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Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón

1


2

PROFESORES Y ALUMNOS

Estimulados por la Institución “Dr. José María Vargas”, nos dimos a la tarea de presentar a nuestros

colegas y estudiantes una edición que, en realidad viene a ser un texto con un nuevo y actualizado enfoque del

programa de Matemática del cuarto año de Educación Media General, así como la modalidad digitalizada y con

la implementación del programa Geogebra (es un Programa dinámico para la enseñanza y aprendizaje para las

matemáticas para educación en todos sus niveles), para que sea más accesible a la comunidad estudiantil,

profesores y alumnos.

Se trata de un libro de gran utilidad, en el cual se han incluido numerosos ejercicios con una breve

explicación, donde se indican ejemplos y problemas que son de gran utilidad para el desarrollo de los objetivos

propuestos.

En el desarrollo de los temas hemos tenido muy en cuenta el programa vigente emanado del Ministerio

del Poder Popular para La Educación y hemos sido fieles en seguir minuciosamente los objetivos y contenidos

del mismo, haciendo mucho hincapié, allí donde el tema lo permite, en citar ejemplos e ilustrar lo mejor posible

los mismos, de modo que el estudiante los realice de una forma sencilla y entendible y así lograr los

aprendizajes propuestos en el programa del nivel respectivo en que se encuentra.

Al final del texto hemos agregado una amplia gama de autoevaluaciones que le permitan al alumno a

entrenarse para las futuras pruebas en cada lapso y así tener resultados óptimos esperados por todos.

Este esfuerzo, plasmado en este libro, no pretende ser una obra completa y perfecta. Las mismas

características del texto de tener que ceñirse a un programa establecido previamente, nos limita

considerablemente, por estas razones recibiremos de buen agrado las observaciones y críticas constructivas, que

nos hagan llegar, tanto los profesores como los estudiantes, que ayuden al mejoramiento de este texto.

LOS AUTORES

Carrizal, 2016


3

INDICE

Pág TEMA 1 Vectores en el Plano ………………………………………………………………………………………………………………………4

TEMA 2 Ángulos y Rotaciones……………………………………………………………………………………………………………………….25

TEMA 3 Funciones en el Círculo Trigonométrico……………………………………………………..……..………………………………………42.

TEMA 4 Las Razones Trigonométricas………………………………………………………..……………………………………………………48

TEMA 5 Identidades Trigonométricas……………………………………………………………………………….………………………………65

TEMA 6 Funciones Trigonométricas de la Suma y Diferencia de Ángulos ……………………………………………………………………….71

TEMA 7 Funciones Trigonométricas del Ángulo Doble……………………………………………..………………………………………………74

TEMA 8 Funciones Trigonométricas del Ángulo Medio……………………………………………………………………………………………77

TEMA 9 Ley del Seno y Ley del Coseno……………………………………………………………………………………………….…........81

TEMA 10 Funciones Trigonométricas Inversas…………………………………………………………………………………..………………..92

TEMMA 11 Angulos complementarios y Angulos suplementarios …………………………………………………………………………………….97

TEMA 12 Angulos que se diferencian en 180°, ángulos opuestos, ángulos negativos y mayores de 360° …………………………………………..100

TEMA 13 Transformaciones de operaciones trígonométricas ………………………………………………………………………………………..106

TEMA 14 Sistema de Coordenadas Cartesianas……………………………………………………………….….………………….…………..108

TEMA 15 Función Real de Variable Real……………………………………………………………….……………………………………….113

TEMA 16 Dominio de Funciones Continuas y Discontinuas………………………………………………………………………………………126

TEMA 17 Función Exponencial………………………………………………………………..……………………………………………………137.

TEMA 18 Función Logaritmo . Propiedades………………………………………………………………………………………………………150

TEMA 19 Ecuaciones Trigonométricas………………………………………………………………..…………………………………………..178

TEMA 20 Ecuaciones Exponenciales………………………………………………………………………………………………………………183

TEMA 21 Números Complejos. Operaciones…………………………………………………………………………………..………………….192

TEMA 22 Sucesiones y Progresiones Aritméticas y Geométricas…………………………………………………………………………………229

AUTOEVALUACION ……………………………………………………………………………………………………………………………….238

PROBLEMARIO …………………………………………………………………………………………………………………………………….242

BIBLIOGRAFIA ……………………………………………………………………………………………………………………………………..244


4

VECTORES

Definir Vector en el plano

Denominamos transformaciones en el plano π , a toda aplicación de un subconjunto de puntos de

π subconjunto de puntos π.

Cuando las transformaciones conservan las distancias, se denominan Transformaciones métricas

isométricas o movimientos rígidos en el plano.

Vector fijo

Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B

(extremo).

Vector nulo

Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden.

Módulo del vector

| |

Es la longitud del segmento AB , se representa por

Dirección y sentido del vector:

VECTORES EN EL PLANO 1

Debes recordar

que un vector es

un segmento de

recta orientado


5

Dirección de un vector:

Es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.

Sentido del vector:

El que va del origen A al extremo B.

Vectores equipolentes:

Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido .

Vectores libres

Ejercicios:

El conjunto de todos los vectores equipolentes

entre sí se llama vector libre . Cada vector fijo es

un representante del vector libre .

1 Vector de posición de un punto en el plano de coordenadas


6

2 Coordenadas o componentes de un vector en el plano

Si las coordenadas de A y B son:

Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del extremo menos

las coordenadas del origen.

Módulo de un vector

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.

El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.

Ejercicios:

1 Cálculo del módulo conociendo sus componentes

2 Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos


7

Vectores unitarios

Los vectores unitarios tienen de módulo la unidad.

Ejercicios:

1 Suma de vectores

Regla del paralelogramo

Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a

los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

2 Resta de vectores

Para sumar dos vectores l ibres y se escogen como

representantes dos vectores tales que el extremo de uno

coincida con el origen del otro vector.

Para restar dos vectores libres y se suma con el

opuesto de .

Las componentes del vector resta se obtienen restando

las componentes de los vectores.


8

Multiplicación de un N° real por un vector:

Dado un vector a = (x, y) y un número real K, llamamos producto del número real por el vector a, a

otro vector cuyas componentes se obtienen multiplicando las

Componentes del vector por el número real.

K . a = (k . x , k . y)

El vector resultante tiene la misma dirección que a, el mismo sentido cuando K es positivo, y

sentido contrario cuando K es negativo.

Componentes de un vector Se llaman componentes de un vector al punto que tiene como abscisa la diferencia

de las mismas, y como ordenadas la diferencia de las mismas de los puntos que forman el extremo y el origen.

a (xa , ya) y b (xb , yb) componentes ab = ( xb – xa , yb – ya)

El producto de un número k por un vector es otro vector:

1 De igual dirección que el vector .

2 Del mismo sentido que el vector si k es positivo .

3 De sentido contrario del vector si k es negativo .

4 De módulo

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las

componentes del vector.

Realiza los siguientes ejercicios

EJERCICIOS: Dado el vector a = (3, -1). Hallar 3 a ; -2 a ; a5

2

3 a = 3(3,-1) = { 3 . 3 , 3 . (-1)} = (9,-3)

-2 a = -2(3,-1) = { -2 . 3 , -2 . (-1)} = (-6,2)

a5

2 =

5

2 (3,-1) = {

5

2 . 3 ,

5

2 . (-1)} = (

5

6 ,

5

2 )


9

1 Coordenadas del punto medio de un segmento

2 Condición para que tres puntos estén alineados

3 Simétrico de un punto respecto de otro

Las coordenadas del punto medio de un

segmento coinciden con la semisuma de

las coordenadas de los puntos extremos .

Los puntos A (x1 , y1), B(x2 , y2) y C(x3 , y3) están

alineados siempre que los vectores tengan

la misma dirección . Esto ocurre cuando sus

coordenadas son proporcionales .

Si A' es el simétrico de A respecto de M , entonces M es

el punto medio del segmento AA' . Por lo que se verificará

igualdad:

Baricentro o centro de gravedad de un triángulo es

el punto de intersección de sus medianas .


10

Las coordenadas del baricentro son:

Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la

recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la

relación r:

EJERCICIOS RESUELTOS

1 Dado el vector = (2, −1), determinar dos vectores equipolentes a , ,

sabiendo que A(1, −3) y D(2, 0).

2 Calcula el valor de k sabiendo que el módulo del vector = (k, 3) es 5.

3 Si es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector unitario de su misma

dirección y sentido.

4 Dados los vértices de un triángulo A(1, 2), B(−3, 4) y C(−1, 6), hallar las

coordenadas del baricentro.

5 Hallar las coordenadas del punto C, sabiendo que B(2, −2) es el punto medio de

AC, A(−3, 1).

6 Averiguar si están alineados los puntos: A(−2, − 3), B(1, 0) y C(6, 5).


11

7 Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(−1, −2),

B(4, −1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.

8 Las coordenadas de los extremos del segmento AB son: A (2, −1) y B(8, −4).

Hallar las coordenadas del punto C que divide al segmento AB en dos partes tales

que AC es la mitad de CB.

9 Si el segmento AB de extremos A(1, 3), B(7, 5), se divide en cuatro partes

iguales, ¿cuáles son las coordenadas de los puntos de división?

10 Hallar el simétrico del punto A(4, −2) r especto de M(2, 6).

SOLUCIONES

1) Dado el vector = (2, −1), determinar dos vectores equipolentes a , , sabiendo

que A(1, −3) y D(2, 0).

Calcula el valor de k sabiendo que el módulo del vector = (k, 3) es 5.


12

3.- Si es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector unitario de su misma

dirección y sentido.

4.- Dados los vértices de un triángulo A(1, 2), B(−3, 4) y C(−1, 6), hallar las

coordenadas del baricentro.

5.-Hallar las coordenadas del punto C, sabiendo que B(2, −2) es el punto medio de

AC, A(−3, 1).

6.- Averiguar si están alineados los puntos: A(−2, −3), B(1, 0) y C(6, 5).

7.- Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(−1, −2), B(4,

−1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.


13

7.- Las coordenadas de los extremos del segmento AB son: A (2, −1) y B(8, −4). Hallar

las coordenadas del punto C que divide al segmento AB en dos partes tales que AC es

la mitad de CB.

8.- Las coordenadas de los extremos del segmento AB son: A (2, −1) y B(8, −4). Hallar

las coordenadas del punto C que divide al segmento AB en dos partes tales que AC es

la mitad de CB.

9.- Si el segmento AB de extremos A(1, 3), B(7, 5), se divi de en cuatro partes iguales,

¿cuáles son las coordenadas de los puntos de división?


14

10.- Hallar el simétrico del punto A(4, −2) respecto de M(2, 6).

Ejercicios y problemas resueltos de vectores y producto escalar

1 Hallar el simétrico del punto A(3, −2) respecto de M(−2, 5).

Solución:

Hallar el simétrico del punto A(3, −2) respecto de M(−2, 5).

2 Dados dos vértices de un triángulo A(2, 1), B(1, 0) y el baricentro G(2/3, 0), calcular el tercer vértice.

Solución

Dados dos vértices de un triángulo A(2, 1), B(1, 0) y el baricentro G(2/3, 0), calcular el tercer vértice.

3 Dados los puntos A (3, 2) y B(5, 4) halla un punto C, alineado con A y B, de manera que se

obtenga

Solución

Dados los puntos A (3, 2) y B(5, 4) halla un punto C, alineado con A y B, de manera que se obtenga


15

4 Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(−1, −2), B(4, −1), C(5, 2) y D; sea un

paralelogramo.

Solución

5 Si { , } forma una base ortonormal, calcular:

a ·

b ·

c ·

d ·

Solución

Calcula las coordenadas de D para que e l cuadr i látero de

vér t ices: A(−1 , −2) , B(4 , −1) , C(5, 2 ) y D; sea un paralelogramo.

Si { , } forma una base or tonormal, calcular :

a · = 1 · 1 · cos 0° = 1

b · = 1 · 1 · cos 90° = 0

c · = 1 · 1 · cos 90° = 0

d · = 1 · 1 · cos 0° = 1


16

6 Dados los vectores =(2, k) y = (3, −2), calcula k para que los

vectores y sean:

1 Perpendiculares.

2 Paralelos.

3 Formen un ángulo de 60°.

Solución

Dados los vectores =(2, k) y = (3, −2), calcula k para que los vectores y sean:

1 Perpendiculares.

7 Calcular el valor de k sabiendo que

Suponiendo que respecto de la base ortonormal { , } del plano los vectores tienen como

expresiones:

Calcular el valor de k sabiendo que

8 Suponiendo que respecto de la base ortonormal { , } del plano los vectores tienen como

expresiones:

Calcular el valor de k para que los dos vectores sean ortogonales.

Solución

Suponiendo que respecto de la base ortonormal { , } del plano los vectores tienen como

expresiones:

Calcular el valor de k para que los dos vectores sean ortogonales.


17

9 Calcula la proyección del vector sobre el vector .

Solución

Calcula la proyección del vector sobre el vector .

10 Hallar un vector unitario de la misma dirección del vector .

Hallar un vector unitario de la misma dirección del vector .


18

RESUMEN

Vector Nulo: el vector nulo es el vector que tiene como componentes (0,0); es decir: 0 = (0,0).

Vector Opuesto: se llama vector opuesto del vector a = (ax,ay), al vector cuyas componentes son (-ax,ay). El

vector opuesto de a se denota por -a.

Suma de Vectores:

Ejemplo: Dados los vectores a = (-4,7) ; b = (5,8). Hallar 2 a + 3 b

2 a = {2 .( –4),2 . 7} = (-8,14) 3 b = (3 . 5,3 . 8) = (15,24)

a + 3 b = (-8+15,14+24) = (7,38)

Longitud o Norma de un vector: Se llama longitud o norma de un vector a = (ax,ay) ε V2, y se denota // a //, a

la raíz cuadrada no negativa del producto escalar de a por sí mismo. Es decir: // a // = 22 ayax

Ejemplo: Hallar la norma del vector a = ( 6 , 30 )

// a // = ( 6 )2 + ( 30 )

2 = 306 = 36 = // a // = 6

Definir el producto escalar de vectores:


19

Definimos el producto escalar de los vectores a y b, como el producto del módulo de uno de ellos

por el módulo de la proyección del otro sobre él.

El producto escalar de dos vectores es igual al producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

Ejemplo: El producto escalar de dos vectores a y b es igual a 20, sabemos que

/ a / = 5 y / b / = 8. Calcular el valor del ángulo que forman los vectores.

a . b = 20

/ a / = 5 Cos α = a . b Cos α = 20 → 0,5 → 1/2

/ b / = 8 / a / . / b / 40

α = x

Ejemplo: Dados los puntos a(2,3) ; b(5,8) y c(-6,2) representar los vectores ab, cb y ac, hallar sus

componentes y módulos.

Componentes: ab = (5-2,8-3) = (3,5) cb = {5-(-6),8-2} = (11,6)

ac = (-6-2,2-3) = (-8,-1)

Módulos: /ab/ = 32 + 5

2 = 34


20

/cb/ = 112+6

2 = 157

/ac/ = (-8)2+(-1)

2 = 65

Representación Gráfica: y

8

7

6

5

4

3

2

1 x

-6 0 2 5

Resuelve los siguientes ejercicios aplicando las fórmulas de vectores:

1) a . b = 32 2) a . b = 54


21

/ a / = 6 / a / = 8

/ b / = 7 / b / = 10

α = x α = x

3) a . b = x 4) a . b = x

/ a / = 4 / a / = 9

/ b / = 7 / b / = 3

α = 45° α = 30°

Con los siguientes puntos, hallar los componentes, módulos y representación gráfica:

1) a(4,3) , b(-3,6) , c(2,-5) 2) a(3-6) , b(-4,-2) , c(4,2)

3) a(-4,2) , b(5,7) , c(3,-7) 4) a(-1,4) , b(6,5) , c(-2,-4)

5) a(-1,-2) , b(4,7) , c(-3,5) 6) a(6,4) , b(-3,-5) , c(2,6)

Hallar la suma de los siguientes vectores: 2 a + 3 b

1) a = (3,5) , b = (-3,-6) 2) a = (9,0) , b = (-1,-2) 3) a = (6,5) , b = (-4,8)

¡Realiza los

siguientes

ejercicios!!!!!!!


22

4) a = (-5,-8) , b =(-4,-3) 5) a = (-5,-3) , b =(1,5) 6) a = (6,-9) , b =(3,7)

Hallar el módulo de los vectores siguientes:

1) a = (13

3,

13

2) 2) a = (3,9) 3) a = (5,0) 4) a = ( 15 ,1)

5) a = (0,7) 6) a = (10, 144 ) 7) a = (4/2,6/3) 8) a = ( 4 ,5)

Establecer el concepto de base:

Como cualquier vector en el plano puede expresarse como una combinación lineal de otros vectores no

colineales, decimos que un par de vectores no colineales constituyen una base del conjunto de los vectores de

dicho plano.

Establecer el concepto de dimensión:

Puede haber muchas bases, pero todas ellas están formadas por dos vectores, por lo cual se dice que el plano

tiene dimensión dos.

Determinar si un vector es combinación lineal de otros vectores:

En forma general, un vector u se dice que es combinación lineal de los vectores a y b, si existen

números reales p y q, tales que u = p . a + q . b.

Vectores colineales:

Son los que tienen la misma dirección y por lo tanto sus componentes son proporcionales , es decir, uno es

combinación lineal del otro.

Ejemplo: Dado el vector a = (3,4) y los vectores no colineales b = (-1,0) y c = (-3,5) expresar a como una

combinación lineal de b y c.


23

a = p . b + q . c

(3,4) = p(-1,0) + q(-3,5) (3,4) =( -p,0) + (-3q,5q)

(3,4) = (-p-3q,0+5q) 3 = -p - 3q

4 = 0 + 5q

Despejamos q: 4 = 5q q = 4/5

Despejamos p: 3 = -p-3q 3 = -p-3( 4/5 )

3 = -p-12

/5

p = -3 - 12

/5

p = -12-15 = p =-27

/5

5

a = -27/5 b + 4/5 c


24

Expresar el vector a como combinación lineal de los otros vectores:

1) a = (2,4) combinación lineal de b = (1,2) , c = (-1,3)

2) a = (1,5) combinación lineal de b = (2,4) ; c = (-2,-4)

3) a = (1,-1) combinación lineal de b = (-2,4) ; c = (5,-2)

4) a = (-2,0) combinación lineal de b = (1,0) ; c = (3,6)

a = (3,2) combinación lineal de b = (-3,-2) ; c = (3,4)


25

Definir ángulo, partiendo de la rotación de un vector en el plano.

Se llama ángulo de dos semirrectas r y r’ de origen 0, a la rotación que transforma a una de las

semirrectas dada, en la otra, por ejemplo r en r´.

r’

α

0 r

El punto 0 se llama vértice y las rectas r’ y r lados.

Rotación o giro: es una transformación geométrica en virtud de la cual a todo punto se le hace

corresponder otro punto primo, de tal manera que sus distancias a un punto fijo 0 (cero) llamado centro de

rotación, son iguales y las semirrectas 0A y 0A’ forman un ángulo constante y determinado en amplitud y

sentido llamado ángulos de rotación.

A’

ÀNGULOS Y ROTACIONES 2

‘Recuerda 2do,

Año, la rotación

es……………….


26

0 A

Propiedades de las rotaciones:

a.- Toda rotación deja fijo al centro de rotación.

b.- Toda rotación transforma una recta en otra recta.

c.- En toda rotación los segmentos que unen los puntos homólogos son iguales.

Establecer los sistemas de medidas para ángulos:

Un ángulo es positivo cuando se gira en sentido contrario a las agujas del reloj, y negativo en caso contrario.

Radián: es el ángulo central cuyo arco correspondiente tiene una longitud igual al radio.

a.- La longitud de un arco es igual al producto de sus ángulos en radianes por el radio.

b.- La longitud de un arco medido en radios, viene expresado por el mismo número que su ángulo central

correspondiente medido en radianes.

De aquí se deduce que la medida de un ángulo es una aplicación de longitud de arco a ángulos.

Sistema Sexagesimal:

La circunferencia se divide en 360 partes y a cada parte se llama grado.

Cada grado se divide en 60 partes y a cada parte se le llama minuto.

Cada minuto se divide en 60 partes y a cada parte se le llama segundo.

