terek tételkidolgozás2012
TRANSCRIPT
1. Mutassa be az elektromágneses tér forrásmennyiségeit, valamint azok
megjelenési formait es matematikai leírását!
Töltés
A töltések lehetnek pozitívak és negatívak. Az elemi töltés az elektron, jele: e , töltése:
AsCqe ,106,1 19
Töltésmodellek:
Térfogati töltéseloszlás: 3/: msA VV dVQ
Felületi töltéseloszlás: 2/: msA AA dAQ
Vonalmenti töltéseloszlás: msAq /: ll qdlQ
Ponttöltés: AsCQ ,: i
iQQ
A gyakorlatban a töltés mérését erőmérésre vezethetjük vissza.
A kapcsolatot a Coulomb-törvény írja le:
3
12
12
0
21
214 rr
rrQQF
Áram
Az A felületen átáramló áram:
Adt
dQ
t
QI
tA
0lim
Árammodellek:
Térbeli árameloszlás: 2/: mAJ A
A dAJI
Felületi árameloszlás: mAK /: ll dlKI
Vonaláram: AI : i
iII
ld
IIF
2
21
21
Két párhuzamos vezetékben folyó áram vonzza egymást, ha az áramok azonos irányúak, ellenkező esetben
taszítják egymást.
d : a két vezeték távolsága
l : a vezetékek hossza
(Ha AII 121 és NFld 7102 )
2. Mutassa be a folytonossági egyenlet különböző alakjait!
Kapcsolatot ír le az áramsűrűség és a töltéssűrűség között. Induljunk ki a töltésmegmaradás elvéből:
S
dt
dQAdJ
Jelentése: Egy térfogatba be- és kiáramló áramok összege, megadja az időegység alatt bekövetkezett
töltésváltozást.
[1] S V
dVJdivAdJ
Gauss-Osztrogradszkíj
[2]
VV
dVt
dVdt
d
dt
dQ
[1],[2]
VV
dVt
dVJdiv
Ebből pedig következik a folytonossági egyenlet:
0
tJdiv
3. Mutassa be az elektromágneses tér intenzitásvektorait, és kapcsolatukat az
erőhatással!
Elektromos térerősség
Q
FE
V/m
Ponttöltés esetén:
er
1
4r
20
QE
Pozitív töltéseknél kifelé, negatív töltéseknél befelé mutatnak az erővonalak.
Az azonos előjelű töltések taszítják, az ellentétes előjelűek vonzzák egymást.
Mágneses indukció
BvQF 2Vs/m T,
A Lorentz-törvény a mágneses térben mozgó töltésre ható erőt írja le.
A két intenzitásvektor között Faraday indukciótörvénye (M.II.) teremt kapcsolatot:
tui
Időben váltakozó mágneses fluxus feszültséget indukál.
l
i dlEu
Ahol l a felületet körülvevő zárt görbe.
dAErotdlE
dAt
BBdA
dt
ddlE
Al
AAl
0
dA
t
BErot
A
t
BErot
4. Mutassa be az elektromágneses tér „gerjesztett” vektorait, és kapcsolatukat a
forrásmennyiségekkel!
Elektromos eltolás
ED 2/ mAs
Gauss-tv. (M.IV.):
VAA
dVdAEQ
dAE
VV
dVdVDdiv
Ddiv
Gauss-Osztrogradszkíj-tétel:
VA
dVvdivdAv A : Egy térfogatot körbezáró felület
Stokes-tétel:
Al
dAvrotdlv l : Egy síkot körbezáró görbe
Mágneses térerősség
Gerjesztési-tv. (M.I.):
DA
össz
l
IIdAJdlH DI : az eltolási áram
AA
D dAt
DdA
t
EI
t
DJ D
eltolási áramsűrűség
Vagyis:
A
A
dAt
DJdAHrot Stokes-tétel
t
DJHrot
Közeg jelenléte nélkül, szabad térben, E és D illetve H és B csak egy skalárszorzóban különböznek,
ezért fizikai tartalmuk azonos. Az intenzitásvektorok és gerjesztett vektorok eltérő fizikai tartalmat,
csak közegek jelenléte esetén hordoznak.
5. Mutassa be röviden a makroszkopikus elektromos és mágneses
anyagjellemzők bevezetésének módját és anyagszerkezeti hátterét!
Általános esetben (kristályos közeg, kemény mágnesek), az E és D ileltve a B és H vektorok nem
párhuzamosak. Ezért találták ki a következő két anyagjellemző állandót. A permittivitás annak a
mértéke, hogy egy közeg mennyire áll ellen a rá ható elektromos térrel szemben. A permeábilitás
pedig annak a mértéke, hogy egy közeg mennyire áll ellen a rá ható mágneses térrel szemben.
Permittivitás
Az elektromos eltolás vákuumban:
ED 0 2/ mAs
Általános esetben:
PED 0
Ahol P a polarizációs vektor vagy más néven dipólusmomentum sűrűség.
Bontsuk fel a töltéssűrűséget szabad (free) és kötött (bound) részekre:
bf
Pdivb !!
bfEdiv
0
1 M.IV.
Ddiv
PdivEdiv f 0
1
fPEdiv 0 Ddivf
Lineáris karakterisztikájú dielektrikumok esetében P és E arányosak:
EP e 0 e : Az elektromos szuszceptibilitás
EDED r
r
00 1
r : A relatív permittivitás
mVsA /10854,81036/1 129
0
Permeábilitás
A mágneses térerősség vákuumban:
0
BH mA /
Általános esetben:
MB
H 0
M a mágnesezettség vektor, azaz a mágneses dipólus momentumsűrűsége.
Az áramsűrűséget is felbonthatjuk szabad illetve kötött részekre:
bf JJJ ahol MrotJ b
Lineáris mágneses tulajdonságú anyagok esetében M és H arányosak:
HM m m : A mágneses szuszceptibilitás
HB
r
m
10
r : A relatív permeábilitás
mAsV /104 7
0
6. Ismertesse a Maxwell-egyenletek integrális es differenciális alakját, valamint
a köztük levő kapcsolatot!
A Mawell egyenletek differenciálegyenletek, egy pont kicsiny környezetének viszonyait írják le. Ezért
ezek az egyenletek feltételezik, hogy a hatások a közvetlen szomszédságban működnek, azaz
közelhatási törvények. Evolúciós egyenletek is, a tér pillanatnyi értékeinek ismeretében leírják a tér
alakulását, változását a jövőben.
I, Gerjesztési törvény:
A vezetési és eltolási áram mágneses teret kelt. Ez a törvény, az EM tér „gerjesztett” vektorai között
teremt kapcsolatot:
Al
dAt
DJdlH
t
DJHrot
II, Faraday-féle indukciós törvény:
A mágneses indukció időbeli változása elektromos teret indukál, melynek iránya (Lenz-tv.) ellenkező,
mint az őt létrehozó változás. Ez a törvény, az EM tér intenzitásvektorai között teremt kapcsolatot:
dABt
dlEAl
t
BErot
III, Mágneses Gauss-törvény:
Más néven a Fluxus megmaradás törvénye. A mágneses erővonalak zártak, nincs mágneses
monopólus.
0A
dAB 0Bdiv
IV, Elektromos Gauss-törvény:
Zárt felület villamos fluxusa, a belül lévő összes töltéssel egyezik meg.
VA
dVdAD Ddiv
V, Anyagjellemzők:
ED HB bEEJ
VI, Energiasűrűség:
22
2
1
2
1HEw
7. Ismertesse az elektromágneses vektormezők anyaghatáron teljesülő
folytonossági feltételeit!
Az EM feladatok nagy részénél a közeg nem homogén. A térjellemző vektorok meghatározásához a
Maxwell egyenletek integrális alakját alkalmazzuk egy olyan zárt görbére vagy felületre, amely
közvetlenül a határfelület két oldalán helyezkedik el.
I, Elektromos térerősség:
A Faraday-féle indukció-törvényből:
dABt
dlEAl
dllt
BlElE m
tt
21
Mivel t
Bm
korlátos, ezért a jobboldal 0-hoz
tart.
tt EE 21
Az elektromos térerősség tangenciális
komponense közeghatáron folytonos.
Ha az I. közeg ideális vezető , akkor
0/ 111 JE ideális vezető felületén.
0tE
I, Mágneses indukció:
Fluxus megmaradás törvényéből:
A henger felületére:
AV
dABdvBdiv
dAnBAnBdABA
12
és mivel a dl tart a nullához, ezért a d a
henger palástján fellépő fluxus is tart a
nullához:
0A
dAB
nn BB 21
A mágneses indukció normális komponense
közeghatáron folytonos.
A másik három a 8-as tételben!!!
8. Hogyan változnak a térjellemzők az anyaghatáron, ha ott felületi
töltéssűrűség, illetve felületi áram van jelen? Mondjon példát arra, hogy a
gyakorlatban milyen körülmények között valósulhatnak meg ezek!
I, Mágneses térerősség:
(Az elektromos tér határfeltételének
számításához hasonló módon)
A Gerjesztési-törvényből:
Al
dAt
DJdlH
lKlHlH tt 12
KHH tt 12
A felület síkjában folyó áram K esetén a
felületi áramsűrűségnek megfelelően ugrik a
mágneses tér tangenciális összetevője.
II, Elektromos eltolás:
(A mágneses indukció határfeltételének
számításához hasonló módon)
Gauss- törvényéből:
QdVdADV
A
A henger palástjának a területe tart a 0-hoz
0n , így csak a két fedlapot metszi az
elektromos eltolás:
AAddVV
AADAD nn 12
nn DD 12
A felület síkjában elhelyezkedő töltés
esetén, a felületi töltéssűrűségnek megfelelően
ugrik az elektromos eltolás normális
összetevője.
III. Áramsűrűség:
tJJ nn
12
Az áramsűrűség normálisa az időegység alatt megváltozott felületi töltéssűrűség arányával változik.
Példa a gyakorlatban:
- Az első a tekercs felületén
- A második a kondenzátor lemezfelületén, vagy csak sima áramvezető felületén
9. Ismertesse az elektromágneses térben az energiasűrűségre és az
energiaáramlásra vonatkozó általános összefüggéseket!
Az EM energia, ugyanúgy, mint a mechanikai energia, az energiának csak egy fajtája.( Pl. az ohmikus
ellenálláson átfolyó áram hatására az EM energia belső energiává alakul az ellenálláson, amelyet mint
hőt ad át az ellenállás a környezetének.)
Egy V térfogatban felhalmozott tWW elektromágneses energia két okból változhat meg
időben. Egyrészt a térfogatban fellépnek olyan tPP teljesítményű folyamatok, amelyek a 0>P
esetén a tér energiáját csökkentik (pl. egy feltöltött kondenzátor kisül egy ellenálláson: az elektromos
energia hővé válik) ill. a 0P esetén a térenergiát növeli (pl. egy akkumlátor feltölt egy
kondenzátort).
