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TESIS DE MAESTRIA EN FISICA MEDICA
EVALUACION DEL DESPLAZAMIENTO DE LASFUENTES Y LOS CAMBIOS DE DOSIS-VOLUMEN
DESPUES DEL IMPLANTE PERMANENTE DEBRAQUITERAPIA DE BAJA TASA DE DOSIS PARA
TUMORES DE PROSTATA
Lic. Rodrigo Cardenas SzigetyMaestrando
Lic. Judith KesslerDirectora
Miembros del JuradoDra. Silvia Adamo
Mgter. Pablo AndresDr. Fernando Saravı
Diciembre de 2013
Instituto Balseiro-Instituto de Oncologıa Angel H. Roffo
Instituto BalseiroUniversidad Nacional de Cuyo
Comision Nacional de Energıa AtomicaArgentina
Indice de contenidos
Indice de contenidos iii
Indice de figuras v
Abstract vii
Resumen ix
1. Introduccion 1
1.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Conceptos de radioterapia y dosimetrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1. Dosimetrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2. Radioterapia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Cancer de prostata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1. Glandula prostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2. Adenocarcinoma de prostata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Introduccion a la braquiterapia permanente de prostata . . . . . . . . . 9
1.4.1. Braquiterapia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2. Procedimiento quirurgico en braquiterapia permanente de prostata 10
1.4.3. Post-implante de braquiterapia permanente de prostata . . . . . 11
1.4.4. Edema de prostata inducido por braquiterapia . . . . . . . . . . 12
1.5. Conceptos de radiobiologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.1. Dosis biologicamente efectiva (BED) . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.2. Modelo lineal-cuadratico (LQ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6. Actualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.1. Modelado del edema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2. Analisis de datos clınicos 17
2.1. Braquiterapia permanente de prostata en el Instituto Oncologico Angel.
H. Roffo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1. Ingreso de pacientes y procedimientos pre-operatorios . . . . . . 17
2.1.2. Fuentes de braquiterapia y calculo de dosis . . . . . . . . . . . . 18
iii
iv Indice de contenidos
2.1.3. Procedimiento intra-operatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.4. Dosimetrıa post-operatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2. Estudio de la dependencia de la magnitud del edema con parametros del
procedimiento quirurgico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1. Discusion de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3. Simulaciones utilizando el modelo de Waterman 29
3.1. Incorporacion del modelo a la dosimetrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2. Calculo numerico de la dosimetrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.1. Limitaciones en el calculo de dosis en braquiterapia . . . . . . . 34
3.3. Simulaciones obtenidas con distintos parametros de edema . . . . . . . 34
3.3.1. Distribuciones de dosis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.2. Indices de calidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.3. Comparacion con datos clınicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.4. Discusion de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4. Conclusiones 47
5. Apendice 49
5.1. Independencia del tiempo en la orientacion de un punto respecto de una
fuente lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Referencias 51
Indice de figuras
1.1. a) Esquema general de un acelerador de teleterapia. b) Planificacion de
tratamiento de prostata con teleterapia (IMRT). . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Ejemplo de DVH cumulativo para varias estructuras y organos irradiados. 6
1.3. Ubicacion anatomica de la prostata y sus organos cercanos . . . . . . . 8
1.4. Biopsia de tejido prostatico con adenocarcinoma de prostata. Notese las
formaciones acinares caracterısticas diseminadas en todo el tejido. . . . 9
1.5. a) Procedimiento de insercion de las semillas radioactivas en braquite-
rapia de prostata. b) Radiografıa de rayos X que muestra la ubicacion
de las semillas radioactivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6. a) Curvas de supervivencia celular para cuatro tipos de celulas tumo-
rales humanas irradiadas a alta tasa de dosis. HX142 neuroblastoma;
HX58 pancreaticas; HX156 cervix; RT112 carcinoma de vejiga. (De G.
G. Steel, Radiotherapy Oncology 20, (1991)). b) Datos experimentales
de supervivencia de gliomas humanos mostrando comportamiento hiper-
sensitivo. El parametro de pendiente inicial del modelo de reparacion
inducida muestra ser mayor que para el modelo LQ. (De S. C. Short et
al., International Journal of Radiation Biology 75, (1999)) . . . . . . . 13
2.1. a) Dimensiones de las semillas de 125I utilizadas en braquiterapia de
prostata. b) Formato de las semillas usadas en implantes permanentes
(stranded seeds). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2. Geometrıa de una fuente lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3. Dispositivo de colocacion de agujas dotado de grilla de posicionamiento,
transductor de TRUS y stepper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4. Agujas utilizadas para la colocacion de semillas. . . . . . . . . . . . . . 22
2.5. a) Planificacion intraoperatoria de un implante de prostata y marcacion
de estructuras relevantes. b) Obtencion de las curvas de isodosis en la
planificacion intraoperatoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
v
vi Indice de figuras
2.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1. a) Ilustracion de la condicion de isotropıa del modelo de Waterman. b)
Cinematica del modelo de Waterman para dos puntos. Por simplicidad,
se tomo el centro C como origen del sistema de referencia. . . . . . . . 30
3.2. En las filas se ordenan los resultados calculados a diferentes tiempos
de screening. En columnas se muestran tres cortes transversales de la
prostata (considerada como un elipsoide) y mostrada en cada imagen
como una elipse. El codigo de colores expresa la escala de 0 a 200 % la
dosis prescripta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3. DVH cumulativos para las simulaciones realizadas. En la columna iz-
quierda se muestran las variaciones del DVH con el tiempo de vida me-
dio de edema a una magnitud de edema dada. En la columna derecha
se muestran las variaciones del DVH con la magnitud de edema para un
tiempo de vida medio de edema dado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4. DVH diferenciales para las simulaciones realizadas. En la columna iz-
quierda se muestran las variaciones del dDVH con el tiempo de vida
medio de edema a una magnitud de edema dada. En la columna derecha
se muestran las variaciones del dDVH con la magnitud de edema para
un tiempo de vida medio de edema dado. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5. DVH naturales para las simulaciones realizadas. En la columna izquierda
se muestran las variaciones del NDVH con el tiempo de vida medio
de edema a una magnitud de edema dada. En la columna derecha se
muestran las variaciones del NDVH con la magnitud de edema para un
tiempo de vida medio de edema dado. El eje de dosis esta en escala
logarıtmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.6. Tiempos de screening optimos en funcion de la magnitud del edema para
los ındices de calidad CI, DHI, DNR y ODI. . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.7. Comparacion entre los CI obtenidos clınicamente y con simulaciones. La
recta azul indica la identidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.8. Comparacion entre los DHI obtenidos clınicamente y con simulaciones.
La recta azul indica la identidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.9. Comparacion entre los DNR obtenidos clınicamente y con simulaciones.
La recta azul indica la identidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.10. Comparacion entre los ODI obtenidos clınicamente y con simulaciones.
La recta azul indica la identidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Abstract
Waterman et al. have observed existence of prostatic edema after perform of ther-
apeutic or palliative permanent prostate brachytherapy for prostate adenocarcinoma.
The edema produces changes on prostate volume and movement of implanted radioac-
tive sources. These changes affect the calculated dosimetry of the treatment. The
edema decreases exponentially and it can be characterized by two parameters: magni-
tude of edema and the time in which edema resolves.
In this thesis, data of patients treated with permanent prostate brachytherapy with125I seeds in Instituto Oncologico Angel H. Roffo were analyzed in order to determinate
the correlation between edema magnitude with surgical and patient-dependent param-
eters and with intensity of radiation implanted. Also, numerical simulations performed
by a developed MATLAB code were done. The code incorporates to the brachytherapy
dosimetry a prostate edema model. On this way, simulations were performed varying
the edema parameters and studies of their impact on dosimetry and the quality indices
CI, DHI, DNR and ODI were done. With this tool, quality indices were simulated
for studied patients and these results were compared with their intraoperative and
post-implant dosimetry. Finally, were calculated the optimum screening time in which
post-implant quality indices are equal to those calculated taking edema into account.
Keywords: PROSTATE EDEMA, BRACHYTHERAPY, QUALITY INDICES
vii
Resumen
Waterman et al. han observado la existencia de edema prostatico luego de la realizacion
de implantes permanentes de braquiterapia de prostata como tratamiento terapeutico
y/o paliativo de adenocarcinoma de prostata. Este edema provoca el cambio de vo-
lumen prostatico y el movimiento de las fuentes implantadas. Los cambios afectan la
dosimetrıa planificada para el tratamiento. El comportamiento del edema es decrecien-
te en forma exponencial con el tiempo y puede ser descripto mediante dos paramtros
que son su magnitud y su tiempo de resolucion.
En este trabjo se analizan los datos de pacientes tratados con braquiterapia per-
manente de prostata con semillas de 125I en el Instituto Oncologico Angel H. Roffo
para determinar la correlacion de la magnitud del edema con paramtros quirurgicos,
del paciente y de la dosis administrada. Tambien se realizaron simulaciones numericas
mediante un codigo desarrollado en MATLAB que incorpora a la dosimetrıa de bra-
quiterapia el efecto del edema. De esta forma, se realizaron simulaciones variando los
parametros del edema y evaluando como impacta el edema en la dosimetrıa general y
en los valores de los ındices de calidad del tratamiento CI, DHI, DNR y ODI. Con esta
herramienta se simularon los ındices de calidad para los pacientes estudiados conside-
rando el edema y se compararon estos resultados con las dosimetrıas intraoperatoria
y de post-implante. Por ultimo se realizo una evaluacion del tiempo de post-implante
para el cual se obtendrıan los mismos valores de ındices dosimetricos calculados consi-
derando el edema.
Palabras clave: EDEMA DE PROSTATA, BRAQUITERAPIA, INDICES DE CA-
LIDAD
ix
Capıtulo 1
Introduccion
1.1. Motivacion
El cancer es la octava causa de muerte a nivel mundial provocando mas de 1,3
millones de muertes al ano y la segunda en la Republica Argentina con mas de sesenta
mil muertes al ano [1,2]. De los multiples tipos de cancer que existen, el adenocarcinoma
de prostata es el segundo con mayor incidencia en personas del sexo masculino a nivel
mundial y el segundo con mayor causa de muerte por tumores en la poblacion argentina
masculina, siendo superado solo por el cancer de pulmon que manifiesta su elevada
incidencia debido al consumo del tabaco [3].
Los tratamientos para el cancer de prostata generalmente dependen de la severidad
del mismo y pueden comprender cirugıa, terapia con radiaciones u otros menos frecuen-
tes como terapia hormonal o quimioterapia. Dentro del tratamiento con radiaciones, la
braquiterapia es uno de los tratamientos mas utilizados para el cancer de prostata de
bajo riesgo debido a que minimiza la exposicion a radiaciones de tejido sano y tiene
una satisfactoria respuesta terapeutica. Dado que la exposicion de un paciente a las
radiaciones con fines terapeuticos es una practica que esta justificada por el beneficio
que recibe el paciente a dicha exposicion, la publicacion 105 de la ICRP recomienda la
optimizacion del tratamientos de manera que se reciba la dosis terapeutica sin exponer
en exceso al paciente a una irradiacion innecesaria [4].
En este tipo de tratamientos es de vital interes el calculo preciso de la dosis deposi-
tada sobre el tumor. Dado que la distribucion de materia es compleja por la diversidad
de tejidos y celulas presentes, el calculo de dosis es llevado a cabo por simulaciones
Montecarlo, metdos empıricos o semiempıricos y teniendo en cuenta la respuesta te-
rapeutica que se estima mediante modelos biologicos del tumor y de la radiosensibilidad
de los tejidos basados en experimentos [5].
Un efecto particular del tratamiento de braquiterapia de prostata es la edema-
tizacion (hinchazon) de la glandula prostatica. Este efecto modifica el volumen de
1
2 Introduccion
irradiacion y la dosis depositada a las celulas tumorales del tejido prostatico [6]. Es
por esto que resulta de interes comprender el problema del impacto del edema en la
braquiterapia de prostata con el objetivo de optimizar el tratamiento.
1.2. Conceptos de radioterapia y dosimetrıa
1.2.1. Dosimetrıa
Definiciones y magnitudes
En esta seccion se definiran magnitudes utilizadas en la dosimetrıa y que seran de
uso corriente en el presente trabajo.
Kerma
Sea un punto P en un volumen de material sometido a un campo de radiacion, se
define el kerma en el punto P como
K=dEtrdm
(1.1)
donde dEtr el valor medio de la energıa transferida por el campo de radiacion a partıcu-
las cargadas por diferencial de masa dm de un volumen infinitesimal que incluye al pun-
to P , incluyendo la energıa perdida por radiacion por parte de las cargas y excluyendo
la energıa transferida de una carga a otras. La unidad de kerma en el SI es el gray [Gy].
