tobbsz_mgazd_elemz_2

tobbsz_mgazd_elemz_2_11

Msodik rsz: Az input-output modellek s az KM elemzsek alapjai

Tartalomjegyzk

Msodik rsz: Az input-output modellek s az KM elemzsek alapjai ............................ - 75 -

5. A Leontief-technolgia s az I-O modellek fbb tpusai............................................. - 76 -

5.1. A Leontief-technolgia......................................................................................... - 76 -

5.2. A nylt, statikus I-O modell s Leontief-inverz.................................................... - 78 -

5.3. A zrt, statikus I-O modell sajtrtk egyenlete................................................... - 80 -

5.4. A nylt dinamikus I-O modell s Leontief-inverz ................................................ - 82 -

5.5. A zrt stacionrius I-O modell sajtrtk egyenlete ............................................. - 89 -

5.6. Optimlis s egyenslyi nvekedsi plyk ......................................................... - 92 -

6. Az input-output modellek matematikai kzgazdasgtani alapjai ................................ - 96 -

6.1. Produktivits s a nemnegatv Leontief-inverz ltezse ...................................... - 96 -

6.2. A Neumann-sor, rfordtsi kapcsolatok s a Leontief-inverz ............................. - 99 -

6.3. Sajtrtkek, sajtvektorok s a PerronFrobenius-ttelek ................................ - 102 -

6.4. Produktivits, nmegjts s hatkonysg az I-O technolgia esetn .............. - 105 -

7. Az input-output elemzsek statisztikai adatforrsai: KM s SAM ......................... - 110 -

7.1. Az gazati kapcsolatok mrlegnek (KM) alapsmja.................................... - 111 -

7.2. Az KM-ek gazdasgstatisztikai alapjai s fbb tpusai ................................... - 117 -

7.3. Az KM-ek alaptpusai...................................................................................... - 121 -

7.4. A trsadalmi elszmolsok mtrixa (SAM) ....................................................... - 129 -

8. A klkereskedelem eltr brzolsi lehetsgei az KM-ben ................................ - 132 -

8.1. Az eltr brzolsbl nyert KM-ek ............................................................... - 132 -

8.2. Az eltr KM tpusokbl nyert volumenmodellek sszehasonltsa............... - 137 -

8.3. Az eltr KM tpusokbl nyert rmodellek sszehasonltsa ......................... - 140 -

8.4. Devizarfolyam s az export rvn kitermelt valuta kltsgindexe ................... - 144 -

9. Rszleges bezrsok: az KM s az I-O multipliktor kiterjesztse ........................ - 148 -

9.1. A kiterjesztett KM multipliktorok kibvtett s az sszevont formi............ - 149 -

9.2. Tovbbi kiterjesztsi lehetsgek: fogyaszts s brek...................................... - 151 -

9.3. Tovbbi kiterjesztsi lehetsgek: ptl beruhzs s amortizci ................... - 155 -

9.4. Az KM multipliktorok sszefoglal tblzata ............................................... - 157 -

10. sszevont multipliktorok, kzvetlen s teljes mutatk ......................................... - 162 -

10.1. Volumen-multipliktorok ................................................................................. - 162 -

10.2. Az gazati kapcsolatok szorossgnak elemzse ............................................. - 165 -

10.3. Jvedelem-multipliktorok s Quesnay elemzse ............................................ - 166 -

10.4. A teljestartalom-szmts s a halmozott mutatk ........................................... - 169 -

11. KM-ekre pl I-O volumen- s rmodellek........................................................ - 172 -

11.1. Strukturlis formban felptett I-O volumenmodellek ................................... - 173 -

11.2. Az KM rmultipliktorok kiigaztsa ............................................................ - 182 -

11.3. Az I-O rmodellek jellemz adatai s ptblokkjai ........................................ - 187 -

11.4. Az KM-ek adataira pthet strukturlis rmodellek .................................... - 191 -

MSODIK RSZAZ INPUT-OUTPUT MODELLEK S AZ KM ELEMZSEK ALAPJAIAz els rszben ttekintettk a tbbszektoros modellek legfontosabb elmleti s mdszertani alapjait, mindenekeltt a makrogazdasgi modellek mgtt meghzd ltalnos egyensly- elmleti szemlletet, a modellek fbb vonsait, s rviden a tbbszektoros modellek fejldsnek trtnett is. rintettk tbbek kztt Leontief gyakorlati elemzsek cljra kidolgozott, ltalnos egyenslyi ihlets input-output modelljt is, amelynek a tovbbi rszletei s alkalmazsi lehetsgei ennek a rsznek a tmjt kpezik.

A korai megkzeltsekre, mint lttuk, ltalnosan jellemz volt a makrogazdasgi szemllet, s az, hogy a technolgit rgztett rfordtsi s kibocstsi egytthatkkal brzoltk. Meg- ismerkedtnk a lineris tevkenysgelemzsi modellel (LTM) is, amely a termels ilyen jelleg brzolsnak az ltalnos modellje, s mint ilyen, sajtos esetknt tartalmazza Leontief input- output modelljt is. A Leontief-fle input-output modell megklnbztet jellemvonsa, hogy klcsns s egyrtelm kapcsolatot felttelez a termkek s a termelsi folyamatok kztt. Emiatt a kibocstsi-rfordtsi egytthatknak a termkekhez (Koopmansnl vgtermkekhez) tartoz blokkja egy ngyzetes mtrix. Ez jelentsen leegyszersti az elemzsek matematikai mdszert: az input-output modellek magvt ugyanis emiatt egy szablyos egyenletrendszer, s nem egy egyenltlensg-rendszer fogja kpezni.

Szmos ok magyarzza a rgztett egytthatk alkalmazst a korai makrogazdasgi modellekben. Az egyik ok maga a makrogazdasgi szemllet. A rfordtsi-kibocstsi egytthatkat alakt termeli dntseket nem ptettk szervesen be a modellekbe, csupn a modellekhez fztt kiegszt megjegyzsekben trgyaltk, technikai rszletkrdsknt kezeltk. Egy msik, inkbb gyakorlati termszet ok, hogy a technolgiai lehetsgek bonyolultabb brzolsnak eleve korltot szabott mind a szksges statisztikai adatok, mind az alkalmas statisztikai becslsi mdszerek s matematikai algoritmusok hinya, mind a szmtstechnikai lehetsgek fejletlensge. Ezek a korltok csak az 1970-es vekre lazultak fel oly mrtkig, hogy relis alternatvaknt felmerlhetett a lehetsge annak, hogy a technolgia lersra nemlineris modelleket (termelsi fggvnyeket) is ignybe vegyenek az alkalmazott modellekben.

A nemlineris megkzeltsekkel a III. rszben fogunk foglalkozni. Ebben a rszben Leontief input-output modelljt vesszk kzelebbrl s rszletesen szemgyre. ttekintjk az input-output elemzs elmleti s mdszertani alapjait, a Leontief-fle modellek fbb tpusait, a modellek matematikai s kzgazdasgi jellemzit. Rszletesen megvizsgljuk a rfordtsi egytthat mtrix nemnegatv Leontief-inverze ltezsnek matematikai s kzgazdasgi feltteleit, az input-output modellek s a PerronFrobenius-fle sajtrtk-ttelek kapcsolatt, a produktivits, a hatkonysg s jvedelmezsg krdst. Bemutatjuk az input-output elemzs gyakorlati alkalmazsi lehetsgeit, az ezekhez szksges statisztikai adatforrsok fbb jellemzit (KM, SAM), a Leontief-inverzen alapul egyszerbb multipliktor-elemzseket, s az sszetettebb makrogazdasgi volumen- s rmodellek jellemz ptelemeit. Mindezek alapos megismerse jelentsen meg fogja knnyteni az sszetettebb makrogazdasgi modellek megrtst.

- 76 -

5. A Leontief-technolgia s az I-O modellek fbb tpusai5.1. A Leontief-technolgiaA lineris input-output modell a lineris tevkenysgelemzsi modell sajtos esetnek tekinthet. Az I-O modellekben a termelsi lehetsgeket egy sajtos LTM technolgia rja le, amelyben a termkek s a termelsi folyamatok kztt klcsns s egyrtelm kapcsolat ltezik. Mindenek- eltt feltesszk, hogy a javak eleve kt csoportba sorolhatk, a termelhet (termkek) s a nem termelhet javak (elsdleges erforrsok) csoportjba:

i) a termkek elvben egyarnt szolglhatnak mind a (foly) termel felhasznls, mind vgs

felhasznls (fogyaszts s felhalmozs) cljra;

ii) az elsdleges erforrsok ugyanakkor, feltevs szerint, nem llthatk el az brzolt tev- kenysgek ltal, s esetleges vgs felhasznlsuk sem jelenik meg a modellben.

Az elsdleges erforrsok rendelkezsre ll, illetve felhasznlt mennyisge, mint arra a Leontief modell kapcsn az I. rszben mr utaltunk, legtbbszr meg sem jelenik kzvetlenl a modellben, csupn kzvetve, kltsgvonzatukon (munkabrek, tkekltsgek stb.) keresztl, azaz a hozzadott rtk rszeknt.

A Leontief-fle input-output technolgia tovbbi jellegzetes feltevsei:

iii) minden termk csak egyetlen alapeljrssal llthat el (nincs technolgiai vlasztk), s

iv) minden alapeljrs csak egyetlen termket llt el (nincs ikertermels).

Az utbbi feltevsek jelentik az input-output modellek sajtossgt, a Koopmans-fle ltalnos LTM-tl eltr feltevsei. Ezek teszik lehetv s egyrtelmv az input/output egytthatk, az egysgnyi kibocstsra jut rfordtsok rtelmezst.

A fenti feltevsekkel definilt technolgiai halmaz a kvetkezkppen adhat meg: ET = {t: t =

A x, x 0}, D ahol E a kibocstsi egytthatk n n-es egysgmtrixa, A a termkek n n-es, D az elsdleges erforrsok l n-es (nemnegatv) rfordtsi egytthat mtrixa. Az utbbiak aij s dkj ltalnos elemei megmutatjk, hogy egysgnyi j-edik termk ellltshoz mennyi i-edik termkre, illetve k-adik elsdleges erforrsra van szksg. A k-adik elsdleges erforrs rt tovbbiakban is wk- val, az i-edik termk rt pedig pi-vel fogjuk jellni. Figyeljnk fel arra, hogy a kibocstsi egytthat mtrix sajtossga miatt a termkek ellltott mennyisge (brutt kibocstsa) a jelen esetben megegyezik a tevkenysgszintek x vektorval!

Megjegyzsek:1) Mindenekeltt figyeljnk fel arra, hogy az ltalnos LTM modellben a nett kibocstsi egytthatkat jelltk A mtrixszal, spedig az sszes jszgra egytt. Itt viszont az A mtrix csak rfordtsi egytthatkat tartalmaz, spedig csak a termkekbl szksges fajlagos rfordtsokat. A nett kibocstsi egytthatk mtrixa a jelen esetben a fenti definciban megjelen, az (E A) s a D blokkokbl sszetett mtrix, amelyeknek az ltalnos LTM modellben az Av s az Ae mtrixok felelnek meg, mghozz egy olyan reduklt modellben, amelybl a tisztn kzbens termkeket kiiktattuk. Ezt a jellst fogjuk alkalmazni ltalban az olyan termelsi modellek esetn, amelyben a javak termkek s elsdleges erforrsok csoportostsban jelennek meg.

- 77 -

2) A javak Leontief ltal kvetett osztlyozsa, mint ltjuk, eltr Koopmanstl. Itt egyrszt nincsenek tisztn kzbens termkek, msrszt az elsdleges erforrsok csak inputok lehetnek, ezrt is jelltk a D mtrixban szerepl rfordtsi egytthatit eleve pozitv mutatszmokkal.

3) Az input/output egytthatkat A mtrixszal jelltk, a nemzetkzi szakirodalommal sszhangban. Az I. rszben mr az R jellst alkalmaztuk, ha hangslyozni kvntuk, hogy mikro- szint, termkmlysg, naturlis adatokbl sszelltott I-O modellrl van sz. A gyakorlatban alkalmazott, az n. gazati kapcsolatok mrlegei (KM) alapjn szmszerstett modellekben ezzel szemben a kibocstsok mr nem egyedi termkek, hanem klnbz gazatok (ipargak) aggreglt kibocstsai (termelsi rtke), s az elsdleges erforrsok (munkaer, tke) szintn aggregtumok. A kibocstsok s felhasznlsok egyttes volument ltalban vltozatlan rakon sszestett (aggreglt) mutatszmokkal fejezzk ki. Emiatt az rmodellekben szerepl rak valjban az aggregci alapjul szolgl rak szintjnek egyttes vltozst kifejez rindexek. (Az rtkbeli s egy naturlis input-output modellek kapcsolatra ksbb visszatrnk.)

Az input-termelsi output modellnek a tevkenysgelemzs ltalnosabb modelljvel szemben megmutatkoz elmleti htrnya, nevezetesen az, hogy a termelsi eljrsok, illetve a termkek s termelsi tnyezk kztt nincs md a helyettestsre, egyszersmind Leontief a modell elnye is. Ennek kvetkeztben ugyanis a termkrfordtsi egytthatk mtrixa ngyzetes lesz. Ez lehetv teszi egyrszt, hogy az elszmolsi azonossgokat egyenletrendszerknt brzoljuk, msrszt azt, hogy az I-O modellekkel vgzett elemzsek sorn felhasznljuk a nemnegatv ngyzetes mtrixok nevezetes PerronFrobenius-fle sajtrtk-tteleit, amelyeket rszint ebben, rszint a IV. fejezetben fogunk majd ismertetni s ignybe venni.

Emlkeztetl: az x0 vektor jobb oldali sajtvektora az A ngyzetes mtrixnak, ha van olyan skalr, hogy egytt az Ax =x sajtrtk-feladat megoldst kpezik. Hasonlan: a p0 vektor bal oldali sajtvektora az A ngyzetes mtrixnak, ha van olyanskalr, hogyp = pA. A fentiskalr az A mtrix sajtrtke, amely lehetsges rtkeit az |A E| = 0 egyenlet gykei adjk meg. Asajt- rtkhez tartoz sajtvektorokat pedig az Ax =x, illetve a

p = pA egyenletek megoldsval hat- rozhatjuk meg, ahol |A E| az (A E) mtrix determinnsa. A fenti skalr az A mtrix sajtrtke, amely lehetsges rtkeit az |A E| = 0 egyenlet gykei adjk meg.

