teori sommerfeld

8/19/2019 Teori Sommerfeld

1/37

BAB IPENDAHULUAN

1.1 Latar BelakangKeadaan dasar dari sistem adalah nol mutlak. Apa yang teradi ika

temperatur ditingkatkan! Ini merupakan masalah standar dalamdasar mekanika statistik dan solusi yang di"erikan #ungsi $ermi%

Dira&. 'aat temperatur meningkat maka energi kinetik uga

meningkat. Be"erapa tingkat energi menempati nol mutlak kosong.

Dan "e"erapa tingkat kosong ditempati nol mutlak.Dalam masa Drude( dan "e"erapa tahun kemudian( nampak

""erapa asumsi mengenai distri"usi ke&epata( seperti pada

kerapatan gas sederhana n ) N*+( di"eri nama temperatur

kesetim"angan , oleh Distri"usi -a/ell%Bolt0man. Pem"erian nilai

elektron per satuan olume ini dengan pergerakan ke&epatan d

tentang se"agai # "23d( dimana

f b ( v )=n( m

2π K BT )

3 /2

e−m v2/2 K

BT

24.13

Kita lihat Ba" 1 "ah/a dalam dalam hu"ungan dengan model Drude

ini menye"a"kan urutan peranian yang "esarnya sama dengan

hukum 5iedemann%$ran0( tetapi uga memprediksi kontri"usi

terhadap panas spesi6k logam dari 7 K B per elektron yang tidak

diamati.paradoks melemparkan "ayangan atas model Drude untuk

seperempat a"ad( yang hanya dihapus oleh mun&ulnya teori

kuantum dan pengakuan "ah/a untuk elektron prinsip larangan

Pauli mem"utuhkan penggantian dari Distri"usi -a/ell%Bolt0manDengan Distri"usi $ermi Dira&t 8

24.43

ℏ adalah konstanta Plank di"agi 2π dan ,9 adalah temperatur

yang ditentukan oleh keadaan yang normalisasi dan se&ara khas

puluhan dari ri"uan deraat

,he 'ommer#eld ,heory o# -etals : 1


2/37

n=∫ dvf ( v )

24.73

Pada temperatur penting 2kurang dari 197

K3 Distri"usi -a/ell%Bolt0mann dan $ermi Dira& ada per"edaan yang men&olok pada

kerapatan logam elektronik.

Pada Ba" ini kita seharusnya menelaskan teori mendasar dari

distri"usi $ermi%Dira& dan penelitian mengenai konsekuensi ion

statistik $ermi%Dira& gas elektron logam.

Dengan singkat setelah penemuan prinsip Larangan Pauli kitamem"utuhkan keadaan ikatan elektrondari atom( 'ommer#eld

menerapkan prnsip yang sama gas elektron "e"as dari logam dan

dengan &ara demikian terpe&ahkan anomali air yang paling

men&olok dari model Drude yang le"ih dulu. Pada aplikasi model

'ommer#eld tidak le"ih dari gas elektron sederhana Drude dengan

modi6kasi yang sederhana "ah/a distri"usi ke&epatan elektronik

diterima menadi kuantum distri"usi $ermi%Dira& yang le"ih "aik dari

distri"usi sederhana -a/ell%Bolt0mann. Untuk mem"enarkan

keduanya gunakan Distri"usi $ermi%Dira&t dan se"aliknya teori

sederhana kita harus mengui teori kuantum dari gas elektron.

Untuk kesederhanaan kita ui keadaan dasar 2,)93 dari gas

elektron se"elum mempelaari temperatur "ukan nol. 'e"agai

putaran keluar (si#at dari keadaan dasar adalah pertim"angan

menarik dalam diri mereka. Kita seharusnya men&ari suhu ruangan(untuk gas elektron pada kerapatan logam( adalah se"uah

temperatur yang memang sangat rendah( untuk "anyak tuuan yang

tak ter"edakan dari ,)9. Demikian "anyak si#at elektron dari logam

keras "er"eda dari nilai mereka pada ,)9( pada suhu ruangan.



3/37

;am"ar 4.1

a3 Distri"usi -a/ell%Bolt0man dan $ermi%Dira& untuk "e"erapa tipe kerapatan

logam pada temperatur"3 -emperlihatkan "agian dari 2a3 antara )9 dan )19.

1.4


4/37

1.= -an#aat Penulisan -akalah

Berdasarkan uraian diatas ( penulis maupun pem"a&a diharapkan

dapat 81. -enam"ah /a/asan mengenai teori 'ommer#eld mengenai

logam4. -engam"il pelaaran setiap penulisan

1.> -etode PenulisanPenulisan makalah ini menggunakan studi literartur dengan

menggunakan "uku re#erensi .

BAB II

PE-BAHA'AN

4.1 'i#at Keadaan Dasar dari Elektron gas

Kita harus menghitung si#at keadaan dasar dari N elektron yang terepit

olume +. Karena elektron tidak "erinteraksi kita "isa men&ari keadaan

dasar dari N sistem dengan pertama men&ari tingkat energi dari elektron

tunggal dalam olume +.

