teza combinatorii final
DESCRIPTION
teza de doctorTRANSCRIPT
MINISTERUL EDUCAȚIEI AL REPUBLICII MOLDOVA
UNIVERSITATEA DE STAT DIN TIRASPOL
(cu sediul la Chişinău)
TODIRAŞ TATIANA
Metodologia studierii elementelor de combinatorică şi binomului lui Newton
Teză de doctor în ştiinţe pedagogice
Specialitatea 532-02 Didactica matematicii
CHIȘINĂU, 2014
CUPRINS
INTRODUCERE ………………………………………………………………...…. 3
Capitolul I. Strategii didactice și modele de instruire formativă la matematică
I. 1. Strategii didactice ……………………………………………………...…. 6
I. 2. Tipuri și forme de strategii didactice …………………………………..….8
I. 3. Metode activ-participative de predare-învățare a matematicii ……….......10
I. 4. Metode interactive de predare-învățare a matematicii …………………....11
I. 5. Concluzii la Capitolul I…………………………………………………...12
Capitolul II. Metode activ-participative și metode interactive de studiere a elementelor
de combinatorică
II. 1. Mulţimi ordonate………………….. ………………………………...….13
II. 2. Permutări……………………………………… ……………………….. 14
II. 3. Aranjamente…………………………………………………………….. 17
II. 4. Combinări. ………………………………………………………………19
II. 5. Proprietăţi ale combinărilor ………………………………………. ……21
Capitolul III. Metodologia rezolvării problemelor de combinatorică
III. 1. Probleme combinatorii de calcul……………………………………... 28
III. 2. Egalităţi combinatorii…………………………………………………. 31
III. 3. Ecuaţii combinatorii …………………………………………………...35
III. 4. Inecuaţii combinatorii……… ………………………………………... 41
III. 5. Probleme combinatorii …………………………………………….......43Capitolul IV. Argumentarea experimentală a eficienței studierii elementelor de combinatotică şi binomul lui Newton……………………………… 47Concluzii generale ……………………………………………………………….. 56Bibliografie ………………………………………………………………………. 57
2
INTRODUCERE
Actualitatea şi importanţa temei.
Compartimentul "Elemente de combinatorică şi binomul lui Newton"
reprezintă un capitol important în cursul liceal de matematică, studierii căruia
Curriculumul naţional la matematică pentru clasele a X-a – a XII-a prevede 20 ore.
Sensul major al paradigmei educaţionale la matematică în liceu este formarea şi
dezvoltarea competenţelor pentru a realiza dezvoltarea deplină a personalităţii
absolventului liceului şi ai permite accesul acestuia la urmatoarea etapă a
învăţămîntului şi/sau integrarea lui socială pentru a realiza o carieră profesională
adecvată.
Competenţa şcolară este un ansamblu/sistem integrat de cunoştinţe, capacităţi,
deprinderi şi atitudini dobîndite de elevi prin învăţare şi mobilizare în contexte
specifice de realizare, adaptate vîrstei elevului şi nivelului cognitiv al acestuia, în
vederea rezolvării unor probleme cu care aceasta se poate confrunta în viaţa reală.
Pentru ca un elev să-şi formeze o competenţă este necesar ca el:
- să stăpînească un sistem de cunoştinţe fundamentale în dependenţă de problema
care va trebui rezolvată în final;
- să posede deprinderi şi capacităţi de utilizare în situaţii standarde pentru a
înţelege, realizînd asfel funcţionalitatea cunoştinţelor obţinute;
- să rezolve diferite situaţii-problemă, conştietizînd astfel cunoştinţele funcţionale
în viziunea proprie;
- să rezolve situaţii semnificative în diverse contexte care prezintă anumite
3
probleme din viaţa cotidiană, manifestînd atitudini conform achiziţiilor finale, adică
competenţa .
Învăţămîntul matematic liceal vizează orientarea spre micşorarea ponderii de
aplicare de algoritmi în favoarea folosirii diferitor strategii în rezolvarea de
probleme.
Însuşirea profundă şi conştientă a elementelor de combinatorică contribuie
esenţial la formarea capacităţilor intelectuale ale elevilor . Orientînd procesul
instructiv-educativ spre formarea de capacităţi intelectuale, moduri de gîndire,
strategii cognitive, prin metode de instruire activ-participative.
Combinatorica este un compartiment al teoriei mulţimilor. Orice problemă de
combinatorică poate fi redusă la o problemă despre mulţimi finite.
Combinatorica are o importanţă considerabilă pentru teoria probabilităţilor,
cibernetică, logica matematică, teoria numerelor, precum şi pentru alte ramuri ale
ştiinţei şi tehnicii.
Reieşind din importanţa temei, rezultă problema cercetării: eficientizarea
studierii elementelor de combinatorică prin utilizarea metodelor activ-participative şi
interactive şi a strategiilor algoritmice şi euristice de rezolvare a problemelor .
Scopul cercetării constă în fundamentarea teoretică şi experimentală a
metodelor şi procedeelor moderne de studiere a elementelor de combinatorică.
Obiectivele operaţionale:
studierea şi utilizarea metodelor şi a strategiilor maderne de studiere a
elementelor de combinatorică şi de rezolvare a problemelor combinatorii;
recunoaşterea în setul de probleme date problemele de combinatorică;
să identifice în situaţiile reale sau modelate prezentate tipurile de probleme de
4
combinatorică studiate;
să clasifice problemele de combinatorică după criteriul: probleme de
permutări; probleme de aranjamente; probleme de combinări;
să clasifice problemele de combinatorică după modelele de rezolvare.
Valoarea aplicativă a lucrării constă utilizarea metodelor moderne de studiu cît
şi în metodologia rezolvării diverselor probleme combinatorii.
Volumul şi structura lucrării: teza este structurată astfel: introducere, patru
capitole, concluzii şi bibliografie.
5
Capitolul I. Strategii didactice și modele de instruire formativă la matematică
I.1. Strategii didactice
Strategia procesului de învățămînt- vizează operația de proiectare-învățare
prin parcurgerea căreia elevul asimilează conținutul matematicii, își formează
sistemul de abilități prevăzut de programare școlare. În fig.1 este redat modelul
simplificat al acțiunii eficiente, de unde se observă poziția strategiei didactice în
raport cu celelalte elemente ale procesului de instruire.
- finalități educaționale
- conținutul ideatic vehiculat
- strategia didactică adoptată
- cunoașterea și evaluarea randamentului școlar
fig. 1.
Să analizăm strategiile care acționează la nivel micro- al pedagogiei
învățării, strategiei didactice de predare – învățare. Strategiile didactice pot deține o
poziție privigeliată în asamblul factorilor responsabili pentrul succesul școlar al
elevilor. Ori de cite ori are de ținut o lecție, profesorul se află în fața unui act de
decizie strategic, întreprinde o analiză operativă a diferitelor moduri de abordare a
învățării unui concept, deprindere, capacitate ect., evidențiază obiectivele dorite,
conținutul și rezultatele scindate. Schematic acest act decisional este redat în fig. 2.
6
Conținut obiective
Prin strategia didactică înțelegem un ansamblu de decizii vizînd desfășurarea
procesului instructiv – educativ în vederea atingerii unor obiective, decizii adecvate
situației concrete.
În fig. 3. Este redat cadrul de organizare a strategiilor instruirii.
Modul de
organizare a
activităților
elevilor
Tipul de
expunere cu
învățare
Sarcină de
învățare
comună
diferențiată
Dirijarea învățării Metode/mijloace
Control Semi-
dirijare
Ind.
Ex :frontal
dem.
Transmit. Expunere/fișe
Ex :pe grupe Activitate
cognitivă
proprie
Prin
descoperire/culegere
individual
fig. 3. Cadrul de organizare a strategiilor instruirii.
7
în ce condiții
pentru ce?ce?
cînd?
unde?în cît timp?
cu ce?
cu cine?
pentru cine?
cum? de ce este nevoie?
tehnici de instruire
resurse necesare
tehnologia de instruire
resurse / restricții existente
fig. 2. Schema actului decisional al cadrului în legătură cu varianta de organizare și desfășurare a unei activități didactice
La baza eficienței activității a cadrelor didactice stau :
- calitatea și varietatea normelor pedagogice ;
- suportul științific al metodelor și strategiilor de instruire elaborate;
Din punct de vedere normativ, strategia este mai puternică decît o simplă
regulă a unei secvențe, implicînd un sistem de reguli.
Strategia ca structură acțională complexă nu poate fi asimilată nici cu metoda,
nici cu lecția.
Actualul elaborării unei strategii didactice, presupune două faze de analiză și
sinteză redate concis în fig. 4.
fig. 4. Etapele elaborării unei strategii didactice
I.2. Tipuri și forme de strategii didactice
O strategie didactică arată, în general „ce face profesorul‟ și „ce face
elevul‟, ea pune în evidență, pe de o parte, capacitatea cadrului didactic de a alege
și combina într-o anumită ordine metode, procedee și mijloace de instruire, forme
de grupare a elevilor, de a selecta și structura conținutul științific în funcție de
obiectivele propuse, de a opta pentru o anume experiență de învățare ce urmează a
fi trăită de elevi – ceea ce conturează strategiile de predare, iar pe de altă parte,
prevede procedeele și tehnicile de învățare (sub formă de strategii de învățare, care
după Gagné, (44. p. 202), sunt de mai multe tipuri : strategii de elaborare a
ipotezelor, precum și strategii de codificare, strategii de stocare și reconstituire, 8
Examinarea variabilelor constitutive ale unei
situații de învățare
Examinarea factorilor care influențează
Mod de abordareMetodologii
MijloareModuri de organizare
Strategie
strategii de elaborare a ipotezelor, precum și strategii care sunt legate în mod
special de rezolvarea de probleme) pe care le dobîndesc elevii, „exprimă stilul
cognitiv individual, modul cum învață și cum operează cu anumite categorii de
cunoștințe fiecare subiect care parcurge o activitate de învățare‟. Problema
tipologiei strategiilor este încă deschisă și datorită criteriilor după care se
poate răspunde acesteia.
În învățarea matematicii sunt utilizate cu succes : strategii explicativ –
investigative (de descoperire semidirijată), conversație euristică, problematizare,
descoperirea independentă, cercetarea în echipă :
- strategii creative – pun accentul pe capacitatea de reflecție, sinteză,
evaluare critică, creație;
- strategii inductive – prin care gîndirea elevului se apropie de esențial;
- strategii deductive, analogice și mixte.
Propriu-zis nu există strategii strict euristice sau pur algoritmice, ci strategii
mixte în care elementele de dirijare (a învățării) și dependență se îmbină în
proporții diferite. În fig. 5. sunt redate cîteva clase de strategii folosite la
matematică.
I.3. Metode activ-participative de predare-învățare a matematicii9
Strategii clasice
Învățarea prin descoperire (strategii euristice)
Strategii moderne
Strategii algoritmice de învățare (pe bază de algoritmi)
Strategii de consolidare a cunoștințelor
Învățarea prin cercetare (strategii creative)
fig. 5. Strategii didactice
Evoluțiile metedologice merg în direcția aprofundării diferențierii,
individualizării și personalizării proceselor de instruire pe de o parte, iar pe de
altă parte, în direcția socializării acelorași procese, ceea ce lasă loc dezvoltării a
două orientări metodologice distincte:
- o metodologie centrată pe elev și pe propria-i acțiune, urmărindu-se
promovarea metodelor activ-participative și
- o metodologie centrată pe grup, punîndu-se accentual în mod esențial pe
promovarea metodelor interactive centrate pe grup sau echipă.
Metodologia centrată pe elev își găsește concretizarea în aplicarea pe scară
largă a unor așa-zise metode activ-participative.
Metodele activ-participative , prin specificul lor, sunt proceduri care
pornesc de la ideea că, prin felul său de a fi , învățarea este o activitate personală
care nu poate fi cu nimic înlocuită, că singur cel care învață poate să fie considerat
agent al propriei sale învățări.
Privind elevul ca subiect al învățării, motodologia activ-participative
apreciază că efectele instructive și formative ale învățămîntului sunt în raport
direct cu nivelul de angajare și participare ale acestuia în activitatea de învățare, el
se implică făcînd apel la aptitudini intelectuale diferite.
Sub genericul metode activ-participative sunt incluse toate acele metode în
stare să provoace o „învățare activă‟, o învățare care lasă loc liber activității
proprii. Sunt metode care conduc spre învățarea euristică, învățarea prin acțiune,
învățarea creativă, învățarea prin cercetare și redescoperire.
Se poate că prin caracterul lor diferențiat și formative, metodele activ-
participative își aduc o contribuție semnificativă la dezvoltarea potențialului
intelectual al elevului, la intensificarea proceselor mintale.
I.4. Metode interactive de predare-învățare a matematicii10
Este conturată excepția, potrivit căreia evoluția cognitivă a copilului nu
poate fi disociată de clasă, școală, în care acesta este încadrat, că cunoștințele nu
sunt rezultatul individual ci și al interacțiunii în colectiv.
