SadrajPredrag Vidovi SADRAJ: 1UVOD........................................................................................................................ 1 1.1PRENOSNE MREE.................................................................................... 2 1.1.1Prorauni tokova snaga ............................................................................ 2 1.1.2Prorauni kvarova...................................................................................... 2 1.2DISTRIBUTIVNE MREE........................................................................ 3 1.2.1Prorauni tokova snaga ............................................................................ 3 1.2.2Prorauni kvarova...................................................................................... 5 1.3PREDMET TEZE........................................................................................... 5 2PRORAUN SIMETRINIH TOKOVA SNAGA DISTRIBUTIVNIH MREA I NJEGOVA TEORIJSKA ZASNOVANOST............................................................................................... 8 2.1MODEL ELEMENATA MREE........................................................... 13 2.2MODEL MREE I NJEGOV PRORAUN...................................... 15 2.2.1Model radijalne mree i njegov proraun........................................ 15 2.2.2Proraun modela distributivnih mrea s konturama................... 25 3EKVIVALENTNE EME I MATEMATIKI MODEL TROFAZNE DISTRIBUTIVNE MREE....................................... 52 3.1MODELI POTROAA............................................................................ 52 3.1.1Tretman potroaa.................................................................................... 52 3.1.2Potroai koji se napajaju sa strane transformatora iji su namotaji povezani u trougao ili zvijezdu sa izolovanim zvjezditem i bez neutralnog provodnika......................................... 54 3.2MODEL SEKCIJE VODA........................................................................ 57 3.3MODELI TRANSFORMATORA.......................................................... 58 3.4MODEL MREE.......................................................................................... 61 4PROCEDURE SUMIRANJA STRUJA I KOREKCIJA NAPONA NA ELEMENTIMA MREE.......................................... 65 4.1SEKCIJE VODOVA.................................................................................... 65 4.1.1Procedura sumiranja struja.................................................................. 65 4.1.2Procedura korekcija napona................................................................. 66 4.1.3Proraun nesimetrinog reima sekcije ............................................ 66 4.2TRANSFORMATORI ................................................................................ 67 4.2.1Transformatori sa spregama YNynk i Dynk ...................................... 68 4.2.1.1Zadatak Procedura sumiranja struja................................................. 68 4.2.1.2Zadatak Procedura korekcija napona................................................ 69 4.2.1.3Zadatak Postupak za proraun (nesimetrinog) reima transformatora ....................................................................................... 70 4.2.2Transformatori sa spregama YNdk i Ddk......................................... 72 4.2.2.1Zadatak 4.2.2.1 Procedura sumiranja struja..................................... 72 SadrajPredrag Vidovi 4.2.2.2Zadatak Procedura korekcija napona................................................ 72 4.2.2.3Zadatak Postupak za proraun (nesimetrinog) reima transformatora ....................................................................................... 74 5PRORAUN NESIMETRINIH TOKOVA SNAGA............. 77 5.1PRORAUN ZASNOVAN NA SUMIRANJU STRUJA I KOREKCIJI NAPONA.............................................................................. 77 5.1.1Sprega YNyn................................................................................................. 79 5.1.2Sprega Dyn................................................................................................... 80 5.1.3Sprega YNy................................................................................................... 80 5.2PRORAUN ZASNOVAN NA IMPLICITNOM ZBUS POSTUPKU.................................................................................................... 82 6NUMERIKA VERIFIKACIJA PRORAUNA NESIMETRINIH TOKOVA SNAGA............................................ 84 6.1PRORAUN REIMA TRANSFORMATORA............................... 84 6.2PRORAUN MREE................................................................................. 90 7ZAKLJUAK.................................................................................................... 94 8LITERATURA:................................................................................................. 97 9PRILOZI ............................................................................................................... 99 9.1GAUSS-OV I GAUSS/SEIDEL-OV METOD ZA RJEAVANJE SISTEMA NELINEARNIH JEDNAINA.......................................... 99 9.1.1Gauss-ov metod.......................................................................................... 99 9.1.2Gauss/Seidel-ov metod........................................................................... 101 9.2VEZA SIMETRINOG REIMA DIREKTNOG REDOSLIJEDA I REIMA FAZE A................................................. 101 9.3METOD KONTURNIH STRUJA........................................................ 102 9.4OTONI PARAMETRI TRANSFORMATORA........................... 105 9.5REDNI PARAMETRI TRANSFORMATORA............................... 106 UvodPredrag Vidovi 1 1UVOD Svjetsku elektroprivredu s kraja prolog i poetka ovog vijeka karakteriu procesi restruk-turiranjaideregulacije,njenedjelimineprivatizacijeiutvrivanjaslobodnogtritaelektrine energije [1]. Ideja restrukturiranja se, prije svega, sastoji od dezintegracije jedinstvenog vertikal-no integrisanog elektroprivrednog preduzea jedne drave, u (teorijski) etiri, ekonomski nezavis-na subjekta (preduzea): 1) Proizvodnja, koncentrisana u jednom ili vienezavisnih preduzea(u privatnom i/ili dravnom vlasnitvu); 2) Prenos, koncentrisan uglavnom u jednom preduzeu koje je, uglavnom, u dravnom vlasnitvu; 3) Distribucija, koncentrisana u jednom ili vie preduzea u dravnomi/iliprivatnomvlasnitvui4)Isporukaelektrineenergije,pridruenadistributivnim preduzeima i/ili posebnim privatnim preduzeima. Jedan od kljunih momenata u restrukturiranoj elektroprivredijestetajdasesvakiodnovonastalihsubjekata(proizvodnja,prenos,distribucijai isporuka)brineosvomcjelokupnomposlovanju,teeidaostvaritoveiprihod(profit).Takva briga namee potrebu za korienjem sofisticiranih alata za voenje tehnikih poslova u sva etiri elektroprivredna dijela. Zbog toga su se sistemi za voenje prenosnih mrea EMS (Energy Mana-gement Systems) ve utvrdili kao nuni alati u preduzeima za prenos elektrine energije. tavie, poelo se sa njihovim prilagoavanjem novim uslovima poslovanja preduzea za prenos na slobo-dnom tritu elektrine energije. Ono to je dugo bilo zapostavljano prije restrukturiranja elektroprivrede, jesu slini sofis-ticiranisistemizavoenjetehnikihposlovadistributivnihipreduzeazaisporukuelektrine energije.TosuDMS(distributivnimenadmentsistemiDistributionManagementSystems). Kombinacija sledea dva razloga se ini kljunom za to zapostavljanje: 1) Distributivne mree su viestruko veih dimenzija i sastoje se od sloenijih elemenata od prenosnih mrea, pa su i osnov-ne varijante DMS sistema znatno sloenije od odgovarajuih EMS sistema i 2) Preduzee za dis-tribuciju elektrine energije, integrisano u cjelokupno elektroprivredno preduzee, bez izdiferenci-ranogsopstvenogposlovanjaiinteresa,nijemotivisanozaoptimalnovoenjesopstvenemree. Ali, u restrukturiranoj elektroprivredi, gdje su preduzea za distribuciju i isporuku elektrine ener-gijeizdiferenciranauokviruelektroprivrede,sasopstvenomodgovornoupremasvomposlova-nju, stvari se radikalno mijenjanu. Otud veliki porast interesovanja za DMS sistemima u poslednje dvije decenije. Svejedno da li je rije o EMS ili DMS sistemu, njihovu osnovu ini softver EMS Softver i DMS Softver, respektivno. Bazini dio obje vrste softvera jesu analitike funkcije, tj. energetski prorauni za nadzor, analizu i optimizaciju pogona, za planiranje razvoja itd. Proraunistacionarnihreima(proraunitokova snaga)iprorauninaizmjeninekompo-nente reima s kratkim spojevima i/ili prekidima faza (prorauni kvarova), dvije su osnovne anali-tike funkcije, tj. dva su osnovna prorauna elektroenergetskih prenosnih i distributivnih mrea. Obje vrste prorauna predstavljaju osnovu za veliku veinu ostalih prorauna u oba sistema EMS i DMS. Prenosnemreesuuglavnomtrofazneisvelikimbrojemkontura.Kadanisupogoene kvarom,onenajeemogudaseaproksimirajuuravnoteenimmreamasasimetrinimreimi-ma.{Pojmovisimetrijeiuravnoteenostipreciznosudefinisaniu[2].}Osimusluajutrofaznog uravnoteenogkratkogspojai/iliprekidafaza,neuravnoteenikvaroviunosenesimetrijureima mrea. Prorauni simetrinih tokova snaga i kvarova uravnoteenih mrea, koje su prije kvara bile u simetrinim reimima, definitivno su utvreni prije vie decenija. Modeli za oba prorauna zas-UvodPredrag Vidovi 2 novani su na mrei koja je, kao linearno elektrino kolo, opisana metodom nezavisnih potencijala vorova [3]. Taj model se sastoji od sistem linearnih relacija bilansa struja vorova kola, izveden sintezom prvog strujnog i drugog naponskog Kirchhoff-ovog zakona. 1.1PRENOSNE MREE U ovom dijelu diskutovani su prorauni tokova snaga Paragraf 1.1.1 i naizmenine kom-ponente reima s kvarovima prenosnih mrea Paragraf 1.1.2. 1.1.1Prorauni tokova snaga Sistem linearnih relacija bilansa struja, napisan saglasno s metodom nezavisnih potencijala vorova, radi proraunatokova snaga, transformie se u sistem nelinearnih relacija bilansa(kom-pleksnih) snaga vorova mree [4, 5]. To se ini s obzirom na prirodu problema tokova snaga. Na-ime,utomproblemu,strujepotroaaigeneratoranisupoznate,vesupoznatenjihovesnage. Newton/Raphson-ov iterativni metod [4, 5] pokazao se bazinim za rjeenje problema tokova sna-ga prenosnih mrea. Ta injenica je potvrena ustanovljavanjem varijante tog metoda u vidu brzog raspregnutog metoda za proraun tokova snaga [6], kao ekskluzivnim definitivnim rjeenjem za proraunetokovasnagaprenosnihmrea.Tajmetodjezasnovannasledeojprirodi"regularnih" reima prenosnih mrea: 1) Moduli napona vorova u pogonu prenosnih mrea jako su bliski no-minalnim vrijednostima; 2) Njihovi fazni stavovi takoe su meusobno jako bliski; 3) Matrica Ja-cobian-asistemanelinearnihrelacijabilansasnaganemijenjaseznaajnoiziteracijeuiteraciju Newton/Raphson-ovog metoda za rjeenje modela tokova snaga; 4) Tokovi (bilansi) aktivnih sna-ga uglavnom zavise od faznih stavova napona, a ne od njihovih modula i 5) Tokovi (bilansi) reak-tivnih snaga uglavnom zavise od modula napona, a ne od njihovih faznih stavova. Prva dva fakta omoguuju jednostavno generisanje aproksimacije matrice Jacobian-a. Trei fakt omoguuje njeno zadravanjekonstantnomusvimiteracijamaprorauna.Poslednjadvafaktaposledicasumalih vrijednosti odnosa rezistansi i reaktansi grana (vodova i transformatora) prenosnih mrea R/X0. Oniomoguujurasprezanjeproblematokovasnaganadvapotproblemaaktivnesnage/fazni stavovi i reaktivne snage / moduli napona, to znai smanjenje dimenzija problema na pola. Defi-nitivno, konstantna matrica Jacobian-a omoguuje njenu jednokratnu implicitnu inverziju LU fa-ktorizaciju [7, 8], pa tako i viestruko (iterativno) rjeavanje sistema linearnih jednaina na osnovu jednom izraunatih faktora. Posebnu snagu proraunima tokova snaga daju primjena tehnike rijet-kih matrica [9] i optimalna numeracija vorova mree [10]. Ustanovljavanjem brzog raspregnutog metoda, Gauss-ov i Gauss/Seidel-ov iterativni metod [4], definitivno su skinuti sa scene prorauna tokova snaga prenosnih mrea. Kada su u pitanju simetrini tokovi snaga (uravnoteenih) trofaznih prenosnih mrea, sime-trinekomponente[11],definitivnosuizabranekaodomenzanjihovproraun.Takvireimi,u tom domenu, mogu da se proraunavaju na monofaznim pogonskim reprezentima trofaznih mrea (direktnog redoslijeda), dakle na emama tri puta manjih dimenzija od trofazne mree koja se raz-matra, zanemarujui fazne pomake koje unose trofazni transformatori sa spregama nenultih spre-nih (satnih) brojeva. Za nesimetrine (trofazne) tokove snaga (ne)uravnoteenih trofaznih prenos-nih mrea, nije definitivno utvren domen za njihove proraune. Za te proraune se u [12] predlae fazni domen, a u [2] domen simetrinih komponenti. 