Másrészt a térfogatot határoló A zárt felületen átáramló vagy átsugárzó tPP SS
teljesítmény csökkenti a térenergiát, ha 0PS ill. növeli azt, ha 0PS . Az energiamérleg ezek
szerint a következő:
0 SPPdt
dW
Induljunk ki abból, hogy a p teljesítménysűrűség egy adott térfogatra vett integrálja, megadja a
térben, az egységnyi idő alatt elvégzett munkát (az energiaátvitel sebessége).
dt
dWpdVP
V
p mértékegysége: 3/ mW
A w
energiasűrűség egy adott térfogatra vett integrálja, megadja a térben tárolt összenergiát:
V
wdVW
w mértékegysége: 33 // mWsmJ
Innen:
0
Spp
t
w
És miután a Sp
kisugárzott teljesítménysűrűség a Poynting-vektor (teljesítményáram-sűrűség vagy
energiaáram-sűrűség) divergenciája. Energiaáram-sűrűség ( S ): Megmutatja, hogy melyik irányba
áramlik az elektromágneses energia, és hogy mennyi energia áramlik át az S -re merőleges
egységnyi felületen időegység alatt. Innen:
0
divSp
t
w
Sp
p
bb HEdivJEJ
t
w
2
Látszik, hogy a vezetési áram okozta disszipált hőenergia és az elsugárzott energia is veszteségként
szerepel.
Innen pedig adódik az energiamérleg:
AV
bb
VV
HdAEdVJEdVJ
dVt
w
2
V
dVtw / : A térfogatban tárolt összes EM energia megváltozása
V
v dVJ 2 : A hő teljesítmény, Joule-hő /csak +/
V
bb dVJE : A nem EM eredetű munka /+, -/
A
HdAE : Sugárzó teljesítmény /+, -/
Bizonyítás:
HEEHHEHEdivSdiv
HrotEErotHSdiv
Gerjesztési törvény (M.I.):
t
DJHrot v
t
DEJEHrotE v
E
Faraday féle ind.tv.(M.II.):
t
BErot
t
BHErotH
H
A kettőt összeadva megkapjuk a Poynting-tételt:
t
w
v
t
BH
t
DEJEHrotEErotH
Mivel lineáris közeg homogén és lineáris HBED , , ezért a w
kifejezhető a következő
módon:
t
BH
t
DE
t
BHB
t
H
t
DED
t
EHE
tw
t
2
1
2
1
2
1 22
wt
pdivS
Innen pedig kijön, hogy: 0
divSp
t
w ,amit állítottunk.
10. Ismertesse az elektromágneses térben az erőhatással kapcsolatos
összefüggéseket!
Lorentz-erő:
BvEQF L
Az erőnek két komponense van egy elektromos és egy mágneses.
Az elektromos erő:
EQF E
Ha a töltés pozitív, akkor az elektromos erő iránya azonos az elektromos térével.
A mágneses erő:
BvQF M
Homogén mágneses térben mozgó töltésre a mágneses tér sebességre merőleges komponense erőt fejt
ki. Mivel a Lorentz-erő mindig merőleges marad a részecske v sebességére, ezért munkát nem végez.
Ez azt jelenti, hogy a mágneses tér egy mozgó töltött részecske kinetikus energiáját nem változtatja
meg, a részecske csak oldalirányban térülhet el. A mágneses erő irányát a jobbkéz-szabály határozza
meg.Ez a formula gyakorlati számításra nem alkalmas.
11. Ismertesse az Ohm-törvény differenciális alakját, valamint a nem
elektromágneses eredetű töltésmozgató hatás figyelembevételének módjait
(példával is illusztrálva)!
Az Ohm-törvény differenciális alakja azt mondja ki, hogy a konduktív (azaz a vezetési) áramsűrűség
egyenesen arányos az elektromos térerősséggel.
bEEJ
bE : A nem elektromos hatásokat reprezentáló beiktatott térerősség, amely alkalmasint más nem
fizikai pl. kémiai eredetű. Ez képes valamely külső energiaforrás rovására munkát végezni a
töltéseken, s azokat magasabb potenciálú pontra emelni az alacsonyabb potenciálú pontról.
: a közeg vezetőképessége m/1 Gyakran használatos ennek a reciproka, azaz a fajlagos ellenállás: /1
Példa a gyakorlatban:
A beiktatott térerősségre jó példa, a boltba vásárolható elem, aminek csak a két végén mérhető
potenciál különbségét ismerjük. Ebből számítható az bE .
12. Ismertesse a Maxwell-egyenletek teljes rendszerét (csak differenciális
alakban, de kiegészítve a konstitúciós egyenletekkel, folytonossági feltételekkel,
valamint az erőhatást és az energiaviszonyokat leíró egyenletekkel)!
Maxwell egyenletek
I. Gerjesztési törvény:
t
DJHrot
II. Faraday indukciós törvény:
t
BErot
III. Fluxus megmaradás törvénye:
0Bdiv
IV. Gauss- törvény:
Ddiv
Konstitúciós egyenletek:
PED 0
MHB 0
)(0 bv EEJ
Folytonossági feltételek:
0)( 12 EEn tt EE 21
KHHn )( 12 KHH tt 12
)( 12 DDn nn DD 12
0)( 12 BBn nn BB 21
tJJn
)( 12
tJJ nn
12
Erőhatás és energiaviszonyokat leíró
egyenletek:
Az energiasűrűség időbeli megváltozása
t
BH
t
DE
t
w
Az energiasűrűség:
22
2
1
2
1HEw
Lorentz-erőtörvény:
)( BvEQF
13. Ismertesse az elektrodinamika felosztását!
I. Elektrosztatika 0/ t
Statikus (állandó) elektromos tér. Ha az idő
szerinti deriváltakat elhanyagoljuk, akkor a
Maxwell egyenletrendszer két részre válik szét,
elektrosztatikára és magnetosztatikára.
0Erot
Ddiv
ED
- Az elektromos tér örvénymentes.
- A forrás az elektromos töltés-
- A tér homogén
Fogalmak: Elektróda, kapacitás, potenciál
Alkalmazás: Nagyfeszültség technika
II. Magnetosztatika 0/ t
Statikus Mágneses tér, ahol áramok sem,
folynak, jellemzően permanens mágnesek tere.
0Hrot
0Bdiv
)(0 MHB
M : a permanens mágnes mágnesezettsége
Fogalmak: mágneses skalárpotenciál
Alkalmazás: Villamos gépek
III. Stacionárius áramlási tér
Stacionárius áramok folynak 0J , minden
egyéb az időben állandó. 0/ t
A gerjesztési törvényből:
0
0
0
JdivHdivrot
Hdivrot
t
D
t
DJHrot
0Jdiv
0Erot
)( 20 EEJ
Fogalmak: ellenállás, áramkörök
Alkalmazás: Földelésbiztosítások, orvosi
mérőeszközök
IV. Stacionárius áramok mágneses terek
JHrot
0Bdiv
)(0 MHB
Fogalmak: Induktivitás, vektorpotenciál
Alkalmazás: Villamos gépek, villamos energia
átalakítók
V. Kvázistacionárius tér
t
BErot
JHrot
0Bdiv
HB
Fogalmak: Örvényáram, szkineffektus,
behatolási mélység
Alkalmazás: Villamos gépek, roncsolás mentes
anyagvizsgálat, indukciós hevítés
VI. EM hullámok
Forrástól függetlenül vizsgáljuk a teret, tehát:
0J , 0I
Időben szinuszos változás, lineáris közeg.
t
DHrot
t
BErot
HB
ED
Fogalmak: Síkhullám, reflexió, polarizáció
Alkalmazás: Antennák
14. Ismertesse es értelmezze az elektrosztatika alapegyenleteit, es jelölje meg
néhány alkalmazási területet!
Elektrosztatika 0/ t
Statikus (állandó) elektromos tér. Ha az idő szerinti deriváltakat elhanyagoljuk, akkor a Maxwell
egyenletrendszer két részre válik szét, elektrosztatikára és magnetosztatikára.
0Erot Az elektromos tér örvénymentes
Ddiv A forrás az elektromos töltés
ED A tér homogén
Fogalmak: Elektróda, kapacitás, potenciál
Alkalmazás: Nagyfeszültség technika, nagyfrekvenciás (pl. kondenzátor)
15. Ismertesse az elektrosztatikus skalárpotenciál fogalmat, bevezetésének
módjait, valamint kapcsolatát a feszültséggel és a térerősséggel!
A skalárpotenciál segédmennyiség. A vektoranalízis integrálfajtáinak egyike. Azt a skalármezőt
határozza meg, aminek az adott vektormező a gradiense. Feltételezzük, hogy a töltések mozdulatlanok.
Mivel 0Erot , ezért E leírható egy skalár gradienseként:
gradE
k
zj
yi
xgrad :
pl.ha )(3 22 yx ,akkor jyixE 66
Ez onnan jön, hogy ha képezzük mindkét oldal rotációját:
0)( rotgradgradrotErot
egy additív K állandó erejéig határozatlan. K konstans, és helyfüggetlen, ezért gradiense 0.
gradgradKgradKgrad )(
Kapcsolat a feszültséggel:
ABll
dlgraddlEU
A feszültség nem más, mint potenciálkülönbség. Egy pont feszültségét egy referencia potenciálhoz (
0r ) képest nézzük.
16. Írja fel és értelmezze az elektrosztatika Poisson-egyenletét, és adja meg a
homogén közegben érvényes, általános megoldását! Miért körülményes ennek a
formulának a használata a gyakorlati esetek nagy részében?
Felírva a Gauss-törvényt (M.IV.), és E helyére behelyettesítve a skalárpotenciál definícióját:
Ddiv
Ediv graddiv
Megkapjuk a Poisson egyenlet általános alakját:
graddiv
Ha állandó, a közeg homogén és izotrop,
divgrad
A divgrad a Laplace operátort, ami Descartes-rendszerben:
2
2
2
2
2
2
zyx
Az így kapott Laplace-Poisson egyenlet homogén, izotrop közegre:
Azért körülményes a használta, mert az egyenlet megoldásához szükséges feltételek, hogy legyen
végtelen kiterjedésű homogén és lineáris közeg, valamint, hogy ismert legyen a töltéseloszlás.
A Poisson egyenlet általános megoldása:
A pontszerű töltés terének ismeretében, a Q töltés potenciálja 0r :
r
Q
04
1
Egy elemi kicsi Vd térfogatban elhelyezkedő töltést ponttöltésnek tekinthetünk, így hozzájárulása
egy kiterjeddt töltéseloszlás potenciáljához:
')'( dVrdQ
rr
Vdrd
'4
1
0
Fizikai megfontolások alapján a megoldás a következőképpen állítható elő. Az r helyen lévő Vd
térfogatban helyet foglaló rQd Vd pontszerűnek tekinthető töltés az r helyen
V
VdR
rr
'
4
1
,ahol rrR '
17. Mutassa be néhány egyszerű töltéselrendezés (ponttöltés, egyenes
vonaltöltés, töltött síkfelület) sztatikus elektromos terét es potenciálterét! Milyen
módszerrel lehet, illetve célszerű ezeket számolni?
