t'r 111m. '.1\ pl nc \\ Je 10' E.I l]f .. bt' lu qri"'qu -- etla ~. Abr~I.lura

"" ' . . .' Alfa I O:~ yolla Y Beta 1021 'lema Z Gammu 1018 exa E Delta 101$ P''' P Epsilon 101! tem T 2

Unld"dl'\ 11\1..1\)' \11\ ,'blt'vlilhlld \

A amperlu ang\ll\m1 llU 10 m ) "m Blm\fera B,u unidad ttnnicn briui.nka Bq bI..1:que~1 C culombio C grudo Cd~ius cal calorf" C; cune cm (.'Clllfmclt'O

din dinll cV electron v(lltio F grndn l';'nhrenhdl fm fcmlmctro. fcnni ( 10 Ij 111) fI p" Gm gigmclt'O (109 m) G gauss Gy gra)' g gramo

Algunos factores de conversin

u:mgiwd 1m = 39.37 pulg = 3.28 1 pies = 1,904 yardas 1m = 101~ fm = \010 A = 109 nm 1 km = 0.621'5 mi11us (mi) 1 mi = 5280 pies = 1.609 km 1 ano luz. = 1 aJ . = 9.46 \ )( \015 m 1 pulgada = 2.540 cm

VolUlllell 1 L = I 03 cm3..~ 10-) 013 = 1.057 qt TIempo 1 h =3600s=3.6 ks 1 a = 365.24 d = 3.156)( 107 S Ve/"citlad 1 kmlh = 0,278 mis = 0.6215 mi/h I pieJs = 0.3048 mis = 0.68 18 milh

lIgulo'\'e!ocidm! '1II8u1ur 1 rtv = 2..T rad = 36() I rad = 57,300

I revlmin = 0.1047 rudls

JI h

HI,

'" J K kg km kcV lb L 111

MeV Mm m,

mm

mm

m'

N

henry "no nann-.t:lr(I (10 ~ nH

hmn pi pinhl henl q' 1,:1111110 de }i'!lI~n pulS"du ",v rt:\'oluci6n julio R fUcmgen kclvin S, .. ene" kilogramo , !.egundo kil6metro T le~ln kiloelectron voltio u unidOO de mJt~ unllu;::II.1n Ilbm litro metro

Il1cgaelcctrn voltio IllcgmclrtI (106 m) milla minuto milfmctro milisegundo ncwlon

F 11 (! r:(I pre l ' i 6 11 1 N = \O~ dinas = 0,2248 lb 1 lb = 4.448 N

V volt,o w \';llio \Vb weber , ao yd yardn I,m rnicrmetm(I O m

I~ micro,egundo ,.c microculombio Q ohmio

,

1 aun = 101.3 kPa = 1.013 bar= 76,00 cmHg = 14.70 IbJpulg-

Ma.Wl

I u = [(10-3 rnol- I)lN"J kg = 1.661 )( 10.27 kg I tonelada = 103 kg = 1 Mg 1 slug= 14,59kg 1 kg pesa aprOldmad:nnente 2.205 lb

Energapo/elleja 1 J = 107 crg = 0.7373 pie ' lb = 9.869)( 10-3 atm L 1 kWh =3.6 MJ I en1 = 4.184 J =4, 129)( 10-1 alm' L I alm' L= 10 1.3J=24.22cal 1 eV = 1,602)( ID 111 J I Blu = 778 pie ' lb = 252 cal = 1054 J 1 cI'lbllll0 de vapor = 550 pie' lb/$. = 746 W Com!lIcl iI'I,/(u!ttfrnlil'tl I W /m . K :::: 6.938 SIU . pulg/h ' piel. F

Ctllllpo rtltl811/1/jf'n 11' = 104 0

Vi.feos/dad IPa 's", IOpo~

/'/tuln dI' Id ohm Img/" "I Ph\'sl~ for Sclentl~l~ IInd EnKlnt'

-Estamos muy sUl isfechos de poder presentllr la quinlll cdid6n de Fsica p(lra /0 ciellda y /(1 tecnologa, En cllranscu rso de esta revisin hemos ido COIl'i t fuycndo sobre 10l> pun tol> fuer-tes de la cuanu edicin. pUn! que la llueva versin s..::u un instnllTlCnto de aprendizaje aln rnl>

preci~o. almclivo y l11otivlldor de los cursos de int roducciu a lo fs ic bm:udos en e l clculo in fi nitesimal. Con la ayudu de aquell as personas que la hbf.III rev isado y muchos usuarios de la cuarta edici n hemos examinado y pul ido c;rda aspeclO del libro con la intencin de mejorar la comprensin del estud iante y SllS resultados. Nuestros objetivos incluan ayudar

a l est ud iante u aumentar su capacidad de resoluc i n de problemas, haciendo e l texto ms asequible y agradable de leer, y conservndolo nexible Pr;. el profesor.

Ejemplos Uno de los modos ms importantes de lograr nuestros objetivos consisti en aadir alguna nueva caracterstica a los ejemplos resueltos en faonato a dos columnas, ya introducidos en la cuana edicin. Estos ejemplos yuxtaponen los pasos de la resolucin del problema con 1:'ls ecua-ciones necesarias. de modo que es ms Fcil para e l estudiante ver la re.,solucin del problema.

El formato a dos columnas utilizado en los ejemplos resueltos procede de las sugerencias de los estudiantes; nosotros slo hemos aadido unos cuantos detalles finales :

Despus de elida enunciudo los estu-diantes pasan al l ' /olll /!omietflo del problema. Aqu el problerml se analiza tanto desde una perspectiva conceptual como visual. y con frecuencia :,e pide al e,

VIII I Prefacio

. -..u (5, ' __

Cadu ejemplo IliI si(jo cx mni nndo y ~e hun ludido lluevo!> p U.\(ls. llueva.., obscrvllcionc .. 'i ejercicios complementarios y haSIiI d iugruma. de fllena donde .\c hn con.\idcrado oponuno. Las respuestas aparecen IIhoru rccundrnda:. pllrll que resulte m::. fc il cncuntrnrla:.. Elllre 111\ nuevas car

Problemas de final de captulo

Se ha prestado atcnc in a In mejnt de la clllidad y la claridud de le. proble ma!> propueMos al final de cada caplUlo. Alrededor del veinte por ciento de los 4500 problemas ~on nuevo!:> y hun sido redactados por Charlc." Adlcr del SI. Mury's Col1cgc de Maryland. Los problemas concel). tuales se ha agrupado 111 comicnl.o del conjunto de problemas de euda captulo. y se ha aadido una nueva cUlcgorfa de problcmus de E.'ilimnoin y Aproxi mnr.:in pum unimar a los estudi antes a pensar como cicllIficos o ingenieros. Las respuestas n los problemas irnparc..'i aparecen reeo-gida'i en el volumen A,J" ndce,l' y Rl'.\'/Jll esU/s. Soluciones n nproximadulllcnlc el veinte por cicnlO de los problemas se recogen en el SlUdcnt 5011llion Manual. nuevamente reviso.do. Esta nueva versin ha sido c.'\Crila por David MilIs del Colkgc. or Ihe Rcdwoods para dar soluciones detallndas y rcnc.jnr el popular rormato a doble columnll de [os ejemplos dcllibro.

Unos 1100 de los problemas propue,. .. tOs en el li bro eSln incluidos en el nuevo servicio I . A estos problemas se puede acceder n lrav.c; de www.whrrccmnn.com/tipler5e. Alrededor de un tercio de los problemas iSOLVE 5011 Checkpoin t ProblCIllS (Problemas de Control) que piden a los estudiantes que observen los principios y ecuaciones que estn uti -lizando y que indiquen su ni vel de con fi anza.

....... .

Caractersticas

... - .. ~. __ .. _ .. -_._--... --, .. _.- .... --,-_ ... _ .. _-_ ...... ----.... --._---

,

... .. -

x I ."'odo

Versin en dos volmenes

Volumen 1: Mcanka Oscifaciones y ondas Termodinmica

Volumen 2: Electricidad y magnelismo lu, Fsica moderna:

+

ApndlceJ y respuestas

Mejoras en el contenido El Cupflulo R. un " mini" 1:1Ip(11I1o opciunal dd Volumen 1, 10 , uhcicnlCJnellle brc\c PMiI \q dC

Secciones opcionales Ellibm ~e propOl~e faci litar 11 los profesores e l poder se r t\ex iblc~ di licundo pura e llo algu-nas secc iones o.J>ClOnales. Esta~ ~ccc ionc:. uparecen marcada ... con UIIII!'Ilerisco . y lo!> profe-~~re!; que escoJUl saltarse csa secc in puedcn hacerlo sabiendo que su!> cSlUdiunte ... no se plc rden un malcri a! que lII!cc:.iturn en captu los postcri (l rc~.

Resumen

l os resme ne:. de fi nal de cap tulo se estructuran de tn l manera que los t ema~ impo rt:uuc:, se colocan n la izquie rda y las observllc iones pcrt inentC!'I y IlIs ecuac iones correspondic ntc~ ; la derecha. Para fucilitar su consulta. las ecuaciones aparecen con e l mislllo nmero que tiene n en el captulo.

Ensayos de exploracin l os estudi antes estn invitados a eSlUdi ar las interesantes ampl iaciones de los conceptos del captul o que se recogen en I:S secciones de ex ploracin, que ahora se puedcn encontrar en la web. Estos escritos con os re lacionan los conceptos de l captulo con lemas que van desde el tie mpo meteorolgico hasta los transductores.

Apndices y respuestas En la versin espaola de esta sa edicin de Ffs ica para la Cienc ia y la Tecnologa. los Apn-dices y las Respuestas a los prob le mas impares de fin al de capt ulo se recogen en un volu-men independ iente que sirve como complemento de cualquiera de las dos versiones d isponi bles (en dos y se is volmenes).

Medios de difusin y suplementos impresos

El paquete dc suple mentos ha sido actualizado y mejorado en respuest a a las sugerencias de los que revisaron O utilizaron la cuart a edic in.

Para el estudiante: Student Solutions Manual : Vol. / 0-7167-8333-9: \10/. 2. 0-71678334-7. El nuevo mllnunl preparado por Dav id Milis de l Co ll ege of the Redwoods y Charles Adler del SI. Mary's Collcgc of Mary lund proporciona las so luc iones de aprox imadamente e l veinti ci nco por c ie nto de los proble mas del libro, uli lil.ando el mismo fo rmuto a dos columnas y el mismo nivel de detalle que los eje mplos resuellos del libro. Study Guide: Vol. / . 0-7 /67-8332-0; Vol. 2. 0-7/67-833 1-2. Preparada IXlr Gene Mo:-ca de la Unitcd Stutcs Nav:11 Academy y Todd Ruskell de In Colo rado School of Mines, In SlUdy G uide describe las dea~ c lave y los potenc ia les cscol lo~ de cada Cilptulo. y tambin incluye preguntas vcrdadero-falso ~obrc defi ni c one~ y relaciones. cuestiones y rc.

XII I Prefacio

iSOI.VE Cheekl,oint llroblems: Un tcn;io de nuc

d o.nar ~jemplu!'o de cOllt exln amplio I!I1 cuda clIpft ulo Il~( COIllO ti lo!'o IlUI!VU" problelllas de cSll ll ll\cln y "proxiurll.:i, I' n l ' b' ,'6 '

. . .. " ~ u compro .lel n precisa del textu y lo!> problcllluo hOlm)\ rcc lbldo ulln Ulcslllnable ayuda de l o~ profc..\ori!:':

Kununj(.'Ct Ary". San Juse Slale Uni versity Michllcl Cri"eJlo. San Diego Mesa Colll!ge David Fllust, MI. Hood COl1l munity Collegt! J eromc Lidni. Lchi gh Uni"crs ity Dan Lueus, Univers ilY 01' Wiscollsin ,IcllImcltc Myers, Clemson Universit y

Marinn Pcters. Appalm:hi an Slatc Univt!r\ il)' Puul Quinn. KUlJ' IO\V1I Un i"l!r!li lY Michllcl C. Strllus.'i.

