teoriaeel401
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EMBASAMENTO TEÓRICO
Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro
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EEL401
CIRCUITOS TRIFÁSICOS
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CIRCUITOS TRIFÁSICOS
1 Geração de F.E.M.s Senoidais
1.1 Monofásicas
Da física tem-se que, quando um condutor é colocado em um campo magnético, desde
que haja uma variação deste campo no condutor, será induzida no mesmo uma força
eletromotriz - f.e.m. - dada pela equação:
( tEe MÁX ⋅⋅= )ωsen (1)
onde:
ωBSEMÁX =
sendo:
B - Indução ou Densidade de fluxo
S - Área da espira
ω - freqüência angular
Esta situação fica melhor esclarecida através da figura abaixo:
Figura 1 – Geração de f.e.m. senoidal.
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No caso da figura 1 a variação do campo magnético se dá pelo fato do condutor estar
girando embora os pólos indutores (N e S) permaneçam fixos.
Mas no caso de geradores reais, pode ocorrer que o condutor esteja fixo e os pólos
serem girantes, havendo, portanto, como anteriormente, uma variação de campo
magnético sobre o condutor. A figura 2 ilustra:
ω
-+
a a'N S
a a' - representa ocondutor (ou espira)
Figura 2 - Esquemático de um gerador monofásico.
Em realidade no gerador monofásico real não existe um único condutor, mas uma série
deles ligados entre si, de forma que tenhamos dois terminais, o que caracteriza o sistema
monofásico.
1 Trifásicas
As f.e.m.s trifásicas são geradas da mesma forma que as monofásicas. Um sistema
trifásico nada mais é que um conjunto de três sistemas monofásicos que estão defasados
entre si de 120º elétricos (defasagem dos fasores das f.e.m.s); para tanto os condutores
(espiras) estão conectados convenientemente como mostra a figura 3 a seguir.
Pelo sentido de giro dos pólos indutores (NS) na figura 3, teremos que na espira bb’
haverá a indução de f.e.m. cujo valor máximo ocorre 120º após a ocorrência do valor
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máximo da f.e.m. da espira aa' e o valor máximo da f.e.m. da espira cc' ocorrerá 240º
após o da f.e.m. da espira aa', de forma que pode-se escrever:
-
+
aN
S
b'
c
a'b
c'
ω
Figura 3 - Esquemático de um gerador trifásico.
)34sen(
)32sen(
)sen(
'
'
'
πω
πω
ω
−⋅=
−⋅=
⋅=
tEe
tEe
tEe
MÁXcc
MÁXbb
MÁXaa
(2)
ou
)32sen(
)32sen(
)sen(
'
'
'
πω
πω
ω
+⋅=
−⋅=
⋅=
tEe
tEe
tEe
MÁXcc
MÁXbb
MÁXaa
(3)
Nota: Atente-se ao fato de que nos geradores trifásicos reais aa', bb' e cc' são bobinas
constituídas de diversas espiras e que ocupam todo o espaço, diferentemente daquilo
mostrado no modelo da Figura 3.
A partir do conjunto de equações (2) ou (3) pode-se fazer a representação fasorial das
f.e.m.s como a seguir:
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o0'
jaa EeE =
•
120'
jbbE Ee
•−=
o
(4)
240 120'
j jccE Ee Ee
•−= =
o o
onde: 2MAXEE =
2 Seqüência de Fases
O conjunto de equações (2) e (3) são válidas para o indutor (pólos indutores) girando no
sentido indicado na figura 3. Entretanto o mesmo poderia girar em sentido contrário e
então
)32sen(
)32sen(
)sen(
'
'
'
πω
πω
ω
−⋅=
+⋅=
⋅=
tEe
tEe
tEe
MÁXcc
MÁXbb
MÁXaa
o0'
jaa EeE =
• o120'
jbb EeE =
•120
'j
ccE Ee•
−=o
3'2'1' ,,••••••
=== EEEEEE ccbbaa
(5)
cujos fasores seriam:
(6)
Fazendo , têm-se os seguintes diagramas fasoriais,
correspondendo a chamada seqüência de fases direta ou positiva - equações (4) - e
seqüência de fases inversa ou negativa - equações (6):
Figura 4 - Seqüência de fases.
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3 F.E.M.s de Fase e de Linha
3.1 F.E.M.s Geradas por Gerador Conectado em Y (Estrela)
Como foi dito anteriormente o sistema trifásico nada mais é que a combinação de três
sistemas monofásicos defasados entre si de 120º. A representação de tal assertiva pode
ser feita como abaixo:
a
a'
b
b'
c
c'
Figura 5 - Três sistemas monofásicos.
Em termos práticos é interessante, todavia, que, por exemplo, ligue-se os
terminais a', b' e c' entre si resultando em:
≡ b' a' ≡ c'
fase c
fase a
fase b
a
c
b
neutro
Figura 6 - Gerador Trifásico em Y.
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abE•
À conexão da figura 6 dá-se o nome de conexão Estrela e representa-se por Y. Ainda
mais, o ponto de coincidência entre a', b' e c' é chamado de ponto neutro e o condutor
dali retirado é chamado de fio neutro ou simplesmente neutro. Os condutores retirados
dos terminais a, b e c, são chamados de, respectivamente, fase a, fase b e fase c.
A partir daí pode-se construir o diagrama de fasores das f.e.m.s geradas em cada bobina,
ou seja:
Figura 7 - Diagrama fasorial para as f.e.m.s de fase.