Töltéseloszlások elektromos terét a Gauss-tétel felhasználásával kapjuk, hogy
QdVdAE
VA
1
A potenciálteret pedig úgy, hogy az elektromos térre kapott összefüggést integráljuk a forrástól r
tetszőleges távolságban lévő ponttól, az 0r referenciapontig:
0r
r
drE
Ponttöltésre:
A tér geometriája gömbszimmetrikus és sugárirányú.
QrrE 24 24 r
QrE
0
24
r
r
drr
Q
r
Q 1
4 ,ahol 0r
Egyenes vonaltöltésre:
A tér geometriája hengerszimmetrikus.
lqlrrE
1
2 rr
qrE
1
2
0 1
2
r
r
drrr
q
r
r
r
q 0ln2
,ahol 10 r
Töltött síkfelület:
Érdekessége, hogy a térerősség nem függ a távolságtól.
EFdAE
FdV
A
V
2
11
FEF
12
Ebből adódik a térerősség térrésztől függően
2E (+) 0z ,ill. (-) 0z
Számítási módszerek:
A szuperpozíció módszerét felhasználva alkalmazhatjuk a villamos tükrözés.
Az elektrosztatikus feladatok megoldása egyértelmű adott töltéselrendezés és peremfeltételek mellett.
Olyan elrendezést kell találnunk, amely ugyanazt a peremfeltételt biztosítja, mint az eredeti eset.
Tetszőleges töltés/áram elrendezést visszavezetni szuperpozíció módszerével pontszerű/ vonalszerű
töltések elektromos terére.
18. Mutassa be a sztatikus töltés dipólus elektromos teret es potenciálterét!
Dipólus: Két egymáshoz nagyon közel elhelyezkedő, azonos nagyságú, de ellentétes előjelű töltés.
Mérnöki közelítés szerint dipólusról beszélünk, ha a teret elég távolról vizsgáljuk.
A forgásszimmetria miatt a gömbi koordinátarendszerben:
,,, rr
Két ponttöltés elektromos terének
szuperpozíciója.
Ha rd
22
cos2
1
cos2
1
4 0
bababa
dr
dr
Q
2
0
cos
4 r
dQ
A dipólusmomentum: dQp , és a töltés irányába mutat.
e
re
re
rgradE r
sin
11
3
0
cos
2,
r
prEr
3
0
sin
4,
r
prE
0, rE
A dipólusmomentum tere
A térerősség vonalak párhuzamosan indulnak
és végződnek a dipólus momentummal.
A dipólus momentum jelentősége:
- dielektrikumok
- kettősrétegek
- polarizáció vektor:
PED 0
V
pP
i
V
0
lim
19. Fogalmazza meg az elektrosztatika peremérték-feladatát, és illusztrálja
példákkal a vonatkozó peremfeltételeket!
Egy peremérték-feladatnak három alkotórésze van: egy V tér tartomány, egy egyenlet, amit a keresett
függvénynek ki kell elégítenie V belsejében; és egy másik egyenlet, amit a keresett függvénynek ki
kell elégítenie V határán (peremén). A megoldását kereshetjük zárt térrészben, vagy nyitott (végtelen)
térben. Az első esetben a zárt térrészen kívül a „külvilágban” szereplő gerjesztések hatását úgy
vesszük figyelembe, hogy a térrészüket határoló zárt felületen peremfeltételeket írunk elő.
A Maxwell egyenletek megoldása zárt térfogatban egyértelmű, ha a térfogat határoló felületén
a potenciál vagy a térerősség normális komponense (ez a töltéssűrűségnek felel meg) adott. A
bizonyítás homogén közeget feltételez.
Dirichlet-peremfeltétel: A vizsgált peremenrészen DS felületre
)(sfDS
adott.
Neumann-peremfeltétel: A vizsgált peremenrészen NS felületre: sggradnn
NS
adott.
A felület egy részén elő lehet írni a potenciált, a afelület egy másik részén a potenciál normális irányú
deriváltját, és ha ezeket az előírásokat a teljes felületen mindenütt megtesszük akkor egyértelműen
megoldható feladatot kapunk.
A Laplace egyenletnek a peremfeltételeknek eleget tevő megoldását kell megtalálni.
A gyakorlatban ezt használjuk fel a helyettesítő töltések módszerénél.
20. Ismertesse a helyettesítő töltések módszerét es a töltéstükrözés elvét!
Hogyan épül ez a módszer a Poisson-egyenlet egyértelmű megoldhatóságára?
Az elektródák terét úgy számítjuk (az elektródákon kívül), mintha a helyettesítő töltések hozták volna
létre. Azt várjuk el a helyettesítő töltések elrendezéstől, hogy a helyettesítő töltések együttes
potenciálja, valamennyi elektródát ekvipotenciálissá tegye (a potenciál konstans legyen minden
elektródán). Bizonyítás, a helyettesítő töltések potenciálja eleget tesz a Laplace egyenletnek. A
helyettesítő töltés eleget tesz a Laplace egyenletnek, kivéve a töltés helyét, de ez nem zavar minket,
mert a helyettesítő töltés az elektródán belül van és ott úgyse érvényes a perem, csak az elektródán
kívül. Másrészt, a konstrukcióból következően eleget tesz a peremfeltételeknek is, mert konstans
potenciált hoz létre. A helyettesítő töltések potenciálja konstans az elektródákon.
Pontszerű helyettesítő töltés (gömbi szimmetria):
Olyan zárt felületekre nézzük, amelyek mentén a D elektromos eltolás, ill. a J áramsűrűség vagy
állandó, vagy a felület egy A részén állandó, a felület többi részén pedig nullának tekinthető, továbbá
a D, ill. a J vektor a felületre merőleges. Ekkor a Gauss törvény, ill. az áramsűrűség és az áram
kapcsolata a következő alakra egyszerűsödik:
ADdADQA
AJdAJIA
Ahol Q az A felület által körülzárt töltés, ill. I az (eredő) áram
(A továbbiakban a stacionárius áramlás esetére: , DJ helyettesítéssel ugyanígy)
24)(
r
Q
A
QrDr
A D = E, ill. a J = E összefüggés felhasználásával,
24
)()(
r
QrDrE r
r
r
Qdr
r
QdrrEr
rr
r
44
)()(2
A két elektróda közötti feszültség:
21
2112
11
4)()(
rr
QrrU
Egy Q töltésű, gömbalakú elektróda erőtere úgy számolható, mintha az eredeti töltésen kívül jelen
lenne a tükörképébe helyezett –Q nagyságú töltés is (megjegyzés: akkor tükrözünk, ha a töltés
végtelen vezető fölött van.)
Egy r0 sugarú, a földtől h magasságú, gömbalakú elektróda feszültsége:
hr
QU
2
11
4 0
0
Vonalszerű helyettesítő töltés:
Tekintsük egy permittivitású szigetelőben lévő, végtelen hosszúnak tekinthető, q vonalmenti
töltéssűrűséggel bíró körhenger alakú elektródát:
A térerősség radiális és:
r
qrEr
2)( (az elektródán kívül)
A 10 r referenciapont választással:
r
rqdr
r
qdrrEr
r
r
r
r
r0ln
22)()(
00
r
qr
1ln
2)(
Tekintsünk most két, körhenger alakú, végtelen hosszúnak tekinthető elektródát, amelyek tengelye
párhuzamos, sugaruk kicsi a távolságukhoz képest, vonalmenti töltéssűrűségük +q, ill. –q. Ekkor a
kettő közt eső potenciál:
1
221 ln
2 r
rqU
A síkon való tükrözés módszere alkalmazható olyan esetekben is, amikor a nullapotenciálú felületek
n/ szöget bezáró síkok (n = 1, 2, 3, …).
Pl. n = 2
A szimmetriából következik, hogy a két sík nullapotenciálú, tehát a négy töltés együttes tere kielégíti a
peremfeltételt. n/ , akkor minden valódi töltéshez n-1 tükrözött töltés tartozik
Visszavezetés a Poisson-egyenletre:
Válasszunk egy önkényes töltéseloszlást, majd meghatározzuk a potenciálfüggvényt,
V
dVrr
rr
4
1
Majd a ir ekvipotenciális felületet. Ezzel rendelkezésünkre áll egy olyan, a Laplace egyenletet
kielégítő potenciálfüggvény, amely ismert felületeken állandó. Kellő számú ilyen megoldást
összegyűjtve, adott alakú elektródák esetén van olyan potenciálfüggvényünk, amely az elektródákon
állandó, vagyis az elektrosztatikus vagy stacionárius elektromos probléma megoldását adja.
21. Fogalmazza meg az elektromos teret leíró vektormezők anyaghatáron
érvényes folytonossági feltételeit a skalárpotenciál segítségével!
Legyen a (nagy gamma) a határfelület két eltérő permittivitású közeg határán.
KrrEE tt 2121
,ahol 0K konstans és helyfüggetlen.
Praktikusan 0 , folytonosan megy át.
nn DD 12
A skalárpotenciál definíciójából gradE :
111222 gradngradn
2grad jelentése, hogy a kettes közegben végezzük a gradiens képzést.
ngradn
(normál irányú derivált)
nn
11
22
n
22. Ismertesse a vezető anyagok viselkedését elektrosztatikus térben, valamint a
vezető-szigetelő határon érvényes folytonossági feltételeket; definiálja az
elektróda fogalmat!
Az elektróda fogalmán vezető anyagot értünk.
Vezetőket, szigetelőket szabad illetve helyhez
kötött töltések alapján választhatjuk szét. A tér
hatására a semleges töltések szétválnak, belső
teret hoznak létre, ami a külsőt kompenzálja.
Viszonyítás kérdése, hogy mikor vezető vagy
szigetelő az anyag. Ez függhet alkalmazási
területtől, frekvenciától, a töltések
szétválásának gyorsaságától (relaxációs idő).
Tegyük fel, hogy a töltésmozgás megtörtént!
Határfeltételek:
A felület irányában nincsen indukált töltéssűrűség, ezért a térerősség ilyen irányú komponensének
nincsen ugrása.
tt EE 12
A határfeltételeket potenciálra megfogalmazva: ha a potenciál mindenütt értelmezett, akkor a
térerősség végességéből a potenciál folytonossága következik. nE ugrása a felületre merőleges
derivált ugrását jelenti:
12 , 1
1
2
2nn
Vagyis részben folytonos közegeknél:
és a felületeken és
n
folytonos.
Mivel itt is a Poisson egyenlet megoldását keressük, ugyanazok a módszerek alkalmazhatók, mint a
fémek esetében.