1.1.2Prorauni kvarova Za proraun kvarova trofaznih prenosnih mrea, direktno se koristi sistem linearnih relacija bilansa struja (originalna forma metoda nezavisnih potencijala vorova). Taj sistem, proiren uslo-UvodPredrag Vidovi 3 vimakvara("terminalniuslovikvara"),predstavljamodelzaproraunreimamreeskvarom [4, 5, 13, 14, 15].Zaprorauntogmodelakoristesedvapostupka.Prvisezasnivanaprimjeni Thvenin-ove teoreme za proraun reima na mestu kvara, a zatim, na osnovu tog reima, prora-unava se reim cijele mree. Drugi postupak se zasniva na principu dekompozicije/superpozicije [3]. Sistem s kvarom se dekomponuje na sistem (reim) prije kvara i -kolo, pa se problem svodi praktino na proraun reima samo -kola, koje je trivijalno u smislu da je pasivno svuda osim na mjestu kvara [5, 15]. Oba pristupa su po efikasnosti prilino izjednaena. Poto je problem faznih pomaka, koje unose trofazni transformatori sa spregama nenultih sprenih (satnih) brojeva, rijeen u[15],simetrinekomponentedefinitivnojesudomenzaproraunkvarovatrofaznihprenosnih mrea.Proraunreimacijelemreeskvaromsesvodinarjeenjesistemalineranih(komplek-snih) jednaina. Gauss-ov metod sukcesivnih eliminacija (Gauss-ova redukcija, odnosno LU fakto-rizacija) predstavlja osnovni metod za taj proraun. S pojavom interesa za DMS sistemima, s obzirom na ve razvijene EMS sisteme, odnosno prorauneprenosnihmrea,pokualosesdirektnomprimjenomalgoritamarazvijenihuprenos-nom okruenju za odgovarajue proraune u distributivnom okruenju. Praktino svi takvi pokua-ji su propali zbog razliite prirode prenosnih i distributivnih mrea, to presudno utie na te prora-une: 1) Prenosne mree su s velikim brojem kontura, s jakom vezom svakog vora sa susedima, a distributivne mree su radijalne, s malim brojem kontura, pri emu za reim jednog vora od pre-sudnog je znaaja samo reim vora i grane preko kojih se on napaja; ova injenica oteava prim-jenupostupakazaprorauntokovasnagadistributivnihmrea,zasnovanihnaNewton/Raphson-ovom metodu; 2) Vrlo veliki odnosi rezistansi i reaktansi vodova distributivnih mrea (R/X>>0) i 3) Iskljuiva zavisnost tokova aktivnih i reaktivnih snaga od rasporeda potronje i njene topologi-je,aneodparametaramree,definitivnoonemoguujeprimjenubrzograspregnutogmetodaza proraunmodelatokovasnagadistributivnihmrea.Zbogtogaseuposlednjihnekolikodecenija intenzivnorazvijajuspecijalizovanialgoritmizaproraunedistributivnihmrea[16].Meutim proraunima, kao u sluaju prenosnih mrea, najvaniji su prorauni tokova snaga i kvarova. 1.2DISTRIBUTIVNE MREE U ovom dijelu diskutovani su prorauni tokova snaga Paragraf 1.2.1 i naizmenine kom-ponente reima s kvarovima distributivnih mrea Paragraf 1.2.2. 1.2.1Prorauni tokova snaga Prije dvadesetak godina su se pojavila definitivna rjeenja za proraune simetrinih tokova snaga trofaznih radijalnih distributivnih mrea i distributivnih mrea s malim brojem kontura (sla-boupetljanemree)[17, 18, 19].Kadasuupitanjuradijalnemree,tadasutipostupcizasnovani nanumeracijimreeposlojevima(layers)iproceduramasumiranjastruja(ienjanagore sweep-upprocedure)ikorekcijanapona(ienjanadoljesweep-downprocedure).Procedura sumiranja struja je zasnovana na injenici da tokovi snaga (struja) u granama radijalne mree mo-gu vrlo dobro da se procjene na osnovu: 1) rasporeda i veliine potronje potroaa, 2) topologije mree i 3) poznatih, vrlo dobrih aproksimacija napona vorova mree (bliskih nominalnim vrijed-nostima). Rezultat primjene te procedure jeste vrlo dobra aproksimacija struja grana radijalne mre-e, izraunata direktnom primjenom prvog Kirchhoff-ovog zakona, kao i vrlo dobre aproksimacije padova napona grana mree, izraunatih na osnovu aproksimacije struja grana. Procedura korekci-ja napona se sastoji od direktne primjene drugog Kirchhoff-ovog zakona za proraun napona vo-rovamree,poeviodpoznatognaponakorjenamreenapojnetransformatorskestanice,uva-avajuivrlodobreaproksimacijepadovanaponagranamree.Iterativnomprimjenomovihpro-cedura, u dovoljnom broju iteracija, postie se rjeenje problema distributivnih simetrinih tokova UvodPredrag Vidovi 4 snaga sa unaprijed specificiranom tanou. U drugoj glavi bie pokazano da opisani prorauni to-kova snaga radijalnih mrea, zasnovani na procedurama sumiranja struja i korekcija napona, pred-stavljajuvrlosofisticiranusintezuprimjeneobaKirchhoff-ovazakona(metodkonturnihstruja)i Gauss/Seidel-ovog metoda za rjeavanje sistema nelinearnih jednaina. Kadasuupitanjuproraunimreaskonturama(slaboupetljanedistributivnemree),te mree se prvo svode na radijalne, otvaranjem kontura u izabranim vorovima. Takva promjena to-polokestrukturemreekompenzujesekompenzacionimstrujamainjektiranimuvoroveukoji-ma su konture otvorene. Kompenzacione struje se izraunavaju primjenom generalizovane Thve-nin-ove teoreme. Time se prorauni mrea s konturama svode na proraune radijalnih mrea. Otud jeizvedeninazivovihpostupakazaprorauntokovasnagadistributivnihmreaskonturama: kompenzacionipostupcizaprorauntokovasnagaslaboupetljanihdistributivnihmrea[17].S obzirom da se pod radijalnom mreom podrazumjeva mrea u kojoj se svaki vor (potroa) napa-ja samo iz jednog izvora i to samo jednim putem, to znai da svaki generator u distributivnoj mre-i, s kojim se kontrolie napon na njegovom prikljuku za mreu, naruava osobinu radijalnosti i-nei jednu konturu. Naime, vorovi koji se nalaze na putu izmeu korjena i takvog distributivnog generatora napajaju se bar iz dva izvora (generator je drugi izvor). Zato se problem distributivnih generatora,skojimasekontroliunaponinanjegovimprikljucimazamreu,rjeavaopisanom kompenzacijom,istokaoiproblemkontura.Neposrednamatematikapodlogakompenzacionih postupaka za proraun mrea s konturama, ponovo se nalazi u vrlo sofisticiranoj sintezi primjene oba Kirchhoff-ova zakona (metod konturnih struja) i klasinog Gauss/Seidel-ovog metoda za rje-avanje sistema nelinearnih jednaina, ali, ovog puta, i u kombinaciji s primjenom generalizovane Thvenin-ove teoreme. Proraun nesimetrinih (trofaznih) tokova snaga distributivnih mrea jeste problem koji je otvoren odmah poslije uspjenog utvrivanja prorauna simetrinih tokova snaga. Nesimetrini re-imijesurealnireimidistributivnihmrea,kojisuposledicanesimetrinihtrofaznihpotronji uravnoteenih ili mrea koje nisu uravnoteene. Neuravnoteenost distributivnih mrea i nesimet-rija njihovih reima posledice su sledeih efekata: 1) Neuravnoteenost potroaa (potroai zam-jenjeni impedansama koje nisu jednake u svim fazama); 2) Nesimetrija potroaa (potroai zam-jenjeni snagama koje nisu jednake u svim fazama) 3) Insistiranje na neuravnoteenostima trofaznih vodovakojinisutransponovani;4)Primjenaneuravnoteenihtrofaznihtransformatora(otvorene sprege) [20, 21]; 5) Prisustvo transformatora sa sekundarnim namotajima povezanim u trougao, sa uzemljenim srednjim otcjepom na jednom od namotaja i 6) Prisustvo dvofaznih vodova i monofa-znih vodova i transformatora u mrei. Poslednja tri efekta tipina su praksa u USA. Ureferenci[22]napravljenjepokuajdaseizuzetnoefikasnikompenzacionipostupciza proraun simetrinih tokova snaga [17], generalizuju na proraune nesimetrinih tokova snaga dis-tributivnih mrea. Efikasnost jeste postignuta, ali je, tim proraunom, obuhvat distributivnih mrea neprirodnosuennamreujedinstvenognaponskognivoa,dakle,namreubeztransformatora. Primjer mrea na koje taj proraun moe da se primjeni jesu: 1) Niskonaponska (NN) mrea jed-nog distributivnog transformatora, s poznatim nesimetrinim faznim naponima njegovih NN sabir-nicai2)Srednjenaponska(SN)mreajednognapojnogtransformatora,saspecificiranim,meu-sobno razliitim snagama potronje po fazama SN sabirnica distributivnih transformatora, nezavi-sno od nepoznatih napona tih sabirnica. Nijedan od ovih problema nije tipian za praksu prorauna distributivnih mrea. Sutinski problem prorauna nesimetrinih tokova snaga distributivnih mrea iskrsava od-mah po uvaavanju prirode tih mrea prisustvo distributivnih trofaznih transformatora, naroito onih sa spregama iji su sekundarni namotaji povezani u trougao ili namotaji bar jedne strane po-vezani u zvijezdu sa izolovanim zvjezditem. To su sprege tipa Dy, u kojima zvjezdite jeste izo-lovano, odnosno sprege Yy, u kojima bar jedno zvjezdite jeste izolovano. U procedurama korek-UvodPredrag Vidovi 5 cijanapona,takvitransformatorionemoguujuiterativnoauriranjenaponanasekundarima,za poznate napone na njihovim primarima [23]. Dakle, ini se da izuzetno efikasni prorauni tokova snaga distributivnih mrea, zasnovani na procedurama sumiranja struja i korekcija napona, moraju da budu naputeni. To je i uinjeno. U literaturi je teite rjeenja problema nesimetrinih tokova snagadistributivnihmreaprenijetonamodelovanjedistributivnemreedirektnomprimjenom metoda nezavisnih potencijala vorova u faznom domenu. Postupak za proraun tog modela se ob-rauje primjenom klasinog Gauss-ovog ili Gauss-Seidel-ovog iterativnog metoda za rjeavanje si-stema nelinearnih jednaina implicitni ZBUS postupak (implicit ZBUS Gauss Method) [24], odnos-no metod injektiranih struja (Current Injection Method). Meutim, ovaj postupak je znaajno op-tereen implicitnom inverzijom (LU faktorizacijom) matrice admitansi mree (YBUS). Pored inver-zije matrica velikih dimenzija, ovaj postupak je optereen jo jednim veim problemom potre-bom da se inverzija radi uvijek kada se topologija mree promijeni. Postupci zasnovani na proce-durama sumiranja struja i korekcija napona nisu praktino osjetljivi na takve promjene. Dakle, problem nesimetrinih tokova snaga (ne)uravnoteenih distributivnih mrea nije de-finitivno rijeen. 1.2.2Prorauni kvarova Zarazliku od prenosnih mrea, gdje se postupciza proraun tokova snaga i kvarova radi-kalnorazlikuju,koddistributivnihmreasetipostupcizasnivajunaslinimalgoritmima [19, 25, 26, 27]. Naelno, ako se struje kvara distributivne mree izraunaju primjenom Thvenin-ove teoreme za zamjenu dijela mree koji nije zahvaen kvarom i ako se svi ostali potroai zami-jene impedansama, onda moe da se uradi jednaiteracijaalgoritma za proraun tokova snaga, pa tako izrauna reim mree s kvarom. 