As f.e.m.s acima representadas são aquelas entre fase e neutro, ou seja são as f.e.m.s nas
próprias bobinas. Entretanto, em termos práticos é bastante comum o interesse e a
necessidade das f.e.m.s entre, por exemplo, a fase a e a fase b, daí pode-se obter:
- f.e.m. entre as fases a e b - f.e.m. entre as fases bcE•
b e c
caE•
- f.e.m. entre as fases c e a
E agora define-se:
cnbnan EeEE•••
,
cabcab EeEE•••
,
- f.e.m.s entre fase e neutro ou f.e.m.s DE FASE
- f.e.m.s entre fases ou f.e.m.s DE LINHA
OBS.: A seqüência de fases
adotada é a direta
Ean
Ecn
Ebn
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Por outro lado, a análise da Figura 6 mostra:
abbanbnabnan
nbbn
naan
EEEEEEEEE
EEE
EEE
•••••••••
•••
•••
−
=−=+−−=−
−−=
−=
)(
Logo:
bnanab EEE•••
−=
Analogamente:
cnbnbc EEE•••
−= e E ancnca EE•••
−=
cnncbnnbanna EEeEEEE••••••
−=−=−= ,
ab an nb
bc bn nc
ca cn na
E E E
E E E
E E E
• • •
• • •
• • •
= +
= +
= +
Como
então pode-se escrever:
(7)
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º120
º120
º0
jcn
jbn
jan
eEE
eEE
eEE
=
=
=
•
−•
•
[ ]
A união do conjunto de equações (7) com a figura 7, leva-nos a:
Figura 8 – Diagrama Fasorial para as f.e.m.s de fase e de linha - Conexão Y.
Se se tomar, de acordo com a figura 8, as f.e.m.s de fase como sendo:
Tem-se, por exemplo:
[ ]
0º 60º
30º
cos0º sen 0º cos60º sen 60º
1 3 3 3 3 11 0 32 2 2 2 2 2
3 cos30º sen 30º
3
j jab an nb
jab
E E E E e E e E j j
E j j E j E j
E j
E Ee
• • •
•
= + = + = + + + =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + = + = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= +
∴ =
E
E
E
E
E
E E E
E
ca cn nb ab
an
ncbn
na
bc
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Desenvolvimentos análogos levariam a:
º150
º90
3
3
jca
jbc
eEE
eEE
=
=•
−•
Portanto:
"F.e.m.s de linha são, na conexão Y, 3 vezes maior que as de fase e estão
desfasadas das mesmas, na seqüência de fases direta, de 30º ”, ou
º303 jfL eEE +
••= (8)
onde: - f.e.m. de linha LE•
E f
•
- f.e.m. de fase correspondente
3.2 F.E.M.S Geradas por Gerador Conectado em Δ (Delta ou Triângulo)
Agora, poder-se-ia tomar as três bobinas da figura 5 e ligá-las da seguinte forma:
a(≡b')
b(≡c')
c(≡a')
fase c
fase a
fase b Figura 9 – Gerador Trifásico ligado em Δ
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abE•
À conexão da figura 9 dá-se o nome de conexão Triângulo ou Delta e representa-
se por Δ. Note que as f.e.m.s de linha, neste caso, são as próprias f.e.m.s geradas
nas bobinas, logo:
"F.e.m.s de linha são, na conexão Δ, as próprias f.e.m.s de fase"
Pode-se , por exemplo, fazer a seguinte representação fasorial, tomando na
referência:
E
E
E
ca
ab
bc Figura 10 – Diagrama Fasorial para as f.e.m.s de fase e de linha – Conexão Δ
4 Cargas Trifásicas
As cargas elétricas podem ser classificadas segundo diversas formas, a saber:
4.1 Tipos de Carga Quanto ao Ângulo
º0,) ==→
ϕϕjeZZa
ϕϕ sencos jZZZ +=→
Sendo ϕ = 0º, não haverá defasagem entre a tensão aplicada a esta
impedância e a corrente que por ela circula, tem-se então a chamada carga
Puramente Resistiva.
fazendo Z cosϕ = R
Z senϕ = X,
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logo jXRZ +=→
entretanto ϕ = 0º, portanto R = Z e X = 0, logo:
RZ =→
º90,) ==→
ϕϕjeZZb
Sendo ϕ = 90º a corrente na impedância estará defasada de 90º em atraso com
relação à tensão aplicada à mesma, tem-se então a chamada carga Puramente
Indutiva.
ϕϕ sencos jZZZ +=→
sendo Z cosϕ = R
Z senϕ = X, vem jXRZ +=→
jXZ =→
º90,) −==→
ϕϕjeZZc
ϕϕ sencos jZZZ +=→
jXZ −=→
º90º0,) <<=→
ϕϕjeZZd
Como ϕ = 90º, tem-se R = 0 e X = Z, portanto:
Sendo ϕ = -90º, a corrente nesta impedância estará defasada de 90º adiantada
com relação à tensão na impedância, tem-se então a chamada carga Puramente
Capacitiva.
sendo Z cosϕ = R e Z senϕ = X, vem jXRZ +=→
Porém, sendo ϕ = -90º, tem-se R = 0 e -X = Z, portanto:
Neste caso, a impedância faz com que haja um defasamento da corrente para a
tensão de –90º < ϕ < 0º, portanto a carga é do tipo Resistiva e Indutiva.
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ϕϕ sencos jZZZ +=→
jXRZ +=∴→
R - parte Resistiva X - parte Indutiva
Como 0º< ϕ < 90º, vem:
jXRZ +=→
º0º90,) <<−=→
ϕϕjeZZe
Agora o defasamento da corrente com relação a tensão será de 0º < ϕ < 90º,.
logo a carga é do tipo: Resistiva e Capacitiva.
ϕϕ sencos jZZZ +=→
jXRZ +=→
Como -90º< ϕ < 0º:
jXRZ −=→
R - parte Resistiva X - parte Capacitiva
f) Carga com R, L, C
Este caso não é independente dos outros, pois dependendo das particularidades
da impedância em estudo tem-se ou o caso a) ou o d) ou o e).
f.1) R, L, C com equivalência de aspectos.