Megjegyzés ha , akkor:
nn DD 12 01
2
12 nn EE
0
na határon a felület belseje felöl.
.konstbelül
0belül
E , .konsthatáron
Ez felel meg a fémeknek.
Következmények:
Az elektróda ekvipotenciális.
Az elektróda felületére merőlegesek az erővonalak: DE,
23. Ismertesse a kapacitás fogalmat és energetikai hátterét; fejezze ki a
kapacitást a térjellemző mennyiségekkel! Térjen ki az „önmagában álló
elektróda” esetére is!
Energetiakai háttér:
Az elektródarendszer energiája:
k
Q
sk
V
k
k
dsdVW 2
1
2
1
QQQQWk
kk2
1
2
1
2
1
C
QCUQUW
22
1
2
1 22
(Itt érdemes a négyzetekre figyelni!!)
A kapacitás kifejezése a térjellemző mennyiségekkel:
Két elektróda kapacitása definíció szerint:
21
AA
dAE
dlE
dAD
U
QC
ahol 21, az elektródák potenciáljai, tehát U az elektródák között eső feszültség.
Önmagában álló elektróda esete
Egy Q töltésű, gömb alakú elektróda erőtere úgy számolható, ha Rr és R a gömb sugara, hogy:
2
1
4 r
QE
0r nullreferenciapont távolsággal számolva, a feszültsége (sima integrálás 0rr ):
r
Q
r
QU r
1
4
1
400
A kapacitása:
0
0
0
2
24
2
11
14
rh
hr
hr
U
QC
Vonalszerű helyettesítő töltés:
Tekintsük egy permittivitású szigetelőben lévő, végtelen hosszúnak tekinthető, q vonalmenti
töltéssűrűséggel bíró körhenger alakú elektródát:
A térerősség radiális és:
r
qrEr
2)( (az elektródán kívül)
r
rqdr
r
qdrrEr
r
r
r
r
r0ln
22)()(
00
Az 10 r referenciapont választással:
r
qr
1ln
2)(
Tekintsünk most két, körhenger alakú, végtelen hosszúnak tekinthető elektródát, amelyek tengelye
párhuzamos, sugaruk kicsi a távolságukhoz képest, vonal menti töltéssűrűségük +q, ill. –q. Ekkor a
kettő közt eső potenciál:
1
221 ln
2 r
rqU
1
2
1
2 ln
2
ln2 r
r
l
r
rq
ql
U
qlC
24. Ismertesse az elektródarendszert jellemző együtthatókat, különös tekintettel
a részkapacitásokra! Adjon az utóbbiakra szemleletes értelmezést!
Az elektródarendszert jellemző együtthatók:
i : Az elektródák potenciáljai
iQ : Az elektródák töltései
A pik potenciál együtthatók bevezetésével:
n
k
kiki Qp1
kiik pp
A fenti egyenletet a töltésekre kifejezve:
n
K
kiki cQ1
kiik cc
Ezután kicsit alakítsuk át a következőképpen:
n
k
n
k
n
k
iikkiikiikiki cccQ1 1 1
)()(
n
k
iikiiki CCQ1
0)( ,ahol
n
k
iki cC1
0 és ikik cC
Az ábrán látható módon úgy értelmezhető, hogy az i-dik és a k-adik elektróda közé egy Cik
kapacitású kondenzátor van kapcsolva, melynek töltése ikikkiik UCCQ )( , az i-edik
elektróda és a föld közé egy 0iC kapacitású kondenzátor van kapcsolva, amelynek töltése:
000 iiii UCCQ
A nagybetűvel jelölt ikC kapacitások a részkapacitások. A két elektróda között elhelyezkedőt
hívjuk főkapacitásnak, az elektróda és a föld között elhelyezkedő 0iC pedig földkapacitásnak.
25. Hogyan számítható ki a sztatikus elektromos térben tarolt energia?
Ismertesse az elektródarendszer energiájára vonatkozó formulákat is!
Egy térrészben tárolt elektromos energiát általánosan az elektromos energiasűrűség térfogati
integráljaként határozhatjuk meg.
Sztatikus elektromos térben tárolt energia:
02
1
2
1
r
drEQQUW
Elektródarendszer energiája:
n
k kkQW12
1
n=2 esetre:
2112
2
222
2
11122112
1
2
1
2
1
2
1QQpQpQpQQW
2
2112
2
220
2
1102
1
2
1
2
1 CCCW
26. Ismertesse es értelmezze a stacionárius áramlási tér alapösszefüggéseit!
Mely területeken alkalmazható ez a problématípus?
Írjuk fel a gerjesztési törvényt:
t
D
+ J = Hrot
t
D
div+ J div= Hdivrot
De mivel 0Hdivrot és 0
t, azaz minden időben állandó, nincs deriválás, és csak a töltések
mozognak, ezért állandó áram folyik a stacionárius térbeli áramlás egyenletei:
0 = J div 0 = Erot bEE = J
Stacionárius áramlási feladatnál legyenek adottak az ideális vezetőnek tekintett elektródák alakja, és
árama, továbbá rossz vezetőnek vagy szigetelőnek tekintett közeg konduktivitása.
Olyan zárt felületekre nézzük, amelyek mentén a J áramsűrűség vagy állandó, vagy a felület egy A
részén állandó, a felület többi részén pedig nullának tekinthető, továbbá a J vektor a felületre
merőleges. Ekkor az áramsűrűség és az áram kapcsolata a következő alakra egyszerűsödik:
AJdAJIA
(I az eredő áram)
Pont (gömb) források esetén:
IrJ 24
24 r
IJE
24 r
IJ
A potenciál sugártól való függése:
r
Idr
r
IdrrEr
rr
r
44
)()(2
Két elektróda közötti feszültség:
21
2112
11
4)()(
rr
IrrU
Az erőtér két gömb között megegyezik azzal az erőtérrel, amelyet a középpontban levő I pontszerű
áram hoz létre (helyettesítő áram). Abban az esetben, amikor csak két elektródának van +I, ill. –I
árama, a többi elektróda árama nulla, akkor a két elektróda közötti U feszültség meghatározásával
kifejezhető az elektródapár G konduktanciája:
U
IG
Vonalforrások esetén:
IrlJ 2 lr
IJ
2
r
iJE
2 ,ahol iI
A potenciálfüggvény 10 r választással:
r
ridr
r
idrrEr
r
r
r
r
r0ln
22)()(
00
r
ir
1ln
2)(
Gömb-földelő esetén:
h
I
r
I
244 101
hrR
2
11
4
1
01
Ez a problématípus alkalmazható a földelésbiztosítások és pl orvosi mérőeszközök területén.
27. Ismertesse a stacionárius áramlási tér Laplace-egyenletét! Sorolja fel, es
illusztrálja példával az egyenlet egyértelmű megoldhatóságát biztosító
peremfeltételeket!
Alapegyenletek:
0 = J div 0 = Erot bEE = J
0 = Erot -gradE
ha, 0 = E b vEJ
0grad-div
0graddiv
Speciális esetben homogén közeg, .konst :
0divgrad
0divgrad 0
0 .konst
ahol a Laplace operátor:
2
2
2
2
2
2
zyx
Az egyértelmű megoldhatóságot biztosító peremfeltételek:
tt EE 12
0
12 konstans
0
A potenciál ugrása a gamma felületen 0.
nJJ nn
12
L : a felületi töltéssűrűség jele, mert a már
foglalt. Ha a J normálisai közt különbség van,
akkor töltés halmozódik fel a felületen vagy
töltés távozik a felületről. Speciális esetben
0 :
nn JJ 12
021
22
nnn
28. Ismertesse az ellenállás fogalmát, es fejezze ki a térjellemző
mennyiségekkel!
Az elektromos ellenállás (rezisztencia, jele: R) az anyag azon tulajdonsága, hogy az áram folyását
gátolja, és az RI 2 villamos teljesítményt hővé alakítja.
A
lR
J
E
ahol
A
Vmm az anyag fajlagos ellenállása, l a hossza és A a keresztmetszete
Ahol legyen L tetszőleges görbe. S tetszőleges
felület, melyen 0-hoz közelítő területű lukat
hagyunk a bemenő áram számára.
L
IEdlU ~
SI
UR
U
IG ill.
ss
EdsJdsI
s
L
Eds
EdlR
29. Hogyan számítható a térbeli áramlás által vezető anyagban keltett
hőteljesítmény (Joule-veszteség)?
A teljesítménysűrűség az áramsűrűségből és az elektromos térősségből számítható:
2JJJEJp 0bE
2Jp
3m
W
A teljesítmény, pedig teljesítménysűrűség térfogat szerinti integrálja
RIdVpPV
2 Ez az ellenálláson hő formájában távozik, az energiamérlegben negatív előjellel vesszük figyelembe.
30. Miben áll, és meddig terjed a stacionárius áramlás es az elektrosztatika
analógiája? Mikor es hogyan alkalmazható a tükrözés módszere áramlási
tereknél?
Stacionárius áramlás:
0 Erot
0J div
E J
0bE
gradE
0 Elektrosztatika:
0 Erot
0D div
E D
0
gradE
0
Analógia: két jelenség analóg, ha azonos alakú differencia egyenletnek és azonos peremfeltételeknek
tesznek eleget.
A következő megfeleltetések értelmezhetők az áramlási tér és az elektrosztatika között:
Elektrosztatika: Q D E C
Stac. áramlás: I J E G
DE: 0 jellemzőjű anyag van (ideális szigetelő), de = 0 jellemzőjű anyag nincs azoknak a térbeli
áramlásos példáknak, amelyekben = 0, nincs elektrosztatikus megfelelőjük, ha az egyik feladatot
megoldottuk, akkor betűcserével megkapjuk a másik feladat megoldását is az analógia
következménye:
121212 U
AdE
U
AdD
U
QC
121212 U
AdE
U
AdJ
U
IG
C
G
A tükrözés módszere úgy alkalmazható, hogy az adott homogén, vezetőképességű közegben az
eredeti peremfeltételeket kielégítő áramlási teret eredményez.
nn JJ 12 tt EE 12
31. Ismertesse a stacionárius áram mágneses terére vonatkozó alapegyenleteket,
és a problématípus főbb alkalmazási területeit!
A Mawell egyenletekből kiindulva:
JHrot 0Bdiv HB 0
Itt feltételezzük, hogy nincs jelen ferromágneses közeg, ekkor a közeg permeábilitása
mindenütt állandó, továbbá hogy a vizsgált térrész mindenütt a végtelenbe nyúlik.
A folytonossági feltételek két közeg határán:
tt HH 21
nn BB 21
Vektorpotenciál:
Azt a vektormezőt határozza meg, aminek az adott vektormező a rotációja.