Ez is jelzi, hogy Leontief modellje nem pusztn elvont elmleti elemzsek, hanem kifejezetten gyakorlati makrogazdasgi elemzsek cljra kszlt. Olyan modellt kvnt fellltani, amely

megoldsa knnyen kiszmthat (regulris egyenletrendszer), mert ismertek s egyszeren alkalmazhatk a fenti clra ignybe vehet numerikus algoritmusok;

jl meghatrozott abban az rtelemben, hogy normlis felttelek kztt (rvidesen ltni fogjuk, mit is rtnk ezek alatt) van, spedig csak egyetlen megoldsa, ami a komparatv statikai elemzsekre val alkalmassgnak szinte elengedhetetlen felttele; s vgl, de nem utols sorban,

adatignye statisztikai megfigyelsek rvn viszonylag knnyen kielgthet. Jelents rszben ppen a Leontief-fle modell alkalmazsa nyomn ntt ki a nemzeti elszmolsok n. SNA rendszere, s az ennek rszt kpez gazati kapcsolatok mrlege (KM).

Leontief nem vletlenl kapott Nobel-djat munkssgrt. Input-output modellje egy sor kzgazdasgtani, matematikai s gyakorlati kutatsnak nyitott teret, s szmos kvetre tallt vilgszerte. Npszersgt az is jellemzi, hogy a jegyzet rsnak idpontjban, 2008-ban a scholar.google keres rendszer az input-output analysis kulcsszra kzel 20 800 cmet jelzett vissza, ebbl mintegy 5 000-t a 2000 utni idszakbl. Gyakran tallkozunk a szakirodalomban az Input-output kzgazdasgtan (Input-output Economics) elnevezssel is (a scholar.google pldul

20 200 cmet jelzett vissza), mivel ezen a cmen jelent meg Leontief (1951) elektronikus formban is elrhet ttr knyve is.

A korbban mr rszben megismert alapmodellt maga Leontief s msok szmos irnyban fejlesztettk tovbb. Ennek ksznheten tbbfle alaptpust klnbztethetjk meg egymstl.

- 78 -

Kt osztlyozsi szempont szerint a modell egyidszakos (statikus) s tbbidszakos (dinamikus, stacionrius), illetve nylt s zrt vltozatait rtelmezhetjk. Ebben a rszben elssorban az egyidszakos nylt modellekkel fogunk rszletesen foglalkozni, a tbbidszakos s zrt modellek alkalmazsra majd a IV. rszben trnk ki rszletesebben.

Az albbiakban rviden bemutatjuk a Leontief-modellek jellemz alapvltozatait. A hangslyt elssorban a matematikai formk bemutatsra helyezzk, de megprbljuk rviden rzkeltetni lehetsges kzgazdasgi rtelmezsket is. A jegyzet ksbbi rszei szmos konkrt rszlettel segtik majd az Olvast a modellek kztti eligazodsban.

5.2. A nylt, statikus I-O modell s Leontief-inverzNylt modellrl beszlnk olyankor, amikor a termelrendszer a termkek kls felhasznlsa s az ignybe vett kls erforrsok rvn kapcsoldik a gazdasgi krnyezethez. Ez a termels hagyomnyos felfogsa s brzolsa, amely szerint a termels clja a termszetben tallhat s a korbban ellltott javak cltudatos talaktsa a vgs szksgletek kielgtse cljbl. A nylt modell mr az I. rszben megismert (ld. 1.4. alfejezet) alapsszefggsei:

x = Ax + y(primlis alapegyenlet),(SNP-1)

p = pA + c(dulis alapegyenlet),(SND-1)

ahol az A rfordtsi egytthat mtrix (megfigyelt vagy elrebecslt) paramter, y a vgs (kl- s) felhasznls, c a (fajlagos) hozzadott rtkek (elsdleges jvedelmek), x a termelsi szintek, p az rszintek vektora.

n gazat esetn mind a primlis, mind a dulis egyenletrendszer n egyenletbl fog llni. Az ezekben megjelen potencilis vltozk (x s y, illetve p s c) szma 2n. gy teht mindkt rendszer n szabadsgi fokkal rendelkezik. Jellemzen az y, illetve a c vektor elemeit tekintjk exogn vltozknak, s gy a komparatv statika szoksos mdszervel azt vizsgljuk meg, hogy az utbbiak megvltozsnak mi lesz a hatsa az gazatok termelsi (x), illetve rszintjeire (p).

Az y vgs felhasznlst s a c (fajlagos) hozzadott rtket rendszerint tovbbi sszetevkre, illetve az azok vltozst elidz tnyezkre bontjuk. Egy a pusztn elmleti clokat szolgl modellben gyakran megelgsznk a vgs felhasznls fogyaszts (yc) s a felhalmozs vagy beruhzs (yb) rszekre bontsval (ld. Walras modelljt), illetve a hozzadott rtk felhasznlt munkaerhz (cw) s tkhez kapcsold kltsgek s/vagy jvedelmek (ck) szerinti sztbontsval. Ez utbbiakat szoks az eredeti (elsdleges) jvedelmeknek tekinteni, amelyek ideiglenes vagy lland jraelosztsval alakulnak ki a gazdasgi alanyok egyes csoportjainak (hztartsok, kormnyzat, vllalatok, klfld) vgs fogyasztsra rendelkezsre ll jvedelmei. A gyakorlati, statisztikai adatokra alapozott elemzsekben, mint rvidesen ltni fogjuk, tovbb rszletezzk a fenti tteleket.

De nemcsak az y, illetve a c vektor elemeit tekinthetjk exogn vltozknak. Mg ezekben az egyszer modellekben is alternatv modell-lezrsi lehetsgek kzl vlaszthatunk, attl fggen, hogy milyen feltevsekkel lnk. Ha pldul a dulis alapegyenletben az elsdleges erforrsok kltsgvel, wD-vel hatroznnk meg a fajlagos hozzadott rtk c vektort, mint a WalrasCassel modellben, akkor a szabadsgi fok l lenne (ahol l az elsdleges erforrsok szma). Az sszetettebb (pl. LP, CGE) modellekben a fenti rszmodellek szabadsgfokt tovbbi egyenletek bevezetsvel szntetjk meg.

A matematikai szempontoknak eleget tev, jl determinlt modellhez vezet megoldsok sem felttlenl vezetnek mindig kzgazdasgi szempontbl is rtelmes megoldshoz. Ezt mr lttuk az I. rszben is, pldul az osztrk neoklasszikus iskola teljes beszmtsi elvnek elemzse kapcsn, amit rdemes rviden visszaidzni. Az utbbi rmeghatrozs alapkplete most, a termel felhasznlst is figyelembe vve, a kvetkezkppen rhat fel,

p(E A) = wD,- 79 -

ahol az osztrk iskola feltevse szerint p = p(y), y = (E A)x, s az x vektor ismert exogn vltoz, mg az y, p s w vektorok elemei endogn vltozk.

A fenti modell, mint lttuk, ltalban nem jl determinlt, nem egy szablyos egyenletrendszer. (Csak akkor lenne szablyos, ha megegyezne egymssal az elsdleges erforrsok s a termkek szma, azaz l = n). Termszetesen a vltozk eljelnek pozitvnak kellene lennie, ezt sem szavatolja azonban semmi. Az y vektor pldul, mg pozitv x vektor esetn is tartalmazhat negatv elemeket!

A klasszikus kzgazdszok elmlete egy msik lezrsi lehetsget knl. Ebben a termkek p rai az endogn (a magyarzott) vltozk, s az elsdleges erforrsok (tke, munka s fld) kltsge az exogn adottsg (a magyarz vltozk). Ilyen lezrs esetn a vltozk (p) s az egyenletek szma mindig megegyezik egymssal, s az albbi

p(E A) = wDjl meghatrozott modellhez (szablyos egyenletrendszerhez) jutunk.

Az input-output modellek megoldsa rendszerint visszavezethet egy olyan szablyos egyenletrendszer megoldsra, amelyben az egytthat mtrix az (EA), az n. Leontief-mtrix. gy pldul a legegyszerbb esetben, az y s c vektorok rtknek rgztsvel

(EA)x = y, illetve p(EA) = cegyenletrendszerekhez jutunk.

A matematikai szempontbl felmerl krdsek a kvetkezk: van-e, egyrtelm-e a fenti egyenletrendszerek megoldsa, illetve a kapott megolds kzgazdasgi szempontbl rtelmes-e (a megoldsok eljele pozitv-e). Mindez attl fgg, hogy ltezik-e s nemnegatv-e az (EA) mtrixnak inverze, az n. Leontief-inverz. Ezzel a krdst majd a kvetkez fejezetben fogjuk rszletesen megvizsglni.

A LEONTIEF-INVERZ KZGAZDASGI JELENTSEIA nylt modell megoldsa alapjn egyszeren levezethetjk az (EA) 1 Leontief-inverz kt lehetsges kzgazdasgi rtelmezst. Ha ltezik a fenti inverz mtrix, akkor

x = (EA) 1y, illetve p = c(EA) 1szolgltatja a keresett teljes (brutt) kibocsts, illetve az rak vektort.

A fenti meghatrozsokbl kzvetlenl kiolvashat az L-inverz kzgazdasgi rtelmezse, ha az y s a c vektorok helybe rendre egy-egy egysgvektort helyettestnk. Ha pldul y = ej, a j- edik egysgvektor (oszlopvektor formban), akkor a kapott x vektor az (EA) 1 mtrix j-edik oszlopa lesz. Jelljk ezt sj vektorral! Azonossgknt teljeslnek teht az albbi egyenlsgek:

sj = (EA) 1ej, illetve sj = Asj + ej.

Az sj teljes kibocstsi vektor egy olyan termelsi szerkezet, amely megvalsulsa esetn csak a j-edik szektor termkbl keletkezne vgs kibocsts, spedig ppen egy egysgnyi. A tbbi termk termelse ppen csak fedezn a termelfogyaszts ignyt. Ebbl addan:

a Leontief-inverz j-edik oszlopnak elemei megmutatjk, hogy a sorok szerinti gazatoknak mennyit kell termelnik sszesen ahhoz, hogy a termelfelhasznls levonsa utn a j-edik gazat kibocstsbl pontosan egy egysget kls felhasznlsra t lehessen adni. Ezen rtelmezs szerint teht az (EA) 1 mtrix elemei az egysgnyi vgs kibocstsra vonatkoztatott teljes kibocstsi egytthatk.

A modell lineris volta miatt az x = (EA) 1y sszefggs termszetesen a nvekmnyekre is fennll:

x = (EA) 1 y.

- 80 -

Ax vektor azt mutatja meg, hogy a vgs felhasznlsi ignyy nvekedse vgs soron mekkora termelsnvekedst generl. Ez utbbi kt rtelmezsben

az (EA) 1 mtrix egyfajta multipliktorknt viselkedik: megsokszorozza a termels irnt jelentkez kls, kzvetlen ignyt, ami kzvetve tovagyrz ignyeket tmaszt. Ezltal a termelsre gyakorolt teljes hatsa nagyobb lesz.

A multipliktorokra, illetve kzvetlen, kzvetett s teljes hats lehetsges rtelmezseire ksbb mg rszletesen kitrnk. A Leontief-inverz fenti rtelmezse alapjn ugyancsak megadhatjuk az A(EA) 1 = (EA) 1E, a D(E A) 1, ill. a B(EA) 1 mtrixok kzgazdasgi tartalmt is, ahol B a tkeignyessgi egytthatk korbban mr bevezetett mtrixa. Az utbbi mtrixok ltalnos eleme azt mutatja meg, hogy

a sorszerinti termelsi tnyezbl (termkekbl, elsdleges erforrsokbl, lekttt tke- javakbl) mennyi szksges sszesen (kzvetlenl s kzvetve) ahhoz, hogy a termel- rendszernek az oszlop szerinti gazat termkbl ppen egysgnyi nett kibocstsa keletkezzen (teljes rfordtsi egytthatk).

Legyen most c = ei, s helyettestsk be ezt az rtket a p = c(EA) 1 egyenletbe! A p vektor kapott rtke most az inverz mtrix i-edik sort adja eredmnyl. Jelljk ezt az si = ei(E A) 1 vektorral! A p = si rak esetn teht si = siA + ei. Ebbl kifolylag si egy olyan rvektorknt rtelmezhet, amely akkor alakulna ki, ha csak az i-edik gazatban keletkezne, spedig ppen egysgnyi nagysg fajlagos hozzadott rtk, a tbbi gazat ra pedig ppen csak fedezn az anyagkltsgeket. Ennek alapjn megfogalmazhatjuk a Leontief-inverz egy msik jelentst:

a Leontief-inverz i-edik sornak elemei megmutatjk, hogy az i-edik gazat egysgnyi termelsre jut (fajlagos) hozzadott rtknek (ci) egy-egy egysge mennyivel jrul hozz az oszlopok szerinti gazatok kibocstsnak egysgrhoz.

Ez utbbi rtelmezs alapjn az rakat gy lehet tekinteni, mintha azok a hozzadott rtkeket jelentenk meg, spedig halmozott formban, hiszen a c vektorban szerepl tiszta jvedelmek tbbszrsen, megsokszorozdva jelennek meg a p rvektorban. (A halmozds krdst is rszletesebben trgyalni fogjuk majd ksbb.)

Mint ltjuk, itt is egyfajta multipliktor jelensggel van dolgunk. A

p = ci ei(E A) 1kplettel kiszmtott vektor azt mutatja meg, hogy

a hozzadott rtk valamely sszetevjnek (pl. brkltsg vagy profit) az i-edik gazatban bekvetkezci nvekedse hogyan gyrzik tova a termelsi gak kztt, s mi lesz annak vgs hatsa az gazati rszintekre, ha minden gazat kpes rvnyesteni rban a maga kltsgeinek nvekedst.

