analisis vectorial tensorial
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tensores y vectoresTRANSCRIPT
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Anlisis vectorial y tensorial
Nasjo Baldwin - [email protected]
1. CAP I: Funciones Vectoriales de Variable Real
2. CAP II : Funciones Vectoriales de Variable Vectorial
3. CAP III: Integracin Vectorial
4. CAP IV: Teoremas Integrales de Anlisis Vectorial
5. CAP V : Coordenadas Curvilneas
6. CAP VI: Anlisis Tensorial
7. Bibliografa
Resumen: Un resumen de Matemtica Vectorial, de la Universidad Mayor de San Andrs, dictada en la
Facultad de Ingeniera.
CAPITULO I: FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL
INTRODUCCION.
Si t es una variable escalar, entonces una funcin escalar f asigna a cada t en un intervalo nico escalar f(t)
llamado valor de f en t. En general la variable representa el tiempo, un conjunto de coordenadas o
parmetros cualesquiera.
DEFINICION Y NOTACION.
Una funcin vectorial de variable real es una regla que hace corresponder a un nmero real un valor
3
321
2
21
:)()()()(
:)()()(
RRgktgjtgitgtg
RRfjtfitftf
Interpretacin.
Sea: ktfjtfitftf )()()()( 321
Para cada t existe un vector de posicin (equacion) Cuyo punto inicial se encuentra en el origen de
coordenadas del sistema cartesiano rectangular y el punto final especifica el punto P en el espacio
Cuando t varia, se dice que t se mueve
As por igualdad de vectores se dice:
rtf
)(
De esta manera se tiene:
)();();( 321 tfztfytfx
Es la ecuacin paramtrica de la curva C
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La curva C tambin se conoce con el nombre de Hodografia de la funcin vectorial r (t) por lo tanto podemos
concluir que una funcin vectorial es la representacin de una curva en el espacio.
Sea:
2
2;
2
2;
2
2
2
22
22
2)(
2
2
22
2
2
22
t
tz
t
ty
t
tx
kzjyixr
kt
tj
t
ti
t
ttf
Por otro lado
t 0 1 2 3
r r1 r2 r3 r4
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1
44
44
2
448
2
2
2
4
2
4
222
24
24
22
242
22
22
22
2
22
2222
zyx
tt
tt
t
ttt
t
t
t
t
t
tzyx
Como:
yx
LMITES Y CONTINUIDAD.
Se dice que el lmite de una funcin f(t) es un vector a cuando t t0, excepto para el valor t0 entonces a es un vector lmite de f(t) cuando t se acerca t0 esto se expresa como:
atfLimtt
0
)( Para todo numero real 00
ott
atf
0
)(
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Esta definicin se vuelve el limite de una funcin escalar si se reemplaza f(t) por una funcin escalar y el
vector a por un escalar.
kajaiata
ktfjtfitftf
)(
)()()()(
321
321
0000
)()()()( 321tttttttt
ktfLimjtfLimitfLimtfLim
Lo anterior se resume en:
332211
000
)(;)(;)( atfLimatfLimatfLimtttttt
Continuidad.
f(t) es continua en to si cumple:
a) Si 0
)(tt
tfLim
existe
b) Si )(tf
tambin existe
c) a) = b)
Ejemplo:
Hallar el lmite:
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kji
kjt
Cosi
Sen
kt
Limjt
tCosLimi
tSenLim
kt
jt
tCosi
tSenLim
kt
jt
tCosi
tSentfLim
ttt
t
t
2
120
2
1)(1
)(
2
1)(1
)(
2
1)(1
)(
2
1)(1
)()(
Estudiar la continuidad de: f(t) en t=1
kjitfLim
kjitfLim
kjt
tLni
t
eeLim
t
t
t
t
200)(
20
00
0)(
21
)(1
1
1
1
Por L`Hopital
kjieLim
t
t
tLnLim
eee
t
eeLim
t
t
tt
t
2
11
1
1
)(
11
1
1
1
1
1)2,1,()1( tetf
12;121
)(1
)(
tkjietkj
t
tLni
t
eetf
t
DERIVADA DE FUNCIONES VECTORIALES.
La derivada de f(t) se define como:
t
tfLim
t
tfttfLim
t
t
)(
)(
0
0
ktfjtfitftf
t
tfttfLimtf
i
ii
ti
)()()()(
)()()(
1
3
1
2
1
1
1
0
1
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Reglas de Derivacin.
Sean )(),(),( thtgtf
funciones vectoriales y )(t una funcin escalar
1)
)()()()( tgdt
dtf
dt
dtgtf
dt
d
2)
)()()()()()( tdt
dtftf
dt
dttft
dt
d
3)
)()()()()()( tgdt
dtftf
dt
dtgtftg
dt
d Escalar
4)
)()()()()()( tgdt
dtftf
dt
dtgtftg
dt
d Vector
5)
)()()()()()()()()()()()( thdt
dtgtfthtg
dt
dtfthtgtf
dt
dthtgtf
dt
d
6)
)()()()()()()()()()()()( th
dt
dtgtfthtg
dt
dtfthtgtf
dt
dthtgtf
dt
d
7) Regla de la cadena
ds
dttf
dt
dtf
ds
d)()(
Ejemplo:
wtwt ebear
; donde a y b son vectores constantes, satisfacen la ecuacin 022
2 tw
dt
rd
Resolviendo:
wtwt
wtwt
ewbewadt
rd
webweadt
rd
22
2
2
Reemplazando:
022
2
2
2
rwrw
ebeawdt
rd wtwt
INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA.
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La derivada de una funcin vectorial en un punto es, el vector tangente a la curva en dicho punto.
Si t es el tiempo f(t) representa una trayectoria f`(t) ser la velocidad instantnea
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.
Las derivadas de orden superior de una funcin vectorial, se define en forma similar a la de un valor escalar
de una sola variable.
