theorie de lyapunov sur la stabilite e2010
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Théorie de Lyapunov sur la stabilité
Référence: Notes de cours de D. Alazard de SupAéro.Notes de Hannah Michalska, McGill University
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2
Système non-linéaire
Considérons un système continu et non-linéaire représenté par:
Exemple:
( ) nx f x x
21 1 2
22 2 1
2 1
1
x x x
x x x
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3
Point d’équilibre
Un vecteur est un point d’équilibre si:
Si xe est différent de 0, il peut être ramené à 0 par un changement de variable:
( ) 0ef x
nex
ex x x
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4
Point d’équilibre
Considérons donc à partir de maintenant que:
Sans perte de généralité…
0ex
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5
Stabilité locale simple et asymptotique
L’état d’équilibre du système continu et non-linéaire de l’acétate #2 est: Stable, si pour tout ε>0, il existe un
r=r(ε), tel que:
Instable si non-stable;
0ex
(0) ( ) 0x r x t t
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6
Stabilité locale simple et asymptotique
L’état d’équilibre du système continu et non-linéaire de l’acétate #2 est:Asymptotiquement stable, s’il est
stable et si r peut être choisi tel que:
Marginalement stable, s’il est stable sans être asymptotiquement stable.
0ex
(0) lim ( ) 0t
x r x t
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7
Stabilité asymptotique globale
Si le système est asymptotiquement stable quelque soit la condition initiale x(0), alors le point d’équilibre est globalement asymptotiquement stable.
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FONCTION DE LYAPUNOVComment vérifier la stabilité d’un système non-linéaire ?
8
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Idée de base (assumant xe = 0)
Supposez que l’on puisse définir une mesure de l’énergie dans un système: par exemple:
Tel que:
9
2( , )V x t x
0( , ) 0,eV x t t t ( , ) 0, ,eV x t x x t
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Idée de base (assumant xe = 0)
Tel que (suite): augmente doucement tandis
que x augmente (pour un t donné). L’énergie ne s’accroit pas le long de
toute trajectoire, donc:
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( , )V x
0 0 0 0( ; , ), 0, ,dV
x t x t t t t xdt
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Intuitivement…
… il est raisonnable de penser que pour x0 près de xe (= 0): L’énergie initiale est petite. L’énergie reste toujours petite.
puisque: reste près de xe pour
toujours.
xe est stable.
11
0 0( , )V x t
0 0( ; , )x t x t0dV dt
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Hypothèse de base sur V(x,t)
: toutes les dérivées partielles de V existent et sont continues dans (x,t).
Conséquence:
12
0,x t t
0 0
1
( ; , ), ( ), ( ),
( ), ( ),n
i
i i
dV dVx t x t t x t t V x t t
dt dtdxV V
x t t x t tx dt t
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Pour un ensemble
…nous devons être en mesure d’écrire qu’il existe des fonctions et tel que:
et sont des fonctions de classe K.
13
nG
x x
0( , ) , ,x V x t x x G t t
x x
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Fonction de classe K
est une fonction de classe K si: , et est continu; ; est strictement croissant de
façon monotone avec .
Exemple: est une fonction de classe K.
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x
0 0 0, 0x x x
x
1 xe
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Fonction définie positive
Une fonction scalaire V(x) continuellement différentiable (par rapport à x) est définie positive dans une région Ω autour de l’origine si:V(0) = 0;V(x) > 0 pour tout . / 0x x
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Fonction définie positive
Autrement dit: Si ( ) ,V x x x
Fonction de classe K
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Fonction définie semi-positive
Une fonction scalaire V(x) continuellement différentiable (par rapport à x) est définie semi-positive dans une région Ω autour de l’origine si:V(0) = 0;V(x) ≥ 0 pour tout . / 0x x
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Fonction quadratique définie positive
La fonction quadratique où Q est une matrice (de taille n par n) réelle symétrique, est définie positive si toutes les valeurs propres de la matrice Q sont strictement positives.
( ) TV x x Qx
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19
Exemples
#1:
Définie positive dans R2;Définie semi-positive dans R3.
#2:
Définie semi-positive dans R2. (Pourquoi ?)
2 21 2( )V x x x
21 2( )V x x x
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STABILITÉ DE LYAPUNOV, MÉTHODE DIRECTE
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Stabilité locale
L’état d’équilibre xe = 0 est stable si il existe une fonction continuelle-ment dérivable V(x) telle que:
V(0) = 0;V(x) > 0, ;
0,x x ( ) ( ) 0, 0, .V x dV x dt x x
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Stabilité locale et asymptotique
Si la dernière condition était plutôt, alors l’état d’équilibre est asymptotiquement stable.
