tese de doutorado analise s ismica usando transformada … · (transformada de fourier) ou para o...
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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Ciencias Exatas e da Terra
Departamento de Fısica Teorica e Experimental
Programa de Pos-Graduacao em Fısica
TESE DE DOUTORADO
ANALISE SISMICA USANDO TRANSFORMADA
CURVELET
Michelli Silva de Oliveira
Orientador: Prof. Dr. Liacir dos Santos Lucena
Natal, julho de 2011.
Dedico este trabalho
a meu esposo e a minha filha.
i
Agradecimentos
A Deus acima de tudo.
Ao meu orientador, Professor Doutor Liacir dos Santos Lucena, por permitir trabalhar
ao seu lado, pelo apoio e incentivo no desenvolvimento deste trabalho.
Ao Professor Doutor Gilberto Corso e ao Professor Doutor Edcarlos Alves pelas con-
tribuicoes dadas a esta tese.
Ao Professor e amigo Marcos Vinıcius por estar sempre disposto a ajudar.
Ao Conselho nacional de desenvolvimento Cientıfico e Tecnologico CNPq pelo suporte
financeiro concedido.
Ao meu marido Vladimi, companheiro e melhor amigo, por fazer parte de mais uma
etapa da minha vida, sempre me confortando com seu carinho, amor e paciencia.
A minha filha Ana Beatriz, agradeco por voce ter existido durante o desenvolvimento
deste trabalho, voce foi minha fonte de inspiracao. Obrigada por estar sempre animada e
sorrindo para mim mesmo com toda a minha ausencia.
A minha mae Neuza, irma Marcia e minha madrinha Maria Diamantina pelo incen-
tivo, mesmo a distancia nunca deixaram de estar presentes, sempre me confortando com
palavras encorajadoras fortalecendo meus momentos mais difıceis.
A todos meus amigos, em especial minhas amigas Claudia Cruz e Nivania que muito
me fortaleceram.
A todos os professores, colegas e funcionarios do departamento de pos Graduacao em
Fısica da materia Condensada que de forma direta e indireta muito ajudaram na conclusao
deste trabalho.
ii
Aos membros da banca pelas correcoes e sugestoes apresentadas quando da defesa da
tese.
iii
Resumo
A exploracao petrolıfera e uma das atividades mais complexas e de difıcil execucao na
industria do petroleo e tambem e umas de suas tarefas mais importantes. Devido aos
elevados custos dos metodos diretos usados para localizacao e avaliacao das jazidas de
petroleo, tais como a perfuracao de pocos exploratorios para a medicao de propriedades
in situ, metodos indiretos sao utilizados com esta finalidade. O principal destes metodos
e o da sondagem sısmica. Neste processo de exploracao, ondas sısmicas geradas por
explosoes ou por vibradores, propagam-se no subsolo e apos serem espalhadas pelas het-
erogeneidades das estruturas geologicas retornam a superfıcie onde sao coletadas para
construcao dos sismogramas ou imagens sısmicas. No entanto, os sismogramas contem,
alem das informacoes sobre as estruturas do subsolo, uma grande quantidade de ruıdo,
sendo o principal deles o chamado ruıdo de rolamento superficial (”ground roll”ou on-
das de Rayleigh). A atenuacao desses ruıdos e essencial para uma boa interpretacao dos
dados e sinais sısmicos. A analise dos sismogramas pode ser feita utilizando-se diversos
tipos de transformadas espectrais que levam o sinal sısmico para o espaco das frequencias
(Transformada de Fourier) ou para o espaco tempo-frequencia (Transformada Wavelet),
onde costuma ser mais simples atenuar ou remover os ruıdos de uma forma cirurgica. Isto
permite que, ao levar o sinal sısmico de volta ao espaco original, o sinal represente apenas
as informacoes sobre as estruturas geologicas de interesse. Por outro lado, a transformada
curvelet e uma nova e efetiva transformada espectral que tem sido largamente usada no
estudo e representacao de dados complexos. Nessa analise, as funcoes ou sinais estudados
sao expressados em termos de funcoes de base com carater direcional que permitem rep-
resentar, mais efetivamente que outras analises, imagens e sinais com descontinuidades
iv
superficiais ou ao longo de curvas. A analise curvelet mapeia o espaco das frequencias em
diferentes escalas e em setores angulares, de modo que se pode identificar as regioes deste
espaco dominadas pelo ruıdo presente no sinal. Remover os coeficientes referentes a essas
regioes e remover o ruıdo do sinal. Assim, nesta tese implementamos e aplicamos a analise
curvelet para remover o ruıdo de rolamento superficial dos sinais sısmicos. Testamos este
metodo tanto para um sismograma sintetico quanto para um sismograma real e obtivemos
uma otima atenuacao do ruıdo em ambos os casos.
Comparamos este metodo com os metodos empregados anteriormente e discutimos
possıveis aplicacoes desta tecnica a outros problemas.
v
Abstract
Oil prospecting is one of most complex and important features of oil industry Direct
prospecting methods like drilling well logs are very expensive, in consequence indirect
methods are preferred. Among the indirect prospecting techniques the seismic imaging is
a relevant method. Seismic method is based on artificial seismic waves that are generated,
go through the geologic medium suffering diffraction and reflexion and return to the
surface where they are recorded and analyzed to construct seismograms. However, the
seismogram contains not only actual geologic information, but also noise, and one of the
main components of the noise is the ground roll. Noise attenuation is essential for a good
geologic interpretation of the seismogram. It is common to study seismograms by using
time-frequency transformations that map the seismic signal into a frequency space where
it is easier to remove or attenuate noise. After that, data is reconstructed in the original
space in such a way that geologic structures are shown in more detail. In addition, the
curvelet transform is a new and effective spectral transformation that have been used in
the analysis of complex data. In this work, we employ the curvelet transform to represent
geologic data using basis functions that are directional in space. This particular basis can
represent more effectively two dimensional objects with contours and lines. The curvelet
analysis maps real space into frequencies scales and angular sectors in such way that we
can distinguish in detail the sub-spaces where is the noise and remove the coefficients
corresponding to the undesired data. In this work we develop and apply the denoising
analysis to remove the ground roll of seismograms. We apply this technique to a artificial
seismogram and to a real one. In both cases we obtain a good noise attenuation.
vi
Sumario
Agradecimentos ii
Resumo iv
Abstract vi
Introducao 1
1 A Prospeccao de Petroleo e a Exploracao Sısmica 5
1.1 A Sondagem Sısmica e as Ondas Sısmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Ondas de Corpo ou Ondas de Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Ondas de Superfıcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Velocidade de Propagacao das Ondas Sısmicas . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Metodos Sısmicos e a Sondagem Sısmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Aquisicao de Dados Sısmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 O Ruido de Rolamento Superficial ou Ruido Ground Roll . . . . . . . . . . 17
1.5 Tecnicas de Filtragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Sinais Temporais e Transformadas 20
2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 A Analise de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 A Transformada de Fourier-Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 A Transformada em Ondaletas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.1 Transformada Contınua em Ondaletas . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.2 Transformada Discreta em Ondaletas . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
vii
3 A Analise Curvelet 34
3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Definicao da Transformada Curvelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Propriedades da Transformada Curvelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.1 Tight frame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.2 Parametro de escala parabolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.3 Comportamento oscilatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.4 Momentos nulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4 Transformada Curvelet Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.2 Coronizacao discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5 As funcoes curvelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4 Remocao de Ruıdo Sısmico usando Analise Curvelet 47
4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Analise Curvelet e a decomposicao do sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3 Identificacao e remocao do ruıdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4 Reconstrucao do sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.5 Procedimento para remocao de ruıdo de rolamento superficial . . . . . . . 53
5 Analise de dados reais usando transformada curvelet 67
5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2 O dado sısmico real versus dado sintetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3 A extracao do ruıdo de rolamento superficial do dado sısmico real . . . . . 70
5.4 Supressao do ruıdo de rolamento superficial: analise em ondaletas versus
analise curvelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6 Conclusoes e Perspectivas 86
Bibliografia 89
viii
Lista de Figuras
1.1 Esquema descritivo da propagacao de uma onda primaria ou lon-
gitudinal. Figura reproduzida/adaptada da pagina de internet
http://www.tjhsst.edu/∼jlafever/wanimate/Wave Properties2.html [2]. . . 9
1.2 Esquema descritivo da propagacao de uma onda secundaria ou de
cisalhamento. Figura reproduzida/adaptada da pagina de internet
http://www.tjhsst.edu/∼jlafever/wanimate/Wave Properties2.html[2]. . . 10
1.3 Esquema descritivo da propagacao de uma onda de
Rayleigh ou onda R. Figura reproduzida/adaptada da pagina de internet
http://www.tjhsst.edu/∼jlafever/wanimate/Wave Properties2.html[2]. . . 11
1.4 Esquema descritivo da propagacao de uma onda
de Love ou onda L. Figura reproduzida/adaptada da pagina de internet
http://www.tjhsst.edu/∼jlafever/wanimate/Wave Properties2.html[2]. . . 12
1.5 Distribuicao de velocidades comumente encontradas na prospeccao de
petroleo. Figura reproduzida de THOMAS[1]. . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Esquema da aquisicao de dados sısmicos terrestres e marıtimos. Figura
reproduzida de OLIVEIRA[3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7 Representacao da formacao de um traco sısmico pelas reflexoes de um
pulso pelas camadas sedimentares do subsolo. Figura reproduzida de
OLIVEIRA[3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8 Exemplo de sismograma captado por um conjunto de geofones durante uma
sondagem sısmica. Figura reproduzida de OLIVEIRA[3]. . . . . . . . . . . 17
ix
2.1 a) Exemplo de (a) um sinal temporal estacionario e sua representacao no
espaco das frequencias obtida pela analise de Fourier do sinal; (b) um sinal
temporal nao estacionario e sua representacao no espaco das frequencias
obtida pela analise de Fourier. Figura adaptada da pagina de internet
http://astro.if.ufrgs.br/med/imagens/fourier.htm [9]. . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Representacao simbolica da caixa de Heisemberg no plano tempo-
frequencia. A energia do “atomo” de Gabor esta distribuıda nesta caixa
centrada em (u, ξ) e com larguras σt no tempo e σω na frequencia. Figura
reproduzida de LEITE[15]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Representacao de uma famılia de ondaletas contınuas (figura (a)) e de seu
espectro de Fourier (figura (b)). Figura reproduzida de MALLAT[16]. . . . 29
2.4 Esquema ilustrativo da divisao do espaco tempo-frequencia (a) para a
transformada de Fourier-Gabor; e (b) para a transformada em ondaletas. . 31
3.1 Decomposicao diadica do espaco de frequencia. Na figura (a) temos
esta decomposicao em termos da janela radial; na figura (b) temos esta
decomposicao em termo das janelas radial e angular; ja na figura (c)
temos que a area sombreada e a fatia do espaco de Fourier onde as
curvelets tem seu suporte definido. Figura adaptada da pagina de internet
http://www.math.washington.edu/ hart/uwss.pdf [29]. . . . . . . . . . . . 38
3.2 Decomposicao diadica do espaco de frequencia da transformada curvelet
discreta. A regiao sombreada representa uma fatia tıpica deste espaco
localizada pela janela Uj,l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1 Nesta imagem podemos verificar na figura (a) o dado sintetico com re-
flexoes horizontais representando as camadas litologicas e um traco com
maior inclinacao que pode ser melhor visualizado na figura (c) simulando
o comportamento do ruıdo de rolamento superficial. Na figura (b) temos o
dado sintetico limpo em que a reflexao destacada ja foi removida. . . . . . 55
x
4.2 Distribuicao de padroes para conjuntos de zonas angulares selecionados na
escala 2. Na parte superior da figura temos os angulos selecionados nessa
escala e na parte inferior temos a reconstrucao parcial do sinal para esses
angulos nessa escala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3 Distribuicao de energia para os diferentes angulos da escala 2. . . . . . . . 57
4.4 Conjunto de angulos da escala 2 cujos coeficientes foram selecionados para
a reconstrucao de parte do sinal indicado na figura 4.1.b. . . . . . . . . . . 58
4.5 Distribuicao de padroes para conjuntos de zonas angulares selecionados na
escala 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.6 Distribuicao de energia para os diferentes angulos da escala 3. . . . . . . . 60
4.7 Conjunto de angulos da escala 3 cujos coeficientes foram selecionados para
a reconstrucao de parte do sinal indicado na figura 4.1.b. . . . . . . . . . . 60
4.8 Distribuicao de padroes para conjuntos de zonas angulares selecionados na
escala 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.9 Distribuicao de energia para os diferentes angulos da escala 4. . . . . . . . 62
4.10 Conjunto de angulos da escala 4 cujos coeficientes foram selecionados para
a reconstrucao de parte do sinal indicado na figura 4.1.b. . . . . . . . . . . 63
4.11 Distribuicao de padroes para conjuntos de zonas angulares selecionados na
escala 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.12 Distribuicao de energia para os diferentes angulos da escala 5. . . . . . . . 65
4.13 Conjunto de angulos da escala 5 cujos coeficientes foram selecionados para
a reconstrucao de parte do sinal indicado na figura 4.1.b. . . . . . . . . . . 66
5.1 Figura comparativa entre sismogramas. Na figura (a) temos um exemplo
de sismograma sintetico; e na figura (b) temos um exemplo de sismograma
real. Nos dois sinais, o ruıdo de rolamento superficial aparece com uma
estrutura triangular macroscopica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2 Figura contendo: (a) o dado original real a ser analisado; (b) o dado fil-
trado (sinal de interesse); e (c) o padrao referente ao ruıdo de rolamento
superficial que foi excluıdo do dado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
xi
5.3 Distribuicao de padroes para conjuntos de zonas angulares selecionados na
escala 2. Na parte superior da figura temos os angulos selecionados nessa
escala e na parte inferior temos a reconstrucao parcial do sinal para esses
angulos nessa escala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.4 Distribuicao de energia para os diferentes angulos da escala 2. . . . . . . . 73
5.5 Conjunto de angulos da escala 2 (marcados em vermelho) cujos coeficientes
foram selecionados para a reconstrucao do sinal sısmico real. . . . . . . . . 74
5.6 Distribuicao de padroes para conjuntos de zonas angulares selecionados na
escala 3. Na parte superior da figura temos os angulos selecionados nessa
escala e na parte inferior temos a reconstrucao parcial do sinal para esses
angulos nessa escala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.7 Distribuicao de energia para os diferentes angulos da escala 3. . . . . . . . 76
5.8 Conjunto de angulos da escala 3 (marcados em vermelho) cujos coeficientes
foram selecionados para a reconstrucao do sinal sısmico real. . . . . . . . . 77
5.9 Distribuicao de padroes para conjuntos de zonas angulares selecionados na
escala 4. Na parte superior da figura temos os angulos selecionados (mar-
cados em vermelho) nessa escala e na parte inferior temos a reconstrucao
parcial do sinal para os angulos correspondentes nessa escala. . . . . . . . . 78
5.10 Distribuicao de energia para os diferentes angulos da escala 4. . . . . . . . 79
5.11 Conjunto de angulos da escala 4 (marcados em vermelho) cujos coeficientes
foram selecionados para a reconstrucao do sinal sısmico real. . . . . . . . . 80
5.12 Distribuicao de padroes para conjuntos de zonas angulares selecionados na
escala 5. Na parte superior da figura temos os angulos selecionados (mar-
cados em vermelho) nessa escala e na parte inferior temos a reconstrucao
parcial do sinal para os angulos correspondentes nessa escala. . . . . . . . . 81
5.13 Distribuicao de energia para os diferentes angulos da escala 5. . . . . . . . 82
5.14 Conjunto de angulos da escala 5 (marcados em vermelho) cujos coeficientes
foram selecionados para a reconstrucao do sinal sısmico real. . . . . . . . . 83
xii
5.15 Componentes do ruıdo de rolamento superficial para as escalas de j = 2 a
j = 5. Na parte superior da figura temos os angulos correspondentes em
cada escala (cırculos cheios) e na parte superior da figura temos a estrutura
correspondente ao ruıdo de rolamento superficial em cada escala. . . . . . . 84
xiii
Lista de Tabelas
5.1 Balanco de energia (em porcentagem) para as escalas 2 ≤ j ≤ 5. O GR
representa a energia do ruıdo de rolamento superficial; e RW a energia das
ondas refletidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2 Distribuicao de energia (em porcentagem) para as escalas 1 ≤ j ≤ 5. O
GR representa a energia do ruıdo de rolamento superficial; e RW, a energia
das ondas refletidas. Na ultima coluna e representada a energia total destes
dois padroes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
xiv
Introducao
A exploracao petrolıfera e uma das tarefas mais complicadas e de difıcil execucao na
industria do petroleo e tambem e umas das tarefas mais importantes desta industria.
A tarefa de localizar jazidas de petroleo e de avaliar o seu potencial de producao re-
presenta um intrigante e complicado problema na area de Ciencia e Tecnologia, pois as
jazidas e reservatorios naturais de petroleo e gas natural sao encontrados em estruturas
geologicas que constituem sistemas de alta complexidade, com heterogeneidades em to-
das as escalas e com uma enorme variedade em suas caracterısticas basicas, tais como
permeabilidade e porosidade.
As dificuldades na localizacao das jazidas sao aumentadas tambem pelo elevado nıvel
de incerteza advindo da quantidade reduzida de informacoes sobre o subsolo e suas estru-
turas geologicas.
A maneira mais precisa de superar estas dificuldades na localizacao das jazidas e
comprovar a existencia ou nao de petroleo e a perfuracao de pocos exploratorios que
possibilitem a coleta de amostras e a introducao de sensores a grandes profundidades para
a medicao in situ das propriedades fısicas da rochas e do ambiente proximo. Entretanto,
a perfuracao de um poco exige grande soma de dinheiro, principalmente em se tratando
de exploracao off shore e, portanto, o numero de pocos exploratorios usados na busca por
jazidas de petroleo e bem pequeno e o volume de subsolo do qual se tem dados coletados
diretamente, comparado ao volume total do campo petrolıfero, corresponde a uma fracao
praticamente desprezıvel ( 10−12).