2
2 )()(
dt
tfd
dt
tdf
dt
d
Ejemplo:
Hallar: )(),(),( 111111 trtrtr
luego calcular )()()( 111111 trtrtr
khtjtasenitatr )()cos()(
kjtaitasentr
kjtasenitatr
khjtaitasentr
khtjtasenitatr
0)cos()()(
0)()cos()(
)cos()()(
)()cos()(
111
11
1
Calculamos: )()()( 111111 trtrtr
22222111111 )()(cos0)cos()(
0)()cos(
)cos()(
)()()( hatsenatah
tatasen
tasenta
htatasen
trtrtr
Por otro lado;
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kajthaithasen
tasenta
htatasen
kji
trtr )cos()(
0)()cos(
)cos()()()( 2111
22111
4222222111
)()(
)(cos)()()(
ahatrtr
atahtsenahtrtr
LONGITUD DE CURVA.
Si Una curva en el espacio esta representada por, f(t) para un intervalo bta entonces la longitud de la curva L esta dad por la siguiente expresin:
b
a
dttfL )(1
2222 )()()()( dzdydxds Multiplicado por 2)(
1
dt
ds es diferencial de arco
kzjyixr
ktfjtfitftf
)()()()( 321
Ecuaciones parametricas
)();();( 321 tfztfytfx
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2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
2
2222
)()()(
)()()(
dt
tdf
dt
tdf
dt
tdf
dt
ds
dt
tdf
dt
tdf
dt
tdf
dt
ds
dt
dz
dt
dy
dt
dx
dt
ds
b
a
b
a
L
dttfL
dttfdsdttfds
tftftfdt
ds
)(
)()(
)()()(
1
1
0
2
1
21
2111
La longitud de arco S(t) es una funcin de la variable escalar t desde un punto fijo hasta t
t
a
dttftS )()( 1
Ejemplo:
Encontrar TyLtStS
),(),( 1 en el intervalo 20 t
Si khtjtasenitar )()cos(
22
2
0
22
221
22
0
22
221
222221
1
2
)(
)(
)(
)(
)(cos)()(
)()(
haL
dthaL
hatS
thatS
dthatS
hatr
htatsenatr
dttrtS
t
t
a
Vector tangente unitario
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22
)cos()(
ha
khjtaitasenT
dS
rdT
CURVATURA.
El vector unitario normal N
se define como:
NKdS
Td
Donde K es la curvatura
31
111
)(
)()(
tr
trtrK
Radio de curvatura
K
1
TORSION.
La torsin de una curva C se define como:
NdS
dB
2111
111111
)()(
)()()(
trtr
trtrtr
Y el radio de torsin
1
COMPONENTE NORMAL Y TANGENCIAL DE LA ACELERACION.
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La rapidez v(t) de una partcula en el instante t es la magnitud del vector velocidad )(tv
, si S es el arco que
mide la distancia de la partcula desde su punto de partida sobre un camino C desde su partida.
)()( 11 tStr
dS
rdTv
dS
rdT
dt
dSTv
)1.......(
)(
)(
)(
2
2
Nv
Tdt
dva
dt
vdTvNKa
dt
dvTtv
dt
dS
dS
Tda
dt
dvTtv
dt
Td
dt
vda
tvTv
NaTaa NT
)(
)()(
)(
)()(
1
111
1
111
tr
trtra
tr
trtra
N
T
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TRIEDRO MOVIL.
01
01
01
BNNTBT
BTBNTB
NTTBNN
Formulas de Frenet
TKBdS
Nd
NdS
Bd
NKdS
Td
CAPITULO II: FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE VECTORIAL
DEFINICION Y NOTACION.
Una funcin vectorial es una regla que a cada vector x
de Rn le asigna como imagen otro vector )(xf
de
Rm.
Ejemplo:
)2,1,3()2,1,21()2,1(
),,(),(
f
yxyxyxf
Ejemplo:
Hallar el dominio para la siguiente funcin vectorial
xy
xyxyyxfxf
2,),()( 2
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- No debe existir la divisin por cero
- No se admite races complejas
- No se admiten logaritmos complejos
xyxyD
xyxyD
2
2
:
00:
CONJUNTO DE NIVEL.
Sea F
una f
de Rn en R se denomina conjunto de nivel cxfxC )(:
c es constante.
Cuando n = 2 hablamos de una curva de nivel
Cuando n = 3 hablamos de una superficie de nivel
Si
cyx
yxxf
RRDf
1
)1()(
: 2
4..............3
3..............2
2..............1
1..............0
yxc
yxc
yxc
yxc
LMITES Y CONTINUIDAD.
Si nRD se dice que D es un conjunto abierto si para todo nz 0
esfera contenida en D
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4 xyxyD
Se dice que un conjunto n si su complemento
Ejemplo:
4 xyxyD
Dado un punto D se llama punto frontera al punto para el cual cualquier esfera contiene puntos del conjunto
y puntos que no estn en el conjunto.
4 xyxyD
LIMITE
00)(
:
0
AxfLim
RRf
xx
mn
Condiciones para que exista limite
0
)(
xx
Axf
Propiedades.
a)
AcxfLimcxfcLimxxxx
)()(
00
b)
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BxgLimxx
)(
0
c)
BAxgLimxfLimxgxfLimxxxxxx
)()()()(
000
Se dice que una funcin vectorial es continua si mn RRf
)()( 00
xfxfLimxx
DERIVADAS PARCIALES.
La derivada parcial fu de f
con respecto a u se define mediante la siguiente notacin
w
wvufwwvufLim
w
ff
v
wvufwvvufLim
v
ff
u
wvufwvuufLim
u
ff
ww
vv
uu
),,(),,(
),,(),,(
),,(),,(
0
0
0
kfjfiff 321
v
f
vf
u
f
vf
u
f
uf
vv
vu
uu
Propiedades.
f
y g
son funciones vectoriales, es funcin escalar
1)
u
ff
uf
u
2)
u
g
u
fgf
u
3)
u
gfg
u
fgf
u
4)
u
gfg
u
fgf
u
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Ejemplo:
kuvwjwvuseniwvLnuwvuff )cos()()(),,( 222
Hallar
kjwusenif
kuwjwvuiwLnuf
kjwvuseniwvLnf
kvwjwvuiwuvLnf
ff
vv
v
uu
u
vvuu
0)cos()(0
)cos(2)cos()(
0)cos()()(2
)cos()cos()(2
;
22
2
22
DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE.