( ) 0V x
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Stabilité globale
L’état d’équilibre xe = 0 est globalement asymptotiquement stable si il existe une fonction continuellement dérivable V(x) telle que:V(0) = 0;V(x) > 0,
0;x ( ) 0, 0;V x x ( ) .V x quand x
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24
Exemple
Soit:
Passage en équation d’état avec:
Ainsi:
2 0x x x x
1 2,x x x x
1 22
2 1 1 2
x x
x x x x
Dont on veut connaître la stabilité.
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25
Exemple
Ce système possède un point d’équilibre à (x1,x2)=(0,0).
Analysons la stabilité de ce système avec cette fonction de Lyapunov:
2 21 2
1 2( , )2
x xV x x
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26
Exemple
Dérivant V(x), on trouve:
Ensuite:
1 2 1 2 1 1 2 21 2
( , )V V
V x x x x x x x xx x
2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2( , )V x x x x x x x x x x
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27
Exemple
Donc
Ainsi, V(x) est une fonction définie positive qui est strictement décroissante le long de toutes les trajectoires possibles si ε<0.
2 21 2 1 2( , )V x x x x
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Exemple
En vertu de la théorie de Lyapunov, le système est globalement stable si ε=0.
Il est globalement asymptotiquement stable si ε<0.
Sinon, il est globalement instable.
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Exemple #2
Soit:
Dont le point d’équilibre est à (0,0). Vérifions la stabilité avec cette
fonction de Lyapunov:
21 1 2
22 2 1
2 1
1
x x x
x x x
2 21 2
1 2( , )2
x xV x x
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30
Exemple #2
En dérivant:
Donc
1 2 1 1 2 2
2 2 2 21 2 2 1
2 2 2 21 2 1 2
( , )
2 1 1
2
V x x x x x x
x x x x
x x x x
2 2 2 21 2 1 2 1 2( , ) 0 2 0V x x x x x x
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Exemple #2
Cette condition peut être réécrite comme suit:
2
2 11 2 2 2
1
2( , ) 0
1
xV x x x
x
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
x1
x 2
Stable
Stable ou instable ?
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32
Exemple #2
Essayons ce second candidat:
Dérivant:
Ce qui mène à conclure que le système est globalement asymptotiquement stable.
2 21 2
2 1 2
2( , )
2
x xV x x
2 22 1 2 1 2( , ) 2V x x x x
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Exemple #3
Soit:
Dont le point d’équilibre est à (0,0). Vérifions la stabilité avec cette
fonction de Lyapunov suivante:
1 1
12 24 1 t
x x
x x e
2 21 2 1 2( , ) 2 (1 )tV x x x x e
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Exemple #3
En dérivant:
Stable car:
34
21 1 2 2 2
2 2 21 2 2
2 2 21 2
( , ) 2 4 (1 ) 2
2 (1 )(1 ) 2
2 (1 2 )
t t
t t t
t t
V x t x x x x e x e
x x e e x e
x x e e
2 2 21 2( , ) 2 (1 2 ) 0t tV x t x x e e
,t x
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Bilan
Le choix de la fonction de Lyapunov a un effet sur l’évaluation de la zone de stabilité d’un système non-linéaire.
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36
Stabilité de Lyapunov des systèmes linéaires
Le système linéaire est asymptotiquement stable si et seulement si, pour toute matrice symétrique définie positive Q, il existe une matrice P définie positive et symétrique satisfaisant l’équation de Lyapunov:
0TA P PA Q
x Ax
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37
Démonstration (condition suffisante)
Considérons ce candidat:
Dérivant:
TV x Px
T T
T T T
T T
V x Px x Px
x PAx x A Px
x PA A P x
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38
Démonstration (condition suffisante)
Soit Q une matrice définie positive, si P est une solution positive de l’équation de Lyapunov.Alors
et
Donc système asymptotiquement stable.
( ) 0, 0V x x
( ) ( ) 0, 0.TV x x Qx V x x
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39
Démonstration (condition nécessaire)
Pour un couple quelconque (A,Q) l’équation de Lyapunov peut admettre plus d’une solution pour P.
Mais, si A est stable, la solution P est unique:
0
TA t AtP e Qe dt
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40
Démonstration (condition nécessaire)
Avec cette solution:
0 0
0
0
T T
T
T
T T A t At A t At
A t At
A t At
A P PA A e Qe dt e Qe Adt
de Qe dt
dt
e Qe
Q
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Exemple
41
Instable
![Page 42: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/42.jpg)
Exemple
Q = I.
