Comunicao e Redes 2 Quadrimestre de 2012

TRABALHO FINAL

Teoria de Grafos:

Um estudo sobre a rede neural do C. Elegans

Santo Andr,

13 de Dezembro de 2012

INTRODUO

1. C. elegans

O Caenohabditis elegans um invertebrado cilndrico e transparente da classe

dos nematelmintos, com comprimento da ordem de 1 mm. As pesquisas sobre

sua biologia molecular tiveram incio na dcada 1960 pelo pesquisador Sydney

Brenner e tem sido utilizado extensivamente como um organismo modelo em

diversos campos da biologia.

Em 1963, Sydney Brenner props usar o C. elegans como um organismo

modelo na investigao do desenvolvimento em animais incluindo o

desenvolvimento neural. Brenner o escolheu principalmente por sua

simplicidade, fcil crescimento em grandes populaes, e ser conveniente para

anlises genticas. um organismo multicelular eucarioto suficientemente

simples para ser estudado em maiores detalhes. Cepas so baratas de se

reproduzir e podem ser congeladas. Quando descongeladas, essas

permanecem viveis, permitindo o armazenamento por longos perodos. Outras

caractersticas desejveis so:

a) O C. elegans transparente, facilitando o estudo da diferenciao celular e

outros processos de desenvolvimento no organismo intacto.

b) O passo de desenvolvimento de cada clula somtica foi mapeado. Esses

padres de linhagem celular so praticamente invariantes entre indivduos, em

contraste aos mamferos, onde o desenvolvimento das clulas embrionrias

dependente de diversos fatores que ainda no so completamente

compreendidos.

c) um dos organismos mais simples que apresenta um sistema nervoso. Os

indivduos hermafroditas possuem 302 neurnios cujo padro de conectividade

foi completamente mapeado e mostrou ser uma rede de mundo pequeno.

Pesquisadores tm explorado os mecanismos neurais responsveis por vrios

dos mais interessantes comportamentos do C. elegans, incluindo a

identificao de componentes qumicos e de variao de temperatura no

ambiente, mecanismos de converter estmulos mecnicos em atividade

qumica e at mesmo na interao entre organismo do mesmo gnero.

Figura 1. Imagem do C. elegans

d) O tempo de vida desses organismos de aproximadamente 2-3 semanas

dentro de condies apropriadas. Comparado ao uso de outros organismos

modelo, como ratos, o curto ciclo de vida do C. elegans reduz o ciclo

experimental e facilita o estudo biolgico.

e) O C. elegans possui um nmero constante de clulas igual a 959, to como

sua posio determinada dentro do organismo.

O C. elegans tem sido usado como modelo para diversas pesquisas sobre o

envelhecimento e sobre morte celular. notvel tambm em estudos do sono,

onde considerado o organismo mais primitivo em que estado de sono foi

observado. Tambm pode ser usado em estudos sobre a dependncia de

nicotina, como foi descoberto que suas respostas nicotina so similares s

observadas em mamferos, incluindo respostas severas, tolerncia, abstinncia

e sensibilizao.

Como para a maioria dos organismos modelo, foi criado um banco de dados

que constantemente atualizado contendo informaes dessa espcie. O

banco de dados WormBase contm informaes do C. elegans e de outros

nematides.

O C. elegans particularmente interessante em estudos sobre neurobiologia celular e molecular. Seu sistema nervoso simples e contm apenas 302 neurnios e 7000 sinapses. Como o desenvolvimento semelhante em todos os indivduos, cada neurnio pode ser individualmente identificado. Alm do mais, a conectividade inteira do sistema nervoso foi reconstruda por John White e seus colaboradores utilizando a tcnica de microscopia eletrnica de varredura. O sequenciamento gentico concludo em 1998 demonstrou que todas as famlias de genes envolvidos em funes neurais em mamferos estavam presentes nesse verme.

