tesis matematica

Soluciones acotadas para unaclase de ecuaciones

integro-diferencialessemilineales en un espacio de

Banach.

Silvia Andrea Rueda Sanchez

Directores

Ph.D. Edgardo Alvarez,

Dr.rer.nat. Carlos Lizama

UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO.FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS.

PROGRAMA DE MATEMATICAS.

Soluciones acotadas para unaclase de ecuacionesintegro-diferenciales

semilineales en un espacio deBanach.

Trabajo de Grado presentado como requisito para optar altıtulo de Matematico.

Autor: Silvia Andrea Rueda Sanchez.Director: Ph.D. Edgardo Alvarez , Dr.rer.nat. Carlos

Lizama.

Barranquilla-Atlantico.Diciembre-2014

Nosotros, los abajo firmantes, designados por la Universidad del Atlanticocomo integrantes del Jurado Examinador del Trabajo de Grado titulado “So-luciones acotadas para una clase de ecuaciones integro-diferencialessemilineales en un espacio de Banach”, presentado por Silvia AndreaRueda Sanchez, titular de la Cedula de Ciudadanıa 1.045.703.522, cer-tificamos que este trabajo cumple con los requisitos exigidos por nuestraUniversidad para optar al tıtulo de Matematico y fue calificado como:

Ph.D. Edgardo Alvarez.Director

Dr.rer.nat. Carlos Lizama.Director

Jurado

Jurado

Secretario Academico

Agradecimientos

Agradezco a Dios por haberme guiado en esta etapa de desarrollo profesio-nal, por darme la fortaleza en los momentos difıciles y a todas las personasque aportaron en el desarrollo de esta tesis de manera directa o indirecta,revisandola, entregando observaciones o simplemente dandome una palabrade animo.

Le agradezco de manera especial a mis asesores Edgardo Alvarez y Car-los Lizama por guiarme en este trabajo.

Gracias a mis padres por una vida llena de ensenanzas y consejos que mepermitieron culminar mis estudios de pregrado, a mis hermanos que siempreestuvieron apoyandome dandome palabras de animo y al resto de mi familiaque estuvo presente en el desarrollo de mi carrera.

A todos mis companeros con los que compartı en estos anos de estudio,en especial a Johan, William, Jose, Boris, Julet, Kimberly y Hernan.

5

Indice general

Agradecimientos 5

Resumen 9

Introduccion 11

1. Preliminares 131.1. Definiciones y teoremas basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2. Semigrupos de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.1. Semigrupos Uniformemente Continuos . . . . . . . . . 161.2.2. Semigrupos Fuertemente Continuos . . . . . . . . . . . 161.2.3. Semigrupos Analıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.4. Problema abstracto de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3. Subespacios de BC(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Problema lineal 25

3. Problema Semilineal 33

A. Sımbolos especiales 41

7

Resumen

En el siguiente trabajo estudiamos la existencia y unicidad de solucionesacotadas para las ecuaciones integro-diferenciales con retardo infinito

u′(t) = Au(t) + α

∫ t

−∞e−β(t−s)Au(s)ds+ f(t, u(t)) (caso semilineal) (1)

u′(t) = Au(t) + α

∫ t

−∞e−β(t−s)Au(s)ds+ f(t) (caso lineal), (2)

donde A es el generador de un C0-semigrupo inmediatamente continuo ennorma sobre un espacio de Banach X y f pertenece a un subespacio cerradode las funciones continuas y acotadas. Establecemos condiciones suficientespara la existencia y unicidad de soluciones casi periodicas, casi automorfi-cas, asintoticamente casi periodicas entre otros tipos de soluciones, ademasmostramos teoremas de convolucion y composicion, los cuales son de vitalimportancia para garantizar la existencia de soluciones suaves del problema.Finalizamos este trabajo con un ejemplo concreto, para demostrar la viabi-lidad de los resultados abstractos.

9

Introduccion

El principal objetivo de este trabajo es el estudio de la existencia y unicidadde soluciones acotadas para las ecuaciones integro-diferenciales semilinealescon retardo infinito

u′(t) = Au(t) + α

∫ t

−∞e−β(t−s)Au(s)ds+ f(t, u(t)) (caso semilineal)

u′(t) = Au(t) + α

∫ t

−∞e−β(t−s)Au(s)ds+ f(t) (caso lineal),

donde t, α, β ∈ R, A : D(A) ⊂ X → X un operador lineal cerrado definidosobre un espacio de Banach, f pertenece al subespacio cerrado de las funcio-nes continuas y acotadas que satisfacen diversas condiciones tipo Lipschitz.Se establecen condiciones suficientes para garantizar la existencia y unicidadde soluciones casi periodicas, casi automorficas, asintoticamente casi periodi-cas entre otros tipos de soluciones.El problema de la existencia y unicidad de las soluciones casi periodicas ocasi automorficas, ası como el estudio de su comportamiento en el infinito hasido objeto de mucho estudio en las ultimas decadas, puesto que tienen unagran importancia en la teorıa de viscoelasticidad o conduccion de calor conmemoria.

Se presume que los primeros resultados para estas ecuaciones fueron ob-tenidos por J.M. Le Roux y V. Volterra quienes establecieron teoremas deexistencia y unicidad para ecuaciones del tipo

11

12 INDICE GENERAL

f(x) +

∫ x

a

k(x, t)f(t)dt = g(x).

Aunque los resultados de estos dos matematicos fueron similares, el trabajode Volterra tuvo una mayor influencia posterior al resaltar las propiedadesde los operadores.

Los semigrupos de operadores lineales acotados son fundamentales en la so-lucion de ecuaciones integro-diferenciales lineales y semilineales en las cualesintervienen operadores no acotados, bajo la hipotesis de que un operador Agenera un C0–semigrupo inmediatamente continuo en norma en un espacio deBanach X, luego el principal interes es estudiar de manera unificada la exis-tencia y unicidad de, entre otros, casi periodica, casi automorfica y solucionescasi automorficas compacta de la Ecuacion (1). Mas aun, como consecuenciainmediata de la aplicacion de este metodo, las condiciones necesarias para elcomportamiento asintotico y pseudo asintotico de la Ecuacion (1).Cabe resaltar que este trabajo esta basado en el artıculo de C. Lizama y R.Ponce [4].

Capıtulo 1

Preliminares

Este capıtulo esta dividido en tres secciones, en la primera seccion presentare-mos definiciones y teoremas basicos del Analisis Funcional que nos permitiranafrontar problemas particulares a lo largo del desarrollo del trabajo, en la se-gunda seccion haremos una introduccion a la nocion de semigrupo, generadorinfinitesimal y algunos tipos de semigrupos, por ultimo definiremos diferentessubespacios de las funciones continuas y acotadas, ademas mostraremos losteoremas de convolucıon y composicion, los cuales son de vital importanciapara garantizar la existencia de soluciones suaves del problema.