Es importante notar que para una misma irradiacion, el kerma depende del material
considerado, puesto que las propiedades del material determinan el tipo de interaccion
que se da con el campo de radiacion y, por lo tanto, determina los mecanismos de
deposicion de energıa en un volumen de masa [7].
Si la fluencia de radiacion de energıa E en un material de numero atomico Z en un
punto es Ψ, el kerma en ese punto esta dado por
K = Ψ
(µtrρ
)E,Z
(1.2)
siendo(µtrρ
)E,Z
el coeficiente masico de transferencia de energıa. Analogamente para
la energıa absorbida por partıculas cargadas se define(µenρ
)E,Z
que es el coeficiente
masico de absorcion de energıa [7].
1.2 Conceptos de radioterapia y dosimetrıa 3
Dosis
Sea un punto P en un volumen de material sometido a un campo de radiacion, se
define la dosis absorbida en el punto P , o simplemente dosis como
D=dE
dm(1.3)
donde dE es el valor medio de la energıa depositada por el campo de radiacion en un
volumen infinitesimal que incluye al punto P y que tiene una masa dm. Vale aclarar
que la diferencia con el kerma radica en que no se incluye en dE la energıa radiada por
partıculas cargadas, por lo tanto, solo se incluye la energıa que se transfiere a la materia
en forma de excitaciones y ionizaciones, que son los efectos que tienen correlacion con
el dano biologico. De aquı el interes de esta magnitud para el estudio del efecto de las
radiaciones sobre elementos biologicos.
Al igual que para el kerma, la dosis depende del material en que se la considere.
Para los casos tratados, la dosis sera calculada en tejidos pero en ocasiones es practico
considerar la igualdad con la dosis absorbida en agua ya que los tejidos estan compues-
tos en mayor parte por agua [7]. Las unidad de dosis en el SI, al igual que el kerma es
el Gy.
Tambien se puede hablar de las cantidades anteriores por unidad de tiempo, en tal
caso se habla de tasa de kerma y tasa de dosis notadas K y D respectivamente.
1.2.2. Radioterapia
La Radioterapia es el empleo de radiaciones ionizantes con fines terapeuticos. El
mayor espectro de aplicacion de esta disciplina esta avocado principalmente al trata-
miento de neoplasias de forma curativa o paliativa. Su desarrollo completo invocura
investigacion y desarrollo de nuevas tecnologıas y metodos; mantenimiento, control
y puesta a punto de equipos utilizados para tratamiento; interaccion entre medicos,
tecnicos y fısicos medicos y planificaciones de los tratamientos de terapia radiante.
El objetivo de la radioterapia consiste en administrar una cierta distribucion de
dosis a un volumen determinado a irradiar. La justificacion de este accionar consiste en
que la dosis administrada produce un efecto biologico sobre el tejido que se administra.
Justificacion del tratamiento con radiaciones
El mantenimiento y renovacion de los tejidos (y por lo tanto, el mantenimiento de
sus funciones) depende de la existencia de un pequeno numero de celulas madre. Estas
son celulas con una gran capacidad de proliferacion y diferenciacion en tejidos especia-
lizados. Los carcinomas son producto de celulas madre alteradas (celulas neoplasicas).
Su capacidad de diferenciacion hace que los tumores malignos mantengan muchas de
4 Introduccion
la caracterısticas del tejido cercano. Vale destacar que no todas las celulas en un tu-
mor son neoplasicas, de hecho, los carcinomas contienen muchas celulas normales que
forman el tejido de sosten de los organos. Por lo tanto, las celulas madres neoplasicas
son las que promueven el crecimiento del tumor y las que deben ser erradicadas para
detener el comportamiento maligno del mismo.
La exposicion de tejidos biologicos a radiacion ionizante produce la ionizacion y exci-
tacion de sus atomos constituyentes. Como resultado de estas excitaciones en moleculas
se generan lo que se conoce como radicales libres. Los radicales libres son altamente
inestables y tienden a reaccionar con moleculas cercanas produciendo dano quımico a
sustancias como proteınas, enzimas, componentes de biomembranas, entre otros. Estos
procesos de reaccion con otras moleculas se desarrollan en tiempos del orden de mili-
segundos en condiciones fisiologicas.
El componente biologico que resulta crıtico para la alteracion de las funciones de
una celula es el ADN. Esta es una molecula formada por carbohidratos y bases ni-
trogenadas que codifican quımicamente las funciones de la celula en terminos de las
secuencias de bases. La alteracion de la secuencia de bases por reacciones quımicas con
radicales libres es la razon por la cual el ADN es la parte mas vulnerable a radiacio-
nes de una celula. Un dano genetico fatal a una celula involucra que esta no pueda
reproducirse o mantener las funciones necesarias para seguir viva [8]. Sin embargo, la
distincion fundamental que justifica el tratamiento de cancer con radiaciones es la ra-
diosensibilidad de las celulas tumorales frente a las celulas normales. Durante el ciclo
de division celular existen estadıos de control y reparacion de posibles errores produ-
cidos en la replicacion del ADN. En las celulas tumorales este perıodo de control es
mucho menor que en celulas normales dada la acelerada frecuencia de duplicacion de
las celulas neoplasicas. Por lo tanto, es mas probable que persistan errores geneticos en
celulas tumorales que en celulas de tejido normal produciendo mayor necrosis (muerte
de celulas) de las primeras [8].
Tipos de tratamientos con radiaciones
En general existen dos tipos de tratamientos de radioterapia, terapia de irradiacion
externa (teleterapia) y de irradiacion cercana o interna (braquiterapia). Para el cancer
de prostata la radioterapia de irradiacion externa se realiza con haces de fotones con
campos antero-posteriores y laterales, pasando por la incorporacion de campos oblicuos
y en ocasiones campos rotacionales con dosis suplementarias a la prostata dependien-
do del caso. En general, en estos casos se utilizan protecciones que suelen ser bloques
de cerrobend o colimadores multilaminares que se adaptan al contorno del volumen a
irradiar. Estos ultimos dispositivos se pueden utilizar dinamicamente para tratamien-
tos de teleterapia con intesidad modulada o IMRT (Figura 1.1). La planificacion del
1.2 Conceptos de radioterapia y dosimetrıa 5
tratamiento consiste en determinar la posicion, orientacion y tiempo de exposicion de
los haces desde el punto de vista clınico y fısico. La planificacion es simulada compu-
tacionalmente mediante imagenes medicas donde se realizan los contorneos digitales
en estudios de Rayos X, Tomografıa Computarizada (CT) o de Resonancia Magnetica
(MRI) de la prostata y las estructuras anatomicas adyacentes.
En la seccion 1.4 se presentara la tecnica de braquiterapia aplicada al cancer de
prostata que es la tecnica de tratamiento ananlizada en la presente tesis. La ventaja
de este tipo de tratamiento frente a la teleterapia es la irradiacion localizada del tumor
evitando irradiaciones innecesarias a tejidos no comprometidos con el cancer.
a)
b)
Figura 1.1: a) Esquema general de un acelerador de teleterapia. b) Planificacion de tratamientode prostata con teleterapia (IMRT).
Caracterizacion de tratamientos
Los tratamientos de terapia radiante deben ser planificados, esto es, a partir de las
caracterısticas del paciente y la enfermedad que posee debe disenarse la forma en que
se administrara la dosis. Dependiendo de la tecnica de irradiacion seran los parame-
tros que se ajustaran. En terapias radiantes de irradiacion externa algunos de estos
parametros son la ubicacion de los haces de irradiacion respecto de la ubicacion del
paciente, la cantidad de tiempo y energıa de irradiacion por mencionar algunos. En
braquiterapia algunos de estos parametros pueden ser la posicion de las fuentes res-
pecto del volumen a tratar y la intensidad de las fuentes. Usualmente la planificacion
se realiza ingresando estos parametros en un algoritmo de calculo de dosis (puede ser
computacional o manual). En dichos algoritmos se encuentra modelizada la deposicion
de dosis en los tejidos. Finalmente el resultado es el valor de dosis en un punto del
volumen o una distribucion de dosis en el volumen irradiado. En funcion de este resul-
tado se evalua si el tratamiento planificado es satisfactorio. Para esto, el resultado de
6 Introduccion
la planificacion debe ser tal que el volumen a irradiar este adecuadamente cubierto con
la dosis prescripta y que tejido sano cercano no reciba niveles de radiacion que pueden
ser perjudiciales. La decision de aprobacion del tratamiento recae en la responsabilidad
y criterio profesional del medico.
Para caracterizar la calidad de un tratamiento existen formas de presentar los re-
sultados de una planificacion de forma sintetica y completa que se presentan a conti-
nuacion.
Histogramas de dosis-volumen
Los histogramas de dosis-volumen (DVH) dan cuenta de la proporcion de un vo-
lumen dado (usualmente un organo o estructura anatomica) que recibe ciertos niveles
de dosis. Usualmente se distinguen tres tipos de DVH: cumulativo, diferencial (dDVH)
y natural (NDVH). El cumulativo (simplemente denominado DVH) se obtiene grafi-
cando la proporcion de un volumen dado que recibe una dosis mayor o igual que D
frente al valor de D (Figura 1.2). El dDVH se obtiene graficando la proporcion de un
volumen dado que recibe una dosis el el rango de D a D + δ en funcion de D siendo
δ un incremento de dosis fijo. Por ultimo el NDVH es escencialmente un histograma
dosis-volumen diferencial pero graficado en funcion de la variable −D− 32 . Mediante este
cambio de varible se pueden visualizar de mejor manera los gradientes de dosis que se
dan en un volumen dado para valores de dosis altos [9].
Figura 1.2: Ejemplo de DVH cumulativo para varias estructuras y organos irradiados.
1.3 Cancer de prostata 7
Indices de calidad
Los ındices de calidad (QI) son cantidades que permiten evaluar la calidad de un
tratamiento. En general se definen como [10]
QI =TVDref
TV(1.4)
siendo TVDrefla fraccion del volumen objetivo que recibe una dosis mayor o igual que
una dosis de referencia Dref y TV el volumen objetivo total. De la misma manera, un
ındice de calidad tambien puede definirse como la fraccion del volumen objetivo que
recibe una dosis en cierto rango. Notese que la primera definicion es igual a tomar un
punto en el DVH a una dosis Dref .
Cuatro ındices que seran de utilidad definir son el ındice de cobertura (CI), defi-
nido como la fraccion del volumen objetivo que recibe una dosis mayor o igual a la
prescripta; el ındice de homogeneidad de dosis (DHI), definido como la fraccion del
volumen objetivo que recibe una dosis en el rango de 1 a 1.5 veces la dosis prescripta;
el ındice de dosis no uniforme (DNR), definido como la fraccion del volumen objetivo
que recibe una dosis mayor que 1.5 veces la dosis prescripta y el ındice de sobredosado
(ODI), definido como la fraccion del volumen objetivo que recibe una dosis mayor que
2 veces la dosis prescripta.
1.3. Cancer de prostata
1.3.1. Glandula prostatica
La prostata es una glandula accesoria del sistema reproductor masculino que se
encuentra en la region abdomino-pelvica alrededor de la uretra masculina entre la base
de la vejiga y el diafragma urogenital. Posee una forma ovoide achatada y suele medir
aproximadamente 4cm desde el lateral izquierdo al derecho, 3cm desde el extremo su-
perior al inferior y cerca de 2cm desde su extremo anterior al posterior (figura 1.3). No
obstante, estas medidas pueden variar con cada individuo y con la edad o alteraciones
como tumores presentes en la glandula. La prostata crece lentamente desde el naci-
miento a la pubertad, luego se expande rapidamente hasta los 30 anos y a partir de esa
edad comunmente permanece estable hasta los 45 anos pudiendose agrandar mas en el
transcurso de los anos posteriores. Histologicamente se encuentra formada por tejido
fibroso, glandular y muscular. Su funcion es la de secretar sustancias que se integran a
la secrecion seminal y contribuyen a la motilidad y viabilidad de los espermatozoides.
Otros organos cercanos a la prostata son la uretra, que pasa a traves de ella en sentido
cefalico-caudal, la vejiga, ubicada anatomicamente sobre ella, las vesıculas seminales
ubicadas en la parte superior de la prostata y el recto del sistema digestivo que es
8 Introduccion
lindero a la parte posterior de la prostata [11].