Prin ce se caracterizează învățarea interactivă? În esență, aceasta se bazează
pe interschimbul de informații și idei, de experiențe și reflecții, de interpretări și
sugestii rezolutive de opinii și convingeri , de impresii și atitudini, pe interacțiunile
care se stabilesc în interiorul clasei de elevi ori al micro-grupurilor sau între
perechi.
În alți termeni, învățarea interactivă poate fi definită ca învățare prin
cooperare sau colaborare,structuri de învățare promovate în practica școlii,cînd
paradigma învățămîntului centrat pe grup a cucerit tot mai mult teren.
Dacă învățarea prin cooperare presupune activități împreună, cu sarcini și
scopuri distribuite, cu funcții și responsabilități individuale între membrii grupului,
fiecare subordonîndu-și eforturile rezultatului comun în beneficiul tuturor, învățare
prin colaborare este întemeiată pe lucrul împreună în care fiecare etalează roluri și
funcții diferite.
Sunt considerate acele metode care promovează învățarea interactivă, care
sunt orientate către intensificarea interacțiunilor și interrelațiilor în cadrul grupului
de elevi, care conduc într-un mod organizat , fie în grupul-clasă de elevi, în
grupuri mici sau perechi, la construcția interactivității, fiind cele care încurajează
interschimbul liber de cunoștințe, de idei, de experiențe, confruntarea de opinii și
argumente în vederea ajungerii în comun la construcția unor noi cunoștințe, la noi
calificări și soluții la probleme.
Interactive sunt metodele care contribuie la crearea unor situații de învățare
centrate pe disponibilitatea și dorința de cooperare și colaborare a elevilor de a-și
împărtăși reciproc ideile, opiniile, punctele de vedere, experiențele cu deschidere
către ceilalți.
11
I.5. Concluzii la Capitolul I
1. Strategiile de instruire menţionate determină şi ajută elevii să-şi formeze
capacităţi de cunoaştere a conceptelor şi proprietăţilor acestora.
2. Strategiile de instruire determină şi ajută elevii, ca print-o învăţare activ-
conştientă prin descoperire să-şi formeze capacităţi de aplicare a regulilor în
rezolvarea de probleme.
3. Abordarea predarea-învăţarea din perspectiva formării capacităţilor
intelectuale, a strategiilor de învăţare, ceea ce caracterizează o învăţare
formativăa matematicii.
4. Prin caracterul lor diferenţiat şi formativ metodele activ-participative şi
metodele interactive îşi aduc o contribuţie semnificativă la dezvoltarea
potenţialului intelectual al elevului, la intensificarea proceselor mintale şi,
prin aceasta, la ridicarea calităţii învăţării şi formaţiei.
Capitolul II. Metode activ-participative și metode interactive de
studiere a elementelor de combinatorică.
12
II.1. Mulţimi ordonate
Fie M ={a1 , a2 , …, an } o mulţime finită cu n elemente. Mulţimea M se numeşte
ordonată dacă fiecărui element al ei i se asociază un anumit număr de la 1 la n,
numit rangul elementului, astfel încît elementelor diferite ale lui M le corespund
numere diferite.
Acestă asociere exprimă ordinea elementelor mulţimii M.
Mulţimea ordonată este mulţimea în care este definită o relaţie de ordine, adică
o relaţie binară p, care posedă următoarele proprietăţi:
1. reflexivitatea (apa);
2. antisimetria (apb şi bpa implică a = b);
3. tranzitivitatea (apb şi bpc implică apc).
Exemple
a) Relaţia ≤ dintre numerele reale este o relaţie de ordine.
b) Relaţia de includere a mulţimilor este o relaţie de ordine în mulţimea
tuturor submulţimilor unei mulţimi date.
c) Relaţia de divizibilitate a ⋮ b este relaţie de ordine în mulţimea numerelor
naturale.
Orice mulţime finită poate deveni o mulţime ordonată, adică poate fi ordonată.
O mulţime ordonată este caracterizată prin elementele din care este formată şi
prin ordinea în care sunt considerate acestea.
Două mulţimi ordonate sunt diferite dacă ele se deosebesc fie prin elementele
din care sunt formate, fie prin ordinea lor.
De exemplu, {a ,b , c } şi {b , c , a }; {2 ,3 , 4 } şi {3 , 2 ,4 } sunt mulţimi ordonate diferite.
13
II.2. Permutări
Fie M o mulţime finită cu n elemente, care poate fi ordonată în mai multe
moduri. Se obţin, astfel, mulţimi ordonate diferite, care se deosebesc numai prin
ordinea elementelor. Fiecare din mulţimile ordonate care se constituie cu cele n
elemente ale mulţimii M se numeşte permutare a acestei mulţimi.
Permutarea este înşirarea elementelor unei mulţimi într-o anumită ordine, deci o
ordonare a mulţimii M.
Permutarea ca o ordonare se defineşte indicînd care element este primul, care e
al doilea etc. Cu alte cuvinte, permutarea mulţimii M= {a1 , a2 , a3…,an } poate fi
definită ca o aplicaţie (funcţie) biunivocă (bijectivă) a mulţimii En={1,2,3 , …,n } în
mulţimea M. În acest context permutarea se mai numeşte substituţie.
Numărul permutărilor de n elemente se notează Pn şi se citeşte "permutări de n".
Avem:
1. O mulţime cu un singur element poate fi ordonată într-un singur mod, deci P1=1.
2. O mulţime cu două elemente M= {a ,b } poate fi ordonată în două moduri. Se
obţin două pernutări: {a ,b } şi {b , a }. Deci, P2=2=1∙ 2.
3. Fie o mulţime cu trei elemente M= {a ,b ,c }. Permutările acestei mulţimi sunt:
{a ,b , c },{a , c , b },{b ,a , c },{b , c , a },{c ,a , b },{c , b ,a }.
Deci, P3=6=1 ∙2 ∙ 3.
Să determinăm numărul permutărilor unei mulţimi date M= {a1 , a2, a3…,an }.
14
Menţionam că produsul primelor n numere naturale nenule se notează n! şi se citeşte „n factorial”, adică 1 ∙2 ∙3 ∙ …∙ (n−2 ) ∙ (n−1 ) ∙ n=n!.
Să demonstrăm că numărul de permutări ale mulţimii din n elemente, n∈N ¿, este Pn=n! (1).
Vom aplica metoda inducţiei matematice.
Notăm cu P(n) egalitatea (1).
1) P(1) este adevărată, deoarece P1=1=1!.2) Admitem că P(k)=k ! şi să demonstrăm că P (k+1 )= (k+1 )!.
Să ordonăm în toate modurile posibile o mulţime cu (k+1 ) elemente. Oricare din
cele (k+1 ) elemente ale mulţimii poate ocupa ultimul loc, al (k+1 )-lea. Astfel, se
obţin (k+1 ) moduri diferite de a ocupa ultimul loc. Să considerăm unul din ele, în
care un element ales al mulţimii va avea rangul (k+1 ). Elementele rămase, care sunt
în număr de k, trebuie să ocupe primele k locuri, iar aceasta se poate face în Pk
moduri diferite. Aşadar, obţinem (k+1 ) ∙ Pk moduri de a ordona o mulţime care are
(k+1 ) elemente. Deci, Pk +1=(k+1 ) ∙ P k. Însă Pk=k !. Prin urmare, Pk +1=(k+1 ) ∙ k !=( k+1 )!.
3) Conform principiului inducţiei matematice, obţinem Pn=n! , n∈N ¿.
Considerăm că mulţimea vidă poate fi ordonată într-un singur mod, adică P0=1.
Deci, 0 !=1. Astfel, formula (1) este valabilă pentru orice n∈N .
Exemplul 1
Cîte numere de 3 cifre distincte se pot forma cu cifrele 1, 2, 3?
Rezolvare
P3=3 !=3 ∙2 ∙1=6. Pot fi formate numerele: 123, 132, 213, 231, 321, 312.
Exemplul 2
Considerăm o permutare din 5 elemente: a1 , a2 , a3 , a4 , a5. Să se calculeze numărul
tuturor permutărilor din aceste elemente, astfel încît în fiecare dintre ele pe primul
loc să nu apară elementul a1, iar pe locul al doilea să nu apară elementul a2.
15
Rezolvare
Din 5 elemente putem alcătui P5 permutări. Dintre ele, P4 permutări vor conţine
elementul a1 pe primul loc şi P4 permutări vor conţine elementul a2 pe locul al
doilea. Însă permutări în care pe primul loc va fi a1, iar pe locul al doilea a2 sunt şi
în primul grup, şi în grupul al doilea, numărul lor fiind egal cu P3. De aceea
numărul cerut de permutări este :
P5−( 2P4−P3 )=5 !−(2 ∙ 4 !−3 !)=120−(48−6 )=120−42=78.
Exemplul 3
Cîte numere de 8 cifre pot fi formate cu cifrele 0, 1, 2, 3, 4, 5, dacă în fiecare
număr cifra 1 se va conţine de 3 ori, iar celelalte cifre – cîte o dată?
Rezolvare
În fiecare număr se conţin 3 cifre de unu: 11 ,12 ,13, iar pe celelalte poziţii pot fi
scrise cifrele 0, 2, 3, 4 şi 5 cu aceeaşi posibilitate. Atunci vom obţine P8 numere
distincte. De aici trebuie să excludem P7 numere care încep cu cifra zero.
În realitate, cifrele 1 nu se deosebesc. Cu alte cuvinte, în loc de un număr,
obţinem P3 numere identice, care diferă numai prin permutările reciproce ale
cifrelor1.
Astfel, obţinem în total P8−P7
P3=8 !−7 !
3 !=3 ! ∙4 ∙5 ∙ 6∙ 7 ∙ 8−3 ! ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6∙ 7
3 !=840∙ 7=5880
de numere.
II.3. Aranjamente
Fie o mulţime M cu n elemente. Pentru k ≤ n, din cele n elemente ale mulţimii M se pot forma diferite mulţimi ordonate, fiecare cu cîte k elemente. De exemplu, din elementele mulţimii {a , b , c , d } pot fi formate 12 mulţimi ordonate, avînd fiecare cîte două elemente:
16
{a , b }, {b , a }, {c , a } , {d , a },
{a , c } , {b , c }, {c , b } , {d ,b },
{a , d } , {b , d } , {c , d } , {d , c }.
Mulţimile ordonate care se formează din elementele unei submulţimi oarecare a
unei mulţimi finite M se numesc submulţimi ordonate ale lui M, sau
aranjamente.
Aranjamente de n luate cîte k (n şi k numere naturale şi k ≤ n) sunt submulţimile
ordonate care conţin k elemente diferite din mulţimea dată cu n elemente.
Două aranjamente diferite din n elemente luate cîte k diferă ori prin elementele
înseşi, ori prin ordinea lor.
Numărul aranjamentelor din n elemente luate cîte k se notează Ank şi se citeşte
„aranjamente de n luate cîte k”.
Ank este numărul aplicaţiilor injective ale unei mulţimi cu k elemente într-o
mulţime cu n elemente.
Să găsim o formulă pentru calculul numărului Ank.
Observăm că An1=n.
Într-adevăr, un element din cele n elemente poate fi ales în n moduri, iar cu
acest element se poate forma doar o mulţime ordonată.
Să demonstrăm că dacă k şi n sunt numere naturale, astfel încît 0<k<n, atunci
Ank=n (n−1 ) (n−2 ) … (n−k+1 ) (1).
Vom demonstra întîi că Ank +1=(n−k ) An
k.
Într-adevăr, pentru a repartiza oricare (k+1 ) elemente, luate din n elemente date,
pe (k+1 ) locuri, se pot lua întîi oricare k elemente şi aranja pe primele k locuri.
17
Aceasta se poate realiza în Ank moduri. În fiecare din aceste cazuri rămîn (n−k )
elemente. Oricare din aceste elemente se poate pune pe locul (k+1 ). Astfel, pentru
fiecare din cele Ank moduri de aranjare a elementelor pe primele k locuri, obţinem
(n−k ) posibilităţi prin care locul (k+1 ) este ocupat de unul din cele (n−k ) elemente
rămase.
Prin urmare, obţinem Ank +1=(n−k ) An
k. Luînd în consideraţie că An1=n, deducem
consecutiv:
An2=n (n−1 ) , An
3=n (n−1 ) (n−2 ) , An4=n (n−1 ) (n−2 ) (n−3 ) , …,
Ank=n (n−1 ) (n−2 ) … (n−k+1 ).
Să dăm o altă formă formulei (1):
Ank=n (n−1 ) (n−2 ) … (n−k+1 )=n (n−1 ) (n−2 )… (n−k+1 ) ∙ (n−k ) ∙ …∙ 3∙ 2 ∙1
(n−k ) ∙…∙ 3 ∙2 ∙ 1= n !
(n−k )! .
Deci, Ank= n !
( n−k )! (2).
