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``La transformada de Laplace``

Prof. Gil Sandro Gómez. 1

Unidad 5. La transformada de Laplace

Introducción.

En nuestro curso de cálculo elemental aprendimos que la derivación y la

integración son transformadas, es decir, que estas operaciones transforman

una función en otra. Estas transformadas poseen la propiedad de linealidad,

de que la transformada de una combinación lineal de funciones; es una

combinación lineal de las transformadas. En este capítulo analizaremos un tipo

especial de transformada integral llamada transformada de Laplace. Además

de la propiedad de linealidad, la transformada de Laplace tiene otras

propiedades muy importantes para resolver problemas con valores iniciales.

Es necesario revisar los conceptos de las integrales impropias que aprendimos

en nuestro curso de cálculo II, para tener un buen desempeño en este tema.

Es importante también, revisar nuestro conocimiento de la técnica de

fracciones parciales que hemos estudiado en el álgebra lineal.

5.1 Definición. Transformada de Laplace

Sea 𝑓 una función definida para 𝑡 ≥ 0, la transformada de Laplace de 𝑓(𝑡) se

define como

( ) ~ (1)f t dt

-st

0L(f(t))= e

siempre que converja la integral.

Cuando la integral (1) converge, el resultado es una función de 𝑠.

La transformada de Laplace se puede escribir también como 𝐹(𝑠).

Una de las principales propiedades de la transformada de Laplace es la

linealidad. Esto nos dice que la transformada de Laplace un operador lineal.

Linealidad de la transformada

Teorema 5.1. Sean 𝑓, 𝑓1 y 𝑓2 funciones cuyas transformadas de Laplace existen

para 𝑠 > 𝛼 y sea 𝑐 una constante. Entonces, para 𝑠 > 𝛼,

1 2 1 2 ~ (2)

~ (3)

f f f f

cf c f

L L L

L L



Condiciones suficientes para la existencia de la transformada

La integral que define la transformada de Laplace no tiene que converger. Un

ejemplo concreto son las funciones 𝑓 𝑡 = 1/𝑡 la cual decrece rápidamente

cuando 𝑡 → 0, de forma similar no existe una transformada para 𝑓 𝑡 = 𝑒𝑡2 que

crece de manera veloz cuando 𝑡 → ∞. Las condiciones suficientes que

garantizan la existencia de ( )L f t son que 𝑓 sea continua por partes en

0, ∞ y que 𝑓 sea de orden exponencial para 𝑡 > 𝑇.

Continuidad por partes

Definición. Una función 𝑓(𝑡) es continua por partes en un intervalo finito [𝑎, 𝑏] si

𝑓(𝑡) es continua en cada punto de [𝑎, 𝑏] excepto en un número finito de

puntos donde 𝑓(𝑡) tiene una discontinuidad de salto.

Una función 𝑓(𝑡) es continua por partes en [𝟎, ∞) si 𝑓(𝑡) es continua por partes

en [0, 𝑁] para todo 𝑁 > 0.

Orden exponencial

Definición. Una función 𝑓(𝑡) es de orden exponencial 𝛽 si existen constantes

positivas 𝑇 y 𝑀 tal que

𝑓(𝑡) ≤ 𝑀𝑒𝛽𝑡 , para toda 𝑡 ≥ 𝑇.

Ejemplo 1. Determine si la función dada es de orden exponencial en 0, ∞ )

𝑓 𝑡 = 𝑡2

Vamos a realizar un análisis gráfico para determinar si la función dada es de

orden exponencial o no.

x

y



La gráfica azul representa a 𝑓 𝑡 = 𝑡2 y la roja la de 𝑔 𝑡 = 𝑒𝑡

Para 𝑀 = 1 y 𝛽 = 1.

Como podemos observar, 𝑔(𝑡) crece más rápido que 𝑓 𝑡 , por tanto es de

orden exponencial.

Teorema 5.2 Condiciones suficientes para la existencia de la transformada

Si 𝑓(𝑡) es continua por partes en [𝟎, ∞) y de orden exponencial 𝛽, entonces

( )L f t existe para 𝑠 > 0.