1.1. Definiciones y teoremas basicos

Definicion 1.1 Sea X un conjunto no vacıo y T : X → X una aplicacion.Un punto x ∈ X se llama punto fijo de T si T (x) = x.Para cada aplicacion T : X → X, definimos el conjunto de puntos fijos como

fix(T ) = x ∈ X : x = T (x).

Definicion 1.2 Sea X = (X, d) un espacio metrico. Una aplicacion T :X → X se llama una contraccion sobre X si existe un numero real positivoα < 1 tal que, para todo x, y ∈ X

d(Tx, Ty) ≤ αd(x, y).

Teorema 1.1 [5][Teorema del punto fijo de Banach]. Sea X = (X, d) unespacio metrico completo, X 6= ∅. T : X → X una contraccion sobre X.Entonces existe un unico punto fijo x de T .

Demostracion. Construiremos una sucesion (xn)n≥1 y mostraremos que esde Cauchy, esta resulta ser convergente en el espacio completo X y proba-remos entonces que su lımite x es un punto fijo de T y que T no tiene mas

13

14 CAPITULO 1. PRELIMINARES

puntos fijos. Para x0 ∈ X arbitrario definimos los elementos de la sucesioniterada (xn)n≥1 por

xn = Txn−1;n = 1, 2, ...

x1 = Tx0, x2 = Tx1 = T (Tx0) = T 2x0,

en generalxn = T nx0, n = 1, 2, ...

Claramente esta es una sucesion de imagenes de x0 bajo repetidas aplicacio-nes de T . Ahora, demostremos que (xn)n≥1 es una sucesion de Cauchy en X.Para m ≥ 1, tenemos

d(xm+1, xm) = d(Txm, Txm−1) ≤ αd(xm, xm−1) = αd(Txm−1, Txm−2)

≤ α2d(xm−1, xm−2) ≤ α3d(xm−2, xm−3)

... = αmd(x0, x1).

Por lo tanto, por la desigualdad del triangulo y la formula para la suma deuna progresion geometrica obtenemos que para n > m.

d(xm, xn) ≤ d(xm, xm+1) + d(xm+1, xm+2) + ...+ d(xn−1, xn)

≤ (αm + αm+1 + αn−1)d(x0, x1)

= αm1− αn−m

1− αd(x0, x1).

Dado que 0 < α < 1, en el numerador tenemos que 1 − αn−m < 1. Por lotanto d(xm, xn) ≤ αm

1−αd(x0, x1), n > m.Ademas

lımm→∞

αm = 0. (1.1)

Por lo tanto de (1.1) obtenemos

lımm,n→∞

d(xm, xn) = 0.

Luego la sucesion (xn)n≥1 es de Cauchy en X. Como X es completo,(xn)n≥1

converge a un punto de X, digamos x ∈ X es tal que xn → x. Vamos ademostrar que x es un punto fijo de T . En efecto, tenemos

d(Tx, x) ≤ d(Tx, xn) + d(xn, x),

pero como xn = Txn−1, tenemos

d(Tx, x) ≤ αd(x, xn−1) + d(xn, x).

1.1. DEFINICIONES Y TEOREMAS BASICOS 15

Observemos que cada termino del segundo miembro de la igualdad anteriortiende a 0, esto implica que Tx = x. Ahora probaremos la unicidad.Supongamos que existe y ∈ X otro punto fijo de T con x 6= y,entonces

0 < d(x, y) = d(Tx, Ty) ≤ αd(x, y),

lo cual implica d(x, y) = 0 dado que α < 1. Por lo tanto x = y

Corolario 1.1 [5] Sea (X, d) un espacio metrico completo y T : X → Xuna aplicacion tal que para algun entero m ≥ 1, la aplicacion Tm es unacontraccion en X. Entonces T tiene un unico punto fijo.

Teorema 1.2 [5](Teorema de Acotacion Uniforme) Sea (Tn)n∈N una suce-sion de operadores lineales acotados Tn : X → Y , donde X es un espaciode Banach e Y es un espacio normado. Suponga que ‖Tnx‖ ≤ cx para todox ∈ X, para todo n ∈ N. Entonces ‖Tn‖ ≤ c para todo n ∈ N.

Operadores Lineales Cerrados

Definicion 1.3 Sean X,Y espacios normados y T : D(T ) ⊂ X → Y unoperador lineal. Entonces T es cerrado si el grafo de TG(T ) = (x, y) : y = Tx, x ∈ D(T ) es cerrado en X × Y.Aquı ‖(x, y)‖ = ‖x‖x + ‖y‖y.

Teorema 1.3 [5][Teorema 4.13-2](Teorema del Grafo Cerrado) Sean X,Yespacios de Banach y T : D(T ) ⊂ X → Y un operador lineal cerrado. Si eldominio de T es cerrado en X, entonces el operador T es acotado.

Proposicion 1.1 [5][Teorema 4.13-3] Sea T : D(T ) ⊂ X → Y un operadorlineal, donde X e Y son espacios normados. Entonces T es cerrado si y solosı tiene la siguiente propiedad: Si

(xn)n∈N ⊂ D(T )

y

xn → x,

Txn → y.

Entonces x ∈ D(T ) y Tx = y.


1.2. Semigrupos de operadores

1.2.1. Semigrupos Uniformemente Continuos

Definicion 1.4 Una familia T (t)t≥0 ⊂ B(X) es un semigrupo (unipa-rametrico) de operadores acotados si:i) T(0) = I.ii) T(t + s) = T(t)T(s) para todo t, s ≥ 0.Si un semigrupo satisface ademas queiii) ‖T (t) − I‖ → 0, cuando t → 0+, entonces se dice que es un semigrupouniformemente continuo.

Definicion 1.5 (Generador de un Semigrupo)Sea T (t) un semigrupo uniformemente continuo. El generador infinitesimalde T (t) se define por :

D(A) = x ∈ X : lımt→ 0+

T (t)x− xt

existe

Ax = lımt→ 0+

T (t)x− xt

=d+

dtT (t)x

∣∣∣∣t=0

= lımt→ 0+

T (t)x− T (0)x

t− 0

Teorema 1.4 [3][Corolario 1.5] Un operador lineal A es el generador infi-nitesimal de un semigrupo uniformemente continuo si y solo si A es acotado.

1.2.2. Semigrupos Fuertemente Continuos

Definicion 1.6 Un semigrupo T (t), 0 ≤ t < ∞ de operadores lineales aco-tados se dice fuertemente continuo si

lımt→0+

T (t)x = x para todo x ∈ X

esto es,‖T (t)x− x‖ → 0 cuando t→ 0+.

A esta clase de semigrupos lo llamamos C0-semigrupos.

Teorema 1.5 [10][Teorema 2.2] Sea T (t) un C0-semigrupo, entonces existeM ≥ 1 y ω ≥ 0 tal que

‖T (t)‖ ≤Meωt.

