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SEDE MANIZALES
TESIS DE MAESTRÍA
HUNDIMIENTOS DE TENSIÓN
Un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
Autor:
Santiago Arias Guzmán
Universidad Nacional de Colombia, Sede Manizales
Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Departamento de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Computación
Manizales, Colombia
2015
IX
SEDE MANIZALES
MASTER THESIS
VOLTAGE SAGS
An analysis approach from tensor algebra
Author:
Santiago Arias Guzmán
Universidad Nacional de Colombia, Sede Manizales
Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Departamento de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Computación
Manizales, Colombia
2015
HUNDIMIENTOS DE TENSIÓN
Un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
Autor:
Santiago Arias Guzmán
Tesis presentada como requisito parcial para optar al título de:
Magister en Ingeniería – Ingeniería Eléctrica
Director:
Ph.D. Armando Jaime Ustariz Farfán, UN
Codirector:
Ph.D. Eduardo Antonio Cano Plata, UN
Línea de Investigación en Compatibilidad Electromagnética
Grupo de Investigación en Calidad de la Energía y Electrónica de Potencia “GICEP”
Universidad Nacional de Colombia, Sede Manizales
Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Departamento de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Computación
Manizales, Colombia
2015
A mis padres, Nicolás Alberto Arias y María Teresa Guzmán
A mi hermano Juan Camilo Arias Guzmán
A mis directores y amigos Armando Jaime Ustariz Farfán y Eduardo Antonio Cano Plata
A mis compañeros de posgrado y amigos Oscar Andrés Ruiz Guzmán,
Andrés Felipe Guerrero Guerrero, Oscar Julián Soto Marín,
Yeison Alberto Garcés Gómez, Odair Augusto Trujillo,
Andrés Felipe Salazar Jiménez y Bianey Bravo Valencia
A cada uno de ellos agradezco estos años de esfuerzo por sus consejos, compañía y afecto.
Este trabajo es un logro obtenido gracias al aporte y apoyo de cada uno de ustedes.
Todos los resultados logrados han sido obtenidos a causa de un gran esfuerzo conjunto.
Un gran esfuerzo que me recuerda la siguiente frase.
“Un hombre con una idea nueva es un loco, hasta que la idea triunfa”
Mark Twain
AGRADECIMIENTOS
Al Dr. Armando Jaime Ustariz Farfán y al Dr. Eduardo Antonio Cano Plata, por su
dedicación, enseñanzas y paciencia en este trabajo conjunto. Gracias a su dirección he
avanzado en esta etapa académica, profesional y personal.
A Oscar Andrés Ruiz Guzmán, Andrés Felipe Guerrero Guerrero y Oscar Julián Soto
Marín, compañeros de posgrado por su colaboración tanto a nivel personal, profesional y
académico. A los integrantes de los grupos de investigación GREDyP y GICEP, por su
acompañamiento y recomendaciones en el desarrollo de este trabajo.
Agradezco especialmente a Andrés Felipe Salazar Jiménez y Bianey Bravo Valencia por
brindarme los registros reales de hundimientos de tensión. Sin esta información, el desarrollo
de esta tesis no hubiese sido posible.
Agradezco también a mi familia, quienes me han brindado apoyo en todo momento. Con
lo cual, impidieron que mis dudas opacaran mi deseo de culminar este proceso.
Este proyecto de investigación, fue financiado por el Departamento Administrativo de
Ciencia, Tecnología e Innovación (COLCIENCIAS) bajo el proyecto Jóvenes
Investigadores e Innovadores 617 del año 2013, asociado a la Universidad Nacional de
Colombia Sede Manizales con código 21317.
S. Arias Guzmán, 2015
RESUMEN
A TESIS presenta, en primer lugar, una revisión crítica del estado del arte de las
técnicas de segmentación y clasificación de los hundimientos de tensión. Esto
conlleva a identificar las técnicas de mayor impacto. Con base en esta revisión, se propone
un nuevo formalismo matemático (tensor de tensión de segundo orden) utilizado para
representar analíticamente la tensión instantánea en los sistemas trifásicos. Con la
descripción tensorial de los hundimientos de tensión en términos del álgebra tensorial,
es posible medir de una manera integral las variaciones de la tensión. Con lo cual, es
posible establecer pautas para segmentar y clasificar los hundimientos de tensión, de una
forma precisa.
Palabras clave: Análisis Tensorial, Hundimientos de tensión, Clasificación,
Segmentación, Calidad de la Potencia.
L
XI
ABSTRACT
HE THESIS presents initially a critical revision of the state-of-the-art of the
techniques for segmentation and classification of voltage sags. This leads to identify
the techniques with the most impact. Based on this review, a new mathematical
formalism (second order tensor of voltage) used to analytically represent the
instantaneous voltage in three-phase systems is proposed. With the tensor description of
the voltage sags in terms of tensor algebra, the voltage variations can be measured. Thus,
it is possible to establish guidelines to segment and classify the voltage sags in an accurate
way.
Keywords: Classification, Power Quality, Segmentation, Tensor Analysis, Voltage
Sags.
T
XIII
CONTENIDO Pág.
CAPÍTULO 1 ................................................................................................. 3
1. INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................... 3
1.1. Identificación del problema ................................................................................................. 5
1.2. Motivación e interés por el tema ......................................................................................... 7
1.3. Objetivos del presente trabajo ............................................................................................. 7
1.4. Bases de datos ........................................................................................................................ 9
1.5 Estructura del documento .................................................................................................. 10
CAPÍTULO 2 ............................................................................................... 13
2 CONCEPTOS Y DEFINICIONES ....................................................................................... 13
2.1. Características ....................................................................................................................... 13
2.2. Métodos con mayor impacto en la segmentación .......................................................... 14
2.2.1. Comparación de valores eficaces ........................................................................... 15
2.2.2. Seguimiento de residuos ......................................................................................... 16
2.2.3. Seguimiento de parámetros espaciales .................................................................. 17
2.3. Métodos con mayor impacto en la segmentación .......................................................... 18
2.3.1. Comparación de componentes simétricas ........................................................... 19
2.3.2. Comparación de valores eficaces ........................................................................... 19
2.3.3. Seguimiento a parámetros espaciales .................................................................... 20
2.4. Síntesis ................................................................................................................................... 21
CAPÍTULO 3 ............................................................................................... 24
3. 2BREPRESENTACIÓN TENSORIAL DE LA TENSIÓN ................................................ 24
3.1. 14BDefinición del tensor de tensión de segundo orden ...................................................... 24
3.1.1. Fundamentos matemáticos .................................................................................... 24
3.1.2. Propiedades del tensor de tensión de segundo orden. ....................................... 25
3.2. Representación tensorial en sistemas trifásicos ............................................................... 27
3.2.1 Trayectoria característica del tensor de tensión en R3 ........................................ 30
XIV
3.2.2 Interpretación física del tensor de tensión en R3 ................................................. 31
3.2.3 Evolución del tensor de tensión en R3 .................................................................. 33
3.3. Evaluación de las magnitudes del Tensor ......................................................................... 37
3.4. Síntesis ................................................................................................................................... 41
CAPÍTULO 4 ............................................................................................... 44
4. SEGMENTACIÓN DE LOS HUNDIMIENTOS DE TENSIÓN .................................. 44
4.1. Método de segmentación propuesto “Tensor-DSA” ..................................................... 44
4.1.1. Etapa de procesamiento .......................................................................................... 45
4.1.2. Etapa de estimación ................................................................................................. 47
4.1.3. Etapa de adecuación ................................................................................................ 48
4.1.4. Etapa de detección ................................................................................................... 50
4.1.5. Etapa de identificación de segmentos ................................................................... 51
4.2. Validación del método de segmentación propuesto ....................................................... 52
4.2.1 Registros artificiales .................................................................................................. 52
4.2.1.1 Resultados de simulación off-line – ejemplo aplicativo ........................... 53
4.2.1.2 Resultados de simulación off-line – parámetros estadísticos ................... 54
4.2.1.3 Discusión de los resultados obtenidos ........................................................ 54
4.2.2 Registros reales ............................................................................................................ 55
4.2.2.1 Resultados experimentales off-line – ejemplo aplicativo .......................... 55
4.2.2.2 Resultados experimentales off-line - parámetros estadísticos .................. 58
4.2.2.3 Discusión de los resultados obtenidos ........................................................ 59
4.3. Síntesis ................................................................................................................................... 60
CAPÍTULO 5 ............................................................................................. 63
5. CLASIFICACIÓN DE LOS HUNDIMIENTOS DE TENSIÓN .................................... 63
5.1. Método de clasificación propuesto “Tensor-DCA” ....................................................... 63
5.1.1. Etapa de procesamiento .......................................................................................... 64
5.1.2. Etapa de identificación de hundimientos 3 ...................................................... 65
5.1.3. Etapa de identificación de hundimientos 1 2y .............................................. 66
5.2. Validación del método de clasificación propuesto .......................................................... 68
5.2.1Registros artificiales ..................................................................................................... 68
XV
5.2.1.1 Resultados de simulación off line – ejemplo aplicativo ........................... 68
5.2.1.2 Resultados de simulación off line – parámetros estadísticos .................. 69
5.2.1.3 Discusión de los resultados obtenidos ....................................................... 69
5.2.2 Validación – registros reales ..................................................................................... 70
5.2.2.1 Resultados experimentales off line – ejemplo aplicativo ......................... 70
5.2.2.2 Resultados experimentales off line – parámetros estadísticos ................ 71
5.2.2.3 Discusión de los resultados obtenidos ....................................................... 71
5.3. Síntesis ................................................................................................................................... 72
CAPÍTULO 6 .............................................................................................. 75
6. CONCLUSIONES Y FUTUROS DESARROLLOS ........................................................... 75
6.1. Conclusiones generales ....................................................................................................... 75
6.2. Aportes .................................................................................................................................. 76
6.3. Futuros desarrollos .............................................................................................................. 77
6.4. Difusión académica ............................................................................................................. 78
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................... 81
APÉNDICE A ............................................................................................. 85
APÉNDICE B ............................................................................................. 88
XVI
LISTA DE FIGURAS Pág.
Figura. 1. Registro de un hundimiento de tensión monofásico ........................................................ 4
Figura. 2 Valores eficaces de un hundimiento de tensión monofásico ........................................... 4
Figura. 3 Proceso tradicional de segmentación de los hundimientos de tensión ........................... 5
Figura. 4. Nueva tendencia en la segmentación de los hundimientos de tensión .......................... 7
Figura. 5. Métodos de segmentación de hundimientos de tensión con mayor impacto ............. 15
Figura. 6. Métodos de clasificación de hundimientos de tensión con mayor impacto ............... 18
Figura. 7 Hundimiento de tensión monofásico ................................................................................ 28
Figura. 8 Representación geométrica del tensor de tensión de segundo orden en R3 ................ 32
Figura. 9 Cambio en las dimensiones de la representación geométrica ........................................ 33
Figura. 10 Hundimiento de tensión monofásico medido ................................................................ 33
Figura. 11 Sistema trifásico ideal ......................................................................................................... 34
Figura. 12 Trayectoria obtenida con la proyección del tensor de tensión ideal ........................... 34
Figura. 13 Trayectoria obtenida con la proyección del tensor de tensión medido ...................... 35
Figura. 14 Trayectoria obtenida con la proyección del tensor de tensión diferencia .................. 35
Figura. 15 Deformaciones de la representación geométrica ........................................................... 36
Figura. 16. Evolución de la norma de Frobenius de Ґij .................................................................... 37
Figura. 17. Evolución de la magnitud de los vectores d1, d2 y d3 .................................................. 38
Figura. 18. Método de segmentación propuesto Tensor-DSA ........................................................ 45
Figura. 19. Etapa de procesamiento ................................................................................................... 46
Figura. 20. Etapa de predicción del filtro Kalman – Modelo propuesto ....................................... 48
Figura. 21. Parámetro estimado Tensor-DSA .................................................................................... 48
Figura. 22. Residuo Tensor-DSA ......................................................................................................... 49
Figura. 23. Índice de detección Tensor-DSA ..................................................................................... 50
Figura. 24. Umbral adaptativo Tensor-DSA ...................................................................................... 50
Figura. 25. Detección de instantes de transición Tensor-DSA ....................................................... 51
Figura. 26. Identificación de segmentos Tensor-DSA ...................................................................... 52
Figura. 27. Retraso obtenido para hundimientos monofásicos fase a Tensor-DSA ................... 53
Figura. 28. Registro 281 de la base de datos DOE-EPRI [25] ........................................................ 56
Figura. 29. Índice de detección Tensor-DSA ..................................................................................... 56
XVII
Figura. 30. Método de clasificación propuesto Tensor-DCA ......................................................... 64
Figura. 31 Etapa de procesamiento Tensor-DCA ........................................................................... 65
Figura. 32. Filtro Kalman ..................................................................................................................... 86
Figura. 33. Etapa de predicción del filtro Kalman ............................................................................ 86
Figura. 34. Etapa de corrección del filtro Kalman............................................................................ 86
Figura. 35 Hundimiento de tensión capturado por el OR .............................................................. 89
Figura. 36. Identificación del segmento estacionario comparación valores eficaces ................... 89
Figura. 37. Identificación del segmento estacionario seguimiento de residuos ........................... 90
Figura. 38. Identificación del segmento estacionario parámetros espaciales ............................... 90
Figura. 39 Hundimiento de tensión capturado por el OR SC ....................................................... 91
Figura. 40 Hundimiento de tensión capturado por el OR SP ....................................................... 92
Figura. 41 Hundimiento de tensión capturado por el OR SV ....................................................... 92
XVIII
LISTA DE TABLAS Pág.
Tabla 1. Estado del arte de la segmentación de los hundimientos de tensión ............................... 6
Tabla 2. Estado del arte de la clasificación de los hundimientos de tensión .................................. 6
Tabla 3. Categorización de los hundimientos de tensión IEEE Std 1159 – 1995 [2] ................. 13
Tabla 4. Clasificación de los hundimientos de tensión - método SC [20] ..................................... 19
Tabla 5. Rangos de Ψ según las fases afectadas por un hundimiento método SV [18] .............. 20
Tabla 6. Parámetros espaciales según la clase de hundimiento método SV [18] ......................... 20
Tabla 7. Resultados de simulación para diferentes valores de α, θ, U y fases afectadas ............. 39
Tabla 8. Parámetros tensoriales según la clase de hundimiento ..................................................... 40
Tabla 9. Retraso en los instantes de detección [ms] ......................................................................... 54
Tabla 10. Instantes de transición [ms] para el registro DOE-EPRI 281 ..................................... 57
Tabla 11. Instantes de transición [ms] para registros DOE-EPRI ................................................ 57
Tabla 12. Resultados segmentación DOE-EPRI: Tensor-DSA vs estado del arte ..................... 58
Tabla 13. Resultados para un soló segmento registros OR: Tensor-DSA vs estado del arte .... 58
Tabla 14. Resultados para varios segmentos de registros OR: Tensor-DSA vs Residual-WSA 59
Tabla 15. Parámetros característicos extraídos del hundimiento capturado por el OR .............. 65
Tabla 16. Verificación de hundimientos trifásicos Tensor-DCA ................................................... 66
Tabla 17. Verificación de hundimientos monofásicos y bifásicos Tensor-DCA ......................... 67
Tabla 18. Clasificación de hundimientos artificiales Tensor-DCA vs estado del arte ................. 68
Tabla 19. Hundimientos erróneamente clasificación estado del arte ........................................... 69
Tabla 20. Identificación de las fases afectadas Tensor-DCA vs estado del arte ......................... 69
Tabla 21. Clasificación 281 DOE-EPRI Tensor-DCA vs estado del arte ................................... 70
Tabla 22. Resultados un solo segmento OR: Tensor-DCA vs estado del arte ........................... 71
Tabla 23. Instantes de transición reales [ms] Hundimiento OR Inspección visual ..................... 88
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN
A a
Este capítulo presenta la identificación del problema de investigación, la motivación y la importancia
del tema de investigación que ha dado lugar al desarrollo del trabajo de tesis. Para ello, se hace una
presentación resumida del estado del arte de la segmentación y clasificación de los hundimientos de
tensión. Los objetivos generales y específicos son enunciados en este capítulo. Finalmente, se presenta
la estructura general del documento.
3
1. INTRODUCCIÓN
L CRECIENTE avance tecnológico, se ha visto reflejado en un elevado uso de
dispositivos electrónicos en la industria, comercio y usuarios residenciales. Entre
los dispositivos de mayor uso, se encuentran: (a) equipos de cómputo, (b) elementos de
mando, (c) dispositivos de control de velocidad, (d) variadores de frecuencia, etc. Estos
equipos, son sensibles a perturbaciones que se presentan en el servicio de energía eléctrica
[1]. Dichas perturbaciones, son medidas y evaluadas mediante indicadores que
organismos de regulación nacionales e internacionales han establecido [2] - [4]. Entre las
mediciones llevadas a cabo en los últimos años, se ha determinado que los hundimientos
de tensión son la perturbación con mayor frecuencia de registro [5]. Los hundimientos
de tensión, generan grandes pérdidas económicas [6]; puesto que, son la causa de: (a)
interrupción de los procesos industriales, (b) interrupción de servicios, (c) pérdida de
materia prima, (d) tiempo muerto de procesos industriales, etc [3]. Consecuentemente,
se ha incrementado el interés en los procesos de segmentación, caracterización y
clasificación de los hundimientos [7]. Estos procesos, son insumos de ayuda para analizar
la operación de dispositivos de protección, predecir fallas incipientes o identificar las
causas de falla y su localización [8]. Un registro de un hundimiento de tensión se muestra
en la Figura. 1; en la cual, en el intervalo 18 - 50 milisegundos, la magnitud de la tensión
en la fase a disminuye su magnitud un 50%.
Para realizar la clasificación y caracterización de los hundimientos, se deben extraer
indicadores significativos de las formas de onda. Los cuales, deben estar relacionados con
la perturbación bajo estudio. Por recomendación de la normativa [2], los hundimientos
de tensión son definidos como una reducción entre el 90% y el 10% en magnitud de la
tensión eficaz, con una duración entre medio ciclo y un minuto. A partir de esta
definición, la normativa caracteriza esta perturbación según dos indicadores: (a) su
tensión residual y (b) su duración.
E
4 Hundimientos de Tensión Un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
Figura. 1. Registro de un hundimiento de tensión monofásico
Para extraer estos indicadores, un proceso conocido como segmentación identifica el
intervalo de tiempo dentro del cual ocurre el estado estacionario del hundimiento
(llamado a partir de ahora, segmento). Para identificarlo, un método consiste en comparar
la tensión eficaz de las fases contra un umbral. Esta comparación, determina si existe una
disminución de magnitud en una o más fases del sistema, marcando su inicio.
Subsiguientemente, en el momento en que todas las fases tienen un valor eficaz superior
al umbral, se considera finalizado el hundimiento.
Figura. 2 Valores eficaces de un hundimiento de tensión monofásico
En la Figura. 2 se presenta este método de segmentación y caracterización, para el
hundimiento de la Figura. 1. La duración ha sido calculada, mediante los instantes inicial
( iniciot ) y final ( finalt ) detectados. El valor eficaz más bajo de todas las fases durante el
segmento identificado, representa la tensión residual del hundimiento. El segmento
según esta técnica, está comprendido en el intervalo 20 – 64 milisegundos.
