tesi - procedimiento para encontrar derivadas
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Matemáticas administrativas
PROCEDIMIENTO PARA ENCONTRAR DERIVADAS.
NOTACIONES DE LA DERIVADA.
La derivada de la función y= f (x) puede denotarse por cualquiera de las siguientes maneras:
dydx
,ddx
[ f ( x ) , y❑' , f (x )]
La derivada de y= también puede escribirse de la siguiente manera y´= 3 .
dydx
=3 x2−4
REGLA DE UNA CONSTANTE
Si f(x) =k donde k es cualquier número real entonces la derivada de F´(x)=0
y=f (x )
y=9
y=0
REGLA DE LA POTENCIA
Si f (x) = xn para cualquier número real diferente a cero entonces
y=x2+5
dydx
=2x
Matemáticas administrativas
ERIKA HERNANDEZ CANO 4101
EJERCICIO 1
Si y= t−3
dydx
=−3 t−4
dydx
=−3t 4
EJERCICIO 2
Si encuentre la derivada .
y= 3√ x=x31
y= 13
x31−33= x
−233
1
dydx
=13
x−23= 1
3 x32= 1
33√ x2
EJERCICIO 3
Encuentre la derivada de la siguientes funciones:
y= 6 x3+15 x2
Matemáticas administrativas
y= 182+30 x
ERIKA HERNANDEZ CANO 4101
53√ x2+4 x2 +7
5 x32−8 x−3
103
−138 x−3
10
3x31−8 x−3
10
3 3√x−1−8 x−3
CONSTANTE
Sea que un número real. Si g´(x) existe entonces la derivada de f(x)=k*g(x)
Y= k*g(x)
Y= k*g´(x)
Matemáticas administrativas
ERIKA HERNANDEZ CANO 4101
REGLA DEL PRODUCTO 01/DIC/10
f ( x )=U ( x )∗V (x)
f ´ ( x )=U ´ ( x )∗V ´ ( x )
f ( x )=U (V ´ )∗V (U ´ )
EJEMPLO
U=3x2+5 x+6U ´=6 x2+5
V=2x3+4 x+2V ´=6 x+4
f ´ ( x )=(3 x2+5 x+6) (6 x2+4 )+(2 x3+4 x+2)(6 x+5)
f ´ ( x )=18 x4+30 x3+36 x2+12x2+20 x+24 ¿+(12 x4+24 x2+12 x+10 x2+20 x+10)
f ´ ( x )=18 x4+30 x3+48 x2+20 x+24¿+(12x4+10 x3+24 x2+32x+10)
f ´ ( x )=30 x4+40 x3+72 x2+52x+34
EJERCIO 1
U=3x2+5 x+6
V=2x3+4 x+2
f ( x )=U ( x ) V (x)
f ( x )=(3 x2+5 x+6) (6 x2+4 )+(2 x3+4 x+2)(6 x+5)
f ( x )=18 x4+30 x3+36 x2+12x2+20 x+24+12 x4+24 x2+12x+10 x2+20 x+10
f ( x )=30 x4+40 x2+72 x2+52x+34
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ANALUISA GALICIA MORALES 4101
EJERCICIO 2
Y=(√ x+3)(x2−5 x )
Y=(x1/2+3)( x2−5x )
Y=( x12+3) (2 x−5 )+x2−5 x (1
2x12 )
Y=2x2−5 x2+6 x−15+ 12
x3/2−52
x1/2
Y=52
x3 /2−152
x1 /2+6 x−15
Y=52
x3 /2−152
x1 /2+6 x−15
Y=52
❑√ x−152
√ x+6 x−15
EJERCICIO 3
Y=(−3√ x+6)(4 √x−2)
Y=(−3 x1/2+6)(4 x1 /2−2)
Y ´=−3x12+6(2x
−12 )+(4 x
12−2)¿)
Y ´=−6+12 x12+(4 x
12−2)(−3
2x
−12 )
Y ´=−6+12 x−12 −6+3 x
−12 ¿
Y ´=−12+15x−1 /2
Matemáticas administrativas
Y ´=−12+ 15√X
ANALUISA GALICIA MORALES 4101
EJERCICIO 4
Y=(2 x−3)(√ x−1)
Y=(2 x−3)(x1/2−1)
Y ´=2x−3 (12 x−12 )+x
12−1(2 x)
Y ´=1 x−1 /2−32
x−12 +2 x1 /2−2
Y ´=3x1 /2−32
x−1 /2−2
Y ´=3√x− 3
2√x−2
Matemáticas administrativas
ANALUISA GALICIA MORALES 4101
REGLA DEL COCIENTE 06/DIC/10
Si f ( x )= U ( x ) NumeradorV ( x ) Denominador
V (x )≠0
f ´ ( x )=V ( x )U ´ ( x )−U ( x )V ´ (x)
[V (x )]2
La derivada de un cociente es el denominador por la derivada del numerador, menos el numerador por la derivada del denominador todo dividido entre el cuadrado del denominador, ejemplo.