1.2. SEMIGRUPOS DE OPERADORES 17

Teorema 1.6 [10][Teorema 2.4] Sea T (t) un C0-semigrupo y A su generadorinfinitesimal

Ax = lımt→ 0+

T (t)x− xt

=d+

dtT (t)x

∣∣∣∣t=0

D(A) = x ∈ X : lımt→ 0+

T (t)x− xt

existe

Entoncesa) Para todo x ∈ X

lımt→ 0+

1

h

∫ t+h

t

T (s)xds = T (t)x.

b) Para todo x ∈ X ∫ t

0

T (s)xds ∈ D(A) y

A

∫ t

0

T (s)xds = T (t)x− x.

c) Para todo x ∈ D(A)

T (t)x ∈ D(A) y

d

dt[T (t)x] = AT (t)x = T (t)Ax.

d)Para todo x ∈ D(A)

T (t)x− T (s)x =

∫ t

s

T (τ)Axdτ =

∫ t

s

AT (τ)xdτ.

1.2.3. Semigrupos Analıticos

A diferencia de los semigrupos uniformemente continuos y fuertemente con-tinuos, los semigrupos analıticos tienen como dominio algun sector del planocomplejo, el cual incluye el eje de numeros reales no negativos.

Definicion 1.7 Sea T (t)t≥0 un C0-semigrupo en X. T (t)t≥0 se diceanalıtico si existe un sector del plano complejo S = z ∈ C : ϕ1 < argz < ϕ2con ϕ1 < 0 < ϕ2 y una familia de operadores lineales continuos T (z) : X →X, z ∈ S, que coinciden con T (t) para todo t ≥ 0 y tal que

1. z → T (z)x es analıtica en S, para cada x ∈ X.


2. lımz→0,z∈S T (z)x = x, para todo x ∈ X.

3. T (z + w) = T (z)T (w), para todo z, w ∈ S.

Teorema 1.7 [10][Teorema de Hille Yosida] Un operador lineal no acotadoA es el generador infinitesimal de un C0-semigrupo de contracciones T (t),t ≥ 0 si y solo si

1. A es cerrado y D(A)=X.

2. (0,∞) ⊂ %(A) y ‖R(λ,A)‖ ≤ 1λ

, λ > 0

1.2.4. Problema abstracto de Cauchy

Sea X un espacio de Banach y A : D(A) ⊂ X → X un operador lineal.Consideremos el problema de valor inicial abstracto

dudt

= Au(t) t ∈ R+

u(0) = f f ∈ D(A)(1.2)

1.3. Subespacios de BC(X)

Definicion 1.8 Sea (X, ‖.‖) un espacio de Banach. Denotaremos

BC(X) := f : R→ X; f es continua, ‖f‖∞ := supt∈R‖f‖ <∞.

Definicion 1.9 (funciones casi periodicas) Una funcion continua f ∈BC(X), se dice casi periodica si para cada ε > 0 existe l > 0 tal que encada intervalo de longitud l, existe s tal que ‖f(s+ t)− f(t)‖ < ε, para todot ∈ R.Denotaremos por AP (X) el conjunto de estas funciones.

El siguiente es un ejemplo de una funcion casi periodica

f(t) = cos(t) + cos(√

2t), t ∈ R. (1.3)

Definicion 1.10 (funciones casi automorficas) Una funcion f ∈ BC(X)pertenece a AA(X) si para cada sucesion de numeros reales (S ′n) existe unasubsucesion (Sn)n∈N tal que lımn→∞ f(t+Sn) = g(t) y lımn→∞ g(t−Sn) = f(t)esten bien definidos para cada t ∈ R. Este espacio lo denotaremos por AA(X).

1.3. SUBESPACIOS DE BC(X) 19

El siguiente es un ejemplo de una funcion casi automorfica

f(t) = sin( 1

2 + cos(t) + cos(√

2t)

), t ∈ R. (1.4)

Definicion 1.11 (funciones compactas casi automorficas) Una funcionf ∈ BC(X) pertenece a AAc(X) si para cada sucesion de numeros reales(S ′n) existe una subsucesion (Sn)n∈N tal que lımn→∞ f(t + Sn) = g(t) ylımn→∞ g(t − Sn) = f(t) existen para cada t ∈ R y ademas la convergen-cia de ellos es uniforme sobre cada subconjunto compacto de R. Este espaciolo denotaremos por AAc(X).

Denotaremos Pw(X) al conjunto de todas las funciones periodicas y conti-nuas, con perıodo fijo w > 0. Note que Pw(X), AP (X), AA(X) y AAc(X)son espacios de Banach bajo la norma ‖ ·‖∞ y Pw(X) ⊂ AP (X) ⊂ AA(X) ⊂AAc(X) ⊂ BC(X).Consideremos el conjunto C0(X) = f ∈ BC(X) : lım|t|→∞ ‖f(t)‖ = 0y definamos el espacio de las funciones asintoticamente periodicas comoAPw(X) = Pw(X)⊕C0(X), analogamente definiremos el espacio de funcionesasintoticamente casi periodicas como AAPw(X) = APw(X)⊕C0(X), el espa-cio de funciones asintoticamente caso automorficas compactas AAAC(X) =AAC(X)⊕C0(X) , el espacio de funciones asintoticamente casi automorficasAAA(X) = AA(X)⊕ C0(X).Tenemos las siguientes inclusiones propias

APw(X) ⊂ AAP (X) ⊂ AAAc(X) ⊂ AAA(X) ⊂ BC(X). (1.5)

Denotemos por SAPw(X) = f ∈ BC(X) : ∃w > 0, ‖f(t + w) − f(t)‖ →0, t→∞ esta clase de funciones son llamadas S-asintoticamente w-periodi-ca. Ahora consideremos el siguiente conjunto y definimos los siguientes espa-cios.

P0(X) = f ∈ BC(X) : lımT→∞

1

2T

∫ T

−T‖f(s)‖ds = 0.

Espacio de funciones pseudo- periodicas:

PPw(X) = Pw(X)⊕ P0(X).

Espacio de funciones pseudo- casi periodicas:

PAP (X) = AP (X)⊕ P0(X).


Espacio de funciones pseudo- compactas casi automorficas :

PAAc(X) = AAc(X)⊕ P0(X).

Espacio de funciones pseudo- casi automorficas :

PAA(X) = AA(X)⊕ P0(X).

Como antes tambien tenemos las siguientes inclusiones

PPw(X) ⊂ PAP (X) ⊂ PAAc(X) ⊂ PAA(X) ⊂ BC(X).

Denotemos por N (R,X), o simplemente N (X) el siguiente espacio de fun-ciones

N (X) = Pw(X), AP (X), AAc(X), AA(X), APw(X), AAP (X), AAc(X), AAA(X),

PPw(X), PAP (X), PAAc(X), PAA(X), SAPw(X), BC(X). (1.6)

Teorema 1.8 [7](Convolucion) Sea S(t)t≥0 ⊂ B(X) una familia integra-ble y fuertemente continua. Si f pertenece a uno de los espacios de N (X)entonces

w(t) =

∫ t

−∞S(t− s)f(s)ds

pertenece al mismo espacio de f .