0 10 20 30 40 50 60
-1
0
1
2
Tiempo [milisegundos]
Am
plitu
d [V
]
Segmento del Hundimiento| |
Va(t) Vb(t) Vc(t)
0 10 20 30 40 50 600
0.5
1
Tiempo [milisegundos]
Am
plitu
d [p
u]
Duración| |
tinicio
tf inal
*
Tensión Residual
Umbral
Va(t) Vb(t) Vc(t)
Capítulo 1. Introducción. a5
Tradicionalmente, para llevar a cabo la segmentación y la posterior caracterización en
los sistemas trifásicos, las tres formas de onda son analizadas de forma individual. En
consecuencia, es necesario llevar a cabo procesos adicionales con la información obtenida
para determinar indicadores globales. En la etapa de segmentación, un ejemplo de este
procedimiento se muestra en la Figura. 3.
Figura. 3 Proceso tradicional de segmentación de los hundimientos de tensión
1.1. Identificación del problema
En la actualidad, los equipos utilizados en la monitorización de la calidad de la energía,
utilizan el seguimiento de los valores eficaces de las señales de tensión para realizar la
segmentación de los hundimientos de tensión [2] - [4]. Este método ha sido propuesto
en la normativa para la caracterización de los hundimientos de tensión y otros
parámetros, como los perfiles de tensión [1]. Aun así, para realizar el cálculo del valor
eficaz debe utilizarse como mínimo una ventana de un ciclo de la señal [9]. Lo anterior,
afecta la precisión en la detección del instante de inicio y fin del hundimiento, debido a
que: (a) no distingue componentes de frecuencia, (b) no distingue el ruido presente en la
señal de tensión [10], y (c) cuando el hundimiento es de menor duración que el tamaño
de la ventana, la magnitud no es calculada correctamente. Con lo cual, se generan retrasos
o incluso hay casos en que el hundimiento no es detectado [11]. Es por esto, que en los
últimos años surgió la necesidad de generar nuevos métodos de análisis de los
hundimientos, que permitan segmentar de forma precisa esta perturbación y a su vez
permitan extraer indicadores para su caracterización.
En consecuencia, varios autores proponen alternativas a la recomendación de la
normativa; tal como, los que se recopilan en el estado del arte listado en la Tabla 1.
Aún con la variedad de métodos que han sido propuestos en los últimos años, se
reportan inconsistencias en sus resultados [7], [11], [19], entre ellos: (a) retrasos superiores
a ciclo y medio en la detección, (b) errores de detección con la variación de la tensión
Índice Global au t
bu t
cu t
Segmentación
Segmentación
Segmentación
Índice fase-a
Índice fase-b
Índice fase-c
, ,i a b cf
6 Hundimientos de Tensión Un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
residual y el ángulo de inicio de la falla, (c) alta sensibilidad al ruido, (d) hundimientos de
tensión no detectados, (e) un alto costo computacional al llevar procesos simultáneos de
análisis (para procesos por fase) y (f) indicadores de segmentación que no pueden ser
utilizados en la clasificación del hundimiento. Estas inconsistencias en la segmentación,
dificultan el proceso de análisis de los hundimientos de tensión. Como ejemplo, se
reportan desviaciones en el cálculo de la severidad (producto de errores en el cálculo de
la duración y tensión residual) [11]. El error en la segmentación, genera aún más
inconsistencias en el proceso de clasificación. Las técnicas de clasificación propuestas en
los últimos años, se resumen en la Tabla 2.
Tabla 1. Estado del arte de la segmentación de los hundimientos de tensión
TEORÍA SISTEMA AÑO HERRAMIENTA UTILIZADA
A C Parssons [12] Por fase 1999 Transformada Ondita
E. Styvaktakis [13] Por fase 2001 Filtros Kalman
V. Ignatova [14] 3 fases 2009 Transformada de Clarke
C.D. Le [15] Por fase 2010 Filtro Kalman con sistemas causales y anti causales
M. Caujolle [16] Por fase 2010 Transformada Ondita con Filtro Kalman
V. Barrera [17] N fases 2012 Transformación Tensorial de la potencia
M.R. Alam [18] 3 fases 2014 Transformada de Clarke con DFT
Tabla 2. Estado del arte de la clasificación de los hundimientos de tensión
TEORÍA MÉTODO AÑO HERRAMIENTA UTILIZADA
L. Zhang [20] SC 2000 Componentes simétricas - Relación angular
M.H.J. Bollen [21] ABC 2000 Componentes simétricas - Relación 2 1V V
M.H.J. Bollen [22] SP 2003 Valores eficaces de las formas de onda (f-n, f-f)
M. Madrigal [23] TP-TA 2007 Valores eficaces de las formas de onda (f-n)
V. Ignatova [14] SV 2009 Transformada de Clarke - 4 Variables
M.R. Alam [18] 3P-VE 2014 Transformada de Clarke - 3 Variables
Dentro de las inconsistencias de los métodos para realizar la clasificación de los
hundimientos, en [7] se reportan las siguientes: (a) el método ABC “ABC Classification”
no ha obtenido buenos resultados clasificando registros capturados por analizadores de
redes, (b) los métodos SC “Symmetrical Component” y SP “Six Phase Algorithm” han fallado
ante hundimientos con salto de ángulo de fase, (c) el método TP-TA “Three Phases Three
Angles”, realiza el cálculo de muchas variables involucradas para realizar la clasificación
del hundimiento y (d) los resultados del método SV “Space-Vector” no han sido correctos
para señales con ruido ni para hundimientos con diferencias entre la disminución de
magnitud de las fases afectadas. Sumado a ésto, la ausencia de métodos estandarizados
para detectar los cambios rápidos de tensión y transitorios, impide calcular de forma
Capítulo 1. Introducción. a7
certera la duración y la tensión residual [5]. Lo anterior, afecta a algunos métodos que
trabajan con valores eficaces como el TP-TA y aquellos que extraen la componente
fundamental mediante una transformada de Fourier como los métodos SV y 3P-VE
“Three Phase Voltage Ellipse”. Se debe tener en cuenta que existen numerosos problemas
en estimar la tensión residual y la duración de los hundimientos de tensión, pero no son
considerados en los métodos anteriormente descritos [7].
En consecuencia, una nueva tendencia (presentada en la Figura. 4) busca la generación
de enfoques con una naturaleza polifásica; de forma que, pocas variables contengan la
información de la perturbación bajo estudio y permitan realizar una correcta
segmentación, clasificación y caracterización del hundimiento. Esta nueva tendencia, ha
logrado una mejora respecto al tiempo computacional disminuyendo los procesos
involucrados en la segmentación de indicadores individuales [24]. Aun así, no ha resuelto
la sensibilidad al ruido presente en la señal, o generar indicadores que puedan ser
utilizados en la clasificación del hundimiento analizado [7].
Figura. 4. Nueva tendencia en la segmentación de los hundimientos de tensión
Teniendo en cuenta la necesidad de superar las limitaciones descritas anteriormente,
es una tarea de esta investigación afrontar la segmentación, clasificación y caracterización
de los hundimientos de tensión.
1.2. 6BMotivación e interés por el tema
Debido a la presencia de perturbaciones en la red eléctrica y su efecto nocivo en los
usuarios, se han generado esfuerzos por parte de entes nacionales e internacionales para
su definición en normativas [2] - [4]. Por esta razón, los operadores de red han realizado
un gran trabajo en la adquisición de registros de calidad de la energía. Entre los cuales,
son destacables los resultados del “Council of European Energy Regulators” (CEER), y el
“Database Repository of Power System Events” (DOE-EPRI) [4],[25]. Gracias a estos
esfuerzos, se ha evidenciado la importancia de la calidad en el suministro de la tensión,
especialmente en disminuir el impacto negativo que ocasionan los hundimientos de
, ,a b cu t u t u t SegmentaciónMedición de datos Parámetro único de Tensión
8 Hundimientos de Tensión Un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
tensión [4]. En consecuencia, son indispensables herramientas de análisis de estos
fenómenos, para caracterizar su comportamiento y de esta forma plantear acciones que
reduzcan su impacto negativo [26]. Sin embargo, los algoritmos de segmentación actuales
no proporcionan una detección certera [11], [19]. Por tanto, es necesario proponer
nuevos métodos que aseguren la fiabilidad de los resultados en la etapa de análisis. En
adición, la dependencia de algunos métodos de caracterización y clasificación a
indicadores calculados mediante valores eficaces, dificulta un correcto análisis del
hundimiento. Por lo cual, también es necesario proponer nuevos métodos de
clasificación y caracterización de los hundimientos de tensión.
1.3. Objetivos del presente trabajo
El presente trabajo afronta la dificultad actual en el proceso de segmentación de los
hundimientos de tensión, y su posterior clasificación y caracterización. Principalmente,
se estudian los métodos de generación de indicadores basados en valores instantáneos;
que permitan realizar una evaluación del estado de la calidad de la tensión. Para conseguir
este propósito, los objetivos de esta tesis se describen de la siguiente manera.
Objetivo general
Mejorar el proceso de segmentación y clasificación de los hundimientos de tensión, a
partir de un enfoque de análisis basado en el álgebra tensorial que describa el
comportamiento evolutivo de la tensión en los sistemas trifásicos.
Objetivos específicos
1. Proponer a partir de un análisis del álgebra tensorial, una nueva forma de
representar el comportamiento de la tensión en los sistemas trifásicos.
2. Determinar un indicador global del comportamiento de la tensión trifásica, que
permita desarrollar un método de segmentación de los hundimientos de tensión.
3. Desarrollar un método de clasificación integral de los hundimientos de tensión, que
permita identificar las fases afectadas durante el evento.
Para cumplir los objetivos planteados, ha sido necesario ejecutar una serie de etapas,
las cuales se listan a continuación:
Capítulo 1. Introducción. a9
Etapa 1: Recopilación de la bibliografía para conocer el estado del arte.
Etapa 2: Estudio de cada uno de los métodos de segmentación propuestos, presentes en
la bibliografía. Estudio de las técnicas de análisis de señales más representativas
en la segmentación.
Etapa 3: Implementación matemática del formalismo tensorial para la representación de
las señales de tensión en los sistemas trifásicos.
Etapa 4: Extracción de un indicador de la tensión de la representación tensorial, y evaluar
su comportamiento ante la ocurrencia de los hundimientos de tensión.
Etapa 5: Implementación de la técnica de análisis de señales de mejor rendimiento ante
la evaluación del indicador de la tensión, para realizar la segmentación de los
hundimientos de tensión.
Etapa 6: Correlación del comportamiento del indicador de la calidad del suministro de
tensión y las fases involucradas en el hundimiento.
Etapa 7: Proceso de validación mediante señales artificiales y registros reales capturados
por operadores de red al proceso de segmentación y clasificación.
Etapa 8: Verificación del rendimiento de los métodos de segmentación y clasificación
propuestos, contra métodos del estado del arte.
1.4. Bases de datos
El análisis presentado en esta tesis es elaborado basándose en mediciones de tensión.
Algunos de los cuales son registros artificiales y otros adquiridos por analizadores de red.
Los datos presentados y analizados se obtuvieron de:
1. La Central Hidroeléctrica de Caldas CHEC, quien ejerce como el operador de red
de la ciudad de Manizales, Colombia. Las mediciones fueron obtenidas por un
conjunto de analizadores de red ubicados en la red de distribución y transmisión
(13,2 kV, 33 kV), y en usuarios comerciales de baja tensión (220 V).
10 Hundimientos de Tensión Un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
2. El registro de señales “DOE/EPRI National Database Repository of Power
System Events”, el cual proporciona un conjunto de registros desde el 2005 hasta
el 2007. Con mediciones a diferentes niveles de tensión [25].
3. Formas de onda artificiales, generadas en la plataforma MATLAB®.
1.5. Estructura del documento
La tesis se ha dividido en 6 capítulos, el primero de los cuales corresponde a esta
introducción. A continuación, se realiza una breve descripción de cada uno de ellos.
Capítulo 1: Se presenta una introducción del problema de investigación, basándose
en el estado del arte, la motivación e interés por el tema. Finalmente, se describen los
objetivos del presente trabajo de tesis.
Capítulo 2: En este capítulo, se realiza una revisión crítica del estado del arte de los
algoritmos de segmentación y clasificación de los hundimientos de tensión. Al finalizar
el capítulo, se presenta la descripción de sus ventajas y desventajas.
Capítulo 3: En este capítulo, se introduce el formalismo tensorial para generar una
nueva representación de la tensión en los sistemas trifásicos. Esta nueva representación
se expone desde su interpretación matemática y física. Los resultados de este capítulo,
generan los indicadores utilizados en las etapas de segmentación y clasificación.
Capítulo 4: Una nueva propuesta para realizar la segmentación de los hundimientos
de tensión es presentada en este capítulo; que ha sido nombrada Tensor-DSA “Tensor
Deformation Segmentation Algorithm”. Adicionalmente, un proceso de validación y
comparación con otros métodos es presentado.
Capítulo 5: Un nuevo método para realizar la clasificación de los hundimientos de
tensión es presentado en este capítulo; dicho método, ha sido nombrado Tensor-DCA
“Tensor Deformation Classification Algorithm”. Aquí, también se muestra un proceso de
validación y comparación con otros métodos.
Capítulo 6: En este capítulo, se presentan las conclusiones de esta investigación, así
como las recomendaciones sobre trabajos futuros que se derivan de los resultados
obtenidos en el presente trabajo.
11
CAPÍTULO 2
CONCEPTOS Y DEFINICIONES
A a
En este capítulo, se realiza una revisión crítica del estado del arte de los algoritmos de segmentación
y clasificación de los hundimientos de tensión. A partir de esta revisión, se exponen los métodos de
segmentación y clasificación de mayor impacto, así como de las herramientas que se utilizan para su
implementación. Al finalizar el capítulo, se presenta a manera de resumen la descripción de sus
ventajas y desventajas.
12 Hundimientos de Tensión Un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
Capítulo 2. Conceptos y definiciones 13
2. CONCEPTOS Y DEFINICIONES
ARA iniciar la clasificación de los hundimientos de tensión, es necesario diferenciar
los intervalos de tiempo en que las formas de onda presentan una disminución de
sus valores nominales. Para ello, se busca diferenciar dentro de la señal analizada
intervalos estacionarios y transitorios; proceso conocido como segmentación.
En este capítulo, se presenta una revisión de los métodos de segmentación y
clasificación con mayor impacto en la literatura. Con la revisión se presentan las
diferentes tendencias que han sido propuestas, así como sus ventajas y desventajas.
2.1. Características de los hundimientos de tensión
Los organismos de regulación nacionales e internacionales [2] - [4], caracterizan a los
hundimientos de tensión como una disminución brusca de la tensión de alimentación a
un valor situado, entre el 90 y el 10% de la tensión nominal; a la cual, le prosigue su
restablecimiento después de un corto lapso de tiempo. A partir de lo anterior, declaran
una primera categorización de los hundimientos, según su duración y su tensión residual;
la cual se lista en la Tabla 3.
Tabla 3. Categorización de los hundimientos de tensión IEEE Std 1159 – 1995 [2]
CATEGORÍA DURACIÓN TÍPICA MAGNITUD TIPICA DE LA TENSIÓN
Instantáneos 0.5 – 30 ciclos
0,1 – 0,9 pu Momentáneos 30 ciclos – 3 segundos
Temporales 3 segundos - 1 minuto
Para la clasificación de los hundimientos de tensión, el primer paso radica en su
segmentación; esta etapa debe distinguir los intervalos en la forma de onda de estado
estacionario y transitorio [13],[26],[43]. Posteriormente, al identificar los segmentos del
hundimiento se extraen indicadores que lo caractericen [26],[43].
La causa general de este tipo de perturbación, son las corrientes generadas por
cortocircuitos, conexión u operación de cargas que exijan una elevada demanda de
potencia; lo cual hace que sean impredecibles y de comportamiento aleatorio [1].
P
14 Hundimientos de Tensión Un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
Este tipo de perturbación es una de las que mayor impacto genera en los equipos
instalados en el sistema eléctrico, y depende en gran medida de la configuración del
sistema, de las condiciones operativas, del mantenimiento, entre otras [3].
Los hundimientos de tensión, pueden ser clasificados a partir de las fases involucradas
en la falla. Usualmente, todas las fases son medidas y están disponibles para caracterizar
los eventos. Usando esta información, todos los hundimientos pueden ser clasificados en
dos categorías: (a) hundimientos simétricos, donde se presenta una disminución de
magnitud igual en todas las fases, y (b) hundimientos asimétricos, donde al menos una
fase presenta una disminución de su magnitud [23]. Los hundimientos simétricos son
originados solamente por fallas simétricas en sistemas simétricos; por lo tanto,
representan la clase de hundimiento menos frecuente. En consecuencia, todas las otras
clases de hundimientos serán generalizados como asimétricos, lo cual, no es una
clasificación efectiva. Es por lo anterior, que es necesario determinar el número de fases
con hundimiento de tensión. Consecuentemente, una clasificación más completa divide
los hundimientos en: (a) monofásicos, (b) bifásicos y (c) trifásicos. Es también necesario
identificar las fases afectadas por el hundimiento para analizar su impacto en el sistema.
Esta identificación, puede ayudar a identificar fases de la red con mayor sensibilidad a
sufrir un hundimiento de tensión [23].
Ahora bien, tras conocer las características generales de los hundimientos de tensión,
se expone el estado del arte de la segmentación y clasificación de esta perturbación, con
sus ventajas y desventajas. Para ello, se presentan los métodos con mayor impacto, que
han marcado una tendencia en los últimos años; estos métodos han sido seleccionados,
con base en su número de citaciones en los últimos años en plataformas como google
scholar y scopus.
2.2. Métodos con mayor impacto en la segmentación
La segmentación de los hundimientos de tensión ha representado un campo de
estudio con numerosos métodos propuestos [2] - [4], [12] - [18]. Entre los métodos que
han surgido, son destacables aquellos que han creado una tendencia en la segmentación,
creando caminos que se derivan en: (a) comparación de valores eficaces [2] - [4], (b) el
seguimiento de residuos [13], y (c) el seguimiento de parámetros espaciales [14], [18]. En
la Figura. 5, se muestra la desagregación de estos métodos.
Capítulo 2. Conceptos y definiciones 15
Figura. 5. Métodos de segmentación de hundimientos de tensión con mayor impacto
2.2.1 Comparación de valores eficaces
La magnitud de la tensión U puede ser obtenida con varias opciones. Entre ellas, el
valor eficaz es la herramienta más utilizada para encontrar una aproximación de la forma
en que varía la onda de tensión [10]. El valor eficaz se calcula como se describe en la
ecuación (1); donde N es un valor entero múltiplo del número de muestras durante un
ciclo de la frecuencia del sistema de potencia [1].
2
1
1
1 N
rms i
i
U uN
(1)
Los valores eficaces varían con el tiempo si la señal varía de su comportamiento ideal.
La normativa establece que los valores eficaces deben ser calculados cada medio ciclo
1 _1 2U [2]; aun así, es posible calcularlos de forma continua 1 _ tU
.
El periodo de la señal T para el cual se calcula el valor eficaz, se determina a partir de
una estimación de la frecuencia de la señal o a partir de la frecuencia nominal del sistema.