42
=0
![Page 43: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/43.jpg)
Exemple
Posons Q = I.
43
p5=-1/2p2=-1/2
p4=- p3
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Exemple
Posons Q = I.
44
p3=1/2-3p6
p1=-3+6p6
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Exemple
6p6+6=0 p6=-1 Finalement P est:
Pas définit positif, car:
45
Instable
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46
Design d’un contrôleur non linéaire pour un système linéaire
Soit le système:
A globalement asymptotiquement stable (g.a.s.);
… et
( ) ( ) ( )x t Ax t bu t
nb0(0)x x( ) 1,u t t
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47
Design d’un contrôleur non linéaire pour un système linéaire
Problème:Concevoir un contrôleur avec
rétroaction possiblement non-linéaire qui fait en sorte que x retourne rapidement à 0.
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48
Étape #1
Choix de la fonction de Lyapunov pour le système en boucle ouverte:
Choisissons Q symétrique et définie positive. Exemple: Q = I.
( ) ( )x t Ax t
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49
Étape #1
Ensuite, définir
Avec P symétrique et définie positive, solution de l’équation de Lyapunov.Comme A est g.a.s. P>0.
( , ) TV x t x Px
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50
Étape #1
Conséquence, la fonction de Lyapunov V(x,t) est positive définie et décroissante et radialement illimitée pour le système.
![Page 51: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/51.jpg)
51
Étape #2
Choisir l’entrée u(t) qui fait en sorte que dV/dt soit négatif le long des trajectoires du système.
Dérivant, on obtient:
( , ) 2T T T TV x t x Px x Px x Qx ub Px
![Page 52: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/52.jpg)
52
Étape #2
Solution u(t):
Avec:
Un relais…
( ) ( )Tu t sign b Px t
1 0
1 0
0 0
si z
sign z si z
si z
![Page 53: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/53.jpg)
53
Étape #3
Vérification que le système en boucle fermée est g.a.s.
La dérivé de V est:
( , ) 2
2
2
T T
T T T
T T T
V x t x Qx ub Px
x Qx sign b Px b Px
x Qx b Px x Qx
![Page 54: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/54.jpg)
54
Exemple
Système:
Choix de Q: Q = 1. Donc:
10 1 0 2TA P PA Q P P P
x x u
![Page 55: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/55.jpg)
55
Exemple
Système:
Ce qui mène à ce contrôleur:
Donc en boucle fermée:
12
Tu sign b Px sign x sign x
x x u
[ ]x x sign x
![Page 56: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/56.jpg)
56
![Page 57: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/57.jpg)
57
La commande LQ - principe
Soit le système linéaire suivant:
Hypothèse: La paire (A,B) est stabilisable, i.e., qu’il
n’y a pas de modes instables et ingouvernable dans ce système.
( ) ( ) ( ) ;
( ) ( )
n m
q
x t Ax t Bu t x u
y t Cx t y
![Page 58: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/58.jpg)
58
La commande LQ - principe
Résultat: Soit le critère LQ suivant:
Avec R>0, Q≥0 et
0
0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
T T
T Tx
J y t Qy t u t Ru t dt
x t Q x t u t Ru t dt
TxQ C QC
![Page 59: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/59.jpg)
59
La commande LQ - principe
Alors: La commande par retour d’état qui
stabilise le système et minimise ce critère LQ est:
Avec
( ) ( )cu t K x t1 T
c cK R B P
![Page 60: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/60.jpg)
60
Équation de Riccati
Dans l’équation précédente, Pc est solution unique (matrice symétrique et définie positive) de l’équation de Riccati:
1 0T Tc c c c xP A A P P BR B P Q
1 Tc cK R B P
![Page 61: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/61.jpg)
61
Ainsi
La fonction de coût minimale correspondante est alors:
min 0 0, ( : 0)To cJ x P x x état initial à t
![Page 62: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/62.jpg)
62
Démonstration
La dynamique du système en boucle fermée avec la commande par retour d’état est:
La réponse autonome de ce système est:
bfx A BK x A x
0( ) bfA tx t e x
![Page 63: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/63.jpg)
63
Démonstration
Le critère J devient:
0
0
00
0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Tbf bf
T Tx
T Tx
A t A tT To x
To
J x t Q x t u t Ru t dt
x t Q K RK x t dt
x e Q K RK e dt x
x Px
![Page 64: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/64.jpg)
64
Démonstration
Avec:
La contrainte Abf stable entraine que P vérifie l’équation de Lyapunov:
Notez que P≥0, car J≥0.