Demostracion. La demostracion de este teorema la haremos para el espacioN (X) = AA(X), para los demas espacios ver [5].Sea (S ′n) ⊂ R una sucesion arbitraria. Como f ∈ AA(X), existe una subsu-cesion Sn de S ′n tal que

lımn→∞

f(t+ Sn) = v(t), para todo t ∈ R

y

lımn→∞

v(t− Sn) = f(t), para todo t ∈ R.

Tenemos que

w(t+ Sn) =

∫ t+Sn

−∞S(t+ Sn − s)f(s)ds.


Sea u = s− Sn, du = ds

s = t+ Sn u = ts = −∞ u = −∞.

Entonces

w(t+ Sn) =

∫ t

−∞S(t− u)f(u+ Sn)du (1.7)

=

∫ t

−∞S(t− s)f(s+ Sn)ds. (1.8)

Ahora, sea u = t− s, du = −ds

s = t u = 0s = −∞ u =∞.

Entonces

w(t+ Sn) =

∫ ∞0

S(u)f(t− u+ Sn)du.

Por tanto

‖w(t+ Sn)‖ = ‖∫ ∞

0

S(u)f(t− u+ Sn)du‖

≤∫ ∞

0

‖S(u)‖‖f(t− u+ Sn)‖du

≤ ‖S‖‖f‖∞.

Ahora de (1.8) tenemos que:

lımn→∞

w(t+ Sn) = lımn→∞

∫ t

−∞S(t− s)f(s+ Sn)ds

por la continuidad de S(·)x

S(t− θ)f(θ + Sn)→ S(t− θ)v(θ), para todo θ ∈ R y t ≥ 0

por el Teorema de Convergencia Dominada

lımn→∞

w(t+ Sn) =

∫ t

−∞S(t− θ)v(θ)dθ

= v(θ).

De manera analogalımn→∞

v(t− Sn) = w(t).


Definimos el conjunto N (R× X,X) el cual consiste de todas las funcionesf : R× X→ X tal que f(·, x) ∈ N (R,X) uniformemente para cada x ∈ K,donde K es un subconjunto acotado de X.Si M(X) denota uno de los espacios Pw(X), AP (X), AA(X), APw(X),AAP (X), AAA(X), PPw(X),PAP (X), PAA(X) , SAPw(X), entonces te-nemos el siguiente teorema de composicion.

Teorema 1.9 [7](Composicion)Sea f ∈M(R× X,X), supongamos que exis-te una constante Lf tal que

‖f(t, u)− f(t, v)‖ ≤ Lf‖u− v‖,

para todo t ∈ R y u, v ∈ X. Si ψ ∈M(X) entonces f(·, ψ(·)) ∈M(X).

Demostracion. La demostracion de este teorema la haremos para el espacioN (X) = AA(X), para los demas espacios ver [7].Sea (S ′n) una sucesion en R, entonces existe una subsucesion (S ′′n) tal que

lımn→∞

f(t+ S ′′n, x) = g(t, x) para todo x ∈ X, t ∈ R,

lımn→∞

g(t− S ′′n, x) = f(t, x) para todo x ∈ X, t ∈ R.

Como ϕ es casi automorfica para esta subsucesion (S ′′n) existe una subsucesion(Sn) tal que

lımn→∞

ϕ(t+ Sn) = h(t),

lımn→∞

h(t− Sn) = ϕ(t).

Ademas, por condicion de Lipschitz

‖f(t+ Sn, ϕ(t+ Sn))− g(t, h(t))‖ ≤ ‖f(t+ Sn, ϕ(t+ Sn))− f(t+ Sn, h(t))‖+ ‖f(t+ Sn, h(t))− (g(t, h(t))‖≤ L‖ϕ(t+ Sn)− h(t)‖+ ‖f(t+ Sn), h(t))− g(t, h(t))‖.

Luego cuando n→∞

‖f(t+ Sn, ϕ(t+ Sn))− g(t, h(t))‖ → 0. (1.9)

De manera analoga se prueba

‖g(t− Sn, h(t− Sn))− f(t, ϕ(t))‖ → 0. (1.10)


Por ultimo recordaremos algunos resultados recientes de la estabilidad ex-ponencial uniforme de soluciones de la ecuacion homogenea abstracta deVolterra

u′(t) = Au(t) + α∫ t

0e−β(t−s)Au(s)ds, con t ≥ 0,

u(0) = x.(1.11)

Decimos que una solucion de (2.3) es exponencialmente acotada si para algunw ∈ R existe una constante M > 0 tal que para cada x ∈ D(A),la solucioncorrespondiente u(t) satisface

‖u(t)‖ ≤Me−wt, t ≥ 0. (1.12)

En particular la solucion deu′(t) = Au(t) + α

∫ t0

e−β(t−s)Au(s)ds, con t ≥ 0,u(0) = x.

(1.13)

es exponencialmente estable si en (1.12) w > 0 y M > 0.

Definicion 1.12 Sea T (t)t≥0 un semigrupo. Diremos que T es inmediata-mente continuo en norma si T : (0,∞)→ B(X) es continua.

El siguiente teorema es demostrado en [2, Corolario 3.5]

Teorema 1.10 Sean β > 0, α 6= 0 y α + β > 0, supongamos que

a) A genera de un C0-semigrupo inmediatamente continuo en norma de-finido en un espacio de Banach X;

b) sup<λ, λ ∈ C : λ(λ+ β)(λ+ α + β)−1 ∈ σ(A) < 0.

Entonces las soluciones de (2.3) son exponencialmente estable.

Capıtulo 2

Problema lineal

Sean α, β ∈ R. Analizemos las soluciones acotadas de la ecuacion linealintegro-diferencial

u′(t) = Au(t) + α

∫ t

−∞e−β(t−s)Au(s)ds+ f(t), (2.1)

donde A genera un C0-semigrupo inmediatamente continuo en norma definidoen un espacio de Banach X. Note en la siguiente proposicion que bajo lahipotesis dada sobre A es posible construir para (2.1) una familia fuertementecontinua de operadores lineales acotados que conmuten con A y satisfacecierta ecuacion resolvente.

Proposicion 2.1 Sean β > 0, α 6= 0 y α + β > 0, supongamos que

a) A genera un C0-semigrupo inmediatamente continuo en norma definidoen un espacio de Banach X;


Entonces existe una familia de operadores S(t)t≥0 ⊂ B(X) exponencial-mente estable y fuertemente continua tal que S(t) conmute con A, es decirS(t)D(A) ⊂ D(A), AS(t)x = S(t)Ax , para todo x ∈ D(A), t ≥ 0 y

S(t)x = x+

∫ t

0

b(t− s)AS(s)xds, para todo x ∈ X, t ≥ 0 (2.2)

donde b(t) = 1 + αβ[1− e−βt], t ≥ 0.