1
A alternativa para a busca por jazidas de petroleo, diante da impossibilidade de per-
furacao de um grande numero de pocos exploratorios, e o uso de metodos indiretos.
O principal metodo indireto e o da exploracao sısmica. Este metodo consiste em gerar
ondas sısmica que se propaguem no subsolo. Essas ondas sao geradas por explosoes para
o caso de pesquisa continental e por canhoes de ar comprimido para a exploracao no mar
e, em se propagando no subsolo, experimentam os fenomenos de espalhamento, refracao,
difracao, reflexao e outros, pelas diversas camadas e estruturas geologicas do subsolo.
Uma parte destas ondas retorna a superfıcie trazendo informacoes sobre as camadas e
estruturas geologicas do interior da Terra.
Na verdade, o problema de descobrir as propriedades fısicas e as estruturas geologicas
do subsolo atraves dos sinais sısmicos captados na superfıcie por geofones ou hidrofones
e chamado de espalhamento inverso. Este problema e de difıcil solucao e pertence a
uma classe de problemas denominada problemas mal postos. Estes problemas aparecem
em diversas areas da ciencia, mas e ainda mais complicado de se resolver no caso da
prospeccao sısmica, pois o volume da regiao espalhadora das ondas sısmicas, no caso o
subsolo, e muito grande, ha falta de conhecimento sobre as velocidades de propagacao das
ondas sısmicas nas diferentes estruturas e regioes do subolo e tambem devido ao acentuado
grau de desordem do subsolo.
Apesar da enorme dificuldade em se interpretar adequadamente as imagens obtidas
para o subsolo a partir de dados sısmicos, essas sao as mais importantes fontes de in-
formacao sobre grandes volumes de subsuperfıcie e permitem, se bem interpretadas, a
delimitacao apropriada dos reservatorios e jazidas de petroleo. Na verdade, as imagens
sısmicas sao o meio mais difundido e preciso para guiar a interpolacao e a extrapolacao
de dados colhidos em pocos exploratorios. Essas imagens, se bem interpretadas, fornecem
as informacoes mais confiaveis sobre grandes quantidades de subestruturas da crosta ter-
restre.
A analise e interpretacao dos dados sısmicos representam uma etapa fundamental do
processo de obtencao de imagens sısmicas do subsolo. E nesta etapa que sao estimados
os coeficientes das ondas sısmicas, dados pelos contrastes de impedancia acustica que
2
geralmente existem nas transicoes entre camadas geologicas e, a partir destes dados, sao
construıdas as imagens das camadas e estruturas geologicas. No entanto, os dados sısmicos
ou sismogramas contem, alem das informacoes sobre as estruturas do subsolo, uma grande
quantidade de ruıdo e a atenuacao desses ruıdos e essencial para uma boa interpretacao
desses dados. A analise dos sismogramas pode ser feita utilizando-se diversos tipos de
transformadas espectrais. Nesta tese de doutorado vamos descrever e/ou estudar os prin-
cipais tipos de analise que podem ser utilizados no estudo de sinais sısmicos para remover
os ruıdos e recuperar as informacoes sobre as estruturas do subsolo, bem como entender
as limitacoes desses metodos de analise e implementar o metodo de analise curvelet para
a remocao de ruıdos em sismogramas de exploracao sısmica.
Assim, para descrevermos os trabalhos realizados no decorrer de nosso doutoramento,
esta tese de doutorado foi estruturada em cinco capıtulos principais e um capıtulo de
conclusao.
No primeiro capıtulo vamos falar um pouco sobre a prospeccao de petroleo e en-
tender como funciona o metodo de sondagem sısmica, como sao geradas e captadas as
ondas sısmicas que permitem a formacao dos sismogramas e entender como o metodo de
sondagem sısmica e utilizado para o estudo das propriedades geologicas do subsolo e para
a busca de jazidas de petroleo.
No capıtulo 2 desta tese, vamos estudar e descrever as principais transformadas es-
pectrais utilizadas para se estudar sinais temporais e/ou atenuar ruıdos presentes nesses
sinais, desde a transformada de Fourier ate a transformada wavelet (transformada em
ondaletas). Tambem vamos perceber as limitacoes dessas transformadas e a necessidade
de um outro tipo de transformada para se estudar/analisar sinais sısmicos.
No capıtulo 3 vamos definir e estudar a transformada curvelet e entender esta analise
e suas propriedades.
No capıtulo 4, o primeiro capıtulo baseado no trabalho original desta tese de doutorado,
vamos descrever como a transformada curvelet foi implementada para ser utilizada na
analise de sinais sısmicos e na remocao do ruıdo de rolamento superficial desses sinais,
bem como descreveremos o teste realizado em dados sinteticos.
3
Ja no capıtulo 5, descrevemos o procedimento e os resultados da analise curvelet
aplicada a sinais sısmicos e discutiremos os resultados obtidos em comparacao com os
resultados de outros metodos de analise.
Por fim, no capıtulo das conclusoes, faremos uma breve analise dos resultados obtidos
em nosso trabalho de tese e discutiremos algumas aplicacoes e perspectivas para o metodo
desenvolvido e implementado nesse doutoramento.
4
Capıtulo 1
A Prospeccao de Petroleo e a
Exploracao Sısmica
A atual sociedade humana e extremamente dependente dos combustıveis fosseıs, como
o petroleo e o gas natural, com isto a industria do petroleo e uma das mais importantes e
significativas do mercado mundial. Das tarefas realizadas, a exploracao petrolıfera e uma
das mais complicadas e de difıcil execucao e tambem e umas das mais importantes desta
industria.
Localizar jazidas de petroleo sob a crosta terrestre, quer seja em terras continentais
ou em terreno submarino, e avaliar seu potencial de producao, representa um intrigante
e complicado problema na area de Ciencia e Tecnologia, pois esses reservatorios naturais
sao encontrados em estruturas geologicas que constituem sistemas de alta complexidade.
As dificuldades na localizacao das jazidas de petroleo sao enormes e sao aumentadas,
ainda mais, pelo elevado nıvel de incerteza advindo da quantidade reduzida de informacoes
sobre o subsolo e suas estruturas geologicas.
A maneira mais precisa de superar estas dificuldades para localizar jazidas e comprovar
a existencia ou nao de petroleo e a perfuracao de pocos exploratorios que possibilitem a
coleta de amostras e a introducao de sensores a grandes profundidades para a medicao in
situ das propriedades fısicas das rochas e do ambiente proximo. Entretanto, a perfuracao
de um poco exploratorio exige grande soma de dinheiro, principalmente em se tratando
de exploracao off shore e, portanto, o numero de pocos exploratorios usados na busca por
5
jazidas de petroleo e bem pequeno e o volume de subsolo do qual se tem dados coletados
diretamente, comparado ao volume total do campo petrolıfero, corresponde a uma fracao
praticamente desprezıvel ( 10−12).
A perfuracao de pocos exploratorios e utilizada para confirmar a existencia de uma
jazida de petroleo em uma regiao, onde os metodos indiretos indicaram uma grande
probabilidade de existencia de oleo. Assim, a pesquisa com poco exploratorio ira confirmar
a existencia dessa jazida e avaliar seu potencial de producao de petroleo.
Os metodos indiretos sao, diante da impossibilidade de perfuracao de um grande
numero de pocos exploratorios, a melhor alternativa para a busca por jazidas de petroleo.
Estes metodos indiretos tem custos bastante moderados e, mesmo sujeitos a inter-
pretacoes e visualizacoes, fornecem informacoes detalhadas do subsolo e de suas estruturas
geologicas.
O principal metodo indireto usado no estudo das estruturas geologicas do subsolo ter-
restre e na prospeccao de petroleo e a exploracao sısmica ou sondagem sısmica. Este
metodo consiste em gerar ondas sısmicas que se propaguem no subsolo. Estas ondas sao
geradas por explosoes para o caso de pesquisa continental e por canhoes de ar comprimido
para a exploracao no mar e, em se propagando no subsolo, experimentam os fenomenos
de espalhamento, refracao, difracao, reflexao e outros, pelas diversas camadas e estruturas
geologicas do subsolo. Uma parte dessas ondas retorna a superfıcie trazendo informacoes
sobre as camadas e estruturas geologicas do interior da Terra.
As ondas refletidas e/ou refratadas nas varias camadas e estruturas do subsolo que
voltam a superfıcie trazem uma informacao que precisa ser interpretada e analisada e,
apesar da enorme dificuldade em se interpretar adequadamente as informacoes e imagens
obtidas para o subsolo a partir de dados sısmicos, essas imagens sao as mais importantes
fontes de informacao sobre grandes volumes de subsuperfıcie e permitem, se bem inter-
pretadas, a delimitacao apropriada dos reservatorios e jazidas de petroleo. Na verdade,
as imagens sısmicas sao o meio mais difundido e preciso para guiar a interpolacao e
a extrapolacao de dados colhidos em pocos exploratorios, por isto precisamos entender
claramente como elas sao obtidas para poder melhor estudar, interpretar e analisar esses
dados sısmicos.
6
Vale ressaltar que o metodo de sondagem sısmica tambem e bastante utilizado no
estudo das estruturas geologicas das placas tectonicas para estudar regioes onde ocorreram
abalos sısmicos e, por exemplo, calcular a probabilidade de novos abalos. Embora, o foco
do estudo da sondagem sısmica, nesta tese, seja a prospeccao de petroleo, os metodos
e ferramentas aqui estudados e desenvolvidos tambem podem ser aplicados em estudos
sismologicos.
Nas secoes deste primeiro capıtulo vamos estudar e entender como funciona o metodo
de sondagem sısmica e como este metodo e utilizado para o estudo das propriedades
geologicas do subsolo e para a busca de jazidas de petroleo. Com este entendimento
inicial sobre sondagem sısmica, estaremos aptos a, nos proximos capıtulos, estudar as
principais ferramentas matematicas utilizadas na analise e interpretacao dos dados obtidos
nas sondagens sısmicas.
Devemos ainda ressaltar que este e um capıtulo basico que trata da descricao geral da
prospeccao de petroleo e da sondagem sısmica usada para localizar e delimitar jazidas de
petroleo e gas natural, portanto as descricoes apresentadas aqui sao de conhecimento geral
da engenharia de petroleo. A principal referencia utilizada na construcao deste capıtulo
foi o livro do THOMAS[1]. Outras referencias que se fizerem necessarias serao citadas no
decorrer do capıtulo.
1.1 A Sondagem Sısmica e as Ondas Sısmicas
A sondagem sısmica ou exploracao sısmica e um metodo indireto de exploracao
do subsolo terrestre que faz uso de aparelhos e tecnicas especiais para estudar e carac-
terizar o subsolo. Este metodo tem sido comumente utilizado pelo fato de ser capaz de
cobrir grandes areas e, ao mesmo tempo, ser economicamente viavel, permitindo assim,
uma observacao cautelosa e barata do subsolo terrestre, sendo largamente empregado na
localizacao de jazidas de petroleo e gas natural e tambem no estudo e deteccao de falhas
geologicas.
A sondagem sısmica do subsolo faz uso de ondas sısmicas, que sao ondas de natureza
7
mecanica que transportam energia de deformacao elastica no meio em que foram geradas.
A velocidade de propagacao destas ondas depende das propriedades elasticas e da densi-
dade do meio em que elas se propagam. E a sua reflexao e refracao entre as camadas do
subsolo que nos permite inferir as propriedades do subsolo e de suas camadas e estuda-las.
Para entendermos as ondas sısmicas e seu efeito sobre o solo e subsolo devemos lem-
brar que quando se aplica uma forca sobre a superfıcie de um corpo, pode-se modificar
sua forma e/ou seu volume. A elasticidade e a propriedade de um corpo resistir a essa
deformacao e de retornar a sua forma e/ou volume iniciais depois que a forca causadora
da deformacao cessa.
A teoria da elasticidade estuda as relacoes entre as forcas e as mudancas na forma
e volume dos corpos, com base nos conceitos de tensao (stress) e deformacao (strain).
Segundo a lei de Hooke, para pequenas deformacoes, as que ocorrem em rochas podem ser
consideradas como perfeitamente elasticas e como as ondas sısmicas geradas na exploracao
sısmica e prospeccao de petroleo sao causadoras de pequenas deformacoes (da ordem de
10−6% a 10−3%), as estudadas na sondagem sısmica podem ser consideradas deformacoes
elasticas.
A tensao sobre uma superfıcie e definida como a forca por unidade de area na superfıcie.
Quando esta tensao e perpendicular a area em que atua, esta tensao e denominada tensao
normal. E quando ela e tangencial a area em que atua, e denominada tensao cisalhante
ou tensao de cisalhamento. As tensoes que atuam em um corpo ou superfıcie podem
causar sua deformacao.
A deformacao (ou strain) de um corpo e a mudanca na forma e/ou volume de um
corpo quando este esta sujeito a acao de uma tensao. A deformacao normal, ou seja, a
deformacao de um corpo devido a uma tensao normal modifica o volume do corpo, mas
nao modifica a forma do corpo. Ja a deformacao cisalhante modifica a forma mas nao
modifica o volume do corpo.
Quando um corpo esta sujeito a uma tensao e o equilıbrio estatico deste corpo e
rompido, da-se inıcio a propagacao da tensao e da deformacao sob a forma de ondas
elasticas. Assim, as ondas sısmicas sao ondas elasticas que se propagam na Terra e que
podem ser classificadas como ondas de corpo ou como ondas de superfıcie.
8
1.1.1 Ondas de Corpo ou Ondas de Volume
As ondas de corpo ou ondas de volume sao as que se propagam atraves do interior
da Terra. Elas apresentam direcoes radiais a partir do ponto onde foram geradas com
desvios devidos as variacoes de densidade do meio.
As ondas de volume sao responsaveis pelos primeiros tremores sentidos durante um
terremoto e podem ser classificadas em dois tipos: as ondas primarias (ondas P); e as
ondas secundarias (ondas S).
As ondas primarias ou ondas P ou ondas compressionais sao ondas longitudinais,
ou seja, sao ondas nas quais o deslocamento e a vibracao das partıculas do meio ocorre
na mesma direcao da propagacao da energia da onda. As ondas longitudinais sao mais
velozes que as ondas S e, por isto, sao os primeiros eventos a serem detectados apos um
abalo sısmico. Na figura 1.1 e mostrado um esquema descritivo da propagacao de uma
onda longitudinal ou primaria, onde podemos ver que o deslocamento das partıculas do
meio ocorre na direcao de propagacao da onda.
Figura 1.1: Esquema descritivo da propagacao de uma onda primaria
ou longitudinal. Figura reproduzida/adaptada da pagina de internet
http://www.tjhsst.edu/∼jlafever/wanimate/Wave Properties2.html [2].
9
As ondas secundarias ou ondas S ou ondas de cisalhamento sao ondas transver-
sais, ou seja, sao ondas de volume nas quais o movimento das partıculas do meio ocorre
na direcao transversal a direcao de propagacao da onda. As ondas S se propagam apenas
em corpos solidos, pois os fluidos nao suportam forcas de cisalhamento. Sua velocidade
e, em um dado meio, menor que a velocidade das ondas P, mas sua amplitude e varias
vezes maior. Na figura 1.2 e mostrado um esquema descritivo da propagacao de uma onda
de cisalhamento ou secundaria, onde podemos ver que o deslocamento das partıculas do
meio ocorre na direcao perpendicular a propagacao da onda.
Figura 1.2: Esquema descritivo da propagacao de uma onda secundaria
ou de cisalhamento. Figura reproduzida/adaptada da pagina de internet
http://www.tjhsst.edu/∼jlafever/wanimate/Wave Properties2.html [2].
1.1.2 Ondas de Superfıcie
As ondas de superfıcie sao ondas que se propagam logo abaixo da superfıcie terrestre
e deslocam-se mais lentamente que as ondas de volume. Devido a sua baixa frequencia,
longa duracao e grande amplitude, possuem elevado poder destrutivo. Elas propagam-se
pela superfıcie a partir do epicentro de um evento sısmico.
10
Existem dois tipos de ondas de superfıcie: as ondas de Rayleigh e as ondas de
Love.
As ondas de Rayleigh ou ondas R sao o resultado da superposicao de ondas P e
S. A existencia destas ondas foi prevista por Lord Rayleigh em 1985 e sao ondas que
provocam vibracoes no sentido contrario a propagacao da onda, causando um movimento
de rolamento (como uma orbita elıptica) em sentido contrario ao movimento da onda.
Esta onda tambem e denominada onda de rolamento superficial e sua amplitude diminui
rapidamente com a profundidade.
A figura 1.3 mostra um esquema descritivo para uma onda R. Observe que a onda se
propaga em uma direcao e o movimento dos elementos de volume do meio descrevem um
rolamento cuja intensidade diminui rapidamente com a profundidade.
Figura 1.3: Esquema descritivo da propagacao de uma onda de
Rayleigh ou onda R. Figura reproduzida/adaptada da pagina de internet
http://www.tjhsst.edu/∼jlafever/wanimate/Wave Properties2.html [2].
Como veremos, ainda nesse capıtulo, o principal tipo de ruıdo presente nos sinais
sısmicos obtidos em sondagens sısmicas e chamado de ruıdo de rolamento superficial, e
devido a ondas do tipo Rayleigh.
As ondas de Love ou onda L sao ondas que produzem cisalhamento horizontal do solo
11
e sua energia e obrigada a permanecer nas camadas superiores da Terra devido ao fato de
ocorrer por reflexao interna total. Essas ondas sao o resultado da superposicao de duas
ondas S, sao ligeiramente mais rapidas que as ondas de Rayleigh e sao muito destrutivas.
Na figura 1.4 e mostrado um esquema descritivo da propagacao de uma onda Love.
