toan 1 - chuong1

Mở đầuTập hợpÁnh xạ

Tập hợp số thựcSố phức

Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1

Chương I: TẬP HỢP - ÁNH XẠ

Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng

Ngày 12 tháng 10 năm 2010

Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương I: TẬP HỢP - ÁNH XẠ

Mục tiêu của môn học

Về nhận thức: Trang bị những kiến thức cơ bản nhất cũng nhưphương pháp luận của môn Toán cao cấp để sinh viên có thể vậndụng kiến thức và cách lập luận đó để tiếp thu các môn học kháctrong chương trình cũng như áp dụng để giải quyết các bài toántrong lĩnh vực chuyên môn của mình.

Về kỹ năng: Rèn luyện cho sinh viên năng lực giải bài tập đểhiểu sâu lý thuyết và sáng tạo trong cách lập luận cũng như tínhtoán thành thạo đối với những yêu cầu thực hành.

Mục tiêu của môn học

Về nhận thức: Trang bị những kiến thức cơ bản nhất cũng nhưphương pháp luận của môn Toán cao cấp để sinh viên có thể vậndụng kiến thức và cách lập luận đó để tiếp thu các môn học kháctrong chương trình cũng như áp dụng để giải quyết các bài toántrong lĩnh vực chuyên môn của mình.

Về kỹ năng: Rèn luyện cho sinh viên năng lực giải bài tập đểhiểu sâu lý thuyết và sáng tạo trong cách lập luận cũng như tínhtoán thành thạo đối với những yêu cầu thực hành.

Tóm tắt nội dung

Môn Toán cao cấp 1 gồm hai phần chính: Đại số tuyến tính và Giảitích, với các chương:

Chương I. Tập hợp - ánh xạ

Chương II. Ma trận và định thức của ma trận

Chương III. Hệ phương trình đại số tuyến tính

Chương IV. Không gian véc tơ

Chương V. Ánh xạ tuyến tính

Chương VI. Hàm số và giới hạn hàm số

Chương VII. Phép tính vi phân hàm một biến số

Chương VIII. Phép tính nguyên hàm hàm một biến số

Chương IX. Tích phân xác định, tích phân suy rộng

Yêu cầu của môn học

Yêu cầu sinh viên tham gia đầy đủ các tiết lý thuyết, bài tập. Đọctài liệu và chuẩn bị bài tập trước khi đến lớp. Có đủ các bài kiểm trathường xuyên, giữa kỳ.

Đánh giá môn học- Thang điểm đánh giá môn học: thang điểm 10/10.- Điểm các bài kiểm tra thường xuyên, giữa kỳ: 30%- Điểm bài thi học phần: 70%

Yêu cầu của môn học

Yêu cầu sinh viên tham gia đầy đủ các tiết lý thuyết, bài tập. Đọctài liệu và chuẩn bị bài tập trước khi đến lớp. Có đủ các bài kiểm trathường xuyên, giữa kỳ.

Đánh giá môn học- Thang điểm đánh giá môn học: thang điểm 10/10.- Điểm các bài kiểm tra thường xuyên, giữa kỳ: 30%- Điểm bài thi học phần: 70%

Tài liệu tham khảo

Bộ môn Khoa học Cơ Bản, Giáo trình Toán học cao cấp 1.

Nguyễn Đình Trí và các tác giả (1998), Toán cao cấp, Bài tập toán

cao cấp, tập I, II, III, NXB GD.

Trần Trọng Huệ (2001), Đại số tuyến tính và hình giải tích, NXB

Đại học Quốc gia Hà Nội.

Trần Đức Long và các tác giả khác (2002), Giáo trình giải tích, tập

I, II, III. NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.

Nguyễn Thừa Hợp (2002), Giải tích, tập I, II, III, NXB ĐHQG Hà

Nội.

Tống Đình Quỳ, Nguyễn Cảnh Lương, Giúp ôn tập tốt Toán cao cấp

- Đại số tuyến tính, NXB Giáo dục.

Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích, tập I, II. NXB Giáo dục.

Chương I: Khái niệm về tập hợp và ánh xạ

1.1 Tập hợp.

1.2 Ánh xạ.

1.3 Cấu trúc trường.

1.4 Tập số thực.

1.5 Số phức.

1.1 Tập hợp.

1.2 Ánh xạ.

1.5 Số phức.

1.1 Tập hợp.

1.2 Ánh xạ.

1.5 Số phức.

1.1 Tập hợp.

1.2 Ánh xạ.

1.5 Số phức.

1.1 Tập hợp.

1.2 Ánh xạ.

1.5 Số phức.

Tập hợpTập hợp con, hai tập hợp bằng nhauCác phép toán trên tập hợpCác cách cho một tập hợp

Các khái niệm cơ bản

Tập hợp là một khái niệm nguyên thuỷ cũng giống như khái niệmđiểm, đường thẳng, mặt phẳng trong hình học.

- Các đối tượng lập nên tập hợp được gọi là các phần tử của tập hợp.- Nếu a là một phần tử của tập hợp A thì ta ký hiệu: a ∈ A. Nếu a khôngphải là một phần tử của tập hợp A thì ta ký hiệu: a /∈ A.Ví dụ. A là một tập hợp các số nguyên chẵn, khi đó 2 ∈ A, nhưng 21 /∈ A.