Figura 1.3: Ubicacion anatomica de la prostata y sus organos cercanos
1.3.2. Adenocarcinoma de prostata
El adenocarcinoma de prostata es uno de los tumores malignos con mayor incidencia
en la poblacion masculina. La histopatologıa del cancer de prostata consiste en forma-
ciones acinares que se desarrollan en todo el tejido. Dichas formaciones pueden ser
observadas mediante biopsia de la prostata, un estudio que es utilizado para diagnosti-
co del cancer de prostata (Figura 1.4). Los estudios morfologicos han mostrado que casi
todos los carcinomas de prostata se desarrollan hacia las glandulas perifericas, inva-
diendo las vesıculas seminales y tejidos periprostaticos y, posteriormente, envolviendo
al cuello de la vejiga o al recto [12]. El tamano y grado de diferenciacion del tumor
son factores de riesgo directos en la probabilidad de metastizar (dispersion del cancer
a otras regiones del cuerpo). La tecnica de palpacion rectal permite diagnosticar la
existencia de masas tumorales en la prostata.
Existen criterios y escalas utilizadas para estadificar un cancer. Por un lado, la
escala TNM clasifica una neoplasia dependiendo de su grado de desarrollo y dispersion
en el cuerpo. Se designa T si la neoplasia se encuentra localizada en un organo, N si
ha migrado hacia nodulos linfaticos y M cuando ya ha metastizado a otras regiones
del organismo. Cada estadıo, a su vez, se puede clasificar en 1, 2 o 3 dependiendo la
1.4 Introduccion a la braquiterapia permanente de prostata 9
magnitud y diferenciacion del tumor [11]. Otra escala utilizada para estadificar cancer
es la escala Gleason. Esta se basa en el grado de diferenciacion e irregularidad del
tejido. Asigna un valor de 1 a 5 (a mayor valor, menor grado de diferenciacion y mayor
irregularidad) a la componente celular y del estroma, donde finalmente se reporta la
puntuacion de cada una y su suma. En particular para el cancer de prostata existe
una manera clınica de diagnosticar y medir el grado de severidad del cancer. Esto se
logra mediante el monitoreo de los niveles de Antıgeno Prostatico Especıfico (PSA),
una sustancia producida por las celulas epiteliales prostaticas cuyo valor normal es de
0,4 a 4ng/ml [13]. Por encima de estos valores se puede sospechar de la presencia de
cancer de prostata y su aumento en el tiempo indica aumento en el desarrollo de la
neoplasia.
Figura 1.4: Biopsia de tejido prostatico con adenocarcinoma de prostata. Notese las formacio-nes acinares caracterısticas diseminadas en todo el tejido.
1.4. Introduccion a la braquiterapia permanente de
prostata
1.4.1. Braquiterapia
El termino braquiterapia1 refiere al tratamiento de tumores a corta distancia, en
contraste con la teleterapia, donde los tumores son tratados a larga distancia desde la
fuente de radiacion. La braquiterapia se lleva a cabo mediante la colocacion de fuentes
radioactivas en los tejidos a irradiar o en su cercanıa.
Historicamente, la braquiterapia se desarrollo en respuesta a la poca efectividad de
la teleterapia para tumores profundos. No obstante actualmente existen tratamientos
que involucran complementariamente teleterapia y braquiterapia [8].
1Del griego brachys que significa “cerca”
10 Introduccion
Los tratamientos de braquiterapia se pueden clasificar respecto de la colocacion de
las fuentes radioactivas en el cuerpo, la duracion del tratamiento y de su tasa de dosis.
En el primer enfoque, los tratamientos de braquiterapia se clasifican en braquiterapia
intracavitaria si las fuentes son colocadas dentro de cavidades del cuerpo; intersticial si
las fuentes son implantadas dentro del tejido; intraluminal si las fuentes son colocadas
dentro del lumen de organos y superficial si la fuente es colocada fuera del cuerpo y
sobre la superficie del tejido a [8]. En cuanto a su clasificacion respecto al tiempo de
tratamiento, la braquiterapia se clasifica en temporaria y permanente. La braquiterapia
temporaria involucra una irradiacion en un corto perıodo de tiempo, en donde las
fuentes radioactivas son removidas despues de lograr la dosis terapeutica. Por otra
parte, la braquiterapia permanente es aquella en que las fuentes son colocadas de forma
permanente en el paciente y la irradiacion se efectua hasta que las fuentes radioactivas
decaen [14].
Los tratamientos de braquiterapia pueden ser clasificados en terminos de su tasa
de dosis. La braquiterapia de baja tasa de dosis (LDR) comprende tasas de dosis en
el rango de 0,4 − 2 Gy/h, la de media tasa (MDR) en el rango de 2 − 12 Gy/h y la
de alta tasa (HDR) para dosis mayores de 12Gy/h [14]. La braquiterapia de prostata
es intersticial y, en esta tesis, se consideran los implantes permanentes de baja tasa de
dosis. Ejemplos de braquiterapia intracavitaria son en tratamientos de cancer de cuello
uterino y vagina, donde la cavidad considerada es la vagina. En cancer de esofago se
utiliza braquiterapia intraluminal utilizando el mismo esofago como el lumen donde se
efectua la aplicacion. Finalmente, la braquiterapia superficial es usualmente practicada
en melanomas de piel [8].
1.4.2. Procedimiento quirurgico en braquiterapia permanente
de prostata
En general, la colocacion de fuentes radioactivas se hace quirurgicamente en la
prostata. En los implantes permanentes de prostata generalmente de 30 a 60 fuentes
radiactivas (dependiendo del tamano de la glandula) son localizadas quirurgicamente
dentro de la glandula de forma que se logre una dosis terapeutica (110 a 145 Gy) para
ası lograr una dosis potencialmente curativa y minimizar la dosis a los tejidos sanos
circundantes. La planificacion del implante esta basada en imagenes de ultrasonido ad-
quiridas previamente a su realizacion. Con estas imagenes y el sistema de planificacion
se establecen la cantidad y ubicacion de fuentes en la glandula. Para realizar el implante
de las fuentes radioactivas (o tambien conocidas como semillas radioactivas) se realiza
una insercion transperineal guiada por ultrasonido transrectal (TRUS, en sus siglas en
ingles) como muestra la figura 1.5a [14]. La planificacion se realiza de tal manera que
el volumen prostatico sea cubierto en un 90 % por la dosis terapeutica (usualmente
1.4 Introduccion a la braquiterapia permanente de prostata 11
110Gy si la braquiterapia es combinada con un tratamiento de EBRT o 145Gy si es
monoterapaia terapeutica).
a) b)
Figura 1.5: a) Procedimiento de insercion de las semillas radioactivas en braquiterapia deprostata. b) Radiografıa de rayos X que muestra la ubicacion de las semillas radioactivas.
1.4.3. Post-implante de braquiterapia permanente de prostata
Una vez que las semillas han sido implantadas en el paciente en la braquiterapia de
prostata, no es posible alterar su configuracion. No obstante, es util analizar la distri-
bucion de dosis y evaluar la calidad del implante. Por lo tanto, se recomienda realizar
la dosimetrıa de post-implante que es llevada a cabo mediante imagenes de tomografıa
computada tomadas varias semanas despues del implante para permitir la estabiliza-
cion del edema post-implante. La dosimetrıa se realiza evaluando la posicion de las
semillas mediante los cortes tomograficos transversales. Luego, deben ser reportados
los siguiente ındices dosimetricos [8]:
El valor de la dosis prescripta para el tratamiento.
D90, la dosis mınima que cubre el 90 % del volumen prostatico (en la planificacion
debe ser, al menos, igual que la dosis prescripta).
V100, el porcentaje del volumen prostatico que ha recibido una dosis mayor o igual
a la prescripta. Este parametro coincide con el ındice de cobertura definido en la
seccion 1.2.2.
V150, el volumen que recibe 50 % mas que la dosis prescripta. Este parametro
coincide con el ındice de dosis no uniforme definido en la seccion 1.2.2.
12 Introduccion
Es tambien en el post-implante que se puede obtener otra informacion de interes a partir
de la distribucion de las semillas como es, por ejemplo, conocer el desplazamiento de
las mismas respecto de sus posiciones en el momento de ser implantadas.
1.4.4. Edema de prostata inducido por braquiterapia
Los procedimientos quirurgicos usados para el implante de fuentes radioactivas pro-
vocan la hinchazon de la glandula prostatica, hecho que se conoce como edema de
prostata inducido. El edema inducido ha mostrado ser muy variable entre pacientes en
cuanto a su tamano y tiempo de desaparicion [15].
La combinacion del edema de prostata inducido junto con el decaimiento de las
fuentes resulta en un complejo patron temporal de irradiacion dependiente de cada
paciente. Dado que la supervivencia de celulas puede ser muy afectada por la tasa de
irradiacion, el impacto clınico de diferentes patrones temporales debe ser evaluados
cuidadosamente [16].
1.5. Conceptos de radiobiologıa
1.5.1. Dosis biologicamente efectiva (BED)
La dosis biologicamente efectiva (BED) es una cantidad utilizada para comparar
efectos biologicos en diferentes planificaciones y tipos de radioterapia. La BED puede
ser pensada como la dosis teorica fısica que podrıa ser entregada si se administra una
gran cantidad de dosis en pequenas fracciones. Cuantitativamente se define como
BED[Gy] = TD[Gy]RE (1.5)
donde TD es la dosis fısica total y RE es un factor adimensional que tiene en cuenta
otros detalles fısicos del tratamiento (como tasa de dosis o dosis por fraccion) junto
con factores radiobiologicos propios del tejido. Resulta entonces que ante una misma
dosis para dos tejidos distintos, cada uno tendra una BED diferente [8].
1.5.2. Modelo lineal-cuadratico (LQ)
El dano sub-letal al ADN en las celulas puede ser reparado si se espera el tiempo
suficiente. Si un dano mayor se acumula antes de haber sido reparado el anterior,
entonces implica la muerte de la celula. Aunque esta es una explicacion simple del
proceso de reparacion, ayuda a entender varias facetas de la radioterapia clınica.
A partir de 1980 Fertil y Malaise comezaron a estudiar experimentalmente la radio-
sensibilidad de celulas tumorales y la relacion entre dosis entregada y muerte celular.
1.5 Conceptos de radiobiologıa 13
En la figura 1.6 se muestran resultados tıpicos de irradiacion para algunas celulas tu-
morales representativas del humano. Se ha notado que se puede establecer una relacion
de tipo exponencial entre la dosis y la fraccion de celulas supervivientes del tipo
a)
b)
Figura 1.6: a) Curvas de supervivencia celular para cuatro tipos de celulas tumorales huma-nas irradiadas a alta tasa de dosis. HX142 neuroblastoma; HX58 pancreaticas; HX156 cervix;RT112 carcinoma de vejiga. (De G. G. Steel, Radiotherapy Oncology 20, (1991)). b) Datos expe-rimentales de supervivencia de gliomas humanos mostrando comportamiento hiper-sensitivo. Elparametro de pendiente inicial del modelo de reparacion inducida muestra ser mayor que para elmodelo LQ. (De S. C. Short et al., International Journal of Radiation Biology 75, (1999))
S = exp{−αD − βD2} (1.6)
donde S es la fraccion de celulas supervivientes, D es la dosis absorbida y α y β
son parametros que se ajustan experimentalmente. La ec. 1.6 define el modelo lineal-
cuadratico (modelo LQ).
Del modelo LQ puede obtenerse una expresion para la BED. Definiendo el efecto
Eff de la radiacion sobre un tejido como Eff = −ln S, de la ec. 1.6 resulta
Effα
= D
(1 +
β
α
)(1.7)
que de la definicion de BED resulta que
BED = D
(1 +
β
α
)(1.8)
Existe evidencia experimental que para celulas de la lınea de los mamıferos, la
fraccion de celulas supervivientes no es bien predicha el modelo LQ para dosis por
14 Introduccion
debajo de 1Gy. Se ha observado un efecto hipersensibilidad con dosis menores a 1Gy
con una transicion de gran radioresistencia por debajo de 0,2Gy (figura 1.6) que es
contemplado por la correccion al modelo LQ propuesta por Joiner et al. [17]
S = exp
{−αrD
[1 +
(αsαr− 1
)exp
(− D
DC
)]− βD2
}(1.9)
donde DC es la dosis umbral para la transicion radioresistiva, αs es el parametro del
modelo LQ que domina para baja dosis y αr el que domina a alta dosis. La ec. 1.9
tambien se conoce como modelo de reparacion inducida. El mecanismo que subyace
a este comportamiento de baja dosis no ha sido elucidado completamente [18]. Se ha
sugerido que en la region de radioresistencia hay un incremento en la capacidad de
regeneracion del ADN [17].
