistem od dve sili 1F

r i 2F

r koi dejstvuvaat vo to~kite A1 i A2 na nekoe

kruto telo (sl.6.26).

Najprvo, vo opredelena razmera za dolìni se definiraat napadnite to~ki na silite A1 i A2 vo koi se nanesuvaat silite 1F

r i 2F

r so

svojot pravec i nasoka. Potoa silite 1F

r i 2F

r se nanesuvaat

vo odreden razmer za sili, vo planot na sili a,b,c ~ija zavr{na strana ac ja dava goleminata, pravecot i nasokata na rezultantata. Za potpolna definiranost na istata treba da se opredeli u{te i polo`bata na nejzinata napadna linija.

Za taa cel vo planot t.e. poligonot na sili se izbira proizvolna to~ka O, koja se povrzuva so to~kite a, b i c. Na ovoj na~in, silata 1F

r e razloèna na dve

proizvolni komponenti 1r

i 2r

, odnosno taa e nivna rezultanta. Od druga strana pak, silata 2F

r isto taka se razloùva na dve komponenti - 2

r i 3

r koi ve}e ne se

proizvolni bidej}i komponentata - 2r

ima ista golemina, a sprotivna nasoka so nasokata na komponentata 2

r na silata 1F

r.

Dejstvoto na silite 1Fr

i 2Fr

na teloto moè da se zameni so nivnite

komponenti. Ova se pravi na toj na~in {to na pravecot na silata 1Fr

se izbira

proizvolna to~ka I od koja se nanesuvaat komponentite 1r

i 2r

koi se paralelni so pravite Oa i Ob od poligonot na silite. Na sosema ist na~in silata 2F

r se

zamenuva so komponentite - 2r

i 3r

, pod uslov komponentata 2r

na silata 1Fr

i - 2r

na

silata 2Fr

da imaat ista napadna linija. Zna~i, sistemot sili 1Fr

i 2Fr

e zameneto

so silite 1r

i 3r

koi se se~at vo edna to~ka niz koja mora da minuva (nivnata)

rezultantata na zadadeniot sistem od sili (silite 1Fr

i 2Fr

).

Konstruiraniot plan na sili se vika poligon na sili. To~kata O e pol, a komponentite 1

r, 2

r i 3

r se polovi zraci, odnosno sili. Najkratkoto, t.e.

normalnoto, rastojanie na polot O do rezultantata se vika polovo rastojanie i obi~no se beleì so N i pretstavuva sila. Poligonot 1, I, 2, II i 3 se vika verièn poligon. Zatoa i vakviot na~in za opredeluvawe na mestopolo`bata na rezultantata vo planot na polo`ba se nare~uva metoda na verièn poligon.

Prakti~nata primena na metodot na verièn poligon se sostoi vo nekolku ~ekori:

Sl. 6.26. Grafi~ko sloùvawe na proizvolen sistem od sili


69

(1) Konstruirawe na planot na sili iFr

vo koj, za izbran razmer za sili se

opredeluva intenzitetot, pravecot i nasokata na rezultantata Rr

.

(2) Izbor na proizvolna to~ka O kako pol i konstruirawe na polovite zraci (Prepora~livo e polot O da se izbere okolu sredinata na planot na sili, a prviot i posledniot zrak da formiraat pribli`no prav agol).

(3) Konstruirawe na veri`niot poligon ~ii {to strani se paralelni so polovite zraci vo poligonot na sili.

(4) mestopo`bata na napadnata linija na rezultantata e potpolno definirana so prese~nata to~ka od prvata i poslednata strana na veri`niot poligon.

Metodot na veri`en poligon se primenuva za opredeluvawe na polo`bata na rezultantata za bilo koj sistem od sili vo ramnina, vklu~uvaj}i go i specijalniot slu~aj od paraleleni sili.

(a) Paralelni sili 1Fr

i 2Fr

pri {to 2Fr

> 1Fr

(b) paralelni sili so sprotivni nasoki 2Fr

> 1Fr

(antiparalelni sili)


70

(v) proizvolen sistem od sili iF , 4,3,2,1=i

Sl. 6.27. Primeri za grafi~ko sloùvawe na sili

So pomo{ na veri`niot poligon moè da se izvedat i grafi~kite uslovi za ramnoteà na proizvolen sistem od sili vo ramnina. Bidej}i rezultantata grafi~ki se dobiva kako zavr{na strana na poligonot na sili, za ramnoteà e potrebno istiot da e zatvoren, t.e. dolìnata na zavr{nata strana da e ramna na nula.