Mediante el muestreo u [ k ] es posible aproximar el valor eficaz de la señal u ( t ) para
un intervalo de tiempo de duración T segundos; la aproximación en el tiempo respectivo
a la muestra n , requiere de N muestras anteriores y se calcula así:
2
1
1 n
nk n N
U u kN
(2)
Este método, también se puede realizar por medio de indicadores trifásicos. Una de
las opciones es el valor trifásico rms instantáneo [1], el cual está definido como:
Métodos para realizar la segmentación de los
hundimientos de tensión con mayor impacto
Comparación de
valores eficacesSeguimiento
de residuos
Seguimiento de
parámetros espaciales
Método impuesto por la normativa
IEEE Std 1159 – 1995 [2]
IEC 61000-4-30 2003 [3]
NTC 5001-2008 [4]
Método Residual-WSA
Styvaktakis – 2001 [13]
Método Space-Vector
Vanya Ignatova – 2009 [14]
Muttaqui – 2014 [18]
16 Hundimientos de Tensión Un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
2 2 2
3
1
3rms a b cU k u k u k u k
(3)
Para sistemas balanceados con sistemas sinusoidales, el valor trifásico rms instantáneo
es constante. Sin embargo, en la presencia de distorsión de las formas de onda y
desbalances causan oscilaciones con amplitudes similares a la componente de secuencia
negativa y de componentes armónicas. Otros autores [1], reportan que es necesario
promediar el valor trifásico rms instantáneo para obtener un valor útil para realizar un
procesamiento posterior.
2.2.2 Seguimiento de residuos
Otro método usualmente utilizado para la segmentación de los hundimientos de
tensión, es mediante el seguimiento de residuos. Dichos residuos son obtenidos entre
una estimación de la señal y los valores medidos instantáneamente. La estimación,
usualmente se obtiene mediante un filtro Kalman, tal como se expone en el apéndice A.
Styvaktakis en [13] propone un método de segmentación mediante el residuo entre la
señal real z ( kt ) y su estimación kalmanz ( kt ) durante una ventana deslizante w , como se
describe en la ecuación (4). Posteriormente, para realizar la segmentación en los sistemas
trifásicos Styvaktakis calcula un índice global comparando los iDI de cada fase y
seleccionando el mayor de ellos, como se describe en la ecuación (5).
2
2
2
1( )
wk
i kalmanwi k
DI k z k z kw
(4)
( ) max ( ), ( ), ( )a b bDI k DI k DI k DI k (5)
En consecuencia, el método; debe comparar resultados por cada una de las fases, lo
cual incrementa su costo computacional [32]. Otro aspecto a considerar, es la elección de
la ventana deslizante w (dada en la ecuación (4)) y su influencia en la capacidad de
detección y la estabilidad en estado estable del índice de detección. Entre más grande sea
la ventana de tamaño w , se incrementa la estabilidad mientras se reduce la capacidad de
detección [33]. Para reducir el tamaño de w sin afectar la estabilidad, es necesario
incrementar la velocidad de convergencia de la herramienta de estimación.
Capítulo 2. Conceptos y definiciones 17
2.2.3 Seguimiento de parámetros espaciales
Más recientemente, se ha trabajado en una visualización global del fenómeno. Para
ello, Vanya Ignatova y otros en [14] y Muttaqui y otros en [18] exponen la teoría para
segmentar y clasificar los hundimientos de tensión, en base a parámetros espaciales.
Para lo cual, inicialmente se genera un vector trifásico representativo de la tensión
E ( t ). Este vector, se calcula al aplicar la transformada de Clarke a las tensiones trifásicas
(fases , ,a b cu u u ), así:
2 4
3 32
13
aj j
b
c
u t
E t e e u t
u t
(6)
donde, los valores au ( t ), bu ( t ) y cu ( t ) se obtienen mediante la siguiente ecuación:
cos
cos 2 3
cos 4 3
a a
b b
c c
u t U t
u t U t
u t U t
(7)
En la ecuación (7) la magnitud de cada una de las fases se extrae al aplicar una
transformada discreta de Fourier separadamente, en una ventana de un ciclo y actualizada
cada ciclo. Posteriormente, se asume que las tres formas de onda están separadas 120°
una de otra; ignorando la información del desplazamiento de ángulo de fase. Al aplicar la
fórmula de Euler en la ecuación (6), se obtiene la ecuación (8) donde E | E | je y
E | E | je .
4 8
3 32
3 2 2
j j
a b c a b cj t j t
j t j t
U U U U U e U eE t e e
E t E e E e
(8)
Posteriormente, se define un semieje mayor ( maA ), semieje menor ( miA ) y un ángulo
de inclinación ( ) del vector trifásico, como:
mi, , 0,5maA E E A E E (9)
18 Hundimientos de Tensión Un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
La segmentación del hundimiento, se realiza utilizando el semieje menor, al
compararlo con un umbral de 0,933. Si el semieje menor es menor al umbral, se detecta
un hundimiento. Posteriormente, los valores del semieje mayor y el ángulo de inclinación
se utilizan en la clasificación, como se describe en la sección 2.3.3.
En este procedimiento, la implementación de una transformada discreta de Fourier,
impone un retraso que afecta los resultados de segmentación y clasificación.
En general, los procesos de segmentación descritos anteriormente comparan un
indicador de detección contra un umbral. En la segmentación por comparación de
valores eficaces, este proceso se describe según la ecuación (10) donde es el umbral.
Un segmento transitorio comienza en la primera k para el cual H1 se cumple y termina
en el primer k para el cual U [ k ] después de detectar un segmento transitorio.
0 1
1 1
Segmento estable : _
Segmento transitorio : _
H U k
H U k
(10)
2.3. Métodos con mayor impacto en la clasificación
La clasificación de los hundimientos de tensión ha generado el interés de los
investigadores en los últimos años [14], [18], [20] - [23]. Entre los métodos más
representativos, se encuentran: (a) comparación de componentes simétricas [20], [21], (b)
comparación de valores eficaces [22], [23] y (c) seguimiento a indicadores espaciales [14],
[18]. En la Figura. 6, se muestra la desagregación de estos métodos.
Figura. 6. Métodos de clasificación de hundimientos de tensión con mayor impacto
Métodos para realizar la clasificación de los
hundimientos de tensión con mayor impacto
Comparación de
valores eficaces
Comparación de
componentes simétricas
Seguimiento de
parámetros espaciales
Método SP
Six Phase Algorithm
M. Bollen – 2003 [22]
Método SC
Symmetrical Component
L. Zhang – 2000 [20]
Método SV
Space-Vector
Vanya Ignatova – 2009 [14]
Muttaqui – 2014 [18]
Capítulo 2. Conceptos y definiciones 19
2.3.1 Comparación de componentes simétricas
La clasificación del hundimiento, debe realizarse en base a uno o más indicadores que
permitan identificar las fases afectadas [2]. En este sentido, algunos autores [20],[21],
proponen utilizar las componentes simétricas para generar dicho indicador. En [20] el
método SC, calcula el ángulo entre la componente de tensión de secuencia positiva ( 1U )
y la componente de secuencia negativa ( 2U ) (ambas en por unidad), así:
2 1,1
60
ángulo U Uk redondear
(11)
A partir del valor calculado k , se define el tipo de hundimiento. La relación entre los
valores de k y el tipo de hundimiento se listan en la Tabla 4.
Tabla 4. Clasificación de los hundimientos de tensión - método SC [20]
VALOR DE k FASES AFECTADAS
0 bU , cU
1 cU
2 aU , cU
3 aU
4 aU , bU
5 bU
Este método, aunque es sencillo presenta una desventaja cuando clasifica
hundimientos con salto de ángulo de fase al tener valores de k , que no corresponden al
tipo de hundimiento correcto [23]. Para solventar este error, en [22] se modifica la
ecuación (11) redefiniendo la relación por la siguiente:
2 1,1
' 2060
ánguloredondear
U Uk
(12)
Ahora bien, el problema con este método es definir en qué momento se utiliza la
ecuación (11) y en qué momento la ecuación (12).
2.3.2 Comparación de valores eficaces
Otro método de clasificación, consiste en usar los valores eficaces de las formas de
onda. Con esta herramienta en [22] proponen el método SP, el cual compara 6 valores
20 Hundimientos de Tensión Un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
eficaces, de cada una de las tensiones de fases a, b y c y entre tensiones de líneas ab, bc
y ca. A las tensiones, se les resta la componente homopolar. Este método define el tipo
de hundimiento, según el menor valor de los 6 valores eficaces. Similarmente al método
SC, un salto de ángulo de fase genera una errónea clasificación del hundimiento.
2.3.3 Seguimiento a parámetros espaciales
El método de clasificación SV, utiliza los parámetros calculados en la sección 2.2.3 de
semieje mayor, menor y de ángulo de inclinación. Para ello, el proceso de clasificación
realiza la siguiente comprobación:
1. Si la relación mi maA A es superior a 0,933, el hundimiento es clasificado como
trifásico. En caso contrario, el hundimiento puede ser clasificado como monofásico
o bifásico según las fases afectadas.
2. El rango en el que se ubique el ángulo de inclinación , se utiliza para identificar
las fases afectadas por el hundimiento, tal como se lista en la Tabla 5.
3. Adicionalmente, el método contempla la relación de los indicadores elípticos con
la tensión residual ( fU ) y la tensión pre-falla (U ), tal como se lista en la Tabla 6.
Tabla 5. Rangos de Ψ según las fases afectadas por un hundimiento método SV [18]
ÁNGULO DE INCLINACIÓN ( ) FASES AFECTADAS
345 15 o 165 195 bU , cU
15 45 o 195 225 bU
45 75 o 225 255 aU , bU
75 105 o 255 285 aU
105 135 o 285 315 aU , cU
135 165 o 315 345 cU
Tabla 6. Parámetros espaciales según la clase de hundimiento método SV [18]
CLASE SEMIEJE MAYOR ( maA ) SEMIEJE MENOR ( miA )
Monofásicos U 2 3fU U
Bifásicos 2 3fU U fU
Trifásicos fU fU
Capítulo 2. Conceptos y definiciones 21
En este método, debido a la necesidad de implementar una transformada discreta de
Fourier, se impone un retraso que afecta los resultados de segmentación y clasificación
como es el caso de los valores eficaces.
2.4. Síntesis
La comparación de valores eficaces propuesta en la normativa internacional IEEE
Std 1159 [2] y IEC 61000-4-30 [4] tiene un cálculo sencillo y permite ser utilizado en otras
perturbaciones de la calidad de la energía. Sin embargo, utilizar un ciclo de la señal para
realizar el cálculo del valor eficaz impone un retraso que afecta tanto la segmentación
como la clasificación del hundimiento. El retraso impuesto, puede afectar la ventana de
análisis en la clasificación; si los hundimientos son de muy corta duración (entre medio
ciclo y 30 ciclos), puede analizarse una zona que no esté afectada por el hundimiento.
Adicionalmente, al realizar este proceso por fase, se incrementa el costo computacional
de aplicación.
El seguimiento a residuos propuesto por Styvaktakis [13], incrementa la rapidez de
convergencia ya que el filtro Kalman utiliza solamente una muestra para estimar el estado
del sistema (como se expone en el apéndice A). Sin embargo, al ser necesaria una media
móvil para generar un índice de detección se genera un retraso impuesto por el tamaño
de la ventana utilizado. En este método, debe tenerse en cuenta que una mayor estabilidad
sacrifica la capacidad de detección. Es de aclarar, que esta restricción se impone por la
velocidad de convergencia de la herramienta de estimación utilizada. Adicionalmente,
requiere también del seguimiento de cada fase, por lo cual tiene un alto costo
computacional. Por último, no genera un indicador que pueda ser utilizado en la etapa
de clasificación para identificar las fases afectadas por el hundimiento.
Por último, el seguimiento a indicadores globales que propone Vanya Ignatova [14] y
Muttaqui [18] permite realizar el seguimiento de los hundimientos de tensión y su
posterior clasificación mediante pocos indicadores. Sin embargo, dado que requieren
aplicar una transformada discreta de Fourier para extraer la componente fundamental de
cada fase, se impone un retraso que afecta los resultados de segmentación y clasificación.
22
CAPÍTULO 3
REPRESENTACIÓN TENSORIAL DE LA TENSIÓN
A a
En este capítulo, se introduce el formalismo tensorial para generar una nueva representación de la
tensión en los sistemas trifásicos. Esta nueva representación se expone desde su interpretación
matemática, física y geométrica. Adicionalmente, se evalúan los parámetros más representativos que
pueden ser extraídos del tensor de tensión, cuando ocurre una perturbación de tipo hundimiento de
tensión.
Capítulo 3. Representación tensorial de la tensión 23
24 Hundimientos de Tensión Un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
3. 2BREPRESENTACIÓN TENSORIAL
DE LA TENSIÓN
STA PROPUESTA de investigación, ha surgido a partir del uso del álgebra
tensorial para el análisis de la calidad de la energía. Ustariz et al [27]-[29], proponen
una nueva expresión de la potencia (llamada, tensor instantáneo de potencia). Esta
expresión, provee la posibilidad de medir, evaluar y compensar de una manera integral
los sistemas eléctricos en régimen no-sinusoidal.
Partiendo de un enfoque similar, se ha implementado el análisis del álgebra tensorial,
en el estudio de los hundimientos de tensión. Inicialmente, se presenta su definición y su
formalismo matemático. Subsiguientemente, su planteamiento para analizar las señales
de tensión; con lo cual, se presenta la interpretación física de la desviación de las
condiciones ideales de la tensión en los sistemas trifásicos
Por último, se evalúa el comportamiento de las magnitudes del tensor ante los
hundimientos de tensión.
3.1. 14BDefinición del tensor de tensión de segundo orden
3.1.1 Fundamentos matemáticos
Como se vio en el capítulo 2, una nueva tendencia estudia los sistemas trifásicos a
partir de una representación espacial. En la representación tensorial de la tensión que se
propone en esta investigación, se llama a los vectores espaciales como tensores de primer
orden; y son utilizados para definir la nueva representación tensorial en los sistemas
trifásicos; la cual, es obtenida mediante el producto diádico ( ) entre los tensores
instantáneos de tensión de primer orden iu y ju , así:
ij i ju u (13)
donde, ij es el tensor de tensión de segundo orden. Para el caso trifásico, los tensores
de tensión de primer orden están definidos, así:
E
Capítulo 3. Representación tensorial de la tensión 25
a
i j b
c
u
u u u
u
(14)
Siendo , a bu u y cu las tensiones instantáneas por fase de los sistemas trifásicos.
La expresión (14) es la forma tensorial utilizada para expresar variables físicas, la cual
permite representar las tensiones en un sistema de coordenadas ortogonales. En este
caso, se representa una red eléctrica respecto a la dimensión del espacio vectorial en que
los tensores de tensión son determinados. El espacio en R3 define el sistema trifásico
trifilar o tetrafilar [27]. Finalmente, a partir de estos dos tensores es posible obtener la
representación del tensor de tensión de segundo orden en R3. Al reemplazar (14) en (13)
se define el tensor de tensión de segundo orden ij , así:
2
11 12 13
2
21 22 23
2
31 32 33
a a a a b a c
ij i j b b b a b b c
c c c a c b c
u u u u u u u
u u u u u u u u u
u u u u u u u
(15)
Este tensor proporciona en una sola expresión, todas las posibles combinaciones de
las tensiones de fase en los sistemas trifásicos. Ahora bien, cabe destacar que la matriz
resultante es la representación del tensor, pero no es el tensor. Esto es, del mismo modo
que un vector no son sus componentes; ya que estas pueden cambiar en una
transformación de coordenadas, aunque el vector siga siendo el mismo.
A partir de la expresión (15), se extraen los indicadores que permiten generar un
seguimiento evolutivo de la tensión instantánea en los sistemas trifásicos.
3.1.2 Propiedades del tensor de tensión de segundo orden
Para ser congruentes con la nomenclatura utilizada en el análisis tensorial, en las
operaciones algebraicas realizadas en cada una de las siguientes propiedades, se aplica el
convenio de suma o notación de Einstein [27].
Propiedad 1: En dos sistemas cartesianos con coordenadas 1 2, , nx x x y 1 2, , nx x x las
componentes del tensor de tensión de segundo orden se transforman de acuerdo a la
ecuación (16); donde klT es el tensor de transformación y '
ij es el tensor de tensión de
segundo orden en el nuevo sistema cartesiano con coordenadas 1 2, , nx x x .
26 Hundimientos de Tensión Un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
'
kl ki lj ijT T (16)
Propiedad 2: La traza ( tr ) del tensor de tensión de segundo orden, se define como la
suma de los elementos de la diagonal principal; y esta descrita por la ecuación (17), donde
el símbolo ij representa el delta de Kronecker.
2 2 2
ij ij ij ii a b cu u u tr (17)
Como se puede observar, la traza de ij define la componente dentro de la raíz
cuadrada del valor trifásico rms instantáneo, expuesto en (3).
Propiedad 3: El tensor de tensión de segundo orden puede multiplicarse escalarmente
(producto interno entre tensores) por un tensor de primer orden, así:
1 2 3ij i ij i j i i j a b cx x u u x u u x u x u x (18)
Resulta entonces que el producto interno del tensor de tensión de segundo orden por
un tensor de primer orden da como resultado otro tensor de primer orden.
Propiedad 4: El tensor de tensión de segundo orden, puede ser “medido” mediante un
operador norma. En este caso, con el objetivo de medir la magnitud de las componentes
de ij . En consecuencia, una de las formas expuestas en [34] para realizar esta medición
al tensor de tensión de segundo orden, se expone a continuación:
La norma de Frobenius del tensor de tensión de segundo orden ( F ), es calculada
mediante la ecuación (19), donde *
ij denota la transpuesta conjugada de ij .
3 3
2
1 1F ij ij ij ijF
i j
tr
(19)
Esta norma en condiciones ideales, es igual a 3 veces la tensión eficaz nominal de una
de las fases , ,a b cu u u al cuadrado ( 2U ). Este comportamiento, se debe a que la norma es
equivalente a la componente dentro de la raíz cuadrada del valor trifásico rms instantáneo
expuesto en (3).
Propiedad 5: La representación matricial del tensor de tensión de segundo orden
permite calcular sus valores y vectores propios mediante el sistema de ecuaciones descrito
en (20), donde, jx son los autovectores y los autovalores.
Capítulo 3. Representación tensorial de la tensión 27
0ij ij jI x (20)
Los autovalores son obtenidos por las raíces de la ecuación característica, dada por:
0ij ij I (21)
Propiedad 6: El determinante en función de los coeficientes de permutación puede
expresarse por la ecuación (22), donde ijk representa el tensor de Levi-Civita.
0ij ijk ai bj cku u u (22)
Se trata de una operación intrínseca, por lo que el resultado es el mismo independiente
de la base empleada para calcular las coordenadas. Es por tanto un invariante del tensor
y siempre es cero.
3.2. Representación tensorial en sistemas trifásicos
En este ítem, la formulación tensorial es utilizada para representar las señales de
tensión de fase instantánea en sistemas triásicos. Para ello, es necesario definir los
tensores de tensión de primer orden yi ju u .
En condiciones ideales, las compañías eléctricas enfocan todos sus esfuerzos para
suministrar tensiones sinusoidales y equilibradas. De modo que, basándose en esta
condición ideal, se pueden definir los tensores de tensión ideales y de secuencia-directa
i idealu y j ideal
u , cuya representación matemática se describe en la ecuación (23). Donde,
mU corresponde a la tensión pico máxima, 0 02 f y 0 60f Hz es la frecuencia
fundamental del sistema trifásico.
0
0
0
(ideal) (ideal)
sin
sin 120º
sin 120º
a m
b m
c m
i j
u U t
u U t
u U t
u u
(23)
Por otra parte, las señales medidas de los tensores de tensión de primer orden pueden
desviarse del comportamiento ideal. Para el caso particular de interés, un hundimiento
de tensión disminuirá la magnitud de las fases; a un factor de tensión residual. Este factor
de tensión residual se denota en las tres fases del sistema , a bu u y cu por , y
respectivamente. Los factores de tensión residual, varían de un valor mínimo cero, a un
28 Hundimientos de Tensión Un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
máximo 1. El mínimo, representa la ausencia total de tensión; el máximo, que la magnitud
de la tensión no se ve disminuida de su valor nominal.
