Title 離散mKdV方程式の2重Casorati行列式解と特異曲線(Progress in Mathematics of Integrable Systems)

Author(s) 岩尾, 慎介

Citation 数理解析研究所講究録別冊 = RIMS Kokyuroku Bessatsu(2012), B30: 101-117

Issue Date 2012-04

URL http://hdl.handle.net/2433/196217

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Type Departmental Bulletin Paper

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Kyoto University

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RIMS Kokyuroku BessatsuB30 (2012), 101–117

離散mKdV方程式の2重Casorati行列式解と特異曲線Double Casorati determinants, discrete mKdV

equation and singular curves

By

岩尾慎介Shinsuke Iwao ∗

Abstract

本稿では，無限系離散 mKdV方程式の初期値問題を扱う．離散 mKdV方程式の Lax形式から特異スペクトル曲線を定義し，特異曲線上のテータ関数理論を用いることで，離散 mKdV方程式の 2重 Casorati行列式解を導出する．

In this paper, the solution of the initial value problem of the discrete mKdV equation

is given by means of the double Casrati determinant, which is a singular analog of the theta

function on smooth complex curves.

§ 1. はじめに

古くから可積分方程式の研究は，代数曲線の理論と密接な関係にある．例えば，周期境界条件を課された KdV方程式の運動が Jacobi多様体上の線形な運動に変換されることはよく知られており，その性質を利用してKdV方程式の準周期解の明示公式を得ることができる [2, 11]．

可積分系の離散類似である離散可積分方程式においても，やはり代数曲線の理論は有効である．周期境界条件を課した種々の可積分方程式の準周期解も，代数曲線論から構成できることが知られている [5]．

Received November 24, 2011.2000 Mathematics Subject Classification(s): 35C08, 37C15Key Words: 離散 mKdV 方程式，逆散乱法，特異曲線，2 重 Casorati 行列式本研究は，科研費 (21-1939) の補助を受けている

∗（現所属）青山学院大学理工学部 〒 252-5258 神奈川県相模原市中央区淵野辺 5-10-1(Department of Physics and Mathematics, Aoyama Gakuin University, 5-10-1 Fuchinobe, Chuo-ku,Sagamihara-shi, Kanagawa 252-5258 Japan)e-mail: iwao@gem.aoyama.ac.jp

c⃝ 2012 Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University. All rights reserved.

102 Shinsuke Iwao

代数曲線が退化し特異曲線になった場合についての研究もいくつか知られており，単純特異点のみを持つ曲線からKdV方程式の行列式解を得る方法 ([10],§5)，y2 = x2g+1の型の特異点を 1つだけ持つ曲線から Mumford 系の行列式解を得る方法 [4]などがある．また逆に，各既約成分が有理的であるような被約曲線から Jacobi多様体上の Flowを構成し，対応する可積分方程式を作る試みもなされている [1]．

一方で離散可積分系の行列式解については，ソリトン方程式とPluker関係式のつながり [13] が見出された 1980年代から現在に至るまで, 活発な研究がなされている．Casorati

行列式の恒等式から導かれるものとしては，離散KP方程式の Casorati行列式解 [8]と 2

重Casorati行列式解 [14], 相対論的戸田方程式のCasorati行列式解 [12], 離散 Painleve方程式の解 [6, 7], 1 + 1次元非自励離散ソリトン方程式の Casorati行列式解 [9],などが知られている．いずれの方法も，広田の双線形形式と行列式の恒等式をよりどころにして解を構成するという筋道を取るのが普通であり，背後にある特異曲線の代数幾何的構造について言及されることは少ないと思われる．

本稿では，以下で定義される離散 mKdV方程式 [3]に対して特異曲線の理論を適用し，初期値問題の解を導出する:

(1.1) f t+1n gtn+1 + δf t+1

n+1gtn = (1 + δ)f t

ngt+1n+1, gt+1

n f tn+1 + δgt+1

n+1ftn = (1 + δ)gtnf

t+1n+1,

(ただし δは定パラメータ)．代数曲線の理論を用いる利点は，（ある程度の条件を満たす）任意の初期値から解が構成できるという点である．実際，我々の手法は以下の筋道をたどる:

(1) 離散mKdV方程式の初期値から特異スペクトル曲線を構成する，

(2) スペクトル曲線のテータ関数を用いて離散mKdV方程式の解を記述する．

特異曲線のテータ関数は, 一般に行列式を用いて定義される (§Appendix A). 特に，可約曲線 P1 ∪ P1 に対応するテータ関数は 2重 Casorati行列式になる．離散mKdV方程式の解が，2重 Casorati行列式を用いて書けることを示すことが本稿の目的である．

§ 1.1. 離散mKdV方程式

まずは離散 mKdV方程式の行列表示について復習しておこう．離散 mKdV方程式(1.1)は，変数変換

P tn = (1 + δ)

f tng

t+1n

gtnft+1n

, Qtn = (1 + δ)

gtnft+1n

f tng

t+1n

V tn = δ

f tng

tn−1

gtnftn−1

, W tn = δ

gtnftn−1

f tng

tn−1

により以下の方程式系に変形される:

P tn−1 +W t

n = V t+1n +Qt

n, Qtn−1 + V t

n = W t+1n + P t

n,

P tn−1V

tn = V t+1

n P tn, Qt

n−1Wtn = W t+1

n Qtn.

離散 mKdV 方程式の 2 重 Casorati 行列式解 103

文字 yに対して C[y]を複素数体上の yに関する多項式環とする．C[y]上の 2× 2行

列 vtn, wtn を vtn :=

(P tn 1

y Qtn

), wt

n :=

(V tn 1

y W tn

)とすると，

(1.2) vtn−1wtn = wt+1

n vtn

が成り立つ．以降では，行列方程式 (1.2)をもって離散 mKdV方程式の定義としたい．そのため

には，もう少し厳密な設定が必要である．

Definition 1.1. 以下の形の 2次行列のことを，(A1 型の)M -行列という:(a, 1

y, b

)∈ Mat(2,C[y]), a, b ∈ C.

