最小二平方法 與 方程式求解
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最小二平方法 與 方程式求解. 張基昇製作. 目錄. 最小二平方法 方程式求解 方程式範例: van der Waals EOS Analysis of the problem 嘗試錯誤法 B isection method Secant method ; False position method Newton’s method ; Muller’s method 疊代法 : Fixed-point iteration. 最小二平方法. 實驗量測取得數據. 最小二平方法. 數據處理 數據點作圖 選擇三個數學模 式來吻合數據 , 何者最適當?. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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最小二平方法與
方程式求解
張基昇製作
22
目錄
最小二平方法 方程式求解
方程式範例: van der Waals EOS Analysis of the problem 嘗試錯誤法
• Bisection method• Secant method ; False position method • Newton’s method ; Muller’s method
疊代法: Fixed-point iteration
33
最小二平方法
實驗量測取得數據實驗量測取得數據
N 11 22 33 44 55 66
xi 0.050.05 0.110.11 0.150.15 0.310.31 0.460.46 0.520.52
yi 0.9560.956 0.8900.890 0.8320.832 0.7170.717 0.5710.571 0.5390.539
N 77 88 99 1010 1111
xi 0.700.70 0.740.74 0.820.82 0.980.98 1.171.17
yi 0.3780.378 0.3700.370 0.3060.306 0.2420.242 0.1040.104
44
數據處理數據處理 數據點作圖數據點作圖 選擇三個數學模選擇三個數學模式來吻合數據式來吻合數據,,何者最適當?何者最適當?
最小二平方法
baxy i
baxy
55
最小二平方法
最適當數學模式的觀念最適當數學模式的觀念: : 該模式計算值與實驗值間之誤差較小該模式計算值與實驗值間之誤差較小
取誤差的平方和最小為判別標的取誤差的平方和最小為判別標的
N
iii baxyE
1
22 )(
)( yyE i
)( baxyE ii
66
最小二平方法
在數學上極值的取得 對函數作變數之一次偏導數等於 0 時之變數值
0))((2
)(
1
2
i
N
iii xbaxy
a
E
0)1)((2
)(
1
2
N
iii baxy
b
E
N
iii baxyE
1
22 )(
77
最小二平方法
移項整理得兩個方程式的方程組 兩個未知變數 a 與 b ,有兩個方程式,系統自由度為 0
(1) --- 111
2
N
iii
N
ii
N
ii yxxbxa
(2) --- 11
N
ii
N
ii yNbxa
88
最小二平方法
第 (1) 式與第 (2) 式除以數據點數 N ,可以得到如下平均值表示為 (3) 、(4)
(4)--- ybxa
(3) --- //11
2 NyxxbNxaN
iii
N
ii
99
最小二平方法
第 (1) 式減去第 (4) 式乘以 xi 值,將消去 b 變數,取得 a (5) 式 ( 或值 )
(5) ---
11
2
11
xxx
yxyx
aN
ii
N
ii
N
ii
N
iii
1010
最小二平方法
將 a (5) 式 ( 或值 ) 帶入第 (4) 式,即可求取 b (6) 式 ( 或值 )
(6) --- xayb
1111
Fit1.for 程式解說
宣告因次與宣告實數 (426) dimension x(100),y(100) real*4 interp,meanx,meany
開啟檔案 open(1,file='fit1d.dat',
status='old') open(6,file='fit1.prn',
status='new')
1212
Fit1.for 程式解說
讀入數據組數 (430) read(1,*)n
用迴圈讀入數據 (431) do 1 i=1,n
read(1,*)x(i),y(i) 1 continue
1313
Fit1.for 程式解說
宣告各個計算變數為 0.0 的值 (434) sumx = 0.0 sumy = 0.0 sumx2 = 0.0 sumy2 = 0.0 sumxy = 0.0 meanx = 0.0 meany = 0.0
1414
Fit1.for 程式解說
利用迴圈計算各個總和數值 (441) do 2 i = 1, n sumx = sumx + x(i) sumy = sumy + y(i) sumx2 = sumx2 + x(i)*x(i) sumy2 = sumy2 + y(i)*y(i) sumxy = sumxy + x(i)*y(i) 2 continue enddo
1515
Fit1.for 程式解說
計算平均值、斜率與截距 (449) meanx = sumx / n meany = sumy / n (a 值 ) slope = (sumxy - sumx*meany)
/(sumx2 - sumx*meanx) (b 值 ) interp = meany - slope*meanx coef = (…)
計算統計上的標準偏差值
1616
Fit1.for 程式解說
依指定格式列印結果 (455) write(6,1000) slope,interp,coef 1000 format( …) stop end
1717
最小二平方法
ㄧㄝˋ !