Un hundimiento, con una duración D , un tiempo de inicio iniciot y un tiempo final
finalt ; es descrito en los tensores de tensión de primer orden medidos i medu y j med
u por:
sin
sin 120º ;
sin 120º
ma
b m inicio finali med j med
c m
U tu
u u u U t t t t
u U t
(24)
En los sistemas trifásicos reales, se puede presentar un cambio de la tensión en
condiciones ideales a un segmento con un hundimiento de tensión. En la Figura. 7 se
presenta esta posibilidad; en la cual la tensión en la 1zona se comporta tal como es descrita
en la ecuación (23) hasta el instante iniciot . Entre el intervalo de tiempo inicio finalt t t la
tensión en la 2zona se comporta como se describe en la ecuación (24). En este segmento,
0.5 y 1 ; representando un hundimiento monofásico en la fase a. Tras el instante
finalt , la tensión se reestablece a su condición ideal.
La fase a se presenta en color azul y línea continua; por otra parte las fases b y c que
no están afectadas por el hundimiento, se presentan en color gris y línea punteada.
Figura. 7 Hundimiento de tensión monofásico
Este principio de operación, permite definir al tensor de tensión de segundo orden
en condiciones ideales y el que es generado por las señales medidas.
El tensor de tensión de segundo orden en condiciones ideales ideal
ij , permite definir
0 10 20 30 40 50 60
Tiempo [milisegundos]
Am
plitu
d [V
]
---
---Tensión Residual [U
m]
Segmento del Hundimiento
tinicio
tf inal
Um
-Um
Zona1| Zona
2| | Zona3 |
Capítulo 3. Representación tensorial de la tensión 29
las condiciones de referencia para medir y evaluar la calidad de la tensión. El cual, se
describe como:
21 3
2
2
11 12 13
21 22 23
31 32 33
sin sin sin 120º sin sin 120º
sin
idealideal ideal
ideal
m
ideal ideal ideal
ideal ideal ideal idealij i ideal j ideal
ideal ideal ideal
dd d
ij
t t t t t
U
u u
2
2
120º sin sin 120º sin 120º sin 120º
sin 120º sin sin 120º sin 120º sin 120º
t t t t t
t t t t t
(25)
Por otra parte, durante el segmento del hundimiento, el tensor de tensión de segundo
orden medido med
ij es descrito por:
21 3
2 2
2 2
11 12 13
21 22 23
31 32 33
sin sin sin 120º sin sin 120º
sin 120º sin sin 120º sin 1
medmed med
med
m
med med med
med med med medij i med j med
med med med
dd d
ij
t t t t t
U t t t t
u u
2
20º sin 120º
sin 120º sin sin 120º sin 120º sin 120º
t
t t t t t
(26)
A partir de estas dos definiciones, es posible calcular un tensor que represente la
desviación de la condición ideal. En este sentido, la diferencia entre el tensor de tensión
en condiciones ideales y el tensor medido, equivale al tensor de tensión de segundo orden
de diferencia dif
ij , y queda descrito por:
2 21 3 1
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
ideal medideal ideal med
ideal ideal ideal med med med
dif ideal ideal ideal med med meij
ideal ideal ideal med med
d dd d d
23 1 3
11 12 13
23 21 22 23
33 31 32 33
difdif difmed
dif dif dif
dif dif difd
dif dif difmed
dd d d
(27)
Para el caso específico que se describe en la ecuación (26), si los factores de la tensión
residual , y son iguales a 1; el tensor medido med
ij y el tensor en condiciones
ideales ideal
ij serán iguales. Si esta condición se llega a cumplir, todas las componentes
del tensor diferencia serán iguales a cero. En cuyo caso, se puede interpretar que el
sistema trifásico presenta un comportamiento ideal.
30 Hundimientos de Tensión Un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
En (27), los vectores 1 2, d d y 3d para cada tensor; son los vectores columna que
forman cada tensor.
Además, los vectores 1 2, d d y 3d tienen una relación predominante con las tensiones
instantáneas , a bu u y cu que forman la representación tensorial, así:
2
2
1 2 3
2
; ;
a a b a c
b a b b c
c a c b c
u u u u u
d u u d u d u u
u u u u u
(28)
Por ejemplo, el vector 1d tiene una relación predominante con la tensión instantánea
au , debido a que está presente en los tres términos que describen su ecuación.
3.2.1 Trayectoria característica del tensor de tensión en R3
Aplicar la propiedad de contracción a un tensor de segundo orden, permite obtener
un tensor de primer orden iy que difiere del tensor de primer orden jx (seleccionado
para la contracción) en dirección y magnitud. Este concepto se reduce a:
2
2
2
a a b a c a a
ij j i b a b b c b b
c a c b c c c
u u u u u x y
x y u u u u u x y
u u u u u x y
(29)
Existe un caso especial de la propiedad, donde iy es proporcional a jx , es decir:
ij j ix x (30)
Bajo esta condición, se obtiene la ecuación característica:
11 12 13
3 2
21 22 23 1 2 3
31 32 33
0a a a
(31)
donde:
Capítulo 3. Representación tensorial de la tensión 31
2 2 2
11 22 33 31
11 22 12 21 11 33 13 31 22 33 23 322
2 2 2 2 2 2
11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 313
2 2 2
0
a b
a b a b b a a c a c c a b c b c c b
a b c b c c b a b b
a u u u
a
u u u u u u u u u u u u u u u u u u
a
u u u u u u u u u u u
2 2 0a c b c c a a c b a c b b c au u u u u u u u u u u u u u
(32)
Por lo tanto, la ecuación característica se reduce a:
3 2 2
1 10a a (33)
con lo cual, las raíces (autovalores) de esta ecuación cúbica son:
1 1 2 3; 0a (34)
Para cada , la ecuación (30) permite obtener un autovector, así:
1 2 3
; 1 ; 0 , 0
1 0 1
a c b a c a
b c a ci i i
u u u u u u
x u u x x u u
(35)
Teniendo en cuenta que 2 3 0 , la única trayectoria característica es:
2 2 2
1 1 1
1
a c
i ij a b c b cj i
u u
y x x u u u u u
(36)
Con estos resultados es posible construir las trayectorias características del tensor
medido, ideal y de diferencia.
3.2.2 Interpretación física del tensor de tensión en R3
La interpretación física del formalismo tensorial, se realiza desde un punto de vista
geométrico, tal como se realiza para el tensor instantáneo de potencia en [27]. Para ello,
es necesario considerar un elemento de volumen para caracterizar y visualizar los
fenómenos eléctricos de la tensión en los sistemas trifásicos. Por conveniencia, el
elemento de volumen es de forma cúbica (Figura. 8), dada la implementación del tensor
de tensión de segundo orden en un sistema de coordenadas rectangulares.
32 Hundimientos de Tensión Un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
En la Figura. 8, las componentes ij del tensor actúan sobre la forma cúbica,
ejerciendo cambios en las dimensiones. Adicionalmente, se aprecia como los vectores
columna 1 2, d d , 3d ejercen una fuerza deformante con mayor relación en las caras del
cubo 1 2, C C y 3C respectivamente.
Figura. 8 Representación geométrica del tensor de tensión de segundo orden en R3
Para desplazar cada esquina del cubo, se utilizan los vectores 1 2, d d , 3d por una
cantidad proporcional. Este proceso, se muestra en la Figura. 9.
Dependiendo del tensor que sea utilizado en la deformación de las esquinas del cubo,
se generara una deformación diferente en la representación geométrica.
Capítulo 3. Representación tensorial de la tensión 33
Figura. 9 Cambio en las dimensiones de la representación geométrica
3.2.3 Evolución del tensor de tensión en R3
La trayectoria característica del tensor en R3 y la deformación geométrica del cubo,
pueden utilizarse para representar visualmente la evolución instantánea de las señales de
tensión en los sistemas trifásicos. Ante esta consideración, se presenta a manera de
ejemplo el formalismo tensorial para un hundimiento de tensión monofásico en la fase
b, como el que se muestra en la Figura. 10. En el mismo intervalo de tiempo, las fuentes
de tensión ideales descritas en la ecuación (23) forman el sistema trifásico ideal que se
muestra en la Figura. 11.
Figura. 10 Hundimiento de tensión monofásico medido
3d
1d
2d
1e2e
3e
1 3d d
1 2d d
2 3d d
1 2 3d d d
0 10 20 30 40 50 60
-1
-0.5
0
0.5
1
Tiempo[milisegundos]
Te
nsió
n [p
u]
Va(t)medido
Vb(t)medido
Vc(t)medido
34 Hundimientos de Tensión Un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
Figura. 11 Sistema trifásico ideal
Utilizando las señales de tensión de la Figura. 10 y Figura. 11 se han calculado los
tensores ideal
ij y med
ij . A partir de estos dos tensores, se ha calculado el tensor dif
ij .
Ahora bien, la trayectoria característica de cada tensor se obtiene realizando el
procedimiento que se presentó en el ítem 3.2. La curva característica del tensor ideal,
tensor medido y tensor diferencia se muestra en la Figura. 12, Figura. 13 y Figura. 14
respectivamente; en las cuales e1, e2 y e3 corresponden a los ejes en R3.
Figura. 12 Trayectoria obtenida con la proyección del tensor de tensión ideal
0 10 20 30 40 50 60
-1
-0.5
0
0.5
1
Tiempo[milisegundos]
Te
nsió
n [p
u]
Va(t)ideal
Vb(t)ideal
Vc(t)ideal
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
e1e
2
e3
Capítulo 3. Representación tensorial de la tensión 35
Figura. 13 Trayectoria obtenida con la proyección del tensor de tensión medido
Figura. 14 Trayectoria obtenida con la proyección del tensor de tensión diferencia
Tal como se puede apreciar en la Figura. 12, en condiciones ideales la trayectoria del
tensor ideal, corresponde a una circunferencia con una amplitud igual a la tensión máxima
al cuadrado. Por el contrario, la trayectoria característica del tensor medido que se
muestra en la Figura. 13, presenta un cambio de la circunferencia a una elipse. Dicha
trayectoria, presenta una contracción en el eje 2e . Ahora bien, la trayectoria característica
del tensor diferencia (Figura. 14) se mueve en el eje 2e , marcando el sentido de la
contracción generado por el hundimiento de tensión en la fase b.
En otro enfoque de visualización, la Figura. 15 muestra cómo se deforman las
representaciones geométricas (cubos) de los tensores de tensión de segundo orden ,ideal
ij
med
ij y dif
ij para ciertos instantes de tiempo del hundimiento analizado. Las
deformaciones (que en particular se muestran en la Figura. 15) ocurren en los tiempos
0 10 mst , 1 35 mst y 2 60 mst .
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
e1e
2
e3
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
e1e
2
e3
36 Hundimientos de Tensión Un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
Figura. 15 Deformaciones de la representación geométrica
Los instantes de tiempo 0t y 2t corresponden a un segmento donde las señales de
tensión medidas tienen un comportamiento ideal. Por tanto, los tensores ideal
ij y med
ij
son iguales, con lo cual las componentes de dif
ij son cero. En esta condición, el tensor
dif
ij no genera una deformación del cubo; por lo cual la interpretación física en estos
instantes es que no existe una desviación de las condiciones ideales de la tensión. En
cambio, 1t corresponde a un instante de tiempo en que la tensión máxima de la fase b se
ve disminuida a mU (siendo 1 ). Por lo cual, en este instante de tiempo existe una
diferencia entre las componentes de ideal
ij y med
ij . Esta diferencia, se ve representada en
0 10 20 30 40 50 60
-1
-0.5
0
0.5
1
Tiempo[milisegundos]
Te
nsió
n [p
u]
Medido
Ideal
Diferencia
Va(t)signal
Vb(t)signal
Vc(t)signal
2e
3e
1e
Capítulo 3. Representación tensorial de la tensión 37
la deformación que genera el tensor dif
ij .
En el instante 1t , la deformación del cubo generada por el tensor med
ij se ve
comprimida en la cara 2C del cubo. En consecuencia, la deformación generada por el
tensor diferencia este instante, se ve mayoritariamente representada en una expansión de
la cara 2C del cubo. Lo anterior, se debe a que el vector 2d es el que mayor relación tiene
con la fase afectada por el hundimiento, en este caso la fase b.
3.3. Evaluación de las magnitudes del Tensor
Ahora bien, para medir y evaluar el estado de la calidad de la tensión, es necesario
definir parámetros que cuantifiquen un estado óptimo. Para lo cual, en este ítem se realiza
una evaluación de las magnitudes del tensor en condiciones ideales y ante un hundimiento
de tensión. A manera de ejemplo, se utiliza la señal de la Figura. 7.
Ahora bien, se evalúa la norma de Frobenius teniendo en cuenta que permite medir
la magnitud de las componentes del tensor en una sola variable; su evolución para el
hundimiento de la Figura. 7 se muestra en la Figura. 16. La norma en condiciones ideales,
presenta un comportamiento constante con un valor igual a 3 veces la tensión eficaz al
cuadrado 23U ( 2mU U ); mientras que, durante el hundimiento se genera una
oscilación con un pico mínimo ( minP ) con un valor igual a 2U ( 22 1 ) y un pico máximo
( maxP ) igual a 23U .
Figura. 16. Evolución de la norma de Frobenius de Ґij
0 10 20 30 40 50 60
Tiempo [milisegundos]
ij
[V
2]
3U2
Pmin
Pmax
tinicio
tf inal
38 Hundimientos de Tensión Un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
Figura. 17. Evolución de la magnitud de los vectores d1, d2 y d3
Simultáneamente, la magnitud de los vectores 1 2, d d y 3d tiene el comportamiento que
se muestra en la Figura. 17; en la cual, se ha marcado el instante del pico máximo ( maxPt )
de la norma de Frobenius.
En condiciones ideales, la magnitud de los 3 vectores presenta una oscilación con un
valor mínimo cero y un valor máximo igual a 4 veces la tensión eficaz al cuadrado 24U .
Por otra parte, durante el hundimiento de tensión, el menor valor de los tres vectores en
el instante de tiempo maxPt , corresponde al vector afectado por el hundimiento, es decir,
a la fase a. En este instante de tiempo, este comportamiento permite identificar la fase
afectada por el hundimiento.
Por consiguiente, para extraer información cuantitativa los picos máximos y mínimos
de la norma de Frobenius son fáciles de identificar y tienen una relación directa con la
tensión eficaz y con la tensión residual. Por otro lado, el menor valor de la magnitud de
los vectores 1 2, d d y 3d en el instante de tiempo maxPt (que será denotado por | mind |), está
directamente relacionado con la fase afectada por el hundimiento. Ahora bien, se
presenta a manera de ejemplo el comportamiento del pico máximo y mínimo de la norma
de Frobenius y el vector | mind |, ante la ocurrencia de hundimientos de tensión con
diferentes variaciones de clase de hundimiento (monofásico 1 , bifásico 2 o trifásico
3 ), , , , ángulo de inicio del hundimiento ( ), U y fases afectadas. En todos los
casos, se ha impuesto una duración del hundimiento ( D ) de 2 ciclos. En la Tabla 7 se
listan los resultados de los parámetros tensoriales para diferentes casos del ejemplo en
estudio. En la Tabla 7 para hundimientos monofásicos, el pico máximo siempre fue igual
a 3 veces la tensión eficaz al cuadrado, sin importar la fase afectada por el hundimiento,
0 10 20 30 40 50 60
Tiempo [milisegundos]
|Ve
cto
res
ij| [V
2]
tP
max
3U2
tinicio
tf inal
|d1|(t) |d2|(t) |d3|(t)
Capítulo 3. Representación tensorial de la tensión 39
el factor de la tensión residual o el ángulo de inicio de la falla. Por otra parte, el pico
mínimo cambió en los doce casos y sufría únicamente respecto al factor de la tensión
residual. Como se puede apreciar entre la cuarta y sexta fila, las únicas variables que
permanecieron constantes fueron 0.42 y la tensión eficaz U y para todos los casos,
minP fue igual a 3 216.36 Ve . Por otra parte, la fase afectada por el hundimiento siempre fue
la que estuvo relacionada con el vector | mind |. Para hundimientos bifásicos, el pico
máximo cambio al igual que el mínimo en función del factor de la tensión residual y la
tensión eficaz U . Este cambio no era influenciado por el ángulo de inicio del
hundimiento, o por las fases afectadas. Por último, la magnitud de dos vectores era igual
en el instante de tiempo maxPt y eran inferiores a la que no estaba afectada por el
hundimiento.
Por último, para los hundimientos trifásicos no existió una diferencia entre los valores
del pico máximo y mínimo; los cuales cambiaban únicamente con una variación del factor
de la tensión residual y la tensión eficaz. Este comportamiento se presentó sin importar
la tensión residual o el punto de inicio del hundimiento. Por lo tanto, no fue posible
determinar un instante de tiempo maxPt para definir el vector | mind |. Por lo anterior, este
parámetro se definió como NC o no calculado.
Tabla 7. Resultados de simulación para diferentes valores de α, θ, U y fases afectadas
CLASE DE HUNDIMIENTO
FASE AFECTADA
PARÁMETROS DEL HUNDIM. RESULTADOS TENSORIALES
[ ]U V 2
max[V ]P 2
min[V ]P mind
1 aU 110 0,5 1 1 45 36,3e3 18,15e3 1d
1 cU 220 1 1 0,28 135 145e3 55,9e3 3d
1 bU 13200 1 0,8 1 15 522,72e6 397,26e6 2d
1 bU 110 1 0,42 1 30 36,3e3 16,36e3 2d
1 aU 110 0,42 1 1 45 36,3e3 16,36e3 1d
1 cU 110 1 1 0,42 120 36,3e3 16,36e3 3d
1 aU 110 0,7 1 1 45 36,3e3 23,95e3 1d
1 cU 220 1 1 0,28 135 145,2e3 55,98e3 3d
1 bU 220 1 0,42 1 15 145,2e3 65,47e3 2d
1 bU 220 1 0,42 1 30 145,2e3 65,47e3 2d
1 aU 13200 0,42 1 1 30 522,72e6 235,71e6 1d
1 cU 13200 1 1 0,42 60 522,72e6 235,71e6 3d
2 bU , cU 110 1 0,48 0,48 0 26,98 e3 8,36 e3 2 3,d d
40 Hundimientos de Tensión Un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
2 cU , aU 220 0,13 1 0,13 30 97,61 e3 2,45 e3 1 3,d d
2 aU , bU 13200 0,52 0,52 1 60 395,59 e6 141,34 e6 1 2,d d
2 aU , bU 110 0,52 0,52 1 30 27,47 e3 9,815 e3 1 2,d d
2 bU , cU 110 1 0,52 0,52 30 27,47 e3 9,815 e3 2 3,d d
2 cU , aU 110 0,52 1 0,52 30 27,47 e3 9,815 e3 1 3,d d
2 cU , aU 110 0,50 1 0,50 30 27,25 e3 9,07 e3 1 3,d d
2 bU , cU 220 1 0,48 0,48 0 107,95 e3 33,45 e3 2 3,d d
2 cU , aU 220 0,13 1 0,13 30 97,61 e3 2,453 e3 1 3,d d
2 aU , bU 220 0,52 0,52 1 60 109,88 e3 39,26 e3 1 2,d d
2 aU , bU 13200 0,52 0,52 1 30 395,59 e6 141,34 e6 1 2,d d
2 bU , cU 13200 1 0,52 0,52 30 395,59 e6 141,34 e6 2 3,d d
2 cU , aU 13200 0,52 1 0,52 30 395,59 e6 141,34 e6 1 3,d d
2 cU , aU 13200 0,50 1 0,50 30 392,04 e6 130,68 e6 1 3,d d
3 aU , bU , cU 110 0,25 0,25 0,25 90 2,268 e3 2,268 e3 NC
3 aU , bU , cU 220 0,34 0,34 0,34 12 16,78 e3 16,78 e3 NC
3 aU , bU , cU 13200 0,12 0,12 0,12 49 7,52 e6 7,52 e6 NC
3 aU , bU , cU 110 0,12 0,12 0,12 80 522,72 522,72 NC
3 aU , bU , cU 110 0,12 0,12 0,12 150 522,72 522,72 NC
3 aU , bU , cU 110 0,25 0,25 0,25 90 2,26 e3 2,26 e3 NC
3 aU , bU , cU 110 0,34 0,34 0,34 12 4,19 e3 4,19 e3 NC
3 aU , bU , cU 220 0,12 0,12 0,12 49 2,09 e3 2,09 e3 NC
3 aU , bU , cU 13200 0,12 0,12 0,12 80 7,52 e6 7,52 e6 NC
3 aU , bU , cU 13200 0,12 0,12 0,12 150 7,52e6 7,52e6 NC
A partir de los valores obtenidos de pico máximo y mínimo de la norma de Frobenius
para los escenarios estudiados, se ha podido detectar la relación que estos tienen según
el factor de tensión residual ( fU ) y la clase de hundimiento (monofásico,
bifásico o trifásico). Estas relaciones, se listan en la Tabla 8.