Teorema 5.3. Comportamiento de 𝑭(𝒔) cuando 𝒔 → ∞.

Si 𝑓 es continua por partes en (0, ∞) y de orden exponencial y 𝐹 𝑠 = ( )L f t ,

entonces lim ( ) 0s

F s

.

Tabla 5.1 Transformadas de Laplace de algunas funciones básicas

𝑓(𝑡) 𝐹(𝑠)

𝑘, 𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. 𝐾

𝑠, 𝑠 > 0

𝑒𝑎𝑡 1

𝑠 − 𝑎, 𝑠 > 𝑎

𝑡𝑛 , 𝑛 = 1, 2, … 𝑛!

𝑠𝑛+1, 𝑠 > 0

𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡) 𝑏

𝑠2 + 𝑏2, 𝑠 > 0

cos(𝑏𝑡) 𝑠

𝑠2 + 𝑏2, 𝑠 > 0

𝑒𝑎𝑡 𝑡𝑛 𝑛!

(𝑠 − 𝑎)𝑛+1, 𝑠 > 𝑎

𝑒𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡) 𝑏

(𝑠 − 𝑎)2 + 𝑏2, 𝑠 > 𝑎

𝑒𝑎𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑡) 𝑠 − 𝑎

(𝑠 − 𝑎)2 + 𝑏2, 𝑠 > 𝑎

5. 2 Propiedades de la transformada de Laplace

No siempre es conveniente usar la definición para hallar la transformada de

Laplace de 𝑓(𝑡). Como es sabido por todos, para determinar la transformada

de Laplace de una función es necesario resolver una integral por partes, que

en algunas ocasiones resulta un poco tedioso. Analizaremos algunas

propiedades de la Transformada de Laplace que agilizan el cálculo. Estas



propiedades nos permitirán aplicar la transformada de Laplace para resolver

problemas con condiciones iniciales.

Teorema 5.4 Traslación en el eje 𝑺

Si la transformada de Laplace ( ) ( )L f t F s existe para 𝑠 > 𝛼, entonces

( ) ( ) ~ (1)L ate f t F s a

para 𝑠 > 𝛼 + 𝑎.

Teorema 5.5 Transformada de Laplace de la derivada

Sea 𝑓(𝑡) continua en [0, ∞) y 𝑓 ′(𝑡) continua por partes en [0, ∞), ambas de

orden exponencial 𝛼. Entonces, para 𝑠 > 𝛼,

'( ) ( ) (0) ~ (2)L Lf t s f t f .

Teorema 5.6 Transformada de Laplace de derivadas en orden superior

Sean 𝑓 𝑡 , 𝑓 ′ 𝑡 , … , 𝑓 𝑛−1 (𝑡) continuas en [0, ∞) y sea 𝑓 𝑛 (𝑡) continuas por

partes en [0, ∞), con todas estas funciones de orden exponencial 𝛼. Entonces,

para 𝑠 > 𝛼,

( ) 1 2 1( ) ( ) (0) '(0) ... (0) ~ (3).L Ln n n n nf t s f t s f s f f

Los teoremas 5.5 y 5.6 nos muestran la ventaja que tiene utilizar la transformada

de Laplace, porque una ecuación diferencial, la transformamos en una

ecuación algebraica bastante simple.

Teorema 5.7 Derivadas de la Transformada de Laplace

Sea ( ) ( )LF s f t y suponga que ( )f t es continua por partes en [0, ∞) y de

orden exponencial 𝛼. Entonces, para 𝑠 > 𝛼,

( ) ( )( ) ( ) ( 1) ~ (4).L

nn n

n

d F sF s t f t

ds



Tabla 5.2 Propiedades de la transformada de Laplace

( ) ( ) ( )L L Lf g f g

( ) ( )L Lcf c f para cualquier constante c .