Pentru k=0, din formula (2) obţinem An0=1. Egalitatea este adevărată, deoarece
orice mulţime conţine mulţimea vidă, despre care am convenit s-o considerăm ordonată într-un singur mod.
Pentru k=n, formula (2) devine Ann=n !
0 !=n !=Pn.
Deci, formulele (1) şi (2) sunt edevărate pentru orice k , n∈N ,0≤ k≤ n .
II.4. Combinări
Fie mulţimea B= {a ,b , c }. Să considerăm toate submulţimile sale:∅ , {a },{b },{c },
{a , b },{a , c },{b , c } , {a ,b , c }.
18
Cu studiul aranjamentelor s-a ocupat pentru prima dată Jacques Bernoulli (1654 – 1705), căruia i se datorează şi denumirea. Simbolul An
k a fost introdus de matematicianul italian Eugen Netto (1846 – 1919) în anul 1901.
Deci, mulţimea B= {a ,b , c } are opt submulţimi, dintre care: trei submulţimi cu
cîte un element, trei submulţimi cu cîte două elemente, o submulţime cu trei
elemente şi mulţimea vidă.
Apare problema: fiind dată o mulţime finită M cu n elemente, să se determine
numărul submulţimilor sale avînd fiecare k elemente.
Combinare din n elemente cîte k este orice submulţime a mulţimii M din n
elemente care conţine k elemente (k=0 , n ).
Din definiţie rezultă că două combinări diferite din n elemente date cîte k
elemente diferă cel puţin printr-un element.
Numărul de combinări din n elemente cîte k este numărul tuturor
submulţimilor a cîte k elemente ale unei mulţimi de n elemente; se notează Cnk sau
( nk ) şi se citeşte „combinări de n luate cîte k”.
Pentru mulţimea B= {a ,b , c } avem: C30=1 ,C3
1=3 ,C32=3 , C3
3=1 ,iar
C30+C3
1+C 32+C3
3=8=23 (numărul tuturor submulţimilor mulţimii B).
Să găsim o formulă pentru calculul numărului Cnk, 0≤ k ≤n , k ,n∈N .
Fie M o mulţime cu n elemente. Să considerăm toate submulţimile mulţimii M
care au k elemente. Ordonăm fiecare din aceste submulţimi în toate modurile
posibile. Obţinem, astfel, toate mulţimile ordonate ale lui M, care au cîte k
elemente. Numărul lor, după cum se ştie, este Ank. Cum numărul tuturor
submulţimilor lui M avînd k elemente este Cnk, iar fiecare din acestea pot fi ordonate
în Pk moduri, rezultă că Ank=Cn
k ∙ P k. Prin urmare, Cnk=
Ank .
Pk.
Înlocuind în această formulă Ank= n!
( n−k )!,P k=k !, obţinem Cn
k= n !k ! (n−k ) ! sau
Cnk=n (n−1 ) (n−2 ) … ( n−k+1 )
k ! , sau Cnk=
Pn
Pk ∙ Pn−k.
19
Cnk reprezintă şi numărul de aplicaţii strict crescătoare ale unei mulţimi total
ordonate de k elemente în o mulţime total ordonată de n elemente.
Exemplul 1
Cîte numere de 3 cifre distincte se pot forma cu cifrele 1, 2, 3, 4, 5?
Rezolvare
C53=5 ∙4 ∙3
1 ∙2 ∙ 3=10. Aceste numere sunt: 123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235,
245, 345.
Exemplul 2
Cîte numere de 7 cifre pot fi scrise cu cifrele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, astfel încît
cifra 2 să se conţină în fiecare număr nu mai puţin de trei ori?
Rezolvare
Din şapte ordine trei trebuie să fie ocupate de cifra 2, ceea ce constituie C73
variante. Pe fiecare din locurile rămase putem scrie oricare din cele 8 cifre. Astfel,
fiecare din variantele anterioare ne oferă încă 84 posibilităţi. Prin urmare, obţinem
84 ∙C73=143360 de numere.
II.5. Proprietăţi ale combinărilor
10 Pentru orice k ,n∈N ,0 ≤ k≤ n ,este adevărată egalitatea Cnk=Cn
n−k. (1)
Demonstraţie
20
Primele procedee de calcul pentru unele combinări au fost date de învăţatul indian Akarya Bhaskara (1114 – 1178). Contribuţii ulterioare au adus celebrul matematician italian Nicolo Tartaglia (1500 – 1557), savantul francez Pierre Herigogne (1501 – 1576). Notaţia Cn
k a fost introdusă de Eugen Netto în 1901. Denumirea se întîlneşte iniţial la Blaise Pascal (1612 – 1662).
Cnk= n!
k ! (n−k ) != n !
(n−k )! [n−(n−k ) ]!=Cn
n−k.
Această formulă se numeşte formula combinărilor complementare.
Sensul acestei afirmaţii este următorul. Fie M o mulţime cu n elemente. Fiecare
submulţimi A cu k elemente a lui M îi asociem cu o submulţime bine determinată,
cu (n-k) elemente, a mulţimii M, şi anume CM A (compelementara submulţimii A în
raport cu mulţimea M). Prin această asociere, unei submulţimi cu (n- k) elemente îi
corespunde o singură submulţime cu k elemente. Deci, numărul submulţimilor cu k
elemente ale lui M este egal cu numărul submulţimilor sale cu (n-k) elemente.
20Pentru orice n∈N este adevărată egalitatea Cn0+Cn
1+Cn2+…+Cn
n=2n. (2)
Demonstraţie
Suma din membrul stîng al egalităţii reprezintă tocmai numărul tuturor
submulţimilor unei mulţimi cu n elemente. Deci, vom demonstra că numărul
tuturor submulţimilor unei mulţimi formate din n elemente este egal cu 2n.
Vom aplica metoda inducţiei matematice.
1) Afirmaţia (2) este adevărată pentru n=0, deoarece mulţimea vidă are o unică
submulţime, şi anume ea însăşi.
2) Admitem că afirmaţia (2) este adevărată pentru n=k, adică mulţimea formată
din k elemente are 2k submulţimi şi să demonstrăm că mulţimea formată din (k+1)
elemente are 2k +1 submulţimi.
Fie o mulţime A formată din (k+1) elemente: A={a1 , a2 , …, ak , ak+ 1 } şi
B= {a1 , a2,…,ak } o submulţime a acesteia.
21
Din presupunere rezultă că B are 2k submulţimi. Din fiecare submulţime a lui B
se obţine o nouă submulţime a lui A prin adăugarea elementului ak+1, deci se obţin
încă 2k submulţimi ale lui A. Prin urmare, în total sunt 2k+2k=2k+1 submulţimi ale
mulţimii A.
3) Conform principiului inducţiei matematice, proprietatea 20 este demonstrată.
30Pentru orice k ,n∈N , 0≤ k≤ n ,este adevărată egalitatea:
Cnk=Cn−1
k +Cn−1k−1. (3)
Demonstraţie
Aplicînd formula pentru Cnk, obţinem Cn−1
k = (n−1 )!k ! (n−k−1 ) !
= (n−1 ) ! (n−k )k ! (n−k ) !
;
Cn−1k−1=
(n−1 )!(k−1 ) ! (n−k ) !
=(n−1 ) !k
k ! (n−k ) !.
Astfel,
Cn−1k +Cn−1
k−1= (n−1 )! (n−k )k ! (n−k ) !
+ ( n−1 ) !kk ! (n−k )!
= (n−1 ) ! (n−k+k )k! ( n−k )!
= (n−1 )!nk ! (n−k ) !
= n !k ! (n−k ) !
=C nk,
c.c.t.d.
40 Triunghiul numeric sau triunghiul lui Pascal
Formula (3) ne permite să calculăm Cnk, ştiind C n−1
k şi Cn−1k−1. Cu ajutorul ei pot fi
calculate succesiv numerele Cnk: întîi pentru n=0, apoi pentru n=1, pentru n=2
s.a.m.d. Scriem valorile numerelorCnk sub forma unui tabel triunghiular, care se
numeşte triunghiul numeric sau triunghiul lui Pascal:
1 n=0 1 1 n=1 1 2 1 n=2 1 3 3 1 n=3 1 4 6 4 1 n=4
22
1 5 10 10 5 1 n=5
În linia (n+1 ) a triunghiului sunt aşezate în ordine numerele Cn0 , Cn
1 ,Cn2 ,…, Cn
n.
Avem Cn0=Cn
1=1, iar celelalte numere se calculează cu ajutorul formulei (3).
Deoarece numerele C n−1k şi Cn−1
k−1 sunt dispuse în acest tabel în linia precedentă
celei în care se găseşte Cnk, la stînga şi la dreapta acestuia, pentru a obţine Cn
k
adunăm numerele din linia precedentă situate la stînga şi la dreapta sa.
De exemplu, numărul 6 din linia a cincea se obţine adunînd numerele 3 şi 3 din
linia precedentă.
50Pentru orice m , n∈ R ,0 ≤ m≤ n, Cn−10 +Cn
1+Cn+12 +…+Cn+m−1
m =Cn+mm .
Demonstraţie
Considerăm m combinări cu repetiţii, alcătuite din(n+1 ) elemente. Numărul
acestor combinări Cn+1m =Cn+m
m . Divizăm toate aceste combinări în clase, atribuind
clasei k combinările în care elementul a1 se conţine de k ori. Restul (m−k ) locuri pot
fi ocupate de celelalte elemente a2, a3 ,…, an+1, al căror număr este egal cu n. de
aceea, în clasa k se conţin atîtea combinări cîte (m−n ) combinări cu repetiţii pot fi
alcătuite din n elemente, adică Cn+m−k −1m−k .
Prin urmare, numărul total de combinări este egal cu
Cn+m−1m +Cn+m−1
m−1 +…+Cn1+Cn−1
0 .
23
Pînă la Blaise Pascal (1623 – 1662) triunghiu indicat era cunoscut de italianul Nicolo Tartaglia (1500 – 1557), matematician de excepţie. Cu mult înainte de Tartaglia acest triunghi se întîlneşte în lucrările celebrului matematician,astronom, filozof şi poet arab Ommar Khayyam (1048 – 1124).
Pe de altă parte, acest număr este egal cu Cn+mm , c.c.t.d.
60 Pentru orice m , n∈N ¿ , m≤ n , Cnn+Cn+1
n +Cn+2n +…+Cn+m−1
n =Cn+mn+1 .
Demonstraţie
Substituind în 50 n cu n+1 şi m cu m−1, în baza proprietăţii 10, obţinem
proprietatea 60.
Să examinăm cîteva cazuri particulare ale proprietăţii 60 pentru n=1,3.
Pentru n=1, obţinem 1+2+…+m=m (m+1 )
2 (4).
Pentru n=2, obţinem 1 ∙2+2 ∙3+…+m(m+1)=m(m+1)(m+2)
3 (5).
Pentru n=3, obţinem
1 ∙2 ∙3+2∙3 ∙4+…+m(m+1)(m+2)=m(m+1)(m+2)(m+3)4
(6).
Cu ajutorul formulelor (4) – (5) vom deduce formule pentru calcularea în mod
raţional a sumei pătratelor şi a sumei cuburilor numerelor naturale de la 1 pînă la m.
Scriem formula (5) sub forma:
12+22+…+m2+1+2+…+m=m(m+1)(m+2)
3.
Deoarece, conform formulei (4), 1+2+…+m=m (m+1 )
2 , obţinem
12+22+…+m2=m (m+1 ) (m+2 )3
−m (m+1 )2
=m(m+1)(2m+1)6
.
În mod analog din (6) deducem 13+23+…+m3=m2 ( m+1 )2
4.
70 Pentru m , n∈ N ¿, Cn1Cm−1
0 +Cn2 Cm−1
1 +…+Cnn Cm−1
n−1 =Cm+n−1m (7).
24
Demonstraţie
Să considerăm m combinări cu repetiţii, alcătuite din n elemente de diferite
tipuri, pe care le clasificăm astfel: în prima clasă se includ combinările alcătuite din
elemente identice, în clasa a doua – combinările alcătuite din elemente de două
tipuri, …, în clasa a n-a – combinările alcătuite din elementele de toate n tipuri
(bineînţeles, dacă m<n ,atunci obţinem numai mclase).
Să determinăm numărul de combinări din fiecare clasă. Selectăm combinările
care aparţin clasei k în două etape. Întîi selectăm care anume k tipuri de elemente se
conţin în combinare (deoarece numărul total de tipuri este n, rezultă că această
selecţie o putem efectua în Cnk moduri). Apoi din elementele acestor k tipuri
alcătuim m combinări cu repetiţii în care toate aceste k tipuri sunt prezente.
Numărul acestor combinări cu repetiţii este Cm−1m−k=Cm−1
k−1 .
În conformitate cu regula de înmulţire, în clasa k se conţin Cnk ∙ Cm−1
k−1 combinări.