Ejemplo: 25° 36’ 48’’ ( se lee 25 grados, 36 minutos, 48 segundos)

Reducción de ángulos del sistema sexagesimal al circular y viceversa:

Ejemplos:

1.- Transformar a radianes 26°

180°______________π =3,1416

26°_______________ x x = 26° . 3,1416 x =0,4537 radianes

180°

2.- Transformar 1,4839 radianes a grados

π =3,1416__________180°

1,4839__________ x x = 1,4839 . 180° x = 85° aprox.

3,1416


27

Definir ángulo, partiendo de la rotación de un vector en el plano.

Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades:

1 Grado sexagesimal (°):

Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ángulo central correspondiente a cada una de sus

partes es un ángulo de un grado (1°) sexagesimal.

Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').

2 Radián (rad):

Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio.

‘!!!!!Realiza los

siguientes

ejercicios¡¡¡¡¡¡¡.

Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen

común. A las semirrectas se las llama lados y al origen común vértice.

El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las

agujas del reloj y negativo en caso contrario.


28

Ejemplo:

Dados los vectores siguientes, hallar el producto del N° real por el vector:

1) a = (3,-2) . Hallar 5 . a 2) b = (-4,-5) . Hallar -4 . b

3) x = (2/5,3/2). Hallar 2/4 . x 4) y = (-4,6/2) . Hallar –4 . y

5) p = ( 5 , 4 ) . Hallar 3 . p 6) a = ( 9 ,4/3) . Hallar –6 . a

2π rad = 360°

π rad = 180°

30º rad

/3 rad 60º

‘!!!!!Realiza los

siguientes

ejercicios¡¡¡¡¡¡¡.


29

Dados los siguientes vectores, hallar su componente:

1) a = (3,6) ; b = (4,-3) 2) a = (-4,9) ; b = (-4,-7)

3) x = (-1,-8) ; y = (2,11) 4) p = (-7,6) ; q = (-2,5)

5) a = (5/3,6) ; b = (3/2,5/4) 6) s = (2/5,-4) ; t = (5,4)

Transformar:

a) 36° a radianes b) 57° a radianes c) 87° a radianes

d) 45,234π a grados e) 2,4563π a grados f) 1,2453π

Medición de ángulos

Para medir ángulos utilizamos el grado sexagesimal (°)

Grado sexagesimal es la amplitud del ángulo resultante de dividir la circunferencia en 360 partes iguales.

1º = 60' = 3600' '

1 ' = 60' '

Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen

común.

A las semirrectas se las llama lados y al origen común vértice.


30

1 rad= 57° 17' 44.8' '

360º = 2π rad

GIRO

1 Giro de centro O(0,0)

Radián (rad) es la medida del ángulo cen tral de una

circunferencia cuya longitud de arco co inc ide con la longitud de

su radio.

Dados un punto O y un ángulo α, se llama giro de centro O y

ángulo α a una transformación G que hace corresponder a cada

punto P otro P' = G(P) de modo que:

El sentido de giro positivo de es del contrario al movimiento de

las agujas del reloj.


31

2 Giro de centro O'(a,b)

Composición de giros

1 Con el mismo centro

Al aplicar sucesivamente dos giros de igual centro O y amplitudes α y β se obtiene un giro de igual

centro O y amplitud igual a la suma de las amplitudes α+β .


32

2 Con distinto centro

1 Suma de ángulos

Gráfica: La suma de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la suma de las amplitudes de los dos

ángulos iniciales.

Numérica:

1 Para sumar ángulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y

los segundos debajo de los segundos; y se suman.


33

2 Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el

cociente se añadirán a los minutos.

3 Se hace lo mismo para los minutos.

2 Resta de ángulos

Gráfica: La resta de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la diferencia entre la amplitud del

ángulo mayor y la del ángulo menor.


34

Numérica:

1 Para restar ángulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y

los segundos debajo de los segundos.

2 Se restan los segundos. Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60

segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos.

3 Hacemos lo mismo con los minutos.

3 Multiplicación de ángulos

Gráfica: La multiplicación de un número por un ángulo es otro ángulo cuya amplitud es la suma de

tantos ángulos iguales al dado como indique el número.


35

Numérica:

1 Multiplicamos los segundos, minutos y grados por el número.

2 Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el

cociente se añadirán a los minutos.

3 Se hace lo mismo para los minutos.

4 División de ángulos

Gráfica: La división de un ángulo por un número es hallar otro ángulo tal que multiplicado por ese

número da como resultado el ángulo original.

:4 =

Numérica: Dividir 37º 48' 25'' entre 5


36

1 Se dividen los grados entre el número.

2 El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos.

3 Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los minutos.

4 Se añaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los segundos.


37

Medición de ángulos

Ahora continuaremos el estudio de la trigonometría con el concepto de ángulos y sus

medidas. Un ángulo es un conjunto de puntos que consiste de un punto P y dos rayos que se extienden

desde P. El punto P es el vértice del ángulo y los rayos son los lados del ángulo. El rayo r, se llama el lado

inicial (permanece fijo) y el segundo rayo, rayo s, se llama rayo terminal del ángulo. El ángulo comienza en

la posición del lado inicial y gira alrededor del punto final común P en un plano hasta que alcanza su posición

terminal.

P

r

lado lado inicial

terminal

lado

terminal

lado

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Un ángulo en un sistema de coordenadas rectangular está en la posición normal o estándar si su vértice está en

el origen y su lado inicial a lo largo deleje positivo x. Si el lado terminal de un ángulo que está en la posición

normal yace sobre un eje coordenado se dice que es un ángulo cuadrantal. Observa la ilustración a

continuación.

Una rotación en el sentido contrario a la manecillas del reloj produce

un ángulo positivo (Figura 1) y una rotación en el sentido de las manecillas

del reloj produce un ángulo negativo (Figura 2). El tamaño de la rotación

en cualquier dirección no está limitada. Dos ángulos diferentes pueden

tener los mismos lados iniciales y terminales (Figura 3), estos ángulos se

llaman ángulos coterminales.


38

Así como los segmento se miden en pulgadas, centímetros o pies, los ángulos se miden

comúnmente

en grados o radianes.

Definición: Medición en grados

Un ángulo formado por la rotación completa tiene una medida de 360 grados (3600). Un ángulo formado por

1/360 de una rotación completa tiene una medida de 1 grado (10). El símbolo “

0” denota grados.

Definiciones:

Un ángulo llano es un ángulo que mide 1800. Un ángulo recto es un ángulo que mide 90

0. Un ángulo

agudo es un ángulo que mide menos de 900. Un ángulo obtuso es un ángulo que mide mayor de 90

0 pero

menor que 1800. Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo y cuyos lados son

radios del círculo.

ángulo llano ángulo recto ángulo agudo ángulo obtuso


39

Dos ángulos positivos son complementarios si su suma es 900. Dos ángulos son suplementarios si su suma es

1800.

Nota: Los ángulo que miden 00, 90

0, 180

0, 270

0 y 360

0 son ángulos cuadrantales (ángulos donde el lado

terminal yace sobre los ejes x ó y).

Definición: Medición en radianes

Si el vértice de un ángulo está en el centro de un círculo de radio r>0, y la longitud del arco opuesto a en la

circunferencia es s, entonces medido en radianes está dado por:

r

Nota: La medida en radián es un número sin unidades, pues las unidades en que se miden la longitud del arco y

el radio se eliminan, por tanto, queda un número sin unidades.

Ejemplos para discusión: Halla en radianes la medida de un ángulo central opuesto a la longitud de un

arco s de un círculo de radio r, donde s y r están dados a continuación:

1) s = 8 pulgadas; r = 4 pulgadas

2) s = 24 centímetros; r = 8 centímetros

Ejercicio de práctica: ¿Cuál es la medida de un ángulo central opuesto a un arco de 60 pies en un círculo de

radio de 12 pies?

Conversión entre grados y radianes:

La conversión de grados a radianes y de radianes a grados está basado en que:

Para cambiar radianes a grados y grados a radianes usamos las siguientes fórmulas:

Radianes a grados Grados a radianes

Un radián es el tamaño del ángulo central de un círculo que interseca un arco de la misma

longitud que el radio del círculo. Observa que s y r deben estar medidas en las mismas

unidades. Además, se usa de dos maneras: para nombrar el ángulo

y como medida del ángulo.


40

Ejemplos para discusión:

1) Cambia de radianes a grado: 2) Cambia de grados a radianes:

a) 5 radianes b) 7/6 π c) -5/12π a) 75

0 b) 150

0 c) -15

0

Usando la calculadora

También podemos hacer la conversión de grados a radianes y de radianes a grados con la

calculadora. Veamos los pasos a seguir dependiendo del tipo de calculadora.

Para cambiar radianes a grados:

Ejemplo: 5 radianes a grados

Calculadora científica Calculadora gráfica

- Seleccionar el modo “radianes” con la

tecla [DRG].

- Entrar el número 5.

- Oprimir las teclas [2nd][DRG] hasta

obtener el modo de “grados”.

- La respuesta es 286.50

- Seleccionar el modo “grados con las

teclas [MODE],[ENTER],[Exit].

- Entrar al menú [Math].

- Elegir <Angle>.


- Elegir <r> y oprimir [ENTER].


Para cambiar grados a radianes:

Ejemplo: 750 a radianes

Calculadora científica Calculadora gráfica

- Seleccionar el modo de “grados” con la

tecla [DRG].


- Oprimir las teclas [2nd][DRG] hasta

obtener el modo de “radianes”.


- Seleccionar el modo ”radianes” con las

teclas [MODE],[ENTER],[EXIT].

- Entrar al menú [Math]

- Elegir <Angle>


- Elegir <o> y oprimir [ENTER].



41

Ejercicio de práctica:

1) Cambia de radianes a grado: 2) Cambia de grados a radianes

a) 1 radián b) 17/10 π a) 2400 b) 270

0

3) Completa la tabla a continuación:

Radianes Grados

90

120

180

210

225

270

315

360


42

Establecer las funciones trigonométricas en el Círculo Trigonométrico

Con centro en el origen de coordenadas y radio igual a la unidad se traza una circunferencia (círculo

trigonométrico o circunferencia unitaria)

y

p(x , y)

1

α A

mx 0 x

(1,0)

Si un punto p parte del punto A y se desplaza α unidades alrededor de la circunferencia,

conociendo el sentido del desplazamiento se puede situar exactamente la posición de p para cualquier valor

de α = arc. Ap.

Si α es mayor de 2π, el punto p dará más de una vuelta.

FUNCIONES EN EL CIRCULO

TRIGONOMÈTRICO 3

Apréndete las

fórmulas de

memoria…………

.


43

Como el mismo número que mide la longitud del arco en radios, mide el ángulo central en radianes,

podemos asegurar que a cada ángulo central le corresponde un punto en la circunferencia.

De aquí se definen 3 funciones:

sen α____________ y y = ordenada de p

cos α____________x x = abscisa de p

tg α_____________y/x x ≠ 0

Identificar el Dominio y el Rango de las funciones Seno, Coseno y Tangente:

Sean: sen : R R

cos : R R

tg : R R

El dominio de estas tres funciones es R, el rango del seno y del coseno es el intervalo {-1,1}, porque en el

triángulo rectángulo los catetos y ninguno de ellos puede ser mayor que la hipotenusa que vale 1. El rango de

la tangente es R, menos para los valores de x igual a cero.

y

x

Signos de las funciones trigonométricas circulares, en cada uno de los cuadrantes

Primer cuadrante: 0° < α < 90° ó 0 < α < π/2

sen = + ; cos = + ; tg = +


44

Segundo Cuadrante: 90° < α < 180° ó π/2 < α < π

sen = + ; cos = - ; tg = -

Tercer Cuadrante: 180° < α < 270° ó π < α < 3 π/2

sen = - ; cos = - ; tg = +

Cuarto Cuadrante: 270° < α < 360° ó 3π/2 < α < 2π

sen = - ; cos = + ; tg = -

Reducción al 1er

cuadrante, y cálculo del valor numérico de una expresión trigonométrica dada.

Hallar las funciones trigonométricas de 150°

90°

180° 0°

360°

270°


45

Ubicado en el 2do

cuadrante A = 180° - 150° A = 30°

sen (180°-150°) = sen 30° = ½ = 0,5

cos (180°-1550°) =- cos 30° = -0,866 = 2

5

tg (180°-150°) = - tg 30° = -0,5773= 3

3

Aplicar las funciones trigonométricas en la resolución de triángulos rectángulos

y

P

α

0 M x

Sea 0PM un triángulo rectángulo en M . 0M y MP son los catetos y 0P es la hipotenusa.

Suponiendo que está situado en el primer cuadrante según la figura anterior, se puede definir las funciones

trigonométricas siguientes:

Razones trigonométricas de ángulos

Se llama circunferencia trigonométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y

su radio es la unidad.


46

En la circunferencia trigonométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se

numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.

QOP y TOS son triángulos semejantes.

QOP y T'OS′ son triángulos semejantes.

El seno es la ordenada.

El coseno es la abscisa.

-1 ≤ sen α ≤ 1

-1 ≤ cos α ≤ 1


47

Signo de las razones trigonométricas


48

LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Seno: Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la

hipotenusa.

Se denota por sen B.

Coseno: Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la

hipotenusa.

Se denota por cos B.

Tangente: Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el

cateto contiguo al ángulo.

Se denota por tg B

LAS RAZONES TRIGONOMÈTRICAS LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE OTROS ÁNGULOS RESOLUCIÓN DE TRIANGULOS RECTANGULOS

4


49

Cosecante: Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B.

Se denota por cosec B.

Secante Secante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B.

Se denota por sec B. c

a

centecatetoadya

hipotenusa

BB

cos

1sec

Cotangente Cotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B.

Se denota por cotg B. b

c

stocatetoopue

centecatetoadya

senB

B

tgBgB

cos1cot

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS

QOP y TOS son triángulos semejantes. QOP y T'OS′ son triángulos semejantes.

Se llama circunferencia trigonométrica a aquélla que tiene su centro en el

origen de coordenadas y su radio es la unidad. En la circunferencia

trigonométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se

numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.

El seno es la ordenada.

El coseno es la abscisa.

-1 ≤ sen α ≤ 1

-1 ≤ cos α ≤ 1


50

Signo de las razones trigonométricas

sen α = ordenada = PM = cateto opuesto al ángulo α

radio 0P hipotenusa

cos α = abscisa = 0M = cateto adyacente al ángulo α

radio 0P hipotenusa

Estas fórmulas son

para la resolución de

triángulos

rectángulos.


51

tg α = ordenada = PM = cateto opuesto al ángulo α

abscisa 0M cateto adyacente al ángulo α

ctg α = abscisa = 0M = cateto adyacente al ángulo α

ordenada PM cateto opuesto al ángulo α

sec α = radio = 0P = hipotenusa

abscisa 0M cateto adyacente al ángulo α

csc α = radio = 0P = hipotenusa

ordenada PM cateto opuesto al ángulo α

RESOLVER PROBLEMAS APLICANDO LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN TRIÁNGULOS

RECTÁNGULOS

Resolver un triángulo rectángulo, significa calcular el valor de sus tres lados, sus tres ángulos, área, etc.

En la práctica solo se calcula alguno de sus elementos.

Para calcular los lados aplicamos las definiciones de seno, coseno y tangente del ángulo conocido.

Ejemplos: En el triángulo rectángulo de la figura, calcular los lados AC y BC

B

50 cm

40° 20´

A C

Cálculo de BC sen 40° 20’ = CO BC = AB . sen 40° 20’

H

sen 40° 20’ = 0,6472 AB = 50 cm BC = 50 cm . 0,6472

BC = 32,36 cm


52

Cálculo de AC Cos 40° 20’ = CA AC = AB . Cos 40° 20’

H

AC = 50 cm . 0,7623 AC = 38,11

Razones Trigonométricas:

Sen β = y Cos β = x Tg β = y

x z x

Sec β = z Cotg β = x Csc β = z

x y y

Ejemplo: Hallar las razones trigonométricas del ángulo β en el triángulo pqr. Donde x = 6 ; y = 8

r x p

β

y z

q

Aplicamos Pitágoras: 22 yxz 22 86 z 6436z 100z 10z

Fórmulas para

resolver razones

trigonométricas


53

Sen β = y/z = 8/10 = 4/5 Cos β = x/z = 6/10 =

3/5

Tg β = y/x = 8/6 = 4/3 Sec β = z/x = 10/6 =

5/3

Cotg β = x/y = 6/8 = ¾ Csc β = z/y = 10/8 = 5/4

Seno, coseno y tangente de 30º, 45º y 60º

Seno, coseno y tangente de 30º y 60º

Si dibujamos un triángulo equilátero ABC, cada uno de sus tres ángulos mide 60º y, si

trazamos una altura del mismo, h, el ángulo del vértice A por el que la hemos trazado queda dividido

en dos iguales de 30º cada uno. Recurriendo al Teorema de Pitágoras, tenemos que la altura es:

Seno, coseno y tangente de 45º


54

Razones trigonométricas de ángulos notables

Razones Trigonométricas de otros ángulos

Ángulos que difieren en 90º ó π/2 rad

Ejemplo:


55

Ángulos que suman 270º ó 3/2 π rad

Ejemplo:


56

Ángulos que difieren en 270º ó 3/2 π rad

Ejemplo:

Resolución de triángulos rectángulos

1 Se conocen la hipotenusa y un cateto:


57

Ejemplo:

Resolver el triángulo conociendo:

a = 415 m y b = 280 m.

sen B = 280/415 = 0.6747 B = arc sen 0.6747 = 42° 25′

C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′

c = a cos B c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m

2 Se conocen los dos catetos:

Ejemplo:


b = 33 m y c = 21 m .


58

tg B = 33/21 = 1.5714 B = 57° 32′

C = 90° − 57° 32′ = 32° 28′

a = b/sen B a = 33/0.8347 = 39.12 m

3 Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo:

Ejemplo:


a = 45 m y B = 22°.

C = 90° - 22° = 68°

b = a sen 22° b = 45 · 0.3746 = 16.85 m

c = a cos 22° c = 45 · 0.9272 = 41.72 m

4 Se conocen un cateto y un ángulo agudo:

Ejemplo:


59


b = 5.2 m y B = 37º

C = 90° - 37° = 53º

a = b/sen B a = 5.2/0.6018 = 8.64 m

c = b · cotg B c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9 m

Hallar las funciones trigonométricas de:

1) 30° 2) 60° 3) 90° 4) 120°

5) 135° 6) 210° 7) 225° 8) 30°

Resuelve los siguientes triángulos:

a) B

Hallar: BC y AC

36 cm

30° 15’

C A


60

a)

B

40 cm Hallar: BC y AC

38° 2’

C A

c) B Hallar: AB y AC

30 cm Aplica : Cotg y Csc

A 40° 26’ ( C


61

d) B Hallar: BC y AB

Aplica : Tg y Sec

24° 12’

A C

16 cm

En los siguientes triángulos hallar los valores de las seis razones trigonométricas de los ángulos

indicados en ellos:

a)

4

α

Z

5

b)

Z β


62

3

a) 5

1

α

y

x

d) α

10

12

Resolución de triángulos oblicuángulos y obtusángulos

7


63

1. Resolver un triángulo conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a él

Ejemplos

De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos.


64

Aplicaciones de la Trigonometría

Cálculo de la altura de un punto de pie inaccesible

Se miden con el teodolito los ángulos A y C. A = 72º 18' y C = 60º 32'.

También se mide el ángulo HAB = 62º 5'

m


65

Identidades Trigonométricas

Son igualdades que contienen funciones trigonométricas y que son valederas para todos los valores de los

ángulos para los cuáles están definidas estas funciones.

Procedimiento:

a.- Cuando contienen ángulos múltiples o fraccionarios se recomienda expresar dichas funciones en función de

ángulos sencillos.

b.- Cuando contienen sumas o diferencias de ángulos, se sustituyen por sus fórmulas respectivas.

c.- Sí después de haber hecho esto, no aparece ningún método factible, es ventajoso cambiar todas las

funciones a senos y cósenos.

Primer Método:

Consiste en operar en un solo miembro haciendo las transformaciones correspondientes hasta que el

miembro en que se opera sea igual al otro.

Segundo Método:

Se opera en cada uno de los miembros de la igualdad, pero en forma independiente hasta que los miembros

sean iguales.

Identidad fundamental: Sen2 x + Cos

2x = 1

IDENTIDADES TRIGONOMÈTRICAS 5

Debes

recordarlas

fórmulas de las

funciones.