Tập hợp là một khái niệm nguyên thuỷ cũng giống như khái niệmđiểm, đường thẳng, mặt phẳng trong hình học.- Các đối tượng lập nên tập hợp được gọi là các phần tử của tập hợp.- Nếu a là một phần tử của tập hợp A thì ta ký hiệu: a ∈ A. Nếu a khôngphải là một phần tử của tập hợp A thì ta ký hiệu: a /∈ A.

Ví dụ. A là một tập hợp các số nguyên chẵn, khi đó 2 ∈ A, nhưng 21 /∈ A.

Tập hợp là một khái niệm nguyên thuỷ cũng giống như khái niệmđiểm, đường thẳng, mặt phẳng trong hình học.- Các đối tượng lập nên tập hợp được gọi là các phần tử của tập hợp.- Nếu a là một phần tử của tập hợp A thì ta ký hiệu: a ∈ A. Nếu a khôngphải là một phần tử của tập hợp A thì ta ký hiệu: a /∈ A.Ví dụ. A là một tập hợp các số nguyên chẵn, khi đó 2 ∈ A, nhưng 21 /∈ A.

Một tập hợp được gọi là hữu hạn nếu nó có hữu hạn phần tử.

Tập hợp gồm vô số phần tử gọi là tập hợp vô hạn.

Có 2 loại tập hợp vô hạn:Tập hợp vô hạn đếm được là tập hợp tuy số lượng phần tử là vô

hạn song ta có thể đánh số thứ tự các phần tử của nó (tức là có thểbiết được phần tử đứng liền trước và đứng liền sau của một phần tửbất kỳ).

Tập hợp vô hạn không đếm được là tập hợp có vô số phần tử vàkhông có cách nào đánh số thứ tự các phần tử của nó.

Tập hợp không chứa một phần tử nào và gọi nó là tập hợp rỗng, kýhiệu là ∅.

Ví dụ: Tập hợp các sinh viên của một lớp học là hữu hạn, số phần tử ởđây là số sinh viên của lớp đó.

Tập hợp các nghiệm thực của phương trình x2 + 1 = 0 là rỗng.Tập hợp các điểm trên đoạn [0, 1] là tập vô hạn.

Tập hợp con

Cho hai tập hợp A và B. Nếu bất kỳphần tử nào của tập hợp A cũng là phầntử của tập hợp B thì ta nói A là tập hợpcon của B và ký hiệu A ⊂ B .

Vậy A ⊂ B ⇔ x ∈ A⇒ x ∈ B . Hình: A ⊂ B

Ví dụ: Gọi A là tập hợp các nghiệm của phương trình x2 − 3x + 2 = 0 ,B là tập hợp các số nguyên dương thì A ⊂ B .

Tập hợp bằng nhau

Nếu A ⊂ B đồng thời B ⊂ A thì ta nói hai tập hợp A,B là bằng nhau.

Vậy A = B ⇔ A ⊂ B và B ⊂ A.Quy ước tập ∅ là tập hợp con của mọi tập hợp.

Tập hợp con

Phép hợp

Hợp của hai tập hợp A và B là một tậphợp chứa các phần tử thuộc ít nhất mộttrong hai tập hợp A hoặc B .

Ta cũng nói hợp của A,B là tập hợpchứa các phần tử hoặc thuộc A hoặcthuộc B , ký hiệu là A ∪ B . Vậy

x ∈ A ∪ B ⇔

[x ∈ A

x ∈ B

Hình: A ∪ B

Ví dụ: Nếu A là tập hợp các số thực nhỏ hơn 1, B là tập hợp các số thựclớn hơn 2 thì tập hợp các nghiệm thực của bất phương trìnhx2 − 3x + 2 > 0 là A ∪ B .

Phép hợp

x ∈ A ∪ B ⇔

[x ∈ A

x ∈ B

Hình: A ∪ B

Phép hợp

x ∈ A ∪ B ⇔

[x ∈ A

x ∈ B

Hình: A ∪ B

Phép giao

Giao của hai tập hợp A và B là một tậphợp chứa các phần tử thuộc cả A và B .

Ký hiệu là A ∩ B . Vậy

x ∈ A ∩ B ⇔

{x ∈ A

x ∈ B Hình: A ∩ B

Ví dụ: Nếu A là tập hợp các số thực nhỏ hơn 2, B là tập hợp các số thựclớn hơn 1 thì tập hợp các nghiệm thực của bất phương trìnhx2 − 3x + 2 < 0 là A ∩ B .

Phép giao

x ∈ A ∩ B ⇔

{x ∈ A

Phép giao

x ∈ A ∩ B ⇔

{x ∈ A

Phép trừ

Hiệu của hai tập hợp A và B là một tậphợp chứa các phần tử thuộc A màkhông thuộc B .

Ký hiệu là A\B . Vậy

x ∈ A\B ⇔

{x ∈ A

x /∈ BHình: A\B

Đặc biệt, nếu A ⊂ E thì E\A được gọi là phần bù của A trong E vàký hiệu là CEA hay A.Ví dụ: R là tập hợp số thực, A là tập hợp gồm hai số thực 1, 2. Khi đó

tập xác định của phân thức1 + x

x2 − 3x + 2là R\A.