Ako silite 1Fr

, 2Fr

, 3Fr

i 4Fr

obrazuvaat zatvoren poligon na sili (sl.6.28)

zadovolen e samo prviot od dvata vektorski uslova za ramnoteà na proizvolen sistem od sili vo ramnina ( 0=R

v). Za da moème da utvrdime dali momentot od

site sili vo odnos na proizvolna to~ka vo istata ramnina e ramen na nula go crtame veri`niot poligon 1, 2, 3, 4, 5. Pritoa, prvata i poslednata strana na veri`niot poligon ili se poklopuvaat, ili se paralelni.

Sl. 6.28. Grafi~ki uslovi za ramnoteà na sili vo ramnina

1Fr

2Fr

3Fr

4Fr

1Fr

2Fr

3Fr

4Fr

O

5

2

3

5

4

3

2

1 1

4


71

Kako {to vidovme porano, sekoja sila moè da bide zameneta so dve komponenti po stranite na veri`niot pologon. Site ovie komponenti me|usebe se poni{tuvaat, so isklu~ok na prvata i poslednata komponenta.

Vo dadeniot primer (sl.6.28) komponentite 1r

i 5r

se dve sili so ist intenzitet i pravec, a sprotivni nasoki. Ako tie dve sili vo veri`niot poligon dejstvuvaat po ista napadna linija, se poni{tuvaat i sistemot na sili e vo ramnoteà. Ako nivnite napadni linii ne se poklopuvaat, tie obrazuvaat eden spreg i toga{ sistemot od sili ne e vo ramnoteà.

Zna~i, grafi~ki uslov za ramnoteà na proizvolen sistem od sili vo ramnina e zatvoren poligonot na sili i zatvoren veri`niot poligon. Ako eden od tie dva uslova ne e zadovolen, me|u dadenite sili nema da nastapi ramnoteà. Ako ne e zatvoren poligonot na silite imame edna rezultanta, a ako ne e zatvoren veri`niot poligon imame eden rezultanten spreg.

6.9. Razloùvawe na sila na dva paralelni i tri proizvolni pravci

Razloùvaweto na edna sila na dva proizvolni pravci, kako {to ve}e be{e napomenato vo glava 5, e vozmo`no samo ako prese~nata to~ka na dvata pravci leì na napadnata linija na rezultantata, bidej}i vo sekoj drug slu~aj rezultantata na dvete komponenti nema da se poklopi so dadenata sila.

(1) Specijalen slu~aj na razloùvawe na zadadena sila na dva proizvolni pravci e koga pravcite po koi treba da se razloì silata se paralelni so nea. Uslovot za zaedni~ka prese~na to~ka vo ovoj slu~aj e zadovolen bidej}i dadenite pravci se se~at vo edna to~ka vo beskone~nost, taka {to problemot e potpolno opredelen.

Razloùvaweto na silata Fr

na dva paralelni pravci k1 i k2 na soodvetni rastojanija e1 i e2 od nea, moè da se izvr{i grafi~ki so pomo{ na veri`niot

poligon (sl.6.29)

Sl. 6.29 Razloùvawe na sila na dva paralelni pravci

V S


72

Najprvo, vo soodvetna razmera za dolìni se konstruira planot na polo`ba na napadnite linii na silata i na paralelnite pravci (sl.6.29a). Potoa, se konstruira poligonot na sili vo koj vo soodvetna razmera za sili se nanesuva zadadenata sila F so svojot pravec, nasoka i golemina (Sl. 6.29b). Se izbira proizvolen pol O, so {to se povlekuvaat i polnite zraci Oa i Ob. Veri`niot poligon se konstruira na toj na~in {to na napadnata linija na rezultantata se izbira proizvolna to~ka A' niz koja se povlekuvaat pravcite 1 i 2 paralelni so polnite zraci Oa i Ob, koi gi se~at zadadenite pravci k1 i k2 vo to~kite I i II. So povrzuvawe na to~kite I i II se zatvora veri`niot poligon, odnosno se dobiva negovata zavr{na strana. Pravata Oc vo poligonot na sili {to e paralelna so zavr{nata strana y na veri`niot poligon, gi dava otse~kite ac i cb, koi vo soodvetnata razmera za sili gi pretstavuvaat intenzitetite na baranite komponenti k1 i k2, dodeka pak nasokata na istite se poklopuva so nasokata na zadadenata sila F

r (sl.6.29.b).