66

Transformaciones de miembros:

1) 1 – Sen2x = Cos

2x 2) Cos

2x + Sen

2x = 1

3) (Cos2x – Sen

2x) = 2Cosx 4) Tgx = Senx

Cosx

5) Secx = 1 6) Cscx 1

Cosx Senx

7) Cotgx = Cosx 8) Cosx = Senx

Senx Cotgx

Ejemplo: Demostrar que Cos2 = (1 + Sen x) . (1 – Sen x) es una identidad.

(1 + Senx) . (1 – Senx) = 1 – Sen2 x

Cos2x = 1 – Sen

2x

Cos2x = Cos

2x

Estas fórmulas

son básicas

para resolver

identidades.


67

Identidades trigonométricas fundamentales


cos² α + sen² α = 1

sec² α = 1 + tg² α

cosec² α = 1 + cotg² α

Ejemplos

1 Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas del

ángulo α.

2 Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del

ángulo α.


68


1 Relación seno coseno

cos² α + sen² α = 1

2 Relación secante tangente

sec² α = 1 + tg² α

3 Relación cosecante cotangente

cosec² α = 1 + cotg² α

Ejemplos:


69

1 Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones

trigonométricas del ángulo α.

2 Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Calcular las restantes razones

trigonométricas del ángulo α.


70

Realiza las siguientes demostraciones:

a) Demostrar que Cos4x – Sen

4x = Cos2A

b) Demostrar que Cosx . tgx = Sen

c) Demostrar que Senx + Cosx = 1

Cscx Secx

d) Demostrar que tgx = Secx

Senx

e) Demostrar que tgx . Cosx . Cscx = 1

f) Demostrar que Senx . Secx =tgx

g) Demostrar que Cscx = Cosx

tgx + Ctgx

h) Demostrar que Senx + Cotgx = Senx . Cotgx

tgx + Cscx

i) Demostrar que tgx + Cotgx = 1

Senx . Cosx


71

Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos

Suma y diferencia de Ángulos:

Ángulos Complementarios: dos ángulos son complementarios cuando suman 90°.

Ángulos Suplementarios: dos ángulos son suplementarios si su suma es igual a π = 180°.

Fórmulas: sen(A+B) = senA . cosB + cosA . senB

sen(A+B) = senA . cosB – cosB . senB

cos(A+B) = cosA . cosB – senA . senB

cos(A-B) = cosa . cosB + senA . senB

tg(A+B) = tgA + tgB

1 – tgA . tgB

tg(A-B) = tgA + tgB

1 + tgA . tgB

FUNCIONES TRIGONOMÈTRICAS DE LA

SUMA Y DIFERENCIA DE ÀNGULOS 6


72

Formulas auxiliares: cos A = 1 – sen2

A

sen B = 1 – Cos2

B Sen A = tg A

1+ tg2A

CosA = 1 tgA = 1 – Cos2A

1 + tg2A CosA

Ejemplo: Dado SenA = 3/5 (A en el II cuadrante), calcular Sen(30°+A)

CosA = 1 – Sen2A CosA = 1 – (3/5)

2

CosA = 25-9 = CosA = 16 = CosA = -4/5

25 25

Sen 30° = 1/2


73

Cos 30° = √3/3 Sen(30°+ A) = 1/2 . (-4/5) + √3/2 . 3/5) Sen(30° + A) = -4 + 3√3

10

1) Dado senA = 3/5 y cosB = 5/6 ; Calcular cos(A-B), sabiendo que A y B son agudos .

2) Dado tgA = ¾ . Hallar ten(A+B).

3) Dado cosA = 1/2 (A en el I cuadrante) . Hallar : tg(A-60°)

4) Dado senA = 2/3 y cosB = ¾ ; Calcular cos(A + B), sabiendo que A y B son agudos.


74

Razones trigonométricas del ángulo doble

Ejemplos:

Deducir las funciones trigonométricas de ángulos dobles:

FUNCIONES TRIGONOMÈRICAS DEL ÀNGULO DOBLE

7


75

Fórmulas: sen2A = 2senA . cosA cos2A = cos2A – sen

2A

tg2A = 2 tg A senA = 1 – Cos2A

1 – tg2a 2

cosA = 1 + cos2A tgA = 1 – cos2A

2 1 + cos2A

Ejemplo: Dado senA = 1/3, calcular cos2A.

cos2A = 2 . sen2A = 1 – cos2A cos2A = 1 – 2Sen

2A

cos2A = 1 – 2(1/3)

2 = Cos2A = 1 – 2(

1/9) = Cos2A = 1 – 2

9

cos2A = 9 – 2 = cos2A = 7/9

9


76

Dadas las siguientes funciones, hallar sus ángulos dobles:

1) Dado senA = 4/5. Calcular tg 2A.

2) Dado senA = 3/5 y cosA = ½. Hallar sen2A.

3)Dado cosA = 2/3 y senA = 2/4. Hallar cos2A.

4) Dado tgA = 3/5. Hallar tg2A.

5) Dado cos2A = 4/6 y senA = ¼. Hallar cos

2A.

6) Dado cosA = 4/7 y senA =6/8 . Hallar sen2A.

Razones trigonométricas del ángulo doble

Ejemplos:


77

Razones trigonométricas del ángulo mitad

Ejemplos:

FUNCIONES TRIGONÒMETRICAS DEL

ÀNGULO MEDIO 8


78

Deducir las funciones trigonométricas de ángulos medios:

Fórmulas: cosA/2 = 1 – sen2A/2 tgA/2 = SenA/2

CosA/2

tgA/2 = 1 – cosA tg2A = 1

1 + cosA ctg2A

sen2A = tg2A cos2A = 1

1 + tg22A 1 + tg

22A

Cos2A = 1 – Sen22A SenA = 1 – Cos2A

2

CosA = 1 + Cos2A SenA/2 = 1 - CosA

2 2


79

Resuelve los siguientes ejercicios:

1) Dado senA/2 = 1/3 . Calcular cos A/2 y tgA/2

Resp. cosA/2 = 2√2 ; tgA/2 = √2

3 4

2) Dado tgA/2 = √3 . Calcular senA, cosA y tgA.

Resp. cosA = -1/2 , senA = √3/2 ; tgA = - √3

3) Dado sen2A = ½ . Calcular senA.

Resp. cos2/A = √3/2 ; senA = 2 - √3

4

4) Dado senA/2 = 2/5. Hallar Cos A/2.

5)Dado sen A/2 = 6 y cos A/2 = 5. Hallar tg A/2

6) Dado cos A = 6/7. Hallar tg A/2.

7) Dado ctg 2A = 4/6 . Hallar tg 2A.

8)Dado tg 2A = 2/3. Hallar sen 2A.

9) Dado sen 2A = 1/3. Hallar cos 2A.

10) Dado cos A = 2/4. Hallar sen A/2.


80

Simplificar las expresiones trigonométricas:

1) Simplificar la expresión sen arc sen √3

2

α = arc sen √3/2 Entonces : sen α = √3/2

sen arc sen √3 = sen α = √3/2

2

Expresiones de ayuda:

cos2α = 1 – Sen

2α ctgα = cosα

sen α

Simplificar las expresiones siguientes:

1) Simplificar la expresión cos arc sen 7/8

2) Simplificar la expresión ctg arc cos 1/2

3) Simplificar la expresión sen arc cos √3/2

4) Simplificar la expresión cos arc sen √3/2


81

Deducir la Ley del Seno a partir del producto escalar de vectores:

Ley del seno: los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

Fórmula General: a = b = c

senA senB senC

b = a . senB senC = c . senA senA = a . senB

senA a b

senB = b . senA c = a . senC a = b . senA

senB senA senB

c = b . senC a = c . senA b = c . senB

senB senC senC

senA = a . senC

c

LEY DEL SENO Y DEL COSENO 9


82

Teorema del seno

Cada lado de un triángulo es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto.

Teorema del coseno

En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los

otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que

forman.


83

3. Resolver un triángulo conociendo dos lados y un ángulo opuesto

sen B > 1. No hay solución

sen B = 1 Triángulo rectángulo

sen B < 1. Una o dos soluciones

Supongamos que tenemos a, b y A; al aplicar el teorema de los senos puede suceder:

1 sen B > 1. No hay solución.

Ejemplo:

Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 8 m.


84

Como el seno de un ángulo nunca puede ser mayor que 1, el problema no tiene solución. La figura

muestra la imposibilidad de que exista el triángulo planteado.

2 sen B = 1. Solución única: triángulo rectángulo

Ejemplo:

Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 6 m.

3 sen B < 1. Una o dos soluciones

Ejemplos:

1 Resuelve el triángulo de datos: A = 60°, a = 8 m y b = 4 m.


85



86

EJERCICIOS PARA RESOLVER

1 De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes

elementos.

2 De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°. Calcula los restantes

elementos.





7 Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 22 m y c = 17 m.

8 Calcula la al tura, h, de la figura:


87

9 Calcula la distancia que separa el punto A del punto inaccesible B.

10 Calcula la distancia que separa entre dos puntos inaccesibles A y B.


88

11 Calcular el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A = 45°, B = 72° y

a=20m.

12 El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las

tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud

36 m.

13 Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman

es de 48° 15'. Calcular los lados.

Ejemplo: En el triángulo se cumple: C

a = 10m

b = 5 √2 m a C b

α B = 30°

Hallar: α A

B A

c

senA = a . senB senA = 10m . sen30° = senA = 10m . 1/2

B 5√2m 5√2m

senA = 10 m senA = 1 = 0,7071067 equivale a 45°

2 √2

5√2m


89

Resuelve aplicando la ley del Seno:

1)b a = 20 m 2) αA = 80° 30’

b = 50 m αB = 40° 40’

α = 68° 20’ a = 250 m

Calcular αB y αC Hallar b

3) a = 34 m 4) c = 34 m

b = 25 m αA = 23° 12’

αB = 23°56’ αC = 34° 45’

Hallar senA Hallar: a

Deducir la Ley del Coseno a partir del producto escalar de vectores:

Fórmulas: a . b = / a / . / b / . cos α cos α = a . b

/ a / . / b /

b = a2 + c

2 – 2ac . Cos β Cos A = b

2 + c

2 – a

2

2 . b . c

Cos B = a2 + c

2 – b

2

2 . a . c

Ejemplo: Calcular a . b = 30°, sabiendo que c . d = 120°; / a / = 3; / b / = 4

/ d / = 2; / c / = 5

Resuelve

éstos

ejercicios


90

a . b = / a / . / b / . Cos α / a / . / b / . 30° = 3 . 4 . √3/2

= 12 . √3/2 = 6 √3

c . d = / c / . / d / . cos 180° - 120° cos 60° = 1/2

c . d = -5 . 2 . 1/2 = c . d = -5 ( por sentido contrario)

Resuelve los siguientes ejercicios:

1) Hallar el producto a . b, dónde : / a / = 4 ; / b / = 5 , dirección inclinada 60° con la

horizontal y sentido ascendente hacia la derecha.

2) Dado a . b = 20, dónde / a / = 5 y / b / = 8. Calcular el ángulo que forman los vectores.

3) Calcular a . b = 45°, sabiendo que c . d = 90° ; / a / = 5

/ b / = 6 ; / d / = 4 ; / c / = 5 En el triángulo se conocen:

α B = 82° 30’ A

c = 40 m c b

a = 80 m


91

Hallar . b B a C

5) En el triángulo conocemos que : a = 10 m ; b = 40 m y c = 70 m.

Calcular el ángulo de A.

b

c A

B C

A

6) En el triángulo conocemos:

a = 64 m

b = 48 m C a

c = 80 m b

Calcular: α A y α B A c B


92

Funciones Directas: las funciones trigonométricas directas son uniformes ( tienen un solo valor).

Funciones Inversas: las funciones trigonométricas inversas son multiformes (tienen varios valores).

Ejemplos:

1) Tg x = √3 inversa = x = arc, tg √3 ó x = Tg-1

√3

2) Cos x = √2/2

inversa = x = arc, Cos √2/2 ó x = Cos-1

√2/2

FUNCIONES TRIGONOMÈTRICAS INVERSAS

10


93

Resolver las ecuaciones trigonométricas inversas:

1) Resolver Cos x = 1/2 ; 0 < x < 90°

x1 = arc, Cos 1/2 = x1 = Cos 1/2 = Inv.Cos-1

= x1 = 60°

2) Resolver Sen x = 1/2

x1 = arc,Sen1/2 = x1 = Sen 0,5 = inv. Sen-1

= x1= 30°

x2 = 150°

150° 30°

Resolver las siguientes ecuaciones aplicando inversa:

1) Resolver Cos x = √2/2 0° < x < 90°

2) Resolver Sen x = √3/2 0° < x < 90°

3) Resolver tg x = 1 0° < x < 360°

4) Resolver 2 Sen x + 1 = 0 0° < x < 360°

5) Resolver √2 Cos x – 1 = 0 0° < x < 360°


94

Función arcoseno

f(x) = arcsen x

Dominio : [-1, 1]

Recorrido :

Continua : (-1, 1)

Decreciente : (-1, 1)


95

f(x) = arccosen x

Dominio : [-1, 1]

Recorrido :

Continua : (-1, 1)

Decreciente : (-1, 1)


96

Función arcotangente

f(x) = arctg x

Dominio :

Recorrido :

Continua en:

Creciente en :


97

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Son aquéllos cuya suma es 90º ó /2 radianes.

Ejemplos

ANGULOS COMPLEMENTARIOS

Y ANGULOS SUPLEMENTARIOS 11


98

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

Son aquéllos cuya suma es 180° ó radianes.

Ejemplos


99

ÁNGULOS QUE SE DIFERENCIAN EN 180°

Son aquéllos cuya resta es 180° ó radianes.

Ejemplos

ANGULOS QUE SE DIFERENCIAN EN 180°

ANGULOS OPUESTOS

ANGULOS NEGATIVOS Y MAYORES DE 360°

12


100

ÁNGULOS OPUESTOS

Son aquéllos cuya suma es 360º ó 2 radianes.


101

Ejemplos


102

ÁNGULOS NEGATIVOS Y MAYORES DE 360°

Ángulos negativos

El ángulo es negativo si se desplaza en el sentido del movimiento de las agujas del reloj.

-α = 360° - α

Ejemplo:


103

Ángulos mayores de 360º

Ángulos que se diferencian en un número entero de vueltas.


104

Ejemplo:


105

Transformación de operaciones

1 Transformaciones de sumas en productos

Ejemplos:

TRANSFORMACIÓN DE OPERACIONES

TRIGONOMÉTRICAS 13


106

2 Transformaciones de productos en sumas

Ejemplos:


107

Sistema de Coordenadas:

y

x

Cuando las rectas secantes en el plano son perpendiculares, el sistema cartesiano se llama rectangular u

ortogonal.

Se dice que hay relación en el plano, ya que hay que buscar la forma de unir dos puntos de dos rectas.

L´

L

0

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS 14


108

Trazamos por un punto (p) cualquiera recta paralela dada, cuyos puntos de corte son (a y b).

b L’ p

L

0 a

Se observa que el par (a, b) representan rectas reales del mismo origen, entonces (a, b) ε R x

Para representar los puntos en el plano, necesitamos dos rectas perpendiculares,

llamados ejes cartesianos o ejes de coordenadas:

El eje horizontal se l lama eje X o eje de abscisas.

El eje vertical se llama eje Y o eje de o rdenadas.

El punto O, donde se cortan los dos ejes, es el origen de coordenadas.

Las coordenadas de un punto cualquiera P se representan por (x, y).

La primera coordenada se mide sobre el eje de abscisas, y se la denomina

coordenada x del punto o abscisa del punto.

La segunda coordenada se mide sobre el eje de ordenadas, y se le llama

coordenada y del punto u ordenada del punto.


109

Representar puntos en el plano:

1) Situar los puntos. a(3,2) ; b(2,-1) ; c(1,-2)

y

3

2 a

1 x

-1 0 1 2 3

-1 b

-2 c

EJERCICIOS


110

Escoge la opción correcta:

1En el dibujo siguiente se señala el. . .

eje de abcisas.

eje de ordenadas.

eje vertical .

2En el dibujo siguiente se señala el. . .


111

el eje de ordenadas.

el eje vertical.

Las dos respuestas anteriores son correctas.

3La primera coordenada de un punto...

siempres se encuentra en el eje X.

siempres se encuentra en el eje Y.

Ninguna de las dos respuestas anteriores son correctas.

4La segunda coordenada de un punto...

se l lama abcisa del punto.


112

se l lama ordenada del punto.

Ninguna de las dos respuestas anteriores es correcta.

5El origen de coordenadas es el punto.. .

(0,0)

donde se cortan los dos ejes de coordenadas.

Las dos respuestas anteriores son correctas.

6Los ejes cartesianos o ejes de coordeandas...

siempres son perpendiculares.

siempres son secantes y pueden ser o no perpendiculares.


113

Las dos respuestas anteriores son co rrectas.

7El punto A se encuentra situado en.. .

el eje X.

el eje Y.

el origen de coordenadas.

8El punto B se encuentra situado en.. .


114

el eje de abicsas.


Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

9El punto C se encuentra situado en.. .

el eje de abcisas.


Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.


115

10El punto P de la figura puede tener coordenadas. ..

P(x,1)

Función real de variable real:

Son las funciones de la forma f: x R en donde x es un subconjunto de R(x R).

Variable: es una letra que representa indistintamente cualquiera de los elementos de un conjunto de números.

A este conjunto de números se le llama dominio de la variable.

En la aplicación f : x R , como x es un subconjunto de R, llamamos x a cualquiera de los números del

conjunto x, es decir, x es la variable independiente porque se le da valores arbitrarios.

Graficar funciones reales:

Pasos:

a) Se calculan las imágenes de los elementos del dominio según la función dada.

FUNCIÒN REAL DE VARIABLE REAL 15


116

b) Se calcula los pares y con ellos se elabora una tabla de valores en forma vertical u horizontal, según el

número de puntos.

c)Se dibuja en un sistema cartesiano ortogonal los pares.

Concepto de función

Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un

determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.

f : D

x f(x) = y

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se

designa por D.

El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.

Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa

por f(x). Luego

y= f(x)

Se denomina recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).


117

Dominio de una función

Dominio de la función polinómica entera

El dominio es R, cualquier número real tiene imagen.

Dominio de la función racional

El dominio es R menos los valores que anulan al denominador (no puede existir un número cuyo

denominador sea cero).

Dominio de la función irracional de índice impar

El dominio es R.

Dominio de la función irracional de índice par

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que

cero.

Dominio de la función logarítmica

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor que cero.

Dominio de la función exponencial

El dominio es R.


118

Dominio de la función seno

El dominio es R.

Dominio de la función coseno

El dominio es R.

Dominio de la función tangente

Dominio de la función cotangente

Dominio de la función secante


119

Dominio de la función cosecante

Dominio de operaciones con funciones

Gráfica de funciones

Si f es una función real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado por la función fle corresponde en el

plano cartesiano un único punto P(x, y) = P(x, f(x)). El valor de x debe pertenecer al dominio de

definición de la función.

Composición de funciones

Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido

de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor

de g[f(x)].

f o i = i o f = f


120

Función inversa o recíproca

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1

que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f−1

(b) = a.

f o f -1

= f -1

o f = x

Cálculo de la función inversa

1.Se escribe la ecuación de la función en x e y.

2.Se intercambian las variables.

3.Se despeja la variable x en función de la variable y.

Crecimiento y decrecimiento

Tasa de variación

El incremento de una función se llama tasa de variación, y mide el cambio de la función al pasar de un

punto a otro.

t.v.= f(x+h) - f(x)

Función estrictamente creciente

f es estrictamente creciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca

la entorno de a se cumple:


121

La tasa de variación es positiva.

Función creciente

f es creciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de

a se cumple:

La tasa de variación es positiva o igual a cero.

Función estrictamente decreciente

f es estrictamente decreciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que

pertenezca la entorno de a se cumple:

La tasa de variación es negativa.


122

Función decreciente

f es decreciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno

de a se cumple:

La tasa de variación es negativa o igual a cero.

Cotas

Función acotada superiormente

Una función f está acotada superiormente si existe un número real k tal que para toda x es f(x) ≤ k.

El número k se llama cota superior.

Función acotada inferiormente

Una función f está acotada inferiormente si existe un número real k′ tal que para toda x es f(x) ≥ k′ .

El número k′ se llama cota inferior.

Función acotada

Una función esta acotada si lo está a superior e inferiormente.

k′ ≤ f(x) ≤ k


123

Máximo absoluto

Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier

otro punto del dominio de la función.