Un ivcr~i ly uf Okluhoma Ccorgc Zobcr, Yough Senior High School P:Hricia Zobcr, Ringgold Hi gh Sehool

Muchos profesores y estudiantes nos han facili tado ampl ias y ti les revisiones de lIllO o varios enptu los. Cuda uno de ellos ha hecho una importante contribucin ti lu calidad de c.. ... w revisin y merecen nuestra grulil ud. Nos gust'la dar las gracias

XIV I Prefacio Fernando McdilUl. Florida At lanl ic Universi ly Luuru McCullough, Universit)' t)f Wisr.:nnsin al SIOUI .Iolln W. Norhury, Uni vcrNi ly of Wi~cons i n at MilwHukcc \llch'yn Jlly Orcmlund, Pace Univers it y Antonio Pagnmncnlu. Uni"crsi lY of IIl inoi:. al Chicago John Pursons, Columbia Univcrsi y Dinko PuclIllie, Univcrs ity of Virgini1 Bcrnard e. Pope, Michigan Statc Univcrsil y Yong-Zhong Qian. Uni vcrsity of Mi nnesotu Ajit S. Rupuul, Wcstcrn WashingtOn Uni vcrsilY Todd e. Ruskell, Colontdo Sehoo! 01' Mines Mesgun Scbhatu, Winthrop Univcrsity Marllin L. Simon. Auburn Universi ty Zbigniew M. Stadnik, Uni vcrs ity 01' Qllawa e. R. Slcwnrt, Uni vcrsity 01' Florida Miehacl G. Slrauss, Uni vers ity ofOklahoma Chin-Chc Tin, Auburn UniversilY Stcphcn Wcppncr, Eckerd Collcgc SU7.unne E. Willis, Northcm IIlinois UnivcrsilY Ron Zammil. California PolylCchnic Statc Uni versi lY

A los que revisaron pmblcmus/solucioncs tuy Nmn Chango Virg inia Polytechnic Imaitulc Mnrk W. CofTey, Colorado School 01' Mine:. Brent A. Cnrbin. UCLA Alan Cre.'is\\ cll, Ship>cosburg Univcrs it y Ricardo S. (.>ceca. IndituHl Uni licro, ity- Purdue Uni vcr,i lY

Michuel 1)1Ib1>on. Uni ver,il)' of Colorado ni Bouldcr Oa\'id Fnus t. Moul11 Hood Communil)' Collcge PhiUp Fnlulldorr, Uoiver:. it)' al' Ms

JIII1H'S Cunu~r. UnivCNil Y nI" Nonh Florida Tima HlIrrlott . MOlllI1 Sn inl Vin~enl. Cllnadn ROAcr King. Cil)' Collegc of San Francisco John A. McClcllllnd. Univcn.ilY 01' Richmond C hun I'-'u S u. Mississi ppi Slnlc Uni \'crsil)' .101m A. Underwood. AUSlin Communily Collcgc

;\ los que rC\'isll roll los medios de difusiln Mick Arnclt. Kirk wood COlllmunily Co llcl!e

-

Coloncl Rolf Ell gcr. U.S. Air Force Acudcmy .101m W. Fl'Irlc)', Thc Univcrsity of Nevada at La:- Vegas David Ingrum. Ohio Universit)' Shawn .Jack.'ion. The Univer:-it)' of Tulsa Dan M'lclsllac. NOr1hern Arizona Uni versil)'

Peter K

XVI I Pre fDdo RiclUlrd Hnrllcz. Dn.:xcl Univcrs;IY Miclult::1 Harris. Un;vcrs;ty 01' Washington RUlldy Harri.s, Un;vcrsity oC Cnliforniu ni Dnvi~ Oictcr Hnrtmal1l1. Clclllson Uni vcrsit y Rohcrt ~1()lIcheck. Un; vcn:ity 01' Pcnllsy lvania MudYII Juli!. Uni vcrsilY 01' Millay .. MOllwhcn Jeng, Univcrsily of California - Santa Barbara I10n .Joscph , Columbia Univcrs ity Dn\'id Knplan. Uni versity of California - Sanl

Clnro que nucSlro l rabnju nunen .c ;tI.::aba y I.!spcnulIQ.\ cUllI inUlIf rccibicndu comentario .. '1 sugcI"Cndfl!\ de nuestros lectores pum IIsf poder mejumr elleXln y cOITcgir cunlquicr error, Si IIslcd cree que ha encontmdo UII emIr o desea hacer cOlllcnlllr;o.,

PAUL TlPLER

Pan! Tiplcr Illlci en la pcqucn ciudad agrcola de Antigo. Wisconsin, en 1933. Rcalil. SUli estudio), medios en Oshkosh. Wisconsin. de donde su padre era supcrimcndente de las Escuelas Pblicas. Recibi el t(lulo de Bache lor of Seiencc en la Universidad de Purdue en 1955 y el

VOLUMEN 1

Volumen lA

PARTE 1

Captulo 1 Captulo 2 Captulo 3 Captulo 4 Captulo 5 Captulo 6 Captulo 7 Captulo 8 Captulo 9 Captulo 10 Captulo 11 Captulo 12 Captulo 13

Vo lumen 18

PARTE 11

Captulo 14 Captulo 15 Captulo 16

Volumen le

PARTE 111

Capitulo 17 Capitulo 18 Captulo 19 Capitulo 20

Captu lo R

,

MECANICA

Sistemas de medida El movimien to en una dimensin Movimiento en dos y tres dimensiones Leyes de Ncwton Aplicaciones de las leyes de Newton Tmbajo y energa Conservacin de la energfa Sistemas de pnrtculu.s y conscrva;in dclmOlllcnto lineal Rowcin Conservacin dcllllolllcnlo angular Grnvcd:IIJ Equilibrio c.\l tico y clU!.licidad Fluidos

OSCILACIONES Y ONOAS

Oscihu.!inllc." Movimiento ondu huorio Supcrpo,icin y onda .. c.. ... t:ldonnria!\

TERMODINMICA Tcmpcnuur:.l } Icorra cintica de lo

xx I fndlce abreviado VOLUMEN 2

Volumen 2A

PARTE IV Captulo 21 Caplulo 22 Captulo 23 Captulo 24 Captulo 25 Captulo 26 Captulo 27 Captulo 28 Captulo 29 Captulo 30

Volumen 2B

PARTE V

Captulo 31 Captulo 32 Captulo 33

Volumen 2e

PARTE VI

Captulo 34 Captulo 35 Captulo 36 Captulo 37 Captulo 38 Captulo 39 Captulo 40 Captulo 41

,

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO C:lmpu elc trico 1: Distribuciones di scretas de. cnrgn Campo elctri co 11 : Distribuciones continuos de carga I)OIcm:ial elctrico Encrgra electrostti ca y capuc idad Corriente elct rica y circu it os de corrien te continua El campo magntico Fuentes del cam po magntico Inducc in magntica Ci rcuitos de corriente alterna Ecuaciones de Maxwcll y ondas electromagnticas

LUZ

Propiedades de la luz Imgenes pticas Interferencia y difraccin

FISICA MODERNA: MECANICA CUANTICA, RELA TlVIIJAD y ESTRUCTURA DE LA MATERIA

Dual idad onda-pancu la y fsica cuncil Aplicaciones de la ecuac in de SchrOdinger Atomos Molcul as Sl idos Rclaividnd Ffsica nuclear Las partculas elementales y el origen del uni verso

APENDICES y RESPUESTAS

Apndice A: Apndice B: Apndice C: Apndice o : Respuestas:

Unidudcs SI Y fac tores de conversin Datos nmcricos Tabla pcridicll de los elcl1lcnlos Revisin de mutemdticns Rc.. .. puesl:ls a los problcmas de numcmcin impar

VOLUMEN'

PARTE I MCANICA Capitulo 1 Sistemas de medida 3

Fsica clsica y moderna 4 1.1 Unidades 5

El sistema in ternac ional de unid:des 5 Otros sistemas de unidades 7

1.2 Conversin de unidades 7 1.3 Dimensiones de las magni tudes fsicas 8 lA Notacin cicmfi ca 9 1.5 Ci fms signifi caiivas y rdenes de magnitud 11 Resumen 13 Problemas 14

Captulo 2 El movimiento en una dimensin 19

)

2.1 Desplazurni cmo, velocidad y mdulo de la velocidad 19 Velocidad instantnea 22 Velocidad relati va 24

2.2 Aceleracin 25 2.3 Movimiento con aceleracin constante 27

Problemas con un objeto 28 Problemas con dos objetos 33

2.4 IllIegrncin 35 Resumen 39 Problemas 40

Cap tul o 3 Movim iemo en dos y tres di mensiones 49 3.1 El vector dc..

VOLUMEN 1

PARTE 1 MCANICA

Captulo 1 Sistemas de medida 3

1.1 Fsi ca clsica y moderna 4

Unidades 5 El sistema internacional de unidades 5 Otros sistemas de unidudes 7

1.2 Conversin de unidades 7 1.3 Dimensiones de [

XXII I fndlce analiUco Capitulo 5 Aplicaciones de liS leyes de Newton 109 5. 1 Rozamiento 109

5.2

5.3

Rozamiento esttico 109 Rozamiento cinl'ico 110 El rozllln iento por rodndurn 110 Cul es la caU~ll del r07..am iento? II I

Movim ielllo por una curva I 19 Curvas con pendiente (pcrullc) 122

"'Fucrlus de arrastre 124 5.4 "'La integracin numricu: el mtodo de Euler 126 Resn rtlen 128 Problemas 129

Captulo 6 Trabajo y energa 14 l 6. l Trabajo y energa cintica 142 ,

Movi miento en una dimensin con fuerl:ls constantes 142 Teorema del trabajo-energfa cintica 143 Trabajo realizado por una fuerla variable

6.2 Produclo escalar 148

6.3 6.4

Potencia 152 Trabajo y energa en tres dimensiones 154 Energa potencial 155

Fuerlas con~ervali v .. s 156 Funciones de energfo potencial 156 Fuerlas no conservutivas 159 Energ .. polencial y equili brio 159

Resumen 16 1 Proble mas 162

Captulo 7 Conservacin de la cnergll 17 1 7.1 Conservacin de la energa mecn ica 172

Apl icaciones 173 7.2 Conservnd6n de la cncrgfn 178

Teorema trnbajo-energ(n 179

146

I>roblemas en 10\ que interviene e l rolamicnto cintico I SI Sistema .. cn encrgfa qumi ca 185

7.3 Mmw y energa 186 Energa nuclear 187 Mecnica NewlOni:tno. y re1ativ idod 189

7.4 Cuan tizacin de la cnergn 189 Resumen 191 ProblemaS 192

Captu lo 8 Sistemas de panculas y conservacin del momento lineal 20 1

8. 1

8.2

Centro de masas 202 Energa pOlencial grav ilUloria de un ~iMema 205

"' Determinacin del centrO de masas por integracin 206 BalTa uniforme 206 Aro semicircular 206

8.3 Mov imiento del celllro de ma.

Capitulo 10 onservacin delmomcnto nngular 285 10. 1 Nntumlc7 .. 1 vectorial de la rotacin 285

Producto vectoria l 286 10.2 Momento angular 287

Mo vi miento de un giroscopio 292 10.3 Conservacin del momcnto ungular 293

Demostracioncs dc las ecuaciones 10. 10. 10.12. 10.13. 10. 14.y 10.15 300

10.4 Cuantizacin del momento angular 302 Resumen 303 Problemas 304

Captulo 11 Gravedad 3 13 11.1 Leyes de Kepler 3 14 11.2 Ley de la gravilacin de Newton 31 6

Medida de G 3 19 Masa gravi tatoria y masa inercial 3 19 Deduccin de las leyes de Kcplcr 320

11.3 Energa potenc ial gravitatoria 322 Velocidad de escupe 323 Clas ificacin energtica de las rbitns 324

1104 El campo gravitatori o g 326 Campo gravitatorio g de una coneza esfrica y de un a esfera slida 327 Campo g en el interior dc una esfera slida 328

11 .5 Clculo de la ecuucin correspondiente al campo gravitatorio de una corteza es frica por integracin 330

Resumcn 332 Problemas 333

Capt ulo 12 Equilibrio csttico y elasticidlld 341 12. 1 Condiciones de equilibrio 342 12.2 Cen tro de gruvedad 342 12.3 Ejemplos dc equi librio esttico 343 12,4 Parde fuerw 'i 347 12.5 Equ Iibrio estl ico en un :-; istcmu acelerado 348 12.6 Estabi lidild del equilibrio de rotllcin 349 12.7 Prohlemu 432 PUISOf; de onda 432 Velocidad de 10

XX tV I rndlce analftlco 15.2 Ondus peridicac; 438

Ond:ls armnicas 438 Ondas sonor.ts amlnicas 442 Ondas electroll1ngnticas 443

15.3 Ondas en tres dimensiones 444 InICnsidad de unn ondn '144

15.4 Ondus y barreras 448 Reflex i6n y refnlcci6n 448 Difraccin 449

15.5 Efecto Doppler 451 Ondas de choque 455

Resumen 456 Problemas 458

Captulo 16 Superposicin y ondas estacionarias 467 16.1 Superposicin de ondas 468

*La superposicin y la ecuacin de onda 468 Interferencia de ondas armnicas 469

16.2 Ondas estac ionaria'i 474 Ondas estacionarias en cuerdas 474 Ondas sonoras estacionarias 479

16.3 *Superposicin de ondas estacionarias 482 16.4 *Anli sis y sntesis annnicos 482 16.5 *Paquetcs de onda y dispersin 484 Resumen 484 Problemas 486

PARTE 111 TERMODINMICA Captulo 17 Temperutura y teora cintic

( lo R 1 B 'fIn'nrk\ ~ n-l.lll\ Idokl '\ 1.1 ~t\tl,I"",I,.',",..k' l., \ 'k,,- "I.kl tI\'

la hl1 ~ R ~ R.lIT.l" en nl\" Iml\'nl\\ .~ R .~ Rch'K" en n,,-" 1Il1lcntl\ -1 RA ~I.h ,~~ h.ur.l'd;."n m,\\ II1\IcI11n !lo R .'\ Reluje' 1\'1;\1\0, \ 'Imull.ln~llI.KJ q R ,ti \ phc~K' I()n de 1.\, f\'~1:t... 10 R.' Ml."mcnlo. n1;l .... ') el\t''l!''\ rcl,Ul\I'." I.:!

~ h'lllClUn) 11\,'''.1 I Z I~lt'rgl.l IJ

Rc,ulltcn 1.\ Problema' 14

-

-

~

-2: --Z '" ----,

Derechos y reconocimientos de las ilustraciones Capitulo 1 Apertura p. I Jeff Di".nc/H >G!Gcuy: p . .. (a) The Grnngcr Collection: (h) O 1999 Geotrrey Wheeler: p. 6" (a) M cDooII.ld Qbsel"\'arory: (b) Brucc Cokmlln: p. 6 Eunkc H:uTislPhoto RC$CUI'(:hers, Im::.; 1" 10 (lI} IBM AhlUulen Re,tly~ics. I'urdue Univt:r.ity: p. J.U O 2002

H~l ale u f Alexnnder ClllderIAnisl,~ R ghL~ Society (ARS). New York: 1" ~SO Pholo( ~k .