BをM -行列全体のなす複素 2次元ベクトル空間とする (B ≃ C2)．また，L ∈ Cに対して，ab = Lを満たすM -行列全体の集合を BL と書く．BL には Bの部分位相を入れておく．

ここで，相異なる L,L′ ∈ C× に対して v ∈ BL, w ∈ BL′ としよう．generic1な v, w

に対して，vw = w+v+ を満たす v+ ∈ BL, w+ ∈ BL′ が一意的に存在することが，直接

計算により確かめられる．この対応により，双有理変換

(1.3) BL × BL′∼ //___ BL′ × BL , (v, w) 7→ (w+, v+)

が定義される．この写像を一般化しよう．N を自然数とする．BLの元 v0と，(BL′)N := BL′ ×BL′ ×

· · · × BL′ (N 個の直積) の元 (w1, w2, . . . , wN )を genericに取れば，

(1.4) v0w1 = w+1 v1, v1w2 = w+

2 v2, v2w3 = w+3 v3, . . . , vN−1wN = w+

NvN

なる v1, v2, . . . , vN ∈ BL, (u1, u2, . . . , uN ) ∈ BL′ × (BL′)N が一意的に存在する．言いかえれば，双有理変換

MK : BL × (BL′)N∼ //___ (BL′)N × BL;(1.5)

(v0;w1, w2, . . . , wN ) 7→ (w+1 , w

+2 , . . . , w

+N ; vN )

が存在する．このように定まる変換MKのことを，長さN の離散mKdV格子という．

Example 1.2. L = 2, L′ = 6, v0 =

(1, 1

y, 2

), w1 =

(3, 1

y, 2

), w2 =

(2, 1

y, 3

)に対

して，w+1 =

(9/5, 1

y , 10/3

), w+

2 =

(35/12, 1

y , 72/35

), v2 =

(8/7, 1

y , 7/4

)が成り立つ．等

式 v0w1w2 = w+1 w

+2 v2 は確かに成立する．

1位相空間 X の稠密開集合 U が存在して，U の任意の元が性質 (P )を満たすとき，genericな X の元は性質 (P ) を満たす，という．

104 Shinsuke Iwao

§ 1.2. もう一つの定義

離散 mKdV 方程式のもう一つの定義を紹介しておこう．有限個の複素数の組 ℓ =

(L1, . . . , LN ) に対して，掛け算写像

mℓ : BL1 × BL2 × · · · × BLN → Mat(2,C[y]); (v1, v2, . . . , vN ) 7→ v1v2 · · · vN

は “genericに”単射（正確な定義は次章）である．例えば，例 1.2の行列 v0, w1, w2 に対

して行列 v0w1w2 =

(6 + 5y , 12 + y

14y + y2, 12 + 8y

)を考える．別の行列 v′0 ∈ B2, w

′1, w

′2 ∈ B6 が

v0w1w2 = v′0w′1w

′2 を満たすと仮定しよう．v0 ∈ B2 より，v0w1w2|y=2 は正則行列では無

い．実際，v0w1w2|y=2 =

(16, 14

32, 28

)は正則では無く，この行列の各行ベクトル v1,v2 は

非自明な関係式 2v1 − v2 = 0を満たす．行列の掛け算の定義から，行列 v0|y=2, v′0|y=2の

行ベクトルも，同じ関係式を満たさねばならないので，結局自動的に v0 = v′0 =

(1, 1

y, 2

)を得る．同様の操作を繰り返せば，w1 = w′

1, w2 = w′2 も得る．

いま，2つの複素数の組 ℓ = (L,

N︷ ︸︸ ︷L′, L′, . . . , L′), ℓ′ = (

N︷ ︸︸ ︷L′, L′, . . . , L′, L)に対して，図式

Mat(2,C[y])

BL × (BL′)N

mℓ

77nnnnnnnnnnnnMK∼

//___________ (BL′)N × BL

mℓ′ggPPPPPPPPPPPP

を考える．有理変換MKの定義により，この図式は可換となる．mℓ,mℓ′ が genericに単射であることから，適当な部分集合 L ⊂ Mat(2,C[y])と単射 ϕ, ϕ′が存在して，可換図式

Lϕ

yyssssssssssϕ′

%%KKKKKKKKKK

BL × (BL′)NMK∼

//_______ (BL′)N × BL

mℓ ◦ ϕ = mℓ′ ◦ ϕ′ = id.|L

が成り立つ．この可換図式により，単射の組 (ϕ, ϕ′)は離散 mKdV方程式MKと等価である．このような可換図式をもって離散mKdV方程式の定義とする方が，便利なことがある．以降において，無限の長さを持つ離散mKdV方程式を可換図式として定義する．

本稿の構成は以下のとおりである: 第 2章では，無限の長さのmKdV方程式の行列方程式表示を定義する．一般には，無限の長さのmKdV方程式を表現するためには無限個の行列を用意する必要があるが，特別な初期値を扱う場合には，有限個の行列を組み合わせることで十分な場合がある．本稿では特に，遠方で定値な離散mKdV方程式 (§2.2)を扱う．第 3章では，遠方で定値な離散mKdV方程式に対して，代数曲線を用いた逆散乱解法 [10, 11]を適用し，2重 Casorati行列式解を導出する．

離散 mKdV 方程式の 2 重 Casorati 行列式解 105

§Appendix Aにおいて，可約曲線に対するテータ関数理論を紹介する．本文に登場する DivC，PicC, (f)∞ などの記号の定義は，必要に応じて補遺を参照されたい．