Mivel H nem örvénymentes, ezért általában nem állítható elő egy egyértékű skalár potenciál
gradienseként. Ismeretes azonban, hogy bármely divergencia mentes B = B(r) vektor
előállítható egy alkalmas A = A(r) vektor, a vektorpotenciál divergenciájaként (a
vektorpotenciál SI egysége T/m), hiszen div rot A = 0. ezek szerint:
ArotB
A vektorpotenciál divergenciája szabadon megválasztható. A legegyszerűbb és legcélszerűbb
választás az ún. Coulomb mérték: 0divA . A vektorpotenciál ismeretében meghatározható
bármely zárt görbe által határolt A’ felület fluxusa a Stokes tétel felhasználásával:
' '
''A lA
dlAdAArotdAB
ahol a görbe irányítása jobbcsavar szabály szerint van a felületi normálishoz rendelve (ez
gyakran egyszerűbben számítható, mint B felület menti integrálja)
A vektorpotenciálra vonatkozó egyenlet előállításához:
AAdivgradArotrotBrotJ
JBrot
ArotB
/
0
rotrotdivgrad
Mivel 0 Adiv , ezért a vektorpotenciálnak a JA 0 vektoriális Poisson egyenletet kell
kielégítenie. Ha a permeabilitás csak térrészenként állandó, akkor minden térrészben meg kell
oldani a ii JA 0 , vektoriális Poisson egyenletet, továbbá két közeg határfelületénél ki
kell elégíteni a folytonossági feltételeket. Célszerű a vektorpotenciált folytonosnak választani,
vagyis kielégíteni az Ait = Ajt, Ain = Ajn folytonossági feltételeket is.
Általános megoldás:
Mint az előbb láttuk lineáris és homogén közeg esetén a vektorpotenciál a JA 0 a
vektoriális Poisson egyenlet megoldása. Azonban már ismerjük a
skaláris Poisson
egyenlet megoldását, ennek alapján például a xx JA 0 egyenlet megoldása:
VdR
eJeJeJrA
V
zzyyxx
4)( ahol rrR '
A vektorpotenciál helyfüggésének ismeretében a mágneses indukció és térerősség rotáció
képzéssel számítható.
Főbb alkalmazási terület:
Áramjárta vezető mágneses terének számítása, amiből például a tekercsek, ill.
transzformátorok ön ill. kölcsönös induktivitása meghatározható.
32. Ismertesse es értelmezze a Biot-Savart-törvényt! Illusztrálja egy egyszerű
példával!
A Biot-Savart-törvény áramjárta hurkok által keltett mágneses indukció számítására
használjuk.
Induljunk ki abból, hogy a mágneses indukció kifejezhető a vektorpotenciál rotációjával.
lR
dlIrAldIldAJVdJ
'
4)(
, ahol rrR '
A mágneses indukció általános kifejezése értelmében ArotB :
ll
R
dlrotI
R
dlIrotB
'
4
'
4
Felhasználva a vrotabagradbarot vektoranalitikai összefüggést
Ra /1 ldb helyettesítéssel azt kapjuk, hogy:
2
0
2
0
''')1
('
R
Rdldl
R
Rdl
Rgrad
R
dlrot
ahol R
rrR
'0 az r’ pontból az r pontba mutató egységvektor
3
'
4
1)(
rr
rrdlIrH
Ezt visszaírva a fenti egyenletbe, és leosztva a permeábilitással, megkapjuk a Biot-Savart törvényt:
2
0'
4
1)(
R
RdlIrH
ahol rrR ' és R
rrR
'0
Ez egy újabb példa arra, hogy a Maxwell egyenletekből matematikai úton tapasztalati
összefüggések vezethetők le. Vezetékek mágneses terét sokszor csak azért számítjuk, hogy
ennek alapján meghatározhassuk például egy tekercs öninduktivitását, vagy egy
transzformátor tekercsei között a kölcsönös induktivitást.
33. Ismertesse az ön- es kölcsönös indukció fogalmát es energetikai hátterét!
Térjen ki a külső és belső induktivitás fogalmára!
Öninduktivitás:
Ha az áramerősséget változtatjuk, változik a
fluxus magában a tekercsben, így Faraday
indukciótörvényének értelmében a tekercs két
végpontja között feszültség keletkezik
(önindukciós feszültség)
tNU L
Önindukciós együttható számítása:
HI
L
A gerjesztési törvény alapján:
IdlBl
1
A mágneses fluxus kiszámítása:
A
dAB
Kölcsönös induktivitás:
Adott két tekercs és csak az elsőben folyik
áram. 02 I
Az első tekercsben folyó áram a második
tekercs belsejében fluxusváltozást idéz elő,
ezért abban feszültség indukálódik.
Az 21L indukciós együttható számítása:
HI
L1
21
21
A gerjesztési törvény alapján:
1
1IdlB
l
A mágneses fluxus kiszámítása:
2
221
A
dAB
Energetikai háttere:
Általános estben, n darabból álló tekercsrendszerre:
n
k
n
j
jkkj
n
k
kkm IILIW1 11 2
1
2
1
ahol kjL a k és j tekercs kölcsönös induktivitása.
A külső és belső induktivitás fogalmát:
A valóságban egy vezeték konkrét keresztmetszettel rendelkezik, amit a fenti számítások során
figyelmen kívül hagytunk jelentős egyszerűsítést téve ezzel.
Az induktivitás felbontható egy külső és egy belső indukciós együtthatóra:
bkön LLL
Külső indukciós együttható (Lk): Az áramvezetőn kívüli mágneses térből származik
Belső indukciós együttható (Lb): A fluxusból nem, de az energiából számolható:
m
V
b WdVHIL 22
2
1
2
1
V
b dVHI
L 2
2
1
34. Hogyan számítható a stacionárius mágneses térben tarolt energia? Ismertesse
a tekercsrendszer energiájára vonatkozó formulát is!
Tekercs energiája:
Minthogy az áram változásával változik a
tekercsben a fluxus, és a tekercs pólusain
mérhető feszültség ami: dt
dui
Úgy változik az időegység alatt a tekercs által
felvett energia is:
ididtdt
didtuidtudW iL
Ebbe behelyettesítve a LI kifejezést
kapjuk az energiára vonatkozó összefüggést:
2
2
1LIW
A tekercsrendszer energiája
nn IIIW ...2
12211
Ahol a tekercsek fluxusai:
nni ILILIL 1212111 ..
Pl. két tekercsből álló rendszerre:
2
2222112
2
1112
1
2
1ILIILILW
35. Mutassa be az indukálási jelenségeket (nyugalmi es mozgási), valamint az
indukált feszültség számítását! Mondjon példákat gyakorlati alkalmazásra!
Nyugalmi indukció:
Ebben az esetben sem a vezető, sem a mágneses mező nem mozog. Az indukciót az időben változó
fluxus hozza létre (M.II. – Faraday-tv.), amit az időben változó áram kelt (M.I. – Gerjesztési-tv.). Ez
az indukált feszültség N menetszámú tekercs esetén:
dt
dNu i
Mozgási indukció:
Ha egy időben állandó mágneses tér illetve egy
benne elhelyezkedő vezető darabot egymáshoz
viszonyítva mozgatunk, akkor a vezető két
végpontja között feszültség mérhető.
Ezt a Lorentz-törvény írja le:
BvEQFL
Itt most csak a mágneses tér okozta beiktatott vagy indukált térerősséggel kell számolunk:
BvE i így iL QEF
Innen a mozgási indukcióból származó feszültség:
ll
im
i dlBvdlEtu
A jelenség úgy is magyarázható, hogy a v sebességgel mozgó vezető l hosszúságú darabja dt idő alatt
dt vlda felület a dtvlBd fluxus vonalait metszi, ahonnan az indukált feszültség:
iu vlBdt
d
Habár a nyugalmi és a mozgási indukció fizikai alapja más, a két jelenség egységesen kezelhető abban
az értelemben, hogy a vezető hurok fluxusának megváltozása, egyrészt a mágneses indukció
időszerinti megváltozása miatt, másrészt a vezető keresztmetszetének megváltozása miatt jön létre,
azaz
AAA
i Addt
trB
dt
d
dt
AdtrB
dt
dAdtrB
dt
d
dt
du
,,,
Gyakorlati példák:
Generátor:
Mechanikai energiát (mozgási energiát) elektromos energiává átalakító eszköz, a mozgási
indukció gyakorlati alkalmazását jelenti. A generátor forgásának megfelelően váltakozó
áramot állít elő.
Transzformátor:
Váltakozó elektromos áram átalakítására szolgáló készülék, működési alapelve a nyugalmi
indukció. Általában közös vasmagra helyezett két tekercsből áll. Az egyik tekercsbe (primer)
váltakozó áramot vezetve, annak változó mágneses mezeje a másik tekercsben (szekunder)
váltakozó áramot indukál.
36. Ismertesse a távvezeték elosztott paraméterű modelljét es a távíró
egyenleteket! Meddig terjed a modell érvényességi köre, azaz milyen feltételek
mellett írható le egy hullámvezető viselkedése az ismertetett modellel?
A távvezeték elosztott paraméterű modellje:
Az elrendezés egy differenciálisan rövid szakaszát koncentrált paraméterű kétkapuként kezeljük.
A távvezeték paramétereit hosszegységre
vonatkoztatjuk:
L’=L/h [H/m]
R’=R/h [ohm/m]
C’=C/h [F/m]
G’=G/h [S/m]
Alkalmazzuk a dz hosszúságú szakasz, helyettesítő-kapcsolására Kirchhoff feszültség- és
áramtörvényét. A másodrendűen kicsiny tagok elhanyagolásával:
0)(''
0)(''
dzz
iidzuG
t
udzCi
dzz
uudziR
t
idzLu
Rendezve és dz-vel egyszerűsítve megkapjuk a távíró egyenleteket:
iRt
iL
z
u''
uGt
uC
z
i''
Az első egyenletet differenciálva z szerint és a második egyenlet szerinti zi / -t behelyettesítve:
uGRt
uCRGL
t
uCL
z
u'')''''(''
2
2
2
2
A modell Feltétele:
Egyetlen, a hosszkoordinátától függő feszültség illetve áramadattal leírható
TEM (Transzverzális Elektromos és Mágneses) típusú terjedés.
Transzverzális: E és H a terjedésre merőleges síkban fekszik.
37. Mutasson be néhány gyakori távvezeték-konstrukciót, jellemezze azok
elektromos és mágneses terét! Hogyan befolyásolja a távvezeték geometriája a
vezetékparamétereket?
Koaxiális kábel:
4ln
2'
1
20 r
r
rL
2211
11'
AAR
)/ln(
12'
12 rrC
)/ln(
12'
12
0rr
G
Kettős (Lecher-) vezeték:
8ln'
0
0 r
r
dL
AR
12'
)/ln(
1'
0
0rd
C r
)/ln(
1'
0
0rd
G
38. Ismertesse a távvezetékre vonatkozó Helmholtz-egyenletet; mutassa be és
értelmezze annak általános megoldását!
