teoria de les estructures -...

TEORIA DE LES ESTRUCTURESErnest Bernat Masó

UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA

Escola d’Enginyeria de Terrassa

Departament de Resistència de Materials i Estructures a l’Enginyeria

TEMA 1: Presentació i Introducció

• Attribution-Noncommercial 2.5

• http://creativecommons.org/licenses/by-nc/2.5/es/deed.ca

- CÀLCUL D’ESTRUCTURES

Context del càlcul d’estructures

Mètodes de càlcul de moviments

Mètodes de càlcul de sistemes hiperestàtics

- CONCEPTES BÀSICS DE RESISTÈNCIA DE MATERIALS

Moviment

Deformació

Esforç

Tensió

Suports

Sol·licitacions

Isostatisme/Hiperestatisme

Criteris de signes

- LLEIS D’ESFORÇOS INTERNS

Diagrames d’esforços de bigues simples

Diagrames d’esforços d’estructures reticulades 2D isostàtiques

TEORIA DE LES ESTRUCTURES – TEMA 1

ÍNDEX

TEMA 1: PRESENTACIÓ I INTRODUCCIÓ (3,5h)

Problema

de càlcul

estructural

Necessitat

construcció

edifici industrial


CÀLCUL D’ESTRUCTURES

CONTEXT DEL CÀLCUL D’ESTRUCTURES

Disseny de l’edifici:

• Morfologia

• Ubicació

• Definició d’usos

• Distribució interna

• ...

Càlcul d’estructures:

• Reaccions

• Lleis d’esforços

interns

• Moviments

• Tensions internes

Cas 2D Reticular

NOCompleix...

• Resistència

• Servei

Disseny de l’estructura:

• Tipus d’estructura

• Condicions de

contorn

• Sol·licitacions

• Predimensionament

• ...

Definició projecte

executiu:

- Estructures

- Instal·lacions

- Activitats, etc.

Dimensionament

i/o comprovació

dels elements

estructurals

Redefinir

SOLUCIÓ

FINALSÍ

∅𝐵 = ∅𝐴 + 𝐴

𝐵 𝑀

𝐸𝐼𝑑𝑠

𝑣𝐵 = 𝑣𝐴 + ∅𝐴 · 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 + 𝐴

𝐵 𝑀

𝐸𝐼· 𝑥𝐵 − 𝑥 𝑑𝑠


CÀLCUL D’ESTRUCTURES

MÈTODES DE CÀLCUL DE MOVIMENTS

− Per integració de deformacions en l’estructura: Navier-Bresse

− Mètodes energètics derivats del PTV: 2n Teorema de Castigliano

MÈTODES DE CÀLCUL DE SISTEMES HIPERESTÀTICS

− Mètode dels esforços

− Mètodes dels desplaçaments

δ𝑖 =1

𝐸𝐼 𝑀 𝑥, 𝑦 ·

𝑑𝑀 𝑥, 𝑦

𝑑𝐹𝑖𝑑𝑠


CONCEPTES BÀSICS DE RESISTÈNCIA DE MATERIALS

MOVIMENT

Canvi de posició o orientació en l’espai d’un cos respecte d’una referència

- Desplaçaments (m) Notació Horitzontal: u Vertical: v

- Girs (rad) Notació 𝜙



DEFORMACIÓ

Canvi en la mida o la forma d’un cos degut a esforços interns

- Deformació Axial (𝜀)

- Deformació de Flexió (𝛾)

- Deformació de Tall (𝜆y)

𝜀 =𝑑∆𝑥

𝑑𝑠=𝑁

𝐸𝐴𝛾 =

𝑑∅𝑧𝑑𝑠

=𝑀

𝐸𝐼𝑧𝜆 𝑦 =

𝑑∆𝑦

𝑑𝑠=

𝑇

𝐺𝐴𝑟𝑦



ESFORÇ INTERN

Magnitud física amb unitats de força o moment, actuant sobre una secció plana i

estàticament equivalent a la distribució de tensions internes sobre l’àrea de la secció

- Esforç Axial (N)

- Moment Flector (M)

- Esforç Tallant (T)

𝑁 = 𝐴

𝜎 · 𝑑𝐴 𝑀 = 𝐴

𝜎 · 𝑦 · 𝑑𝐴 𝑇 = 𝐴

𝜏 · 𝑑𝐴



TENSIÓ

Força per unitat de superfície en l’entorn d’un punt material. Si considerem un cos

continu qualsevol i el dividim en dues parts, aquestes han d’estar en equilibri. La tensió

és el diferencial de força necessària per mantenir l’equilibri (i per tant el cos unit)

distribuït en un diferencial de superfície.

És una magnitud que varia punt a punt d’una secció. Té unitat de pressió (Pa)

- Tensió Normal (𝜎)

Causada per:

• Axial 𝜎 =𝑁

𝐴

• Moment Flector 𝜎 = −𝑀

𝐼𝑧𝑦

- Tensió Tangencial (𝜏)

Causada per:

• Tallant 𝜏 =𝑇𝑚𝑧

𝐼𝑧𝑏

on 𝑚𝑧 = 𝑦𝑖𝑦𝑠 𝑏𝑦𝑑𝑦



SUPORTS

Els següents suports es comporten:

Desp. horitzontal: Impedit

Desp. vertical: Impedit

Gir: Impedit

Desp. horitzontal: Impedit


Gir: Permès

Desp. horitzontal: Permès


Gir: Permès

Desp. horitzontal: Permès


Gir: Impedit



SOL·LICITACIONS

En general, les sol·licitacions que es consideren en el càlcul estructural són:

- Forces puntuals

- Forces repartides

- Moments puntuals (flectors i torçors)

- Moments repartits (flectors i torçors)

- Temperatura

𝜀 = 𝛼 · ∆𝑇

Ex: Quina és l’elongació (∆𝑙) d’una barra birecolzada de longitud l, de material amb un

coeficient de dilatació 𝛼 i sotmesa a un increment de temperatura ∆𝑇?