Si f ( x )=2 x−14 x+3
UY24
Encuentre la derivada del cociente
f ´ x=(4 x+3 ) (2 )−(2 x−1)(4 )
[4 x+3 ]2
f ´ x=(8 x+6 )−8 x−4
[4 x+3 ]2= 10
[4 x+3 ]2
EJERCICIO 1
Encuentre Dx( x−2 x2
4 x2+1 )U ´=1−4 xV ´=8 x
Matemáticas administrativas
4 x2+1 (1−4 x )−(x−2 x2)(8x )(4 x2+1)2
=4 x2+1−16 x3−4 x−(8 x2−16 x3)
(4 x2+1 )2
¿ 4 x−16 x3+1−4 x−8 x2+16 x3
(4 x2+1 )2
¿ 4 x2−4 x+1(4 x2+1 )2
ANALUISA GALICIA MORALES 4101
EJERCICIO 2
Dx(3 x−1)(4 x+2)
2 xU ´=(12x2+6 x−4 x−2)
V ´=12x2+2 x−2
(12 x2−6 x−4 x−2)2x
=12x2+2 x−22x
=24 x+2
(12 x2−6 x−4 x−2)2x
=12x2+2 x−22x
=24 x+2
Dx=Vx (U ´ )−U (x )(Y ´ )
(V (x ))2=2 x (24 x+2 )−(2 x2+2x−2)(2)
2 x2
D ´=(48x2+4 x )−(24 x2+4 x−4)
(2 x )2
D ´= 48x2+4 x−24 x2−4 x+4(2x )2
Matemáticas administrativas
D ´=−24 x2−4(2x )2
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EJERCICIO 3
Dx ¿
(2 x+1) ( x−1 )=2 x2−2 x+x−1=(2 x2−x−1 )=V ´=4 x−1
D ´=V ( x ) (U ´ )−U (x )(V ´ )
(Vx)2=
(2 x2−x−1 ) (10x )−(5 x2)(4 x−1)2x2−x−1
¿20x3−10 x2−10 x−(20 x3−5x2)
2x2−x−1
¿ 20x3−10 x2−10 x−20 x3−5 x2
2 x2−x−1
¿ −5 x2−10x
(2x2−x−1 )2
Matemáticas administrativas
EJERCICIO 4
Dx( (3−4 x)(5 x+1)7 x−9 )U ´=−40 x+11
Y ´=7
15x+3−20 x2−4 x(7 x−9)2
=−20 x2+11 x+37 x−9
=U ´=−40 x+11
V ( x ) (U ´ )−U (x)(x ´ )(V ( x ))2
=(7 x−9 ) (−40 x+11 )−(−20 x2+11 x+3)(7)
(7 x−9)2
¿−280 x2+77 x+360 x−99−(−140 x2+77 x+21)
(7 x−9)2
¿−280 x2+77x+360 x−99+140x2−77 x−21¿ ¿(7 x−9)2
¿−140 x2+360x−120¿ ¿(7 x−9)2
ANALUISA GALICIA MORALES 4101
EJERCICIO 5
f ( t )= t 2+tt−1
U ´=−2t+1V ´=1
f ( t )=( t−1 ) (2t +1 )−(t2+t )(1)
(t−1)2
f (t )=2 t+t−2 t−1−(t 2+t )(t−1)2
f ( t )=2 t+t−2 t−1−t 2−t(t−1)2
f ( t )= t 2
( t−1)2
Matemáticas administrativas
EJERCICIO 6
Y=9−7 x1−x
U ´=−7V ´=−1
Y ´ ( x )=(1−x ) (−7 )−(9−7 x )(−1)
(1−x )2
Y ´ ( x )=−7+7 x−(9−7 x )(1−x)2
Y ´ ( x )=−7+7 x+9−7 x
(1−x )2
Y ´ ( x )= 2
(1−x )2
ANALUISA GALICIA MORALES 4101
Tema: Costo promedio
Suponga que Y = C(x) da el costo total de fabricar x artículos. El costo promedio por articulo se encuentra al dividir el costo total entre el numero de artículos. La razón de cambio del costo promedio llamado el costo marginal promedio es la derivada del costo promedio.
COSTO PROMEDIO: Si el costo total de fabricar X artículos esta dado por C(x) entonces el costo promedio por articulo es:
C(x)= c (x)
x
COSTO MARGINAL PROMEDIO: Es la derivada del costo promedio
Matemáticas administrativas
C(x)
El costo total en miles de dólares de fabricar X generadores eléctricos esta dado por C (x) donde c(x)= -x3+15x2+1000
a) Encuentre el costo promedio por generador b) Encuentre el costo promedio marginal
C(x)=−x3+15 x 2+1000
x
C(X)=−(1 ) (1 ) x3−1+15 (2 ) x 2−1
x
C(X)= -3x2+30x
C(X)=x (−3 x2+30 x )−(−x 3+15 x2+1000 )(1)