1.3PREDMET TEZE Predmetovetezejesuprorauninesimetrinihtokovasnagatrofaznih(ne)uravnoteenih mrea.Uvezistimproraunimaistiusesledeapitanjanakojauliteraturinisudatidefinitivni odgovori: 1.Da li je za te proraune nuno da se napuste izuzetno efikasni Gauss/Seidel-ovi iterativni pos-tupci s procedurama sumiranja struja i korekcija napona i da se zamijene primjenom standar-dnih Gauss-ovih ili Gauss-Seidel-ovih iterativnih postupaka za rjeavanje problema nesimetri-nihtokovasnagatrofaznihdistributivnihmrea,zasnovanihnavrlozahtjevnojimplicitnoj inverziji(LUfaktorizaciji)matriceadmitansimree,koristeisetehnikamarijetkihmatricai optimalne numeracije vorova. (Ovo pitanje je posledica nemogunosti auriranja nulte kom-ponentenaponauprocedurikorekcijanapona,umreamastransformatorimaijisusekun-darni namotaji povezana u trougao ili je bar jedan od namotaja povezan u zvijezdu sa izolova-nim zvjezditem.) 2.Problem koji se nadovezuje na prethodni odnosi se na specifikaciju snaga potronje trofaznih pot-roaa, posebno onih koji se napajaju s transformatora iji su sekundarni namotaji povezani u trou-gao ili je bar jedan od namotaja povezan u zvijezdu sa izolovanim zvjezditem. 3.Problem prorauna distributivnih mrea s vie SN nivoa koji su povezani uravnoteenim tran-sformatorima koji imaju sekundarne namotaje povezane u trougao ili koji bar na jednoj njiho-voj strani imaju namotaje povezane u zvijezdu sa izolovanim zvjezditem. UvodPredrag Vidovi 6 4.Kakav treba da bude tretman neuravnoteenih elemenata trofaznih distributivnih mrea (neu-ravnoteeni potroai, neuravnoteeni trofazni vodovi, neuravnoteeni trofazni transformatori, transformatori sa sekundarima povezanim u trougao, sa srednjim otcjepom na jednom od na-motaja koji je uzemljen, prisustvo dvofaznih vodova i monofaznih vodova i transformatora u mrei)? 5.Pitanjespecifikacijeproizvodnjeaktivnesnagetrofaznihdistributivnihgeneratorainjihove proizvodnje reaktivne snage, odnosno napona. 6.DaliseklasinimtipovimavorovaV,PQiPV[5]dovoljnodobroodslikavapriroda nesimetrinih reima trofaznih distributivnih mrea? 7.Tretman regulacionih transformatora s runom ili automatskom regulacijom pod optereenjem itransformatorasregulacijomubeznaponskomstanju(odnosno,tretmantransformatorasa odnosima transformacije koji nisu nominalni). 8.Tretman transformatora iji odnosi transformacije ne mogu da se eliminiu primjenom sistema relativnih vrijednosti. 9.Problem ogromnog broja razliitih sprega uravnoteenih transformatora koje treba da se mo-delujuiuvaeualgoritmimaisoftveruzaproraunnesimetrinihtokovasnaga.(Npr,samo sprega Dy ima est: Dy1, 3, 5, 7, 9, 11, a svaka od njih ima dvije varijante sa i bez uzemlje-nja zvjezdita.) 10.Izbor domena fazni (s transformatorima realnih odnosa transformacije), ili domen simetri-nih komponenti (s transformatorima kompleksnih odnosa transformacije) za obradu nesimet-rinihtokovasnagatrofaznihdistributivnih mrea,aposebnomreasdvofaznimimonofaz-nim dijelovima. 11.Realizacijaproraunakvarovadistributivnihmreazasnovananaalgoritmimarazvijenimza proraun tokova snaga (unifikacija prorauna tokova snaga i kvarova). Obradaprvadvaodnavedenihpitanjaosnovnijepredmetoveteze.Utusvrhu,udrugoj glavielaborataobraenesuizuzetnoefikasneproceduresumiranjastrujaikorekcijanaponaza proraunsimetrinihtokovasnagaradijalnihdistributivnihmreaidistributivnihmreaskontu-rama. Pri tom, data je njihova matematika zasnovanost na Gauss/Seidel-ovom iterativnom meto-du za rjeavanje sistema nelinearnih jednaina, u kombinaciji s Thvenin-ovom teoremom. To ra-zmatranje je dato i zato da bi se otvorio put za generalizaciju tih postupaka za utvrivanje postupa-ka za proraun nesimetrinih tokova snaga (ne)uravnoteenih trofaznih distributivnih mrea. U treoj glavi su prikazani modeli elemenata mree u (ne)simetrinim reimima trofaznih potroaa, vodova (sekcija) i transforamtora sa etiri osnovne sprege: Yy, Dy, Yd i Dd, sa svim va-rijantama uzemljenja zvjezdita, kao i trofazni model mree sa (ne)simetrinim reimom. U etvr-toj glavi su prikazane procedure sumiranja struja i korekcija napona za proraun nesimetrinih re-ima tih elemenata. To je uraeno da bi se sagledali kljuni problemi koje u proraunima nesimet-rinih tokova snaga distributivnih mrea izazivaju trofazni transformatori. U petoj glavi je obraen problem prorauna trofazne (ne)uravnoteene distributivne mree, kojasesastojiodnaprijednavedenihelemenata,unesimetrinomreimu,primjenomprocedura sumiranjastrujaikorekcijanapona.Kompenzacionipostupcizatretmankonturaidistributivnih generatora, s kojima se kontroliu naponi na njegovim prikljucima za trofaznu mreu, nisu pred-UvodPredrag Vidovi 7 met ove teze. Oni mogu direktno da se realizuju u potpunoj saglasnosti sa odgovarajuim postup-cima za proraune simetrinih tokova snaga mrea s konturama, koji su opisani u drugoj glavi. Njihova verifikacija, napravljena poreenjem s postupcima koji su utvreni u literaturi (za-snovani na Gauss-ovoj varijanti implicitne inverzije matrice admitansi mree), data je u estoj gla-vi. U sedmoj glavi su data zakljuna razmatranja i uputstva za dalji razvoj ove materije, a u osmoj glavi je navedena literatura koriena za izradu ove teze. Na kraju su dati prilozi koji su izdvojeni da ne bi optereivali osnovni dio elaborata. Proraun simetrinih tokova snaga distributivnih mrea i njegova teorijska zasnovanostPredrag Vidovi 8 2PRORAUN SIMETRINIH TOKOVA SNAGA DISTRIBU-TIVNIH MREA I NJEGOVA TEORIJSKA ZASNOVANOST Razmatra se linearna, trofazna, uravnoteena distributivna mrea koja se sastoji on n trofa-znih vorova (3n faznih vorova), u stacionarnom simetrinom reimu direktnog redoslijeda. Ona se napaja sa jednog korjena, obino sekundarnih sabirnica napojnog transformatora. Preostali vo-rovi su ili potroaki, sa specificiranim snagama potronje, ili vorovi sa prikljuenim distributiv-nimgeneratorima,nakojimasuspecificiraneproizvodnjeaktivneireaktivnesnage("negativna potronja"). Generatorski vorovi, s regulacijom napona na njihovim prikljucima za mreu, ne ra-zmatraju se poto, kako je ve reeno, nisu od osnovnog interesa za materiju koja se ovdje izlae. vorovi su klasifikovani na standardan nain [5]: korijen mree jeste balansni vor, odnosno vor tipa V, u kojem je prikljuen idealan naponski izvor specificiranog napona i nepoznate injektira-ne aktivne i reaktivne snage; svi ostali vorovi, potroaki i generatorski,sa specificiranim aktiv-nim i reaktivnim snagama, jesu tipa PQ. Poto se ne razmatraju generatorski vorovi s regulacijom napona, u ovu klasifikaciju nisu ukljueni vorovi tipa PV. Svakom voru mogu da se asociraju dvije kompleksne veliine injektirana snaga i napon, odnosno etiri realne veliine injektirana aktivan (P) i reaktivna snaga (Q), kao i modul (U) i fa-zni stav napona (). Opisana klasifikacija i razvrstavanje veliina asociranih vorovima na poznate i nepoznate veliine, prikazani su u tabeli 2.1. Tabela 2.1 Osnovna klasifikacija vorova distributivnih mrea. Tip voraV Veliine(balansni) PQ Poznate, VP, Q NepoznateP, Q, V Akosemreamodelujeudomenusimetrinihkomponenti,koristeisepogonskimpara-metrima trofaznih elemenata (Glava 3), s obzirom na simetriju reima (direktnog redoslijeda), on-da model mree moe da se predstavi po jednoj fazi (npr. fazi a). Dakle, model mree ima dimen-ziju n (a ne 3n). Struje i naponi koji figuriu u modelu jesu fazne veliine izabrane faze, a snage su jednake treinama trofaznih snaga [13]. Ako se za modelovanje mree (prenosne ili distributivne) izabere metod nezavisnih potencijala vorova, onda linearni model mree, zasnovan na relacijama bilansa struja u vorovima mree, glasi [28]: n k U y Iiniki k..., , 2 , 1 ,1= = =,(2.1) odnosno, u matrinoj formi: U Y I = ,(2.2) gdje su: Proraun simetrinih tokova snaga distributivnih mrea i njegova teorijska zasnovanostPredrag Vidovi 9 I vektor (kompleksnih) struja potronje u vorovima, pa se, zbog toga to su one usmjerene od vorova,ispredlijevihstranarelacija(2.1)i(2.2)injektiranestrujevorovapojavljuje znak minus, U vektor (kompleksnih) faznih napona vorova (stacionarno) stanje mree, Y (kompleksna) matrica admitansi. Matematiki model mree (2.1), odnosno(2.2), ne moe da se direktno iskoristi za prora-un problema tokova snaga poto je on iskazan u terminima napona i struja, a problem tokova sna-ga se iskazuje u terminima napona i snaga. Zato se iz linearnog modela (2.1) prelazi u nelinearan model zasnovan na bilansima kompleksnih snaga u vorovima mree. On se dobija mnoenjem re-lacija (2.1) sa odgovarajuim konjugovanim naponima: n k U y U U Siniki k k k..., , 3 , 2 , 1 ,) (1*= = =,(2.3) gdje je sakS oznaena kompleksna snaga vora k: n k I U Sk k k..., , 2 , 1 , *= = .(2.4) Model relacije (2.3) jesu algebarske, kompleksne i simultane, ali nisu linearne. One mogu daserjeavajuNewton/Raphson-ovimiterativnimmetodom,ilinekomnjegovomvarijantom npr.brzimraspregnutimmetodom,odnosnoGauss-ovimiterativnimmetodom,ilinekomnjego-vom varijantom npr. Gauss/Seidel-ovim metodom [4] Prilog 9.1. Akorelacije (2.3) predstav-ljajumodeltokovasnagaprenosnemree(svelikimbrojemkontura),ondasuvarijante Newton/Raphson-ovogmetodaznatnoefikasnijeodvarijantiGauss-ovogmetoda[4].Odnosno, definitivno rjeenje tokova snaga prenosnih mrea jeste brzi raspregnuti metod. Ako relacije (2.3) predstavljajumodeltokovasnagadistributivnemree,ondavarijanteNewton/Raphson-ovogme-toda nisu efikasne, pa se za rjeavanje tokova snaga distributivnih mreakoriste varijante Gauss-ovogiterativnogmetoda.Tajmetodjeizuzetnodobropovezansprirodomradijalnihmrea,pai mrea s malim brojem kontura. Prorauni tokova snaga radijalnih i mrea s malim brojem kontura, primjenom Gauss/Seidel-ovog metoda, obrauju se u naredna dva dijela ove glave. Odnosno, u tim dijelovimasedokazujedapostupcizaprorauntokovasnagadistributivnihmrea,zasnovanina numeraciji mree po slojevima i procedurama sumiranja struja i korekcija napona, kao i kompen-zaciji za konture, nisu nita drugo do primjena standardnog Gauss/Seidel-ovog iterativnog metoda zarjeenjejednainabilansasnaga(2.3),uizuzetnoefikasnojkombinacijisThvenin-ovomteo-remom (kada je re o mreama s konturama). ObaGauss-oviGauss/Seidel-ovmetodzaproraunmodelatokovasnaga(2.3),prime-njeni u standardnoj ili formi zasnovanoj na sumiranju struja i korekciji napona, prikazani su algori-tmom koji se sastoji od 4 koraka: Algoritmi za proraun modela tokova snagazasnovani na Gauss-ovom i Gauss/Seidel-ovom metodu 1.Rasprezanje modela tokova snaga (2.3) na dva dijela: Proraun simetrinih tokova snaga distributivnih mrea i njegova teorijska zasnovanostPredrag Vidovi 10 Dominantni dio modela: n k U y U U Siniki k k k..., , 3 , 2 ,) (1*= = =, pri emu je: specU U1 1 = i spec 1 1 = , (prvi vor je balansni, s poznatim specificiranim modulom i faznim stavom na-pona superskript "spec"). (2.5a) Raspregnuti dio modela: iniiU y U S 11*1 1 == ,(2.5b) (poto snage prvog balansnog vora nisu poznate, tj. njegova injektirana snaga nije poz-nata, ispred njene oznake nema znaka minus). Otoni elementi asocirani balansnom voru ne utie na proraun tokova snaga, pa se ni ne razmatraju.Reimutim(otonim)elementimaraunasetrivijalno,naosnovupoznatog napona balansnog vora. 2.Modifikacija dominantnog dijela modela: n k U yUU Sinikikk k..., , 3 , 2 ,) (1*= = =.