A Helmholtz-egyenletet a távíró egyenlet szinuszos, időbeli változására vonatkozó alakja.
Az időben szinuszos állandósult állapotot a feszültség és az áram komplex alakjával írjuk le:
tjezUtzu )(Re),( tjezItzi )(Re),(
ahol zUU és az zII komplex amplitúdók. A differenciálás j-val való szorzásra
egyszerűsödik, a Re műveletet elhagyhatjuk és tje -vel egyszerűsíthetünk:
ILjRdz
dU'' UCjG
dz
dI''
Az első egyenletből az áramot kifejezve:
dz
dU
LjRI
''
1
UCjG
LjRdz
Ud''
''
12
2
Bevezetve a terjedési együtthatót illetve a hullámimpedanciát:
)'')(''( CjGLjR ''
''0
CjG
LjRZ
A Helmholtz-egyenletet
02
2
2
Udz
Ud
Ez egy közönséges másodrendű differenciálegyenlet, két sajátértéke + és -.
Az általános megoldás ennek megfelelően:
zz eUeUzU 11)(
Az áramfüggvény általános alakja pedig:
zz eZ
Ue
Z
UzI
0
1
0
1)(
zz eIeIzI 11)(
Értelmezése:
A fenti egyenlet egy, a z-tengely pozitív irányában terjedő, csillapított szinuszos feszültség,- ill.
áramhullámot ír le. A pozitív, illetve a negatív z irányba haladó hullámok összegeként állítható elő a
kialakuló feszültség illetve árameloszlás.
1U ,
1U ,
1I ,
1I konstansok a vezeték végein elhelyezett
lezárások (peremfeltételek) ismeretében határozhatóak meg.
39. Mutassa be a távvezeték hullámparamétereit, ill. kapcsolatukat a
fázissebességgel és a hullámhosszal! Térjen ki az ideális távvezeték speciális
esetére is!
Legyen a csillapítási együttható, a fázisegyüttható, v = / pedig a fázissebesség.
Így a terjedési együttható:
vjj
A feszültségfüggvény pedig:
)/(
1
)/(
1Re),( vztjzvztjz eeUeeUtzu
Ha 01 U , akkor azze tényező azt jelenti, hogy a feszültség amplitúdója z függvényében
exponenciálisan csökken. fejezi ki a csökkenés mértékét, a feszültség késését a z = 0 helyen felvett
fázishoz képest.
Legyen = 2/ a vezetéken mért hullámhossz, = c/f a szabadtéri hullámhossz, ekkor:
)(cos)cos(),( 11v
zteUzteUtzu zz
)(cos)cos(),( 11v
zteUzteUtzu zz
Ez a z-tengely negatív irányában terjed v sebességgel, exponenciálisan csillapodik. Az egy irányba
terjedő feszültség- és áramhullám komplex amplitúdójának viszonya tetszőleges helyen:
)(
)(
)(
)(0
zI
zU
zI
zUZ
Végeredményben a vezetéken kialakuló feszültség és áram szinuszos időbeli változás esetén úgy
írható le, mint két, ellentétes irányban a fázissebességgel haladó és a terjedés irányában csillapított
hullám szuperpozíciója.
Ideális vezeték esetén ( 0R , 0G , 0 ):
''CLjj
r
c
CLv
''
1
'
'0
C
LZ
40. Definiálja a reflexiós tényezőt; ismertesse speciális lezárások (illesztett,
nyitott végű, rövidre zárt) esetén, az ideális távvezetéken kialakuló áram- es
feszültségviszonyokat!
Reflexiós tényező:
A visszavert és a beeső feszültséghullámnak a vezeték végén fellépő amplitúdó- viszonya:
2
2
U
U
Ha a lezáró impedanciát felírjuk a komplex Ohm-törvénnyel:
22
220
0
1
0
1
11
2
22
UU
UUZ
eZ
Ue
Z
U
eUeU
I
UZ
hh
hh
22
2202
UU
UUZZ
2U kifejezve a reflexiós tényező definíciójából: 22 UU , és ezt behelyettesítve:
22
2202
UU
UUZZ
1
102 ZZ
Innen másik definíciója 0Z -al és 2Z -vel kifejezve:
02
02
ZZ
ZZ
Kifejezhető a feszültség illetve áram z szerinti függése a reflexiós tényezővel:
hh eeUhU 2
hh eeZ
UhI
0
2
Speciális lezárások,ideális távvezeték j esetén:
Illesztett lezárás: Ha a vezetéket 02 ZZ hullámimpedanciával zárjuk le, nem lép fel visszaverődés
0 az illesztésnél, így kiküszöbölhető a visszavert áramhullám által okozott veszteség.
hjhjhj
hjhjhj
eZ
Uee
Z
UhI
eUeeUhU
0
2
0
2
22
0
0
tisztán haladó hullám
Nyitott végű lezárás(szakadás): Minden időpontban a feszültség és az áram eloszlása a vezetéken
szinuszos, de ezek most állóhullámok.
1lim02
02
22
ZZ
ZZZ
Z
hjZ
Uee
Z
UhI
hUeeUhU
hjhj
hjhj
sin21
cos21
0
2
0
2
22
Euler formula: j
eex
jxjx
2sin
2cos
jxjx eex
Rövidre zárt lezárás
Szintén állóhullámok alakulnak ki.
1lim002
02
02
2
ZZ
ZZZ
Z
hZ
Uee
Z
UhI
hjUeeUhU
hjhj
hjhj
cos21
sin21
0
2
0
2
22
41. Ismertesse a tetszőleges impedanciával lezárt ideális távvezeték feszültség-
és áramviszonyait, valamint az állóhullám-haladóhullám felbontást! Mi az
energetikai tartalma a reaktanciával lezárt ideális távvezetéken kialakuló
hullámképnek?
Tetszőleges lezárás esetén, ideális esetben j :
jXRZ 2
jeZjXR
ZjXR
0
0 10
Ezt behelyettesítve:
hjjhj eeeUhU 2
2/ 2/ 2/
2
hjhjj eeeUhU /kiemeltünk 2
j
e
Kivonunk, majd hozzáadunk 2/ hje -t:
2/h cos2
2/ 2/
1
2/ 2/ 2/
2
2/
hjhj
e
hjhjj eeeeeUhU
hj
állóhullám
j
hullámhaladóiránybapozitív
hj heUeUhU 2/cos21 2/
2
2
A vezetéken kialakuló hullámot egy pozitív irányba haladó és egy állóhullám összegeként írja fel.
Áram esetén hasonló módon járunk el:
2/ 2/ 2/
2
hjhjj eeeIhI
2/h cos2
2/ 2/
1
2/ 2/ 2/
2
2/
hjhj
e
hjhjj eeeeeIhI
hj
állóhullám
j
hullámhaladóiránybapozitív
hj eIeIhI 2/h cos21 2/
2
2
Reaktanciával való lezárás azt jelenti, hogy a vezeték vége olyan kétpólussal van lezárva, amely nem
vesz fel hatásos teljesítményt.
42. Hogyan határozhatók meg a feszültségamplitudó minimum- es
maximumhelyei a távvezeték menten, a lezárás ismeretében?
A lezárás és a hullámimpedancia ismeretében számolható a reflexiós tényező, így induljunk ki ebből a
kifejezésből:
állóhullám
j
hullámhaladóiránybapozitív
hj heUeUhU 2/cos21 2/
2
2
A fenti egyenlet a vezetéken kialakuló hullámot egy pozitív irányba haladó és egy állóhullám összegét
írja le. Az állóhullám következtében az amplitúdó a vezeték mentén változik, maximuma az
állóhullám legnagyobb kitérésénél, minimuma az állóhullám csomópontjánál lesz:
2min
2max
1
1
UU
UU
A feszültség abszolút értéke maximumánál az áram abszolút értéke minimális és fordítva.
43. Definiálja az állóhullámarányt, és ismertesse számítását! Hogyan
használható ez a mennyiség nagyfrekvenciás impedancia-mérésre?
Az állóhullám-intenzitás mértékét a tápvonal
mentén mérhető maximális és minimális
feszültség hányadosaként definiáljuk, és
állóhullámaránynak nevezzük. Jele az angol
„voltage standing wave ratio” kezdőbetűiből
VSWR vagy .
1
1
min
max
U
UVSWR
A feszültség abszolút értéke maximumánál az áram abszolút értéke minimális és fordítva, és ezeken a
helyeken az áram és a feszültség fázisban vannak. Ezért kimondhatjuk, hogy ideális vezetéken a
maximális és minimális abszolút értékű impedancia egyúttal tiszta valós, és az állóhullámaránnyal a
következőképpen fejezhető ki. A két impedancia helyének távolsága éppen negyedhullám hosszúságú.
VSWRZZ 0max
VSWR
ZZ 0
min
44. Ismertesse a távvezeték kétkapuként történő leírását, a láncparamétereket,
valamint a T- es Π- helyettesítőképeket! Tekinthetők-e ez utóbbiak koncentrált
paraméterű hálózati megvalósításnak?
A távvezeték legkézenfekvőbb alkalmazása a feszültség-, az áram- és a teljesítmény-átvitel. A
távvezeték ekkor kétkapuként írható le, többnyire a generátort a fogyasztóval összekötő kétkapuként
használjuk:
A láncparaméterek:
2
2
1
1
I
UA
I
U
Induljunk ki ebből:
hh
hh
eZ
Ue
Z
UhI
eUeUhU
0
1
0
1
11
Legyen: U2 = U(h=l) és I2 = I(h=l), ekkor:
1U és
1U kifejezhető:
l
l
eIZUU
eIZUU
2021
2021
2
1
2
1
A vezeték elején fellépő 111 UUU feszültség és
0
1
0
1
1Z
U
Z
UI
áram kifejezése ezek
felhasználásával:
2
0
21
2021
22
22
IZ
eeU
eeI
Iee
ZUee
U
llll
llll
Euler formula: lchee ll
2
lshee ll
2
Felhasználva az Euler-formulát, megkapjuk a láncparamétereket:
2
2
1
0
0
1
1
I
U
lchlshZ
lshZlch
I
U
2
2
1
0
0
1
1
cossin
sin cos
I
U
lljZ
ljZl
I
U
Ideális távvezetékre
T-tag:
π-tag:
45. Ismertesse a bemeneti impedancia fogalmat es számítási módját! Hogyan
használható ez a mennyiség illesztési feladat megoldására?
A bemeneti impedancia: Egy négypóluson mérhető impedancia a szekunder oldal valamely lezárás
esetén. A primer oldali feszültség és áram hányadosával számolható.
A lánckarkterisztika segítségével kifejezhető a
bemeneti impedancia:
lshZlchZ
lshZlchZZ
I
UZB
20
020
1
1
Ideális távvezetékre
ljtgZZ
ljtgZZZZB
20
020
Illesztési feladatoknál ezt úgy kell használni,
hogy reflexiómentes legyen az illesztés.