Demostracion. Para t ≥ 0 y x ∈ X definamos S(t)x := u(t;x), dondeu(t;x) es la solucion unica de la ecuacion

u′(t) = Au(t) + α∫ t

0e−β(t−s)Au(s)ds, con t ≥ 0,

u(0) = x.(2.3)

25

26 CAPITULO 2. PROBLEMA LINEAL

Para la existencia de la solucion y su continuidad fuerte ver [3, Corolario 7.22,pag. 449]. Veamos que S(·)x satisface la Ecuacion resolvente (2.2). Dado queS(t)x es solucion de (2.3), entonces S(t)x es diferenciable y satisface

S ′(t)x = AS(t)x+ α

∫ t

0

e−β(t−s)AS(s)xds. (2.4)

Integrando (2.4) tenemos que∫ t

0

S ′(s)xds =

∫ t

0

AS(s)xds+ α

∫ t

0

∫ s

0

e−β(s−τ)AS(τ)xdτds

S(t)x− x =

∫ t

0

AS(s)xds+ α

∫ t

0

∫ s

0

e−β(s−τ)AS(τ)xdτds.

Aplicando el Teorema de Fubini tenemos

S(t)x− x =

∫ t

0

AS(s)xds+ α

∫ t

0

∫ t

τ

e−β(s−τ)AS(τ)xdsdτ.

Sea v = s− τ , dv = ds; entonces

S(t)x− x =

∫ t

0

AS(s)xds+ α

∫ t

0

∫ t−τ

0

e−βvAS(τ)xdvdτ

=

∫ t

0

AS(s)xds+ α

∫ t

0

−e−βv

βAS(τ)x

∣∣∣∣t−τ0

dτ

=

∫ t

0

AS(s)xds+ α

∫ t

0

[−e−β(t−τ)

βAS(τ)x+

AS(τ)x

β

]dτ

=

∫ t

0

AS(s)xds+α

β

∫ t

0

[1− e−β(t−τ)]AS(τ)xdτ

=

∫ t

0

ASτxdτ +α

β

∫ t

0

[1− e−β(t−τ)]AS(τ)xdτ

=

∫ t

0

AS(τ)x[[1 +

α

β[1− e−β(t−τ)]

]dτ

=

∫ t

0

b(t− τ)AS(τ)xdτ.

Ahora, probemos la conmutatividad de S(t) con A. Para x ∈ D(A)

S(t)Ax = u(t;Ax)

= Ax+

∫ t

0

b(t− s)AS(s)Axds para todo x ∈ X, t ≥ 0.

27

Como A es cerrado

S(t)Ax = Ax+ A

∫ t

0

b(t− s)AS(s)xds

= A[x+

∫ t

0

b(t− s)AS(s)xds]

= AS(t)x = Au(t, x).

La estabilidad exponencial esta dada por el Teorema 1.10.

Definicion 2.1 Una funcion u ∈ C1 es una solucion fuertemente continuade (2.1) sobre R si u ∈ C(R;D(A)) y (2.1) es valida para todo t ∈ R, siu(t) ∈ X en lugar de u(t) ∈ D(A) y (2.1) es valida para todo t ∈ R , decimosque u es una solucion suave de (2.1).

Teorema 2.1 Sean β > 0, α 6= 0 y α + β > 0, supongamos que

a) A genera un C0-semigrupo inmediatamente continuo en norma definidoen un espacio de Banach X;


Si f pertenece a algun espacio de N (X) entonces la unica solucion suave deel problema (2.1) pertenece al mismo espacio de f y esta dada por

u(t) =

∫ t

−∞S(t− s)f(s)ds, t ∈ R (2.5)

donde S(t)t≥0 esta dada por la Proposicion 2.1.

Demostracion. Por la Proposicion 2.1 la familia S(t)t≥0 es exponencial-mente estable y por lo tanto u esta bien definida. Dado que S satisface laecuacion resolvente

S(t)x = x+

∫ t

0

b(t− s)AS(s)xds, (2.6)

donde b(t) = 1+ αβ[1−e−βt], t ≥ 0, tenemos que b es diferenciable y la ecuacion

anterior muestra que para cada x ∈ X, S ′(t)x existe y

S ′(t)x =

∫ t

0

d

dt

[1 +

α

β(1− e−β(t−s))AS(s)x

]ds+ AS(t)x

= α

∫ t

0

e−β(t−s)AS(s)xds+ AS(t)x.


Mostremos que u es una solucion suave de (2.1). Dado que A genera unC0-semigrupo entonces A es un operador cerrado, por tanto

u′(t) = S(0)f(t) +

∫ t

−∞S ′(t− s)f(s)ds

= f(t) +

∫ t

−∞

[AS(t− s)f(s) + α

∫ t−s

0

e−β(t−s−τ)AS(τ)f(s)dτ]ds

= f(t) +

∫ t

−∞AS(t− s)f(s)ds+ α

∫ t

−∞

∫ t−s

0

e−β(t−s−τ)AS(τ)f(s)dτds.

Sea v = τ + s, dv = dττ = 0 v = s

τ = t− s v = t.

Entonces

u′(t) = f(t) +

∫ t

−∞AS(t− s)f(s)ds+ α

∫ t

−∞

∫ t

s

e−β(t−v)AS(v − s)f(s)dvds.

Aplicando el Teorema de Fubini

u′(t) = f(t) + Au(t) +

∫ t

−∞

∫ v

−∞e−β(t−v)AS(v − s)f(s)dsdv

= f(t) + Au(t) +

∫ t

−∞e−β(t−v)

∫ v

−∞AS(v − s)f(s)dsdv

= f(t) + Au(t) +

∫ t

−∞e−β(t−v)Au(v)dv.

Por ultimo dado que f pertenece a algun espacio de N (X), entonces por elTeorema de convolucion 1.8 se sigue que u pertenece al mismo espacio de f .

29

En el caso de espacios de Hilbert, podemos usar el resultado de [12, Teorema1] el cual caracteriza los C0-semigrupos inmediatamente continuos en normaobteniendo el siguiente resultado.

Corolario 2.1 Sea A el generador de un C0-semigrupo inmediatamente con-tinuo en norma sobre un espacio de Hilbert H. Sea s(A) := supRλ : λ ∈ρ(A), s(A) denota la cota espectral de A. Sean β > 0, α 6= 0, α + β > 0.Supongamos que

a) lımµ∈R,|µ|→∞‖(µ0 + iµ− A)−1‖ = 0 para algun µ0 > s(A);


Si f pertenece a algun espacio de N (X) entonces la unica solucion suave deel problema (2.1) pertenece al mismo espacio de f .

Observacion En el caso A = ρI, ρ ∈ C, usando (2.2) y la transformada deLaplace obtenemos que para cada x ∈ X:

Sρ(t)x = e(ρ−β)t

2

[cosh

(t√(β + ρ)2 + 4ρα

2

)+

sinh(t2

√(β + ρ)2 + 4ρα

)(β + ρ)√

(β + ρ)2 + 4ρα

]x.