Observe que os elementos de volume do meio de propagacao sofrem um cisalhamento no
plano horizontal cuja intensidade diminui com a profundidade.
Figura 1.4: Esquema descritivo da propagacao de uma onda de
Love ou onda L. Figura reproduzida/adaptada da pagina de internet
http://www.tjhsst.edu/∼jlafever/wanimate/Wave Properties2.html [2].
1.1.3 Velocidade de Propagacao das Ondas Sısmicas
A velocidade de propagacao das ondas sısmicas e funcao da densidade e das constantes
elasticas do meio. Consequentemente, depende da constituicao mineralogica da rocha,
do grau de cimentacao, dos estagios de compactacao, da porosidade, do conteudo e da
saturacao de fluidos, alem de depender da temperatura e da presenca de microfraturas na
rocha.
As velocidades das ondas P e S em uma rocha ou a razao entre estas velocidades e,
12
no geral, usada para caracterizar uma determinada rocha, ou seja, as velocidades calcu-
ladas ou estimadas para as ondas sısmicas numa regiao do subsolo podem determinar a
composicao das rochas daquela subsuperfıcie.
Na figura 1.5 ilustramos a distribuicao de velocidades comumente encontradas na
prospeccao de petroleo. Como o metodo da sondagem sısmica permite o calculo destas
velocidades, pode-se estimar os parametros das rochas a partir do conhecimento das ve-
locidades.
Figura 1.5: Distribuicao de velocidades comumente encontradas na prospeccao de
petroleo. Figura reproduzida de THOMAS[1].
1.2 Metodos Sısmicos e a Sondagem Sısmica
Os metodos sısmicos usados na sondagem sısmica se baseiam na emissao de ondas
sısmicas geradas artificialmente na superfıcie terrestre ou no mar e posterior captacao
das ondas que sao refletidas e/ou refratadas pelas descontinuidades do interior da crosta
13
terrestre e retornam a superfıcie.
Ha dois principais metodos sısmicos: o metodo sısmico de refracao, que registra so-
mente as ondas refratadas com angulo crıtico e que tem grande aplicacao na area de
sismologia e, no entanto, tem aplicacao restrita na area de prospeccao de petroleo; e
o metodo sısmico de reflexao que registra as ondas refletidas pelas descontinuidades do
interior do subsolo e e largamente utilizado na area de prospeccao de petroleo.
Destes metodos vamos estudar apenas o segundo, discutindo o estritamente necessario
para um melhor entendimento dos capıtulos seguintes e do trabalho original desta tese.
Para o levantamento sısmico de uma area do subsolo comeca-se com a geracao de ondas
sısmicas artificiais na superfıcie terrestre, onde se faz uso de dinamite ou de vibradores
com queda de peso, ou no mar, onde se faz uso de canhoes de ar comprimido. As ondas
sısmicas assim geradas tem um pulso caracterıstico conhecido como assinatura da fonte
e sao captadas apos se refletirem e/ou refratarem em cada uma das descontinuidades e
camadas do interior do subsolo por onde viajam.
Os receptores utilizados para captar e registrar as reflexoes sao, basicamente, de dois
tipos: os eletromagneticos (geofones) que sao utilizados para registros em terra; e os de
pressao (hidrofones) usados para levantamentos em aguas oceanicas.
Os geofones sao compostos por uma bobina suspensa dentro de um campo magnetico
gerado por um potente ima acondicionado por um involucro impermeavel. O geofone
e firmemente cravado na superfıcie da Terra e quando uma onda sısmica o atinge, o
movimento relativo entre a bobina e o ima gera uma corrente eletrica induzida que e
proporcional a varios fatores, inclusive a amplitude da onda incidente.
Os hidrofones utilizam-se de cristais piezoeletricos que geram uma corrente eletrica
proporcional a variacao da pressao produzida pelas ondas sısmicas na agua.
Os hidrofones e geofones devem reproduzir, o mais fielmente possıvel, as vibracoes
mecanicas na forma de oscilacoes eletricas. Estas oscilacoes eletricas irao permitir a
construcao do sismograma e/ou imagens do interior da Terra que serao analisadas e tra-
balhadas para o completo levantamento das estruturas internas da subsuperfıcie.
14
1.3 Aquisicao de Dados Sısmicos
Utilizando-se uma fonte artificial de ondas sısmicas, como dinamite para os casos em
terra e ar comprimido para os casos em mar, sao produzidas ondas que irao se propagar
no interior da crosta terrestre.
Para todos os fins praticos, a propagacao das ondas sısmicas e regida pelas mesmas
leis da otica geometrica. Assim, quando uma frente de onda incide sobre uma interface
separando duas rochas com velocidades e densidades diferentes, parte da energia da onda
e refletida e retorna a superfıcie e parte e refratada para o meio inferior e continua sua
propagacao.
A quantidade de energia que e refletida depende do contraste de impedancia das rochas.
E possıvel simular a resposta sısmica de um pacote sedimentar ou traco sısmico (tambem
chamado de sismograma sintetico) a partir do conhecimento de velocidades e densidades
das rochas que o compoe e da assinatura da fonte.
Usando um conjunto de geofones (ou hidrofones) convenientemente distribuıdos e orde-
nados, como esquematizados na figura 1.6, pode-se captar as ondas refletidas nas diversas
camadas e descontinuidades do subsolo.
Figura 1.6: Esquema da aquisicao de dados sısmicos terrestres e marıtimos. Figura re-
produzida de OLIVEIRA[3].
Em geral, e considerado que o pulso refletido em uma descontinuidade tenha a mesma
15
forma do pulso incidente. Os geofones ou hidrofones registram as superposicoes das am-
plitudes sısmicas ou reflexoes individuais que variam de valores negativos a positivos e
sao armazenados em um traco sısmico. Cada traco sısmico e apresentado como uma serie
temporal de amplitudes que tem sua area positiva preenchida.
Na figura 1.7[1] esta ilustrada a formacao de um sismograma atraves das reflexoes de
um pulso pelas camadas sedimentares do subsolo.
Figura 1.7: Representacao da formacao de um traco sısmico pelas reflexoes de um pulso
pelas camadas sedimentares do subsolo. Figura reproduzida de OLIVEIRA[3].
Na figura 1.7.A tem-se a representacao das camadas sedimentares do subsolo. Em
1.7.B ve-se as inomogeneidades ou impedancias acusticas dessas camadas sedimentares.
Em 1.7.C temos o pulso incidente e a reflectividade das diversas camadas. Na figura 1.7.D
temos as reflexoes individuais de cada uma das camadas sedimentares, e finalmente, em
1.7.E tem-se o traco sısmico final registrado em apenas um geofone.
Devido ao arranjo dos geofones (hidrofones) e dos registros de uma mesma reflexao em
varios desses sensores, pode-se calcular as distancias das varias camadas e heterogenei-
dades e as velocidades das ondas sısmicas nestas camadas de subsuperfıcies.
16
1.4 O Ruido de Rolamento Superficial ou Ruido
Ground Roll
Os registros obtidos por um conjunto de geofones ou hidrofones das reflexoes da onda
nas camadas de subsuperfıcies formam um sismograma. Na figura 1.8[3] e mostrado
um sismograma construıdo a partir dos dados de um conjunto de geofones durante uma
sondagem sısmica.
Figura 1.8: Exemplo de sismograma captado por um conjunto de geofones durante uma
sondagem sısmica. Figura reproduzida de OLIVEIRA[3].
No sismograma da figura 1.8 sao observadas algumas estruturas, no entanto, a maioria
das estruturas visualmente presentes no sismograma nao sao devidas as reflexoes das ondas
nas heterogeneidades do subsolo. A maioria dos sinais presentes em um sismograma
de sondagem sısmica sao sinais expurios que dificultam a leitura do sismograma e sua
interpretacao e, consequentemente, o estudo das estruturas do subsolo terrestre.
17
Estes sinais indesejados que aparecem nos sismogramas sao chamados de ruıdos. O
principal sinal indesejado nos sismogramas de sondagem sısmica sao sinais coerentes de-
vidos a ondas de superfıcie, do tipo das ondas de Rayleigh, que contribuem com cerca
de dois tercos de toda a energia sısmica captada pelo geofone durante essas sondagens[5].
Esses sinais indesejados sao chamados de ruıdo de rolamento superficial ou ruıdo
ground roll.
O ruıdo de rolamento superficial esta sempre presente nos sismogramas de sondagem
sısmica e, no exemplo da figura 1.8, ele aparece geometricamente com a forma de um cone
central marcado por A. A forma de cone para o registro do ruıdo de rolamento superficial
vem do posicionamento dos geofones em relacao ao ponto de tiro (ponto de energia onde
sao geradas as ondas sısmicas para o levantamento sısmico).
As principais caracterısticas do ruıdo de rolamento superficial sao: grandes amplitudes,
maiores que as do sinal refletido nas camadas do subsolo; baixa velocidade; e concentracao
de energia em frequencias baixas[5].
Por serem ondas do tipo Rayleigh, as ondas do ruıdo de rolamento superficial se
limitam a uma propagacao proxima a superfıcie da Terra sem transmitir energia para o
seu interior. E, entao, as amplitudes que constituem o ground roll nao contem informacoes
relacionadas com as interfaces de reflexoes e irao se sobrepor as amplitudes (menores) que
foram refletidas pelas estruturas geologicas do interior da terra.
1.5 Tecnicas de Filtragem
O ruıdo de rolamento superficial e outros sinais indesejados precisam ser removidos
do sismograma para que se possa estudar as estruturas presentes e, com isto, estudar as
estruturas do interior da terra.
Convencionalmente, para a remocao de ruıdos sao usados filtros tais como: filtros
passa-baixa, passa banda, balanco espectral, multicanal, f − k, entre outros. Os varios
metodos desenvolvidos baseados nessas tecnicas, podem ser utilizados para a remocao do
ruıdo de rolamento superficial[6]. No entanto, esses metodos tem limitacoes, pois so podem
18
ser aplicados ou no domınio da frequencia ou no domınio do tempo. Os filtros passa-alta
e passa banda, por exemplo, sao aplicados no domınio da frequencia e sao incapazes
de separar as grandes amplitudes do ruıdo de rolamento superficial das amplitudes das
reflexoes. Isto ocorre porque, para uma mesma banda de frequencia, as amplitudes do
ruıdo e do sinal de interesse se sobrepoe fortemente[5]. Por isto, usando-se este tipo de
filtragem, frequencias baixas presentes nas reflexoes sao perdidas.
Por outro lado, os filtros baseados na transformada f − k sao bastante utilizados
para remover os ruıdos de rolamento superficial[7], porem estas transformadas tem a
desvantagem de gerar distorcoes nos sinais das reflexoes devido ao fato das amplitudes do
ground roll serem bem maiores que as amplitudes das reflexoes.
Ha varios metodos e transformadas que sao utilizadas para tratar e estudar os sismo-
gramas e, desta forma, estudar as estruturas do interior da terra. Nos proximos capıtulos
faremos um breve estudo das principais transformadas temporais usadas para remover
ruıdos dos sinais sısmicos, bem como suas limitacoes, para podermos comparar com a
transformada curvelet, que e o objeto principal de estudo desta tese.
19
Capıtulo 2
Sinais Temporais e Transformadas
2.1 Introducao
Toda grandeza fısica pode ser representada por uma funcao f(t) que da o seu compor-
tamento com o tempo. A princıpio, conhecendo-se a funcao que representa uma grandeza
fısica, conhecemos o comportamento desta grandeza em qualquer tempo e nos referimos a
esta funcao como sendo o sinal temporal da grandeza fısica. Entretanto, o sinal tempo-
ral nao fornece toda a informacao que precisamos para estudar e analisar a grandeza fısica.
Em muitos casos e necessario realizar uma transformacao matematica sobre a funcao para
que esta possa ser analisada em um domınio diferente do domınio temporal e, desta forma,
possamos obter outras informacoes relevantes e importantes sobre a grandeza fısica.
As transformacoes mais utilizadas para se analisar sinais temporais sao as chamadas
transformadas espectrais, que levam o sinal temporal para o espaco das frequencias e
permitem recuperar as frequencias presentes no sinal temporal.
Por outro lado, os sinais temporais obtidos no mundo real a partir do estudo de alguma
grandeza fısica de interesse estao sempre contaminados. Por exemplo, em um sismograma
coletado para se estudar a estrutura interna de uma area da crosta terrestre ha varios
outros sinais misturados que atrapalham o estudo do sismograma por nao pertencerem
ao fenomeno de interesse. Chamamos estes sinais espurios ou indesejados de ruıdos.
A presenca de ruıdos e inevitavel no estudo de qualquer grandeza ou fenomeno fısico.
Ha alguns procedimentos utilizados para atenuar o ruıdo presente no sinal e, desta forma,
20
recuperar o sinal desejado. Estes procedimentos de atenuacao de ruıdos sao conhecidos
como filtragem [8].
Assim, procedimentos matematicos tem sido propostos para atenuar estes sinais que
nao pertencem ao fenomeno observado e que nao sao de interesse do pesquisador.
As transformadas espectrais estao entre os filtros mais utilizados para remocao de
ruıdos na exploracao do petroleo. Nestes casos, e feita uma transformada sobre o sinal
levando-o para o espaco das frequencias e as frequencias dos sinais indesejados sao aten-
uadas ou removidas e, ao se realizar a transformada inversa para levar o sinal de volta ao
espaco temporal, o sinal desejado deve, em teoria, estar livre dos ruıdos.
Neste capıtulo vamos estudar brevemente as principais transformadas espectrais uti-
lizadas para se estudar sinais temporais e/ou atenuar ruıdos presentes nesses sinais, bem
como perceber as limitacoes destas transformadas.
2.2 A Analise de Fourier
Em 1807, o fısico e matematico frances Jean-Baptiste Joseph Fourier desenvolveu um
metodo de analise de funcoes periodicas em series trigonometricas convergentes que pas-
saram a se chamar Series de Fourier.
Levando-se em consideracao que senos e cossenos sao funcoes periodicas, ele propos
que qualquer funcao periodica pode ser decomposta em termos destas funcoes base num
somatorio infinito. Assim, uma funcao f(t) periodica pode ser escrita em termos de
funcoes senoidais (senos e cossenos) como:
f(t) = a0 +∞∑n=1
[an cos
(nπt
L
)+ bnsen
(nπt
L
)](2.1)
onde os coeficientes da expansao, an e bn, sao determinado a partir da relacao de ortogo-
nalidade das funcoes base da expansao (senos e cossenos) e sao dados por:
an =1
L
∫ L
−Lf(t) cos
(nπt
L
)dt, n = 0, 1, 2, 3, . . . (2.2)
e
21
bn =1
L
∫ L
−Lf(t)sen
(nπt
L
)dt, n = 1, 2, 3, . . . (2.3)
Com o sinal, f(t), escrito como uma serie de Fourier na forma da equacao (2.1),
podemos analisa-lo mais facilmente no domınio temporal e, tambem, transforma-lo para
outros domınios para obter e estudar informacoes que nao estao disponıveis neste domınio.
Usando a Transformada de Fourier (TF), que e uma transformada integral que leva
uma funcao periodica em suas componentes no domınio das frequencias, podemos trans-
formar o sinal temporal em uma funcao que esta representada no domınio das frequencias
a partir da integral:
f(ω) = F[f ](ω) =
∫ ∞
−∞f(t)e−iωtdt (2.4)
Por outro lado, conhecendo-se o espectro f(ω) de um sinal temporal, e possıvel obter
este sinal utilizando a transformada inversa de Fourier, dada por:
f(t) = f [F](t) =1
2π
∫ ∞
−∞f(ω)eiωtdt (2.5)
Diz-se entao que f(t) e f(ω) formam um par de transformadas, indicando isto por
f(t) ↔ f(ω). Ou seja, de um sinal temporal podemos obter o sinal no espaco das
frequencias e vice-versa.
O fato das funcoes de base da serie de Fourier ou, equivalentemente, da integral da
transformada de Fourier (equacao (2.4)), se estender de menos a mais infinito, torna esta
transformada adequada para se estudar um sinal estacionario. Assim, no estudo de sinais
estacionarios, utilizar um filtro do tipo Fourier e uma boa escolha para decompor o sinal
do domınio do tempo em sinais harmonicos simples para o domınio das frequencias. Neste
novo domınio pode-se analisar o sinal e atenuar as frequencias dos sinais indesejados e,
em tese, ao voltar ao domınio temporal pela transformada de Fourier inversa, recupera-se
o sinal sem a presenca de ruıdos e sinais indesejados.
Na figura 2.1.a temos um exemplo de um sinal estacionario simples, f(t) = cos(ν0)
representado em seu domınio temporal e sua analise de Fourier, representada no domınio
das frequencias, onde vemos que sua frequencia e representada por uma delta sobre ν0
22
no espaco das frequencias. Ja na figura 2.1.b temos a funcao f(t) = cos(ν0) dentro de
uma caixa limitada no intervalo [−b/2, b/2] e sua respectiva representacao no espaco das
frequencias, o que ja nos mostra a limitacao da analise de Fourier para analisar sinais
nao-estacionarios.
Figura 2.1: a) Exemplo de (a) um sinal temporal estacionario e sua representacao no
espaco das frequencias obtida pela analise de Fourier do sinal; (b) um sinal temporal nao
estacionario e sua representacao no espaco das frequencias obtida pela analise de Fourier.
Figura adaptada da pagina de internet http://astro.if.ufrgs.br/med/imagens/fourier.htm
[9].
Apesar de ser extremamente util e importante no estudo de sinais estacionarios, a
transformada de Fourier nao pode “visualizar” ou recuperar uma informacao localizada
em um tempo especıfico. Ou seja, a transformada de Fourier e ineficaz para fornecer a
localizacao de um evento no sinal, tal como mudanca de frequencia, descontinuidades,
singularidades e fenomenos transientes em geral.