0
Tbf bfA t A tT
xP e Q K RK e dt
0T Tf f xA P PA Q K RK
![Page 65: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/65.jpg)
65
Démonstration
Posant Kc la valeur optimale de K qui minimise J et la solution Pc correspondante, alors
0T T
c c c c x c cA BK P P A BK Q K RK
![Page 66: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/66.jpg)
66
Démonstration
Considérons une variation du gain ΔK autour de Kc. Il en résulte une variation de ΔP autour de Pc, qui vérifie:
0
T
c K c P
c P c K
T
x c K c K
A B K P
P A B K
Q K R K
![Page 67: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/67.jpg)
67
Démonstration
Kc est la valeur optimale au sens de J si et seulement si le critère augmente pour toute variation ΔK autour de Kc, soit:
0 /P K c KA B K stable
![Page 68: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/68.jpg)
68
Démonstration
En soustrayant les deux équations des acétates 66 et 65, on obtient:
0
T T Tc K P K c
P c K c K
T T TK K K c c K
A B K B P
A B K P B
R RK K R
![Page 69: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/69.jpg)
69
Démonstration
Que l’on peut réécrire:
C’est une équation de Lyapunov
0
T
P P
TT T TK c c c c K
TK K
A BK A BK
RK B P RK B P
R
![Page 70: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/70.jpg)
70
Démonstration
A-BK étant stable ΔP est positif si et seulement si (Théorème de Lyapunov):
0
TT T TK c c c c K
TK K
RK B P RK B P
R
K
![Page 71: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/71.jpg)
71
Démonstration
Or, car par définition R>0. Il faut donc que:
Que l’on peut réécrire:
0,TK K KR
0Tc cRK B P
1 Tc cK R B P
![Page 72: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/72.jpg)
72
Démonstration
En reportant cette valeur de gain dans l’équation de l’acétate 65, on obtient l’équation de Riccati:
1 0T Tc c c c xP A A P P BR B P Q
FIN
![Page 73: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/73.jpg)
73
Exemple
Soit le système suivant:
2
1 1
2( )1
02
s sG s
s
![Page 74: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/74.jpg)
74
Exemple
Qui donne la représentation dans l’espace d’état suivant:
0 1 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 2 0 1
1 0 1
0 0 1
x x u
y x
![Page 75: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/75.jpg)
75
Exemple
Si on a Qx = I et R = ρI, l’équation de Riccati est:
Avec
1 0T Tc c c cP A A P P BB P I
1 2 3
2 4 5
3 5 6
c
p p p
P p p p
p p p
![Page 76: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/76.jpg)
76
Exemple
Donc:223 3 5 2 5 3 62 2 4
223 5 5 4 5 5 62 4 4
2 22 5 3 6 4 5 5 6 5 6
1 3
1 2 3 5
3 3 5 6
1 2
2 1 2 0
2 2 1 4
p p p p p p pp p p
p p p p p p pp p p
p p p p p p p p p p
p p
p p p p
p p p p
![Page 77: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/77.jpg)
77
Exemple
Posant p3 et p5 égaux à 0:
Donc:
22 2 4
22 4 4
26
1
1 2
6
1 0
2 1 0 0
0 0 1 4
p p p
p p p
p
p
p p
p
3 21
2
3 24
26
2
2
2 4
p
p
p
p
![Page 78: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/78.jpg)
78
Exemple
Donc le gain optimal est:
1 21 2 1 1 2
1 21 1 2
2 1 0
0 0 2 2 1cK
![Page 79: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/79.jpg)
79
Exemple
Localisation des pôles (3):
3 2 2 5 23 2
2
12 2
2
4
![Page 80: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/80.jpg)
80
Exemple
Pôles pour diverses valeurs de ρ:
(0.1) 1.06, 2.97, 3.74
(0.2) 1.18, 1.90, 3.00
(0.3) 1.32 0.28, 2.71
(0.8) 0.93 0.50, 2.29
j
j
![Page 81: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/81.jpg)
81
Exemple
Exemple de réponses:0.1 0.5
0.8
![Page 82: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/82.jpg)
82
Sur MATLAB
Fonction lqr
![Page 83: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/83.jpg)
83
![Page 84: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/84.jpg)
Chariot sur un rail
Un chariot est libre de se déplacer sur un rail.
Une force constante f est appliquée pour le déplacer.
Il faut déplacer le chariot de 100 m en 10 s.
84
![Page 85: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/85.jpg)
Chariot sur un rail
Mais, on désire la force f la plus petite que possible.
Condition initiale:Chariot en x = 0 et sa vitesse initiale
est nulle. Vitesse finale peut être quelconque. Masse du chariot est m.