Se o aspecto indutivo da carga for equivalente a seu aspecto capacitivo,
tem-se a chamada ressonância, e então a carga será "vista" como sendo
simplesmente uma resistência, logo tem-se o caso a).
f.2) R,L,C, com preponderância do aspecto indutivo.
Se o aspecto indutivo da carga for preponderante ao aspecto capacitivo, a
carga será "vista" como sendo resistiva e indutiva e portanto aplica-se o
caso d).
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f.3) R,L,C, com preponderância do aspecto capacitivo.
Por outro lado, se o aspecto capacitivo da carga for preponderante ao
indutivo, a mesma será "vista” como sendo resistiva e capacitiva, logo
tem-se o caso e).
Todos estes casos são melhores visualizados através dos diagramas de
fasores de tensões e correntes:
I
R Z = RV
V
I
Caso a
I
L Z = j XLV
V
I
Caso b
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I
C Z = - j XCV
V
ICaso c
I
L Z = j XL
V
V
I
Caso d
R Z = R ϕ
= tg -1 XR
ϕ
I
V
V
I
Caso e
R Z = R ϕ
C Z = -jXC
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4.2 Tipos de Cargas Quanto à Conexão
No item anterior, viu-se todos os tipos de cargas possíveis, quanto a variação do
ângulo da impedância. Agora , dependendo da forma como são conectadas, tem-se
as possibilidades existentes nos sistemas trifásicos.
Tomadas três impedâncias quaisquer, estas podem ser ligadas como a seguir:
a) Carga em Delta ou Triângulo (Δ)
a cb
b
c
a
Z3 Z1
Z2
ou Z3 Z1 Z2
Figura 12 - Carga trifásica ligada em Δ.
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ou como abaixo:
b) Carga em Estrela (Y)
a cb
b
c
a
Z3
Z1
Z2
Z3 Z1
ou
nn
Z2
Figura 13 - Carga trifásica ligada em Y.
4.3 Tipos de Cargas Quanto à Igualdade ou não das Impedâncias - Cargas
Equilibradas e Desequilibradas
Se as três impedâncias das figuras 12 ou 13, forem de tal forma que:
321
→→→
== ZZZ
321
→→→
≠≠ ZZZ 321
→→→
=≠ ZZZ 321
→→→
≠= ZZZ
- diz-se que a carga é Equilibrada.
Por outro lado, se:
ou ou ou , diz-se que
a Carga é Desequilibrada.
231
→→→
≠= ZZZ
OBS.: Para os objetivos deste trabalho, sempre serão consideradas carga
equilibradas.
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5 Correntes de Linha e de Fase
Seja um gerador alimentando uma carga como na figura a seguir,
ZC
ZCZC
I c
Ib Ia
ab
cC
A
Zg
Zg
Zg
B
Gerador Carga
IA
IB
IC
INN
Figura 14 - Gerador em Y alimentando carga em Y.
Na figura 14, tem-se:
- Gerador Trifásico Y - Carga Trifásica Y - Zc - Impedância da carga - Zg - Impedância do gerador
- - correntes do gerador para a carga (correntes de linha) CBA III•••
,,
nI•
cba III•••
,,
- - corrente da carga para o gerador
- - correntes na carga (correntes de fase)
As correntes nas linhas que chegam à carga , são chamadas de correntes de
linha
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ •••
CBA III ,,
As correntes nas impedâncias da carga , são chamadas de correntes de fase ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ •••
cba III ,,
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aI•
5.1 Correntes de Linha e de Fase em uma Carga Ligada em Y
Pela figura 14 observa-se que é a própria corrente , o mesmo acontecendo
com e e , e com e , ou seja para a carga em Y as correntes de linha são
as próprias correntes de fase.
AI•
BI•
bI•
CI•
cI•
Cálculo das Correntes
C
ana
Z
VI →
••
= C
bnb
Z
VI →
••
= C
cnc
Z
VI →
••
=
CNcnBNbnANan VVVVVV••••••
===
CNBNAN VeV•••
, CNBNAN EeEE•••
,
•→••
⋅+= AgANAN IZVE
ANE•
ANV•
•→
⋅ Ag IZ
Como não se considerou impedâncias para as linhas Aa, Bb e Cc (Vide figura 14),
pode-se dizer que:
1) V diferem das f.e.m.s pelas quedas de tensão
internas ao gerador e são chamadas de tensões. Para a fase A, p.ex., poderia ser
escrito: , onde:
- f.e.m. gerada
- Tensão nos terminais A e N
- Queda de tensão no gerador
Logo:
c
ANaA
Z
VII →
•••
== c
BNbB
Z
VII →
•••
== c
CNcC
Z
VII →
•••
==
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Por outro lado, suponha-se que os terminais A, B, C e N do gerador estejam
curto-circuitados, então :
g
ANA
Z
EI →
••
= g
BNB
Z
EI →
••
= g
CNC
Z
EI →
••
=
CBA IeII•••
,
CNBNAN VeV•••
, anbnan VeV•••
,
αjc
jcn
jbn
jan
eZZ
eVVeVVeVV
=
===→
+•
−••
º120º120º0
Como tem mesmo módulo e estão defasadas entre si de 120º e
a impedância é sempre a mesma, pode-se afirmar que: têm mesmo
módulo e estão defasados entre si de 120º.
CNBNAN EeEE•••
,
Por extensão do raciocínio V e portanto V estariam
também defasados de 120º e teriam mesmo módulo, respectivamente.