5.3. A zrt, statikus I-O modell sajtrtk egyenleteA nylt modellben a vgs felhasznls, illetve hozzadott rtk exogn mdon adott, kapcsolatuk az gazati termels s rak szintjvel emiatt egyirny. Ha pldul n a relbr szintje, az kihat az rakra, de mr nem hat a fogyaszts s a termels szintjre. Vagy, egy msik pldt vve, ha n a beruhzs, akkor n a termels s ezen keresztl vrhatan a kifizetett brek tmege is, de mind- ennek nem jelentkezik a fogyasztsra gyakorolt hatsa.

Ksbb majd klnbz pldkkal fogjuk szemlltetni, hogyan lehet kiszlesteni az brzolt tovagyrz hatsok krt azltal, hogy kapcsolatot teremtnk a vgs fogyaszts s a hozzadott rtk sszetevi kztt. Egy-egy ilyen kapcsolatnak a tovagyrz hatsok bels rendszerbe val beptst a nylt input-output modell rszleges bezrsnak nevezzk. Majd ltni fogjuk,

- 81 -

hogy ezek fokozatos bekapcsolsa rvn elvben a felhasznlsok s a kltsgek minden eleme bekerlhet az gazatkzi kapcsolatok bels rendszerbe. Az ilyen modellt hvjuk zrt modellnek.

A statikus zrt modell alapsszefggsei az albbi ltalnos formban adhatk meg:

x = x(primlis alapegyenlet),(SZP-1)

p = p(dulis alapegyenlet).(SZD-1) A zrt modellekben teht minden felhasznls az jratermels krn bell zajlik. Ennek

megfelelen ezekben a modellekben nincs is fogyaszts a termelrendszeren kvl. Az ilyen

modellekben a fogyaszts, a felhalmozs s az export is kzvetlenl az elhasznlt javak jratermelst szolgl rfordts. Ezrt is jelltk a rfordtsi egytthatk mtrixt, a nylt modelltl eltren, -val.

Egy ilyen zrt modell legegyszerbb vltozathoz a nylt modell alapegyenleteinek albbi talaktsa rvn juthatunk el:

x = Ax + y sv,y = cx,(SZP-2)

p = pA + k c,k = psv,(SZD-2)

ahol y a hozzadott rtk (GDP) s egyttal a vgs felhasznls szintjt, k pedig az rszintet meghatroz skalrvltoz, sv a vgs felhasznls sszettele, c a relrtkben kifejezett fajlagos hozzadott rtkek (elsdleges erforrsok kltsgnek) vektora.

A kapott primlis s dulis egyenleteket egybefogva, sszevont vagy kibvtett formban, megkapjuk egy zrt input-output modell egyenleteit. sszevont formban:

x = (A + svc)x = x,

p = p(A + svc) = p, ahol a diadikus szorzat jele, illetve kibvtett formban:

x A

sv x

Asv

,illetve

p, k

p, k . y c

0 y

c0 A fenti sajtrtk-egyenletekbl lthat, hogy x s p szerkezete csak akkor vltozik, ha az egytthat mtrix paramtereiben vltozs kvetkezik be. Tovbb, e paramterek csak gy vltozhatnak meg, hogy kzben az mtrix sajtrtke tovbbra is 1 marad. Majd ksbb, az n. PerronFrobenius-ttelek rszeknt igazolni fogjuk, hogy ez azt jelenti, hogy legalbb egy elemnek nnie kell, ha valamely ms eleme cskken. Pldul, ha valamelyik gazatban n az elsdleges erforrsok fajlagos kltsge (c), akkor vagy az A mtrix, vagy az sv vektor legalbb egy elemnek cskkennie kell, azaz cskkennie kell vagy a termel, vagy a vgs fogyasztsnak.

A IV. fejezetben majd rszletesebben elemezni fogjuk a klasszikus kzgazdszok ltal bevezetett kisrutermels esett, ahol az egyetlen elsdleges erforrs a munkaer, s a vgs fogyaszts egsze a munkaer jratermelst szolglja (nincs felhalmozs), egy zrt input-output modellben elemezhet. A fogyasztst ugyanis a munkaer jratermelsnek rfordtsaknt kezelhetjk, s a kznsges (nem munkaer) termkeket elllt gazatok rendszert kibvthetjk egy sajtos, a munkaert szolgltat gazattal, s ily mdon zrtt tehetjk az eredenden nylt modellt. Eredmnyl az albbi modellt kapjuk:

x A

sc x

Asc

, illetve

p, k

p, k , l l

0 l

l0 ahol l a felhasznlt munkark szma, sc az egy munkarra es fogyaszts, s k itt is az rszintet meghatroz skalr. (Gyakorlatkppen bontsuk ki s rtelmezzk a fenti modell egyenleteit! )- 82 -

Egy msik plda a zrt modellre a nemzetkzi kereskedelem input-output modellje, amelyben az gazatok szerept az egyes orszgok, a kibocstst az export, a felhasznlst pedig az import tlti be. Az utbbi plda egyszersmind arra is felhvja a figyelmet, hogy az input-output modellek rtelmezsi s alkalmazsi lehetsgei szlesebb krt fednek le, mint egy nemzetgazdasg termelrendszere.

Hangslyozni kvnjuk, hogy itt, s az I-O modellek esetn ltalban, a nylt s zrt modell fogalmt sajtosan hasznljuk. Nem tvesztendk ssze a fogalmak msik, a klkereskedelem szempontjbl vett gyakori rtelmezsvel, amely esetn a zrt gazdasg egy nll (autark), a nylt egy vilggazda- sgba begyazott, klkereskedelmet folytat gazdasgra utal.

Mint ltjuk, a zrt modell alapegyenleteinek matematikai alakja sajtrtk-feladat. Ezeknek rendszerint csak akkor van kzgazdasgi szempontbl rtelmes megoldsa, ha 1 az mtrix dominns sajtrtke, ami mint ltni fogjuk kizrja annak lehetsgt, hogy az mtrixnak ltezzen Leontief-inverze. Az elemzs mdszertana az n. PerronFrobenius-fle sajtrtk- tteleken nyugszik.

5.4. A nylt dinamikus I-O modell s Leontief-inverzA dinamikus input-output modellek megrtshez induljunk ki egy statikus nylt modell beruhzsokkal kiegsztett vltozatbl:

x = Ax + Bsya + yc,ahol ya = (y a) az gazati beruhzsi szintek vektora, Bsc

= (b s) a beruhzsi (rfordtsi) egytt-hatk mtrixa, yc = (yj ) a fogyaszts (s esetleg egyb vgs felhasznls) vektora.A beruhzs, mint tudjuk, tartsan lekttt termelsi eszkzk ltestse (tkejavak beszerzse) hozam (megtrls) cljbl, ms szavakkal: a javak termelsi cl felhalmozsa. Attl fggen, hogy a beruhzs milyen clokat szolgl, lleszkz (fix) beruhzsokat s forgeszkz (kszlet-) beruhzsokat klnbztetnk meg egymstl. A forgeszkzk (kszletek) rvid idn bell is ltrehozhatk, s a felhalmozott anyag- s termkkszletek elvben brmikor felhasznlhatk, ugyangy, mint jonnan ellltott hasonmsaik. Az lleszkzk (klnsen az ptmnyek) beruhzsi folyamata s zembe helyezse ezzel szemben ltalban hosszabb idt vesz ignybe, s sszetevik gyakran oly mdon plnek be a ltrehozott kapacitsba, hogy egyltaln nem, vagy csak nagy rfordtsokkal nyerhetk vissza vltozatlan formban. Ezrt is kell klnbsget tenni az lleszkzk s a forgeszkzk kztt. A gyakorlati megfigyelsk s szmbavtelk tekintetben is jelents klnbsg van kzttk. Az lleszkz-llomny statisztikai megfigyelse elvben megoldhat, a forgeszkzk szmos nehzsgbe tkzik.

A Bs beruhzsi egytthatk mtrixnak ltalnos eleme, b s

azt mutatja meg, hogy a j-edik

gazatban eszkzlt beruhzs egysgnyi szintjhez mennyi termket (szolgltatst) vesznek ignybe az i-edik gazattl. Ms szavakkal: a Bs mtrix j-edik oszlopa a j-edik gazati beruhzs anyagi-mszaki sszettelt mutatja meg. A tovbbiakban feltesszk, hogy 1Bs = 1 (megoszlsi viszonyszmok) s ya vektor elemei megegyeznek a ltrehozott (adott gazati) j tkellomny volumenvel.

ltalban feltesszk azt is, hogy a Bs beruhzsi egytthat mtrix j-edik oszlopval kpvi- seltethetjk a j-edik gazat lekttt eszkzeinek (kompozit tkejavainak) az gazati eredet szerinti sszettelt is, amikor azok beszerzsi rt (kltsgt) kell meghatrozni. Ezt jratermelsi vagy ptlsi elvnek nevezhetjk: ha most kellene ltrehozni, ilyen sszettel s nagysg beruhzsra lenne szksg hozz. Ebbl addan

az egyes gazatok egysgnyi kibocstsra vettett tkeignyessgi egytthatk mtrixa, B = Bs, ahol s k = (k ) vektor az gazati tkeignyeket sszevont volumenindexek formjban kpviseli, a szerkezetben kibontott B mtrixszal szemben. A defincikbl kvetkezik, hogy 1B = k.

- 83 -

A fentiekbl addan a beruhzsok ltal ltrehozott kompozit gazati tkejavak volumenemegegyezik az y a

beruhzsi szintekkel. Az y a

mutatk teht dimenzinlkli indexszmok,

mrtkegysgk s egysgnyi szintjk tetszs szerint vlaszthat meg. A k vektor elemei ugyancsak a Bs mtrix oszlopai ltal meghatrozott sszettel, kompozit gazati tkejavak volumen- indexei, amit az albbi gondolatmenettel is igazolhatunk. Legyen p az gazati rszintek vektora, s fejezzk ki a kapacitsok egysgnyi nvelshez szksges beruhzsok rtkt az adott

rakon:pB = pBs = pb,

ahol a pb = pBs vektor elemei, az gazati beruhzsok tlagos rindexei, nem msok, mint a fentebb definilt kompozit gazati tkejavak rindexei. Ezekkel kellene elvben jrartkelni a korbban ltrehozott lleszkzket.

A beruhzsok nagysgt a gyakorlatban a tartsan lekttt termelsi eszkzkre fordtott kiadssal szoktk mrni. A beruhzs rvn ltrehozott lleszkzk rtkt a szmviteli gyakorlatban a beszerzsk s zembe helyezsk rdekben felmerlt kiadsok sszegeknt hatrozza meg (beker- lsi rtk). Egy naturlis mrtkegysgeket felttelez elmleti modellben az raktl fggetlenl kell definilni a beruhzsok s a ltrehozott tkejavak volument.

Amikor a j-edik gazat beruhzsnak egysgnyi szintjt a B

mtrix j-edik oszlopval (bj ) azono-

sstottuk, voltakppen a szmviteli gyakorlatot kvettk. A gyakorlatban a Bs

egytthatk rtkben

kifejezett mutatszmok, s kpzsi szablyukbl kifolylag Bs

oszlopsszegei az egysgnyi beruhzs

rtkt, azaz 1-t adnak eredmnyl (1B

= 1 megoszlsi viszonyszmok). A B mtrix oszlopsszegei

pedig az egysgnyi gazati kibocstsok tkeignyt mrik (1B = k), azaz xj kibocsts tkeignye kj xj lesz. Ha az gazati beruhzsok egysgnyi szintjt a B mtrix oszlopaival azonostottuk volna, akkor az egysgnyi kibocsts tkeignye ppen egy egysg lenne, azaz xj kibocsts tkeignye xj nagysg. (Azonos nagysgrendek, de dimenzijuk eltr!)

Mindebbl kvetkezik, hogy a korbban felhalmozott tkejavak kapacitskorltjt ktflekppen fejezhetjk ki. Ha eltekintnk attl, hogy a beruhzs rvn megvltozik bizonyos rfordtsok fizikai llaga (pldul csak forgeszkzk vannak), akkor felhalmozott termkkszletek formjban brzol- hatjuk ket, mint Walras modelljben: Bx k . Ezt az rtelmezst fogjuk alkalmazni itt is. Ha viszont csak lleszkzk vannak, akkor az sszevont jellst alkalmazhatjuk: kx ks. Voltakppen ezt a formt alkalmaztuk a 2 2-es gazdasgok WalrasCassel modelljben az 1. fejezetben. (Vegyk szre, hogy mindkett felttelezi, hogy a tkejavak tcsoportosthatk az gazatok kztt vesztesg nlkl!) Majd ksbb ltni fogjuk, hogyan lehet az ll- s forgeszkz ignyeket sztvlasztani egymstl.

A Leontief-modell dinamikus (tbb, egymssal sszefgg idszakos) jellegt nem a beruhzs explicit bevezetse, hanem az egyidszakos beruhzs bersi id feltevse teremti meg. Ennek rtelmben ltalban feltesszk, hogy

egy adott idszak beruhzsai ltal ltrehozott j kapacitsokat a kvetkez idszak elejn helyezik zembe (a beruhzsok egy idszak alatt rnek be). Az utbbi feltevs kvetkeztben a termkek forrsnak s felhasznlsnak, rviden: a termkmrlegek egyenslyi felttelben kt (de csak kt) egymst kvet idszak adatai jelennek meg.

A DINAMIKUS MODELL MRLEGEGYENSLYI FELTTELEIAz egyenslyi feltteleket kt, egymstl eltr szemlletben rhatjuk fel. Az intratemporlis felrsi md az egyensly adott idszakon belli folyamokra, a folyam (flow) tpus mutatszmok (termels, termel s vgs felhasznls, benne elklnlten a beruhzs) alakulsnak bemutatsra helyezi a hangslyt. Ez nem ms, mint a kiindul statikus modell trsa az ya = x feltevs (beruhzs = kvetkez idszaki kapacitsnvekmny) alapjn:

x = Ax + Bsya + yc = Ax + Bx + yc,

- 84 -

ahol x = xt + 1xt, azaz az adott s a kvetkez idszaki termelsi szint klnbsge, amely feltevs szerint meghatrozza a beruhzsi szinteket, s Bs = B, mint fentebb feltettk.