Sea f RRD n una funcin escalar, una funcin definida en el conjunto abierto de DxRD n
, un
punto de D se define la derivada de la funcin f en x
, en la direccin del vector unitario e
denotado por:
)()(
xfeDe
xf
Se puede interpretar la derivada de una funcin de 2 variables
RRDf 2:
En un punto x0 y y0 que pertenece a D ahora (x0,x0) = (0,0), sea 1;),(cos2 eRsene
El vector unitario en la direccin del cual calculamos la derivada de la funcin f
en el origen, consideremos
el plano 0cos yxsen , este es un plano perpendicular al plano, z = 0 que contiene al vector unitario
e
.
La interseccin de este plano con la superficie z = f(x,y) nos determina una curva en el espacio.
La derivada direccional de f(0,0) en la direccin del vector unitario e
es la pendiente de la recta tangente a
esa curva en el punto (0,0)
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RRDf 2:
Ejemplo:
Calcular la derivada direccional para:
2
1)(
2
12
2
13
)(
232
122
2
133
)(
)23(2
12
2
13
)(
2
1,
2
123),()(
0
0
0
xfeD
h
hh
LimxfeD
h
yxhyhx
LimxfeD
h
yxhyhx
LimxfeD
eyxyxfxf
h
h
h
Gradiente
El gradiente de una funcin escalar es un vector
RRDf n :
z
xf
y
xf
x
xff
)(,
)(,
)(
Operador Nabla
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kx
jy
ix
Ejemplo.
Hallar el gradiente de )tan()cos()( zyxsenf en el punto )4
,4
,4
(
1,2
1,
2
1
)4
(sec)4
cos()4
()4
tan()4
()4
()4
tan()4
cos()4
cos(
)(sec)cos()()tan()()()tan()cos()cos(
)tan()cos()(
2
2
f
ksenjsensenif
kzyxsenjzysenxsenizyxf
zyxsenf
TEOREMAS Y PROPIEDADES.
Sea f y g dos funciones esclares y c una constante
1)
)()( xfcxcf
2)
)()()()( xgxfxgxf 3)
)()()()()()( xgxfxgxfxgxf 4)
2)()()()()(
)(
)(
xg
xgxfxgxf
xg
xf
INTERPRETACION GEOMETRICA DEL GRADIENTE.
Sea f : RRD 3 una interpretacin del gradiente cuando la f(x) = c, f(x,y,z) = c, c es una constante, entonces el gradiente es normal a la superficie.
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Diferencia total de f
dzz
fdy
y
fdx
x
fdf
Ahora una C en el espacio esta representada por el )(tr
)()(0
)()()()(
trxf
dt
dz
z
f
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dt
df
ktzjtyitxtr
Teorema
Si f tiene se cumple que la derivada direccional va a estar dada por:
reexfxfeD
)()(
Teorema
El valor mximo de la derivada direccional es igual al modulo del gradiente
)()( max xfxfeD
Teorema
uu
fuf
kz
uj
y
ui
x
u
u
fuf
kz
u
u
fj
y
u
u
fi
x
u
u
fuf
)(
)(
)(
DIVERGENCIA.
Sea 33: RRDf
kfjfiff 321
Donde f1, f2, f3 son funciones escalares
La divergencia ser el producto:
z
f
y
f
x
fkfjfifk
zj
yi
xf
321321
PROPIEDADES DE LA DIVERGENCIA.
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Sea f
y g
dos funciones vectoriales y una funcin escalar
1)
gfgf
)( 2)
fff
)( 3)
gffggf
)(
Ejemplo:
Si kzjyixrf
Calcular la divergencia
3
)(
z
z
y
y
x
xr
kzjyixkz
jy
ix
r
Ejemplo:
Hallar la divergencia de ))(( rrf
)(3)(
))((
)(3)(
))((
)(3)(
))((
)()())((
rfr
rfrrrf
rfrr
r
r
rfrrf
rfrrr
rfrrf
rrfrrfrrf
ROTACIONAL.
Si f
una funcin vectorial si es una funcin escalar con segundas derivadas parciales.
Donde:
),,(),,(),,( 321 zyxfzyxfzyxff
f
rotacional de f
321
fff
zyx
kji
f
PROPIEDADES.
1)
gfgf
)(
2)
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fff
)(
3)
)()()( fgfggf
Demostrar que:
zyx
zyx
kji
kz
jy
ix
0
0
k
yxyxj
zxzxi
zyzy
OPERADOR DE LAPLACE.
La divergencia del gradiente se expresa como:
2 Laplaciano
2
2
2
2
2
22
zyx
Se dice que una funcin escalar es armnica si es continua tiene segundas derivadas parciales continuas
y satisface la ecuacin de Laplace.
es armnico 02
Demostrar que r
1 es armnico:
01
331
331
1
)()(
2
332
352
332
31
r
rrr
rrrrr
rrrrr
rrr
Operaciones con el y algunas identidades vectoriales.
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1)
fggf
)()(
2)
ff )(
3)
frf
)(
4)
fdfrd
)(
CAPITULO III: INTEGRACION VECTORIAL
INTRODUCCION.
Una curva C en el intervalo de bta se representa mediante la funcin vectorial:
Vector posicin ktzjtyitxtr )()()()(
Vector desplazamiento kdzjdyidxrd
INTEGRALES DE LINEA.
- C
rd
funcin escalar
- C
frdf
funcin vectorial
- C
frdf
funcin vectorial
Tambin tenemos:
CCC
rdfrdfrd
;;
Ejemplo:
yxzxy 222
La curva esta dada por. 32 ;; tztytx desde t = 0 hasta t = 1
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1
0
1
0
1
0
4824848
2434
23
2
22
)2(3)2(2)2(
)32)()(2(
3
2
))(2(
kdttttjdttttidtttrd
kdttjtdtidtttttrd
dttdztz
tdtdyty
dtdxtx
kdzjdyidxyxzxyrd
kjiktt
jtt
itt
rd 77
7515
1145
19711
23
610
22
59
21
0
7111
0
6101
0
59
INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA.
La integral de lnea C
rdf
es independiente de la trayectoria de integracin desde el punto P hasta el
punto Q si el campo vectorial satisface la ecuacin f
donde es una funcin escalar continua o
funcin potencial.
TfS
dSTfdSdS
drfrdf
PQ
drdrdf
Q
P
Q
P
Q
P
C
Q
P
Q
P
)()(
0)(
0
Tf
TTf
TTf
Si f
T
es un vector unitario tangente en cualquier direccin.