Phép trừ

x ∈ A\B ⇔

{x ∈ A

x /∈ BHình: A\B

x2 − 3x + 2là R\A.

Phép trừ

x ∈ A\B ⇔

{x ∈ A

x /∈ BHình: A\B

Đặc biệt, nếu A ⊂ E thì E\A được gọi là phần bù của A trong E vàký hiệu là CEA hay A.

Ví dụ: R là tập hợp số thực, A là tập hợp gồm hai số thực 1, 2. Khi đó

x2 − 3x + 2là R\A.

Phép trừ

x ∈ A\B ⇔

{x ∈ A

x /∈ BHình: A\B

x2 − 3x + 2là R\A.

Tính chất

Giả sử A,B ,C là các tập con của tập hợp E . Khi đó ta có các tínhchất sau:

1,A = A

2,A ∪ A = A A ∩ A = A

3,A ∪ A = E A ∩ A = ∅4,A ∪ E = E A ∩ E = A

5,A ∪ ∅ = A A ∩ ∅ = ∅6,A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A

7, (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )

8, (A ∩ B) ∪ C = (B ∪ C ) ∩ (A ∪ C ) (A ∪ B) ∩ C = (B ∩ C ) ∪ (A ∩ C )

9,A ∪ B = A ∩ B A ∩ B = A ∪ B

Tính chất (9) được gọi là quy tắc De Morgan.

Chứng minh các tính chất

Ta chứng minh tính chất 7.1 (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ), các tíchchất khác chứng minh tương tự

+ ∀x ∈ (A ∪ B) ∪ C ⇒

[x ∈ A ∪ B

x ∈ C⇒

x ∈ A

x ∈ B

x ∈ C

[x ∈ A

x ∈ B ∪ C

⇒ x ∈ A ∪ (B ∪ C )⇒ (A ∪ B) ∪ C ⊂ A ∪ (B ∪ C ) (1)

+ ∀y ∈ A ∪ (B ∪ C )⇒

[y ∈ A

y ∈ B ∪ C⇒

y ∈ A

y ∈ B

y ∈ C

[y ∈ A ∪ B

y ∈ C

⇒ y ∈ (A ∪ B) ∪ C ⇒ A ∪ (B ∪ C ) ⊂ (A ∪ B) ∪ C (2)

Từ (1), (2) ta có điều phải chứng minh.

Các cách cho một tập hợp

Liệt kê các phần tử của nó.Ví dụ: Bảng danh sách các thí sinh trúng tuyển vào một trường đạihọc.

Cho quy tắc để nhận biết các phần tử của nó.Ta viết: A = {x : P (x)} và hiểu: A là tập hợp gồm các phần tử xsao cho tính chất P đúng với x .Ví dụ: A =

{x : x2 − 3x + 2 = 0

}hiểu: A là tập hợp các số thực x

là nghiệm của phương trình x2 − 3x + 2 = 0, tức là A = {1, 2}.

Các cách cho một tập hợp

Liệt kê các phần tử của nó.Ví dụ: Bảng danh sách các thí sinh trúng tuyển vào một trường đạihọc.

Cho quy tắc để nhận biết các phần tử của nó.Ta viết: A = {x : P (x)} và hiểu: A là tập hợp gồm các phần tử xsao cho tính chất P đúng với x .Ví dụ: A =

{x : x2 − 3x + 2 = 0

}hiểu: A là tập hợp các số thực x

là nghiệm của phương trình x2 − 3x + 2 = 0, tức là A = {1, 2}.

Định nghĩaPhân loại ánh xạÁnh xạ ngượcÁnh xạ hợp

Định nghĩa

Ánh xạ f từ tập hợp A vào tập hợp B(ký hiệu f : A→ B) là quy tắc chotương ứng mỗi phần tử thuộc x ∈ A vớiduy nhất một phần tử y ∈ B, y được gọilà ảnh của x qua f , ký hiệu y = f (x).

Tập A được gọi là tập nguồn, B là tậpđích.

Hình: f : A→ B

Nếu với bất kỳ phần tử x nào của A, ảnh f (x) của nó được xác địnhthì A còn được gọi là tập xác định của ánh xạ f và ảnh của tập A qua flà f (A) = {y ∈ B : ∃x ∈ A, f (x) = y}.Ví dụ: Xét ánh xạ f từ tập hợp số thực R vào chính nó xác định bởi

f (x) =1

x2thì tập xác định của nó là R\ {0} còn tập hợp ảnh của nó là

tập hợp mọi số thực dương R+.

Định nghĩa

Hình: f : A→ B

f (x) =1

Định nghĩa

Hình: f : A→ B

Nếu với bất kỳ phần tử x nào của A, ảnh f (x) của nó được xác địnhthì A còn được gọi là tập xác định của ánh xạ f và ảnh của tập A qua flà f (A) = {y ∈ B : ∃x ∈ A, f (x) = y}.

Ví dụ: Xét ánh xạ f từ tập hợp số thực R vào chính nó xác định bởi

f (x) =1

Định nghĩa

Hình: f : A→ B

f (x) =1

Ánh xạ bằng nhau

Cho ánh xạ f : A→ B và f : A′ → B

′. Nếu A = A′ và với mọi x ∈ A ta

có f (x) = g(x) thì ta nói hai ánh xạ f và g là bằng nhau, ta viết f = g .