Azaz a második vezeték bemeneti
impedanciája megegyezzen az első
hullámimpedanciájával.
BZZ 201
46. Írja fel a homogén hullámegyenletet az elektromos, illetve a mágneses
térerősségre!
Ha az adott közeg a közeg homogén és lineáris ( ,, :állandó):
HB
ED EJ
A gerjesztési törvényből, illetve Faraday indukciós törvényéből indulunk ki.
A homogén hullám egyenlet E-re:
[1] (M.I.): t
EErot
H
[2] (M.II.): t
Hrot
E
..
E
IM
Hrottt
Hrotrotrot
2
2
E t
E
t
E
t
EE
trotrot
EEgradrotrot
DdivIVM
0 ..
0
E div E
0 2
2
t
E
t
EE
Az homohén hullámegyenlet H-re:
M.II.
H
Erot
tt
ErotErotrotrot
2
2
H t
H
t
H
t
H
trotrot
HHgradrotrot
BdivIIIM
0 ..
0
H div H
0 2
2
t
H
t
HH
47. Értelmezze a térerősség-vektor komplex amplitúdójának fogalmát (szinuszos
állandósult állapot), és írja fel az elektromágneses hullámok Helmholtz-
egyenletét az elektromos térerősségre vonatkozóan!
Tiszta szinuszos időbeli változás esetén komplex számítási technikával dolgozunk. A
hálózatelméletből ismert módon a szinuszos jeleket komplex amplitúdójú, exponenciális függvények
valós részeként értelmezzük:
tj
tj
erHtrH
erEtrE
~ Re,
~ Re,
Ahol a szinuszos gerjesztés körfrekvenciája, rE~
és rH~
pedig a komplex amplitúdókat jelöli. Az
elektromágneses jelenségek tárgyalása során mindig a mennyiségek komplex amplitúdójával
dolgozunk, ezért ezt általában nem jelöljük külön. Szinuszos időbeli változás esetén a fent említett,
helyfüggő, komplex amplitúdó vektorok meghatározása a célunk
EM hullámok Helmholtz-egyenlete
Legyen a közeg térrészenként homogén, lineáris és izotrop. Olyan térrészek vizsgálatára
szorítkozunk, ahol a töltéssűrűség nulla és Eb beiktatott térerősség nincs.
Mivel komplex frekvenciatartományban számolunk, az idő szerinti deriválás, pedig egy j -
val való szorzásként értelmezhető. Ekkor a Maxwell egyenletek a következő formát öltik:
M.I.: EjHrot
M.II.: HjErot
M.III.: 0H div
M.IV.: 0E div
A M.II.-ből kifejezve hát helyettesítsük a M.I. egyenletbe:
EjErotj
rotErotj
H
1
1
[1] EjErotrotj
1
[2] EEgradrotrot
DdivIVM
0 ..
0
E div E
Az [1] –es és a [2] –es egyenletekből adódik, hogy:
0 EjjE
Bevezetve a jj terjedési együtthatót, megkapjuk az elektromágneses hullámok
Helmholtz-egyenletét, amit hívnak időtől független hullámegyenletnek is:
02 EE
rH ugyancsak kielégíti a Helmholtz egyenletet:
02 HH
48. Definiálja a síkhullám fogalmát, es írja fel a síkhullám egydimenziós
Helmholtz-egyenletet! Mit jelent a TEM-tipusú hullámterjedés?
Síkhullámnak nevezzük azt a hullámfajtát, amikor az azonos fázisú helyek egy vonalon vannak.
A síkhullám egydimenziós Helmholtz- egyenlete:
Az előző fejezetben láttuk, hogy a Maxwell egyenletek a következő összefüggésekhez vezettek, itt
ideális szigetelőben, azaz töltések és áramok nélkül. ( 0 , ezért 0/ tE és
0/ tH )
0 2
2
t
EE
0 2
2
t
HH
Ezek az egyenletek homogén hullámegyenletek. A legegyszerűbb megoldás keresésénél tételezzük fel,
hogy az x koordináta-tengely irányában terjed a hullám 22 / x . Ekkor a fenti egyenletek az
alábbi egyenletekbe mennek át:
2
2
2
2
t
E
x
E ii
2
2
2
2
t
H
x
H ii
ahol zyxi ,,
A megoldás csak az x koordinátától, a terjedés irányától függ. Az arra merőleges síkban tehát a
térerősség értéke azonos. Ezért a hullámegyenlet ezen megoldását síkhullámnak nevezzük.
A TEM típusú hullámterjedés: Transzverzális elektromágneses hullám. Vagyis mind az E mind pedig
a H merőleges a terjedés irányára.
49. Ismertesse, hogy miben áll a síkhullám-távvezeték analógia, es meddig
terjed az érvényességi köre, azaz mikor nem alkalmazható!
Az analógia alapja a Helmholtz egyenletek általános megoldása, ami távvezetékek esetén:
zz eUeUzU 11)(
zz eIeIzI 11)(
Síkhullámok esetén pedig:
x
zz eeEeEzE 11)(
y
zz eeHeHzH 11)(
Ha E és H merőleges a terjedés irányára, és z = állandó síkban helyfüggetlenek:
Az analógia addig használható, amíg lineárisan polarizált síkhullám merőlegesen esik be egy
közeghatárra. Ha a síkhullám tartományonként homogén közegben terjed, és a közeghatárok a
hullámfrontokkal párhuzamos síkok, akkor a távvezetékeknél látott módon definiálhatók a reflexiós
tényező, bemeneti impedancia, állóhullámarány, stb. mennyiségek a síkhullámok esetére is.
Távvezeték L C R G U I 0Z
Síkhullám xE yH 0Z
A z-tengely menti terjedés esetén.
50. Ismertesse a síkhullám viselkedését ideális szigetelőben! Térjen ki a
hullámparaméterek, a fázissebesség és a hullámhossz számítására!
A Helmholtz egyenletek megoldása alapján:
x
zz eeEeEzE 11)(
y
zz eeHeHzH 11)(
A hullámparaméterek megadásakor figyelembe
vesszük, hogy ideális szigetelőben való
viselkedéskor 0 , ezért a terjedési
együttható tisztán képzetes.
vjjj
Az elektromos és mágneses térerősség között,
a közegre jellemző 0Z hullámimpedancia
teremt kapcsolatot.
H
E
H
EZ0
Általános esetben:
0Z
Vákuumban:
3771200
00
Z
Fázissebesség:
1fv
Vákuumban:
cv
Hullámhossz:
f
v f
Csőben mért hullámhossz:
2
51. Ismertesse, hogy miként terjed az energia a síkhullámban! Vezesse be és
értelmezze a komplex Poynting-vektort!
Az elektromágneses hullám energiát szállít. A Poynting-vektor a térben szállított energia fluxus
sűrűségét és irányát határozza meg.
HES
2m
W
m
A
m
V
Amint mértékegysége is jelzi, a vektor az irányára merőleges felületegységen időegység alatt áthaladó
energia. Tegyük fel, hogy nincs csillapítás ( 0 ), negatív irányba haladó hullám ( 0E ),
valamint hogy a hullám lineárisan polarizált, ekkor:
zj
x eEzE
ahol jeEE
zj
y eHzH ahol jj eZEeHH
0/
Valamely A felületen keresztül kisugárzott P hatásos és Q meddő teljesítmény megadható a
A
AdSjQP
alakban, ahol a S a komplex Poynting-vektor, amelyet az
*
2
1
HES
összefüggés definiál.(a * jel a komplex konjugálást jelöli) Ebben a kifejezésben a térerősségek
komplex amplitúdói szerepelnek. Az zje -k illetve az
je-k a konjugálás miatt kiesnek, így marad:
zeHES
2
1
Ahol E és
H a komplex amplitúdók abszolútértékei.
52. Ismertesse a síkhullám viselkedését vezető anyagban! Térjen ki a
hullámparaméterek számítására, valamint a behatolási mélység fogalmára!
Hogyan alkalmazható ez a jelenség nagyfrekvenciás terek árnyékolására?
A véges vezetőképességű közegben a hullámegyenlet tartalmazni fogja a veszteséget reprezentáló,
vezetőképességgel felírt tagot.
xtjxeeEtxE 0,
Jó vezetőknek olyan közeget nevezünk, ahol a vezetési áram sok nagyságrenddel nagyobb az eltolási
áramnál, ezért feltesszük, hogy: j Ezt hívjuk kvázistacionárius közelítésnek.
Hullámparaméterek
Ebben az esetben a terjedési együtthatónak valós része is lesz, így a hullámok csillapítva haladnak:
2
12
1 j
jjjjj
j
1
Ahol a behatolási mélység (szkinmélység):
mm
2
Adott két végtelen féltér, az egyikben levegő van, míg a másikat jó vezetőképességű anyag tölt ki. A
vezető féltér felületére merőlegesen síkhullám esik be. A veszteség számítása során a végtelen vezető
féltér formálisan úgy kezelhető, mintha a felső vastagságú rétegben egyenletesen oszlana el a teljes
I áramerősség, a mélyebb rétegekben pedig nem folyna áram.
(innen az elnevezés skin = bőr hatás).
0Z hullámimpedancia:
2
10
jj
j
j
H
E
H
EZ
j
jZ
10
Nagyfrekvenciás terek árnyékolására:
A lényeg, itt hogy a töltéseknek nincs idejük elmozdulni a vezető belsejében olyan mértékben, ami
töltésszétválasztást okozna. Minél nagyobb a frekvencia, a vezetésben részt vevő keresztmetszet annál
inkább csökken. (A vezető keresztmetszet csökkenése miatt a vezeték nagyfrekvencián tanúsított
ellenállása megnövekszik.)
53. Ismertesse az áramkiszorítás jelenségét, a váltakozó áramú ellenállás
fogalmát es közelítő számítását hengeres vezetőre!
Váltakozó áramú ellenállás: Váltakozó áram esetén, nagy frekvencián, a töltéseknek nincs idejük
rendeződni, ezért az áramsűrűség a vezető felületétől a belseje felé nézve nem egyenletesen oszlik el.
A vezető felületén (bőrénskin) nagyobb az áramsűrűség, míg befelé exponenciálisan csökken. Ha
egy hasáb vastagsága a behatolási mélységhez képest kellően nagy 5d , akkor váltakozó áramú
rezisztenciája számolható egy vastagságú hasáb ellenállásaként.
Hengeres vezető váltakozó áramú ellenállása:
Adott egy hosszú egyenes r sugarú, l hosszúságú hengeres vezető, melyben I amplitúdójú f
frekvenciájú váltakozó áram folyik. A gerjesztési törvény alapján a vezető felszínén a mágneses
térerősség:
r
IH
2
Ha a behatolási mélység a sugárnál jóval kisebb: 5r akkor a felszínhez közel kialakuló
elektromos tér lokálisan síkhullámmal közelíthető.