Este modelado se basa en funciones de Gompertz que son generalizaciones de la
funcion de crecimiento logıstico. El modelo considera poblaciones de celulas que crecen
en confinamiento espacial con disponibilidad limitada de nutrientes, un escenario que
se adapta bien a las condiciones de un tumor [19,20,21].
1.6. Actualidad
1.6.1. Modelado del edema
Las caracterısticas temporales y volumetricas del edema inducido han sido estudia-
das por Waterman [22]. Se ha visto que la evolucion del edema puede ser caracterizada
cuantitativamente mediante la expresion
V (t) = V0 + [Vmax − V0]e−λE(t−tmax) para t ≥ tmax (1.10)
donde V (t) denota el volumen de la prostata al tiempo t despues de la implantacion
de las fuentes radioactivas, V0 volumen de la prostata antes del implante (considerado
como el volumen normal de la glandula), λE es la constante de decaimiento que ca-
racteriza el ritmo de desaparicion del edema (tambien expresada como λE = ln2/T1/2
siendo T1/2 el tiempo de vida medio del edema o tiempo de resolucion del edema) y
tmax es el tiempo en el que el edema alcanza su hinchazon maxima. Este modelo es
totalmente empırico pero se ha mostrado que tiene una concordancia aceptable con los
datos clınicos [22]. Este modelo se aplica a partir de que el volumen prostatico haya
alcanzado su maximo valor y describe la disminucion del edema hasta que se recupera
el volmen normal de la glandula. Se supone que la disminucion del volumen es isotropi-
ca y hacia el centro geometrico de la prostata [23], aunque tambien se ha considerado
una modificacion del modelo donde el cambio de volumen no es isotropico [24]. Mu-
1.6 Actualidad 15
chos autores utilizan este modelo para realizar la dosimetrıa del implante teniendo en
cuenta este efecto y consideran que el volumen maximo de la glandula ocurre luego
de finalizado el implante (tmax = 0) [23,25-28], sin embargo otros trabajos [22,29] han
mostrado que esto no es ası en todos los pacientes y puede existir un aumento durante
la primera semana posterior al implante.
Otro modelo de edema que aparece en la bibliografıa es el lineal [24], donde la
evolucion del volumen con el tiempo es
V (t) = Vmax −(Vmax − V0
T
)t para t ≤ T (1.11)
donde T se denomina el perıodo del edema que es el tiempo en el que la prostata regresa
a su volumen normal.
Un parametro del edema que se suele reportar y analizar es la magnitud del edema
denotada comunmente por ∆ y definida como [25]
∆=Vmax − V0
V0(1.12)
usualmente se expresa esta cantidad en forma de porcentaje.
Capıtulo 2
Analisis de datos clınicos
2.1. Braquiterapia permanente de prostata en el
Instituto Oncologico Angel. H. Roffo
El Instituto de Oncologıa Angel H. Roffo se encuentra localizado en la Ciudad
Autonoma de Buenos Aires y esta avocado a la investigacion y tratamiento del cancer.
Dicha institucion cuenta con una division de Radioterapia encargada de planificar y
llevar a cabo los tratamientos de terapia radiante. Este trabajo se llevo a cabo en el
departamento de Fısica de dicha institucion y se realizo con datos de pacientes que
fueron tratados allı con braquiterapia permanente de prostata desde diciembre de 2006
hasta octubre de 2013. A continuacion se describen los procedimientos que invloucran
el ingreso y el tratamiento del paciente en la institucion.
2.1.1. Ingreso de pacientes y procedimientos pre-operatorios
El diagnostico de los pacientes con cancer de prostata surge del tacto rectal del
volumen prostatico, los estudios de imagenes, estudios bioquımicos de niveles de PSA
y analisis histopatologicos de biopsias. Una vez emitido el diagnostico por un medico
especialista se le informa al paciente de las alternativas de tratamiento (cirugıa, radio-
terapia externa o braquiterapia). En el caso de que el paciente acepte el tratamiento
de braquiterapia se realiza un estudio mediante TRUS del volumen de la prostata. De
esta manera se estima la cantidad de semillas que requerira el implante y son solicita-
das estas a los proovedores. Vale destacar que la recomendacion de braquiterapia de
prostata como terapia definitiva se aconseja para pacientes con score Gleason de 5 a 7
y estadıos T1 a T2.
17
18 Analisis de datos clınicos
2.1.2. Fuentes de braquiterapia y calculo de dosis
Las fuentes de interes para braquiterapia de prostata utilizadas en el Instituto de
Oncologıa Angel H. Roffo son de 125I. Este radionuclido decae por captura electronica
a un nivel excitado del 125Te con un perıodo de semidesintegracion de 59,4 dıas. El nivel
excitado del 125Te decae en el orden de nanosegundos al estado fundamental estable
emitiendo un foton de 35,4keV [30]. Este foton excita electrones de las capas K y L
del teluro que luego se desexcitan resultando en una energıa principal para los fotones
emitidos de 27,4keV . Estos son los fotones de irradiacion usados para la braquiterapia.
Las semillas radioactivas de 125I son del modelo 6711 de Rapid Strand disenado
para implante permanente, contiene una pequena barra de plata de 3mm en la cual
el yodo radiactivo es adsorbido (figura 2.1a). Las tasas de dosis de las semillas son de
7µGy m2h−1 con actividades de 0,5 a 5mCi. La barra de plata es radio-opaca, permi-
tiendo su ubicacion y reconstruccion de la geometrıa del implante mediante imagenes
radiograficas [31].
a) b)
Figura 2.1: a) Dimensiones de las semillas de 125I utilizadas en braquiterapia de prostata. b)Formato de las semillas usadas en implantes permanentes (stranded seeds).
Las semillas se encuentran espaciadas entre sı y unidas por un portador trenzado
como se muestra en la figura 2.1b.
Fuentes lineales y formalismo TG-43
En general, no se practica dosimetrıa in vivo para tratamientos de braquiterapia.
Por esta razon, la dosimetrıa esta basada en calculos de dosis a partir de la distribucion
de fuentes en el tejido que se desea irradiar. Para esto son necesarios metodos de
calculo para abordar el problema de la dosimetrıa. En esta seccion se describen algunos
resultados y geometrıas fundamentales utilizadas en el calculo de dosis para luego
introducir al formalismo de calculo utilizado en braquiterapia.
2.1 Braquiterapia permanente de prostata en el Instituto Oncologico Angel. H. Roffo 19
Fuente puntual
La tasa de dosis, D(r), a una distancia r de una fuente puntual puede ser expresada
en terminos de la tasa de dosis a una distancia rref de la fuente por la relacion [7]
D(r) = Dref
(rrefr
)2f(r) (2.1)
La distancia de referencia usualmente es considerada como 1cm. El factor f(r) es un
factor de correccion por atenuacion y dispresion.
Extension a una fuente lineal
Considerando una actividad distribuida sobre una lınea, esta puede ser descom-
puesta en longitudes elementales dL que irradian como una fuente lineal. Ignorando la
atenuacion y dispersion en agua (recuerdese que la dosis en agua era una buena esti-
macion de la dosis absorbida en tejidos), la tasa de dosis elemental dDP en un punto
P esta dada por [8]
dDP =
(µtrρ
)aguaaire
K ′RdL1
r2(2.2)
donde K ′R es la tasa de kerma en aire (corregida por atenuacion y dispersion) por
unidad de longitud de la fuente a una distancia de referencia de 1cm y(µtrρ
)aguaaire
es el
cociente de los coeficientes de transferencia de energıa masicos entre agua y aire.
Figura 2.2: Geometrıa de una fuente lineal.
La expresion anterior puede ser reescrita en coordenadas polares segun la geometrıa
definida en la figura 2.2 por medio de las relaciones
r = x sec φ y = x tan φ dy = x sec2φ dφ (2.3)
donde la tercera ecuacion desde la izquierda se obtiene por diferenciacion respecto de
20 Analisis de datos clınicos
φ de la segunda. Luego
DP =
(µtrρ
)aguaaire
K ′R
+L/2∫−L/2
dy
r2=
(µtrρ
)aguaaire
K ′R
x
φ2∫φ1
dφ =
(µtrρ
)aguaaire
K ′R
x(φ2 − φ1) (2.4)
Considerando la atenuacion por la envoltura de la fuente con una constante de atenua-
cion µ, el diferencial de dosis sera [8]
dDP =
(µtrρ
)aguaaire
K ′RdL1
r2e−µt sec φ
e−µt(2.5)
El denominador e−µt aparece como consecuencia de la definicion de la tasa de kerma
K ′R que comprende una medicion en la direccion perpendicular a la fuente lineal. Luego,
pasando a coordenadas polares se tiene que la dosis es
DP =
(µtrρ
)aguaaire
K ′R
xe−µt
φ2∫φ1
e−µt sec φdφ (2.6)
La integral de la ec. 2.6 se conoce como integral de Sievert y solo puede resolverse
numericamente.
Formalismo TG-43
En la seccion 2.1.2 se habıa mostrado la geometrıa de las fuentes de 125I utilizadas
en braquiterapia de prostata era escencialmente lineal. Para una distancia suficiente-
mente grande desde la fuente, el calculo de dosis se reduce a la de una fuente lineal. Sin
embargo, los calculos realizados bajo esta consideracion no representan precisamente la
dosis de fuentes encapsuladas si se desprecian efectos de dispersion [8]. Para mejorar la
precision del calculo es recomendable hacer uso de calculos por simulaciones de Mon-
tecarlo [32]. Nath et al. han propuesto una expresion para el calculo en braquiterapia
que tiene en cuenta la geometrıa, atenuacion, dispersion y anisotropıa de la fuente
D(r, θ) = SkΛG(r, θ)
G(r0, θ0)G(r)F (r, θ) (2.7)
donde D(r, θ) es la tasa de dosis en agua a distancia r del centro de una fuente lineal
y un angulo θ respecto del eje de la fuente (figura 2.2); Sk es la intensidad de kerma
en aire definida como el producto de la tasa de kerma en aire y el cuadrado de la
distancia a la fuente; Λ es la constante de tasa de dosis definida como la tasa de dosis
en agua en la posicion de referencia para una fuente de una unidad de intensidad de
2.1 Braquiterapia permanente de prostata en el Instituto Oncologico Angel. H. Roffo 21
kerma1; G(r, θ) es el factor de geometrıa que representa la contribucion geometrica de
la distribucion de actividad. Los dos casos frecuentes para el factor de geometrıa son
ley de la inversa del cuadrado (ec. 2.1) para el caso de una fuente puntual (ec. 2.1) y
en el caso de una fuente lineal es
G(r, θ) =
β
Lr sinθ, si θ 6= 0
1
r2−(L2 )
2 , si θ = 0(2.8)
siendo β = φ2 − φ1 de la ec. 2.4; G(r) es la funcion de dosis radial definida en el plano
central axial (θ = 90◦) e incluye los efectos de dispersion en agua y atenuacion; r0 y
θ0 son las posiciones de referencia usualmente tomadas como r0 = 1cm y θ0 = 90◦; y
F (r, θ) es el factor de anisotropıa que describe la anisotropıa debido a la atenuacion
dentro de la fuente. Los factores de anisotropıa deben derivarse para cada tipo de fuen-
tes mediante mediciones o calculos [8]. En el caso de aproximacion de fuente puntual,
el factor de anisotropıa puede ser aproximado por una constante φan independiente de
la distancia [32].
El metodo de calculo de dosis dado por la expresion 2.7 recibe el nombre de forma-
lismo TG-43. Cabe aclarar que 2.7 es una expresion para la tasa de dosis en un tiempo
determinado, pero no se incluyen los efectos de decaimiento de la fuente. Para incluir
este efecto debe agregarse el factor de decaimiento e−λI t, siendo λI = ln 2T1/2,I
la constante
de decaimiento del isotopo considerado (T1/2,I es su vida media). De esta manera la
expresion completa resulta
D(r, θ, t) = SkΛe−λI t G(r, θ)
G(r0, θ0)G(r)F (r, θ) (2.9)
2.1.3. Procedimiento intra-operatorio
Una vez que el paciente entra al quirofano se realiza anestesia general que produce
la relajacion de los musculos y su sedacion para evitar incomodidad y reflejos de dolor.
El paciente es colocado en posicion litotomica (ver Figura 1.5a) para realizar el proce-
dimiento quirurgico, el area perineal es desinfectada y es colocado un cateter uretral
para bloquear un eventual flujo de orina hacia la uretra y colectarla de forma externa.