Phân loại ánh xạ

Cho ánh xạ f : A→ B

Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu ∀x1, x2 ∈ A, f (x1) = f (x2) thìx1 = x2 hay ∀x1, x2 ∈ A, x1 6= x2 thì f (x1) 6= f (x2).

Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu f (A) = B hay với bất kỳ y ∈ Btồn tại ít nhất một phần tử x ∈ A sao cho f (x) = y .

Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh, vừa là toànánh. Song ánh còn được gọi là ánh xạ 1− 1.

Hình: Đơn ánh

Hình: Toàn ánh Hình: Song ánh

Hình: Đơn ánh Hình: Toàn ánh

Hình: Song ánh

Hình: Đơn ánh Hình: Toàn ánh Hình: Song ánh

Nếu f là song ánh từ A lên B thì dotính chất toàn ánh nên với mỗi y ∈ B cótương ứng một x ∈ A để f (x) = y , vàdo tính chất đơn ánh nên phần tử x đóphải duy nhất.

Định nghĩa

Giả sử f : A→ B là song ánh. Khi đótồn tại một ánh xạ B → A, ánh xạ nàyđược gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f ,ký hiệu là f −1.

Hình: f −1 : B → A

Ta có f −1 : B → A được xác định bởi x = f −1(y) cũng là song ánh.

Định nghĩa

Hình: f −1 : B → A

Định nghĩa

Hình: f −1 : B → A

Định nghĩa

Hình: f −1 : B → A

Ví dụ

Ánh xạ f : R→ R xác định bởi f (x) = ax , a > 0, a 6= 1 là đơn ánh.

Ánh xạ f : R→ [−1, 1] xác định bởi f (x) = sinx là toàn ánh.

Ánh xạ f : R→ R xác định bởi f (x) = x3 là song ánh.

Chú ý. Để xác định ánh xạ f : A→ B có là đơn ánh, toàn ánh, song ánhta có thể xét phương trình f (x) = y , y ∈ B

Nếu phương trình có không quá một nghiệm với mọi y ∈ B thì f làđơn ánh.

Nếu phương trình có nghiệm với mọi y ∈ B thì f là toàn ánh.

Nếu phương luôn có duy nhất một nghiệm thì f là song ánh.

Ví dụ

Ánh xạ hợp

Giả sử f : A→ B và g : B → C là hai ánh xạ sao cho tập xác địnhcủa g trùng với tập hợp ảnh của f . Khi đó ta có thể xác định một ánh xạmới h : A→ C bởi h(x) = g [f (x)], trong đó f (x) ∈ B là ảnh của x ∈ A

bởi ánh xạ f ; g [f (x)] ∈ C là ảnh của f (x) ∈ B bởi ánh xạ g . Ánh xạ hđược gọi là ánh xạ hợp của ánh xạ f và ánh xạ g , ký hiệu là g ◦ f . Vậyh(x) = (g ◦ f )(x) = g [f (x)].

Ví dụ. Cho f : R→ R và g : R→ R được xác định bởi f (x) = 2x + 1,g(x) = x2.Khi đóh(x) = (g ◦ f )(x) = g [f (x)] = [f (x)]2 = (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1.

Ánh xạ hợp

Giả sử f : A→ B và g : B → C là hai ánh xạ sao cho tập xác địnhcủa g trùng với tập hợp ảnh của f . Khi đó ta có thể xác định một ánh xạmới h : A→ C bởi h(x) = g [f (x)], trong đó f (x) ∈ B là ảnh của x ∈ A

bởi ánh xạ f ; g [f (x)] ∈ C là ảnh của f (x) ∈ B bởi ánh xạ g . Ánh xạ hđược gọi là ánh xạ hợp của ánh xạ f và ánh xạ g , ký hiệu là g ◦ f . Vậyh(x) = (g ◦ f )(x) = g [f (x)].

Ví dụ. Cho f : R→ R và g : R→ R được xác định bởi f (x) = 2x + 1,g(x) = x2.Khi đóh(x) = (g ◦ f )(x) = g [f (x)] = [f (x)]2 = (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1.

Định nghĩa trườngCác tính chất của trường số thựcGiá trị tuyệt đối của một số thựcTập số thực suy rộng

Phép toán hai ngôi

Cho một tập hợp E . Ta nói rằng trên E xác định một phép toán haingôi hay một luật hợp thành nếu với mỗi cặp phần tử (a, b) của E ta chotương ứng với một phần tử c ∈ E . Ký hiệu phép toán đó bởi dấu (∗) vàta viết a ∗ b = c với a, b, c ∈ E .

Nếu phép toán là phép cộng ta dùng dấu (+) như thường lệ, nếu làphép nhân ta dùng dấu (x) hay dấu (·)

Định nghĩa trường

Tập E được gọi là một trường hay có cấu trúc trường nếu trên E xácđịnh hai phép toán cộng (+) và nhân (·) thoả mãn các tính chất:

1− Phép (+) và phép (·) có các tính chất giao hoán; ∀a, b ∈ E ta cóa + b = b + aa.b = b.a

2− Phép (+) và phép (·) có các tính chất kết hợp; ∀a, b, c ∈ E ta có(a + b) + c = a + (b + c)(a.b).c = a.(b.c)

3− Phép (·) phân phối với phép (+); ∀a, b, c ∈ E ta có(a + b).c = a.c + b.cc .(a + b) = c .a + c .b

4− Phép (+) có phần tử trung hoà ký hiệu là 0; a + 0 = a,∀a ∈ EPhép (·) có phần tử đơn vị ký hiệu là 1; a.1 = a,∀a ∈ E

5− Mọi phần tử a ∈ E đều có phần tử đối, ký hiệu là −a: a + (−a) = 0.Mọi phần tử a ∈ E , a 6= 0 đều có phần tử nghịch đảo, ký hiệu là a−1

a: a.a−1 = 1.