No sistema nervoso dos mamferos um nico neurnio recebe milhares de estmulos de dezenas de subtipos de outros neurnios. Um desafio no estudo desse tipo de sistema sua complexidade: O crebro humano contm 100 bilhes de neurnios e provavelmente 1000 vezes mais sinapses. Para contornas esse problema tem sido utilizado o C. elegans como modelo. Os estudos nesse e em outros organismos modelo tem se mostrado de extrema importncia no entendimento de diversos mecanismos biolgicos que esto presentes em grande parte dos animais e inclusive nos seres humanos.

2. Teoria de grafos, redes complexas e redes neurais.

Uma rede uma representao matemtica de um sistema complexo real e definida por uma coleo de vrtices e arestas. A anlise de redes complexas tem sua origem no estudo matemtico de redes, conhecido por teoria de grafos. Porm, ao contrrio da teoria clssica de grafos, a anlise lida essencialmente com caso de redes reais que so grandes e complexas. Redes complexas podem ser entendidas como um sistema que envolve um grande nmero de agentes que interagem e cujo comportamento agregado no linear, ou seja, no pode ser encontrado a partir da soma dos comportamentos dos componentes individuais. Um sistema composto de partes interconectadas que como um todo apresenta uma ou mais propriedades que no so bvios a partir das propriedades das partes individuais.

Redes neurais so redes complexas, pois compartilham um nmero comum de caractersticas presentes em diversos outros sistemas fsicos e biolgicos e podem, portanto, ser caracterizadas utilizando mtodos de redes complexas. A descrio dessas redes neurais utilizam medidas principalmente de conectividade local e global assim como suas interpretaes neurobiolgicas. Todas as redes podem ser representadas por sua matriz de adjacncias. Linhas e colunas da matriz representam os vrtices enquanto as entradas denotam as arestas. A ordem dos vrtices na matriz no tem nenhum efeito nas medidas realizadas sobre a rede, mas importante para sua visualizao.

Arestas no ponderadas indicam apenas a presena de conexes, enquanto arestas ponderadas trazem caractersticas dessas conexes. Muitos estudos recentes descartam os pesos das arestas devido ao fato de que grafos no ponderados so mais fceis de serem caracterizados e podem ser comparados mais facilmente atravs de modelos estatsticos. Por outro lado, grafos ponderados podem ser teis para analisar aspectos complementares da organizao da rede e pode ser til na eliminao de arestas que no sejam significativas.

Figura 2. Grafos ponderados direcionados e no direcionados. Adaptado da

referncia [1].

As arestas podem ser diferenciadas pela presena ou ausncia de direcionalidade (figura 2). Assim, conexes fsicas e efetivas podem ser representadas conceitualmente por arestas direcionadas. Por outro lado, estudos de redes fsicas de neurnios indicam a existncia de grande proporo de conexes recprocas no crtex, o que fornece alguma validade para o uso de grafos no direcionados nesse tipo de rede. Segregao funcional no crebro a habilidade de processamento especializada que ocorre dentre de grupos densamente interconectados de regies cerebrais. Medidas de segregao primeiramente quantifica a presena de tais grupos, conhecidos como cluster ou mdulo, dentro da rede e possuem interpretaes diretas dentro de redes anatmicas e funcionais. Medidas simples de segregao esto baseadas no nmero de tringulos na rede. Um alto nmero de tringulos implica em segregao. Localmente, a frao de tringulo ao redor de uma nica aresta conhecida como coeficiente de aglomerao e equivalente frao de vrtices vizinhos que tambm so vizinhos deles prprios. O coeficiente de aglomerao mdio reflete na prevalncia de conectividade na forma de clusters ao redor de cada vrtice. O coeficiente de aglomerao mdio normalizado individualmente para cada vrtice e pode ser influenciado desproporcionalmente pelos vrtices com menor grau. Um variante clssico do coeficiente de aglomerao, conhecido por transitividade, normalizado coletivamente e no sofre desse problema. Ambos os coeficientes foram generalizados para grafos ponderados e direcionados. Integrao funcional no crebro a habilidade de combinar rapidamente informaes especializadas de diferentes partes do crebro. Medidas de integrao caracteriza esse conceito estimando a facilidade com que as regies do crebro se comunicam e so comumente baseadas no conceito de caminhos. Caminhos so sequncias de vrtices e arestas distintas em redes anatmicas representando as possveis rotas de fluxo da informao entre regies. Os Tamanhos dos caminhos, consequentemente, estimam o potencial de integrao funcional entre regies do crebro. Caminhos menores implicam em maior potencial de integrao. A maioria de estudos que examinam redes neurais funcionais reportam vrios graus de organizao de redes de mundo pequeno. Frequentemente tal organizao dita como a que reflete um balano timo entre segregao e integrao. Enquanto essa uma hiptese plausvel, a natureza abstrata dos caminhos funcionais faz com que a interpretao da propriedade de mundo pequeno menos direta em redes funcionais. Redes de mundo pequeno so formalmente definidas como redes que so significantemente mais conexas que redes aleatrias, embora tenham aproximadamente o mesmo comprimento de caminho caracterstico que grafos aleatrios.