完成最小二平方法之數據處理,取得系統之最適當數學模式的參數 a 與 b 。
1818
van der Waals equation of state
立方型體積狀態方程式
ㄧ、
二、
三、
RTbV V
aP
2
2V
a
bV
RTP
0P
abV
P
aV
P
RTb-V 23
1919
立方型體積狀態方程式 臨界常數應用於方程式物質參數的求取
Cubic EOSCubic EOS
2020
van der Waals equation of state
vdW 狀態方程式的物質參數 ㄧ、 ,
,
.
二、 , .
C
2C
2
P
TR
64
27a
C
C
P
RT
8
1b
C
CC P
RTb3V
C
2C P
a3V
C
3C P
abV
2121
Phase Diagram
2222
Phase Diagram
2323
Cubic Equation of State
體積的一元三次方程式 在一指定溫度與指定壓力之下,可以解得三個體積的根。
2424
2525
立方型體積狀態方程式 蒸氣相莫耳體積的求取計算式
Cubic EOSCubic EOS
2626
立方型體積狀態方程式 液相莫耳體積的求取計算式
Cubic EOSCubic EOS
2727
題解分析題解分析
Degree of Freedom of problems 自由度:數學的與熱力學的觀點
依 Gibbs 相律計算,自由度為 2 ,指定 T 與 P
, V 為所剩唯一變數;一個未知變數,一個方程式,自由度 F = 0
0),,( VTPf
2828
( 一 ) 嘗試錯誤法求解
嘗試錯誤法 給一個解的起猜值 V ,計算函數值是否為 0 ,若函數值小於容忍誤差 () ,即可視為計算收斂,取得函數的解。
否則,繼續嘗試可能的解,ㄧ直到得到適當解為止。
0),,( VTPf
2929
Bisection method
解題的邏輯觀念示意圖
)( 0xf
)( 3xf
)( 1xf
)( 2xf
0x 2x 4x
3x 1x
)(xf
x
3030
Bisection method
Step AStep A Read: TRead: T 、、 PP 、、 TTcc 、、 PPcc ,, calculate a calculate a
and band b 。。 Set VSet V00 and V and V1 1 ,, calculate fcalculate f0 0 and fand f1 1 ,,
have to satisfy [ fhave to satisfy [ f00 ** ff11 < 0 ] < 0 ] IF ( | fIF ( | f0 0 | <| < .or. | f .or. | f1 1 || < < ) THEN Stop ) THEN Stop 。。
3131
Bisection method
Step BStep B RepeatRepeat Calculate VCalculate V2 2 and fand f22 IF ( fIF ( f2 2 * * ff00 > 0 ) THEN > 0 ) THEN
Set V Set V0 0 = V= V2 2 and fand f0 0 = f= f22 ELSE ELSE Set V Set V1 1 = V= V2 2 and fand f1 1 = f= f22 ENDIFENDIF
Until | fUntil | f2 2 || < < Then Stop Then Stop 。。
3232
Bisection method
Formula by Bisection method
2
)( 102
VVV
3333
Secant method
解題的邏輯觀念示意圖
)( 0xf
)( 1xf
)( 2xf
0x2x
1x
)(xf
x
3434
Secant method
Step AStep A Read: TRead: T 、、 PP 、、 TTcc 、、 PPcc ,, calculate a calculate a
and band b 。。 Set VSet V00 and V and V1 1 ,, calculate fcalculate f0 0 and fand f1 1
IF ( | fIF ( | f0 0 | < | < .or. | f .or. | f1 1 || < < ) THEN Stop ) THEN Stop 。。 IF ( | fIF ( | f1 1 | > | f| > | f0 0 | ) THEN| ) THEN
Swap VSwap V00 withV withV1 1 andand ff0 0 with fwith f1 1
3535
Secant method
