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Teorias Microscópicas para a Supercondutividade
Raimundo Rocha dos Santos
http://www.if.ufrj.br/~rrds/rrds.html
Apoio:
Este mini-curso pode ser obtido do site
seguindo o link em “Seminários, Mini-cursos, etc.”
V Escola Brasileira de Supercondutividade
Recife, 10 a 14 de dezembro de 2001
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Esquema do mini-cursoI. Supercondutividade convencional: vínculos
experimentaisII. Condução em MetaisIII. Interação elétron-elétronIV. Teoria BCSV. Supercondutores de alta temperaturaVI. Conclusões
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I. Supercondutividade convencional: vínculos experimentais
Metal normal
1. Resistência nula
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2. Efeito Meissner
Campo magnético não entra na amostra: B = 0 no interior de um supercondutor
correntes superficiais apa-recem de modo a gerar um campo que se oponha ao campo aplicado
[SUC não é condutor perfeito,dentro do qual B/t = 0]
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Levitação magnética
Aplicações tecnológicas no dia-a-dia
Outras aplicações: • geração de campos uniformes intensos (ressonância);• deteção de campos fracos (SQUID); etc.
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T (°C)0
gelo
-250-269
4He
-200
N2
SUC’s convencionais
-150
SUC’s de alta temperatura
$
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3. Existência de um campo crítico
para uma dada T, a amostra só é SUC abaixo de um campo crítico
Hc [
G]
Tipo I
T [K]
Hc2
[kG
]
T [K]
Tipo II
Existe também uma densidade crítica de corrente: Jc
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log 10
Tc
log10 M
= 0.504
4. Efeito isotópico
MTc
[M é a massa média dos isótopos utilizados como íons da rede; Reynolds et al., (1951)]
ions participam ativamente fônons desempenham papel importante no mecanismo da supercondutividade
Hg
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5. Calor Específico
C/T
[m
J/(m
ol K
)]
T 2 [K2] Tc/T
C/T
[m
J/(m
ol K
)]
CS/T
CS/T exp[-1.39Tc/T]
Cs exponencial a baixas temperaturas
gap no espectro
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Ex: Preenchendo os “níveis de energia de uma partícula” com 10 férmions
2/L 4/L-2/L-4/L
F
II. Condução em Metais• Elétrons são férmions Pauli: dois férmions não podem ter conjuntos idênticos de números quânticos• Gás de férmions [livres e independentes (k,) definem estados]: E k2
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momento
ener
gia
momento
ener
gia
00 jki
i 00 jki
i
Elétron só é espalhado ( resistência) pq há estados finais disponíveis
dens. de corrente
Considere cargas negativas em um potencial periódico
E
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Como evitar dissipação: Suprimir, através de algum mecanismo, estados acessíveis na faixa de energia próxima ao nível de Fermi
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III. Interação elétron-elétron
elétron
íon
A interação Coulombiana entre um par qualquer de elétrons é blindada pelos demais elétrons e pelos íons
constante dielétrica
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22
2
20
2
2
2
2
2
2
)q(
)q(1
444
kq
e
q
e
q
e
Interação elétron-elétron efetiva: Vkk’
q
k k’
k’+ qk - q 'kk
Dependência de Vkk’ com retardamento devido ao fato de que velast << vF
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22
2
20
2
2
'kk)q(
)q(1
4 g
kq
eV
• (q) D e k F 102-103 hD
interação via fônons só afeta elétrons com energias muito próximas
• Se D
interação via fônons é maior em módulo: Vkk’ < 0 interação efetiva é atrativa
Frölich (1951) - Teoria de Perturbação: cte. de aco-plamento e-f
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Então, se a interação entre elétrons pode, sob certas circunstâncias, ser atrativa, deve-se esperar que o espectro perto de F sofra mudanças cruciais.
• O problema de Cooper• O estado fundamental BCS• Teoria BCS a temperatura finita
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IV. A Teoria de Bardeen, Cooper e Schrieffer
1. O problema de Cooper (1956)
F
Dois elétrons interagindo atrativamente em presença de ummar de Fermi preenchido podem formar um estado ligado?