Vegyk szre, hogy a Bx kifejezs implicit mdon felttelezi, hogy a beruhzson a lekttt eszkzk bvtst, azaz nett beruhzst kell rtennk. Ennek ellenslyozsra fel kell teht tennnk, hogy az A rfordtsi egytthat mtrix nemcsak az anyagfelhasznlst, hanem az elhasznlt lekttt eszkzk (tkejavak) ptlshoz szksges rfordtsokat is tartalmazza.

A kicsit ksbb megmutatjuk, hogyan lehet az elhasznlt lleszkzk ptlsnak az ignyt explicit mdon brzolni a foly rfordtsi egytthatk rszeknt. S ha ez a megklnbztets szksges, akkor a ktfle rfordtsi egytthat mtrixot A (anyagrfordtsi egytthatk), illetve Ap (teljes kr termelsieszkz-ptlsi egytthatk) mtrixszal fogjuk jellni.

Az brzols dinamikus jellegt jobban kidombortja, ha explicite megjelentjk benne az idvltozjt:

x = Ax + B[xx ] + y c.(DNP-1) Az A s B mtrixok ltal sszefogott egytthatkrl ebben a felrsban feltettk, hogy idbenclland, ismert paramterek, a vgs fogyasztsi ignyek yt

vektora pedig exogn vltoz. De

mg gy is 2n darab vltoz, xt s xt + 1 marad az n darab egyenletben. A statikus vltozatban a beruhzsi szint ya vektora is exogn vltoz, ami lekti a fennmarad n szabadsgi fokot. Ennek a megoldsnak itt az xt + 1 vektor exogn vltozknt val kezelse felelne meg.

Ha a (B + EA) mtrix invertlhat, akkor a t-edik idszak vgs fogyasztsnak s a (t + 1)- edik idszak termelsnek vrt vagy tervezett mennyisge ismeretben kiszmthatjuk a t-edik idszak termelsnek ezekkel sszhangban lev nagysgt (visszagrgets):

xt = (EA + B) 1[yt

+ Bxt + 1].(DNP-1a)

Az (EA + B) 1 mtrix, mint rvidesen ltni fogjuk, nem ms, mint a dinamikus Leontief- inverz egy sajtos, egy idszakra rtelmezett s idben vltozatlan egytthatkat felttelez esete, ezrt egyidszakos stacionrius Leontief-inverznek nevezhetjk.

Vlasszunk most egy msik modell-lezrsi lehetsget, tekintsk az xt vektort exogn vltoznak s rendezzk t a mrlegegyensly felttelt! Ekkor a kvetkez formt kapjuk:

Bxt + xt Axt yt

= Bxt + 1.(DNP-1b)

Ez a felrsi md a kt idszak kztti, az intertemporlis sszefggseket hangslyozza. Az egyenlet bal oldala a termkkszletek t-edik idszakbeli alakulst rja le:

az els tag a korbbi idszakokban felhalmozott, az idszak elejn rendelkezsre ll termelsi eszkzk nyitkszleteit tartalmazza, amelyek felttelezs szerint fedezik a t- edik idszak termelshez szksges Bxt ignyket (llomny jelleg mutatszmok, rszben csak virtulis termkkszletek, bepltek az lleszkzkbe),

ezt a kszletllomnyt nveli a termkek adott idszaki kibocstsa (x), illetve

cskkenti az egyidej termel (Ax) s egyb vgs felhasznlsa (yc, folyam tpus mutatszmok).

Mindezek egyenlegeknt alakulnak ki az adott idszak zrkszletei (a beruhzott eszkzk kvetkez idszak eleji knlata), amelyeknek egyensly esetn meg kell egyeznik a kvetkez idszak termelshez szksges Bxt + 1 mennyisgekkel (keresletkkel).

A mrlegegyenslyi felttel intertemporlis formjban egyltaln nem termszetes feltenni, hogy a beruhzsi (tkeignyessgi) egytthatk a kt idszakban megegyeznek egymssal. Az sem nyilvnval tovbb, hogy a termels egyetlen gazatban sem cskken, xt + 1 xt, amit eddig, implicit mdon, feltettnk.

- 85 -

A termels termszetesen szklhet is az egyik idszakrl a msikra, s ha csak forgeszkzk vannak, azok kszletei akr fel is lhetk. Ms a helyzet az lleszkzkkel, amelyek sztbontsa s alkat- rszeinek termkekkel versenyz felhasznlsa (disinvestment) mr korntsem egyszer dolog, s nem brzolhat kielgt mdon egy ltalnos modellben. A szkl jratermels jelensgnek a modelle- zse teht, ami egybknt sem tl gyakori jelensg, kiegszt feltevsek ignybe vtelt jelenten.

cHa a B mtrix invertlhat, akkor adott xt s yt

mellett a (DNP-1b) egyenletrendszert elvben

megoldhatjuk xt + 1-re, azaz kiszmthatjuk, hogy a t-edik idszak adott termelse s fogyasztsa esetn milyen szinten folytathat tovbb a termels a (t + 1)-edik idszakban (elre grgets):

xt + 1 = B 1(B + EA)xt B 1y c.

Jelents rszben szektorbontstl, rszben az egytthat mtrix rtelmezstl fgg, hogy a B egyltaln invertlhat lesz-e vagy sem. Az gazatok kztt ugyanis lehetnek olyan, elssorban szolgltat gak, amelyek termkei nem lesznek tkejavak. A nagyobb problma az, hogy

cltalban nem szavatolhat, hogy xt + 1 gy kapott rtke, tetszleges xt s yt

vektor esetn,

nemnegatv lesz. St megmutathat, hogy kivteles esetektl eltekintve, az elre grgetssel kapott nvekedsi plya elbb vagy utbb, negatv gazati kibocstsok megjelense miatt el fog lehetetlenlni. Mindezek miatt a mrlegegyensly intertemporlis felttelt helyesebb ltalban

(B + EA)xt yt

Bxt + 1(DNP-1c)

gyenge egyenltlensg formban megadni. Az egyenltlensgek megoldsa esetn viszont felmerl a tbb lehetsg kztti vlaszts s a komplementaritsi kiktsek alkalmazsnak a krdse, amivel rvidesen rszletesebben foglalkozni fogunk.

A DINAMIKUS LEONTIEF-INVERZLeontief az albbi, vges szm, egymst megelz idszakra rekurzv mdon felrt (visszafel grget) egyenletrendszerbl nyert sszevont egytthat mtrix inverzt nevezte el dinamikus Leontief-inverznek:

(Bt + EAt )xt Bt +1 xt +1 = y c.........(Bt 2 + EAt 2)xt 2Bt 1 xt 1 = y cc(Bt 1 + EAt 1)xt 1Bt xt = yt 1(Bt + EAt)xt = yt,ahol az utols idszak egyenletnek a jobb oldaln, a tbbitl eltren, a teljes vgs felhasznls (a fogyaszts s felhalmozs egytt) jelenik meg. Az egyenletrendszer tartalmt knnyebben megrtjk, ha az utols egyenletbl kiindulva visszafel olvassuk s rtelmezzk!

Tegyk teht fel, hogy a fenti egyenletrendszer bal oldaln szerepl egytthat mtrixnak ltezik inverze, s gy a termelsi vektorokat kifejezhetjk a tbbi vltoz fggvnyben:

B E A B L0

0 1 y c

x t t t 1MOM

t MMc

t 0 0 L

Bt 1

0 yt 2 c

xt 2 0 0

LBt 1 E

At 1

Bt

yt 1

xt 1 L0

Bt E t

yt

xt - 86 -

A dinamikus Leontief-inverz elemeinek kzgazdasgi jelentse kzvetlenl kiolvashat a fenti felrsbl. Tegynk pldul, az yt vektort kivve, a vgs felhasznlsok vektorba csupa nullt, az yt vektor helybe pedig a j-edik egysgvektort! A fenti szorzat eredmnye ebben az esetben a dinamikus Leontief-inverz utols blokkjnak j-edik oszlopa lesz. Ennek az elemei teht azt mutatjk meg, hogy pusztn ahhoz, hogy a t-edik idszakban a j-edik gazat termkbl ppen egysgnyi nett kibocsts keletkezhessen, mennyit kell az egyes gazatoknak az adott s a megelz idszakokban sszesen termelnik.

A dinamikus Leontief-inverz defincijban a klnbz idszakok egytthat mtrixai kln- bzhetnek egymstl. Ha azok idben nem vltoznak, akkor a kapott inverz mtrixot stacionrius Leontief-mtrixnak nevezhetjk. A korbban bevezetett (B + EA) 1 mtrix teht valban nem ms, mint ennek egy olyan sajtos esete, amikor csak az utols idszakra rjuk fel az sszefggst.

AZ EGYENSLYI RAK A TBBIDSZAKOS MODELLBENrjuk fel a primlis sszefggs szimmetrikus, dulis megfeleljt intratemporlis formban:pt = ptA + (pt + 1pt)B + c e

(dulis alapegyenlet),(DND-1a)

ahol ce a hozzadott rtk egyb elemei (az elsdleges erforrsok kltsge). A B mtrix elemei a tkeignyessgi egytthatk, a pB vektor elemei teht az egyes gak egysgnyi termelshez lekttt eszkzk (tkk) rtkt adjk meg az adott p rak mellett.

A pusztn csak a matematikai szimmetria okn felrt egyenletrendszer kzgazdasgi tartalm- nak megrtst megknnyti, ha visszaidzzk a WalrasLeontief modell formai tekintetben a fentihez hasonl rmeghatrozst:

p = pR + pB + wD = pR + pB + p< >B + wD.A c e

vektornak, vagyis a hozzadott rtk tkekltsget meghalad rsznek (a munkaerkltsge, a fld brleti dja stb.) az utbbiban a wD kifejezs, a pA anyagkltsgnek pedig, amely feltevs szerint tartalmazza az amortizci ellenrtkt kpvisel ptlst is, a

p(R + B) = pR + pBvektor felel meg.

Az utbbi kplet egyttal megmutatja azt is, hogyan lehet megbecslni a gyakorlatban a felhasznlt anyagok s az elhasznlt lekttt eszkzk ptlsi ignyeit egytt tartalmaz, a termelsi eszkzk teljes kr ptlsi egytthatinak a mtrixt: Ap = (A + B).

Az analgia okn mr joggal kvetkeztethetnk arra, hogy a fennmarad

(pt + 1pt)B = pBkifejezsnek a lekttt tkk nett megtrlst kell mutatnia, vagyis a p = pt + 1pt vektornak a p< >-nek kell megfelelnie. A pt vektor a termkek, s egyttal az idszak elejn rendelkezsre ll kszleteik, mint tkejavak t-edik idszaki rait tartalmazzk. A pt + 1 vektor elemei pedig ezek (t + 1)-edik idszakbeli megfeleli, azaz a tkejavak jvrtkei. pi,t + 1 azt mutatja meg, hogy mennyirt lenne hajland valaki a birtoklsrl egy idszakra lemondani. rjuk fel a megtrlsi rtk ismert mikrokonmiai s pnzgyi meghatrozst:

i , t

pi , t 1p

i , t

pi , t,

- 87 -

Ennek alapjn knnyen belthatjukaz az elvrt pt + 1pt = pt< t> azonossg teljeslst, sejt- snk teht helyes volt.

Az ruk klnbz idszakbeli egyenslyi rainak klnbsgeknt meghatrozott i hozadki rtkat a termkek (tkejavak) sajt kamatrtinak (ru-kamatrtknak) szoktk nevezni.1Tkletes verseny s hossz tv egyensly esetn ezeknek ki kell egyenltdnik egymssal, s meg kell egyeznik az ltalnos kamatlbbal.

Az rmeghatrozs kplett is felrhatjuk intertemporlis formban is, mint a termkmrlegek egyenslyi felttelt:

pt + ptB ptA c e

= pt + 1B = ptB. (DND-1b)

Fejtsk ennek a meghatrozsnak a kzgazdasgi tartalmt is! A bal oldalon az els kt tag, pt s ptB sszege a t-edik idszak teljes rbevtele egysgnyi termelsi szint esetn, amennyiben az idszak vgn eladjk az idszak alatt lekttt, feltevs szerint eredeti fizikai llapotukban folyamatosan helyrelltott, illetve ptolt tkejavak kszleteit is. Ebbl levonva az idszak foly

rfordtsait, (ptA + c e)-t, megkapjuk az adott idszak tiszta jvedelmt. Ez megegyezik a jobboldalon ll kifejezssel, (pt + 1B)-vel, ami ugyanezen eszkzk rtke a (t + 1)-edik idszak rain.

A fenti kpletnek adhatunk azonban egy msik rtelmezst is, amiben nem kell feltenni az elhasznlt tkejavak folyamatos ptlst. Ez utbbi rtelmezs a tkebefektetsek pldjn nyugszik. Nevezetesen, a ptB vektor elemei az egyes gazatok egysgnyi termelshez szksges tkebefektetsek rtkt mutatjk meg. A pt + 1B = ptB vektor elemei pedig a fenti tke- befektetseknek, mint rszvnycsomagoknak, at megtrlsi rtk alapjn kapott jv rtkt adjk meg. A (DND-1b) egyenlet gy azt fejezi ki, a tiszta jvedelemnek minden gazat esetben meg kell egyeznie a befektetett tkk runknt egysges hozadki rtk alapjn szmtott hoza- mval. Vgeredmnyben mindegy melyik rtelmezst vlasztjuk, voltakppen mindkt esetben a non-profit felttel intertemporlis formjrl van sz.

A dinamikus rmeghatrozs kplett felrhatjuk az albbi egyenrtk formban is (a t-edik idre utal indexet az egyszersg kedvrt elhagytuk):

p = pA + p< >B + ce = p(A + < >B) + ce,(DND-1c)

ahol asajt kamatrtk exogn adottsgok, s ezek hatrozzk meg a termkek jvrtkeit.

A stacionrius modellek egyenslyi feltteleinek rtelmezst meg fogja knnyteni, ha az gazati nvekedsi temek, mint potencilis vltozk bevezetsvel a dinamikus modell primlis sszefggst is trjuk az rak (DND-1c) kpletvel szimmetrikus formba. Jelljk = (j) vektorral az gazati nvekedsi temeket! Ekkor, az idszakra utal indexet most is elhagyva a

x = Ax + Bx + yc = (A + B)x + yc(DNP-1c)alakhoz jutunk.