Adunînd numărul de combinări din fiecare clasă, obţinem numărul total de m
combinări cu repetiţii din elementele de n tipuri, adică Cn+m−1m , c.c.t.d.
80 Pentru orice m , n∈ N ¿, Cnn−1Cm−1
0 +C nn−2 Cm−1
1 +…+Cn0 Cm−1
n−1 =Cm+n−1m . (8)
Demonstraţie
Dacă în (7) m<n, atunci ultimul termen al sumei va fi C nmCm−1
m−1. Substituind în
egalitatea astfel obţinută din (7) fiecare termen Cnk prin Cn
n−k, obţinem (8).
Un caz prticular al formulei de includere şi eliminare
Multe proprietăţi ale combinărilor se demonstrează cu ajutorul formulei de
includere şi eliminare. Să examinăm un caz particular al acestei formule.
Fie numărul N (α1 α2 …α k) de elemente care posedă proprietăţile α 1 , α 2 ,…, α k
depinde nu de înseşi aceste proprietăţi, dar numai de numărul lor, adică
25
N (α 1 )=…=N (α n ),
N (α 1α 2 )=N ( α1 α3 )=…=N ( αn−1 α n),
N (α 1α 2 α3 )=N ( α1 α 2α 4 )=…=N ( αn−2 α n−1α n ) ş.a.m.d.
Atunci toţi termenii sumei N (α 1 )+…+N (α n ) sunt egali cu unul şi acelaşi număr, pe
care îl notăm N (1 ). Deoarece suma conţine n termeni, obţinem N (α 1 )+…+N (α n )=nN ( 1)=C n
1∙ N (1 ).
În mod analog demonstrăm că
N (α 1α 2 )+N (α 1α 3 )+…+N (α n−1 αn )=Cn2 ∙ N (2), unde N (2 )=N (α 1α 2 ), şi, în caz general,
N (α 1α 2 …αk )+…+N (α n−k+1 …αn )=Cnk ∙ N (k ).
În cazul nostru formula de includere şi eliminare ia forma
N ( 0)=N−Cn1 N (1 )+Cn
2 N (2 )−…+(−1 )n Cnn N (n ). (9)
90 Pentru orice n∈N , Cn0−Cn
1+Cn2−…+(−1 )n Cn
n=0.
Demonstraţie
Deoacere Cn0=Cn−1
0 =1, conform proprietăţii 30, obţinem Cn−10 −Cn
1=−Cn−11 , unde
primul termen este Cn−10 . Ulterior, avem −Cn−1
1 +Cn2=C n−1
2 ş.a.m.d.
În final toţi termenii se omit, c.c.t.d.
100 Pentru orice m ,n∈ N ,0 ≤ m≤ n,
Cn0Cn
m−Cn1Cn−1
m−1+Cn2Cn−2
m−2−…+ (−1 )nCnmCn−m
0 =0. (10)
Demonstraţie
26
Considerăm m combinări din n elemente α 1 , α 2 ,…, α n. Notăm prin (α 1 , …, α k)
proprietatea combinării care denotă că în această combinare se conţin elementele
α 1 , …,α k. Numărul N (α 1 , …, α k ) de atare combinări este Cn−km−k (în acestea, k locuri sunt
ocupate de elementele α 1 ,…, α k, iar pentru celelalte (m−k) locuri rămase sunt(n−k)
elemente pretendente ).
Numărul total de combinări este egal cu Cnm, şi nu există combinări în care nu
posedă nici una din proprietăţile (α 1 ) ,…, ( αn ) (în fiecare din m combinări se conţin
careva elemente). De aceea, în cazul nostru, N=Cnm , N (0 )=0 , N (k )=Cn−k
m−k.
Substituind aceste valori în formula (9), obţinem formula (10).
În mod analog se demonstrează proprietăţile:
110 Pentru orice m , n∈ N ¿ , m≥ n,
Cn0Cn+m−1
m −Cn1 Cn+m−2
m−1 +C n2Cn+m−3
m−2 −…+(−1 )n Cnn Cm−1
m−n=0.
120 Pentru orice m ,n∈ N ¿ ,m<n,
Cn0Cn+m−1
m −Cn1 Cn+m−2
m−1 +…+ (−1 )nCnmCn−1
0 =0.
Capitolul III. Metodologia rezolvării problemelor de combinatorică
III. 1. Probleme combinatorii de calcul
1. Să se calculeze An
6+ An5
An4 .
Rezolvare
27
An6+ An
5
An4 =
n (n−1 ) (n−2 ) ( n−3 ) (n−4 ) ( n−5 )+n (n−1 ) (n−2 ) (n−3 ) (n−4 )n (n−1 ) (n−2 ) ( n−3 )
=n (n−1 ) (n−2 ) (n−3 ) [ (n−4 ) ( n−5 )+n−4 ]
n (n−1 ) (n−2 ) (n−3 )=n2−8 n+16= (n−4 )2
.
2. Să se calculeze 1
Pn− 1
Pn+2.
Rezolvare
1Pn
− 1Pn+2
= 1n !
− 1(n+2 )!
= 1n !
− 1n ! (n+1 ) (n+2 )
= 1n ! [1− 1
(n+1 ) (n+2 ) ]= 1n!
∙ n3+3n+1( n+1 ) (n+2 )
=n3+3 n+1(n+2)!
.
3. Să se calculeze An+kk +3+ An+ k
k+ 2
An+ kk+1−An+k
k .Rezolvare
An+kk +3+ An+ k
k+ 2
An+ kk+1−An+k
k =[ (n+k )!(n−3 )!
+(n+k )!(n−2 )! ] : [ (n+k )!
(n−1 )!−
(n+k )!n ! ]=¿
¿ [ (n+k )!(n−3 )! (1+ 1
n−2 )] : [ (n+k )!(n−1 )! (1−1
n )]=¿[ (n+k ) !( n−3 ) !
∙ n−1n−2 ] : [ (n+k )!
(n−1 )!∙ n−1
n ]=¿
¿(n+k ) !(n−3)!
∙ n−1n−2
∙ (n−1 ) !n !(n−1 ) (n+k ) !
=(n−1 )n !(n−2 )!
= n!(n−2 )!
=(n−2 ) ! (n−1 )n
(n−2 )!=n(n−1).
4. Să se calculeze Cn1+2Cn
2+3 Cn3+…+nCn
n.Rezolvare Notăm Sn=Cn1+2 Cn
2+3 Cn3+…+nC n
n.Aplicînd formula combinărilor complementare Cnk=Cn
n−k, obţinem Sn=nCn0+(n−1)Cn
1+…+Cnn−1. Adunînd aceste două egalităţi, obţinem: 2 Sn=n [Cn
0+Cn1+…+Cn
n ]=n ∙ 2n, de unde Sn=n∙ 2n−1.5. Să se calculeze 3Cn1+7Cn
2+11Cn3+…+(4 n−1)Cn
n.Rezolvare 3 Cn
1+7 Cn2+11Cn
3+…+(4 n−1 ) Cnn=4 (Cn
1+2 Cn2+…+nCn
n)−−¿¿.6. Să se calculeze Cn1−2Cn
2+3C n3−…+ (−1 )n−1 ∙ n∙ Cn
n.Rezolvare Cum Cnk=Cn−1
k +Cn−1k−1, obţinem
Cn1−2Cn
2+3 Cn3−…+ (−1 )n−1 ∙ n∙ Cn
n=¿
28
¿Cn−10 +C n−1
1 −2 (Cn−11 +Cn−1
2 )+3 (Cn−12 +Cn−1
3 )−…+ (−1 )n−1∙ n∙ Cn−1n−1=Cn−1
0 −Cn−11 +Cn−1
2 −…+(−1 )n−1 Cn−1n−1
.
Această sumă este egală cu 1 pentru n=1 şi este egală cu 0 pentru n>1.
7. Să se calculeze Cn0
2+
Cn1
3+
Cn2
4+…+
Cnn
n+2.
Rezolvare
Notăm Sn=Cn
0
2+
Cn1
3+
Cn2
4+…+
Cnn
n+2.
Deoarece Cnk=
(k+2)(k+1)(n+1)(n+2)
∙ Cn+2k+2, rezultă că
Sn=1
(n+1 ) (n+2 ) [Cn+22 +2Cn+2
3 +…+ (n+1 ) Cn+2n+2 ]=¿
¿ 1(n+1 ) (n+2 )
¿.
Aplicînd rezultatele problemelor 4 şi 5, obţinem
Sn=1
(n+1 ) (n+2 )[2n+1 (n+2 )−2n+2+1 ]= n∙2n+1+1
(n+1 ) (n+2 ).
8. Să se calculeze Cn0−Cn
2+Cn4−Cn
6+…+ (−1 )k Cn2k,
unde n−1≤ 2k ≤n .
Rezolvare
În dezvoltarea la putere a binomului
(1+i )n=Cn0+iCn
1+ i2 Cn2+i3 Cn
3+i4 Cn4+…+Cn
n in=¿
¿Cn0+ iCn
1−C n2−iCn
3+Cn4+…+Cn
nin, separăm partea reală:
Cn0−Cn
2+Cn4−Cn
6+…+ (−1 )k Cn2k.
Scriem numărul complex1+i sub formă trigonometrică:
1+i=√2(cos π4+isin π
4 ).
Atunci (1+i )n=[√2(cos π4
+isin π4 )]
n
=√2n(cos nπ4
+ isin nπ4 ).
29
Egalînd partea reală a dezvoltării binomului la putere cu partea reală a
numărului complex (1+i )n, obţinem:
Cn0−Cn
2+Cn4−Cn
6+…+ (−1 )k Cn2k=√2n cos nπ
4 ,
unde n−1≤ 2 k ≤n.
Ultima restricţie înseamnă că prin 2 k notăm acel dintre numerele n−1 şi n care este
par.
9. Să se calculeze C82+C8
3+C 94+C 10
5 +C116 .
Rezolvare
Conform formulei Cnr=Cn−1
r−1+Cn−1r , obţinem consecutiv:
C 82+C8
3=C93; C9
3+C94=C10
4 ; C104 +C10
5 =C115 şi
C115 +C11
6 =C126 = 12!
6 ! ∙ 6 !=924.
10. Ştiind că C131 +C13
3 +C135 +…+C13
13=A şi
C300 +C30
2 +C304 +…+C30
30=B, să se calculeze A∙B.
Rezolvare
C131 +C13
3 +C135 +…+C13
13=213−1=212, iar
C300 +C30
2 +C304 +…+C30
30=230−1=229. Astfel, A∙B¿212 ∙229=241.
11.Să se calculeze 12!10! .
Rezolvare12!10!
=10 ! ∙ 11 ∙1210 !
=11 ∙12=132.
12. Să se calculeze 10 !+9!12!−11! .
Rezolvare
10 !+9!12!−11!
= 9 ! ∙ 10+9 !11! ∙12−11!
=9!(10+1)
11!(12−1)= 9 !
11!= 9 !
9 ! ∙10 ∙11= 1
110.
30
13. Să se calculeze (2n−1)!(2 n+1)! .
Rezolvare (2n−1) !(2 n+1)!
= (2 n−1) !(2 n−1) ! ∙2n ∙(2 n+1)
= 12 n(2n+1)
= 14 n2+2n
.
14. Să se calculeze [ 1n!
− 1(n−1) ! ]: n2−1
(n+1)! .
Rezolvare
[ 1n !
− 1(n−1)! ]: n2−1
(n+1)!=( 1
n !− n
n !) ∙(n+1 )!
(n−1 ) (n+1 )= 1−n
n !∙ n! ∙ (n+1 )
(n−1 ) (n+1 )=1−n
n−1=−1.
III. 2. Egalităţi combinatorii
1. Să se demonstreze că pentru orice x ,n∈N ,1 ≤ n≤ 2x, are loc egalitatea P2x +1
A2x−1n−1 ∙ P2x−n
=2 x(2 x+1)
Rezolvare
Aplicînd formulele pentru calculul numărului de permutări şi aranjamente,
obţinem:P2 x +1
A2x−1n−1 ∙ P2x−n
=(2 x+1)!
(2 x−1)!(2 x−n)!
∙(2 x−n)!=
(2 x+1)!(2 x−1)!
=(2 x−1)! ∙ 2 x ∙(2 x+1)
(2 x−1)!=2 x (2 x+1).
2. Să se demonstreze că pentru orice n∈N , n≥ 2, are loc egalitatea
12+22+32+…+n2=Cn+12 +2(Cn
2+Cn−12 +…+C 2
2) (1).
Rezolvare
Calculăm suma
Cn−22 +Cn+ 1
2 =(n+2)(n+1)
2+(n+1)n
2=
2 ( n2+2n+1 )2
=(n+1 )2.
Deci, (n+1 )2=Cn−22 +Cn+1
2 (2).
Vom aplica metoda inducţiei matematice.
1) Evident, egalitatea (1) este adevărată pentru n=2.
2) Presupunem că egalitatea (1) este adevărată pentru n=k, adică 31
12+22+32+…+k 2=C k+12 +2(C k
2+Ck−12 +…+C 2
2) .