A limitacao na analise de Fourier advem do fato da transformada de Fourier nao per-
mitir analisar, em separado, trechos diferentes dos sinais [10]. Assim, caso o sinal contenha
23
algum trecho extremamente ruıdoso ou que contenha pontos anomalos, o processamento
de todo o sinal ficara comprometido. E, no caso dos sinais sısmicos da prospeccao de
petroleo, as partes mais importante dos sinais costumam ser os eventos pontuais ou sin-
gularidades presentes no sinal temporal.
Como ferramentas de analise alternativas a Tranformada de Fourier no estudo de sinais
nao-estacionarios ou que contenham descontinuidades pontuais, surgiram outras transfor-
madas espectrais que visam incorporar a analise de um sinal a possibilidade de localizar
um evento no sinal ao mesmo tempo que leva o sinal temporal do espaco dos tempos para
o espaco das frequencias. Vamos estudar brevemente algumas destas transformadas nas
secoes seguintes deste capıtulo.
2.3 A Transformada de Fourier-Gabor
Para cobrir a deficiencia da Transformada de Fourier em estudar sinais nao esta-
cionarios e interessado em representar sinais nao-estacionarios em problemas de comu-
nicacao usando funcoes de base oscilatorias no plano tempo-frequencia, o fısico Dennis
Gabor[11] desenvolveu um metodo que divide o sinal temporal original em partes e realiza
uma analise de Fourier em cada parte em separado.
Este metodo e denominado Transformada Fourier-Gabor ou Transformada de
Fourier Janelada (em ingles Short Time Fourier Transform).
A transformada de Fourier Janelada usa uma funcao auxiliar no integrando da trans-
formada de Fourier que divide o sinal temporal em partes, atraves de janelas de formato
gaussiano, e faz a transformada de Fourier em cada parte do sinal, permitindo obter
informacoes sobre quais frequencias ocorrem em cada parte do sinal.
Matematicamente temos que a transformada de Fourier-Gabor relaciona o sinal tem-
poral f(t) com a funcao de analise gu,ξ(t), conhecida como atomo de Gabor, pela equacao:
f(u, ξ) =
∫ ∞
−∞f(t)g∗u,ξ(t)dt (2.6)
A funcao atomo de Gabor e construıda por uma translacao temporal:
24
gu,ξ(t) = g(t− u)eiξt . (2.7)
Desta forma, a transfomada de Fourier-Gabor e dada por:
f(u, ξ) =
∫ ∞
−∞f(t)g(t− u)e−iξtdt (2.8)
Sendo assim, a transformada de Fourier janelada esta definida no domınio tempo
frequencia (ω, t). E a energia de gu,ξ e concentrada na vizinhanca de u em um intervalo
de tamanho σt e sua transfomada de Fourier e uma translacao por ξ:
gu,ξ(ω) = g(ω − ξ)e−iu(ω−ξ) . (2.9)
A transformada inversa de Fourier Gabor e dada por:
f(t) =1
2π
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞f(u, ξ)g(ξ − t)eiξududξ . (2.10)
A funcao gu,ξ(t), da transformada de Fourier-Gabor, e delimitada por uma regiao
e, tambem por isto, conhecida como uma funcao janelada. A energia de gu,ξ(t) esta
concentrada na vizinhanca de u em um intervalo de tamanho σt. E a energia de gu,ξ(t) e
localizada na frequencia ξ em um intervalo de tamanho σω.
No plano tempo-frequencia (t, ω), o espalhamento da energia do “atomo” gu,ξ e repre-
sentado simbolicamente pela “caixa de Heisemberg”, como ilustrado na figura 2.2. Esta
“caixa” esta centrada em (u, ξ) e tem largura σt no tempo e σω na frequencia.
A janela usada na transformada de Fourier janelada e de tamanho fixo. Isto torna
inviavel a analise simultanea das componentes de altas frequencias e de baixas frequencias
do sinal, pois ha um limite, advindo do Princıpio da Incerteza de Heisemberg, para a
localizacao tempo-frequencia do sinal. A variancia temporal σt e a variancia na frequencia
σω do sinal temporal f(t) satisfazem a equacao:
σtσω ≥ 1
4π(2.11)
Sendo assim, uma “boa” localizacao na frequencia (σω pequeno) implica em nao se
ter uma “boa” localizacao no tempo (σt ≥ 1/4πσω ). A localizacao da funcao no domınio
25
Figura 2.2: Representacao simbolica da caixa de Heisemberg no plano tempo-frequencia.
A energia do “atomo” de Gabor esta distribuıda nesta caixa centrada em (u, ξ) e com
larguras σt no tempo e σω na frequencia. Figura reproduzida de LEITE[15].
tempo-frequencia esta representada geometricamente pela dimensao do retangulo σt×σω.
Do princıpio da incerteza temos que a area desse retangulo mostrado na figura 2.2, e
≥ 1/4π.
Na transformada de Fourier janelada, uma vez escolhida uma janela do domınio do
tempo, esta mesma janela tem de ser usada em todas as frequencias. Assim, e possıvel se
analisar sinais que apresentam componentes de frequencias altas ou sinais que apresentam
componentes de frequencias baixa, mas nao sinais que apresentam ambas componentes,
como os sinais geofısicos.
A limitacao na transformada de Fourier janelada fez surgir uma modificacao nessa
transformada, que veio a ser chamada de Transformada Wavelet ou transformada em
ondaleta.
26
2.4 A Transformada em Ondaletas
A Transformada Wavelet ou Transformada em Ondaletas tambem surgiu da
limitacao da analise de Fourier em localizar um evento em um sinal temporal e da limitacao
da transformada de Fourier-Gabor em estudar sinais compostos, simultaneamente, por
bandas de altas e de baixas frequencias.
Devido a esta limitacao da transformada de Fourier janelada em analisar sinais nao
estacionarios e compostos, simultaneamente, por bandas de altas e de baixas frequencias,
Grossmann e Morlet [10] usaram funcoes de analise na base com parametros variaveis σ
e τ relacionados com frequencia e tempo, respectivamente, e que ajustavam as janelas
de analise do sinal, contornando a limitacao da analise de Fourier-Gabor. Assim, as
funcoes de analise sao ajustadas pelos parametros σ e τ dependendo da frequencia que se
deseja analisar, ou seja, para estudar as estruturas de sinais f(t) em tamanhos diferentes,
e necessario usar uma decomposicao em tempo-frequencia com suportes diferentes no
tempo.
A transformada em ondaletas e uma tecnica recente com enorme aplicabilidade no
estudo de funcoes nao-estacionarias e de sinais com transientes ou singularidades, como
e o caso de sinais geofısicos[16]. A enorme utilidade das ondaletas esta na possibilidade
de atuarem como funcoes de base na decomposicao de sinais temporais (funcoes f(t) ∈
L2(IR)) de forma mais eficiente que as bases senoidais do metodo de Fourier e que as
janelas do metodo Fourier-Gabor.
Muitas vezes a transformada em ondaletas e comparada a um microscopio matematico,
pelo fato de proporcionar um efeito tipo lente de aumento que permite localizar, no tempo
e na escala, transientes e singularidades em um sinal temporal. Tornando esta analise
extremamente conveniente para a analise de sinais nao-estacionarios e com sigularidades.
Nesta secao, vamos apresentar e discutir brevemente a transformada contınua em
ondaletas e a transformada discreta em ondaletas e perceber, tambem, suas limitacoes.
27
2.4.1 Transformada Contınua em Ondaletas
A Transformada Contınua em Ondaletas e uma transformacao matematica que
decompoe um sinal temporal f(t) ∈ L2(IR) em funcoes de base denominadas ondaletas
ou wavelets. Esta transformada gera um novo sinal fψ(σ, τ) ∈ L2(IR) que e dependente
dos parametros σ e τ que sao, respectivamente, o parametro de dilatacao/contracao e
o parametro de translacao. Comparando a transformada contınua em ondaletas com a
transformada de Fourier janelada, como veremos a seguir, percebe-se que o parametro τ e
similar ao parametro de localizacao da transformada de Fourier janelada. Ja o parametro
σ nao existe na transformada de Fourier janelada.
A decomposicao da funcao f(t) em termos das ondaletas, pode ser representada pela
equacao:
fψ(σ, τ) =
∫ +∞
−∞f(t)ψ∗
σ,τ (t)dt (2.12)
onde a funcao ψ∗σ,τ (t) e conseguida por dilatacoes (parametro σ) e translacoes (parametro
τ) de uma funcao principal ou funcao prototipo, conhecida por ondaleta mae (ou
wavelet mae), e dada por:
ψ∗σ,τ (t) =
1√|σ|ψ
(t− τ
σ
)(2.13)
onde σ, τ ∈ IR, σ = 0; e o termo1√|σ|
corresponde a um fator de normalizacao da energia
para cada ondaleta, que faz com que cada ondaleta tenha a mesma energia da ondaleta
principal.
A dependencia da ondaleta com os dois parametros, σ e τ , e o que torna esta trans-
formada uma ferramenta eficiente para analisar sinais nao-estacionarios e localizar sin-
gularidades e transientes, pois e possıvel analisar a funcao em um amplo conjunto de
localizacoes temporais e com relacao a um grande conjunto de frequencias.
Na figura 2.3.a ilustramos uma famılia de ondaletas contınuas para diferentes valores
dos parametros σ e τ . Ja na figura 2.3.b ilustramos o espectro de Fourier destas ondaletas.
A ondaleta escolhida e a segunda derivada da gaussiana, tambem conhecida como
Chapeu Mexicano devido a seu formato peculiar. A ondaleta principal ou prototipo usada
28
Figura 2.3: Representacao de uma famılia de ondaletas contınuas (figura (a)) e de seu
espectro de Fourier (figura (b)). Figura reproduzida de MALLAT[16].
para gerar a famılia de ondaletas e ψ1, que esta localizada em τ0 = 0 para uma determinada
escala σ0, ou seja, ψ1 = ψσ0,τ0=0. Observa-se na figura 2.3.a que quando a ψ1 e contraıda
em σ0 →σ02
e transladada para a direita, τ0 → +τ , e gerada a ondaleta ψ2, caracterizada
por ψ2 = ψσ0/2,τ . Ja a ondaleta ψ3 e gerada pela contracao σ0 → σ04
e pela translacao
τ0 → −τ , assim ψ3 = ψσ0/4,−τ .
No espectro de Fourier desta famılia de ondaletas, mostrado na figura 2.3.b, observa-
se que quando e diminuıda a analise do domınio da temporal (tanto em ψ2 quanto em
ψ3 que sao menos espalhadas que ψ1), a analise no domınio das frequencias e deslocada
para frequencias maiores. E, consequentemente, a ondaleta que possui maior suporte no
tempo, ψ1, tem seu espectro de frequencia concentrado em frequencias menores.
29
A transformada em ondaletas, assim como a transformada de Fourier, e inversıvel.
A recuperacao do sinal original e possıvel pela transformada em ondaletas inversa, cuja
expressao matematica e:
f(t) = f−1ψ (σ, τ) =
1
cψ
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞fψ(σ, τ)
1√|σ|ψ
(t− τ
σ
)dτdσ
σ2(2.14)
onde o termo Cψ depende da ondaleta dada e, matematicamente, e escrito na forma:
Cψ =
∫ +∞
−∞
|ψ(ω)|2
|ω|dω <∞ (2.15)
onde o termo |ψ(ω)| e a transformada de Fourier da funcao ψ(t).
A equacao 2.15 e definida como a condicao de admissibilidade da funcao ψ(t), que tem
de satisfaze-la para que a funcao f(t) possa ser reconstruıda sem perda de informacao.
A equacao 2.15 exige, ainda, que ψ(0) = 0 ou∫ +∞−∞ ψ(t)dt = 0, de forma que ψ(t)
muda seu sinal, ao menos, uma vez ao longo de seu domınio e que se anula para t → ∞.
Esta propriedade garante que ψ(t) tem carater ondulatorio.
Por outro lado, levando-se em consideracao a localizacao da energia da funcao ψ,
temos que essa esta localizada numa regiao do plano (τ, ω) e, portanto, no plano (τ, σ),
uma vez que σ ∼ 1/ω. Isto significa que as amplitudes de ψ sao apreciaveis apenas nesta
regiao. Desta forma, a equacao 2.12 mede as flutuacoes do sinal f na vizinhanca de τ , cujo
tamanho e proporcional a escala σ. Se a ondaleta e mais localizada, ou seja, sua energia
esta concentrada em uma pequena regiao do espaco, ela fornece uma melhor representacao
da funcao no plano tempo-frequencia, mas a forma da ondaleta permanece inalterada sob
dilatacao e translacao (como pode ser visto na figura 2.3).
Para compararmos melhor a analise de Fourier-Gabor com a analise em ondaletas,
podemos analisar um esquema ilustrativo da divisao que a transformada em ondaletas
faz do espaco tempo-frequencia (figura 2.4.b) com a divisao do espaco tempo-frequencia
feito pela analise de Fourier-Gabor (figura 2.4.a). As diferentes larguras das janelas (tanto
em tempo quanto em frequencia) permitem a melhor representacao das singularidadese e
30
eventos localizados do sinal temporal quando estudado no domınio tempo-frequencia. Na
figura 2.4.b podemos observar, tambem, o esquema da discretizacao do domınio tempo-
escala para as ondaletas.
Figura 2.4: Esquema ilustrativo da divisao do espaco tempo-frequencia (a) para a trans-
formada de Fourier-Gabor; e (b) para a transformada em ondaletas.
Figura reproduzida de MALLAT[16].
2.4.2 Transformada Discreta em Ondaletas
Vimos, ate agora, que a transformada contınua em ondaletas analisa sinais temporais
a partir de sua representacao em termos de funcoes de base dadas pela equacao 2.13, onde
os parametros σ e τ controlam a largura e a localizacao das funcoes de analise que formam
a base.
Com os parametros σ e τ , a transformada contınua em ondaletas e uma representacao
redundante dos sinais temporais. A diminuicao da redundancia aumenta a eficiencia dos
algoritmos de analise e uma discretizacao dos parametros σ e τ e suficiente para passar
de uma representacao redundante a uma representacao em uma base ortonormal.
Uma escolha adequada para o parametro de escala e σ = σj0, com j ∈ Z e σ0 > 1.
E para o parametro de translacao e τ = kτ0 com k ∈ Z e τ0 > 0. O valor de τ0 deve
31
ser escolhido de modo que as ondaletas ψ(t − kτ0) cubram todo o eixo temporal. Deve-
se perceber tambem, que a discretizacao de τ deve estar relacionada a discretizacao de
σ = σj0, portanto, uma escolha conveniente para τ e da forma τ = kσj0τ0.
Uma classe particular de ondaletas discretas sao as ondaletas com os seguintes valores
numericos para os parametros de translacao e contracao da ondaleta τ0 = 1 e σ0 = 2, de
forma que, temos σ → 2j e τ → 2jk, com (j, k) ∈ Z × Z. Esta notacao conduz a uma
estrutura em escalas (ındice j) e translacoes (ındice k) chamada diadica, que assemelha-
se a uma notacao musical, em que as potencias de 2 estao relacionadas com intervalos
(oitavas) e duracao das notas.
Entao, uma ondaleta discreta e uma funcao ψ(t), tal que a famılia de funcoes
ψj,k(t) =1√2jψ
(t− k2j
2j
)(2.16)
seja uma base ortonormal para o L2(IR) com j e k inteiros.
Da definicao acima, se ψ e uma ondaleta, entao, ψj,k tambem sera para qualquer
j, k ∈ Z.
Os parametros j e k sao quem controlam, respectivamente, as dilatacoes e as
translacoes das ondaletas. Entao, a transformada discreta em ondaletas sera da forma
dj,k =
∫ +∞
−∞f(t)
1√2jψ
(t− k2j
2j
)dt (2.17)
onde os coeficientes gerados dj,k0 sao chamados de coeficientes de detalhe ou coeficientes
ondaletas.
Algoritmos baseados nesta transformada sao usados para analisar sinais temporais que
sao formados por bandas de alta e baixa frequencias e que possuem eventos localizados
no tempo ou singularidades. Estas singularidades sao bem localizadas no espaco tempo-
frequencia, permitindo verificar quais coeficientes da transformada discreta em ondaletas
sao mais importantes na representacao do sinal.
A transformada em ondaletas aplicada a sinais geofısicos, por exemplo, faz com que
os sinais sejam representados em termos de um numero muito grande de coeficientes de
detalhe. Sem contar que, usando a transformada em curvelets, como estudaremos no
capıtulo 3, a imagem/sinal pode ser representada com bem menos coeficientes que na
32
sıntese em ondaletas. Alem disso, o carater direcional da transformada curvelet permite
que a representacao do sinal seja feita atraves de uma operacao que inclui um parametro
angular na funcao de base e permite atenuar melhor os ruıdos e partes indesejadas do
sinal quando comparada a transformada em ondaletas.
33
Capıtulo 3
A Analise Curvelet
3.1 Introducao
No capıtulo anterior comecamos a estudar sinais temporais e as transformadas uti-
lizadas em suas analises. Neste capıtulo vamos dar continuidade ao estudo de trans-
formadas tempo-frequencia estudando um tipo recente de transformada e com inumeras
aplicacoes em diversas areas da ciencia e da tecnologia, a transformada curvelet.
Em todo o corpo desta tese manteremos o termo em ingles, curvelet, para esta trans-
formada pois, por ser uma analise recente, ainda nao ha na literatura uma traducao
adequada para este termo.
Voltando ao estudado no capıtulo anterior, vimos que a analise de Fourier pode ser uti-
lizada para decompor um sinal periodico em termos de senos e cossenos, ou seja, podemos
escrever um sinal periodico como uma combinacao linear de senos e cossenos e descobrir
as frequencias presentes no sinal temporal. A analise de Fourier e extremamente util
no estudo de sinais estacionarios, mas apresenta serias limitacoes ao analisar sinais que
apresentam descontinuidades ou eventos localizados no tempo.