( ) ( )L ate f t F s a

'( ) ( ) (0)L Lf t s f t f

2''( ) ( ) (0) '(0).L Lf t s f t sf f

( ) 1 2 ( 1)( ) ( ) (0) '(0) ... (0).L Ln n n n nf t s f t s f s f f

( ) ( ) ( 1) ( )Ln

n n

n

dt f t F s

ds

5.3 La transformada inversa de Laplace

Definición. Si 𝐹(𝑠) es la transformada de Laplace de una función 𝑓(𝑡), es decir,

( ) ( )L f t F s , decimos entonces que 𝑓(𝑡) es la transformada de Laplace

inversa de 𝐹(𝑠) y se escribe 1( ) ( )Lf t F s .

Teorema 5.8 Linealidad de la transformada inversa

Si 1 1

1L , LF F y 1

2L F existen y son continuas en [0, ∞) y sea 𝑐 cualquier

constante. Entonces

1 1 1

1 2 1 2

1 1

~ (1),

~ (2).

L L L

L L

F F F F

cF c F

Ejemplo 2. Encuentre la función 𝑓(𝑡) cuya transformada de Laplace es,

1

2

1 1 1

2L

s s s

Primero apliquemos el teorema 5.8 y luego el concepto de transformada

inversa de Laplace.

1 1 1 1

2 2

1 1 1 1 1 1

2 2L L L L

s s s s s s

, entonces

𝑓 𝑡 = 𝑡 − 1 + 𝑒2𝑡



5.4 Solución de Problemas con Valores Iniciales

Hasta este momento habíamos tratado el tema de la transformada de

Laplace, pero todo eso era para llegar al objetivo principal, que es, resolver

ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales sin tener que encontrar

primero la solución general como hacíamos en el inicio de nuestro curso.

Otras aplicaciones que podemos hacer de la transformada de Laplace es

determinar la solución de una ecuación diferencial con coeficientes variables

de una forma sencilla, así como resolver ecuaciones integrales, sistemas de

ecuaciones diferenciales y ecuaciones diferenciales parciales.

Método de transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales

con valores iniciales.

Para resolver una ecuación diferencial con condiciones iniciales realizamos los

siguientes pasos:

a. Aplique la transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación.

b. Use las propiedades de la transformada de Laplace y las condiciones

iniciales para obtener una ecuación para la transformada de Laplace de la

solución y luego despeje la transformada en esta ecuación.

c. Determine la transformada de Laplace de la solución, buscándola en una

tabla o usando un método apropiado (como fracciones parciales) junto

con la tabla.

Ejemplo 3. Utilizando transformada de Laplace resuelva el problema con

condiciones iniciales.

𝑦′′ − 4𝑦′ = 6𝑒3𝑡 − 3𝑒−𝑡 , 𝑦 0 = 1, 𝑦′ 0 = −1~(2)

Apliquemos la transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación dada

en (2).

3'' 4 ' 6 3 ~ (3)L L t ty L y e e

𝑠2𝐹 𝑠 − 𝑆𝑓 0 − 𝑓 ′ 0 − 4 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓(0) =6

𝑠 − 3−

3

𝑠 + 1~(4)

Sustituimos las condiciones iniciales en (4):

𝑠2𝐹 𝑠 − 𝑆 + 1 − 4𝑆𝐹 𝑠 + 4 =6

𝑠 − 3−

3

𝑠 + 1~(5)



Reagrupando los términos en (5)

𝑠2𝐹 𝑠 − 4𝑆𝐹 𝑠 =6

𝑠 − 3−

3

𝑠 + 1− 5 + 𝑆

𝑠2𝐹 𝑠 − 4𝑆𝐹 𝑠 =6 𝑆 + 1 − 3 𝑆 − 3 − 5 𝑆2 − 2𝑆 − 3 + 𝑆 𝑆2 − 2𝑆 − 3

𝑆2 − 2𝑆 − 3

𝑠2𝐹 𝑠 − 4𝑆𝐹 𝑠 =𝑆3 − 7𝑆2 + 10𝑆 + 15

𝑆2 − 2𝑆 − 3

Sacamos a 𝐹 𝑠 factor común:

𝐹(𝑠)(𝑆2 − 4𝑆) =𝑆3 − 7𝑆2 + 10𝑆 + 15

𝑆2 − 2𝑆 − 3~(6)

Despejamos a 𝐹 𝑠 de (6):