Cálculo das Correntes
Seja:
Então:
αα jja eIe
ZVI −−
•
== ( ) )120(120 αα +−+−•
== jjb eIe
ZVI
(120 ) (120 )j jc
VI e I eZ
α α•
− −= =
Na figura 14, tem-se:
cban IIII••••
++=
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=−++++−−−+−=
=−+−++−++−=•
}º120cossencosº120sensenº120sencosº120cosº120cossencosº120sensenº120sencosº120cossen{cos
)]}º120sen()º120[cos()]º120sen()º120[cos()sen{(cos
αααααααααα
αααααα
jjjjjI
jjjII n
logo:
{cos sen 2cos120cos 2 sen cos120}
1 1cos sen 2 cos 2 sen2 2
{cos sen cos sen } {0}
0n
I j j
I j j
I j j I
I
α α α α
α α α α
α α α α•
= − + − =
⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + ⋅ − ⋅ − ⋅ − =⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭
= − − + =
=
(9)
Conclusão: "Se a carga for equilibrada, a corrente no neutro da Y, será nula".
Pode-se, então fazer o seguinte quadro para a conexão Y:
º303 jfL
jf eVVeVV ±
•••== β
0=
=
=
•
••
•
n
fL
jf
I
II
eII γ
(1)
(1) ±30º, dependendo então da seqüência de fases tomada. No caso da
seqüência direta temos +30º, e no caso da seqüência inversa tem-se -30º.
(10)
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5.2 Correntes de Linha e de Fase em uma Carga Ligada em Δ
Seja e figura 15 abaixo:
ZC
ZCZC
I bcI ab
I ca
a
b
c
C
A
Zg
Zg
Zg
B
Gerador
Carga
I A
I B
I C
N
Figura 15 - Gerador em Y alimentando carga em Δ
Na figura 15, tem-se:
- Gerador trifásico em Y
- Carga trifásica em Δ
- Zc - impedância de carga
- - correntes de linha CBA III•••
,,
cabcab III•••
,,
j
- - correntes de fase
Cálculo das Correntes de Fase
Seja:
(120 ) (120 )j jab bc caV V e V V e V V eϕ ϕ ϕ
• • •− − += = =
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então, sendo , vem: ϕjeZZ =→
º120º120º120º120º0º0 jjca
jjbc
jjab eIe
ZVIeIe
ZVIeIe
ZVI ======
•−−
••
bccaCabbcBcaabA IIIIIIIII•••••••••
−=−=−=
AI•
Cálculo das Correntes de Linha
Aplicando Kirchoff à carga da figura 15, vem:
Calcule-se então. por exemplo :
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−−+=
=−−+==−=−=
•••
23
23
23
23
23
2101
]º120senº120cosº0senº0[cos
º120º0
jI
JIjjI
jjIeIeIIII jj
caabA
Multiplicando e dividindo por 3 , vem:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
•
21
233 jII A como )º30cos(
23
±= e )º210º30sen(21 ou−=
Vem:
º303 jA eII −
•
=
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Analogamente:
º90º150 33 jC
jB eIIeII +
•−
•==
ou seja:
"Na conexão Δ, as correntes de linha são 3 vezes maior que as correntes de
fase e estão defasadas das respectivas correntes de fase de ±30º (1)”
(1) ±30º dependendo aqui também, da seqüência de fases adotada. No caso
desenvolvido –30º que é de seqüência de fases direta.
Com isso, pode-se fazer o seguinte quadro para a conexão
º303 jfL
jffL
jf eIIeIIVVeVV ±
••••••
==== γβ
ψjeZ=→
(11)
Conclusão Final
Supondo três impedâncias em Y de valor Z , tem-se o seguinte Diagrama
Fasorial para a Seqüência de Fases Direta:
V
V
V
V
V
V
ca cn ab
an
bn
bc
I C
I A
BI
30°
30°
30°ϕ
ϕϕ
Figura 16 – Diagrama Fasorial de tensões e correntes para carga equilibrada em Y.
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Se as impedâncias estivessem agora em Δ, ter-se-ia:
V V
C
B
A
Z3 Z1
Z2
Z5 Z4
Z6
A
B
C
I A
IB
I C
IA
I B
I C
V
ca ab
bc
I c
I a
b I
30°
30°
30°
ϕϕ
ϕ
ab I
I ca
I bc
Figura 17 – Diagrama Fasorial de tensões e correntes para carga equilibrada em Δ.
6 Conversão Δ-Y e Y-Δ
Por vezes é muito útil transformar uma carga Δ em uma equivalente em Y e vice-versa.
Neste caso, a equivalência de cargas significa dizer que: estando as cargas equivalentes
em Δ ou Y, as tensões e correntes de linha não são alterados, ou seja, continuam as
mesmas.
Sejam as cargas como as da figura abaixo:
Figura 18 - Cargas Equilibradas.
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Para a carga em Y, pode-se escrever:
BNANAB VVV•••
−=
BAAB IZIZV•→•→•
−=∴ 54 (A)
Para a carga em Δ, tem-se:
0AB BC CA AB BC CV V V V V V• • • • • •
+ + = = − − A
B BC AB
BC B AB
CABCAB IZIZV•→•→•
−−= 32 (B)
I I IMas: I I I
• • •
• • •
= −
= +
AABCA III•••
−=
AABABBAB IZIZIZIZV•→•→•→•→•
−−−−= 3322
(C)
CAABA III•••
−=
(D)
Substituindo (C) e (D) em (B), vem:
Da figura 18, tem-se:
1→
••
=Z
VI ABAB , logo:
BAAB
BAAB
AABAB
BAB
IZIZZ
ZZZV
IZIZZ
Z
Z
ZV
IZZ
VZZ
VZIZV
•→•→
→
→→→•
•→•→
→
→
→
→•
•→
→
•→
→
•→•→•
−=++
−=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛++
+−−−=
23
1
321
23
1
3
1
2
3
1
3
1
22
1∴
∴
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BAAB IZZZ
ZZIZZZ
ZZV•
→→→
→→•
→→→
→→•
++−
++∴
321
21
321
31 (E)
Comparando (A) e (E), vem:
321
314 →→→
→→→
++=
ZZZ
ZZZ (F)
321
215 →→→
→→→
++=
ZZZ
ZZZ
Por analogia:
321
326 →→→
→→→
++=
ZZZ
ZZZ
Como (carga em Δ, equilibrada) e (carga em Δ,
equilibrada), pode-se fazer:
321→→→
== ZZZ 654→→→
== ZZZ
Δ
→→→→
=== ZZZZ 321
YZZZZ→→→→
=== 654
, donde a partir, por exemplo, de (F), vem:
Δ
→
Δ
→
Δ
→
Δ
→
Δ
→
Δ
→
Δ
→→ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=++
=Z
Z
ZZZ
ZZZ Y
3
2
3Δ
→→
=∴ZZ Y
YZZ→
Δ
→
= 3
(12)
por outro lado:
(13)
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7 Circuito Monofásico Equivalente a um Circuito Trifásico
Desde que a carga do sistema trifásico seja equilibrada, uma simplificação pode ser
operada nos sistemas trifásicos. Uma vez que em sendo a carga equilibrada as correntes
e as tensões apenas diferem entre si quanto ao angulo de fase, pode-se calcular uma
grandeza e obter as outras duas através de defasagem de ±120º.