x 2
C(x)=−3x 3+30 x2+x 3−15 x 2−1000
x2
C(X)=−2x 3+15 x2−1000
x2
Suponga que el costo en dólares de fabricar X 100 de artículos esta dado por C(X)=3x2+7x+12
A) Encuentre el costo promedioB) Encuentre el costo promedio marginalC) Encuentre el costo marginalD) Encuentre el nivel de producción para el cual el costo promedio marginal es “0” haga
la derivada C(x)=0 y despeje XE) Si el costo estuviera dado por C(x)=x2+10x+16. Encuentre el nivel de producción para el
cual el costo promedio marginal es igual a “0”
BARRIOS HERNÁNDEZ NANCY ARIANA
C(X)= 3x 2+7 x+12
x C(x)=
x (cx )−cx (1)x2
C(X)=3 (2 ) x 2−1+7 (1 ) x 1−1
x =6 x+7
x
C(X)=x (6 x+7 )−(3x 2+7 x+12 )(1)
x 2
C(X)=6 x2+7 x−(3 x2+7 x+12)
x 2
Matemáticas administrativas
C(X)=6 x2+7 x−3 x 2−7 x−12
x2
b) C(x)=3x 2−12
x 2 =0
C(x)= 3x2+7x+12
c) C(x)= 6x+7 Costo marginal
d) C(X)= 3x 2−12
x 2 = 0
C(X)= 3x2-12=0(x2)
3x2-12=0
3x2=12
X2=123
X2=4
X=√ 4 = x=2
e) C´(X)=x2+10 x+16
x
C´(x)= 2 (1 ) x2−1+10 (1 ) x1−1
x =2x+10
x
C´(x)=x (2 x+10 )−( x2+10 x+16 )(1)
x 2
C´(x)= 2x 2+10x−x2+10 x+16
x2
C´(x)= 2x 2+10x−x2−10 x−16
x2 =
x2−16x 2
C Marginal
f)x2−16
x =0
c ´ ( x )= y 2−16=0 ( x ) X2=16X=√16=x=4
El costo totalen cientos de dólares de producir X unidades de perfumes es: c(x)=3x+2x+4
Encuentre el costo promedio para cada uno de los siguientes niveles de produccióna) 10 unidadesb) 20 unidadesc) X unidadesd) Encuentre la función de marginal
Matemáticas administrativas
c(x)=3x+2x+4
C(x)= 3x+2x+4
= 3 x+210x+40
= 3 (10 )+210 (10 )+40
= 30+2100+40
= 32140
101
a) = 22.85
C(x) = 3x+2x+4
= 3 x+220x+80
= 3 (20 )+220 (20 )+80
= 60+2400+80
= 62480
=0.129
201
C(x)=3x+2x+4 = 3x+2
x1
C ( x )= 3 X+2X+4 X
=C ´ ( X )=31
C ( x )=
3 X+2X+4 X
X=3 x+2x2+4 x
=3
4 x+4
c (x )=( x2+4 x ) (3 )−(3 x+2 )(2 x+4)
¿¿¿
C (x)=3 x2+12x−(6 x+4 x+2 x+8)
¿¿
C ´ (x)=3 x2+12 x−6 x2−4 x−12 x−5¿¿
C ´ (x)=3 x2−4 x−8¿¿
Matemáticas administrativas
BARRIOS HERNÁNDEZ NANCY ARIANA
Después de (t) horas de instrucción un estudiante típico de mecanografía puede escribir
N(t)= 70 t 2
23+t 2 palabras por minuto
a) Encuentre la razón N´ (t) a la que el estudiante esta mejorando después de T horas b) B) a que razón esta el estudiante mejorando después de T horas, 5,10,15c) C) describa el proceso del estudiante durante las primeras horas de instrucción
N (t )= 70 t 2
30+ t2
N ´ (t )=(30+t 2) (140 t )−(70 t 2) (t)
(30+ t2)
N ´ (t )=(420 t ) (140t 3 )− (140 t3 )
(30+t 2)
N ´ (t )=420 t
N ´ (t )=4200 (5 )30+(5 ) 2
=21,0003,025
=6.94
N ´ (t )=4200 (3 )30+(3 ) 2
=12,6001,521
=8.28
El costo total de producir X artículos esta dado por
C ( x )=0.48 X+120,000X
+1.500
¿Cuantas unidades deberá producir el fabricante para minimizar el costo?