Tabla 8. Parámetros tensoriales según la clase de hundimiento
CLASE DE HUNDIMIENTO PICO MAXIMO ( maxP ) PICO MINIMO ( minP )
Monofásicos 23U
2 22 1fU U
Bifásicos 2 2 2fU U
2 23 fU U
Trifásicos 2 23 fU U
2 23 fU U
Tal como se presenta en la Tabla 8, cada clase de hundimiento tiene un conjunto de
ecuaciones que describen el valor que deben tomar los picos máximos y mínimos de la
Capítulo 3. Representación tensorial de la tensión 41
norma de Frobenius. A partir de lo cual, es posible calcular la tensión residual.
3.4. Síntesis
En este capítulo se presenta un nuevo formalismo para representar las señales de
tensión en los sistemas trifásicos.
A partir del producto tensorial, se propone la definición del tensor de tensión de
segundo orden en condiciones ideales y reales (medidas) del sistema eléctrico. Estos dos
tensores, han permitido generar un tensor de diferencia, que describe la desviación del
estado óptimo del suministro de la tensión instantánea en los sistemas trifásicos.
Una evaluación del comportamiento de la representación de los sistemas trifásicos,
ha permitido visualizar el efecto de los hundimientos de tensión en la deformación de la
curva característica y un elemento de volumen. Permitiendo definir inclinaciones
características generadas por ciertos hundimientos.
Adicionalmente, se ha identificado que la norma de Frobenius presenta un
comportamiento oscilante que revela un deterioro generado por los hundimientos de
tensión. Basándose en lo anterior, puede generarse un algoritmo de segmentación
análogo al método de residuos. Por otra parte, esta norma permite diferenciar
hundimientos monofásicos, bifásicos y trifásicos a partir de los valores de los picos
máximo y mínimo; además que describen una relación con la tensión residual del
hundimiento y la tensión eficaz en condiciones nominales.
Por último, el vector con magnitud mínima en el instante de tiempo maxPt permite
identificar la fase o fases afectadas por el hundimiento de tensión.
Teniendo en cuenta lo anterior, la expresión del tensor de tensión de segundo orden
y su análisis a partir del álgebra tensorial permite extraer los parámetros globales para la
segmentación y posterior clasificación de los hundimientos de tensión.
42
CAPÍTULO 4
SEGMENTACIÓN DE LOS HUNDIMIENTOS DE TENSIÓN
A a
Una nueva propuesta para realizar la segmentación de los hundimientos de tensión es presentada
en este capítulo. Para esto, se utiliza la propiedad 4 del tensor de tensión de segundo orden para
generar un indicador de desviación de la tensión en los sistemas trifásicos. Basándose en este
indicador, se realiza una estimación a partir de un filtro Kalman modificado. La modificación en
el filtro Kalman, se realiza para aumentar su velocidad de convergencia. Con lo anterior, se propone
una variación al método de seguimiento de residuos, que ha sido bautizada por los autores como
Tensor-DSA “Tensor Deformation Segmentation Algorithm”.
Capítulo 4. Segmentación de los hundimientos de tensión 43
44 Hundimientos de tensión un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
4. SEGMENTACIÓN DE LOS
HUNDIMIENTOS DE TENSIÓN
L PRIMER paso en el análisis de los hundimientos de tensión, corresponde al
proceso de segmentación para identificar con precisión el intervalo de tiempo en
que está ubicado el segmento estacionario del hundimiento.
En este capítulo se presenta una nueva propuesta para realizar la segmentación de los
hundimientos de tensión. La propuesta está basada en el método de segmentación de
seguimiento de residuos explicada en la sección 2.2.2.
Esta propuesta, realiza la estimación a la norma de Frobenius del tensor de tensión
de segundo orden. La estimación, se realiza a partir de un filtro Kalman con una
modificación propuesta en la etapa de predicción; con lo cual, incrementa su velocidad
de convergencia. Con lo anterior, se propone una nueva técnica, que ha sido bautizada
por los autores como Tensor-DSA “Tensor Deformation Segmentation Algorithm”.
Finalizando el capítulo, se presenta la validación y comparación de esta novedosa
propuesta contra métodos del estado del arte, mostrando las ventajas obtenidas.
4.1. Método de segmentación propuesto “Tensor-DSA”
La segmentación de los hundimientos de tensión, se realiza al identificar cambios
repentinos en las señales de tensión medidas. Para realizar esta identificación, se suele
comparar un indicador de detección contra un umbral. Para llevar a cabo este proceso,
en esta investigación se propone una nueva técnica llamada Tensor-DSA “Tensor
Deformation Segmentation Algorithm”.
El método de segmentación propuesto, tiene un total de 5 etapas, las cuales se
muestran en la Figura. 18.
E
Capítulo 4. Segmentación de los hundimientos de tensión 45
Figura. 18. Método de segmentación propuesto Tensor-DSA
4.1.1 Etapa de procesamiento
El método de segmentación propuesto, genera un solo indicador de detección para
las señales de tensión de los sistemas trifásicos. Para ello, extrae de la nueva
representación tensorial de la tensión un indicador representativo. De los resultados
obtenidos en la sección 3.3, se visualizó que la norma de Frobenius del Tensor de Tensión
de Segundo Orden , tiene un valor constante en condiciones ideales. Por otra parte,
ante la ocurrencia de los hundimientos de tensión presenta un cambio a una oscilación si
es monofásico o bifásico; y a un valor constante menor a condiciones ideales si es
trifásico. Es por tanto, un parámetro que permite realizar un seguimiento para identificar
los instantes de tiempo en que ocurre un hundimiento.
Inicialmente, para obtener este parámetro se utilizan las ecuaciones (15) y (19), tal
como se presenta en la Figura. 19; en la cual, se presenta a manera de ejemplo un
hundimiento de tensión OR_001 capturado por el operador de red del área local; en una
subestación que alimenta un circuito industrial de la ciudad de Manizales.
Etapa de procesamiento
3 3
2
1 1
ij
i j
Tensor de tensión
a a
ij b b
c c
u u
u u
u u
Norma de Frobenious
Entrada: , , a b cu u u
Salida: Fm
Etapa de estimación
Entrada:
Salida: , Fm Fe
Fm
11ˆ
k kk kx x w
| 1ˆ
kFe k ktHx v
2
1tk
T
q k kH x
2
120
2
10dc Hz q
k
q
otras componentes
Q Q
Q
Q
Filtro de Kalman
propuesto
Etapa de adecuación
Entrada:
Salida:
, Fm Fe
k kk F t Fe t
t
Calculo del residuo
Índice de detección
2
1( )
k
i k W
DI k iW
1
( ) 3n V
i n V
Umbral d iV
Umbral adaptativo
, DI k Umbral d
Etapa de detección
Comparación umbral
DI k Umbral d
DI k Umbral d
Entrada:
Salida: medido
it
, DI k Umbral d
Señales de tensión medidas
Etapa de identificación
de segmentos
Segmento estacionario
2 3 _1
4 5 _ 2
2 1 _
, S
, S
, S
medido medidosh
medido medidosh
medido medidon n sh n
t t
t t
t t
Entrada:
Salida: _ishS
medido
it
46 Hundimientos de tensión un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
Este hundimiento, presenta dos segmentos estacionarios en su duración. Los
instantes que limitan los segmentos estacionarios y transitorios, se han marcado en la
Figura. 19 en color negro y línea punteada. La fase a, b y c se presentan en color rojo,
azul y amarillo con línea discontinua, punteada y continua respectivamente.
El primer segmento estacionario, corresponde a un hundimiento bifásico durante el
intervalo de la zona 2. Posteriormente, las tres fases se ven involucradas en la zona 3. Por
último, la zona 4 presenta la recuperación del sistema trifásico. El hundimiento, inicia
cerca a los -71 milisegundos y finaliza cerca los 41 milisegundos.
Figura. 19. Etapa de procesamiento Tensor-DSA
Simultáneamente, Fm presenta una oscilación en la zona 2 y un valor constante
menor al ideal en la zona 3. Las zonas 1 y 4, presentan un valor casi constante igual a tres
veces 2U ; acorde con lo que se reportó en la sección 3.4. Por tanto, su seguimiento
permite identificar un cambio abrupto en el sistema trifásico en una sola variable.
La variación de Fm puede ser detectada mediante el concepto de “seguimiento de
residuos”. Para lo cual, es necesario realizar una etapa de estimación.
Etapa de procesamiento
3 3
2
1 1
ij
i j
Tensor de tensión
a a
ij b b
c c
u u
u u
u u
Norma de Frobenious
Entrada: , , a b cu u u
Salida: Fm
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
Tiempo [milisegundos]
Am
plitu
d [V
]
tinicio
tf inal
Um
-Um
Zona1| | Zona
2| | Zona3| | Zona
4| |
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
Tiempo [milisegundos]
Fm
[V
2]3U
2
0
t=-90 ms t=-45 ms t=3 ms t=50 ms t=100 ms
2Vij
. . .1,08 -0,51 -0,85
-0,51 0,24 0,40
-0,85 0,40 0,67
0,63 -0,96 0,55
-0,96 1,48 -0,84
0,55 -0,84 0,48
0,67 -0,93 0,03
-0,93 1,31 -0,05
0,03 -0,05 0,00
0,07 0,30 -0,29
0,30 1,23 -1,22
-0,29 -1,22 1,21
0,04 0,23 -0,22
0,23 1,35 -1,26
-0,22 -1,26 1,18
2VFm
23U 22 3 U 22 3 U23U
23U
Capítulo 4. Segmentación de los hundimientos de tensión 47
4.1.2 Etapa de estimación
Ahora bien, teniendo en consideración las limitaciones que impone la herramienta de
estimación en el resultado de la segmentación; se propone una modificación al filtro
Kalman (expuesto en el apéndice A). Lo anterior, con el fin de aumentar su velocidad de
convergencia. Esta modificación, está fundamentada en el trabajo que presenta Rakhee
en [36] y Cesar Duarte en [37].
Rakhee, demuestra que la covarianza del modelo puede ser calculada como el valor
absoluto obtenido en una función de innovación. En esta función de innovación, se
calcula la diferencia entre los valores medidos cada muestra ( kz t ) y la medición ( H ) del
modelo estimado ( kx ), así:
2 T
q k kz t H x (37)
Este valor de covarianza, tiene un valor alto en los intervalos de cambios abruptos
entre la señal estimada y la medición; mientras que, al alcanzar un intervalo estacionario
el valor de covarianza disminuye. En consecuencia, la capacidad del modelo para
adaptarse a los cambios aumenta; sin sacrificar la exactitud de las estimaciones en estado
estacionario. De esta forma, la covarianza del error en la predicción kP cambia muestra a
muestra. Subsiguientemente en la etapa de corrección, se modifica también el cálculo de
la ganancia kK siendo variante en el tiempo.
Por otra parte, Cesar Duarte estudia los efectos al dar prioridad a ciertas componentes
de la matriz Q de mayor variabilidad de la señal, y como esto aumenta la rapidez de
convergencia de la estimación. Tal como se presentó en la sección 3.3, Fm tiene una alta
variación de la componente directa antes y después de los hundimientos de tensión y la
componente de 120 Hz durante la ocurrencia de los mismos. Por lo cual, son las
componentes prioritarias en la matriz Q .
Integrando las propuestas de Cesar Duarte en [37] y de Rakhee en [36] en un solo
proceso de filtrado; surge la modificación propuesta de este trabajo de investigación. Esta
variación, se propone en la etapa de predicción, con lo cual esta etapa queda definida
como se presenta en la Figura. 20.
Al estimar la norma medida Fm se obtiene el parámetro estimado Fe con el cual se
obtendrá el residuo. En la Figura. 21 se han sobrepuesto los valores medidos y estimados,
48 Hundimientos de tensión un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
donde se aprecia la precisión con que la estimación sigue a la señal. En el presente
modelo, se consideran 20 componentes armónicas de la frecuencia fundamental y una
componente directa en dc. Con esto, la dimensión de la matriz de transición () y de la
matriz de medición (H) es de 41 x 41 y 1 x 41, respectivamente. El orden del modelo, se
ha definido con base en los parámetros propuestos por Styvaktakis en [13].
Figura. 20. Etapa de predicción del filtro Kalman – Modelo propuesto
Figura. 21. Parámetro estimado Tensor-DSA
4.1.3 Etapa de adecuación
Posteriormente, es necesario calcular la desviación entre la señal medida Fm y la señal
estimada Fe . El residuo en un instante de tiempo kt es calculado mediante la ecuación
(38). El residuo calculado se muestra en la Figura. 22.
k kk F t Fe t
t
(38)
2
1tk
T
q k kH x
2
120
2
10dc Hz q
k
q
otras componentes
Q Q
Q
Q
Etapa de predicción
1 1
k k k kx P
Entrada: 1 1ˆ k kx P
11ˆ
k kk kx x w
11
T
k kk kP P Q
Salida:
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
Tiempo [milisegundos]
F [V
2]
3U2
0
Fm
Fe
Capítulo 4. Segmentación de los hundimientos de tensión 49
Posteriormente, se calcula una media móvil para detectar los cambios abruptos entre
el error obtenido por la estimación. La media móvil, es el índice único DI que será
comparado contra un umbral; para detectar los instantes de transición de un estado en
condiciones ideales, a un estado estacionario de un hundimiento de tensión.
Figura. 22. Residuo Tensor-DSA
El índice único se calcula según la ecuación (39); en la cual, W es el tamaño de la
ventana deslizante y k corresponde al instante de tiempo kt .
2
1( )
k
i k W
DI k iW
(39)
Dada la modificación al filtro Kalman, es posible utilizar una ventana W de un octavo
de ciclo. En la Figura. 23, se muestra el DI calculado del hundimiento OR_001. El
intervalo de tiempo de los picos del índice de detección, corresponden a los segmentos
transitorios. Estos segmentos, delimitan el cambio de un segmento estacionario ideal a
uno perturbado por un hundimiento de tensión.
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-0.02
0
0.02
0.04
0.06
Tiempo [milisegundos]
[t
k]
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-2
0
2
4
6
8
10
x 10-5
Tiempo [milisegundos]
DI(
k)
50 Hundimientos de tensión un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
Figura. 23. Índice de detección Tensor-DSA
Subsiguientemente, se computa un umbral adaptativo para evitar que una señal
contaminada con ruido genere la detección de falsos segmentos, una condición, que
puede generarse al utilizar un umbral de detección fijo [33]. Al igual que otros autores
[16],[33] se puede utilizar el índice de detección para actualizar el umbral de detección.
Para lograr esto, se calcula el valor promedio de DI durante una media móvil de medio
ciclo, tal como se describe en la ecuación (40); donde, V es igual a un cuarto de ciclo.
Adicionalmente, d se actualiza cada medio ciclo. El tiempo de actualización, sirve para
asegurar que fluctuaciones en el índice de detección no generen la detección incorrecta
de los instantes de transición del hundimiento. Una fluctuación en el índice de detección,
puede ser generada por hundimientos con alta variación en el intervalo transitorio entre
segmentos estacionarios. Se ha elegido el valor de medio ciclo, teniendo en consideración
los estudios llevados a cabo por Styvaktakis en [13]. El umbral calculado para este
hundimiento, se muestra en la Figura. 24. Como medida preventiva, se ha establecido un
umbral mínimo de referencia igual a 1e-5.
1
( ) 3n V
i n V
Umbral d DI iV
(40)
Figura. 24. Umbral adaptativo Tensor-DSA
4.1.4 Etapa de detección
Posterior a la etapa de adecuación, se realiza una etapa de detección; para lo cual se
compara el índice de detección DI contra el umbral calculado Umbral ( d ). En esta etapa,
el objetivo es detectar los instantes de transición en DI . Para diferenciar los segmentos
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-2
0
2
4
6
8
x 10-5
Tiempo [milisegundos]
Um
bra
l(d
)
Capítulo 4. Segmentación de los hundimientos de tensión 51
transitorios y estacionarios, se busca detectar dos instantes de transición en cada pico de
DI . Tal como se describe en la ecuación (41).
1
1
t
t
medido
medido
end
DI k Umbral d
DI k Umbral d
(41)
Figura. 25. Detección de instantes de transición Tensor-DSA
A manera de ejemplo, para el hundimiento OR_001 se muestra en la Figura. 25 los
instantes de transición detectados. En esta etapa, el método Tensor-DSA detecta los
primeros instantes de transición que limitan la zona 1 y la zona 2; así también como los
instantes que limitan la zona 2 y 3. Posteriormente, gracias a la adaptación del umbral al
índice de detección, en el límite entre la zona 3 y zona 4 se evita la sobre detección de
instantes de transición; una condición que puede surgir al utilizar un umbral fijo.
4.1.5 Etapa de identificación de segmentos
A partir del resultado de la etapa de detección, se determina el intervalo del estado
estacionario del hundimiento. Para ello, los segmentos estacionarios se delimitan tal
como se describe en la siguiente ecuación:
2 3 _1
2 1 _
, S
, S
medido medidosh
medido medidon n sh n
t t
t t
(42)
Para el hundimiento analizado, se identificaron dos segmentos estacionarios del
hundimiento de tensión _1shS y _ 2shS , los cuales se muestran en la Figura. 26.
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-5
0
5
10
x 10-5
Tiempo [milisegundos]
Índ
ice
de
tecció
n
medidot1
medidot2
medidot3
medidot4
medidot5
medidot6
DI(k) Umbral(d)
52 Hundimientos de tensión un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
A partir de la identificación de los segmentos estacionarios del hundimiento puede
realizarse un análisis por intervalos. De esta forma, es posible extraer las características
del hundimiento en el segmento bifásico y trifásico por separado.
Figura. 26. Identificación de segmentos Tensor-DSA
Un primer avance de este método ha sido presentado y defendido en [35].
4.2. Validación del método de segmentación propuesto
Ahora bien, para realizar una validación del método de segmentación propuesto, se
presentan los resultados al estudiar un conjunto de bases de datos con registros artificiales
y reales. Para cada base de datos, se presentan ejemplos aplicativos, resultados estadísticos
y una discusión de los resultados obtenidos. En todos los casos, los resultados se han
obtenido en simulación off-line, mediante algoritmos desarrollados en la plataforma
MATLAB®; para una comparación contra los métodos del estado del arte, se han
aplicado en la plataforma MATLAB® como se explica en el anexo B.