Captulo 13 AllCrtuMI 1'. J6S Audy I'emicklllurcllu of Rec!anllllion; p. 370 Vune.\~3 Vid:lPhot" Rcse:lIl:hcrs, IlIc.; p. 372 Chuek O'RearfWoodlil1 C.mp aoo MWC.: p. 375 Da ... id Bumenl Woodfin Cump Dnd Aswc.: p. 376 (nlTiba) Esta/e of liarnld E. Edgcnon. (abajo) Thkel.ki T,,~;uhnm/Photn Relw:archcr;Captulo 16 Apertura p. 467 Da, 'id YOSIIS lcinwlly & Sons: 11 . .17 1 Ruhllcrhtll ProdUClit'lIl$: p. 473 ,a) Bcn;nke \bbotl (SJ 1318)/1'11010 Rc....c;tn;hcr.\: p. J 76 fi/.quierdJ ) Un)\'Cl)ity ot WlIShinloltou: (centro) Unl\'er;ity of W&hingloo: (dcrech3)Unh'Crsily of \V\Wlmglon: p. 481 Profe-.'>OI' ThomM D. R~ .. ing. NOl1hem lIlinois Unh'CfSi ly. DcKalb: 1" 4S7 Cortc\Ca de Otuel: Adkr.

Captulo 17 AfX!r1unt p. 495 l'loh)' Ftnnll'hoIODisklGeu)': 1'. 497 fa) Con~a de l'oI~ Ior 1'reci,.iull

PTOducl~: (b) Conc.~fn de I-Iooeywell, 1I1C.: JI. 49'} Rich:uu McngaIFund:UI~nm! f'hoIogr,ph\. p. SOO NASA: p. 5 15 Jel 1'ropulsiooIA,borutorylNASA

Captulo 18 ,\ pcrt um 1'. 5 19 Donna l)ayiJ'hc:>toOisk/Gcu y: p. 510 Phocm'l: l'ipe & Tut>dlana Bc:rko\'ich: p. 512 From Frnnl.: I'rc~\ 1Int! Raymond Sie\cn. Un&numJ"w Eurth. ln1 cd. W,ll , FreenH!II und Co .. 200 1: p. 5'13 De 11Imul \Vink. Shuron G~I!1M.KI } Shclla McNicholllS. 711,. /'mellU "f eh,."';,',....'. W.II . F~lnan :md Co .. 2002: JI. 540 \Viii and Ikni Mc\ntyrelPholo Rc.'>I;::m:~.

Capitulo 19 Apcnum 11. S!H (wnba) l':lul Chcs1eylNlluonal Gc:ographieJGclt)'. p. 55 1 (allol,JO) Samha Nmionnl I_'\xllntory; 1" SS4 e 2002 Robert Arias" JI. 556 Ande"on R~~oD1\kI Geu y: p . 56 1 CabaJo. tkrtCha)Mithacl Cnlllc:rlStock. nO~IOII; (llfTib:!. i/.quI('nla) JeulI ' Plcrre IlorlUlffhe Irnage Ball"; p. 562 (amb:l, Ikrechal SlIndia Naoolll Lahot'aIVl): Camba, wlulcnllJ Pelcr f,.hllc:rffhc ImJlb'C nnn~ ; Cab3.JO) Slmdla NblJCloal LnborntOf)'

Captulo 20 ' \llfr1urn p. 5KJ mnl;: 5itc:malllStot l.. BOICKI. I IlCJPlCtun.oQuc~t . 11. 591, AUre.J "1l.~tI'lnl l'hoIn RC:

SISTEMAS DE MEDIDA

En una playa hay demasiados granos de arena para con tarlos uno por uno, pero se puede ob tener el nmero aproximado por medio de hiptesis razonables y clculos sencillos.

? Cuntos granos de arena hay en su playa favori ta? (Vase el ejemplo 1.6.)

El hombre siem pre ha sentido curiosidad por el mundo que le rodea. Como demues-lran los pri meros documentos grficos. e l hombre siempre ha buscado el modo de im-poner orden en la enmaraada di versidad de los sucesos observados. La ciencia es un mtodo de bsqueda de los principios fundamenta les y universale.'i que gobiernan las enusas y [os e fectos en el universo. El mtodo cientfico consiste e n constru ir. probar y relacionar modelos con e l objetivo de descri bir, explicar y predeci r la rea lidad. Esta mc-todologa comporta estableccr hiptcsis, rcalii"..a r experi mentos que se puedan repetir y observar y formular nucvas hiptcs is. El critcrio esencial que determina el valor de un mode lo cient fico es su simpl icidad y su uti lidad para elaborar predicc ionc~ o pam ex-plicar observacio nes referidas a un amplio espectro de fen6menos.

Generalmente consideramos In cicncia corno divid ida en d iversos campos separ-dos. aunq ue esta divisin s610 IU VO lugar a partir del siglo XIX. Ll separacin de sis te-mus compl ejos en clUegoras ms simples q ue pucden cstudiarse ms fcilmente. constituye uno de los mayores x itos de la cienc ia. Ul bio logu. por ejemplo. estudia los organismos vivos. La q urmica trata de las ill1cracciones de lo!' elementos y compuestos. Lu geologa es e l estudio de la Ticrrn. Lil nSlro no mn estudio. el s istema solar, las estre-

1I a.~ y las galaxias. y el universo en SU conjunto. La fsica es la ciencia que trata de la materia y de la energa. del espacio y del tiempo. Incl uye los princ ipios que gobiernan el movi miento de las pan cul as y las ondas, las inte racc ione.. .. de 1m, pll rt c llla~ y las pro-piedades de las molculas, los la mos y los ncleos at micos, as como los sislemas de muyor escalu, como los gases. Jos Ifquidos y los slidos. Algunos consideran que In f-.,ica es In mtis fundamental de las ciencias porque sus pri nci pios son In bnse de l o~ otro!' campos cie/llflicos .

Captulo

1.1 Unidades 1.2 Conversin de

unidades 1.3 Dimensiones de las

magnitudes fsicas 1.4 Notacin cientfica 1.5 Cifras significativas y

rdenes de magnitu d

4 I Cllplluto t Shtl!!mtll dI!! medid"

La fr/'oica e .. la ciencia de lo exticu y la clencin de lit vida cOlldlllnll En el extremo de lo extico. los IIgujcro~ negros ponen rCIQ!I a tUlRlUgl\\ucin. En la vidu diaria. inge lI icro'l, Illlhico!a. arq uileclo!, qumiCO", ollol!-u\j,. mdico ... CIC., cOlUrolun lemu\ tnle .. COIIIO trunsmisin del clIlor, nujo de fl uidos. ondas ,>onora .. , rnd iuetividad y fuerta .. de lensin el1 edilic ic)s o en huesu,,; pura realizllr su trabajO diario. Innumemblt "i cue .. tlOne .. respecto u nuestro mundo pueden rc'ipondeJ"i.C con un conocimienlo b:bico de la (< .. ico.. Por qu un hel icptcro tiene do~ rotore.;? Yor qu 10\ astronauta.\ notan en el C\Pu-cio? , Por qu tos re tojes que se mueven van m., IClltu

cial y. paniculnrmentc. la teorn CU!hllicu 1\ sistellla!! microsc6picos tales como ttQIIIO!->. lIIol-culns y ncleos. ha conducido n unn comprensin detallmlu de slido!->. lquidos y gilSC' y constituye lo que generalmente se denomina jisica ItIQllem(/ . A sta se dcdicn la pane VI de este texto.

Comenznrr.: lllos nuestro estud io de lu rrsicn con los temns clsico:.. Sin cmburgo. de vez en cuando elevaremos nuestm mirndll pura nnuli1.ar la relucin entre la rfsic" clsica y la fsicu moderna . As. por ejemplo. en el captulo 2 dedicllremos un espacio a las velocidades prximas a la de la luz. alrnvesnndo brevemente el universo rclmivist:l imagi nado primera-mente por Ei nstcin . Iguu lmeme. dr.:spus de :lbordur lu consr.:rvaci6n de la energfu cn el cap-tulo 7. tratnrcmo:.. de la cuunrizacin de la cnr.:rg fll y de la rumosa relacin de Einstein entre la masa y hl energa, E = mt..l. Unos captulos ms adelame. en d captulo R. cstudiurcmos la nnturnlcl!1 del espacio y del tiempo tnl como los revel Einstein en 1903.

1 .1 Unidades

Sabemos bien que no todas las cosas pueden medirse, por ejem plo, la belleza de una nor o de unu fuga de Bach. Cualquiera que seu el conocimiento que tengamos de estas cosas, com prendemos rci lmente que este conoci miento no pertenece al campo de la ciencia. La capa-cidad no slo de defin ir, si no tambin de medir, es un requisito de la ciencia, y en fsica. ms que en cualq uier otro campo del conocimiento, la defi nicin precisa de los trminos y la medida exac(u de las magnitudes ha conducido a grandes descubri mientos. Comenzaremos nuestro estudio de lu rfsica estableciendo unas pocas defi niciones bs icas, introduciendo las un idades y mostrando cmo estas unidades se tratan en las ecuaciones. La "diversin" ven-dr ms adelante.

La medida de toda magnitud ffsica ex ige compararla con cierto valor unitario de la misma. As. para medir la distanc ia entre dos puntos, la comparamos con una unidad estn-dar de distancia tal como el metro. 1....1 afirmacin de que una cierta distancia es de 25 metros significa que equivale a 25 veces la longitud de la unidad metro; es decir, una regla mtTica patrn se ajusta 25 veces en dicha distancia. Es importante aadir la un idad metros junto con el nmero 25 al expresar una distancia debido a que ex isten otras unidades de longitud de uso comn. Decir que una distancia es 25 carece de significado. Toda magni tud fsica debe expresarse con un a cirra y una unidad .

El sistema internacional de unidades

Todas las magnitudes rfs icas pueden ex presarse en funcin de un pequeo nmero de unidn-des fundamentales. Muchas de las magnitudes que se estudi arn, tales como velocidad. fucrla. mpetu o momento lineal. trabajo. energa y potenci ,l, pueden expresarse en ru ncin de tres unidades fundamentales: long it ud. tiempo y musa. La seleccin de las unidades patrn o cst:indar para estas magnitudes rundamen tales determina un sistema de unidades. El sistema utilizado universalmente en In comunidad cient fica es el Si.flema III1(!rlllIciollol (S I). En el SI la unidad pmrn de long itud es el metro. la unidad patrn del tiempo es el segundo y la unidud patrn de 101 musa es el ki logramo. Las defi niciones completas de las unidades del SI se dan en el Apndice B.

longitud La unidud patrn de longitud. el metro (sfmbolo m). estaba definido originul-mente por la distancio comprendido entre dos royas grabadlls sobre uno barfl'l clr.: una ale,l-cin de platino e iridio que se guarda en In Oficina Internacional de Pesas y Medidas . en Sevres, Francin. Se escog i e.

6 I Captulo 1 Sbtcmns de medida

(!I)

(b) (1 ) Reloj de agua utili1.ado en el siglo XIJI pam medi r intervalos dc tie.:mpo. (b) Los disedol'Cs Jeftcrts & Meekhor de un reloj de Ulla fuente.: de cesio jUnio al protOlipo.

Tiempo La unidnd de liempo. el se.:undo (,J. '-C defi ni originalmente en funcin de la rolllcin de la 'lierra , de modo (jU lo! corrc'Iponda a ( 1/60)( 1/(lO)( 1/24) del dll

Otros sistemas de unidades Otro ~is tcmn decimal cm; an se utiliza. pero que l'$t('i .. icndo rccmpla/lldo grudualmcnlc por el sistc:nlll del S I. es..::1 sistema cg~. basado cn..::1 {'I.mtl11ctro. cl grumo y el scgundo. El cent!. metro se define ahon. como 0.01 m y el gnuno COIllU 0,001 kg . Originalmcnte el g.ramo '>C defini como la masn de l cm \ de agua a 4 "C. ($cglin C"II\ defin icin un kilogramo e., 111 mtl.,a e 1000 ccnt metros Clbico .. o ulllitro de ligua .)

Existen otm~ .,istcmas de unidndcs como el sistema U.kni

8 I Caprtulo I Slstema.\ de medid"

((1) !-l uces de I ~ se r emitido:. de~de el Ob~er"utorio Macdonald paro! medir la di~Ulneja hasta lu Luna. EM centfmetros midiendo cltiempo trnn '>Cumdo en el \'iaje de Ida)' vuelta del rayo lrl. .. er a la Luna de~pus de renejar'ic en un espejo (h ) alH empl[11.ado por 1~ a.~trOnaUlil, del I\polo 14.

EJEMPLO , ., I Uso de los factores de conversin Un empleado de una empresa con sede en Estados Unidos hu de viajar, por em.llrgo de su empresa. a un pus donde las seaJes de trfico muestran la d ist.'lIlcia en kilmetros y los \'eloc-metros de Jos coches estn ".'aJibrddos en kilmetros por hora. Si con su \'eheulo viaja 11 90 km por hora. a cunto l'Quh'uJe su velocidad expresada en metros por segundo y en millas por hora? Planteamie nto d e l problema Util izaremos el hecho de que 1000 m = l km. 60 s = I min y 60 min = I h pura convert ir los kil6mc.tros por hom en metro.~ por segundo. Se multiplica lu magnitud 90 km/h por unl! serie de fllctores de con"enlin de valor I de modo que el valor de la vclocidad no vara. :>trd convenir la velocidad en mil1 l1S por hom. se utili7;l el factor de convenlin (1 mi)/( 1.61 km) = l .