'e"uah elektron sederhana "isa dielaskan oleh se"uah #ungsi gelom"ang

ψ (r ) dan spesi6kasi dari dua kemungkinan orientasi kepemilikan spin.

ika elektron tidak punya interaksi ( #ungsi gelom"ang elektron

"erhu"ungan dengan se"uah tingkat energi dan memenuhi persamaan

s&hrodinger yang "ergantung /aktu8

Dalam satu dimensi model sirkular metal menghasilkan kondisi "atas

Dengan syarat "atas periodik 2untuk 7D3 se"agai "erikut 8

,he 'ommer#eld ,heory o# -etals : =


5/37

24.>3

'olusi untuk menyelesaikan persamaan s&hrodinger 24.=3 yang memenuhisyarat "atas 24.>3 adalah

24.?3 dan 24.@3

Dimana k adalah e&tor posisi sem"arang. Kita telah memilih konstanta

normalisasi pada 24.?3 sehingga pro"a"ilitas untuk menemukan elektron

di suatu tempat dalam seluruh olume adalah

24.3

Untuk mengetahui arti dari ektor k( diketahui "ah/a leelψ (r )

adalaheigenstate dari operator momentum

24.C3

Dengan nilai eigen p ) hk( untuk

. .ik r ik r h e hkei r

• •∂ =∂

24.193

Karena se"uah partikel dalam eigenstate dari operator memiliki nilai

tertentu sesuai o"sera"el yang di"erikan oleh nilai eigen( se"uah

elektron dalam leel ψ (r ) memiliki momentum yang se"anding dengan

k

,he 'ommer#eld ,heory o# -etals : >


6/37

p hk =24.113

Dan ke&epatan

pv

m=

dari

hk vm

=

24.143

Energy pada 24.@3 dapat ditulis dalam "entuk klasik

21

2

pmv

mε = =

24.173

Kita uga dapat mengartikan k se"agai e&tor gelom"ang. ;elom"ang

"idang

ik r e

•

adalah konstan dalam setiap yang tegak lurus terhadap k dan

periodi& sepanang garis yang seaar*parallel terhadap k(dengan panang

gelom"ang

2

k

π λ =

24.1=3

Dikenal se"agai panang gelom"ang de Broglie.

syarat "atas 24.>3 ini hanya memungkinkan untuk nilai k yang diskrit(

karena 24.>3 akan terpenuhi oleh #ungsi gelom"ang 24.?3 ika

1 y x z ik Lik L ik Le e e= = =24.1>3

Karena1

z e = ika

2 z inπ = ( dimana n) "ilangan "ulat( maka komponen

e&tor gelom"ang k harus dalam "entuk

22 2, , , , ,

y x z x y z x y z

nn nk k k n n n

L L L

π π π = = =

"ilangan "ulat24.1?3

,he 'ommer#eld ,heory o# -etals : ?


7/37

'ehingga dalam ruang 7 dimensi dengan sum"u kartesian k(ky( dan k0

2dikenal se"agai k%spa&e3 e&tor gelom"ang yang memungkinkan

disepanang koordinat ketiga sum"u ditentukan oleh perkalian

2

L

π

.

Diilustrasikan 2dalam 4dimensi3 pada gam"ar 4.4.

Umumnya le"ih mudah menggunakan salah satu kondisi kuantisasi 24.1?3

ini. ang sering kali perlu mengetahui "erapa "anyak nilai k yang

memungkinkan terdapat dalam /ilayah k spa&e yang sangat "esar pada

skala

2 L

π

( dan oleh karena itu terdapat seumlah "esar titik yang

memungkinkan. ika /ilayah sangat luas( kemudian untuk pendekatan

umlah titik yang memungkinkan hanya olume k%spa&e yang terdapat

dalam /ilayah terse"ut( di"agi dengan olume k%spa&e per titik dalam

aringan nilai k yang memungkinkan. "ah/a olumenya 2lihat pada

gam"ar 4.43 hanyalah

32

L

π ÷

. Dari itu kita menyimpulkan /ilayah k%spa&e

dengan olume akan menampung

3 382

V

L

π π

Ω Ω=

÷

24.1@3

,he 'ommer#eld ,heory o# -etals : @


8/37

umlah nilai k yang memungkinkan per olume k%spa&e 2uga dikenal

se"agai kerapatan k%spa&e3 adalah

38

V

π

24.13

Dalam penerapan kita akan "erhu"ungan dengan /ilayah k%spa&e yang

"egitu "esar 2 mendekati 19443 dan "egitu teratur2khususnya "ola3 untuk

segala maksud dan tuuan( 24.1@3 dan 24.13 dapat dianggap tepat.

Karena kita "eranggapan elektron%elektron tidak saling "erinteraksi kita

dapat mem"angun keadaan dasar N% elektron dengan menempatkan

elektron%elektron dalm leel elektron tunggal yang diper"olehkan yang

telah kita temukan. Prinsip eksklusi pauli "erperan penting dalam

pem"angunan terse"ut. Kita dapat menempatkan paling "anyak satu

elektron di setiap tingkat elektron tunggal. ,ingkat elektron tunggal ini

ditentukan oleh e&tor gelom"ang k dan proyeksi spin elekton sepanang

sum"u sem"arang( yang dapat menggunakan salah satu dari dua nilai2

h

atau2

−h

.

,he 'ommer#eld ,heory o# -etals :


9/37

Energy elektron tunggal se"anding dengan kuadrat e&tor

gelom"ang2lihat 4.@3( ketika N sangat "esar( /ilayah yang terisi akan

"er"entuk "ola. ari%ari "ola dise"ut k$ 2 $ 8 $ermi3 dan olume nya .

'esuai 24.1@3 umlah nilai k yang memungkinkan dalam "ola adalah

setiap nilai k yang memungkinkan me/akili untuk dua nilai leel elektron

tunggal 2 satu untuk setiap nilai spin3(agar dapat menampung N elektron

maka

ika kita memiliki N elektron dalam olume + (n= N

V ) ( maka keadaan

dasar system leel elektron tunggal akan terisi ika k k f . Dimana nilai k$ adalah

3

23

F k nπ

=

24.413

Keadaan dasar elektron "e"as ini dielaskan dengan "e"erapa tatanama

yang tidak imainati#.

Bola yang "erari%ari k F 2ektor gelom"ang #ermi 3 "aik yang mendiami

dan tidak mendiami tingkat elektron dise"ut "ola $ermi.

Permukaan "ola #ermi yang memisahkan antara yang mendiami dan tidak

mendiami tingkat elektron dise"ut permukaan #ermi.

,he 'ommer#eld ,heory o# -etals : C


10/37


11/37

Ke&epatan ini &ukup "esar 2 sekitar 1 persen dari ke&epatan &ahaya3.

