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ThermodynamiqueII-1/4

Phs 2101

Automne 2001

http://www.crm.umontreal.ca/~physnum

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Thermodynamique - PHS 2101

Jean-Marc LinaCentre de Recherches Mathematiques, Univ. De Montréal

contact: [email protected]

3. CHALEUR

Thermodynamique - PHS 2101J.M. Lina

Dans la première partie du cours, nous avons introduitles variables thermodynamiques:

- indépendantes: la pression P, le volume V- dépendantes: la température T

On rappelle que la température a été définie à partir du« principe zéro » de la thermodynamique: les températuresde deux systèmes en contact thermique et en équilibre sont égales.

Ainsi, dans l ’espace des états (P,V,T), l 'équilibre d ’un système est représente par une surface. Cette surface est composée de surfaces plus spécifiques au comportement de la matière:solide, liquide, gaz, solide-liquide, liquide-gaz,...


( Surface d 'équilibre thermodynamique pour1 kg de substance pure )

Les fonctions thermodynamiquessont des fonctions d 'état:

f(P,V,T)

Une fonction thermodynamiqueprend une valeur en un point(P,V,T)

Exemple: l 'énergie U



On s 'intéressera en particulier à la différence de certainesfonctions d 'état entre deux points:

A

B

U(A)

U(B)

∆UA,B = U(B) - U(A)



On introduit maintenant des quantités qui sont attachéesà un chemin qui relie deux états: ces quantités dépendent

A

- du point initial A

B

- du point final B

- du chemin A -> B(évolution du système)


État d 'équilibre initial

Exemple:

Une masse

Un gazparfait

Une paroi adiabatique

PV = constante

Un piston libre


Nouvel étatd 'équilibre

On enlève la masse:


h

s Surface: sForce exercée sur le piston:F = P . s où P est la pressionqui règne dans le gaz.

Supposons que le déplacementest petit, dx: le travail effectué par le pistonest dW = F . dx

Pour le gaz (le système thermodynamique): le travail est

dW = - F . dx = - P . s . dx = - P . dV

Ou dV est la variation de volume du système (ici positif): ontrouve bien que dW<0, le gaz perd de l 'énergie.


Travail élémentairepour le gaz:

dW = - P . dV

−==>−

B

A

V

V

BA dVPdWW .

Travail total pour le gaz: A -> B A

B

VA VB

VA

VB


−=−==>−

B

A

B

A

V

V

V

V

BA dVPdVPdWW ..

A

B

VA VB


−=>−

B

A

V

V

BA dVPW .

Cette quantité est le travail effectué par le gaz. C ’est leseul échange d 'énergie sous forme de travailavec l 'extérieur au cours de ce processus adiabatique A -> B: IL EST POSITIF SI LE SYSTEME GAGNE DE L ’ENERGIE

ATTENTION, LA MASSE DE GAZ SEULE EST LE SYSTEME THERMODYNAMIQUE QUE NOUS ETUDIONS!

Le piston fait partie de l 'extérieur.


−=>−

B

A

V

V

BA dVPW .

Remarque: en adoptant l 'écriture

nous précisons, par l interprétation du signe de cette quantité,l 'échange en jeu: si la valeur est positive, il s ’agit d ’un travailfourni au système; si la valeur est négative, c ’est le systèmequi libère de l 'énergie sous forme de travail (voir discussionpage 64 de VWSD)

EXERCICE: No. 4.3, p.77

Soit le système illustre ci-dessous. Le volume initial à l ’intérieurdu cylindre est de 100 litres et la pression y est de 100 kPa. Leressort touche le piston mais n ’y exerce aucune force. On chauffeensuite le système, ce qui entraîne une détente de l ’air jusqu ’ à cequ ’il double de volume. La pression intérieure est alors de 300 kPa.

A) Décrire l 'évolution sur un diagramme de Clapeyron

B) Calculez le travail qu ’effectue le système forme par l ’air dans le cylindre. Quel pourcentage de ce travail contribue à comprimer le ressort?

État initial:Pression due au piston seul: P0 = 105 PaVolume: V0 = 10-1 m3

État final:Pression due au piston + contraction du ressort:

P1= 3.0 105 PaVolume: V1 = 2 V0

V0 V1 = 2V0

P0

P1

Lorsque le ressort se contracte d ’une longueur dx, ilexerce une force k.dx sur le piston, donc une pression

dVs

kdx

s

k2

=

V0 V1 = 2V0

P0

P1

dVs

kdP

2= est donc l ’accroissement de pression dans

le gaz au cours de l 'évolution. Il s ’agit d ’un accroissement linéaire.