Tambin se cumplir que:
00
f
En kRjQiPfR 3
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),,(
),,(
),,(
zyxRR
zyxQQ
zyxPP
Funciones escalares
kjiky
P
x
Qj
x
R
z
Pi
z
Q
y
R
RQP
zyx
kji
f 000
y
P
x
Q
y
P
x
Q
x
R
z
P
x
R
z
P
z
Q
y
R
z
Q
y
R
0
0
0
INTEGRALES DE LINEA RESPECTO AL ARCO.
C
ds donde funcin escalar; ds diferencial de arco
dtdt
dz
dt
dy
dt
dxds
dttrds
222
)(
Ejemplo:
Hallar C
ds donde 222 zyx en la curva C: 20cos tkbtjasentitar
22222 )cos()()(
cos)(
babtasenttr
kbjtaiasenttr
Reemplazando 222 )()()cos( btasentta
222 tba Por lo tanto
2
0
32222
2
0
22222
2
0
22222
3
)(
))((
tbtabads
dttbabads
dtbatbads
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38
232
222 b
abads
APLICACIN DE LAS INTEGRALES CURVILINEAS.
Sea ),,( zyxf donde es la densidad lineal de un punto variable (x,y,z) de la curva C Entonces la masa de la curva C es igual a:
dsM
Las coordenadas del centro de gravedad estn dadas por: ),,( 000 zyx de esta curva y se expresan de la
siguiente manera:
M
dszz
M
dsyy
M
dsxx
0
0
0
TRABAJO.
El trabajo W realizado para mover una partcula a lo largo de una curva C desde el punto 1 hasta el punto 2.
Se define mediante la integral de lnea: 2
1
rdFW
Si 00 WrdFrdF
Ejemplo:
Demostrar para una masa constante m el trabajo para ir del punto 1 al punto 2 esta dado por:
)(2
1 21
2
2 vvmW
dt
vdmamF
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2
1
2
1
2
1
vdvmW
dt
rdvdmW
rddt
vdmW
Si vdvvdvvvdvvd
2)(
)(2
1
2
1
)(2
1
)(2
1
2
1
2
2
22
1
2
1
vvmW
mvW
vvmW
vvdvdv
v
v
v
v
SUPERFICIE PARAMETRIZADA.
Una superficie puede representarse tambin mediante ecuaciones parametricas
Tambin una superficie se representa por:
),(),(),( vuzzvuyyvuxx
Si v = Cte se vuelve una expresin paramtrica de un solo parmetro que describe una curva en el espacio
a lo largo de la cual solamente varia u estas curvas se describen con v = Cte.
De modo similar v vara cuando u = Cte
El lugar geomtrico u = Cte y v = Cte, se denomina superficie:
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kvuzjvuyivuxvurr ),(),(),(),(
Ejemplo:
2222 Rzyx
Parametrizada es:
kuRjRsenusenvivRsenur
uRz
Rsenusenvy
vRsenux
coscos
cos
cos
Es una esfera completa:
u
v
0
20
20
20
0
2
20
0
u
v
zu
v
z
Si la superficie esta definida en el punto ),( 000 vuP si el producto vectorial:
0
v
r
u
r
El plano tangente de la superficie en ),( 00 vur
es el plano cuya normal es igual a:
v
r
u
rn
Entonces el plano tangente esta dado por la normal
0)( 0 nrr
AREA DE UNA SUPERFICIE PARAMETRIZADA.
El elemento diferencial de superficie de un vector esta dado por Sd
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(*)
)1(
v
r
u
rn
v
r
u
r
v
r
u
r
v
r
u
r
n
dudvv
r
u
rSd
dudvv
r
u
rSd
dvv
rdu
u
rSd
(*) en (1)
dSnSd
dudvv
r
u
rnSd
)2(
El rea de una superficie paramentrica ser integrando la ecuacin (2)
S
S
dudvv
r
u
rSA
dudvv
r
u
rSd
)(
kv
zj
v
yi
v
x
v
r
ku
zj
u
yi
u
x
u
r
v
z
v
y
v
xu
z
u
y
u
x
kji
v
r
u
r
dxdyy
z
x
zSA
dudvvu
yxJ
vu
xzJ
vu
zyJSA
kvu
yxJj
vu
xzJi
vu
zyJ
v
r
u
r
ku
y
v
x
v
y
u
xj
u
z
v
x
v
z
u
xi
u
z
v
y
v
z
u
y
v
r
u
r
S
S
22
222
1)(
,
,
,
,
,
,)(
,
,,
,,
,
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INTEGRALES DE SUPERFICIE DE FUNCIONES ESCALARES.
Se consideran las siguientes integrales
a) ds b) ds donde es una funcin escalar
METODO DE INTEGRACION DE COORDENADAS CILINDRICAS EN LAS SUPERFICIES.
Cuando se trabaja con cilindros, se puede facilitar el clculo de las integrales de superficie mediante la
introduccin de coordenadas cilndricas.
zz
rseny
rx
ryx
cos
222
kzjrsenirr cos
dzdz
rrsd
dzdz
rrsd
dudvv
r
u
rsd
kjiz
r
kjrirsenr
00
0cos
jrsenirrrsen
kjirr cos
100
0cos
dzrdSA
dssenrrSAS
)(
cos)( 2222
APLICACIONES FISICAS.
Las integrales de superficie se usan para calcular centros de masa, momentos de inercia y campos
electromagnticos de placas curvilneas delgadas.
Centros de Masa.
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dssM )(
Donde es la densidad y M es la masa
M
dszz
M
dsyy
M
dsxx CCC
OTRAS EXPRESIONES DE INTEGRALES DE SUPERFICIE.
dxdyZZzyxfdszyxf yx 221),,(),,(
Donde xyR es la proyeccin de S respecto al plano xy
INTEGRALES DE SUPERFICIE DE FUNCIONES VECTORIALES.