Dalam pandangan mekanika statistik klasik hal ini sangat mengeutkan(

untuk menelaskan keadaan dasar 2,)93( dan dan semua partikel dalam

gas klasik punya ke&epatan nol saat ,)9. Bahkan pada temperatur ruang

ke&epatan untuk partikel klasik dengan massa elektronik hanya

710 / seccm

.

ika

2

20ha

me=

( maka Energi $ermi dapat ditulis 8

2 2 22

0

0

( )

2 2

F F F

h k ek a

m a

ε

= = ÷

24.4>3

Disini

2

02

e

a

dikenal se"agai ryd"erg 23 menunukan "ah/a energi $ermi memiliki nilai energi elektron yang

khas. -enggunakan persamaan 24.473 dan

8

0 0,529 10a cm−= ×

maka di&ari

"entuk eksplisitnya 8

( ) 2

0

50.1

/ F

s

eV

r aε =

24.4?3

dan 1> e+.

,a"el 4.1 Da#tar Energi $ermi ( ke&epatan( dan ektor gelom"ang untuk

logam ( untuk kerapatan elektron konduksi di"erikan pada ta"el 1.1.

Untuk menghitung energi keadaan dasar dari N elektron dalam se"uah

olume + kita harus menumlahkan energi dari semua tingkat elektron

tunggal dalam "ola $ermi.



12/37

'e&ara umum ( dalam menumlahkan setiap smooth #un&tion $ 2K3 untuk

semua nilai k yang memungkinkan ( dapat dilanutkan dengan se"agai"erikut 8

Karena olume k%spa&e per nilai k yang memungkinkan adalah

38 /k V π ∆ = F

2lihat persamaan 4.13 maka dapat ditulis

Untuk limit0, ( )k V ∆ → → ∞

( umlah

( )k F k k ∆∑

mendekati integral

( )dkF k ∫ .

Dengan syarat "ah/a $2k3 tidak "eru"ah%u"ah terhadap arak dalam k%

spa&e dari orde2 / Lπ

. oleh karena itu kita dapat menulis kem"ali 24.43

menadi8

24.4C3

,a"el 4.1

Energi $ermi( ,emperatur $ermi( +ektor gelom"ang $ermi dan ke&epatan

$ermi untuk logam representati#



13/37

;unakan 24.4C3 untuk mengealuasi 24.4@3 kita menemukan "ah/a

kerapatan energi elektron adalah

Untuk medapatkan energi per elektron E*N dalam keadaan dasar( kita

harus mem"aginya dengan

3 2/ V k / 3 F N π =

yang mem"erikan

2 23 3

10 5

3

5

F F

B F

h k E

N m

E k T

N

ε = =

=

24.71 dan 4.743



14/37

Kita "isa menulis hasilnya se"agai

3

5 B F

E k T

N =

( dimana

F T

adalah ,emperatur $ermi

a0rs¿

2

¿¿

T F =ε F k B=

58.2

¿

24.773

Dengan di"erikan Energi keadaan dasar E( kita "isa menghitung tekan

gas elektron dari hu"ungan P=−(∂ E

∂ V )

N karena E ) E=

3

5 N ε F dan ε F

se"anding dengan K F ( yang "ergantung pada + dengan #aktor

n2 /3=( N

V )

2/3

( maka

P=2

3

E

V 24.7=3

uga dapat menghitung &ompressi"ility K atau modulus Bulk B= 1

K yang

dide6nisikan dengan

k B= 1

K =−V

∂ P

∂ V 24.7>3

E se"anding dengan V −2/3

persamaan 24.7=3 menunukkan "ah/a P

menadi seperti V −5/3

( oleh karena itu

,he 'ommer#eld ,heory o# -etals : 1=


15/37

B=5

3 P=

10

9

E

V =

2

3n ε F 24.7?3

Atau

B=(6.13

rs

a0 )5

×1010 dynes

cm2

24.7@3

Pada ta"le 4.4 kita "andingkan modulus "ulk elektron "e"as 24.7@3

dihitung dari rs*a9 dengan modulus "ulk yang terukur untuk "e"erapa

logam.

,a"el 4.4

-odulus Bulk dalam 1010 dynes

cm2 untuk "e"erapa enis logam

4.4 'i#at ,ermal gas elektron "e"as4.4.1 Distri"usi $ermi%Dira&

Ketika remperature tidak nol maka perlu untuk memeriksa keadaan

tereksitasi dari sistem elektron N serta keadaan dasar( karena menurut

prinsip%prinsip dasar mekanika statistik( ika sistem partikel N adalah

dalam kesetim"angan termal pada suhu ,( maka si#at%si#atnya harus

dihitung dengan rata%rata atas semua N partikel keadaan stasioner(

,he 'ommer#eld ,heory o# -etals : 1>


16/37

menga&u pada setiap keadaan energi E "erat Pn 2E3 se"anding dengan e

k"*, 8

Pn ( E )= e

− E /k BT

∑ e− Ea

N

/k BT 24.73

2disini Ea N

adalah energi dalam keadaan stasioner dari sistem N%

elektron( umlah semua keadaaan terse"ut3.

Penye"ut pada persamaan 24.73 dikenal se"agai #ungsi parsisi( dan

"erhu"ungan dengan energi "e"as Helmhot0( $ ) U%,' 2dimana U adalah

energi dalam dan ' adalah entropi 3 Dengan

∑ e− Ea N / k BT =e− F N /k BT 24.7C3

Gleh karena itu kita "isa menuliskan se&ara le"ih kompak se"agai 8

Pn ( E )=e−( E− FN )/k BT

24.=93

Karena prinsip penge&ualian. untuk mem"angun se"uah keadaan elektron

N seseorang harus mengisi N tingkat satu%elektron yang "er"eda. Dengan

demikian setiap keadaan stasioner N%elektron dapat ditentukan oleh

da#tar yang mana dari N tingkat satu%elektron diisi di keadaan itu.

kuantitas yang sangat "erguna untuk diketahui adalah 6N( pro"a"ilitas

terdapatnya se"uah elektron dalam tingkat satu%elektron i tertentu( ketika

sistem N%elektron dalam kesetim"angan termal. Pro"a"ilitas ini

merupakan umlah dari pro"a"ilitas independen untuk menemukan sistemN%elektron yang tingkat ke i ditempati8

f i N =∑ Pn Ea N 24.=13

Kita "isa mengealuasi f i N

dengan melakukan tiga o"serasi 8

,he 'ommer#eld ,heory o# -etals : 1?