V0 V1 = 2V0

P0

P1

Travail reçu par le système (gaz): ∫=

−01

0

2

.VV

V

dVP

+

−=

−

+−22

).( 010000100

VPVPVPPVP

= - 2.0 104 J (négatif: le système fournit de l 'énergie)

Énergie accumulée dans un ressort comprimé d ’une longueur d:

2

2

1dkEc =

Mais d correspond au volume ajouté au gaz: V0 = s . d

2022

1V

s

kEc =

D ’autre part, on a vu que

( ) 02012012V

s

kVV

s

kPPV

s

kP =−=−⇒∆=∆

donc ( ) 0012

00

01

2

1

2

1VPPV

V

PPEc −=

−=

Fraction d 'énergie pour la compression du ressort:

01

01

PP

PP

+−

On trouve 50%

( ) 0012

1VPPEc −=

( ) 0012

1VPPE +−=


Un ensemble cylindre et piston contient de l ’eauaux conditions initiales suivantes: 50 kPa, 100 oC, 3 m3.On comprime l ’eau lentement en suivant la loiPV = const. jusqu’ à ce qu ’elle atteigne une pressionfinale de 1 Mpa.

Calculez le travail qui s ’effectue aucours de l'évolution.

P0 = 0.5 105 PaV0 = 3 m3

T0= 100 oC

P

V

1.0 106 Pa

VPVP

55

00

105.1105.1 =⇒=

Travail (système):

1

0

0

1 ln.ln..

.1

0P

Pconst

V

VconstdV

V

constdVP

V

V

−=−=−=−∫ ∫ = 4.49 105 J

(signe!)


Le cylindre représente a la fig.4.15 (p.79) contient 1 kg d ’eausaturée à 30 oC. Le piston a une section de 0.065 m2 et une massede 40 kg; il repose sur des butées. Au départ, le volume est de 100litres; la pression atmosphérique ambiante est de 94 kPa et l ’acc.gravit. est de 9.75 m/s2.On fournit de la chaleur au système jusqu ’ à ce que le cylindrecontienne de la vapeur saturée.

A) Quelle est la température de l ’eau au moment ou le pistoncommence à s 'élever au-dessus des butées ?

B) Calculez le travail accompli par l ’eau durant l évolution entière.

1 kg de mélange liqu-vap. a 30 oCvolume = 100 10-3 m3

donc v = 0.1 m3/kg

A) Pour soulever le piston, il faut que la pression soit égale a

s

gmPatm

.. + = 94 103 + 6 103 = 1.0 105 Pa

Supposons qu ’au moment où le piston se soulève (i.e. P = 105 Pa)nous soyons dans une phase de vapeur surchauffée: Table A.1.3,p.697 : à cette pression, on constate que:- Temp. de saturation = 99.63 oC- Pour T > Tsat. ,le tableau indique que v > 1.69 m3/kg, autrement dit1 kg d ’eau occupe un volume > 1.69 m3. Or, lorsque le pistoncommence a se soulever, le volume est de 0.1 m3 !!C ’est donc impossible!Conclusion: nous sommes toujours dans un régime de vapeur saturée

(mélange des deux phases liq-vap) au moment où le piston se soulève.

Nous sommes donc en présence d ’une vapeur saturée, à la pression de 105 Pa:Table A.1.2, p.694: T = 99.63 oC (remarquez que c’est bienla température de saturation indiquée dans la la table A.1.3 pour cette pression)

On peut calculer le titre: fg

f

vv

vvx

−−

= = 5.84 10-2

(il y a donc 0.058 kg de vapeur)

Le titre initial ? x = 3.01 10-3

Volume de vapeur initial: 9.89 10-2 m3: le volume de vapeur n ’apas changée, mais la pression a augmenté pour atteindre 105 Pa.

Volume de vapeur: 5.84 10-2 . 1.694 = 9.89 10-2 m3

Explication:

Première phase de l 'évolution: on chauffela vapeur saturée à volume constant (c ’estle rôle des butées de maintenir un volumeconstant tant que le piston n ’est passoulevé). La pression augmente jusqu ’ àla valeur a laquelle le piston commence àse soulever.Ici, changement de régime: le piston esten équilibre avec le système thermodyn.Et les butées ne jouent plus aucun rôle: onévolue maintenant à pression constante etpuisque nous sommes dans une vapeursaturée, la température devient constante(99.67 oC).

Deuxième phase:Évolution à pression et températureconstante. Le volume du système (1 kgd ’eau) passe de 0.1 m3 à 1.69 m3 si nousvaporisons toute l ’eau.

Et si on continuait de chauffer? Le systèmeévoluerait toujours à pression constanteen vapeur surchauffée…

B) Il n ’y a du travail qu ’au cours de la seconde phase puisque la première se fait à volume constant. La variation d 'énergiedu système par échange de travail est, dans la seconde partiede l 'évolution, à pression constante (105 Pa). Le volumepasse de 0.1 m3 à 1.69 m3:

JVVPW ifsat5106.1)( −=−−=

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