Ako napadnite linii na baranite komponenti leàt na ista strana od dadenata sila (sl.6.30), konstrukcijata na poligonot na sili i veri`niot poligon pri razloùvaweto na silata F vo princip ostanuva ista.

Analiti~ki razloùvaweto se vr{i so primena na Variwonovata teorema pri {to stati~kiot moment na dadenata sila F vo odnos na proizvolno izbrana momentna to~ka mora da bide ramen na algebarskata suma od momentite na baranite komponenti, bidej}i silata pretstavuva nivna rezultanta, odnosno

21 kkF += (64)

Na napadnata linija k1 se bira proizvolna to~ka V (sl.6.29a), vo odnos na koja se primenuva Variwonovata teorema

BBBF MMM 21 += (65)

Sl. 6.30. Razloùvawe na sila na dve paralelni komponenti so napadni linii od ista strana so silata


73

momentna to~ka V: ekeF ⋅+=⋅ 21 0 ; 21 eee +=

21

12 ee

eFk+⋅

= (66)

Nasokata na oddelnite kompponenti se opredeluva na takov na~in, {to nasokata na vrtewe na momentot na sekoja komponenta e ednakva so nasokata na vrtewe na dadenata sila F

r vo odnos na istata proizvolno izbrana momentna

to~ka.

Intenzitetot i nasokata na komponentata po pravecot k1 se opredeluva so postavuvawe na momentnata ravenka (65) vo odnos na proizvolna to~ka S koja leì na napadnata linija na komponentata k2.

momentna to~ka S: CCCF MMM 21 += ; 012 +⋅−=⋅− ekeF

21

21 ee

eFK+⋅

= (67)

Algebarskata suma na intenzitetite na komponentite k1 i k2 e ednakva na intenzitetot na zadadenata sila, odnosno treba da bide zadovolena slednata skalarna ravenka:

21 kkF += (68)

Ako napadnite linii na baranite komponenti leàt na ista strana od silata F

r, toga{ so primena na istata postapka se dobiva deka komponentite k1 i

k2 imaat razli~ni nasoki (sl.6.30).

Od momentnata ravenka za to~kata V {to leì na pravecot k1 se dobiva intenzitetot i nasokata na komponentata k1:

momentna to~ka B: BBBF MMM 21 += ; ekeF ⋅−=⋅− 21 0 ; 12 eee −=

12

12 ee

eFK−⋅

= (69)

Intenzitetot i nasokata na komponentata k2 se dobiva od momentnata ravenka za to~kata S :

momentna to~ka S: CCCF MMM 21 += ; 012 +⋅−=⋅− ekeF

12

221 ee

eFeeF

k−⋅

=⋅

= (70)


74

Bidej}i rastojanieto e2>e1, komponentata na silata Fr

po pravecot {to e poblisku do nea ima pogolem intenzitet, a ista nasoka, dodeka komponentata za podale~niot pravec ima pomal intenzitet od zadadenata sila i sprotivna nasoka. Zna~i, zadadenata sila pretstavuva razlika na intenzitetite na baranite komponenti,

21 KKF −= (71)

(2) Razloùvawe na sila na tri komponenti: Za da moè ovoj problem na razloùvawe da se re{i mora da bidat ispolneti i nekoi uslovi. Eden uslov koj treba da bide zadovolen za da moè edna sila da se razloì na tri komponenti po poznati pravci e: dadenite pravci da ne se se~at vo edna to~ka.

Ovoj uslov go vklu~uva vo sebe i vtoriot uslov: dadenite pravci da ne se paralelni, bidej}i paralelnite pravci se se~at vo edna to~ka vo beskone~nost.

Vo slu~aj trite napadni linii da nemaat zaedni~ka prese~na to~ka, za opredeluvawe na intenzitetite i nasokite na soodvetnite komponenti, voglavno se primenuvaat dve metodi: grafi~ka metoda na Kulman i grafoanaliti~ka metoda na Riter.

(a) Metoda na Kulman

Ovaa metoda e ~isto grafi~ka metoda i za prv pat e primeneta od poznatiot germanski matemati~ar i inèner Karl Culmann (1821-1881), zaradi {to go nosi i negovoto ime.

Grafi~ki, razloùvaweto na silata Fr

na tri komponenti 1Kr

, 2Kr

i 3Kr

~ii{to pravci a1, a2 i a3 se odnapred poznati, se vr{i koristej}i go poznatiot princip na razloùvawe na sila na dve komponenti {to se se~at vo edna to~ka po napadnata linija na silata.

