theorie d’ondes elastiques
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7/26/2019 Theorie dOndes Elastiques
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Thorie des ondeslastiquesI. Ondes progressives
1. Quest-ce quune onde lastique ?
2. Vitesse de propagation
3. Equation de propagation
4. Onde solitaire
. Onde sinusoidale
Ens tana 1
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Thorie des ondes lastiques!suite"
##. $uperposition des ondessinusoidales
2.1 Ondes stationnaires2.2 %ordes &i'rantes
2.3 Vi'ration dune colonne de ga(
Ens tana 2
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Thorie dondes lastiques!suite"
###. $ortie pdagogique
#O)* + #nstitut dOn'ser&atoire)eoph,sique d*ntananari&o -*'ohidepona
Ens tana 3
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1.Quest-ce quune ondelastique ?
Onde lastique +
/eplaceent de la de0oration
dun ilieu elastique sui&ant unedirection donnee
a direction de propagation estappelee ae de propagation
ilieu elastique + solide5 liquide5a( Ens tana 4
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Origine de londeelastique
orsquun ilieu elastique estsouis a une 0orce5 chaque
eleent du ilieu est aussisouis a des 0orces.%elles-ci se transettent dun
eleent a un autre5 pro&oquant ainsiun deplaceent de chaque eleentdu ilieu elastique.
Ens tana
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Origine de londeelastique
Ens tana 6
%est le deplaceent de cette sorte dede0oration dans un ilieu elastique quidonne naissance a une onde elastique
/es que cette 0orce appliqueecesse deister5 chaque eleent
eerce sur son &oisinage des0orces de rappel de 0acon areta'lir lequili're.
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/eu t,pes dondeselastiques
Ens tana
7
Onde trans&ersale
a de0oratioin estperpendiculaire a lae depropagation.
O
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Ens tana8
Onde longitudinale
a de0oratioin est parallele alae de propagation.
O
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2. Vitesse de
propagation
Ens tana 9
a &itesse de propagation dependde la nature du ilieu
a &itesse augente quand onpasse du ga( au liquide et du liquideau solide
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%oparaison des &itesses
Ens tana 1:
ilieu air !:%"
air !2:%"
eau glace 0er
V!;s"
331 343 1:: 32:: 6:::
ga(liquid
esolide
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asse
lineaire
@ = constantedelasticite
A = odule dAoung >densite
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3. Equation de
propagation
Ens tana 12
O
f(x,t
)
v
e ilieu est hoogene etisotrope
a propagation est li're elongation 0!5t"> la &itesse &
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13/46Ens tana 13
),(1
),( 2
2
22
2
txftvtxfx
=
),(),(),( 2211 txfctxfctxf +=
$olution +
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Onde progressi&e
Ens tana 14
)(ou)( vtxfvtxf +
deu 0ores possi'les +
)( vtxf )( vtxf +
O
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Ens tana 1
autres 0ores equi&alentes+
)()( v
x
tfvtxf
)()(vxtfvtxf ++
Onde a&ancant dans le sens des croissants+
Onde a&ancant dans le sens des decroissants+
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4. Onde solitaire
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Bne pertur'ation qui se dplaceseule dans un ilieu lastique C&itesse constante5 sans changer deproDl.
appelee aussi signal G5 ou
ipulsion G5 ou soliton G
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Ens tana 17
elongation
elongation f(x,t" estdeterinee par le proDl du signala linstant initial t = :
g(x)axf )0,( =
*lors
$i
)(),( vtxgatxf =
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Ens tana 18
Eeple+
$i a t = :5 le proDl de lapertur'ation est +
12
1)0,(
2
+
=
x
xf
Quel sera le proDl de cettepertur'ation a linstant t = 1 s 5sachant quelle se deplace dans lesens croissant des a la &itesse & =2 ;s ?