Definiendo las integrales de funciones vectoriales sobre superficies tenemos: Sea la funcin vectorial
definida sobre una superficie la cual esta parametrizada mediante el vector de posicin:
kvuzjvuyivuxvurr ),(),(),(),(
Escalar
dudv
v
r
u
rfsdf
Vectorial dsnsdsdf
Ejemplo:
Hallar el flujo rf
a travs de la superficie de la esfera 2222 Rzyx
R
z
R
y
R
xn
zyx
zyxn
zyx
zyxn
,,
,,
444
2,2,2
222
222
32
222
4)4(
,,),,(
RRRdsRRds
dsR
zyx
dsR
z
R
y
R
xzyx
INTEGRALES DE VOLUMEN.
El dV esta dado por dV = dxdydz las integrales de volumen que se consideran en este capitulo son:
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dVf
dV
Escalares
dVf
Vectorial
Ejemplo:
Si 1),,( zyx y R es la regin que representa un volumen V
VdV
dV
dV
R
R
R
)1(
CAPITULO IV: TEOREMAS DE INTEGRACION
INTRODUCCION.
En el capitulo anterior se estudio el calculo vectorial, en el presente capitulo se estudiaran los siguientes
teoremas de integracin vectorial.
i) Teorema de Green
ii) Teorema de Gauss
iii) Teorema de Stokes
TEOREMA DE GREEN.
Considerado f
una funcin vectorial
jQiPf
Donde ),(
),(
yxQQ
yxPP
RC
dxdydy
dP
dx
dQrdf
Siempre y cuando P y Q son continuas en una regin R adems existen sus 1 derivadas parciales.
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Mediante la aplicacin del teorema de Green se podr determinar el rea de algunas figuras planas.
Demostracin:
C
ax
bx
bx
ax
ax
bx
bx
ax
bx
ax
y
y
PdxdxyxPdxyxPdxyxP
dxyxPyxPdxyxPdxdydy
dP
dxdydy
dP
dx
dQrdf
),(),(),(
),(),(),(
111121
1121
2
1
Por otro lado:
C
cy
dy
cy
dy
cy
dy
cy
dy
cy
dy
x
x
QdydyyxQdyyxQdyyxQ
dyyxQyxQdyyxQdxdydx
dQ
),(),(),(
),(),(),(
111121
1121
2
1
Demostramos que:
dxdydy
dP
dx
dQrdf
El Teorema de Green puede expresarse en forma vectorial de la siguiente manera:
RC
dxdyKfrdf
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA EN EL PLANO.
Tambin se conoce como teorema de la divergencia y se expresa:
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RC
dxdyfdsnf
dttrds
jds
dyi
ds
dx
ds
rdT
KTn
)(
Ejemplo:
C
C
QdyPdx
jdxidyjPiQ
dsjs
xi
s
yjPiQ
is
yj
s
xn
kjs
yki
s
xn
kjs
yi
s
xn
yxPP
yxQQjPiQf
)()(
)(
),(
),(
Por otro lado:
dxdyy
P
x
Q
y
P
x
Qf
jPiQf
R
)(
TEOREMA DE STOKES.
El teorema de Stokes establece que si S es una superficie limitada por una curva cerrada C y f
es una
funcin vectorial que tiene 1 derivadas parciales continuas sobre una superficie S y la curva C.
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Entonces se puede expresar que integral de lnea: Circulacin de f
SC
sdfrdf
Flujo del rotacional a travs de S
Interpretacin fsica:
Establece que la circulacin total alrededor de una curva C es igual al flujo del rotacional
),,(
),,(
),,(
zyxRR
zyxQQ
zyxPP
kRjQiPf
En coordenadas rectangulares el teorema de Stokes esta dado por:
RQP
zyx
kji
f
RdzQdyPdxrdfC
ky
P
x
Qj
x
R
z
Pi
z
Q
y
R
Por otro lado:
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kdsjdsidsdsnsd
kjin
dsnsd
sdky
P
x
Qj
x
R
z
Pi
z
Q
y
Rdsf
coscoscos
coscoscos
)coscos(cos kdsjdsidsk
y
P
x
Qj
x
R
z
Pi
z
Q
y
Rdsf
dsdxdy
ds
dxdy
cos
cos
Por lo tanto:
RxyRzxRyzC
dxdyy
P
x
Qdxdz
x
R
z
Pdydz
z
Q
y
RRdzQdyPdx
TEOREMA DE GAUSS O TEOREMA DE LA DIVERGENCIA.
La definicin de divergencia esta dada como:
S
Vsdf
VLimfdiv
10
El teorema de la divergencia o Gauss es una definicin de una generacin.
Por lo tanto:
SR sdfdVf
Ejemplo:
2222222 RzyxRzyx
dsnfsdf
kzjyixr
rf
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R
z
R
y
R
xn
zyx
zyxn
zyx
zyxn
,,
,,
444
2,2,2
222
222
32
222
4)4(
,,),,(
RRRdsRRds
dsR
zyx
dsR
z
R
y
R
xzyx
Por divergencia:
33 43
433
3
RRdV
f
rf
TRANFORMACION DE INTEGRALES DE VOLUMEN A INTEGRALES DE SUPERFICIE.
Teorema de Gauss.
El teorema de Gauss representa una transformacin de una integral de volumen a una integral de
superficie.
SR sdfdVf
Teorema del Gradiente.
Expresa que la funcin es una funcin escalar continua en una regin R limitada por una superficie S.
Se tiene:
SR sddV
Teorema del rotacional.
Expresa que si f
es una funcin vectorial contina en una regin R limitada por una superficie S.
SR fsddVf
CAPITULO V: COORDENADAS CURVILINEAS
INTRODUCCION.
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02
Ejemplo:
Si )(ruu donde 222 zyxr y r
esta expresado en coordenadas esfricas
cr
ru
ru
2)(
?)(
2
2
COORDENADAS CURVILINEAS.
Llamamos superficies coordenadas cuando:
cteccc
cwcvcu
321
321
,,
;;
La interseccin entre estas superficies coordenadas se conoce como lneas coordenadas
wvu ,, Lneas coordenadas
WVU eee ,, Vectores unitarios normales
wvu eee ,, Vectores unitarios tangentes
Las ecuaciones que relacionan los sistemas coordenados y curvilneos son:
0,,
,,0
,,
,,
),,(
),,(
),,(
),,(
),,(
),,(
: 1
zyx
wvuJ
wvu
zyxJ
zyxww
zyxvv
zyxuu
T
wvuzz
wvuyy
wvuxx
T
Vectores unitarios tangenciales
)`(
)`(
tr
tr
ds
rdT
),,( wvurr
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Vectores unitarios tangenciales
1
1
1
ww
vv
uu
e
w
r
w
r
e
e
v
r
v
r
e
e
u
r
u
r
e
0
0
0
1
wv
wu
vu
wvu
ee
ee
ee
eee
Vectores unitarios normales
n
1
1
1
WW
VV
UU
ew
we
ev
ve
eu
ue
0
0
0
1
WV
WU
VU
WVU
ee
ee
ee
eee
BASES.