17/37

1. pro"a"ilitas elektron "erada di i tingkat adalah satu minus

pro"a"ilitas untuk tidak ada elektron yang "erada di tingkat i(

sehingga kita dapat menulis 24.=13 menadi

f i N

=1−∑ Pn Eb

N

24.=43dengan b adalah keadaan yang tak memilik elektrn !

4. Dengan mengam"il sem"arang keadaan 2N 13 elektron yang

memiliki se"uah elektron di tingkat satu%elektron i( kita dapat

mem"angun se"uah keadaan N%elektron di mana tidak ada elektron

dalam tingkat i( dengan hanya mengeluarkan elektro pada tingkat i(

meninggalkan posisi dari tingkat lain yang tidak "eru"ah.

'elanutnya( setiap n keadaan%elektron tanpa elektron dalam tingkatsatu%elektron i dapat di"angun hanya dari satu keadaan 2N 13%

elektron dengan se"uah elektron pada tingkat i. Energi dari setiap

keadaan N%elektron dan yang sesuai dengan keadaan 2N 13%

elektron di"edakan oleh hanya i( Energi dari hanya tingkat satu%

elektron yang memiliki posisi 2tempat3 "er"eda dalam dua keadaan.

'ehingga himpunan energi dari semua keadaan N%elektron dengan

tingkat i yang kosong adalah sama dengan himpunan energi darisemua keadaan 2N 13%elektron dengan tingkat i yang terisi.

dengan ketentuan "ah/a setiap energi kemudian dikurangi dengan

i . Kita dapat menulis ulang 24.=43 menadi Pn(¿ Ea

N +1−ε F )

f i N =1−∑ ¿ 24.=73

,api persamaan 24.=73 memungkinkan kita menulis peu"ah se"agai

Pn(¿ Ea N +1−ε F )

∑ ¿ ) eε F − "/k BT

P N +1 2 Ea N +1 ¿

24.==3

,he 'ommer#eld ,heory o# -etals : 1@


18/37

Dimana " dikenal se"agai potensial kimia( di"erikan pada suhu , (

dengan

"= F N +1− F N 24.=>3

'u"stitusi hasil terse"ut ke persamaan 24.=73 kita dapatkan 8

f i N =1−eε F − " /k BT P N +1 2 Ea

N +1 ¿ 24.=?3

Bandingkan penumlahan pada persamaan 24.=?3 sehingga ditemukan

"ah/a persamaan

24.=13 menyatakan

f i N =1−eε F − " /k B T f i

N +1

24.=@3

7. Persamaan 24.=@3 mem"erikat se"uah relasi pasti diantara

pro"a"ilitas dari timglat satu%elektron i yang terisi pada temperatur

, dalam se"uah N%sistem elektron( dan dalam se"uah 2N13%

elektron sistem. Ketika N sangan "esar( sangat mustahil tomem"ayangkan "ah/a dengan penam"ahan se"uah elektron

tunggal kita dapat meru"ah pro"a"ilitas ini untuk le"ih dari hanya

sekedar tingkat%tingkat satu%elektron yang tidak signi6kan. -aka

kita dapat mengganti f i N

dengan f i N +1

dalam persamaan 24.=@3

sehingga

f i N =

1

eε F −

"

k B T +1 24.=3

Dalam #ormula "erikut( kita dapat menatuhkan re#erensi 2ruukan 3

eksplisit pada N yang "ergantung pada f i . ang mana( dalam kasus

apapun( diaga tetap oleh potensial kimia J. perhatikan 24.=>3 nilai N



19/37

dapat selalu dihitung( mem"erikan f ( dengan &atatan "ah/a f i

adalah rata%rata umlah elektron dalam tingkat satu%elektron i. Karena

umlah total dari elektron N adalah perumlahan rata%rata umlah dari

setiap tingkat

N =∑ f i N = 1

eε F −

"

k BT +1 24.=C3

dimana N adalah se"uah #ungsi dari temperatur , dan potensial kimia J.

Dalam "anyak aplikasi ( sayangnya kedua itu merupakan temperatur dan

N yang di"erikan. Dalam kasus seperti itu persamaan 24.=C3 digunakanuntuk menentukan potensial "ahan kimia se"agai #ungsi n dan

,(ke"eri0inan untuk menghapus dari rumus "erikutnya dari temperatur

dan kerapatan.

4.4.4 Aplikasi distri"usi $ermi%Dira&

Dalam se"uah gas elektron "e"as dan elektron "e"as ( tingkat satu%

elektron dispesi6kasikan oleh ektor gelom"ang k dan "ilangan kuantum

spin s( dengan energi yang independen 2tak "ergantung3 s dan di"erikan

oleh persamaan 24.@3

ε (k )=h2

k 2

2m 24.>93

Pertama kita memperi6kasi "ah/a distri"usi #ungsi 24.=C3 konsisten

dengan si#at keadaan dasar 2,)93 diatas. Pada keadaan dasar terse"ut

hanya tingkat%tingkat dengan ε ( k ) # ε F

yang terisi( adi distri"usi #ungsi keadaan dasar haruslah se"agai "erikut8

f ks=1, ε (k )ε F 24.>13

,he 'ommer#eld ,heory o# -etals : 1C


20/37

Di lain pihak( dimana T $0 ( "entuk limit dari distri"usi $ermi%dira&

24.=3 adalah

limT $0

f ks

=1, ε (k )43

Untuk mem"uat persamaan terse"ut konsisten ( kita perlu

"=¿ ε F lim

T $0

¿

Kita dapat melihat se&ara pendek "ah/a untuk logam sisa potensial

kimianya sama dengan energi #ermi untuk presisi dengan deraat tinggi .