Să demonstrăm că egalitatea (1) este adevărată pentru n=k+1.
Într-adevăr, adunînd egalităţile (1) şi (2), obţinem
12+22+32+…+k 2+( k+1 )2=C k+12 +2(C k+1
2 +C k2+C k−1
2 +…+C22).
3) În baza principiului inducţiei matematice, egalitatea (1) este adevărată pentru
orice n∈N ,n ≥ 2.
3. Să se demonstreze că pentru orice n , k∈N ¿ , k<n, are loc egalitatea
An−1
k−1∙ Pn−k
Pn−1=1.
Rezolvare
An−1k−1∙ Pn−k
Pn−1=
(n−1)!(n−k )!
∙(n−k )!
(n−1)!=1.
4. Să se demonstreze că pentru orice n∈N , n ≤10, are loc egalitatea
A10n ∙ P10−n=10 P9 .
Rezolvare
A10n ∙P10−n=
10 !(10−n )!
∙(10−n)!=10 ! şi 10 ∙ P9=10 ∙9 !=10 !.
5. Să se demonstreze că pentru orice n , k∈N ,3≤ k≤ n−3, are loc egalitatea
Cnk=Cn−3
k +3Cn−3k−1+3 Cn−3
k −2+C n−3k−3.
Rezolvare
Cn−3k +3Cn−3
k−1+3 Cn−3k−2+Cn−3
k−3=¿
¿(n−3 ) !
k ! (n−k−3 )!+
3 (n−3 )!(k−1 )! (n−k−2 )!
+3 (n−3 )!
(k−2 )! (n−k−1 ) !+
(n−3 )!(k−3 ) ! (n−k ) !
=( n−3 ) !
k ! (n−k ) !∙ [ (n−k−2 ) (n−k−1 ) (n−k )+3 k (n−k−1 ) (n−k )+3 k ( k−1 ) (n−k )++(k−2 ) (k−1 ) k ]= ( n−3 ) ! (n3−3n2+2 n )
k ! (n−k ) !=
(n−3 )!n (n2−3 n+2 )k ! (n−k )!
=(n−3 )!n (n−2 ) (n−1 )
k ! ( n−k )!= n !
k !(n−k) !=Cn
k
.
32
6. Să se demonstreze că pentru orice n , k∈N ¿ , k<n, are loc egalitatea
Cnk=Cn−1
k−1+Cn−2k−1+…+C k−1
k−1.
Rezolvare
Folosind egalitatea Cn+1k =Cn
k+Cnk−1, obţinem
Cnk=Cn−1
k +Cn−1k−1,
Cn−1k =Cn−2
k +Cn−2k−1,
…………………….
C k+1k =C k
k+C kk−1,
C kk=Ck−1
k−1 (¿1 ) .
Adunînd membru cu membru aceste egalităţi, obşinem
Cnk+Cn−1
k +…+Ck−1k +C k
k=¿
¿C n−1k +Cn−2
k +…+Ckk+Cn
k−1+Cn−1k−1+Cn−2
k−1+C kk−1+Ck−1
k−1,
de unde Cnk=Cn−1
k−1+Cn−2k−1+…+C k−1
k−1.
7. Să se demonstreze că pentru orice n∈N ¿ are loc egalitatea
Cn1
Cn0 +
2 Cn2
Cn1 +
3 Cn3
Cn2 +…+
nCnn
Cnn−1 =
n(n+1)2
.
Rezolvare
Cn1
Cn0 =n;
2C n2
Cn1 =n−1;
3C n3
Cn2 =n−2; …;
(n−2)Cnn−2
Cnn−3 =
(n−2) ∙Cn2
Cn3 =3;
(n−1)Cnn−1
Cnn−2 =
(n−1)∙Cn1
Cn2 =2;
nCnn
Cnn−1 =
n∙Cn0
Cn1 =1.
Adunînd aceste egalităţi membru cu membru, obşinem:
33
Cn1
Cn0 +
2Cn2
Cn1 +
3Cn3
Cn2 +…+
nC nn
Cnn−1 =1+2+3+…+ (n−2 )+( n−1 )+n=
n(n+1)2
.
8. Să se demonstreze că pentru orice n∈N ¿ are loc egalitatea
2Cn0+
22Cn1
2+
23 Cn2
3+…+
2n+1 Cnn
n+1=3n+1−1
n+1.
Rezolvare
Aplicînd formula lui Newton, obţinem
(1+x)n+1=Cn+10 +Cn+1
1 x+Cn+12 x2+Cn+1
3 x3+…+Cn+1n+1 xn+1;
(1+x)n+1−1=Cn+ 11 x+Cn+1
2 x2+Cn+13 x3+…+C n+1
n xn+Cn+1n+1 xn+1.
Însă Cn+11 =n+1; Cn+1
2 =(n+1)n2 ; Cn+1
3 =(n+1)n(n−1)1 ∙2 ∙3 ; …
Astfel, (1+x )n+1−1=(n+1 ) x+ (n+1 ) n2
x2+(n+1 ) n (n−1 )
1∙ 2∙3x3+…+xn+1 .
Împărţind ambii membri ai ultimei egalităţi la (n+1 ), obţinem:
(1+ x )n+1−1n+1
=x+n2
x2+n (n−1 )1 ∙2∙3
x3+…+ xn+1
n+1=¿
¿C n0 x+
Cn1
2x2+
Cn2
3x3+…+
Cnn
n+1xn+1.
Pentru x=2, obţinem 3n+1−1n+1
=2Cn0+
22 Cn1
2+
23Cn2
3+…+
2n+1C nn
n+1.
9. Să se demonstreze că pentru orice n∈N are loc egalitatea
16C2n2 +32 C2n
4 +48 C2 n6 +…+8 (2 n−2 )C2 n
2 n−2+8∙ 2 n C2 n2 n=n∙ 22 n+2.
Rezolvare
Aplicînd formula k Cmk =m Cm−1
k−1 , obţinem
16C2n2 +32 C2n
4 +48 C2 n6 +…+8 (2 n−2 )C2 n
2 n−2+8∙ 2n C2n2n=¿
34
¿8 [2C2 n2 +4C2 n
4 +6C2n6 +…+(2 n−2 ) C2 n
2 n−2+2 nC2 n2 n ]=¿
¿8 (2 nC2n−11 +2 nC2n−1
3 +2 nC2 n−15 +…+2 nC 2 n−1
2 n−3+2nC2n−12n−1)=¿
¿16 n (C2n−11 +C2 n−1
3 +C2 n−15 +…+C2 n−1
2 n−3+C2 n−12 n−1)=¿
¿16 n ∙ 22 n−1
2=n ∙22 n+2.
III. 3. Ecuaţii combinatorii
1. Să se rezolve ecuaţia A x
7−A x5
Ax5 =89.
Rezolvare
DVA: x≥ 7 , x∈N .
A x7= x !
(x−7)! ; A x5= x !
(x−5)!. Deci, ecuaţia ia forma:
x !(x−7) !
− x !(x−5) !
=89 ∙ x !(x−5)!
.
Împărţind ambii membri ai ultimei ecuaţii la x!
(x−7) ! , obţinem ecuaţia
1−1
( x−6 ) ( x−5 )= 89
( x−6 ) ( x−5 )⇔ ( x−6 ) (x−5 )−1=89⇔ x2−11 x−60=0 ,
care are soluţiile x1=−4 , x2=15. Constatăm că numai 15∈DVA.
Răspuns: S= {15 }.
2. Să se rezolve ecuaţia C x3+C x
4=x (x−2).
Rezolvare
DVA: x≥ 4 , x∈N .
Aplicînd formula Cnk=
n (n−1 ) (n−2 ) … ( n−k+1 )k ! , obţinem ecuaţia
x(x−1)(x−2)3 !
+x (x−1)(x−2)(x−3)
4 !=x ( x−2 ) ⇔ ( x−1 )
3!+(x−1)(x−3)
4 !=1⇔
35
⇔ x−16
+(x−1)(x−3)
24=1⇔ 4 x−4+ x2−4 x+3=24 ⇔ x2=25 ⇔
⇔x1=−5 , x2=5 ;−5∉DVA. Răspuns: S= {5 }.3. Să se rezolve ecuaţia C x+8
x+3=5 A x +63 .
Rezolvare
DVA: x≥−3 , x∈Z.
Aplicînd formulele pentru calculul numărului de combinări şi de aranjamente,
precum şi proprietatea Cnk=Cn
n−k, obţinem ecuaţia
C x+85 =5 A x +6
3 ⇔ (x+8 ) ( x+7 ) ( x+6 ) ( x+5 )5 !
=5 ( x+6 ) ( x+5 ) ⇔
⇔ ( x+8 ) ( x+7 )=600 ⇔x2+15 x−544=0, care are soluţiile
x1=−32 , x2=17. Constatăm că doar 17∈DVA.
Răspuns: S= {17 }.
4. Să se rezolve ecuaţia C4 x+94 (x+1)=5 A4 x +7
3 .
Rezolvare
DVA: x≥−1 , x∈Z.
Scriem ecuaţia astfel C4 x+95 =5 A4 x+7
3 , atunci (4 x+9)!
5! (4 x+4) !=5 ∙ (4 x+7)!
(4 x+4 )!⇔
⇔ (4 x+7 ) ! (4 x+8 ) ( 4 x+9 )=5 ! ∙ 5 ∙ ( 4 x+7 ) !⇔ 4 ( x+2 ) ( 4 x+9 )=¿
¿120 ∙5⇔ 4 x2+17 x+18=150 ⇔4 x2+17 x+132=0⇔ x1=4 ,
x2=−33
4 .
Constatăm că doar 4∈DVA.
Răspuns : S= {4 }.
5. Să se rezolve ecuaţia Px +2
A xk ∙P x−k
=132.
Rezolvare
DVA: x∈N.( x+2 )!
x !( x−k )!
∙ ( x−k ) !=132,
36
( x+2 )!x !
=132⟺ x ! ( x+1 ) ( x+2 )x !
=132⟺ x2+3 x+2=132⟺
⟺ x2+3 x−130=0⟺ x1=−13 , x2=10.
Constatăm că doar 10∈DVA.
Răspuns: S= {10 }.
6. Să se calculeze n şi r, ştiind că Anr =272 şi Cn
r=136.
Rezolvare
Vom rezolva următorul sistem de două ecuaţii cu 2 necunoscute.
{ n !(n−r )!
=272
n !r ! (n−r)!
=136
Substituind n!
(n−r )!=272 în ecuaţia a doua a sistemului, obţinem r !=2, de unde
r=2. Pentru r=2 prima ecuaţie a sistemului ia forma n !
(n−2)!=272, de unde
n (n−1 )=272⟺n2−n−272=0 ,care are soluţiile n1=−16 , n2=17.
Răspuns: r=2;n=17.
7. Să se rezolve sistemul de ecuaţii{ A xy=7 A x
y−1
6 C xy=5C x
y +1
Rezolvare
DVA: y<x , x , y∈N ¿.
Scriem sistemul astfel:
{ x !(x− y )!
=7 ∙ x !(x− y+1)!
6 ∙ x !y !(x− y )!
=5 ∙ x !( y+1 )! (x− y−1)!
⟺ { x− y+1=76
x− y= 5
y+1⟺
⟺ { x− y=65x−11 y=6
⟺ {x=10 ,y=4.
Răspuns: S= {(10,4 ) }.
8. Să se rezolve ecuaţia A x4:( A x+1
3 −C xx−4)=24
23 .
Rezolvare
DVA: x≥ 4 , x∈N .
37
A x+13 −C x
x−4=( x+1 ) ∙ x ∙ ( x−1 )−C x4=( x+1 ) ∙ x ∙ (x−1 )−¿
−x ( x−1 ) ( x−2 )(x−3)1∙ 2 ∙3 ∙ 4
=x( x−1) [24 ( x+1 )−( x−2 )(x−3) ]
24=
x (x−1)[24 x+24−(x2−5 x+6)]24
.
Astfel,
A x4:
x (x−1)[24 x+24−(x2−5x+6)]24
=2423
⟺ x (x−1 ) ( x−2 )(x−3) ∙24x (x−1)[24 x+24−(x2−5x+6)]
=2423
⟺
⟺23 ( x2−5 x+6 )=24 ( x+1 )−( x2−5 x+6 )⟺24 ( x2−5 x+6 )=¿
¿24 ( x+1 )⟺x2−5 x+6=x+1⟺ x2−6 x+5=0 , de unde x1=1 , x2=5.
Constatăm că numai x=5 aparţine DVA.
Răspuns: S= {5 }.
9. Să se rezolve ecuaţia C xx−1+Cx
x−2+C xx−3+…+C x
x−9+C xx−10=1023.
Rezolvare
DVA: x≥ 10 , x∈N .