1. Mu ltiplicar 90 km/h por Ulla serie de fac tores de conversin que Iruns-fomllln los kilmctros en metros y 1:IS ho"'s en segundos:

90Jari 1000 m 1)( 1 m1ti )f x Ij:.m x 6O pn X 60s

2 . Multiplicar 90 kmlh por 1 mi/l.6 1 km: 9~1 x 1 .~lr~ =155.9 mi/h I Ejercicio ,Cul es el c

las rnagniwdes A. 8 Y e deben tener la:; tres IIIS mismas dimcnsiones. La SUIllU de B y e ex ige que la!'. dos magn itudes ~tn adems ex presada!. en lu!- mi!; Il1I1S uniduclen. Por ejemplo. si B es un tiren de 500 cm! y e es " 1112 debemos cOllvertir IJ en rn::!: o e en cm2 para hullur la suma de las dos trens.

A veces pueden dctcctnrse crrore.. .. en un c:Uculo comprobando las di mensiones y unida. des de las magnitudes que imervcnen en l. Supnguse. por ejemplo. que estamos utili zando errneamente In f6mmla A = 2m' pum el rea de un crculo. Veremos illmedilltamcllle que esto no puede ser correcto. yn que 2m', tione di mensiones de longitud. l1l icntnls que el rca tiene dimcnsiones de longitud al cundmdo. Ln coherencia dimensional es una condicin necesaria. pero no suficiente para que unn ecuacin seu correcta . Unu ecuacin puede tener las dimensiones correctas en cada trmino. pero no describir unn situacin fsica. Lu tabla 1.2 relacionn los dimensiones de al gunas magnitudes corrientes en ffsica.

EJEMPLO 1.2 I las dimensiones fsicas de la presin La presin de 1111 Huido en movimiento depende de su densldlld p y su velocidad v. Determinur una combinacin sencilla de densidad y \'clocidad que nos d las dimensiones correctus de la presin.

Planteamiento del problema En la tabla 1.2 se observa que tanto la presin como la densidad tienen unidades de masa en el numerador. mientras que la velocidod no contiene la dimensin M. Dividamos las unidades de presin por las de densidad e inspeccionemos el resullado.

1. Se dividen las unidades de presin por las de densidad: !..el _ MI LT2 [pi MIL' - -

1.4 Notacin clentfflca I 9

TABLA 1.2 DimensIones de It" mngnitude, Ilslccn

Milgnitud Smbolo Dimcmlon

,"" A L' Volumen V I} Velocidad

" UT

Aceleracin a (172 PUCr7.3 F MIJTl Presin (FIA I p MIl.l' Densidnd (M/V) p MIL' Energfa E ML1,y'! P01encin (EfF P ML2,p

"

2. El resullado tiene di mensiones de V!. Las dimensiones de la presin son las mismas que las de densidad multiplicadas por las de velocidad al cuadrado:

, M(L)' rKl [pi = [Pl! v-I = L' T =~

Observacin Cuando estudiemos los fluidos en el Ciptulo 13. veremos que segn la It!y de Ber-noui lli aplicada a un Huido que se mueve a una ahura constante, p + ~ P v2 es constante, en donde p es lu presin del flu ido. Esto tambin se conoce como el efecto VenlUi'i.

1.4 Notacin cientfica

El manejo de nmeros muy grandes o muy pequeos se simplifica uti lizando la notacin cient fica. En eslU notacin. el mmcro se escribe comO el producto de un nmero compren-dido entre I y 10 Y un a potenc ia de 10. por ejemplo ID! (= 100) 10l (= 1000). etc. Por ejemplo. el n mero 12000000 se escribe 1.2 x 101: la distancia entre la 'ncrra y el Sol. 150000 ()()() 000 m aproximadamcnte. Se escri be 1.5 x 10 11 m. El nmero I I en 10 11 se llama exponente , Cuando los nmeros son menores que I el exponente es negivo. Por ejemplo. 0. 1 = I

10 I Cap rtulo 1 Sistemas de medida

EJEMPLO 1.3 I Recuento de tomos En 12 g de Cllroono c..ds lcn N.\ = 6.02 x Ion filol1lOS de esUl sustancia (nmero de AvO$tDdro). SI l'(ml ramos un Ilomo por St.1tllndo, ,!.-'UInlo I.iclllpo lan1urtm~ en contur ION tomos de I ~ de Ctl roono? Ex>rcsur el 1"CSIIII1IIlo cn uoso

Planteamiento del problema Neces i tnf1lo~ deterrni nur el mmcro tutul de ItO ITlOS, N. que hemos de contar y tener en euent:! que el mlmcro cuntudl) es igunl n la t n~n de recuento R multipl i-cada por el tiempo l .

1. El tiempo es igual nlmmcr() total de lamos N dividido por lu tusa de recuento R = 1 lOmols:

N I - -R

2. Dctcnninur el nmero de il tomo~ de carbono en I g: N 6.02 x 10lJ tomos - 12g x l g

3. Calcu lar el I\mcm de segundos necesarios pnm contar los tomos !I por segundo:

4. Calcular el mmero de segundos que contiene un ao:

I I -

" -

N 5,02 x 1 022 tomo~ - = R 1 lomo/s

365 d 2~dh x3~S x -I "

= 5.02 x 1022 :'i tomO!l

-5,02 x 1022 S

3. 15 xI07 s/a

5 . Utilizar el factor de conversin 3, l 5 x 107 sin (una m

\ .5 Cifrll~ Jlgnlflcallvln y 6rdenes de m.gnllud I 11 Si lu!. u:->pom.'lItu, -"1 )1\ muy di rcrc llt t!~. UIlO de lo ... mnll'ro, e... mucho nlunor qlll.: ul (J tro y r re-CllUlltCnll'lltu pucdl! dc,.''>prcciur\c un lu, opcrm: iol1c" dc ' UIIlII o reSI II. Por cJemplo.

(2x IOIl)+(9 x 10 1 ) = 2000000 + 0.009 - 2 000000.009 2 x IOb

en donde el ,mbolo - .. ignilka "lI]lOl;

12 I Caprtulo 1 Sistemas de medldll

EJEMPLO 1.5 I Cifras significativas Delennlnllr la suma 1.0.10 + 0.21342. Planteamiento del problema El primer nmero, 1,040, tiene slo tres cirras :;ignificnth'll. de~pu~s de In comn decimal, mientras

Resumen I 13 TABLA 1.3 El universo por rdenes de magnitud

Tamao o dlst.)ncla (m) Masa (kg) Intervalo de tiempo (\) Protn I O~ " Electrn IO~)O Tiempo imenido por la luz en atr.m~sar un ncleo tomo JO- lII Protn 10-17 Periodo de la mdiacin de luz visible Virus JO-7 Aminocido 10-" Periodo de las microondas Ameba gigante 10-' Hemoglobina \O~22 Periodo de semidesintegracin de un mun Nuez 1O~2 Virus de la gripe 10 .19 Periodo del sonido audible ms alto Ser humano lOO Ameba gigante 1O~8 Periodo de las pulsaciones del corazn humano Montaa ms alta 10' GOla de lluvia \O~6 Periodo de semidesintegracin de un neUlron libre Tierra lO' Honniga 1 0~ Periodo de rotacin terrestre Sol 10' Ser humano 10' Perioc.lo de revolucin terrestre DiSlnncitl lierrn-Sol 1011 Cohete espacial Saturno 5 10' Vidu media de un ser humano Sistema solar 1013 Pirmide 1010 Periodo de semidcsintegmci6n del plutonio 239 Distancia de In estrella ms ccrcanu 1016 liCITa 102>1 Vida media de una cordillera Gnlllltu V{3 Lctell 1021 Sol 10'" Ednd de In TIerra Universo vhlible I 0'.l6 Galaxin Vfll Lctcu 10" Edad del universo

Universo I O~2

EJEMPLO 1.6 I Desgaste de los neumticos Qu espesor de la banda de caucho de un neumtico de automvil se ha desgastado en un r1.'CO-nido de 1 km?

Plan teamiento d e l p ro b lema Supongrunos que el espesor de la banda de un neumtico lluevo es de I cm. Quizs vare en un factor de 2. pero desde luego no es I mm. ni tampoco 10 cm. Como los neu-mticos deben n.--emplaz.nrse Cllda 60000 km, podemos admitir que la banda est gastada completamente despus de recorrer esta distancia. es decir. que su espesor disminuye a razn de I cm cada 60000 km.

_ Dcsgastede 1.7x IO-S cm - 1 km recorrido Utilizar la estimacin de desgaste de I cm por cada 60 000 km de recorrido

para calcular la disminucin de espesor en 1 km: I ... 0.2 ,Ull1 de desg~le por km ret'orrido I Eje rcido Cuntos granos de arena huyen un tramo de playa de 0,50 km de largo por 100 m de ancho? SI/gerellcia: sl/plIgase que ha)' arello lUIS/a ulla profuntlidml (le 3 m. El (Iilfmem) de 1111 grano de areJw es del orde" de 1.00 mm. (ReJput'sla .2 x 1014 .)

ResulIJell Las unidadc~ fu ndamelllales del SI son el metro (111). el segundo (5). el kilogr.uno (k&). el kel\'in (K). el amperio (A): el mol (mol) y In candela (cd). La unidud (o las unidudes) de cuulquicr magnitud fisica siempre pucdc(n) cxprt!Sllrsc en funcin de estas unidadee; fu ndamentales.

TEMA OBSERVACIONES y ECUACIONES RELEVANTtS

10 :u \O~IS ID 10 10-' 10-' 10" 10' 10' lO' 10' 1012

101' 1011 1018

1. U n idade~ L'l magnitud de una cantidud fisicn (por ejemplo. longitud. tiempo. fucrl.ll 'i encrgra) \c ex pre~a mediante un nlmcro y una unidnd ,

Unidndes fu ndurncntllles

Las unidllde.~ en lus t.i:uaciones Conversin

Lns unidade.

14 I Capitulo 1 Slstema$ de medida

2. Dime nsiones

3. Notacin clen tffi ca

4. Expone n tes

Multipl icucin

Di"il'i6n

POIencia

Lo~ d) ~ miembro!> de unu "~II !lc i6n deben lener l u~ mi~mn~ d imen~ i(1nc..\.

I"or convcnicnci:I. lO1\" mmcrm. mu)' gr:mdc\ y mlly pe(lueo~ se cwrihcn por medio de un factor qu~ mulj. plicn ti una polcnciu de 10.

Al multiplicar dos n6m~rO\. lo~ exponente ~ponentt,:..\ se reSIHIl .

Cuumlo un nmero que contiene un exponente!'ic CIC VI, a Olro exponente. los exponentes se multiplican.

5. Cifras sign ificativa s l\ lultiplil'ucin y di \'i~i6n El nmero de cifrn~ signifi cutivfll. en el n,:sullado de una multiplicacin o divisin nunca ~n\ mnyor que el

menor m111lero de c i fm~ significll tivas de cualcuier.l de lo ... fhelores,

Adicin y ~uSIr.Kcin El rcsuhndo de l suma O resln de dos nnH:ro, no liene cirrn~ significtl tivus ms all de In ultima cirra decj. rIIal cn que :Imbol> mirneros originules lienen cifrns significtlt iva ....

6. Orden de magnitud Un nmero redondeado la potencia ms prxi ma dc 10 se denomina orden de magnitud. El orden de nmg. nitud puede estimarse medinnte hiptesis ra/.onabl~ y clculos :-.i mple(.

Proble,,,as ---------------------------------------------------

SSM

Concepto simple, un solo pl'ISO. relati vamente flc il. Nivel intermedio. puede exigir s ntes is de conceptos . Desafia nte. pam alumnos avanzados. l a solucin se encuentra en el SlIIdelll So/u/iolls Matlual.

I Problemas que pueden encontrarse en el servicio SOLVE de tareas para Casll.

En algunos probleJ1lC1s se d, ' ms daros de Ins relllmem, necesarios: el/ otros fJ(Jco ~, ex/merse alglll/os datos ti!''"' de conocimientos gelleralt uell fes ex/en/as estimaof' lgicas.

i ./ Estos problemas del servicio "Checkpoint"' son problenlils de control, que impulsan u Jos estudiantes a desc ribir cmo se llega a la respuesta y a indicar su ni vel de confianza.

Problemas conceptuales

1 SSM I e,Cu:!1 de lus .iguicntcs magni tudes fsicns 1/0 es una de las fundamcntnlc.s del S i ~ tcTll a h\lemacional'! (a ) Mns..'l. (b ) Longitud. (e) Fuer!.;!. (d Tiempo. (1') Toda~ ellas son magnitudes fs icas fund:lmentalcs.

2 I Al hacer un clculo. el re., ... ullado fi nal tiene las

(J ,ubtcndloo pur lu Luna e..o IIpro;.;im:uJnmeml iguul u 1)1". donde f) e

16 I CapItulo 1 Sistemas de medida Dimensiones de laJ magnitudes fislcas

34 Cudl!!S SQn las di mcnsitmc\ de IlIs c .'on)lhnteaMndos del prohlemn 21"

35 Ln ley de desintegraci6n mdinctivu e~ NO ) ;; Not'~ AI, en donde NfJ e~ el m\mero de m1cleos r:ldiucti ... o~ en el instunlc I '" O; N(f) es el m\mero (Iue penllancee si n dc~intcgrur en el tiempo I y e~ 111 IllImudll constunte de desinte. gruci6n, ,Qu dimen.~ i ones tiene ? 36 SSM Ln unidnd del SI de ruen.u. el kilogromo-metro por ~gundo cundrado (kg' m/s2). se denominll newton (N). ~Iull llr lus dimen~ione .. \ y las unidades dd SI de 111 conl>twlle G en h. ley de NcwlOn de In gr'.1vi taci6n 1: = Gmrmr.

37 Un objeto si tulUlo en el extremo de unn cuerd:1 se IlIUC"C segtin un dn:u lo .. La ruerza ejen:ida por 111 cuerdu tiene unidades de MU1~ y depe nde de lA musa del objeto. de su vclocidlld y del rudio (h.:1 drculo. Qu combinnci6n dc cstns varinb1c~ ofrece las dim('nsioncs correctas de lu fu crl.u'! 38 i ti' Dernostror (IUC el productO de la mn.\>:1 por In ncelc-raci6n y In \'elocidnd tiene Ins di rncnsiones dc unn potencia ..