∆𝑙= 𝛼· ∆𝑇· l



ISOSTATISME/HIPERESTATISME

Una estructura és externament hiperestàtica si les equacions de l’estàtica (sumatori

global de forces i moments) resulten insuficients per a determinar totes les reaccions.

Per contra, si les equacions de l’estàtica resulten suficients per determinar de forma

unívoca totes les reaccions, l’estructura és isostàtica

Si hi ha més equacions que reaccions a determinar, l’estructura és un mecanisme

En 2D, es poden escriure 3 equacions de l’estàtica (suma de forces verticals, suma de

forces horitzontals i suma de moments respecte un punt qualsevol), per tant, una

estructura serà:

- Isostàtica si té 3 graus de llibertat (moviments) impedits en els seus suports

- Hiperestàtica de grau hiperestatisme GH si té GH+3 graus de llibertat impedits en els

seus suports



CRITERIS DE SIGNES

− Utilitzarem el següent sistema d’eixos

Amb els eixos x, y positius com s’indica, el gir positiu és el mostrat en la figura

(recomanació, situar l’origen dels eixos el màxim a baix i a l’esquerra possible per minimitzar els

signes negatius en les equacions analítiques)

− Per a les lleis d’esforços interns utilitzarem el següent criteri de signes:

I dibuixarem els valors positius sota la barra de l’estructura


LLEIS D’ESFORÇOS INTERNS

DIAGRAMES D’ESFORÇOS DE BIGUES SIMPLES I ESTRUCTURES RETICULADES 2D

Activitats

Esforços_Simple_20.pdf Esforços_Extra_10.pdf





TEMA 2: Càlcul de moviments



- CÀLCUL PER INTEGRACIÓ DE DEFORMACIONS

Fórmules de Navier-Bresse

Teoremes de Mohr

- CÀLCUL PER MÈTODES ENERGÈTICS

Definició de l’energia de deformació

Teoremes de Castigliano


ÍNDEX

TEMA 2: CÀLCUL DE MOVIMENTS (18h)


CÀLCUL PER INTEGRACIÓ DE DEFORMACIONS

FÓRMULES DE NAVIER-BRESSE

Donada una barra AB, sobre la qual actuenuns esforços interns (N, M, T) en qualsevoldels punts genèrics P de coordenades globals(X,Y):

• El moviment (desplaçament i gir) del puntB es pot calcular com el moviment delpunt A més la suma (integral) de lesdeformacions corresponents en el tram AB

GIR del punt B

∅𝐵 = ∅𝐴 + 𝐴

𝐵

𝑑∅

∅𝐴 és el gir del punt A

𝐴𝐵𝑑∅𝑑𝑠 és la suma del que va girant, punt a

punt (diferencial de gir, 𝑑∅) la barra AB alllarg de la seva longitud

P




GIR del punt B

∅𝐵 = ∅𝐴 + 𝐴

𝐵

𝑑∅𝑑𝑠




Desplaçament del punt B

𝑐𝐵 = 𝑐𝐴 + ∅𝐴⋀𝐴𝐵 + 𝐴

𝐵

𝑑 𝛿 + 𝑑∅⋀𝑃𝐵

𝑐𝐴 és el desplaçament (composat, vertical i horitzontal) de sòlid rígid de la barra AB. Translació

∅𝐴⋀𝐴𝐵 és el desplaçament del punt B causat pel gir de sòlid rígid de la barra AB respecte A

𝑑 𝛿 és el diferencial de desplaçament d’un punt P qualsevol per deformació axial i tallant

𝑑∅⋀𝑃𝐵 és el diferencial de gir de sòlid rígid del tram de barra PB per la deformació de flexió(gir) del punt P

Observant les components de cadascun dels vectors: 𝑐 = 𝑢, 𝑣, 0

∅ = 0,0, ∅

𝐴𝐵 = 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴, 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴,0

𝑃𝐵 = 𝑥𝐵 − 𝑥, 𝑦𝐵 − 𝑦,0

𝑑 𝛿 = 𝛿∆𝑥, 𝛿∆𝑦, 0

𝑑∅ = 0,0, 𝛿∅




Coneixent el valor de cadascuna de les deformacions diferencials en funció dels esforçpsinterns:

𝛿∆𝑥 =𝑁

𝐸𝐴𝑑𝑠 𝛿∆𝑦 =

𝑇

𝐺𝐴𝑟𝑑𝑠 𝛿∅ =

𝑀

𝐸𝐼𝑑𝑠

Substituint, reagrupant i NEGLIGINT ELS EFECTES DEGUTS A LA DEFORMACIÓ PER AXIAL ITALLANT, s’obtenen les següents expressions per al càlcul dels moviments del punt B:

Gir B

∅𝐵 = ∅𝐴 + 𝐴

𝐵𝑀𝑧𝐸𝐼𝑑𝑠

Desplaçament horitzontal de B

𝑢𝐵 = 𝑢𝐴 − ∅𝐴 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 − 𝐴

𝐵𝑀𝑧𝐸𝐼

𝑦𝐵 − 𝑦 𝑑𝑠

Desplaçament vertical de B

𝑣𝐵 = 𝑣𝐴 + ∅𝐴 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 + 𝐴


𝑥𝐵 − 𝑥 𝑑𝑠



TEOREMES DE MOHR

Són una aplicació directa de les expressions de Navier-Bresse

1r Teorema de Mohr

S’utilitza per calcular l’angle (𝜙BA) que formen entre sí dues tangents a la deformada

∅𝐵 = ∅𝐴 + 𝐴𝐵 𝑀𝑧

𝐸𝐼𝑑𝑠 ∅𝐵 − ∅𝐴 =

1

𝐸𝐼 𝐴𝐵𝑀𝑑𝑥 ∅𝐵 − ∅𝐴 = ∅𝐵𝐴 =

1

𝐸𝐼· À𝑟𝑒𝑎_𝑀

Així doncs, per calcular el gir relatiu entre dos puntsd’una biga només cal conèixer l’àrea del diagrama demoments flectors que queda tancada entre els dospunts (A i B) i la rigidesa (EI) de la biga