(2.7)Demostracion. Usando (2.2) con A = ρI tenemos que

S(λ)x =x

λ+ ρb(λ)Sx

S(λ)x− ρb(λ)Sx =x

λ

S(λ)[1− ρb(λ)] =1

λ

S(λ) =1

λ(1− ρb(λ)).

Ahora

b(λ) =1

λ+α

β

(1

λ− 1

λ+ β

)=

1

λ+

α

λ(λ+ β)

=λ+ β + α

λ(λ+ β).


Entonces

S(λ) =1

λ

[1− ρ

(λ+β+αλ(λ+β)

)]=

λ+ β

λ(λ+ β)− ρ(λ+ α + β)

=2λ− ρ+ β

2λ(λ− ρ+ β)− 2ρ(β + α)+

β + ρ

2λ(λ− ρ+ β)− 2ρ(β + α)

=2(2λ− ρ+ β)

(2λ− ρ+ β)2 − (β + ρ)2 − 4ρα+

2(β + ρ)

4λ2 − 4λρ+ 4βλ− 4βρ− 4ρα

=2λ−ρ+β

2

(2λ−ρ+β4

)2 − (β+ρ)2+4ρα4

+

(β+ρ)√

(β+ρ)2+4ρα

2√(β + ρ)2 + 4ρα(2λ−ρ+β

2)2 − (β+ρ)2+4ρα

4

.

Aplicando la transformada inversa obtenemos

Sρ(t)x = e(ρ−β)t

2

[cosh

(t√(β + ρ)2 + 4ρα

2

)+

sinh(t2

√(β + ρ)2 + 4ρα

)(β + ρ)√

(β + ρ)2 + 4ρα

]x.

Teorema 2.2 Sea A := ρI, ρ ∈ R. Supongamos que ρ < β y (α + β)ρ < 0.Sea f ∈ N (X).Consideremos la ecuacion

u′(t) = ρu(t) + ρα

∫ t

−∞e−β(t−s)u(s)ds+ f(t), t ∈ R. (2.8)

Entonces la Ecuacion (2.8) tiene solucion unica u la cual pertenece al mismoespacio de f y esta dada por

u(t) =

∫ t

−∞Sρ(t− s)f(s)ds, t ∈ R, (2.9)

donde Sρ(t)t≥0 esta definido como en la Ecuacion (2.7).

Demostracion. Sea f ∈ Ω,Ω un espacio deN (X).A genera un C0-semigrupoinmediatamente continuo en norma. Ademas σ(A) = C − %(A) y %(A) =C− ρ, entonces σ(A) = ρ.Veamos que:

31

λ(λ+ β)(λ+ α + β)−1 ∈ σ(A) si y solo si λ2 + λ(β − ρ)− ρ(α + β) = 0Supongamos que λ(λ+ β)(λ+ α + β)−1 ∈ σ(A), entonces

λ(λ+ β)(λ+ α + β)−1 = ρ

λ(λ+ β)(λ+ α + β)−1− ρ = 0

λ(λ+ β)− ρ(λ+ α + β)

(λ+ α + β)= 0

λ2 + λβ − ρλ− ρα− ρβ(λ+ α + β)

= 0

λ2 + λ(β − ρ)− ρ(α + β)

(λ+ α + β)= 0

⇔ λ2 + λ(β − ρ)− ρ(α + β) = 0.

Afirmamos que Sρ(t) es integrable. De hecho, podemos reescribir Sρ(t) en(2.7) de la siguiente manera:

Sρ(t) =(1

2et(ρ−β)+c

2 + et(ρ−β)−c

2

)+

(β + ρ)

2c

(et(ρ−β)+c

2 + et(ρ−β)−c

2

),

donde c =√

(β + ρ)2 + 4ρα. Por lo tanto,

|Sρ(t)| ≤1

2(e

tR(ρ−β)+c2 + e

tR(ρ−β)−c2 ) +

|β + ρ|2c

(etR(ρ−β)+c

2 + etR(ρ−β)−c

2 ),

donde β − ρ > c porque (β + α)ρ < 0 y β > ρ, por lo tanto ρ − β − c <ρ − β + c < 0. Llegamos a la conclusion de que Sρ(t) es integrable. Por lotanto, por el Teorema 2.1, existe una solucion unica de la Ecuacion (2.8) quepertenece al mismo espacio al cual pertenece f y esta dada por (2.9).

Ejemplo. Sean ρ = −1, α = 1, β = 1. Por el Teorema 2.2, para algunf ∈ N (X) existe una solucion unica u ∈ N (X) de la ecuacion

u′(t) = −u(t)−∫ t

−∞e(s−t)u(s)ds+ f(t), t ∈ R, (2.10)

dada por

u(t) =

∫ t

−∞e−(t−s) cos(t− s)f(s)ds, t ∈ R. (2.11)


Puesto que

S−1(t) =et(

2i−22

) + et(−2i−2

2)

2

=e−t(eit + e−it)

2= e−t cos t.

Capıtulo 3

Problema Semilineal

En esta seccion estudiaremos la existencia y unicidad de soluciones enM(X)para la ecuacion semilineal integro-diferencial

u′(t) = Au(t) + α

∫ t

−∞e−β(t−s)Au(s)ds+ f(t, u(t)), t ∈ R. (3.1)

Definicion 3.1 Una funcion u : R → X se dice que es una solucion suavede la Ecuacion (3.1) si

u(t) =

∫ t

−∞S(t− s)f(s, u(s))ds, (3.2)

para todo t ∈ R, donde S(t)t≥0 esta dada en la Proposicion 2.1. Note queM(X) denota uno de las espacios Pw(X), APw(X), PPw(X), SAPw(X),AP (X), AAP (X), PAP (X), AA(X), AAA(X) o PAA(X) definidos en elCapıtulo 1.

Teorema 3.1 Sean β ≥ 0, α 6= 0 y α + β > 0. Supongamos que A generaun C0-semigrupo inmediatamente continuo en norma sobre un espacio deBanach X y

supRλ : λ(λ+ β)(λ+ α + β)−1 ∈ σ(A) < 0. (3.3)

Si f ∈M(R×X,X) satisface

‖f(t, u)− f(t, v)‖ ≤ Lf (t)‖u− v‖ (3.4)

para todo t ∈ R y u, v ∈ X, donde Lf ∈ L1(R). Entonces la Ecuacion (3.1)tiene una unica solucion suave u ∈M(X).