Sim, com energia de ligação dada por
)(1exp2
FD vDE
intensidade da interação e-e
Densidade de estados no nível de Fermi
(detalhes na 2a. e 3a. aulas)
(|k|) parte orbital simétrica parte de spin anti-simétrica par num estado singlete: S = 0
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2. O estado fundamental BCS (1957)
Elétrons, com energias próximas, interagindo atrativamenteaos pares:
casos outros em
e se
0
'kk'kk
DDvV
q
k k’
k’+ qk - q Momento do CM do par se conserva: K = k + k’ = (k – q) + (k’+ q)
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Aproximação: superfície de Fermi esférica
Para que dois elétrons interajam, eles devem ter energia dentro de uma casca com a energia de Debye; que valor de K otimiza os efeitos da interação?
kF
K
Para superfícies de Fermi esféricas, o maior número de estados envolvidos ocorre quando K = 0
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'k'k,k
k'kkkk
k)k( bbVcc
H
termo livre (banda)
kkk ccb
A Hamiltoniana BCS:
Solução variacional:
k 2k
kk 01
1
g
bg
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Interlúdio: Densidade de estados quânticos
d = 1
d = 2
d = 3
12)(
d
EED
D
E
dEEDdN )(# de estadosno intervalo dE densidade de estados
com energia E
N.B.: gás de eletrons!
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Densidades de estados (eletrons quase-livres ou tight-binding)
MetalIsolante ouSemicondutor
As somas em k podem ser expressas em integrais sobre energias:
)(2 )k(
k
DdkdL d
d
d
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A equação do gap (detalhes na 2a. e 3a. aulas):
2k
2k
'k 'k
'k'kk
0k )k(
2
1
E
EV
V com ,
)()k(k T
dkk
dkk
s
xyyx
yxyx
- onda
- onda
-onda
sensen
coscos
1
)k( 22
SUC’sconvencionais
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A equação do gap fornece, então,
)(1exp)(1senh2 FD
F
D vDvD
onde supusemos acoplamento fraco: vD(F) << 1
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é o gap de energia para as excitações elementares, e Ek éa energia das quase-partículas
Ek / F
k/kF
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Noção elementar de quase-partículas (c.f. superfluidez em 4He):
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2
Gás de e `s
Estados ocupados
Estados desocupados
F
+ interação atrativa
A modificação no espectro pode ser esquematizada da seguinteforma:
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ener
gia
momento
ener
gia
momento
Condução por pares (cada par tem KCM=k1+k2):
todos têm KCM = 0
Para um par “sentir” a impureza teria que ser quebrado:
KCM KCM dos demais pares alto custo energético (gap!)
Ao formarem pares, os elétrons “se vacinam” contra as fontes de resistência
E
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3. Teoria BCS a temperatura finita
'k
'k,k
k'kk0
k
k
k1
)k( bbVV
cc
H
Aproximação de Campo Médio:
'kk'kk'kk'kk bbbbbbbb
Definição do gap:
'k
'k'kk0
k )k(1
)( bVV
T
=1 em BCS (s )
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Interlúdio: Ordem de longo alcance não-diagonal, função de onda macroscópica, e classe de Universalidade
• Em geral, são nulos os valores esperados de operadores de criação e de destruição, mas não em SUC ou SUF
ordem de longo alcance não-diagonal• Analogia das super-correntes com movimento não-dissipativo de elétrons em átomos
função de onda macroscópica: (r) = 0 ei(r)
transf de Fourier: (k) = k/2Ek (parâmetro de ordem)
• Função de onda complexa: 2 números classe de universalidade do modelo-XY
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que fornece a equação do gap a T finita:
Solução auto-consistente + Transf de Bogoliubov (detalhesnas aulas da tarde):
2k
2k
k
k
kk )k(,
2tanh
2
E
E
Eb com
'k
'k
'k
'k'kk
0k 2
tanh2
1)(
E
EV
VT
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( T
)(0
)T/Tc
A equação do gap éresolvida para (T ),e, para 0, obtém-se Tc
)(1exp567.0 FDcB vDTk
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52.3)0(2
cBTkusada para comparar com obtido em exp’s de tunelamento
Discrepâncias nesta razão e no efeito isotópico atribuídasà simplicidade da interação elétron-fonon utilizada (p.ex.,troca de um fônon apenas)
deve-se ir além; p.ex., a teoria de acoplamento forte de Eliashberg (os graus de liberdade fonônicos são mantidos, ao invés de eliminados para construir interação efetiva entre os elétrons)
A teoria BCS era “a teoria” microscópica da SUC até 1986, quando o primeiro supercondutor de alta Tc (30 K) foi descoberto por Bednorz e Müller. Ainda OK para carbetos de Boro (coexistência SUC+MAG) e para MgB2 (acoplamento forte: Eliashberg)
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O diagrama de fases:
V. Supercondutores de Alta Temperatura
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Diferenças fundamentais entre os SUC’s:
alta Tc (fonons: Tc < 30 K)
estado normal metálico ou isolante (dep de x)
proximidade de uma fase magnética
• tempo de vida das quase-partículas depende fortemente da temperatura
• estado dos pares é predominantemente do tipo onda-d• pequenos comprimentos de coerência [ 12 Å], quando comparados com os convencionais [ 500 Å]
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• gap para excitações de spin abre-se acima de Tc
T*
Tc
Taxa de relaxação spin-rede, 1/TT1, mede resp. mag. local qa << 1; Knight shift mede qa ~ 1.Decréscimo de ambas quandoT ligado à abertura de um gap no espectro de excitaçõesde spin
• Resistividade linear com T em intervalo apreciável não-líquido de Fermi??