Za taa cel, vo planot na polo`ba se koristi parcijalnata rezultanta na komponentite 2K

r i 3K

r koi dejstvuvaat po pravcite a2 i a3, koja mora da ima

zaedni~ka napadna to~ka so niv, to~kata II na Sl.6.31a. Od druga strana pak, ovaa parcijalna rezultanta K

r i silata 1K

r vo pravecot a1 pretstavuvaat komponenti na

silata Fr

, taka {to tie mora da imaat isto taka zaedni~ka napadna to~ka, to~kata I na Sl.6.31a. Od ovde proizleguva deka parcijalnata rezultanta K

r ima pravec

koj se poklopuva so pravata I-III, koja se nare~uva Kulmanova prava.

Razloùvaweto na silata Fr

na dve komponenti, po grafi~ki pat, se vr{i so primena na praviloto na paralelogram na sili (sl.6.31a), ili poligonot na sili, koj naj~esto i se koristi vo praksata (sl.6.31b).

Konstruiraweto na poligonot na sili po~nuva od proizvolnata to~ka 1 od koja se nanesuva zadadenata sila F

r so svojot intenzitet, pravec i nasoka. Istata

se razloùva na komponentite 1Kr

i Kr

koi se se~at vo zaedni~kata to~ka I na planot na polo`ba, na toj na~in {to od po~etnata i krajnata to~ka 1 i 2 se povlekuvaat pravi paralelni so pravcite a1 i k, koi se se~at vo to~kata 3.


75

Komponentata Kr

, koja e sega potpolno definirana so svojot intenzitet i nasoka, pretstavuva parcijalna rezultanta na komponentite 2K

r i 3K

r po pravcite

a2 i a3 koi se se~at vo to~kata II. So povlekuvawe na paraleli od to~kite 1 i 3 so pravcite a2 i a3, delumnata rezultanta K

r, t.n. kulmanova sila se razloùva na

komponentite 2Kr

i 3Kr

.

Nasokata na dejstvuvawe na komponentite vo poligonot na sili se odreduva na ve}e poznatiot na~in, t.e. pridrùvaj}i se kon praviloto deka nasokata na vrtewe na komponentite vo poligonot na sili e obraten od nasokata na rezultantata.

Kulmanovata metoda ima osobeno golema primena vo slu~aite koga silata Fr

treba da bide vo ramnoteà so silite po trite odnapred poznati pravci. Pri toa se poa|a od uslovot deka trite sili F

r, 1K

r i K

r, koi {to se se~at vo

zaedni~kata to~ka I, }e bidat vo ramnoteà ako formiraat zatvoren triagolnik na sili vo koj nivnite nasoki se posleduvatelni. Potoa kulmanovata sila K

r na

ist na~in se razloùva na dvete komponenti 2Kr

i 3Kr

. Ovaa postapka ima primena

pri odreduvawe na silite vo stapovite od re{etkastite nosa~i.

(b) Riterova grafoanaliti~ka metoda

Razloùvaweto na zadadenata sila Fr

na tri sili, so odnapred definirani pravci, spored metodata na Riter se zasnova vrz postavkite na Variwonovata teorema. Pri toa momentnite to~ki ne se izbiraat proizvolno, tuku istite se zemaat vo presekot na dva pravci, so cel da se dobie momentna ravenka vo koja }e figurira samo edna nepoznata golemina, eliminiraj}i gi na toj na~in ostanatite dve nepoznati.

Sl. 6.31. Kulmanova grafi~ka metoda za razloùvawe na sila na tri komponenti so poznati pravci


76

Proizvolnata sila Fr

}e se razloì na trite komponenti 1Kr

, 2Kr

i 3Kr

po

pravcite a1, a2 i a3 koi ne se se~at vo edna to~ka (sl.6.32) na toj na~in {to za momentni to~ki se zemaat posledovatelno prese~ni to~ki na dva po dva pravci.