39 El momento lineal o rrnpem de un objcto es el producto de su mllSll y velocidnd. Demoslrnr que estu magnitud tiene liS di mensiones de una rUel7.B multiplicada por c1tiempo ..

40 .Qu combinaci6n de la fuerza y otro magnitud ffsicn tiene las dimensiones de In polencia?

41 SSM i ti Cuando un objeto cae ti tmvs del ai re. se produce una fucr7..a de arrnstre que depende del producto del rea superficial del objeto y el cuadmdo de su \elocidad. c.~ decir. F""", = CA,.:!. en donde Ce..~ una constante .. Detenninllc las dimensiones de C.

42 La tcrcer.!. ley de Kepler relaciona el periodo de un planela con su radio r. In conSlanle G de la ley de gravitacin de Newton (F = Gmlmr) y la mao;u del Sol. Ms. Qu combinaci6n de estos fac tores ofrece has dimcnsiones correctas para el periodo de un planeta'!

Notacin cientfica y cifras slgnlflcatlvas

43 SSM Expresar los siguientes nmeros como nmeros deci-males sin utiliznr la notacin de potencias de diez: (a) 3 x (ti. (b) 6 .. 2 x 10). (c) 4 X JO ... 6 .. (d)2.1 7x lO' ..

44 Escribir en notaci6n cienllfica los siguientc...'i v,llores: (a) 3. 1 GW = __ W. (b) 10 pm = m .. (e) 2.3 fs = s. (d ) 4 JlS = s.

45 I Real izar IlIs siguientes operaciones. redondeando hosta el nmero correcto dc cifras signific:uivas. y expcc...~ar el resultado en notaci6n cicntffica: (a) (1.1 4)(9.99 x 1(4). (h) (2.78 x lO ) - (5.3 1 x ID'). (c) 12111(4.56 x 10-3). (d) 27.6 + (5.99 x 1()2). 46 Calcular las siguientes operaciones redondenndo al nmero co-rrecto de cifras significativas y expresando el resultado en notacin cientffica: (a) (200.9)(569.3). (b) (0.0000005 13) (62.3 x ID' ). (e) 28.401 + (5,78 x 10"'). (ti) 63.251r 4. 1 7 x 1 0--3).

47 SSM I Una membronn celulnr posee un espesor de 7 mm . i,Cuntns membranas de este espesor deberlan upilaTSe pnm conseguir unllllllum de 1 pulgada?

48 Calcular la" siguientes operaciones redondcando al m\mero correcto de eifras significlltivas y exprc.. .. mdo el resultndo en flOtaci6n cienlffi ca: (a) (2.00 x 10")(6. 10 x 10--1). (b) (3 .. 14 l 592}(4.00 x 10'). (e) (2.32 x I()lY( 1. 16 x lOS). (d) (5, 14 x 101) + (2.78 x l()l). (t') (1.99)( l()lj + (9.99 x 100000s).

49 ss,,", Reali/.nr lO!> sigulcmc" ck:ulO'> y redondellT lo!. tnuh. do, COn el mime:ro COrrec:IO de cifras signifi c:nlvas: (1) 3.1415926S4 x (lJ.:.'!tI. (b ) :.'! x 3.1 41 592654 )( 0.76. (e) 4/3/1" x (1.1 )'. (d ) (2,O>,n.141 592654.

Problemas generales

50 Muchas de las carreteras de C1mad limilon In velocidad de lOi vehculos 11 100 km/h.I,Cu61 e.~ In velocidad Ifmile en mi/h '!

51 SSM Contando dlares o razn de 1$ por ~gundo. cum(K anos necesitarlamos pllrn Contr 1000 millones de dlllres?

52 A vc.:ce..~ puede obtenc:n;t: un ractor de convc:rsi6n a paMir del conocimiento de nO(l constante en do~ s i ~ternas diferente ... (a) La velocidad de lu luz en el v:Iclo es 186000 mils = 3 x 10' mis. Utilizar e~te hecho paro hallar el nmero de kilmetros que tiene una mili .. .. lb) El peso de un pie) de agua 62.4 libras .. Util 1.ur este duto y el hecho de que 1 cml de agua tiene unn masa de I g par-.t hnlhlr el peso en libros dc I kg de ma~a ..

53 I Ln musa de un lomo de uranio es 4.0 x lO-lo kg.. Cuntos tomos de uranio hay en 8 g de urnnio puro?

54 i ti' Durnnte una tonnenLn cae un total de 1,4 pulgadas de lluvia .. Cunta agua ha cardo sobre un :tcre de tierra? (1 mi % = 640 acre.

55 Un nclco de hierro tiene un radio de 5,4 x 10. 15 m y una mas:n de 9.3 x 10 ... 26 kg. (a) Cul es su masa por unidad de volumen en kilogralTlO!> por metro cbico? (b) Si la TIcmltuviern la mismll masa por unidad de 'olumen. cul sera su radio? (La masn de la Tierra es 5.98 x I()%' kg .. )

56 Calcular las siguientes expresiones. (a) (5.6 x 10-)(O.()(}()O'175 .11 (2..4 x 10 ... 12). (b) (14 .. 2)(6.4 x 107)(8.2 x 1

obtenidu en este papel es 11.) (b) Qu datos se dcsv(uII ms de la representu-cin en (nell !"Cetll de Ten funcin de III~ '! Musa m. kg

Periodo T. s

0. 10

0.56 0.20

0.83 0.40

1.05

0.50

1,28

0,75

1.55

1.00

1.75

1.50 2,22

61 La tabla adjunta dll el periodo T y el mdio r de lB rbita correspon-dientes 1I los movimientos de eUlIIro S.'11lites qUe giran alrededor de un asteroide

pe.~udo y denl>O. (a) Estos dutos se relacionan mediBnte In fmmlu T = C,". Hal lar e y 11. (b) Se descubre un quinto satlite que ticne un periodo (1\: 6.20 aos. Delenninar la rbitn de este smlile que ~e ajuste a 111 misma fm1Uln. Periodo T. aos

Rudio r, GOl

0.44

0.088

I ,61

0,208 3.88 0,374

7,89

0.600

Problemas I 17 62 SSM El periodo T dI! un pndulo simple depende de In longi-tud L del ~ndulo y lB ucelerucin R de lu grnvedad (dimensiones l/f'l). (o) Hallar unn combinacin sencilla de l. y g que tenga las dimensiones de tiempo. (h) Comprobar la dependenein cxistente entre el periodO T Y la longitud L midiendo el periodo (tiempo paro! unn ida y vlleltn oomple\Jl) de un pndulo para dos vnlores diferenle.~ de L (e) En III frmula correcttl que relnciona Teon L y g interviene una constunte que es un mltiplo de Tr Y que no puede ootenen;e mcdiallle el anlisis dimensionnl de III parte (a). Puede hallme experimental-mente como en lB pane (b) si se conoce 8. U,i liz:mdo el valor g = 9,81 mfsl y lO!! resultados experimentales de la pane (b), hallnr la frmula que relncionll T eon L yg.

63 i .1 La atmsfera de la Tierrn ejerce una presin sobre la superficie terre..~lre de valor 14 .7 libras por pulgada cundrndu de sUJlI!rficie. Cul es el peso en libras de la Btmsfera tcrre.

EL MOVIMIENTO EN UNA DI ENSIN

El movimiento en una direccin se asemeja al movimiento a lo largo de una linea recta, como el de un coche en una carretera recta. La conductora se encuentra con semforos y distintos limites de velocidad en su camino por la carretera hacia la escuela.

? Cmo puede estimar el tiempo que tardar en llegar? (Vase el ejemplo 2.2.)

C omenzaremos e l estudio del uni verso fsico examinando los objetos en movi miento. El eSlUdio del movi miento, cuyo anl isis experimental comenz huce ms de 400 uoso dando lugar

20 I Capftulo 2 El movimiento en una dimensin

o

-- -.-- -

--',

-- Oc,

, - .

(2.1)

DmNlCIN -DESPlAlAMlOOO

Figura 2. 1 Un uUlom6vil M.~ mueve en Ifnea recia en un sistema dc coordenadllS formado por una If-nca en la que ~e escoge un punto O como origen. A cada punto de la Ifnea se IIsignu un nmero .\'. cuyo valor e.. .. proporcional a la distanciulI O. Lo ... puntos u In derecha de O son positivo ... y a la izquierda. ne-gativos. Cuando el coche se desplaza desde el punto .\' al punto .ti' su desplazamiento e.. .. 6.x = x, - .x,.

Lu notacin dx (lase "delta de x") corresponde a una sola magnitud . el incremento de x (no al produclo de A por x. como IlLmpoco cos e es el produclo del cos por 8). Por convenio. la vnriacin experimentada por una magnitud es siempre su va lor final menos su valor inicial.

Se define ItI vclocidlld mcdill de la partfcuia Vm como el cociente entre el desplaza-miento Ax y el intervalo de ticmpo I = lf - 1, :

t.x -/J.I

(2.2) Vm -

DEFINICiN -VElOCIDAD MEDIA

El desplazamiento y la velocidad mcdia pueden ser positivas o negmivas. Un vaJor positivo ind ica el movimiento en la direccin x positiva. La unidad del SI de veloc idad es el mis.

EJEMPLO 2 .1 I Desplazamiento y velocidad de un cometa Un cometa que ,,aja directamente hacia el Sol es detectado por primera vez en XI = 3,0 X 1012 m respecto ni Sol (figura 2.2). Exacta mente un ao despus se encuentra en X r = 2,1 x 1012 m . Dete rmina r su despla7.amiento y velocidad m ed ia.

Pla nteamie nto del pro ble ma Los cometas se mueven en rbitas elpticas alrededor del Sol. Aqu se considera la distancia desde el Sol como si el camela se moviese en una dimensin. Conoce-mos x y:er. Si elegimos t = O ser.re= I ua = 3.16 x la' s. La velocidad media es Ad61.

X;

Figura 2.2

1. El desplazamiento se obtiene de su definici6n: X = xr-xi = (2. l x IOI2 m)-(3.0xIO I2 m) - -9x10 I

2 . La velocidad media es el desplaumliento dividido por el intervalo de liempo:

X -9xlO ll m - -

" m al 3, 16 x 10's

_ - 2,85 x 10' mis _rl_"'2~8"'.5~Iu-n1~s'l

Observaci n Ambas magnitudes, desplazamiento y velocidad media. son negativos. pues el cometa se mueve hacia los valores ms pequeos de.\'. Obsrvese que las unidades. m para 6.x y mIs o kmls paro! l/m' son partes esenciales de las respuestas. Carece de significado decir que "el desplal-miento es -9 x 1011" o "la velocidad media de UM partrcula es -28.5". Eje rcicio Un avin de rcnccin sale de Delroil ; las 2: 15 p.m. y llega u Chicugo. tl 483 km de dis-tancia. completando el viaje con una velocidad media de 500 km/h. I,A qu hora llega a Chicago? (Respuesta 3: 13 p.m., hora de Detroil . que es en realidad 2: 13 p.m. hom de Chicago.)

EJEMPLO 2 .2 I Camino de la escuela Habitualmente turdamos 10 minutl)S en Ir de CIlSU II hl c.. .. cuclu situndu JI 5 km de dislltllcia, yendo por una calle r eCia. Si un dla, SlIlimos de c.asa 15 min a ntes del comienzo dc la clase, pero no.'i encontramos con un semforo c..'i tropclldo que hace que 111 velocidad durante los 2 primeros kilmetros sea de 20 kntlh, Ih.'garemos a tiempo?

Plante amiento del proble ma A fin de resolver el problema hoy que encontmr el liumIX) lotal que necesitumos panl llegar n la escuela. Pum ello. huy que c:delllnr el tiemlXl 11'2 lon dumnte el euol vumos n 20 kmlh Y el tiempo 61] tm del res lO del tmyecto. dumnte el cual lu velocidad c,'I la hnbituoJ.

PNGALO EN SU CONTEXTO!

2.1 Desplazamiento, velocidad y mdulo de la velocidad I 21

1. El tiempo 10lnl coincide con el tiempo invertido en los dos primeros kilmetros ms el tiempo uti1i7.lIdo paro recom:r los tres reSlantes:

2. Usando.6..l' = l ml1l. delenninllr el tiempo que nos cuesla recorrer los dos primeroll ki lmetros !I 20 kmlh:

3. Usundo Ax = l'mAt. cnlcular el tiempo (ue IlIrdnmos en recom!r los lres kilmetros restantes:

4 . USlndo Al' = v",AI. despejar v",I1lIl' In velocidad que nos permite reco--rrcr 5 km en IOmin:

Atnm

01 ) l m

I'~ .... I

=

-

-

tu - -, ' m

t.x -

-

" .

Ax101 6 /""",

2km = 0.1 h - 6min 20 kmlh

3 km \ " ..... 1

5km 0.5 km/min - -10 min

S. Despejar el tiempo t) lm: O t ) m, 3 km = 6 mili - 0.5 kmlmin 6. Des~jar el tiempo lotal: 7. El desplazumiento cuestn 12 mi nulOS comparado con los 10 minUIOll

habituales. Sin embargo. habamos salido de Ca.

,

22 I Caprtuto 2 El movimiento en una dimensin

Observacin El mdulo de 111 vdocidfld media es muyor que In velocidad mediu porque 111 dis tan-du IOtal rccorridu es mayor que el desplazumienlo total. Nt:se tumbin que el desplazamiento ncto es la s UlIla de los desplazamientos individuales, E-~ decir /:1...:= 6x1 + Ax2 = (100 111) + (- 50 m). que es el resu lludo del paso 2 de In parte (b).