TEOREMES DE MOHR

2n Teorema de Mohr

S’utilitza per calcular la distància vertical (ηBA) que hi ha entre un punt de la deformada i latangent traçada en un altre punt de la deformada

𝑣𝐵 = 𝑣𝐴 + ∅𝐴 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 + 𝐴


𝑥𝐵 − 𝑥 𝑑𝑠

𝑣𝐵 − 𝑣𝐴 − ∅𝐴 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 = η𝐵𝐴 =1

𝐸𝐼 𝐴

𝐵

𝑀 𝑥𝐵 − 𝑥 𝑑𝑥

η𝐵𝐴 =1

𝐸𝐼· (À𝑟𝑒𝑎_𝑀 · 𝐷𝑖𝑠𝑡à𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝐵 𝑎𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑡𝑎𝑡 𝑑𝑒 𝑙′À𝑟𝑒𝑎_𝑀)



TEOREMES DE MOHR

Al aplicar els teoremes de Mohr cal tenir en compte les següents consideracions:

• L’àrea (Àrea_M) té signe ja que el moment pot ser positiu o negatiu

• L’àrea de les formes més habituals i les posicions dels centres de gravetat es descriuenen la següent figura:

𝐴 =1

2ℎ𝑙

𝑑 =1

3𝑙

𝐴 = ℎ𝑙

𝑑 =1

2𝑙

𝐴1 =1

3ℎ𝑙

𝑑1 =1

4𝑙

𝐴2 =2

3ℎ𝑙

𝑑2 =3

8𝑙


CÀLCUL PER MÈTODES ENERGÈTICS

DEFINICIÓ DE L’ENERGIA DE DEFORMACIÓ

Donat un cos elàstic sotmès a uns esforços interns Nx (axial), Ty (Tallant), Tz (Tallanttransversal), Mz (Moment flector), My (Moment flector transversal) i Mx (torsor), i unespropietats mecàniques E, A, Iz, Iy, G, Ary, Arz, Io, es defineix l’energia de deformacióinterna com:

𝑊 = 𝑁𝑥2

2𝐸𝐴+

𝑀𝑧2

2𝐸𝐼𝑧+

𝑀𝑦2

2𝐸𝐼𝑦+

𝑇𝑦2

2𝐺𝐴𝑟𝑦+

𝑇𝑧2

2𝐺𝐴𝑟𝑧+

𝑀𝑥2

2𝐺𝐼0

Tenint en compte que:

• En el cas d’una estructura plana reticulada 2D, no hi ha tallant ni moment transversalsni moment torsor No intervenen els

• Es pot negligir l’efecte de la deformació que causa l’axial i el tallant davant de lacausada per la flexió Es poden despreciar els

L’energia de deformació queda:

𝑊 = 𝑀𝑧2

2𝐸𝐼𝑧



TEOREMES DE CASTIGLIANO

Donat un cos elàstic sotmès a un conjunt de sol·licitacions puntuals (poden ser dequalsevol naturalesa: forces, moments, etc. ) que anomenarem simbòlicament F1, F2 … Fi… Fn, els moviments (δ1, δ2 … δi … δn) en els punts d’aplicació de les càrregues (1, 2 … i …n) i en la direcció de les sol·licitacions puntuals guarden les següents relacions amb lessol·licitacions actuants:




1r Teorema de Castigliano

𝐹𝑖 =𝜕𝑊

𝜕𝛿𝑖𝑀𝑖 =

𝜕𝑊

𝜕∅𝑖

2n Teorema de Castigliano

𝛿𝑖 =𝜕𝑊

𝜕𝐹𝑖∅𝑖 =

𝜕𝑊

𝜕𝑀𝑖

Consideracions en l’aplicació dels TC

• Les sol·licitacions externes han de ser independents perquè els movimentscalculats amb el 2n TC tinguin sentit físic

• Els moviments imposats han de ser independents perquè les forcescalculades amb el 1r TC tinguin sentit físic

• Els moviments eficaços calculats amb el 2n TC tenen signe relatiu al sentit dela sol·licitació amb la qual estan associats i la direcció de la sol·licitació

• Les sol·licitacions eficaces calculades amb el 1r TC tenen signe relatiu alsentit del moviment amb la qual estan associades i la direcció del moviment

• Per a l’aplicació del 1r o 2n TC no cal que les sol·licitacions puntuals o elsmoviments eficaços siguin reals. Es poden emprar variables virtuals, el valorde les quals s’igualarà posteriorment a 0

• La integració es defineix sobre tota l’estructura




Per al càlcul de moviments en un punt d’una estructura utilitzarem el 2n Teorema deCastigliano

𝛿𝑖 =𝜕𝑊

𝜕𝐹𝑖=𝜕

𝑀𝑧2

2𝐸𝐼𝑧𝜕𝐹𝑖

=

12𝐸𝐼𝑧

𝜕 𝑀𝑧2

𝜕𝐹𝑖=

1

2𝐸𝐼𝑧· 2 · 𝑀𝑧 ·

𝜕𝑀𝑧𝜕𝐹𝑖

→ 𝛿𝑖 =1

𝐸𝐼𝑧· 𝑀𝑧 ·

𝜕𝑀𝑧𝜕𝐹𝑖

∅𝑖 =𝜕𝑊

𝜕𝑀𝑖=𝜕

𝑀𝑧2

2𝐸𝐼𝑧𝜕𝑀𝑖

=

12𝐸𝐼𝑧

𝜕 𝑀𝑧2

𝜕𝑀𝑖=

1

2𝐸𝐼𝑧· 2 · 𝑀𝑧 ·

𝜕𝑀𝑧𝜕𝑀𝑖

→ ∅𝑖 =1

𝐸𝐼𝑧· 𝑀𝑧 ·

𝜕𝑀𝑧𝜕𝑀𝑖

Activitat

Calcular la fletxa en B i C Calcular la fletxa en B





TEMA 3: Càlcul de reaccions hiperestàtiques



- INTRODUCCIÓ

Definició del problema

Possibles estratègies de solució

- MÈTODE DELS ESFORÇOS

Base teòrica

Procediment tipus

Exemple

- MÈTODE DELS DESPLAÇAMENTS

Base teòrica

Obtenció i acoblament de les equacions de l’elàstica

Procediment tipus

Consideracions en l’aplicació del mètode

Exemple


ÍNDEX

TEMA 3: CÀLCUL DE REACCIONS HIPERESTÀTIQUES (23h)