Tập E được gọi là một trường hay có cấu trúc trường nếu trên E xácđịnh hai phép toán cộng (+) và nhân (·) thoả mãn các tính chất:1− Phép (+) và phép (·) có các tính chất giao hoán; ∀a, b ∈ E ta có

a + b = b + aa.b = b.a

a: a.a−1 = 1.

a + b = b + aa.b = b.a

a: a.a−1 = 1.

a + b = b + aa.b = b.a

a: a.a−1 = 1.

a + b = b + aa.b = b.a

a: a.a−1 = 1.

a + b = b + aa.b = b.a

a: a.a−1 = 1.

Ví dụ

Tập hợp các số hữu tỷ Q, tức là tập các số có dạngm

nsao cho

(m, n) = 1, là một trường số hữu tỷ (vì thoả mãn các tính chấttrên).

Tập hợp các số nguyên Z không là một trường (vì nghịch đảo củamột số nguyên khác không không phải là một số nguyên).

Tập hợp số thực R với hai phép toán cộng (+) và nhân (·) thỏamãn các tính chất trên là một trường số thực.

Ví dụ

nsao cho

Ví dụ

nsao cho

Tính chất

Với R+ là tập hợp các số thực dương, R− là tập hợp các số thựcâm. Khi đó ta có

R+ ∪ R− ∪ {0} = RR+ ∩ R− = ∅

Với hai số thực a, b bất kỳ ta luôn có a ≤ b (hoặc b ≤ a) haytrường số thực R là một trường sắp thứ tự toàn phần.

Trường số thực R là trường có thứ tự Acsimet; Với hai số thựca, b, a > 0 tuỳ ý bao giờ cũng tìm được một số tự nhiên n sao chona > b . Nói cách khác, dù số thực dương a có nhỏ đi bao nhiêuchăng nữa và dù số thực b có lớn đi bao nhiêu chăng nữa thì tổngcủa một số đủ lớn a sẽ vượt quá b.

Tính chất

Với R+ là tập hợp các số thực dương, R− là tập hợp các số thựcâm. Khi đó ta có

R+ ∪ R− ∪ {0} = RR+ ∩ R− = ∅

Với hai số thực a, b bất kỳ ta luôn có a ≤ b (hoặc b ≤ a) haytrường số thực R là một trường sắp thứ tự toàn phần.

Trường số thực R là trường có thứ tự Acsimet; Với hai số thựca, b, a > 0 tuỳ ý bao giờ cũng tìm được một số tự nhiên n sao chona > b . Nói cách khác, dù số thực dương a có nhỏ đi bao nhiêuchăng nữa và dù số thực b có lớn đi bao nhiêu chăng nữa thì tổngcủa một số đủ lớn a sẽ vượt quá b.

Giá trị tuyệt đối của một số thực

Với mọi x ∈ R ta định nghĩa trị tuyệt đối của một số thực

|x | =

{−x nếu x < 0

x nếu x > 0

Trị tuyệt đối của một số thực có các tính chất sau:1, |x | = 0⇔ x = 0

2, |x | = |−x |3, |x .y | = |x | |y |4, |x + y | 6 |x |+ |y |5, |x − y | > |x | − |y |

Giá trị tuyệt đối của một số thực

Với mọi x ∈ R ta định nghĩa trị tuyệt đối của một số thực

|x | =

{−x nếu x < 0

x nếu x > 0

Trị tuyệt đối của một số thực có các tính chất sau:1, |x | = 0⇔ x = 0

2, |x | = |−x |3, |x .y | = |x | |y |4, |x + y | 6 |x |+ |y |5, |x − y | > |x | − |y |

Tập số thực suy rộng

Thêm vào tập số thực R hai phần tử khác nhau +∞ và −∞ (dương vôcùng và âm vô cùng), không thuộc R và với mọi số thực x ∈ R đặt:

−∞ < x < +∞x + (+∞) = (+∞) + x = +∞x + (−∞) = (−∞) + x = −∞

Với x > 0:

x . (+∞) = (+∞) .x = +∞; x . (−∞) = (−∞) .x = −∞(+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞(+∞) . (+∞) = +∞; (−∞) . (−∞) = +∞

Tập hợp số thực R cùng với hai phần tử +∞,−∞ có các tính chấttrên gọi là tập hợp số thực suy rộng.

Định nghĩa và các phép toánDạng lượng giác của số phứcLũy thừa số phứcKhai căn số phứcBài tập

Ta đã biết rằng nếu chỉ hạn chế trong trường số thực thì có nhữngphương trình vô nghiệm, chẳng hạn phương trình bậc hai x2 + 1 = 0.Vào thế kỷ 17, người ta đã đưa ra định nghĩa số ảo: Bình phương của sốảo là một số âm và ký hiệu là i , i2 = −1.