Luego es colocado el dispositivo de colocacion de agujas que consiste en una grilla que
es ajustada en contacto con el perine y permite la ubicacion de cada aguja a colocar y
un sistema de TRUS dotado de un stepper que permite obtener cortes de ultrasonido
cada 0,5cm (Figura 2.3).
El equipo de ultrasonido utilizado es B-K Medical con transductor transrectal.
Mediante calibraciones se logra reproducir la grilla en las imagenes de ultrasonido
1Se nota U como la unidad de intensidad de kerma en aire y se define como U = cGy h−1cm2
22 Analisis de datos clınicos
Figura 2.3: Dispositivo de colocacion de agujas dotado de grilla de posicionamiento, transduc-tor de TRUS y stepper.
vistas en monitor, lo cual permite tener una referencia de la ubicacion de las agujas
y de las dimensiones de la imagen. La aguja colocada en un orificio de la grilla (ver
Figura 2.4) se carga con el numero de semillas planificadas para dicha posicion. El
medico es quien inserta las agujas en el tejido y las coloca aydado de radioscopıa de
rayos X con arco en “C” en tiempo real.
Figura 2.4: Agujas utilizadas para la colocacion de semillas.
De forma paralela, las imagenes obtenidas con el equipo de ultrasonido son visuali-
zadas en una computadora adicional operada por el fısico medico asignado y presente
en el quirofano. De esta manera, las imagenes para la planificacion de tratamiento son
adquiridas por el fısico junto con las marcaciones de estructuras relevantes para la do-
simetrıa (prostata, uretra y recto) que son realizadas de forma intra-operatoria por los
medicos desde el equipo de ultrasonido (Figura 2.5a).
Una vez adquiridas las imagenes, el fısico medico realiza la planificacion de la ubi-
cacion de semillas de manera que la dosis de prescripcion cubra un mınimo del 90 % del
2.1 Braquiterapia permanente de prostata en el Instituto Oncologico Angel. H. Roffo 23
a) b)
Figura 2.5: a) Planificacion intraoperatoria de un implante de prostata y marcacion de es-tructuras relevantes. b) Obtencion de las curvas de isodosis en la planificacion intraoperatoria.
volumen prostatico (Figura 2.5b). El sistema de planificacion utilizado fue el Vari-Seed
7.1 de Varian. El algoritmo de calculo de dosis se detallara en la seccion 3.2. Vale des-
tacar que este algoritmo se basa en una dosimetrıa estatica, es decir, que no contempla
cambios de volumen en el tiempo. Por lo tanto, la dosis se calcula asumiendo que no
se modifican ni el volumen prostatico ni la ubicacion de las fuentes. Una vez que el
plan es aceptado por el medico especialista, se procede a la realizacion del implante.
Ademas el software de planificacion calcula los volumenes de las estructuras a partir
de las marcaciones de sus contornos en cada imagen [33].
Como se menciono en la seccion 1.4.4, luego de colocadas las semillas se produce el
aumento del volumen prostatico. Ciertos autores han realizado tomografıas computadas
o TRUS luego de realizado el implante o en el dıa posterior al mismo [22,34] (lo cual
tiene la ventaja logıstica de que el paciente todavıa se encuentra en la institucion
medica) para evaluar la magnitud del edema. El ultrasonido inmediatamente despues
de realizado el implante (llamado ecografıa de dıa 0 ) tiene las ventajas sobre el estudio
de tomografıa de que se puede realizar en el mismo quirofano, ofrece una estimacion mas
fiel del volumen maximo del edema y no involucra radiaciones ionizantes, minimizando
la exposicion del paciente. Se ha visto que el ultrasonido es la tecnica que distingue
mejor el tejido prostatico en comparacion con la tomografıa, por esta razon, en imagenes
tomograficas se suele sobreestimar el volumen prostatico [35].
2.1.4. Dosimetrıa post-operatoria
Dados los cambios mencionados en el volumen prostatico que modifican la configu-
racion del implante es recomendable realizar una dosimetrıa post-implante. Esta puede
llevarse a cabo semanas posteriores al implante (usualmente un mes despues) mediante
24 Analisis de datos clınicos
la realizacion de un estudio de tomografia axial computada o resonancia magnetica por
parte del paciente. En estos estudios se realiza, de manera analoga a la planificacion
intraoperatoria, la marcacion de las estructuras de interes, la ubicacion de las semillas
y nuevamente se calcula como es la distribucion de dosis para la configuracion actual
de semillas y el estado de la prostata bajo condiciones estaticas.
2.2. Estudio de la dependencia de la magnitud del
edema con parametros del procedimiento quirurgi-
co
Se analizaron datos de 31 pacientes tratados con braquiterapia permanente de
prostata en la institucion desde diciembre de 2006 hasta octubre de 2013 con semi-
llas de 125I. Los pacientes fueron diagnosticados con score Gleason de 5 a 7 y estadıos
T1 a T2 de cancer de prostata. 23 pacientes fueron tratados con una dosis terapeutica
prescripta a la prostata de 145Gy. 8 pacientes fueron tratados con una dosis de pres-
cripcion de 110Gy, en este caso el tratamiento de braquiterapia era de rescate ante
una recidiva posterior a radioterapia externa. A todos los pacientes se les realizo do-
simetrıa post-operatoria con tomografıa computada aproximadamente un mes depues
de realizado el implante.
Se analizaron las correlaciones entre la magnitud del edema con parametros quirurgi-
cos, de la tecnica del implante y del paciente. En principio, serıa natural conjeturar
que el trauma en el tejido prostatico que provoca los cambios de volumen se origina
por la insercion de las agujas y la deposicion de semillas. Esto provoca en primer lugar
sangrado, rotura de tejido y derrame de lıquido intersticial, todos efectos que pueden
contribuir al edema. En esta logica, una primera hipotesis serıa que la magnitud del
edema aumenta con la cantidad de punciones hechas a la prostata y esto se traduce en
cantidad de agujas utilizadas en el implante. Otra conjetura surge del hecho de que se
produce edema como respuesta inflamatoria del sistema inmune ante la presencia de
objetos extranos como ser las semillas implantadas [11]. En consecuencia se podrıa hi-
potetizar que la magnitud del edema aumenta con la cantidad de semillas implantadas.
Una posibilidad que podrıa abarcar las dos causas mencionadas es que la magnitud sea
mayor ante mayor volumen prostatico normal. Se puede conjeturar que habra mayor
trauma y respuesta inmunologica mientras se este en contacto con una mayor cantidad
de tejido, por lo tanto, bajo este supuesto la magnitud del edema sera mayor mientras
mayor sea el volumen de la prostata. Por ultimo, es conocido que niveles de radiacion
superiores a 5Gy producen edematizacion de los tejidos y el efecto se acentua mientras
la exposicion sea mas aguda [36,37], por lo tanto puede hipotetizarse que la magnitud
2.2 Estudio de la dependencia de la magnitud del edema con parametros delprocedimiento quirurgico 25
del edema aumenta con la intensidad total de radiacion que es implantada.
Para estudiar la correlacion entre las cantidades mencionadas se utilizaron los coe-
ficientes de correlacion de Pearson y Spearman. El primero mide la correlacion lineal
ρX,Y de dos conjuntos de datos X e Y y se calcula como [38]
ρX,Y =cov(X, Y )
σXσY(2.10)
siendo cov(X, Y ) la covarianza entre X e Y y σX y σY las respectivas desviaciones
estandar. El coeficiente de correlacion de Pearson puede tomar valores entre −1 y +1
siendo −1 correlacion lineal perfecta pero descendente y +1 correlacion lineal perfecta
ascendente. Por otro lado, el coeficiente de Spearman es mas general en cuanto al
tipo de correlacon que mide. Sirve para evaluar cuan bien se correlacionan las variables
monotonamente independientemente de la forma funcional [39]. Para calcularlo, a cada
dato de cada conjunto se le asigna un numero de ranking dependiendo su posicion en
orden ascendente (a mayor valor mayor ranking). Sean xi e yi los valores de ranking
asignados al par de puntos i-esimo y sea di=xi−yi, entonces el coeficente de correlacion
ρ se calcula como
ρ=1− 6∑d2i
N(N2 − 1)(2.11)
donde N es la cantidad de pares de datos analizados. Nuevamente este coeficiente puede
tomar valores entre −1 y +1 siendo −1 correlacion monotona total descendente y +1
correlacion monotona total ascendente.
Dado que no se realizaron estudios inmediatamente posteriores al implante no se
tiene el dato de Vmax que se estima que se alcanza dentro de un margen de tiempo de
un dıa luego de finalizado el implante [22]. Solo se conocen V0 (el volumen prostatico
previo al implante) y el volumen de screening Vscr que es obtenido con la tomografıa
computada un mes luego del implante. Incluso los datos que se tienen son insuficientes
para calcular Vmax segun el modelo de Waterman (Al ser una exponencial se precisan
dos puntos volumen vs. tiempo para obtener todos los parametros, y solo se tiene uno).
Por lo tanto se debera hacer una estimacion de la magnitud del edema prescindiendo
de Vmax. Para esto se utilizara el cociente VscrV0
.
Correlacion entre magnitud del edema y cantidad de agujas
En la Figura 2.6 se muestra un grafico de VscrV0
vs. cantidad de agujas para los 31
pacientes analizados.
Los coeficientes de Pearson y Spearman calculados para estos conjuntos de datos
fueron −0,250 y −0,255 respectivamente, con lo cual se concluye que en estos datos no
se observa correlacion entre magnitud del edema y cantidad de agujas.
26 Analisis de datos clınicos
Figura 2.6
Correlacion entre magnitud del edema y cantidad de semillas
En la Figura 2.7 se muestra un grafico de VscrV0
vs. cantidad de semillas para los 31
pacientes analizados.
Figura 2.7
Los coeficientes de Pearson y Spearman calculados para estos conjuntos de datos
fueron −0,066 y −0,038 respectivamente, con lo cual se concluye que en estos datos no
se observa correlacion entre magnitud del edema y cantidad de semillas implantadas.
2.2 Estudio de la dependencia de la magnitud del edema con parametros delprocedimiento quirurgico 27
Correlacion entre magnitud del edema y tamano normal prostatico
En la Figura 2.8 se muestra un grafico de VscrV0
vs. tamano de la prostata en proce-
dimiento intraoperatorio para los 31 pacientes analizados.
Figura 2.8
Los coeficientes de Pearson y Spearman calculados para estos conjuntos de datos
fueron −0,411 y −0,432 respectivamente, con lo cual se concluye que en estos datos
no se observa una fuerte correlacion entre magnitud del edema y tamano prostatico
normal.
Correlacion entre magnitud del edema e intesidad total de radiacion
En la Figura 2.9 se muestra un grafico de VscrV0
vs. intensidad total de radiacion
(calculada como la intensidad de kerma por la cantidad de semillas implantadas) para
los 31 pacientes analizados.
Los coeficientes de Pearson y Spearman calculados para estos conjuntos de datos
fueron −0,019 y −0,083 respectivamente, con lo cual se concluye que en estos datos no
se observa correlacion entre magnitud del edema e intensidad total de radiacion.
2.2.1. Discusion de resultados
Los resultados obtenidos muestran que la magnitud del edema no es dependiente
de parametros quirurgicos, ni del tamano de la prostata, ni de la actividad implantada,
por lo que se puede afirmar que la magnitud del edema es un factor que depende de
cada paciente en lugar de la configuracion del tratamiento. Este resultado ya ha sido
repetido por otros grupos e instituciones [28,40]. Por lo tanto serıa plausible plantear
28 Analisis de datos clınicos
Figura 2.9
que el edema es dependiente de la respuesta inmune propia de cada paciente. A futuro
podrıa ponerse a prueba esta hipotesis estudiando la magnitud del edema con algun
parametro que de cuenta de la respuesta inmunologica del paciente o viendo si existen
cambios ante la aplicacion de analgesicos o reductores de la respuesta inmunologica
en el momento del implante. Si bien existen trabajos que demuestran la existencia
de correlacion entre la cantidad de agujas utilizadas en el implante y la constriccion
uretral post-implante causante de retencion urinaria [41,42], respecto de la magnitud
del edema no existe no dependencia con el numero de agujas.