𝐹(𝑠) =𝑆3 − 7𝑆2 + 10𝑆 + 15

(𝑆2 − 4𝑆)(𝑆2 − 2𝑆 − 3)~(7)

De nuestro conocimiento de Álgebra hacemos uso de las fracciones parciales

𝑆3 − 7𝑆2 + 10𝑆 + 15

(𝑆2 − 4𝑆)(𝑆2 − 2𝑆 − 3)=

𝑆3 − 7𝑆2 + 10𝑆 + 15

𝑆 𝑆 − 4 (𝑆 − 3)(𝑆 + 1)

𝐹 𝑠 =𝑆3 − 7𝑆2 + 10𝑆 + 15

𝑆 𝑆 − 4 (𝑆 − 3)(𝑆 + 1)=

𝐴

𝑆+

𝐵

𝑆 − 4+

𝐶

𝑆 − 3+

𝐷

𝑆 + 1~(8)

Multiplicamos (7) por 𝑆 𝑆 − 4 (𝑆 − 3)(𝑆 + 1):

𝑆3 − 7𝑆2 + 10𝑆 + 15 =

𝐴 𝑆 − 4 𝑆 − 3 𝑆 + 1 + 𝐵𝑆 𝑆 − 3 𝑆 + 1 + 𝐶𝑆 𝑆 − 4 𝑆 + 1 + 𝐷𝑆 𝑆 − 4 𝑆 − 3 ~(9)

Desarrollando (9), tenemos:

𝑆3 − 7𝑆2 + 10𝑆 + 15 = 𝑆3𝐴 − 6𝑆2𝐴 + 5𝑆𝐴 + 12𝐴 + 𝑆3𝐵 − 2𝑆2𝐵 − 3𝑆𝐵

+𝐶𝑆3 − 3𝑆2𝐶 − 4𝑆𝐶 + 𝑆3𝐷 − 7𝑆2𝐷 + 12𝑆𝐷

Aplicando la teoría de la igualdad entre polinomios obtenemos que:

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 = 16𝐴 + 2𝐵 + 3𝐶 + 7𝐷 = 7

5𝐴 − 3𝐵 − 4𝐶 + 12𝐷 = 1012𝐴 = 15

~(10)

Resolviendo (10), encontramos los valores de A, B, C y D, donde:



𝐴 =5

4, 𝐵 =

7

20, 𝐶 = −

3

4, 𝐷 =

3

20~(11)

Sustituyendo (11) en (8):

𝐹 𝑠 =5

4𝑆+

7

20(𝑆 − 4)−

3

4(𝑆 − 3)+

3

20(𝑆 + 1)~(12)

Haciendo uso del criterio de la inversa de la transformada de Laplace en (12):

𝐿−1 𝐹(𝑠) =5

4𝐿−1

1

𝑆 +

7

20𝐿−1

1

𝑆 − 4 −

3

4𝐿−1

1

𝑆 − 3 +

3

20𝐿−1

1

𝑆 + 2

Tenemos que la solución es:

𝑦 𝑡 =5

4+

7

20𝑒4𝑡 −

3

4𝑒3𝑡 +

3

20𝑒−2𝑡

Hemos podido observar lo útil que resulta usar transformada de Laplace para

encontrar la solución de un problema con condiciones iniciales.

5. 5 La transformada de Laplace y funciones especiales

Transformada de integrales

En algunas aplicaciones de ingeniería, en comportamiento de un sistema

puede estar representado por una ecuación integro-diferencial, que es una

ecuación que contiene tanto derivadas como integrales de una incógnita

variable. Un caso recurrente es cuando estamos analizando un circuito

eléctrico en el dominio del tiempo; en cuyo caso nos enfrentamos a

ecuaciones tales como:

𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡+ 𝑅𝑖 +

1

𝐶 𝑖 𝜏 𝑑𝜏 = 𝐸 𝑡 ~(1)𝑡

0

Para resolver este tipo de ecuaciones, es necesario poder obtener la

transformada de Laplace de integrales tales como 𝑓 𝜏 𝑑𝜏𝑡

0 .

