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THE DRIPPING FAUCET: TRANSIZIONE AL CAOS
Relatore: Guido Boffetta
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI TORINO
Facoltà di ScienzeMatematiche Fisiche e Naturali
Laurea Triennale in Fisica
Anno scolastico 2004/2005
Candidato: Isabella Rosso
Ringraziamenti: Ferruccio Balestra Giovanni Maniscalco
Correlatore: Antonello Provenzale
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Jules-Henri Poincaré
•EFFETTO FARFALLA: piccole incertezze evolvono in maniera esponenziale
•Sistemi apparentemente semplici in realtà nascondono nature molto complesse ed irregolari
La Teoria del Caos…
•Fondatore teoria qualitativa sistemi dinamici
•Descrizione del caos deterministico
Edward Lorenz
•1903: “..Può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali..”
•Impredicibilità dello stato del sistema dopo un certo tempo caratteristico
Anni ’30: la scuola russa con Lyapunov, Kolmogorov, Andronov.
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A livello quantitativo…
Fulcro della Teoria del Caos: studio sistemi dinamici dissipativi non lineari MAPPA (valori discreti)
x(t+1)=g(x(t))
x= |x(0)- x’(0)|
•Una piccola incertezza sulla condizione iniziale si amplifica molto velocemente
•Anche nel caso ipotetico di poter disporre di un modello perfettorimane il grande problema delle condizioni iniziali
positivo crescita esponenziale
|x(t)| = |x(t)- x’(t)| ~ |xexp(
t)
0
x(t)
x(0)
x’(0)
x’(t)
x(0)
x(t)
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Cos’è …
|x(t)| = |x(t)- x’(t)| ~ |xexp(
t)
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•Dipende dal sistema
•Misura quantitativa della caoticità di un sistema: quanto si separano nel tempo le traiettorie
•Esponente di Lyapunov
•Se ≤0 il sistema non è caotico (l’attrattore è un punto fisso o un ciclo limite)
Cos’è …
|)0(|
|)(|ln1lim
0|)0(| x
txt
xt
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Indipendentemente dalla condizione iniziale, x(t) si avvicina indefinitamente ad esso (invariante per evoluzione temporale)
L’attrattore…
La presenza è determinata dal valore di un parametro di controllo
Regione dello spazio delle fasi in cui le traiettorie sono attratte dopo un tempo abbastanza lungo
•Punto fisso: punto di equilibrio o stato stazionario
•Orbita circolare o attrattore ciclico
•Attrattore strano
x(t+1)=g(x(t))
Soluzione dell’equazione g(x(t))=x(t)
Vari tipi:
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L’esperimento…
Rubinetto che gocciola
Può presentare un comportamento caotico
Sistema molto complicato con molti gradi di libertà
Variando la portata regime di gocciolamento:
•inizialmente periodico
•transizione al caos
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L’apparato sperimentale…
Tanica
Tubo diametro: 1 cm
Rubinetto
Tubicino diametro: 6 mm
Regolatore
Fotocellula
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I valori ottenuti…
q = (0,30 ± 0,03) ml/s
Periodo 1
0,300
0,400
0,500
0,000 50,000 100,000 150,000 200,000 250,000 300,000
t (s)
Dt
(s)
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Periodo 1
0,200
0,300
0,400
0,200 0,300 0,400
Tn (s)
Tn+
1 (
s)
I valori ottenuti…
Mappa dei Ritorni: Tn+1 =f(Tn)
q = (0,30 ± 0,03) ml/s
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Periodo 2
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0,300
0,000 2,000 4,000 6,000 8,000 10,000 12,000 14,000 16,000
t (s)
Dt
(s)
I valori ottenuti…
q = (0 ,41 ± 0,04) ml/s
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q = (0 ,41 ± 0,04) ml/s
I valori ottenuti…
Mappa dei Ritorni
Periodo 2
0,0000,050
0,1000,1500,200
0,2500,300
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300
Tn (s)
Tn+
1 (
s)
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I valori ottenuti…
q = (0 ,79 ± 0,07) ml/s
Periodo 4
0,000
0,100
0,200
0,300
0,000 0,100 0,200 0,300
T n (s)
Tn+
1 (
s)
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Le gocce secondarie…
Z. Néda, B. Bakό, E. Rees, Chaos, Vol.6, No.1, Am. Inst. Phys. (1996)
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Periodo 1
0,550
0,600
0,650
0,700
0,550 0,600 0,650 0,700
T n (s)
Tn+
1 (
s)
Nuova configurazione…
q = (0 ,15 ± 0,03) ml/s
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q = (0 ,17 ± 0,02) ml/s
Nuova configurazione…
Periodo 2
0,550
0,600
0,650
0,550 0,600 0,650
T n (s)
Tn+
1 (
s)
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q = (0 ,23 ± 0,02) ml/s
Nuova configurazione…
Periodo 3
0,400
0,500
0,400 0,500
T n (s)
Tn
+1 (
s)
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Nuova configurazione…
q = (0 ,36 ± 0,04) ml/s
CAOS
0,285
0,295
0,305
0,315
0,325
0,000 10,000 20,000 30,000 40,000 50,000 60,000
t (s)
Dt
(s)
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CAOS
0,250
0,300
0,350
0,250 0,300 0,350
Tn (s)
Tn+
1 (
s)
q = (0 ,36 ± 0,04) ml/s
Nuova configurazione…
Funzione non monotona “stretching e folding”
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La mappa logistica…
•r=3.2
•Attrattore di periodo 2
•r=3.52
•Attrattore di periodo 4
)1(1 nnn xrxx
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La mappa logistica…
•r=4
•Attrattore caotico
)1(1 nnn xrxx
• = ln2
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PERIODO 1,2,3 E CAOS A CONFRONTO
0, 200
0, 250
0, 300
0, 350
0, 400
0, 450
0, 500
0, 550
0, 600
0, 650
0, 700
0, 750
0, 200 0, 250 0, 300 0, 350 0, 400 0, 450 0, 500 0, 550 0, 600 0, 650 0, 700 0, 750
Tn (s)
PERIODO 1
PERIODO 2
PERIODO 3
CAOS
I valori ottenuti a confronto…
q = 0 ,15 ml/s
q = 0 ,17 ml/s
q = 0 ,23 ml/s
q = 0 ,34 ml/s
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Conclusioni…
Comprensione delle caratteristiche proprie di un sistema caotico
L’esperimento conferma la ricchezza di un comportamento dinamico in un sistema apparentemente semplice
Presentato un esperimento in cui si è investigato il comportamento non lineare e un meccanismo di transizione al caos
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Bibliografia…
•A. Vulpiani, Determinismo e Caos, Carocci (1994)
•Z. Néda, B. Bakό, E. Rees, Chaos, Vol.6, No.1, Am. Inst. Phys. (1996)
•H. N, Núñez-Yépez, A. L. Salas-Brito, C. A. Varga e L. Vicente, Chaos in a dripping faucet, Eur. J. Phys. (1989)
•D. R. Hofstadter, Metamagical Themas, Sci. Am. 245 22 November (1981)
•J. K. Hale, H. Koçak, Dynamics and bifurcations, Springer-Verlag (1991)