'ehingga orang%orang sering gagal mem"uat per"edaan antara keduanya

ketika mem"ahas dengan logam. Bagaimanapun hal ini dapat menadi hal

yang sangat menyesatkan. dalam perhitungan yang persis potensial kimia

J "er"eda nilainya dengan pada saat temperatur nol( ε F !

Aplikasi yang paling penting dari distri"usi statisti& $ermi%dira& adalah

perhitungan kontri"usi elektron pada panas spesi6k saat olume konstan

dari logam(

24.>=3

Dalam aproksimasi elektron yang independen ( energi dalam U adalah

umlah seluruh tingkat elektron tunggal dari 2k3 dikali rata%rata umlah

elektron dalam tingkat terse"ut

% =2∑ ε ( k ) f (ε ( k )) 24.>>3



21/37

Kita telah mengenalkan $ungsi $ermi f ( ε ) untuk menekankan "ah/a

f k "ergantung k hanya melalui energi elektronik ε (k )

ε

e(¿¿ F − ")/k B T +1

f (ε )=1¿

24.>?3

ika kita mem"agi kedua ruas dengan olume + . kemudian persamann

24.4C3 kita tulis kerapatan energi u ) U*+ se"agai

&=∫ dk 4 π 3 ε (k ) f (ε (k )) 24.>@3

Dengan menggunakan kerapatan elektronik n ) N*+( maka

n=∫ dk 4π

3 f (ε (k )) 24.>3

Dalam mengealuasi integral seperti 24.>@3 dan 24.>3 "er"entuk

∫ dk 4 π

3 F (ε (k )) 24.>C3

'atu yang sering meman#aatkan #akta "ah/a integran "ergantung pada k

hanya melalui energi elektronik ε (k )=h2k

2

2m ( dengan mengealuasi

integral dalam kordinat "ola dan mengu"ah aria"el%aria"el dari k

menadi ε .

∫ dk 4 π

3 F (ε (k ) )=∫

0

k 2

π 3 F ( ε (k ) )=∫

−

dεg ( ε ) F (ε ) 24.?93

Dimana



22/37

g (ε )= mh2

π 2 √

2mε

h2

' ε>0 (

g (ε )=0,εC3 adalah ealuasi daro 21*+3 ∑ F ( ε (k ) ) ( "entuk

persamaan 24.?93 menunukkan "ah/a

g (ε ) dε=( 1V )×(nilaitingkat elektrn t&nggaldalam rentang energiε sam)aiε+dε)

Dari alasan ini g (ε ) dikenal se"agai kerapatan dari tingkat per unit

olume. 'e&ara dimensional &ara yang le"ih elas menulis g adalah

24.?73

dimana $ dan k$ dide#inisikan oleh persamaan nol%temperatur 24.413 dan24.4>3. 'e"uah kuantitas numeri& yang pentimg adalah densitas dari

tingkat%tingkat pada energi $ermi( yang mana 24.?13 dan 24.?73

mem"erikan kesamaan "entuk 8

-enggunakan notasi ini( kita tulis kem"ali persamaan 24.>@3 dan

persamaan 24.>3 se"agai8



23/37

24.?? dan 4.?@3

Kita melakukan ini untuk kesederhanaan notasi dan karena dalam "entuk

ini aproksimasi elektron "e"as melalui ealuasi 24.?13 atau 24.?73 tertentu

dari densitas tingkat%tingkat g. Kita dapat mende6nisikan se"uah densitas

dari tingkat%tingkat( melalui 24.?43 dalam kasus yang mana 24.??3

;am"ar 4.

dan 24.?@3 alid untuk kumpulan elektron yang tidak "erinteraksi

2independen3 apapun. Dengan "egitu( untuk selanutnya kita "oleh

menerapkan hasil deduksi dari 24.??3 dan 24.?@3 untuk model elektronindependen dalam logam yang le"ih &anggih.

Pada umumnya( integral 24.??3 dan 24.?@3 memiliki struktur yang sedikit

kompleks. Bagaimanapun ( se"uah ekspansi sistematis sederhana yang

meman#aatkan #akta "ah/a hampir semua temperatur pada logam( ,

sangat ke&il di"andingkan temperarur $ermi 24.773. Dalam gam"ar 4.7

#ungsi $ermi f 23 diplotkan pada suhu , ) 9 dan pada temperatur ruang



24/37

untuk densitas logam yang khas 2 kbT / " * 9.913. 'e&ara elas f

"er"eda dari "entuk temperatur nol nya hanya dalam "agian ke&il

tentang J dari le"ar "e"erapa k BT . Demikian &ara dalam integral

∫−+

+

, ( ε ) f ( ε ) dε "er"eda nilai temperatur nya ( ∫−+

EF

, ( ε ) f ( ε ) dε ' seluruhnya

akan ditentukan oleh "entuk , (ε ) mendekati ) J. ika , (ε ) tidak

"eru"ah se&ara &epat dalam rentang energi dari k", se"esar J(

ketergantungan temperature dari integral terse"ut dapat di"erikan se&ara

akurat dengan mengganti , (ε ) dengan "e"erapa kondisi pertama pada

ekpansi ,aylornya 2 ) J3.