7.1 Carga em Y
Seja e carga Y a seguir:
C
A
B
Z Z Z
I A IB IC
N
Sendo
ψjjCA
jBC
jAB eZZeVVeVVeVV ====
→+
•−
••º120º120º0
Tem-se:
(30 )º (150 )º (90 )º
3 3 3j j j
A B CV V VI e I e I e
Z Z Zψ ψ ψ
• • •− + − + −= = =
Ora, bastava calcular, por exemplo, e com ±120º obtém-se e . pode
ser obtido do seguinte circuito:
AI•
BI•
CI•
AI•
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Como º30
3jAB
AN eV −
••
=V , poder-se-ia para a Seqüência de Fases Direta, fazer:
Figura 19 - Circuito 1∅ Equivalente, com carga em Y e SF Direta
7.2 Carga em Δ
No item anterior viu-se a equivalência Δ-Y, portanto a simplificação desenvolvida
no sub-item 7.1 pode ser agora aplicada para carga em Δ, como aquela a seguir:
Z Z
Z
C
B
A
I A
IB I C
IAB
I CA
I BC
Z
I L
VL
√3e
-j30°
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Supondo:
αjjCA
jBC
jAB eZZeVVeVVeVV ====
→•−
••º120º120º0
Z
IA
~ V AN
3
Vem: )120()120( ααα −•
+−•
−•
=== jCA
jBC
jAB e
ZVIe
ZVIe
ZVI
E portanto:
)90()150()30( 333 ααα −•
+−•
+−•
=== jC
jB
jA e
ZVIe
ZVIe
ZVI
Podemos simplificar a partir de:
Z Z
Z
C
B
A
I A
I B I C
I ABI CA
I BC
C
A
B
Z Z Z
I A I B I C
N
3 3 3
e portanto equivale a, por exemplo:
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º30º30
33jjAB
AN eVeVV −−
••
==
logo:
)º30()º30( 3
33
αα +−+−• ⋅
=⋅
= jjA e
ZVeZ
VI
e º120)º30(3 jjB ee
ZVI −+−
• ⋅= α º120)º30(3 jj
C eeZ
VI α+−• ⋅
=
)º015(3 α+−• ⋅
= jB e
ZVI )º09(3 α+
• ⋅= j
C eZ
VIDonde:
Portanto, para SF direta e carga em Δ, tem-se:
Z
I L
VL
√3e
-j30°
3
Figura 20 - Circuito 1∅ equivalente com carga em Δ e SF direta.
De posse dos conhecimentos para o cálculo das correntes e das tensões em cargas
trifásicas, em Y ou Δ, resta agora o cálculo e a medição da potência nos sistemas
trifásicos.
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8 Cálculo e Medição de Potência em Sistemas Trifásicos
Seja uma carga ligada a um sistema monofásico como na figura 21
Z = Z e
I
V jϕ
Figura 21 - Circuito monofásico.
→
Z é dada por: A potência "consumida” pela carga
a) Potência Ativa, Real ou Wattada
ϕcosVIP = (14)
Onde ϕ além de ser o ângulo da carga é também o ângulo de defasagem entre a
tensão aplicada à carga e a corrente na carga.
b) Potência Reativa ou Dewattada
ϕsenVIQ =
VIS =
(15)
c) Potência Aparente
(16)
Sendo as unidades:
| P | = W, kW, MW, etc.
| Q | = VAr, kVAr, MVAr, etc.
| S | = VA, kVA, MVA, etc.
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Das equações (14), (15) e (16) pode-se montar o chamado triângulo de Potências:
ϕQ
S = VI
P Figura 22 - Triângulo de Potências.
Por outro lado considerando uma carga do tipo onde ϕjeZjXRZ =+=→
RXtg 1−=ϕ , vem:
ϕ
X
R
Z
Figura 23 - Triângulo de Impedâncias.
Das figuras 22 e 23, temos:
ZRVIP
ZRZRVIP ==== ϕϕϕ coscoscos
Como ZVI =
RIIP =
, vem:
2RIP = * (17)
E
ϕ ϕsenZX = ZX
=ϕsen ZXVIQ = senVIQ =
Como ZVI = , vem:
XIIQ = * (18) 2XIQ =
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E mais:
VIS = (19) IIZS = 2ZIS =
Resumindo:
ϕcosVIP = 2RIP = *
ϕsenVIQ = * (20) 2XIQ =
2ZIS =VIS =
* Desde que R e X estejam em série.
8.1 Potências para Carga em Y
Seja agora uma carga trifásica, por exemplo, ligada em Y. A B C
Z Z Z
N
I BI A I C
Figura 24 – Circuito Trifásico em Y.