Asumamos

𝑔 𝑡 = 𝑓 𝜏 𝑑𝜏~(2)𝑡

0

de ahí que:

𝑔′ 𝑡 = 𝑓 𝑡 ~ 4 , 𝑔 0 = 0~(5)

Aplicando transformada de Laplace en (4):



𝐿 𝑔′ 𝑡 = 𝐿 𝑓 𝑡 ~(6)

Esto nos da:

𝑆𝐺 𝑠 − 𝑔 0 = 𝐹 𝑠 ~(7)

Aplicando las condiciones iniciales en (7) y despejando a 𝐺 𝑠 :

𝐺 𝑠 =1

𝑆𝐹 𝑠 =

1

𝑆𝐿 𝑓 𝑡 ~(8)

De la ecuación (8) podemos concluir que:

𝐿{ 𝑓 𝜏 𝑑𝜏} =𝑡

0

1

𝑆𝐿 𝑓 𝑡 =

1

𝑆𝐹 𝑠

Continuamos analizando otras funciones especiales que surgen

frecuentemente cuando usamos el método de la transformada de Laplace a

problemas de ingeniería. Entre estas funciones tendremos la que introdujo el

ingeniero eléctrico anglosajón Oliver Heaviside, que la denominó función

escalón.

Función escalón unitario

Definición. La función escalón unitario 𝐻(𝑡) está dada por

𝐻 𝑡 = 0, 𝑡 < 0,1, 𝑡 > 0.

Transformada de Laplace de la función escalón unitario

Por definición de transformada de Laplace, la transformada de 𝐻 𝑡 − 𝑎 , 𝑎 ≥ 0,

está dada por

( )sae

L H t as

Demostración:

0 0

( )

( ) ( ) (0) (1)

lim (1) lim lim

ast st st

a

bst sb sa s sa sa

bst

ab b ba

L H t a H t a e dt e dt e dt

e e e e e ee dt

s s s s s s

En el caso de 0a



1

( )L H t as

Ejemplo 4. Escriba a 𝑓(𝑡) en términos de funciones escalón unitario

23 0 4

( ) 2 3 4 6

5 6

t t

f t t t

t

Escribiendo a 𝑓(𝑡) usando el concepto de función escalón unitario, tenemos

que:

𝑓 𝑡 = 3𝑡2𝐻 𝑡 + 2𝑡 − 3 − 3𝑡2 𝐻 𝑡 − 4 + 5 − 2𝑡 + 3 𝐻 𝑡 − 6

𝑓 𝑡 = 3𝑡2𝐻 𝑡 + 2𝑡 − 3 − 3𝑡2 𝐻 𝑡 − 4 + 8 − 2𝑡 𝐻 𝑡 − 6 ~(2)

Teorema 5.9 Teorema de Traslación en 𝑡

Suponga que 𝐹 𝑠 = 𝐿 𝑓(𝑡) existe para 𝑆 > 𝛼 ≥ 0. Si 𝑎 es una constante

positiva, entonces

𝐿 𝑓 𝑡 − 𝑎 𝐻(𝑡 − 𝑎) = 𝑒−𝑎𝑠𝐹 𝑠 ,

y recíprocamente, una transformada inversa de Laplace de 𝑒−𝑎𝑠𝐹(𝑠) está

dada

𝐿−1 𝑒−𝑎𝑠𝐹(𝑠) = 𝑓 𝑡 − 𝑎 𝐻 𝑡 − 𝑎 .

A este teorema, también se le llama segundo teorema de

traslación.

Ejemplo 5. Encuentre la transformada de Laplace.

5. cos2 ( ) L tu t

Como podemos observar, la expresión (5) no se ajusta al formato del segundo

teorema de traslación, por tal motivo tenemos que acomodar la expresión

para poder aplicar el teorema.

Hagamos la siguiente conversión:



2 cos(2 2 2 ) cos (2 2 ) 2co t t t

Usando la identidad trigonométrica del coseno de la suma de dos ángulos,

tenemos que:

2 cos(2 2 2 ) cos (2 2 ) 2

cos (2 2 ) 2 cos(2 2 )cos2 (2 2 ) 2

cos(2 2 )(1) (2 2 )(0) cos(2 2 ) cos2( ) ~ (6)

co t t t

t t sen t sen

t sen t t t

Usando (6), podemos reescribir la expresión:

cos2( ) ( ) ~ (7)L t u t

Observamos que la expresión (7) si se ajusta al segundo teorema de traslación.