Sistema coordenado
En el sistema coordenado cartesiano se considera como base a los vectores unitarios kji ,,
kjiB ,,
En coordenadas cilndricas se considera vectores base a vectores unitarios tangenciales y normales
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WVU
wvu
WVU
wvu
HwHvHu
w
rh
v
rh
u
rh
eeeB
eeeB
,,
,,
WVU HHH factores de escala
wvu hhhwvu
zyxJ
,,
,,
Las ternas de vectores
w
r
v
r
u
r
,, y ),,( wvu constituyen un conjunto reciproco de vectores
0
0
1
uw
r
uv
r
uu
r
0
1
0
vw
r
vv
r
vu
r
1
0
0
ww
r
wv
r
wu
r
0
1
nm
nmq
q
rmnn
m
wvuw
r
v
r
u
r
bbbaaa
bbbaaa
1
)(
1
),,(),,(
321
321
321321
COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES.
Ww
Vv
Uu
ee
ee
ee
0
0
0
wv
wu
vu
ee
ee
ee
0
0
0
WV
WU
VU
ee
ee
ee
uhu
r
-
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w
r
he
v
r
he
u
r
he
w
w
v
v
u
u
1
1
1
W
W
W
V
V
V
U
U
U
He
He
He
1
1
1
11
11
11
Ww
W
w
Vv
V
v
Uu
U
u
HhH
h
HhH
h
HhH
h
uU
U
WVUWVU
WVWV
WWVVUU
WWVV
VVV
WVU
WV
hH
e
u
r
eeeHHH
eeHH
u
r
HeHeHe
HeHe
u
r
He
u
r
1
Uu
U
Uuu
ee
eHhu
r
h
11
ELEMENTO DIFERENCIAL DE ARCO.
2222222 )()()()( dwhdvhduhds wvu
ELEMENTO DIFERENCIAL DE VOLUMEN.
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wvu
wvu
hhhwvu
zyxJ
dudvdwhhhdv
,,
,,
GRADIENTE.
),,(
111
wvu
ewh
evh
euh
w
w
v
v
u
u
DIVERGENCIA.
Si wwvvuu efefeff
wvuwvuwvu
wvu
hhhw
hhhv
hhhuhhh
f1
ROTACIONAL.
wwvvuu
wwvvuu
wvu
fhfhfhwvu
eheheh
hhhf
1
wwuuvvvvuuvvuuvvww
wvu
ehfhv
fhu
ehfhw
fhu
ehfhw
fhvhhh
f )()()()()()(1
LAPLACIANO EN COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES.
wh
hh
wvh
hh
vuh
hh
uhhh w
vu
v
wu
u
wv
wvu
12
COORDENADAS CILINDRICAS.
kzjsenizrr
zz
seny
x
cos),,(
cos
z
rh
z
r
he
rh
r
he
rh
r
he
z
z
z
;1
;1
;1
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1
coscos
1coscos
22
22
z
rk
z
r
senr
jisenr
senr
jsenir
ke
jisene
jsenie
z
cos
cos
Vectores unitarios Tangenciales
ZHZ
Ze
He
He
ZZ
1
1cos
1cos
ZkZ
jisen
jseni
ke
jisene
jsenie
Z
cos
cos
Vectores Unitarios Normales
z
z
z
ez
ee
ezh
eh
eh
1
11
1
1
111
Para 2tan z
zezeez
tan2sectan
22 Gradiente
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2sec21
tan1
1
f
zz
f
hhhz
hhhhhhhhh
f zzzz
2sec3 f
Divergencia
CAPITULO VI: ANALISIS TENSORIAL
El anlisis tensorial se centra en el estudio de entes abstractos llamados tensores, cuyas propiedades son independientes de los sistemas de referencia empleados para determinarlos. Un Tensor esta representado
por un sistema de referencia, mediante un conjunto de funciones llamadas componentes igual que u vector
esta determinado mediante sus componentes dadas. El que un conjunto dado represente un Tensor
depende de la ley de transformacin de estas funciones de un sistema coordenado a otro.
Cuando nuestro estudio se restringe a transformaciones de un sistema de coordenadas homogneas a otro,
los tensores que interviene son denominados tensores cartesianos.
Los tensores se clasifican por su orden segn la forma particular a la ley de transformacin que obedecen,
esta misma clasificacin se refleja en el nmero de componentes que posee un tensor dado en un espacio
n-dimensional.
As en un espacio euclidiano tridimensional tal como un espacio fsico ordinario el nmero de componentes
de un tensor es igual a n3 Donde n es el orden del tensor.
Si n es igual a cero tenemos 130 Escalar
Si n es igual a uno tenemos 331 Vector
Si n es igual a dos tenemos 932 Dada
Si n es igual a tres tenemos 2733 Triada
DIADAS Y DIADICAS.
DIADA.
Es el producto indeterminado de dos vectores
ba
El producto indeterminado de vectores `por lo general no es conmutativo.
abba
Al primer vector de una Dada se denomina antecedente y al segundo vector se denomina consecuente.
DIADICA.
Una Didica (D) equivale a un tensor de segundo orden y siempre se representa por una suma finita de
Dadas.
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N
i
iiNN bababababaD1
332211 ...
(1)
Si en cada Dada de D se intercambian los antecedentes y consecuentes la Didica resultante se denomina
Didica conjugada y se denota como DC
N
i
iiNNC abababababD1
332211 ...
Si cada Dada en (1) se reemplaza por un producto escalar de vectores, se llama escalar de la didica y se
denota por DS :
NNS babababaD
...332211 Escalar
Si cada dada en (1) se sustituye por un producto vectorial de vectores el resultado se denomina vector de
la didica y se denota de esta manera:
NNV babababaD
...332211 Vector
PROPIEDADES DEL PRODUCTO INDETERMINADO DE VECTORES.