Na seqüência de fases direta tem-se:
º90º150,º30 ∠=−∠=−∠=•••
VVeVVVV CNBNAN , logo:
)90()120()30( ααα +→
••
+−→
••
+−→
••
====== jCNC
jBNB
jANA e
ZVVI
Z
VIeZV
Z
VIeZV
Z
fazendo IZV
= e de acordo com o que foi mostrado para circuito monofásico, vem:
ααα coscoscos VIPVIPVIP CBA ===
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onde:
PA - potência ativa consumida pela impedância da fase A;
PB - potência ativa consumida pela impedância da fase B; B
CCNBBNAAN IeVIeVIe••••••
,,
PC - potência ativa consumida pela impedância da fase C;
α - É sempre o ângulo entre a tensão na impedância (tensão de fase) e, a corrente na
impedância (corrente de fase) (Vide ângulo entre V ) que
é o próprio ângulo da impedância.
A potência ativa total consumida pelas três impedâncias é:
αcos3VIPTOT = (21)
Como V é o módulo de V e CNBNAN VeV•••
, I é o módulo de pode-se
rescrever:
CBA IeII•••
,
αcos3 ffTOT IVP = (22)
Onde:
fV fI - tensão de fase - corrente de fase
Portanto:
A potência ativa total é dada por três vezes o produto entre o módulo da tensão de
fase, o módulo da corrente de fase e o cosseno do ângulo entre o fasor tensão de fase
e o fasor corrente de fase.
Analogamente:
αsenVIQA = αsenVIQB = αsenVIQC =
αsen3VIQTOT = (23)
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Ou
αsen3 ffTOT IVQ = (24)
E mais:
VISVISVIS CBA ===
VISTOT 3= (25)
Ou
ffTOT IVS 3= (26)
Por outro lado, na conexão estrela, tem-se:
fLfL IIVV == 3
Logo em (22) temos:
αα cos3
33cos3
3 LL
LL
TOT IVIVP ==
αcos3 LLTOT IVP = (27)
Na equação (23), tem-se:
αα sen3
33sen3
3 LL
LL
TOT IVIVQ ==
αsen3 LLTOT IVQ = (28)
Finalmente na equação (26), vem:
LL
LL
TOT IVIVS3
333
3 ==
LLTOT IVS 3= (29)
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LL Ie••
Atenção: Como para a conexão Y, a tensão de linha está defasada da tensão de fase,
o ângulo α não é, nas equações (27) e (28), o ângulo entre V .
8.2 Potências para Carga em Δ
Se a carga agora estiver em Δ, tem-se: A CB
Z Z Z
IA IB I C
I BCI CA IAB
Figura 25 – Circuito Trifásico em Δ.
Para este caso:
)120(
)120(
α
α
α
−→
••
+−→
••
−→
••
==
==
==
jCACA
jBCBC
jABAB
eZV
Z
VI
eZV
Z
VI
eZV
Z
VI
IZ =Fazendo V e de acordo com o que foi mostrando para circuito monofásico,
tem-se:
ααα coscoscos VIPVIPVIP CBA ===
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AB•
ABI•
BC•
Note que α é sempre o ângulo entre tensão na impedância (tensão de fase) e
corrente na impedância (corrente de fase), veja o ângulo entre V e , V e
, e . BCI•
CAV•
CAI•
Logo:
αcos3VIPTOT = (30)
Ou ainda
αcos3 ffTOT IVP = (31)
E mais:
αsen3VIQTOT = (32)
ou
α (33) sen3 ffTOT IVQ =
VISTOT 3=
ffTOT IVS 3=
E
(34)
Ou
(35)
Por outro lado na conexão Δ, tem-se:
fL
fL
II
VV
3=
=
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Logo em (31) vem:
αα cos3
33cos3
3 LL
LLTOT
IVIVP ==
αcos3 LLTOT IVP = (36)
Em (33), vem:
αα sen3
33sen3
3 LL
LLTOT
IVIVQ ==
αsen3 LLTOT IVQ = (37)
Finalmente em (35), vem:
333
33 L
LL
LTOTIVIVS ==
LLTOT IVS 3= (38)
ATENÇÃO: Como para a conexão Δ, a corrente de linha está defasada da corrente
de fase, o ângulo α não é, nas equações (36) e (37), o ângulo entre e . LV•
LI•
8.3 Medição de Potência
Uma vez que já foi mostrado o cálculo das potências em sistemas trifásicos,
mostrar-se-á agora como efetuar as medições.
Apresenta-se direto ao uso de dois wattímetros, conhecido como Conexão Aron
ou Processo de Blondel.
A conexão Aron é efetuada como a seguir:
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Figura 26 – Formas de medição de potência com dois wattímetros.