C ( x )=0.48 X+(x ) (0 )− (120,000 ) (1 )+0
x2
C ´ ( x )=0.48+ 0−120,000x2
Matemáticas administrativas
0=0.48 0−120,000x2
−0.48=0−120,000x
BARRIOS HERNÁNDEZ NANCY ARIANNA
( x2 ) (−0.48 )=−120,000
−0.48 x2=120,000−0.48
x2=250,00
x=√250,000 =500
Si la función de utilidad total para un fabricante esta esperada por
V= 5x2
√ x2+3=5000 obtener la utilidad marginal para 25 unidades
V=( X21+3) (10 X )−(5 x2 )¿¿
V=10 x2+30 X−10 x2
¿¿
V=30 X¿¿
Matemáticas administrativas
BARRIOS HERNÁNDEZ NANCY ARIANA
Regla de la cadena 13-12-10
El costo total de producir x artículos esta dado por ∁ (×)=0.48+ 120000x
+1500
1. Cuantas unidades deberá producir el fabricante para minimizar el costo.
∁ (×)=0.48×+ 120000×2
+1500
∁ (×)=0.48−120000×2
0=0.48−120000×2
×2=120000−48
×2=250000×=√250000×=500
2. Si la función de utilidad total del fabricante esta expresada por:
U= 5×2
√×2+3+500
Obtener la utilidad marginal para 25 unidades
U= 5×2
√×2+3+500
U= 10×
√×22+3
+0
U=(×22+3) (10× )−(× ) (5×2+500 )
¿¿
Matemáticas administrativas
U=10×2−10×−5×3−500׿¿
U=10×2−490×−5×3
¿¿
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Regla De la potencia generalizada 15-12-10
n×U n−1 (U 1 )
EJEMPLOS:
y=(3+5×)2
y1=2(3+5×)2.1
y1=10 (3+5× )
y1=30+50×
y1=(3+5× )4−3
y¿=−34
(3+5×)4
−3
−44
y1=−154
(3+5×)4
−3
−74
EJERCICIOS:
y=2¿¿
Matemáticas administrativas
y1=(4 )2¿¿
y1=8¿¿
y1=112× ¿¿
ANGELICA ACEVEDO PEÑA 4101
y=12¿¿y1=(5)12¿¿y1=60¿¿y1=¿120׿¿
y=8(4×2+2)23
y1=328¿¿
y1=12¿¿y1=96×(4×2+2)2
1
y=√9×+2
y1=(9×+2)21
y1=12(9×+2)
2−¿122(9)¿
y1=92(9×+2)−¿2
1 ¿
y¿¿¿
Matemáticas administrativas
y1=(3 ) (2×+1 )2(2)=6¿y1=(3 )y1=(3×)(6)¿¿y1=(18×)¿¿