Haciendo uso de la tabla de la transformada de Laplace:

2cos2( )

4

sL t

s

.

La solución final viene expresada como:

2 4

se

s

Función periódica

Antes habíamos calculado la transformada de Laplace para funciones

periódicas como 𝑐𝑜𝑠𝑏𝑡 y 𝑠𝑒𝑛𝑏𝑡, que son funciones continuas suaves

(diferenciables). Pero, en muchas aplicaciones de ingeniería, frecuentemente

nos encontramos con funciones periódicas que tienen un comportamiento

discontinuo.

Podemos ver algunos ejemplos como los que se muestran a continuación:



Estas funciones pueden representarse como series infinitas de términos que

involucran funciones escalonadas; una vez expresada en tal forma, podemos

usar ese resultado para obtener la transformada de Laplace.

Definición. Una función 𝑓(𝑡) es periódica con período 𝑇 si

𝑓 𝑡 + 𝑇 = 𝑓(𝑡)

para todo 𝑡 en el dominio de 𝑓.

Teorema 5.10. Transformada de una función periódica

Si 𝑓 tiene período 𝑇 y es continua en 0,𝑇 , entonces

0( )( )

( ) .1 1

Tst

T

sT sT

e f t dtF sL f t

e e

En términos de la función escalón unitario de Heaviside, el teorema 5.10 puede

ser expresado de la siguiente manera:

Sea 𝑓(𝑡), definida para todo 𝑡 > 0, es una función periódica con período 𝑇

𝑓𝑇 𝑡 = 𝑓 𝑡 (𝑢 𝑡 − 𝑢 𝑡 − 𝑇 )

entonces

( )

( )1

T

sT

L f tL f t

e

.

Ejemplo 6. Halle la transformada de Laplace de la función dada, siendo ésta

periódica.

6. 𝑓 𝑡 = 𝑡, 0 < 𝑡 < 2, y 𝑓 𝑡 tiene período 2.

Aplicando el teorema 5.10 en su segunda versión:

( ) ( ) ( ) ( )Tf t f t u t u t T



( ) ( ) ( 2) ~ (7)Tf t t u t u t

Desarrollamos (7):

( ) ( ) ( 2) ( ) ( 2 2) ( 2)

( ) ( ) ( 2 2) ( 2) ( ) ( 2) ( 2) 2 ( 2) ~ (8)

T

T

f t tu t tu t tu t t u t

f t tu t t u t tu t t u t u t

Como la función dada es periódica entonces,

2

2 22 2

2 2 2 2 2

1( ) ( 2) ( 2) 2 ( 2)

1

1 1 1 2 1 1 2

1 1

s

s ss s

s s

L t L tu t L t u t L u te

e seL t e e

e s s s e s

2 2

2 2

1 2

(1 )

s s

s

e seL t

s e

Función gamma

Definición. La función gamma se define como

Γ 𝑡 = 𝑒−𝑢𝑢𝑡−1𝑑𝑢, 𝑡 > 0.∞

0

Una propiedad importante de la función gamma es la relación recursiva

Γ 𝑡 + 1 = 𝑡Γ 𝑡 .

Para 𝑡 ∈ ℤ, digamos 𝑡 = 𝑛, entonces la relación recursiva puede aplicar varias

veces para obtener

Γ 𝑛 + 1 = 𝑛Γ 𝑛 = 𝑛 𝑛 − 1 Γ 𝑛 − 1 = ⋯ = 𝑛 𝑛 − 1 n − 2 … 2Γ 1

De la definición tenemos que:

Γ 𝑛 + 1 = 𝑛!.



5.6 Convolución, Función Impulso y Delta de Dirac

Definición. Sea 𝑓(𝑡) y 𝑔(𝑡) funciones continuas por partes en [0, ∞). La

convolución de 𝑓(𝑡) y 𝑔(𝑡), se denota por 𝑓 ∗ 𝑔, se define como

𝑓 ∗ 𝑔 𝑡 = 𝑓 𝑡 − 𝜏 𝑔 𝜏 𝑑𝜏𝑡

0

.

