teorema divergensi

Medan Elektromagnetik \ Teorema Divergensi dan Pers. Maxwell I Dr. Ir. Salama Manjang, M.T.

1

Divergensi dari suatu medan vektor A disuatu titik, didefinisikan sebagai

Divergensi A = div A V

dSAs

V Δ=

∫→Δ

.lim

0

Artinya:

Divergensi vektor kerapatan fluks A ialah banyaknya aliran fluks yang keluar

dari sebuah permukaan tertutup persatuan volume yang menuju ke nol.

Divergensi kerapatan medan D:

vdSD

V Δ= ∫

→Δ

.limD div

0

jika volume diferensial koordinat kartesian (dx dy dz), volume diferensial

dalam koordinat tabung (ρ dρ dφ dz) atau koordinat bola (r2sinθ dr dθ dφ),

maka pernyataan disebut yang mengandung turunan parsial terhadap peubah

dari sistem yang bersangkutan akan diperoleh rumusan sbb:

div D zD

yD

xD zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

= kartesian

div D zDD1)D(D1 z

∂∂

+φ∂

∂

ρ+ρ

ρ∂∂

ρ= φ

ρ tabung

div D φ∂

∂

θ+θ

θ∂∂

θ+

∂∂

= φθ

Dsinr1)D(sin

sinr1)Dr(

rD

r1

r2

2 bola

ΔV=ΔxΔyΔz


2

Divergensi merupakan operasi yang bekerja pada vektor dan hasilnya adalah

skalar atau perkalian titik dua vektor hasilnya adalah skalar. Divergensi

menentukan berapa besar fluks yang meninggalkan suatu volume kecil dalam

basis persatuan volume, tidak ada arah yang dimasukkan.

Konsep divergensi dapat digambarkan dengan mengambil contoh pada kuliah

sebelumnya D = e-xsin y ax – e-xcos y ay + 2 z az C/m2, maka diperoleh

div D zD

yD

xD zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=

= -e-xsin y + e-xsin y + 2

= 2 C/m3 (jika satuan D adalah C/m2 maka satuan div D

adalah C/m3 karena kerapatan volume)

Operasi divergensi dalam kaitannya dengan kerapatan fluks listrik telah

dirumuskan:

v

dSDs

v Δ=

∫→Δ

.limD div

0

div D zD

yD

xD zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

= , dan

div D = ρv

Dari Hukum Gauss:

∫ =s

QdS.D vQ

v

dSDs

Δ=

Δ

∫ . v

Qv

dSD

vs

v Δ=

Δ →Δ→Δ

∫00

lim.

lim

Ruas kiri adalah div D dan ruas kanan adalah kerapatan muatan volume

div D = ρv


3

Contoh:

Dalam ruang r ≤ b dalam koordinat bola terdapat kuat medan listrik

ra3

rEερ

= , hitung kedua ruas teorema divergensi pada medan tersebut.

Ruas kiri:

∫ ∫∫= )sin).(3

(. 2rr addbabdSE φθθ

ερ

∫∫=ππ

φθθε

ρ

0

32

0

sin3

ddb

ε

πρ3

4 3b=

Ruas kanan: υ∇∫ d)E.(

∇.E = ερ

=ερ

∂∂ )

3rr(

rr1 22

υ∇∫ d)E.( ∫∫∫=b

dddrr0

2

0

2

0

sin φθθερππ

επρ3

4 3b=

OPERATOR VEKTOR (OPERATOR DEL)

Operator del disimbolkan ∇ sebagai operator vektor

∇ = zyx az

ay

ax ∂

∂+

∂∂

+∂∂

Misalnya

∇.D = ( zyx az

ay

ax ∂

∂+

∂∂

+∂∂

).(Dx ax + Dy ay + Dz az)

= zD

yDy

xD zx

∂∂

+∂∂

+∂∂

Jadi


4

div D = ∇.D = zD

yD

xD xxx

∂∂

+∂∂

+∂∂

Kartesian

div D = ∇.D zDD1)D(D1 z

∂∂

+φ∂

∂

ρ+ρ

ρ∂∂

ρ= φ

ρ tabung

div D= ∇.D φ∂

∂

θ+θ

θ∂∂

θ+

∂∂

= φθ

Dsinr1)D(sin

sinr1)Dr(

rD

r1

r2

2 bola

Dari integral tertutup Hk. Gauss:

∫ =s

QdS.D

dvQvol

v∫ρ=

ρv = div D

div D = ∇.D

didapatkan

∫ ∫∫ ∇===vol vol

vs

dvDdvQdSD .. ρ

Rumusan pertama dan terakhir dinyatakan teorema divergensi

∫∫ ∇=vols

dvDdSD ..

yang dapat dinyatakan:

Integral komponen normal dari setiap medan vektor pada seluruh

permukaan tertutup sama dengan integral divergensi vektor tersebut dalam

seluruh volume yang terlingkung oleh permukaan tertutup tersebut.


5

0

12

Contoh:

Diketahui medan listrik dengan kerapatan D = 2 xy ax + x2 ay C/m dan kotak

yang dibentuk oleh bidang x = 0 dan 1, y = 0 dan 2, z = 0 dan 3. Hitung

dengan teorema divergensi.

Penyelesaian:

Cara integral komponen normal (ruas kiri)

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

= =

= =

= =

−++++

−+++

−++=

3z 0zzy

2xzy

2x

2yy

0yy

2yy

2x

1xx

0xxyx

)dsa).(axxya2()dsa).(axxya2(

)dSa.()ax()dsa).(axxa4(

)dSa.(0)dsa).(aya2(

∫=

++++=1x

0000yds2

∫∫∫ ==3

0

2

0

3

0

dz4dydzy2

= 12 C

Cara divergensi (ruas kanan)

2xy

)xy2(x

D.∂∂

+∂∂

=∇ = 2y

∫∇vol

Ddv. = ydxdydz21

0

2

0

3

0∫∫∫

= ydydz22

0

3

0∫∫

= dz43

0∫

= 12 C

∫s

dS.D

Z

-Z

x

-x

-y y

ax.ax = 1 ay.ax = 0 az.ax = 0 ax.ay = 0 ay.ay = 1 az.ay = 0 ax.az = 0 ay.az = 0 az.az = 1

3


6

Contoh:

Suatu medan dengan kerapatan D = 30 e-rar – 2 z az dalam koordinat silinder

(tabung). Hitunglah kedua ruas teorema divergensi untuk bagian yang

dilingkupi oleh r = 2, z = 0 dan z = 5.

Penyelesaian:

∫∫ ∇=vols

Ddv.dS.D

Perhatikan Dz = 0 untuk z = 0, maka D.dS = 0 untuk bagian permukaan z

z

2

0z

2

0r

2

0r

25

0s

ardrd.a)5(2zadd2.ae30dS.D ∫∫∫∫∫ φ−+φ=ππ

−

= 60 e-2 (2π)(5) – 10 (2π)(2)

= 129,4 C

Untuk ruas kanan teorema divergensi

∫∇vol

Ddv. = Ingat: uv = u’v + uv’

∇ . D = 2e30re30)z2(

z)re30(

rr1 r

rr −−=−

∂∂

+∂∂ −

−−

= dzrdrd)2e30re30( r

r2

0

2

0

5

0

φ−− −−π

∫∫∫

= 129,4 C

teorema divergensi

Documents