Primerno, za opredeluvawe na komponentata 1Kr

vo pravecot a1, za momentna to~ka se zema prese~nata to~ka po pravcite a2 i a3, odnosno to~kata A. Toga{, so primena na Variwonovata teorema se dobiva:

momentna to~ka A: ∑=

=++=3

1321

i

AK

AK

AK

AK

AF i

MMMMM ; 0011 ++⋅=⋅ hKhF A

1

1 hhF

K a⋅= (72)

Za opredeluvawe na komponentata po pravecot a2 se postavuva Variwonovata teorema za momentnata to~ka V, kade se se~at pravcite a1 i a3:

m.t.V: ∑=

=++=3

1321

i

BK

BK

BK

BK

BF i

MMMMM

00 22 +⋅+=⋅ hKhF B

2

2 hhFK B⋅

= (73)

Ako prese~nata to~ka S, na pravcite a1 i a2 se zeme za momentna to~ka, toga{ se dobiva komponentata K3 po pravecot a3:

m.t.S: ∑=

=++=3

1321

i

CK

CK

CK

CK

CF i

MMMMM

3300 hKhF A ⋅++=⋅

3

3 hhF

K C⋅= (74)

Riterovata metoda se veli deka e grafoanaliti~ka metoda poradi toa {to najkratkite rastojanija na silite od momentnite to~ki moè da se zemat i po grafi~ki pat, odnosno so merewe na soodvetnite rastojanija vo planot na polo`ba i potoa so mnoèwe so soodvetnata razmera za dolìni, nd.

Ovaa metoda ima golema primena pri iznao|awe na silite vo stapovite od re{etkastite nosa~i pri {to se koristi postavkata deka treba da postoi ramnoteà me|u rezultantata F

v i trite komponenti 1K

r, 2Kr

i 3Kr

.

Sl.6.32.Riterova grafoanaliti~ka metoda za razloùvawe na sila na

tri komponenti


77

6.10. Centar na sili vo ramnina

Neka vo ramninata xOy vo to~kata A(x,y) dejstvuva sila Fr

koja so pozitivniot smer na x oskata zatvora agol α. Silata F

r pretstavuva sila vrzana za to~ka

(sl.6.33). Proekciite na silata po dvete koordinatni oski, kako i nejziniot intenzitet definirani se so slednite ravenki:

α= cosFFx ; α= sinFFy ; 22yx FFF += (75)

Ako silata ja zarotirame okolu nejzinata napadna to~ka za proizvolen agol ϕ, }e se promenat proekciite na istata (rav.76 i 77), no nejziniot intenzitet nema da se promeni (rav.78), poto~no intenzitetot na silata e edna nepromenliva invarjantna golemina.

ϕ−ϕ=ϕα−ϕα=ϕ+α= sincos)sinsincos(cos)cos('yxx FFFFF (76)

ϕ+ϕ=ϕα+ϕα=ϕ+α= cossin)sincoscos(sin)sin('yxy FFFFF (77)

FFFFFFFFFF yxyxyxyx =+=ϕ+ϕ+ϕ−ϕ=+=′ 22222'2' )cossin()sincos( (78)

So rav. 76 i rav. 77 izrazeni se proekciite na zarotiranata sila preku proekciite na nezarotiranata sila (sl.6.33).

Stati~kiot moment na silata Fr

vo odnos na to~kata O se dobiva so izrazot:

xFyFM yxFo ⋅−⋅= (79)

Stati~kiot moment na zarotiranata sila 'Fr

vo odnos na istata to~ka }e se promeni i }e iznesuva:

xFyFM yxFo ⋅−⋅= '''

xFFyFFM yxyxFo ⋅ϕ+ϕ−⋅ϕ−ϕ= )cossin()sincos('

ϕ⋅+⋅−ϕ⋅−⋅= sin)(cos)(' yFxFxFyFM yxyxFo

Izrazot vo prvata zagrada go pretstavuva stati~kiot moment od nezarotiranata sila vo odnos na to~kata O, dodeka izrazot vo vtorata zagrada se narekuva varijal na silata F

r vo odnos na to~kata O i se dobiva kako skalaren produkt

pome|u silata Fr

i radius vektorot na polo`ba na napadnata to~ka na silata Arv :

( ) yFxFrFV yxAF

o ⋅+⋅=⋅=rr

(80)

),( yxA

Fr

yFr

xFr

α

'Fr

ϕ

'xFr

'yFr

Arr x

y

O

Sl.6.33


78

Na toj na~in stati~kiot moment na zarotiranata sila 'Fr

mo`e da se izrazi preku stati~kiot moment na zadadenata sila F

r vo odnos na istata to~ka:

ϕ⋅−ϕ⋅= sincos' Fo

Fo

Fo VMM (81)