Mínimo absoluto

Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro

punto del dominio de la función.

Máximo y mínimo relativo

Una función f tiene un máximo relativo en el punto a si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al

punto a.

Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al

punto b.

Simetría

Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando para todo x del dominio se verifica:

f(-x) = f(x)

Las funciones simétricas respecto del eje de ordenadas reciben el nombre de funciones pares.

Simetría respecto al origen

Una función f es simétrica respecto al origen cuando para todo x del dominio se verifica:


124

f(-x) = -f(x)

Las funciones simétricas respecto al origen reciben el nombre de funciones impares.

Funciones periódicas

Una función f(x) es periódica, de período T, si para todo número entero z, se verifica:

f(x) = f(x + z T)

Si tenenos una función periódica f(x) de periodo T , la función g(x) = f(kx) tiene de

periodo :

Tipos de funciones reales:

a) Funciones algebraicas.

b) Funciones trascendentes.

c) Funciones directas.

d) Funciones inversas.

Recuerda que

existen cuatro

funciones reales


125

Representa los puntos en el plano:

1) a(3,6) ; b(-3,()) ; c(-5,-.3) 2) a(2,-4) ; b(4,3) ; c(-2,-5)

3) a(2,1) , b(5,-8) ; c(-2,-4) 4) a(3,9) ; b(5,-3) ; c(-6,4)

Representa las siguientes funciones reales:

1) f(x) = 3x –1 donde x = {-2,-1,0,1,2} 2) f(x) = x2+ 3 donde x = {-2,-1,0,1,2}

3) f(x) = -x –5 donde x = {-2,-1,0,1,2 4) f(x) = x donde x = {2,4,9,16}

2

Ejercicios de funciones reales

1 Calcular el dominio de las funciones polinómicas:

1

2

2 Calcular el dominio de las funciones racionales:

1

2


126

3

4

5

3 Calcular el dominio de las funciones radicales:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

4 Calcular el dominio de las funciones exponenciales:

1

2

5 Calcular el dominio de las funciones logarítmicas:

1


127

2

6 Calcular el dominio de las funciones trigonométri cas:

1

2

7 Estudia la simetría de las siguientes funciones:

1 f(x) = x6 + x

4 − x

2

2 f(x) = x5 + x

3 − x

3 f(x)= x |x |

4 f(x) = |x | − 1

8 Estudia el crecimiento o decrecimiento de las siguientes funciones en los puntos que

se indican:

1 f(x) = 5x² - 3x + 1 en x = 1

2

9 Hallar las funciones inversas de:

1

2

3

4

10 Dadas las funciones:


128

Calcular:

1

2

3

4

5

6

7 Probar que:

El Dominio en funciones continuas y discontinuas:

Cuando las funciones tienen como denominador la variable o una función de ella, es necesario determinar

para que valores de x dicho denominador se anula; pues como no está definida la división por cero, estos

valores hay que eliminarlos, por lo tanto, para determinar el dominio de dichas funciones se procede así:

a) Se iguala a cero el denominador.

b) Se resuelve la ecuación resultante.

c) Se excluyen las raíces de la ecuación anterior.

DOMINIO DE FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS

16


129

Ejemplo: Determinar el dominio f(x) = 2

x + 1

x + 1 = 0 donde x = -1

R – {-1} dominio es todo el campo real menos (- 1)

Calculo del Dominio en una raíz:

Cuando las funciones tienen bajo el signo de raíz de índice par a la variable independiente x, es

necesario que dicha parte radical sea cero o positiva, para que la función esté definida, por lo tanto, para

determinar el dominio de este tipo de funciones, se procede así:

1) Se forma una inecuación con la parte sub-radical mayor o igual a cero.

2) Se resuelve dicha inecuación.

3) La respuesta de dicha inecuación es el dominio.

Ejemplo: Determinar el dominio f(x) = x + 3

x + 3 0 x -3

-3 -2 -1 0 1

-3,


130

Determina el dominio de las funciones:

1) f(x) = 3x 2) f(x) = 4x - 2

x2-4 3x – 6

3) f(x) = 3x + 1 4) f(x) = x

x2+5x+6 x

2 – 9

Determina el dominio de las raíces:

1) f(x) = 2x-4 2) f(x) = x – 1

3) f(x) = x2- 4x + 3 4) f(x) = 6x + 12

Las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas

son continuas en todos los puntos de su dominio.

La función es continua en − {3}. En x = 3 no es continua porque no está definida.


131

Funciones definidas a trozos

Las funciones definidas a trozos son continuas si cada función lo es en su intervalo de definición, y si

lo son en los puntos de división de los intervalos, por tanto tienen que coincidir sus límites laterales.

La función es continua en .

Porque las funciones que la componen son polinómicas y los límites laterales en los puntos de división

coinciden.


132

Operaciones con funciones continuas

Si f y g son continuas en x = a, entonces:

f + g es continua en x = a.

f · g es continua en x = a.

f / g es continua en x = a, si g(a) ≠ 0.

f ο g es continua en x = a.

EJERCICIOS

1 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

1

2

3

4

5

6

2 Estudia la continuidad de f(x) en x = 0.


133

3 Estudia, en el intervalo (0,3), la continuidad de la función:

4 ¿Son continuas las siguientes funciones en x = 0?

1

2

5 Dada la función:

1 Demostrar que f(x) no es continua en x = 5.

2 ¿Existe una función continua que coincida con f(x) para todos los valores x ≠ 5? En

caso afirmativo dar su expresión.

6 Estudiar la continuidad de la función:

7 Estudiar la continuidad de la función f(x) = x · sgn x

8 Estudiar la continuidad en x = 0 de la función:

9 Calcular el valor de a para que la función siguiente sea continua:


134

10 La función definida por:

es continua en [0, ∞).

Hallar el valor de a que hace que esta afirmación sea cierta.

1 Estudia, en el intervalo (0,3), la continuidad de la función:

2 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

1

2

3

4

5

6

3 Estudia la continuidad de f(x) en x = 0.


135

4 ¿Son continuas las siguientes funciones en x = 0?

1

2

5 Encontrar los puntos de discontinuidad de la función f(x) = x2 + 1 + |2x − 1| .

6 Dada la función:

Determinar los puntos de discontinuidad de la función.

7 Estudiar la continuidad de la función:

8 Estudiar la continuidad de la función f(x) = x · sgn x

9 Estudiar la continuidad en x = 0 de la función:


136

10 Dada la función:

1 Demostrar que f(x) no es continua en x = 5.

2 ¿Existe una función continua que coincida con f(x) para todos los valores x ≠ 5? En

caso afirmativo dar su expresión.


Determinar el valor de a para que la función sea continua para x = 3.

12 Calcular el valor de a para que la función siguiente sea continua:

13La función definida por:

es continua en [0, ∞).

Hallar el valor de a que hace que esta afirmación sea cierta.

14 Sea la función:


137

Determinar el valor de a para que f(x) sea continua.

15 Calcular el valor de k para que la siguiente función sea continua.

16 Se considera la función

Si f(2) = 3, determinar los valores de a y b para que f(x) sea continua.


Hallar a y b para que la función sea continua.

18 Calcular los valores de a y b para que la siguiente función sea continua.

19 Dada la función

Determinar a y b de modo que la función f sea continua para todo valor de x.


138

Definir la función exponencial con exponente real:

R f(x) = ax R

*+

Significa que dado un número R, obtendremos una imagen R*+, a través de la expresión

f(x) = ax , siendo a 0 y a 1.

Como al hacer operaciones con números irracionales los sustituimos por su expresión decimal aproximada,

al potenciar con exponentes irracionales, sustituimos el exponente irracional por su expresión decimal

aproximada.

Ejemplos: 1) a2

= a1,41

2) a = a

3,141

Propiedades de la función exponencial mediante su crecimiento o decrecimiento:

FUNCIÒN EXPONENCIAL 17


139

a) Crecimiento: cuando la función es creciente, o sea que los valores muy grandes, se obtienen valores también

grandes de f(x). Se dice que la función es sobreyectiva porque el rango y el conjunto de valores coinciden, es

decir, todos los elementos de R*+ tienen contraimagen.

Es inyectiva porque a elementos diferentes de R, corresponden elementos diferentes de R*+.

Como es sobreyectiva e inyectiva, es biyectiva.

y = f(x)

x

Decrecimiento: la función es decreciente, porque para valores positivos muy grandes de x, se obtienen valores

muy pequeños de f(x), y para valores negativos muy grandes de x se obtienen valores muy grandes de f(x).

y = f(x)

x


140

Función exponencial

La función exponencial es del tipo:

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax

se

llama función exponencial de base a y exponente x.

Ejemplos

x y = 2x

-3 1/8

-2 1/4

-1 1/2

0 1

1 2

2 4

3 8


141

x y = (½)x

-3 8

-2 4

-1 2

0 1

1 1/2

2 1/4

3 1/8


142

Propiedades de la función exponencial

Dominio: .

Recorrido: .

Es continua.

Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica.

Es inyectiva a ≠ 1(ninguna imagen tiene más de un original).

Creciente si a > 1.

Decreciente si a < 1.

Las curvas y = ax e y = (1/a)

x son simétricas respecto del eje OY.


143

FUNCIONES EXPONENCIALES

Comenzaremos observando las siguientes funciones: f(x) = x2 y g(x) = 2

x. Las funciones

f y g no son iguales. La función f(x) = x2 es una función que tiene una variable elevada a un exponente

constante. Es una función cuadrática que fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2x

es una función con

una base constante elevada a una variable. Esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial.

Definición: Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = bx , donde b y x son

números reales tal que b > 0 y b es diferente de uno.

El dominio es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números

reales positivos.

1) f(x) = 2x


144

Propiedades de f(x) = bx, b>0, b diferente de uno:

1) Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).

2) Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.

3) El eje de x es la asíntota horizontal.

4) Si b > 1 (b, base), entonces bx aumenta conforme aumenta x.

5) Si 0 < b < 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x.

6) La función f es una función uno a uno.

Propiedades de las funciones exponenciales: Para a y b positivos, donde a y b son diferentes de uno

y x, y reales:

1) Leyes de los exponentes:


145

2) ax = a

y si y sólo si x = y

3) Para x diferente de cero, entonces ax = b

x si y sólo si a = b.

Ejemplo para discusión: Usa las propiedades para hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones:

1) 2x = 8

2) 10x = 100

3) 4 x - 3

= 8

4) 5 2 - x

= 125

Ejercicio de práctica: Halla el valor de x:

1) 2x = 64

2) 27 x + 1

= 9


146

La función exponencial de base e

Al igual que e es un número irracional donde e = 2.71828... La notación e para este número fue dada por

Leonhard Euler (1727).

Definición: Para un número real x, la ecuación f(x) = ex define a la función exponencial de base e.

Las calculadoras científicas y gráficas contienen una tecla para la función f(x) = ex.

La gráfica de f(x) = ex es:

El dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el conjunto de los números reales positivos.


147

La función f(x) = ex es una función exponencial natural. Como 2<e<3, la gráfica de

f(x) = ex está entre f(x) = 2

x y f(x) = 3

x, como se ilustra a continuación:

En la simplificación de expresiones exponenciales y en las ecuaciones exponenciales con base e usamos las

mismas propiedades de las ecuaciones exponenciales con base b.

Ejemplos: Simplifica.

Ejemplo: Halla el valor de x en e x + 1

= e 3x - 1

Práctica:

1) Simplifica: (e 3x + 1

) (e 2x – 5

)

2) Halla el valor de x en e3x – 4

= e2x


148

La gráfica de la función exponencial f(x) = e-x

es:

Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13


149

14

15

16

17

18

19

Resuelve y grafica las funciones exponenciales:

1) f(x) = 2x donde x =1,2,3,4 2) f(x) = (1/2)

x donde x = 2,1,0,1

3) f(x) = 3x+1 donde x = 0,1,2,3 4) f(x) = 5 – 1

x donde x = 0,1,2,3

5) f(x) = x + 2x donde x =0,1,2,3 6) f(x) = 3x – 3

x donde x = 1,2,3,4

Función Logaritmo:

R*+ g(x)= lgax R

FUNCIÒN LOGARITMO PROPIEDADES

18


150

.

g() = lga = g() =

Significa que dado un número R*+ se obtendrá una imagen R a través de la expresión g(x)= lgax .

Cuando se dan los valores a y para hallar estamos en la función logarítmica que se anota:

= a donde : = número

a = base

= exponente

lga = donde: a = base

= número

= exponente

a) 25 = 52 = lg525 = 2

b) 1000 = 103 = lg101000 = 3

c) 27 = 33 = lg327 = 3

Se deduce que el logaritmo de un número respecto a cierta base, es igual al exponente a que debe

elevarse dicha base para encontrar el número.

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.


151

Ejemplos

x

1/8 -3

1/4 -2

1/2 -1

1 0

2 1

4 2

8 3


152

x

1/8 3

1/4 2

1/2 1

1 0

2 −1


153

4 −2

8 −3

Propiedades de las funciones logarítmicas

Dominio:

Recorrido:

Es continua.

Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica.

Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).

Creciente si a>1.


154

Decreciente si a<1.

Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1er

y 3er

cuadrante) de la

gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.

Definición de logaritmo


155

Siendo a la base, x el número e y el logaritmo.

Ejemplos

1.

2.

3.


156

4.

5.

De la definición de logaritmo podemos deducir:

No existe el logaritmo de un número con base negativa.

No existe el logaritmo de un número negativo.

No existe el logaritmo de cero.

El logaritmo de 1 es cero.


157

El logaritmo en base a de a es uno.

El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.

Propiedades de los logaritmos

1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo

del divisor.

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del expo nente por el logaritmo de

la base.


158

4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el

índice de la raíz.

5. Cambio de base:

Logaritmos decimales

Son los que tienen base 10. Se representan por log (x).

Logaritmos neperianos

Son los que tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x).


159

Definición

El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para

obtener el número.

Siendo a la base, x el número e y el logarítmo.

Ejemplos

1

2

3

4

5

6

7

8


No existe el logaritmo de un número con base negativa.


160







Propiedades

1 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

Ejemplo


161

2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:

Ejemplo

3 El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:

Ejemplo

4 El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz:

Ejemplo

5 Cambio de base:


162

Ejemplo

Logaritmos decimales y neperianos

Logarítmos decimales

Los logarítmos decimales tienen base 10. Se representan por log (x).

Logarítmos neperianos

Los logarítmos neperianos tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x).

El logaritmo se define como:




163






Propiedades

1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

Ejemplo

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:


164

Ejemplo

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:

Ejemplo

4.El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz:

Ejemplo

5. Cambio de base:


165

Ejemplo

EJERCICIOS

1 Calcular por la definición de logaritmo el valor de y.

1

2

3

4

5

2 Calcula el valor de x aplicando la definición de logarítmo.

1

2

3

4

5

6

7


166

3 Conociendo que log 2 = 0.3010, calcula los siguientes logaritmos decimales.

1

2

3

4

4 Calcular los logaritmos de de las expresiones que se indican:

1

2

3

5 Calcula mediante logaritmos el valor de x.

1

2

3

ECUACIONES LOGARITMICAS

Ecuación logarítmica

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un

logaritmo


167

Para resolver ecuaciones logarítmicas vamos a tener en cuenta:

1 Las propiedades de los logaritmos.

1

2

3

4

5

6

7

2 Inyectividad del logaritmo:

3 Definición de logaritmo:

4 Además tenemos que comprobar las soluciones para verificar que no tenemos logaritmos nulos o

negativos.

Ejemplos

1.


168

En el primer miembro aplicamos del logaritmo de un producto y en segundo la pro piedad

del logaritmo de una potencia.

Teniendo en cuenta la inyectividad de los logartmos tenemos:

Resolvemos la ecuación y comprobamos que no obtenemos un logartmo nulo o negativo.

2.

En el 2º miembro aplicamos la propiedad del logaritmo de un cociente.

Restamos en los dos miembros log x y teniendo en cuenta que el log 10 = 1, tenemos:

Teniendo en cuenta la definición de logaritmo y que es un logaritmo decimal:


169

3.

En primer miembro aplicamos la propiedad del producto y en el 2º la de la potencia de

un logaritmo.

Teniendo en cuenta la inyectividad de los logaritmos tenemos:

Resolvemos la ecuación y comprobamos la solución.

4.

Multiplicamos en los dos miembros por log(3x −4).

En el 2º miembro aplicamos la propiedad de la potencia de un logaritmo y tenemos en

cuenta la inyectividad de los logaritmos.


170

Resolvemos la ecuación x = 0 no es solución porque nos encontraríamos al sustituir en la

ecuación nos encontrar íamos en el denominador un logaritmo negativo.

Resolver las ecuaciones logarítmicas

1

2

3

4

5

6

7


171

8

9

10

Transformar los siguientes números:

a) 36 b) 49 c) 100

d) 121 e) 144 f) 196

g) 256 h) 400 i) 625

Determinar las características de la función logarítmica a través de su representación gráfica:

y


172

x

1) Los números negativos no tienen logaritmo.

2) Los números menores que 1 tienen logaritmo negativo.

3) Los números mayores que 1, tienen logaritmo positivo.

4) La función logaritmo es creciente.

Logaritmo Decimal o Briggs:

En el caso particular que la base sea 10 los logaritmos se llaman decimales, vulgares o de Briggs, en honor al

matemático H. Briggs (1561-1630).

Como los logaritmos decimales son los que mas se usan, no se anota la base, por lo tanto, lg10x se anota lgx .

Logaritmo Neperiano:

Es el de base en particular sea el número е = 2,718281 , los logaritmos se llaman naturales o neperianos, en

honor al matemático J. Neper (1550-1617).

Se anota : lnx ó Lx


173

Propiedades de la Función Logaritmo:

1) Cuando a0 = 1 lga1 = 0 El logaritmo de 1 en cualquier base es cero.

2) Cuando a1 = a lgaa = 1 El logaritmo de la base siempre es uno.

3) lga(m.n) lgan + lgam El logaritmo de un producto es igual a la suma de los

logaritmos de los factores.

4) lga(m/n) lgam - lgan El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del

dividendo menos el logaritmo del divisor.

5) lga(mn) n . lgam El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el

logaritmo de la base de dicha potencia.

6) lga n√m lga

m

n

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la parte sub-radical dividido por el índice de la raíz.

Ejemplo: Hallar lgax en x = ab2

c3

El quebrado se forma en resta: lga(ab2) – lga c

3

Lgaa + 2lgab – 3 lgac

Ejemplo: Hallar lgax en x = (m2+b).

4 mb

3

Lgax = lga(m2+b) + lgam + 3lgab

4


174

Aplica logaritmos en:

1) lgax en x = n3. m

2. p

5 2) lgax en = x

2 . y

4 + √m

3

m2 m

3) lgax en x =√p . (r3 . p

4)2 4) lgax en x = (m

2 . n

4) + p

2. n

3

5) lgax en x = a3.p

4.t

5 - p

3.b

2 6) lgax en x = {r

3.p

7+(s

2.r

6)2}

a2.b

3

Definir el Antilogaritmo:

Se define antilogaritmo al número que corresponde un logaritmo dado.

Lgax = lgaA – lgaB su antilogaritmo es x = A

B

Regla para aplicar antilogaritmos:

Todo número, letra o expresión que esté afectada por lga , se transforma en el número, letra o expresión.

lga4 se transforma en 4

lgaA “ “ “ A

lga (2√b) “ “ “ 2√b

1) Los signos operatorios se transforman de manera inversa que al aplicar logaritmos.

La suma se transforma en producto.

La resta se transforma en división.

El producto se transforma en potencia.

La división se transforma en Raíz.


175

2) Todo número, letra o expresión que no esté afectado de lga, se transforma a elevado a dicho número,

letra o expresión.

lga3 se transforma en a3

lgaA se transforma en aA

lgab se transforma en ab

2) Al aplicar antilogaritmo los términos positivos de la expresión logarítmica pertenecen al numerador y los

términos negativos al denominador de la expresión final.

Calcular logaritmos decimales exactos:

Cuando se dispone de una calculadora, que permita obtener los cálculos en forma rápida y precisa, no hace

falta la tabla de valores logarítmicas de los números.

1)Hallar el logaritmo decimal de 48,7

1,6875 característica = 1 mantisa = 6875

2) Hallar el logaritmo decimal de 0,04

-1,3979 característica = -1 mantisa = 3979

Definir la Característica:

Es la parte entera del logaritmo de todo número que no sea una potencia de 10.