INTRODUCCIÓ

DEFINICIÓ DEL PROBLEMA

En una estructura externament hiperestàtica no es pot obtenir el valor de totes lesreaccions a partir de les equacions de l’estàtica. Per tant no es poden definircompletament les lleis d’esforços interns ni calcular els moviments de l’estructura deforma directa. Cal afegir noves condicions:

CONDICIONS DE COMPATIBILITAT

o el que és el mateix, definir quines limitacions existeixen sobre la deformació/movimentde l’estructura.

P.ex.


INTRODUCCIÓ

POSSIBLES ESTRATÈGIES DE SOLUCIÓ

Segons en quin moment introduïm les condicions de compatibilitat en la solució delcàlcul de les reaccions hiperestàtiques podem distingir dos mètodes de solució:

MÈTODE DELS ESFORÇOS (també anomenat Mètode de compatibilitat)

Suposant coneguda alguna reacció es parteix de les equacions d’equilibri a partir de lesquals es calculen els moviments. Finalment, imposant les condicions de compatibilitatsobre els moviments calculats s’obtenen les reaccions hiperestàtiques inicialmentsuposades conegudes. És el mètode més intuïtiu.

MÈTODE DELS DESPLAÇAMENTS (també anomenat Mètode d’equilibri)

Es suposa que es coneix com es deforma l’estructura, imposant des d’un inici lescondicions de compatibilitat i suposant coneguts alguns moviments (graus de llibertatindependents). Posteriorment s’estableix la relació entre cada moviment i els esforçosinterns en extrem de barra (eqs. elàstiques) i les relacions entre els esforços interns en elsextrems de les barres i les reaccions de l’estructura (eqs d’equilibri) per finalment obtenirel valor dels moviments inicialment suposats coneguts. Amb aquests valor es pot obtenirfinalment les reaccions de l’estructura. És el mètode més pròxim al matricial usatcomputacionalment.


MÈTODE DELS ESFORÇOS

BASE TEÒRICA

El procediment es basa en calcular els moviments d’una estructura isostàtica associada(Sistema Isostàtic Associat) per posteriorment limitar el valor que poden prendre aquestsmoviments en funció de les condicions de contorn reals de l’estructura inicial (CondicióCinemàtica)

Sistema Hiperestàtic Sistema Isostàtic Associat Condició Cinemàtica

Definició del Sistema Isostàtic Associat: Alliberem tantes restriccions en les condicions decontorn com el valor del grau d’hiperestatisme de l’estructura associada (les que volguem)i les substituïm per les reaccions associades que s’anomenaran Incògnites Hiperestàtiques.P.ex. Traiem el suport en C i el substituïm per la força Rc (Incògnita Hiperestàtica)

Definició de la Condició Cinemàtica: Associada a cada restricció alliberada s’ha de plantejaruna Condició Cinemàtica que sortirà d’imposar el moviment real per la condició decontorn en el punt on s’ha alliberat la restricció en la definició del Sistema IsostàticAssociat. P.ex. Al treure el suport en C hem alliberat el desplaçament vertical que enrealitat és nul, per tant la Condició Cinemàtica serà vc = 0

vc = 0



PROCEDIMENT TIPUS

En general, els passos a seguir seran:

1) Obtenir el grau d’hiperestatisme extern de l’estructura (GH)

2) Alliberar tantes restriccions com el valor de GH, les quines es vulguin, i substituir-lesper les Incògnites Hiperestàtiques corresponents (IH) que es suposaran conegudes

3) Obtenir les lleis d’esforços interns que quedaran en funció de les càrregues externes iles Incògnites Hiperestàtiques (IH)

4) Calcular els moviments corresponents a les condicions cinemàtiques (Castigliano,Navier-Bresse, Mohr) que quedaran en funció de les càrregues externes i lesIncògnites Hiperestàtiques

5) Imposar les condicions cinemàtiques per obtenir els valors de les IncògnitesHiperestàtiques (IH)

6) Substituint el valor de les IH en 3) tindrem les lleis d’esforços interns totalmentdefinides. A partir d’aquí podem calcular qualsevol moviment desitjat en l’estructura



EXEMPLE

Donada la següent estructura (biga de longitud l i rigidesa EI), calcular el gir en el punt B:

Sistema Hiperestàtic Sistema Isostàtic Associat Condició Cinemàtica

1) GH = 1

2) Alliberar moviment vertical en C. La IH és Rc

3) Llei de flectors: M(x)= Rc·(l-x) en tram BC

M(x)= Rc·(l-x)-F·(l/2-x) en tram AB

vc = 0



EXEMPLE

4) Càlcul del moviment vertical en C. 𝑣𝑐 =1

𝐸𝐼

1

3𝑅𝑐𝑙

3 −5

48𝐹𝑙3

5) Imposem 𝑣𝑐 = 0 → 𝑅𝑐 =5

16𝐹

6) La llei de moment en el tram AB queda M(x)=F/16·(11x-3l). A partir d’això podemcalcular el gir en B amb p.ex. Navier-Bresse obtenint:

∅𝐵 = −𝐹𝑙2

128𝐸𝐼

ME


MÈTODE DELS DESPLAÇAMENTS

BASE TEÒRICA

El procediment parteix de suposar com es deformarà l’estructura (compatibilitat),identificant aquells moviments definitoris (graus de llibertat independents) i preveientcom la resta de moviments dependran d’aquells. A partir d’establir les relacions entremoviments i reaccions d’extrem de barra (equacions de l’elàstica) s’acobla la informació dela compatibilitat amb la de l’equilibri (equacions d’equilibri barra a barra i nus a nus).D’aquesta forma s’obté un sistema completament determinat a partir del qual es calculenels valors dels graus de llibertat independents.