Capıtulo 3
Simulaciones utilizando el modelo
de Waterman
3.1. Incorporacion del modelo a la dosimetrıa
El modelo de Waterman intenta describir el cambio de volumen prostatico a partir
del tiempo en que el volumen es maximo. Se modela este cambio de volumen como de-
creciente de forma exponencial con el tiempo y de forma isotropica hacia el centro de la
prostata. El volumen inicial (maximo) de la prostata y el ritmo de decaimiento (Vmax
y λE respectivamente en la ec. 1.11) deben ser obtenidos de datos clınicos como por
ejemplo ultrasonido, tomografıas o resonancias magneticas realizados luego de efectua-
do el implante. Una suposicion del modelo es que a tiempos grandes comparados con
el tiempo de decaimiento, el volumen prostatico regresa a su magnitud intraoperatoria
(V0 de la ec. 1.11).
Para tener en cuenta este modelo de edema en la dosimetrıa, se debe incorporar al
formalismo de calculo TG-43. Suponiendo que las semillas se mueven como si fueran
un punto del tejido, entonces el movimiento de las mismas se relaciona con el cambio
de volumen. Para ver como se incorpora este movimiento en el formalismo de calculo
TG-43 se debe encontrar la expresion analıtica de este movimiento segun el modelo de
Waterman.
Para esto considerese ~rc la posicion del centro de la prostata definido de alguna
manera establecida y ~r1,0 un punto del tejido prostatico que, como se dijo anteriormente,
puede representar la posicion de una semilla. Dado que el modelo considera un cambio
isotropico de volumen respecto del centro de la prostata, la porcion de tejido en ~r1,0 se
movera en la direccion del vector ~r1,0−~rc (Figura 3.1). Luego de un tiempo t, respecto
del centro, la posicion ~r1(t) estara dada segun
~r1(t)− ~rc = (~r1,0 − ~rc)u(t) (3.1)
29
30 Simulaciones utilizando el modelo de Waterman
a) b)
Figura 3.1: a) Ilustracion de la condicion de isotropıa del modelo de Waterman. b) Cinematicadel modelo de Waterman para dos puntos. Por simplicidad, se tomo el centro C como origen delsistema de referencia.
donde u(t) es una funcion escalar que describe la magnitud del movimiento. La posi-
bilidad de expresar el movimiento de un punto de forma separada entre la variacion
temporal y la direccionalidad se debe a que el desplazamiento se da siempre en una
lınea, segun la hipotesis de isotropıa. Considerando el volumen prostatico como un
elipsoide [22] entonces el volumen V sera
V =4
3πabc (3.2)
siendo a, b y c los tres semiejes. En el caso considerado serıan medido desde el centro
de la prostata. Haciendo esa suposicion, siendo a0, b0 y c0 la distancia inicial de los tres
semiejes considerada cuando el volumen prostatico es maximo, por la ecuacion 3.1 se
tendra que la evolucion del volumen respecto del tiempo sera
V (t) =4
3πa0b0c0u
3(t) (3.3)
introduciendo el modelo de Waterman para la evolucion del volumen (ec. 1.11) consi-
derando tmax = 0
V0 + [Vmax − V0]e−λEt =4
3πa0b0c0u
3(t) (3.4)
y siendo que Vmax = 43πa0b0c0
u(t) = 3
√V (t)
Vmax(3.5)
u(t) = 3
√V0Vmax
+
[Vmax − V0Vmax
]e−λEt (3.6)
reemplazando la expresion 3.6 en la 3.1 y resolviendo para ~r(t) se obtiene como es el
movimiento de cualquier punto del tejido prostatico (y de las semillas) bajo el modelo
de Waterman. Notese que si en particular se toma otro punto ~r2(t) y se restan las
3.1 Incorporacion del modelo a la dosimetrıa 31
expresiones 3.1 correspondientes a ambos puntos se obtiene
~r1(t)− ~r2(t) = (~r1,0 − ~r2,0)u(t) (3.7)
Tomando el modulo de la expresion anterior y dado que u(t) > 0 se llega a que
d1−2(t) = d1−2(0)u(t) (3.8)
siendo d1−2(t) la distancia en los puntos 1 y 2 en el tiempo t y d1−2(0) la distancia inicial
(cuando el edema es maximo) entre los puntos 1 y 2. De manera que conociendo la
distancia de dos puntos en el momento de edema maximo se puede describir como sera la
variacion de distancia con el tiempo mediante el modelo de Waterman conociendo
los parametros de la funcion u(t)1. La expresion 3.8 puede incluirse facilmente en el
algoritmo de calculo TG-43. Considerando N fuentes puntuales, la tasa de dosis en un
punto P segun la expresion 2.7 es
D(P ) =N∑i=1
SkΛG(dP−i(t), θp−i(t))
G(r0, θ0)G(dP−i(t))F (dP−i(t), θP−i) (3.9)
donde dP−i(t) es la distancia entre el punto de calculo P y la semilla i que esta dada por
la expresion 3.8. El angulo θP−i entre el eje de la semilla y la recta que une el centro de
la semilla y el punto P se obtiene de las posiciones geometricas relativas y conociendo
la orientacion de las semillas respecto a algun sistema de coordenadas. Vale hacer dos
aclaraciones, primeramente que de esta forma se calcula la tasa de dosis siguiendo la
porcion de tejido que se encuentra en P . Calculando la integral en el tiempo de la
expresion anterior, se obtendra la dosis de la porcion de tejido en P ya que se sigue su
movimiento mediante el modelo de Waterman. El segundo comentario surge de notar
que θP−i no depende del tiempo en el modelo de Waterman y su valor es el mismo de
la condicion inicial, siempre que no haya cambio de orientacion de las semillas. Esta
propiedad se muestra en el apendice 5.1. Resultaran de interes las aproximaciones de
la expresion 3.9 para fuentes puntuales y lineales que son respectivamente (en agua y
considerando la misma intensidad para todas las fuentes)
D(P ) = SkΛr20φan
N∑i=1
G(dP−i)
d2P−i(3.10)
1Se puede llegar al resultado 3.8 de forma directa conociendo la relacion 3.7 y por la aplicacion delTeorema de Tales.
32 Simulaciones utilizando el modelo de Waterman
D(P ) =
SkΛ
r0β0
N∑i=1
βdP−i sin(θp−i)
G(dP−i)F (dP−i, θP−i), si θp−i 6= 0
SkΛ(r20 −(L2
)2)N∑i=1
1
d2P−i−(L2 )
2G(dP−i)F (dP−i, 0), si θp−i = 0
(3.11)
entendiendo β0 como el angulo subtendido desde el punto de referencia hacia los extre-
mos de la fuente lineal.
Para el caso de fuente puntual, la dosis total que recibe la porcion de tejido P se
calcula como
D(P ) = SkΛr20φan
∞∫0
N∑i=1
G(dP−i(t))e−λI t
d2P−i(t)dt (3.12)
A partir de la expresion 3.12 se realizo el calculo de dosis para las simulaciones
realizadas con el modelo de Waterman.
3.2. Calculo numerico de la dosimetrıa
Se desarrollo un codigo de calculo dosimetrico incorporando el modelo de edema
Waterman en MATLAB. El mismo recibe como datos iniciales la ubicacion de las
semillas, del centro de la prostata y la medida de los diametros mayores iniciales de
la prostata considerandola como un elipsoide: anterior-posterior, superior-inferior e
izquierda-derecha. Con estos datos se genera una grilla tridimensional con los puntos
en donde se calculara la dosis y se determina el centro de la glandula prostatica. La
dosis en uno de estos puntos representa el dosado de una porcion de tejido en el. El
tamano de la grilla (y por lo tanto la densidad de puntos) es un parametro que se puede
modificar. Para calcular la dosis a un tiempo determinado se evalua la integral 3.12 de
forma numerica para cada punto. Se calcula la dosis en un punto bajo la aproximacion
de fuente puntual como
D(P ) = SkΛr20φan
M∑j=0
N∑i=1
G(dP−i(jδt))e−λIjδt
d2P−i(jδt)δt +
N∑i=1
G(dP−i(∞))
d2P−i(∞)
∞∫Mδt
e−λI tdt
(3.13)
donde δt es un incremento temporal fijo y las cantidades notadas como “evaluadas en
infinito” se entienden como el lımite cuando t→∞ de dP−i(t) que existe por la forma
de la funcion u(t) (ver ec.3.6). Esto se interpreta como la distancia entre el punto P
y la semilla i cuando el edema ha desaparecido. Notese que 3.13 es una aproximacion
numerica de 3.12, en donde se considera la suma de Riemman desde el tiempo 0 a Mδt
en el termino de la izquierda y considerando condiciones estaticas de Mδt a ∞ en el
termino de la derecha. Desarrollando la expresion se obtiene
3.2 Calculo numerico de la dosimetrıa 33
D(P ) = SkΛr20φan
(M∑j=0
N∑i=1
G(dP−i(jδt))e−λIjδt
d2P−i(jδt)δt +
N∑i=1
G(dP−i(∞))
d2P−i(∞)
e−λIMδt
λI
)(3.14)
Para las simulaciones se utilizo δt = 1day, M tal que Mδt sea al menos igual a
6 vidas medias del edema. Para el caso del 125I se tiene que λI−125 = 0,01167day−1.
Los valores de Sk fueron considerados iguales para todas las fuentes ya que el lote de
fuentes implantadas se pide a los proovedores todo junto y son calibradas todas las
fuentes en el mismo momento certificando que tienen la misma intensidad de kerma.
Se adoptaron los valores de protocolo recomendados de [32] para el tipo de semilla e
isotopo utilizado: Λ = 0,88 cGy h−1U−1 y φan = 0,93. Para la funcion radial, tambien
del protocolo TG-43, se tomo la funcion radial de dosis como un ajuste con polinomio
de quinto orden
G(r) = a0 + a1r + a2r2 + a3r
3 + a4r4 + a5r
5 (3.15)
siendo a0 = 1,01376; a1 = 1,22747 10−1; a2 = −1,73025 10−1; a3 = 4,02378 10−2;
a4 = −3,85227 10−3 y a5 = 1,34283 10−4.
Con el algoritmo de calculo de dosis descripto, se calcularon el DVH, dDVH y
NDVH y los ındices de calidad CI, DHI y ODI obtenidos considerando todo el curso
del edema. Tambien se calcularon los ındices de calidad para cada paso temporal j
bajo condiciones estaticas, esto es, para un tiempo jδt se calcularon los ındices de
calidad sin considerar variacion en el volumen en el calculo pero variando el volumen
en V (jδt) = Vmaxu3(jδt) y las semillas en posiciones ~ri = ~ri(0)u(jδt) para cada paso
temporal. De esta forma el calculo de dosis en el punto P se calcula para cada paso
temporal como
D(P ) =SkΛr
20φanλI
N∑i=1
G(dP−i(jδt))
d2P−i(jδt)(3.16)
y a partir de este calculo de dosis se derivan los ındices de calidad.
Calculo de dosis en planificador Vari Seed 7.1
El planificador Vari Seed 7.1 utiliza el siguente algoritmo de calculo de dosis
D(P ) =
∞∫0
D(r, θ)e−λI tdt =D(r, θ)
λI(3.17)
siendo D(r, θ) alguna de las aproximaciones para el formalismo TG-43.
34 Simulaciones utilizando el modelo de Waterman
3.2.1. Limitaciones en el calculo de dosis en braquiterapia
A menos que sea llevado a cabo un calculo de Montecarlo completo, la precision de
los calculos de dosis en braquiterapia siempre tienen limitaciones. Por esto es impor-
tante tener en cuenta los factores que pueden limitar la precision [8].
Orientacion desconocida de las fuentes
Para semillas que no estan contenidas en un tubo guıa2, luego de su implante suelen
orientarse de forma aleatoria. Esto resulta en una dosis calculada levemente diferente de
la realmente entregada. Se recomienda que para abordar esta situacion se multiplique
la tasa de dosis en el plano transversal por el valor medio del factor de anisotropıa
promediado sobre todos los valores de θ [32].
Blindaje por otras fuentes
Se ha visto que los calculos efectuados considerando el blindaje de radiacion por
otras fuentes difieren en cerca del 10 % comparadas con calculos sin considerar estos
efectos [43].
Correcciones por inhomogeneidades
Las tablas de valores de G(r) (ec. 2.7) estan basadas en la medicion sobre fantomas
equivalentes de agua. Sin embargo, la presencia de cavidades en el medio pueden dar
diferencias en el calculo de hasta 130 % [44]. Se han propuesto metodos de calculo
simples para corregir el valor de G(r) para geometrıas simples o inclusion de efectos de
dispersion [44,45].