Valor de la Característica:


176

1) La característica del logaritmo de un N° mayor que 10 es positiva y su valor absoluto es 1 menos el número

de cifras enteras del número.

2) La característica del logaritmo de un N° comprendido en 1 y 10 es cero.

3) La característica de un N° menor que 1 es negativo y su valor absoluto es 1 más el número de ceros que hay

entre el punto decimal y la primera cifra significativa decimal.

Definir la Mantisa: Es la parte decimal del logaritmo. La mantisa siempre es positiva y se calcula con la

ayuda de las tablas de logaritmos.

Cologaritmo de un Logaritmo:

1) Se calcula el logaritmo del número.

2) A la característica del número se le suma una unidad positiva y al resultado obtenido se le cambia de signo.

3) A ca da una de las cifras de la mantisa se le resta 9 empezando por la izquierda, menos la última cifra

significativa que se resta de 10.

4)Para comprobar los cálculos sumamos el logaritmo con su cologaritmo y el resultado tiene que dar cero.

1) Calcular el cologaritmo del logaritmo 4,252

Característica: 4 + 1 = 5

Mantisa: 252 9-2 = 7

9-5 = 4

10-2 = 8

cologaritmo = 5 , 748 comprobación: 4,252

5,748


177

0

Calcular los cologaritmos de los siguientes logaritmos:

1) 3,263 2) 2,8603 3) 0.087

4) 1,460 5) 16,253 6) 14,073

7) 4,001 8) 0,005 9) 3,7564

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

En las ecuaciones trigonométricas intervienen funciones trigonométricas, que son

periódicas y por tanto sus soluciones se pueden presentar en uno o en dos cuadrantes y además se repiten

en todas las vueltas.

Para resolver una ecuación trigonométrica haremos las transformaciones necesarias para trabajar con

una sola función trigonométrica, para ello utilizaremos las identidades trigonométricas

fundamentales.

ECUACIONES TRIGONOMÈTRICAS 19

http://www.vitutor.com/al/trigo/trigo_1.html

http://www.vitutor.com/al/trigo/trigo_1.html


178

Ejemplos

Resuelve las ecuaciones trigonométricas:

1

2


179

3

Transformamos la suma en producto

Dividimos por 2 en los dos miembros e igualamos cada factor a 0.

4

5

http://www.vitutor.com/al/trigo/trigo_1.html#sp


180

6

7


181

8

9


182

En las ecuaciones trigonométricas intervienen funciones trigonométricas, que son periódicas y por tanto .

sus soluciones se pueden presentar en uno o en dos cuadrantes y además se repiten en todas las vueltas.

Para resolver una ecuación trigonométrica haremos las transformaciones necesarias para trabajar con una

sola función trigonométrica, para ello, utilizaremos las identidades trigonométricas fundamentales.

Aplicando logaritmos:

Son las ecuaciones que tienen la incógnita en forma de exponente. Se resuelven aplicando logaritmos o por

artificio de cálculo.

ECUACIONES EXPONENCIALES 20


183

Resolver 5x+3

= 7x-1

aplicamos logaritmos (x + 3) lg5 = (x-1) lg7

igualamos a un solo miembro x + 3 = lg7

x – 1 lg5

calculamos logaritmos y sustituimos valores lg7 = 0,8451 ; lg5 = 0,6990

x + 3 = 0,8451 = x + 3 = 1,20 = x + 3 = 1,20(x – 1)

x – 1 0,6990 x – 1

x + 3 = 1,20x – 1,20

x – 1,20x = - 1,20 –3

-0,2x = - 4,40

x = - 4,20 x = 21

- 0,20

Resuelve las siguientes ecuaciones:

1) 3x-2

= 52x+1

2) 2x+1

.33x+2

= 44x

+3 3) 2x-5

= 0,003

4) 0,005x-3

= 0,04 5) 62x+9

= 7x-6

6) 0,45x+5

= 84x+2

Ecuaciones Exponenciales:

Se llaman ecuaciones binomias a las que solamente tienen dos términos y para resolverlos se procede así:

1) Se hacen las transformaciones algebraicas necesarias hasta que las bases sean iguales.


184

2) Se igualan los exponentes y se resuelve la ecuación resultante.

Ejemplo: Resolver la ecuación 2x = 32

32 = 52

donde 2x = 2

5 igualamos exponentes x = 5

Ejemplo: Resolver la ecuación 3x-5

= 27

27 = 33 donde 3

x-5 = 3

3 igualamos exponentes x – 5 = 3

x =5 + 3

x = 8

Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente.

Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta:

1.

2.

3. Las propiedades de las potencias.

a0 = 1


185

a1 = a

am

· a n

= am+n

am

: a n

= am - n

(am

)n = a

m · n

an

· b n

= (a · b) n

an

: b n

= (a : b) n

Resolución de ecuaciones exponenciales

Caso 1

Realizar las operaciones necesaria para que en los miembros tengamos la misma base, de modo que

podemos igualar los exponentes.

Ejemplos

1.


186

2.

3.

Caso 2

Si tenemos la suma de los n términos de una progresión geométrica, aplicamos la fórmula:

Ejemplo


187

Caso 3

Cuando tenemos una ecuación más compleja podemos recurrir a un cambio de variable.

Ejemplos

1.

En primer lugar aplicamos las propiedades de las potencias del producto o el cociente, para quitar las

sumas o restas de los exponentes.

Posteriormente realizamos el cambio de variable:

Resolvemos la ecuación y deshacemos el cambio de variable.

2.


188

3.

Deshacemos el cambio de variable en primer con el signo más.

Como no podemos igualar exponentes tomamos logaritmos en los dos miembros y en el primer miembro

aplicamos la propiedad:

Despejamos la x


189

Con el signo negativo no tendríamos solución porque al aplicar logaritmos en el segundo miembro nos

encontraríamos con el logaritmo de un número negativo, que no existe.

Caso 4

Para despejar una incógnita que está en el exponente de una potencia, se toman logaritmos cuya base es

la base de la potencia.

Ejemplo

EJERCICIOS Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales


190

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13


191

14

15

Resuelve las siguientes ecuaciones:

1) 5x = 125 2) 6

x = 36 3) 5

x= 25

4) 0,32x-8

= 0,0081 5) (1/2)x-3

= 1/32 6) 25x-10

= 1

Definir el conjunto de los N° Complejos (Z)

Un número complejo es un par ordenado (a , b) de números reales. Este par de números pertenece al

producto cartesiano: R x R = R2 (a , b) R

2

Unidad imaginaria

La unidad imaginaria es el número y se designa por la letra i .

NÙMEROS COMPLEJOS OPERACIONES

21


192

Números imaginarios

Un número imaginario se denota por b i , donde:

b es un número real

i es la unidad imaginaria

Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando

negativo.

x2 + 9 = 0

Representar Números Complejos:

Ejemplo: Representar los N° complejos Z1 =(4,3) ; Z2= (-2,4) ; Z3 = (3,-2)

y

4

3 Z1

2

1

-2 -1 0 1 2 3 4 x

-1

-2 Z2


193

Z3

Suma de Números Complejos:

Ejemplo: Dados Z1 = (3,4) ; Z2 = (-4,1)

Z1 + Z2 = (3+4) + (-4,1) = 3 + (-4), 4 + 1 = (-1,5)

Resta de Números Complejos:

Ejemplo: Dados Z1 = (4,0) ; Z2 = (-1,3)

Z1 – Z2 = (4,0) – (-1,3) = { 4 – (- 1) , 0 – 3 } = (5,-3)

Producto de Números Complejos:

Dados Z1 = (a1,b1) ; Z2 = (a2,b2)

Fórmula: Z1 . Z2 = (a1 . a2 – b1 . b2 , a1 . b2 + b1 . a2 )


194

Hallar el producto de los N° complejos Z1 = (4,2); Z2 = (-3,1)

Z1 . Z2 = (4,2) . (-3,1) = { 4 . (-3) – 2 . 1 , 4 .1 + 2 . (-3)}

= (-12 –2 , 4 – 6) = (-14,-2)

División de Números Complejos:

Ejemplo. Dados Z1 = (2,4) ; Z2 = (1,0) . Hallar Z1 : Z2

Z1 = (a1 , b1) = a1 . a2 – b1 . b2 , b1 . a2 –a1 . b2

Z2 (a2 , b2) a22 + b2

2 a2

2 + b2

2

Z1 = (2,4) = 2 . 1 + (-3) . 4 , -3 . 2 – (-1) . 4 = (-10,-2)

Z2 (1,0) 12 + 0

2 1

2 + 0

2

Efectúa las siguientes sumas:

1) Z1 = (3,2) ; Z2 = (1,5) 2) Z1 = (-3,-6) ; Z2 = (4,8)

3) Z1 = (-4,8) ; Z2 = (-4,7) 4) Z1 = (4,7) ; Z2 = (7,-3)

5) Z1 = (8,5) , Z2 = (4,1) 6) Z1 = (-4,-9) ; Z2 = (6,-2)


195

Efectúa las siguientes sustracciones:

1) Z1 = (3,2) ; Z2 = (1,-5) 2) Z1 = (-3,-6) ; Z2 = (4,4)

3) Z1 = (-4,2) ; Z2 = (-4-,7) 4) Z1 = (4,-7) ; Z2 = (7,-3)

5) Z1 = (8,5) , Z2 = (4,-5) 6) Z1 = (-4,-9) ; Z2 = (6,-2)

Efectúa los siguientes productos:

1) Z1 = (5,3) ; Z2 = (-3,8) 2) Z1 = (1,2) ; Z2 = (9,6)

3) Z1 = (9,5) ; Z2 = (3,2) 4) Z1 = (5,-3) ; Z2 = (6,4)

Efectúa las siguientes divisiones:

1) Z1 = (5,3) ; Z2 = (-3,8) 2) Z1 = (1,2) ; Z2 = (9,6)

3) Z1 = (9,5) ; Z2 = (3,2) 4) Z1 = (5,-3) ; Z2 = (6,4)

i0 = 1

i1 = i

i2 = −1

i3 = −i

i4 = 1


196

Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i,

se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

Ejemplos

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos.

El eje X se llama eje real .

El eje Y se llama eje imaginario .

El número complejo a + b i se representa:


197

1 Por el punto (a, b), que se l lama su afijo .

2 Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b).

Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X.

Los afijos de los números imaginarios se si túan sobre el eje imaginario , Y.


198

Números complejos en forma binómica

Al número a + b i le l lamamos número complejo en forma binómica.

El número a es la parte real del número complejo.

El número b es la parte imaginaria del número complejo.

Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0 i = a .

Si a = 0 el número complejo se reduce a b i , y se dice que es un número imaginario

puro.

El conjunto de todos números complejos se designa por .


199

Los números complejos a + bi y -a -b i se llaman opuestos .

Los números complejos z= a + b i y z = a − b i se l laman conjugados .

Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la

misma componente imaginaria.

OPERACIONES CON NÉMROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA

SUMA Y DIFERENCIA

La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales y las partes

imaginarias entre sí, respectivamente.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Ejemplo:

(5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i ) =

= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

Multiplicación de números complejos

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto

respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1.

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

Ejemplo:

(5 + 2 i) · (2 − 3 i) =

= 10 − 15i + 4i − 6i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i


200

División de números complejos

El cociente de números complejos se realiza multiplicando numerador y denominador por el conjugado

de este.

Ejemplo:



(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Ejemplo:

(5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i ) =

= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i





Ejemplo:

(5 + 2 i) · (2 − 3 i) =


201

= 10 − 15i + 4i − 6i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i



de este.

Ejemplo:



(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Ejemplo:

(5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i ) =


202

= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i





Ejemplo:

(5 + 2 i) · (2 − 3 i) =

= 10 − 15i + 4i − 6i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i



de este.

Ejemplo:


203

Efectuar (2+ 3i) + (3 - 2i) – (-4+ i)

2 + 3i + 3 – 2i + 4 – i = 9

Ejemplo: Efectuar (3 + 4i) . (2 – 3i)

6 – 9i + 8i – 12i2 = 6 – i + 12 = 18 – i sabemos que i = i

i2 = 1

Efectuar 3 + 2i

4 – 3i

3 + 2i . 3 + 2i = 12 + 9i + 8i + 6i2 = 12 + 17i – 6 = 6 + 17i

4 – 3i 4 – 3i (4)2 – (3i)

2 16 – 9 7 7


204

Efectúa las siguientes operaciones:

1) (3 + 4i) – (8 +6i) – (5 + 4i) 2) (7 – 6i) + (3 – 6i) + (2 – 7i)

3) (4 + 3i) . (6 – 2i) 4) (7 – 2i) . (9 – 5i)

5) 3i 6) 4 + 5i

1 - i 2i

7) 2i 8) 4i + 2

3 – 2i i

Números complejos en forma polar y trigonométrica

Módulo de un número complejo

El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo.

Se designa por |z|.


205

Argumento de un número complejo

El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa

por arg(z).

Para calcular el argumento, calculamos el arcotangente de b/a prescisdiendo de los signos, para ubicar el

cuadrante en que se encuentra tendremos en cuenta:

Expresión de un número complejo en forma polar

z = rα


206

|z| = r (r es el módulo)

arg(z) = α (α es el argumento)

Ejemplos de conversión de la forma polar a la forma binómica:

z = 2120º

Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer lugar a la forma

trigonométrica:

z = rα = r (cos α + i sen α)

Reales e imaginarios puros de módulo unidad:

z =10º = 1

z =1180º = −1

z =190º = i

z =1270º = −i

Ejemplo para pasar a la forma polar

http://www.vitutor.com/di/c/a_12.html



207


El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y

su afijo. Se designa por |z|.


208



por arg(z).




z = rα




z = 2120º

Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer lugar a la forma

trigonométrica:





209


z =10º = 1

z =1180º = −1

z =190º = i

z =1270º = −i





210



por arg(z).



NUMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR O TRIGONOMETRICA


211






por arg(z).




212


z = rα




z = 2120º

Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer lugar a laforma

trigonométrica:





213


z =10º = 1

z =1180º = −1

z =190º = i

z =1270º = −i

OPERACIONES CON LOA FORMA POLAR

Multiplicación de complejos en forma polar

La multiplicación de dos números complejos es otro número complejo tal que:

Su módulo es el producto de los módulos.

Su argumento es la suma de los argumentos.

Ejemplo:


214

Producto por un complejo de módulo 1

Al multiplicar un número complejo z = rα por 1β se gira z un ángulo β alrededor del origen.

División de complejos en forma polar

La división de dos números complejos es otro número complejo tal que:

Su módulo es el cociente de los módulos.

Su argumento es la diferencia de los argumentos.

Ejemplo:


215

División de complejos en forma polar

La división de dos números complejos es otro número complejo tal que:

Su módulo es el cociente de los módulos.

Su argumento es la diferencia de los argumentos.

Ejemplo:

Potencia de complejos en forma polar

La potencia enésima de número complejo es otro número complejo tal que:

Su módulo es la potencia n−ésima del módulo.

Su argumento es n veces el argumento dado.

Ejemplo:

Fórmula de Moivre

Ejemplo:


216

Raíz enésima de complejos en forma polar

La raíz enésima de número complejo es otro número complejo tal que:

Su módulo es la n raíz enésima del módulo.

Su argumento es:


217

Ejemplos


218

Coordenadas cartesianas y polares

Conversión de coordenadas polares a cartesianas

x = r · cos α

y = r · sen α

Ejemplo:


219


10º = (1, 0)

1180º = (−1, 0)

190º = (0, 1)

1270º = −(0, −1)

Conversión de coordenadas cartesianas a polares


220

Ejemplos:


x = r · cos α

y = r · sen α

Ejemplo:


10º = (1, 0)

1180º = (−1, 0)

190º = (0, 1)

1270º = −(0, −1)


221



x = r · cos α

y = r · sen α

Ejemplo:


222


10º = (1, 0)

1180º = (−1, 0)

190º = (0, 1)

1270º = −(0, −1)



223

Números complejos en forma trigonométrica

Forma trigonométrica

a + b i = rα = r (cos α + i sen α)

Formas:

Binómica z = a + b i

Polar z = rα

Trigonométrica z = r (cos α + i sen α)

EJEMPLOS DE CONVERSIÓN


224

Ejemplo 1

Ejemplo de escribir en forma binómica


z =10º = 1

z =1180º = −1

z =190º = i

z =1270º = −i

Ejemplos:


225

Transformación de un N° complejo a forma polar o trigonométrica:

Dado el N° complejo Z = 3 + 3i

r = 32 + 3

2 = r = 9 + 3 r = 12 = 2 3

= arc. tg 3 = 30° Z = a + bi = r(Cos + I Sen ) = r Cis

3

Z = 3 + 3i = 23 (Cos 30° + I Sen 30°) = 23 Cis 30°

Transformar a forma trigonométrica:

1) Z = 4 + 2i 2) Z = 5 + 3i


226

3) Z = 7 + 7i 4) Z = 2 + 6i

5) Z = 5 ( Resp. 5Cis0°) 6) Z = 2i (Resp. 2Cis 90°)

Transformación de un número complejo en forma trigonométrica a forma binómica:

Transformar Z = 2 Cis 60°

Z = 2 Cis 60° = 2(Cos 60° + i Sen 60°) = 2 (1/2 + 3i/2) = 1 + 3

Transformar a forma binómica:

1) Z = 1/3 Cis 150° 2) Z = 2 Cis 300°

3) Z = 5 Cis 45° 4) Z = 6 Cis 30°

5) Z = 7 Cis 60° 6) Z = 8 Cis 90°


227

Sucesión en R:

Se llama sucesión de números reales a toda aplicación de N en R..

( f : N R )

Determinar los elementos de una Sucesión:

f1, f2, f3............fn f1 = primer término

f2 = segundo término

f3 = tercer término

fn = término general

Término general de una Sucesión:

Para calcular cada uno de los términos de la sucesión, se sustituye en la expresión el término general “n” por

0, 1, 2, etc; y así se obtiene el primero, segundo, etc, términos de la sucesión.

Progresión Aritmética:

SUCESIONES Y PROGRESIONES ARITMÈTICAS Y GEOMÈTRICAS

22

¡¡¡¡Ahora Las

sucesiones!!!!!!!!

!


228

Una progresión aritmética es una sucesión de N° reales, tales que cada término se forma, sumando

algebraicamente una cantidad constante al término anterior.

Elementos de una progresión aritmética:

Cantidad constante = r razón

Términos = a1, a2, a3,.......an

a1 = primer término n = N° de términos an = último término

Progresión Geométrica como una función sucesión:

Una progresión geométrica es una sucesión de N° reales, tales que cada término se forma multiplicando por

una cantidad constante al término anterior.

Elementos de una Progresión Geométrica:

Fórmula: an = a1 . rn-1

an = ultimo término

a1 = primer término

r = razón

n = N° de términos


229

Ejemplo de Sucesiones: Calcular la Sucesión fn = 2n

n+1

f0 = 2 . 0 f0 = 0 f1 = 2 . 1 f1 = 1

0 + 1 1+1

f2 = 2 . 2 f2 = 4/3 fn = 0, 1, 4/3, ……. 2n

2+1 n+1

Formulas y despejes:

Término enésimo:

1) an = a1 + (n-1) . r 2) n = an – a1 + 1

r

3) r = an – a1 4) an = a1 . rn-1

n-1

5) a1 = an 6) r = n-1

an

rn-1

a1

Repasa estas fórmulas de sucesiones


230

7) n = lgan – lga1 + 1

lgr

.- Calcular el quinto término de una P. A de razón 2 que empieza en 3.

an = x an = 3 + (5-1) . 2 an = a1 + (n-1) . r

a1 = 3 an = 3 +( 4 . 2)

n = 5 an = 3 + 8

r = 2 an = 11

.- Calcular el N° de términos de una P. A que empieza en 5, termina en 83 y la razón es 3.

n = x n = an – a1 + 1

a1 = 5 r

an = 83 n = 83 – 5 + 1 = n = 78 + 1 = n = 26+1

r = 3 3 3

n = 27

.- Calcular la razón de una P. A que empieza en 8, termina en 40 y tiene 17 términos.

r = x r = an – a1 = r = 40 – 8 = r = 32 = r = 2

a1 = 8 n-1 17-1 16

an = 40

n = 17

.- Calcular el cuarto término de una P. G de razón 1/2 que empieza en 8.

n = 4 an = a1 . rn-1

an = 8 . (1/2)4-1

an = 8 . (1/2)3

an = x


231

r = 1/2 an = 8 . 1/8 an = 1

a1 = 8

.- Calcular la razón de una P. G de cuatro términos que empieza en 3 y termine en 81.

r = x r = n-1

an r = 4-1

81

n = 4 an 3

a1 = 3

an = 81

r = 3 27 r = 3

.- Calcular el último término de una P. G de 5 términos, que empieza en 1/16 y la razón es 2.

an = x an = a1 . rn-1

an = 1/16 . 25-1

an = 1/16 . 24

r = 2

n = 5 an = 1/16 . 16 an = 1

a1 = 1/16

a) Interpolar 4 medios aritméticos entre los números 5 y 20.

a1 = 5 r = an – a1 r = 20 – 5 r = 15 r = 3

an = 20 r-1 6 – 1 5

n = 4+2 = 6

r = x

a1 = 5

a2 = a1 + r = 5 + 3 = 8

a3 = a2 + r = 8 + 3 = 11

a4 = a3 + r = 11 + 3 = 14

a5 = a4 + r = 14 + 3 = 17

a6 = a5 + r = 17 + 3 = 20


232

a) Interpolar 4 medios geométricos entre 2 y 64

a1 = 2 r = n-1

an r = 6-1

64

an = 64 a1 2

n = 4+2 = 6

r = x r = 5 32 r = 2

a1 = 2

a2 = r . a1 = 2 . 2 = 4

a3 = 2 . 4 = 8

a4 = 2 . 8 = 16

a5 = 2 . 16 = 32

a6 = 2 .32 = 64

Calcular la suma de los términos de una P .G de razón ½ que empieza en 2/5 y termina en 50.

