to be continued 範 例
DESCRIPTION
一、二階行列式. 1. 二階行列式的意義:. = 1 ,. = 8 + 6. = 2. 直的稱為 行 ,橫的稱為 列 ,. 第一行為 a , c ,第二行為 b , d ;. 第一列為 a , b ,第二列為 c , d 。. 注意 : (1) 兩行或兩列互換須變號. (2) 行或列可提出公因式。. To be continued 範 例. 範例: 已知 a , b 為整數且行列式. 則絕對值 | a b | 為何?. . 解: 35 a b = 4. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
bbc
c
aad
d二階行列式 所代表的數為 ,
aad
b
dbc
c 即 。
5 2
3 1例如: 5 1 2 3
2 3
2 4
( 2) 4 ( 3) 2
a
d
b
c在 中,
2 56 5
1 3 且
1 3
42
1
。
5 2
3 1 。
To be continued To be continued 範 例範 例
一、二階行列式一、二階行列式1. 二階行列式的意義:
直的稱為行,橫的稱為列,第一行為 a , c ,第二行為 b , d ;第一列為 a , b ,第二列為 c , d 。
(2) 行或列可提出公因式。注意: (1) 兩行或兩列互換須變號
= 1 ,
= 8 + 6 = 2
54
7
a
b ,
<99 學測 >
範例:已知 a , b 為整數且行列式
則絕對值 | a b | 為何?
ab = 31解: 35 ab = 4
又 a , b 為整數
a = 1 , b = 31 ;
a = 1 , b = 31 ;
| a + b | = 32 。本段結束本段結束
a = 31 , b = 1 ;
a = 31 , b = 1 ;
2. 2. 二階行列式的性質:二階行列式的性質:
a
c d
b
cd
b
a
c d
b a c
db
a
dc
b
a
dc
b
(1) 行列互換其值不變:
(2) 任意兩行(列)對調,其值變號變號:
ka
kc d
b a
c d
b ka
c d
kb a
c d
b
(3) 任一行(列)可以提出同一個數:
( 兩行對調 ) ( 兩列兩列對調 )
,kk
===
=== kk
==
a,
To be continued To be continued (4)(5)(6) (4)(5)(6)
= 2
(4) 兩行(列)成比例,其值為 0 :a
c kc
ka a
ka kb
b= 00= 00( 兩行成比例 ) , ( 兩列成比例 )
a
c d
b a
c d ck
b ak
kk a
c ak d bk
ba
c d
bkk
(5) 將一行(列)的 k k 倍加到另一行(列),其值不變:
= =,
a
c d f
b e a
c d
b a
c f
e
c g
ba
d h
a
c d
b a
g h
b
(6) 若某一行 ( 列 ) 之每個元素可分成兩行 ( 列 ) 元素的和,此行列式可拆成兩個行列式的和:
= ++
++= 本段結束本段結束
90 70 99 97(1) (2)
125 75 98 96
90 70(1)
125 75
9 710 25
5 3 250 (27 35)
99 97(2)
98 96
2 97
2 96
1 972
1 96
250 ( 8)
60 80 2012 2011(1) (2)
120 480 2014 2013
60 80(1)
120 480
1 160 80
2 6 60 80 (6 2)
2012 2011(2)
2014 2013 2013 2011
1 2011
1 2013
((1)1)
((1)1)
= 20002000 。
= 22 。
= 1920019200 。
= 22 。
解:
馬上練習:求下列行列式的值:
解:
3. 範例:求下列行列式的值:
2 (96 97)
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
##
3 3(1) 3 2
2 2
a b e f a e b f
c d c d c d
已知 , ,求 的值。
4 3 4 3(2) 3
4 3 4 3
a b a b a b
c d c d c d
已知 ,求 的值。
2 2 2 2 2
3 3
2
3 3(1)
c d c d
a e fb f
c
a
d
eb 32 2
e f
c d c
a b
d
2 3 3 2 ( 2) 4 3 4 3
(2)4 3 4 3
a b a b
c d c d
4 38
4 3
a b a
c d c
3
83
b a
d c
( 3)8b a
d c
( 3) 3)8 (
4 3 8
4 3 8
a b a
c d c
11
44
4. 範例:
解:
= 7272 。
= 66 。
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