4.2.1 Registros artificiales
Para llevar a cabo esta validación, es necesario evaluar los resultados obtenidos ante
variaciones típicas de los hundimientos. En consecuencia, se generaron hundimientos
artificiales en la plataforma MATLAB® con variaciones de la tensión residual fV , el
ángulo de inicio de la falla y las fases con disminución de la magnitud de tensión.
Adicionalmente, se evaluaron 7 escenarios: (a) hundimientos monofásicos con
disminución en la fase a, b o c, (b) bifásicos con disminución en las fases ab, bc o ca y
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
Tiempo [milisegundos]
Am
plitu
d [V
]
tinicio
tf inal
Um
-Um
Zona1| | Zona
2| |
Ssh
1
Zona3| |
Ssh
2
Zona4| |
Capítulo 4. Segmentación de los hundimientos de tensión 53
por último (c) con disminución en las tres fases abc. Para cada posible escenario, se
realizó una variación de fV en 0,1 pu (en por unidad) desde 0,1 pu hasta 0,9 pu y del
ángulo de inicio de la falla de 5º desde 0° hasta 180°.
Con lo anterior, han sido generados 1197 hundimientos de tensión. Esta validación
se lleva a cabo, dado que los anteriores parámetros están altamente relacionados con los
retrasos de la tendencia tradicional de segmentación [11].
4.2.1.1 Resultados de simulación off-line – ejemplo aplicativo
Dado que la variación de los registros artificiales se realiza en el inicio del
hundimiento, solo se ha calculado el retraso rt del método propuesto para detectar este
instante mediante la ecuación (43). Para visualizar de forma más detallada el retraso
obtenido, se presenta un diagrama de contorno interpolando los resultados de 171
hundimientos monofásicos de la fase a, tal como se muestra en la Figura. 27. Aquí, el
retraso se ha diferenciado por medio de una asignación de color; el color azul oscuro
equivale al menor retraso posible, mientras que, el color rojo oscuro representa el mayor
retraso obtenido.
real medido
r i it t t (43)
Figura. 27. Retraso obtenido para hundimientos monofásicos fase a Tensor-DSA
0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800
20
40
60
80
100
Ángulo de inicio del hundimiento [grados]
Tensió
n resid
ual [p
u]
Re
tra
so
[m
ilis
eg
un
do
s]
0
0.65
1.30
1.95
2.60
3.25
54 Hundimientos de tensión un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
El retraso obtenido por el método propuesto, es inferior a un cuarto de ciclo del
periodo de la señal; con lo cual, la detección del instante inicial es casi instantánea.
4.2.1.2 Resultados de simulación off-line – parámetros estadísticos
Ahora bien, se ha aplicado el método Tensor-DSA y los métodos de segmentación
del estado del arte a un total de 1197 hundimientos de tensión. Los métodos del estado
del arte son aplicados como se expone en la sección 2.2. Para cada uno de ellos, se ha
calculado el retraso obtenido en detectar el instante inicial mediante (43). Para realizar la
comparación, se ha calculado el percentil 95 de los retrasos obtenidos _ 95perc
rt y el retraso
promedio pro
rt en milisegundos; tal como se lista en la Tabla 9. En la cual, el método
Tensor-DSA ha obtenido el menor retraso en todos los casos estudiados.
Tabla 9. Retraso en los instantes de detección [ms]
FASES AFECTADAS VALORES EFICACES RESIDUAL WSA SV TENSOR DSA
_ 95perc
rt pro
rt _ 95perc
rt pro
rt _ 95perc
rt pro
rt _ 95perc
rt pro
rt
aU 19,589 5,792 5,955 1,822 11,844 3,905 1,659 0,488
bU 16,823 5,434 5,922 1,757 11,389 3,807 3,579 0,781
cU 28,276 6,703 6,150 1,757 11,844 3,937 2,896 0,911
aU , bU 16,823 4,621 4,458 1,269 10,055 2,831 0,748 0,228
bU , cU 16,725 4,621 4,425 1,269 10,055 2,831 1,887 0,456
cU , aU 19,133 4,946 4,425 1,269 10,282 2,896 1,920 0,260
aU , bU , cU 16,725 4,263 4,132 1,106 9,924 2,440 0,911 0,293
4.2.1.3 Discusión de los resultados obtenidos
El _ 95perc
rt de los métodos del estado del arte, supera en todos los casos un cuarto de
ciclo de la señal. En casos extremos, el método SV y el de valores eficaces son superiores
a medio ciclo y un ciclo de la señal, respectivamente. Lo cual es crítico, considerando que
la duración de los hundimientos está definida desde medio ciclo, tal como se presentó en
la sección 2.1. Por otra parte, el retraso obtenido con el método Tensor-DSA, no supera
los 0,65 milisegundos para la mayoría de los casos estudiados. El _ 95perc
rt de este retraso
fue de 1,659 milisegundos o un décimo de ciclo. Con lo anterior, la identificación del
hundimiento de tensión es casi instantánea. Gracias a ello, los instantes de transición y
por ende la duración del evento pueden ser determinados con gran precisión. Solamente
56 hundimientos de 1197 segmentados por el método Tensor-DSA presentaron un
Capítulo 4. Segmentación de los hundimientos de tensión 55
retraso mayor a este valor, llegando al caso extremo de 3,8 milisegundos de retraso;
correspondiente a menos de un cuarto de ciclo.
De los tres algoritmos del estado del arte, el que mayor cercanía obtuvo con el método
propuesto fue el método Residual-WSA. Aun así, la complejidad para aplicar este método
es superior al método propuesto. Dado que es necesario realizar un seguimiento de cada
fase del sistema.
El retraso del método propuesto Tensor-DSA es el más bajo de todos los métodos
implementados; tanto para la medida del percentil 95 como del promedio obtenido.
4.2.2 Registros reales
Se ha realizado una validación del método de segmentación propuesto contra un
conjunto de registros capturados por el “DOE/EPRI National Database Repository of Power
System Events” [25]; y registros capturados por el operador de red del área local, en una
subestación de media tensión que alimenta un circuito industrial. Ambas bases de datos,
representan una colección de eventos en sistemas de potencia con diferentes clases de
perturbaciones. De esta colección de registros, es posible encontrar una cantidad de
hundimientos significativa y de comportamiento aleatorio. Lo anterior, permite validar el
método Tensor-DSA ante señales de características no controladas.
4.2.2.1 Resultados experimentales off-line – ejemplo aplicativo
A manera de ejemplo, se segmenta el hundimiento de tensión 281 de la base de datos
DOE-EPRI; el cual, fue generado por un impacto de un vehículo contra un poste. Este
hundimiento se presenta en la Figura. 28; donde, los instantes que limitan los segmentos
estacionarios y transitorios, se han marcado en color negro y línea punteada. La fase a, b
y c se presentan en color rojo, azul y amarillo con línea discontinua, punteada y continua
respectivamente.
En este hundimiento, solo las fases a y c se vieron involucradas. Se presentan 2
segmentos con hundimientos de tensión. El cual inicia con un leve incremento cerca a
los 20 milisegundos; posteriormente, presenta una caída significativa cerca a los 80
milisegundos; por último, presenta una recuperación luego de los 150 milisegundos.
Se presenta en la Figura. 29 el índice de detección junto con el umbral calculado, al
utilizar el método Tensor-DSA para este registro.
56 Hundimientos de tensión un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
Figura. 28. Registro 281 de la base de datos DOE-EPRI [25]
Figura. 29. Índice de detección Tensor-DSA
A simple vista, el índice de detección muestra solamente 2 picos de segmentos de
transición. Sin embargo, el umbral se adapta a las variaciones del índice de detección; con
lo cual, identifica un segmento adicional cerca a los 80 milisegundos.
Debido al cambio abrupto de la señal, el índice de detección supera al umbral
solamente en los instantes de estado transitorio. Siendo posible, segmentar de manera
precisa los intervalos de estado transitorio y de estado estable del registro bajo estudio.
Los instantes de transición identificados, mediante una inspección visual, por el
método propuesto y por los métodos del estado del arte, se listan en la Tabla 10. Es de
aclarar, que el método de valores eficaces y el método SV, solamente tienen la capacidad
de detectar el instante inicial y final; por tanto, en los instantes que no pueden detectar se
asigna la sigla “---”. Adicionalmente, se ha denotado con la sigla “ND” los instantes no
detectados y por “SD” los instantes sobre detectados.
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Tiempo [milisegundos]
Am
plitu
d [V
]
Um
-Um
Zona1
| | Zona2| | Zona
3| |Zona
4| |
0 20 40 60 80 100 120 140 160-5
0
5
10
x 10-4
Tiempo [milisegundos]
Índ
ice
de
tecció
n
DI(k) Umbral(d)
Capítulo 4. Segmentación de los hundimientos de tensión 57
Tabla 10. Instantes de transición [ms] para el registro DOE-EPRI 281
MÉTODO DE SEGMENTACIÓN INSTANTES DE TRANSICIÓN [MILISEGUNDOS]
1t 2t 3t 4t 5t 6t
INSPECCIÓN VISUAL 16 18,5 82 84 158 160
TENSOR-DS 15,81 18,05 85,57 86,06 157,00 158,95
VALORES EFICACES --- 25 --- --- ND ---
RESIDUAL-WSA 16,10 36,15 84,34 97,84 156,80 ND
SV --- 17,21 --- --- 174,14 ---
De igual forma, se ha realizado el proceso de segmentación para registros adicionales
de la base de datos del DOE-EPRI. Inicialmente, se lista en la Tabla 11, 4 registros que
abarcan la posibilidad de detectar solamente el inicio del hundimiento (registro 66), un
soló segmento (registro 207), dos segmentos (registro 281) y tres segmentos con
hundimiento (284). En todos los casos, el método Tensor-DSA identificó con la mejor
precisión los instantes de transición.
Tabla 11. Instantes de transición [ms] para registros DOE-EPRI
MÉTODO
INSTANTES DE TRANSICIÓN [MILISEGUNDOS]
1
real t 2
real t 3
real t 4
real t 5
real t 6
real t 7
real t 8
real t
INSPECCIÓN VISUAL
ID REGISTRO
DOE-EPRI
66 19,36 20,99
207 15,68 17,15 26,97 29,32
281 15,55 19,95 79,92 82,71 155,83 159,34
284 16,66 18,22 24,44 33,78 234,09 235,03 313,48 314,00
TENSOR-DSA
ID REGISTRO
DOE-EPRI
66 19,20 20,99
207 17,60 20,83 29,16 29,55
281 15,81 18,05 85,57 86,06 157,00 158,95
284 16,30 18,25 31,99 33,91 235,65 237,41 315,40 318,07
VALORES EFICACES
ID REGISTRO
DOE-EPRI
66 --- 41,70
207 --- 25,00 ND ---
281 --- 25 --- --- ND ---
284 --- 33,33 --- --- --- --- ND ---
RESIDUAL-WSA
ID REGISTRO
DOE-EPRI
66 21,18 29,25 SD SD
207 16,43 ND ND ND
281 16,10 36,15 84,34 97,84 156,80 ND
284 23,16 51,15 ND ND 258,84 265,84 ND ND
SV
ID REGISTRO
DOE-EPRI
66 --- 27,04
207 --- 19,13 ND ---
281 --- 17,21 --- --- 174,14 ---
284 --- 32,37 --- --- --- --- ND ---
58 Hundimientos de tensión un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
4.2.2.2 Resultados experimentales off-line - parámetros estadísticos
Para la base de datos del DOE-EPRI, se resumen en la Tabla 12 los resultados
obtenidos de los métodos de segmentación; a partir de la cantidad de instantes SD y ND;
así también como el retraso promedio y el percentil 95 de retraso. Si para un hundimiento
de tensión un método presenta un ND o SD; se determina que la la segmentación no fue
concluyente y se designa por la sigla “SNC”. De lo cual, el método Tensor-DSA ha
obtenido la menor cantidad de hundimientos con una segmentación no concluyente; y el
menor retraso de los métodos de segmentación aplicados.
Tabla 12. Resultados segmentación DOE-EPRI: Tensor-DSA vs estado del arte
MÉTODO DE SEGMENTACIÓN SD ND SNC pro
rt [ms] _ 95perc
rt [ms]
TENSOR-DS 0 2 1 1,118 3,7
VALORES EFICACES 0 9 8 10,06 17,95
RESIDUAL-WSA 6 25 12 --- ---
SV 2 7 6 8,19 16,45
Adicionalmente, se ha realizado la segmentación de los hundimientos de tensión
capturados por el operador de red de área local. Este proceso se ha separado para
registros con un solo segmento y con varios segmentos con hundimiento. Para ambos
escenarios, se ha totalizado para cada método de segmentación los SD, ND, SNC, el
retraso promedio obtenido y el percentil 95.
Para los registros con un solo segmento con hundimiento, se han obtenido los
resultados generales que se listan en la Tabla 13. En la cual, el método propuesto obtiene
el menor retraso posible; aun así, el método de valores eficaces obtiene la menor cantidad
de hundimientos con segmentación no concluyente.
Tabla 13. Resultados para un soló segmento registros OR: Tensor-DSA vs estado del arte
MÉTODO DE SEGMENTACIÓN SD ND SNC pro
rt [ms] _ 95perc
rt [ms]
TENSOR-DSA 18 54 32 0,69 1,69
VALORES EFICACES 0 20 10 13,14 24,09
RESIDUAL-WSA 218 68 114 24,80 35,85
SV 38 1 14 9,23 15,71
Ahora bien, para los registros con varios segmentos con hundimiento se han obtenido
los resultados generales que se listan en la Tabla 14; solamente para el método de
segmentación propuesto y para el método Residual-WSA. Lo anterior, dado que son los
únicos que pueden identificar varios segmentos dentro del hundimiento de tensión.
Capítulo 4. Segmentación de los hundimientos de tensión 59
Tabla 14. Resultados para varios segmentos de registros OR: Tensor-DSA vs Residual-WSA
MÉTODO DE SEGMENTACIÓN SD ND SNC pro
rt [ms] _ 95perc
rt [ms]
TENSOR-DSA 6 6 4 0,74 1,78
RESIDUAL-WSA 68 47 43 31,94 71,03
El método Tensor-DSA detectó el 95% de los hundimientos estudiados, siendo
superior al método Residual-WSA.
4.2.2.3 Discusión de los resultados obtenidos
Para los registros de la base de datos de DOE-EPRI de la Tabla 12, se observa que
los métodos del estado del arte presentan una gran cantidad de instantes sobre detectados
y no detectados. Por el contrario, el método Tensor-DSA solamente presentó un
hundimiento con una segmentación no concluyente.
En particular, el método de valores eficaces compara cada medio ciclo los valores de
fase contra el umbral. Por tanto, el tamaño del registro puede no ser suficiente, para
identificar el final del hundimiento; esta situación, se presenta en menor ocurrencia en el
método SV. En consecuencia, en el mejor de los casos logran la segmentación del 50%
de los hundimientos.
Para los registros de 1 solo segmento, el método de valores eficaces es el método con
la menor cantidad de hundimientos con segmentación no concluyente; aun así, su retraso
promedio es superior a dos tercios de ciclo. Por lo tanto, si bien detecta una cantidad
mayor de hundimientos, el retraso obtenido impide tener certeza de que el análisis se
realice en el segmento del hundimiento. Por otra parte, aunque el método SV disminuyó
el retraso obtenido; este sigue siendo superior a medio ciclo. El método Residual-WSA
obtuvo la mayor cantidad de hundimientos con una segmentación no concluyente. Lo
anterior, debido a una gran cantidad de instantes sobre detectados. Adicionalmente,
presentó el peor retraso obtenido de los 4 métodos analizados. Lo anterior, pudo ser
objeto de ruido presente en los hundimientos analizados.
Para los registros con varios segmentos, el método Tensor-DSA detectó el 95% de
los hundimientos estudiados. Con lo cual, pudo segmentar de forma precisa los cambios
presentes en los registros segmentados.
60 Hundimientos de tensión un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
4.3. Síntesis
En este capítulo se ha presentado un nuevo método de segmentación propuesto en
esta investigación, con base en un análisis del álgebra tensorial aplicada a los sistemas
trifásicos.
El método propuesto, realiza una modificación al proceso de segmentación de
seguimiento de residuos; con dos ventajas sobre el método modificado: (a) sólo realiza el
seguimiento de un parámetro, por lo cual reduce la complejidad de cómputo, (b) utiliza
una herramienta de estimación con una velocidad de convergencia mayor, por lo cual
puede utilizar una ventana deslizante más pequeña para el cálculo del índice de detección,
sin sacrificar la capacidad de detección del método. Es de aclarar, que la modificación en
la herramienta de estimación también ha sido un aporte de esta investigación.
Este nuevo método de segmentación, ha obtenido un menor retraso en comparación
con los métodos del estado del arte. En su mayoría, ha obtenido mejoras en disminuir la
cantidad de hundimientos con una segmentación no concluyente por instantes de
transición sobre detectados o no detectados.
El resultado en la segmentación, permite también identificar si un hundimiento tiene
varios segmentos estacionarios. A partir de este resultado, es posible realizar un análisis
en cada segmento estacionario identificado; a diferencia de los métodos de valores
eficaces y SV que solo permiten identificar el instante inicial y final del hundimiento.
Adicionalmente, el retraso promedio obtenido ha sido menor a un décimo de ciclo al
segmentar registros de hundimientos artificiales y reales. Este retraso, permite calcular
con precisión la duración del hundimiento. Este resultado, es un gran avance a
comparación de métodos del estado del arte; los cuales presentaron retrasos superiores a
ciclo y medio para algunos hundimientos analizados.
61
CAPÍTULO 5
CLASIFICACIÓN DE LOS HUNDIMIENTOS DE TENSIÓN
A a
Una nueva propuesta para realizar la clasificación de los hundimientos de tensión es
presentada en este capítulo. Para esto, se utiliza la información de las magnitudes de los vectores
columna del tensor de tensión de segundo orden. Basándose en estos vectores columna, se identifican
las fases afectadas por el hundimiento. Para realizar la identificación, se comparan las tres
magnitudes en el instante de tiempo del pico máximo de la norma de Frobenius. Este método, ha
sido bautizado por los autores como Tensor-DCA “Tensor Deformation Classification
Algorithm”.
62 Hundimientos de tensión un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
Capítulo 5. Clasificación de los hundimientos de tensión 63
5. CLASIFICACIÓN DE LOS
HUNDIMIENTOS DE TENSIÓN
A CLASIFICACIÓN de los hundimientos de tensión, corresponde a la
identificación de las fases afectadas. Para esto, es necesario identificar la clase de
falla en los sistemas trifásicos (monofásica, bifásica o trifásica) para posteriormente,
identificar las fases involucradas en el hundimiento.
En este capítulo se presenta una nueva propuesta para realizar la clasificación de los
hundimientos de tensión; la cual, está basada en un análisis del comportamiento de las
componentes del tensor de tensión de segundo orden presentadas en la sección 3.3.
Esta propuesta, detecta los picos máximos y mínimos en la norma de Frobenius del
tensor de tensión de segundo orden. A partir de estos picos, realiza una primera
clasificación del hundimiento como monofásico, bifásico o trifásico. Posteriormente, a
partir de la magnitud de los vectores columna del tensor de tensión de segundo orden y
el instante de tiempo del pico máximo, identifica las fases afectadas por el hundimiento.
Para extraer los parámetros sobre los cuales se realiza la clasificación, se aplica el método
de segmentación propuesto Tensor-DSA.
Finalizando el capítulo, se presenta la validación y comparación de esta novedosa
propuesta contra métodos del estado del arte, mostrando las ventajas obtenidas.