Định nghĩa số phức

+ Số i sao cho i2 = −1 được gọi là đơn vị ảo .+ Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo, khi đó z = a + bi hay

z = (a, b) được gọi là số phức.Số thực a được gọi là phần thực,ký hiệu là Re(z) và số thực b được

gọi là phần ảo của số phức z , ký hiệu là Im(z).Tập hợp các số phức ký hiệu là C = {(a, b) : a ∈ R, b ∈ R}. Vậy tập

các số thực R là tập con của tập số phức C.Số phức có dạng 0 + bi với b 6= 0 được gọi là số thuần ảo. Số phức

z = a + bi hay z = (a, b) được gọi là dạng đại số của số phức z .

+ Số i sao cho i2 = −1 được gọi là đơn vị ảo .

+ Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo, khi đó z = a + bi hayz = (a, b) được gọi là số phức.

Số thực a được gọi là phần thực,ký hiệu là Re(z) và số thực b đượcgọi là phần ảo của số phức z , ký hiệu là Im(z).

Tập hợp các số phức ký hiệu là C = {(a, b) : a ∈ R, b ∈ R}. Vậy tậpcác số thực R là tập con của tập số phức C.

Số phức có dạng 0 + bi với b 6= 0 được gọi là số thuần ảo. Số phứcz = a + bi hay z = (a, b) được gọi là dạng đại số của số phức z .

z = (a, b) được gọi là số phức.

Số thực a được gọi là phần thực,ký hiệu là Re(z) và số thực b đượcgọi là phần ảo của số phức z , ký hiệu là Im(z).

gọi là phần ảo của số phức z , ký hiệu là Im(z).

các số thực R là tập con của tập số phức C.

các số thực R là tập con của tập số phức C.Số phức có dạng 0 + bi với b 6= 0 được gọi là số thuần ảo. Số phức

z = a + bi hay z = (a, b) được gọi là dạng đại số của số phức z .

Các phép toán

Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu chúng có phần thực và phầnảo tương ứng bằng nhau. Nói cách khác, hai số phức z1 = a1 + ib1

và z2 = a2 + ib2 bằng nhau khi và chỉ khi a1 = a2 và b1 = b2.

Số phức z = a− bi được gọi là số phức liên hợp của số phứcz = a + bi .

Cho hai số phức z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2iPhép cộng: z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)iPhép trừ: z1 − z2 = (a1 − a2) + (b1 − b2)iPhép nhân:

z1.z2 = (a1 + b1i).(a2 + b2i) = (a1.a2 − b1.b2) + (a1.b2 + a2.b1)i

Phép chia:z1

a1 + b1i

a2 + b2i=

(a1 + b1i) (a2 − b2i)

(a2 + b2i) (a2 − b2i)=

a1a2 + b1b2 − (a1b2 − a2b1) i

a22 + b2

(với z2 6= 0).

Các phép toán

Phép chia:z1

a1 + b1i

a2 + b2i=

(a1 + b1i) (a2 − b2i)

(a2 + b2i) (a2 − b2i)=

a1a2 + b1b2 − (a1b2 − a2b1) i

a22 + b2

(với z2 6= 0).

Các phép toán

Phép chia:z1

a1 + b1i

a2 + b2i=

(a1 + b1i) (a2 − b2i)

(a2 + b2i) (a2 − b2i)=

a1a2 + b1b2 − (a1b2 − a2b1) i

a22 + b2

(với z2 6= 0).

Các phép toán

Khi cộng (trừ ) hai số phức, ta cộng (trừ ) phần thực và phần ảotương ứng.

Nhân hai số phức, ta thực hiện giống như nhân hai biểu thức đại sốvới chú ý i2 = −1.Muốn chia số phức z1 cho z2 (giả sử z2 6= 0), ta nhân tử và mẫucho số phức liên hợp của mẫu.

Có thể kiểm chứng rằng các phép toán cộng và nhân trên có cáctính chất giao hoán, kết hợp, phép nhân có tính chất phân phối đốivới phép cộng, phần tử trung hoà của phép cộng là số phức (0, 0),của phép nhân là số phức (1, 0); phần tử đối của số phức z = (a, b)là (−a,−b), phần tử nghịch đảo (điều kiện z 6= 0) là số phức1

a2 + b2,− b

a2 + b2

). Vậy, tập hợp số phức có cấu trúc

trường và gọi là trường số phức.

Các phép toán

Nhân hai số phức, ta thực hiện giống như nhân hai biểu thức đại sốvới chú ý i2 = −1.

Muốn chia số phức z1 cho z2 (giả sử z2 6= 0), ta nhân tử và mẫucho số phức liên hợp của mẫu.

a2 + b2,− b

a2 + b2

Các phép toán

a2 + b2,− b

a2 + b2

Các phép toán

a2 + b2,− b

a2 + b2

Ví dụ

Tính (3 + 5i)(4− i);3− i

4 + 5i;

(1 + 2i)2 − (1− i)3

(3 + 2i)3 − (2 + i)2 ?

Tìm các số thực x , y sao cho:(1− 2i) x + (4i − 3) y = −1− 3i ; (2− 3i) x + (1 + 3i) y = x + 5yi

Giải phương trình x2 − 2x + 4 = 0

Ví dụ

Tính (3 + 5i)(4− i);3− i

4 + 5i;

(1 + 2i)2 − (1− i)3

(3 + 2i)3 − (2 + i)2 ?