EJEMPLO 2.4 I La aventura del pjaro viajero Dos trenes separados 75 km se uproxlnum uno ni olro por "ills paralelas, movindose cada uno de ellos ti 15 k m/h. Un pjllro "Uelll de un tren 111 otro en el espacio {Iue los separ a, hasta que se cruzan. Cul LOS la distnncht lolnl I'Cl"orridll por el pjaro si ste vuel1l8 20 km/h'! Pla n teamiento de l p roblema Este problcmu paI'Cce diffcil ti primera vista, pero rcnlmcntc es muy simple si se enfoca adecuudamente. Para ello escrib iremo~ en primer lugar una ecuaoin para 13 magnitud ti detemlinar. t:S decir. la distancia IOtalll.~ recorrida por el pjaro.

1. L .. , distanci:l totul es igual al mdulo de la vclocidud media llluhipliclldo por el tiempo:

.r = (mdu lo de la velocidad media)~ x / - (velocidad) m r'jaro X /

2. El tiempo que el pjaro est en el aire es igual al liempo que los trenes turdan en encontrorse. La suma de las distancias recorridas por los dos trenes es O = 75 km. Determinar el tiempo que tardan los dos trenes en recorrer una distancia total O:

S I + S2 = (velocidad )mlx /+ (velocidad) m2x / - O por lo taOlo

D r = (velocidad)m 1 + (velocidad)m 2 S = (velocidad) m!"jlRl x I 3. La distancia total recorrida por el pjaro es, por lo tanto:

_ (velocidad) pi' . D . m J'''' (veIOCldad )m 1 + (veIOCldad)m2

= 20 km/h 75 km_ =150 km I 15 km/h + 1,:> kmIh

Observacin Algunos tratan de resolver este problema determinando y sumando las distancias recorridas por el pjaro cada vez que se mueve de un tren aJ otro. Este sistema es muy complejo. Es imponante dcsarrolilu un enfoque meditado y sistemtico para resolver los problemas. Es til comen-zar por escribir una ecuacin que relacione la magnitud desconocida en fu ncin de otras magnitudes. Despus se procede a detennimlr los valores de cada una de las restantes magnitudes de la ecuacin.

,

(x, . I~) . .

xz --- ---- ----------- --

,

/lJ .. . - 11 " , ,

, , , ,

, , "

,

"" d' ;_ pen lente .. \'",

Figura 2.4 Grficode .r cn funcin de I par, un3 partfcula que se mueve en unn dimensin. Cada punto de la curva reprcsenla la posicin x en un tiempo determinado t . Se ha dibujado 111m lnea TC(!-tn entre 1:15 posiciones PI y 1'2' El dt:spht1.amielllo 6x = X2 - XI y el intervalo de tiempo 61 = 12 - ti se indican en la figura. L.t1fneu recta entre JI y 1'2 es la hipotenusa del triangulo de Il}dos 6.x y ill Y 111 re-lacin IlxJil/ es su pcndicntt: . En trminos geomtri -cos. la pendiente es unn medidn de la inclinacin de la recta_

La figura 2.4 representa grficamente la velocidad media. Una lnea recia une l o~ puntos PI Y P2 Y forma la hipotenusa del tringulo de catetos Al' y tll. El cociente .xl! e~ lo pen-diente de la lnea y nos ofrece una interpretacin geomtrica de la velocidad media:

La velocidad media es l

2.1 Delplazamlento. velocidad y mdulo de la velocidad I 23 ge nte c:. el lmite de la rclm:in /l.r/Ar cuando ,r y. por lo tnllto. Ax 1'e IIproximilll n cero. A.,f podrcmo:-. dec ir,

La vdocidud instantlnen e::- c llfmi te de la re lacin t1.r/!:J. / cuando At 1'C ~lprox i nHl al vulor ce ro.

"(1) - l ~, un - -~\I 10 1..\ 1 pendiente de la lnca tungerue dxltlt:

\' = . !:J.x lun - = ~I lot ti , (2.5) do\" -

E: .. lll pcnd i~ntc pu~(k ser positi vlI. negati va o nula; pur consig ui ente. en un movirni elll o unidi mcnsio llul la velocidad inSUlll1nca puede ser pos itiva (x crcdel1 tc) o negativa (x dccrc-ciclI1c) o nula (no hay El1ov im i~n t o). Su mdulo lo dcnominamos m6dulo de la velocidad instunti ncll .

EJEMPLO 2.5 I Posicin de una pa rtcu la en funci n del tiempo LII posicin de una partcula viene dcscritn por la funci6n indicada en In figu ra 2.6. Hnllar la , c.locidlld instllnt nclI en cl instante t = 2 s. Cundo es 1l111)'or 111 "clocidlld? Cundo es nulll? Es negath'lI alguna vez',

Planteamie nto de l pro blema En la fi gum 2.6 hemos dibujlldo In lnea de tangente a la curva en el in:otamc 1 = 2 S. 1..:1 pendiellte de la lnea langeme es la velocidad instantncn de la partcula en el tiempo dado. Puede utilizarscesllI fi gura para medir 1:1 pendiente de la lnea tangente.

Tope la columno de lo derecha e intente resolverlo usted mismo Pasos Respuestas

, ,

I ,

--l ._ . . ..... ~ _ , , ,

. - . , , , ,

Fig ura 2.5 GrMico de l' en funcin de t. Obllr vese la ~ecuencia de illlerva lo~ de tiempo ~uces i va mente mrh pcqueo~ J t. J2 ... \1, . .... L:l velocidad media de cada ime .... -nlo e~ la pendiente de la lnea rce"l pan\ dicho IIl lervulo. A medid:! que 10l> inter-valos ~c hacen m:b t>equeo~. e'la" pendicnte~ :oC apmltiman a la pendiente de lu t:mgcnle.1 I:i curva cn el punlo 11' La pendiente de e"ta lnea ,e define como 1:\ velocidad in!itmtnen en d tiemPQ t i'

INTNTELO USTED MISMO! .r. In

g 7 6 5 4 3 2 --

.. " ,

~~I~;O~~'--'2--~3'--4,--,'--Z6--'7--0,71., Figura 2.6

1. Determinar los valores XI y.t2 sobre la lnen ty/~=5s.

, .1 m.

. , 1' , 8.5 m

2. Calcular la pendicnlc de la lnea tangente a purtir de estos valores. Est:l pendiemc es igual ; la velocidad inst:lm:'inell en I = 2 s.

l ' = d. S,5m - .t m pen cmc '" = 5 ........

3. Segn la rlgum. la pcndicmc (y por lo 1.11110. la vcloc idad instantnea) es mayor en aproximudulIlclllC 1 = 4 s. La pcndicmc y la velocidad son cero p'lm 1 = O Y 1 = 6 s y son negativas anles dc O y despus dc 6 s.

. -

Eje rcido Cul e~ la velocidad mcdia de csta Xlnfcul tl entre I = 2 s y 1 = 5 5? (Respue.\w 1. 17 mIs.)

EJEMPLO 2.6 I Cada de una piedra d esde un acantilado Lu Iwsiciin de unll piedra que u purtir del reposo se dcjn Cller dc..;de un IIcnnl illlllo viene dllcln por x = SIl, cn donde x se midc CII lIletros y had ll abajo desde In l)IIsicln inidul cunndo t = O, Y t se cxpresu en segund us. Hallar la vclocidlld en un instllnte ( cuahluicru . (Sc 1I111i1e lu lIdieu d 6n l!xplcita de In unidades para slmplilic,ur la nO!:ldn. ) Plante amie nto del proble ma Poderno~ ca lcular 111 velocidad de UII in ~ llInt..: delem'nado 1 cul culando la derivad:1 (L'fIiJ dircctumenle : partir de M I definicin en la ccuucin 2.4. En In ligur:! 2.7 1>C

I1lU e.~Lr.1 la curva correspondientc que no:; dn .l' en funcin d..: t. L:h IfIlC; ~ IlIngell!e, esuln dibujodal> en lo, ticmpos ' 1./2 y IJ. Las >cndicntc.\ de e$llb lfnea"langenl e.!o crl,."Ccn unironnemcnte. indieando que la ve lucidad ins t llm~nc:1 crece un iformemente con el tiempo.

l. La pc:mhcnlc Uc la lnea. umg~nte :\ la cu/'\ a ,uele IImll.1l'oC lIe un moJo m.1, ~unpk "pemhcllle de 111 CU r'l a".

.lo m

400 350 300 250 '00 150 100 '0

"

I 2 _, " ;'i (i 1 S r. ,

Fig ura 2.7

24 I Capitulo 2 El movimien to en una dlmen~16n

1 , P\1r deliruci6n lu \ t)locidad ilNantncu e .. : lit) - 1, X un -.\ u Al

l XCI + Al) - xcn = 1111 M 00 Al

2. J>odemo~ cnlculur el despJn/nmicllw X u purtir de lu funcin po~id6n \'(1):

x(t) = 5t2

3. En un ticmpo po!.lcrior / + 1lJ. lu po"ici6nl"(l + 1lJ) viene duda por: ,

r(t+At) = 5(1+.6.1)2 = 51/~+21.6.t+(At}21 = 51 l + 10/ .6.1 + 5{AI)1

4. El dc~p ln7.(uniento p:lrwc~tc inlcrvulo de tiempo .. cr: "x = (1 + .61) - x(t) = 15t:+ 101.6./+5(61)11-5t2 = 10t 6/ + 5(61)2

5. Dividir i.l\' por 6.t pum detcnninar In velcx:idud medin en este intervalo de tiempo: ".

= .6.x -di

10/ Al + 5(.6./}1 101+56.1 = -'"

6. A medidn que conl' illcr:.ullos il1lcrvlllo.o; de tiempo euda vez ms cortos. dt se uproximu a cero y el scgundo lermi ntl. 51lJ. tiende cero: en cam-bio. el primer tnnino. 101. pcmlUlL'Cc invnriablc:

1'(1) . .6." . _ 11 m -M - oOI

= lim ( 101 + 5/) =rol .... ' .... 0 L..:.::J

Obse rvacin Si hubimmos hL'Choill = O en los p .. sos 4 y 5. el despluzllmiel110 hubiera sido.6.x = O. en cuyo caso la relacin 6..\'/AI quedara indefinida. En su lugar. hemos dejado.6.t como una variable hasta el paso final. cuando d lfmitc Al ~ O est bien definido .

,

Avioncs repolitundo en plcno vuelo. Cad:1 uno de ellos C5t prcticamcnte en reposo respecto al otro . .. bicn ambos aparUlQS se !llueven u gran velocidad con respecto al sucio.

Para determinar las derivadas rpidamellle se utilizan reglas basadas en cst(l\ Do , al lmite (vase Apndice Tabla 0.4). Una regla particularmente ti l es

Si x = CtU , entonces

en donde C y 1/ son constantes. Uti lizando esta reg la en el ejemplo 2.6 resulla x = :> dx/d/ = 10/. de acuerdo con los resullados anteriores.

Velocidad relativa

2.6)

l' =

Si usted est sentado en un av in que se mueve a 800 kmlh hacia el este. su velocidaJ tam-bin es de 800 km/h hacia el este. Sin embargo. 800 km/h hacia el este podra ser su \eloci-dad relati va a la superficie de la Tierra o su velocidad relativ

Si ulla partcula se mueve con velocidad "pA en relucin al sistema de coordcnlldas A y ste a su vez se mueve con velocidad l 'A8 cn re lacin a Olro sistema de coordenndas B. In "c loc idnd de In pancula relativa 1 Bes

IlpU = I'pA + l'A13 (2.7,)

Por ejemplo. si unn persona nada en un ro pawlclnmente ti la direccin de la corri ente. su velocidad relativa a la ori lla. vpo' es iguul a la velocidad veclOrial relativa al agua, 1'"". ms la velocidad de l agua relm iva a la orilla, ""'l:

1' =\1+1' po pa DO

Si la persona nadn n 2 mIs contra la corriente y la velocidad vectorial del agua relativa a la o rilla es de 1.2 mIs. su veloc idad respeclO a la orilla ser I'pO = -2 mIs + 1.2 mis = - 0.8 mis. en donde hemos escogido la direccin de la corriente como sentido positivo.

Una gran sorpresa para los cientficos de nuestro siglo fue el descubrimiento de que la ecuacin 2.7a es slo una aprox imacin . Un estudio de la teora de la relntividad nos muestra que la expresin exacta pAra las velocidades relativns es

I'pA +I'AB

l + "pA 11 ABh2 (2.7b) IIp13 =

en donde e = 3 x lOS mis es la velocidad de la luz en el vaco. En todos los casos cotidianos con objetos macroscpicos. lipA y VAS son veloc idades mucho menores que e, con lo cual las ecuaciones 2.7a y 2.7b coinciden. pero si se trata de velocidades muy elevadas. tales como la velocidad de un electrn o la velocidad de las galaxias di stames que se alejan de la Tierra, la diferencia entre estas dos ecuaciones puede ser importante. La ecuacin 2.7b tiene la imere-sante propiedad de que si "pA = e, entonces Vpll tambin es igual a e, lo cual es un postulado de la relatividad, a saber. la veloc idad de la luz es la misma en todos los sistemas de referen-cia que se mueven con velocidad constante relativa entre s.

Ejercicio Use la ecuacin 2.7b sustituyendo e por I'pA y resue lva para "pS ' Observe enton-ces que la ecuacin 2.7b est de acuerdo con e l resultado que dice " In velocidad de la luz es la misma en lodos los sisremas de referencia".