33

34 CAPITULO 3. PROBLEMA SEMILINEAL

Demostracion. Definamos el operador F :M(X) 7→ M(X) por

(Fϕ)(t) :=

∫ t

−∞S(t− s)f(s, ϕ(s))ds, t ∈ R, (3.5)

donde S(t)t≥0 es dado en la Proposicion 2.1. Por el Teorema 1.9 f(s, ϕ(s)) ∈M(X) y por el Teorema 1.8 (Fϕ)(t) ∈M(X). Por tanto F esta bien definida.Por la Proposicion 2.1 existen w > 0 y M > 0 tales que ‖S(t)‖ ≤ Me−wt

para todo t ≥ 0. Para ϕ1, ϕ2 ∈M(X) y t ∈ R tenemos:∥∥∥Fϕ1(t)− Fϕ2(t)∥∥∥ =

∥∥∥∫ t

−∞S(t− s)f(s, ϕ1(s))ds−

∫ t

−∞S(t− s)f(s, ϕ2(s))ds

∥∥∥≤∫ t

−∞‖S(t− s)[f(s, ϕ1(s))− f(s, ϕ2(s))]‖ds

≤∫ t

−∞Lf (s)‖S(t− s)‖‖ϕ1(s))− ϕ2(s))]‖ds

≤M‖ϕ1 − ϕ2‖∞∫ t

−∞e−w(t−s)Lf (s)ds.

Sea τ = t− s, dτ = −ds

s = t τ = 0s = −∞ τ =∞.

Entonces

M‖ϕ1 − ϕ2‖∞∫ t

−∞e−w(t−s)Lf (s)ds = M‖ϕ1 − ϕ2‖∞

∫ ∞0

e−wτLf (t− τ)dτ

≤M‖ϕ1 − ϕ2‖∞∫ ∞

0

Lf (t− τ)dτ

≤M‖ϕ1 − ϕ2‖∞∫ t

−∞Lf (s)ds.

Ahora veamos que en general tenemos

‖F nϕ1

(t)− F nϕ2

(t)‖ ≤ ‖ϕ1 − ϕ2‖∞(‖Lf‖1M)n

n!.

35

Probaremos lo anterior usando el metodo de induccion matematica.

‖F n+1ϕ1

(t)− F n+1ϕ2

(t)‖ = ‖F (F nϕ1

)(t)− F (F n+1ϕ2

)(t)‖

= ‖∫ t

−∞S(t− s)f(s, F nϕ1(s))ds−

∫ t

−∞S(t− s)f(s, F nϕ2(s))ds‖

≤∫ t

−∞‖S(t− s)‖‖f(s, F nϕ1(s))− f(s, F nϕ2(s))‖ds.


s = t τ = 0s = −∞ τ =∞.

Entonces∫ t

−∞‖S(t− s)‖‖f(s, F nϕ1(s))− f(s, F nϕ2(s))‖ds

≤∫ ∞

0

‖S(τ)‖‖f(t− τ, F nϕ1(t− τ))− f(t− τ, F nϕ2(t− τ))‖dτ

≤M‖F nϕ1(t− τ)− F nϕ2(t− τ)‖∫ ∞

0

Lf (t− τ)dτ

≤M‖F nϕ1(s)− F nϕ2(s)‖∫ t

−∞Lf (τ)dτ

≤ ‖ϕ1 − ϕ2‖∞Mn+1

(n− 1)!

(∫ s

−∞Lf (t)

(∫ t

−∞Lf (τ)dτ

)n−1

dτ

)∫ t

−∞Lf (τ)dτ

≤ ‖ϕ1 − ϕ2‖∞Mn+1

(n− 1)!

(∫ s

−∞Lf (t)

(∫ t

−∞Lf (τ)dτ

)ndτ

).

Sea u =∫ t−∞ Lf (τ)dτ ; du = Lf (τ)dτ , entonces∫ t

−∞‖S(t− s)‖‖f(s, F nϕ1(s))− f(s, F nϕ2(s))ds‖

≤ ‖ϕ1 − ϕ2‖∞Mn+1

n!(n+ 1)

(∫ s

−∞Lf (t)dt

)n+1

≤ ‖ϕ1 − ϕ2‖∞(‖Lf‖1M)n

n!.

Por lo tanto, dado que(‖Lf‖1M)n

n!< 1 para n suficientemente grande, por el

principio de contraccion F tiene un unico punto fijo u ∈M(X).Los siguientes corolarios son algunas consecuencias.


Corolario 3.1 Sean β ≥ 0, α 6= 0 y α + β > 0. Supongamos que A generaun C0-semigrupo inmediatamente continuo en norma sobre un espacio deBanach X y satisface la condicion espectral (3.3). Si f ∈ AP (R × X,X)(resp. AA(R ×X,X)) satisface la condicion de Lipschitz (3.7), entonces laEcuacion (3.1) tiene una unica solucion suave casi periodica (resp. solucioncasi automorfica).

Corolario 3.2 Sean β ≥ 0, α 6= 0 y α + β > 0. Supongamos que A generaun C0-semigrupo inmediatamente continuo en norma sobre un espacio deBanach X y satisface la condicion espectral (3.3). Si f ∈ AAP (R × X,X)(resp. AAA(R×X,X)) satisface la condicion de Lipschitz (3.7), entonces laEcuacion (3.1) tiene una unica solucion suave asintoticamente casi periodica(resp. solucion asintoticamente casi automorfica).

Corolario 3.3 Sean β ≥ 0, α 6= 0 y α + β > 0. Supongamos que A generaun C0-semigrupo inmediatamente continuo en norma sobre un espacio deBanach X y satisface la condicion espectral (3.3). Si f ∈ PAP (R × X,X)(resp. PAA(R×X,X)) satisface la condicion de Lipschitz (3.7), entonces laEcuacion (3.1) tiene una unica solucion suave pseudo casi periodica (resp.solucion pseudo casi automorfica).

En espacios de Hilbert tenemos los siguientes resultados.

Corolario 3.4 Sea A el generador de un C0-semigrupo inmediatamente con-tinuo en norma sobre un espacio de Hilbert H. Sea s(A) := sup<λ : λ ∈ρ(A). Sean β > 0, α 6= 0 y α + β > 0. Supongamos que

a) lımu∈R,|u|→∞ ‖u0 + iu− A)−1‖ = 0 para algun u0 > s(A);

b) supRλ : λ(λ+ β)(λ+ α + β)−1 ∈ σ(A) < 0.

Si f ∈M(R×H,H) satisface

‖f(t, u)− f(t, v)‖ ≤ Lf (t)‖u− v‖ (3.6)

para todo t ∈ R y u, v ∈ X, donde Lf ∈ L1(R), entonces la ecuacion (3.1)tiene una unica solucion suave u ∈M(H).

En el caso especial A = ρI obtenemos la siguiente consecuencia del Teorema2.2.

Teorema 3.2 Sea A := ρI, ρ ∈ R. Supongamos que ρ < β y (α + β)ρ < 0.Sea f ∈M(X). Consideremos la ecuacion

u′(t) = ρu(t) + α

∫ t

−∞e−β(t−s)u(s)ds+ f(t, u(t)), t ∈ R. (3.7)

37

Entonces (3.7) tiene solucion unica u ∈M(X) dada por

u(t) =

∫ t

−∞Sρ(t− s)f(s, u(s))ds, t ∈ R, (3.8)

donde Sρ(t)t≥0 esta definido en la Ecuacion (2.7).