Estas obedecen a las leyes distributivas que son las siguientes:
bdcbdacadcba
cbcacba
cabacba
MULTIPLICACION DE UNA DIADICA POR UN VECTOR.
Si V
es un vector cualquiera los productos escalares DV
y VD
son los vectores definidos respectivamente.
VbaVbaVbaVbaVD
baVbaVbaVbaVDV
NN
NN
...
...
332211
332211 Vectores
VbaVbaVbaVbaVD
baVbaVbaVbaVDV
NN
NN
...
...
332211
332211 Didicas
DIADICA UNITARIA.
Se representa por la letra I
nneeeeeeeeI ...332211
ie Vectores unitarios
Coordenadas rectangulares.
kkjjiiI
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Coordenadas cilndricas.
zzeeeeeeI
Coordenadas esfricas.
eeeeeeI rr
Se cumple que:
VIVVI
PROPIEDADES DE DIADAS.
Definiendo las siguientes Dadas ba
y dc
))(( dbcadcba
Escalar
))((
))((
dbcadcba
dbcadcba
Vectores
))(( dbcadcba
Dada
))(( dbcadcba
Se dice que una didica D es auto conjugada o simtrica si:
CDD
Se dice que una didica es antisimetrica si:
CDD
Cada didica puede ser expresada nicamente como la suma de una didica simtrica y otra antisimetrica
)(2
1)(
2
1CC DDDDD
CONVENIO DE SUMA DE INDICES REPETIDOS.
Cuando algunas sumatorias tenemos:
i
iN
ii
i
N
N
ii
N
i
iiNN
N
i
iiN
xxxxxx
babababababaD
aaaaaa
13
3
2
2
1
1
1
332211
1
321
...
...
...
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Las sumas anteriores se pueden representar o escribir en una forma mas abreviada adaptando el convenio
de que cuando se aparece un ndice repetido ha de entenderse una suma respecto del mismo desde el
valor 1 hasta el valor N a esto se conoce como el convenio de Einstein.
Ejemplo:
Sea jiji zcx donde el rango de variacin de i, j es de 1 a 3, j es el ndice repetido.
Desarrollar ix
33323213133
32322212122
31321211111
3
2
1
zczczczcxi
zczczczcxi
zczczczcxi
jj
jj
jj
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
z
z
z
ccc
ccc
ccc
x
x
x
NOTACION INDICIAL.
En la notacin indicial se aaden letras como subndices o superndices que representan la cantidad
tensorial deseada. (Ejemplo: j
iij
j
i TDba ,,, ) el numero y la posicin de los ndices libres, directamente el
carcter tensorial exacto de la cantidad expresada por notacin indicial. Los tensores se denotan por que
tienen un ndice libre, el vector a
se puede representar de dos formas i
i aa , a continuacin los siguientes
trminos que tiene solo un ndice libre se consideran como cantidades tensoriales de primer orden.
Ejemplo:
ijicb
i ndice repetido
j ndice libre
TENSORES DE SEGUNDO ORDEN.
Los tensores de segundo orden se denotan por smbolos que tienen dos ndices libres, la dada arbitrarios D
aparecen en u8na de las tres formas posibles.
j
i
i
j
ij
ij DDDD
j
iD
En la forma mixta el punto ( ) indica que j es el segundo ndice
TENSORES DE TERCER ORDEN.
Los tensores de tercer orden se representan con 3 ndices libres un smbolo lamda ( ) que no acompaa a
ningn ndice, representa un escala de orden cero. Para un rano de tres en ambos ndices el smbolo ijA
representa a las componentes del tensor de segundo orden, denominado didica y se representa mediante
una matriz.
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333231
232221
131211
AAA
AAA
AAA
Aij
De la misma manera podemos representar a un vector.
3
2
1
321
A
A
A
A
AAAA
i
i
El convenio de las sumas se usa para la representacin de tensores con vectores base afectados de ndices
escritos en notacin simblica.
Los tensores de segundo orden tambin se pueden representar por la suma de los ndices base, segn esto
la dada ( ba
) dada en la forma nonium se puede escribir de la siguiente forma:
jijijjii eebaebeaba ))((
En esta expresin es fundamental que se mantengan la secuencia de los vectores base de igual manera
nonium de la didica arbitraria D se puede expresar en forma abreviada de la siguiente manera
jiij eeDD
TRANSFORMACION DE COORDENADAS DE TENSORES.
Si representamos ix el sistema arbitrario de coordenadas, 321 ,, xxx en un espacio euclidiano
tridimensional, 3E y por i cualquier otro sistema de coordenadas 321 ,, en el mismo espacio
tridimensional. A que los superndices son nmeros indicativos y no son exponentes. Las potencias de x se
pueden expresar usando parntesis 232221 )(;)(;)( xxx Las ecuaciones de transformacin de coordenadas
estn dadas por:
),,( 3211 xxxi (1)
La cual asigna a un punto cualquiera ),,( 321 xxx en el sistema ix , un nuevo conjunto de coordenadas
),,( 321 en el sistema i Se supone que las funciones i que relacionan los dos conjuntos de variables coordenadas son funciones de valor nico, continuas y diferenciales, el determinante:
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
xxx
xxx
xxx
J
(2)
En forma abreviada se expresa como:
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i
i
x
(3)
J se supone el Jacobiano de la transformacin. Si el Jacobiano es diferente de cero tiene un conjunto
inverso de nico de la forma:
0);,,( 321 Jxx ii (4)
Los sistemas de coordenadas representados por iix , en las ecuaciones (1) y (4) son completamente
generales y pueden ser cualquier sistema o cartesiano. Diferenciando la ecuacin (1) se tiene id que esta
dado por:
Diferencial Total. j
j
ii dx
xd
(5)
Esta ecuacin es prototipo de la que se define la clase de tensores conocidos como tensores
contravariantes. Se dice en general que un conjunto de cantidades asociadas a un punto P son las
componentes de orden uno si se transforman bajo una transformacin de coordenadas dadas por la
ecuacin.