C xx−1+C x
x−2+C xx−3+…+C x
x−9+C xx−10=1023⟺
⟺C x1 +C x
2+C x3+…+C x
9+C x10=1023⟺ ⟺(C x
0+C x1+C x
2+C x3+…+C x
9+C x10)−Cx
0=1023⟺⟺2x−1=1023⟺2x=1024⟺2x=210 , de unde x=10. Răspuns: S= {10 }.10. Să se rezolve ecuaţia Px+3:( A x
5 ∙ Px−5)=720.
Rezolvare
DVA: x≥ 5 , x∈N .
P x+3: ( A x5 ∙Px−5 )=720⟺ ( x+3 ) ! : x !
(x−5)!∙(x−5)!=720⟺
⟺ (x+3 )!x !
=720⟺ x ! ( x+1 ) ( x+2 ) ( x+3 )x !
=720⟺ x3+6 x2+11 x−714=¿
¿0⟺ ( x−7 ) ( x2+13 x+102 )=0 , de unde x=7 (ecuaţia de gradul II x2+13 x+102=0 nu
are soluţii reale, deci nici naturale).
Răspuns: S= {7 }.
11. Să se rezolve ecuaţia Ax+13 +C x+1
x−2=14 (x+1).
Rezolvare 38
DVA: x≥ 3 , x∈N .
Ax+13 +C x+1
x−2=14 ( x+1 )⟺ A x+13 +C x+1
3 =14 ( x+1 )⟺
⟺ ( x+1 ) ∙ x ∙ ( x−1 )+ (x+1 ) ∙ x ∙ ( x−1 )6
=14 (x+1)⟺
⟺7 x ( x−1 )=84⟺ x2−x−12=0, de unde x1=4 , x2=−3.Constatăm că doar 4∈DVA. Răspuns: S= {4 }.12. Să se rezolve ecuaţia C x+1
2 ∙ A x2−4 x3=( A2 x
1 )2.
Rezolvare
DVA: x≥ 2 , x∈N .
C x+12 ∙ Ax
2−4 x3=( A2x1 )2⟺ A x+1
2
P2∙ Ax
2−4 x3=4 x2⟺
⟺ (x+1) ∙ x2
∙ x ( x−1 )−4 x3=4 x2⟺x2−8 x−9=0, de unde
x1=9 , x2=−1. Constatăm că doar 9∈DVA.
Răspuns :S= {9 } .
13. Să se rezolve ecuaţia 11 ∙ Cx3=24 ∙C x+1
2 .
Rezolvare
DVA: x≥ 3 , x∈N .
11 ∙ C x3=24 ∙ C x+1
2 ⟺11 ∙x ( x−1 )(x−2)
3 ! =24 ∙(x+1)x
2 ! ⟺
⟺11 ( x−1 ) ( x−2 )=72 ( x+1 )⟺11 x2−105 x−50=0, de unde
x1=10 , x2=−511 . Constatăm că doar 10∈N .
Răspuns :S= {10 }.
14. Să se rezolve ecuaţia Ax+1n+1 ∙ (x−n)!=90 (x−1)!.
Rezolvare
DVA: x∈ N ¿.
A x+1n+1 ∙ ( x−n )!=90 ( x−1 ) !⟺ ( x+1 ) !
( x−n )!∙(x−n)!=90(x−1)!⟺
⟺ ( x−1 ) ! ∙ x ∙ ( x+1 )=90 ( x−1 )!⟺ x ( x+1 )=90⟺
⟺ x2+x−90=0, de unde x1=9 , x2=−10. Constatăm că -10∉DVA.39
Răspuns :S= {9 } .
15. Să se rezolve ecuaţia Ax5=18 ∙ Ax−2
4 .
Rezolvare
DVA: x≥ 6 , x∈N.
A x5=18 ∙ A x−2
4 ⟺ x (x−1 ) ( x−2 ) ( x−3 ) ( x−4 )=¿
¿18 ( x−2 ) ( x−3 )(x−4)(x−5)⟺ x (x−1)=18 (x−5)⟺ ⟺x2−19 x+90=0, de unde x1=9 , x2=10.
Răspuns :S= {9 ;10 }.
16. Să se rezolve ecuaţia (n+2 )! : ( Ank ∙(n−k) !)=132.
Rezolvare
DVA: x∈N.
(n+2 )! : ( Ank ∙(n−k)!)=132⟺ (n+2 )! : [ n!
(n−k )!∙(n−k )! ]=132⟺
⟺ (n+2) !n!
=132⟺ ( n+1 ) (n+2 )=132⟺n2+3n−130=0,
de unde n1=10 ,n2=−13. Constatăm că -13∉DVA.
Răspuns :S= {10 }.
17. Să se rezolve ecuaţia 1
(2n−1)!− 1
(2n+1)!= 1
2 ∙(2 n)! .
Rezolvare
DVA: x∈ N ¿.
1(2 n−1)!
− 1(2 n+1)!
= 12 ∙(2 n)!
⟺ 2 n(2n+1)(2 n+1)!
− 1(2n+1 ) !
= 12 ∙(2 n) !
⟺
⟺ 4 n2+2n−1(2n )! (2n+1)
= 12∙(2n)!
⟺8 n2+4 n−2=2 n+1⟺8n2+2n−3=0.
Soluţiile acestei ecuaţii n1=12
,n2=−3
4 nu aparţin DVA.
Răspuns: S=∅.
18. Să se calculeze ecuaţia n : (3n+2) !(3n−1)!
=60.
Rezolvare
DVA: x∈ N ¿.
40
n :(3 n+2) !(3n−1)!
=60⟺ (3n−1 ) ! (3 n ) ∙ (3 n+1 )(3 n+2)(3 n−1)!
=60⟺
⟺ (3 n ) (3 n+1 )(3 n+2)=60⟺ (3 n ) (3 n+1 )(3 n+2)=3 ∙ 4 ∙ 5,
de unde n=1.
Răspuns: S= {1 }.
III. 4. Inecuaţii combinatorii
1. Să se rezolve inecuaţia(x−1) !(x−3) !
<72.
Rezolvare
DVA: x≥ 3 , x∈N .(x−1) !(x−3) !
<72⟺ ( x−3 ) ! ( x−2 )(x−1)( x−3 )!
<72⟺ x2−3 x−70<0, de unde
−7<x<10. Ţinînd cont de DVA, obţinem x∈ {3 , 4 ,5 , 6 ,7 ,8 ,9 }.
Răspuns :S= {3 , 4 , 5 ,6 ,7 ,8 ,9 }.
2. Să se rezolve inecuaţia x (x−3 )!<108 ∙(x−4 )!
Rezolvare
DVA: x≥ 4 , x∈N .x (x−3 )!<108 ∙ ( x−4 ) !⟺ x ∙ ( x−4 ) !(x−3)<108(x−4) !⟺ ⟺x (x−3 )<108⟺ x2−3 x−108<0, de unde −9<x<12.Ţinînd cont de DVA, obţinem x∈ {4 ,5 , 6 , 7 ,8 , 9 ,10 ,11 }.
Răspuns :S= {4 , 5 , 6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11}.
3. Să se rezolve inecuaţia C16x−2>C16
x .
Rezolvare
DVA: 2≤ x ≤16 , x∈ N.
C16x−2>C16
x ⟺ 16 !( x−2 ) !(18−x)!
> 16 !x !(16−x )!
⟺ (17−x )(18−x)<x ( x−1 )⟺⟺17 ∙18+ x2−35 x<x2−x⟺34 x>17 ∙ 18⟺ x>9
.
Ţinînd cont de DVA, obţinem {9<x ≤16 , x∈N }.
Răspuns: S= {9<x≤ 16 , x∈N }.
4. Să se rezolve inecuaţia C13x <C13
x +2.
41
Rezolvare
DVA: 0≤ x≤ 11 , x∈N .
C13x <C13
x +2⟺ 13 !x ! (13−x ) !
< 13 !(x+2 ) ! (11−x )!
⟺
⟺ (12−x ) (13−x )>( x+1 )(x+2)⟺28 x<154 , de unde x<5,5.
Răspuns :S= {0 ,1 , 2 ,3 ,4 ,5 } .
5. Să se rezolve inecuaţia C x+1x−1>3
2 .
Rezolvare
DVA: x∈ N ¿.
C x+1x−1>3
2⟺C x+1
2 >32⟺ Ax+1
2
P2> 3
2⟺ (x+1) ∙ x
2> 3
2⟺ x2+x−3>0 ,
de unde x> √13−12 sau x<−1−√13
2 . Ţinînd cont de DVA, obţinem x≥ 2.
Răspuns: { x≥ 2 │ x∈ N }.
6. Să se rezolve inecuaţia C xx−1≤ C x
x−3.
Rezolvare
DVA: x≥ 3 , x∈N .
C xx−1≤ C x
x−3⟺C x1 ≤C x
3⟺x ≤x (x−1 )(x−2)
3 ! ⟺
⟺( x−1 ) ( x−2 ) ≥6⟺ x2−3 x−4≥ 0, de unde x≤−1 sau x≥ 4.Răspuns: { x≥ 4 │ x∈ N }.
7. Să se rezolve inecuaţia C x+54 −
143 ∙ P x+5
96 ∙ Px +3<0.
Rezolvare
DVA: x∈N.
C x+54 −
143 ∙P x+5
96 ∙ Px +3<0⟺ A x+5
4
P4−143
96∙Px+5
Px+3<0⟺ ( x+5 ) !
24 (x+1 ) !−143
96∙ ( x+5 ) !
( x+3 ) !<0⟺⟺ 1
24−143
96∙ 1
( x+2 ) ( x+3 )<0⟺4 ( x+2 ) ( x+3 )−143<0⟺
⟺4 x2+20 x−119<0, de unde −172
< x< 72 .
Ţinînd cont de DVA, obţinem x∈ {0 , 1,2 ,3 }.
Răspuns :S= {0 ,1 ,2 ,3 }.42
8. Să se rezolve inecuaţia C18x−2<C18
x .
Rezolvare
DVA: 2≤ x ≤18 , x∈N .
C18x−2<C18
x ⟺ 18 !( x−2 ) !(20−x)!
< 18 !x !(18−x )!
⟺ (19−x ) (20−x )>x ( x−1 )⟺
⟺x2−39 x+19 ∙20>x2−x⟺38 x<19 ∙20⟺2x<20⟺ x<10.Răspuns: S= {2,3 , 4 ,5 ,6 , 7 , 8 ,9 }.III. 5. Probleme combinatorii
1. Cîte numere de patru cifre, divizibile cu 4, pot fi formate cu cifrele 1, 2, 3, 4, 5?
Rezolvare
Numerele pot să se termine cu una din următoarele 5 combinări: 12, 24, 32, 44,
52; primele două cifre pot fi arbitrare. Deci, obţinem 52 ∙5=125 (numere).
Răspuns: 125 de numere.
2. Un grup de 7 tineri şi 10 domnişoare dansează perechi. Dacă la un dans arbitrar
participă toţi tinerii, atunci cîte variante există de participare la acest dans a
domnişoarelor? Cîte variante există, dacă vom lua în consideraţie numai
domnişoarele care nu au fost invitate la dans?
Să se rezolve aceeaşi problemă, ştiind că 2 domnişoare vor fi numaidecît invitate
la dans.
Rezolvare
Dacă la dans participă toţi cei 7 tineri, atunci există A107 =604 800 de variante de
participare la acest dans a domnişoarelor. Există C103 =120 de variante pentru
domnişoarele care nu au fost invitate la dans.
Dacă 2 domnişoare au fost numaidecît invitate la dans, atunci avem A72 variante
de alegere a partenerilor; ceilalţi 5 tineri aleg partenera din numărul de 8
domnişoare, ceea ce este posibil in A85 moduri. În total sunt A7
2 ∙ A85=282 240 de
43
moduri. Dacă aceste 2 domnişoare au fost invitate la dans, atunci celelalte 5
domnişoare pot fi alese în C85=56 de moduri.
Răspuns: 604 800 de variante; 120 de variante; 282 240 de variante; 56 de
variante.
3. Într-o odaie din cămin locuiesc 3 studenţi. Ei au 4 ceşti, 5 farfuriaore şi 6
linguriţe de ceai (toate fiind diferite). În cîte moduri poate fi aranjată masa, dacă
pentru fiecare student se pune cîte o ceaşcă, o farfurioară şi o linguriţă?
Rezolvare
Ceştile pot fi repartizate în A43 moduri, farfurioarele – în A5
3 şi linguriţele – în A63
moduri. Conform regulii de înmulţire, obţinem A43 ∙ A5
3 ∙ A63=172 800 de moduri.
Răspuns: 172 800 de moduri.
4. Într-un colectiv de cercetare activează cîteva persoane, fiecare posedînd cel puţin
o limbă srăină. Şase persoane cunosc limba engleză, şase – limba germană, şapte
– limba franceză. Patru cunosc engleza şi germana, trei – germana şi franceza,
doi – franceza şi engleza. O persoană cunoaşte toate cele trei limbi. Cîte
persoane activează în acest colectiv? Cîte dintre acestea cunosc numai limba
engleză? Numai limba franceză?