3 3(1) 2 1
4 5 4 5
a b a b a b
c d e f c e d f
已知 , ,求 的值。
5 3 5 3(2) 6
3 4 3 4
a b d b c a
c d b d a c
已知 ,求 的值。
4 4 4 45
3 3 3 3 3 3(
51)
5 5e f ec d c d
a b a b a b
f
3 3 54c d
b
e
a a
f
b
5 3 5 3(2)
3 4 3 4
d b c a
b d a c
5 3 5
93d b c
d c
a
39
3
d
b a
c
( 3)9
a
d c
b ( 3) 6)9 (
3 ( 2) 3 14 5
11
5 5 3
9
3
9
d b c
d
a
c
((5)5)
馬上練習:
解:
= 99 。
= 162162 。##
1
2
1 1
2
1
2 2
1
2
0 ( , ) ( , )yxb
b
a b x y cx y
a b
a
a x y c
若 ,則方程組 的解為 ,
1
22
1ba
ba 其中 ,
1
2 2
1x b
c b
c ,
11
22y
a
a
c
c 。
To be continued To be continued 證 明證 明
二、一次方程組與克拉瑪公式二、一次方程組與克拉瑪公式
1. 克拉瑪公式:
1
2
1 1
2
1
2 2
1
2
0 ( , ) ( , )yxb
b
a b x y cx y
a b
a
a x y c
若 ,則方程組 的解為 ,
1 11 1
2 2
1 1
2 222yx
c c
c
a a
a a c
b b
b b 其中 , , 。
1
22
1
2
1x y c
x b ya
ba
c
,j
k2
1 2
1b b
x a a
y
消去由加減消 :去法 ,
消去j k
k j
2 11 2
1 2 1
2 1
2
1 2
2 11 2
( )
( )
a a
a
x cb b b b
b b ca
c
y ca a
得
1 1
2 2
1
1
2
1
1
2
1
2 2
1
2 2
b b
b b
b
b
a
a
a a
a a
cx
c
cy
c
。
1 11 1
2
1 1
2 22 22yx
c c
c
ba a
a b cb a
b 令 , , ,
x
y
x
y
則方程組可表為 。To be continued To be continued 方程組的方程組的解解
證明:
1
2
1
2
1
2
x y c
x y
a
a c
b
b
1 1
2 2
1
1
2
1 1
2
1
2
1
222
cx
c
cy
a
a
a a
a a c
b b
b b
b
b
x
y
x
y
方程組可表為 。
方程組的解 幾何意義
( , ) ( , )yxx y
方程組有唯一解
方程組的解討論如下:
0
= 0
(( 克拉瑪公式克拉瑪公式 ))
方程組無解無解
方程組有無限多組解無限多組解
兩直線平行兩直線平行
兩直線重合兩直線重合
兩直線恰交於一點
x = y = 00
x 、 y 其中有一不為 00
本段結束本段結束 兩行 ( 列 ) 成比例
2
1
2
1 0a
a
b
b 注意: 斜率相同斜率相同。。
7 3 5
3 7 1
x y
x y
利用克拉瑪公式,解方程組 。
7 3
3 7 由
5 3
1 7x 7 5
3 1y
xx
得 yy 0
32
4
40
8
2. 範例:
解:
2 5 1
3 2 11
x y
x y
利用克拉瑪公式,解方程組 。
2 5
3 2
由
1 5
11 2x
2 1
3 11y
5
9
7
1xx
得 19
19yy
馬上練習:
解:
4
5 ,
1
5 。
= 40,
= 32,
= 88 。
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
##
= 19,
= 57,
= 1919。
= 3 , = 11。
1 1 1
2 2 2
(4 , 6)a x b y c
a x b y c
若方程組 的解為 , 1 1 1
2 2 2
2
2
c x a y b
c x a y b
求 的解。
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2yx
a b c b a c
a b c b a c 令 , , ,
4 6x y
, 。
1 1
2 2
1 1
2 2
2
2
2
2
b a
b ax
c a
c a
所求
1 1
2 2
1 1
2 2
2
2
a b
a b
a c
a c
1
yy
1 1
2 2
1 1
2 2
2
2
c b
c by
c a
c a
所求
1 1
2 2
1 1
2 2
2
c b
c b
a c
a c
1 1
2 2
xx
yy
1
6 ,
1 4
2 6
3. 範例:
解:
1
3
。
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
1 1 1