Devido a essa limitacao da analise de Fourier, surgiu a analise de Fourier-Gabor ou
analise de Fourier janelada. Esta analise divide o sinal temporal original em partes e
realiza uma analise de Fourier em cada parte em separado. Nesse tipo de analise, a janela
utilizada tem tamanho fixo, o que torna uma analise simultanea das componentes de altas
e de baixas frequencias inviavel, sendo possıvel realizar apenas um desses tipos de analise
34
e nao os dois simultaneamente.
Da limitacao da analise de Fourier em localizar um evento em um sinal temporal e
da limitacao da transformada de Fourier-Gabor em estudar sinais compostos, simultane-
amente, por bandas de altas e de baixas frequencias, surgiu a analise em ondaletas. Neste
tipo de analise, o sinal temporal ou funcao a ser estudada e representada em termos
de pequenas ondas que sejam localizadas no tempo e que permitem ajustar o tamanho
das janelas de analise do sinal, contornando a limitacao da analise de Fourier-Gabor. A
transformada em ondaletas e uma tecnica recente com enorme aplicabilidade no estudo
de funcoes nao-estacionarias e de sinais com transientes ou singularidades, como e o caso
de sinais geofısicos[16]. No entanto, esta tecnica de analise tambem tem suas limitacoes.
Por exemplo, apesar de representar surpreendentemente bem descontinuidades pontuais
em uma dimensao, a analise em ondaletas apresenta severas restricoes para representar
regioes com descontinuidades superficiais em duas dimensoes, ou seja, descontinuidades
ao longo de curvas, precisando-se de um numero muito grande de coeficientes para tais
representacoes[22] ou mesmo recuperando representacoes imprecisas.
Partindo-se desta limitacao na analise em ondaletas, Candes e Donoho[22] propuseram,
em 1999, uma nova classe de funcoes de base, as curvelets que podem ser utilizadas
na remocao de ruıdos de sinais e imagens, na compressao de sinais, no reconhecimento
de padroes, entre outras aplicacoes. A analise curvelets consiste em representar um
sinal/imagem em termos de funcoes de base que tenham em seus parametros, alem dos
parametros relacionados a frequencia e ao tempo, um parametro angular, dando um
carater direcional a analise e permitindo-se identificar e representar singularidades di-
recionais.
Neste capıtulo vamos definir a transformada curvelet e entender esta analise e suas
propriedades para, no proximo capıtulo, podermos descrever a remocao do ruıdo de rola-
mento superficial usando esse tipo de analise.
35
3.2 Definicao da Transformada Curvelet
A transformada curvelet e uma nova transformada multiescala com um forte carater
direcional que vem sendo largamente utilizada na representacao de objetos, imagens e
sinais que tem descontinuidades ao longo de curvas[22, 23, 24, 25, 26, 27, 28]. Este
carater direcional das curvelets vem do fato delas estarem localizadas, alem do domınio
espacial e de frequencias, em orientacao angular, o que consiste num passo alem da analise
em ondaletas[16]. Nesta secao vamos definir a transformada curvelet contınua e estudar
suas propriedades.
Vamos considerar que as funcoes de base curvelets estao definidas em duas dimensoes,
com variavel espacial x, ω e com r e θ as coordenadas polares no domınio das frequencias.
Assim, considerando o par de janelas W (r) e V (t) que sao, respectivamente, a “janela
radial” e a “janela angular” e que sao, ambas, suaves, nao-negativas e reais, com W
tomando argumentos reais e positivos com suporte r no intervalo (1/2, 2) e V tomando
argumentos reais com suporte em t ∈ [−1, 1].
Estas janelas obedecerao as condicoes de admissibilidade:
+∞∑j=−∞
W 2(2jr) = 1, r ∈(34, 32
)(3.1)
+∞∑l=−∞
V 2(t− l) = 1, t ∈(−1
2, 12
)(3.2)
Para cada j ≥ j0, o que significa dizer que estamos trabalhando com as escalas “finas”
das curvelets, introduziremos as janelas de frequencia Uj definida no domınio de Fourier
por:
Uj(r, θ) = 2−3j/4W (2−jr)V
(2⌊j/2⌋θ
2π
)(3.3)
onde ⌊j/2⌋ e a parte inteira de j/2. Desta forma, o suporte de Uj e uma “fatia” polar
definida pelo suporte de W e V , ou seja, e uma janela com largura dependente da escala
em cada direcao.
O sinal ou imagem a ser analisado deve ser decomposto em termos destas janelas agular
e radial, de modo que em cada janela seja aplicada a analise curvelet. Para visualizarmos
36
essas janelas em um sinal/imagem a ser estudado, vamos considerar que o espaco de
frequencia, a partir de sua origem, em camada de frequencia definidas por 2j < W < 2j+1,
de modo que o espaco de frequencia fica decomposto em camadas como na figura 3.1.a. Ja
a decomposicao do espaco de frequencia para a construcao da janela angular e a segunda
decomposicao diadica e, por isto, feita no espaco ja decomposto na escala radial de modo
que temos (W,V ) ≤ 2−j/2. Esta decomposicao e mostrada na figura 3.1.b. Assim, o
suporte das curvelets e como uma fatia parabolica neste espaco de frequencia sob as
decomposicoes em escala radial e angular. Na figura 3.1.c a area sombreada representa
esta fatia parabolica do espaco que e dependente de escala em cada direcao, onde as
curvelets tem seu suporte definido e onde cada analise sera feita sobre a imagem/sinal.
Para obtermos as curvelets reais que atuam sobre este espaco de frequencia decom-
posto, iremos trabalhar com a versao simetrica da equacao (3.3), ou seja, trabalharemos
com:
Uj(r, θ) = Uj(r, θ + π) (3.4)
Para definirmos as funcoes curvelets, vamos considerar que temos a funcao φ(x), a
“curvelet mae”, pois todas as curvelets na escala 2−j sao obtidas por rotacoes e translacoes
de φj. Assim, as curvelets:
i) apresentam uma sequencia igualmente espacada de angulos de rotacao θl = 2π ·
2−⌊j/2⌋ · l, com l = 0, 1, . . . , tal que 0 ≤ θl < 2π. Devemos ressaltar que o
espacamento entre angulos consecutivos sao dependentes de escala.
ii) e a sequencia dos parametros de translacao k = (k1, k2) ∈ Z2.
Com o estabelecimento dessas notacoes, vamos definir as curvelet como funcoes de
x = (x1, x2) na escala 2−j, com orientacao θl e posicao x(j,l)k = R−1
θl, por:
φj,l,k(x) = φj
[Rθl
(x− xj,lk
)](3.5)
onde Rθ e a matriz de rotacao de θ em radianos e R−1θ sua inversa, que tambem e igual a
sua transposta:
37
Figura 3.1: Decomposicao diadica do espaco de frequencia. Na figura (a) temos esta
decomposicao em termos da janela radial; na figura (b) temos esta decomposicao em
termo das janelas radial e angular; ja na figura (c) temos que a area sombreada e a fatia
do espaco de Fourier onde as curvelets tem seu suporte definido. Figura adaptada da
pagina de internet http://www.math.washington.edu/ hart/uwss.pdf [29].
Rθ =
cos θ senθ
−senθ cos θ
, (3.6)
38
o que nos da:
R−1θ = RT
θ = R−θ (3.7)
Entao, um coeficiente curvelet e definido como sendo o produto interno entre a funcao
f que representa o sinal e a curvelet φj,l,k. Ou seja:
c(j, l, k) = ⟨f |φj,l,k⟩ =∫R2
f(x)φj,l,k(x)dx (3.8)
Como a transformada curvelet opera no domınio da frequencia, podemos usar o teo-
rema de Plancherel e expressar o produto interno da equacao (3.8) como uma integral
sobre o plano frequencia:
c(j, l, k) =1
(2π)2
∫f(x)φj,l,k(ω)dω =
1
(2π)2
∫f(x)Uj(Rθlω)e
⟨x(j,l),ωk ⟩dω . (3.9)
Para o caso de escalas mais “grosseiras” (0 ≤ j ≤ j0), podemos introduzir um filtro
do tipo passa-baixa, W0, que obedece a equacao:
|W0(r)|2 +∑j≥jo
|W (2−jr)|2 = 1 (3.10)
E para k1, k2 ∈ Z, definimos a curvelet de escala “grossa” como:
φj0,k(x) = φj0(x− 2−j0k) (3.11)
φj0(ω) = 2−j0 |ω| (3.12)
Destas equacoes percebemos que as curvelets na escala “grossa” sao nao direcionais,
ou seja, no maior fator de escala as curvelets sao simetricas.
A Transformada curvelet, portanto, consiste dos elementos direcionais de escala fina,
(φj,l,k)j≥j0,l,k, e dos elementos nao-direcionais de escala grossa, (φj0,k)k. Os elementos
aos quais deve-se dar maior atencao nas analises sao os elementos direcionais, pois deles
pode-se obter informacoes que nao sao possıveis de se obter de outras transformadas
tempo-frequencia.
39
3.3 Propriedades da Transformada Curvelet
A transformada curvelet tem algumas propriedades importantes que devemos ressaltar
nesta secao para entendermos melhor a analise de sinais utilizando este tipo de transfor-
mada.
3.3.1 Tight frame
Um conjunto de funcoes e chamado de tight frame se, mesmo nao sendo um conjunto
ortonormal de funcoes, funciona da mesma forma que uma base ortonormal e e possıvel
expandir uma funcao ou sinal em termos deste conjunto de funcoes. Ou seja, esse conjunto
de funcoes chamado de tight frame funciona como um prototipo ou arcabouco do espaco
de funcoes.
As funcoes curvelet funcionam como se fossem uma base ortonormal, na qual e possıvel
expandir um sinal ou funcao arbitraria f(x1, x2) ∈ L2R2 como uma serie de curvelets dada
por:
f =∑j,k,l
⟨f |φj,l,k⟩φj,l,k (3.13)
Esta igualdade vale no espaco de todas as funcoes de quadrado integraveis L2 e, por-
tanto, tambem e valida a relacao de Parseval:
∑j,k,l
|⟨f, φj,l,k⟩|2 = ||f ||2L2(R)2 (3.14)
onde as somas nas equacoes (3.13) e (3.14) sao feitas em todas as escalas.
3.3.2 Parametro de escala parabolico
Dada uma funcao curvelet, φi, bem localizada no espaco de frequencia, isto significa
que a funcao espacial φj(x) tem um decaimento rapido dentro do retangulo de 2−j por
2−j/2 com o eixo maior apontando na direcao vertical.
O comprimento e a largura efetiva do retangulo obedecem a uma relacao de escala
onde:
40
comprimento ≈ 2−j/2, largura ≈ 2−j (3.15)
ou seja, temos que:
largura ≈ (comprimento)2 (3.16)
3.3.3 Comportamento oscilatorio
Como podemos perceber pela definicao da transformada curvelet, φj, esta funcao e
suportada a partir do eixo vertical (ω1 = 0), exceto no eixo horizontal (ω2 = 0). Em
outras palavras, a funcao φj(x) e oscilatoria na direcao x1 e um passa-baixa na direcao
x2.
Assim, na escala 2−j, uma curvelet e uma estrutura cujo envelope e uma determinado
cume de comprimento efetivo 2−j/2 e largura 2−j e que exibe comportamento oscilatorio
ao longo do cume principal.
3.3.4 Momentos nulos
O molde das funcoes curvelet φj e dito ter q momentos nulos quando:
∫ +∞
−∞φj(x1, x2)x
n1dx1 = 0 (3.17)
para todo 0 ≤ n < q, para todo x2.
Esta mesma propriedade e valida para curvelets giradas, ou seja, quando tomamos x1
e x2 como coordenadas giradas correspondentes.
Observe que a integral da equacao (3.17) e calculada na direcao perpendicular ao cume,
de modo que a contagem de momentos nulos e uma forma de quantificar o comportamento
oscilatorio das curvelets.
No domınio de Fourier, a equacao (3.17) torna-se uma linha de zeros com algumas
multiplicidades. Ou seja:
∂nφj∂ωnj
(0, ω2) = 0 (3.18)
41
para todo0 ≤ n < q, para todo ω2.
As curvelets tem um numero infinito de momentos nulos, pois possuem suporte com-
pacto fora da origem no plano da frequencia, como ilustrado na figura 3.1.
3.4 Transformada Curvelet Discreta
3.4.1 Definicao
Ao trabalharmos e analisarmos sinais em geral nao estamos estudando funcoes
contınuas. Na verdade, estaremos estudando e analisando sinais discretos. Mesmo as-
sim, como toda transformada podemos, a partir do caso contınuo, definir a forma discreta
da transformada curvelet e trabalhar com ela para analisar nossos sinais ou funcoes. As
definicoes e conceitos aqui expressos foram construıdos a partir do trabalho de Candes e
Donoho, 2005[26].
A transformada curvelet discreta, assim como a transformada contınua, e linear. Ela
utiliza como dados de entrada vetores cartesianos da forma f [t1, t2], com 0 ≤ t1, t2 <
n. Isto nos permite pensar nos dados de saıda da transformada como uma colecao de
coeficientes cD(j, k, l) obtida pelo analogo discreto da equacao (3.8), ou seja, obtidos por:
cD(j, k, l) =∑
0≤t1,t2<n
f [t1, t2]φDj,l,k[t1, t2] (3.19)
onde φDj,l,k e um pequeno pacote de onda digital.
3.4.2 Coronizacao discreta
Dada a definicao da transformada curvelet discreta, falta-nos entender (visualizar) a
representacao diadica discreta do espaco de frequencia onde essa transformada atua, que
tambem e chamada de coronizacao discreta do espaco de frequencia.
Na definicao contınua da transformada curvelet (equacao (3.3)), a janela Uj extrai
suavemente frequencias proximas da coroa diadica (2j ≤ r ≤ 2j+1) e proximo do angulo
42
(−π·2−j/2 ≤ θ ≤ π·2−j/2). Porem, coroa e rotacoes nao sao conceitos facilmente adaptados
para representar linhas e colunas cartesianas.
Na transposicao do contınuo para o discreto e conveniente substituir esses conceitos
por equivalentes discretos/cartesianos. Assim, a coroa cartesiana e baseada em quadrados
concentricos e cisalhados. Por exemplo, o analogo cartesiano da famılia (Wj)j≥0,Wj(ω) =
W (2−jω) e uma janela da forma:
Wj(ω)√Φ2j+1(ω)− Φ2
j(ω) (3.20)
para j ≥ 0 e onde Φ e definido como o produto de uma janela unidimensional passa-baixa:
Φj(ω1, ω2) = ϕ(2−jω1)ϕ(2−jω2) (3.21)
A funcao ϕ, que vale 0 ≤ ϕ ≤ 1, obedece a condicao de ser igual a 1 no intervalo
[−1/2, 1/2] e nula fora do intervalo [−2, 2]. Deste modo, temos que:
Φ0(ω)2 +
∑j≥0
W 2j (ω) = 1 (3.22)
As equacoes acima nos mostram como separar as escalas. Para termos a representacao
diadica discreta precisamos construir a localizacao angular.
Suponha que a janela angular V seja definida como no caso contınuo, isto e, seja dada
pela equacao (3.2). Estabelecendo que:
Vj(ω) = V (2⌊j/2⌋ω2/ω1) (3.23)
Assim, podemos usar Wj e Vj para definirmos a janela do espaco de frequencia da
transformada curvelet discreta:
Uj(ω) = Wj(ω)Vj(ω) (3.24)
Desta equacao, vemos facilmente que Uj isola frequencias proximas da fatia {(ω1, ω2) :
2j ≤ ω1 ≤ 2j+1, −2−j/2 ≤ ω2/ω1 ≤ 2−j/2} e e uma janela cartesiana equivalente a janela
do caso contınuo.
Introduzindo, agora, o conjunto de inclinacoes igualmente espacadas
43
tan θl = l · 2⌊j/2⌋ (3.25)
onde l = −2⌊j/2⌋, . . . , 2⌊j/2⌋ − 1. Assim, podemos definir:
Uj,l(ω) = Wj(ω)Vj(Sθlω) (3.26)
onde Sθ e a matriz cisalhamento
Sθ =
1 0
− tan θ 1
(3.27)
Os angulos θl nao sao igualmente espacados, mas as inclinacoes sao. Assim, as janelas
Uj,l preenchem o espaco de frequencia do caso discreto como um ladrilhamento concentrico
cuja geometria e mostrada na figura 3.2.
Figura 3.2: Decomposicao diadica do espaco de frequencia da transformada curvelet dis-
creta. A regiao sombreada representa uma fatia tıpica deste espaco localizada pela janela
Uj,l.
44
3.5 As funcoes curvelets
Ate o momento, neste capıtulo, definimos a transformada curvelet na forma contınua
e tambem na discreta e vimos que podemos representar sinais ou funcoes em geral em
termos de funcoes bases chamadas de funcoes curvelets. Falta-nos, agora, conhecer a cara
destas funcoes.
De ummodo pratico, podemos pensar nas curvelets como sendo funcoes obtidas atraves
de dilatacoes, rotacoes e translacoes parabolicas de uma funcao de forma especıfica φ.
As curvelets sao indexadas pelos parametros de escala (j), de orientacao (l) e de
localizacao (k), de modo que podemos pensar numa funcao curvelet como:
φa,b,θ(x) =1
4√a3
ΨDaRθ(x−b) , (3.28)
onde Da e uma matriz de escala parabolica; Rθ e a rotacao em radianos e, para (x1, x2) ∈
R2, Ψ(x1, x2) e algum tipo de perfil admissıvel.
E possıvel decompor e reconstruir uma funcao arbitraria f(x1, x2) como uma super-
posicao de curvelets em varias escalas, posicoes e orientacoes. E exatamente isto que
faremos no proximo capıtulo, onde iremos decompor um sinal sismologico em termos de
funcoes curvelet e, apos suprimirmos a parte indesejada do sinal (o ruıdo de rolamento su-
perficial), iremos reconstruir o sinal de forma que este representara as estruturas internas
do subsolo.