§ 2. 無限離散mKdV格子の定式化

この章では，無限の長さを持つ離散mKdV格子を行列方程式で定義する．

§ 2.1. 一般的な定義

Cの座標を y とし，B を有限被覆 φ : B → Cを持つ滑らかなアフィン曲線とする．C上の y = Lと表現される点を簡単に Lと書こう．K(B)を，B 上複素数値有理関数のなす体とし，V := K(B) ⊕ K(B) と置こう．V に以下の方法で位相を入れる．V の元ζ = (ζ1, ζ2) (ζ1, ζ2 は B 上 C値有理関数) に対して，グラフ Γζ を

Γζ := {(P, ζ1(P ), ζ2(P ),ζ2(P )

ζ1(P )) ∈ B × C× C× C}

で定める．また，B のコンパクト部分集合K に対して部分グラフ Γζ(K) ⊂ Γζ を

Γζ(K) := {(P, ζ1(P ), ζ2(P ),ζ2(P )

ζ1(P )) ∈ K × C× C× C |P ∈ K}

で定める．C× C× Cの開集合 U に対して，

W (K,U) := {ζ ∈ V | Γζ(K) ⊂ K × U}

と置こう．ここで V に，

W (K,U), K ⊂ B (コンパクト), U ⊂ C× C× C (開)

を開基とする位相を入れる．これは，よく知られる連続関数の集合のコンパクト開位相を少し変形したものである．この位相により V はハウスドルフ空間になる．

固定された L ∈ C× に対し，写像 Φ : BL × V → V を (v, ζ) 7→ vζ なる行列の積で定義する．本節の目的は，次の主張を示すことである:

稠密な開集合 U ⊂ BL × V が存在し，写像 Φ : U → V は単射である．

φ(x∗) = Lなる点 x∗ ∈ B をひとつ固定しておく．B の，点 x∗ の周りの局所座標をtと置き，t(x∗) = 0とする．引き戻し y ◦ φ : B → Cによって，y は B 上の複素関数とみなすこともできる．x∗の取り方から，yは x∗の周りで y(t) = L+ α1t+ α2t

2 + · · · と書ける．さて，v ∈ BL, ζ ∈ V の点 x∗ の周りの展開を

v(t) =

(a , 1

L+ α1t+ · · · , b

), ζ(t) = tm

(r0 + r1t+ r2t

2 + · · ·s0 + s1t+ s2t

2 + · · ·

)

106 Shinsuke Iwao

(r0 = 0または s0 = 0) とする．この展開から

(2.1) v(t)ζ(t) = tm

((ar0 + s0) + (ar1 + s1)t+ · · ·

b(ar0 + s0) + {b(ar1 + s1) + α1r0}t+ · · ·

)

を得る．この表示を利用して，BL × V の開集合 U(x∗)を

U(x∗) := {(v, ζ) |x∗ の周りで ar0 + s0 = 0}

で定義する．U(x∗)は稠密集合である．

Proposition 2.1. (i) Φ : U(x∗) → V は単射である．(ii) 像 Φ(U(x∗))は

Φ(U(x∗)) = {ζ = t(ζ1, ζ2) | limp→x∗

ζ2(p)

ζ1(p)= 0}

を満たす．

Proof. (i) f = vζ = t(f1, f2)と置く．式 (2.1)より，b = limp→x∗

f2(p)

f1(p)= 0 が成立す

る．a := L/bと定め，この a, bを用いて v ∈ BL が復元できる．ζ := v−1f で ζ も復元する．(ii) は，式 (2.1)および (i)より明らかである．

Corollary 2.2. 単射 Φ : U(x∗) → V は連続写像である．

Proof. 単射性より，逆対応が連続であることを示せば十分である．命題の証明より，f = vζ に対して，v, ζ の各成分は f1, f2, lim

f2f1の連続関数で表現される．したがって Φ

の逆対応は連続である．

像 Φ(U(x∗))を V (x∗) ⊂ V と書く．上の命題より V (x∗)は V の稠密開集合である．Φの単射性より，連続な逆写像 ϕ : V (x∗) → BL × V , (Φ ◦ ϕ = id.) が存在する．(ϕは V

全体に連続に拡張できるとは限らない．) もちろん ϕは単射である．複素数の組 ℓ = (L1, . . . , LN )に対して，φ(x∗

i ) = Liなる x∗i ∈ B (i = 1, 2, . . . , N) を

固定する．上に述べたことにより，N 個の単射 ϕi : V (x∗i ) → BLi × V が存在する．等式

V (x∗k, . . . , x

∗N ) := ϕ−1

k (BLk× V (x∗

k+1, . . . , x∗N ))

(k = 1, 2, . . . , N − 1)を用いて帰納的に稠密開集合 V (x∗k, . . . , x

∗N ) ⊂ V を定義すると，単

射の列

V (x∗1, . . . , x

∗N ) → BL1 × V (x∗

2, . . . , x∗N ) → · · · → BL1 × · · · BLN × V ⊂ V

を得る．この合成を ϕℓ と書くことにする．

離散 mKdV 方程式の 2 重 Casorati 行列式解 107

ここで相異なる L,L′ ∈ C×に対して ℓ = (L,

N︷ ︸︸ ︷L′, . . . , L′), ℓ′ = (

N︷ ︸︸ ︷L′, . . . , L′, L) とする．

φ(x∗) = L, φ(y∗) = L′ なる x∗, y∗ ∈ B を固定し，

VN := V (x∗, y∗, . . . , y∗), V ′N := V (y∗, . . . , y∗, x∗)

とおこう．積集合 V (N) := VN ∩ V ′N も V の稠密開集合である．上で構成された 2つの

単射

ϕ(N) := ϕℓ : V (N) → BL × (BL′)N × V

ϕ′(N) := ϕℓ′ : V (N) → (BL′)N × BL × V

を考える．以下の図式は可換である (§1.2参照):

(2.2) V (N)

ϕ(N)

wwoooooooooooϕ′(N)