ANGELICA ACEVEDO PEÑA 4101
Calculo integral. 20-12-10
Es la razón de cambio cuando la cantidad total es conocida para obtener una función de la magnitud total de la cantidad.
La anti derivada de una función se define como f 1 (× )=f (×) , entonces
f 1(×)es la anti derivada.
1. Ejemplo :sif (× )=10× entonces f 1(×)=10 , por lo que f 1(×)=10es la anti
derivada de f (× )=10×.
2. A f (×)=×5encontrar primera derivada y después su anti derivada.
Derivada ¿ f 1(×)=5×4
Matemáticas administrativas
Anti derivada ¿×5
ANGELICA ACEVEDO PEÑA
Integral indefinida. 20-12-10
1. Si f 1 (× )=f ( × )entonces∫ f ( x ) dx=f (× ) +c
Para cualquier numero real c.2. Regla de potencia para anti derivada.
Para cualquier numero real n diferente de −1 la integral de
×n= 1n+1
×n+1+c
EJEMPLO:
Encuentre cada anti derivada.
∫×3dx= 13+1
×3+1+C
∫×3dx=14
×4+C
∫ 1
t 2dx=∫1 t−2dx= 1
−2+1t−2+1+C
AB
=A B−1=∫ 1−1
t 11+C
AB
=A B−1=∫−1 t−1+C
AB
=A B−1=∫−1t
+C
Encuentre la derivada de la raíz de:
Matemáticas administrativas
∫√U dx=¿¿
∫U 21dx= 1
12+1
U 21+1+C
∫U12dx= 1
32
U+C
∫U12dx=2
3U+C
ANGELICA ACEVEDO PEÑA 4101
∫1dx= 10+1
×0+1+C
∫1dx=11
×1+C
∫1dx=1×1+C
∫1dx=×+C
∫×5dx= 15+1
×5+1+C
∫×5dx=16
×6+C
∫❑
3
√× dx
∫×32dx= 1
13+1
×13+1
+C
Matemáticas administrativas
∫×32dx= 1
43
×43+1+C
∫×31dx=3
5×43+C
∫5dx=5∨×0+1
0+1+C
∫5dx=5∗1×1+C
∫5dx=5×1+C
∫5dx=5×+C
ANGELICA ACEVEDO PEÑA 4101
Regla de suma. 20-12-10
Si todas las anti derivadas existen ∫ k∗f (×) dx=k∫ f (× )dx
Para cualquier número real k .
EJEMPLO:
∫2∨×3dx=¿
2∫ 14 ×4+C
2∫ 1×4
4+C
∫(3Z ¿¿2−4 Z+5)dz ¿
3∫ 22dx−4∫ zdx+5∫dx
3∨ 12+1
−4∨¿
Matemáticas administrativas
ANGELICA ACEVEDO PEÑA 4101