The Cross Entropy method for Credit Portfolio Monte Carlo calculations

Floris de Vooys10 December 2011

2

Overzicht

• Introductie en probleemstelling• Kredietrisico op portfolioniveau• De Cross Entropy methode• Resultaten

3

Introductie en probleemstelling

• Kredietrisico’s behoren tot de grootste risico’s van een bank.• Modellen zijn complex en hebben geen analytische oplossing.

Daarom wordt gebruik gemaakt van Monte Carlo.• Monte Carlo-simulaties zijn traag, maar kunnen worden versneld

door o.a. de Cross Entropy methode.• Voordelen van een snellere simulatie:

– Minder hardware nodig;– Mogelijkheid tot vaker uitvoeren van de simulatie;– Mogelijkheid tot verfijning van het model.

• Onderzoeksvraag: in welke mate kan de Cross-Entropy methode helpen Monte Carlo-simulaties voor kredietportfolio’s te versnellen?

4

Kredietrisico

• Kredietrisico = risico dat klanten niet aan hun financiële verplichtingen voldoen (“default”)

• Voor individuele klanten beheerst door:– Acceptatiecriteria– Zekerheden/onderpand– Structuur van het product– “verwachte” verliezen

• Voor portfolio’s beheerst door:– Concentraties– “onverwachte” verliezen

• Vraag voor een kredietinstelling: hoe groot moet de buffer zijn die nodig is om onverwachte verliezen op te vangen?

5

Concentraties/Correlaties

Defaults komen vaak in “golven”:

• Olie-industrie: 22 defaults tussen 1982 en 1986• Spoorconglomeraten: Een default elk jaar tussen 1970 en 1977• Luchtvaartmaatschappijen: 3 defaults in 1970–1971,

5 defaults in 1989–1990

• Kredietverstrekkers: 19 defaults in 1989-1990• Casino’s / Hotelketens: 10 defaults in 1990• Warenhuizen: meer dan 20 defaults tussen 1990 en 1992• Constructie/onroerend goed: 4 defaults in 1992

6

Buffer voor onverwachte verliezen: Economisch Kapitaal

Loss distribution

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12

Loss (%)

Pro

bab

ility

den

sity

expected loss 99.9% percentile

7

“Afstand tot default” – het Merton Model

Activa Passiva

Eigen vermogen

Waarde van het bedrijf

default scenario’s

drempel voor default

8

Modellering van correlaties van activa

• Multi-factor model op drie niveaus:– Mondiale factoren (“wereldeconomie”)– Regio- en sectorspecifieke factoren (“locale economie”)– Bedrijfsspecifieke factoren

• Factoren bepaald via Principal Component Analyse / Regressie van bewegingen van aandelenkoersen.

• Verandering van de waarde van activa vooral gedreven door:– Sector/Industrie– Regio/Land– Omvang van het bedrijf (omzet/totale activa)

9

Genereren van toekomstige waarden van de activa

West Europa (goed)

Noord Amerika (gemiddeld)

Luchtvaart (zeer slecht)

Bedrijfsspecifiek(slecht)

...

Generatie van Factoren

Weging/gevoeligheid per factor (per bedrijf)

+1 * 0.05 = 0.05

+0 * -0.07 = 0

-2 * 0.13 = -0.26

-2 * 0.81 = -1.62

Resultaat

...

-1.83

Drempel voor default

Waarde vanhet bedrijf

10

Monte Carlo

• Analytische oplossing is meestal niet beschikbaar• Oplossing: simuleren van de onderliggende factoren

via Monte Carlo:– Genereer factoren volgens onderliggende distributie, bv. een

normaalverdeling. Dit geeft een “toestand van de economie” aan;

– Bepaal de totale verliezen in de portfolio;– Herhaal met voldoende scenario’s totdat de gewenste

foutmarge is bereikt.

• Grootste nadeel: methode is bijzonder traag

11

Importance Sampling

• Concept: gebruik van een andere kansverdeling van de onderliggende factoren en hier later voor compenseren.