''OOOOOOOOOOO

BL × (BL′)N × VMK×id.V

∼//________ (BL′)N × BL × V

さて，N を無限大にした場合のことを考えよう．定義により V (N) ⊃ V (N +1)が成立する．集合

∩N V (N)が空で無いことを仮定し，この集合を V∞ と書くことにしよう．

直和集合⊔

N {BL × (BL′)N × V }に同値関係

x ∼ y ⇐⇒ ある自然数N1, N2 と z ∈ V∞ が存在して x = ϕ(N1)(z), y = ϕ(N2)(z)

を入れたものを BL × (BL′)∞ × V と書こう．また，直和集合⊔

N {(BL′)N × BL × V } に同様の同値関係を入れたものを (BL′)∞ × BL × V と書くことにする．三角図式 (2.2)のN → +∞における極限として，以下の可換図式を得る:

(2.3) V∞ϕ∞

wwppppppppppppϕ′∞

''NNNNNNNNNNNN

BL × (BL′)∞ × VMK×id.V

∼//_______ (BL′)∞ × BL × V

この図式の底辺に表れている変換MKのことを，離散mKdV格子ということにする．

§ 2.2. 遠方で定数となる離散mKdV

前節で定義した離散mKdV格子のうち，もっとも簡単なクラスを考えよう．この場合，B は SpecC[y]の 2重被覆となる．

108 Shinsuke Iwao

BL′ の元 h =

(a0 1

y b0

)(a0b0 = L′)をひとつ固定し，hの特性方程式を F (λ, y) :=

λ2−(a0+b0)λ+(L′−y) = (λ−a0)(λ−b0)−yとする．複素曲線Bを Spec C[λ, y]/(F )の複素化とすると，写像 y : B → Cは滑らかな 2重被覆である．B上の点 x∗を λ = a0+ b0

で定まる唯一の点とする．φ(x∗) = L′ は明らかである．V の元 ζ = t(1, λ − a0)を考える．ζ は等式 hζ = λζ をみたす．前節の議論により，

genericに取った v ∈ BL と (w1, . . . , wN ) ∈ (BL′)N に対して

vw1 · · ·wNζ ∈ V (N)

が成り立つ．定義により ϕ(N)(vw1 · · ·wNζ) = (v, w1, . . . , wN , ζ) であるが，等式 hζ = λζ を用い

れば，任意の自然数 kに対して

ϕ(N + k)(vw1 · · ·wNζ) = (v, w1, . . . , wN ,

k︷ ︸︸ ︷h, . . . , h, ζ/λk),

が成立する．したがって，

(2.4) ϕ∞(vw1 . . . , wNζ) = (v, w1, . . . , wN , h, h, h, . . . )

なる等式を得る．特に vw1 . . . , wNζ ∈ V∞である．等式 (2.4)は，ベクトル vw1 · · ·wNζは行列の無限積 “vw1 · · ·wNhh · · · ”と等価であることを意味する．このような元 vw1 · · ·wNζ

を，遠方で定値であるという．遠方で定値となる系では，BL の元が，hと無限回交換することを想定している．し

たがって，固定された v0 ∈ BL に対して等式 vnh = h′vn+1 (h ∈ BL′) で次々vn ∈ BL を定義したとき (n = 1, 2, . . . )に，極限 limn→∞ vn がどのようになるかに興味がある．

Lemma 2.3. 2次方程式 z2 − (a0 + b0)z+L′ −L = 0の 2根の絶対値が異なると仮定し，z∗を絶対値の大きい方の根とする．α∗ = z∗ − b0, β

∗ = z∗ − a0 とおくとき，極

限 v∗ := limn→∞ vn が存在し，v∗ =

(α∗ 1

y β∗

)が成立する．

Proof. vnの (1, 1)-成分をαn，(2, 2)-成分をβnと置くと，vnh = h′vn+1よりαn+1 =

αnβn+a0

αn+b0を得る．αnβn = Lより，αn+1 = (a0αn +L)/(αn + b0) となるが，一次分数変

換の一般論より等式 limn→∞ αn = α∗ が証明される．

ここで，V の元 ξを tξ = (λ− b0, 1)で定める．ξは tξh = λtξを満たし，2× 2行列ρ := ζtξ は hρ = ρh = λρを満たす．また，lemma 2.3の v∗ に対して v∗ρ = ρv∗ = (λ+

z∗−a0−b0)ρが成立する．こうして定めた ρに対してK := K(B) ·ρ = {f ·ρ | f ∈ K(B)}としよう．

離散 mKdV 方程式の 2 重 Casorati 行列式解 109

Proposition 2.4. v∗ ∈ BL を lemma 2.3で定めた 2× 2行列としよう．Generic

な (w1, · · · , wN ) ∈ (BL′)N と κ ∈ Kに対して，

v∗(w1 · · ·wNκ) = (w+1 · · ·w+

Nκ′)v∗

を満たす w+1 , . . . , w

+n ∈ BL′ , κ′ ∈ Kが存在する．

Proof. 双有理変換 MK (1.5) を用いると，generic な (w1, . . . , wN ) に対してあるv′ ∈ BL が存在して，v∗(w1 · · ·wNκ) = (w+

1 · · ·w+N )v′ · κ, ((w+

1 , . . . , w+N ) ∈ (BL)

N ) が成立する．κ′ := (λ + z∗ − a0 − b0)

−1 · v′κと置くことにすれば，v′κ = κ′v∗ が成立し，等式 v∗(w1 · · ·wnκ) = (u1 · · ·unκ

′)v∗ を導く．

上の命題で定まる双有理変換

MKc : (BL′)∞ ×K ∼ //___ (BL′)∞ ×K(2.5)

(w1, . . . , wN ;κ) 7→ (w+1 , . . . , w

+N ;κ′),

を，遠方で定値の離散mKdV格子と言うことにする．

§ 3. 遠方で定値の離散KdV方程式の解法

遠方で定値の離散mKdV方程式の解は，代数幾何学的方法で解を構成することが可能である．この章では，初期状態 (w0

1, . . . , w0N ; ρ) ∈ (BL′)∞ × K をひとつ固定し，初期

条件にMKc を t ∈ Z≥0 回施して得られる状態を

(wt1, . . . , w

tN ;κt) := {MKc}t(w0

1, . . . , w0N ; ρ)