Mint a nylt formk esetben, a (DNP-1c) s a (DND-1a) meghatrozsok esetben is igaz, hogy az (A + < >B) s a (A + B) egytthat mtrixok dominns sajtrtknek 1-nl kisebbnek kell lennie ahhoz, hogy a fenti egyenletrendszereknek ltezzen nemnegatv megoldsa. Ez mint majd a PerronFrobenius-fle ttelek alapjn ltni fogjuk egyttal azt is jelenti, hogy az adott A s B rfordtsi egytthatk mellett as a paramterek egyttes (pldul a 1 s az

1 sszegek rtkeknt rtelmezett) szintje fellrl korltozott.1 Az ruk jvbeli s jelenbeli ra alapjn ltalban runknt eltr kamat- vagy megtrlsi rtt kapunk. Sraffa(1932) vezette be ezeket elszr, s ru-kamatrtknak nevezte. A sajt kamatlb elnevezs Keynes-tl szrmazik.

- 88 -

AZ EGYENSLYI SSZEFGGSEK DUALITSA AZ OPTIMLIS ALLOKCI NZPONTJBLA primlis egyenslyi sszefggs szimmetrikus, dulis megfeleljnek rtelmes kzgazdasgi jelentst tudtunk teht adni. De egyrszt, milyen alapon, milyen felttelek mellett lehet feltenni, hogy ismerjk a termkek kvetkez idszaki egyenslyi rait? Hiszen ezekbl, mintegy visszafel, akarjuk meghatrozni a jelen idszak egyenslyi rait. Msrszt, a dualits jelensge az optimlis feladatok jellemzje. Milyen optimlis erforrs-allokcis feladatot tudnnk a jelen esetben felrni, ami sszekapcsoln egymssal a naturlis s az rtkelsi egyensly feltteleit? Vajon valban a fenti forma az adekvt dulis megfelelje a primlis egyenslyi sszefggsnek?

Vegyk jra szemgyre a naturlis egyensly felttelt! Itt sincs minden rendben. Ott ugyan feltehettk, hogy felmrtk a vgs felhasznlsi ignyeket, illetve megterveztk a kvetkez idszak termelsi szintjeit, s ezekhez keressk meg jelen idszaki termels megfelel szintjt. De kzben itt meg figyelmen kvl hagytuk az erforrsok knlatt, kztk a tkejavak (lekttt eszkzk) elz idszakrl rklt llomnyt! Nem vizsgltuk meg teht, hogy ebben a tekintetben a kapott termelsi szintek egyltaln megvalsthatk-e vagy sem.

Ptoljuk ez utbbi hinyt! Jelljk a t-edik idszaknak az elz, a (t1)-edik idszakrl rklt indulkszleteit kt-vel! Jelljk ennek megfelelen a t-edik idszak zrkszleteinek, azaz a (t + 1)-edik idszak nyitkszleteinek llomnyt kt + 1 vektorral! A fenti jellsekkel a t- edik idszak erforrs-allokcis korltjai, gyenge egyenltlensgek elrsval, az albbi formt ltik:

Bxt kt, s Bxt + xt Axt ytc

= kt + 1.(DNP-2)

Tekintsk kt s yt

rtkt adottnak, xt s kt + 1 rtkt pedig vltoznak! kt + 1 a jv idszakitermelsi s ezen keresztl a jvbeli fogyasztsi lehetsgeket is kpviseli. Ennek nagysga teht nmagban nvelend. Kt mdon lehet ezt egy lineris clfggvnyben megjelenteni, mint lttuk. Vagy megadjuk a termkek, mint kvetkez idszaki tkejavak kls rtkelsi (tvltsi) arnyait (r), s a zrkszletek azon vett rtkt (rkt + 1) maximalizljuk. Vagy rgztjk a kvetkez idszaki kibocsts (x0), s azon keresztl a zrkszletek (k0 = Bx0) kvnatos szerkezett, s maximalizljuk ebben a szerkezetben az elrhet szintjt, amit v-vel jellnk! Vlasszuk az utbbi lehetsget! (Hasznos gyakorlatknt az Olvasra bzzuk annak igazolst, hogy az els lehetsg vlasztsa esetn is ugyanazon kvetkeztetsekhez jutottunk volna.)

Tekintsk tovbbra is kls adottsgnak c e-t, az elsdleges erforrsok t-edik idszakbeli fajlagos kltsgeit! A termels sszkltsge, c ext nmagban nyilvn cskkentend. Legyen ezrt a maximalizland clfggvny vc ext! gy a kvetkez LP feladatot kapjuk.

v 0, xt 0pt + 1, pt 0ce(pt) (B + EA)xt v k0 yt

pt + 1Bpt(B + EA) ct

(xt) (LP-5.1)(pt + 1)Bxt kt ptk0 1(v)c ex + vmax!pkp y c

min!

Az egyszersg kedvrt tegyk fel, hogy a feladatnak ltezik megoldsa s k0 pozitv vektor volt! Emiatt xt is pozitv, a dulis felttelek pedig egyenlsgek formjban teljeslnek. Normlis krlmnyek kztt a pt rnykrak is mind pozitvak lesznek. Mint azt a dulis feladat els felttelbl lthatjuk, ezek nem msok, mint a termkek t-edik idszakbeli (dinamikus) egyenslyi rai.

A kt nyitkszletek rnykrai, amit pt + 1 vektorral jelltnk, a (t1)-edik idszakbl rklt kszletek (tkejavak) egyenslyi rai. Ezek mr jellemzen nem lesznek mind pozitvak, csak a

- 89 -

szks kapacitsok. gy teht ltalban nem vrhatjuk el, hogy a pt + 1pt = pt< t> azonossg ltal definilt t nett megtrlsi rtk mind, st akr csak egy elemk is pozitv legyen. Ez csak akkor fordulhat el, ha a kt nyitkszletek harmonizlnak az ignyekkel, azaz Bxt = kt az optimlis megoldsban, tovbb mint ahogyan azt a (DND-1c) meghatrozsbl kiolvashatjuk

az A egytthat mtrix produktv, s az egyes termkek nyitkszletei kzel egyformn szksek.

Ha viszont a pt rnykrak pozitvak, mint vrhat, a primlis feladat els felttelblokkja is egyenlsg formban teljesl. Az xt + 1 = v x0, illetve v k0 = v Bx0 = Bxt + 1 helyettestsek utn ebbl megkapjuk a (dinamikus) mrlegegyensly (DNP-1c) feltteleit. Mivel ptk0 = 1, s gy v = v ptk0 = ptkt + 1, tovbb, a kt clfggvny optimlis rtke megegyezik egymssal, az albbi sszefggshez jutunk:

cex .ptyt

+ ptkt + 1 = pt + 1kt + ct tEz nem ms, mint a Walras-trvny kvetelmnye. A bal oldalon a vgs keresletek, a jobb oldalon pedig az elsdleges jvedelmek sszegt lthatjuk bruttstott formban, mert a nyit- s a zrkszlet egsze megjelenik, nemcsak a kszletvltozs. A ptkt rtket mindkt oldalbl levonva, kiemelsek utn kapjuk:

ceeptyt

+ ptk = pkt + ct xt = pt< t>kt + ct xt.Itt mr csak a fogyaszts s a kszletvltozs ltal kpviselt felhalmozs jelenik meg a bal oldalon mint vgs kereslet, a jobb oldalon pedig a kszletrtk-vltozs formjban jelentkez tkehozadk s az elsdleges erforrsok kltsgnek sszege adja meg az eredeti jvedelmeket.

Mindez kzgazdasgi szempontbl logikus magyarzatot ltszik adni az egymssal dulis viszonyban ll mrlegegyenslyi s regyenslyi feltteleknek. Van azonban egy komoly bkken! Teljesen nknyes volt pt + 1 vektort trstani a kt nyitkszletekkel azok rnykraiknt. Ezek ugyanis a (t1)-edik idszakbl rklt kszletek, teht a (t1)-edik idszaki tkejavak szkssgi alapon add lehetsgkltsgei, s nem a (t1)-edik idszak egyenslyi rai. Val- jban teht helyesebb pt 1 vektort trstani velk, s ekkor a dulis alapegyenlet albbi alternatv formjhoz jutunk:

pt = ptA + (pt 1pt)B + c e.(DND-2) Rendezzk t a kapott felttelt az albbi alakba:

pt + ptB = ptA + pt 1B + c e.

Ez utbbi szintn nem ms, mint a non-profit rkpzs felttele. A bal oldalon ugyanis a t-edik idszak teljes rbevtele szerepel egysgnyi termelsi szint esetn, ismt feltve, hogy az idszak vgn eladjk a tkejavak kszleteit is. A jobb oldalon pedig a termels teljes kltsge.

A kt meghatrozs merben eltrni ltszik egymstl, de ugyanakkor mindkett levezetse s rtelmezse sorn elfogadott kzgazdasgtani elveket vettnk ignybe. Ha mindkt meghatrozs helyes, akkor meg kellene tallni a formai klnbsgek magyarzatt. Erre az izgalmas feladatra rvidesen visszatrnk, de elbb mg megvizsgljuk a dinamikus modellek zrt vltozatait.

5.5. A zrt stacionrius I-O modell sajtrtk egyenleteA nylt dinamikus modell nem, vagy csak exogn mdon szmol a fogyaszts termelst kvet idbeli vltozsval. Csak nagyon sajtos esetben lehet elfogadhat kzgazdasgi rtelmezst adni egy olyan megoldsnak, amelyben a gazdasg minden eleme egytt vltozik a termelsi szintekkel, de a fogyaszts nem. Ha a fogyasztst is sszekapcsoljuk a termelssel, ekkor most is eljutunk a zrt formkhoz. A legegyszerbb s elg kzenfekv megolds egy olyan rfordtsi egytthat mtrix bevezetse, amely az elhasznlt termelsi eszkzkn tl tartalmazza a munka-- 90 -

er jratermelshez szksges fogyasztst is. Az ilyen mtrixot teljes kr rfordtsi egytthatk mtrixnak fogjuk nevezni.

Vilgtsuk meg egy pldval, hogyan lehet eljutni ilyen mtrixhoz! Legyen l = lx a felhasznlt munkark szma, s sc a homognnek tekintett munkaer egy munkarjra jut fogyaszts a klnbz termkekbl, mint korbban! A vgs fogyaszts vektora ezek segtsgvel yc = sc(lx) = (scl)x alakban adhat meg. A brutt kibocstsokra vettett fogyasztsi egytthatkat ennek alapjn a C = (scl) mtrixszal, az mtrixot pedig az A + scl alakban rhatjuk fel. Homogn munkaer s sc egyrai relbr esetn a w = psc skalris szorzat, ahol p a termkrak vektora, nem ms, mint az rabr nvleges, pnzben kifejezett rtke.

rjuk fel elszr ltalnos formban, gyenge egyenltlensgekkel s a mr megszokott komplementaritsi megktsekkel a dinamikus, zrt input-output modell alapsszefggseit!

(B + E)xt Bxt + 1,

(DZP) pt(B + E)xt = ptBxt + 1, (DZKP) pt(B + E) pt + 1B,(DZD) pt(B + E)xt = pt + 1Bxt. (DZKD)

A K = (B + E) mtrixot nett kszletkibocstsi egytthatk mtrixnak nevezhetjk. A IV. rszben majd ltni fogjuk, hogy a fentihez hasonl mdon definilta az intertemporlis mrlegegyensly feltteleit Neumann Jnos nevezetes nvekedsi modelljben, de nla a K s a B egytthat mtrixok nem ngyzetes mtrixok, mivel Neumann feltevse szerint van ikertermels s technolgiai vlasztk, de ugyanakkor a K mtrix, B-hez hasonlan nemnegatv.

A dinamikus, zrt Leontief-modell a fenti sajtos esete, amelyben mind a mrlegegyensly, mind az egyenslyi rak felttele egyenlsgekkel adott, s gy nincs szksg a komplementaritsi felttelekre.

Stacionrius egyenslyi llapotrl akkor beszlnk, ha sem a technolgia, sem a fogyasztst meghatroz preferencik nem vltoznak idben, s rgzl a gazdasg egyenslyi szerkezete. A kibocstsok s rfordtsok egyenletesen, azonos () temben vltoznak (bvlnek, szklnek, vagy stagnlnak), az egyes tkejavak nett megterlsi rti kiegyenltdnek ( i = ), s az rarnyok vltozatlanok.

Mivel az egyenslyi felttelek az rszintet nem hatrozzk meg, ezrt nemcsak az rarnyokat, akr magukat az rakat is vltozatlanoknak felttelezhetjk. A modellben nincs ok a vltozsukra. Termszetesen csak az rak nvleges, adott idszaki rtke lesz lland. Ha az egyes idszakok rainak jelen- illetve jvrtkeit tszmoljuk valamely kivlasztott, mondjuk, 0-ik idszakra, akkor pt =t p0 alakban adhatjuk meg ket, ahol azdiszkont vagy kamattnyez, mint majd ltni fogjuk, nem ms, mint (1 + ).

A stacionrius, zrt Leontief-modellben a mrlegegyensly s az egyenslyi rak felttelei az albbi egyenlsgekkel adhatk meg:

x = x + Bx = ( + B)x,(ZStP-1)

p = p + pB = p( + B),(ZStD-1)

ahol az egysges nett megtrlsi (kamat- vagy profit-) rta.

(Vegyk szre, hogy az + B, illetve az + B mtrixok megfelelnek a statikus zrt modell

egytthat mtrixnak!)

Ha az mtrix oszlopaiban szerepl fogyasztsi komponensek rtke megegyezik az adott gazatban kifizetett munkabrekkel, akkor a kapott rmeghatrozs nem ms, mint

- 91 -

a hossz tv egyenslyi rak, az n. termelsi rak kplete, amely esetn minden termk ellltsa sorn a lekttt tkk rtkvel (pB) arnyos nyeresg kpzdik.

A stacionrius modellek igen hasznosnak bizonyultak az jratermels s az rak hossz tv egyenslynak elemzseiben, amelyekkel ksbb majd rszletesen foglakozunk. Itt csak az add matematikai formk s elemzsek termszetre kvnjuk felhvni a figyelmet.