S = x S = an . r – a1 S = 50 . (1/2) – (2/5)

r = ½ r –1 (1/2) - 1

a1 = 2/5

an = 50 S =50/2 – 2/5 S = 123/5 S = - 246/5

1 –2 -1/2

2

a)Calcular el término central de una P. G que empieza en √2 y termina en 200√2.

a1 = √2 ac = a1 . an ac = √2 . 200√2

an = 200√2

ac = x ac = 400 ac = 20


233

Calcular las siguientes sucesiones:

1) fn = 3n – 1 2) fn = n + 4

3) fn = 3n + 2 4) fn = 3n –0

n

5) fn = 5 + 3n 6) fn = n2 + 2

2

1) Calcular el tercer término de una P. A de razón 5 que empieza en 4.

2) Calcular el N° de términos de una P. A que empieza en 7, termina en 23 y la razón es 2.

3) Calcular la razón de una P. A que empieza en 10, termina en 25 y tiene 16 términos.

1) Calcular el quinto término de una P .G de razón 6 que empieza en 3.

2) Calcular la razón de una P .G de seis términos que empieza en 5 termina en 56.

3) Calcular el último término de una P .G de 3 términos, que empieza en 6 y la razón es 5.


234

1) Interpolar 5 medios aritméticos entre los números 4 y 25.

2) Interpolar 3 medios diferenciales entre 1/3 y -2/5.

3) Interpolar 6 medios aritméticos entre los números 6 y 30.

1) Interpolar 3 medios geométricos entre 5 y 54.

2)Interpolar 7 medios proporcionales entre 2 y 18.

3) Interpolar 4 medios geométricos entre 8 y 40.

1) Calcular el término central de una P .G que empieza en 4 y termina en 12.

2) Calcular la suma de los 10 primeros términos de una P . A que empieza en ½ y termina en 2/5.

3) Calcular el N° de términos de una P. A que empieza en 4, termina en 100 y la suma vale 520.


235


236


237


238

INTRODUCCIÓN

La estadística está relacionada con el estudio de procesos cuyo resultado no es predecible y también con

la obtención de conclusiones para tomar decisiones razonables de acuerdo con tales análisis.

PROMEDIO

Es el valor representativo de un conjunto de datos, también se conoce como Medidas de centralización.

TIPOS DE MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN

Media aritmética, mediana y moda.

PARA DATOS NO AGRUPADOS

Media aritmética ( X ) . Es el valor promedio de una distribución y se calcula sumando las puntuaciones

y dividiendo por el número de puntuaciones

Ecuación:

n

x

n

xxxX n.......21

Ejemplos

Calcular la media aritmética de las siguientes cantidades: 12; 18; 10; 8; 5; 3

Ecuación:

n

x

n

xxxX n.......21

3,99

56

6

358101812

X

Resolver problemas en los cuales se utilicen nociones

elementales de estadística.

Resolver problemas en los cuales se utilicen nociones

elementales de probabilidad.

23


239

Cálculo de la Mediana.- Se pueden presentar dos casos:

Caso 1

Ejemplos

Dados los siguientes valores: 9; 15; 17; 29, calcular la Mediana

16162

32

2

1715

MeMe

Caso 2

Ejemplos

Dados los siguientes valores: 5; 12; 20 30; 47 , calcular la Mediana. Me= 20

Moda (Mo).-Es el valor que se repite con mayor frecuencia, es decir, es el valor más común.

Ejemplos

Hallar la moda de los siguientes números: 8; 5; 9; 7; 3; 4; 10; 8; 9; 2; 8

Mo= 8

DISTRIBUCIÓN DE DATOS EN INTERVALOS DE CLASES

Los pesos de los alumnos de un salón de clases son:

Si el número de puntuaciones es par, la mediana es el punto medio entre los

dos valores centrales, cuando las puntuaciones están ordenadas.

Si el número de puntuaciones es impar, la mediana es la puntuación que se

encuentra en la mitad, cuando éstas están ordenadas.


240

Agrupar a todos los alumnos en n intervalos de clases (n=5). Para agrupar estos datos se procede así:

Se calcula el rango (es la diferencia entre el mayor y el menor valor de un conjunto de números).

Ecuación: 245983 iS LLR

Se calcula la amplitud del intervalo (c)

Ecuación ;1

n

Rc

5

5

25

5

124

c

Pasamos a agrupar los datos tomando en cuenta el intervalo de clases (5).

Clases: 59 - 63

64 - 68

69 - 73

74 - 78

79 - 83

ACTIVIDAD 1

1) Las calificaciones obtenidas en física del 3er año son:

Agrupar a estos alumnos en 6 intervalos de clases

2) La siguiente tabla presenta las calificaciones obtenidas por 20 estudiantes del 1er año en la asignatura de

matemática:


241

a) Organizar los datos en intervalos de clases igual a 2

b) Calcular la nota promedio a partir de los datos organizados en intervalos de clases.

c) ¿Cuál es la moda?

d) ¿Cuál es la media aritmética?

3) A continuación se presentan las calificaciones obtenidas por los alumnos de un determinado curso:

a) Organizar los datos en intervalo de clases igual a 5.

b) Determinar el rango.

c) Determinar la amplitud del intervalo.

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

Frecuencia absoluta o frecuencia (f). Es el número de veces que se repite un valor en jun conjunto de

datos.

Ejemplos

Las edades de las personas que asistieron a una conferencia fueron:

Frecuencia acumulada (Fa). Es la suma de todas las frecuencias anteriores a dicho valor y a la suya

propia.


242

Ejemplos

PARA DATOS AGRUPADOS

Media aritmética ( X )

Ecuación: n

fPmX

. donde: Pm= Marca de clases

f= frecuencias

n= sumas de las frecuencias de cada marca de clases

Ejemplos

Calculemos la media aritmética a partir de la siguiente tabla, la cual está formada por los pesos de los

alumnos de un salón de clases:

28,6938

2633.

4277.61.612

6359

n

fPmX

fPmPm

Mediana (Me)

Ecuación: cfm

Pmn

LmMe .2


243

De donde:

Me = Mediana

Lm = Límite inferior que contiene la mediana

n= Número de datos

Pm= Frecuencia acumulada anterior al intervalo que contiene la mediana

c= Amplitud de los intervalos

f= Frecuencia del intervalo que contiene la mediana

Ejemplos

Calcular la mediana partiendo de la tabla anterior: cfm

Pmn

LmMe .2

Determinar el intervalo donde se encuentra la mediana así: 192

38

2

n

El intervalo que lo contiene es: [64-68)

Datos:

Lm = 64

Fm = 7

fm= 12

c= 5

n=38

Moda (Mo)

Ecuación: cff

fLiMo .

1

11

De donde:


244

Li = Límite inferior

f+1 = frecuencia de la clase siguiente a la modal

f-1 = frecuencia de la clase anterior a la clase modal

c= Amplitud de la clase modal

Clase modal= 64 – 68. Sustituyendo en la ecuación, calculamos Mo

9,669,2645.58,0645.10

1064 MoMo Mo= 66,9

HISTOGRAMA

Elaborar un histograma y polígono de frecuencia con los siguientes datos

Datos:

Li= 64 ; c= 5

f+1 = 10 ; f-1 = 7


245

En este histograma, la moda se encuentra en el rectángulo de mayor altura

ACTIVIDAD 2

Resolver los siguientes ejercicios:

1) Ordenar los siguientes números en forma creciente y en forma decreciente:

a) 17 45 38 27 6 48 11 57 34 22

b) 19 63 21 9 34 51 2 9 19 88

2) La puntuación final en matemática de 80 estudiantes de UCV se registran en la tabla

Con relación a esta tabla, encontrar:

a) La puntuación más alta.

b) La puntuación más baja

c) El rango


246

d) Las puntuaciones de los cinco estudiantes de mayor puntuación.

e) Las puntuaciones de los cinco estudiantes de mayor puntuación.

f) La puntuación del décimo estudiante de mayor puntuación.

g) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron puntuación de 75 o mayor?

h) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron puntuación mayor que 65 pero no mayor que 85?

j) ¿Qué puntuaciones no tienen ninguno de los estudiantes?

3) Con los datos del ejercicio N° 2

a) Elaborar una tabla agrupando los datos por clases, tomando como intervalo de clases igual a 4.

b) Completa la tabla con la frecuencia absoluta y la frecuencia acumulada.

4) ¿ Cuáles son los puntos medios de los intervalos que se te dan a continuación?

a)[ 66 ; 69 ] ; b) [ 8 ; 16 ] ; c) [09 ; 18 ] ; d) [4,5 ; 10,2] e) [400 ; 499] ; f) [ 70 ; 65 ]

5) La siguiente tabla muestra el peso de 22 estudiantes:

6) Con los datos del ejercicio N° 5 construye una tabla para datos, con un intervalo de clases igual a 3.

a) Completa en tu cuaderno la tabla.

b) ¿Cuál es la suma de f ?

c) ¿Cuál es el total de la suma de x, f ?

d) ¿ Cuál es la media aritmética ?

a) ¿Cuál es el total de la suma de la frecuencia?

b) ¿Cuál es la suma total de Pm. f ?

c) ¿Cuál es la media?


247

7) Un grupo de cuatro alumnos de 3er año obtuvieron las siguientes calificaciones:

a)¿Cuál es la calificación promedio de cada uno?

8) Las calificaciones de un estudiante en siete exámenes fueron: 85; 84; 91; 72; 68; 87 y el 78

a) Ordénalas en forma creciente

b) ¿ Por qué calificación está representada la mediana?

9) Hallar la media, mediana y moda de:

a) 3; 5 ; 2; 6; 5; 9; 5; 2; 8; 6.

b) 51,6 ; 48,7; 50,3; 49,5; 48,9

10) ¿Cuál es la medida de centralización más apropiada en:

b) En una tienda de ropa para niño, el dueño reflexiona sobre las tallas

de medias.

c) Un ingeniero que estudia la duración de 400 tubos de radio

fabricado por WAS & Cía.


248

11) Dado el siguiente cuadro que indica el número de veces que 40 familias fueron durante los meses de agosto

y septiembre de este año a la playa:

a) Hallar la mediana de una distribución de frecuencia de 5 clases

b) Escribir las conclusiones

12) Calcular la moda y la media en cada caso

Espacio Muestral (E)

Ejemplos

S i lanzamos un dado tendríamos seis resultados posibles y lo representamos por el conjunto

E={1,2,3,4,5,6} es el espacio muestral del evento

Se llama espacio al conjunto de resultados posibles que se obtienen al

realizar un evento, donde el resultado está determinado por el azar. El

cardinal del conjunto corresponde al número de posibilidades.


249

EVENTO

Ejemplos

S i lanzamos una moneda al aire hay dos resultados posibles cara o sello.

El espacio muestral lo representaremos por el conjunto:

E={cara, sello}

En el evento nos referimos a un solo resultado cara o sello y se denota así:

E1={cara} y E2={sello} Los subconjuntos E1 y E2 son los eventos del espacio muestral E.

Definición de Estadística

La Estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones, para

poder hacer comparaciones y sacar conclusiones.

Un estudio estadístico consta de las siguientes fases:

Recogida de datos.

Organización y representación de datos.

Análisis de datos.

Obtención de conclusiones.

Un evento, es un subconjunto del espacio muestral E de un experimento

Conceptos:

Población

Una población es e l conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estud io es tadís t ico .

Individuo

Un indiv iduo o unidad estadíst ica es cada uno de los e lementos que componen la población.

Muestra. - Una muestra es un conjunto representat ivo de la población de re ferenc ia, e l número de

ind ividuos de una muest ra es menor que e l de la poblac ión.

Muestreo. - El muestreo es la reunión de da tos que se desea estud iar , obtenidos de una proporc ión

reducida y representat iva de la poblac ión.

Valor. - Un valor es cada uno de los dist intos resul tados que se pueden obtener en un es tudio

es tadís t ico . S i lanzamos una moneda al ai re 5 veces obtenemos dos va lores : cara y c ruz.

Dato.- Un dato es cada uno de los va lores que se ha obtenido al rea l izar un es tudio estadíst ico. Si

lanzamos una moneda a l aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara , cara, cruz , cara , cruz . Una variable

estadíst ica es cada una de las característ icas o cualidades que poseen los indiv iduos de una


250


251


252

Ejemplo: El número de hermanos de 5 amigos: 2 , 1 , 0 , 1 , 3 .

Variable contínua Una variable continua es aquella que puede tomar un número infinito de valores entre dos valores cualesquiera de una característica.

Ejemplos: La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.

En la práctica medimos la altura con dos decimales, pero también se podría dar con tres decimales.

Distribución de frecuencias

La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos

estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente.

Tipos de frecuencias

Frecuencia absoluta

La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico.

Se representa por fi.

La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por N.

Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma mayúscula) que se lee suma o

sumatoria.

Frecuencia relativa

La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total

de datos.

Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por ni.

La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.


253

Frecuencia acumulada

La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o

iguales al valor considerado.

Se representa por Fi.

Frecuencia relativa acumulada

La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y

el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento.

Ejemplo:

Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas:

32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29,

29.

En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a mayor, en la segunda hacemos el

recuento y en la tercera anotamos la frecuencia absoluta.

xi Recuento fi Fi ni Ni

27 I 1 1 0.032 0.032

28 II 2 3 0.065 0.097

29

6 9 0.194 0.290

30

7 16 0.226 0.516

31

8 24 0.258 0.774


254

32 III 3 27 0.097 0.871

33 III 3 30 0.097 0.968

34 I 1 31 0.032 1

31 1

Este tipo de tablas de frecuencias se utiliza con variables discretas.

Distribución de frecuencias agrupadas

La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si

las variables toman un número grande de valores o la variable es continua.

Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A

cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente.

Límites de la clase

Cada clase está delimitada por el límite inferior de la clase y el límite superior de la clase.

Amplitud de la clase

La amplitud de la clase es la diferencia entre el límite superior e inferior de la clase.

Marca de clase

La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo el intervalo para

el cálculo de algunos parámetros.


255

Construcción de una tabla de datos agrupados

3, 15, 24, 28, 33, 35, 3 8, 42, 43, 38, 36, 34, 2 9, 25, 17, 7 , 34, 36, 39 , 44, 31, 26, 2 0, 11 , 13, 22, 27,

47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.

1º Se l ocal izan l os val ores menor y may or de la distribución. En este c as o son 3 y 48 .

2º Se rest an y s e busc a un n úmero en tero u n poco may or qu e l a diferencia y qu e s ea div isibl e por el

número de in terv alos queramos es tabl ec er.

Es convenien te qu e el número de in terv alos oscil e entre 6 y 15.

En es te c as o, 4 8 - 3 = 45, incremen tamos el número hasta 50 : 5 = 10 in terv al os.

Se forman los in terv al os tenien do pres ente que el l ímite inf erior de un a cl as e perten ec e al

interval o, pero el l ímite su perior no pertenece in terv alo, s e cu en ta en el s igu iente interv alo.

c i f i F i n i N i

[0 , 5) 2 .5 1 1 0 .025 0.025

[5, 10) 7 .5 1 2 0 .025 0.050

[10, 15) 12.5 3 5 0 .075 0.125

[15, 20) 17.5 3 8 0 .075 0.200


256

[20, 25) 22.5 3 11 0.075 0.275

[25, 30) 27.5 6 17 0.150 0.425

[30, 35) 32.5 7 24 0.175 0.600

[35, 40) 37.5 10 34 0.250 0.850

[40, 45) 42.5 4 38 0.100 0.950

[45, 50) 47.5 2 40 0.050 1

40 1

Diagrama de barras y polígonos de frecuencias

Diagrama de barras

Un diagrama de barras se utiliza para de presentar datos cualitativos o datos cuantitativos de tipo

discreto.

Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en el eje de abscisas se colocan los valores de la

variable, y sobre el eje de ordenadas las frecuencias absolutas o relativas o acumuladas.

Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia.

Ejemplo:

Un estudio hecho al conjunto de los 20 alumnos de una clase para determinar su grupo sanguíneo ha dado el siguiente

resultado:


257

Grupo sanguíneo fi

A 6

B 4

AB 1

0 9

20

Polígonos de frecuencia

Un polígono de frecuencias se forma uniendo los extremos de las barras mediante segmentos.

También se puede realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y uniéndolos

mediante segmentos.

Ejemplo:

Las temperaturas en un día de otoño de una ciudad. También se puede real izar trazando los puntos que

representan las frecuencias y uniéndolos mediante seg mentos .

Ejemplo:

Las tempera turas en un día de o toño de una c iudad han sufr ido las s iguientes var iac iones:

Hora Temperatura

6 7º


258

9 12°

12 14°

15 11°

18 12°

21 10°

24 8°

Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente para

las variables cualitativas.

Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es proporcional a

la frecuencia absoluta correspondiente.

El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador de ángulos.

Ejemplos

En una clase de 30 alumnos, 12 juegan a baloncesto, 3 practican la natación, 9 juegan al fútbol y el resto no

practica ningún deporte.


259

Alumnos Ángulo

Baloncesto 12 144°

Natación 3 36°

Fútbol 9 108°

Sin deporte 6 72°

Total 30 360°

Histograma Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras.

Se utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un gran número de datos, y que se

han agrupado en clases.

En el eje abscisas se construyen unos rectángulos que tienen por base la amplitud del intervalo, y

por altura, la frecuencia absoluta de cada intervalo.

La superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados.

Polígono de frecuencia

Para construir el polígono de frecuencia se toma la marca de clase que coincide con el punto medio de

cada rectángulo.

Ejemplo:

El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla:

ci fi Fi


260

[50, 60) 55 8 8

[60, 70) 65 10 18

[70, 80) 75 16 34

[80, 90) 85 14 48

[90, 100) 95 10 58

[100, 110) 105 5 63

[110, 120) 115 2 65

65


261

Histograma y polígono de frecuencias acumuladas Si se representan las frecuencias acumuladas de una tabla de datos agrupados se obtiene el histograma de

frecuencias acumuladas o su correspondiente polígono.


262

f i h i

[0 ,

5) 15 3

[5 ,

7) 20 10

[7 ,

9) 12 6

[9 ,

10) 3 3

50

Un parámetro estadístico es un número que se obtiene a partir de los datos de una distribución estadística.

Los parámetros estadísticos sirven para sintetizar la información dada por una tabla o por una gráfica.

Tipos de parámetros estadísticos Hay tres tipos parámetros estadísticos:

De centralización.


263

De posición

De dispersión.

Medidas de centralización

Nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos.

La medidas de centralización son:


264

Media aritmética

La media es el valor promedio de la distribución.

Mediana

La mediana es la puntación de la escala que separa la mitad superior de la distribución y la inferior, es decir

divide la serie de datos en dos partes iguales.

Moda

La moda es el valor que más se repite en una distribución.