と書くことにする．前章で述べたとおり，行列w1 · · ·wNρは，無限行列 “w1 · · ·wNhhh · · · ”の代わりであると思っている．

Remark. (wt1, . . . , w

tN ;κt)は (BL′)∞ ×Kの中の同値類としての表現であるので，

(wt1, . . . , w

tN ;κt) ∼ (wt

1, . . . , wtN+1;κ

t/λ) ∼ · · · ∼ (wt1, . . . , w

tN , wt

N+1, . . . )

によって wtn (n > N)に関しても一意的に定義される．

§ 3.1. 特異スペクトル曲線

2× 2行列Xt(λ)をXt(λ) = wt

1 · · ·wtNκt

で定めることにする．MKc の定義により，v∗Xt(λ) = Xt+1(λ)v∗ が成立するため，Xt(λ)

の固有多項式 f(λ, µ) := det(Xt(λ)−µ·id.)は tに依らない．アフィン曲線SpecC[λ, µ]/(f)

110 Shinsuke Iwao

を複素化した物を C◦ と書き，その完備化を C と書く．この C のことを，スペクトル曲線と呼ぶ．

detXt(λ) = 0であることは定義から明らかであるので，f は f(λ, µ) = µ · (µ− g(λ))

と因数分解される．(g(λ)は λの多項式.) したがって C は 2つの既約成分 C1と C2に分解される．ただし

C1 := SpecC[λ, µ]/(µ) ≃ SpecC[λ], C2 := SpecC[λ, µ]/(µ− g(λ)) ≃ SpecC[λ].

g(λ)の次数を g + 1としよう．C1 と C2 の重複度をこめた交点を Q0, Q1, . . . , Qg とし，その λ座標を bj := λ(Qj) (j = 0, 1, . . . , g)とする．

さて，C の定義より，方程式

(3.1) Xt(λ)vt(λ, µ) = µ · vt(λ, µ)

を満たす C 上のベクトル値関数 vt を考えることができる．vt は定関数倍を除いて一意的に定まる．

同様に，補助的な行列

Xtn(λ) = wt

n+1 · · ·wtN · κt · wt

1 · · ·wtn

に関しても方程式

(3.2) Xtn(λ)v

tn(λ, µ) = µ · vt

n(λ, µ)

を考える．任意の nに対してXtn(λ)たちは同値であるから，各 vt

n(λ, µ) も同じ曲線C上のベクトル値関数とみなすことができる．

Remark. n > N なる nに関してもXtn(λ)は一意的に定義できる．実際, n = N+k

の時，

Xtn(λ) = (κt/λk) · wt

1 · · ·wtNwt

N+1 · · ·wtn

である．

§ 3.2. 固有ベクトル vtn の挙動

先に進む前に，ベクトル値関数vtn(p) (p ∈ C)の挙動を調べておこう．まずはn = t = 0

の場合について調べる.

v00は等式X0(λ)v0

0 = w01 · · ·w0

Nρ ·v00 = µv0

0 を満たすが，今 ρ = ζtξは 2つのベクトルの積に分解することから，v0

0を各連結成分C1, C2毎に表示するのは容易である．実際，

v00(p) =

(1

b0 − λ

)on C1, v0

0(p) = w01 · · ·w0

N

(1

λ− a0

)on C2

離散 mKdV 方程式の 2 重 Casorati 行列式解 111

が成立する．特に，v00(p) on C2 の各成分を λの多項式で記述すると (第 1成分)=(次数

N の多項式), (第 2成分)= (λ− a0)×(次数N の多項式)が成り立つ．ここで g(λ)を §3.1で用いた λの多項式とすると，g + 1 = (g(λ)の次数) = N + 1を得る．よって g = N .

次に n, tを動かそう．以下は方程式 v∗Xt0(λ, µ) = Xt+1

0 (λ, µ)v∗, (wtn)

−1Xtn(λ, µ) =

Xtn+1(λ, µ)(w

tn)

−1 から明らかである:

Lemma 3.1. vt+10 (λ, µ) = v∗vt

0(λ, µ), vtn+1(λ, µ) = (wt

n)−1vt

n(λ, µ).

vtn(λ, µ) =

t(ktn, htn)と置こう．C1 上で λ = b0 と書かれる点を S1，C2 上で λ = a0

と書かれる点を S2 とする．補題 3.1を用いた具体計算により，ある次数 g の正因子 Dtn

と Etn が存在して

(3.3) (htn/k

tn) = Et

n + S1 + S2 −Dtn −∞1 −∞2, t ∈ Z, n = 0, 1, . . . ,

が成り立つことがわかる．この因子Dtn, E

tnの動きを追跡するのが，代数幾何学的解法の

基本となる [11]．

§ 3.3. 線形化定理

次の 2つの補題は，n, tの変化による因子Dtnの動きを具体的に記述するものである．

Lemma 3.2. C1上で λ = z∗とあらわされる点を P1，C2上で λ = −z∗+ a0+ b0

とあらわされる点を P2とおく．この時，[Dt+10 ] = [Dt

0+∞1+∞2−P1−P2] が成り立つ．

Lemma 3.3. C1 上で λ = 0とあらわされる点を R1，C2 上で λ = a0 + b0 とあらわされる点を R2 とおく．この時，[Dt

n+1] = [Dtn −∞1 −∞2 +R1 +R2] が成り立つ．

Proof. 証明は全く同じなので，補題 3.2 のみ示す．C 上のベクトル値関数 vtn =

(ktn, htn)に対して，因子類 [vt

n] ∈ PicC を

[vtn] := −

∑p∈C

min[ordp(ktn), ordp(h

tn)] · p

で定める．[vtn]は ktnと ht

nを一斉に有理関数倍しても不変である．特に [(ktn/htn)∞] = [vt

n]