2 2 2
(3 , 4)a x b y c
a x b y c
若方程組 的解為 , 1 1 1
2 2 2
3 2 5
3 2 5
a x b y c
a x b y c
求 的解。
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2yx
a b c b a c
a b c b a c 令 , , ,
3 4x y
, 。
1 1
2 2
1 1
2 2
5 2
5 2
3 2
3 2
c b
c bx
a b
a b
所求
1 1
2 2
1 1
2 2
10
6
c b
c b
a b
a b
5
3x
53
3
馬上練習:
解:
= 5 ,
1 1
2 2
1 1
2 2
3 5
3 5
3 2
3 2
a c
a cy
a b
a b
所求
1 1
2 2
1 1
2 2
15
6
a c
a c
a b
a b
5
2y
54
2 = 10
。 ##
( 3) 2 2
3 (2 1) 2
k x y k
x k y k
討論方程組 的解。
3 2
3 2 1
k
k
( 1)(2 3)k k ,
2 2
2 2 1x
k
k k
4( 1)( 1)k k ,3 2
3 2y
k k
k
( 1)( 6)k k ,
01)3
12
( k k 若 ,即 且 時,
( 6)( , ) ( , ) (
4( 1
2
),
3 2 3)yx
k kx y
k k
方程組恰有一解 。
3
2k 即 時,
4. 範例:試就實數 k 之值,
解:
(2) 若 = 0 ,且 x= y= 0 ,即 k = 1 ,代回方程組得 x + y = 1 ,方程組有無限多組解 (x , y) = (t , 1t) , tR 。
(3) 若 = 0 ,且 x 、 y 其中有一不為 0 ,
( 3)(2 1) ( 6)k k
此時方程組無解。##
(1 ) 2 0 (0 , 0)
3 (2 ) 0
a x ya
x a y
若方程組 有異於 的解,求 的值。
2 0
3
1
2
a
a
(1 )(2 ) 6 0 a a
1 4a 或 。
2 (0 , 0)
6 2
x y axa
x y ay
若方程組 有異於 的解,求 的值。
2 0
6
1
2
a
a
(1 )( 12 0 2 )a a 5 2 a 或 。
2 2 0
6
(1 )
2 6 0(2 )
x y ax x y
x y ay x
a
a y
又
馬上練習:
解:有異於 (0 , 0) 的解 方程組有無限多組解。
5. 範例:
解:有異於 (0 , 0) 的解 方程組有無限多組解。
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
##
( 6) ( 1) 0
( 10) ( 1) 2
a x a ya
a x a a y a
若方程組 無解,求 的值。
10
10
6
( 1)
a
a a
a
a
1 2 5a 或 或 。
( 1) ( 6) ( 10) 0a a a a
( 10)( 11)( 6) ) 0( aa a aa
6. 範例:
解:方程組無解 = 0
又無解 兩直線平行 a a = = 1 1 或 或 55 。 ( a = 2 不合 )
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
4 3 02
8 6 0
x ya
x y
代入方程組
2 (3 ) 5 0
(3 ) 2 7 0
x a y aa
a x y a
若方程組 無解,求 的值。
2 3
3 2
a
a
1 5a 或 。
馬上練習:
解:方程組無解 = 0= 0
又無解 兩直線平行 a a = 5= 5 。 ( a = 1 不合 )
2 2 6 01
2 2 6 0
x ya
x y
代入方程組
##
注意:
1 11
2 21 2 2( , ), ) | |(
x yb x y
xa x y
y
, 所張平行四邊形面積
a b, 所決定的平行四邊形面積
|| in|| sba
2| | 1 o| | c sa b
2 2222| | | || | s| co|a ab b
2 22 | (| || )b a ba
2 22 2
2 21 1 1 1
22 2( ) ( )( ) x y xx y x yy
2 22 2
2 21 1 1 2 2 12x xy x y xy y
22
21 1( )x x yy 1 1
2 2
| |x
x
y
y
a
a
b
b
| in|sb
證明:
21 12x y yx | |b
a
。
三、二階行列式與平行四邊形的面積三、二階行列式與平行四邊形的面積1. 平行四邊形的面積:
To be continued To be continued 注 意注 意
##
1 2 21( , ( , )1) )( a x b x yy
, 所張平行四邊形面積2 2
1 1| |x
x
y
y 。
(2) ABC 的面積
A B
C
1| |
2
AB
AC
1