Ví dụ

Tính (3 + 5i)(4− i);3− i

4 + 5i;

(1 + 2i)2 − (1− i)3

(3 + 2i)3 − (2 + i)2 ?

Dạng lượng giác của số phức

Mọi số phức z = a + bi đều cóthể biểu diễn trên mặt phẳng Oxydưới dạng điểm M(a, b) vớihoành độ a, tung độ b và ngượclại mọi điểm M(a, b) của mặtphẳng Oxy đều có thể xem nhưảnh của số phức a + bi . Véc tơ−−→OM là biểu diễn hình học của sốphức z = a + bi .

Độ dài của véctơ−−→OM được gọi là mođun của số phức z , ký hiệu là

r =∣∣∣−−→OM∣∣∣ = |z | = √a2 + b2

Góc ϕ là góc giữa véctơ−−→OM với trục Ox được gọi là argumen của số

phức z , ký hiệu là ϕ = Argz

r =∣∣∣−−→OM∣∣∣ = |z | = √a2 + b2

Cách tính argumen:cosϕ =

a√a2 + b2

sinϕ =b

b√a2 + b2

hoặc tgϕ =b

Khi đó ta có thể viết số phức z = a + bi dưới dạng lượng giác:

z = r(cosϕ+ isinϕ)

Ví dụ. Viết các số phức (1, 0), i , 1 + i dưới dạng lượng giác.Số phức (1, 0), ta có a = 1, b = 0⇒ r = 1, tgϕ = 0⇒ ϕ = 0Vậy (1, 0) = cos0 + isin0.

Số phức i , ta có a = 0, b = 1⇒ r = 1, tgϕ =∞⇒ ϕ =π

2Vậy i = cos

2+ isin

Số phức 1 + i , ta có a = 1, b = 1⇒ r =√2, tgϕ = 1⇒ ϕ =

4Vậy 1 + i =

√2(cos

4+ isin

a√a2 + b2

sinϕ =b

b√a2 + b2

hoặc tgϕ =b

Ví dụ. Viết các số phức (1, 0), i , 1 + i dưới dạng lượng giác.

Số phức (1, 0), ta có a = 1, b = 0⇒ r = 1, tgϕ = 0⇒ ϕ = 0Vậy (1, 0) = cos0 + isin0.

2Vậy i = cos

2+ isin

4Vậy 1 + i =

√2(cos

4+ isin

a√a2 + b2

sinϕ =b

b√a2 + b2

hoặc tgϕ =b

2Vậy i = cos

2+ isin

4Vậy 1 + i =

√2(cos

4+ isin

a√a2 + b2

sinϕ =b

b√a2 + b2

hoặc tgϕ =b

2Vậy i = cos

2+ isin

4Vậy 1 + i =

√2(cos

4+ isin

a√a2 + b2

sinϕ =b

b√a2 + b2

hoặc tgϕ =b

2Vậy i = cos

2+ isin

4Vậy 1 + i =

√2(cos

4+ isin

Lũy thừa của số phức

Cho các số phức z1 = r1(cosϕ1 + isinϕ1), z2 = r2(cosϕ2 + isinϕ2).Khi đó ta có.

1, z1z2 = r1r2 (cos(ϕ1 + ϕ2) + isin(ϕ1 + ϕ2))

(cos (ϕ1 − ϕ2) + isin (ϕ1 − ϕ2)) (r2 6= 0).

3, zn1

(cosnϕ+ isinnϕ)

Công thức (3) được gọi là công thức Moivre.

Ví dụ.

1 (1 + i)25 =(√

4+ i sin

√225

4+ i sin

(√3− i

)17(√12 + 2i

(cos 5π

6 + i sin5π

(4(cos

6+ i sin

))20 =

6+ i sin

) = 2−23

6+ i sin

(cos (ϕ1 − ϕ2) + isin (ϕ1 − ϕ2)) (r2 6= 0).

3, zn1

(cosnϕ+ isinnϕ)

Ví dụ.

1 (1 + i)25 =(√

4+ i sin

√225

4+ i sin

(√3− i

)17(√12 + 2i

(cos 5π

6 + i sin5π

(4(cos

6+ i sin

))20 =

6+ i sin

) = 2−23

6+ i sin

(cos (ϕ1 − ϕ2) + isin (ϕ1 − ϕ2)) (r2 6= 0).

3, zn1

(cosnϕ+ isinnϕ)

Ví dụ.

1 (1 + i)25 =(√

4+ i sin

√225

4+ i sin

(√3− i

)17(√12 + 2i

(cos 5π

6 + i sin5π

(4(cos

6+ i sin

))20 =

6+ i sin

) = 2−23

6+ i sin

(cos (ϕ1 − ϕ2) + isin (ϕ1 − ϕ2)) (r2 6= 0).

3, zn1

(cosnϕ+ isinnϕ)

Ví dụ.

1 (1 + i)25 =(√

4+ i sin

√225

4+ i sin

(√3− i

)17(√12 + 2i

(cos 5π

6 + i sin5π

(4(cos

6+ i sin

))20 =

6+ i sin

) = 2−23

6+ i sin

(cos (ϕ1 − ϕ2) + isin (ϕ1 − ϕ2)) (r2 6= 0).