が成り立つ．したがって，差分 [Dt+10 ]− [Dt

0] = [vt+10 ]− [vt

0]を計算するためには，各点p ∈ C に対して差分

∆(p) := min[ordp(kt+10 ), ordp(h

t+10 )]−min[ordp(k

t0), ordp(h

t0)]

を計算すればよい．補題 3.1より，∆(p) = 0なる点は det v∗ = 0 or ∞なる点に限る．これを解くと λ = z∗,−z∗ + a0 + b0,∞を得るので，あとはこれらの点の周りで ∆(p)を計算すればよい．例えば P1 の周りでは vt

0 = t(1, b0 − λ)と書けるので，直接計算よりv∗vt

0 = (λ− z∗)vt0を得る．よって∆(P1) = 1．他の点でも同様の計算をすればよい．

112 Shinsuke Iwao

Corollary 3.4. (i) 因子類 t, n ∈ PicCを t := [∞1+∞2−P1−P2], n := [−∞1−∞2+R1+R2]で定める．この時，因子類 [Dt

n]は等式 [Dtn] = [D0

0]+t·t+n·nを満たす．(ii)因子類 [Et

n]も，等式 [Etn] = [E0

0 ]+t·t+n·n を満たす．ただし，t ∈ Z, n = 0, 1, . . . , N−1.

Proof. (i)は補題3.2, 3.3より従う．(ii)は，(3.3)より [Etn+S1+S2−Dt

n−∞1−∞2] =

0であることから従う．

§ 3.4. 2重Casorati行列式解の構成

Dtn := [Dt

n], Etn := [Et

n] ∈ PicC とおく．C \ {Q0, . . . , Qg}上の正則関数 σtn(p) :=

σ(p;Dtn), τ

tn(p) := σ(p; Et

n)を，特異曲線 C に付随するテータ関数 (命題 Appendix A.1

を参照)とする．σtn, τ

tnは 2重 Casorati行列式の形をしている (Appendix A.2). σt

nのゼロ点はDt

n と一致し，τ tn のゼロ点は Etn と一致する．

ここで，C 上の関数

Φtn(p) = ki ×

σtn(p) · τ t+1

n (p)

τ tn(p) · σt+1n (p)

, Ψtn(p) = li ×

σtn(p) · τ tn+1(p)

τ tn(p) · σtn+1(p)

,

を考えよう（k1, k2, l1, l2は適当な定数）．系 3.4と，命題 Appendix A.1により，適切なki, li を取ることによって Φt

n(p)と Ψtn(p)は C 上の有理関数となる．

この有理関数 Φtn(p),Ψ

tn(p)を考える利点は，この関数の極とゼロ点が正因子 Dt

n とEt

n で完全に記述できる点である．実際，等式 (Φtn) = Dt

n −Dt+1n −Et

n +Et+1n ，(Ψt

n) =

Dtn −Dt

n+1 − Etn + Et

n+1 が成立する．一方，等式 (3.3)とリウビルの定理（極とゼロ点の一致する有理関数は定数倍を除い

て一意）により，ある定数K1,K2, L1, L2 が存在して

Φtn(p) = Ki ×

ktnht+1n

htnk

t+1n

, Ψtn(p) = Li ×

ktnhtn+1

htnk

tn+1

が成立する．

Lemma 3.5. wtn =

(αtn 1

y βtn

)とおくとき，以下の等式が成立する:

Φtn(∞1) = K1, Φt

n(∞2) = K2, Φtn(S1) = K1

θ + β∗

α∗ , Φtn(S2) = K2

ϑ+ β∗

α∗ ,

Ψtn(∞1) = −L1, Ψt

n(∞2) = −L2, Ψtn(S1) = L1

−θ + αtn

βtn

, Ψtn(S2) = L2

−ϑ+ αtn

βtn

.

ただし，θ = limp→A(p−a0)(p−b0)

htn

, ϑ = limp→B(p−a0)(p−b0)

htn

.

Proof. 補題 3.1により Φtn(p) = Ki ×

ktn(yktn + β∗ht

n)

htn(α

∗ktn + htn)

, (htn = ht

n(p))が成り立つ．

λ → ∞i の時 htn/k

tn ∼ λ, y ∼ λ2 であることより Φt

n(∞i) = Ki が従う．また p → Si の

離散 mKdV 方程式の 2 重 Casorati 行列式解 113

時は，htn/k

tn は 1次のオーダーで 0に収束する ((3.3)参照)ことから Φt

n(Si)に関する等式が従う．Ψt

n についても同様である．

これらの等式から，θと ϑを消去することで，

(3.4) αtn = β∗ ·

Φtn(S1)

Φtn(∞1)

− Φtn(S2)

Φtn(∞2)

Ψtn(S1)

Ψtn(∞1)

− Ψtn(S2)

Ψtn(∞2)

, βtn = α∗ ·

Ψtn(S1)

Ψtn(∞1)

− Ψtn(S2)

Ψtn(∞2)

Φtn(S1)

Φtn(∞1)

− Φtn(S2)

Φtn(∞2)

を得る．(t ∈ Z, n = 0, 1, . . . ). これが求める 2重 Casorati行列式解である．任意の n, t

に対して，Casorati行列のサイズはN である．

§ 4. まとめ

本稿では，無限離散mKdV方程式の行列方程式による定式化を行い，遠方で定値となる場合の初期値問題を代数幾何学的方法で解き，2重 Casorati行列式解を導いた．しかし，遠方で定値となる離散 mKdV方程式は，第 2章で定式化した無限 mKdV方程式の一番簡単なケースにすぎない．実際，有限被覆 B → Cを適当に選べば，有限個の元w1, w2, . . . , wN ∈ BL, h1, h2, . . . , hM ∈ BL′ に対して