(2.6) 3.Rjeenje dominantnog dela modela (2.6) po nepoznatim naponiman i Ui..., , 3 , 2 ,= . 3.1. Za rjeenje dominantnog dijela modela tokova snaga (2.5a) moe da se primjeni itera-tivnipostupakzasnovannaGauss-ovom,odnosnoGauss/Seidel-ovommetodu,unji-hovom standardnom obliku [24]: 1 h hU Y I I+= ,(2.7) pri emu je sa h oznaen redni broj iteracije (h=1 znai da je rije o poetnoj iteraciji). Elementivektora hI,dimenzija(n1)1,jednakisudesnimstranamarelacija(2.6),s promjenjenim znakom, odnosno predstavljaju kolinike aproksimacija snaga potronje (2.4) i aproksimacija odgovarajuih konjugovanih napona vorova, bez struje prvog balansnog vora: n kUU SIhkhk k hk..., , 3 , 2 ,) (*= = .(2.8) Elementi vektora 1 hU +, dimenzija (n1)1, sadre h+1-vu korigovanu ("poboljanu") aproksimacijunaponavorova,bezpoznatognaponaprvog(balansnogvora) n k Uhk..., , 3 , 2 , = po kojima treba da se rijei sistem lineranih jednaina (2.7). Proraun simetrinih tokova snaga distributivnih mrea i njegova teorijska zasnovanostPredrag Vidovi 11 MatricaY, dimenzija (n1)(n1), dobijena je tako to su iz matrice admitansiY po-tisnute prva vrsta i prva kolona, koje odgovaraju balansnom voru redukovana mat-rica admitansi. UvektoruI ,dimenzija(n1)1,smjetenisupoznatilanovisumanadesnimstra-nama relacija (2.6), koji se odnose na balansni vor; taj vektor glasi: ] , ... , [1 1 1 21U y U yn= TI .(2.9) Sistemjednaina(2.7)moedaserjeieksplicitnominverzijomredukovanematrice admitansiY: ) ( )(1I I Y Uh 1 h = +,(2.10) na koji nain se dobija standardna forma Gauss-ovog iterativnog metoda za rjeavanje sistema jednaina Prilog 9.1. Eksplicitno sprovoenje ovog postupka nije praktino s obzirom na vrlo velike dimenzije redukovane matrice admitansi. Sistem linearnih jednaina (2.7), moe da se rjei po korigovanoj aproksimaciji napona n i Uhi..., , 3 , 2 ,1=+,izbjegavajuioperacijuinverzijeikoristeisestandardnomGa-uss-ovom redukcijom linearnih jednaina (s vrlo rijetkom i optimalno numerisanom matricomadmitansi),dajuisistemulinearnihjednaina(2.7)gornjutrougaonufor-mu [7, 8]. Ni ovaj postupak nije praktian poto se za sprovoenje Gauss-ove redukci-je, u svakoj iteraciji izraunavaju isti faktori s kojima se vre operacije prilikom trian-gularizacijeredukovanematriceadmitansiiproraunakorigovaneaproksimacijena-pona. Umjestotoga,zarjeenjesistemalinearnihjednainauobiajenosekoristiimplicitna inverzija vrlo rijetke i optimalno numerisane matrice admitansi njena LU faktorizaci-ja [7, 8]. Naime, kvadratna, regularna, redukovana matrica admitansiY (2.7) moe da se iskae kao proizvod donje trougaone matrice faktoraD i gornje trougaone matrice faktoraG1: 1 h hU G D I I+= .(2.11) U matricama faktoraD iG sutinski se memoriu operacije koje se u svakoj iteraciji naprijedopisanestandardneGauss-overedukcijekoristezarjeavanjesistemalinear-nihjednaina,ukojimasemijenjajusamodesnestranepoznatihveliina.Jednomiz-vedene, te dvije matrice se nepromjenjene koriste u svakoj iteraciji rjeavanja sistema linearnih jednaina (2.11). Ve je navedeno da se ovaj postupak za rjeavanje modela tokova snaga u literaturi se naziva implicitni ZBUS postupak (Implicit ZBUS Gauss Met-hod)[24],odnosnoCurrentInjectionMethod.Akoseprilikomizraunavanjakorigo-vaneaproksimacijenaponavorovaujednojiteracijikoristesamoaproksimacijena-pona izraunate u prethodnoj iteraciji, rije je o Gauss-ovom metodu; a ako se koriste i korigovane aproksimacije napona koje su ve izraunate u tekuoj iteraciji, onda je ri- 1Standardne anglosaksonske oznake za donju ( D) i gornju trougaonu matricu ( G) jesuL (lower) iU (up-per), ali su one ovdje izbjegnute da bi se napravila distinkcija u odnosu na obiljeavanje vektora fazora na-ponaU. Proraun simetrinih tokova snaga distributivnih mrea i njegova teorijska zasnovanostPredrag Vidovi 12 je o Gauss/Seidel-ovom metodu Prilog 9.1. Upravo je zbog toga drugi metod znatno efikasniji od prvog (po broju iteracija, pa tako i vremenu potrebnom za rjeenje siste-ma nelinearnih jednaina). Rezultat rjeenja dominantnog dijela modela tokova snaga (2.5a) sastoji se od napona svih vorova osim balansnog (koji je unapred specificiran). Sobziromdasuuopisanompostupkukaonepoznateveliineeksplicirajuiskljuivo naponi vorova (stanje mree), kae se da je postupak orjentisan na vorove (bus ori-ented method). 3.2.Za rjeenje dominantnog dijela modela tokova snaga (2.5a), moe da se koristi postu-pak orjentisan na grane (branch oriented method), tj. postupak zasnovan na procedu-rama sumiranja struja i korekcija napona, kao i na proceduri kompenzacije za konture (i generatore, s regulacijom napona na njihovim prikljucima za mreu) [17]. (Taj pos-tupakseuovomelaboratugeneraliena(ne)uravnoteenemreeunesimetrinimre-imima.) Kako je naglaeno u Uvodu, osnovni cilj u ovoj glavi jeste da se dokae matematika zasnovanost postupaka za proraun simetrinih tokova snaga ponovo na Gauss-ovom, odnosno Gauss/Seidel-ov metodu, ali, sada, u drugaijoj formi, kojom se postie izuze-tna efikasnost prorauna. Zato modelu (2.6) se sada daje sledea, opet Gauss-ova, od-nosno Gauss/Seidel-ova forma: n k U yy UU SyUink iikikk kk kkkk..., , 3 , 2 ,1) (11*= ==,(2.12) pri emu su sayoznaeni elementi matrice admitansi mree. Zarazlikuodprethodnogpostupka(orjentisanognavorove),model(2.12),ukojem figuriu nepoznate varijable stanja mree naponi vorova, sada je potrebno da se pro-iri sa novim nepoznatim veliinama reima mree sa strujama rednih grana mree kiI, k = 1, 2, ... , nl, i = 2, 3, ... , n, i > k , pri emu l predstavlja broj grana u pos-lednjem sloju, (kiI = 0, kada nema grane izmeu vorova k i i). Koristei se prvim Kir-chhoff-ovim zakonom, te struje mogu da se opiu relacijama: ((

+ + = ijij i oiii ikiI U YUU SI ) (*, k = 1, 2, ... , nl, i = 2, 3, ... , n, i > k,(2.13) pri emu je sa oiY oznaena otona admitansa prikljuena u voru i, a sa i oznaen je skup indeksa vorova koji su granama povezani s vorom i, osim vora k. Sada, sistem jednaina kojima je opisan problem tokova snaga, sastoji se od n1 relaci-je(2.12)irelacija(2.13).Postupakzanjihovorjeenje,kadasuupitanjuradijalnei mreeskonturama,primjenomstandardnogGauss-ovog,odnosnoGauss/Seidel-ovog metoda Prilog 9.1, osnovni je predmet ove glave, pa se ne daje na ovom mjestu, ve mu je posveen naredni dio. Proraun simetrinih tokova snaga distributivnih mrea i njegova teorijska zasnovanostPredrag Vidovi 13 Sobziromdaseuovompostupkukaonepoznateveliineeksplicirajuistrujegrana mree i da se naponi izraunavaju na osnovu proraunatih struja, kae seda je postu-pak orjentisan na grane (branch oriented method). Rezultat rjeenja dominantnog dijela modela tokova snaga (2.5a) sastoji se od napona svih vorova osim balansnog (koji je unaprijed specificiran) i struja u rednim granama mree. Nezavisno od toga koji je od prethodno opisana dva postupka primjenjen, rjeenje do-minantnog dijela modela tokova snaga se zavrava kada se zadovolje unaprijed speci-ficiranikriterijumikonvergencije.Tikriterijumisedefiniunaosnovurazlikaaprok-simacijanaponaudvijeuzastopneiteracijeirazlikavrijednostilijevihidesnihstrana relacija (2.6) u tekuoj iteraciji. 4.Izraunavanjeinjektiranihsnagaubalansnomvoruireimacijelemree,kojimjeobu-hvaen i reim u otonim elementima asociranim balansnom voru. Nezavisnoodtogakojijeodprethodnoopisanadvapostupkaprimjenjen,potojenapon balansnogvoraunaprijedspecificiran,rjeenjemdominantnogdijelamodelatokovasna-ga, dobija se cio vektor stanja mree naponi svih vorova. Raspolaui sa stanjem mree, injektirana kompleksna snaga u balansnom voru izraunava se korienjem relacije (2.5b). Sveostaleveliinemree(struje,padovinapona,...)izraunavajusetakoekorienjem vrlojednostavnihrelacijanaosnovustanjamree(kodpostupkaorjentisanognagrane, struje u rednim granama mree su ve izraunate u okviru prorauna modela mree). U naredna dva dijela ove glave razmatra se model distributivne mree (Dio 2.1) i njegovo rjeenje (Dio 2.2), zasnovano na postupku orjentisanom na grane. 2.1MODEL ELEMENATA MREE U ovom dijelu obraeni su pofazni (monofazni) matematiki modeli trofaznih uravnotee-nih potroaa i sekcija (vodova), kao i uravnoteenih transformatora, za trofazne simetrine reime direktnog redoslijeda. Na osnovu tih modela moe da se izvede model mree u simetrinom rei-mu. Modeli se razmatraju u domenu relativnih vrijednosti, s ciljem da se ekvivalentne eme tran-sformatora tretiraju bez idealnih transformatora. Potroai Kompleksnafaznasnagapotronjepotroaa(potroakogpodruja)funkcijajemodula napona i uestanosti [29]. U proraunima stacionarnih tokova snaga, vrijednost uestanosti je una-prijed specificirana. Dakle, fazna aktivna(P) i reaktivna snaga potronje(Q) potroaa prikljue-nog u voru, funkcije su samo modula napona tog vora [24, 30]. One se obino iskazuju preko tri komponente [30]: 1) Konstantna snaga, 2) Snaga srazmjerna s modulom napona, odnosno konstan-tan modul struje (I) i faktor snage (cos, sin) i 3) Konstantna impedansa (admitansaB G Y j+ = ): Proraun simetrinih tokova snaga distributivnih mrea i njegova teorijska zasnovanostPredrag Vidovi 14 specnNNyqspecnNNypspecnNNiqspecnNNipspecsqspecspQUUk PUUkQUUk PUUk Q k P k U S2 2jj j ) (|||

\||||

\|+ + =, (2.1.1) pri emu su: nNNU Normalizovani nominalni fazni napon potroaa (mree niskog napona); U Normalizovani modul faznog napona potroaa; specP , specQ Normalizovana specificirana fazna aktivna i reaktivna snaga potronje potroaa, pri nominalnom naponu; ksp, ksq Koeficijenti uea dijelova fazne aktivne i reaktivne snage potronje potroaa, koje nisu zavisne od napona; kip, kiq Koeficijenti uea dijelova fazne aktivne i reaktivne snage potronje potroaa, koje su linearno zavisne od napona; kyp , kyq Koeficijenti uea dijelova fazne aktivne i reaktivne snage potronje potroaa, koje su zavisne od kvadrata napona. Za koeficijente uea vae sledee relacije: ksp + kip + kyp = 1.0,(2.1.2a) ksq + kiq + kyq = 1.0.(2.1.2b) Grane Sekcije vodova i transformatori predstavljaju grane mree. Normalizovana pogonska ema sekcije voda, kojom su povezani vorovi K i k, za simetrian reim (direktnog redoslijeda), prika-zana je na slici 2.1.1. Sa kZ je oznaena redna impedansa, a sa okY otone admitanse sekcije, koje su meusobno jednake. Sa U iI oznaeni su odgovarajui naponi i struje. k K KU okY kZ okY okI oKI kU 0 kI Slika 2.1.1 Pogonska ema sekcije voda. Dvije varijante pogonske ema transformatora, za simetrian reim (direktnog redoslijeda), prikazanesunaslikama2.1.2aib[31].Idealnitransformator,obinokompleksnogodnosatran-Proraun simetrinih tokova snaga distributivnih mrea i njegova teorijska zasnovanostPredrag Vidovi 15 sformacije eliminisan je (sveden na jedinicu) primjenom Generalizovanim sistemom relativnih vri-jednosti [32]. Sa kZ i mZsu oznaene normalizovane vrijednosti impedanse kratkog spoja i mag-neenjatransformatora,respektivno.SaUiIoznaenisuodgovarajuinaponiistruje.