2AB AC
與 所張平行四邊形面積
注意:
1 2 21( , ) ( , )ACAB x yx y
其中 , 。1 1
2 2
1| |
2 x
x
y
y ,
本段結束本段結束
(1) (2 , 5) (3 , 2)u v
求兩向量 , 所張平行四邊形的面積。
(3) | | 2 | | 3 4ABC AB AC AB AC ABC
, , ,且 ,求 的面積。
2 5(1) | | | |
3 2
u
v
所求面積 4 ( 15)
1 21 1(2) | | | |
6 82 2
ABABC
AC
的面積 1
8 ( 12)2
(3) cos| || |
AAB
A
C
ACB 5
sin3
,
1sin
2A B ACBC A 的面積
4
2 3
1 52 3
2 3
2. 範例:
(2) 設 A(1 , 4) 、 B(0 , 2) 、 C(5 , 4) ,求 ABC 的面積。
解: = 19。
= 2 。
2
3
5 。
2 221( )
2| || | ACAB AAB B AC C
注意: 2 2214 53
22 。
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
(1) (3 , 4) (2 , 7)u v
求兩向量 , 所張平行四邊形的面積。
(3) | | 3 | | 4 6ABC AB AC AB AC ABC
, , ,且 ,求 的面積。
3 4(1) | | | |
2 7
u
v
所求面積 21 ( 8)
1 41 1(2) | | | |
4 22 2
ABABC
AC
的面積 1
2 ( 16)2
6 1
3 4 2
3sin
2 ,
1sin
2A B ACBC A 的面積
(3) cos| || |
AAB
A
C
ACB
1 33 4
2 2
馬上練習:
(2) 設 A(2 , 1) 、 B(1 , 3) 、 C(2 , 1) ,求 ABC 的面積。
解: = 29。
= 7 。
3 3 。##
( 6 , 1)BA
,
| | |1
|6
4 2
B
yC
A
B
| 16 6 | 38y 119 ( )|
3y 或 不合
(4 , 9 2)BC
又
3. 範例:坐標平面上有一個平行四邊形 ABCD ,其中點 A 的坐標為 (2 , 1) ,點 B 的坐標為 (8 , 2) ,點 C 在第一象限且知其 x 坐標為 12 。若平行四邊形 ABCD 的面積等於 38 平方單位,求點 D 的坐標。
< 99 學測 >
解:設 C(12 , C(12 , yy)) , , y y > 0> 0 ,且 D(α,β)D(α,β)
所求 D(D( , , ) = (6 , 8)) = (6 , 8) 。
B(8 , 2)A(2 , 1)
C(12 , C(12 , yy))D(D( , , ))
= 38 。
(4 , 2)BC y
( 2 , 1)AD
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
2
4 21 1| | |
6|
2 2
OA
OC
AO C
的面積 1
24 4 102
,
1| | 30
2
CAABC
CB
的面 積 ,
2 41| | = 30
2 2 62 x x
(4 12) ( 4 8) 60x x ,
8 20 60x
B(x , 2x)
A(4 , 2)O(0 ,
0)
C(2 , 6)
10103030
及 (2 , 6) ,則 x = ? <100 數乙 >
馬上練習:坐標平面上有一面積為 40 的凸四邊形,其四個頂點的坐標按逆時針方向依序為 (0 , 0) , (4 , 2) , (x , 2x) ,
解:令 O(0 , 0) , A(4 , 2) , B(x , 2x) , C(2 , 6) ,其中 x > 0 。
xx = 10 ∵ = 10 ∵ xx > 0 > 0 。 ##
(1 , 2) (2 , 1) (1 , 1) ( 1 , 1)a b c d
向量 , , , 。
0 1 0 1A P OP x a y b x y
令點集 合 且 且 ,
0 1 0 1B P OP x c y d x y
點集 合 且 且 ,
: 2
: 2
OE y x
JI y x
OIT 的面積
1| |
2
OI
OT
y
xO
E(1 , 2)
D(3 , 3)
C(2 , 1)
I(1, 1)
J(0 , 2)
K(K(1 , 1)1 , 1)
2 4( , )3 3
T
a
b
d
4. 範例: 在坐標平面上,設 O 為原點,
<102 數乙 >
則區域 A B 的面積為 __________ 。 ( 化為最簡分數 )
P 為平面上的動點,
區域 A B 的面積
解:如圖,點集合 A 所成的圖形為平行四邊形 OCDE , 點集合 B 所成的圖形為平行四邊形 OIJK ,
2 4( , )3 3
T 交 點
1 2
2 3 1
3 。
1 11
| |2 42
3 3
c本 節 結 束本 節 結 束