Mindenekeltt vegyk szre, hogy a dinamikusrl a stacionrius egyensly feltteleire ttrve az addig inhomogn egyenletrendszerek homognekk vltak. Ami miatt az egyenslyi feltteleket kielgt x s a p vektorok szintje mr nem meghatrozott, csak a szerkezetk.

A stacionrius egyensly felttelei olyan sajtos sajtrtk-feladatok, amelyek ( + B), illetve ( + B) egytthat mtrixa nem konstans, hanem a bennk szerepl , illetve vltozk fggvnye. Ezek rtknek olyannak kell lenni, amely esetn a fenti egytthat mtrixoknak 1 (normlis krlmnyek kztt a dominns) sajtrtke, s az x, illetve a p vektorok az ezekhez tartoz jobb s bal oldali sajtvektorok.

Ha az mtrix dominns sajtrtke 1-nl kisebb, azaz ltezik Leontief-inverze (ami egybknt , illetve pozitivitsnak szksges s elgsges felttele), akkor a fenti egyenleteket trendezhetjk a sajtrtk-feladatok megszokott alakjba:

1 x = (E) 1Bx,1 p = pB(E) 1.

Ezekbl azt ltjuk, hogy az arnyos, egyenslyi nvekeds teme az (E) 1B mtrix sajtrtknek reciproka, az egyenslyi termelsi szerkezet pedig egy ahhoz tartoz jobb oldali sajt- vektor, mg az egyenslyi profitrta a B(E) 1 mtrix sajtrtknek reciproka, az egyenslyi rak arnyai pedig megegyeznek a mtrix egy ahhoz tartoz bal oldali sajtvektorval. (A fenti kt mtrix sajtrtkei megegyeznek egymssal, aminek az igazolst az Olvasra bzzuk.)

A stacionrius modellek egy sajtos, knyelmes elemzseket lehetv tev esete az egyidszakos tkemegtrls esete, ami akkor ll el, ha az egyes idszakok alatt felhasznlt termkeket s erforrsokat teljes egszben, mr az idszak elejn be kell szerezni, meg kell ellegezni. Majd ltni fogjuk, ez lesz pldul a mr emltett Neumann-modell feltevse is, s ezt az egyszerst feltevst elszeretettel hasznltk a klasszikus kzgazdszok is.

Egyidszakos megtrls esetn a zrt rendszer teljes kr rfordtsi egytthat mtrixa () egyidejleg kpviseli az adott idszak foly felhasznlsi s eszkzlektsi ignyt, s ezltal matematikailag viszonylag knnyen elemezhet egyenslyi felttelekhez jutunk:

x = x + x = (1 + ) x =x,(ZStP-2)

p = p + p = (1 + ) p =p,(ZStD-2)

ahol= (1 + ) az egyenslyi nvekedsi tnyez,= (1 + ) a profittnyez. Mint lthatjuk, ezek egyenslyi rtke az teljes kr rfordtsi egytthat mtrix (rendszerint a dominns) sajtrtknek a reciproka.

A IV. fejezetben majd visszatrnk a stacionrius nvekedsi modellekkel vgezhet elemzsekre. Befejezskppen itt csak egy fontos, eddig mg nem emltett feltevsre hvjuk fel a figyelmet. Nevezetes arra, hogy ezekben a modellekben mindvgig eltekintettnk a termszeti erforrsok (kztk a npessg) potencilisan nvekedst korltoz volttl. Az egyetlen figyelembe vett korlt, amely ezekben a modellekben gtat szabhat a termels nvekedsnek, a felhalmozs rvn ltrehozott tkellomny szkssge volt.

- 92 -

5.6. Optimlis s egyenslyi nvekedsi plykTrjnk vissza a dinamikus zrt modell segtsgvel egy nvekedsi plya elre grgetsnek lehetsgre. Kvessk nyomon a termels s a kszletfelhalmozs lehetsges alakulst egy tetszleges hosszsg, mondjuk, 1, 2, ... . T perioduson t, ahol T > 1! A klnbz idszakok termelsi szintjei (xt, t = 1, 2, , T) s zrkszletei (kt + 1, t = 1, 2, , T) teht vltozk lesznek. Kt egymst kvet idszak kztti dinamikus sszefggst a keletkez zrkszletek teremtik meg, amelyek feltevs szerint a kvetkez idszak nyitkszletei lesznek:

(B + E)xt = kt + 1, Bxt + 1 kt + 1.

A msodik sszefggst, mint ahogyan erre mr korbban felhvtuk a figyelmet, nem lehet ltalban egyenlsgek, csak gyenge egyenltlensgek formjban elrni. A fenti kt felttelt sszevonva, a kt + 1 vltozkat kiiktatva, megkapjuk a zrt input-output modell mrlegegyenslyi felttelt gyenge egyenltlensgek formjban:

(B + E)xt Bxt + 1.(t = 1, 2, , T1) Ezek egszlnek ki az indul s az utols idszak sajtos feltteleivel:

Bx1 k1, (B + E)xT = kT + 1,

ahol k1, az els idszak (0-iktl rklt) nyitkszleteinek vektora adottsg (paramter), az utols, a T-edik idszak zrkszletei, kT + 1, a (T + 1)-ik idszak nyitkszletei, viszont vltozk lesznek. Mindezek egytt adjk meg az elre grgets felttelrendszert:

Bx1 k1, (B + E)xt Bxt + 1 (t = 1, 2, , T1), (B + E)xT = kT + 1.

A kapott modell csak ltszlag vges idhorizont. A kT + 1 zrkszletek ugyanis a T-edik idszakon tli, idben vgtelenbe nyl tovbbi idszakok termelsi s fogyasztsi lehetsgeit kpviselik, amelyekre vonatkozan valamifle preferencikat be kell vezetni. A fenti egyenltlensg-rendszernek ugyanis, ha egyltaln van, ltalban szmos lehetsges megoldsa van, amelyek kzl valamilyen szempontbl a legjobbat clszer kivlasztani. Ha az (LP-5.1) modellben alkalmazott megoldst kvetjk, s a zrkszletek szintjt maximalizljuk rgztett (mondjuk, k0) kvnatos szerkezetben, akkor megkapjuk az (LP-5.1) feladat zrt I-O modellre s tbb idszakra kiterjesztett vltozatt.

Primlis feladat

v 0, xt 0 (t = 1, 2, , T)Dulis feladat

pt 0 (t = 0, 1, 2, , T)

(p0)Bx1 k1pTk0 1(v)

(p1)(B + E)x1 Bx2 p0B p1(B + EA)

(x1)(LP-5.2)

(pt)(B + E)xt Bxt + 1 pt 1B pt(B + EA)

(xt)

(pT)(B + E)xT v k0pT 1B pT(B + EA)(xT)

vmax!p0k1min!

Tegyk fel, hogy a fenti feladatnak ltezik megoldsa s abban minden xt is pozitv, s emiatt a dulis felttelek pedig egyenlsgek formjban teljeslnek. (Hasznos gyakorlatknt az Olva- sra bzzuk azoknak az elgsges feltteleknek elemzst, amelyek mellett a feladatnak ltezik ilyen megoldsa.) Normlis krlmnyek kztt az els idszaktl eltekintve a pt rnykrak is

- 93 -

mind pozitvak lesznek. A dulis feladat feltteleibl azonban ezttal is az egyenslyi rak mr megismert alternatv meghatrozst kapjuk, s nem azt, amely DND-1) felttelbl addna a zrt modell esetre. Az ugyanis a t-edik idszakra

pt = pt + (pt + 1pt)B (DZD-1)

lenne, de a fenti dulis feladatbl e helyett ameghatrozst olvashatjuk ki.

pt = pt + (pt 1pt)B (DZD-2)

A kt, egymstl merben eltrni ltsz meghatrozs formai s tartalmi klnbsgnek magyarzathoz segtsgl fogjuk hvni az optimlis s a stacionrius egyenslyi nvekedsi plyk egy rdekes sszefggst. Legyen a stacionrius egyensly termelsi szerkezete xe, az egyenslyi rak a pe vektorral adottak, az egyenslyi nvekedsi s a kamatrta pedig s , ahol

xe = ( + B)xe s pe = pe( + B).

Ha irreducibilis, amit az egyszersg kedvrt feltesznk, akkor = szksgkppen. Nos, knnyen megmutathat, hogy

ha az indul kszletllomny s a zrkszletek kvnatos szerkezete is megegyezik a stacionrius egyenslyi nvekedsi plya, az n. Neumann-sugr ltal megkvnttal, akkor az egyenslyi egyttal optimlis nvekedsi plya is.

Samuelson (1965) nyomn szmosan megmutattk azt is, hogy kellen hossz idtv esetn, mg akkor is, ha az indul kszletllomny s/vagy a zrkszletek kvnatos szerkezete nem esik a Neumann-plyra, az optimlis nvekedsi plya pontjainak dnt tbbsge a Neumann- sugron vagy ahhoz kzel tallhat. Mint amikor valaki, aki messzire utazik, igyekszik minl elbb eljutni az autplya-hlzatra, s azon haladni mindaddig, mg uticlja kzelbe nem jut. Innen ered a vonatkoz ttelek turnpike (autplya) elnevezse.

Knnyen megmutathat, hogy a stacionrius egyenslyi egyttal optimlis nvekedsi plya is, ha az indul kszletllomny s a zrkszletek kvnatos szerkezete ugyanaz, mint a stacionrius egyensly, Bxe. Legyen, mondjuk, az indul kszletllomny k1 = Bxe, s egyttal adjuk meg az utbbival a zrkszletek kvnatos szerkezett is: k0 = Bxe! A stacionrius egyensly rszintjt pedig rgztsk a peBxe = 1 egyenlsggel. Megmutatjuk, hogy ilyen felttelek mellett a

0t 1 e

T0T t ext =

x (t = 1, 2, , T), v =

, valamint a pt =

p (t = 0, 1, 2, , T)

rtkek az (LP-5.2) feladat megoldst kpezik, ahol= (1 + ) = (1 + ).

Ennek igazolshoz elegend egyszer behelyettestsek rvn beltni, hogy a vltozk fenti rtkei kielgtik a primlis s a dulis feladat feltteleit, mghozz egyenlsgek formjban, teht lehetsges megoldsok, a kt clfggvny rtke pedig megegyezik egymssal, teht nemcsak lehetsges, de optimlis megoldsok is. A kijellt behelyettestseket elvgezve a felttelek az albbi formt ltik.

Primlis feladatDulis feladat

(p0)

Bxe = k1

peBxe = 1

(v) (p1)(B + E

)xe =BxeT peB =

T 1 pe(B + E)(x1)

(pt)

t 1 (B + E)xe =t BxeT t +1 peB =T t pe(B + E)

(xt) (pT)T 1 (B + E)xe =T Bxe

peB = pe(B + E)

(xT)

- 94 -

v =Tp0k1 =T peBxe =TEgyltaln nem meglep, hogy a primlis s a dulis feladat felttelei minden t idszak esetn a stacionrius egyenslyi felttelek

(B + E)xe =Bxe speB = pe(B + EA)

ltalnos alakjra reduklhatk.

Tbb mint figyelemre mlt ugyanakkor, hogy t-edik idszak zrkszleteinek [azaz a (t + 1)- edik idszak nyitkszleteinek kt +1 =t Bxe] rtke minden idszakban ugyanakkora:

ptkt +1 = ( T t pe)( t Bxe) =T peBxe =T, azaz

pTkT +1 = v pTk0 = ... = ptkt +1 = ... = p0k1=T.

Ez mindenekeltt az rnykr kpzs szablybl kvetkezik. A termkek, gy kszleteik is, minden idszakban annyit rnek, amennyivel egy ptllagos egysgk az adott idszakban hozzjrulna a clfggvny optimlis rtkhez, ami megegyezik a zrkszletek rnykrakon vett rtkvel (pTkT +1 =T). A modellben az egyetlen kls erforrs az indul kszletek llom- nya. Ezek rnykrakon vett rtknek megint csak meg kell egyeznie a clfggvny optimlis rtkvel, azaz a zrkszletek rnykrakon vett rtkvel (pTkT +1 = p0k1).

Azt is ltjuk, hogy amilyen temben n (vagy cskken) a kibocsts s a kszletek szintje, olyan temben cskken (vagy n) az rak szintje. Mivel pedig az egyenslyi rak minden idszakban ugyanazok, megegyeznek a stacionrius egyensly pe rvektorval, ebbl addan valjban a diszkontls jelensgvel llunk szemben. Minden erforrs, azaz termk rtkt az utols, a T-edik idszak rtkre, jvrtkre kell tszmtani, gy tudjuk ket kzs nevezre hozni. Az egysges diszkont tnyez pedig nem ms, mint az ltalnos nvekedsi tnyez.

Ezek az szrevtelek nemcsak a tbbidszakos optimlis erforrs-allokcis problma fenti, (LP-5.2) formban megfogalmazott vges idhorizont vltozatra, s klnsen nem csak annak a stacionrius egyenslyi megoldst eredmnyez sajtos vltozatra rvnyesek. Ezek ltalban rvnyesek a tbbidszakos egyenslyi modellek rnykraira, s az ezekbl a pt + 1pt = pt< t> azonossgbl szrmaztathat t sajt-kamatrtkra. Ezt szemlltetjk fejezetnk befejez pontj- ban.

A DINAMIKUS EGYENSLYI RMODELL ALTERNATV FORMINAK KAPCSOLATAA dinamikus egyenslyi rmodell kt alternatv meghatrozst vezettk le kt eltr gondolat- menet alapjn. Eredmnyl kt, ltszlag egymssal teljesen ellenttes sszefggshez jutottunk. A zrt modell esetben a t-edik idszak rainak meghatrozsra kapott kt forma

illetve

pt = pt + (pt + 1pt)B = pt + pt< t>B, (DZD-1)

pt = pt + (pt 1pt)B = pt + pt< t 1>B(DZD-2)volt. Az izgalmas krdsek azok, hogy mi kzk van ezeknek egymshoz, levezethetk-e ezek egy egysges elmlet alapjn, s ha igen, hogyan.