Medidas de posición

Las medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de

individuos.

Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a

mayor.

La medidas de posición son:

Cuartiles

Los cuartiles dividen la serie de datos en cuatro partes iguales.

Deciles

Los deciles dividen la serie de datos en diez partes iguales.

Percentiles

http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_10.html







265

Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales.

Medidas de dispersión

Las medidas de dispersión nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores de la distribución.

Las medidas de dispersión son:

Desviación típica

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.

Se representa por Mo.

Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.

Hallar la moda de la distribución:

2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo = 4

Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima,

la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.

1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9Mo= 1, 5, 9

Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.

2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9

Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos

puntuaciones adyacentes.

0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8Mo = 4

Rango o recorrido

El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística.

Desviación media

La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a

la media.





266

Cálculo de la moda para datos agrupados 1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.

Li es el límite inferior de la clase modal.

fi es la frecuencia absoluta de la clase modal.

fi--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la clase modal.

fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.

ai es la amplitud de la clase.

También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta:

Ejemplo:

Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

fi

[60, 63) 5

[63, 66) 18

[66, 69) 42

[69, 72) 27

[72, 75) 8

100


267

2º Los intervalos tienen amplitudes distintas.

En primer lugar tenemos que hallar las alturas.

La clase modal es la que tiene mayor altura.

La fórmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es:

Ejemplo:

En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por

un grupo de 50 alumnos. Calcular la moda.

fi hi

[0, 5) 15 3

5, 7) 20 10

[7, 9) 12 6

[9, 10) 3 3

50

MEDIANA Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.

La mediana se representa por Me.

La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.


268

Cálculo de la mediana

1. Ordenamos los datos de menor a mayor.

2. Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.

2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me = 5

3. Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones

centrales.

7, 8, 9, 10, 11, 12Me = 9.5

Cálculo de la mediana para datos agrupados La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de

las frecuencias absolutas.Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre .

Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

es la semisuma de las frecuencias absolutas.

Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.


La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.

Ejemplo: Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

fi Fi

[60,

63) 5 5

[63,

66) 18 23


269

100/2 = 50

Clase de la mediana: [66, 69)

MEDIA ARITMETICA

La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total

de datos.

es el símbolo de la media aritmética.

Ejemplo:

Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.

[66,

69) 42 65

[69,

72) 27 92

[72,

75) 8 100

100


270

Media aritmética para datos agrupados

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:

Ejercicio de media aritmética

En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula

la puntuación media.

xi fi xi · fi

[10, 20) 15 1 15

[20, 30) 25 8 200

[30,40) 35 10 350

[40, 50) 45 9 405

[50, 60 55 8 440

[60,70) 65 4 260

[70, 80) 75 2 150


271

42 1 820

Propiedades de la media aritmética

1. La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución respecto a la media de la

misma igual a cero.

La suma de las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmética 7.6 es igual a 0:

8 − 7.6 + 3 − 7.6 + 5 − 7.6 + 12 − 7.6 + 10 − 7.6 =

= 0. 4 − 4.6 − 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0

2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a

un número cualquiera se hace mínima cuando dicho número coincide con la media aritmética.

3. Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media

aritmética queda aumentada en dicho número.

4. Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media

aritmética queda multiplicada por dicho número.


272

Observaciones sobre la media aritmética

1. La media se puede hallar só lo para variables cuantitat ivas .

2. La media e s independiente de las a mpli tudes de los intervalos .

3. La media es muy sensib le a las puntuaciones extremas . Si tenemos una distr ibuc ión con los

siguientes pesos:

65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg.

La media es igua l a 74 kg, que es una medida de centra lización poco representat iva de la

dis tr ibución.

4. La media no se puede ca lcular si hay un interva lo con una a mpli tud indeterminada .

x i f i

[60, 63) 61.5 5

[63, 66) 64.5 18

[66, 69) 67.5 42

[69, 72) 70.5 27

[72, ∞ ) 8


273

100

En este caso no es posib le ha llar la media porque no podemos calcular la marca de clase de úl t imo

intervalo.

CUARTILES

Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos

ordenados en cuatro partes iguales.

Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos.

Q2 coincide con la mediana.

Cálculo de los cuartiles

1. Ordenamos los datos de menor a mayor.

2. Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión .

Número impar de datos

2, 5, 3, 6, 7, 4, 9


274

Número par de datos

2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9

Cálculo de los cuartiles para datos agrupados

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las

frecuencias acumuladas.

Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra el cuartil.

N es la suma de las frecuencias absolutas.

Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase del cuartil.


Ejercicio de cuartiles

Calcular los cuarti les de la d istr ibuc ión de la tabla:

f i F i

[50, 60) 8 8


275

[60, 70) 10 18

[70, 80) 16 34

[80, 90) 14 48

[90, 100) 10 58

[100, 110) 5 63

[110, 120) 2 65

65

Cálculo del primer cuartil

Cálculo del segundo cuartil


276

Cálculo del tercer cuartil

DECILES Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.

Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos.

D5 coincide con la mediana.

Cálculo de los deciles.- En primer lugar buscamos la clase donde se

encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra el decil.


Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase el decil..


Ejercicio de deciles

Calcular los deciles de la distribución de la tabla:

fi Fi

[50, 60) 8 8

[60, 70) 10 18


277

[70, 80) 16 34

[80, 90) 14 48

[90, 100) 10 58

[100, 110) 5 63

[110, 120) 2 65

65

Cálculo del primer decil

Cálculo del segundo decil

Cálculo del tercer decil


278

Cálculo del cuarto decil

Cálculo del quinto decil

Cálculo del sexto decil

Cálculo del séptimo decil

Cálculo del octavo decil

Cálculo del noveno decil


279

PERCENTILES Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.

Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos.

P50 coincide con la mediana.

P50 coincide con D5.

Cálculo de los percentiles

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las

frecuencias acumuladas.

Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra el percentil.


Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase del percentil.


Ejercicio de percentiles Calcular e l percenti l 35 y 60 de la distribución de la tabla:

f i F i

[50, 60) 8 8

[60, 70) 10 18

[70, 80) 16 34


280

[80, 90) 14 48

[90, 100) 10 58

[100, 110) 5 63

[110, 120) 2 65

65

Percentil 35

Percentil 60

DESVIACION MEDIA Desviación respecto a la media

La desviac ión respecto a la media es la diferencia en valor absoluto entre cada valor de la var iable

es tadís t ica y la media aritmét ica .

D i = |x - x |

Desviación media La desviación media es la media aritmética de los valores abso lutos de las desviaciones respecto a la

media .

La desviación media se representa por


281

Ejemplo:

Calcular la desviación media de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Desviación media para datos agrupados

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias , la expresión de la desviación media es:

Ejemplo:

Calcular la desviación media de la dis tr ibución :

xi fi xi · fi |x -x| |x - x| · fi

[10, 15) 12.5 3 37.5 9.286 27.858

[15, 20) 17.5 5 87.5 4.286 21.43


282

[20, 25) 22.5 7 157.5 0.714 4.998

[25, 30) 27.5 4 110 5.714 22.856

[30, 35) 32.5 2 65 10.714 21.428

21 457.5 98.57

VARIANZA La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una

distribución estadística.

La varianza se representa por .

Varianza para datos agrupados

Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son

equivalentes a las anteriores.


283

Ejercicios de varianza Ejercicio 1:

Calcular la varianza de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Ejercicio 2:

Calcular la varianza de la distribución de la tabla:

xi fi xi · fi xi2 · fi

[10, 20) 15 1 15 225

[20, 30) 25 8 200 5000

[30,40) 35 10 350 12 250

[40, 50) 45 9 405 18 225

[50, 60 55 8 440 24 200


284

[60,70) 65 4 260 16 900

[70, 80) 75 2 150 11 250

42 1 820 88 050

Propiedades de la varianza 1 La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía.

3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda multiplicada por

el cuadrado de dicho número.

4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede

calcular la varianza total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:

Si las muestras tienen distinto tamaño:

Observaciones sobre la varianza

1 La varianza , a l igua l que la media, es un índ ice muy sensible a las puntuac iones extremas.


285

2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posib le ha llar la varianza .

3 La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones

es tán e levadas a l cuadrado.

DESVIACIÓN TÍPICA

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.

La desviación típica se representa por σ.

Desviación típica para datos agrupados

Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las

anteriores.

http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_10.html#me


286

Ejercicios de desviación típica Ejercicio 1:

Calcular la desviación típica de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Ejercicio 2:

Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:

xi fi xi · fi xi2 · fi

[10, 20) 15 1 15 225

[20, 30) 25 8 200 5000

[30,40) 35 10 350 12 250

[40, 50) 45 9 405 18 225

[50, 60) 55 8 440 24 200

[60,70) 65 4 260 16 900


287

[70, 80) 75 2 150 11 250

42 1 820 88 050

Propiedades de la desviación típica

1 La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean

iguales.

2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación típica no varía.

3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación

típica queda multiplicada por dicho número.

4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivasdesviaciones

típicas se puede calcular la desviación típica total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:

Si las muestras tienen distinto tamaño:


288

Observaciones sobre la desviación típica 1 La desv iac ión t ípica , al igual que la media y la varianza, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.

2 En los casos que no se pueda hal lar la media tampoco será posible hallar la desv iación t ípica .

3 Cuanta más pequeña sea la desviación t íp ica mayor será la concentración de datos alrededor de la media .

COEFICIENTE DE VARIACIÓN Y PUNTUACIONES TÍPICAS

Coeficiente de variación

El coeficiente de variación es la relación entre la desviación típica de una muestra y su media.

El coeficiente de variación se suele expresar en porcentajes:

El coeficiente de variación permite comparar las dispersiones de dos distribuciones distintas, siempre que

sus medias sean positivas.

Se calcula para cada una de las distribuciones y los valores que se obtienen se comparan entre sí.

La mayor dispersión corresponderá al valor del coeficiente de variación mayor.

Ejercicio:

Una distribución tiene x = 140 y σ = 28.28 y otra x = 150 y σ = 24. ¿Cuál de las dos presenta mayor dispersión?

La primera distribución presenta mayor dispersión.

Puntuaciones típicas

Puntuaciones diferenciales

Las puntuaciones diferenciales resultan de restarles a las puntuaciones directas la media aritmética.

xi = Xi − X

Puntuaciones típicas

http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_10.html#me


289

Las puntuaciones típicas son el resultado de dividir las puntuaciones diferenciales entre la desviación típica.

Este proceso se llama tipificación.

Las puntuaciones típicas se representan por z.

Observaciones sobre puntuaciones típicas

La media aritmética de las puntuaciones típicas es 0.

La desviación típica de las puntuaciones típicas es 1.

Las puntuaciones típicas son adimensionales, es decir, son independientes de las unidades utilizadas.

Las puntuaciones típicas se utilizan para comparar las puntuaciones obtenidas en distintas distribuciones.

Ejercicio

En una clase hay 15 alumnos y 20 alumnas. El peso medio de los alumnos es 58.2 kg y el de las alumnas y

52.4 kg. Las desviaciones típicas de los dos grupos son, respectivamente, 3.1 kg y 5.1 kg. El peso de José es de

70 kg y el de Ana es 65 kg. ¿Cuál de ellos puede, dentro del grupo de alumnos de su sexo, considerarse más

grueso?

José es más grueso respecto de su grupo que Ana respecto al suyo.

PROBABILIDAD

La probabilidad tiene dos maneras de definirse:

a) La probabilidad clásica (a priori)

b) La probabilidad con base experimental (a posteriori)

DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD CLÁSICA (A PRIORI)

La probabilidad clásica (a priori) es el cociente entre el número de casos favorables y el


290

ECUACIÓN

N

n

posibles

favorables

casos

casos

de

de

número

númeroobabilidadP Pr

Ejemplos Si se lanza un dado cuál es la posibilidad de que salga 6?

Solución: Cuando lanzamos un dado, tenemos una de cada seis posibilidades de que salga 6, la probabilidad

de este evento está a razón de 6

1.

Para determinar la probabilidad (P) de un evento tenemos que conocer:

n= número de casos favorables= 1

N= número de casos posibles= 6

1666,06

1

N

nP Esto nos indica que la probabilidad de que salga 6 es del 16,66%

número de casos posibles.

La probabilidad con base experimental es el cociente que existe entre el número de

veces que ocurre un caso de interés entre el número de veces que tiene lugar un

experimento.


291

PROBABILIDAD CON BASE EXPERIMENTAL (A POSTERIORI)

Ecuación

N

nerimento

evento

un

un

lugar

ocurre

tiene

que

que

veces

veces

de

de

número

númeroobabilidadP

expPr

Ejemplos

Se lanza una moneda de Bs 100 al aire 30 veces, obteniendo los siguientes resultados.

Número de

lanzamientos

Cara Sello

30 12 18

a) Calcular la probabilidad de que salga cara

b) Calcular la probabilidad de que salga sello

Solución: La probabilidad de que salga cara es=

6,030

18Pr

lanzada

cara

fue

salió

que

que

veces

veces

de

de

número

númeroobabilidadP equivale (60%)


292

Actividades 1

1) ¿De cuántos modos puede dividirse una entrevista de 10 preguntas, para formar 12 entrevistas de 5

preguntas cada una?

2) Determinar la probabilidad en los siguientes casos:

a) La aparición de al menos una cara en dos lanzamientos de una moneda.

b) La obtención de 7 puntos de una sola lanzada de un par dados.

c) La aparición de un as, el 10 de diamante o el 2 de corazones en una sola extracción de una

baraja de 52 cartas.

3) De una caja que contiene 6 pelotas rojas, 4 blancas y 5 azules, se extrae una al azar, determinar la

probabilidad de que sean : a) roja; b) blanca; c) azul; no roja ; e) roja o blanca

4) Hallar la probabilidad de obtener al menos un 4 en dos lanzamientos de un dado.

5) Pedro y Juan juegan 12 veces a las damas, de los cuales Pedro gana 6 veces, Juan gana 4 veces y 2

terminan empatados. Acuerdan jugar un torneo consistente en 3 partidas. Hallar la probabilidad de que:

a) Pedro gane las tres partidas; b) Dos partidas terminen empatados; c) Pedro y Juan ganen

alternativamente; d) Juan gane al menos una partida.

6) Seis parejas de casados se encuentran en un cuarto. Si se escogen dos personas al azar, hallar la

probabilidad de que: a) sean esposos; uno sea hombre y otro mujer.

7) Una clase consta de 10 niños y 20 niñas de los cuales la mitad de los niños y la mitad de las niñas

tienen los ojos verdes . Hallar la probabilidad de que una persona escogida al azar sea niño con los ojos

verdes.

8) Imagínate una rifa en la que han vendido 320 ticket con los números del 1 al 320. Tu has comprado

un ticket que tiene número 75, ¿Cuál es tu probabilidad de ganar?

9) Una bolsa contiene 100 esferas enumeradas de 1 al 100. Antes de sacar al azar una esfera de la bolsa

has apostado que la esfera que salga será el 42, el 45 o el 47. ¿Qué oportunidades tienes de ganar?


293


294

PROCESOS ESTOCÁSTICOS FINITOS Y DIAGRAMAS DE ÁRBOL

Una sucesión de experimentos en los cuales cada uno tenga un número finito de resultados con

probabilidades de se denomina proceso estocástico finito. El diagrama de árbol es una manera de

describir tal proceso y calcular la probabilidad de un evento.

Ejemplos

Tenemos las tres cajas siguientes:

Caja I Contiene 10 bombillos de los cuales 4 fundidos

Caja II Contiene 6 bombillos con 1 fundido

Caja III Contiene 8 bombillos con 3 fundidos

Escojamos al azar una caja y luego sacamos al azar un bombillo. ¿Cuál es la probabilidad p de que el

bombillo esté fundido?

Aquí realizamos una serie de experimentos:

Escogemos una de las tres cajas.

Escogemos un bombillo bueno (B) y fundido (F)


295

La probabilidad de que esta trayectoria de árbol suceda es, según el teorema de la multiplicación, el producto

de la probabilidad de cada una de las ramas de trayectoria, es decir , que la probabilidad de escoger la caja I y

luego un bombillo fundido es: 15

2

5

2.

3

1

Como hay tres trayectorias que conducen a una lámpara defectuosa, la suma de las probabilidades

de todas las trayectorias es la probabilidad buscada.

120

253

8

3.

3

1.

6

1.

3

1.

5

2.

2

1p

Actividades 2


296


297

La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las

posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.

Experimentos deterministas

Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen.

Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la piedra

bajará. Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado

intervalo de tiempo; pero después bajará.

Experimentos aleatorios

Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar.

Ejemplos:

Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz.

Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener.

Teoría de probabilidades

La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda

ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es

más probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas definiciones:

Suceso

Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.

Ejemplos:


298

Al lanzar una moneda salga cara.

Al lanzar un dado se obtenga 4.

Espacio muestral

Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien

por la letra griega Ω).

Ejemplos:

Espacio muestral de una moneda:

E = {C, X}.

Espacio muestral de un dado:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Suceso aleatorio

Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Ejemplos:

Tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5.

Un ejemplo completo

Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular:

1. El espacio muestral.

E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}

2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.

A = {(b,b,b); (n, n,n)}

3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}.

B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}

4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}.

C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}


299

TIPOS DE SUCESOS

Suceso elemental

Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.

Ejemplo

Tirando un dado un suceso elemental es sacar 5.

Suceso compuesto

Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Ejemplo

Tirando un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3.

Suceso seguro

Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral).

Ejemplo:

Tirando un dado obtener una puntuación que sea menor que 7. Suceso imposible

Suceso imposible, , es el que no tiene ningún elemento.

Ejemplo:

Tirando un dado obtener una puntuación igual a 7.

Sucesos compatibles

Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.

Ejemplo:

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es

un suceso elemental común.

Sucesos incompatibles

Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común.

Ejemplo:

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles.

Sucesos independientes

Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya

sucedido o no B.

Ejemplo:

Al lazar dos dados los resultados son independientes.

Sucesos dependientes

Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya

sucedido o no B.

Ejemplo:

Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes.

Suceso contrario

El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A. Se denota por .

Ejemplo:

Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado.


300

Suceso elemental

Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.

Ejemplo

Tirando un dado un suceso elemental es sacar 5.

Suceso compuesto

Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Ejemplo

Tirando un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3.

Suceso seguro

Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral).

Ejemplo:

Tirando un dado obtener una puntuación que sea menor que 7. Suceso imposible

Suceso imposible, , es el que no tiene ningún elemento.

Ejemplo:

Tirando un dado obtener una puntuación igual a 7. Sucesos compatibles

Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.

Ejemplo:

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es

un suceso elemental común. Sucesos incompatibles

Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común.

Ejemplo:

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles. Sucesos independientes

Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya

sucedido o no B.

Ejemplo:

Al lazar dos dados los resultados son independientes. Sucesos dependientes

Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya

sucedido o no B.

Ejemplo:

Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes.


301

Suceso contrario

El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A. Se denota por .

Ejemplo:

Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado. Espacio de sucesos, S, es el conjunto de todos los sucesos a leator ios .

Si t i ramos una moneda e l espac io se sucesos está formado por :

S= { , {C}, {X}, {C,X}}.

Observamos que el pr imer elemento es e l suceso imposible y el ú l t imo e l suceso seguro .

Si E t iene un número f ini to de elementos, n, de e lementos e l número de sucesos de E es 2n

.

Ejemplos:

Una moneda E= {C, X}.

Número de sucesos = 22

=4

Dos monedas E= {(C,C) ; (C,X) ; (X,C); (X,X)}.


=16

Un dado E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.


= 64

Unión de sucesos

La unión de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B.

Es decir, el suceso A B se verifica cuando ocurre uno de los dos, A o B, o ambos.

A B se lee como "A o B".

Ejemplo:

Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3".

Calcular A B.

A = {2, 4, 6}

B = {3, 6}

A B = {2, 3, 4, 6}

Propiedades de la unión de sucesos Conmutativa

Asociativa

Idempotente


302

Simplificación

Distributiva

Elemento neutro

Absorción

Final del formulario

Intersección de sucesos

La intersección de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B.

Es decir, el suceso A B se verifica cuando ocurren simultáneamente A y B.

A B se lee como "A y B".

Ejemplo:


Calcular A B.

A = {2, 4, 6}

B = {3, 6}

A B = {6}

Propiedades de la intersección de sucesos Conmutativa

Asociativa

Idempotente

Simplif icación

Distributiva

Elemento neutro

Absorción

La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.