“w1w2 . . . wNh1h2 · · ·hM h1h2 · · ·hM h1h2 · · ·hM · · · ”

のような無限行列も定式化可能である．このような系の初期値問題の解も代数幾何学的方法で解かれることが期待される．その際，解の形がどのようなものになるかは興味深い問題である．

§Appendix A. 可約直線上でのテータ関数

ここでは，可約な代数曲線上のテータ関数理論を紹介する．基本的には，既約で単純特異点を持つ曲線のテータ関数理論 [10],§5と同じものであるが，無限遠点の扱いだけ注意を要する．より一般の可約曲線上のテータ関数理論については，[1],§3を参照されたい．

Appendix A.1. 一般的な定義

Cを代数曲線であって，2つの既約成分に分割できるとする: C = C1∪C2. 各C1, C2

は P1 に同型であるとしよう．λ1, λ2 を C1 と C2 の正則な座標とする．Q0, Q1, . . . , Qg ∈ C を C1 と C2 の交点とし，λ1(Qi) = bi, λ2(Qi) = ci と書くこと

にしよう．全ての交点の重複度は 1とする．bi, ci = ∞を仮定しても良い．2点∞1 ∈ C1,

∞2 ∈ C2 を λ1(∞1) = λ2(∞2) = ∞ なる点として定める．加法群DivCを {

∑nixi :有限和 |ni ∈ Z, xi ∈ C \ {Q0, . . . , Qg}} とおこう．DivC

の元D =∑

nixi に対して，分割D1 = D ∩ C1，D2 = D ∩ C2 を

D = D1 +D2, Dk =∑

niyi (yi ∈ Ck)

114 Shinsuke Iwao

で定める．C 上の有理関数 f に対して，(f)0 を f のゼロ点の作る因子，(f)∞ を f の極の作る因子とし，(f) := (f)0 − (f)∞ ∈ DivC とおく．

PicC を DivC を以下の同値関係で割った加法群とする：

D ∼ 0 ⇐⇒ D = D1 +D2,

Ck 上の有理関数 fk が存在して (i) Dk = (fk), (ii) f1(Qi) = f2(Qi).

DivC の元Dの，PicC における同値類を [D]と書くことにする．PicC の部分群 Pic0C を，Pic0C := {D |D の次数は 0} で定義する．Pic0 C の元

D = D1 +D2 に対して，degD1 = n1, degD2 = n2 (n1 + n2 = 0) とし，C1, C2 上の有理関数 f1, f2を [D1 − n1 · ∞1] = (f1), [D2 − n2 · ∞2] = (f2) なるものとする（C1, C2は有理曲線なので，必ず存在する）．写像A : Pic0C → Z× (C×)g+1 を

D 7→ (n1,f1(Q0)

f2(Q0),f1(Q1)

f2(Q1), . . . ,

f1(Qg)

f2(Qg))

で定める．A(D)は，f1と f2の組が，C 上の有理関数からどれほど隔たりがあるかをあらわしている．ただしこの定義だと f1, f2 の取り方に依存するため，Z× (C×)g+1 に

(n, η0, η1, . . . , ηg) ∼ (n, kη0, kη1, . . . , kηg), k = 0

なる同値関係を入れ，JacC := Z× (C×)g+1/ ∼と定める．JacC は Zを加法群，(P×)g

を乗法群と見ることで群となる．Aは Pic0C と JacC の間の群の同型を与える．

Appendix A.2. 超楕円曲線の場合

いま，可約曲線 C = C1 ∪ C2 が以下の性質を満たしているとする: 正則関数 λ1, λ2

をうまく取ることで，λ1(Qk) = λ2(Qk) = bk = ∞とできる．この仮定は，C が超楕円曲線の退化であることと同値である．超楕円曲線の退化であるような C に対しては，C 上の有理関数 λを，λ|C1 = λ1, λ|C2 = λ2 なるものとして定義できる．

この場合，Pic0C の任意の元は，D =D1 + D2 − m1∞1 − m2∞2, D1 =∑n1

i=1 xi,

D2 =∑n2

i=1 yi (xi ∈ C1, yi ∈ C2, n1 + n2 = m1 +m2)と書ける．このとき，写像Aは

D 7→ (n1 −m1,

∏n1

1 (b0 − xi)∏n2

1 (b0 − yi),

∏n1

1 (b1 − xi)∏n2

1 (b1 − yi), . . . ,

∏n1

1 (bg − xi)∏n2

1 (bg − yi))

と表現される．いまW := {C\{Q0, . . . , Qg}上の点のなす有限集合全体 }とする．{x1, . . . , xn} ∈ W

に対して π(x1, . . . , xn) := A(x1+ · · ·+xn−n ·∞2)とおこう．自然数 nに対してW の部分集合Wn を，n個の元からなる {x1, . . . , xn} ∈ W なる元の全体とする．xi = ∞2 ∈ C

をみたす iが存在しても構わないので，π(Wn+1) ⊃ π(Wn)が成立する．ここで興味があるのは，各集合 Wn の π による像である．いま，π(x1, . . . , xn) =

(m, η0, . . . , ηg) としよう．添え字の入れ替えで x1, . . . , xm ∈ C1, xm+1, . . . , xn ∈ C2として良い．簡単のため yi := xm+i (i = 1, 2, . . . , n−m)と書こう．l = n−mとする．

離散 mKdV 方程式の 2 重 Casorati 行列式解 115

ゼロで無い定数 c1, c2 を用いて，C1, C2 上の有理関数 f1, f2 を，

f1(λ) := c1 ×m∏i=1

(λ− xi) =

m∑j=0

ujλj , f2(λ) := c2 ×

l∏i=1

(λ− yi) =

l∑j=0

vjλj ,

で定義する．もし xi = ∞1 や yi = ∞2 を満たすような iが存在するときは，その因子を省くと約束する．その時は，um = 0や ul = 0が成立する．