8.3.a Medição para carga em Y
Supondo a medição sendo efetuada como da forma abaixo:
C
B
A W1
W2 N
Z
Z
Z
I A
I B
I C
a
b
c
C
B
A W
W
W
WA
B
C
C
B
W
W
A
ou
ou
(a)
(b)
(c)
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O wattímetro W1 indicará:
)cos(1 AACAAC IVIVW••••
=
)cos(1 AACAAC IVIVW••
=∴
Seja:
º900,º0 <<==→•
ϕϕjjLAB eZZeVV
Logo:
V
CAV
AB
VCN
BCV
ANVBNV
I C
I A
ACV
BI
ϕ
ϕϕ
º60º300º180 jLAC
jLAC
jACCA eVVoueVVeVV −
••••==∴=
º60=••
ABAC VV
Do Diagrama Fasorial, tem-se:
Logo:
ϕ+=••
º30ABA VI
Portanto:
30ºAACV I ϕ• •
= −
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Então, como e LAC VV = LA II = , vem:
)º30cos(1 ϕ−= LL IVW (39)
Já o wattímetro W2 indicará:
)cos(2 BBCBBC IVIVW••••
=
)cos(2 BBCBBC IVIVW••
=
Do Diagrama Fasorial, vem:
º30=••
BNBC VV ϕ=••
BBN IV ϕ+=••
º30BBC IV
LBLBC IIeV
Como V ==
2 cos(30º )L LW V I
, vem:
ϕ= + (40)
8.3.b Medição para carga em Δ
Supondo a medição sendo efetuada como a seguir:
C
B
A W1
W2
Z
Z
Z
I A a
b
c
I B
I C
I ab
I bc
I ca
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O wattímetro W1 indicará:
)cos(1 AACAAC IVIVW••••
= )cos(1 AACAAC IVIVW••
=
Se º0jLAB eVV =
•
, 0 90ºjZ Z e ϕ ϕ→
= < < , vem
V
CA V
AB
BC V AC V
AI
Ica
BI Iab
I bc
ϕ
ϕ
ϕ
Do Diagrama Fasorial, vem:
ϕ+=••
º30AAB IV
º60º180 jL
jCAAC eVeVV ==
••
º60=• •
ABAC VV
Logo:
ϕ−=••
º30AAC IV
LAC V=
Como V e LA II = , vem:
)º30cos(1 ϕ−= LL IVW (41)
O wattímetro W2, por sua vez, indicará:
)cos(2 BBCBBC IVIVW••••
= )cos(2 BBCBBC IVIVW••
=
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Do Diagrama Fasorial, tem-se:
ϕ=••
BCbc VI º30=••
bcB II
ϕ+=∴••
º30BBC IV
Como e LBC VV = LB II = , vem:
2 cos(30º )L LW V I ϕ= +
[ ][ ][ ]ϕ
ϕϕϕϕ
(42)
Das equações (39), (40) ou (41), (42), vem:
ϕϕ
cosº30cos2senº30sencosº30cossenº30sencosº30cos
)º30cos()º30cos(21
LL
LL
LL
IVIV
IVWW
==−++=
=+ − + + =
ϕϕ cos3cos23221 LLLL IVIVWW =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=+∴
ϕcos311 LL IVWW =+ (43) ∴
Comparando-se a equação (43) com as equações (27) e (36), conclui-se:
“A soma algébrica – adiante ver-se-á porque algébrica – das indicações dos
dois wattímetros em conexão Aron é igual a potência ativa total da carga
trifásica”.
8.3.c Particularidades da Conexão Aron
c.1 Carga ôhmica - ϕ = 0º
º30cosº30cos
2
1
LL
LL
IVWIVW
==
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Ou seja: 21 WW =
Conclusão: Os dois instrumentos indicam o mesmo valor, portanto bastaria
o uso de um só, e multiplicar sua indicação por dois
c.2 Carga indutiva - ϕ = 30º
º60cosº0cos
2
1
LL
LL
IVWIVW
==
Logo: LLIVW =1 LLIVW21
2 =
º90cos)º30cos(
2
1
LL
LL
IVWIVW
=−=
Conclusão: Um dos wattímetros acusa o dobro do outro.
c.3 Carga indutiva - ϕ = 60º
Logo:
LL IVW23
1 = 02 =W
Conclusão: Um dos instrumentos tem indicação nula. Aumentando-se o
ângulo acima de 60º, o instrumento que indicava zero, respectivo a
cos(30º+ϕ), passará a indicar valores negativos; POR ISSO
ANTERIORMENTE AFIRMOU-SE: SOMA ALGÉBRICA.
c.4 Carga indutiva - ϕ = 90º
º120cos)º60cos(
2
1
LL
LL
IVWIVW
=−=
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Logo:
LLIVW21
1 = LLIVW21
2 −=
)º30cos()º30cos( 21
Conclusão: Os dois wattímetros indicam os mesmos valores, porém com
sinais contrários, o que resulta em WTOT = 0, que é coerente pois ϕ = 90º é
para carga puramente indutiva, ou seja, não consome potência ativa.
8.3.d Potência Reativa
Das equações anteriores temos:
ψ = ψ+−= LLLL IVWIVW
[ ]
Então:
ψψψψ senº30sencosº30cossenº30sencosº30cos21 +=− LLIVWW
ψ
+ −
Então:
ψsen
)senº30sen2(
21
21
LL
LL
IVWWIVWW
=−=−
Portanto:
ψsen3)(3 21 LLIVWW =−
Como , vem: QIV LL =ψsen3
(44) )(3 21 WWQ −=
Conclusão: Com a indicação dos dois wattímetros da Conexão Aron pode-se
também obter a potência reativa “consumida” pela carga equilibrada.
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9 Correção do Fator de Potência
9.1 Definição
O fator de potência é a relação entre a potência ativa e a potência aparente num
sistema, ou seja:
SPPF =..
No triângulo de potências de um sistema (figura 27), vê-se que o fator de potência
nada mais é que o cosseno do ângulo (ϕ) entre a potência ativa e a potência
aparente.
ϕ
Q
P
S
Figura 27 - Triângulo de Potências.
9.2 O porquê do aumento do F.P.
Veja alguns dos motivos que fazem com que haja a preocupação em aumentar
(melhorar) o f.p. (cosϕ) de um sistema.
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9.2.1 Sobrecarga nos Cabos
Na figura 28, observa-se que, para uma mesma potência ativa (produtora de
trabalho), existem dois valores de potência aparente (S1) e (S2).
ϕ1Q1
Pϕ2
2S
Q2S 1
22 VIS
Figura 28 - Comparação para cosϕ1>cosϕ2.
Ora observemos que para ϕ1 < ϕ2, temos S1 < S2, portanto Q1 < Q2 e P1 = P2.
Logo o ideal é transmitir S1, pois:
11 VIS = e =
21 II < Como S1 < S2, tem-se que:
Ou seja sendo maior que , ou todos os cabos estão sobrecarregados (foram
dimensionados levando em conta ) ou o seu custo foi mais alto (foram
dimensionados levando em conta ).