Propiedades de la convolución

Teorema 5.11. Sean 𝑓 𝑡 , 𝑔(𝑡) y 𝑕(𝑡) continuas por partes en [0, ∞).

Entonces

1. 𝑓 ∗ 𝑔 = 𝑔 ∗ 𝑓,

2. 𝑓 ∗ 𝑔 + 𝑕 = 𝑓 ∗ 𝑔 + 𝑓 ∗ 𝑕 ,

3. 𝑓 ∗ 𝑔 ∗ 𝑕 = 𝑓 ∗ 𝑔 ∗ 𝑕 ,

4. 𝑓 ∗ 0 = 0.

Teorema de Convolución

Teorema 5.12. 𝑓 𝑡 y 𝑔(𝑡) continuas por partes en [0, ∞) y de orden

exponencial 𝛼; sean 𝐹 𝑠 = 𝐿 𝑓(𝑡) y 𝐺 𝑠 = 𝐿 𝑔(𝑡) . Entonces

𝐿 𝑓 ∗ 𝑔 (𝑡) = 𝐿 𝑓 𝑡 𝐿 𝑔 𝑡 = 𝐹 𝑠 𝐺 𝑠 ,

o en la forma inversa más usual,

𝐿−1 𝐹 𝑠 𝐺 𝑠 = 𝑓 ∗ 𝑔 𝑡 .

Ejemplo 7. Use el teorema de la convolución para determinar la transformada

inversa de Laplace de la función dada.

𝐿−1 2

𝑠 + 1 (𝑠 + 2) = 2𝐿−1

1

𝑠 + 1

1

(𝑠 + 2

Sabemos que: 1 1 21 1

y 1 2

t tL e L es s

Por el teorema de la convolución:

1 22* ,

( 1)( 2

t tL e es s

entonces



3

2 2 3 3

0 00

4

1*

3 3

3

tt v

t tt t t v v t v t t t

t t

ee e e e dv e dv e e

e e

La función impulso y delta de Dirac

Definición. La función delta de Dirac ( )t se caracteriza por las dos

propiedades siguientes:

0, 0

, 0,

-

1). ( )

2). ( ) ( ) (0)

t

tt

y

f t t dt f

Para cualquier función ( )f t que sea continua en un intervalo abierto que

contiene a 0t .

Función Impulso

Algunos sistemas mecánicos suelen estar sometidos a una fuerza externa (o a

una tensión eléctrica en el caso de los circuitos eléctricos) de gran magnitud,

que solamente actúa durante un tiempo muy corto. Por ejemplo, una

descarga eléctrica podría caer sobre el ala vibrante de un avión; a un cuerpo

sujeto a un resorte podría dársele un fuerte golpe con un martillo, una pelota

(de beisbol, de golf o de tenis) inicialmente en reposo, podría ser enviada

velozmente por los aires al ser golpeada con violencia con un objeto como un

bate de beisbol, un bastón de golf o una raqueta de tenis. La función impulso

unitario puede servir como un modelo para tal fuerza.

Definición. Esta función está simbolizada por 𝛿(𝑛) y se define como

𝛿 𝑛 = 1, 𝑛 = 00, 𝑛 ≠ 0

De manera coloquial, decimos que una función impulso unitario, es una señal

que vale cero para 𝑛 ≠ 0 y su valor es uno cuando 𝑛 = 0.



Teorema 5.13. Área Bajo la Función Impulso

La función 𝛿𝑎 𝑡 − 𝑡0 se llama impulso unitario, porque posee la propiedad de

integración 00

( ) 1.t t dt

Demostración:

0 0 0

00 00 0 0

0 0

1 1 1( ) (0) (0)

2 2 2

1 1( ) (2 ) 1

2 2

. .

t a t a t a

t at a t at t dt dt dt dt t t a t a

a a a

a a aa a

Q E D

Propiedad del Filtrado

Una propiedad importante de la función impulso unitario que es de significado

práctico es la llamada propiedad del filtrado, que establece que si 𝑓(𝑡) es

continua en 𝑡 = 𝑎 entonces

( ) ( ) ( )f t t a dt f a

Esto se conoce como la propiedad del filtrado porque provee un método que

permite aislar, o separar, el valor de la función en cualquier punto particular.