5.1. Método de clasificación propuesto “Tensor-DCA”
Tras identificar el segmento estacionario del hundimiento de tensión, se realiza su
clasificación. Para ello, son necesarios parámetros característicos que permitan
diferenciar una clase de hundimiento de otro. Lo cual, implica diferenciar hundimientos
monofásicos, bifásicos o trifásicos; así como las fases afectadas. Para lograr este objetivo,
en esta investigación se propone un nuevo método de clasificación llamado Tensor-DCA
“Tensor Deformation Classification Algorithm”.
El método de clasificación propuesto, tiene un total de 3 etapas, las cuales se muestran
en la Figura. 30.
L
64 Hundimientos de tensión un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
Figura. 30. Método de clasificación propuesto Tensor-DCA
5.1.1 Etapa de procesamiento
El método de clasificación propuesto, identifica en primera instancia si la clase del
hundimiento es monofásico 1 , bifásico 2 o trifásico 3 . Para ello, se extrae para cada
segmento estacionario identificado _sh iS el valor del pico máximo y mínimo de la norma
de Frobenius del tensor de tensión de segundo orden F y la magnitud de los vectores
columna que forman el tensor. Lo anterior, dado que estos parámetros tienen una
relación directa con la clase de hundimiento, con lo cual es posible diferenciarlos.
Este proceso, se presenta en la Figura. 31. A manera de ejemplo, se clasificará el
hundimiento de tensión OR_001 capturado por el operador de red del área local; que fue
presentado en la Figura. 19. Para este proceso, se trabaja directamente con F y la
magnitud de los vectores columna; solamente se extraen los parámetros característicos
en los segmentos identificados con el método de segmentación Tensor-DSA. Los
instantes que limitan los segmentos estacionarios y transitorios, se han marcado en la
Figura. 31 en color negro y línea punteada.
Entrada:
Etapa de
procesamiento
Extracción parámetros
característicos
max_i max_i
max_i
max_i _
min_i _
1 2 3
max
min
, ,P
F sh i
F sh i
P P
t
P S
P S
t t
d d d
_, Fm sh iS
Salida: max_max_ min_
1 2 3
, ,
, ,
ii i PP P t
d d d
Entrada:
Etapa de identificación
de hundimientos 3
Verificar si es
max_i min_i
min_if
P P
U f P
Si es Salida: 3 , U f
max_ min_, i iP P
3
3
Entrada:
Etapa de identificación
de hundimientos 1, 2
Salida: , U fn
max_max_ min_
1 2 3
, ,
, ,
ii i PP P t
d d d
Si no es 3
Reglas de decisión:
max_
1 2 3
min_i
1 , 2 , ,
, ,
P it
f
f d d d
U f P
Capítulo 5. Clasificación de los hundimientos de tensión 65
Figura. 31 Etapa de procesamiento Tensor-DCA
Para este caso particular, se han detectado dos segmentos estacionarios del
hundimiento, los cuales, tienen los valores que se listan en la Tabla 15. En la cual, los
parámetros con la sigla NC corresponden a aquellos que no eran posibles de calcular.
Tabla 15. Parámetros característicos extraídos del hundimiento capturado por el OR
PARÁMETROS CARACTERISTICOS _1shS PARÁMETROS CARACTERISTICOS _ 2shS
maxP minP maxPt max
1 td
max2 t
d max
3 td
maxP minP maxPt max
1 td
max2 t
d max
3 td
23U 22U -65 ms 2U
22,58U 2U
22U 22U NC NC NC NC
Al extraer los parámetros característicos se inicia la etapa de identificación de
hundimientos monofásicos, bifásicos y trifásicos.
5.1.2 Etapa de identificación de hundimientos 3
Ahora bien, teniendo en consideración los resultados de la sección 3.3, se identificó
que los picos máximos y mínimos de F tienen un comportamiento que puede
describirse según la tensión residual, la tensión eficaz y la clase de hundimiento.
Particularmente, para los hundimientos trifásicos se tiene que:
2 2max min 3F fP P U U (44)
Es por tanto, un comportamiento único de los hundimientos trifásicos el tener un
valor de F constante.
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
Tiempo [milisegundos]
|Ve
cto
res
ij|
[V2]
3U2
0
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
Tiempo [milisegundos]
Fm
[V
2]3U
2
0
2max_1 3P U 2
min_1 2P U2
max_ 2 min_ 2 2P P U
Entrada:
Etapa de
procesamiento
Extracción parámetros
característicos
_, Fm sh iS
Salida: max_max_ min_
1 2 3
, ,
, ,
ii i PP P t
d d d
max_1Pt
max_i max_i
max_i
max_i _
min_i _
1 2 3
max
min
, ,P
F sh i
F sh i
P P
t
P S
P S
t t
d d d
66 Hundimientos de tensión un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
De esta forma, al comparar los valores de pico máximo y mínimo obtenidos y verificar
que la relación min maxP P sea cercana a 1, se clasifica el hundimiento como trifásico.
Como una medida de prevención, puede utilizarse un valor de 0,8 para realizar la
comparación. Lo anterior, en caso de que se presente ruido en la señal o desbalances que
generen una pequeña oscilación de F . Posteriormente, mediante la ecuación (44) se
puede calcular la tensión residual del hundimiento de tensión.
Teniendo en consideración esta regla, para el hundimiento de tensión de la Figura. 31
se listan en la Tabla 16 los resultados para cada segmento del hundimiento; de la cual se
puede concluir que el segundo segmento corresponde a un hundimiento trifásico con
una tensión residual de 0,81 pu.
Tabla 16. Verificación de hundimientos trifásicos Tensor-DCA
PARÁMETROS CARACTERÍSTICOS _1shS PARÁMETROS CARACTERÍSTICOS _ 2shS
maxP minP min maxP P maxP minP min maxP P
23U 22U 0,66 22U
22U 1
Por otra parte, para el primer segmento es necesario realizar un procedimiento
adicional para diferenciar si se trata de un hundimiento monofásico o bifásico. Es de
aclarar, que la etapa posterior es necesaria si y sólo si, el hundimiento no es trifásico.
5.1.3 Etapa de identificación de hundimientos 1 2y
Ahora bien, para diferenciar los hundimientos monofásicos y bifásicos se realiza una
comparación de las magnitudes de los vectores columna del tensor de tensión en el
instante de tiempo maxPt . Este proceso, está basado en los resultados de la sección 3.3
donde se visualizó que su comportamiento es diferente para estas dos clases de
hundimientos. Para hundimientos monofásicos, el vector asociado con la fase afectada
por el hundimiento tiene la menor magnitud en este instante de tiempo y es casi igual a
cero; simultáneamente, los vectores asociados con las fases no afectadas tienen una
magnitud similar. Por otra parte, para hundimientos bifásicos el vector asociado con la
fase no afectada por el hundimiento tiene la mayor magnitud en este instante de tiempo;
mientras que, los vectores asociados con las fases afectadas tienen una magnitud igual.
Para diferenciar las dos clases de hundimientos, se identifica el vector con magnitud
Capítulo 5. Clasificación de los hundimientos de tensión 67
mínima min
d y máxima max
d . A partir de estos vectores, se realiza la comparación con
la magnitud del vector sobrante s
d . El proceso detallado de la clasificación se realiza
según la siguiente comprobación:
1. Si la relación max s
d d es inferior a 2 y min
1d , el hundimiento es clasificado como
monofásico y la fase afectada es considerada la del vector con magnitud mínima
mind .
2. Si el hundimiento no es monofásico y la relación min s
d d es casi igual a 1, el
hundimiento es clasificado como bifásico; siendo la fase no afectada por el
hundimiento la del vector con magnitud máxima max
d .
3. Para cualquier caso, se calcula la tensión residual del hundimiento. Para
hundimientos monofásicos la tensión residual se calcula según la ecuación (45) y
para hundimientos bifásicos según la ecuación (46). Estas ecuaciones son
extraídas de la Tabla 8 en la cual se relaciona la clase de hundimiento y la ecuación
que describe el pico mínimo de la norma de Frobenius.
2 2min 2fU P U U (45)
2min 3fU P U (46)
Para el primer segmento estacionario del hundimiento que se está clasificando, se
listan los resultados de esta comprobación en la Tabla 17. Según la cual, el hundimiento
se puede clasificar como bifásico y la fase no afectada es la asociada al vector 2d , es decir
la fase b. Por último, siendo un hundimiento bifásico, la tensión residual es calculada
según la ecuación (46) y equivale a 0,81 pu.
Tabla 17. Verificación de hundimientos monofásicos y bifásicos Tensor-DCA
PARÁMETROS CARACTERISTICOS _1shS
mind
maxd
sd
min sd d
max sd d
2
1d U 2
2 2,58d U 2
3d U 1 2,63
68 Hundimientos de tensión un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
5.2. Validación del método de clasificación propuesto
Ahora bien, para realizar una validación al método de segmentación propuesto, se
presentan los resultados de clasificación de las bases de datos utilizadas en la validación
de la segmentación. Para cada base de datos, se presentan ejemplos aplicativos, resultados
estadísticos y una discusión de los resultados obtenidos. En todos los casos, los resultados
se han obtenido en simulación off-line, mediante algoritmos desarrollados en la
plataforma MATLAB®. El método propuesto, se realiza tal como se expone en la
sección 5.1 para cada hundimiento. Para una comparación contra los métodos del estado
del arte, se han aplicado en la plataforma MATLAB® como se explica en el anexo B.
5.2.1 Registros artificiales
Se han utilizado las señales artificiales utilizadas en la sección 4.2.1. Los hundimientos
de tensión artificiales, corresponden a 513 hundimientos monofásicos (171 hundimientos
en la fase a, 171 en la fase b y 171 en la fase c), 513 bifásicos (171 hundimientos en las
fases a y b, 171 en las fases b y c y 171 en las fases c y a) y 171 trifásicos. Siendo en total,
clasificados 1197 hundimientos de tensión artificiales.
5.2.1.1 Resultados de simulación off line – ejemplo aplicativo
Para realizar una comparación, se han obtenido los resultados de los métodos de
clasificación del estado del arte para cada hundimiento de tensión. Inicialmente, se
obtiene el resultado para clasificar un hundimiento como monofásico, bifásico o trifásico
(Tabla 18). El método propuesto, ha obteniendo la menor cantidad de hundimientos
erróneamente clasificados.
Tabla 18. Clasificación de hundimientos artificiales Tensor-DCA vs estado del arte
MÉTODO MONOFÁSICOS BIFÁSICOS TRIFÁSICOS ERRÓNEAMENTE CLASIFICADOS
Tensor-DCA 502 513 171 11
SC 457 464 0 276
SP 457 464 0 276
SV 380 338 113 366
Para los métodos de clasificación del estado del arte, se listan en la Tabla 19 los
hundimientos mal clasificados y la asignación obtenida. Para ello, la sigla “NS” se asigna
si el hundimiento no fue segmentado.
Capítulo 5. Clasificación de los hundimientos de tensión 69
Tabla 19. Hundimientos erróneamente clasificación estado del arte
MÉTODO DE
CLASIFICACIÓN CANTIDAD
CLASE
ASIGNADA CANTIDAD
CLASE
ASIGNADA CANTIDAD
CLASE
ASIGNADA
SC
CLASE DE
HUNDIMIENTO
Monofásico 56 NS
Bifásico 56 NS
Trifásico 56 NS 82 Monofásico 70 Bifásicos
SP
CLASE DE
HUNDIMIENTO
Monofásico 56 NS
Bifásico 56 NS
Trifásico 56 NS 76 Monofásico 76 Bifásicos
SV
CLASE DE
HUNDIMIENTO
Monofásico 133 Trifásico
Bifásico 70 Trifásico 105 Monofásico
Trifásico 25 Bifásico 33 Monofásico
Ahora bien, tras identificar si el hundimiento es monofásico o bifásico es necesario
identificar las fases afectadas. Este proceso, es realizado para los 1026 hundimientos de
tensión monofásicos y bifásicos artificiales. Los resultados se listan en la Tabla 20; de la
cual, se puede apreciar que el método propuesto clasifica de forma correcta la mayor
cantidad de hundimientos de tensión.
Tabla 20. Identificación de las fases afectadas Tensor-DCA vs estado del arte
MÉTODO FASE(S) AFECTADA(S)
aU bU cU aU , bU bU , cU cU
Tensor-DCA 170 162 170 171 171 171
SC 152 152 153 152 152 160
SP 152 152 153 152 152 160
SV 123 124 133 122 93 123
5.2.1.2 Resultados de simulación off line – parámetros estadísticos
Teniendo en consideración una primera clasificación del hundimiento como
monofásico, bifásico o trifásico; el método Tensor-DCA presento una precisión del 99%
de los hundimientos de tensión estudiados. En comparación, los métodos SC, SP y SV
que clasificaron correctamente un 76,94%, 76,94% y 69,5% de los hundimientos
artificiales respectivamente.
5.2.1.3 Discusión de los resultados obtenidos
El método Tensor-DCA presentó 11 hundimientos con una clasificación errónea; los
cuales presentaron un segmento estacionario sobre detectado.
70 Hundimientos de tensión un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
Los métodos SC y SP no identificaron correctamente las fases afectadas por el
hundimiento debido a un error en la etapa de segmentación; y al no tener una forma de
diferenciar hundimientos trifásicos, no podían clasificarlos correctamente.
El método SV clasifica como trifásicos hundimientos monofásicos o bifásicos. Lo
anterior, significa que la relación mi maA A fue superior al umbral 0,933. Adicionalmente,
para hundimientos bifásicos y trifásicos existen casos en que el hundimiento es clasificado
como monofásico. Las condiciones que deben presentarse para que se presente este
error, son: (a) para hundimientos 3 , la relación mi maA A debe ser menor a 0,933 y de
forma automática, el método compara el ángulo de inclinación computado contra los
intervalos de la Tabla 5, (b) para hundimientos 2 , el ángulo de inclinación computado
debe presentar oscilaciones fuera de los rangos establecidos.
5.2.2 Validación – registros reales
Se ha realizado una validación del método Tensor-DCA contra el conjunto de
registros capturados por el DOE/EPRI; y los registros del operador de red de área local,
que se han utilizado para la validación de la segmentación en la sección 4.2.2.
5.2.2.1 Resultados experimentales off line – ejemplo aplicativo
A manera de ejemplo, se ha realizado la clasificación del registro 281 DOE-EPRI de
la Figura. 28. Este registro, presenta dos segmentos estacionarios con hundimiento
bifásico en las fases a y c; con el segundo segmento con una tensión residual inferior a la
del primer segmento.
En la Tabla 21 se lista el resultado de los métodos Tensor-DCA, SC, SP y SV. La sigla
SND, corresponde a un segmento no detectado. El único método que pudo clasificar
correctamente ambos segmentos, fue el método propuesto.
Tabla 21. Clasificación 281 DOE-EPRI Tensor-DCA vs estado del arte
MÉTODO DE CLASIFICACIÓN FASE(S) AFECTADAS _1shS FASE(S) AFECTADA(S) _ 2shS
Tensor-DCA cu , au cu , au
SC cu SND
SP cu , au SND
SV cu , au SND
Capítulo 5. Clasificación de los hundimientos de tensión 71
5.2.2.2 Resultados experimentales off line – parámetros estadísticos
Adicionalmente, se ha realizado la clasificación de los hundimientos de tensión
capturados por el operador de red de área local. Este proceso se ha separado para
registros con un solo segmento y con varios segmentos con hundimiento. La
comparación del método propuesto con los métodos del estado del arte sólo se ha
realizado para los registros con un solo segmento. Lo anterior, para comparar la precisión
de los métodos en igualdad de condiciones. Para ambos escenarios, se han totalizado los
hundimientos correctamente clasificados en la fase a (HCA) y así subsiguientemente en
las demás fases (HCB, HCC, HCAB, etc). Por último, se ha totalizado la cantidad de
hundimientos mal clasificados (HMC).
Para los hundimientos con un solo segmento estacionario, se tiene un total de 32
hundimientos en la fase a, 15 en la b, 33 en la c, 13 en las fases a y b, 23 en b y c, 29 en
c y a, y 23 en las tres fases. Para estos hundimientos, se han obtenido los resultados
generales que se listan en la Tabla 22.
Tabla 22. Resultados un solo segmento OR: Tensor-DCA vs estado del arte
MÉTODO DE CLASIFICACIÓN HCA HCB HCC HCAB HCBC HCCA HCABC HCM
Tensor-DCA 22 12 23 11 18 23 13 49
SC 8 8 16 2 8 11 0 118
SP 30 11 26 9 15 23 0 57
SV 20 5 8 7 8 11 23 89
La precisión de los métodos para obtener una clasificación correcta fue de 71,34%,
30,99%, 66,66% y 47,95% para los métodos Tensor-DCA, SC, SP y SV respectivamente.
Ahora bien, para los hundimientos con varios segmentos el porcentaje de precisión
del método propuesto ha sido de 61,11%.
5.2.2.3 Discusión de los resultados obtenidos
Para el hundimiento de tensión de la base de datos del DOE/EPRI; debido al error
impuesto por segmentación de valores eficaces, los métodos SC y SP, no detectaban el
segundo segmento estacionario. Adicionalmente, el método SC no pudo clasificar
correctamente el primer segmento estacionario del hundimiento. Por otra parte, el único
método capaz de detectar ambos segmentos estacionarios y realizar una clasificación
correcta fue el método Tensor-DCA.
72 Hundimientos de tensión un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
Los métodos SC y SP no podían clasificar un hundimiento como trifásico. Por lo
tanto, ambos métodos fallaron en clasificar los 23 hundimientos trifásicos que se
analizaron de la base de datos del operador de red.
Los métodos SV y Tensor-DCA podrían clasificar un hundimiento como trifásico.
Sin embargo, para el método SV esta capacidad era contraproducente pues la mayoría de
los hundimientos los clasificó erróneamente como trifásicos. Por otra parte, el método
Tensor-DCA clasificó hundimientos trifásicos sin sacrificar la capacidad para identificar
hundimientos monofásicos y bifásicos.
Con ambos resultados, se ha podido demostrar una mejora en el proceso de
clasificación con el método propuesto; para identificar con mayor precisión las fases
afectadas por el hundimiento, independientemente de la cantidad de segmentos
estacionarios que puedan presentarse en el registro analizado.
5.3. Síntesis
En este capítulo se ha presentado un nuevo método de clasificación propuesto en
esta investigación en base a un análisis del álgebra tensorial, aplicada a los sistemas
trifásicos.
El método propuesto, extrae de la representación tensorial parámetros que permiten
diferenciar si un hundimiento es monofásico, bifásico o trifásico. Adicionalmente,
identifica las fases afectadas por el hundimiento mediante un conjunto de reglas de
decisión. Por último, según la clase de hundimiento calcula la tensión residual.
Gracias a la técnica de segmentación utilizada, realiza la clasificación en cada
segmento estacionario que pueda tener el hundimiento de tensión. A diferencia de los
métodos de SC, SP y SV.
En comparación con los métodos del estado del arte, el método propuesto ha
obtenido un porcentaje de precisión mucho mayor. Tal como se pudo verificar en las
secciones de validación, utilizar parámetros de clasificación que son generados con un
periodo de la señal (transformada de Fourier, valores eficaces, etc) puede generar
oscilaciones que afectan los resultados de la clasificación.
73
CAPÍTULO 6
CONCLUSIONES Y FUTUROS DESARROLLOS
A a
En este capítulo se presentan las principales conclusiones, se destacan las más importantes
contribuciones y se proponen futuros desarrollos. Por último, se enumeran los artículos
que han sido puestos a consideración de la comunidad académica .