Prosedur ini di"a/a keluar dalam M apendiks. Hasil nya adalah deret dari"entuk

ang dikenal se"agai ekspansi 'ommer#eld. an adalah konstanta tanpa

dimensi. $ungsi H se&ara khas menemui ariasi "esar dalam skala energi

dari J( dan umumnya (d /dε)n , (ε)ε= "! adalah dari , ( ")/ "

n

. Ketika kasus

ini( terminologi "erurutan dalam ekpansi 'ommer#eld adalah le"ih ke&il

oleh G (k BT / ")2

yang mana G2 10−4

3 pada temperatur ruang. 'e&ara

konsekuensi( dalam perhitungan se"ernarnya hanya kondisi pertama dan

kedua yang disimpan dalam perumlahan pada 24.?C3. Bentuk eksplisit

nya adalah



25/37

Untuk mengealuasi panas spesi6k dari logam pada temperatur ke&il

di"andingkan dengan ,$( kita menerapkan ekspansi 'ommer#eld 24.@93

untuk energi elektronik dan umlah densitas 2 pers 24.??3 dan 24.?@338

Persamaan 24.@43 kita dapat lihat se&ara detail( menerapkan "ah/a J

"er"eda dari , ) 9( $ oleh kondisi ,4. 'ehingga se&ara "enar untuk ,4(

kita dapat menulis 8

ika menerapkan ekspansi ini ke integral 24.@13 dan 24.@43 dan mengganti

J dengan $ dalam kasus ,4 dalam persmaan%persamaan terse"ut( kita

temukan

Kondisi pertama temperatur%independen pada sisi kanan dari 24.@=3 dan

24.@>3 hanyalah nilai u dan n pada ground state. Karena kita menghitung



26/37

panas spesi6k pada densitas konstan( n tidak "ergantung temperatur dan

24.@>3 menadi

Dimana menentukan deiasi potensial kimia dari ε F 8

Karena untuk elektron "e"as g2 ε 3 "erariasi seperti ketika ε 1*4 2lihat

persamaan24.?>33( ini mem"erikan

yang mana( seperti yang dinyatakan di atas( peru"ahan dari ,4 dan se&ara

khas sekitar 9(91 persen "ahkan pada temperatur ruang.Persamaan 24.@?3 menetapkan kondisi 24.@=3 sama dengan nol( dengan

demikian menyederhanakan "entuk dari densitas energi thermal pada

densitas elektronik yang konstan 8

Dimana u9 adalah kerapatan energi dalam keadaan dasar. Panas spesi6kdari gas elektron adalah

Atau ( untuk elektron "e"as 2lihat persamaan 24.?>33



27/37

- v=π

2

2 (k B T

ε F )n k B 24.13

Bandingkan ini dengan hasil klasik untuk se"uah gas ideal( - v=3

2n k B (

kita lihat e#ek dari statistik $ermi%Dira& menekan panas spesi6k oleh

se"uah #aktor dari 2π

2

3 ¿ (k B T ε F ) ( se"anding dengan suhu ( dan /alaupun

pada suhu ruangan adalah sekitar 19%4 . penelasan ini kekurangan dari"e"erapa kontri"usi yang nampak dari deraat ke"e"asan elektron pada

panas spesi6k logam pada suhu ruangan.

ika ingin mem"agi dengan koe#esien numerik yang tepat ( maka dapat

dimengerti perilaku panas spesi6k ini sungguh sederhana dari temperatur

yang "ergantung pada #ungsi $ermi itu sendiri. Penam"ahan energi

elektron ketika temperatur dinaikan dari ,)9 mun&ul karena "e"erapa

elektron dengan energi dalam G2 k BT 3 di"a/ah ε F 2daerah yang

diarsir pada gam"ar 4.=3 telah tereksitasi ke daerah energi G2 k BT 3

diatas ε F 2 daerah yang tidak diarsir pada gam"ar 4.=3. umlah elektron

per satuan olume yang telah tereksitasi adalah le"ar k BT dari densitas

interal /aktu energi per satuan olume g2 ε F 3. Le"ih lanut( energi

eksitasi dari k B T dan karenanya total densitas energi thermal adalah g2

ε F 32 k B T 34 diatas energi keadaan dasar. Ini luput dari hasil pasti

24.@C3 oleh #aktor 4*?( tetapi mem"erikan gam"aran 6sika yang

sederhana dan "erguna untuk perkiraan se&ara kasar.

,he 'ommer#eld ,heory o# -etals : 4@


28/37

;am"ar 4.= gra6k #ungsi #ermi

Perkiraan dari se"uah panas spesi6k linear adalah satu dari konsekuensi

penting dari statistik $ermi%Dira&( dan menyediakan se"uah tes

sederhana le"ih lanut mengenai teori gas elektron dari logam(

mem"erikan kepastian "ah/a deraat ke"e"asan selain deraat ke"e"asan

elektronik tidak mem"uat per"andingan atau "ahkan kontri"usi yang

le"ih "esar. 'e"agaimana yang teradi( deraat ke"e"asan ionik "enar%

"enar mendominasi panas spesi6k pada temperatur tinggi.

,a"el 4.7

Be"erapa garis "esar nilai eksperimen untuk koe6sien dari hu"ungangaris lurus dalam , dari panas spesi6k logam dan nilai di"erikan olehteori

elektron "e"as sederhana



29/37

Bagaimanapun di"a/ah temperatur ruang kontri"usi mereka atuh

se"esar kuadrat suhu 2&hapter 473 dan pada temperatur sangat rendah

"erkurang di"a/ah kontri"usi elektronik( yang hanya "erkurang se&ara

linear se"nading dengan ,. Dalam memishkan kedua kontri"usi ini di"uat

plot M*, terhadap ,4 ( ika untuk elktronik dan ionik "erkontri"usi "ersama

menghasilkan "entuk temperatur rendah.

Kemudian . dapat diperoleh dengan mengekstrapolasi kura - v /T

se&ara linear ke"a/ah menuu T 2=0 dan men&atat perpotongannya

dengan sum"u - v /T . Panas spesi6k logam yang terukur pada

umumnya "erisi kondisi linear yang dapat diper"andingkan ke "entuk

ku"ik pada "e"erapa deraat kelin.