(Napo-mena: Ekvivalencija dvije eme sa slike 2.1.2 nije rigidna, ve samo praktina aproksimativna.) k K KU kZ 'kImZ mI kU "kI0 (a) k K KU mZ kZ 'kImI kU "kI0 (b) Slika 2.1.2 Pogonska ema transformatora sa skoncentrisanom impedansom kratkog spoja i impedansom magneenja prikazanom u voru k (a) i impedansom magneenja prikazanom u voru K (b). Raspolaui s predstavom potroaa mree njihovim snagama potronje (2.1.1) i ekvivalen-tnim (pogonskim) emama sekcija (slika 2.1.1) i transformatora (slika 2.1.2), nije teko da se for-mira matematiki model mree, pa zatim i matematiki model tokova snaga (2.3) i da se on rijei koristei se algoritmom opisanim u preambuli ove glave. Modelu mree i rjeenju modela tokova snaga posveen je naredni dio. 2.2MODEL MREE I NJEGOV PRORAUN Uovomdijelusenamodelumreeformalno(matematiki)izvodepostupcizaproraun tokova snaga radijalnih mrea (Paragraf 2.2.1) i mrea s konturama (Paragraf 2.2.2), zasnovani na procedurama sumiranja struja i korekcija napona, kao i na kompenzaciji za konture. 2.2.1Model radijalne mree i njegov proraun Uovomparagrafujeprikazanpostupakzaproraunsimetrinihtokovasnaga(direktnog redoslijeda) trofaznih (uravnoteenih) radijalnih mrea, zasnovan na procedurama sumiranja struja i korekcija napona [17, 18, 19] postupak orjentisan na grane. Poseban akcenat je stavljen na nje-govoj matematikoj zasnovanosti. To je uraeno s ciljem da se na toj matematikoj zasnovanosti, Proraun simetrinih tokova snaga distributivnih mrea i njegova teorijska zasnovanostPredrag Vidovi 16 opisanipostupakgeneralizujezaproraune(ne)simetrinihreimatrofaznih(ne)uravnoteenih distributivnih mrea. Razmatraseradijalnamrea,kojasesastojiodntrofaznihvorovain-1trofaznegrane, n2. Model mree je pofazan (monofazan), saglasan s pogonskom emom mree za simetrian re-im direktnog redoslijeda, i odnosi se na reim faze a Prilog 9.2. Sa 0 je oznaena taka (vor) referentnog potencijala.Za tu taku je ovdje utvrena zemlja koja ima svuda isti potencijal. Nor-malizovana pogonska ema mree moe da se konstituie koristei se iskljuivo monofaznim se-gmentima prikazanim na slici 2.2.1.1. Svaki segment je asociran jednoj sekciji voda ili transforma-toru. Sa K i k su oznaeni indeksi vorova na poetku i kraju razmatranog segmenta, odnosno vo-rovi blii i dalji od korijena radijalne mree, respektivno. Sobziromnaradijalnostmree,vorKje ujedno i kraj segmenta prethodnika (predecessor) s kojeg se napaja razmatrani segment, ili je to korijen mree. vor K moe da bude poetak i za vie drugih segmenata koji se napajaju preko istogprethodnika.vorkjeujednoipoetakjednogiliviesegmenatasljedbenika(succes-sors)kojisenapajajuprekorazmatranogsegmentai/ilijeunjemuprikljuenpotroasfaznom kompleksnomsnagom) ( j ) ( ) (k k k k k kU Q U P U S = zadefiniciju:I U U S ) (*= .Tasnagamoeda bude konstantna ili zavisna od napona relacije (2.1.1). Vektor fazne struje potroaa oznaen je sa kI.Usledradijalnostimree,svakisegmentireprezentinjegovihrednihiotonihparametara indeksirani su istim indeksom vora na njegovom kraju k. 'kI 0 Kk MMkBkAokIKU kU k k kI U S), ( Slika 2.2.1.1 Pogonska ema segmenta k trofazne distributivne mree. Sa kAjeoznaenimpedantnireprezentrednogparametrarednagranasegmenta k k kZ A = .Kadajeupitanjusekcijavoda,ondajetonjegovarednaimpedansarednapogonska impedansazasimetrianreimdirektnogredoslijeda;kadajeupitanjutransformator,ondajeto njegova impedansa kratkog spoja (idealni transformatori su eliminisani primjenom sistema relativ-nih vrijednosti). Struja redne grane oznaena je sa 'kI . Sa kB je oznaen admitantni reprezent otonog parametra otona grana segmenta k ok kY B = .Onpredstavljasumuadmitantnogreprezenataotonogparametrakrajasekcijeilitran-sformatora(admitansamagneenja)kojemjesegment k asociran,otonihparametaranapoe-cimasekcijailitransformatora(admitansimagneenja)kojisenapajajuprekorazmatranesekcije ilitransformatora(akoihima)ireprezenataotonihelemenatadirektnoprikljuenihuvoruk (npr, baterija kondenzatora). Opet je rije o pogonskim parametrima za simetrian reim direktnog redoslijeda. Sa okI je oznaena struja otone grane segmenta k . Dakle, reprezent otonih parame-tara na poetku sekcije ili transformatora kojoj ili kojem je asociran segment k , asociran je oto-nojgranisegmenta K prethodnikarazmatranogsegmenta k .AkojevorKkorijenmree (dakle,razmatranisegment k nemaprethodnika),ondaotoniparametarkojiodgovaravoruK sekcije ili transformatora, kojoj ili kojem je razmatrani segment kasociran, ne utie na proraun Proraun simetrinih tokova snaga distributivnih mrea i njegova teorijska zasnovanostPredrag Vidovi 17 tokova snaga, pa se ni ne razmatra. Reim u tom (otonom) parametru rauna se trivijalno, na os-novu poznatog napona korjena. Problem tokova snaga predstavlja proraun vektora stanja napona vorova mree (odnos-no,kompletnogreima)distributivnemree,nabazipoznatognaponakorjenamree(balansnog vora) i specificiranim injektiranih snaga u svim ostalim vorovima mree (vorovi tipa PQ). Os-novu prorauna tokova snaga radijalne mree ini numeracija mree po slojevima. Primjer takve nu-meracije dat je na mrei sa dvanaest vorova, koja je prikazana na slici 2.2.1.2. Prave linije izmeu vorova odnose se na naprijed opisanesegmente. Oni, zajedno s vorovima mree, numerisani su na sledei nain: 1.Prvi vor je balansni; drugi vor i ostali vorovi (ako ih ima), koji se segmentima direktno napajaju s korjena (vorovi 2, 3 i 4), pripadaju prvom sloju; a poslednji n-ti vor (ovdje dvanaesti), s voro-vima koji se direktno napajaju segmentima sa vorova pretposlednjeg sloja (ovdje drugog), pripa-daju poslednjem sloju (ovdje treem). 2.Svaki vor koji nije korijen, napaja se preko jedinstvenog segmenta istog indeksa, koji je asociran odgovarajuoj sekciji voda ili transformatoru. (Nema segmenta sa kojeg se napaja korijen.) Sloj 1 Sloj 2 Sloj 3 1 234 657 98101112 Slika 2.2.1.2 Numeracija vorova i segmenata radijalne mree. Relacijebilansakompleksnihsnagavorova(2.3)imajustandardnuformumodelatokova snaga, nezavisno od toga o kakvoj je mrei rije (prenosnoj ili distributivnoj). One su izvedene iz linearnogmodelakolanapisanogsaglasnosmetodomnezavisnihpotencijalavorova(2.2)uter-minima injektiranih struja i napona. Taj metod je izveden sintezom prvog i drugog Kirchhoff-ovog zakona.Relacijebilansasnaga(2.3)nisulinearne(iakojemrealinearna),potosuiskazaneu terminima napona i injektiranih snaga, pri emu jo i snage zavise od napona. Kako je ve reeno, kada je u pitanju prenosna mrea, tada se model rjeava primjenom Newton-ovih varijanti iterativ-nihmetodazarjeavanjesistemanelinearnihjednaina.Kadajeupitanjuradijalnadistributivna mrea(imreasmalimbrojemkontura),tadasemodelrjeavaprimjenomGauss-ovihvarijanti iterativnih metoda za rjeavanje sistema nelinearnih jednaina. Model tokova snaga koji se ovdje razmatra (za radijalnu mreu) moe da se napie polazei ponovo od metoda nezavisnih potencijala vorova, odnosno direktnom primjenom Kirchhoff-ovih Proraun simetrinih tokova snaga distributivnih mrea i njegova teorijska zasnovanostPredrag Vidovi 18 zakona, ali, ovdje se taj model izvodi iz ve utvrenih relacija bilansa snaga vorova (2.3), kreui se "unazad" prema Kirchhoff-ovim zakonima, da bi se pokazalo da je model tokova snaga uvijek isti, nezavisan od tipa mree koja se obrauje relacije (2.3). Tip mree utie samo na prilagoe-nje te forme tipu obraivane mree. Razmatraseradijalnamreasantrofaznihvorova,spofaznimmodelomtokovasnaga (2.3).Za njegov proraun ovdje e se obraditi algoritam 3.2 opisan u preambuli ove glave. On je zasnovan na formi modela tokova snaga (2.12): n k U yy UU SyUink iikikk kk kkkk..., , 3 , 2 ,1) (11*= ==. (2.2.1.1) Relacije bilansa snaga (2.2.1.1) mogu da se napiu u sledeem obliku: n k U y U yUU SyUiiki K kKkk kkkkk..., , 3 , 2 ,) (1*=|||

\| =,(2.2.1.2) gdje je sa K oznaen poetak segmenta k , a sa kje oznaen skup indeksa vorova koji se se-gmentimanapajajuizvorak.Akoseumjestoelemenatamatriceadmitansinapiuoriginalne admitanse segmenata, oznaene velikim slovima, dobija se: n k U Y U YUU SY Y YUiii K kkk knii ok kkkk..., , 3 , 2 , ) ( 1*=|||

\|+ + + +=,(2.2.1.3) odnosno: n k U Y U Y U Y U YUU SYUiii kii k ok K kkk kkkk k..., , 3 , 2 , ) (1*=|||

\|+ + = ,(2.2.1.4) odnosno: n k U U Y U YUU SZ U Ui kii k okkk kk K kk..., , 3 , 2 , ) ( ) ( *=((

+ + =,(2.2.1.5) odnosno: n k I U YUU SZ U Ukii k okkk kk K k, ... , 3 , 2 , ) ( '*=|||

\|+ + =,(2.2.1.6) pri emu su sa 'iI , ki , oznaene struje koje rednim granama otiu iz vora k, k = 2, 3, ... , n (to su prazni skupovi za sve vorove iz kojih se ne napajaju grane niih slojeva);,/ 1k kY Z =k = 2, 3, ... , n. Relacije (2.2.1.6) predstavljaju primjenu drugog Kirchhoff-ovog zakona za konturu koju ini k-ta redna grana s takom nultog potencijala. Proraun simetrinih tokova snaga distributivnih mrea i njegova teorijska zasnovanostPredrag Vidovi 19 Dakle,dominantnomdijelumodelatokovasnaga(relacijebilansasnaga),datjeoblik (2.2.1.6), u kojem su uvedene nove nepoznate varijable struje rednih grana mree ( segmenata). Te struje mogu da se opiu primjenom prvog Kirchhoff-ovog zakona (2.8): + + =kjj k okkk kkI U YUU SI'*' ) (, k = 2, 3, ... , n.(2.2.1.7) Sada, relacijama (2.2.1.6) i (2.2.1.7) moe da se da sledei oblik: n k I Z U Uk k K k, ... , 3 , 2 , '= = ;(2.2.1.8a) + + =kjj k okkk kkI U YUU SI'*' ) (, k = 2, 3, ... , n.(2.2.1.8b) Model razmatrane radijalne mree (2.2.1.8) sastoji se od nelinearnih kompleksnih jednai-na koje, prije svega, treba da se rijee po nepoznatom dijelu vektora stanja mrea kU, k = 2, 3, ... , n, kao i po nepoznatim strujama svih rednih grana mree 'kI , k = 2, 3, ... , n. Jednaine (2.2.1.8) mogu da se napiu u sledeem redoslijedu: + + =kjj k okkk kkI U YUU SI'*' ) (, k = n, n1, ... , 3, 2;(2.2.1.9a) n k I Z U Uk k K k, ... , 3 , 2 , '= = .(2.2.1.9b) Overelacijepredstavljajumatematikimodeltokovasnagarazmatranemree,odnosnoelektri-nogkolakojimonamoedasepredstavi.Kolojelinearno,alinjegovmatematikimodelnije, poto je predstavljen u terminima napona i snaga, a ne u terminima napona i struja (uz to, i snage zavise od napona). Forma modela tog kola je upravo takva da na nju moe direktno da se primjeni Gauss-oviliGauss/Seidel-oviterativnimetodzarjeavanjesistemanelinearnihjednaina(Prilog 9.1).IteracijahGauss/Seidel-ovogmetoda,ukojojseizraunavajuh+1-veaproksimacijestruja rednih grana i naponi vorova, glasi: + ++ + =kjhjhk okhkhk k hkI U YUU SI1 '*1 ' ) (, k = n, n1, ... , 3, 2;(2.2.1.10a) 1 ' 1 1 + + + =hk khKhkI Z U U , k = 2, 3, ... , n.