HZEz 0
Ahol a kvázistacionárius közelítéssel
jZ 0
A vezető l hosszúságú szakaszának R ellenállása számítható a Poynting-vektror segítségével, a hatásos
teljesítmény felhasználásával:
rzzz eHEeHeEHES ***
2
1
2
1
2
1
rr er
IjS
2
22
1
rA
SrlAdSjQP 2
j
r
lI
r
Ijrl
2222
12
22
jr
lI
r
lIjj
r
lI
1
22222
1
22
222
r
lIR
IP
222
22
r
lR
2
54. Ismertesse a polarizáció fogalmát síkhullámra vonatkozóan! Alkalmazható-e
itt a távvezeték analógia?
Adott két síkhullám mely azonos irányba terjed. Kérdés, hogy milyen pályán mozog az eredő.
tEztE
tEztE
yy
xx
cos0,]2[
cos0,]1[
0
0
Az eredő:
yyxx eEeEE
Innen le lehet vezetni, hogy általános esetre egy ellipszis egyenletét kapjuk:
2
00
1sincos]1[
x
x
x
x
E
Et
E
Et
sinsincoscoscos]2[0
tttE
E
y
y
A felsőt az alsóba átírva:
sin1cos
2
000
x
x
x
x
y
y
E
E
E
E
E
E
sin1cos
2
000
x
x
x
x
y
y
E
E
E
E
E
E
Négyzetre emelve a két oldalt:
2
2
0
2
000
2
0
sin1coscos2
x
x
x
x
y
y
x
x
y
y
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
Innen az ellipszis egyenlete:
2
002
0
2
2
0
2
sincos2 y
y
x
x
y
y
x
x
E
E
E
E
E
E
E
E
Elliptikusan poláros
Két, egymáshoz képest fázisban eltolt, azaz azonos irányban haladó szinuszos síkhullám eredője olyan
hullám, amelyben E forog és hossza is változik: végpontja egy elliptikus csavarvonalat ír le.
yx EE
00 yx EE
90
12
0
2
2
0
2
y
y
x
x
E
E
E
E
Cirkulárisan poláros
A forgó elektromos vektor a hosszát nem változtatja. Ekkor végpontja a terjedés során állandó sugarú
(cirkuláris) csavarvonalat ír le.
yx EE
00 yx EE
90 2
0
22EEE yx
Lineárisan poláros
yx EE 00 yx EE
0 0
00
y
y
x
x
E
E
E
E
A távvezeték analógia
Addig alkalmazható, amíg a síkhullám lineárisan polarizált, és merőlegesen esik be egy közeghatárra.
(részletesebben: Fodor könyv 239. oldal)
55. Ismertesse a síkhullám viselkedését anyaghatáron, különös tekintettel a
merőleges beesésre. Alkalmazható-e itt a távvezeték analógia?
Ferde beesés esetén a hullám felbontható egy a határfelületre merőlegesen haladó és egy azzal
párhuzamosan haladó hullámra. A folytonossági feltételek miatt, a felülettel párhuzamosan haladó
komponens fázissebessége azonos a két közegben. Ennek közvetlen következménye a törési törvény:
1
2
2
1
sin
sin
n
n
Merőleges beesés esetén a síkhullám visszaverődése és behatolása a távvezetékmodell és az
impedancia alkalmazásával tárgyalható.
Akkor nem lesz az első közegben reflektált hullám, ha a reflexiós tényező zérus. Ennek a feltétele,
hogy a bemeneti impedancia (az első közeg felöl a második közeg felé) megegyezzen az első közeg
hullámimpedanciájával.
Távvezeték analógia:
Ha különböző tulajdonságú térrészeket elválasztó felületek, merőlegesek a terjedés irányára, akkor E
és H párhuzamosak az elválasztó síkkal, ezért a tangenciális komponensek folytonossága és a
távvezetékmodell folytonossági feltételei megfeleltethetők egymásnak.
56. Ismertesse a Hertz-dipólus fogalmat valamint elektromos és mágneses
tereknek fő jellemzőit! Mit jelent a közeltér es a távoltér?
A Hertz-dipólus rövid, l hosszúságú vezetékdarab, amelyen tiszta szinuszos időfüggésű áram folyik
tIti sin , amelynek értéke a vezeték hossza mentén állandó. Ez akkor lehetséges, ha vezeték
hossza sokkal kisebb az adott frekvenciához tartozó szabadtéri hullámhossznál l . Az
elrendezést érdemes gömbi koordinátarendszerben tárgyalni. Helyezzük a dipólust a koordináta-
rendszer origójába úgy, hogy az antenna tengelye a elevációs szög irányába mutasson. Az
elrendezés forgásszimmetrikus, azaz a koordinátától nem függ egyik térjellemző sem.
A tér három részre osztható aszerint, hogy az
elektromos és mágneses térerősség milyen
gyorsan tűnik el r növekedésével. Az 3/1 r és
2/1 r szerint eltűnő ún. sztatikus és indukciós
térnek gyakorlati jelentősége nincs, mivel
hatásos teljesítményt nem szállít. Ezzel
szemben az r/1 szerint eltűnő távoltér hatásos
teljesítményt szállít. A távoltérben az
elektromos térerősségnek csak irányú, a
mágneses térerősségnek csak irányú
rendezője van:
rj
rj
er
lIrH
er
lIZrE
sin
2,
sin
2, 0
Ahol /2 a fázisegyüttható, a fc / hullámhosszt pedig a gerjesztő áram frekvenciája
határozza meg. Látható, hogy E és H merőlegesek egymásra a távoltérben, és azonos fázisban vannak
minden r esetén.
Hertz-dipólus jelentősége abban áll, hogy vékony vezetékből kialakított antenna kis szakasza
helyettesíthető vele. Az egész antenna elektromágneses tere a dipólusok terének szuperpozíciója.
57. Ismertesse a Hertz-dipólus távolterének jellemzőit! Térjen ki a
teljesítményáramlásra is!
Három legfontosabb tulajdonsága:
- Az elektromos és mágneses tér merőleges egymásra és a haladás irányára.
- A térerősségvektorok között valós hányados a hullámellenállás.
- A térerősségvektorok r/1 -el arányosak.
A távoltér hatásos teljesítményt szállít. A
távoltérben az elektromos térerősségnek csak
irányú, a mágneses térerősségnek csak
irányú rendezője van.
rj
rj
er
lIrH
er
lIZrE
sin
2,
sin
2, 0
Ahol /2 a fázisegyüttható, a fc / hullámhosszt pedig a gerjesztő áram frekvenciája
határozza meg. Látható, hogy E és H merőlegesek egymásra a távoltérben, és azonos fázisban vannak
minden r esetén. A Poynting-vektor kifejezése alapján az antenna távolterében az energiasűrűség:
2
2
0
222
0
0 sin
8
sin
22
1,
rZ
lIe
r
lIrS r
10 eee rjrj
Ha integráljuk a Poynting vektort a dipólust körülvevő zárt felületre, megkapjuk az antenna által
elsugárzott P teljesítményt. Feltéve hogy az antenna veszteségmentes, P kifejezhető az I áramerősség
és az SR sugárzási ellenállás segítségével:
2
22 802
1,
lRRIdArSP SS
A
58. Ismertesse az alapvető antennajellemzőket (iránykarakterisztika, sugárzási
ellenállás, irányhatás, antennanyereség, hatásos felület), es adja meg ezek
értekét a Hertz-dipólusra!
Iránykarakterisztika: Más néven sugárzási karakterisztika. Az olyan pontszerű (valóságban nem
létező) antennát, amely minden irányban egyforma intenzitással sugároz (a köré rajzolt gömbfelület
minden pontján azonos térerősséget hoz létre), izotrop antennának nevezik.
A valóságos antennák azonban anizotrop
jellegűek, azaz a köréjük rajzolt gömbfelület
különböző részein különböző térerősséget
létesítenek. Az antenna sugárzási
karakterisztikája mutatja meg, hogy az antenna
milyen irányban mekkora intenzitással
sugároz. A sugárzási karakterisztikát két
egymásra merőleges (pl. vízszintes és
függőleges) síkban adják meg; a
karakterisztika az adott síkban egyenlő
térerősségű pontokat összekötő görbe.
A hertz dipólus egy „fánk” formájában
sugároz, aminek a keresztmetszete:
Sugárzási ellenállás SR : A teljesítményt szolgáltató generátor számára az antenna a sugárzási
ellenállással megegyező ellenállásnak látszik. A generátor nem „észleli” hogy a teljesítmény nem
disszipálódik, hanem a szabad térbe távozik.
2
280
l
RS
Irányhatás D : Az antenna erőterére jellemző mennyiség, amit a Poynting-vektor maximális és
átlagos nagyságának hányadosaként definiálunk.
2
max,
,
max,
4/ rP
S
S
SD
T
r
átlagr
r
A Hertz-dipólusra:
A kisugárzott maximális teljesítmény az iránykarakterisztikából láthatóan 90 van.
Ahol ugyanis 1sin 2
2
2
2
2
22
max,
115
1120
8 r
lI
r
lIS r
A kisugárzott átlagos teljesítmény pedig:
2
2
2
2
2
22
2,
110
4
802
1
4 r
lI
r
lI
r
PS T
átlagr
5,1D
Antennanyereség: RG Ez abban különbözik az irányhatástól, hogy nem a kisugárzott, hanem az
antennába betáplált teljesítmény szerepel a hányadosba:
2
max,
4/ rP
SG
R
r
R
A betáplált teljesítmény a kisugárzott teljesítményen kívül az antenna veszteségeit is tartalmazza. Jó
vezetőképességű anyagból készült antennák esetén a nyereség és az irányhatás gyakorlatilag
megegyezik.
Hatásos felület: RA Definíciószerűen a vevőantánnából kivehető maximális hatásos teljesítménynek
és a beeső teljesítménysűrűségnek a hányadosa:
S
PA v
R
A reciprocitás tételével bizonyítható, hogy egy antenna nyeresége és hatásos felülete között az alábbi
összefüggés áll fenn:
2
4
R
R
A
G
59. Ismertesse az antennákra vonatkozó átviteli egyenletet, és értelmezze annak
összetevőit!
Az adó-vevő teljesítmény átvitel meghatározható. Legyen az adó és a vevő távolsága r, az adó által
kisugárzott teljesítmény TP , az illesztett vevő terhelő impedanciáján fellépő teljesítmény RP , az adó
irányhatása TG , a vevőantenna hatásos felülete RA . Feltételezzük, hogy a vevőantenna a maximális
sugárzás irányában áll és párhuzamos a távoltéri villamos térrel. ekkor:
444
2
22
2
2
0
RRRTTR
S
T
T
R GAGGr
PAGr
PP