Ezeket a krdseket fogjuk megvizsglni az albbiakban az optimlis s az egyenslyi nvekeds fenti sszefggst ignybe vve. Tegyk fel, hogy stacionrius egyensllyal van dolgunk, s gy a klnbz idszakok rai (p) megegyeznek egymssal!

Tekintsk elszr a (DZD-1) meghatrozst, s fejezzk ki mindkt idszak rait a (t + 1)-edik idszaki rtkkn: pt = 1/p, pt +1 = p! A t-edik idszak rait teht ezzel a (t + 1)-edik idszaki

- 95 -

rtkkre diszkontltuk. Ennek megfelelen a stacionrius egyensly felttelei kztt a pt< t> =

pt +1pt tkemegtrlsi azonossgot a

pt< t> = (1)/p = ( / ) p(5.5.1)alakba rhatjuk t.

A (DZD-1) meghatrozsban a fenti helyettestseket elvgezve a kvetkez sszefggsek- hez jutunk:

1/p = 1/p + (p1/p)B = 1/p + ( / ) pB.

A kapott egyenlet mindkt oldalt-val beszorozva, talakts utn kapjuk:

p = p + (pp)B = p +pB,(DZD-1a) Nzzk most meg a (DZD-2) meghatrozst, s fejezzk most ki mindkt idszak rait a t-

edik idszaki rtkkn: pt = p, pt 1 =p. Most teht a (t1)-edik idszak rait diszkontltuk a t-edik idszakra. Ennek alapjn most a kszletrtk-vltozs formjban jelentkez tkehozadk pt< t 1> = pt 1p meghatrozst stacionrius egyensly esetn a kvetkez alakba rhatjuk t:

pt< t 1> = (1) p =p,(5.5.2) A fenti helyettestseket a (DZD-1) meghatrozsban elvgezve a kvetkez sszefggsek-

hez jutunk:p = p + (1) pB = p +pB.(DZD-2a)

Stacionrius egyensly esetn teht ugyanarrl az sszefggsrl van sz mindkt esetben, csak mg az els esetben a t-edik idszak rait diszkontltuk a (t + 1)-edik (jv) idszakra, addig a msodikban a (t1)-edik idszak rait a t-edik (ismt csak a jv) idszakra. Ha az rarnyok megvltoznak az egyik idszakrl a msikra, a helyzet termszetesen bonyolultabb lesz. gy pldul az eltr idszakok rai klnbsgeknt kapott sajt-megtrlsi rtk ( t 1 st) is msok lesznek. Nemcsak a megvltozott arnyaik miatt, hanem azrt is, mert eltr idszaki rtkekrl ban sz. Az els esetben

a msodikban

t = (pt +1pt) 1 = ( / ) ,

t 1 = (pt 1pt) 1 =,

ahol az egyenlsgek utols tagja mindkt esetben a stacionrius egyensly esett mutatja, amikor a megtrlsi rtk kiegyenltdnek.

A stacionrius egyensly esetben, mint ltjuk, t 1 =t, ami azt jelzi, hogy t-edik idszaki nett hozamok is a (t + 1)-edik idszaki rtkkre diszkontltak. (DZD-1) esetn pedig a t-edik idszaki rtkkn szerepelnek. Ez okozza az eltrst, az

diszkont tnyez megjelenstt meghatrozsban.

- 96 -

6. Az input-output modellek matematikai kzgazdasgtani alapjaiMr maguk a hasznlt fogalmak (termkek s elsdleges erforrsok) is jelzik, hogy Leontief Koopmanshez hasonlan a technolgit a gazdasgi krnyezetbe begyazva rtelmezte, s nem elvont mszaki receptknyvknt, mint manapsg szoksos. ppen ezrt a kvetkezkben nem is Leontief technolgiaknt, hanem Leontief gazdasgknt fogunk utalni az A s D rfordtsi egytthat mtrixokkal jellemzett input-output termelrendszerre. A Leontief s Koopmans ltal hasznlt fogalmak ugyanakkor valamelyest eltrnek egymstl. Ez mr a produktivits rtel- mezsbl is ki fog derlni, de tbb ms plda tkrben is fogjuk ltni, hogy az LTM kapcsn bevezetett fogalmak s feltevsek az input-output modellek vilgban tbbnyire ersebb, sajto- sabb tartalomra tesznek szert.

A jellegzetes input-output modellek rvid ttekintsbl lttuk, hogy a Leontief-inverz kulcs- szerepet jtszik a velk vgzett elemzsekben, s kzgazdasgi szempontbl jl rtelmezhet. Nem is egy, tbb kzgazdasgi jelents is adhat neki. Ez mg rdekesebb teszi a krdst, hogy tallhatk-e olyan kzenfekv, egy normlis gazdasg keretei kztt elvrhatan fennll felttelek, amelyek szavatoljk a Leontief-inverz ltezst s nemnegatv voltt.

Az erre a krdsre adhat vlasz matematikai szempontbl egyltaln nem nyilvnval. Nem vletlen, hogy tbben is kerestk a megnyugtat vlaszt a fenti krdsre, tbbek kztt a gazda- sgtudomnyok klnbz terletein kifejtett munkssgrt Nobel-djat kapott H. Simon (ld. D. Hawkins-szal egytt rt 1949-es cikkket). Tbb olyan egymssal egyenrtk kritriumot is megfogalmaztak, amelyek teljeslse a Leontief-mtrix nemnegatv inverze ltezsnek szksges s elgsges felttele. Ezekre egyttesen SimonHawkins-felttelekknt szoks utalni. Ezek kzl a legrdekesebbeket az albbi megllaptsban soroljuk fel.

Megllapts (a SimonHawkins-felttelek): Legyen A egy nemnegatv, ngyzetes mtrix! Az albbi lltsok matematikai szempontbl egyenrtkek egymssal:

i) az (EA) mtrixnak ltezik inverze s az nemnegatv;

ii) a Gale-fle produktivitsi kritrium:primlis: ltezik olyan x 0, hogy x > Ax (pozitv vgs kibocstsok),

dulis: ltezik olyan p 0 vektor, hogy p > p A (pozitv hozzadott rtkek);

iii) a Neumann-soros kritrium: az A mtrix

S = E + A + A2 + + An +

vgtelen hatvnysora konvergens, spedig S = (EA) 1;

iv)(A), az A mtrix dominns (legnagyobb vals) sajtrtke 1-nl kisebb.

Ebben a fejezetben a fenti lltsokat igazoljuk s rtelmezzk kzgazdasgi szempontbl. Az lltsok matematikai egyenrtksgt gy igazoljuk, hogy kln-kln megmutatjuk az iiiv) lltsok egyenrtksgt i)-vel. Az input-output modellek egyb, itt rszleteiben nem trgyalt matematikai kzgazdasgtani jellemzit s tteleit majd a IV. rszben fogjuk megismerni, ahol egyszersmind bemutatjuk a rjuk pl modelleket s elemzseket.

6.1. Produktivits s a nemnegatv Leontief-inverz ltezseA nemnegatv Leontief-inverze ltezsnek fenti egyenrtk szksges s elgsges felttelei kzl, kzgazdasgi tartalmt s jelentsgt tekintve, kiemelkedik a Gale (1960) nevhez fzd, Koopmans produktivitsi kritriumn nyugv kritrium. A statisztikai megfigyelsek

- 97 -

alapjn sszelltott gazati kapcsolatok mrlegeibl szmtott rfordtsi egytthat mtrixok esetben ugyanis ezek mindig teljeslnek.

Az I-O modell, mint mr arrl volt sz, a Koopmans-fle lineris tevkenysgelemzsi modell sajtos esete. Sajtos abban is, hogy szoks szerint feltesszk, hogy az elsdleges erforrsok csak a termelsben hasznlhatk fel, ha lehet is bellk vgs fogyaszts, azt az elemzsben figyelmen kvl hagyjuk. Ezrt az utbbiak nett kibocstsi egytthat mtrixa (Ae) helyett eleve annak nemnegatv ellentettjt, a D 0 mtrixot vezettk be, ahol teht D = Ae. Tovbbi sajtossga, hogy a termkekrl ltalban feltesszk, hogy Koopmans rtelmezsben vve mind kvnt, azaz vgs felhasznlsra kerl termkek, de jellemzen van bellk kzbens (termel-) felhasznls is. Ez utbbiak nett kibocstsi egytthat mtrixa a Leontief-mtrix: Av = (EA). Ebbl a feltevsbl addan a modellben nincsenek tiszta kzbens termkek, teht Ak = 0.

Rszben ezekbl a feltevsekbl, rszben az elemzsek empirikus irnyultsgbl fakad, hogy az input-output modellek esetn a produktivits fogalmt hacsak ennek ellenkezjre kifejezetten nem utalunk a Koopmans ltal ers produktivitsnak nevezett rtelemben hasznljuk. Ez utbbi ers kritriumot fogalmazza meg Gale primlis felttele:

egy A termkrfordtsi egytthat mtrixszal jellemzett input-output rendszert akkor s csak akkor tekintnk (primlisan) produktvnak, ha ltezik olyan x 0 teljes termelsi vektor, amely esetn x > Ax , azaz minden termkbl keletkezik nett kibocsts.

Mivel ez egyenrtk azzal az lltssal, hogy a rfordtsi egytthatk mtrixnak ltezik nemnegatv Leontief-inverze, ezrt ltalban rgtn az utbbira gondolunk, amikor produktv technolgirl (rfordtsi egytthat mtrixrl) beszlnk.

Az input-output volumen- s rmodellek tkletesen szimmetrikus volta miatt a technolgia produktivitsnak egyenrtk dulis vltozatt is meg lehet fogalmazni. De ppen a szigor szimmetria okn, elegend csak az egyik, a primlis produktivitsi kritrium s a nemnegatv Leontief-inverz ltezsnek egyenrtksgt bizonytanunk.

6.1.1. ttel (A Gale-fle primlis produktivitsi felttel s a nemnegatv Leontief-inverz ltezse): egy nemnegatv, ngyzetes A mtrixnak akkor s csak akkor ltezik nemnegatv Leontief- inverze, ha van olyan x 0, amely esetn x > Ax .

6.1. bra. A nett kibocstsok halmaza produktv rfordtsi egytthat mtrix esetn

A bizonyts eltt elszr egy kttermkes plda segtsgvel a 6.1. brn illusztrljuk a brutt s nett kibocstsok, illetve a produktivits kritrium viszonyt. A kt koordinta tengely mentn a nett kibocstsok szintjeit mrjk, a koordinta rendszer pontjai a lehetsges tevkeny- sgek (termkekre vonatkoz) nett eredmnyeit kpviselik. A Leontief-mtrix oszlopainak

- 98 -

lehetsges nemnegatv lineris kombincii a kt flegyenes ltal bezrt szgtartomny pontjait generljk, amelyek megfelelnek a lehetsges vgs kibocstsi vektoroknak.

Ha csak az els gazat mkdik, akkor a Tl flegyenesen fekv nett kibocstsokat kapjuk eredmnyl. Hasonlkppen: a T2 flegyenes azon nett kibocstsok mrtani helye, amelyeket a msodik gazat nll mkdtetse esetn kaphatunk meg. A kt gazat klnbz szint egyttes alkalmazsa rvn a T1 s T2 flegyenesek ltal meghatrozott szgtartomnyba (kpba) es brmelyik nett kibocstsi vektort elllthatjuk. Rgztsk pldul a termelsi szinteket az lx = ls megktssel, ahol l a fajlagos munkarfordtsok vektora s ls a rendelkezsre ll munkaer, mint korbban! Az brn lthat szaggatott vonal a fenti erforrskorlt mellett elllthat vgs kibocstsi vektorokat tartalmazza.

Vizsgljuk meg a 6.1. bra alapjn, mik is a produktivits felttelei! Elszr is, mivel nincs ikertermels, a21 s a12 nem lehet pozitv, gy egyik alapfolyamatot kpvisel flegyenes sem eshet a pozitv sknegyed belsejbe. Msodszor, az a11 s a22 paramtereknek, a sajt- felhasznlsi (nfogyasztsi) hnyadoknak, 1-nl kisebbeknek kell lennik ahhoz, hogy a technolgia egyltaln produktv lehessen. Ez abbl is ltszik, hogy a kt alaptevkenysg semmilyen nemnegatv lineris kombincija sem eredmnyezne I. sknegyedbe es pontot (nemnegatv nett kibocstst), ha brmelyikk a III. (negatv) sknegyedbe esne. T1-nek teht a II., T2-nek pedig a IV. sknegyedbe kell esnie.

De ez nmagban mg mindig nem elg a technolgia produktivitshoz. Ehhez mg az is szksges, harmadszor, hogy a T1 s a T2 sugarak ltal meghatrozott szgtartomny (kp) tartalmazzon legalbb egy pozitv sknegyedbe es pontot. s valban, az bra alapjn egyszeren belthat, hogy ez szksges s elgsges felttel ahhoz, hogy a T1 s a T2 ltal behatrolt szgtartomny a teljes nemnegatv sknegyedet tartalmazza, azaz brmely nemnegatv nett kibocsts elrhet legyen a kt alaptevkenysg pozitv lineris kombincija rvn. Pontosan ezt tartalmazza Gale ttele.

A rfordtsi egytthatk egyttes nagysgrendje teht nem lehet akrmekkora. Rvidesen megmutatjuk, hogy az A mtrix dominns (legnagyobb vals) sajtrtke az aij egytthatk egyttes nagysgnak egy sajtos mrszma. A dominns sajtrtke 1-nl kisebb, ppen 1 vagy

1-nl nagyobb attl fggen, hogy a kt flegyenes ltal bezrt szg 180 -nl kisebb, pont akkora, vagy annl nagyobb. Ebbl is lthat, hogy A pontosan akkor produktv, ha dominns sajtrtknek 1-nl kisebb.

A fenti geometriai felvezets utn lssuk a Gale-fle ttel algebrai bizonytst!