De um modo geral, as funcoes curvelets podem ser discretizadas fazendo-se:
aj = 2−j, j = 0, 1, 2, . . . (3.29)
θj,l = 2πl · 2−j/2, l = 0, 1, . . . , 2j/2 − 1 (3.30)
b(j,l)k = Rθj,l(k12
−j, k22−j/2), k1, k2 ∈ Z (3.31)
desta forma, temos que
45
φj,l,k = φaj ,b
(j,l)k θj,l
(3.32)
A colecao de funcoes curvelets φj,k,l obedece a:
f =∑j,k,l
⟨f |φj,l,k⟩φj,l,k (3.33)
e
||f ||2L2=
∑j,k,l
|⟨f |φj,l,k⟩|2 (3.34)
Assim, como pudemos perceber no decorrer deste capıtulo, a analise curvelet permite
levar qualquer sinal ou funcao estudada do espaco dos tempos para o espaco curvelet, que
e um espaco de frequencias que esta dividido em escalas e setores angulares dentro de cada
escala. A divisao desse espaco curvelet, quer na forma contınua ou na forma discretizada,
permite uma melhor decomposicao e analise de funcoes e sinais que tenham um forte
carater direcional ou que apresentem singularidades superficiais. Como os sinais sısmicos
tem estruturas com um forte carater direcional e apresentam inumeras singularidades
superficiais, pareceu-nos natural que a analise curvelet pudesse ser aplicada para o estudo
de sinais sısmicos, como o fizemos e descrevemos no proximo capıtulo desta tese.
46
Capıtulo 4
Remocao de Ruıdo Sısmico usando
Analise Curvelet
4.1 Introducao
A prospeccao de petroleo, como vimos no primeiro capıtulo desta tese, e uma das
tarefas mais importantes e mais complicadas na industria de petroleo, devido ao pouco
conhecimento que ainda se tem sobre as estruturas do interior da crosta terrestre e ao
grande grau de incerteza que advem das sondagens.
O principal metodo indireto usado no estudo das estruturas geologicas do subsolo
terrestre e na prospeccao de petroleo e a exploracao sısmica. Esta exploracao consiste
em gerar ondas sısmicas que se propaguem no subsolo e capta-las apos suas reflexoes e
refracoes e, em seguida, analisa-las e interpreta-las para determinar a estrutura do subsolo.
A analise e interpretacao desses dados e uma tarefa de extrema complexidade, devido
a grande quantidade de ruıdo presente nos sinais sısmicos obtidos por tal procedimento.
A principal fonte de ruıdo presente nos sinais sısmicos e o ruıdo de rolamento superficial
que, como descrito no capıtulo 1 desta tese, e responsavel por um percentual consideravel
da energia que chega ao geofones (ou hidrofones) e, desta forma, esta presente com grande
intensidade nos sinais sısmicos sem trazer qualquer informacao sobre a estrutura interna
do subsolo terrestre.
As tecnicas e transformadas usadas para analisar dados sısmicos tem como objetivo
47
separar o ruıdo do sinal de interesse, eliminar o primeiro e reconstruir o segundo com
informacoes mais precisas acerca da estrutura geologica estudada.
Neste quarto capıtulo de nossa tese vamos descrever, com um bom nıvel de detalhes,
como a transformada curvelet, definida e estudada no capıtulo anterior, pode ser utilizada
para analisar os dados sısmicos para remover o ruıdo de rolamento superficial e recons-
truir o sinal de interesse. Ou seja, vamos descrever como a transformada curvelet foi
implementada para ser utilizada na analise de sinais sısmicos e na remocao do ruıdo de
rolamento superficial desses sinais. E perceberemos, tambem, as principais vantagens da
analise curvelet em relacao, por exemplo, a analise em ondaletas.
A analise de sinais ou funcoes utilizando a transformada curvelet esta estruturada com
tres principais passos que podem ser explicitados como:
(1) decomposicao do sinal no espaco curvelet;
(2) deteccao e remocao dos coeficientes que representam o ruıdo de rolamento superficial
em seus respectivos setores angulares no espaco curvelet;
(3) reconstrucao do sinal apos a extracao do ruıdo.
Em cada uma das tres secoes a seguir, descrevemos esses passos do processo de analise
curvelet de um sinal e na ultima secao do capıtulo explicamos esse procedimento aplicado
a um dado sintetico e mostramos o resultado obtido.
Este capıtulo e o proximo sao baseados no artigo original fruto do trabalho desen-
volvido ao longo desse doutoramento e que serve de referencia para esta tese[30]. Nesse e
no proximo capıtulo explicamos, com mais detalhes, a estrutura da analise curvelet apli-
cada a dados sısmicos e os resultados dessa analise, tanto para um dado sintetico (este
capıtulo) quanto para um dado sısmico real (proximo capıtulo).
48
4.2 Analise Curvelet e a decomposicao do sinal
O primeiro passo executado pela analise curvelet e a decomposicao do sinal ou funcao
a ser estudada no espaco curvelet.
Neste passo devemos escrever o sinal ou funcao como uma combinacao linear de funcoes
curvelets, ou seja, devemos escrever o sinal na forma da equacao (3.13), aqui reproduzida:
f =∑j,k,l
⟨f |φj,l,k⟩φj,l,k (4.1)
e determinar os coeficientes ⟨f |φj,l,k⟩ que correspondem a esta decomposicao.
A decomposicao desses dados sısmicos e feita aplicando-se a transformada rapida dis-
creta em curvelet[28], que consiste em obter o produto interno no domınio de Fourier, ou
seja, os coeficientes de cada combinacao de escala e angulo serao dados, de acordo com o
Teorema de Plancherel, por:
cj,l,k = ⟨f, ϕj,l,k⟩ = ⟨f , ϕj,l,k⟩ (4.2)
onde f e ϕ sao as transformadas de Fourier do sinal, f , e da funcao curvelet, ϕ, respecti-
vamente.
O algoritmo usado para a decomposicao Curvelet, ou seja, o algoritmo usado para
descrever o sinal em termos de suas componentes no espaco curvelet, cria uma estru-
tura de dados organizada da seguinte forma: os coeficientes Curvelets correspondentes a
determinada escala e determinado angulo sao armazenados em uma matriz de tamanho
m× n, ou seja, para cada combinacao de escala e angulo teremos uma matriz. Esse tipo
de procedimento, onde para cada combinacao de angulo e escala temos uma matriz de
coeficientes de tamanho m× n, requer, para o caso de dados sısmicos dos tamanhos con-
siderados na analise de sinais sısmicos usuais, uma boa disponibilidade de memoria para
armazenamento de dados, no entanto, como a analise curvelet mostrou-se mais economica,
em termos de numero de coeficientes, que a analise em ondaletas[25], por exemplo, os re-
sultados de analise feitos utilizando-se curvelets devem trazer resultados mais precisos que
os resultados obtidos via uma analise em ondaletas, mesmo que esta ultima possa ter sido
adaptada para reconhecer singularidades direcionais.
49
O tamanho m × n de cada matriz de coeficientes depende da escala e do angulo
correspondente. Para as escalas mais finas, por exemplo, teremos matrizes maiores, uma
vez que sao gerados mais coeficientes para essas escalas.
O angulo das Curvelets tambem influi na quantidade de linhas e colunas usadas em
cada matriz de coeficientes da analise curvelet e e determinada pelo algoritmo utilizado
para decomposicao do sinal no espaco curvelet.
A decomposicao realizada nos nossos dados resulta em apenas 1 angulo disponıvel
para a 1a escala, 16 para a 2a escala, 32 para a 3a escala, 32 para a 4a escala, 64 para
a 5a escala e assim por diante, dobrando o numero de angulos a cada 2 escalas, mas a
tıtulo de exemplo, se realizarmos uma decomposicao em que a 1a escala possua 16 angulos
disponıveis, a 2a escala 32 angulos e a 3a escala 32, teremos 16+32+32 = 80 matrizes de
coeficientes somente nestas tres escalas. Cada posicao na matriz contendo um coeficiente
corresponde a uma determinada regiao do sinal bidimensional.
A localizacao dessa regiao na imagem esta diretamente relacionada com a posicao
do coeficiente correspondente na matriz. Assim, por exemplo, o elemento da 1a linha
e 1a coluna contem o coeficiente correspondente a regiao mais a esquerda e mais acima
na imagem. O tamanho dessa regiao de influencia da Curvelet depende diretamente da
escala. Escalas mais grosseiras terao coeficientes correspondentes a regioes maiores e,
portanto, representados por matrizes menores, uma vez que podemos dividir a imagem
em um menor numero de regioes. Da mesma forma, escalas menores ou mais finas terao
coeficientes correspondentes a regioes menores na imagem e, desta forma, representado
por matrizes maiores.
Tendo-se feito a decomposicao do sinal no espaco curvelet, passaremos as etapas
seguintes da analise curvelet dos sinais sısmicos.
50
4.3 Identificacao e remocao do ruıdo
Nesta segunda etapa da analise curvelet dos sinais sısmicos, identificamos e apagamos
os coeficientes da decomposicao do sinal no espaco curvelet que correspondem ao ruıdo
de rolamento superficial para que possamos reconstruir o sinal sem qualquer contribuicao
desse ruıdo ou, pelo menos, com uma contribuicao mınima de ruıdo para o sinal.
A analise curvelet implementada em nosso trabalho se baseia na premissa de que
os dados sısmicos e imagens possuem uma representacao esparsa x0 no domınio das
curvelets[31]. Desta forma, os dados reais sempre podem ser expressos na forma:
y = Ctx0 + n (4.3)
onde que Ct e a transformada curvelet inversa e n e um ruıdo Gaussiano, ou seja, um
ruıdo com forma gaussiana que esta presente nos dados.
A identificacao deste ruıdo a ser eliminado e que, no caso de nossos dados, corresponde
ao ruıdo de rolamento superficial presente em dados sısmicos, pode ser realizada por meio
de testes visuais ou de analises estatısticas.
O ruıdo de rolamento superficial devido a disposicao dos geofones/hidrofones usados
na coleta dos dados e tambem devido a forma como e gerado (como discutido no capıtulo
1 desta tese) aparece geometricamente com a forma de um cone central nos sismogramas
de sondagem sısmica, como mostrado na figura 1.8. Assim, uma analise visual dos sinais
visando a eliminacao do ruıdo de rolamento superficial de dados sısmicos poderia ser feita
gerando-se uma tabela de imagens da reconstrucao do sinal para cada combinacao de
escala e angulo e entao identificar as escalas e angulos com maior presenca de ruıdo.
Estatisticamente, temos a opcao de comparar os coeficientes das energias nos angulos
em cada escala. Os angulos com quantidades de energia semelhantes devem corresponder
a um mesmo padrao de ruıdo ou de informacao geologica e assim, identificando-se um
angulo onde a presenca do ruıdo seja certa, determinamos a energia presente neste angulo,
eliminamos sua contribuicao para a reconstrucao da imagem/sinal sem ruıdo e eliminamos
tambem dessa reconstrucao todos os angulos com contribuicao semelhante de energia para
o sinal.
51
Precisamos comparar a amplitude de energia do ruıdo de rolamento superficial com
a amplitude da energia carregada pelas ondas refletidas nas interfaces entre as camadas
geologicas, que sao os sinais de interesse para a reconstrucao do sinal. Para essa com-
paracao, usamos em nossa analise curvelet, dos sinais sısmicos, a energia como sendo o
somatorio do quadrado de seus coeficientes curvelets. Assim, a expressao para a energia
usada e, entao, dada por:
Ej =∑l,k
∣∣⟨f, ϕj,l,k⟩∣∣2 (4.4)
onde Ej e a energia total na escala j. Assim, para calcular a energia do ruıdo de rola-
mento superficial ou das ondas refletidas numa escala fazemos a soma sobre os coeficientes
angulares l correspondentes a essa escala. No proximo capıtulo, quando discutiremos a
analise de dados usando a transformada curvelet, voltaremos a tratar da energia presente
em cada escala no espaco curvelet e tambem calcularemos explicitamente e discutiremos
a razao entre a energia do ruıdo de rolamento superficial e das ondas refletidas em um
dado real, explicitando os valores encontrados nessa comparacao para um dado real.
Apos alguns testes para o conjunto de dados sısmicos sinteticos que tınhamos
disponıvel, identificamos que os coeficientes curvelet correspondentes ao ruıdo de rola-
mento superficial sao os coeficientes com angulos mais proximos da horizontal indepen-
dentemente da escala estudada.
Assim, em cada escala estudada e representando o espaco curvelet nesta escala por
um cırculo fechado, iremos eliminar a contribuicao dos coeficientes dos quatro angulos
mais proximos a horizontal pois esses coeficientes correspondem ao ruıdo de rolamento
superficial. Por exemplo, como veremos explicitamente na figura 4.2, na escala j = 2 os
angulos mais proximos a horizontal sao os angulo 6, 7, 14 e 15, portanto os seus coeficientes
curvelets serao zerados e eles nao contribuirao para a reconstrucao do sinal.
Nestes testes e durante a identificacao e remocao do ruıdo, percebemos que no espaco
das Curvelets e muito mais facil a separacao dos padroes sısmicos gerados por fenomenos
fısicos distintos. Isto ocorre devido a boa adequacao da representacao em Curvelets com
os padroes oscilatorios presentes nos dados sısmicos.
52
Apos a identificacao das escalas e angulos correspondentes ao ruıdo de rolamento
superficial, procedemos a remocao dos seus coeficientes. Isto e realizado simplesmente
zerando-se todos os elementos das matrizes correspondentes a cada combinacao de escala
e angulo identificados. Passamos a ter entao, para essas combinacoes de angulos e escalas,
matrizes nulas que nao representarao nenhuma contribuicao ao sinal apos a reconstrucao.
Percebemos entao a simplicidade do algoritmo utilizado para a analise curvelet de dados
sısmicos devido a boa representacao que o espaco das Curvelets proporciona a esse tipo
de dado.
4.4 Reconstrucao do sinal
A reconstrucao do sinal e a terceira etapa da analise curvelet. Nessa etapa o sinal
sısmico, apos ter sido decomposto no espaco curvelet e ter tido os coeficientes corre-
spondente ao ruıdo de rolamento superficial eliminados, e reconstruıdo apenas com as
componentes de interesse. Ou seja, se pensarmos no sinal em termos da equacao (4.3),
apos reconstrui-lo teremos apenas o primeiro termo desta equacao que nos da o sinal de
interesse ou o sinal limpo.
Notamos que todo o processo da analise curvelet e executado sem qualquer atenuacao
artificial. Os coeficientes angulares correspondentes ao ruıdo de rolamento superficial sao
completamente removidos da imagem sısmica.
4.5 Procedimento para remocao de ruıdo de rola-
mento superficial
Nas secoes precedentes descrevemos como a analise curvelet, que devido a seu carater
angular deve ser mais adequada a analise de sinais que contenha singularidades superfici-
ais, e utilizada para remover o ruıdo de rolamento superficial de dados sısmicos.
Para implementacao e teste deste metodo de analise em dados sısmicos, foi usado um
53
dado sintetico que simula sinais sısmicos. Neste dado sintetico, onde consta a presenca
de reflexoes com velocidades aparentes distintas, resultando em diferentes inclinacoes no
sismograma, sendo uma com inclinacao mais acentuada representando o sinal do ruıdo de
rolamento superficial. Tambem foi incluıdo um ruıdo sintetico neste conjunto de dados.
O objetivo da analise curvelet aqui implementada e remover a reflexao mais acentuada,
que corresponde ao ruıdo de rolamento superficial, e preservar as reflexoes de interesse.
Utilizando o algoritmo da analise Curvelet foi possıvel identificar o angulo de inclinacao
da reflexao indesejada e, com isto, este angulo teve seus coeficientes zerados. Em seguida,
restauramos a imagem sem a presenca deste sinal.
Na figura 4.1 temos o dado sintetico usado para testar o metodo de analise curvelet
em sinais sısmicos. Especificamente, na figura 4.1.a temos o dado sintetico com reflexoes
horizontais representando as camadas litologicas do subsolo onde ocorrem as reflexoes
de interesse e tambem com um traco com maior inclinacao que representa o ruıdo de
rolamento superficial presente neste dado sintetico. Na figura 4.1.b temos o dado sintetico
filtrado, onde e mostrado o sinal reconstruıdo pela analise curvelet. Ja na figura 4.1.c e
mostrado apenas o ruıdo que foi removido do dado sintetico por nossa analise.
O procedimento para executar essa limpeza a partir da transformada Curvelet e sim-
ples. Vamos entender esse procedimento.
54
Figura 4.1: Nesta imagem podemos verificar na figura (a) o dado sintetico com reflexoes
horizontais representando as camadas litologicas e um traco com maior inclinacao que
pode ser melhor visualizado na figura (c) simulando o comportamento do ruıdo de rola-
mento superficial. Na figura (b) temos o dado sintetico limpo em que a reflexao destacada
ja foi removida.
A transformada curvelet permite decompor o sinal primeiramente em escalas e, a
seguir, em zonas angulares. Na figura 4.2, por exemplo, podemos verificar a distribuicao
de padroes para conjuntos de zonas angulares selecionados na escala 2. Os graficos em
forma de pizza, na parte superior da figura, indicam as zonas angulares selecionadas e
cujos padroes sao mostrados a partir de uma reconstrucao parcial a partir dos coeficientes
das respectivas escala e zonas angulares na parte inferior da figura.
55
Figura 4.2: Distribuicao de padroes para conjuntos de zonas angulares selecionados na
escala 2. Na parte superior da figura temos os angulos selecionados nessa escala e na parte
inferior temos a reconstrucao parcial do sinal para esses angulos nessa escala.