Figura 3. Mdulos e hubs

Importantes regies do crebro frequentemente interagem com muitas outras regies, facilitando a integrao funcional, e desempenha um papel chave na resilincia da rede. Medidas de centralidade do vrtice avalia a importncia de vrtices individuais. Existem vria medidas de centralidade. O grau do vrtice uma das medidas mais comuns de centralidade. Vrias medidas de centralidade so baseadas na ideia de que um vrtice central participa de vrios caminhos curtos dentro da rede, e consequentemente age como um controle importante no fluxo de informaes. Por exemplo, a centralidade por proximidade definida como o inverso da mdia do menor caminho de um vrtice para todos os outros em uma rede. Uma medida relacionada e com maior sensibilidade betweennes centrality, definida como a frao de todos os menores caminho na rede que passam atravs de um dado vrtice. Vrtices que atuam como pontes em conectar partes da rede frequentemente tem uma alta betweennes centrality. A conectividade anatmica do crebro influencia a capacidade de leses neuropatolgicas de afetarem as atividades funcionais do crebro. A anlise de redes complexas capaz de caracterizar tais propriedades de resilincia direta e indiretamente. Medidas indiretas de resilincia quantificam caractersticas que refletem na vulnerabilidade da rede. Uma caracterstica o grau de distribuio. Por exemplo, redes complexas que obedecem a lei de potncias pode ser resiliente a um nmero gradual de deterioraes, porm altamente vulnervel a ataques a vrtices com alto grau de centralidade. A maioria de redes reais no so perfeitamente descritas pela lei de potncias, mas em grande parte possuem distribuio de grau que localmente se comportam obedecendo alei de potencias. Dessa forma essas medidas podem ser marcadores teis de resilincia.

OBJETIVOS

Analisar o grafo da rede neural do C. elegans utilizando o software Gephi a fim

de relacionar os conhecimentos adquiridos na disciplina comunicao e redes

com um caso real de estudo e determinar qual o tipo de configurao presente

na rede neural deste organismo e suas consequncias.

METODOLOGIA

Os dados utilizados foram compilados por D. Watts and S. Strogatz e obtidos

atravs dos DataSets disponveis para serem trabalhados pelo programa

Gephi. O grafo da rede neural do C. elegans ponderado e direcionado.

Os parmetros analisados foram:

a) Nmero de vrtices (N).

b) Nmero de arestas (L).

c) Grau ponderado mdio.

O grau uma propriedade chave de cada vrtice, representando o nmero de

arestas que o conecta com outros vrtices. O grau mdio, por sua vez, uma

importante propriedade da rede.

d) Dimetro da rede.

O dimetro fornece qual a distncia mxima na rede.

e) Densidade.

A densidade de um grafo a razo entre a quantidade de arestas do grafo e a

quantidade de arestas do grafo completo com a mesma quantidade de vrtices.

f) Modularidade.

A modularidade a medida que avalia o agrupamento do grafo, avaliando o

nmero de conexes dentro de um agrupamento do grafo original.

g) Visualizao do grafo.