A 6.1.1. TTEL BIZONYTSAA) Elgsgessga) Az x vektor csak pozitv elemeket tartalmazhat, mivel A nemnegatv s x > Ax 0.

b) Most megmutatjuk, hogy az lltsban jelzett tulajdonsg x vektor ltezse esetn az x Ax egyenltlensget csak nemnegatv x vektorok elgthetik ki. Indirekt ton bizony- tunk. Tegyk fel, hogy az x Ax egyenltlensgnek ltezik olyan x megoldsa, amelynek van negatv eleme is. Mivel x > 0, ezrt minden ilyen esetben egyrtelmen meghatrozhat egy olyan pozitv k skalr, amely esetn az xk = x + k x mdon kpzett xk vektornak mr nem lesz negatv komponense, de mg legalbb egy eleme nulla lesz. Az gy kpzett xk vektorra nyilvnvalan fenn fog llni az xk > Axk 0 egyenltlensg. Ebbl viszont az xk kpzsi szablynak ellentmond xk > 0 egyenltlensg kvetkezne. Ellentmondshoz jutvn a bizonytsban kulcsfontossg szerepet jtsz lltsunk helyessgt igazoltuk.

c) A fenti kt megllaptsbl mr kvetkezik, hogy az x = Ax egyenletnek csak a trivilis x = 0 megoldsa ltezhet. Az x = Ax egyenlsg ugyanis egyenrtk az x Ax s az x Ax ( x Ax) egyenltlensgek egyidej fennllsval. A b) pontban igazoltak miatt ebbl egyrszt az x 0, msrszt az x 0 ( x 0) egyenltlensg kvetkezik. A kett egyttes

- 99 -

fennllsa miatt a megolds valban csak a 0 vektor lehet, amibl kvetkezen az (EA)

mtrix nem lehet szingulris, teht ltezik inverze.

d) Legyen sj az (EA) 1 mtrix j-edik oszlopa, azaz sj = (EA) 1ej, ahol ej a j-edik egysgvektor. Az sj-t definil egyenletet trendezve az sj = Asj + ej azonossghoz jutunk. Ebbl egyrszt kiolvashat a Leontief-inverz els jelentse: sj egy olyan brutt kibocstsi vektor, amely esetn pontosan ej nett kibocsts keletkezik. Msrszt, sj Asj, ezrt a b) pontban bizonytottak rtelmben sj 0. St, az sj = Asj + ej azonossg miatt sj ej, azaz (EA) 1 E.

B) Szksgessg: Ha (EA) 1 0, akkor tetszleges pozitv d vektorral beszorozva olyan x vektort kapunk, amely eleget tesz a produktivitsi felttelben szerepl kritriumoknak, ugyanis

x = (EA) 1d 0 s xAx = d > 0.

Q.E.D.A PerronFrobenius-ttelek bizonytshoz fel fogjuk hasznlni a fenti ttel egy egyszeren belthat kvetkezmnyt.

A Gale-fle ttel egy kvetkezmnye: a (k EA) mtrixnak, ahol A nemnegatv, ngyzetes mtrix, akkor s csak akkor ltezik nemnegatv inverze, ha ltezik olyan x 0 vektor, amely esetn fennll a k x > Ax egyenltlensg. Az egyenltlensgbl, valamint A s x eljelbl fakadan k > 0 lehet csak.

Bizonyts: A fenti egyenltlensg miatt k nyilvn csak hatrozottan pozitv szm lehet. Ekkor viszont kiemels utn kapjuk:

(k EA) 1 = 1 E1k kA 6.1.1. ttelben A helyre (A/k)-t helyettestve egyszeren addik lltsunk helyessge.

Q.E.D.Gale produktivitsi ttelnek gyakorlati jelentsgt alhzza az a tny, hogy az KM-ek, aggreglt jellegk folytn, eleget tesznek a produktivits primlis s dulis felttelnek egyarnt. gy az KM-ekbl szmtott rfordtsi egytthat mtrixok mindig produktvak. Elmleti szempontbl a produktivits dulis megfogalmazsa a fontosabb. Rszletes termkbonts alkalmazsa, s a hazai termkeket helyettest import esetn ugyanis lehetnek olyan termkek, amelyekbl kevesebbet lltanak el, mint amennyit felhasznlnak bellk. Ilyen esetben a produktivits primlis felttele nem teljesl. Ugyanakkor, tiszta rutermels esetn elvrhat, hogy legalbb is a termelk tlagt tekintve minden ru termelse sorn keletkezzen hozzadott rtk, vagyis, hogy teljesljn a produktivits dulis felttele.

6.2. A Neumann-sor, rfordtsi kapcsolatok s a Leontief-inverzHa aij > 0, akkor azt mondhatjuk, hogy a j-edik termk (vagy gazat) kzvetlen rfordtsi kapcsolatban van az i-edikkel. Mskpp fogalmazva: a j-edik gazat kzvetlenl fgg az i-ediktl. Egy zrt, kls forrsokkal nem rendelkez termelrendszer (gazdasg) esetn a j-edik gazat csak akkor tud termelni, ha az i-edik is mkdik. Az A egytthatk ismeretben rnzsre meg- llapthatjuk, hogy van-e kzvetlen rfordtsi kapcsolat valamely kt gazat kztt. Ez a fajta fggsgi kapcsolat kt gazat kztt lehet egy- vagy ktirny is, teht nem szksgkppen szimmetrikus.

A j-edik gazat azonban kzvetve is fgghet az i-ediktl, pldul, ha van olyan k-adik gazat, hogy aik > 0, s akj > 0. Ilyenkor a l ail alj = aiaj skalris szorzat rtke, azaz az A2 mtrix adott (i, j) pozcijban lv [A2]ij elem lesz pozitv. (Ez fordtva is igaz!) Ilyenkor azt mondhatjuk, hogy

- 100 -

j-edik gazat msodfokon (is) fgg az i-ediktl. Ha aij = 0, akkor a j-edik gazat csak msodfokon, teht csak kzvetve fgg az i-ediktl, kzvetlenl nem.

A fentiek ltalnostsaknt a kvetkezkppen rtelmezzk a kt gazat kztti fggsgfogalmt:

a j-edik gazat m-ed fokon (kzvetlenl, ha m = 1, kzvetve, ha m > 1) fgg az i-ediktl, ha van olyan, i-tl j-hez vezet k(0), k(1), ... , k(m) sorozat (1 m n 1), amelyben minden gazat csak egyszer szerepel, s a sorozatban egymst kvet gazatok esetben ak 1,k > 0 minden k-ra.

Teljes indukcival belthatjuk, hogy ilyenkor az Am mtrix adott (i, j) pozcijban lv elem,[Am]

pozitv. Ez fordtva is igaz, ha az Am mtrix adott (i, j) pozcijban lv elem, [Am]pozitv, akkor a j-edik gazat m-ed fokon fgg az i-ediktl.

Teljesen sszefgg egy termelrendszer (gazdasg), ha minden gazata fgg minden ms gazattl, kzvetlenl vagy kzvetve.

A fggsget jelz leghosszabb, egy gazatot csak egyszer tartalmaz (elemi) lnc legfeljebb n elem. Egy teljesen sszefgg gazdasg esetn teht legksbb az A mtrix (n 1)-edik hatvnyig minden (i, j) pozciban legalbb egyszer pozitv szmnak kell megjelennie. Ebbl kvetkezen

Sn 1 = E + A + A2 + + An1 > 0.

Nyilvnval, hogy kt gazat klnbz fokon fgghet egymstl. A fggsg rendjnek egyrtelm jellemzse rdekben megllapodunk abban, hogy egy adott gazat valamely ms gazattl val fggsgnek rendjt az adott irnyban megmutatkoz fggsg legalacsonyabb fokval azonostjuk. A j-edik gazatnak az i-ediktl val fggsnek rendje 0, ha fggetlen tle,

1, ha kzvetlenl fgg tle, s ltalban m, ha m-ed fokon fgg tle, de alacsonyabb fokon nem.

A kvetkez ttelbl belthat, hogy egy teljesen sszefgg, produktv gazdasg Leontief- inverze hatrozottan pozitv mtrix lesz. Mi tbb, ha az A mtrix vgtelen hatvnysora konvergens, akkor annak hatrrtke nem ms, mint maga az L-inverz.

6.2.1. ttel (az L-inverz s a Neumann-hatvnysor2 konvergencija): A nemnegatv, ngyzetes mtrixnak akkor s csak akkor ltezik nemnegatv Leontief-inverze, ha Neumann-hatvny- sornak sszege,

S = E + A + A2 + + An +

konvergens, s ekkor annak hatrrtke maga a Leontief-inverz!

Bizonyts:A) Elgsgessg. Tegyk fel, hogy a fenti sor konvergens! Nyilvnvalan fennll, hogy

AS = SA = S E, amibl egyszer trendezs utn addik, hogy

(E A)S = S(E A) = E, azaz S = (E A) 1.B) Szksgessg. Vegynk egy tetszleges d > 0 vektort, s kpezzk ennek segtsgvel az x = (E A) 1d vektort! x kpzsi szablya miatt nyilvn fennllnak az x > Ax 0 egyenltlensgek. Legyen 0 < k < 1 egy olyan skalr, amely esetn k x Ax. Ilyen k nyilvn ltezik az x > Ax hatrozott egyenltlensg fennllsa miatt.

2 Carl Neumann nmet matematikusrl elnevezett sorozat (Neumann, 1877).

- 101 -

Teljes indukcival belthatjuk, hogy k nx Anx 0 minden n esetn, ugyanis a

k n 1x An 1x 0egyenltlensgeket az A mtrixszal balrl beszorozva azt kapjuk, hogy

k n 1Ax Anx 0, ahol k x Ax, amit behelyettestve kapjuk:

k nx k n 1Ax Anx 0.

A k nx vektorsorozat hatrrtke n nvekedsvel 0-hoz tart. Emiatt a k nx Anx egyenltlensg jobb oldaln lev, ugyancsak nemnegatv elemekbl ll Anx vektorsorozat hatrrtke is

0 lesz. Mivel x > 0 s An 0, ezrt Anx, az An mtrix oszlopvektorainak pozitv lineris kombincija. Ezek elemeinek vgtelen sorozatai csak akkor tarthatnak 0-hoz, ha az ket

sszetev n n sorozat mindegyike nullhoz tart, azaz An0. A mrtani sor analgijra ugyanakkor egyszeren belthatjuk, hogy

SnA = A + A2 + ... + An+1 = Sn E + An+1,

azaz

Sn = E + A + A2 + ... + An = (E An+1)(E A) 1.

Ebbl viszont mr, hatrrtket vve, egyszeren kvetkezik a bizonytand llts:

S = (E A) 1.

Q.E.D.A 6.2.1. ttel kt kvetkezmnye:

1) Egy teljesen sszefgg, produktv gazdasg Leontief-inverze hatrozottan pozitv.

2) Az L-inverz mtrix egy harmadik rtelmezsi lehetsge: az A mtrix elemei az adott kt gazat kztti, adott irny kzvetlen, hatvnyainak elemei a kzvetett, a Leontief-inverz elemei a teljes kapcsolat szorossgt mr mutatszmokknt rtelmezhetk.

Megjegyzs:A Neumann-sor tagjainak adhat egyfajta idbeli rtelmezs is, ami szerint annak egyes tagja az aktulis kibocstst (E), annak megelz termelsi fzisokban szksges kzvetlen rfordtst (A), s kzvetett rfordtsait, A2, A3 ... stb.) tartalmazzk, s maga a sor ezeket sszegzi. Erre az rtelmezsre visszatrnk a Quesnay-fle elemzs kapcsn.

A rfordtsi kapcsolatokon keresztl kialakul fggsgi viszonyok alapjn jellemezhetjk egy termelrendszer bels struktrjt. Hrom jellegzetes struktrt lehet rtelmezni. Definiljuk elszr is a fggetlen gazatcsoportot:

adott i1, i2, , ik gazatok akkor alkotnak fggetlen gazatcsoportot, ha egyik tagjuk sem fgg

sem kzvetlenl, sem kzvetve a csoporton kvli gazatok egyiktl sem.

Vegyk szre, hogy a defincibl nem kvetkezik semmi a fggetlen gazatcsoport bels struktrjra nzve, a csoport tagjai elvben egymstl teljesen fggetlen gazatok is lehetnek. Soroljuk egy adott fggetlen gazatcsoportba tartoz gazatokat az gazatlista elejre vagy a vgre, azaz rendeljk az 1, 2, , k (vagy az n k + 1, n k + 2, , n) indexeket a csoportba tartoz gazatokhoz! A rfordtsi egytthat mtrixot az els esetben a k-adik, a msodik esetben az (n k)-adik oszlop utn elvgva, az albbi partcik valamelyikhez jutunk:

- 102 -I1I2I1I2I1vagy

I2I. esetII. esetAz olyan ngyzetes mtrixokat, amelyeknek (szksg esetn, a sorainak s oszlopainak azonos trendezsvel nyert mtrixnak) ltezik olyan partcija, amelyben az A21 s/vagy az A12 mtrix 0, dekomponlhat (reducibilis) mtrixoknak szoktuk nevezni. Ellenkez esetben nem dekomponlhat (irreducibilis) mtrixokrl beszlnk.

A fggetlensg sem szimmetrikus viszony. Egy nem teljesen sszefgg rendszer rszben vagy teljesen sztes struktrj rendszer. Csak rszben sztes, pldul, a fenti els pldban szerepl reducibilis A egytthatkkal jellemzett termelrendszer, ha A12 nem nulla, s A22 irreducibilis.

Ha mind az A21, mind az A12 mtrix 0, akkor teljesen sztes mtrixokrl beszlnk. Ennek megfelelen fogjuk definilni a teljesen sszefgg (irreducibilis), a felbonthat (dekomponlhat) s a sztes termelrendszereket.

Fggetlen gazatcsoport pontosan akkor ltezik, ha a rfordtsi mtrix reducibilis, azaz a rfordtsi mtrix pontosan akkor irreducibilis, ha minden gazat kzvetlenl vagy kzvetve fgg minden msik gazattl. Ezt bizonytjuk be a kvetkez ttelben.

6.2.2. ttel (irreducibilits s klcsns fggsg): az A rfordtsi egytthatkkal adott input- output termelrendszer akkor s csak akkor teljesen sszefgg, ha A irreducibilis.

Bizonyts: Elegend azt bebizonytanunk, hogy

tobbsz_mgazd_elemz_2

Documents