85
![Page 86: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/86.jpg)
Chariot sur un rail
Modèle:
Variables d’état:
86
x v
fv
m
1
2
x x
v x
u f m
![Page 87: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/87.jpg)
Chariot sur un rail
Ainsi:
Condition initiales et valeur finales désirées à t=10s:
87
1 2
2
x x
x u k
0
0
1
2
0
0
x
x
1
2
100D
D
x m
x libre
Force d’amplitude constante
![Page 88: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/88.jpg)
Chariot sur un rail
On intègre les deux équations d’état:
Et on obtient k = 2. Mais, la plus petite force possible est k = 0.
88
2 0
21 20
( )
( ) 2
t
t
x u t dt kt
x x t dt kt
![Page 89: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/89.jpg)
Chariot sur un rail
Les objectifs sont contradictoires. Considérons tout de même la fonction objectif suivante:
Pondérations: q pour pénaliser l’erreur de position r pout pénaliser l’amplitude de la
commande.
89
2 21 0
100ft
fJ q x r u dt
![Page 90: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/90.jpg)
Chariot sur un rail
Ici:
Pour obtenir le k optimal:
…puis…
90
2 250 100 10J q k rk
5000 10000 20J
qk q rkk
500
250
qk
q r
![Page 91: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/91.jpg)
Chariot sur un rail
Ou encore:
Si (q/r)∞, k=2; Si (q/r)0, k=0.
91
500
250 1
q rk
q r
![Page 92: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/92.jpg)
Chariot sur un rail
Supposons maintenant que la force est:
On cherche les valeurs de k1 et k2 qui minimisent la fonction objectif J.
92
1 2u k k t
![Page 93: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/93.jpg)
Chariot sur un rail
Dans ce cas:
Donc:
93
1 2
2 1 2
x x
x k k t
22 1 20
2 31 2 1 20
( ) 2
( ) 2 6
t
t
x u t dt k t k t
x x t dt k t k t
![Page 94: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/94.jpg)
Chariot sur un rail
À t = 10 secondes:
Solution: une infinité de valeurs de k1 et k2.
Cette équation est une contrainte:
94
1 2100 50 166.67k k
21
100 166.67
50
kk
![Page 95: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/95.jpg)
Chariot sur un rail
La fonction objectif est
Et…
95
2
1 2
2 21 1 2 2
50 166.67 100
10 100 333.33
J q k k
r k k k k
1 21
1 22
5000 20 16666.67 100 10000
16666.67 100 55555.56 666.67 33333.33
Jk q r k q r q
k
Jk q r k q r q
k
![Page 96: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/96.jpg)
Chariot sur un rail
Exemples: q = 100, r = 1
K1 = 3 et K2 = -0.3;
q = 1, r = 1 K1 = 2.991 et K2 = -0.299;
q = 1, r = 100 K1 = 2.308 et K2 = -0.231.
96
Proche de la contrainte
![Page 97: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/97.jpg)
Chariot sur un rail
Si on force la contrainte entre k1 et k2, on obtient:
Et…
97
22 24.44 9 15 25J r k k
22
4.44 15 50J
r kk
![Page 98: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/98.jpg)
Chariot sur un rail
Ce qui mène à k2 = -0.3 et k1 = 3.
98
![Page 99: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/99.jpg)
Chariot sur un rail
Supposons maintenant que l’on désire que la vitesse soit nulle à t=10. Cela implique que:
Que l’on peut réécrire:
Seconde contrainte.
99
2 1 2(10) 0 10 50x k k
1 25k k
![Page 100: Theorie de Lyapunov Sur La Stabilite E2010](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081420/55cf9e24550346d033b06f13/html5/thumbnails/100.jpg)
Chariot sur un rail
Nouvelle fonction objectif:
Donc:
100
2 2 21 1 2 2 0
100ft
f fJ q x q x r u dt
2 2
1 1 2 2 1 2
2 21 1 2 2
50 166.67 100 10 50
10 100 333.33
J q k k q k k
r k k k k
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Chariot sur un rail
Avec les deux contraintes:
Donc:
101
21 2
100 166.675
50
kk k
2
1
1.2
6
k
k
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Chariot sur un rail
Exemples: q1 = 100, q2 = 1, r = 1
K1 = 5.1424 et K2 = -0.9428;
q1 = 1, q2 = 100, r = 1 K1 = 5.917 et K2 = -1.182;
q1 = 1, q2 = 1, r = 100 K1 = 2.325 et K2 = -0.2435.
102
Proche de la 1ère contrainte
Proche de la 2e contrainte