Por razones puramente teórica es conveniente usar límites infinitos en la

ecuación anterior, aunque en la realidad pueden ser sustituidos por límites

finitos. Esto es cierto, dado que para 𝛼 ≤ 𝑎 ≤ 𝛽, donde 𝛼 𝑦 𝛽 son constantes

( ) ( ) ( )f t t a dt f a

La transformada de Laplace de las funciones impulsos

Usando la definición de transformada de Laplace, tenemos que para cualquier

𝑎 > 0

0

( ) ( ) stL t a t a e dt

la cual, aplicando la propiedad de filtrado, da el importante resultado

( ) asL t a e



Expresando en término de la inversa de la transformada de Laplace,

1 ( )asL e t a

Función de transferencia

Definición. La función de transferencia 𝐻(𝑠) de un sistema lineal invariante en el

tiempo es la razón de la transformada de Laplace de la función de salida del

sistema 𝑦(𝑡) a la transformada de Laplace de la función de entrada 𝑔(𝑡), bajo

el supuesto que todas las condiciones iniciales se anulan (el sistema

inicialmente está en estado de reposo).

( )

( )( )

Y sH s

G s

Función Respuesta al Impulso

Definición. Es la respuesta del sistema a un impulso unitario aplicado en el

tiempo 𝑡 = 0 cuando todas las condiciones iniciales son cero. Esta viene

dada por

1( ) ( )h t L H s

Teorema 5.14. Solución Mediante la Función de Respuesta al Impulso

Sea 𝐼 un intervalo que contiene al origen. La solución única del problema con

condiciones iniciales

𝑎𝑦′′ + 𝑏𝑦′ + 𝑐𝑦 = 𝑔 𝑡 ~(15); 𝑦 0 = 𝑦0, 𝑦′ 0 = 𝑦1,

donde 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son constantes y 𝑔(𝑡) es continua en 𝐼, está dada por

0

( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ (16)t

k ky t h t g t y t h t v g v dv y t

Siendo ( )h t la función de respuesta al impulso y ( )ky t es la solución única.

Ejemplo. Un sistema lineal queda descrito por el problema de condiciones

iniciales dado. Determine la función de transferencia para el sistema, la función

de respuesta al impulso y dé una fórmula para la solución del problema con

valores iniciales.

1. '' 9 ) ); (0) 2, '(0) -3y y g t y y



Aplicamos transformada de Laplace a la ecuación (1) en ambos lados:

2 ( ) (0) '(0) 9 ( ) ( )s Y s sy y Y s G s

Por la definición de función de transferencia tenemos que:

2

2

( ) 9 ( ) ( )

( )( 9) ( ) ~ (2)

s Y s Y s G s

Y s s G s

Despejando de (2):

2

( )( ) ~ (3)

( 9)

G sY s

s

De la ecuación (3) obtenemos la función de transferencia:

2

( ) 1( ) ~ (4)

( ) ( 9)

Y sH s

G s s

Aplicamos la inversa de la transformada de Laplace en (4):

1

2

1( )

( 9)h t L

s

Entonces, la función de respuesta al impulso es:

3

( )3

sen th t

Revolvemos la ecuación homogénea asociada a (1):

'' 9 0 ~ (5)y y

Escribimos la ecuación auxiliar de (5)

2 9 0 3r r i

1 2( ) cos3 3 ~ (6)ky t c t c sen t

Derivamos la ecuación (6) y evaluamos 𝑡 = 0:

1 2

1 2

cos(0) (0) 2~ (8)

3 (0) 3 cos(0) 3

c c sen

c sen c



Resolviendo (8):

1 22, 1c c

Entonces,

( ) 2cos3 3 ~ (9)ky t t sen t

La fórmula para la solución del problema con valores iniciales es:

( ) ( ) ( ) 2cos3 3y t h t v g v dv t sen t

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