Es decir, la diferencia de los sucesos A y B se verifica cuando lo hace A y no B.


303

A − B se lee como "A menos B".

Ejemplo:


Calcular A − B.

A = {2, 4, 6}

B = {3, 6}

A − B = {2, 4}

Propiedad de la diferencia de sucesos

El suceso = E - A se llama suceso contrario o complementario de A.

Es decir, se verifica siempre y cuando no se verifique A.

Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par". Calcular .

A = {2, 4, 6}

= {1, 3, 5}

Propiedades


304

Leyes de Morgan

Axiomas de la probabilidad

1.La probabilidad es positiva y menor o igual que 1.

0 ≤ p(A) ≤ 1 2. La probabilidad del suceso seguro es 1.

p(E) = 1

3.Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces:

p(A B) = p(A) + p(B)

Propiedades de la probabilidad

1. La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la probabilidad del suceso

contrario es:

2. Probabilidad del suceso imposible es cero.

3. La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades restándole la probabilidad de su

intersección.

4. Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de éste.

5. Si A1, A2, ..., Ak son incompatibles dos a dos entonces:

6 Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x1, x2, ..., xn} entonces:

Ejemplo:

La probabilidad de sacar par, al tirar un dado, es:

P(par) = P(2) + P(4) + P(6)

Distinguir los subsistemas que conforman un

computador.

Identificar las actividades fundamentales de la

programación.

24

28


305

La computadora es una máquina que recibe información, la elabora y proporciona unos resultados. Su propiedad más característica es la de tratar la información a gran velocidad.

La computadora consta de dos partes: Hardware (parte física) y Software (parte lógica)

HARDWARE

Es toda parte física de la computadora integrada por el conjunto de circuitos electrónicos y dispositivos mecánicos que, actuando conjuntamente bajo la dirección del Software realizan el tratamiento y almacenamiento de la información.

COMPONENTES BÁSICOS DEL HARDWARE

El Hardware está integrado por tres bloques principales: la unidad central del sistema de cómputos, los periféricos de entrada y los periféricos de salida.

Unidad central

Periféricos de entrada

Periféricos de salida

Programas de aplicación

Programas de sistemas

Hardware

Software

Elementos de la computadora


306

Unidad central del sistema de cómputos.- es el conjunto de circuitos que gobiernan el funcionamiento de toda la computadora y el lugar donde se realizan las operaciones sobre los datos a procesar.

Tarjeta de interfase

Tarjeta de principal

Fuente de alimentación

Elementos de la unidad central de cómputos Unidad de CD ROM

Unidad de disco flexible

Disco duro

Gabinete o caja

Dispositivos periféricos son los que hacen posible la comunicación de la unidad central con el entorno. Hay dispositivos de que son los que permiten introducir información al computador para ejecutar determinados procesos.

Además hay dispositivos de salida que son los que reciben la respuesta del computador impresa o auditiva.

Lápiz óptico

Teclado

Escáner

Cámara fotográfica digital

Periféricos de entrada Ratón o mouse

CD ROM

Micrófono

Cámara de video digital

Joysticks


307

Monitor

Periféricos de entrada Impresora

Graficadores o Plotters

SOFTWARE

Comprende la parte lógica del computador y se compone de todos los programas, rutinas y sistemas que

permiten al computador ejecutar funciones.

TIPOS DE SOFTWARE

El software está representado por dos tipos de programa: los de aplicación y los operativos.

Los de aplicación

Son aquellos programas que se encuentran listos para su uso final y sirven para realizar una determinada.

Los operativos

Son aquellos programas que tienen como finalidad ayudar a la creación de otros programas, como es el caso de los lenguajes de programación y de los sistemas operativos.

Los lenguajes de programación permiten decir al computador la tarea que va a realizar a través de una

serie de caracteres, palabras y reglas sintácticas, que se pueden emplear para escribir un programa de

computadora.

Los sistemas operativos son un conjunto de procedimientos para compartir más eficientemente los

recursos físicos y la administración de la computadora.

SISTEMA OPERATIVO

Es el conjunto de programas que hacen funcionar al computador controlando toda la actividad, sus

recursos y la interrelación entre los programas de aplicación y los diversos elementos del computador.

FUNCIONES BÁSICAS DEL SISTEMA OPERATIVO

Ayudar a organizar todo el trabajo.

Regular, controlar, ordenar y establecer una interrelación de comunicación entre la arquitectura del

computador, sus periféricos y los programas de aplicación que se ejecutan.

Permitir la comunicación entre los usuarios, el computador y las aplicaciones que se ejecutan en el

sistema.

Unificar las características de los diferentes equipos de computación.

PROGRAMACIÓN


308

Un programa es una secuencia de instrucciones que indican a la máquina que funciones debe de realizar

y en qué orden.

En la programación se utilizan los términos entrada y salida para designar, respectivamente, a la

información que se suministra al programa, y a la que éste produce como resultado de la ejecución de todos sus

pasos.

LENGUAJES DE PROGRAMACIÓN

Es una serie de caracteres, palabras, sonidos y reglas sintácticas que se pueden emplear para escribir un

programa de computador que permita la solución de problemas generales o particulares. Entre los tipos de

lenguaje de programación están:

Lenguaje de bajo nivel son lenguajes que sólo permiten complicadas combinaciones de unos (1) y ceros

(0)

Lenguaje de alto nivel, son lenguajes para el programador. En estos las instrucciones tienen códigos que

describen la acción a realizar.

ANÁLISIS Y DIAGRAMAS DE FLUJO

Escribir las instrucciones que constituyen un programa es sólo la última fase de un complejo trabajo de

análisis del problema específico y de su síntesis en una estructura compatible con la máquina.

El análisis del problema a resolver lleva a sintetizar incluso las operaciones más complejas en una serie

de funciones elementales representables gráficamente mediante los símbolos adecuados. De esta representación

gráfica se pasa a la escritura de las instrucciones propiamente dichas.

PLANTEAMIENTO DE UN PROGRAMA

Para cada problema de aplicación completa hay que suministrar al computador el programa adecuado.

En las aplicaciones más complejas, para obtener el resultado final, hacen falta diversos programas, cuyo

conjunto se denomina procedimiento.

Antes de iniciar la estructura de un programa hay que conocer los aspectos del problema y el método a

seguir para resolverlo.

Esta fase (planteamiento) es la más delicada, puesto que un error de evaluación puede dar a resultados

negativos o incompletos. El planteamiento de un programa se puede dividir en tres fases.


309

a) Algoritmo para representar el proceso de cambiar un caucho desinflado de un automóvil

1) Identificar el caucho desinflado

2) Verificar si se tiene un caucho de repuesto

3) Si no lo tiene, comprar uno nuevo y sustituir el desinflado por el nuevo.

4) Si lo tiene, observar el estado en que está el caucho de repuesto

5) Si el repuesto está en mal estado llevarlo a reparar y luego sustituir el desinflado.

DIAGRAMA DE FLUJO PARA REPRESENTAR EL PROCESO DE CAMBIAR UN CAUCHO DESINFLADO DE

UN AUTOMÓVIL.

Ejemplos


310

b) Elaborar un diagrama de flujo en donde se encuentre el valor de A, de tal forma que el valor resultante de P sea el

siguiente:


311

Nociones elementales de Informática:

Dato: es la representación de hechos, conceptos o instrucciones de una manera formalizada, ajustada para la

comunicación, interpretación o procedimiento manual o automatizado.

Información: conocimiento adecuado para dar respuesta coherente y lógica a un hecho o fenómeno.

c) Tipos de datos:

Primarios: son los que permiten verificar las transacciones que dan origen al proceso.

Secundarios: se originan de otros datos o de una información, no permiten verificar todas las transacciones.

d) Procesamiento datos: son dispositivos conectados a las computadoras,

capaces de leer en estos soportes la información y escribirla en ellos según se trate de una lectura o de una

escritura.

e) Formas de procesamiento de datos:

.- Medios perforados.

.- Soportes perforados: tarjetas perforadas.

cintas perforadas.

.- Medios magnéticos: tambor magnético.

soporte magnético.

cintas magnéticas.

disco magnético.

.- Medios ópticos.

.- Terminales de teclado-pantalla.

.- Impresora.

Estructura de los computadores: generalmente una computadora normal, está formada por:

Monitor o pantalla.

Teclado.


312

C .P.U

Impresora.

Mouse.

Fax.

Scanner.


313

Partes de un Computador

Unidad de Entrada Unidad de Memoria Unidad de Salida

Traduce palabras y números Almacena datos e

lenguaje a lenguaje de máqui- instrucciones

nas.

Unidad de Control

Controla los cálculos y el orden

de las instrucciones

Traduce el

lenguaje de

máquina a

palabras y

números


314

Unidad Aritmética

Ejecuta todos los cálculos

Unidad Central de Procesamiento

Características de los computadores:

Existen dos tipos de máquinas capaces de ejecutar algoritmo:

.- Con lógica cabienda: la información está impresa en los circuitos.

.- Con lógica programada: admiten la programación de algoritmo por

medio de lenguajes de programación.

Tienen gran velocidad de cálculo.

Tienen gran capacidad de almacenamiento.

Tienen gran precisión.

Son versátiles ya que pueden realizar multitud de trabajos de distintos

Tópicos.

Son automatizadas, ya que la mano del hombre interviene relativamente.

Aplicaciones de los computadores:

Uno de los mayores impactos de la informática ha sido el que ha afectado a los trabajos administrativos de la

oficina, dando lugar a una técnica conocida con el nombre de ofimática.


315

Tareas administrativas del computador:

a) Gestión de personal.

b) Proceso de nóminas.

c) Control de inventarios.

d) Gestión de almacén.

e) Facturación y contabilidad.

f) Análisis de todos los datos relacionados con el negocio.

g) Información de productores, partes y materiales.

h) Estado de cuentas de los clientes.

Aplicaciones Industriales:

Control de procesos industriales.

Robótica industrial.

Diseño.

Otros.

Aplicaciones tecno-científico:

Predicciones meteorológicas.

Control ambiental.

Control de comunicación satelital.

Programas de simulación (vuelos).

Otros.

Aplicaciones médicas:

a) Control clínico del paciente.

b) Mantenimiento de hospitales.

c) Tomografía computarizada.


316

d) Otros.

Concepto de algoritmo:

El algoritmo es un procedimiento general con acciones y decisiones claramente especificado y sin

ambigüedades que conducen a la solución de un problema específico (definido), siguiendo un número infinito

de pasos (instrucciones) ordenadas lógicamente.

Símbolos empleados en el diseño de diagramas de flujo:

Proceso salida - entrada

Operación

Manual decisión

Inicio-fin introducción

manual

magnetic-tape


317

documento punched

card

Representación gráfica de algoritmos :

1) Algoritmo para abrir una puerta

inicio

acercarse a

la puerta

intentar abrirla

dándole vuelta

al pomo

no ¿ está cerrada si buscar la introducir la


318

con llave? Llave llave en la

cerradura

darle vuelta a

la llave

dar vuelta no ¿ Se abrió

al pomo la puerta

abrir comple-

salir tamente la

puerta

fin

Problema N° 2: Calcular la suma de los 20 primeros números enteros positivos.

Algoritmo:

1.- Asignar variables SUM y N el valor 0 (se escribe SUM = 0 y N = 0)

2.- Aumentar a N en 1 (se escribe : N = N + 1)

3.- Sumar a SUM el valor en N (se escribe: SUM = SUM + N)


319

4.- Si N < 20, pasar a instrucción 2.

5.- Imprimir : SUM.

Comienzo

N = 0

SUM = 0

N = N + 1

SUM = SUM + N

Si

Es N < 20

No

Imprima SUM fin


320

Problema N° 3: Calcular la suma de los veinte primeros números pares enteros positivos.

Algoritmo:

1.- Asignar a las variables SUM, X y N el valor 0.

2.- Aumentar a X en 2 (se escribe : X = X + 2)

3.- Aumentar a N en 1 (se escribe : N = N + 1)

4.- Sumar SUM el valor en X (se escribe: SUM = SUM + X)

5.- Si N < 20, pasar a instrucción 2.

6.- Imprimir

Comienzo

N = 0

X = 0

SUM = 0

X = X + 2


321

N = N + 1

SUM = SUM + X

Si ¿ Es N < 20 ? No Imprima

fin


322

AUTOEVALUACION

SELECCIÓN SIMPLE

Instrucciones: Lea cuidadosamente cada una de las siguientes preguntas y Marque con una equis (X) la

respuesta correcta.

1) Es la parte de la matemática que estudia las relaciones que existen entre los ángulos y los lados de un

triángulo

____ Trigonometría _____ Algebra

____ Geometría _____ Aritmética

2) Es la medida del ángulo central correspondiente a un arco de longitud igual al radio de la circunferencia

____ Diámetro _____ Sistema sexagesimal

____ Sistema Radian _____ Razón Trigonométrica

3) Las funciones f: R R, con f(x) = kx (k fijo), son funciones de proporcionalidad

____ Nula _____ Constante

____ Directa _____ Inversa

4) Una función f(x) es estrictamente creciente si se verifica :

____ x1 > x2 f(x1) > f(x2) _____ x1 < x2 f(x1) > f(x2)

____ x1 > x2 f(x1) < f(x2 _____ x1 > x2 f(x1) > f(x2)

5) Cuando en una función hay números reales que no son imágenes de ningún x del dominio, dicha función es

____ Inyectiva _____ Sobreyectiva

____ No es inyectiva, ni sobreyectiva _____ Biyectiva

6) Si Z= a + bi , el elemento simétrico para la suma es

____ -Z= -a - bi _____ Z= a - bi

____ -Z= -a + bi _____ -Z= a . bi

7) Cuando dos vectores fijos tienen las mismas componentes se denominan

____ Paralelos _____ Ortogonales

____ Vectores libres _____ Equipolentes

8) Las ecuaciones cuya incógnita aparece en forma de exponente de alguna potencia, se denominan

____ Exponenciales _____ Logarítmicas

____ Cuadráticas _____ Racionales

9) Dos vectores u y v se dice que son linealmente independientes si, dados α,β ϵ R, la relación αu + βv = 0

Se cumple solo para α = β = 0

____ α = β = 2 _____ α = β = 0

____ α = β > 0 _____ α = β = 1


323

10) Para un vector cualquiera u en el plano cartesiano, siempre es posible determinar un vector equipolente a u

que comience en el:

____ origen _____ primer cuadrante

____ segundo cuadrante _____ tercer cuadrante

11) A todo ángulo , además de su medida en grados sexagesimales, le corresponden unos números que se

obtienen como cociente entre las medidas de las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo

construido sobre el ángulo dado, estos números se llaman:

____ Radianes _____ Razones trigonométricas

____ Circulo Trigonométrico _____ Vectores

12) El cociente de dos números complejos es otro número complejo que tiene por módulo el producto de los

módulos y por argumento la (el):

____ Suma de los argumentos _____ Producto de los argumentos

____ Diferencia de los argumentos _____ Cociente de los argumentos

13) Para determinar el valor de cualquier potencia de i , dividimos el exponente por:

____ 2 _____ La unidad

____ 3 _____ 4

14) Si dos vectores son perpendiculares su producto escalar es igual a:

____ 1 _____ 2

____ 0 _____ -1

15) El cuadrado de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados

menos el doble del producto de esos dos lados por el coseno del ángulo comprendido entre ellos

____ Ley del coseno _____ Ley del seno

____ Producto Vectorial _____ Producto escalar de dos vectores

16) El rango de la función logarítmica es el conjunto de los Números:

____ Enteros _____ Irracionales

____ Reales _____ Racionales

17) Cuando la pendiente m de una recta es negativa, el ángulo formado por la recta y el eje x es un ángulo

____ Recto _____ Obtuso

____ Complementario _____ Agudo

18) Cuando la base del logaritmo es el número 10, se habla de

____ Logaritmos decimales _____ Logaritmos naturales


324

____ Antilogaritmo _____ Ecuación Logarítmica

19) Función trigonométrica que no está definida para valores del ángulo que hacen a la razón muy grande

____ Cosecante _____ Secante

____ Seno _____ Tangente

20) La representación en un plano cartesiano permite definir de manera inequívoca a un vector mediante la (el):

____ Dirección del mismo _____ Sentido del mismo

____ Magnitud del mismo _____ Magnitud y dirección del mismo

VERDADERO Y FALSO. Instrucción. Coloque una V o una F si considera la proposición verdadera o falsa

respectivamente. JUSTIFIQUE LA RESPUESTA

21.________ Dos ángulos son complementarios cuando suman 180°

_____________________________________________________________________________________

22.________ Dos ángulos son suplementarios si su suma es igual a 180º

_____________________________________________________________________________________

23.________ La progresión aritmética es creciente cuando la razón es positiva

_____________________________________________________________________________________

24.________ La trigonometría se ocupa de estudiar las relaciones que unen los ángulos y los lados de un

triángulo

_____________________________________________________________________________________

25.________ La longitud de un arco es igual al producto de su ángulo en radianes por radio

_____________________________________________________________________________________

26.________ Una sucesión de números reales es toda aplicación de N en R.

27.________ Los vectores colineales son los que tienen la misma dirección y por lo tanto sus componentes

son proporcionales

_____________________________________________________________________________________

28.________ El signo del seno y coseno en el II cuadrante son iguales


325

_____________________________________________________________________________________

29.________ Las funciones inversas tienen el mismo signo que las funciones directas respectivas

30.________ La cosecante es la inversa del coseno

_____________________________________________________________________________________

COMPLETACION. Instrucción: Coloca la palabra en el espacio para que la proposición tenga sentido

31.- Una progresión geométrica es una sucesión de números reales, tales que cada término se forma

multiplicando una cantidad constante al término ________________________

32.-El logaritmo de un número respecto a cierta base, es igual al exponente a que debe elevarse dicha base

para encontrar

el _________________

33.-El signo de la tangente se obtiene dividiendo el signo del seno entre el signo del____________________

34.- Entre dos conjuntos A y B, una función es inyectiva si los elementos de B tienen una o

ninguna_______________.

35.-El antilogaritmo de un logaritmo se designa al número al cual corresponde ese

_________________________

36.-Un vector es un segmento dirigido, es decir, es un segmento que tiene longitud dirección y

__________________

37.-Una expresión de la forma a + bi, en la que a y b son números reales cualesquiera e i es la unidad

imaginaria, se denomina_________________________

38.-El ángulo de 210° está en el tercer cuadrante por lo tanto el ángulo agudo correspondiente

será_____________

39.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los _____________________

40.- Una progresión aritmética es una sucesión de números reales tal que cada término se obtiene sumando el

anterior una cantidad constante llamada_____________


326

PROBLEMARIO

1 Comprobar las identidades:

1

2

2 Simplificar las fracciones:

1

2

3

3 Calcular las razones de 15º (a partir de las de 45º y 30º).

4 Desarrollar: cos(x+y+z)

5 Resuelve las ecuaciones trigonométricas:

1

2


1


327

2


1

2

8 Resuelve los sistemas de ecuaciones trigonométricas:

1

2

3

9 Calcular el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A = 45°, B =

72° y a=20m.

10 El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las

tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de

longitud 36 m.


328

BIBLIOGRAFIA

NAVARRO, E………………………………..Matemática 9no

Grado. Distribuidora

Zacarías. Caracas Venezuela.1987.

SARABIA, José y BARRAGÁN, Fernando. Matemática 9no

Grado. Ediciones

CO-BO. Caracas. Venezuela. 1993

FIGUERA Y, Júpiter. Matemática .1er.año.Ciclo Diversificado. Ediciones CO-BO. Caracas. Venezuela

1993

MENDIOLA, Esteban. Matemàtica.1er.Año de Ciencias. Editorial. Biosfera. Caracas. Venezuela. 1993.

ALVAREZ , Ramón y otros. Matemática 1. Editorial Santillana. Caracas. Venezuela. 2008

DICCIONARIO DE MATEMÀTICAS. Editorial. Cultural. S.A. España. 2001.

PULIDO, Jesús………………………….Estadística General. Caracas I.U.M.P. 1986.

MICROSSOF ENCARTA 99

GID HOFFMANN, Jorge. Selección de Temas de Matemática .Editorial Gráficas León. Caracas. Venezuela

SALAZAR, Jorge y otros. Matemática.3er. Año. Editorial Romor, C.A. Caracas. Venezuela. 1991

ORTIZ, Eusebio. Matemàticas.4to. Ciclo Diversificado. Editorial Larense. Caracas. Venezuela.1983

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