Step BStep B RepeatRepeat Calculate VCalculate V2 2 and fand f22 Set VSet V0 0 = V= V1 1 and fand f0 0 = f= f1 1
Set VSet V1 1 = V= V2 2 and fand f1 1 = f= f22 Until | fUntil | f2 2 || < < Then Stop Then Stop 。。
3636
Secant method
Formula by Secant method
)(
)(
10
10112 ff
VVfVV
0 that assume ; )(
)(2
10
10
12
12
fff
VV
ff
VV
3737
False position method
解題的邏輯觀念示意圖
)( 1xf
1x0x
)( 0xf
rxRoot
2x1x
3838
False position method
Step AStep A Read: TRead: T 、、 PP 、、 TTcc 、、 PPcc ,, calculate a calculate a
and band b 。。 Set VSet V00 and V and V1 1 ,, calculate fcalculate f0 0 and fand f1 1 ,,
have to satisfy [ f have to satisfy [ f00 ** ff11 > 0 ] > 0 ] IF ( | fIF ( | f0 0 | <| < .or. | f .or. | f1 1 || < < ) THEN Stop ) THEN Stop 。。
3939
False position method
Step BStep B RepeatRepeat Calculate VCalculate V2 2 and fand f22 IF ( fIF ( f2 2 * * ff00 > 0 ) THEN > 0 ) THEN
Set V Set V0 0 = V= V2 2 and fand f0 0 = f= f22 ELSE ELSE Set V Set V1 1 = V= V2 2 and fand f1 1 = f= f22 ENDIFENDIF
Until | fUntil | f2 2 || < < Then Stop Then Stop 。。
4040
False position method
Formula by False position method
)(
)(
10
10112 ff
VVfVV
0 that assume ; )(
)(2
10
10
12
12
fff
VV
ff
VV
4141
Newton’s methods
解題的邏輯觀念示意圖
)( 0xf
)( 1xf)(' 0xf 0x
1x
)(xf
x
)(' 1xf
4242
Newton’s methods
Step AStep A Read: TRead: T 、、 PP 、、 TTcc 、、 PPcc ,, calculate a calculate a
and band b 。。 Set VSet Vii ,, calculate fcalculate fi i and fand fii’,’, IF ( | fIF ( | fi i | < | < 11 .or. | f .or. | fii’’ || < < 22 ) THEN Sto ) THEN Sto
pp 。。
4343
Newton’s methods
Step BStep B RepeatRepeat Calculate VCalculate Vi+1 i+1 and fand fi+1 i+1 and fand fi+1i+1’,’, Until ( | fUntil ( | fi i | < | < 11 .or. | f .or. | fii’’ || < < 22 ) )
4444
Newton’s methods
Formula by Newton’s methods
'1i
iii f
fVV
1|)('
0 that assume ; '
1
11
2112
12
VdV
dfVf
ffff
VV
4545
( 二 )疊代法求解
疊代計算的邏輯觀念 將體積狀態方程式整理成為體積之自我函數關係式
疊代計算收斂之判別式
0),,( VTPf
),,(1 nn VTPfV
nn VV 1
4646
疊代法求解
vdW 狀態方程式範例 ㄧ、
二、
三、
四、
2V P
b)-(V a
P
RTbV
23 V
P
RTb-V
a
P-bV
P
RTb /
P
abV
P
aVV 32
P
abV
P
aV
P
RTbV 23
4747
您可已曉得!
劇情如何發展!劇情如何發展!
敬請期待!敬請期待!