仮定より，ある k = 0が存在して f1(bi)f2(bi)

= kηi が全ての i = 0, 1, . . . , gに対して成立する．言いかえれば，

max[m,l]∑j=0

(uj − kηivj) · bji = 0, i = 0, 1, . . . , g

である．wj := −kvj と置こう．n+ 2次ベクトル V を V := t(u0, . . . , um, w0, . . . , wl)で定める．また，(g + 1)× (m+ 1) 次行列M と (g + 1)× (l + 1)次行列 Lを

M = (bji )g, m

i=0,j=0 , L = (ηibji )

g, li=0,j=0,

とおく．この時，上の方程式は

(Appendix A.1) (M,L)V = 0

と書きかえられる．行列方程式 (Appendix A.1)を満たすようなゼロで無いベクトル V が存在するために

は，n+2 > rk(M,L)が必要十分である．したがって，n ≥ g,mの時は任意の (m, η0, . . . , ηg)

に対してある {x1, . . . , xn} ∈ Wn が存在して，π(x1, . . . , xn) = (m, η0, . . . , ηg)となる．すなわち π(Wn) = {(m, η0, . . . , ηg) ∈ JacC | 0 ≤ m ≤ n}.

この議論により，π(Wg−1)の情報も得ることができる．(m, η0, . . . , ηg) ∈ π(Wg−1)

なる必要十分条件は，0 ≤ m < gかつ det(M,L) = 0が成り立つことである．ここで，S 上の関数 τ(x1, . . . , xm, y1, . . . , yl) (xi ∈ C1, yi ∈ C2)を

τ(x1, . . . , xm, y1, . . . , yl) := det

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣B0 b0B0 · · · bm0 B0 A0 b0A0 · · · bl0A0

B1 b1B1 · · · bm1 B1 A1 b1A1 · · · bl1A1

......

. . ....

......

. . ....

Bg bgBg · · · bmg Bg Ag bgAg · · · blgAg

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Aj :=

m∏i=1

(bj − xi), Bj :=l∏

i=1

(bj − yi)

とおく．π(x1, . . . , xm, y1, . . . , yl) = (m, η0, . . . , ηg) と置き，(m, η0, . . . , ηg)から作られる関数 det(M,L)を考えると，定義より

τ(x1, . . . , xm, y1, . . . , yl) = 0 ⇐⇒ det(M,L) = 0

116 Shinsuke Iwao

である．特に τ(x1, . . . , xn) = 0 ⇐⇒ {x1, . . . , xn} ∈ Wg−1.

さて，{x1, . . . , xm, y1, . . . , yl}をWg には属するがWg−1 には属さない元としよう．それとは独立な C の元 pに対して，

σ(p) := det

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣B0(p) b0B0(p) · · · b

m−δ1(p)0 B0(p) A0(p) b0A0(p) · · · b

l−δ2(p)0 A0(p)

B1(p) b1B1(p) · · · bm−δ1(p)1 B1(p) A1(p) b1A1(p) · · · b

l−δ2(p)1 A1(p)

......

. . ....

......

. . ....

Bg(p) bgBg(p) · · · bm−δ1(p)g Bg(p) Ag(p) bgAg(p) · · · b

l−δ2(p)g Ag(p)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(Appendix A.2)

Aj(p) := (bj − p)−δ1(p) ·Aj , Bj(p) := (bj − p)−δ2(p) ·Bj

δ1(p) =

{1, p ∈ C1

0, p ∈ C2

, δ2(p) =

{0, p ∈ C1

1, p ∈ C2

.

とおく．上に述べたことより，C \ {Q0, . . . , Qg} 上の正則関数 σ(p) のゼロ点の集合は{x1, . . . , xm, y1, . . . , yl} に一致する．この事実は，リーマンのゼロ点定理の特殊化になっている．

σ(p)を定義する際に用いた因子 {x1, . . . , xm, y1, . . . , ym} ∈ Wg \Wg−1 の π による像をD ∈ Jac (C)と書く．このDを強調したいときは σ(p) = σ(p;D)と書くことにする．

関数 σ(p;D)は {Q0, . . . , Qg}上に特異点を持つが，σたちを組み合わせることで，C

上の有理関数に拡張できる:

Proposition Appendix A.1. 4 つの元 D1,D2,D3,D4 ∈ JacC が，いずれもπ(Wg−1)に含まれておらず，関係式D1 · D2 = D3 · D4 を満たすとする．この時，あるゼロで無い定数 k1, k2 が存在して，C \ {Q0, . . . , Qg}上の有理関数

F (p) := ki ×σ(p;D1) · σ(p;D2)

σ(p;D3) · σ(p;D4), p ∈ Ci

は，C 上の有理関数に一意的に拡張できる．

Proof. 仮定より，Wg の元 {x(i)1 , . . . , x

(i)g } (i = 1, 2, 3, 4)が存在して，

π(x(i)1 , . . . , x(i)

g ) = Di

が成り立つ．F (p)の定めるC \{Q0, . . . , Qg}上の因子 E =∑g

j=1 x(1)j + x

(2)j − x

(3)j − x

(4)j

は π(E) = D1D2D−13 D−1

4 = (0, 1, 1, . . . , 1) を満たすので，ある C 上の有理関数 f(p)が存在して E = (f)となる．C \ {Q0, . . . , Qg}上の関数 F (p)/f(p) は極もゼロ点も持たない．さらに各 C1, C2に制限すれば，C1, C2上の極もゼロ点も無い正則関数に拡張できる．したがって適当な k1, k2 を選べば，F (p) = f(p) と出来る．

σ(p)(Appendix A.2)は，まさに 2重 Casorati行列式 [14]である．関数 σ は，コンパクトリーマン面に対するテータ関数に当たるものであるから，2つの射影直線からなる可約な代数曲線のテータ関数は 2重 Casorati行列式である，ということができる．

離散 mKdV 方程式の 2 重 Casorati 行列式解 117

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