3, zn1

(cosnϕ+ isinnϕ)

Ví dụ.

1 (1 + i)25 =(√

4+ i sin

√225

4+ i sin

(√3− i

)17(√12 + 2i

(cos 5π

6 + i sin5π

(4(cos

6+ i sin

))20 =

6+ i sin

) = 2−23

6+ i sin

(cos (ϕ1 − ϕ2) + isin (ϕ1 − ϕ2)) (r2 6= 0).

3, zn1

(cosnϕ+ isinnϕ)

Ví dụ.

1 (1 + i)25 =(√

4+ i sin

√225

4+ i sin

(√3− i

)17(√12 + 2i

(cos 5π

6 + i sin5π

(4(cos

6+ i sin

))20 =

6+ i sin

) = 2−23

6+ i sin

)Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương I: TẬP HỢP - ÁNH XẠ

Khai căn số phức

Cho số phức z = r(cosϕ+ isinϕ) và w là căn bậc n của số phức z ,ta có n

√z = w ⇔ wn = z hay n

√r (cosϕ+ i sinϕ) = ρ (cos θ + i sin θ)⇔

r (cosϕ+ i sinϕ) = ρn (cos nθ + i sin nθ)

Vì trong những số phức bằng nhau, modun phải bằng nhau cònargumen sai khác nhau 2π nên ta có{

ρn = r

nθ = ϕ+ k2π⇒

ρ = n√r

θ =ϕ+ k2π

n, k là số nguyên tùy ý

Cho k các giá trị 0, 1, 2, ..., n− 1 ta được n giá trị khác nhau của căn.Vậy căn bậc n của một số phức có n giá trị khác nhau.

r (cosϕ+ i sinϕ) = ρn (cos nθ + i sin nθ)Vì trong những số phức bằng nhau, modun phải bằng nhau còn

argumen sai khác nhau 2π nên ta có{ρn = r

nθ = ϕ+ k2π⇒

ρ = n√r

θ =ϕ+ k2π

nθ = ϕ+ k2π⇒

ρ = n√r

θ =ϕ+ k2π

nθ = ϕ+ k2π⇒

ρ = n√r

θ =ϕ+ k2π

Ví dụ. Tính căn bậc hai của số phức z = 1 + i

Ta có z = 1 + i =√2(cos π

4 + i sin π4

)Gọi ω = r (cosϕ+ i sinϕ) là căn bậc hai của số phức z . Khi đó

ω2 = z ⇔ r2 (cos2ϕ+ i sin 2ϕ) =√2(cos

4+ i sin

r2 =√2

2ϕ =π

4+ k2π, k = 0, 1

r =4√2

ϕ =π

8+ kπ, k = 0, 1

Với k = 0⇒

r =4√2

ϕ =π

⇒ ω0 = 4√2(cos

8+ i sin

Với k = 1⇒

r =4√2

ϕ =9π

⇒ ω1 = 4√2

8+ i sin

Bạn đọc tự tính 3√i , 3√8,

4√√

3 + i , 8

√16i

Ví dụ. Tính căn bậc hai của số phức z = 1 + iTa có z = 1 + i =

√2(cos π

4 + i sin π4

)Gọi ω = r (cosϕ+ i sinϕ) là căn bậc hai của số phức z . Khi đó

ω2 = z ⇔ r2 (cos2ϕ+ i sin 2ϕ) =√2(cos

4+ i sin

r2 =√2

2ϕ =π

4+ k2π, k = 0, 1

r =4√2

ϕ =π

8+ kπ, k = 0, 1

Với k = 0⇒

r =4√2

ϕ =π

⇒ ω0 = 4√2(cos

8+ i sin

Với k = 1⇒

r =4√2

ϕ =9π

⇒ ω1 = 4√2

8+ i sin

Bạn đọc tự tính 3√i , 3√8,

4√√

3 + i , 8

√16i

1 + iĐàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương I: TẬP HỢP - ÁNH XẠ

Bài tập I

Bài 1: Chứng minh các đẳng thức tập hợp sau:a, A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )b, A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )c, A\ (B ∪ C ) = (A\B) ∩ (A\C )d, A\ (B ∩ C ) = (A\B) ∪ (A\C )

Bài 2: Cho A,B là các tập hợp, f là ánh xạ. Chứng minha, f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B)b, f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B)

c, Nếu f là đơn ánh thì f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B)Bài 3: Kiểm tra tính đơn ánh, toàn ánh, song ánh của các ánh xạ sau,tìm ánh xạ ngược (nếu có)

a, f : R→ R, f (x) = 2x − 1b, g : [0, 1]→ [0, 1] , g(x) =

√1− x2

c, f : R→ R + , f (x) =√x2 + 1

d, f : R\{1

}→ R, f (x) =

4x + 2

5x − 1

Bài tập II

e, f : R→ R, f (x) =2x

1 + x2

Bài 4: Tìm 3√i , 3√−8,√1− i

Bài 5: Giải các phương trình sau:1, x3 +

√3− i = 0

2, z6 − z3 (1 + i) + i = 03, z6 (1− i) = 1 +

4, z4 + 6 (1 + i) z2 + 5 + 6i = 05, z6 + iz3 + i − 1 = 0

toan 1 - chuong1

Education