Rezolvare
În conformitate cu formula de includere şi eliminare, numărul de angajaţi este
6+6+7−4−3−2+1=11. Numai limba engleză o cunosc 6−4−2+1=1 (pers.), numai
franceza cunosc 7−3−2+1=3 (pers.).
Răspuns: 11 persoane; o persoană; 3 persoane.
5. Cîte numere de şase cifre conţin 3 cifre pare şi 3 cifre impare?
Rezolvare
44
Locurile pentru cifrele impare pot fi alese în C63=20 de moduri. Pe fiecare loc
poate fi plasată una din 5 cifre (sau pară, sau impară). Obţinem în total 20 ∙56
numere. Însă dintre ele 10 ∙55 încep cu cifra zero. Deci, rămîn 20 ∙56−10 ∙55=¿281 250
de numere.
Răspuns: 281 250 de numere.
6. În cîte moduri pot fi permutate cifrele numărului 12 341 234, astfel încît oricare
două cifre identice să nu se succeadă?
Rezolvare
Numărul total de permutări ale acestor cifre este P (2 ,2 , 2 ,2 )= 8 !2 !2! 2!2 !
=2520.
Dintre ele, în P(2 , 2 ,2 , 1)= 7 !2 !2! 2!1 !
=630 de permutări, cifra dată se conţine de două
ori consecutiv; în P(2 ,2 ,1 ,1)= 6 !2 !2!1 !1 !
=180 de permutări se repetă consecutiv două
cifre date; în P(2 , 1 ,1 , 1)= 5 !2 !1!1 !1!
=60 de permutări – patru cifre date şi în
P(1 , 1,1 ,1)=4 !=24 de permutări – patru cifre date.
Conform formulei de includere şi eliminare, obţinem că nici una din două cifre
identice nu se repetă în
P (2 ,2 , 2 ,2 )−4 P (2 ,2 ,2 ,1 )+6 P (2 ,2 ,1 ,1 )−−4 P (2 ,1,1 ,1 )+P (1 ,1 , 1 ,1 )=2520−4 ∙630+6 ∙ 180−4 ∙60+24=864
de permutări.
Răspuns: 864 de moduri.
7. În căte moduri pot fi alese 3 numere, dintre numerele de la 1 pînă la 100, astfel
încît suma lor să fie divizibilă cu 3?
Rezolvare
Sunt posibile următoarele cazuri: cu 3 sunt divizibili toţi trei termeni, un termen
sau nici un termen. În primul caz, termenii pot fi aleşi în C333 moduri. În cazul al
doilea, fiind împărţiţi la 3, un termen dă restul 1, iar alt termen dă restul 2. Deoarece 45
de la 1pînă şa 100 există 34 de numere care, fiind împărţite la 3, dau restul 1, iar 33
de numere dau restul 2, în acest caz avem C341 (C33
1 )2 moduri. Dacă toţi cei 3 termeni
nu sunr divizibili cu 3, atunci, fiind împărţiţi la 3, dau sau resturile 1, 1 şi 1, sau
resturile 2, 2 şi 2. Obţinem, respectiv, C 343 sau C33
3 moduri. Astfel, numerele pot fi
alese în total în 2 ∙C333 +C34
3 +C341 ∙ (C33
1 )2=53 922 de moduri.
Răspuns: 53 922 de moduri.
8. Cîte numere de 6 cifre conţin exact trei cifre distincte?
Rezolvare
Calculăm cîte numere de 6 cifre nu conţin cifra zero. Trei cifre, care se conţin
într-un număr, pot fi alese în C93=84 (moduri). Din trei cifre putem forma 36 numere
de 6 cifre, din două cifre −26 numere şi dintr-o cifră −16. Conform formulei de
includere şi eliminare, există 36−C31 ∙26+C3
2 ∙ 16=540 de numere de 6 cifre, în care se
conţin toate cele trei cifre selectate de noi. Deci, sunt în total84 ∙ 540=45 360 de
numere de 6 cifre care conţin exact tre cifre diferite de zero.
Dacă numărul conţine cifra zero, atunci trebuie să selectăm încă două cifre din
componenţa lui. Aceasta o putem face în C92=36 de moduri. Fie că am selectat cifrele
0, 1 şi 2. Atunci prima cifră trebuie să fie 1 sau 2. Dacă, de exemplu, prima cifră
este 1, atunci celelalte 5 cifre pot 0, 1 sau 2, cu condiţia că printre ele sunt 0 şi 2.
Conform formulei de includere şi eliminare, aceste 5 cifre pot fi alese în
35−C21 ∙25+16=180 de moduri.
Estfel, sunt 2 ∙180=360 de numere de 6 cifre formate cu cifrele 0, 1, 2 şi care
conţin toate aceste cifre, iar în total avem 36 ∙ 360=12 960 de numere de 6 cifre
formate cu 3 cifre, printre care este şi zero.
Aşadar, obţinem 45 360+12 960=58 320 de numere.
Răspuns: 58 320 de numere.46
Capitolul IV. Argumentarea experimentală a eficienței studierii elementelor
de combinatorică în liceu.
Studierea elementelor de combinatorică şi binomul lui Newton în liceu
constituie un compartiment dificil, dar și interesant al matematicii. Înainte de a
începe studierea acestui compartiment am expus elevilor „extinderea noțiunii de
combinatorică”.
Deseori apar următoarele probleme: de a alege dintr-o mulţime oarecare de
obiecte – numite elementele mulţimii – submulţimi de elemente care posedă
anumite proprietăţi; de a aranja elementele uneia sau a mai multe mulţimi într-o
anumită ordine; de a determina numărul tuturor submulţimilor unei mulţimi,
constituie după anumite reguli.
Deoarece în astfel de probleme este vorba de anumite combinaţii de obiecte, ele
se numesc probleme de combinatorică. Domeniul matematiciicare studiază atare
probleme se numeşte combinatorică.
Combinatorica este un compartiment al teoriei mulţimilor. Orice problemă de
combinatorică poate fi redusă la o problemă despre mulţimi finite.
Combinatorica are o importanţă considerabilă pentru teoria probabilităţilor,
cibernetică, logica matematică, teoria numerelor, precum şi pentru alte ramuri ale
ştiinţei şi tehnicii.
Am efectuat un experiment la tema de cercetare în clasa a X-a „A”(24 de
elevi) şi a X-a „B”(24 de elevi) în Liceul Teoretic „Ion Creangă ”, raionul
47
Ungheni, în total 48 de persoane, (listele elevilor sunt reprezentate în Anexa 1)
unde am evaluat cunoștințele teoretice și practice ale elevilor.
Pot menționa că pe parcursul studierii temei nominalizate de către elevi s-au
alternat activitățile bazate pe munca în grup, cu cele pe grupe și individuale,
facilitînd comunicarea ideilor, analizarea soluțiilor și interpretarea rezultatelor.
Sfera obiectivelor instruirii a fost variată. Au fost utilizate cu precădere
metodele de învățămînt de tip euristic. A predominat o dirijare minimă – o
semidirijare bazată pe îndrumări de orientare a gîndirii, cu caracter dominant
euristic.
Toate acestea s-au realizat, fără a se înăbuși toate manifestările logicii
infantile aflate în declin, fără a impune elevului o conduită adultă.
Făcînd o retrospectivă se evidențiază faptul că pe parcursul instruirii, elevii
au fost conduși să descopere proprietăți ale combinatoricii, să elaboreze
transformări, reprezentări, să rezolve probleme, astfel spus să prelucreze informații,
îmbinînd principiile constructive și cognitive ale învățării.
Tema nominalizată a prezentat un interes deosebit pentru elevi. Modul de
prezentare a informațiilor teoretice, cît și exemplele practice, au implicat activ
majoritatea elevilor, obținînd succese.
Clasa exterimentală a fost aleasă clasa a X-a „A”, iar în calitate de clasă
martor a fost aleasă clasa a X-a „B”. Toate lecţiile în aceste clase decurgeau în mod
tradiţional. Lectiile se promovau paralel şi se efectuau concomitent lucrările de
control la temele studiate (sarcinile evaluărilor sunt reprezentate în Anexa 2 , iar
rezolvările în Anexele 3 şi 4). Rezultatele acestor evaluări sunt reprezentate în
tabelul 4.1.
Numele elevilor au fost înlocuite printr-un cod, ce semnifică următoarele:
48
litera E – arată că elevul face parte din clasa experimentală;
litera M – indică clasa martor;
numerele 1, 2, 3,…, 24 – indică locul pe care îl ocupă elevul în listă.
Tabelul 4.1 Rezultatele evaluărilor în clasa a X-a
Clasa experimentală clasa a X-a „A” Clasa martor clasa a X-a „B”
Codul Testul iniţial
x1
Testul final
y1
Codul Testul iniţial
x2
Testul final
y2
E.01 9 9 M.01 7 7
E.02 7 7 M.02 7 8
E.03 5 6 M.03 8 8
E.04 8 9 M.04 9 10
E.05 9 9 M.05 9 9
E.06 6 6 M.06 7 6
E.07 4 5 M.07 7 8
E.08 5 5 M.08 5 6
E.09 8 8 M.09 8 8
E.10 5 6 M.10 7 6
E.11 9 10 M.11 5 5
E.12 8 7 M.12 6 7
E.13 10 10 M.13 8 9
E.14 7 7 M.14 9 9
E.15 7 8 M.15 9 8
E.16 6 7 M.16 7 7
E.17 9 10 M.17 6 5
E.18 7 8 M.18 8 8
E.19 8 8 M.19 7 8
E.20 8 7 M.20 9 10
E.21 5 6 M.21 9 9
E.22 7 8 M.22 5 7
E.23 5 5 M.23 6 6
E.24 8 8 M.24 7 8
49
Nota medie 7,08 7,46 Nota medie 7,29 7,58
Tabelul 4.2 Repartizarea notelor
Grupa Testul/Nota 10 9 8 7 6 5 4 Media Nr.elev.
C.E.
Test.iniţial x1 1 5 5 5 5 3 0 7,29 24Test.final y1 4 4 6 5 4 1 0 7,83 24
C.M.
Test.iniţial x2 0 6 4 8 3 3 0 7,29 24Test.final y2 2 4 8 4 4 2 0 7,58 24
În baza datelor incluse în tabelul 4.2 au fost construite diagramele comparative a
notelor medii, obţinute de membrii clasei experimentele şi membrii clasei martor la
evaluarea iniţială şi evaluarea finală, rezultatele le prezentăm în figura 4.3.
Fig. 4.3 Diagrama comparativă a notelor în clasele a X-a.
6,8
6,9
7
7,1
7,2
7,3
7,4
7,5
7,6
7,7
1
x1
y1
x2
y2
Pentru a argumenta statistic rezultatele experimentului, voi aplica o metodă
statistică numită „coeficientul lui Spearman”. Coeficientul lui Spearman se aplică
50
pentru a verifica fiabilitatea testului pentru clasa experimentală şi clasa martor.
Acest coeficient se scrie r s=1−6∑
1
24
d2
n(n2−1), de unde d – diferenţa dintre x1 şi y1 ; x2 şi y2.
Tabelul 4.4 Coeficientul de corelare a rangurilor lui Spearman pentru C.E.
Verificarea fiabilităţii testului pentru C.E. clasa a X-a „A”Nr. Numele elevilor Testul x1 Testul y1 Rx1 Ry1 d = Rx1- Ry1 d2
01 E.07 5 6 6 6,5 -0,5 0,2502 E.03 5 6 6 6,5 -0,5 0,2503 E.08 5 5 6 8 -2 404 E.10 6 6 15,2 14,5 0,7 0,4905 E.21 6 7 15,2 13 2,2 4,8406 E.23 6 8 15,2 17,67 -2,47 6,107 E.06 6 6 15,2 14,5 0,7 0,4908 E.16 6 7 15,2 13 2,2 4,8409 E.02 7 7 14,2 13 1,2 1,4410 E.14 7 7 14,2 13 1,2 1,4411 E.15 7 8 14,2 17,67 -3,47 12,0412 E.18 7 8 14,2 17,67 -3,47 12,0413 E.22 7 8 14,2 17,67 -3,47 12,0414 E.04 8 9 12,8 7,5 5,3 28,0915 E.09 8 8 12,8 17,67 -4,87 23,7116 E.12 8 7 12,8 13 -0,2 0,0417 E.19 8 8 12,8 17,67 -4,87 23,7118 E.20 8 9 12,8 7,5 5,3 28,0919 E.24 9 10 11,6 12,25 -0,65 0,4220 E.01 9 9 11,6 7,5 4,1 16,8121 E.05 9 9 11,6 7,5 4,1 16,8122 E.11 9 10 11,6 12,25 -0,65 0,4223 E.17 9 10 11,6 12,25 -0,65 0,4224 E.13 10 10 13 12,25 0,75 0,56
Media 7,292 7,83 12,50 12,50 Suma : 199
r s=1−6∑
1
24
d2
n(n2−1);
51
r s=1− 6 ∙ 19924 (242−1)
=1− 119413800
=1−0,086=0,913
Coeficientul lui Spearman este foarte apropiat de 1. Acest fapt confirmă
corelaţia strînsă dintre cele două rezultate ale testării clasei experimentale.