(2.2.1.10b) (Za K = 1, u pitanju je balansni vor sa specificiranim naponom, pa superskript h+1 nije potreban.) Sobziromnakretanjeindeksak,oiglednojedasvakaodrelacija(2.2.1.10a),npr.k-ta, ima znaenje: korigovana (h+1-va) vrijednost struje redne grane k-tog segmenta (1 '+ hkI ), jednaka je zbiru h-te aproksimacije struje potroaa koji se direktno napaja sa tog segmenta [hkhk kU U S*/ ) (], h-teaproksimacijestrujeotonegranetogsegmenta(hk okU Y )isumiveizraunatihstrujarednih granasegmenatakojisenapajajusak-togsegmenta(+kjhjI1 ');poslednjestrujesuizraunate Proraun simetrinih tokova snaga distributivnih mrea i njegova teorijska zasnovanostPredrag Vidovi 20 prije k-te, istim relacijama (2.2.1.10a), u okviru iste iteracije, s obzirom na specijalno kretanje in-deksa k i izabranu numeraciju segmenata, odnosno vorova i grana radijalne mree; oigledno je da su struje rednihgrana segmenata poslednjeg sloja i segmenata sa kojih se ne napajaju drugi segmenti, jednake samo zbirovima struja njihovih potroaa i njihovih otonih grana za poslednju aproksimaciju napona drugih vorova tih segmenata. Gore je ve reeno da te relacije predstavljaju primjenu prvog Kirchhoff-ovog zakona na vorove razmatrane mree. Ova procedura, koja je od-reenarelacijama(2.2.1.10a),oiglednojedanijenitadrugodoprocedurasumiranjastrujaiz standardnih postupaka za proraun simetrinih tokova snaga trofaznih radijalnih mrea [17]. Sobziromnaspecijalnokretanjeindeksak,oiglednojedasvakaodrelacija(2.2.1.10b), npr.k-ta,imaznaenje:korigovana(h+1-va)vrijednostnaponadrugogvorak-togsegmenta (1+ hkU ), jednaka je razlici (h+1-ve) aproksimacije napona prvog vora tog segmenta (1+ hKU ) i (h+1-ve) aproksimacije pada napona na rednojgrani tog segmenta (1 ' + hk kI Z ); korigovana vrijednost na-pona prvogvora k-tog segmenta(1+ hKU ) izraunata je prije korekcije napona drugogvora tog segmenta, korienjem istih relacija (2.2.1.10b), u okviru iste iteracije, s obzirom na izabrano kre-tanje indeksa k i izabranu numeraciju segmenata, odnosno vorova i grana radijalne mree; prvi vor prvog segmenta i svih segmenata koji se direktno napajaju sa korjena mree, jeste korijen mree(balansnivor),saspecificiranim(poznatim)naponom;gorejevereenodaterelacije predstavljaju primjenu drugog Kirchhoff-ovog zakona na redne grane razmatrane mree. Ova pro-cedura, koja je odreena korienjem relacija (2.2.1.10b), oigledno je da nije nita drugo do pro-cedura korekcija napona iz standardnih postupaka za proraun simetrinih tokova snaga trofaznih radijalnih mrea [17]. Opisani iterativni postupak za proraun simetrinih tokova snaga trofaznih radijalnih mrea razmotrieseinaprimjeruuravnoteenemreesetirivora(n=4)itrigraneslika2.2.1.3a. Mrea je numerisana po slojevima; prvi vor je balansni, a ostala tri vora su tipa PQ, sa specifici-ranimkompleksnimsnagamapotronje.Onisurasporeeniudvaslojavor(grana)2pripada prvom, a vorovi (grane) 3 i 4 drugom sloju. Pogonska ema mree, prikazana segmentima, data je na slici 2.2.1.3b. Model tog kola glasi: + + =kjj k okkk kkI U YUU SI'*' ) (, k = 4, 3, 2;(2.2.1.11a) 4 , 3 , 2 , '= = k I Z U Uk k K k.(2.2.1.11b) Ako bi se model (2.2.1.11) rijeio, dobili bi se naponi vorova 2, 3 i 4, uz poznat napon balansnog vora(naponvora1),kaoistrujegrana.Kolosreimomkojipredstavljarjeenjemodela (2.2.1.11) dato je na slici 2.2.1.4. Ono je izvedeno primjenom teoreme o kompenzaciji struja u oto-nim admitansama i potronje vorova segmenata idealnim strujnim izvorima. Relacije opisanogGauss/Seidel-ovog metoda zaproraun tokova snaga u h-toj iteraciji za proraun reima ove mree glase: + ++ + =kjhjhk okhkhk k hkI U YUU SI1 '*1 ' ) (, k = 4, 3, 2;(2.2.1.11a) 1 ' 1 1 + + + =hk khKhkI Z U U , k = 2, 3, 4,(2.2.1.11b) odnosno: Proraun simetrinih tokova snaga distributivnih mrea i njegova teorijska zasnovanostPredrag Vidovi 21 3U4U2U(a) 2 3 4 '3I2S3S4S'4I'2I 1 1U0 Slika 2.2.1.3 Primjer trofazne radijalne mree s etiri vora, u simetrinom reimu (a) i njena pogonska ema prikazana segmentima (b). 3U4U12 3 4 2Z3Z4Z2oY3oY4oY2oI3oI4oI'2I'3I'4I(b) 2U2S3S4S1U0 Proraun simetrinih tokova snaga distributivnih mrea i njegova teorijska zasnovanostPredrag Vidovi 22 3U4U2U12 3 4 2Z3Z4Z2 2 U Yo3 3 U Yo 4 4 U Yo*22US *33US *44US '2I'3I'4ISlika 2.2.1.4 Ekvivalentno kolo kojim se interpretira rjeenje tokova snagamree prikazane na slici 2.2.1.3. 1U0 hohhhU YUU SI4 4*44 4 1 '4 ) (+ =+, hohhhU YUU SI3 3*33 3 1 '3 ) (+ =+, ) ( ) (1 '41 '3 2 2*22 2 1 '2+ + ++ + + =h h hohhhI I U YUU SI ; (2.2.1.12a) 1 '2 2 112 + + =h hI Z U U , 1 '3 31213 + + + =h h hI Z U U , 1 '4 41214 + + + =h h hI Z U U . (2.2.1.12b) Ako se raspolae s naponom korjena mree (1U ) i h-tom aproksimacijom napona ostala tri vora(hU2, hU3i hU4)iakoseparovistrujauvorovima2,3i4(hhUU S*22 2) (, hoU Y2 2 ),(hhUU S*33 3) (, hoU Y3 3 ) i (hhUU S*44 4) (, hoU Y4 4 ), zamjene idealnim strujnim izvorima, onda relacije (2.2.1.12) predstav-ljaju matematiki model kola koje je prikazano na slici 2.2.1.5. Idealni izvori naponski prikljuen uprvomvoruiparovistrujnihizvoraprikljueniuostalimvorovimapredstavljajueksitaciju kola. Odziv kola jednoznano je odreen vektorom stanja, kojem nedostaju nepoznati naponi vo-rova2,3i4.Modelkolajenapisandirektnomprimjenomprvog(2.2.1.12a)idrugogKirchhoff-Proraun simetrinih tokova snaga distributivnih mrea i njegova teorijska zasnovanostPredrag Vidovi 23 ovog zakona (2.2.1.12b). Taj model ne prestavlja nita drugo do primjenu metoda konturnih struja za proraun kola prikazanog na slici 2.2.1.5 (Prilog 9.3). Kolo na slici 2.2.1.5 predstavlja lineari-zovano kolo kola prikazanog na slici 2.2.1.3b, sa aspekta sada linearne eksitacije idealnim strujnim izvorimauvorovima2,3i4,umestoeksitacijesnagamautimvorovima.Ovdeseinsistirana sledeim injenicama: 1.Proraunomreimakolaponepoznatimnaponima 12+ hU , 13+ hU i 14+ hU (istrujaurednimgra-nama kola 1 '2+ hI , 1 '3+ hIi 1 '4+ hI ), dobija se korekcija tekue aproksimacije napona hU2, hU3 i hU4 (i struja u rednim granama kola hI'2, hI'3 i hI'4); 2.Dakle,prorauntogkolanepredstavljarjeenjeosnovnogproblematokovasnagamodel (2.2.1.11), odnosno proraun reima kola sa slike 2.2.1.3b, ve predstavlja samo rjeenje line-arizovanog problema tokova snaga model (2.2.1.12), odnosno kolo sa slike 2.2.1.5; 3.Model, odnosno reim kola sa slike 2.2.1.5, moe da se izrauna primjenom bilo kog metoda (metodnezavisnihpotencijalavorova,konturnihstrujaitd.);naravno,najjednostavnijejeda setouradiizraunavanjemlijevihstranaGauss/Seidel-ovihrelacija(2.2.1.12),tonijenita drugo do primjena metoda konturnih struja za rjeenje tog kola; a taj metod nije nita drugo do specijalna sinteza Kirchhoff-ovih zakona. 1U13+ hU14+ hU12+ hU12 3 4 2Z3Z4ZhoU Y2 2 hoU Y3 3 hoU Y4 4 1 '2+ hI1 '3+ hI1 '4+ hI0 Slika 2.2.1.5 Ekvivalentno kolo kojim se interpretiraju relacije h-te iteracije Gauss/Seidel-ovog postupka za proraun mree prikazane na slici 2.2.1.3. hUS*33 hUS*44 hUS*22 Timejezavrendiozadatkapostavljenoguovojglaviutvrivanjematematike(teorij-ske) zasnovanosti postupaka za rjeenje nelinearnog problema simetrinih tokova snaga radijalnih mrea, koji se sastoje od procedura sumiranja struja i korekcija napona, na Gauss-ovom, odnosno Gauss/Seidel-ovom iterativnom metodu za rjeavanje sistema nelinearnih jednaina. Postupakzaproraunsimetrinihtokovasnagaradijalnihdistributivnihmrea[17]datje blok-dijagramom prikazanim na slici 2.2.1.6. Proraun simetrinih tokova snaga distributivnih mrea i njegova teorijska zasnovanostPredrag Vidovi 24 1. 1U fazni napon korjena; 2.) ( ), (k k k kU Q U P analitiki oblici funkcija potronje fazne aktivne i reaktivne snage potroaa prikljuenog u voru k, od modula njegovog faznog napona, k {2, 3, n}; 3. kU poetna aproksimacija faznog napona vora k, k {2, 3, n}; 4. ok kY Z, parametri segmenta k , k {2, 3, n}; 5.Kriterijumi konvergencije. k= n, 2 { } n k Ik... , 3 , 2 , 0 . 0' =( ) ( )*/ ) ( , j ) (k k k k k k k k k kU U S I U Q U P U S = =k ok k k kU Y I I I ' '+ + Poetak proceduresumiranja struja ' ' ' k K KI I I + K je indeks segmenta prethodnika segmentu kKraj proceduresumiranja struja k= 2, n , 'k k K kI Z U U = K je poetak segmenta kProvjera konvergencije? Ne Da Kraj prorauna Poetak procedurekorekcija napona Kraj procedurekorekcija napona Ne Da K (poetak segmenta k ) = 1? Slika 2.2.1.6 Blok dijagram postupka za proraun simetrinih tokova snaga radijalnih distributivnih mrea. Snagaopisanogpostupkazaproraunradijalnihmrea,kojijezasnovannaprocedurama sumiranja struja i korekcija napona, lei u sledeim injenicama: 1.Nepoznatinaponivorovamreeneodstupajuznaajnoodnaponabalansnogvora.Dakle, nije teko izabrati kvalitetnu poetnu aproksimaciju za nepoznate napone. Proraun simetrinih tokova snaga distributivnih mrea i njegova teorijska zasnovanostPredrag Vidovi 25 2.Zakvalitetnuaproksimacijunaponavorovamree,kvalitetnesuiizraunateaproksimacije otonih struja vorova struje potroaa i struje otonih admitansi vorova ( segmenata). 3.Za kvalitetnu aproksimaciju struja potroaa i struja otonih admitansi vorova, kvalitetne su i izraunate aproksimacije struja rednih grana mree ( segmenata). 4.Za kvalitetnu aproksimaciju struja rednih grana mree ( segmenata), kvalitetne su i aproksi-macije padova napona na rednim granama mree ( segmenata). 5.Za kvalitetnu aproksimaciju padova napona na rednim granama mree ( segmenata) i poznat napon korjena radijalne mree, kvalitetne su i korekcije tekue aproksimacije napona vorova mree. Kada su u pitanju prenosne mree (s velikim brojem kontura) injenica br. 3 ne stoji, to bi definitivnoruiniraloefikasnostopisanogpostupkakadabiseonprimjenionaprorauntokova snaga prenosnih mrea. Naosnovuizlaganjauovomparagrafu,oiglednojedaproraunitokovasnagaradijalnih mrea,kojisuzasnovaninaproceduramasumiranjastrujaikorekcijanapona,predstavljajuvrlo sofisticiranusintezuprimjeneobaKirchhoff-ovazakona(metodkonturnihstruja)iGauss/Seidel-ovog metoda za rjeavanje sistema nelinearnih jednaina. 2.2.2Proraun modela distributivnih mrea s konturama Uovomparagrafujeobraenamatematikaplatformapostupkazaproraunsimetrinih tokova snaga (direktnog redoslijeda) trofaznih (uravnoteenih) mrea s konturama, zasnovanog na proceduramasumiranjastrujaikorekcijanapona,kaoikompenzacijizakonture(igeneratore) [17, 18, 19]. Dakle, i dalje je u pitanju postupak orjentisan na grane. Mree s konturama jesu i pre-nosne i distributivne. Ono u emu se, sa aspekta kontura, te dvije vrste mrea razlikuju, to je broj kontura. Naime, relativni broj kontura u prenosnim mreama je obino "veliki", a u distributivnim mreama"mali".Velikaefikasnostpostupkazaprorauntokovasnagadistributivnihmrea,koji seovdjeizlae,rezultatjepraktinoradijalnestrukture,odnosnorelativnomalogbrojakontura distributivnih mrea. Razmatrasemreakojasesastojiodntrofaznihvorova,n2,sapkontura,p1.Dakle mreaiman1+ptrofaznihgrana.Modelmreejemonofazan,saglasanspogonskomemom mreezasimetrianreimdirektnogredoslijeda,iodnosisenareimfazeaPrilog9.2.Idalje zemlja predstavlja vor nultog potencijala. Pogonska ema mree moe da se konstituie koristei se iskljuivo monofaznim segmentima prikazanim na slici 2.2.1.1. Svaki segment je asociran jednoj sekciji voda ili transformatoru. U mrei s konturama ne moe da se definie poetak i kraj segmenta na nain kako je to uraeno za radijalne mree Paragraf 2.2.1. Da bi mrea s konturama mogla da se tretira isto kao radijalna mrea, potrebno je da se ot-vore sve njene konture. Izbor mjesta gde se otvaraju konture potpuno je slobodan [17]. Otvaranjem svih kontura, mrea se svodi na radijalnu mreu radijalizovana mrea. Reim u toj mrei se raz-likuje od reima mree s konturama (osnovne mree). Da bi reim u radijalizovanoj mrei bio isti s reimom osnovne mree, potrebno je da se promjene topoloke strukture mree, koje su se desile njenomradijalizacijom,kompenzujuodgovarajuimstrujamakompenzacionimstrujama.Kom-penzacione struje se injektiraju u vorove u kojima su konture otvorene. vor izabran za otvaranje konture"cijepa"senadvavora,tj. umjesto jedinstvenog vora, za svaku konturu se uvode po dva "razliita" vora: osnovni (originalni) vor vor u kojem je otvorena kontura i novogenerisani vor, Proraun simetrinih tokova snaga distributivnih mrea i njegova teorijska zasnovanostPredrag Vidovi 26 koji jenastaocijepanjemosnovnogvora.Snageiotoneadmitansevorovaukojimaseotvaraju konture, rasporeuju se po elji na odgovarajue osnovne i novogenerisane vorove (npr. ostaju u osnovnim i nema ih u novogenerisanim, ili obrnuto, odnosno, njihovi dijelovi se raspodjeljuju na oba vora, zapaajui njihove zbirove). Primjer mree s jednom konturom prikazan je na slici 2.2.2.1a. vorovi su oznaeni optim brojevima, pri emu je sa j indeksiran korijen mree balansni vor. Radijalizacija razmatrane mre-e prikazana je na slikama 2.2.2.1b, c i d. Jedina kontura u mrei otvorena je u voru m, pri emu jenovogenerisanivoroznaensam'.