3.3. Simulaciones obtenidas con distintos parame-
tros de edema
Se realizaron simulaciones considerando magnitud de edema de 0,1, 0,2, 0,5, 0,7 y
1 y tiempos de vida medios de edema de 5, 15, 30, 60 y 100 dıas. Como parametros
representativos se establecio que el volumen normal de prostata sea 28,38cm3 y las
semillas implantadas sean 52. Estos valores son los promedios obtenidos de la poblacion
de pacientes tratados con braquiterapia de prostata en el Instituto Oncologico Angel
H. Roffo. La distribucion inicial de semillas consistio en la planificacion cuyos valores
de volumen normal de prostata y cantidad de semillas implantadas eran mas cercanos a
2Este no es el caso en el tipo de braquiterapia analizado en este trabajo ya que se trabaja conimplantes de fuentes atadas colocadas mediante guıas.
3.3 Simulaciones obtenidas con distintos parametros de edema 35
los seleccionados para las simulaciones. La dosis prescripta para todas las simulaciones
fue de 145Gy.
3.3.1. Distribuciones de dosis
En la Figura 3.2 se muestran perfiles de dosis para diferentes cortes transversales
de la prostata y considerando diferentes tiempos de screening. La dosis se calculo bajo
condiciones estaticas considerando diferentes momentos del edema prostatico, excepto
los perfiles de la ultima fila. La simulacion mostrada consiste en una magnitud de
edema de 0,31 y un tiempo de vida medio de edema de 30 dıas.
Figura 3.2: En las filas se ordenan los resultados calculados a diferentes tiempos de screening.En columnas se muestran tres cortes transversales de la prostata (considerada como un elipsoide)y mostrada en cada imagen como una elipse. El codigo de colores expresa la escala de 0 a 200 %la dosis prescripta.
Se muestran tres cortes transversales, a la izquierda un corte inferior de la prostata,
36 Simulaciones utilizando el modelo de Waterman
en el centro un corte central y a la derecha un corte superior. La primera fila muestra
el calculo realizado luego de finalizado el implante que es cuando la prostata alcanza su
volumen maximo. La segunda fila muestra el calculo realizado luego de una vida media
de edema, la tercera fila, luego de dos vidas medias de edema (todos los anteriores
calculados mediante la ec.3.16) y la ultima fila muestra el calculo considerando la
evolucion completa del edema hasta que desaparece (mediante la ec.3.14).
Se nota que la distribucion de dosis a partir de dos vidas medias de edema es
practicamente igual que la distribucion obtenida con el calculo completo. Luego de dos
vidas medias el volumen ya ha cambiado mas del 75 % (entendiendo el cambio como
la cantidad 1 − eλEt expresada porcentualmente), por lo tanto los screening estaticos
posteriores seran muy similares ya que posteriormente el cambio de volumen es menor
que el 25 %. Se nota tambien en la Figura 3.2 que hacia la parte anterior de la prostata
existe una zona de menor dosis. Esta es una caracterıstica normal de los implantes de
prostata y esta relacionado a la ubicacion de la uretra. La uretra es uno de los organos
de riesgo ante la dosis terapeutica. Por esto, los implantes se suelen hacer de manera
de ubicar las semillas preferentemente distales respecto de la uretra lo que provoca una
disminucion de la tasa de dosis cercana a ella.
En la Figura 3.3 se muestran los DVH cumulativos para los parametros simulados.
Estos histogramas se calcularon considerando todo el desarrollo del edema (ec.3.14).
Primeramente se nota que con magnitudes de edema pequenas existe una mınima
diferencia en la cobertura del volumen independientemente del tiempo de vida me-
dio. Esto tiene sentido ya que los resultados deberıan tender, para magnitudes muy
pequenas de edema, al resultado obtenido por dosimetrıa estatica sin edema. Pero a
partir de magnitudes de edema mayores de 0,5 se notan diferencias de 10 % de co-
bertura comparando entre tiempos de vida medios de edema de 5, 30 y 100 dıas. La
cobertura disminuye con el aumento de la vida media porque el volumen decrece mas
lentamente y esto permite la distribucion de mayor dosis en las zonas mas lejanas al
centro de la prostata. Conforme se resuelve el edema, la zona cercana al centro de
la prostata se dosa mas por la convergencia de las semillas hacia el centro. Mientras
mas lejos del centro se encuentren las semillas y mayor sea el tiempo de resolucion del
edema, esta zona estara menos dosada y los volumenes cubiertos con altas dosis seran
menores. Esto se refleja en la reduccion de la cobertura para dosis altas al aumentar
el tiempo de resolucion del edema. Algo similar ocurre para tiempo de vida medio de
edema fijo y variando la magnitud. Una magnitud mayor provoca distribucion de dosis
en zonas mas perifericas de la glandula cubriendo menor cantidad de volumen con un
cierto nivel de dosis. Las coberturas se tienden a igualar para todas las magnitudes
para tiempos de vida media cortos, ya que los resultados deben tender al caso lımite
de una reduccion instantanea del volumen desde Vmax hasta V0.
En la Figura 3.4 se muestran los DVH diferenciales para los parametros simulados.
3.3 Simulaciones obtenidas con distintos parametros de edema 37
Figura 3.3: DVH cumulativos para las simulaciones realizadas. En la columna izquierda semuestran las variaciones del DVH con el tiempo de vida medio de edema a una magnitud deedema dada. En la columna derecha se muestran las variaciones del DVH con la magnitud deedema para un tiempo de vida medio de edema dado.
Estos histogramas se calcularon considerando todo el desarrollo del edema (ec.3.14).
Para magnitudes pequenas, los dDVH muestran una cobertura similar. Este hecho
es logico ya que ambos resultados deben tender al caso lımite de dosimetrıa estatica
sin edema. Al aumentar la magnitud del edema se nota que el dDVH correspondiente
al tiempo de vida media mas pequeno (5 dıas) permanece similar al correspondiente
para magnitud de edema pequena. Esto se debe a que pasadas 2 vidas medias de
edema (10 dıas), el volumen ha cambiado en un 75 % y en ese perıodo se ha entregado
38 Simulaciones utilizando el modelo de Waterman
Figura 3.4: DVH diferenciales para las simulaciones realizadas. En la columna izquierda semuestran las variaciones del dDVH con el tiempo de vida medio de edema a una magnitud deedema dada. En la columna derecha se muestran las variaciones del dDVH con la magnitud deedema para un tiempo de vida medio de edema dado.
aproximadamente 20 % de la dosis (considerando la deposicion de dosis como 1− eλI t).Luego, la mayor parte de la dosis sera entregada para la variacion del ultimo 25 %
del edema para todas las magnitudes. Luego, la mayor parte de la dosis se distribuye
de forma similar independientemente de la magnitud del edema para tiempos de vida
medios cortos.
Conforme la magnitud de edema es mayor se notan diferencias entre los valores
de dosis para los cuales se dan los maximos del dDVH para distintos tiempos de vida
3.3 Simulaciones obtenidas con distintos parametros de edema 39
medio. Para tiempos de vida media altos, la dosis de mayor cobertura es menor que
para tiempos de vida medio cortos. Como se dijo anteriormente esto es consecuencia del
aumento de dosis hacia la zona central de la prostata conforme se resuelve el edema.
Mientras mas rapido se resuelva el edema habra mayor dosis en la zona central de
la prostata y mayor cobertura para valores altos de dosis en comparacion con una
resolucion mas lenta. Estos efectos se acentuan con la magnitud del edema.
En la Figura 3.5 se muestran los DVH naturales para los parametros simulados.
Estos histogramas se calcularon considerando todo el desarrollo del edema (ec.3.14).
Los NDVH mantienen un comportamiento similar a los dDVH respecto de la posi-
cion relativa de la dosis para el cual se dan los maximos de las curvas, sin embargo, en
los NDVH se aprecian cambios en la forma de las curvas. En los NDVH un pico mas
agudo refleja una cobertura homogenea de dosis. Una mayor falta de homogeneidad
esta representada por un pico superficial mas amplio [9]. Se observa que para magnitud
1, el pico de NDVH correspondiente a tiempos de vida medio de edema pequenos es
mas agudo que para tiempos de resolucion grandes. Al resolverse mas rapido el edema,
las semillas terminan regularmente acomodadas (similar a la planificacion) y distribu-
yen la mayor parte de la dosis de forma mas homogenea comparado con un edema
que se resuelva en mayor tiempo. En este ultimo caso, con las semillas mas separadas
por un lapso de tiempo mayor, habra mayores gradientes de dosis y, por lo tanto, una
distribucion mas inhomogenea de dosis, explicando el pico ancho en el NDVH para
tiempo de resolucion 100 dıas. Lo mismo ocurre para tiempos de resolucion grandes
comparando los NDVH para magnitudes 0,1 y 1. Una magnitud mayor produce una
distribucion mas inhomogenea de dosis por las razones expuestar anteriormente. En el
NDVH esto se refleja como un pico ancho.
3.3.2. Indices de calidad
En las Tablas 3.1, 3.2, 3.3 y 3.4 se muestran los ındices de calidad CI, DHI, DNR
y ODI respectivamente calculados con la dosimetrıa dinamica de la ec.3.14 para los
parametros de edema simulados. Los ındices CI, DNR y ODI al ser puntos de los
DVH como se menciono en la seccion 1.2.2 presentan el mismo comportamiento que se
describio para los DVH en el analisis de histogramas. El DHI al ser la diferencia entre
dos valores de histograma de manera que su compartamiento desde el analisis de los
DVH no es tan directa. Se observa que a tiempo de resolucion de edema fija, el valor
de DHI aumenta con la magnitud de edema y para magnitud fija, el DHI aumenta
conforme aumenta el tiempo de vida medio del edema. Esto corresponde a la diferencia
de los valores de DVH para dosis 150Gy con el valor para 100Gy. De la Figura 3.3 se
nota que a magnitud fija, conforme se aumenta la vida media de edema, se acentua
la pendiente del DVH en el rango de 100 % a 150 % de la dosis prescripta, con lo cual
40 Simulaciones utilizando el modelo de Waterman
Figura 3.5: DVH naturales para las simulaciones realizadas. En la columna izquierda se mues-tran las variaciones del NDVH con el tiempo de vida medio de edema a una magnitud de edemadada. En la columna derecha se muestran las variaciones del NDVH con la magnitud de edemapara un tiempo de vida medio de edema dado. El eje de dosis esta en escala logarıtmica.
aumenta el DHI. El mismo comportamiento se da para tiempo de vida de resolucion
fijo y aumentando la magnitud.
En base a los resultados obtenidos se puede encontrar el tiempo optimo de screening
para post-implante. Este es el tiempo de post-implante en donde se computan los
mismos ındices de calidad que se obtienen considerando la evolucion completa del
edema. Esto se hizo para los cuatro ındices de calidad analizados y los resultados se
muestran en las Tablas 3.5, 3.6, 3.7 y 3.8.
3.3 Simulaciones obtenidas con distintos parametros de edema 41
Te[dıas]/∆ 0.1 0.2 0.5 0.7 15 91.95 91.04 88.73 87.19 85.3815 91.62 90.45 87.31 85.36 82.2830 91.24 89.72 85.54 82.21 78.4060 90.94 89.00 83.05 77.73 72.11100 90.59 88.15 80.46 74.44 64.36
Tabla 3.1: Valores de CI [ %] obtenidos con simulaciones.
Te[dıas]/∆ 0.1 0.2 0.5 0.7 15 28.99 29.33 30.93 31.46 32.8315 29.91 31.03 33.93 35.71 37.2830 31.01 32.78 37.87 39.86 41.3960 32.30 35.34 41.36 42.85 44.72100 33.29 36.44 43.61 45.30 43.54
Tabla 3.2: Valores de DHI [ %] obtenidos con simulaciones.
Te[dıas]/∆ 0.1 0.2 0.5 0.7 15 63.08 61.88 57.80 55.72 52.5515 61.90 59.42 53.38 49.65 44.9930 60.45 56.95 47.67 42.35 37.0160 58.64 53.65 41.69 34.88 27.39100 57.31 51.71 36.85 29.14 20.83
Tabla 3.3: Valores de DNR [ %] obtenidos con simulaciones.
Te[dıas]/∆ 0.1 0.2 0.5 0.7 15 27.63 26.96 24.41 22.70 21.6715 26.53 25.34 20.89 18.55 16.1130 25.38 23.55 17.28 14.54 12.5060 23.83 21.08 14.22 11.25 8.9100 23.15 19.78 12.44 9.39 7.02
Tabla 3.4: Valores de ODI [ %] obtenidos con simulaciones.
Te[dıas]/∆ 0.1 0.2 0.5 0.7 15 21 20 21 21 2015 37 41 39 40 4030 46 55 54 55 5660 75 67 68 69 71100 88 92 77 78 79
Tabla 3.5: Tiempos de screening optimos (en dıas posterior al implante) para CI.