74 Hundimientos de tensión un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
Capítulo 6. Conclusiones y futuros desarrollos 75
6. CONCLUSIONES Y FUTUROS
DESARROLLOS
6.1. Conclusiones generales
Representación tensorial de la tensión en los sistemas trifásicos:
Basado en el producto tensorial, se ha definido una nueva representación
intuitiva de la tensión; que permite obtener en una sola expresión matemática,
todas las posibles combinaciones de las tensiones de fase en los sistemas
trifásicos. De los resultados obtenidos, se han identificado comportamientos
particulares según las características del hundimiento de tensión, tal como: la
tensión residual y las fases afectadas.
A partir de un análisis del álgebra tensorial de esta nueva representación, se
han extraído los parámetros que permiten realizar la segmentación y
clasificación de los hundimientos de tensión.
Método de segmentación de los hundimientos de tensión:
Se ha propuesto un nuevo método de segmentación con un bajo retraso en
la detección, inferior a un décimo de ciclo para la mayoría de hundimientos
estudiados. Adicionalmente, el nuevo método tiene la capacidad de detectar
variaciones dentro un mismo hundimiento de tensión. Mediante lo anterior,
se ha podido realizar un análisis discriminado de cada segmento estacionario.
Esta ventaja, ha sido explotada en la etapa de clasificación.
Se ha podido comparar el método propuesto contra métodos del estado del
arte, obteniendo menores tiempos de retraso y cantidad de hundimientos con
una segmentación no concluyente.
76 Hundimientos de tensión un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
Método de clasificación de los hundimientos de tensión:
Se ha propuesto un nuevo método de clasificación con un alto porcentaje
de precisión. La mayoría de hundimientos utilizados en la etapa de validación
han sido clasificados correctamente. Este nuevo método, ha podido clasificar
correctamente hundimientos con varios segmentos estacionarios. Lo anterior,
permite identificar cambios en la duración del hundimiento; y en
consecuencia, conseguir una comprensión más detallada de esta perturbación
de la tensión en los sistemas trifásicos.
En la etapa de validación, se ha evidenciado el error que puede generarse al
implementar métodos de clasificación que no identifiquen hundimientos
trifásicos. Por el contrario, la nueva propuesta de clasificación identifica
correctamente un alto porcentaje de estos hundimientos.
6.2. Aportes
Los principales aportes están centrados en el desarrollo de una nueva representación
de la tensión en los sistemas trifásicos y el uso de un análisis del álgebra tensorial para la
segmentación y clasificación de los hundimientos de tensión.
En este desarrollo se han conseguido los siguientes resultados:
La representación tensorial de la tensión en los sistemas trifásicos es la
principal contribución de la tesis; ya que contiene todas las posibles
combinaciones de las tensiones de fase en los sistemas trifásicos.
Los resultados en la segmentación, han permitido realizar un análisis de los
hundimientos de tensión por segmentos. En consecuencia, se han identificado
variaciones dentro de las señales de tensión, tales como la tensión residual y
las fases afectadas por el hundimiento.
Se ha propuesto una modificación al filtro Kalman en la etapa de predicción,
mediante la cual ha sido posible obtener una mayor rapidez de convergencia.
Capítulo 6. Conclusiones y futuros desarrollos 77
Se ha propuesto un nuevo método de clasificación, el cual ha obtenido
mejores resultados ha comparación con los métodos del estado del arte. Entre
las mejoras obtenidas, el método identifica hundimientos trifásicos, sin
sacrificar la precisión de identificar hundimientos monofásicos y bifásicos.
A partir del resultado de la clasificación, se ha obtenido una medida
cuantificable de la tensión residual. Un parámetro fundamental para realizar
análisis posteriores de los hundimientos, tal como la severidad o la energía del
hundimiento.
Aunque no forma parte de los objetivos originales de la tesis, a partir de la
formulación tensorial es posible generar una representación geométrica de los
hundimientos de tensión. Lo anterior, podría representar una nueva forma de
interpretar el estado de la calidad de la tensión. Por lo cual, debe ser estudiada
con mayor detenimiento, incluyendo otras perturbaciones.
6.3. Futuros desarrollos
Son muchas las direcciones en las que se podrían continuar este trabajo. Entre ellas
se destacan las siguientes:
Aplicar la representación de la teoría tensorial en:
La medición instantánea de la tensión en los sistemas trifásicos.
La cuantificación de la severidad de los hundimientos de tensión en
puntos de conexión común entre el operador de red y usuarios
industriales.
La identificación y caracterización de las causas de los hundimientos
de tensión.
La localización relativa de los hundimientos de tensión.
El estudio de otras perturbaciones de la calidad de la energía.
Desarrollar un sistema de medición con mejor precisión de detección,
basado en el método de segmentación propuesto.
78 Hundimientos de tensión un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
6.4. Difusión académica
Publicaciones en revistas
1) Arias, S.; Ustariz, A.J.; Cano, E.A., "Detection Of Power Quality Disturbances Using
Deformation Tensor Parameters," in Latin America Transactions, IEEE (Revista
IEEE America Latina) , vol.13, no.7, pp.2106-2113, July 2015.
2) B. Bravo-Valencia, S. Arias-Guzman, E.A. Cano. "Metodología Localización relativa
hundimientos de tensión (sags) medidos en barras de subestaciones de distribución,"
Revista: “NOOS”, Vol. 7, Abril de 2015. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales,
Universidad Nacional de Colombia – Sede Manizales.
3) S. Arias-Guzman, A.J. Ustariz-Farfan, E.A. Cano-Plata, A.F. Salazar-Jimenez,
"Implementation of IEEE Std 1564-2014 for Voltage Sag Severity Analysis on a
Medium Voltage Substation," Revista: “IEEE Transactions on Industry Applications”.
Seleccionado en PEPQA-2015 para publicación (en revisión)
Publicaciones en Congresos
1) S. Arias-Guzman, A.J. Ustariz-Farfan; E.A. Cano-Plata, "Voltage sag segmentation
under deformation tensor parameters," Harmonics and Quality of Power (ICHQP), 2014
IEEE 16th International Conference on, vol., no., pp.541,545, 25-28 May 2014
2) S. Arias-Guzman, O.A. Ruiz-Guzman, A.J. Ustariz-Farfan, E.A. Cano-Plata, A.F.
Salazar-Jimenez, "Evaluación de la Calidad de la Potencia Caso Práctico en
Instalaciones Comerciales," IV IAS Colombian Workshop on, vol., no., pp.1,6, 10-10
September 2014.
3) S. Arias-Guzman, A.J. Ustariz-Farfan, E.A. Cano-Plata, A.F. Salazar-Jimenez,
"Implementation of IEEE Std 1564-2014 for Voltage Sag Severity Analysis on a
Medium Voltage Substation," Power Electronics and Power Quality Applications (PEPQA),
2015 Workshop on, vol., no., pp.1,6, 2-4 June 2015.
4) S. Arias-Guzman, O.A. Ruiz-Guzman, L.F. Garcia, M. Jaramillo, P.D. Cardona-
Orozco, A.J. Ustariz-Farfan, E.A. Cano-Plata, A.F. Salazar-Jimenez, "Analysis of
Capítulo 6. Conclusiones y futuros desarrollos 79
Voltage Sag Severity Case Study in an Industrial Circuit," Industry Applications Society
Annual Meeting (IAS), 2015 IEEE , vol., no., pp., 18-22 Oct. 2015.
Proyectos de investigación
1) JÓVENES INVESTIGADORES E INNOVADORES DE COLCIENCIAS AÑO
2013 – CONVOCATORIA 617: "Estudio de fallas en medidores de energía".
Facultad de Ingeniería y Arquitectura de la Universidad de Nacional de Colombia
Sede Manizales, Colombia. Investigador principal: Dr. Eduardo Antonio Cano Plata.
81
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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84 Hundimientos de tensión un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
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85
APÉNDICE A
Fundamentos del filtro
Kalman [13],[37]
La adquisición del estado de las señales de tensión en los sistemas de trifásicos es una
etapa fundamental en el procesamiento de señales. Para esto, algunos de los trabajos
elaborados, usan los filtros Kalman para obtener la estimación de las señales de fase.
Schwartzenberg et al., en [30], utiliza los filtros Kalman para obtener una proyección en un
tiempo kt de las señales de tensión respecto a una muestra en 1kt , considerando el
contenido de componentes armónicas como lo propone Girgis [31]. Este proceso, se
realiza mediante dos etapas; una de predicción 1|k kx y otra de corrección ˆkx de un modelo
kx de la señal que se está estimando z . Si al finalizar la corrección en la muestra k, esta
coincide con el tamaño de la señal a estimar ( L ), se finaliza el proceso del filtro Kalman
y se obtiene la estimación de la señal. Este proceso, se muestra en la Figura. 32
En la etapa de predicción (Figura. 33), se predice el valor que tomará la señal en un
tiempo posterior. Esta predicción, se calcula según una proyección del comportamiento
ideal de la señal estimada kx . Se considera un error aproximado en la proyección del
modelo kw . En esta etapa, kP corresponde a la covarianza del error en la predicción, la
cual depende de la matriz de covarianza del error del modelo Q .
86 Hundimientos de tensión un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
Figura. 32. Filtro Kalman
Figura. 33. Etapa de predicción del filtro Kalman
Figura. 34. Etapa de corrección del filtro Kalman
La corrección de los valores obtenidos (Figura. 34) se realiza comparando la señal
estimada contra la predicción que entrega el modelo. Para ello, el parámetro H se utiliza
para realizar la medición del vector de estados 1|k kx . En esta etapa, también se calcula la
Muestras de la señal a estimar nx
Estimación a priori de los parámetros en 0k
0 0ˆ , x P
Etapa de predicción
1 1
k k k kx P
1 1ˆ k kx P
ˆkx
1k k
1k
Etapa de corrección
k L
Si
No
Resultado de la estimación
Etapa de predicción
1 1
k k k kx P
Entrada: 1 1ˆ k kx P
11ˆ
k kk kx x w
11
T
k kk kP P Q
Salida:
Entrada: 1 1
k k k kx P
1 1ˆ k kx P
Etapa de corrección
Salida:
1
2
1 1
T
k vk k k kK P H H P H
1 1ˆ
k
T
k kk k t k kx x K z H x
1
T
k k k kP I K H P
Apéndice A: Fundamentos del filtro Kalman 87
ganancia de Kalman kK . La cual, se utiliza para minimizar el error obtenido en la
covarianza del error kP teniendo en cuenta la covarianza de la medición 2
v . El valor de
2
v se calcula a partir del valor esperado del ruido en la medición. Tomando como
referencia el trabajo presentado en [13], un valor de 2
v aceptable es de 10-5. Por otra
parte, en este mismo trabajo se recomienda considerar un tamaño del modelo de 20
componentes armónicas de la frecuencia fundamental para generar la matriz de transición
.
Si se utiliza una matriz de transición, , obtenida de un modelo de señal en estado
estacionario; supone que de un estado a otro no cambian ni la amplitud ni los ángulos de
los armónicos. Cesar Duarte en [37] estableció que las variaciones en la amplitud y los
ángulos de fase de la señal se adaptan en el modelo mediante la varianza del ruido 2
q , es
decir, este valor de varianza es una medida de la incertidumbre del modelo estacionario
ya que pueden existir variaciones. En consecuencia, cuanto mayor sea esta varianza mayor
será la capacidad del modelo para adaptarse a los cambios; no obstante, las estimaciones
tendrán una exactitud menor en estado estacionario.
El vector de ganancias de Kalman kK y la matriz de covarianzas del error de las
estimaciones kP no dependen de las mediciones ni de los estados estimados. Si los
parámetros y 2
q son estáticos, estos valores se podrían calcular previamente (off line)
antes de llevar a cabo el filtrado. Esto supone un retraso en estimar cambios abruptos de
la señal. Lo anterior, dado que la ganancia de Kalman y la varianza de los errores sólo
dependen del orden del filtro ( N ), de la varianza del error en el estado inicial estimado (
0P ), de la incertidumbre del modelo ( 2
q ) y de la incertidumbre en las mediciones ( 2
v )
[13].
88
APÉNDICE B
Resultados obtenidos de los
métodos del estado del arte
En este apéndice, se presenta un ejemplo del resultado de los métodos de
segmentación y clasificación del estado del arte. Para lo cual, se utiliza el hundimiento de
tensión capturado por el operador de red OR_001. Este hundimiento se presenta en la
Figura. 35; en la cual, presenta 2 segmentos con hundimiento shS . Los instantes que
limitan los segmentos estacionarios y transitorios, se han marcado en color negro y línea
punteada. La fase a, b y c se presentan en color rojo, azul y amarillo con línea discontinua,
punteada y continua respectivamente.
El primer segmento estacionario, corresponde a un hundimiento bifásico en las fases
a y c durante el intervalo de la zona 2. Posteriormente, las tres fases se ven involucradas
en el intervalo de la zona 3. Por último, en la zona 4 se presenta la recuperación del
sistema trifásico. El hundimiento, tiene un tiempo de inicio en cerca a los -71
milisegundos. El tiempo final, es cercano a los 41 milisegundos. Los instantes de
transición reales, detectados mediante una inspección visual se listan en la Tabla 23.
Tabla 23. Instantes de transición reales [ms] Hundimiento OR Inspección visual
HUNDIMIENTO
OR
INSTANTES DE TRANSICIÓN [MILISEGUNDOS]
1
real t 2
real t 3
real t 4
real t 5
real t 6
real t
-71.70 -71.15 -8.12 1.86 41.87 47.90
Apéndice B: Resultados obtenidos de los métodos del estado del arte 89
Figura. 35 Hundimiento de tensión capturado por el OR
B.1. Resultados de la segmentación del estado del arte
Al hundimiento de tensión de ejemplo se le han aplicado los métodos de
segmentación del estado del arte. Estos métodos han sido generados en plataforma
MATLAB® según se explican en las referencias [2], [13] y [14]. Se muestra entre la Figura.
36 y la Figura. 38 el resultado de la segmentación con los métodos de valores eficaces, de
seguimiento de residuos y de seguimiento de parámetros espaciales respectivamente.
Figura. 36. Identificación del segmento estacionario comparación valores eficaces
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
Tiempo [milisegundos]
Am
plitu
d [V
]
tinicio
tf inal
Um
-Um
Zona1| | Zona
2| |
Ssh
1
Zona3| |
Ssh
2
Zona4| |
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
Tiempo [milisegundos]
Te
nsió
n e
fica
z [V
]
U
Segmento del Hundimiento
medidotinicio
medidotf inal
Va(t) Vb(t) Vc(t) Umbral
90 Hundimientos de Tensión Un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
Figura. 37. Identificación del segmento estacionario seguimiento de residuos
Figura. 38. Identificación del segmento estacionario parámetros espaciales
Los algoritmos del estado del arte presentan las siguientes falencias:
Los valores eficaces tienen un retraso en llegar al valor verdadero de la señal, por lo
cual, demoran en alcanzar el valor del umbral de detección y tardan en alcanzar el valor
estacionario de la magnitud del hundimiento. Adicionalmente, no tiene la capacidad de
detectar los instantes que limitan la falla bifásica de la falla trifásica. En consecuencia,
sólo tiene la capacidad de detectar los instantes de inicio y final del hundimiento; los
cuales han sido determinados en -49.76 y 58.58 milisegundos respectivamente. Con este
método se presentó un retraso de 21.39 milisegundos en detectar el instante de inicio y
de 16.7 milisegundos para detectar el instante final.
El índice de detección del método de seguimiento de residuos tiene un valor superior
al umbral en toda la duración del hundimiento; por lo cual no puede detectar un cambio
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-0.02
0
0.02
0.04
0.06
Tiempo [milisegundos]
Índ
ice
de
tecció
n
Índice detección(t)
Umbral
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
Tiempo [milisegundos]
Se
mie
je m
en
or
1
Segmento del Hundimiento
medidotinicio
medidotf inal
Índice detección(t) Umbral
Apéndice B: Resultados obtenidos de los métodos del estado del arte 91
abrupto en la señal. Esta condición, puede surgir por la presencia de ruido en la señal que
no se haya considerado en el modelo del filtro Kalman del apéndice A. Por otra parte,
aunque presenta picos que podrían estar relacionados con los instantes de transición;
están acompañados de muchas oscilaciones que no permiten diferenciarlos de los picos
generados por la presencia de ruido. Este método no detectó un solo instante de
transición. Con lo cual, la segmentación no es concluyente.
El índice de detección del seguimiento de parámetros espaciales presenta el mismo
retraso del método de valores eficaces y por tanto sus inconvenientes. Este método
tampoco pudo detectar los instantes que limitan la falla bifásica de la trifásica. Los
instantes de inicio y final del hundimiento han sido determinados en -61,35 y 55,94
milisegundos respectivamente. Con este método, se presentó un retraso de 9,80
milisegundos en detectar el instante de inicio y de 14,07 milisegundos para detectar el
instante final.
B.2 Resultados de la clasificación del estado del arte
Al generar en plataforma MATLAB® los métodos de clasificación del estado del arte
SC “Symmetrical Component”, SP “Six Phase Algorithm” y SV “Space-Vector”, según se
explican en las referencias [14], [20] y [22], al hundimiento OR_001; se han obtenido los
resultados presentados entre la Figura. 39 y la Figura. 41. Los métodos han sido aplicados
tal como se exponen en la sección 2.3. Cada uno de los métodos del estado del arte ha
presentado una falencia que impide la correcta clasificación del hundimiento de tensión.
Figura. 39 Hundimiento de tensión capturado por el OR SC
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
1
2
3
4
5
6
Tiempo [milisegundos]
Re
lació
n a
ng
ula
r U
1, U
2
92 Hundimientos de Tensión Un enfoque de análisis a partir del álgebra tensorial
Figura. 40 Hundimiento de tensión capturado por el OR SP
Figura. 41 Hundimiento de tensión capturado por el OR SV
Al no poder detectar el cambio del hundimiento de tensión cerca a los 1,8
milisegundos, ninguno de los métodos puede diferenciar el cambio del hundimiento
bifásico a trifásico. Este error, está impuesto por la etapa de segmentación.
El método de clasificación SC presenta grandes oscilaciones del valor de relación
angular calculado. En consecuencia, el instante de tiempo en que se adquiera la relación
influye en la decisión del algoritmo. Por otra parte, el método no considera la posibilidad
de hundimientos trifásicos; por lo cual, el valor de relación angular en el segundo
segmento no es representativo de la falla que se presenta en este intervalo.
El método de clasificación SP podría clasificar correctamente el primer segmento
como un hundimiento bifásico entre las fases a y c. Sin embargo, dado que el método
identifica en toda la duración del hundimiento el menor valor de los 6 valores eficaces,
clasifica el hundimiento como bifásico entre las fases b y c. Al igual que el método SC,
no puede clasificar un hundimiento como trifásico.
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
Tiempo [milisegundos]
Va
lore
s e
fica
ce
s [V
]
U
Va Vb Vc Vab Vbc Vca
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
Tiempo [milisegundos]
Am
i/Am
a
1
Ami
Ami
/Ama Umbral
Apéndice B: Resultados obtenidos de los métodos del estado del arte 93
En el método SV la relación mi maA A es mayor que 0,933 en toda la duración del
hundimiento de tensión. En consecuencia, el hundimiento es clasificado como trifásico
según el proceso que se expone en la sección 2.3.3. En este método, la tensión residual
puede ser calculada a partir de los valores de semieje mayor y menor tal como se presenta
en la Tabla 6. En esta tabla, cada clase de hundimiento tiene una ecuación que describe
los parámetros espaciales según la tensión residual y la tensión nominal. Sin embargo,
dado que el primer segmento del hundimiento fue mal clasificado, la tensión residual
puede llegar a ser calculada erróneamente.