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Ens tana 19
On procede a la
su'stitution > 212 x-*x-x-vtx ==
/ou +
1)2(2
1)1,(
2+
=
xxf
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Hepresentation graphique
Ens tana 2:
-4 -3 -2 -1 : 1 2 3 4
x
t = 1st = 0
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ecanise dudeplaceent
Ens tana 21
-4 -3 -2 -1 : 1 2 3 4
x
t = 1st = 0
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Iroprietes
ph,siques
Ens tana 22
$uperposition de deu ondes
HeJeion sur un ur
ipenetra'le
HeJeion sur 'ord li'reHeJeion et transission
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/eu ondes solitaires s,etriquesse rencontrent
Ens tana 23
!a"!'"!c"
!d"
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/eu ondes solitaires serencontrent
Ens tana 24
!a"!'"!c"
!d"
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HeJeion sur un uripenetra'le
Ens tana 2
O
Onde
incidente
&
ur
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O'ser&ations +
Ens tana 26
onde reJechie+ ee proDl aisorientee dans
le sens in&erse
a reJeion est totale
O
ur
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Eplication theorique
Ens tana 27
le ur est la source de londereJechieau ni&eau du ur5 on a deuondes dont la resultante est nulle >
0),0(),0( =+ tftf ri
/onc +
),0(),0( tftf ir =
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Hesultat+
Ens tana 28
)(),( v
x
tgatxfi =
$i londe incidente est de la0ore+
*lors londe reJechie sera de la
0ore+)(),(
v
xtgatxfr +=
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HeJeion au 'ord li're
Ens tana 29
O
etreite O estli're
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O'ser&ations +
Ens tana 3:
a reJeion esttotale onde reJechie a le ee
proDl que londe incidente *u ni&eau de letreite5 lepoint O se
et en ou&eent&erticaleent. orsque le point O atteint lesoet de
la pertur'ation5 il reKoint sa
position
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O'ser&ation
Ens tana 31
&
OOnderJchie
Etritli're
O
Ondeincidente
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#nterpretationtheorique +
Ens tana 32
e point O est la source de londereJechie e proDl de londe reJechie aupoint O est le ee que le proDl de londeincidente+
),0(),0( tftf ir =
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%onsequence+
Ens tana 33
$i londe incidenteest +
)(t)(x,
v
xtgafi =
*lors londe reJechieest +
)(),( v
xtgatxfr +=
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HeJeion etTransission
Ens tana 34
Ondeincidente
O
1 2
Ioint decontact
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O'ser&ation
Ens tana 3
OnderJchie Onde
transise
O
1 2
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#nterpretation theorique
Ens tana 36
)(),(v
xtgatxf ii =Onde
incidente +
OndereJechie +
Ondetransise +
)(),(v
xtgatxf rr +=
)(),(v
xtgatxf tt =
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%onditions de continuite+
Ens tana 37
),0(),0(),0( tftftf tri =+
%ontinuite deselongations+
%ontinuite des deri&ees+
000 ||| ===
=
+
x
tx
rx
i
x
f
x
f
x
f
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Hesultats
+
Ens tana 38
tri aaa =+
211 va
va
va tri =+
/eu equations perettant dedeteriner les aplitudes de londe
reJechie et de londe transise+
!2"+
!1"+
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On o'tient les relations sui&antes+
Ens tana 39
ir avv
vva
21
12
+
=
it a
vv
va
21
22
+
=
-
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VeriDcation +
Ens tana 4:
$i alors12
vv = 0=r
a
les deu ilieu sont
identiques donc londerJchie ne doit pas eister.
$i alors02 =v 0=ta
2 est un ur ipenetra'ledonc londe transise ne doit
pas eister.
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Ondeprogressi&e sinusoidale
Ens tana 41
orsque laction ecanique qui pro&oque
la de0oration dun ilieu elastique est
repetee plusieurs 0ois a&ec un inter&alle
de teps constant T5 on o'tient une
onde sinusoidale de periode T
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Eeple
Bne corde dont lune de desetreites est attachee a unelae &i'rante de 0requence 0
On o'tient un proDl sinusoidal deperiode T=1;0
Ens tana 42
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%arcteristiques
Ens tana 43
la 0requence 05 la periode T5 lalongueur L5 le &ecteur donde M . Elles
sont liees par les 0orules sui&antes +
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Elongation+
Ens tana 44
Bne onde qui se deplace dasle sens croissant des +
)sin(),( += tkxAtxf
Bne onde qui se deplace das
le sens decroissant des +
)sin(),( += tkxAtxf
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Ihase
Ens tana 4
a phase peut seettre sousplusieurs 0ores>
)(2)(
T
txvtxktkx ==
a phase est larguent de la0onction sinus+
+ tkx
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%ette 0onction o'eit a lequation depropagation
),()sin(),( 222
2
txfktkxAktxft
==
),(
1
),(
12
2
22
2
2 txfxtxftk
=
),()sin(),( 222
2
txftkxAtxfx
==
/ou +
),(),(1
2
2
2
2
2 txf
xtxf
tv
=