(Nepoznata)strujaukratkospojniku,usmjerenaodosnov-nogkanovogenerisanomvoru,oznaenajesa 'mmJ .Ona,saglasnosteoremomokompenzaciji, moe da se zamjeni idealnim strujnim izvorom iste struje, a da se stanje mree ne promjeni slika 2.2.2.1.c. Struja idealnog strujnog izvora 'mmJjeste kompenzaciona struja, s kojom se obezbjeuje jednakost reima radijalizovane mree i mree s konturom. Taj idealni strujni izvor moe da se ek-vivalentnoprikaesadvaotonaidealnastrujnaizvoraslika2.2.2.1d.Numeracijavorovai segmenta radijalizovane mree, sa insertovanim odgovarajuim idealnim strujnim izvorima u osno-vnom i novogenerisanom voru, koja je izvrena saglasno s pravilom izloenim u Paragrafu 2.2.1, pri-kazana je na slici 2.2.2.1e. U toj mrei su jednoznano definisani poetak i kraj svih segmenata. (a) j k l n m (b) m' j k l n m 'mmJ(c) m' j k l n m 'mmJ (e) Sloj 3 1 2 34 6 5 (d) m' j k l n m 'mmJ'mmJ45J45JSloj 2 Sloj 1 Slika 2.2.2.1 Mrea s jednom konturom (a), s vorom m koji je rascjepljen na dva vora m i m', povezana kratkospojnikom (b), kompenzacija kratkospojnika idealnim strujnim izvorom (c), kompenzacija kratkospojnika sa dva idealna strujna izvora (d) i njena numeracija po slojevima, saglasna sa numeracijom radijalnih mrea (e). Proraun simetrinih tokova snaga distributivnih mrea i njegova teorijska zasnovanostPredrag Vidovi 27 Reim mree s konturama isti je s reimom radijalizovane mree sa insertovanim odgova-rajuim idealnim strujnim izvorima u vorove u kojima su konture otvorene (osnovni i novogene-risani vorovi). Prema tome, umjesto modelovanja i rjeavanja mree s konturama, moe da se na-pieirijeimatematikimodelradijalizovanemreesainsertovanimodgovarajuimidealnim strujnimizvorimauvoroveukojimasukontureotvorene.Torjeenjesesastojiodnaponasvih vorova koji su jednaki naponima mree s konturama, kao i od kompenzacionih struja, ije vrijed-nosti impliciraju jednakost napona vorova u kojima su konture otvorene (' m mU U= ). Broj vorova mree koja je radijalizovana otvaranjem kontura i uvoenjem novogenerisanih vorova, vei je od broja vorova mree s konturama za p (broj kontura u mrei). Ali, naponi parova vorova osnovi i novogenerisani meusobno su jednaki, saglasno sa slikom 2.2.2.1b. Prema tome, postoji potpu-na ekvivalencija reima mree s konturama i radijalizovane mree sa insertovanim odgovarajuim idealnim strujnim izvorima u vorove u kojima su konture otvorene. Ovaj postupak za proraun tokova snaga distributivnih mrea s konturama naziva se kom-penzacionim, a radijalizovana mrea sa insertovanim kompezacionim idealnim strujnim izvorima kompenzovana mrea. Razmatrana kompenzovana mrea se sastoji od n+1+p vorova (ubrojan i vor nultog po-tencijala). Neka je sa P oznaen skup parova indeksa, od kojih svaki par odgovara jednom voru u kojem je otvorena jedna kontura. Prvi broj para odgovara indeksu osnovnog vora, a drugi broj in-deksu novogenerisanog vora. Npr, za mreu sa slike 2.2.2.1, skup P se sastoji od jednog para (je-dna kontura) P={(4, 5)}. Kako je vereeno, suma snaga para vorova, npr. (l, m), lS i mS, jednaka je originalnoj snazi osnovnog vora l, u kojem se otvara kontura, pre otvaranja konture,P ) , ( m l . Isto vai i za otone admitanse para vorova (l, m),P ) , ( m l . Sada, analogno s modelom radijalnih mrea, ovaj model moe da se proiri novim nepoz-natimvarijablamastrujamarednihgrana( segmenata)kompenzovanemree,pasedobijasle-dei sistem jednaina: , ) ('*'+ + + =kjj k ok ckkk kkI U Y JUU SI k = 2, 3, ... , n+p;(2.2.2.1a) ' k k K kI Z U U =k = 2, 3, ... , n+p;(2.2.2.1b) m lU U = ,P ) , ( m l ,(2.2.2.1c) pri emu je sa ckJ oznaena kompenzaciona struja: ako vor k nije indeks ni jednog od vorova u kojima su otvorene konture, =0ckJlmJ,kompenzacionastrujaiskazanarelacijama(2.2.2.1c),akojekindeks osnovnog vora u kojem je otvorena kontura (k = l); lmJ , ako je k indeks novogenerisanog vora u kojem je otvorena kontura (k = m),P ) , ( m l , (2.2.2.1d) Proraun simetrinih tokova snaga distributivnih mrea i njegova teorijska zasnovanostPredrag Vidovi 28 za k = 2, 3, ... , n+p, pa unutar skupa tih varijabli ima samo 2p nenultih, od kojih su po dvije meu-sobno jednake, sa suprotnim znacima. Dakle, model razmatrane mree sa p kontura, odnosno odgovarajue kompenzovane mree sa istim reimom, ine jednaine (2.2.2.1a, b i c), sa isto toliko nepoznatih veliina, koje mogu da se klasifikuju u sledea tri skupa: 1) n + p 1 struja rednih grana segmenata 'kI , k = 2, 3, ... , n+p,2)n+p1naponavorova kU,k=2,3,...,n+pi3)pkompenzacionihstruja lmJ, P ) , ( m l(2.2.2.1d). Taj model treba da se rjei, prije svega po naponima vorova stanju mree. Mrea s konturama iji se model razmatra naelno je prikazana na slici 2.2.2.2a. Akozarjeenjemodela(2.2.2.1)elidaseprimjenikompenzacionipostupak[17],onda modelutrebadasedasledeaekvivalentnaforma,zasnovananageneralizovanojThvenin-ovoj teoremi: , ) ('*'+ + + =kjj k ok ckkk kkI U Y JUU SI k = 2, 3, ... , n+p;(2.2.2.2a) ' k k K kI Z U U =k = 2, 3, ... , n+p;(2.2.2.2b) 0 J Z Ec T T= .(2.2.2.2c) Sa TZ je oznaena Thvenin-ova matrica impedansi, dimenzija pp, a sa TE i cJ su ozna-eni vektori Thvenin-ovih elektromotornih sila i kompenzacionih struja, dimenzija p1, respekti-vno: P ) , ( , , ((((

=((((

= m l J Elm lmMMMMc TJ E .(2.2.2.3) Nultivektorsdesnestranerelacija(2.2.2.2c),dimenzijep1,predstavljanultenaponeiz-meu vorova u kojima se prekidaju konture, odnosno razlike napona osnovnih i novogenerisanih vorova [ P ) , ( , = m l U Um l]. Dakle, te relacije su ekvivalentne relacijama (2.2.2.1c). Razmatrana mrea, u razmatranom stanju, s Thvenin-ovim ekvivalentom kojim je zamje-njen njen dio do vorova u kojima se prekidaju konture, prikazana je na slici 2.2.2.2b. Na njoj je samosimbolikiprikazanThvenin-ovekvivalentpojaanimlinijama.(Termin"simboliki"ko-rien je poto su veliine na toj slici matrine i vektorske.) VektorThvenin-ovihelektromotornihsila TEdefiniesekaotojetoprikazanonaslici 2.2.2.3a. Naime: 1.Nekaje,zaspecificirannaponkorjenaizadatesnagepotronjesvihostalihvorova,rijeen problem tokova snaga mree, na bilo koji nain. Tada se raspolae s vektorom stanja (napona) razmatrane mree s konturama: 1U , p n m lU U U U+, ... ,, ... ,, ... ,2, meu kojim naponima ima po Proraun simetrinih tokova snaga distributivnih mrea i njegova teorijska zasnovanostPredrag Vidovi 29 jedanparjednakihnaponaposvakomparuvorovaukojimaeseotvaratikonture,slika 2.2.2.2a. To rjeenje podjednako zadovoljava model (2.2.2.1) i ekvivalentni model (2.2.2.2). l m . . . . . . lS mS lmJ Slika 2.2.2.2 Naelan prikaz mree s konturama iji se model razmatra (a) i ekvivalentno kolo s dijelom mree prema vorovima u kojim se prekidaju konture zamjenjenim Thvenin-ovim ekvivalentom (b). (a) . . . . . . lmJ (b) Thvenin-ov ekvivalent razmatrane mree prema vorovima u kojima se pre-kidaju konture. TZ Stanje mree: l m lU mU lU mU ; P ) , ( , = m l U Um l;, ... ,, ... ,, ... ,,2 1 p n m lU U U U U+Stanje ekvivalentne mree: Svi vorovi i grane mree. (Njihova povezanost s vorovima l i m, P ) , ( m l , nije eksplicirana.) 1 +1U+ TEcJ 2.Neka se kompleksne snage svih vorova zamjene idealnim strujnim izvorima koji odgovaraju stanju mree: *kkUS, k = 2, 3, ... , n+p (s referentnim smjerovima od vorova) slika 2.2.2.3a. 3.Nekaseotoneadmitansesvihvorovazamjeneidealnimstrujnimizvorimakojiodgovaraju stanjumree: k okU Y ,k=2,3,...,n+p(sreferentnimsmjerovimaodvorova)slika 2.2.2.3a. 4.Neka se uklone svi kratkospojnici koji se nalaze izmeu parova vorova u kojima se prekidaju konture. Za rezultat se dobija radijalizovana mrea razmatrane mree s konturama. 5.Stanje nove (radijalne) mree, sa istim specificiranim naponom korjena, sastoji se od slede-ihnapona: p n m lU U U U U+, ... ,, ... ,, ... ,,2 1,kojisupodvuenidabiserazlikovaliodstanja mree s konturama (osim napona korjena). Neka se i to stanje izrauna na bilo koji nain. 6.Generalno nenulti elementi vektora Thvenin-ovih elektromotornih sila TE iznose: P ) , ( , = m l U U Em l lm.(2.2.2.4) Proraun simetrinih tokova snaga distributivnih mrea i njegova teorijska zasnovanostPredrag Vidovi 30 Elementi Thvenin-ovematrice impedansi TZ definiu se kao to je to prikazano na slici 2.2.2.3b. Naime: 1.Neka se kompleksne snage svih vorova zamjene idealnim strujnim izvorima koji odgovaraju stanju mree: *kkUS, k = 2, 3, ... , n+p (s referentnim smjerovima od vorova) slika 2.2.2.3a. 2.Nekaseotoneadmitansesvihvorovazamjeneidealnimstrujnimizvorimakojiodgovaraju stanjumree: k okU Y ,k=2,3,...,n+p(sreferentnimsmjerovimaodvorova)slika 2.2.2.3a. 3.Neka se uklone svi kratkospojnici koji se nalaze izmeu parova vorova u kojima se prekidaju konture. Za rezultat se dobija radijalizovana mrea razmatrane mree s konturama. 4.Neka se pasiviziraju svi idealni izvori u radijalizovanoj mrei (idealni naponski izvor u korije-nusezamjenikratkospojnikom,aidealnistrujniizvori,kojimasupredstavljenepotronjei otone admitanse vorova, prekinu se) slika 2.2.2.3b (pasivizirana radijalizovana mrea). 5.Nekasesamoujednomparuvorovaukojimaseprekidajukontureprikljueidealnistrujni izvori jedininih struja [npr. u paru vorova (k, l)]: struja idealnog strujnog izvora je usmjere-naodosnovnogvora,kanovogenerisanomvoru.Daklerazmatranokolojepasivnosvuda, osimujednomizabranomparuvorovaodonihukojimaseprekidajukontureslika 2.2.2.3.b. 6.Nekaseizraunajunaponiusvimparovimavorovaukojimaseprekidajukonturekolasa slike2.2.2.3b.Oznakeelemenatavektorastanjatogkoladvaputasupodvueneslika 2.2.2.3.b. 7.Razlikanaponaparavorova(k, l), m lU U ,brojnojejednakadijagonalnomelementuTh-venin-ovematriceimpedansi;razlikenaponaostalihparovavorovaukojimaseprekidaju konture(razlikanaponaosnovnoginovogenerisanogvora),brojnosujednakeostalimele-mentima te matrice koji odgovaraju njenoj koloni kojoj pripada upravo razmotreni dijagonalni element. Isto vai za sve ostale kolone Thvenin-ove matrice impedansi TZ. Ako se raspolae s Thvenin-ovom matricom impedansi TZ, koja je izraunata prema da-tom postupku, ili nekim drugim postupkom i ako se raspolae s h-tom aproksimacijom stanja mre-e i kompenzacionih struja: (1U ), hU2, hU3, ..., hnU, ..., hp nU +, hlmJ,P ) , ( m l , onda sistem relacija Gauss/Seidel-ovog iterativnog metoda za rjeavanje sistema nelinearnih jednaina (2.2.2.2), u h-toj iteraciji, glasi (trea Thvenin-ova matrina relacija, stavljena je na prvo mjesto): 1 hT1T1 hcE Z J+ += ; (2.2.2.5a) , ) (1 ' 1*1 '+ + ++ + + =kjhjhk okhckhkhk k hkI U Y JUU SI k = n+p,..., 3, 2;(2.2.2.5b) 1 ' 1 1 + + + =hk khKhkI Z U Uk = 2, 3, ... , n+p.