,he 'ommer#eld ,heory o# -etals : 4C


30/37

Data panas spesi6k "iasanya dinyatakan dalam "entuk oule 2atau kalori3

per mol per deraat kelin. Karena satu mol dari elektron "e"as logam

mengandung /N 0 elektron konduksi 2dimana O adalah alensi dan

N 0 adalah "ilangan Aogadro3 dan menempati se"uah ruang 2olume3

/N 0 /n ( maka untuk mendapatkan kapasitas panas per satuan mole kita

harus mengalikan kapasitas panas persaruan olume( - v dengan

/N 0 /n ( M 8

Dimana 3dan ealuasi 24.773 dari

ε F

k B ( kita dapatkan

se"uah kontri"usi elektron "e"as untukn kapastitas panas per moldari

- =.T ( dimana

'e&ara kasar( nilai pengukuran . ditampilkan pada ta"el 4.7( "ersama

dengan nilai elektron "e"as yeng tersirat oleh 24.>3 dan nilai darirs

a0

dalam ta"le 1.1. Mata "ah/a logam alkali dapat digam"arkan dengan "aik

oleh teori elektron "e"as( sepertinya logam mulia 2Mu( Ag( Au3.

'ayangnya( sangat "er"eda dengan $e dan -n "egitu uga dengan Bi dan'" 2eksperimen dari teori /aktu3.



31/37

4.7 ,eori konduksi 'ommer#eld dalam logam

Untuk mendapatkan distri"usi ke&epatan elektron dalam suatu logam(

maka kita dapat mempertim"angkan dengan mengam"il suatu titik k(

dengan elemen olume dk. Hal itu memungkinkan spin terse"ut untuk"erdegenerasi dua kali lipat ( umlah satu tingkat elektron dalam elemen

olume ini yaitu

( V 4 π 3 )dk 24.?3

Pro"a"ilitas setiap tingkat yang ditempati hanya

f (ε(k ))

( dan karenanya umlah elektron dalam elemen olume ruang k adalah

( V 4 π 3 )f ( ε (k ) ) d k ' ε (k )=h2

k 2

2m 24.@3

Karena ke&epatan elektron "e"as dengna ektor gelom"ang k adalah

v=hk m persamaan 24.143( maka umlah elektron dalam elemen olume

d adalah sama dengan umlah elektron dalam elemen olume

3m

dk dv = ÷ h

dengan

mvk =h

. aki"atnya umlah elektron per satuan

olume dalam ruang nyata dinyatakan dalam se"uah elemen ke&epatan

dalam olume d yaitu

f ( v )dv ' 24.3

24.C3

,eori 'ommer#eld mengulang kem"ali model Drude( namun menggantikan

distri"usi ke&epatan klasik -a/ell Bolt0mann dengan distri"usi $ermi



32/37

dira& . Distri"usi ke&epatan yang di"angun dari argumen%argumen

mekanika kuantum "er"eda dengan pem"enaran dalam teori klasik .

Pertama yaitu dapat menggam"arkan gerak elektron( hanya ika

seseorang dapat menentukan posisi dan momentum dengan seakuratmungkin tanpa melanggar prinsip ketidakpastian.

'e"uah elektron dalam suatu logam memiliki momentum F k h

( maka

ketidakpastiannya1 P

harus le"ih ke&il di"andingkan dengan F k h

untuk

se"uah penelasan klasik yang "aik. Karena k F 1

r s maka ketidakpastian

dalam posisi harus memenuhi

1 2 ❑1 P≫

1

❑ rs 24.C93

Dimana 21.43 r adalah arak ele&tron dalam angstrom. Demikianlah uraian

klasik tidak mungkin ika kita harus melokalisasi elektron dalam arakatom 2 dalam angstrom 3. Namun elektron konduksi dalam logam tidak

terikat untuk ion tertentu( tetapi dapat "erkeliaran "e"as dalam olume

logam. Dalam tinauan makroskopis untuk se"agian "esar tuuan tidak

perlu untuk menentukan posisi mereka dalam akurasi 19% &m. -odel

Drude mengasumsikan pengetahuan tentang posisi elektron terutama

dalam hanya dua konteks "erikut 8

1. Ketika se"uah medan elektromagnetik spasial "erariasi( maka

salah satu harus mampu menentukan posisi elektron dalam skala

ke&il di"andingkan dengan 3 arak di mana gradien suhu

"erariasi. Untuk se"agian "esar aplikasi gradien suhu tidak

"erariasi pada skala angstrom( dan ketepatan posisi elektron tidak

perlu mengarah pada ketidakpastian momentum. 'e"agai &ontoh(

medan listrik yang terkait dengan &ahaya tampak "erariasi hanya



33/37

selama arak orde 103

. ika panang gelom"ang auh le"ih

pendek daripada ini 2misalnya sinar3 seseorang harus

menggunakan mekanika kuantum untuk menelaskan gerak elektron

yang dise"a"kan oleh medan.

4. Ada uga se"uah asumsi implisit dalam model Drude "ah/a untuk

melokasikan se"uah atom se&ara su"stansial kurang dari lintasan

"e"as l( dan oleh karena itu ke&urigaan pada argumen klasik saat

rata%rata lintsan "e"as le"ih pendek dari 19 angstrom teradi.

Untungnya kita lihat ke "a/ah( rata%rata lintsan "e"as dalam logam

adalah sekitar 199 pada temperatur ruangan dan menadi le"ihpanang masih se"agai temperatur rendah.

Dengan demikian "er"agai #enomena tingkah eletron logam "aik

dielaskan oleh mekanika klasik. ,idak( "agaimanapun dengan elas dari

sini "ah/a perilaku dari N elektron "isa dielaskan oleh mekanikan klasik.