El moviment de l’extrem dequalsevol barra depèn delmoviment de les barresadjacents i de les càrreguestan en la pròpia barra comen la resta de l’estructura.

La relació entre els esforçosinterns a l’extrem de lesbarres, les càrreguesexternes i els moviments enels extrems de barra venendonades per les equacionsde l’elàstica.



OBTENCIÓ I ACOBLAMENT DE LES EQUACIONS DE L’ELÀSTICA

Les equacions de l’elàstica relacionen:

• Moviments d’extrem de barra: 2 desplaçaments i 1 gir en cada extrem (6 total) en 2D

• Esforços interns en els extrems de barra: axial, flector i tallant (6 total) en 2D

Croquis dels esforços interns i moviments d’extrem de barra. Signes positius.

Per cada possible moviment relatiu entre extrems de barra, calcularem quines reaccionscrea sobre la resta de l’estructura. Suposarem la barra tipus com biencastada per trobar larelació moviment d’extrem-esforç intern que provoca sobre les barres adjacents al’estudiada. Estudiarem:

a) Gir en A b) Gir en B

c) Desplaçament vertical relatiu AB d) Desplaçament horitzontal relatiu AB

També s’estudiarà l’efecte de les càrregues externes en la barra cas e)




a) Reaccions resultants d’imposar un gir en A en una biga biencastada

Imposar un moviment equival a alliberar la restricció de la condició de contorn i substituir-la per un esforç intern que provoqui el moviment desitjat. Per tant, l’estructura aconsiderar és la següent.

Equilibri en el barra:

𝑉𝐴𝐵 + 𝑉𝐵𝐴 = 0 (eq.1)

𝑀𝐴𝐵 +𝑀𝐵𝐴 + 𝑉𝐵𝐴 · 𝑙 = 0 (eq.2)

Llei de flectors:

𝑀 𝑥 = 𝑉𝐵𝐴 · 𝑙 − 𝑥 + 𝑀𝐵𝐴 = −𝑉𝐵𝐴 · 𝑥 − 𝑀𝐴𝐵 (eq.3)

Si calculem el moviment vertical de B (nul, conegut) obtenim una relació entre 𝑉𝐵𝐴 𝑖 𝑀𝐴𝐵

𝑣𝐵 =1

𝐸𝐼 0𝑙−𝑉𝐵𝐴 · 𝑥 − 𝑀𝐴𝐵 · −𝑥 𝑑𝑥 = 0 =

𝑉𝐵𝐴𝑙

3+𝑀𝐴𝐵

2(eq.4)

Substituint aquesta relació en (eq.2) s’obté que𝑀𝐴𝐵 = 2 · 𝑀𝐵𝐴




a) Reaccions resultants d’imposar un gir en A en una biga biencastada

Ara es pot reescriure la llei de flectors:

𝑀 𝑥 = 𝑀𝐴𝐵 ·3𝑥

2𝑙− 1

I si amb aquesta calculem el gir en A,

obtindrem una relació entre aquest i

el moment𝑀𝐴𝐵:

∅𝐴 =1

𝐸𝐼 0𝑙𝑀𝐴𝐵 ·

3𝑥

2𝑙− 1

2𝑑𝑥 =

𝑀𝐴𝐵𝑙

4𝐸𝐼→ 𝑀𝐴𝐵 =

4𝐸𝐼

𝑙∅𝐴 (eq.5)

Substituint en les equacions d’equilibri anteriors es poden expressar tots els esforçosinterns que hi ha en els extrems de barra causats pel gir en A:

𝑀𝐵𝐴 =2𝐸𝐼

𝑙∅𝐴 𝑉𝐴𝐵 =

6𝐸𝐼

𝑙2∅𝐴 𝑉𝐵𝐴 = −

6𝐸𝐼

𝑙2∅𝐴 𝐻𝐴𝐵 = 𝐻𝐵𝐴 = 0




b) Reaccions resultants d’imposar un gir en B en una biga biencastada

Procedint de forma similar a l’apartat a)




Llei de flectors:

𝑀 𝑥 = 𝑉𝐴𝐵 · 𝑥 − 𝑀𝐴𝐵 = −𝑉𝐵𝐴 · 𝑥 − 𝑀𝐴𝐵 =𝑀𝐴𝐵+𝑀𝐵𝐴

𝑙𝑥 − 𝑀𝐴𝐵 (eq.3)

Si calculem el moviment gir d’A (nul, conegut) obtenim una relació entre𝑀𝐵𝐴 𝑖 𝑀𝐴𝐵

∅𝐴 =1

𝐸𝐼 0

𝑙 𝑀𝐴𝐵 +𝑀𝐵𝐴𝑙

𝑥 − 𝑀𝐴𝐵 ·𝑥

𝑙− 1 𝑑𝑥 = 0 =

𝑙

3𝐸𝐼· 𝑀𝐴𝐵 −

𝑀𝐵𝐴2

→

𝑀𝐵𝐴 = 2 · 𝑀𝐴𝐵 (eq.4)




b) Reaccions resultants d’imposar un gir en B en una biga biencastada


𝑀 𝑥 = 𝑀𝐵𝐴 ·3𝑥

2𝑙−1

2

I si amb aquesta calculem el gir en B,


el moment𝑀𝐵𝐴:

∅𝐵 =1

𝐸𝐼 0𝑙𝑀𝐵𝐴 ·

3𝑥

2𝑙−1

2

2𝑑𝑥 =

𝑀𝐵𝐴𝑙

4𝐸𝐼→ 𝑀𝐵𝐴 =

4𝐸𝐼

𝑙∅𝐵 (eq.5)