(2.2.2.5c) Proraun simetrinih tokova snaga distributivnih mrea i njegova teorijska zasnovanostPredrag Vidovi 31 l m . . . . . . Slika 2.2.2.3 Situacija razmatrane mree za izvoenje Thvenin-ovog ekvivalenta: vektora Thvenin-ovih elektromotornih sila TE (a) i Thvenin-ove matrice impedansi TZ (b). (a) . . . . . . (b) Stanje kola za odreivanje Thvenin-ovih elektromotornih sila: lU mU ;, ... ,, ... ,, ... ,,2 1 p n m lU U U U U+ +*llUS l olU Y +*mmUS m omU Y l m lU mU Stanje kola za odreivanje elemenata Thvenin-ove matrice impedansi: ;, ... ,, ... ,, ... ,, 02 p n m lU U U U+ 01 = U+1Uj0 1+j0 1+ Slino kao u sluaju radijalne mree, relacije (2.2.2.5) predstavljaju model kola kompenzo-vanemree.Utomkolu,svesnageiotoneadmitansevorovazamjenjenesuidealnimstrujnim izvorima, izraunatim s naponima iz prethodne, h1-ve iteracije: hkU, k = 2, 3, ... , n+p. Kompen-zacione struje koje su odreene Thvenin-ovommatrinom relacijom (2.2.2.5a),garantuju meu-sobnu jednakost h+1-vih aproksimacija napona svih parova vorova u kojima se prekidaju konture. Za odreivanje Thvenin-ovih elektromotornih sila, prema ranije datoj definiciji, potrebno jedaserijeiopisanokolo,odnosnonjegovmodelsauklonjenimkratkospojnicimaizadranim svim ostalim idealnim izvorima (naponski u korjenu i strujni u svim ostalim vorovima). Za rezul-tat se dobija radijalna mrea odreena sledeim modelom: , 0) (1 '*1 '+ ++ + + =kjhjhk okhkhk khkI U YUU SI k = n+p,..., 3, 2;(2.2.2.6a) 1 ' 1 1 + + + =hk khKhkI Z U Uk = 2, 3, ... , n+p. (2.2.2.6b) Rjeenjeovogmodelasastojiseodveliina(naponavorovaistrujarednihgrana)podvuene veliine, koje svakako nisu jednake s odgovarajuim veliinama kola s konturama. Ali, naponima togkolaodreenesutraeneThvenin-oveelektromotornesile,odnosnovektorThvenin-ovih elektromotornih sila 1 hTE +: P ) , ( , 1 1 1 =+ + +m l U U Ehmhlhlm. (2.2.2.7) Proraun simetrinih tokova snaga distributivnih mrea i njegova teorijska zasnovanostPredrag Vidovi 32 Sada,zapoznatuThvenin-ovumatricuimpedansi,koristeiserelacijom(2.2.2.5a),izra-unavaju se h+1-ve aproksimacije kompenzacionih struja 1 hcJ +. Toj relaciji moe simboliki da se asocira kolo prikazano na slici 2.2.2.4. Prikljuenjemparovaidealnihstrujnihizvorasaizraunatimkompenzacionimstrujamau sve vorove u kojima se prekidaju konture, dobija se radijalno kolo koje je ekvivalentno s kolom s konturamaijisemodelrjeava(2.2.2.5).Modelradijalnogekvivalentnogkola(sprikljuenim parovima idealnih strujnih izvora u svim vorovima u kojima se prekidaju konture) glasi: , ) (1 ' 1*1 '+ + ++ + + =kjhjhk okhckhkhk k hkI U Y JUU SI k = n+p,..., 3, 2,(2.2.2.8a) 1 ' 1 1 + + + =hk khKhkI Z U Uk = 2, 3, ... , n+p.(2.2.2.8b) + TZ 1 hTE + 1 hcJ+Slika 2.2.2.4 Kolo koje simboliki predstavlja relaciju (2.2.2.5a). Proraun tog kola se svodi na standardne procedure sumiranja struja (2.2.2.8a) i korekcija napona (2.2.2.8b). Rezultat prorauna se sastoji od nove h+1-ve aproksimacija rjeenja nelinearnog mo-delamreeskonturama(2.2.2.1)odnosno(2.2.2.2):(1U ), 1+ hkU , 1 '+ hkI ,k=2,3,...,n+p, 1 + hlmJ , P ) , ( m l . U ovdje opisanom postupku, u svakoj iteraciji se proraunavaju nove kompenzacione stru-je,nezavisnoodvrijednostiizraunatihuprethodnojiteraciji.Tojepraenoutrokompojednog proraunaradijalnemreebezkompenzacionihstruja,radiizraunavanjaThvenin-ovihelektro-motornihsila.Toznaiutroakpojednesub-iteracijeuokvirusvakeiteracijeprimjeneGa-uss/Seidel-ovog metoda za rjeenje modela mree s konturama. Kompenzacioni postupci za prora-un mrea s konturama [17] neznatno se u formi razlikuju od opisanog postupka, ali, njihova su-tinska prednost jeste u tome da u njima nema pomenutog utroka sub-iteracija. Naime, u njima se u svakojiteracijiizraunavajukorekcijetekueaproksimacijekompenzacionihstruja,anesame kompenzacione struje. Izvoenje forme tih kompenzacionih postupaka slijedi. Kadaseraspolaesah+1-vomaproksimacijom,radiizraunavanjah+2-geaproksimacije rjeenja, opisani postupak se ponavlja u narednoj h+1-oj iteraciji. U kolu koje odgovara toj itera-ciji, sve snage i otone admitanse vorova zamjenjene su idealnim strujnim izvorima, izraunatim s naponima iz prethodne, h-te iteracije: 1+ hkU , k = 2, 3, ... , n+p. Naime: Proraun simetrinih tokova snaga distributivnih mrea i njegova teorijska zasnovanostPredrag Vidovi 33 1.Proraun radijalnog kola bez kompenzacionih struja: , 0) (2 '11 *12 '++++++ + + =kjhjhk okhkhk khkI U YUU SI k = n+p,..., 3, 2,(2.2.2.9a) 2 ' 2 2 + + + =hk khKhkI Z U Uk = 2, 3, ... , n+p. (2.2.2.9b) 2.Proraunh+2-geaproksimacijeThvenin-ovihelektromotornihsila,odnosnovektoraThve-nin-ovih elektromotornih sila 2 hTE +: P ) , ( , 2 2 2 =+ + +m l U U Ehmhlhlm. (2.2.2.10) 3.Proraun h+2-ge aproksimacije kompenzacionih struja 2 hcJ + (potpuno nezavisno od prethodno izraunate h+1-ve aproksimacije): 2 hT1T2 hcE Z J+ += . (2.2.2.11) Relaciji (2.2.2.11) moe simboliki da se asocira kolo prikazano na slici 2.2.2.5. + TZ2 hTE + 2 hcJ +Slika 2.2.2.5 Kolo koje simboliki predstavlja relaciju (2.2.2.11). 4.Proraun h+2-ge aproksimacije struja rednih grana i napona vorova: , ) (2 ' 1 21 *12 '+ + +++++ + + =kjhjhk okhckhkhk k hkI U Y JUU SI k = n+p,..., 3, 2,(2.2.2.12a) 2 ' 2 2 + + + =hk khKhkI Z U U , k = 2, 3, ... , n+p.(2.2.2.12b) Rezultat prorauna se sastoji od nove h+2-ge aproksimacija rjeenja nelinearnog modela mree s konturama (2.2.2.1) odnosno (2.2.2.2): (1U ), 2+ hkU , 2 '+ hkI , k = 2, 3, ... , n+p, 2 + hlmJ , P ) , ( m l .Kakojevenaglaeno,iodavdejeoiglednodasekompenzacionestrujeu h+1-oj iteraciji (2 hcJ +) izraunavaju potpuno nezavisno od kompenzacionih struja izrauna-tih u h-toj iteraciji (1 hcJ +). Proraun simetrinih tokova snaga distributivnih mrea i njegova teorijska zasnovanostPredrag Vidovi 34 Ako se uvede vektorska varijabla koja predstavlja razlike kompenzacionih struja izrauna-tih u tekuoj (h+1-voj) i prethodnoj (h-toj) iteraciji: 1 hT1T2 hT1T1 hc2 hc1 hcE Z E Z J J J ++ + + + = = , (2.2.2.13) onda kolo sa slike 2.2.2.5 moe da se zamjeni (ekvivalentnim) kolom prikazanim na slici 2.2.2.6. Utomkolu,idealnistrujniizvori,kojimasuzamjenjenekompenzacionestrujeizraunateuh+1-voj (tekuoj) iteraciji 2 hcJ +, ekvivalentirani su parovima idealnih strujnih izvora s kompenzacionim strujama izraunatim u prethodnoj iteraciji 1 hcJ + i razlikama kompenzacionih struja odreenih ko-rienjem relacije (2.2.2.13). Jednakost napona vorova u kojima su prikljueni idealni strujni iz-vori (Thvenin-ovog ekvivalenta) garantuju relacije (2.2.2.11). Diokolasaslike2.2.2.6,kojiineThvenin-ovagrana(2 hTE +, TZ)igranasaidealnim strujnimizvorima 1 hcJ +,moedasezamjeninovimThvenin-ovimekvivalentom.Utusvrhu,za proraun novih Thvenin-ovih elektromotornih sila, potrebno je da se kolo sa slike 2.2.2.6 otvori saglasno sa isprekidanom linijom prikazanom na istoj slici. Na taj nain se dobija kolo (simboli-ki) prikazano na slici 2.2.2.7a. Sa 1U i mU oznaeni su vektori napona osnovnih i novogenerisa-nih vorova u kojima se prekidaju konture, respektivno. Njihovim korespondentnim razlikama od-reene su traene Thvenin-ove elektromotorne sile. + TZ2 hTE + 1 hcJ + Slika 2.2.2.6 Kolo ekvivalentno kolu sa slike 2.2.2.5. 1 hcJ + Kljuno pitanje koje se postavlja na ovom mjestu izlaganja glasi: kolike su vrijednosti ele-menata vektora napona 1U i mU, odnosno, kolike su vrijednosti napona vorova u kojima se pre-kidaju konture razmatrane mree, ali u kolu sa slike 2.2.2.7a. Odgovor na to pitanje slijedi. Thvenin-ov ekvivalent dijela kola s lijeve strane isprekidane linije kola prikazanog na slici 2.2.2.6, odnosno kola sa slike 2.2.2.7a odreen je na sledei nain: 1.Uklonjeni su kratkospojnici sa svih parova vorova u kojima se prekidaju konture; 2.Snage i otone admitanse razmatrane mree s konturama zamjenjene su idealnim strujnim iz-vora sa strujama izraunatim za napone iz h-te iteracije: 1+ hkU , k = 2, 3, ... , n+p korienjem relacija (2.2.2.9) i (2.2.2.10). Proraun simetrinih tokova snaga distributivnih mrea i njegova teorijska zasnovanostPredrag Vidovi 35 3.Thvenin-ova matrica impedansi izraunata je prema slici 2.2.2.7c (pasivizirani idealni izvori razmatranog kola). Saglasno s tim, ona ostaje nepromjenjena. Dakle, sada, Thvenin-ov ekvivalent bi mogao da se zamjeni kolom iz kojeg je on izveden. Ako bi se na to kolo jo prikljuili i kratkosponjici izmeu svih parova vorova u kojima se preki-daju konture, dobija se situacija koja je ekvivalentna situaciji prikazanoj na slici 2.2.2.7b. Naime, ako se Thvenin-ov ekvivalent s te slike zamjeni kolom iz kojeg je ekvivalent izveden i ako se na to kolo prikljue kratkosponici, dobija se kolo iji je model opisan relacijama (2.2.2.8), a korie-njemtihrelacijaseizraunavajuh+1-veaproksimacijenaponavorova: 1+ hkU ,k=2,3,...,n+p. Znai, razmatrani naponi 1U i mU odnose sa na h+1-ve aproksimacije napona vorova razmatrane mree s konturama slika 2.2.2.7b. Ako se uvede promjena vektora Thvenin-ovih elektromotornih sila kao vektor razlika na-pona parova vorova u kojima se prekidaju konture sa slike 2.2.2.7b: 1 hm1 hl1 hTU U E + ++ = , (2.2.2.14) onda vektor korekcija kompenzacionih struja moe da se izrauna na sledei nain: ) ( 1 hm1 hl1T1 hT1T1 hcU U Z E Z J + + + + = = .(2.2.2.15) + TZ 2 hTE + 1 hcJ+ 1U mU Slika 2.2.2.7 Kolo pripremljeno za odreivanje novog Thvenin-ovog ekvivalenta dijela kola sa slike 2.2.2.6 (a), kolo sa odreenim novim Thvenin-ovim elektromotornim silama (b) i kolo sa odreenom Thvenin-ovom matricom impedansi (c). + TZ2 hTE +1 hcJ+ 1 h1U + 1 hmU + (a)(b) TZ (c) 1 hm1 hl1 hTU UE + ++ = Na osnovu relacija (2.2.2.13) i izraunatog vektora korekcija kompenzacionih struja rela-cije (2.2.2.15), moe da se izrauna vektor kompenzacionih struja u h+1-voj iteraciji: 1 hc1 hc2 hcJ J J+ + ++ = .(2.2.2.16) Dakle, u svakoj iteraciji se izraunava vektor korekcija kompenzacionih struja koji se sabi-ra s vektorom kompenzacionih struja iz prethodne iteracije i tako se dobija vektor kompenzacionih struja u tekuoj iteraciji. Proraun simetrinih tokova snaga distributivnih mrea i njegova teorijska zasnovanostPredrag Vidovi 36 Kada bi se vektor kompenzacionih struja izraunat relacijama (2.2.2.16) prikljuio na kolo koje je ekvivalentno modelu, ije rjeenje predstavljaju naponi iz prethodne iteracije, naponi svih parova vorova u kojima se prekidaju konture bili bi isti. Opisani iterativni postupak za proraun simetrinih tokova snaga trofaznih mrea s kontu-rama razmotrie se i na primjeru uravnoteene mree s tri vora (n = 3) i tri grane slika 2.2.2.8a. vor 3, u kojem kontura moe da se otvori, pocjepan je na dva vora povezana kratkospojnikom slika 2.2.2.8b. Novogenerisani vor indeksiran je sa 4. Kompenzovana mrea prikazana je na slici 2.2.2.8c. Mrea je numerisana po slojevima; prvi vor je balansni, a ostala tri vora su tipa PQ, sa specificiranim kompleksnim snagama potronje. Drugi vor (grana) pripada prvom, a trei i etvrti vor(grana)pripadajudrugomsloju.Pogonskaemamree,prikazanasegmentima,datajena slici 2.2.2.8d. 3U2U(a) 2 3 '3I2S'3S'2I 1 '4I1U0 3U4U2U(b) 2 3 4 '3I2S3S4S'4I'2I 1 34J1U0 Proraun simetrinih tokova snaga distributivnih mrea i njegova teorijska zasnovanostPredrag Vidovi 37 3U4U1 2 3 4 '2I'3I'4I(c) 2U2S3S4S34J34J1U0 Slika 2.2.2.8 Primjer trofazne mree s tri vora i jednom konturom, u simetrinom reimu (a), s pocjepanim vorom 3 u kojem se otvara kontura na dva vora povezana kratkospojnikom (b), kompenzovana mrea (c) i njena pogonska ema prikazana segmentima (d). 3U4U1 2 3 4 2Z3Z4Z2oY3oY4oY2oI3oI4oI'2I'3I'4I(d) 2U2S3S4S34J34J1U0 Proraun simetrinih tokova snaga distributivnih mrea i njegova teorijska zasnovanostPredrag Vidovi 38 Kako je ve reeno, suma snaga para vorova (3, 4), 3Si 4S , jednaka je