Por exemplo, a ultima coluna desta figura demonstra o padrao referente aos angulos
2, 3, 10 e 11 da escala 2, que sao as partes marcadas do grafico em forma de pizza na
parte superior dessa coluna. Na parte inferior da coluna, temos a reconstrucao parcial
do dado sısmico, vemos que o padrao correspondente a estas zonas angulares representa
uma reflexao horizontal. Se visualizarmos esse padrao como uma onda em propagacao, a
sua frente de onda estaria se propagando em uma direcao vertical. Isto ja era esperado,
ja que esses angulos correspondem a curvelets com padrao oscilatorio com direcoes mais
proximas a vertical. Vale ressaltar que nenhum dos angulos (2, 3, 10 e 11) se ajusta
perfeitamente a vertical, por isso dizemos que eles estao mais proximos a vertical ou que
56
estao aproximadamente na vertical.
Para encontrar os padroes desejados em cada escala foi utilizada uma analise da dis-
tribuicao de energia, conforme a definicao dada pela equacao (4.4), nos diferentes angulos
de cada escala. Uma quantidade de energia maior, concentrada em determinadas zonas
angulares indica que os sinais referentes a estas zonas estao mais presentes, ou sao mais
fortes, na determinada escala.
Na figura 4.3, vemos a distribuicao de energia, conforme a equacao (4.4), para os
diferentes angulos da escala 2. Podemos ver, pelo grafico polar, que, para o caso da escala
2, a energia esta mais concentrada nos angulos correspondentes aos padroes de oscilacao
mais proximos a vertical.
Figura 4.3: Distribuicao de energia para os diferentes angulos da escala 2.
Pela analise das reconstrucoes parciais do sinal na escala 2 para cada conjunto de
angulos (reconstrucoes parciais mostradas na figura 4.2) e tambem da distribuicao de
57
energia (mostrada na figura 4.3) pudemos escolher o conjunto de angulos da escala 2 a
serem utilizados na reconstrucao do sinal sısmico de interesse. Esse conjunto de angulos
e mostrado na figura 4.4, onde vemos que apenas os angulos mais proximos a horizontal
foram excluıdos por nossa analise.
Figura 4.4: Conjunto de angulos da escala 2 cujos coeficientes foram selecionados para a
reconstrucao de parte do sinal indicado na figura 4.1.b.
A analise descrita acima e que foi feita para a escala 2, tambem foi feita para as escalas
3, 4 e 5, para nos permitir uma reconstrucao acurada do sinal de interesse e excluir o ruıdo
de rolamento superficial em todas as escalas.
Nas figuras 4.5 a 4.13 verificamos os resultados dessa analise, como a descrita para a
escala 2, para as escalas 3, 4 e 5. Estas escalas sao mais finas que a escala 2 e, portanto,
possuem um numero maior de angulos disponıveis e sua analise precisa ser mais criteriosa.
Na figura 4.5 temos a distribuicao de padroes para conjuntos de zonas angulares se-
lecionados na escala 3. Na parte superior da figura temos os angulos selecionados nessa
escala e na parte inferior temos a reconstrucao parcial do sinal para esses angulos.
Como podemos verificar visualmente, a presenca no sismograma sintetico da estru-
tura determinada pelo ruıdo de rolamento superficial tem angulos bem mais proximos a
horizontal (primeira coluna da figura 4.5) e, portanto, sao estes angulos que devem ser
58
Figura 4.5: Distribuicao de padroes para conjuntos de zonas angulares selecionados na
escala 3.
excluıdos da reconstrucao do sinal.
Na figura 4.6 vemos a distribuicao de energia para os diferentes angulos da escala 3.
Nesta figura percebemos que a distribuicao de energia para a escala 3 tambem e maior nos
angulos proximos a horizontal, embora possamos visualizar uma razoavel contribuicao de
energia para angulos intermediarios.
Essa analise de energia corrobora o fato de que, para a reconstrucao do sinal, os angulos
excluıdos da escala 3 devem ser apenas os angulos mais proximos a horizontal, ou seja,
apenas os angulos 12, 13, 28 e 29.
Na figura 4.8 temos a distribuicao de padroes para conjuntos de zonas angulares sele-
cionados na escala 4. Na parte superior da figura temos, tambem, os angulos selecionados
59
Figura 4.6: Distribuicao de energia para os diferentes angulos da escala 3.
Figura 4.7: Conjunto de angulos da escala 3 cujos coeficientes foram selecionados para a
reconstrucao de parte do sinal indicado na figura 4.1.b.
nessa escala e na parte inferior temos a reconstrucao parcial do sinal para esses angulos
nessa escala.
As estruturas apresentadas em cada conjunto de angulos sao muito parecidas, vi-
60
Figura 4.8: Distribuicao de padroes para conjuntos de zonas angulares selecionados na
escala 4.
sualmente falando, com as estruturas apresentadas para a escala 3. Podemos ver isto
comparando as figuras 4.5 (escala 3) e 4.8 (escala 4). Assim, podemos concluir tambem
que a presenca da estrutura determinada pelo ruıdo de rolamento superficial, a estrutura
em forma de cone com angulo acentuado, e bem mais marcante nos angulos proximos a
horizontal (primeira coluna da figura 4.8) e, portanto, estes angulos devem ser excluıdos
da reconstrucao do sinal.
Na figura 4.9 vemos a distribuicao de energia para os diferentes angulos da escala 4.
Nesta figura percebemos que a distribuicao de energia para a escala 4 tambem e maior
nos angulos proximos a horizontal. A contribuicao de energia nos angulos mais afastados
da horizontal (intermediarios) e comparativamente menor que na escala 3.
61
Figura 4.9: Distribuicao de energia para os diferentes angulos da escala 4.
Tambem na escala 4, essa analise de energia indica, junto com a analise das estruturas
das reconstrucoes parciais do sinal, que, para a reconstrucao do sinal, os angulos excluıdos
da escala 4 devem ser apenas os angulos mais proximos a horizontal, ou seja, apenas os
angulos 12, 13, 28 e 29.
Na escala 5, por esta ser uma escala mais fina, o numero de angulos e o dobro das
escalas 3 (ou 4). A analise das estruturas presentes em cada grupo de angulos foi feita,
na figura 4.11 apresentamos as estruturas apenas para alguns poucos grupos de angulos.
Nesta analise foi perceptıvel que nos angulos mais proximos a horizontal (24, 25, 56, e 57)
nao ha contribuicao significativa devida a reflexoes de ondas por estruturas litologicas, ou
seja, a parte do sinal mostrada na primeira coluna da figura 4.11 e, provavelmente, devida
ao ruıdo sintetico inserido nesse dado de teste. Ja a presenca da estrutura determinada
pelo ruıdo de rolamento superficial, a estrutura com angulo mais acentudo, e marcante
62
Figura 4.10: Conjunto de angulos da escala 4 cujos coeficientes foram selecionados para
a reconstrucao de parte do sinal indicado na figura 4.1.b.
nos outros angulos proximos a horizontal (23, 26, 55 e 58), como podemos ver na segunda
coluna da figura 4.11. Portanto, todos esses angulos onde as contribuicoes dos ruıdos
sintetico e de rolamento superficial sao importantes devem ser excluıdos da reconstrucao
do sinal.
Na escala 5 vemos, de forma mais dramatica, a partir da analise da distribuicao de
energia (figura 4.12), a separacao entre os diferentes padroes do sinal. O padrao mostrado
nessa figura, referente a angulos mais inclinados, compoe quase toda a energia presente
nesta escala, o que nos confirma que podemos excluir, sem perdas para o sinal sısmico de
interesse, os angulos proximos a horizontal no espaco curvelet.
Na figura 4.13 e mostrado o conjunto de angulos selecionados na escala 5 para a
resconstrucao do sinal.
Amorim[34] utilizou o metodo de Decomposicao em Modos Empıricos (EMD) para de-
compor este mesmo conjunto de dados sinteticos em eventos distintos. O resultado obtido
foi semelhante. O metodo EMD decompoe o sinal em sinais de oscilacao simples (modos),
de forma analoga aos metodos da transformada em ondaletas e da transformada Curvelet
63
Figura 4.11: Distribuicao de padroes para conjuntos de zonas angulares selecionados na
escala 5.
e, desta forma, pode tambem ser aplicado a sinais nao-lineares e nao-estacionarios. A
diferenca e que, no caso do metodo EMD, as bases sao retiradas do proprio dado. Esse
metodo tambem foi aplicado, de forma satisfatoria, a dados de uma bacia sedimentar
terrestre.
A vantagem da transformada Curvelet para dados sısmicos e que sua intuitiva natureza
anisotropica e bem adaptada aos padroes gerados por diferentes refletores, alem de sua na-
tureza multiescala, que permite focar em diferentes frequencias e, portanto, deve fornecer
dados mais precisos e confiaveis ao analisarmos sinais sısmicos reais. No capıtulo a seguir
discutiremos a analise de dados feita aplicando-se a analise curvelet a sinais sısmicos reais.
64
Figura 4.12: Distribuicao de energia para os diferentes angulos da escala 5.
65
Figura 4.13: Conjunto de angulos da escala 5 cujos coeficientes foram selecionados para
a reconstrucao de parte do sinal indicado na figura 4.1.b.
66
Capıtulo 5
Analise de dados reais usando
transformada curvelet
5.1 Introducao
Os sinais sısmicos ou sismogramas obtidos em sondagens sısmicas sao uma crucial
fonte de informacoes acerca da estrutura geologica do subsolo terrestre e sua analise e
interpretacao nos permite, entre outras coisas, localizar e avaliar o potencial de jazidas
de petroleo nessa importante e difıcil tarefa relacionada a prospeccao de petroleo.
As varias tecnicas de analise que sao atualmente utilizadas na remocao de ruıdos
dos sinais sısmicos e, sobretudo, do principal ruıdo presente nos sinais sısmicos, o ruıdo
de rolamento superficial, acabam fornecendo resultados imprecisos quer sejam por nao
conseguir remover a contento esse ruıdo ou por distorcer os sinais e imagens reconstruıdos
apos a analise.
Uma boa ferramenta recente de analise de sinais sısmicos e a transformada em ondale-
tas, que pode ser utilizada para a analise de sismogramas dando bons resultados[15], no
entanto, da propria definicao da transformada em ondaletas, esse tipo de analise nao e bem
adequada ao reconhecimento de singularidades superficiais[22] e, em analise de imagens
e sinais com este tipo de singularidade, como e o caso dos sinais sısmicos, os resultados
poderiam ser melhores usando-se uma analise baseada na transformada curvelet que, por
seu carater direcional, esta mais adequada a recuperar sinais que possuam singularidades
67
superficiais.
O metodo implementado nos trabalhos desta tese para se analisar sinais sısmicos
usando a transformada curvelet foi explicado e testado no capıtulo anterior para um
conjunto de dados sinteticos, mostrando-se muito eficaz em separar os padroes relaciona-
dos ao ruıdo de rolamento superficial dos padroes referentes a reflexoes de ondas por
camadas geologicas, no entanto, para comprovarmos a eficacia do metodo em analisar
sinais sısmicos, precisamos testa-lo para um conjunto de dados reais e o fazemos neste
capıtulo, onde explicamos, novamente, o procedimento de analise devido as peculiaridades
e diferencas que ha entre a analise de um dado sintetico e a analise de um dado real.
E importante ressaltarmos novamente que, para um dado real que envolva singulari-
dades superficiais como os dados sısmicos, a vantagem da transformada Curvelet e que
sua intuitiva natureza anisotropica e bem adaptada aos padroes gerados por diferentes
refletores, alem de sua natureza multiescala, que permite focar em diferentes frequencias
e, portanto, deve fornecer dados mais precisos e confiaveis ao analisarmos sinais sısmicos
reais.
5.2 O dado sısmico real versus dado sintetico
No capıtulo anterior usamos um dado sısmico sintetico para explicar e testar a imple-
mentacao da analise curvelet em sismogramas. Para testarmos, efetivamente, a analise
curvelet, neste capıtulo vamos aplica-la a um conjunto de dados reais.
Para efeitos de comparacao, colocamos lado a lado na figura 5.1 um exemplo de sis-
mograma do dado sintetico e um exemplo de sismograma do dado real.
Comparando as estruturas apresentadas nos dois sismogramas podemos ver que no
dado sintetico as reflexoes devido a camadas geologicas (sinal de interesse) aparecem
como linhas horizontais retas enquanto que no sismograma real tais reflexoes apareem
como hiperboles proximas a horizontal. Vemos tambem que, nos dois sismogramas, a
estrutura devida ao ruıdo de rolamento superficial aparece como um padrao macroscopico
triangular que e completamente diferente, tanto no dado sintetico quanto no dado real,
68
Figura 5.1: Figura comparativa entre sismogramas. Na figura (a) temos um exem-
plo de sismograma sintetico; e na figura (b) temos um exemplo de sismograma real.
Nos dois sinais, o ruıdo de rolamento superficial aparece com uma estrutura triangular
macroscopica.
do padrao referente as reflexoes por camadas geologicas.
Embora, por uma primeira analise visual, pareca mais simples separar o padrao do
sinal de interesse do ruıdo no sismograma sintetico, a analise curvelet separara muito bem
estes padroes no sismograma real e poderemos reconstruir o sismograma somente com o
padrao de reflexao devido as estruturas geologicas.
69
5.3 A extracao do ruıdo de rolamento superficial do
dado sısmico real
Sabe-se que os sinais/imagens obtidos nas sondagens sısmicas do subsolo tem um forte
componente de ruıdo e o objetivo das analises utilizadas para limpar essas imagens e
remover esse ruıdo que e gerado por ondas de superfıcie e e chamado de ruıdo de rolamento
superficial.
A analise curvelet implementada para se analisar dados sısmicos no trabalho desta tese
de doutorado, mostrou-se eficiente para recuperar o sinal sısmico, eliminando o ruıdo de
rolamento superficial, em um dado sintetico, como mostrado no capıtulo anterior.
Vamos agora mostrar e explicar a extracao seletiva do ruıdo de rolamento superficial
utilizando curvelets em um dado real. O resultado obtido esta resumido na figura 5.2,
onde e mostrado o dado original real que foi analisado (figura 5.2.a), o dado filtrado que e
o sinal de interesse ja sem o ruıdo e obtido como resultado de nossa analise (figura 5.2.b)
e o padrao referente ao ruıdo de rolamento superficial que foi excluıdo do dado em nossa
analise (figura 5.2.c).
Neste passo, escrevemos o sinal ou funcao como uma combinacao linear de funcoes
curvelets.
A decomposicao desses dados sısmicos e feita aplicando-se a transformada rapida dis-
creta em curvelet[28], que consiste em obter o produto interno no domınio de Fourier,
como descrito no capıtulo anterior para o dado sintetico. O procediemnto e exatamente
o mesmo.
Apos a decomposicao do sinal sısmico no espaco curvelet, fazemos a sua analise em cada
escala para determinarmos quais os coeficientes correspondentes ao ruıdo de rolamento
superficial e, desta forma, zera-los no espaco curvelet para que, ao reconstruirmos o sinal,
este ruıdo tenha sido completamente atenuado.
A figura 5.3, mostra a analise visual feita para alguns conjuntos de angulos da escala
j = 2. Nesta figura e mostrado, na parte superior da figura, um grafico na forma de pizza
70
Figura 5.2: Figura contendo: (a) o dado original real a ser analisado; (b) o dado filtrado
(sinal de interesse); e (c) o padrao referente ao ruıdo de rolamento superficial que foi
excluıdo do dado.
com o conjunto de angulos selecionados destacados em vermelho e, na parte inferior da
figura, e mostrada a distribuicao de padroes ou estruturas do sinal referentes aos angulos
escolhidos para essa escala.
Nessa figura (figura 5.3) vemos, por exemplo, que o ruıdo de rolamento superficial e
dominante nessa escala, para angulos proximos a horizontal. Portanto, nessa escala, os
angulos proximos a horizontal terao seus coeficientes zerados para a reconstrucao do sinal
analisado.
Essa conclusao pode ser corroborada pela analise de energia feita nessa escala, como
podemos ver na figura 5.4. Nessa figura percebemos que, embora o ruıdo de rolamento
superficial seja dominante para os angulos proximos a horizontal, em relacao a distribuicao
de energia nessa escala, o ruıdo nao e dominante nessa escala. Veja comparando a energia
71
Figura 5.3: Distribuicao de padroes para conjuntos de zonas angulares selecionados na
escala 2. Na parte superior da figura temos os angulos selecionados nessa escala e na parte
inferior temos a reconstrucao parcial do sinal para esses angulos nessa escala.
dos angulos 6, 7, 14 e 15 com a energia dos outros angulos da escala 2.
Na verdade, a contribuicao de energia para a escala nos angulos proximos a horizontal
(angulos 6, 7, 14 e 15), que sao os angulos correspondentes ao ruıdo de rolamento super-
ficial, e de apenas 7,9% em relacao a contribuicao para a energia das ondas nos outros
angulos (ondas refletidas por estruturas geologicas) que e de 92,1%.
A contribuicao da energia em cada angulo dessa escala foi calculada via equacao (4.4)
e, para a energia do ruıdo de rolamento superficial foram somadas as energias dos angulos
6, 7, 14 e 15 e dividiu-se o valor pela energia total da escala. Enquanto que para a
energia correspondente as reflexoes em estruturas geologicas foi somada a energia dos
72
outros angulos da escala, dividindo-se o resultado obtido pela energia total da escala.
Figura 5.4: Distribuicao de energia para os diferentes angulos da escala 2.
Assim, o conjunto de angulos selecionados na escala 2 para a reconstrucao do sinal
sısmico real sao os angulos marcados em vermelho na figura 5.5.
Para a escala j = 3, temos, na figura 5.6, a analise visual feita para alguns conjuntos
de angulos. Na parte superior desta figura sao mostrados os graficos na forma de pizza que
representam os conjuntos de angulos selecionados (marcados em vermelho) para cada co-
luna e, na parte inferior da figura, sao mostradas as distribuicoes de padroes ou estruturas
do sinal referentes aos angulos escolhidos em cada grafico-pizza correspondente.