Ť
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Esta dependência, T, com 2 e dependendo da dopagemfoi observada em outras amostras
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TTc0 T*
HTCS
TTc0
conv e R = 0
R = 0
Todas estas diferenças apontam para um mecanismo não-fonônico: magnético
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Estrutura cristalina:
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Cálculos de bandas: caso não-dopado (x = 0):
Metal ????
Incluindo correlação, ocomportamento isolante(correto!) é obtido
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Ordenamento antiferromagnético: planos de CuO2
Cu
O
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Descrição simplificada do isolante antiferromagnético dopado
Favorece o salto do buraco entre sítios
Repulsão Coulombiana: a energia total aumenta se 2 e’s ocuparem o mesmo orbital termo de correlação(Modelo de Hubbard)
iii
ji
ji nnUcctH
,,
H.c.
sítios de Cu
transfere buraco do sitio j para i
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S/ dopagem: energia é minimizada se colocarmos 1 buraco por sítio
os buracos tendem a ficar localizados nos sítios sistema é um isolante (Mott)(para qq valor da repulsão Coulombiana)
C/ dopagem: buracos adicionais são “compartilhados”, diminuindo o momento local a tendência à ordem é enfraquecida
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O que o modelo simplificado prevê (2 dimensões)?
Teoria de Campo Médio (teoria de 1 partícula)
Simulações de Monte Carlo
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Este exemplo ilustra que a dimensão, d, do sistema desempenha um papel crucial:
d desvios do comportamento médio (flutuações)
Teorias de Campo Médio podem prever comportamentos pouco realistas em d = 1 ou 2
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Comportamento magnético razoavelmente bem explicado pelo modelo simplificado:dopagem tende a destruir ordem AFM
E como explicar a fase AFM se estender a uma dopagem não-
nula?multi-orbitais, 3a. dimensão, etc
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Vejamos agora a fase “SG”:
Inicialmente pensou-se tratar de uma fase de vidro de spin [spin-glass], mas estudos experi-mentais e teóricos recentes sugerem tratar-se de uma fase listrada
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Fase listrada melhor observada num “primo” dos supercondutores
novo ingrediente:ordenamento direcional dosorbitais d do Mn
Formação de CDW [onda de densidadede carga]
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Acredita-se que nos HTCS haja um equilíbrio entre o ordenamento de spin (AFM, nao SDW) e o ordenamento de cargas (tipo CDW) ao longo de uma direção ( na Fig.):
As cargas tendem a se agrupar em regiões de menor ordem AFM
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Ainda não se sabe como modificar o modelo de Hubbard –2D de modo a produzir “stripes”, mas podemos tentar ver se ele pode descrever um estado supercondutor
Simulações de MC para n =0.87, eU = 4: suscetibilidade dependente de q
Pico em q = (,) não diverge, mas fica mais pronun-ciado à medida em que T flutuações antiferromagnéticas de curto alcance
0
q)0()(1
)q(
izi
zi
s
emmdN
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Várias teorias/modelos se baseiam na presença destas flutuações AFM: os elétrons trocariam estas flutuações, de modo análogo à troca de fônons nos SUC’s convencionais.
Partindo do modelo de Hubbard, uma T de Pert para estes processos [Scalapino (1995)] fornece, para q = |k-k’| grandes
)'kk(2
3 2' UVkk pico em (, )
Eq do gap:
2k
2k
'k 'k
'k'kk
0k )k(
2
1
E
EV
V com ,
Se V > 0, tem que apresentar nós onda d
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Tomando a transf de Fourier, a interação efetiva no espaço real fica
Veff
r
interação entre 1os. vizinhos atrativa
01
2
interação on-site repulsiva
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Modelo de Hubbard estendido
jijjii
iii
ji
ji nnnnVnnUcctH,,,
))((
H.c.
(ver resultados em 1D nas transparências)
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Isto nos remete ao modelo de Hubbard atrativo (on-site):
iii
ji
ji nnUcctH
,,
H.c.
{a origem do U < 0 também pode ser atribuída a uma flutuação devalência [Wilson (2001)] }
Tc
TT*
(região de pares pré-formados;gap de spin)
|U|
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VI. Conclusões
• Teoria BCS OK para SUC’s convencionais
• Recentemente: Tc de 40 K em MgB2 e de 55 K em C60 dopados; só e-f é suficiente?
• SUC’s de alta Tc ainda sem teoria microscópica bem estabelecida
• Mecanismo magnético ainda é o mais forte candidato.
1986 + 46 = 2032. Será?