Karena prinsip larangan Pauli sangat mempengaruhi stastistik dari N

elektron .Penggunaan statistik $ermi Dira& mempengaruhi prediksi model Drude

yang memerlukan "e"erapa pengetahuan tentang distri"usi ke&epatan

elektron untuk ealuasi mereka. ika 1/4 menyatakan keadaan saat

elektron "erta"rakan tidak tergantung pada energi( maka elektron rata%

rata lintasan "e"as dan konduktiitas termal dan thermopo/er

dipengaruhi oleh peru"ahan dalam #ungsi distri"usi kesetim"angan.Rata-rata lintasan bebasDengan menggunakan vf se"agai ukuran ke&epatan elektron( maka kita

dapat menghitung rata%rata lintasan "e"as Q ) vf dari persamaan 21.3

se"agai "erikut8

Q ¿(

rs

a0)2

5f

C4 24.C13



34/37

Karena resistiitas dalam sentimeter mi&rohm( 5f ' "iasanya 1 sampai

199 pada suhu kamar danrs

a0

"iasanya 4 sampai ?( "erarti rata%rata

lintasan "e"as mulai dari seratus angstrom dan mungkin akan le"ih lama

pada suhu kamar.konduktivitas termalkita lanutkan menghitung konduktiitas termal dengan persamaan 8

K =1

3 v

24 - v 24.C43

Panas 'pesi6k yang "enar 24.13 adalah le"ih ke&il "erdasarkan perkiran

klasik dari Drude dengan #aktor kB , * ( perkiraan yang "enar 4 "ukanlah

ke&epatan thermal kuadrat rata%rata dengan kB , *m( tetapi v f 2=2 ε f /m

yang le"ih "esar dari nilai klasik dengan #aktorε f

k B T . Dengan

memasukkan nilai%nilai ini dalam 24.C>3 dan menghilangkan /aktu

relaksasi dalam mendukung konduktiitas melalui 21(?3 maka diperoleh K

6T =

π 2

3 (k B

e )2

=2,44×10−8 7att hm / K 2 24.C73

'e&ara ke"etulan Drude memperoleh nilai yang "aik "erkat dua koreksi

kB, * ( dan sesuai dengan data dalam ta"el 1.?. kita akan melihat 2Ba"

173 "ah/a "ilangan Lorent0 auh le"ih "aik di"andingkan penurunana

pada 24.C73.

Thermopower

Asumsi Drude tentang thermopo/er ini uga menggunakan 'tatistik

$ermi%Dira&. Panas 'pesi6k( dari persamaan 24.13 dan 21.>C3 diperoleh

24.C=3 ,ernyata le"ih ke&il dari perkiraan Drude ini 21.?93 dengan

8

(k BT

εf ) 0,01 )ada s&h& kamar !



35/37

Sifat-sifat lainnyaKarena distri"usi ke&epatan elektron tidak "erpengaruh dalam

perhitungan konduktiitas DM atau AM( koe6sien Hall atau

magnetoresistan&e ( asumsi yang telah di"erikan dalam "a" 1 tetapsama apakah seseorang menggunakan ma/ell "otl0mann atau statistik

$ermi Dira&.Ini tidak menadi permasalahan ika seseorang menggunakan /aktu

relaksasi "ergantung energi. misalnya satu elektron "erta"rakan dengan

pusat ham"uran( maka ini tidak "ergantung pada rata%rata lintasan

"e"as energi dan karenanya /aktu relaksasi4 =

l

v (

l

ε)1/2

.. ,ak lama

setelah Drude( ditetapkan model gas elektron dari logam ( A.H Lorent0

memperkenalkan distri"usi ke&epatan elektron klasik -a/ell %

Bolt0mann yang /aktu relaksasi "ergantung energi yang akan

menye"a"kan ketergantungan suhu pada konduktiitas DM dan AM serta

se"uah magnetoresistan&e nonanishing dan se"uah medan dan

tergantung suhu koe6sien Hall . Ketidaktepatan distri"usi ke&epatan

klasik ( tidak ada koreksi ini adalah dengan &ara apapun mampu

mem"a/a per"edaan dari model Drude ke dalam keselarasan yang le"ih

"aik dengan #akta%#akta yang diamati tentang logam . 'elanutnya kita

akan melihat 2 "a" 17 3 "ah/a ketika distri"usi ke&epatan $ermi%Dira&

digunakan ketergantungan energi untuk /aktu relaksasi memiliki sedikit

pengaruh yang signi6kan pada se"agian "esar magnetoresistan&e atau

koe6sien Hall dengan asumsi tergantung energi. Dalam logam umlah ini

ditentukan hampir seluruhnya oleh &ara di mana elektron dekat tingkat

$ermi terham"ur . Ini adalah satu lagi konsekuensi yang sangat penting

dari prinsip penge&ualian pauli yang akan di"erikan dalam "a" 17 .



36/37

BAB III

KE'I-PULAN

Pada dasarnya model 'ommer#eld ini sama saa dengan model Drude(

hanya saa model 'ommer#eld melakukan tinauan se&ara kuantum dan

menggunakan distri"usi $ermi%Dira& sedangkan model Drude yang

melakukan tinauan se&ara klasik dan menggunakan distri"usi -a/ell%Bolt0man.

,eori 'ommer#eld mengulang kem"ali model Drude( namun menggantikan

distri"usi ke&epatan klasik -a/ell Bolt0mann dengan distri"usi $ermi

dira& . Distri"usi ke&epatan yang di"angun dari argumen%argumen

mekanika kuantum "er"eda dengan pem"enaran dalam teori klasik .

Pertama yaitu dapat menggam"arkan gerak elektron( hanya ika

seseorang dapat menentukan posisi dan momentum dengan seakuratmungkin tanpa melanggar prinsip ketidakpastian.

$ungsi Distri"usi $ermi%Dira&

f i N =

1

eε F −

"

k B T +1

Aplikasi yang paling penting dari distri"usi statisti& $ermi%dira& adalah

perhitungan kontri"usi elektron pada panas spesi6k saat olume konstan

dari logam(



37/37

Daftar Pustaka

Ash&or#t. 'olid 'tate Physi&s. 'aunders Mollege( Philadelphia( 1C@?

Kardia/arman. -odul = $isika Oat Padat . pd#

Laura. ;as elekron Be"as $ermi. RGnlineS. ,ersedia 8 http8** ;as%Elektron%

Be"as .$ermi.htm R 'eptem"er 491= S

teori sommerfeld

Documents