Substituint en les equacions d’equilibri anteriors es poden expressar tots els esforçosinterns que hi ha en els extrems de barra causats pel gir en B:

𝑀𝐴𝐵 =2𝐸𝐼

𝑙∅𝐵 𝑉𝐴𝐵 =

6𝐸𝐼

𝑙2∅𝐵 𝑉𝐵𝐴 = −

6𝐸𝐼

𝑙2∅𝐵 𝐻𝐴𝐵 = 𝐻𝐵𝐴 = 0




c) Reaccions resultants d’imposar un desplaçament vertical relatiu en biga biencastada

Procedint de forma similar:




Llei de flectors:

𝑀 𝑥 = 𝑉𝐵𝐴 · 𝑙 − 𝑥 + 𝑀𝐵𝐴 = 𝑀𝐴𝐵 ·𝑥

𝑙− 1 +𝑀𝐵𝐴 ·

𝑥

𝑙(eq.3)

Si calculem el gir de B amb Navier-Bresse (nul, conegut) obtenim una relació entre𝑀𝐵𝐴 𝑖 𝑀𝐴𝐵

∅𝐵 = ∅𝐴 +1

𝐸𝐼 0𝑙𝑀𝐴𝐵 ·

𝑥

𝑙− 1 +𝑀𝐵𝐴 ·

𝑥

𝑙𝑑𝑥 = 0 → 𝑀𝐵𝐴 = 𝑀𝐴𝐵 (eq.4)




c) Reaccions resultants d’imposar un desplaçament vertical relatiu en biga biencastada


𝑀 𝑥 = 𝑀𝐴𝐵 ·2𝑥

𝑙− 1

I si amb aquesta calculem el Δ (NB),


el moment𝑀𝐴𝐵:

𝑣𝐵 − 𝑣𝐴 = ∆= ∅𝐴 · 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 +1

𝐸𝐼 𝐴𝐵𝑀𝐴𝐵 ·

2𝑥

𝑙− 1 · 𝑥𝐵 − 𝑥 𝑑𝑥 = ∆= −

𝑀𝐴𝐵𝑙2

6𝐸𝐼

Aïllant i substituint en les equacions d’equilibri anteriors es poden expressar tots elsesforços interns que hi ha en els extrems de barra causats pel desplaçament relatiu Δ:

𝑀𝐴𝐵 = −6𝐸𝐼

𝑙2∆ 𝑀𝐵𝐴 = −

6𝐸𝐼

𝑙2∆ 𝑉𝐴𝐵 = −

12𝐸𝐼

𝑙3∆

𝑉𝐵𝐴 =12𝐸𝐼

𝑙3∆ 𝐻𝐴𝐵 = 𝐻𝐵𝐴 =0




d) Reaccions resultants d’imposar un desplaçament horitzontal relatiu

Procedint de forma similar:


𝐻𝐴𝐵 + 𝐻𝐵𝐴 = 0 (eq.1)

De resistència de materials sabem:

𝜀 =∆𝑙

𝑙→ 𝜎 = 𝐸𝜀 = 𝐸

∆𝑙

𝑙→ 𝐴𝜎 = 𝐻 = 𝐸𝐴

∆𝑙

𝑙(eq.3)

Si ho apliquem a cada extrem s’obté:

𝐻𝐴𝐵 = 𝐸𝐴𝑢𝐴−𝑢𝐵

𝑙𝐻𝐵𝐴 = 𝐸𝐴

𝑢𝐵−𝑢𝐴

𝑙𝑀𝐴𝐵 = 𝑀𝐵𝐴 = 𝑉𝐴𝐵 = 𝑉𝐵𝐴 = 0




e) Reaccions resultants de les càrregues externes en la barra

Són les reaccions d’encastament perfecte (amb signe). Com en cada situació serandiferents només es planteja la notació a utilitzar:

𝐻𝐴𝐵0 ; 𝑉𝐴𝐵

0 ;𝑀𝐴𝐵0 ; 𝐻𝐵𝐴

0 ; 𝑉𝐵𝐴0 ;𝑀𝐵𝐴

0




Finalment, en un cas genèric podrem tenir gir en A, en B, desplaçament relatiu vertical ihoritzontal i càrregues externes, de tal forma que si agrupem l’efecte de cadascund’aquests casos sobre les expressions dels esforços interns en els extrems de barraobtindrem les 6 equacions de l’elàstica que es poden escriure per cada barra en 2D:

𝑀𝐴𝐵 = 4𝐾𝐴𝐵∅𝐴 + 2𝐾𝐴𝐵∅𝐵 − 6𝐾𝐴𝐵∅𝐴𝐵∆ +𝑀𝐴𝐵

0

𝑀𝐵𝐴 = 2𝐾𝐴𝐵∅𝐴 + 4𝐾𝐴𝐵∅𝐵 − 6𝐾𝐴𝐵∅𝐴𝐵∆ +𝑀𝐵𝐴

0

𝑉𝐴𝐵 = 6𝐾𝐴𝐵

𝑙∅𝐴 + 6

𝐾𝐴𝐵

𝑙∅𝐵 − 12

𝐾𝐴𝐵

𝑙∅𝐴𝐵∆ + 𝑉𝐴𝐵

0

𝑉𝐵𝐴 = −6𝐾𝐴𝐵

𝑙∅𝐴 − 6

𝐾𝐴𝐵

𝑙∅𝐵 + 12

𝐾𝐴𝐵

𝑙∅𝐴𝐵∆ + 𝑉𝐵𝐴

0

𝐻𝐴𝐵 = −𝐸𝐴𝑢𝐵−𝑢𝐴

𝑙+ 𝐻𝐴𝐵

0

𝐻𝐵𝐴 = 𝐸𝐴𝑢𝐵−𝑢𝐴

𝑙+ 𝐻𝐵𝐴

0

On 𝐾𝐴𝐵 =𝐸𝐼

𝑙és la rigidesa de la barra i ∅𝐴𝐵

∆ =∆

𝑙és el gir de sòlid rígid de la barra



PROCEDIMENT TIPUS

En general, els passos a seguir seran:

1) Elecció justificada dels graus de llibertat independents (GLlI) de l’estructura

2) Obtenció dels girs de sòlid rígid de totes les barres en funció dels GLlI

3) Obtenció de l’expressió de les equacions de l’elàstica (de moments) en funcióúnicament dels GLlI. Obtenció d’alguns girs dependents que es deriven de les eqs del’elàstica

4) Obtenció de les equacions d’equilibri en funció dels moments d’extrem de barra. Unaequació associada a cada GLlI

5) Substitució de les eqs de l’elàstica en les eqs d’equilibri per arribar a un sistema ambtantes eqs com incògnites (coincideix amb el nombre de GLlI)

6) Resolució del sistema i obtenció dels valors dels GLlI

7) Càlcul de totes les reaccions de l’estructura



CONSIDERACIONS EM L’APLICACIÓ DEL MÈTODE DELS DESPLAÇAMENTS

En cada pas caldrà tenir en compte les següents consideracions:

1) Elecció justificada dels graus de llibertat independents (GLlI) de l’estructura

- Condicions de contorn

- Hipòtesi de no deformació per axial Barres no es poden escurçar ni allargar

- Relacions geomètriques entre moviments Obtenció de CIRs

- Possibles dependències entre moviments que s’explicitaran a través de les eqs.elàstiques

2) Obtenció dels girs de sòlid rígid de totes les barres en funció dels GLlI

- Signe positiu dels moviments és cap a la dreta, cap dalt i gir antihorari

- S’han de deixar únicament en funció dels GLlI





3) Obtenció de l’expressió de les equacions de l’elàstica (de moments) en funcióúnicament dels GLlI. Obtenció d’alguns girs dependents que es deriven de les eqs del’elàstica

- Introducció dels efectes de les càrregues en les barres com a moments d’encastamentperfecte. Signe! Positiu antihorari

- Consideració dels moviments nuls ja coneguts

- Si sabem, per condicions de contorn, que un moment d’extrem de barra és nul, se’npodrà extreure una dependència del seu gir associat

- Substitució de les expressions dels girs de sòlid rígid de les barres


- Incloure les càrregues puntuals aplicades en eles nusos

- Equacions d’equilibri de forces i moments per cada barra i cada nus






- Respectar signes (acció-reacció) entre barra i nus. Positiu cap a la dreta, dalt i antihorari

- S’escriu una equació d’equilibri associada a cada GLlI. Associada a un desplaçament, unsumatori de forces en la mateixa direcció i nus. Associat a un gir, un sumatori demoments en el nus.

- Expressar totes les equacions d’equilibri únicament en funció dels moments flectors enextrem de barra i les càrregues externes.

5) Substitució de les eqs de l’elàstica en les eqs d’equilibri per arribar a un sistema ambtantes eqs com incògnites (coincideix amb el nombre de GLlI)

- Agrupar els termes per simplificar el sistema d’eqs resultant








- Els valors obtinguts han de ser petits desplaçaments i girs




EXEMPLE

Resoldre la següent estructura amb el mètode dels desplaçaments:

1) Elecció dels GLlI

uA vA 𝜙A

uB vB 𝜙B

uC vC 𝜙C

uD vD 𝜙D

uE vE 𝜙E

uF vF 𝜙F

uG vG 𝜙G

En vermell: Moviments nuls per condicions de contornEn blau: Moviments nuls per la hipòtesi de no considerar els efectes de l’esforç axialEn taronja: Moviments dependents. Relacions geomètriquesEn verd: Girs dependents que s’explicitaran amb les eqs de l’elàsticaEn B/N: GLlI



EXEMPLE

2) Obtenció dels girs de sòlid

Cal suposar com es mourà l’estructura. Observant el croquis es dedueix que:

𝑢𝐶 = 𝑢𝐷 = 𝑢𝐸 = 𝑢𝐹

∅𝐴𝐶∆ = ∅𝐵𝐸

∆ =2𝑢𝐶

𝑙

∅𝐶𝐷∆ = ∅𝐷𝐸

∆ = ∅𝐷𝐹∆ = 0

∅𝐹𝐺∆ = −

2𝑢𝐶

𝑙= −

𝑣𝐺

𝑙→ 𝑣𝐺 = 2𝑢𝐶



EXEMPLE

3) Equacions de l’elàstica

En total se’n poden escriure 2 per barra

𝑀𝐴𝐶 = 2𝐾𝐴𝐶∅𝐶 − 6𝐾𝐴𝐶2𝑢𝐶

𝑙𝑀𝐶𝐴 = 4𝐾𝐴𝐶∅𝐶 − 6𝐾𝐴𝐶

2𝑢𝐶

𝑙

𝑀𝐶𝐷 = 4𝐾𝐶𝐷∅𝐶 + 2𝐾𝐶𝐷∅𝐷 +𝑃𝑙

8𝑀𝐷𝐶 = 4𝐾𝐶𝐷∅𝐷 + 2𝐾𝐶𝐷∅𝐶 −

𝑃𝑙

8

𝑀𝐷𝐸 = 4𝐾𝐷𝐸∅𝐷 + 2𝐾𝐷𝐸∅𝐸 𝑀𝐸𝐷 = 4𝐾𝐷𝐸∅𝐸 + 2𝐾𝐷𝐸∅𝐷

𝑀𝐵𝐸 = 0 = 4𝐾𝐵𝐸∅𝐵 + 2𝐾𝐵𝐸∅𝐸 − 6𝐾𝐵𝐸2𝑢𝐶

𝑙−𝑀

4→ ∅𝐵 = −

∅𝐸

2+

𝑀

16𝐾𝐵𝐸+3𝑢𝐶

𝑙

𝑀𝐸𝐵 = 4𝐾𝐵𝐸∅𝐸 + 2𝐾𝐵𝐸∅𝐵 − 6𝐾𝐵𝐸2𝑢𝐶

𝑙−𝑀

4= 3𝐾𝐵𝐸∅𝐸 − 3𝐾𝐵𝐸

2𝑢𝐶

𝑙−𝑀

8

𝑀𝐷𝐹 = 4𝐾𝐷𝐹∅𝐷 + 2𝐾𝐷𝐹∅𝐹 𝑀𝐹𝐷 = 4𝐾𝐷𝐹∅𝐹 + 2𝐾𝐷𝐹∅𝐷

𝑀𝐹𝐺 = 4𝐾𝐹𝐺∅𝐹 + 6𝐾𝐹𝐺2𝑢𝐶

𝑙+𝑃𝑙

8𝑀𝐺𝐹 = 2𝐾𝐹𝐺∅𝐹 + 6𝐾𝐹𝐺

2𝑢𝐶

𝑙−𝑃𝑙

8

On 𝐾𝐴𝐶 = 𝐾𝐵𝐸 = 𝐾𝐷𝐹 =2𝐸𝐼

𝑙; 𝐾𝐶𝐷 = 𝐾𝐷𝐸 =

𝐸𝐼

𝑙; 𝐾𝐹𝐺 =

2 5𝐸𝐼

5𝑙



EXEMPLE

4) Equacions d’equilibri en funció dels moments d’extrem de barra

Se n’escriurà una per cada GLlI

Associada al ∅𝐶 → 𝑀𝐶 = 𝑀𝐶𝐴 +𝑀𝐶𝐷 = 0 en el nus C

Associada al ∅𝐷 → 𝑀𝐷 = 𝑀𝐷𝐶 +𝑀𝐷𝐸 +𝑀𝐷𝐹 = 0 en el nus D

Associada al ∅𝐸 → 𝑀𝐸 = 𝑀𝐸𝐵 +𝑀𝐸𝐷 = 0 en el nus E



EXEMPLE


Se n’escriurà una per cada GLlI

Associada al ∅𝐹 → 𝑀𝐹 = 𝑀𝐹𝐷 +𝑀𝐹𝐺 = 0 en el nus F

Associada al 𝑢𝐶 → 𝐻𝐶 = 𝐻𝐶𝐴 + 𝐻𝐶𝐷 − 𝐻 = 0 (eq.A) en el nus C

aquesta equació s’ha de reescriure en funció dels moments

d’extrem de barra



EXEMPLE


De l’equilibri de moments en la barra AC s’obté: 𝐻𝐶𝐴 = −2𝑀𝐴𝐶

𝑙−2𝑀𝐴𝐶

𝑙

De l’equilibri de forces horitzontals en la barra CD: 𝐻𝐶𝐷 = −𝐻𝐷𝐶

De l’equilibri de forces horitzontals en el nus D: −𝐻𝐷𝐶= 𝐻𝐷𝐸 + 𝐻𝐷𝐹

De l’equilibri de forces horitzontals en la barra DE: 𝐻𝐷𝐸 = −𝐻𝐸𝐷

De l’equilibri de forces horitzontals en el nus E: −𝐻𝐷𝐸= 𝐻𝐸𝐵

De l’equilibri de moments en la barra BE: 𝐻𝐸𝐵 = −2𝑀𝐸𝐵

𝑙+2𝑀

𝑙

De l’equilibri de forces horitzontals en la barra DF: 𝐻𝐷𝐹 = −𝐻𝐹𝐷

De l’equilibri de forces horitzontals en el nus F: −𝐻𝐹𝐷= 𝐻𝐹𝐺

De l’equilibri de moments en la barra FG: 𝐻𝐹𝐺 =2𝑀𝐺𝐹

𝑙+2𝑀𝐹𝐺

𝑙− 𝑃

Substituint en la eq.A s’obté: −2𝑀𝐴𝐶

𝑙−2𝑀𝐴𝐶

𝑙−2𝑀𝐸𝐵

𝑙+2𝑀

𝑙+2𝑀𝐺𝐹

𝑙+2𝑀𝐹𝐺

𝑙− 𝑃 − 𝐻 = 0



EXEMPLE

5) Substitució de les equacions de l’elàstica en les d’equilibri, resolució del sistema iobtenció dels valors del GLlI

4𝐾𝐴𝐶 + 4𝐾𝐶𝐷 2𝐾𝐶𝐷 02𝐾𝐶𝐷 4𝐾𝐶𝐷 + 4𝐾𝐷𝐸 + 4𝐾𝐷𝐹 2𝐾𝐷𝐸0 2𝐾𝐷𝐸 3𝐾𝐵𝐸 + 4𝐾𝐷𝐸

0 −12𝐾𝐴𝐶𝑙

2𝐾𝐷𝐹 0

0 −6𝐾𝐵𝐸𝑙

0 2𝐾𝐷𝐹 0−12𝐾𝐴𝐶 0 −6𝐾𝐵𝐸

4𝐾𝐷𝐹 + 4𝐾𝐹𝐺12𝐾𝐹𝐺𝑙

12𝐾𝐹𝐺48𝐾𝐴𝐶 + 12𝐾𝐵𝐸 + 48𝐾𝐹𝐺

𝑙

·

∅𝐶∅𝐷∅𝐸∅𝐹𝑢𝐶

=

−𝑃𝑙

8𝑃𝑙

8𝑀

8

−𝑃𝑙

8

−9𝑀

4+ 𝑃𝑙 + 𝐻𝑙

6) Donant valors i resolent el sistema s’obtindrien els valors dels GLlI

l=2m; EI=2e9Nm2; P=200000N; H=100000N; M=150000Nm

𝑢𝐶 = 4,82𝑒 − 6𝑚∅𝐶 = −1,23𝑒 − 7𝑟𝑎𝑑∅𝐷 = 4,70𝑒 − 6𝑟𝑎𝑑∅𝐸 = 3,83𝑒 − 6𝑟𝑎𝑑∅𝐹 = −8,18𝑒 − 6𝑟𝑎𝑑

teoria de les estructures -...

Documents