A visualizao foi gerada utilizando a distribuio chamada Force Atlas. Foi utilizado um parmetro de fora de repulso de 5000. Nesse processo os ns da rede so reposicionados de maneira que ns adjacentes se aproximem e ns desconectados fiquem distantes uns dos outros. Esse processo tem por objetivo produzir uma visualizao do grafo que evidencie melhor o padro de interconexo da rede

RESULTADOS E DISCUSSO

a) Ns: 306

b) Arestas: 2345

c) Grau ponderado mdio = 7,709

Os grficos de grau ponderado mdio indica que cada vrtice possui em mdia

7,7 arestas. Embora esse no seja um grfico de distribuio de grau, o que

pode-se notar que essa distribuio se aproxima de uma rede que segue a lei

de potncia onde poucos vrtices possuem um grau elevado.

d) Dimetro da rede = 14

O dimetro da rede demonstra que qualquer vrtice do grafo pode ser

alcanado com no mximo 14 vrtices intermedirios. Esse fato, de certa

forma, contradiz os resultados de rede de mundo pequeno onde poucos passos

so suficiente para se alcanar qualquer ponto do grafo. Entretanto, deve-se

levar em considerao o fato do grafo ser ponderado o que probe que algumas

arestas sejam percorridas em determinadas direes. Caso o dimetro for

calculado considerando o grafo como no dirigido obtemos o valor 5 e o

caminho mdio se aproxima de2,5.

A centralidade fornece indicaes da presena de hubs na rede neural do C.

elegans o que imprescindvel para a interconexo dos mdulos de forma que

a informao possa migrar entre regies do sistema nervoso com maior

rapidez. Vrias medidas de centralidade so baseadas na ideia de que um

vrtice central participa de vrios caminhos curtos dentro da rede, e

consequentemente age como um controle importante no fluxo de informaes.

Vrtices que atuam como pontes em conectar partes da rede frequentemente

tem uma alta centralidade o que possvel observar no grfico de closeness

centrality distribution.

e) Densidade: 0,025

A densidade indica que da totalidade de ligaes possveis apenas 0,025%

foram efetivamente realizadas. Esse nmero demonstra que a rede neural do

organismo C. elegans no consideravelmente densa. Mas esse fato no

impede de haver a formao de mdulos especficos. A presena de hubs pode

ter sido um fator de reduo da densidade do grafo.

f) Modularidade = 0,391

Se tratando da modularidade foi verificado a existncia de 14 comunidades.

g) Visualizao do grafo.

Figura 4. Visualizao do grafo.

Figura 5. Visualizao do vrtice com maior nmero de arestas.

A visualizao no fornece muitas informaes devido quantidade de vrtices

e tambm ao fato de que muitas arestas se sobrepem. Aproximando a

imagem possvel identificar alguns vrtices que possuem mais conexes

como o mostrado na figura 5.

CONCLUSO

A anlise do grafo da rede do C. elegans comprovou caracterstica esperadas

para uma rede neural. O ponto mais importante a ser considerado a

existncia de hubs conectando as vrias partes do sistema nervoso assim

como a existncia de regies especializadas, os chamados mdulos. Algumas

caractersticas que seriam importantes para melhor entendimento do grafo no

puderam ser obtidas como o coeficiente de aglomerao que poderia fornecer

mais informaes sobre a segregao funcional do sistema e tambm seria

mais um ponto para afirmar a teoria de que a rede neural uma rede de mundo

pequeno. Tambm como a distribuio de grau poderia elucidar se o grafo

realmente segue a lei de potncia.

BIBLIOGRAFIA

[1] Rubinov, M., Sporns, O. Complex network measures of brain connectivity:

Uses and Interpretations. Elsevier. 2010.

[2] D. J. Watts and S. H. Strogatz, Nature 393, 440-442 (1998).

[3] Barabsi, L. Network Science. E-book version. 2012.

[4] Steen, M Van. Graph theory and complex network.

[5] Hofstad, R Van Der. Random graphs and complex networks. 2012.

[6] http://www.wormclassroom.org/short-history-c-elegans-research

[7] http://www.embl.de/training/events/2012/ECE12-01/

[8] http://www.biologie.ens.fr/bcsgnce/spip.php?article2

[9] http://en.wikipedia.org/wiki/Caenorhabditis_elegans

[9] D. J. Watts and S. H. Strogatz, Nature 393, 440-442 (1998).