Nota. Observe que en el caso α = 0 debemos asegurar que ρ < 0 y porlo tanto tendremos los resultados sobre la existencia de soluciones para laecuacion

u′(t) = ρu(t) + f(t, u(t)), t ∈ R (3.9)

en los espacios previamente definidos. Ver ejemplo en Corolario 4.6 de [7] .

Teorema 3.3 Sean β ≥ 0, α 6= 0 y α + β > 0. Supongamos que A generaun C0-semigrupo inmediatamente continuo en norma sobre un espacio deBanach X y satisface la condicion espectral (3.3). Si f ∈ M(R × X,X)satisface ‖f(t, u)−f(t, v)‖ ≤ Lf (t)‖u−v‖ para todo t ∈ R y u, v ∈ X, donde

la integral∫ t−∞ L(s)ds existe para todo t ∈ R. Entonces la Ecuacion (3.1)

tiene una unica solucion suave u ∈M(X).

Demostracion. Por la Proposicion 2.1, existen M > 0, ω > 0 tal que‖S(t)‖ ≤ Me−ωt, para todo t ≥ 0. Definamos una nueva norma ‖ϕ‖ :=supt∈Rv(t)‖ϕ(t)‖, donde v(t) = e−k

∫ t−∞ L(s)ds, k es una constante positiva

fija mayor que M . Definamos el operador F como en (3.5). Sea ϕ1, ϕ2 ∈M(X). Entonces

v(t)∥∥∥(Fϕ1)(t)− (Fϕ2)(t)

∥∥∥ = v(t)∥∥∥∫ t

−∞S(t− s)f(s, ϕ1(s))ds−

∫ t

−∞S(t− s)f(s, ϕ2(s))ds

∥∥∥= v(t)

∥∥∥∫ t

−∞S(t− s)[f(s, ϕ1(s))− (f(s, ϕ2(s))]ds

∥∥∥≤ v(t)

∫ t

−∞‖S(t− s)‖‖[f(s, ϕ1(s))− (f(s, ϕ2(s))]‖ds

≤Mv(t)

∫ t

−∞Lf (s)e

−ω(t−s)‖ϕ1(s)− ϕ2(s)‖ds

= Mv(t)

∫ t

−∞e−ω(t−s)Lf (s)‖ϕ1(s)− ϕ2(s)‖ds.


s = t τ = 0s = −∞ τ =∞.


Entonces

Mv(t)

∫ t

−∞e−ω(t−s)Lf (s)‖ϕ1(s)− ϕ2(s)‖ds

= Mv(t)

∫ ∞0

e−ω(t)Lf (t− τ)‖ϕ1(t− τ)− ϕ2(t− τ)‖ds

≤Mv(t)

∫ ∞0

Lf (t− τ)‖ϕ1(t− τ)− ϕ2(t− τ)‖ds

= M

∫ t

−∞v(s)−1v(t)Lf (s)v(s)‖ϕ1(s)− ϕ2(s)‖ds

≤ M

k‖ϕ1 − ϕ2‖

∫ t

−∞kv(t)v(s)−1Lf (s)ds

=M

k‖ϕ1 − ϕ2‖

∫ t

−∞ke−k[ ∫ s

t Lf (s)ds−∫ s−∞ Lf (s)ds

]Lf (s)ds

=M

k‖ϕ1 − ϕ2‖

∫ t

−∞ke−k

∫ ts Lf (s)dsLf (s)ds

=M

k‖ϕ1 − ϕ2‖

∫ t

−∞

d

ds

(kek

∫ st Lf (τ)dτ

)ds

=M

k[1− ek

∫ st Lf (τ)dτ ]‖ϕ1 − ϕ2‖

≤ M

k‖ϕ1 − ϕ2‖.

Por lo tanto, como M/k < 1, F tiene un unico punto fijo u ∈M(X).Para finalizar veamos la siguiente aplicacion.

Ejemplo Considere el problema∂u∂t

(t, x) = ∂2u∂x2

+∫ t−∞ e−(t−s) ∂2u

∂x2(s, x)ds+ f(t, u(t))

u(0, t) = u(π, t) = 0(3.10)

con x ∈ [0, π], t ∈ R. Sea X = L2[0, π] y definamos A := ∂2u∂x2

, con dominioD(A) = g ∈ H2[0, π] : g(0) = g(π) = 0. Entonces (3.10) puede ser escritade la forma (3.1) con α = β = 1. Sabemos que A genera un C0-semigrupoT (t) analıtico y compacto sobre X, por tanto inmediatamente continuo ennorma. La compacidad de T (t) implica que σ(A) = σp(A) = −n2 : n ∈ N.Dado que debemos tener λ(λ+ β)(λ+α+ β)−1 ∈ σ(A) necesitamos resolver

la ecuacion λ(λ+1)λ+2

= −n2 obteniendo

λ1 = −1 ± i, λ2 = −5±7i2

y λn =−(n2+1)±

√(n2−3)2−8

2≤ −2 para todo n ≥ 3.

39

Concluimos que

supRλ : λ(λ+ β)(λ+ α + β)−1 ∈ σ(A) = −1.

Por lo tanto del Teorema 3.1 (resp Teorema 3.3) obtenemos que si f ∈M(R×X,X) satisface ‖f(t, u)− f(t, v)‖ ≤ Lf (t)‖u− v‖, para todo t ∈ R y

u, v ∈ X, con Lf ∈ L1(R) (resp.∫ t−∞ b(s)ds existe para todo t ∈ R.), entonces

la Ecuacion (3.10) tiene una unica solucion suave u ∈M(X). En particular,si f(t, ϕ)(s) = b(t) sin(ϕ(s)), para todo ϕ ∈ X, t ∈ R con b ∈M(X), enton-ces t→ f(t, ϕ) pertenece a M(X), para cada ϕ ∈ X y ademas

‖f(t, ϕ1)−f(t, ϕ2)‖22 ≤

∫ π

0

|b(t)|2| sin(ϕ1(s)−sinϕ2(s))|ds ≤| b(t) |2 ‖ϕ1−ϕ2‖22.

En consecuencia, el problema (3.10) tiene una unica solucion suave enM(X)si y solo si b ∈ L1(R) (por el Teorema 3.1) o

∫ t−∞ b(s)ds existe para todo t ∈ R

(por el Teorema 3.3).

Apendice A

Sımbolos especiales

Aquı presentamos la definicion de los sımbolos usados en este trabajo.

R: Conjunto de los numeros reales.R+: Conjunto de numeros reales positivos sin el cero, (0,∞).D(A): Dominio de un operador A.‖ · ‖: Norma.<λ: Parte real de un numero complejo.B(X): Espacio de los operadores lineales acotados.%(A): Conjunto resolvente de A.σ(A): Espectro de A.L2(Ω): Espacio de las funciones integrables sobre Ω;

∫Ω|f(x)|2dx <∞.

H2(Ω) = W 2,2(Ω) =u ∈ L2(Ω) : d2u

dx2∈ L2(Ω)

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Bibliografıa

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