Nessa figura (figura 5.6) vemos, assim como para a escala 2, que o ruıdo de rolamento
superficial e dominante na escala 3, para angulos proximos a horizontal. Portanto, tambem
nessa escala, os angulos proximos a horizontal terao seus coeficientes zerados para a
recontrucao do sinal analisado.
73
Figura 5.5: Conjunto de angulos da escala 2 (marcados em vermelho) cujos coeficientes
foram selecionados para a reconstrucao do sinal sısmico real.
Da analise de energia, mostrada na figura 5.7, e dos calculos de contribuicao de ener-
gia do ruıdo de rolamento superficial para a energia total da escala, vemos que a energia
correspondente ao ruıdo de rolamento superficial nesta escala e subdominante em relacao
a contribuicao de energia das ondas refletidas por estruturas geologicas. Numericamente,
temos que 17,6% da energia da escala e referente ao ruıdo de rolamento superficial, en-
quanto 82,4% corresponde ao sinal de interesse. Na tabela 5.1 temos esses percentuais de
energia do ruıdo e do sinal nas escalas estudadas.
Assim, o conjunto de angulos selecionados na escala 3 para a reconstrucao do sinal
sısmico real sao os angulos marcados em vermelho na figura 5.8.
Repetindo o procedimento acima descrito para a escala 4, temos na figura 5.9 a dis-
tribuicao de padroes para conjuntos de zonas angulares selecionados. Na parte superior
da figura temos os angulos selecionados (marcados em vermelho) e na parte inferior temos
a reconstrucao parcial do sinal para os angulos correspondentes nessa escala.
Nessa figura (figura 5.9) vemos, novamente, que o ruıdo de rolamento superficial esta
presente somente para angulos proximos a horizontal. Portanto, tambem nessa escala, os
74
Figura 5.6: Distribuicao de padroes para conjuntos de zonas angulares selecionados na
escala 3. Na parte superior da figura temos os angulos selecionados nessa escala e na parte
inferior temos a reconstrucao parcial do sinal para esses angulos nessa escala.
angulos proximos a horizontal terao seus coeficientes zerados para a recontrucao do sinal
analisado.
Da analise de energia, mostrada na figura 5.10, e dos calculos de contribuicao de energia
do ruıdo de rolamento superficial para a energia total da escala, vemos que a energia
correspondente ao ruıdo de rolamento superficial nesta escala e dominante em relacao a
contribuicao de energia das ondas refletidas por estruturas geologicas. Numericamente,
temos que 68,1% da energia da escala 4 e referente ao ruıdo de rolamento superficial,
enquanto 31,9% corresponde ao sinal de interesse. Como ja foi dito, na tabela 5.1 reunimos
esses percentuais de energia do ruıdo e do sinal nas escalas estudadas.
75
Figura 5.7: Distribuicao de energia para os diferentes angulos da escala 3.
Assim, o conjunto de angulos selecionada na escala 4 para a reconstrucao do sinal
sısmico real sao os angulos marcados em vermelho na figura 5.11.
Considerando a analise feita para a escala j = 5, temos a figura 5.12 onde e mostrada a
distribuicao de padroes para conjuntos de zonas angulares selecionados. Na parte superior
da figura temos, assim como nos casos anteriores, os angulos selecionados (marcados em
vermelho) e na parte inferior temos, novamente, a reconstrucao parcial do sinal para os
angulos correspondentes nessa escala.
Nessa figura (figura 5.12) vemos que, tambem na escala 5, o ruıdo de rolamento superfi-
cial esta presente somente para angulos proximos a horizontal. E importante ressaltarmos
que, embora na escala 5 o numero de angulos (64 angulos) seja o dobro do numero de
angulos das escalas 3 e 4 e quatro vezes o numero de angulos da escala 2, o numero de
angulos proximos a horizontal onde ha contribuicao do ruıdo de rolamento superficial
76
Figura 5.8: Conjunto de angulos da escala 3 (marcados em vermelho) cujos coeficientes
foram selecionados para a reconstrucao do sinal sısmico real.
para o sinal e o mesmo das escalas anteriores. Isto porque, embora o ruıdo de rolamento
superficial apareca nos sismogramas como uma estrutura triangular bastante inclinada
quando olhamos para uma escala mais fina do espaco das curvelets este ruıdo aparece
quase como linhas verticais (linhas proximas a horizontal no grafico de pizza da analise
angular). O carater direcional da transformada curvelet permite apagar estes setores
quase verticais. Destacamos ainda que o setor angular do ruıdo de rolamento superficial
pode mudar dependendo da distancia entre os geofones, e o tempo de amostragem no eixo
vertical.
Da analise de energia, mostrada na figura 5.13, e dos calculos de contribuicao de energia
do ruıdo de rolamento superficial para a energia total da escala, vemos que a energia
correspondente ao ruıdo de rolamento superficial nesta escala e dominante em relacao a
contribuicao de energia das ondas refletidas por estruturas geologicas. Numericamente,
temos que 76,3% da energia da escala 5 e referente ao ruıdo de rolamento superficial,
enquanto 23,7% da energia corresponde ao sinal de interesse.
Assim, o conjunto de angulos selecionados na escala 5 para a reconstrucao do sinal
77
Figura 5.9: Distribuicao de padroes para conjuntos de zonas angulares selecionados na
escala 4. Na parte superior da figura temos os angulos selecionados (marcados em ver-
melho) nessa escala e na parte inferior temos a reconstrucao parcial do sinal para os
angulos correspondentes nessa escala.
sısmico real sao os angulos marcados em vermelho na figura 5.14.
Nesta analise de um sinal sısmico real, implementada e realizada no trabalho original
desta tese, excluimos o ruıdo de rolamento superficial de um sismograma a partir da
decomposicao desse sinal no espaco das curvelets. Na figura 5.15 e mostrada a componente
do ruıdo de rolamento superficial que foi removida, em cada escala, pela analise e que,
somando-se, da a contribuicao total desse ruıdo que foi extraıda do sinal. Na parte
superior da figura temos os angulos correspondentes ao ruıdo de rolamento superficial em
cada escala (cırculos cheios) e na parte inferior da figura temos a estrutura correspondente
78
Figura 5.10: Distribuicao de energia para os diferentes angulos da escala 4.
ao ruıdo de rolamento superficial em cada escala.
Vale ressaltar novamente que a simetria angular do ruıdo de rolamento superficial no
espaco das curvelets e completamente diferente da simetria angular relacionada as reflexoes
por estruturas geologicas, por isto torna-se facil a remocao desse ruıdo do sismograma via
analise curvelet.
Referente ao balanco energetico entre o ruıdo de rolamento superficial e as ondas
refletidas em estruturas geologicas, na tabela 5.1 temos o resumo desse balanco, em termos
percentuais, para as escalas de j = 2 a j = 5, onde a energia foi separada em dois grupos:
GR, a energia do ruıdo de rolamento superficial (sigla da expressao em ingles Ground
Roll); e RW, a energia das ondas refletidas (da expressao em ingles Reflected Waves).
79
Figura 5.11: Conjunto de angulos da escala 4 (marcados em vermelho) cujos coeficientes
foram selecionados para a reconstrucao do sinal sısmico real.
Escala 2 3 4 5
GR 7.9 17.6 68.1 76.3
RW 92.1 82.4 31.9 26.7
Tabela 5.1: Balanco de energia (em porcentagem) para as escalas 2 ≤ j ≤ 5. O GR
representa a energia do ruıdo de rolamento superficial; e RW a energia das ondas refletidas.
E interessante neste sistema considerar a relacao sinal/ruıdo para comparar as ampli-
tudes do ruıdo de rolamento superficial com as amplitudes do sinal de interesse que e refe-
rente as ondas refletidas que estao espalhadas nas interfaces entre as camadas geologicas.
Para realizar esta analise, usamos a energia do sinal como a soma do quadrado dos coefi-
cientes curvelet, como explicitado na equacao (4.4) aqui reproduzida:
Ej =∑k,l
|⟨f, ϕj,k,l⟩|2 (5.1)
Pelos dados da tabela 5.1 vemos que a informacao geologica esta, principalmente, nas
80
Figura 5.12: Distribuicao de padroes para conjuntos de zonas angulares selecionados
na escala 5. Na parte superior da figura temos os angulos selecionados (marcados em
vermelho) nessa escala e na parte inferior temos a reconstrucao parcial do sinal para os
angulos correspondentes nessa escala.
escalas j = 2 e 3, enquanto as informacoes referentes ao ruıdo de rolamento superficial
domina o sinal para j = 4 e 5. Nos nao colocamos na tabela 5.1 a escala j = 1 porque
o ruıdo de rolamento superficial domina as informacoes nesta escala e como so ha um
angulo para esta escala, as informacoes dessa escala sao removidas pela analise.
Na tabela 5.2 temos a distribuicao de energia (em porcentagem) para as cinco escalas.
Nesta tabela, mostramos, tambem, a energia para os dois padroes: GR, para a energia
do ruıdo de rolamento superficial; e RW, a energia das ondas refletidas. Na ultima linha
dessa tabela mostramos a porcentagem de energia em cada escala. Na ultima coluna da
81
Figura 5.13: Distribuicao de energia para os diferentes angulos da escala 5.
tabela mostramos a energia total dos dois padroes, o ruıdo de rolamento superficial soma
quase 60% da energia total da imagem sısmica.
Scale 1 2 3 4 5 Total
GR 1.9 1.1 2.4 12.3 40.5 58.1
RW 0 12.4 11.1 5.7 12.6 41.9
Total 1.9 13.5 13.5 18.0 53.1 100
Tabela 5.2: Distribuicao de energia (em porcentagem) para as escalas 1 ≤ j ≤ 5. O
GR representa a energia do ruıdo de rolamento superficial; e RW, a energia das ondas
refletidas. Na ultima coluna e representada a energia total destes dois padroes.
82
Figura 5.14: Conjunto de angulos da escala 5 (marcados em vermelho) cujos coeficientes
foram selecionados para a reconstrucao do sinal sısmico real.
Pelas informacoes da tabela 5.2, percebemos que a distribuicao de energia e bastante
impressionante quando pensamos que 60% da energia do sinal original deve ser removida
para revelar o verdadeiro conteudo geologico da imagem. Alem disso, cerca da metade do
total de energia esta concentrada na escala j = 5, que e dominado pelo ruıdo de rolamento
superficial.
5.4 Supressao do ruıdo de rolamento superficial:
analise em ondaletas versus analise curvelet
No trabalho de Leite e colaboradores[15], os autores usaram um filtro baseado na
analise em ondaletas, com a Transformada de Karhunen-Loeve para realizar a supressao
do ruıdo de rolamento superficial em sinais sısmicos, obtendo bons resultados. Entre-
tanto, devido as limitacoes da analise em ondaletas, como nao descrever bem descontinui-
dades superficiais de uma imagem, por exemplo, na referida analise foi necessario, antes
83
Figura 5.15: Componentes do ruıdo de rolamento superficial para as escalas de j = 2
a j = 5. Na parte superior da figura temos os angulos correspondentes em cada escala
(cırculos cheios) e na parte superior da figura temos a estrutura correspondente ao ruıdo
de rolamento superficial em cada escala.
de aplicar o filtro a imagem sısmica, determinar, no espaco dos tempos, a regiao onde
aparecem as estruturas devidas ao ruıdo de rolamento superficial e limitar essa regiao da
imagem para aplicar o filtro baseado na analise em ondaletas apenas nessa regiao, com um
fator constante de atenuacao de energia para cada ponto dessa regiao. Alem disso, esses
autores detacam que o ruıdo de rolamento superficial esta mais concentrado em algumas
escalas (j = 4, 5). Assim, apesar dessa analise em ondaletas apresentar bons resultados,
e um pouco restrita, pois mesmo identificando regioes/escalas do espaco de frequencias
onde o ruıdo de rolamento superficial esta presente, acaba atuando atenuando, nessas
escalas, tambem parte das estruturas referentes ao sinal de interesse que estao presentes
84
nessas escalas e, para supressao do ruıdo de rolamento superficial dos sinais sısmicos acaba
utilizando-se de um fator de atenuacao artificial que acaba atenuando parte das imagens
referentes as estruturas geologicas de interesse nas regioes proximas a regiao onde o ruıdo
esta presente.
Assim, nos trabalhos dessa tese, tivemos avancos significativos em relacao ao trabalho
de Leite e colaboradores, porque nos pudemos identificar os setores angulares dentro de
cada escala em que o ruıdo de rolamento superficial esta presente e atenuar, de forma bem
mais restritiva, o ruıdo sem atenuar ou atenuando minimamente o sinal de interesse, ou
seja, desse fato temos a grande vantagem em se usar a analise curvelet ao inves da analise
em ondaletas para suprimir o ruıdo de rolamento superficial em imagens sısmicas. Na
analise curvelet que tem um carater direcional e angular, ao se levar o sinal para o espaco
de curvelet que e dividido em escalas e setores angulares, consegue-se separar muito bem
as estruturas do sinal que foram geradas pelo ruıdo de rolamento superficial das estruturas
geradas por reflexoes nas camadas geologicas, e a supressao do ruıdo ocorre praticamente
sem a supressao de qualquer parte do sinal de interesse.
85
Capıtulo 6
Conclusoes e Perspectivas
O ruıdo de rolamento superficial, presente nos sismogramas obtidos por exploracao
sısmica do subsolo, tem energia dominante em relacao ao sinal de interesse e precisa
ser removido ou suprimido dos sismogramas para uma boa analise e estudo destes. Ha
diversos metodos e analises que podem ser utilizados para essa tarefa, mas os resultados
nao costumam ser satisfatorios devido as limitacoes.
A analise curvelet, estudada e implementada nesta tese, por ter um carater direcional
e dividir o espaco de frequencia em escalas e setores angulares, permite, de forma natural,
o estudo e analise de imagens/sinais que possuam singularidades ao longo de superfıcies,
ou seja, e uma escolha natural para se estudar e analisar sinais sısmicos e remover o ruıdo
de rolamento superficial.
O metodo, baseado na analise curvelet, de supressao do ruıdo de rolamento superficial
em sinais sısmicos foi implementado e testado nos trabalhos desta tese. Tanto para um
dado sintetico quanto para um dado real, o metodo conseguiu remover o ruıdo de rola-
mento superficial dos sinais sem atenuacao significativa do sinal de interesse. Isto ocorre
pelo fato de que, no espaco das curvelets, esse ruıdo aparece em setores angulares, de cada
escala, bastante diferenciados dos setores onde o sinal de interesse esta presente, desta
forma, para a remocao do ruıdo, basta zerar a contribuicao dos setores onde o ruıdo esta
presente para a constituicao do sinal e o ruıdo sera removido. Dessa forma, podemos
destacar que a tarefa de filtragem do ruıdo de rolamento superficial e bem realizada pela
86
analise curvelet, pois a simetria angular do ruıdo de rolamento superficial, no espaco das
curvelets e bastante diferente da simetria angular das informacoes geologicas de inter-
esse. Na verdade, esse ruıdo mostra padroes com caracterıstica de linhas quase verticais
no espaco das curvelets, enquanto as camadas geologicas sao hiperboles muito abertas.
Estas simetrias diferentes permitem localizacoes angulares diferentes dos dois padroes e
uma consequente separacao dos coeficientes angulares usando-se curvelets. E, mais ainda,
este metodo de supressao do ruıdo de rolamento superficial nao depende de nenhum fator
de atenuacao artificial para suprimir ou remover o ruıdo das imagens sısmicas, o que e
um diferencial muito importante em relacao a outros metodos utilizados e que acabam
obtendo resultados nao tao bons.
Como o caso da analise em ondaletas, que, por nao descrever bem descontinuidades su-
perficiais de uma imagem, mesmo adaptada acaba tendo algumas restricoes na supressao
do ruıdo de rolamento superficial de sinais sısmicos pois, antes de aplicar o filtro a imagem
sısmica, faz-se necessario determinar, no espaco dos tempos, a regiao onde aparecem as
estruturas devidas ao ruıdo de rolamento superficial e limitar essa regiao da imagem para
aplicar o filtro baseado na analise em ondaletas apenas nessa regiao, com um fator cons-
tante de atenucao de energia para cada ponto dessa regiao. Assim, apesar dessa analise
em ondaletas apresentar bons resultados, e um pouco restrita, pois mesmo identificando
regioes/escalas do espaco de frequencias onde o ruıdo de rolamento superficial esta pre-
sente, acaba atenuando, nessas escalas, tambem parte das estruturas referentes ao sinal
de interesse que estao presentes nessas escalas.
Assim, usando-se a analise curvelet para remover o ruıdo de rolamento superficial
de sinais sısmicos, tivemos avancos significativos em relacao aos outros metodos, porque
conseguimos identificar os setores angulares dentro de cada escala em que o ruıdo de
rolamento superficial esta presente e atenuar, de forma bem mais significativa, o ruıdo
sem atenuar ou atenuando minimamente o sinal de interesse, ou seja, desse fato temos
a grande vantagem em se usar a analise curvelet ao inves de outros metodos de analise
para suprimir o ruıdo de rolamento superficial em imagens sısmicas. Na analise curvelet
que tem um carater direcional e angular, ao se levar o sinal para o espaco de curvelet que
e dividido em escalas e setores angulares, consegue-se separar muito bem as estruturas
87
do sinal que foram geradas pelo ruıdo de rolamento superficial das estruturas geradas
por reflexoes nas camadas geologicas, e a supressao do ruıdo ocorre praticamente sem a
supressao de qualquer parte do sinal de interesse.
Para concluir, na presente tese, procuramos avancar em um problema muito impor-
tante da industria do petroleo que e a remocao do ruıdo de rolamento superficial em
imagens sısmicas. Mostramos um metodo que nao depende de um fator de atenuacao
artificial para realizar a reducao do ruıdo e, alem disso, apresentamos uma discussao
quantitativa da distribuicao de energia ao longo de escalas e setores angulares. No futuro,
pretendemos aplicar a mesma metodologia para outros problemas de eliminacao de ruıdo
na industria de petroleo, como a reflexao de multiplas.
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