Tabelul 4.5 Coeficientul de corelare a rangurilor lui Spearman pentru C.M.
Verificarea fiabilităţii testului pentru C.M. clasa a X-a „B”Nr. Numele elevilor Testul x2 Testul y2 Rx2 Ry2 d = Rx2- Ry2 d2
01 M.08 5 6 13,67 11,75 1,92 3,6902 M.11 5 5 13,67 14 -0,33 0,1103 M.22 5 7 13,67 12,75 0,92 0,8504 M.12 6 7 17,33 12,75 4,58 20,9705 M.17 6 5 17,33 14 3,33 11,0906 M.23 6 6 17,33 11,75 5,58 31,1407 M.01 7 7 10,62 12,75 -2,12 4,5108 M.02 7 8 10,62 12,12 -1,5 2,2509 M.06 7 6 10,62 11,75 -1,12 1,2610 M.07 7 8 10,62 12,12 -1,5 2,2511 M.10 7 6 10,62 11,75 -1,12 1,2612 M.16 7 7 10,62 12,75 -2,12 4,5113 M.19 7 8 10,62 12,12 -1,5 2,2514 M.24 7 8 10,62 12,12 -1,5 2,2515 M.03 8 8 10,75 12,12 -1,37 1,8916 M.09 8 8 10,75 12,12 -1,37 1,8917 M.13 8 9 10,75 13,25 -2,5 6,2518 M.18 8 8 10,75 12,12 -1,37 1,8919 M.04 9 10 13,17 12 1,17 1,3720 M.05 9 9 13,17 13,25 -0,08 0,00621 M.14 9 9 13,17 13,25 -0,08 0,00622 M.15 9 8 13,17 12,12 1,04 1,0923 M.20 9 10 13,17 12 1,17 1,3724 M.21 9 9 13,17 13,25 -0,08 0,006
Media 7,29 7,58 12,50 12,50 Suma : 104,16
r s=1−6∑
1
24
d2
n(n2−1);
52
r s=1− 6 ∙ 104,1624 (242−1)
=1−624,9613800
=1−0,0452=0,954
Coeficientul lui Spearman este foarte apropiat de 1. Acest fapt confirmă
corelaţia strînsă dintre cele două rezultate ale testării clasei martor.
Media aritmetică este operaţia statistică cel mai fregvent utilizată, se
calculează după următoarea formulă: x=
∑1
24
x
n; unde x−¿media aritmetică ∑
i=1
n
x i suma
valorilor individuale; n – numărul cazurilor. În tabelul 4.1 sunt reprezentate
rezultatele calculului mediei aritmetice atît în clasa experimentală, cît şi în clasa
martor, la diferite etape de testare. Rezultatele ce reprezintă media notelor de la
evaluarea finală, denotă faptul că clasa experimentală a arătat un rezultat mai mare
(x−7,83) în comparaţie cu clasa martor (x−7,58).
Criteriul lui Stiudent – prin intermediul acestui criteriu se demonstrează
deosebirea dintre nivelul iniţial şi final al acestui experiment. În acest caz se
verifică ipoteza H 0 despre egalitatea acestor două rezultate (iniţială şi finală)
concomitent cu ipoteza alternativă H despre inegalitatea acestor 2 rezultate (iniţială
şi finală). Valoarea calculată a criteriului t se compară cu valoarea tabelară – cu
criteriul t tab.
În acest caz df care înseamnă numărul gradelor de libertate este egal cu n−2=24−2=22 (n – numărul perechilor de note). α=0,05 - nivelul de semnificaţie, deci t tab=2,07.
CRITERIUL LUI STIUDENT
t rxy=r xy
mr xy; mr xy=√ 1−r xy
2
n−2; r xy=
xy−x yσ x σ y
; σ x2=∑ x2
n−(x)2 ; σ y
2=∑ y2
n−( y )2 ;
σ x=√σ x2; σ y=√σ y
2
σ x2 , σ y
2−abaterea medie patratica,
r xy−coeficientulcorelatiei pare,
53
mr xy−¿ eroarea coeficientului liniar r xy.
În tabelele de mai jos am reprezentat Criteriul lui Stiudent la clasa experimentală şi clasa martor (vezi Tabelul 4.6 şi Tabelul 4.7).
54
r xy=xy−x y
σ x σ y=58,96−7,29∙ 7,83
1,44 ∙1,45=0,899; mr xy=√ 1−r xy
2
n−2=√ 1−0,81
22=√0,008=0,089 t rxy=
r xy
mr xy=0,899
0,089=10,10; 10,10>2,07 - deci se consideră adevărul rezultatelor experienţei
date, adică se admite ipoteza H şi se exclude ipoteza H 0(pentru clasa
experimentală).
r xy=xy−x y
σ x σ y=57,29−7,29 ∙ 7,58
1,73 ∙1,40=0,84; mr xy=√ 1−r xy
2
n−2=√ 1−0,71
22=√0,013=0,114 t rxy=
r xy
mr xy= 0,84
0,114=7,37; 7,37>2,07 - deci se consideră adevărul rezultatelor experienţei
date, adică se admite ipoteza H şi se exclude ipoteza H0(pentru clasa martor).
Cele mai calitative rezultate ce demonstrează dezvoltarea competenţelor
şcolare este faptul că elevii vin cu mare plăcere la lecţii, sunt motivaţi să înveţe şi
aplică pe larg cunoştinţele acumulate. La activităţi au dat dovadă că ştiu să
analizeze, caracterizeze, să compare, sunt competitivi şi le place ceea ce fac. Am
observat că au competenţa de a clarifica mai bine o temă din matematică, făcînd
apel la mai multe discipline, corelează limbajele disciplinelor şcolare, ceea ce le
permite să aplice cunoştinţele matematice în diferite domenii.
Astfel am reprezentat prelucrarea datelor prin metoda statistică tradiţională
„coeficientul lui Spearman”, „Criteriul lui Stiudent” şi operaţia statistică „media
aritmetică”.
Mai sunt şi alte metode diverse de statistică, printre acestea:Coeficientul lui
Pirson; Testul Wilcoxon (T); Testul Mann – Whitney (MWU); Abaterea sau
deviaţia centrală şi altele.
55
CONCLUZII GENERALE
1. Instruirea de tip euristic utilizată în lucrare oferă cadrul propice de valorificare
superioară a capacităţilor creative ale elevilor.
2. Instruirea de tip experimental este o instruire eficientă, afirmînd următoarele:
– contribuie la creşterea volumului de cunoştinţe;
– contribuie la dezvoltarea intelectuală a elevilor, avînd un puternic caracter formativ;
– realizează o economie de timp, a densităţii sarcinilor de învăţare;
– asigură participarea elevilor în toate etapele lecţiei, afirmarea rolului profesorului de
coordonator, de îndrumător, comunicarea căpătînd forme bi- şi multi-direcţionale;
– oferă cadrul unei ample exersări atît în munca independentă în clasă şi acasă pe
seama calităţilor materialului de învăţat, a selectării problemelor de rezolvat.
3. Instruirea de tip experimental contribuie la creşterea motivaţiei învăţării, a rezolvării
problemelor de matematică în general, la crearea unei atitudini pozitive la elevi faţă
de învăţarea matematicii.
4. Metodele şi strategiile utilizate au contribuit esenţial la formarea competenţei de
rezolvare a problemelor combinatorii de diverse categorii.
56
Bibliografie
1. I. Achiri şi alţii. Matematica. Manual pentru clasa a X-a. Chişinău, Prut
Internaţional, 2012.
2. I. Achiri, E. Cibotarencu, Gh. Gaidargi, T. Kirjner, V. Plîngău, N. Solomon, Z.
Turlacov, Metodica predării matematicii în învățămîntul preuniversitar, volumul II,
Metodica predării algebrei și elementelor de analiză, Chișinău: Lumina, 1995. 780
p.
3. Vasile Ciobanu, Garit Valentin, Lupu Ilie. Formule matematice. Chişinău, Prut
Internaţional, 2010.
4. Ion Achiri, Valentina Ceapa, Olga Șputenco, Ghid de implementare a
curriculumului modernizat în învățămîntul liceal, Matematică-Metod predării,
Chișinău: Știința, 2007.
5. Goian Ion, Grigor Raisa,Vasile Marin, Smarandache Florentin. Algebra în exerciţii
şi probleme pentru liceu. Chişinău. Casier, 2000.
6. Виленкин Н. Я. Комбинаторика, Москва: Наука, 1969.
7. Iavorschi Victor.Algebra. Culegere de exerciţii şi probleme pentru clasele X-XII.
Chişinău. Prut Internaţional, 2002.
8. Lupu Ilie, Vasile Marin, Valuţă Ion. Dicţionar explicativ de matematică. Chişinău.
Lyceum, 1998.
9. Lupu Ilie, Poştaru Andrei.Metodologia studierii combinatoricii şi a binomului lui
Newton. Chişinău. Prut Internaţional, 2007.
10. Botnaru Dumitru. Îndrumător la matematică. Bucureşti. Ed. Tehnică,1998.
11. Achiri Ion, Didactica matematicii, Prut Internaţional, 2013.
12. Florin Cîrjan, Didactica matematicii, Bucureşti, Corint, 2008.
13. Ivan Cerghit, Metode de învăţămînt, Bucureşti, 2006.
57
ANEXE
Anexa 1
Listele nominale ale eşantionului experimental
CLASELE a X-a, L.T. „Ion Creangă”, raionul Ungheni
Clasa experimentală a X-a „A” Clasa martor a X-a „B”
Nr. d/o Numele,Prenumele
Nr. d/o Numele,Prenumele
1. Alcaz Artur 1. Bogaci Vasile2. Buzilă Grigore 2. Burduja Maria3. Chiriac Denis 3. Burlacu Sergiu4. Cojocaru Ala 4. Cerepita Liviu5. Covalciuc Eugenia 5. Condrea Denis6. Dimineţ Ana 6. Covalciuc Malvina7. Gîrbu Cristina 7. Crudu Anastasia8. Godea Mihail 8. Darii Eugen9. Gorzu Oleg 9. Guzun Axenia10. Grosu Alexandru 10. Gurulea Valeria11. Grosu Ion 11. Horea Vasile12. Munteanu Oxana 12. Manole Denis13. Negară Diana 13. Matveev Elena14. Nistreanu Adriana 14. Movilean Diana15. Savciuc Mariana 15. Mustaţă Victoria16. Savciuc Mihai 16. Patraşcu Olga17. Sîrbu Elena 17. Popescu Cristina18. Talmaci Sergiu 18. Popov Petru19. Timciuc Petru 19. Prepeliţă Alina20. Timuţa Radu 20. Scurtu Vladimir21. Truhin Anastasia 21. Stratulat Oleg22. Tureţchi Veceslav 22. Scut Tatiana23. Ţînevschi Nicolae 23. Vacaraş Dumitru24. Vatavu Daniel 24. Vîrlan Natalia
58
Anexa 2
Sarcinile propuse în cadrul evaluării iniţiale clasa a X-a
1. Să se calculeze:
a) 21!−19 ! ∙20 ∙ 2110!+9 !+8 !+7! ;
b)n !+(n−1)!( n+1 )!+n ! .
2. Să se calculeze: A x−12 −C x
1=79.
3. Să se calculeze: Cnn−2=Cn
n−1+2 Cnn.
4. Rezolvaţi inecuaţia: a¿C x4<Cx
3;
b¿ Ax−12 −C x
1<79.
5. Cîte numere naturale diferite se pot forma cu cifrele 0, 1, 2, 3, 4, dacă în fiecare
astfel de număr, orice cifră intră cel mult o dată?
6. Să se determine termenul care îl conţine pe x4 din dezvoltarea la putere a
binomului ( x+1x2 )
n
, dacă suma coeficienţilor binomiali de rang impar este 512.
Sarcinile propuse în cadrul evaluării finale clasa a X-a
1. Să se calculeze: (n+2 ) !− (n+1 )!−n !
(n+1 )!−n!−4(n−1)!=9.
2. Calculaţi: An+2
n+2
An+1n+1 =120, indicaţie: An
n=Pn.
3. Să se calculeze: C2 x5 =C2x
7 .
4. Să se demonstreze că pentru orice n , k∈N , k ≥ 2 are loc egalitatea:
An+ kn+2+ An+k
n+1
An+ kn =k2.
5. Rezolvaţi inecuaţia: C2 x2 x−8≥ C2 x
2 x−12.
6. În căte moduri pot fi alese 3 numere, dintre numerele de la 1 pînă la 100,
astfel încît suma lor să fie divizibilă cu 3?
59
60