Neka edno kruto telo go napa|aat sistem od sili 1Fr

, 2Fr

, 3Fr

,..., nFr

so razli~ni pravci, nasoki i napadni to~ki. Polo`bata na silite vo xOy koordinatniot sistem opredelena e so koordinatite na napadnite to~ki na silite ),( iii yxA , nivnite intenziteti Fi i aglite {to pravcite na silite gi zafa}aat so pozitivnata nasoka na h-oskata, iα . Proekciite na rezultantata po dvete koordinatni oski dadeni se slednite izrazi:

∑=

=+++=+++=n

iiinnnxxxx FFFFFFFR

1221121 coscos...coscos.... αααα

∑=

=+++=+++=n

iiinnnyyyy FFFFFFFR

1221121 sinsin...sinsin.... αααα

Ako site sili se zavrtat okolu svojata napadna to~ka za ist proizvolen

agol ϕ, }e se dobie nov sistem od sili 'iFr

~ija rezultanta 'Rr

mo`e da se opredeli

preku soodvetnite proecii na zarotiranite sili:

)cos(F....)cos(F)cos(FR nn'x ϕαϕαϕα ++++++= 2211

)sinsincos(cosF...)sinsincos(cosFR nnn'x ϕαϕαϕαϕα −++−= 111

ϕααϕαα sin)sinF...sinF(cos)cosF...cosF(R nnnn'x ++−++= 1111

Izrazot vo prvata zagrada pretstavuva proekcija na rezultantata na nezarotiraniot sistem od sili po oskata x, a izrazot vo vtorata zagrada po oskata y, pa ottamu se dobiva:

ϕϕ sinRcosRR yx'x −= (82)

Soodvetno se dobiva i proekcijata na rezultantata na zarotiraniot sistem od sili po oskata y:

)sin(F....)sin(F)sin(FR nn'y ϕαϕαϕα ++++++= 2211

)sincoscos(sinF...)sincoscos(sinFR nnn'y ϕαϕαϕαϕα ++++= 111

ϕααϕαα cos)sinF...sinF(sin)cosF...cosF(R nnnn'x +++++= 1111

ϕϕ cosRsinRR yx'y += (83)

Intenzitetot na rezultantata 'Rr

se dobiva:

RRRcosRsinRsinRcosR

)cosRsinR()sinRcosR(RR'R

yxyxyx

yxyx'y

'x

=+=+++

=++−=+=

2222222222

2222

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ (84)

Agolot {to rezultantata 'Rr

go zaklopuva so pozitivnata nasoka na x oskata iznesuva:


79

)(tgtgtg

tgtg'tg

)cosR(/sinRcosRcosRsinR

R

R'tg x

yx

yx'x

'y

ϕαϕααϕα

ϕϕϕϕϕ

α

+=⋅−

+=

⇒−

+==

1

(85)

Gornite izrazi poka`uvaat deka ako site sili se zavrtat za agol ϕ okolu svoite napadni to~ki toga{ i rezultantata }e se zavrti za istiot agol okolu svojata napadna to~ka (rav.85), bez pritoa da se promeni nejziniot intenzitet (rav. 84).

Za da ja opredelime to~kata okolu koja }e se zavrti rezultantata Rr

}e ja primenime Variwonovata teorema za zarotiraniot sistem od sili, pri {to za momentna to~ka }e go odbereme koordinatniot po~etok.

∑=

=n

i

Fo

'Ro

'iMM

1 (86)

Ako ja primenime rav. 81 }e se dobie:

∑=

−=−n

i

Fo

Fo

Ro

Ro )sinVcosM(sinVcosM ii

1ϕϕϕϕ

∑∑==

=+−+−n

i

Fo

Ro

n

i

Fo

Ro sin)VV(cos)MM( ii

110ϕϕ

Bidej}i ϕsin i ϕcos nemo`at istovremeno da bidat nula, se dobiva:

01

=− ∑=

n

i

Fo

Ro

iMM i ∑=

=+−n

i

Fo

Ro

iVV1

0 (87)

Soglasno rav.79 i rav.80 se dobiva:

∑=

=−n

i

Focycx

iMxRyR1

i ∑=

=+n

i

Focycx

iVyRxR1

(88)

So re{avawe na dobieniot sistem ravenki po nepoznatite cx i cy , se dobivaat

koordinatite na napadnata to~ka na rezultantata, takanare~en centar na sili.

2R

MRVRx yx

c∑ ∑−

= ; 2R

VRMRy yx

c∑ ∑+

= (89)

to~kata - УКИМktmjm.gf.ukim.edu.mk/images/stories/0_statika/literatura/...mehanika statika -...

Documents