2.2 Aceleracin

La aceleracin es la tasa de cambio de la velocidad instantnea. Cuando, por ejemplo. un con-ductor aprieta e l pedal del acelerador de su coche. espera cambiar su velocidad. La acelera-cin media en un intervalo particular de tiempo 6J = t2 - t .. se defi ne como el cociente Avltlr. en donde tl" = " 2 - VI:

v = -61

(2.8)

DEFINICiN -ACELEAACIN MEDIA

La ace leracin tiene las d imensiones de una longitud d ividida por el tiempo al cuadrado. La unidad en el SI es m/s 2. (En la ecuacin 2.8. si el numerador est en mis y el denomi nador en s. las unidades de tll'l6J son (m/s)/s. Multiplicando el numerador y el denominador por 1 s. encontramos que las unidades de Al'ltlr son m/s2.) Podemos escribir lA ecuacin 2.8 como A" = (lrntlr. Por ejcmplo. si dcci mos que una partcula tiene una aceleracin de 5. 1 n1ls2 e llo qu iere decir que. si parte del reposo. despus de 1 s se mover con una velocidad de 5. l mIs: despus de 2 s. lo har con una velocidad de 10.2 mis y as! sucesivamente. La aceleracin Ins tant nclI es el lfmi te del coc ie nte AII/Ar cuando tlt tiende a cero. Si representamos la

2.2 Aceleracin 1 2S

FOlogrnffll eSlroboscpica de In cada de una man-zanil 11 60 destellos por segundo. U. aceleracin de la manzana viene indicada por el mayor espaciado que se obser.'a en las imgenes inferiores.

26 I Capftulo 2 El movimien to e n una dlmelllln

EJEMPLO 2.7 I Un felino rpido

ve loc idad en funcin tlclt iempo, la acelCnlcin inMan ttinca en el tiempo t

Observacin mente.

Al e.x prc.l>ar el Ilempo en ~ilo'>Cgundo, . lo~ prclijo!'. kilo (l.. ) ... e caneellln mUlua-

Ejercicio Un ..:oche se mueve a 45 km/h en el tiempo t = O. El coche ncelcrll de forma eon~ t nle a niln de la klll/(h mismus dimensiones a ambo, Indos de III ecuacin. Aunque el ani'i-lisis dimcnsiollllJ no no::. penn ite obtener In ecuacin C!.xaClil, con frecuencia es ltil pan! obtener la dependencia fundo nnl.)

EJEMPLO 2.8 I l a velocidad y la aceleracin en funci n del tiempo 1 ... '1 posicin de una partcula viene dlldll por x = Cf'" siendo e unll cons tante cuyas unidades SOIlIll/s-' . Ha ll ll r la \'elocidad y Ilcc\erncin en funcin del tiempo.

1. L'l \'elocidad puede detennina.rse aplicnlldo tLr/dt = Cmn - I (ecuacin 2.): x -

CI'

" - ~ =13Ct!1

d,' =16CI I a - -dI 2. La derivada de la velocidnd res pecto al tiempo nos da la ncelcradn:

Compro bar e l resultado Podemos comprobar las unidades de nuestras respucSlas. P-,m la velo-cidad [\,] = (CJ[r] = (m/s3)(s2) = mis. Para la lIcclemcin [a] = ICll t] = (01/5'\)(5) = mlil.

2.3 Movimiento con aceleracin constante

El movi mien to de una partcu la que tiene aceleracin constante es corriente en la naturaleza. Por ejemplo, cerca de la superficic de la Tierra todos los objetos caen verticalmente con ace-leracin de la gravedad constante (si puede despreciarse la resistencia del aire). Si una part~ cula tiene una aceleracin constante tl, su lcelcracin mcdia en cualquier intervalo de tiempo es t.unbin ll. Es decir,

6" _ - _ II 61

(2, 11)

Si la ve locidad es 1'0 en el tiempo f = O Y l' al cabo de cierto tiempo f , la uceleracin corres-

2.3 Movimiento con aceleracin constante I 27

"

pondiente es \'0 a __

61 -

v - 110

1- 0 - 1

Reajustando esta cx.pres in se obtiene \' en funcin de , .

l' = \lo + (1( (2, 12)

ACElERA9N CONSTANTE, v EN fUNCiN DE t

Esta e:. la ecuac in de una !fnca recia en un grfico de \1 en func in de t (figura 2.8), La pen-diente de In lnea es la ace lemcin a y su intersecc in con el eje vcn ical es la \ eloc idad ini cial VI).

1

Figura 2.8 Grfico de la velocidad en funcin del liempo con aceleracin con~lante.

28 I Captulo 2 El movImiento en una dImensin

\ \ \ .. ~;:

~' , 4{~ , ' . .

, , ....

. i:::!-.. ' , .'

"Va de cero a 60 en IIIIOS 3 segundos." Sydney Harris

Figura 2 ,9

El desplaza miento llx = x - .ro en el intervalo de tiempo t = t - O es

12.13) Para una aceleracin constante, la velocidad vara li nealmente con el tiempo y la velocidad media es el valor medio de las velocidades inicial y fi nal. (Esta relacin es vlida s610 si la llceleracin es constante .) Si Vo es la veloc idad inicial y v la veloc idad final, la velocidad media es

"m (2. 14)

ACELERACIN CONSTANTE v . ,

El desplazamiento es, por lo tanto.

12.15) Podemos el iminar v sustituyendo v = vo + af de la ecuacin 2.12:

El desplazamiento es, as:

.1x - x - Xo = VO l + ~a12 ACEURACIN CONSTANTt

El trmino VOl representa el desplazamiento que tendra lugar si a fuera cero y el te 1 ~ar2 es el desplazamiento adicional debido a la aceleracin constante.

Eliminando 1 entre las ecuaciones 2.12 y 2. 14 se obtiene una expresin entre lit. a. I De la ecuacin 2. 12, t = (11- vo)/a y sustituyendo en la ecuacin 2.14 se obtiene

x , ,

1 I V- va \' ~ - vo = "m1 = , (vO+v)t = , (vo +v) =

- - a 20 es decir

\/6 +2a tu 12. 171

ACELERACIN CONSTANU

La ecuacin 2, 17 es til. por ejemplo, si se trata de determinar la velocidad de una pelota que se ha dejado caer desde cierta altura x cuando no nos interesa conocer el tiempo de cada.

Problemas con un objeto Muchos problemas prcticos se refieren a objetos en cafda libre. es decir, objetos que caen bajo la nica influencia de la gravedad. Todos los objetos en carda libre que parten de In misma velocidad inicial se mueven de forma idntica. Como se ve en la figura 2.9, se suehnn desde el reposo. simultneamente. una pluma y una manzana en una cmaro de vaco, de modo que caen con el mismo movimiento. Ambos objetos tienen la misma aceleracin. El mdulo de la aceleracin causada por la gravedad se designa por g. cuyo valor apro\imado e.!.

g _ 9.8 1 mls 2

Como g es el mdulo de una aceleracin, siempre es positi va. Si la direccin hacia abajo ~ considera positiva, la ace leracin debida a la grnvedad es a = 8: si "c considera po.!.ltl\'3 hacia arriba, entonces a = - 8 .

'ij~-------------------------------------------------------l 2.3 Movimiento con acclerllcl6n constante I 29

EJEMPLO 2.9 1 El birrete volador

Un estudinnte de fTsicn cont ento xJf su gruduacin Innza su bir~tc hllciullrrlbn (un unll velo-cidlld inicial de 14,7 mIs. Cons ldenllldo que su ucelc.rucin es 9,81 m/j,.l hucha IIbllJO (desprt.'Cill-m os 111 re:;lstencill del nire), (a) ,cu nto tiempo lUrdllrli el birrete en UIcUll roT Sil punto mI\; IIJeO? (b) Cu l ~ In nltuTu m xi nm IIlcuIlZUdl"! (e) Suponiendo que el birrete se rtcogc 11 111 miSllIlIlllturu de la que hu salido, cu nto tiempo ~rnmllece en cl ll lre'!

Planteamiento del problema CUllndo el bim:tl! alcanza su puntO ms nito, su velocitlnd instanlt\.-nen es cero. A~ COlI\crtilll ll:> 111 c~pn.'Si~ll " )UIIIO II I1 ...... u ltu .. a la l'llIIdid(J11 Il1Ulc lllltic:1 \' e n.

(a) 1. Dibujnr el birrete en su posici6n nkiul y en el punto ms alto de su trayectoria. Incluir un eje de coordenadas y scalnr el origen y lus dos posiciones del birrete.

2. El tiempo se relacionn con In velocidad y la aceleracin:

3. Calcular el tiempo que tarda el birrete en alcanzar su altura mxima. Para ello hacer v = O Y despejar t:

v = vo +al

t = 0 - Vo = - 14,7 mIs =~ (1 - 9.81 mls2 ~

y

t \' Il)' .\' Yo ) ' ---~

t \'0= 14.7 mis Ay Yo

-

o "-o

Figura 2.10

( b) Octerminur la diSlUncin recorrida a partir del tiempo t y la veloci-dad media:

tly _ \lml = i(vo + V) I = ~(14,7 mis + 0)( 1.50 s ) =~

(e) l . Para calcular el tiempo tOlal hacemos 60)' = O en la ecuacin 2.16 y despejamos 1:

l1y = VOl + iot2

O = (vo +~al)1 1=0 2. Hay dos soluciones para t cuando tly = O. La primera corresponde

al tiempo en que se lanza el birrete y la segunda corresponde al tiempo en que se recoge:

I _ _ 21'0 = _ 2(14,7 mis) =rJ7"l a -9 80 mls2 l:...::.J

Observacin La solucin f = 3 s tambin resulta de la simetra del sistema. El tiempo que tarda el birrete en caer desde la altura mxima es el mismo que transcurre hasta alcanzar dicha altura (figura 2. 11). En realidad, el birrete no est sometido a una aceleracin constante debido a que la resistencia del aire sobre un objeto ligero como es el birrete ejerce un efecto significativo. Si la resistencia del aire no es despreciable, el tiempo de carda es mayor que el de subida.

Eje rcicio Calcular Ymb - Yo utilizando (a) la ecuacin 2.15 y (h) la ecuacin 2. 16. (e) Detenninar la velocidad del birrete cuando vuelve a su punto de partida. (Respuestas (a) y (h) Ymb - )'0 = 11 ,0 m, (e) -14,7 mis; obsrvese que la velocidad final es la misma que la velocidad inicial.)

y(t), m 15 10 5 O

(primera solucin)

(segunda solucin)

Altura

O I (al 2 3 ~ s

Velocidad

y

Ejercicio Cul es la velocidad del birrete (a) 0,1 s antes de que alcance su punto ms alto y (h) O, 1 s despus de alcanzar su punto ms alto? (e ) Calcular 60vlllr para este intervalo de tiempo de 0,2 s.

(Respu~sfas (a) +0,981 mis, (b) -0.981 mis. (e) {(-0,981 mis - (+0,981 mls)Y(0.2 s) = - 9,81 mlSl.)

\' (l). mis 15 10 5 O

-5 I 2 ,,,

Ejercicio Un coche acelera desde el reposo a 8 rnls2 (a) Qu velocidad lleva al cabo de 10 s1 (h) Qu.! distancia ha recorrido despus de 10 s1 (e) Cul es su velocidad media en el intervalo r = O a I = 10 s1 (R~spu~stas (a) 80 mis, (h) 400 m, (e) 40 mis.)

El ejemplo siguiente se refie re a la distancia de frenado de un coche. es decir. al espacio que recorre desde que comienza a frenar hasta que se detiene.

EJEMPLO 2,10 I Dlstancla de frenado de un vehculo Una persona que conduce un vehfculo de noche por una autopista ve de pronlo a cierta distan-cia un coche parado y frena hasta detenene con una aceleracl6n de 5 rt1Is'- (una acelerad6n que reduce la velocidad suele lIamane desaceleracl6n). Cu41 es la distancia de frenado del vehfculo si su velocidad Inicial es (a) 15 mis o (b) 30 mis?

-10 - 15 ('l

Figura 2.11

30 I Captulo 2 El movlmlenlo en una dimensin

Planteam iento de l prob lema Si elegimos In dirccci6n dd lIlov irnicruo como po el> una distancia considerable. aproximadamente In longitud de un cumpo de ftbol. El incremento de \'0 en un fllctor 2 modifka In diSlUncia de fre nado en un factor 22 = 4 (ver fi gura 2, 12). La consecucncia prctica de loNa depcndencin cuadrtica es que incluso incrementos modestos en [a velocidad originlln aumentos importantes en In distancia de frenado.

90

8O

70

60

-

50 fl = -5m/s1

-

,

2.3 Movimiento con I'lccleracl6n comll'ln te 1 31

Observacin Si el np:mudu (b) huh,era preguntado por In \cloddnd medlu durante lo-. llltIl1()~ I:J '>t!gund\l\ (en H'/ tlt: uumme d tl luU\o 'c!!ulldol. se hublcm podidu dl:lCrnlll1nr la veklCidud ini cml \', dunullt: I:'[C' mu,'r"u!!) lllMI1 U' lk lu C(:uIIl' i n 2.11 6.\' = (' ./ .

A \ cee .. 11th POdC1UU', ~'(Jrlllnr un;1 lIutlgen \':llio\;\ ,obre cl1U{l\'imlcntu dc un objeto .. upmucndo ~uc podcmo. .. apltenr !tI' tormulu:. pan, la a..:ch:r:.ll l(~m Cll lI ' I IUlh.' nU!ltluc ,." IU. en rt;:ul iduu, no lo .-..ca. Este es el ClIst) dd cJclllpl(l",gtlll~ntC .

EJEMPLO 2.12 I El choque de prueba Un co(:he (lile \'11 a 100 km/h dHll'lI l'unl ,':, UIIIIIlIlrt'tI dl' hurTlliJln rJlidn. ,Cul el. su IIcclun-l'in?