Original Distribution

Shifted Distribution

12

Likelihood Ratio

• De Likelihood Ratio is de factor waarmee de kans op de gebeurtenis wordt onderschat of overschat. Deze kan direct uit de distributies worden afgeleid:

Sample value = 2.1

Shifted pdf value= 0.397

Original pdf value = 0.044

Likelihood Ratio = 0.044/0.397 = 0.111

13

Degeneratie

• Bij Importance Sampling komen lage waarden voor de Likelihood Ratio vaker voor dan hoge.

• Er komen ook enkele zeer hoge waarden voor met een kleine waarschijnlijkheid.

• De Likelihood Ratio is zelf dus “skewed” (asymmetrisch) verdeeld. Dit probleem wordt groter als:– de Important Sampling distributie verder wordt verschoven, of;– Meer factoren worden verschoven.

14

Degeneratie

15

Degeneratie

16

Degeneratie

17

Degeneratie

• Een hoge “skewness” leidt tot hoge variantie. • De Likelihood Ratio wordt gebruikt als wegingsfactor

voor de schatting van kapitaal, dus deze schatting heeft ook een hoge variantie.

• De literatuur raadt aan om Importance Sampling niet te gebruiken bij meer dan 50 factoren (het gebruikte model heeft er 120)

18

Cross Entropy methode

• Concept: er bestaat een optimale distributie waarmee alle samples precies een verlies geven gelijk aan het gezochte kapitaalniveau met exact de bepaalde kans

• Deze distributie is niet te bepalen, maar wel de “afstand” tussen deze distributie en een andere distributie.

• Bij de Cross Entropy methode wordt de Kullback-Leibler afstand gebruikt.

• Deze afstand kan vaak met een analytische formule worden geminimaliseerd.

dxxhxgdxxgxghgD lnln,

19

Cross Entropy - voorbeeld

0

50

100

150

200

250

300

-6 -4 -2 0 2 4 6

All Samples

Filtered on elites

20

Cross Entropy - voorbeeld

0

50

100

150

200

250

300

-6 -4 -2 0 2 4 6

All Samples

Filtered on elites

normal distribution(all samples)

normal distribution(elites)

21

Samenvatting van de problemen en oplossingen

Hoeveel buffer moet een financiële instelling aanhouden om onverwachte

verliezen op te vangen?

Hoe wordt een verliesdistribute bepaald, rekening houdend met

concentraties?Modelleren van de activa van

bedrijven volgens multi-factor model (Merton model).

Maak een verliesdistributie en neem het gewenste percentile.

Model heeft geen analytische oplossing. Wat nu?

Gebruik stochastische simulatie (Monte Carlo).

Monte Carlo is traag

Gebruik Importance Sampling om het aantal benodigde scenario’s te

verlagen.

Hoe wordt de optimale Importance Sampling distributie bepaald?

Met de Cross-Entropy methode

Probleem Oplossing

22

Aanpak

• Ontwikkeling van generiek software-raamwerk voor de Cross Entropy methode.

• Onderliggende factoren zijn gesimuleerd op basis van een standaard-normaaldistributie.

• Methode is toegepast op de kredietportfolio zakelijke leningen van ING.

23

Resultaten

24

Vorm van de Verliesverdeling – kleine verliezen

25

Vorm van de Verliesverdeling – grote verliezen

26

Conclusie• De Cross Entropy methode werkt goed om Monte Carlo analyse

voor Credit Portfolio’s te versnellen. • De methode is intuïtief en transparant.• Er zijn geen problemen met “degeneratie van de Likelihood Ratio”• Openstaande vragen:

– Wanneer treedt precies wel degeneratie op?– Werkt dit voor alle (bank)portfolio’s?– Hoe verhoudt de gevonden verbetering zich tot andere methodes om

Monte Carlo te versnellen?– Werkt de methode ook voor andere distributies dan de

normaaldistributie?

27

Vragen

?