Estos datos se muestran de forma grafica agrupados por tiempo de decaimiento del
edema en la Figura 3.6.
A magnitudes de edema mayor, el tiempo de screening para todos los ındices de
calidad tienden a coincidir a partir de una magnitud de 0,5. Excepto en el caso de
42 Simulaciones utilizando el modelo de Waterman
Te[dıas]/∆ 0.1 0.2 0.5 0.7 15 28 28 22 21 2115 52 42 40 39 4030 62 55 54 55 5560 76 70 69 69 70100 89 84 74 71 76
Tabla 3.6: Tiempos de screening optimos (en dıas posterior al implante) para DHI.
Te[dıas]/∆ 0.1 0.2 0.5 0.7 15 28 28 22 21 2115 51 42 39 39 4030 62 55 54 55 5660 76 70 68 69 70100 89 80 77 77 79
Tabla 3.7: Tiempos de screening optimos (en dıas posterior al implante) para DNR.
Te[dıas]/∆ 0.1 0.2 0.5 0.7 15 30 28 21 21 2015 51 42 39 39 4030 62 56 54 55 5660 76 69 69 69 71100 89 80 77 78 80
Tabla 3.8: Tiempos de screening optimos (en dıas posterior al implante) para ODI.
tiempo de vida medio de edema de 100 dıas en donde hay diferencias de 4 a 7 dıas para
el ındice DHI respecto del resto. No obstante, para mayores tiempos de resolucion de
edema, el tiempo de screening para el cual los resultados coinciden es mayor, siendo
de 20 dıas aproximadamente para TE = 5dıas (tiempo de vida medio de edema) a
aproximadamente 70 dıas para TE = 60dıas. Para magnitud de edema por debajo de
0,5 se observa que el tiempo de screening del ındice que mas se diferencia del resto es
el correspondiente al CI con diferencias de hasta 15 dıas.
3.3.3. Comparacion con datos clınicos
Se realizo la comparacion entre valores de ındices de calidad obtenidos de los datos
clınicos de la dosimetrıa intraoperatoria y de post-implante y los obtenidos mediante
simulaciones considerando el posicionamiento inicial planificado para cada paciente. Los
pacientes analizados fueron los mismos analizados en la seccion 2.2. Como estos datos
datos no cuentan con ecografıas de dıa 0 para cada paciente, no se puede caracterizar el
edema completamente (caracterizado por el tiempo de vida medio y la magnitud), por
lo que se supuso un valor de vida medio de edema de 30 dıas (mediana de los valores
simulados) y se calculo la magnitud del edema (calculando el volumen a tiempo t = 0)
3.3 Simulaciones obtenidas con distintos parametros de edema 43
Figura 3.6: Tiempos de screening optimos en funcion de la magnitud del edema para los ındicesde calidad CI, DHI, DNR y ODI.
conociendo los valores de volumen normal, volumen en el post-implante y los dıas de
post-implante (aproximadamente 30 dıas). Se muestran los resultados para los cuatro
ındices analizados en las Figuras 3.7, 3.8, 3.9 y 3.10.
Se nota que los valores de ındices de calidad intraoperatorios son mas cercanos a
los resultados simulados con edema que los de post-implante. Los ındices CI, DNR
y ODI son subestimados y el DHI es sobreestimado respecto de la simulacion. Los
errores cuadraticos medios para cada ındice de ambos conjuntos de datos respecto de
los ındices simulados se muestran en la tabla 3.9.
44 Simulaciones utilizando el modelo de Waterman
Figura 3.7: Comparacion entre los CI obtenidos clınicamente y con simulaciones. La recta azulindica la identidad.
Figura 3.8: Comparacion entre los DHI obtenidos clınicamente y con simulaciones. La rectaazul indica la identidad.
Indice/Condicion Intraoperatorio Post-ImplanteCI 7 547
DHI 69 180DNR 104 1258ODI 159 670
Tabla 3.9: Errores cuadraticos medios para los ındices obtenidos en screenings intraoperatoriosy post-Implante respecto de los simulados con el modelo de Waterman.
Se observa un menor error cuadratico medio para los valores intraoperatorios. Estos
resultados se pueden justificar considerando los resultados vistos inicialmente en la
seccion 3.3.1 en donde, con presencia de edema, la distribucion final de dosis era similar
a las distribuciones de dosis con screening efectuados a partir de dos vidas medias de
edema, siempre que este sea menor al tiempo de vida medio del isotopo (Figura 3.2).
3.3 Simulaciones obtenidas con distintos parametros de edema 45
Figura 3.9: Comparacion entre los DNR obtenidos clınicamente y con simulaciones. La rectaazul indica la identidad.
Figura 3.10: Comparacion entre los ODI obtenidos clınicamente y con simulaciones. La rectaazul indica la identidad.
Para los screening efectuados en el momento en que la prostata es cercana al volumen
normal, se obtendran valores cercanos a los obtenidos con edema. No obstante cabe
aclarar que estos resultados son dependientes de los parametros de edema (que en este
caso fueron hipotetizados y no obtenidos de estudios) y el tiempo de post-implante (que
usualmente es 30 dıas). Si el tiempo de vida media del edema fuera pequeno comparado
con el decaimiento de la fuente, los resultados de screening post-implante se deberıan
acercar a los simulados.
3.3.4. Discusion de resultados
En este capıtulo se incorporo el modelo de edema de Waterman a la dosimetrıa de
braquiterapia y se simularon diferentes condiciones de edema bajo la aproximacion de
46 Simulaciones utilizando el modelo de Waterman
fuente puntual. La cobertura es menor mientras mayor sea la magnitud y tiempo de
resolucion del edema. Con las fuentes utilizadas de 125I el impacto en la cobertura solo
es apreciable si el tiempo de resolucion del edema es similar o mayor que el tiempo
de vida medio del isotopo, esto es, 60 dıas. Por lo tanto el tiempo de vida medio del
edema es el parametro dominante que puede afectar la dosimetrıa planificada si este
es mayor o similiar al decaimiento del isotopo. La magnitud determina la intensidad
de este impacto.
Un resultado notable es que los tiempos optimos de screening suelen coincidir para
los ındices analizados para magnitudes de edema superiores a 0,5. Considerando que
comunmente se suele hacer el post-implante a los 30 dıas posteriores al implante, segun
los resultados obtenidos (Figura 3.6), dicho screening darıa resultados optimos para
edemas con tiempo de resolucon entre 15 y 30 dıas. Los tiempos de screening aumentan
para tiempos de resolucion mayores y se reducen para los menores.
No obstante, para que estos resultados puedan tener utilizacion al momento de
evaluar un post-implante, es fundamental conocer los parametros del edema. Esto puede
llevarse a cabo mediante la realizacion de TRUS del dıa 0. De esta forma se puede
estimar Vmax y se puede ajustar λE con este valor, V0 y el estudio de post-implante.
De modo que se recomienda la practica de TRUS posterior al implante en el momento
que el paciente todavıa se encuentra en el quirofano. De esta manera se obtiene el
menor conjunto de datos para caracterizar el edema y con la maxima conveniencia del
paciente y facilidades logısticas.
Capıtulo 4
Conclusiones
Se estudiaron dos aspectos del edema prostatico inducido por el procedimiento de
braquiterapia de prostata permanente con semillas de 125I. En primer lugar, la depen-
dencia de la magnitud del edema con parametros quirurgicos, de la prostata normal y
de la intensidad de kerma implantada. No se observo correlacion entre la magnitud del
edema y la cantidad de agujas y semillas implantadas, el volumen prostatico normal
y la intensidad de kerma total implantada. Ante estos resultados se concluye que la
magnitud del edema es un parametro dependiente del paciente. Particularmente se con-
jetura que es dependiente de la respuesta inmunologica propia de cada paciente. Esto
se deja a consideracion de trabajos futuros. No se realizaron estudios de la dependencia
del tiempo de vida medio del edema por falta de datos necesarios para estimarla. Para
esto se recomienda la realizacion de TRUS posterior al implante. Esto permite estimar
el Vmax y la posibilidad de tener datos para estimar el tiempo de vida medio del edema
junto con el estudio de post-implante.
Por otro lado se estudio mediante simulaciones el impacto del edema en la dosimetrıa
general y en los ındices de calidad de tratamiento CI, DHI, DNR y ODI para diferentes
parametros de edema (magnitud y tiempo de resolucion). Se concluye que el parametro
crıtico a tener en cuenta en para el impacto del edema en la dosimetrıa de planificacion
es el tiempo de resolucion del edema. Se pueden manifestar cambios apreciables en
la dosimetrıa planificada si el tiempo de resolucion del edema es similar o mayor al
tiempo de vida medio del isotopo (en el caso considerado, aproximadamente 60 dıas).
En estos casos la dosimetrıa de post-implante darıa una mejor estimacion de los ındices
dosimetricos. En el caso de un edema de corto tiempo de resolucion, la dosimetrıa que
mejor estima los ındices de calidad es la intraoperatoria ya que la mayor parte de la
dosis se entrega cuando la prostata ya ha cambiado en un 75 % y las variaciones de
distancia entre semillas son menores. Esta configuracion se asemeja a la situacion de
tener la prostata estatica en su volumen normal con las semillas implantadas. De este
analisis tambien se concluye que la dosimetrıa de post-implante comunmente practicada
47
48 Conclusiones
a 30 dıas es optima para estimar los ındices de calidad mencionados para edemas de
tiempo de resolucion entre 15 y 30 dıas y magnitudes a partir de 0,5.
Capıtulo 5
Apendice
5.1. Independencia del tiempo en la orientacion de
un punto respecto de una fuente lineal
En la seccion 3.1 se habıa mencionado que bajo el modelo de Waterman el angulo
θP−i formado entre el eje de la fuente lineal i y un punto P se mantenıa constante en
el tiempo. A continuacion se demostrara esta propiedad y se analizaran en detalle sus
condiciones de validez.
Considerese un sistema de referencia fijo en el cuerpo de un paciente y sea T una
direccion determinada representando la direccion de alineamiento de la semilla i. Sean
ademas ~rP y ~ri los vectores de poscion al momento de edema maximo desde el sistema
de referencia determinado de un punto P y la semilla i respectivamente. Se tiene que
la posicion del punto P respecto de la semilla i sera ~rP − ~ri. Considerando un cambio
de volumen dentro de la prostata segun el modelo de Waterman, se sabe de la ec.3.7 la
evolucion de esta posicion estara dada por (~rP−~ri)u(t). Se calcula entonces el producto
escalar de T con el vector posicion de P respecto de la semilla i para dos tiempos t1 y
t2.
T · ((~rP − ~ri)u(t1)) = ‖T‖ ‖(~rP − ~ri)u(t1)‖ cosθ1 (5.1)
T · ((~rP − ~ri)u(t2)) = ‖T‖ ‖(~rP − ~ri)u(t2)‖ cosθ2 (5.2)
siendo θ1 y θ2 los angulos formados entre T y la direccion entre la semilla y el punto
P en los tiempos t1 y t2 respectivamente. Notese que se supone que T no cambia en
el tiempo lo cual es una de las hipotesis fundamentales para conseguir el resultado a
demostrar. Desarrollando ambas expresiones se llega a que
49
50 Apendice
T · (~rP − ~ri) = ‖(~rP − ~ri)‖ cosθ1 (5.3)
T · (~rP − ~ri) = ‖(~rP − ~ri)‖ cosθ2 (5.4)
de donde se obtiene que cosθ1 = cosθ2. Luego ambos angulos son congruentes en
multiplos enteros de π. Sin embargo, no puede ser que θ1 = θ2 + π ya que eso significa
que las posiciones de P y la semilla i se han permutado y esto no es posible porque
no hay puntos en comun en sus trayectorias. Recuerdese que dos puntos se mueven en
lınea recta hacia el centro de la prostata bajo el modelo de Waterman. Luego, ambos
angulos son iguales y como eso se cumple para valores de tiempo arbitrarios, el angulo
de orientacion es constante.
En la demostracion precedente se utilizo la hipotesis de que la orientacion de las
semillas permanece constante en el tiempo (si bien cada semilla puede tener orientacion
distinta). Como se menciono en la seccion 3.2.1, la orientacion de las fuentes pueden
cambiar dentro del tejido. Sin embargo, suponer que no cambian de orientacion es
una buena aproximacion si se consideran la fuentes enhebradas que se usaron en los
procedimiento de braquiterapia como se menciono en la seccion 2.1.2. La configuracion
de fuentes enhebradas evita los grandes cambios de orientacion dentro del tejido.
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