Plan tea miento d e l probl ema En c>;\c l'jClllplo 110 ~ .. correcto con~idcntr el cnche COI1\O uni. pal1kuln. ~n que la~ di>;li nta .. pm'l c~ de l mi,mo ~ufrirnlLcelel11donc~ di~tin tu !> al urmgur:-e .. obre lu pared. t\ dcm:b. c~tn~ acclcNlc ion~~ no ~OJl eonstant \!s. Si n emburgo {)Odl'II/(J,I" obtener unu rc ~pue'l lL upn\inmdn ~up{lllicndo

32 I C"pflulo 2 El movimiento en una dimensin

3. Utilizar esta mislIlu velocidud como valor inicial y In ecuacin 2.17 con v = O pum detenninar el despluznmielllo del tercer intervulo. en el cuul el electrn tennilln en reposo.

.\\, 1,20CIII

4. Sumar los dcsplnzlllnientos obtenido!> en los pasos lo 2 Y 3 pan! culcu-lar el reconido 101111.

_h = \t , + ,\ \ +.'l., h.lX cm + 16 cm + 1.20 cm 4 ::!3.2l.m I

Observacin En un up.mllO de myos X los electrones son acelerados desde un alambre caliente hacia un blanco mellnico. Al chocar COnlTC Sle, se par.1Il bruscamente. Como consecuencia. el blanco emite myo!> X cumclcrlsticos dclmetul.

,

EJEMPLO 2.14 l anzamiento de prismticos

Juan trtpa a un rbol pa ra presenciar mejor al conferenciante de una ceremonia de gradua-cin que se celebra al aire libre. Desgraciadamente ha olvidado sus prismticos abajo. Mara lanza los prismticos hacia Juan pero su fue .18 es mayor que su pn.-eisin. Los prismticos pasan 11 la alturll de 111 mllno extendida de Juan 0,69 s despus del lanzamiento y vuelven a pasar por el mismo punto 1,68 s ms tarde. A qu altura se encuentra Juan?

Plan team iento del p ro bl em a En este problema hay dos incgnitas: In altura / de Juan y la velocidad inicial de los prismticos. \'0' Sabemos que)' = JI pum ' 1 = 0.69 S e y = JI pam'2 = 0.69 s + 1.68 s = 2.37 s. Expresnndo h en funcin delliempo I tendremos dos ecuaciones a partir de las cuales se pueden determinar las dos incgnitas.

Tape la columno de la derecha e intente resolverlo usted mismo

Pasos

1. Utili i' .. 1ndo 8)' = "o' + ~ a t 2 . igualar )' para los tiempos t I y tl leniendo

en cuenta que)' = h Y a = - 8 en cada caso.

2. Eliminar Vo de estas dos ecuaciones y de. .. pejar " en funcin de los tiempos 1I y ' '2' Es to puede hacerse despejando \'0 en la primen. ccua-cin y sustituyendo el resultndo en la segundn ecuacin.

Respuestas

'"I I : J: '

por In tanto h X.O:! 11\

,

Observacin Te n e lllOS dOlo incgnitas h y \'0. pero disponemos de dos tiempos. lo cual nos per-mite escribir dos ccunciollc'I y re:mlver las dos incgnitas. Ejercicio Dclemlnar la velocidad inicial de los prismticos y la \'elocidad que. llevan cuando paSO" a la altum de Juan en su trdyccloria descendente. tRespUUl11 \ '0 = 15.0 mis Y \ '2 = - 8.24 mis.)

(Izquierda) Acelerador lineal de unos tres kilmetros de longitud de la Universidad de Stanford (EE.UU,). Se utili7.3 para acelerar electrones y positrones en lnea recta a velocida-des prximas a las de la luz. (Du~chal Seccin transversal del ha7. electrones del acelerador. tal como se observa en un monitor de video,

INTNTfW USTED MISMO!

" =\,,1, ! , , ' , .

2.3 Movimiento con aceleracin constante I 33

Problemas con dos objetos A contin. lI:lci6n e~ponemos algunos problemas que incluyen dos objetos que se muevcn con acclcr.lcl6n constnlUe.

EJEMPLO 2.15 I A la caza de un coche con exceso de velocidad Un coche Uc\'a unu "elocldad de 2S mIs (_ 90 km/h) en una zUlla e.'icolar. Un coche de pollcfa que est paru~o. arranca cuando el Inrraclor le adelant1t y acelera con una velocidad cons-!finte de S mIs. (a) Cunto tiempo tardn el coche de pollda en alcanUlr al "ehfculo Inrrac-tor? (b ) Qu \'elocidad lIe\'a el coche de pollda cuando le ulcanza'! Planteamiento del problema Pum detenninar CUlIndo los dos coches se cncuelllrnn en la misma posicin, c."'presamos las posiciones Xv del vehfcuJo infractor y xJI del coche de policfu en fun cin del tiempo y despejamos 1 1)801 Xv = x P'

(a) 1. Funciones de posicin del infractor y del coche polida: 1 xJI = l Uir

,

Vehfculo infractor Vehculo de pollera

x, CI \'.1

X, ::: la t I , , ,

Figura 2.13 Las dos curvas muestran la posi-cin del coche infractor y del coche de polica. Tienen la misma posicin en el instante inicial. 1 = 0, y dc nuevo cuando t = ,~.

2. Hacer X v = x p y resolver para el tiempo t~, para te > O: v,te = ~apt; ~ v. = ~ap' o - -

(b) 1. La velocidad del coche de polica viene e~presada por \' = VA + aro en donde Vo = O:

, = 2vy = 2(25 mis) = rQ";l e a 5m1S2 ~

Observacin La velocidad fina l del coche de polica en (b) es exactamente el doble que la del coche infractor. Como los dos coches cubren la misma distancia en igual tiempo. ambos hicieron el recorrido con igual velocidad media. La velocidad media del infractor es, natura1menle de 25 mis. Como el polica parte del reposo y su velocidad media es de 25 mis. debe alcanzar una velocidad final de 50 mis. Ejercicio Qu distancia han recorrido los coches cuando el polica alcanza al infraclOr'? (Respuesta 250 m.)

EJEMPLO 2.16 I El coche de polica INTNTELO USTED MISMO! Qu "elocidad lleva el coche de pollda del ejemplo 2.15 cuando se encuentra a 2S ro por detrs del "ehiculo infractor? Planteamiento del problema La velocidad viene expresada por \'JI = a11' en donde tL es el tiempo en el cual D = Xv - xp = 25 m.

Tope fa columna de lo derecha e Intente resolverlo usted mismo

Pasos 1. Dibujar una curva xt que muestre las posiciones de los dos coches en

el tiempo tt (figura 2.14). 2. Utilizar las ecuaciones para xp y Xv del ejemplo 2.15 y despejar ti cuando x~ _ x p :Z: 25 m. Hay dos soluciones, una que corresponde a pocos instan

tes despus del inicio del movimienlo y otra que corresponde a poco antes de que el vehculo con exce.w de velocidad sea alcanzado.

3. Utilizar \ 'p = IIp' para calcular In velocidad del coche de polica cuando I = ' L'

Respu estas

t =15,%J I51 ..

Observacin En la figura 2. 14 se observa que la distancia entre los dos coches al principio es cero, crece hasta un valor mximo y luego disminuye. La separacin en cualquier momento es D = X v _ x

p = \'~ ( _ ~ap,l . Cuando la separacin es mxima, dDldl = 0.10 cua1 QCUI'Te en el instante

, = 5 s. Para intervalos de tiempo iguale.~ antes y despus de: t .. 5 s. las vperacioncs son Iu miJrDU,

x

Vehculo infractor Vehculo de polkfa

, ,

"

F~ura 2,14

,

) '1 I c;,prtulo 2 El mo vimiento en UI\ :1 dlmemln

EJEMPLO 2.17 I Un ascensor en movimien t o 1111 pe rsu tlu l' tI UII IISt'(' II 'lIr l e IIn 11lrn iUu tlue CIIl' del hchu. Lu ultul'Il dcl n'iccnSor c.o de 3 111 .

Cm\uto Iiclll po lnrdll el lurn illu t' lI dU..H.~lI r cont ru el sudo si cl lls{'cn"or IIsd cnd c con UIllI Ill'C-Ic rllC(1II l'tllls l mll C II ~ = -1.0 nsl '! Planteamiento del p roblema EAprc~!l r 11I~ po~id('U1 t', dcl t~lrnillo .", y del .. uclo \ . en funcin dd licmp(l, C undo d IOrnilln du)Cu COlHnt el suclu, "1 = 1'., TOlllar curno qrigen la 1)()~ici6n inicinl del suelo y dc .. i~nnr COIIIO direccin po~lti\'a 11\ direccin hnciuurriba,

1. Dibujur d awcn~or y ellornillu CUI1\O"C rl\UC~ 11'lt en la figurccn~or y cllOrnillo tienen la misma veloci-dad, U~ur este hecho para simpli ficar el resultado del paso 3:

S. Usar ItI informacin obten ida pura simplifi car:

y, - Yo, - 1'0,1 + ~(I , 1 2 y, - Y /JI = VOl ' + !tI ,t1

I'o~ = 1'01 por lo tamo

y, = y,

Yo~ = O, a = 4.0 mfs2 , Jo, = 11 = 3 m. al = - g por lo tUl1 to 1 0 0 1 0 1- 5g t - + in,ti

o

h ~(g + " s )/r 211 2(3 m)

, I

" -:-1- / 1 ",

. ",

1/ . _ 4 111/,1 /' , -1:

h", 1 m I

1,.

Figura 2.1 S El eje dc coorden(lda~ cl>I fijo al edificio.

6. Despejar el tiempo: I 1 = - 9.8 1 mls2 + 4.0 mIs:! =10.659, 1

Observacin El liempo de cuda depende de In aceleracin del ascensor, pero no de la velocidud. En el sistema de refcrenci:1 del ascensor hay una "gravcdad decli"a" g' = g + a,. En el tusa (supues-tumente hipottico) en que el ascen!>or eSlU vicnl en cuida libre, es decir (I~ = - g'. el tiempo de curda sena infin ito y el torn illo parecerfa. "i ngrvido" .

Cuundo un buen jugador de bisbol corre entre bases va a unu velocidad de 9.5 mIs. L:I dis-lancia elll rc las buses C!> de 26 In Y el lllnzador est u unos 18,5 m de la hase, Si un jugador est u UIIOS 2 m de la primera base y comien7..a u correr hacia la segunda base en el mismo

instante en que el lan7.ador lanzu lu bolu, cul es la probubilidad de que el jugador llegue la ~cgunda ba~e antes que In bola?

EJEMPLO 2.18 I Un ascensor en movimiento Considerar el ascen.wr y el lomillo del ejemplo 2.17, Suponer que la velocldad de subid. del Ilscensor es de 16 mis cuando cllomillo se desprende dellecbo y empieza a caer. (a ) ~ dJs.. tanda recorre el ascensor mlenlrao; el tomillo cae? Qu dlstanda ftCOITe d tomillo? (b)Of l c. .. la velocidad del lomlllu y del 8,o;censor en el momento del impacto de aqu4!1 en el suelo? (e) CuAl es la \'eb .. i dad relativa del lomillo con respecto almelo del p.........,sor?

INTtNTELO USTED MISMOI

,

p.'anleamle nlo del p,? blema EltiellllXJ dc vuelu del ltlmillo ~e hu Obtenido en la soludn del eJcmplo 2. 17. U~lIre .. te lu.:l1Il)(I PUl1Il'csul"cr l o~ apmtudn, (ti ) y (b). Por lo llUC \C rc licn: ni apartado Ce), lu vdundnd del Illnullu 1~~ lx'Clu dcl cdifidn c

36 I C.,prtulo 2 El m o .... lm len to en unll dimensin

\'1/)

\'H } :: \'0 '" COIISIIIIllC

I "0

, , ,.

,

Aren sombrend:l .. \'0 6,/ '" At

Figura 2.16 El desplnzamiento 6.1' durante el in tervalo de tiempo t!J es igual al rea bajo la curva de ven fu ncin de t. Pam l,t) = 1'0 = constante. el des-plazamiento es igual al reA del reclngulo somo breudo.

\'(1)

VI .......... .... ... .

",

, , "

Figura 2.17 Grfico de una curva general de \.(t) en fu ncin de r. El desplazamiento lotal desde " hllSla ' : es el rea bajo la curva en este intervalo. que puede oblenerse aproximadnmeme sumando las reas de los rectngulos.

,

Siempre que se obtiene una funcin a pani r de su derivllda . debe anndirse una constante llrbitmri .. en la funcin general. Como para obtener x(t) a panir de la aceleracin debemos inlegrar dos veces. aparecen dos CQnSlllnles. Normalmente estas constantes se determinan a panir de la velocidad y la pos icin iniciales en un instante dctcrmimtdo. Generalmente se elige el inslante en que r = O. Es por esto que estas constantes reciben el nombre de condicio. nes illicilllcs. Un problema com n llamado problema del valor inicial toma la forma: dudo a(r) y los valores iniciales de x y de v dctcnn inar x(t)" . Este problema es particular_ mente importante en fsica porque la lIcelcraci6n de una partcul a est determinada por las fuerLus que actan sobre ella. As pues, si conocemos las fuerzas que actan sobre una pan-culu y su posicin y velocidad en un instante determinado, podemos hallar unvocamente su posicin en cualquier otro instante.

Una funcin F(l) cuya derivada (respecto a t) es igual a la funcinft) se denomina anUo derivada de j{t). El problema de la antiderivada est relacionado con el de la obtencin del rea bujo una curva. Consideremos el caso del movim iento con velocidad constante \'0. El cambio de posicin lU du rante un intervulo 6.t es

6.x = Vo 6.t

sta es e l rea bajo la curva de v en funcin de t (figura 2.16). Si Vo es negativa. tanto el des. plazamiento como el rea bajo la curva son negativos. Normalmente pensamos en el rea como una magnitud que no puede ser nega