2I 1I
1I
2I
Portanto:
"Para uma mesma tensão, quanto menor o f.p.., maior será a corrente", o que não
é desejável.
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9.2.2 Aumento das quedas de Tensão
Com relação a figura 29 pode-se escrever o seguinte:
ZpIS
~Eg VPCarga
Figura 29 - Ilustração para aumento de quedas.
spgp IZEV•→••
−=
pV•
gE•
sI•
pZ→
sp IZ•→
Onde:
- tensão em qualquer ponto do sistema (neste caso nos terminais de carga)
- f.e.m. da geração
- corrente na sistema
impedância total até a carga
Bem, é óbvio que quanto maior for a corrente, maiores serão as quedas de tensão
(Vide figura 29). Então é interesse diminuir o valor de . sI•
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9.2.3 Sobretaxa nas contas a pagar
Uma vez que os problemas resultantes do exposto nos itens 9.2.1 e 9.2.2, afetam
diretamente as concessionárias, as mesmas exigem que o f.p. mínimo de cada
instalação seja 0,92.
Se o f.p. de um determinado consumidor estiver abaixo desse mínimo o mesmo é
obrigado a pagar uma sobretaxa às concessionárias.
Isto faz com que os consumidores procurem melhorar (corrigir) o fator de
potência de sua instalação.
9.3 Causas de Baixo Fator de Potência
As causas mais comuns que fazem com que o f.p. de uma determinada instalação
seja baixo, são:
- nível de tensão elevada (acima do valor nominal);
- motores que trabalham, sem justa causa, grande parte do tempo a vazio (sem
carga);
- transformadores de grande potência alimentando, durante longo período,
pequenas cargas;
- transformadores que ficam por longo período a vazio (sem carga);
- motores superdimensionados para os respectivos acionamentos;
- luminárias com reator (quando usados reatores de baixo f.p.).
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9.4 Como Corrigir (melhorar) o Fator de Potência
9.4.1 Introdução
Seja a instalação mostrada na figura 30.a, que tem o triângulo de potências
mostrado na Figura 30.b.
M1 M2
P1 + j Q1 P2 + j Q2
P = P1 + P2
Q= Q1 + Q2
S = P + j Q
ϕ
(a) (b)
Figura 30 - Configuração de uma instalação e seu triângulo de potências.
Se:
92,0cos <=SPϕ
ou seja: f.p. < 0,92
É conveniente que se melhore o f.p. (ou seja diminuir ϕ). Como as cargas
de uma maneira geral são do tipo indutivas (transformadores, reatores,
motores, etc.), para que se diminua ϕ basta que se coloque junto a esses
equipamentos, outros que tenham sob o aspecto da correntes, efeito
contrário. ou seja "cargas" do tipo capacitivas. A figura 31 esclarece.
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ϕ1Q1
P
S2
ϕ 2
Q2
S1
QC
Figura 31 - Correção do f.p..
Supôs-se que uma carga indutiva "puxe " do sistema a potência S2 = P +
jQ2, e que o f.p. (cosϕ2) estava abaixo do desejável. Colocou-se então
cargas capacitivas cuja potência era Qc, de forma que o f.p. (cosϕ1)
melhorou com relação ao anterior.
Para que se evite problemas futuros é importante que se mostre o novo
jogo de potências:
Q2 - potência reativa necessária à carga (indutiva);
Qc - potência reativa imposta pela nova carga (capacitiva);
Q1 - potência reativa entregue pelo sistema à carga, após a melhoria do f.p.
Importante: "A carga do sistema sempre precisa de Q2 quando não há
correção, Q2 é fornecido pelo sistema. Quando há a correção Q2 é parte
fornecido pelo sistema (Q1) e parte pela carga capacitiva corretora (Qc).
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9.4.2 Cálculo de Qc
Observe-se na figura 31 que:
111
1
222
2
ϕϕ
ϕϕ
tgPQPQtg
tgPQP
Qtg
=∴=
=∴=
Ora: cQQQ =− 12
Portanto:
2 1( )cQ P tg tgϕ ϕ= −
Nota: Há tabelas que dado o cosϕ2 (f.p. a ser corrigido) e o cosϕ1 (f.p.
desejado) nos dão diretamente o valor de (tgϕ2-tgϕ1). Basta então
multiplicar por P
9.4.3 Tipos de "cargas capacitivas" usadas para o fornecimento de Qc
Fundamentalmente há dois tipos de equipamentos usados para correção do
f.p., sejam:
- capacitores estáticos
- motores síncronos superexcitados
Os capacitores estáticos constituem a solução mais prática para as
indústrias em geral, pois os condensadores síncronos (motores síncronos
superexcitados) a par das suas vantagens, têm pelo menos uma
desvantagem muito grande, qual seja: contribuem para o curto-circuito
(quando de sua ocorrência) no sistema.
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9.4.4 Como Ligar
Deve-se ligar os capacitores em paralelo com a carga, pois em série
acarretariam quedas de tensão entre a linha e a carga. No caso de sistemas
trifásicos, a conexão triângulo (Δ) é mais vantajosa que a conexão estrela
(Y) (Vide observação no final). Seja:
VIQ
VIQ
c
c
3
1senº90sen3
=
=⇒== ϕϕϕ
Conexão Y:
XC XC XC
V
c
yC XVQ
2=
cXVI
3=
cyC X
VVQ3
3=
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Conexão Δ:
XC
XC
XC
V
ccc X
VX
VVQ2333 ==
cf X
VI = c
fL XVII 33 ==
Portanto: Sob o aspecto de potência a conexão Δ é melhor que a conexão
Y.
OBS: Entretanto, a tensão aplicada ao capacitor no sistema Δ é 3 vezes
maior que no sistema Y e portanto sob o aspecto de isolamento há o
encarecimento do capacitor. Logo se deve ter uma solução de
compromisso!
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