Tensor contravariante de orden uno j
j
iii b
xbb
` (6)
i ndice libre
j ndice repetido
Donde las derivadas parciales se calculan en P en la ecuacin (6) jb representa las componentes del
tensor en el sistema de coordenadas ix mientras que ii bb `, representa las componentes en el sistema i
En la teora general de los tensores, los tensores contravariantes se reconocen por el empleo de ndices
escritos como superndices.
Por esta razn aqu se sealan las coordenadas como ix en vez de ix pero hay que tener en cuenta que
esto solamente es as para los diferenciales dx y no para las coordenadas mismas que tienen carcter de
tensor.
Para una generalizacin lgica del concepto de tensor expresado en la ecuacin (6), la definicin de
tensores contravariantes de orden dos requiere que los componentes de un tensor obedezcan a la ley de
transformacin siguiente:
pq
q
j
p
iijij B
xxBB
` (7)
ijij BB ` representa las componentes en el sistema i pqB representa las componentes en el sistema ix
Los tensores de tercer orden y cuarto orden se definen de forma similar. La palabra contravariante se usa
para distinguir a esta clase de tensores conocida como tensores covariantes. En la teora general de los
tensores los tensores covariantes se conocen por el empleo de subndices.
El prototipo de un vector covariante es la derivada parcial de una funcin escalar de coordenadas.
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As, si es funcin de 321 ,, xxx
)`,`,`( 321 xxx es una funcin tal que la derivada parcial de respecto a i es igual a la derivada
parcial de respecto de j la derivada parcial de:
i
j
ji
x
x
(8)
En general se dice que un conjunto de cantidades ib que son las componentes de un tensor, componentes
de orden uno, se transforman mediante la ecuacin:
ji
j
ii bx
bb
(9)
Tensor covariante de primer orden
i ndice libre
j ndice repetido
Los tensores covariantes de segundo orden obedecen la siguiente ley de la conservacin
pqj
q
i
p
ijij Bxx
BB
`
Esto se generaliza para tensores de tercer y cuarto orden
pqrk
r
j
q
i
p
ijk Bxxx
B
Se llaman tensores mixtos a los combinados entre contravariantes y covariantes
i
jkr
k
q
j
i
pp
qr Axx
xA
Contravariante de orden uno y covariante de orden 2. Tensor mixto tres.
TENSORES DE OREDEN SUPERIOR.
Estos se definen sin ninguna dificultad, tambin son denominados tensores mixtos
abc
dem
e
l
d
c
k
b
j
a
iijk
lm Gxx
xxxG
ESCALARES O INVARIANTES.
Sea una funcin de la coordenadas kx y la correspondiente en la transformacin de un nuevo
conjunto de coordenadas kx si se verifica la igualdad la funcin se denomina escalar o invariante
respecto a la transformacin de coordenadas, dada.
Los escalares son invariantes en toda la transformacin de coordenadas, y se los conoce como tensor de
orden cero, tensor simtrico o hemisimetrico. Se dice que un tensor es simtrico respecto a dos
componentes cualquiera si al intercambiarlas, el nuevo tensor es igual al original, si el nuevo tensor difiere
del original en el signo, este tensor se conoce con el nombre de hemisimetrico o antisimetrico
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Para: pqr
st
pqr
st
pqr
st
pqr
st
GG
GG
Tensor antisimtrico
OPERACIONES CON TENSORES.
SUMA Y DIFERENCIA.
La suma y la diferencia de dos o ms tensores del mismo orden y tipo, es otro tensor de idntico orden y
tipo.
ststst
pqr
st
pqr
st
pqr
st
CBA
CBA
MULTIPLICACION.
El producto de dos tensores del mismo o diferente orden es otro tensor cuyo orden es la suma de los
rdenes de los tensores dados. A esto se llama producto externo de tensores.
qr
st
r
t
pq
s CBA`*
CONTRACCION.
Si en un tensor de iguala un ndice contravariante y covariante, segn el convenio de ndices repetidos,
debe sumarse respecto de dicho ndice, este otro tensor resultante ser de orden inferior en dos unidades al
tensor original, este proceso se llama contraccin tensorial.
pqr
stG si r = s pq
t
pqr
rt GG
TENSOR METRICO.
Si representamos por ix a un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en un espacio euclidiano
tridimensional y por i a cualquier sistema de coordenadas curvilneo.
El vector x
que tiene los componentes cartesianas ix se denomina vector de posicin del punto arbitrario
),,( 321 xxxP referido a los ejes cartesianos rectangulares el cuadrado del elemento diferencial de la
distancia entre dos puntos muy prximos )(xP y )( dxxQ ser la diferencial de rea.
)2(),,(
)1(
)(
321
2
2
ii
ii
ii
xx
dxdxsd
dxdxds
El diferencial de ix
p
p
ii d
xdx
Diferencial de arco
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pp
q
i
p
i
q
q
ip
p
i
ddxx
ds
dx
dx
ds
2
2)(
q
i
p
i
pq
xxg
Tensor mtrico
qp
pq ddgds 2)(
pqg tensor mtrico o fundamental del espacio
LOS SIMBOLOS DE CHRISTOFFEL
CALCULO DIFERENCIAL TENSORIAL.
La derivada de un tensor es otro tensor. Esto se hace si se facilita en funcin de combinaciones de las
derivadas parciales de un tensor mtrico, que se conoce como los smbolos de Christoffel. Los tres ndices
de Christoffel a las expresiones.
1 orden
r
pq
p
qr
q
pr
x
g
x
g
x
grpq
2
1,
rpqgpq
ssr ,
rqpgqp
s
qp
s
pq
s
rqprpq
x
g
x
g
x
grqp
rqprpq
sr
r
qp
q
pr
p
qr
,
,,
2
1,
,,
Como rpqrqp ,,
rpqggpq
sg
qp
s
pq
srpqg
pq
s
sr
srsr
sr
,
,
sr
srgg Delta de Kronecker
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pq
sgrpq sr,
BIBLIOGRAFIA
Anlisis Vectorial y tensorial Sgiegel Coleccin Shaumm
Anlisis Vectorial Makarenko
Vectores y tensores Hinkey
Vectores y tensores Santalo
Anlisis Vectorial Sokolnikoff
Mecnica Terica Spiegel Coleccin Shaumm
Autor:
Nasjo Baldwin
Universidad Mayor de San Andrs Facultad de Ingeniera Bolvia
2008